Cap 3 Toolbox Sistemas de Control

8/19/2019 Cap 3 Toolbox Sistemas de Control

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10/03/16 1

®

Capítulo 3

Toolbox Sistemas de Control

Salvador Acha Daza, Ph. D.Presidente del NIAT, S. C.


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10/03/16 2

®

Toolbox Sistemas de Control3.1 Representación de modelos lineales inariantes en el tiempo

!"TI#

3.2 $peraciones% s&ma, m&ltiplicación, concatenación demodelos "TI, discreti'ación

3.3 Resp&esta en el tiempo

3.( Resp&esta a la )rec&encia

3.* Conersión entre representaciones

3.6 Pantallas interactias


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10/03/16 3

®

Introd&cción

Se anali'a cómo operar los comandos de la ca+a de erramientas de Sistemasde Control, - espec)icamente se trata%

1. Representaciones de sistemas lineales inariantes en el tiempo

!"TI#.

2. Trans)ormaciones entre sistemas "TI.

3. Conersión entre modelos contin&os - discretos.

(. Propiedades de controlailidad - oserailidad.

*. Red&cción de orden de los modelos.

6. Coneiones serie - paralelo de retroalimentación.

"a manip&lación con sistemas &na entrada &na salida !SIS$# - &na entrada

mltiples salidas !SI$# es directa, pero el tratamiento de mltiples

entradas mltiples salidas es ms complicado por el mane+o de la

in)ormación.


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10/03/16 (

®

3.1 Representación de modelos lineales

inariantes en el tiempo !"IT#


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10/03/16 *

®

Representación de sistemas "TI

Se tienen arias )ormas%1. 4n el dominio del tiempo por medio de ec&aciones di)erenciales de

primer orden !tami5n conocido como ariales de estado#.

2. 4n el dominio comple+o por medio de )&nciones de trans)erencia.

4sta )orma se epresa como el cociente de dos polinomios, por s&s

races !&sando polos - ceros#, o por medio de )racciones parciales

!resid&os - polos#.

Al tratar con sistemas contin&os se tienen comandos de control - aspectos

similares se tendr para sistemas discretos.


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10/03/16 ;

®

odelo de matri' de trans)erencia$tra )orma de epresar &n sistema "IT es &sando la Trans)ormada de

"aplace,


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10/03/16

®

odelo de matri' de trans)erenciaPara sistemas SI$ !&na entrada mltiples salidas#, la )&nción de

trans)erencia >!s# el n&merador es &n ector de polinomios%

;2

13

2

#!2

23

++

++

+

= s s

s s

s

sG

N:0 0 1 2D1 3 0 1B

N :

0 0 1 2

1 3 0 1

74N:1 0 * 1B74N :

1 0 * 1


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10/03/16 E

®

odelo de ceros - polos"a matri' de trans)erencia >!s# en &n sistema "IT p&ede representarse por

medio de las races del polinomio del n&merador !ceros# - las del polinomiodel denominador !polos#. Para sistemas SIS$%

F:*D

'er:3DG1B

'er : 3

G1

pol:G2 (BH

pol :

G2 (

#(#!2!

#1#!3!*#!

−+

+−=

s s

s s sG

Nota.G ectores ren9lón indican coe)icientes de &n polinomio - ectores

col&mna indican races.


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10/03/16 10

®

odelo de ceros - polos$tro e+emplo%

F:1D pol:G1J+D1G+B

pol :

G1.0000 J 1.0000i

1.0000 G 1.0000i

#1#!1!

1#!

j s j s sG

+−−+=

"a in)ormación es s&)iciente, ecepto al tratar de conertir de la )orma de

)&nción de trans)erencia a otras epresiones. Por esta ra'ón el ector zer

dee especi)icarse.

'er:in)D


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10/03/16 11

®

odelo de ceros - polos$tro e+emplo SI$%

K4R:in) 0 G(Din) in) G6BK4R :

In) 0 G(

In) In) G6

pol:G1 G1 G2BH

pol :

G1

G1 G2

F:1 1 3BH

F :

1

1

3

#2!#1!

#6#!(!3

1

#!2 ++

++=

s s

s s

s

sG

K4R dee tener tantas col&mnas como salidas. "a

se9&nda col&mna de K4R es el ector !0 ∞# -a


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®

odelo de resid&os - polosna )orma di)erente a la )&nción de trans)erencia para &n sistema se tiene

con el desarrollo en )racciones parciales%

#!#!2

2

1

1 sk p s

r

p s

r

p s

r sG

n

n +−

++−

+−

=

No se an considerado races mltiples en eldenominador.

4sta )orma se p&ede de)inir por &n ector col&mna

pol


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10/03/16 13

®

odelo de resid&os - polosC&ando a- polos mltiples, aparecen t5rminos como el si9&iente%

( ) ( )mi

mi

i

i

i

i

p s

r

p s

r

p s

r

−++

−+

−++

2

1

m es la m&ltiplicidad del polo p.

"a representación del sistema es similar, sólo


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10/03/16 1(

®

odelo de resid&os - polosTami5n se p&ede &sar el comando residue%

#102!#1!

2#!

22

+−+

+=

s s s s

s sG

res,pol,FB:resid&e!1 2B,con!1 2 1 0B,1 G2 *B##

res :

G0.0(3 J 0.02*0i

G0.0(3 G 0.02*0i

G0.312*

G0.12*00.(000

pol :

1.0000 J 2.0000i

1.0000 G 2.0000i

G1.0000

G1.0000

0

F :

B

N$TA.G 4l comando residue p&ede &sarse

de manera inersa, es decir


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10/03/16 1*

®

3.2 $peraciones% s&ma, m&ltiplicación,

concatenación de modelos "IT,discreti'ación


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10/03/16 1;

®

Coneión serie

Para dos sistemas "TI con s&s )&nciones de trans)erencia%

Se conoce


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10/03/16 1

®

Coneión serie

4l sistema serie p&ede de)inirse por las instr&cciones%

As,8s,Cs,7sB : series!A1,81,C1,71,A2,82,C2,72#

n&ms,densB : series!n&m1,den1,n&m2,den2#

Sistema 1

Sistema 21uu =

21 u y =

2 y y =

Sistema con coneión serie parcialAs,8s,Cs,7sB : series!A1,81,C1,71,A2,82,C2,72,&s1,in2#

us ndices de salidas del primer

sistema,


19/54

10/03/16 1E

®

Coneión paralelo

Para dos sistemas "TI con s&s )&nciones de trans)erencia%

"a )&nción de trans)erencia paralelo%

s sG sG

100#!2#! 21 ==

s

s

s sG sG sG

10021002#!#!#! 21

+=+=+=

n&mp,denpB:parallel!2,1,100,1 0B#

n&mp : 2 100

denp :

1 0

Sistema 1

Sistema 2

21 uuu == 21 y y y +=Σ


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10/03/16 20

®

Coneión paralelo

4n 9eneral se otiene &na representación con%Ap,8p,Cp,7pB : parallel!A1,81,C1,71,A2,82,C2,72#

n&mp,denpB : parallel!n&m1,den1,n&m2,den2#

Para &na coneión paralelo parcial%

Ap,8p,Cp,7pB : parallel!A1,81,C1,71,A2,82,C2,72,i1,i2,&1,&2#

Sistema 1

Sistema 2

21 uu = 21 y y y +=

Σ


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10/03/16 21

®

Retroalimentación

Para la )&nción de trans)erencia%

na representación con retroalimentación &nitaria ne9atia%

23

1#!

2 ++

−=

s s

s sG

>!s#u y

ΣJ

O

n&mc,dencB:cloop!1 G1B,1 3 2B#

n&mc :

0 1 G1

denc :

1 ( 1

4n 9eneral para &na representación con malla cerradaD si no se especi)ica G1 se considera

retroalimentación ne9atia%

Ac,8c,Cc,7cB : cloop!Ao,8o,Co,7o,G1#

n&mc,dencB : cloop !n&mo,deno,G1#


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10/03/16 22

®

Retroalimentación

Coneión con retroalimentación parcial

Si solamente al9&nas salidas, con ndices especi)icados en el ector &s, se

retroalimentan a las entradas de control c&-os ndices se especi)ican en elector in, se p&ede &sar el comando%

Ac,8c,Cc,7cB : cloop!Ao,8o,Co,7o,&s,Gin#

&s e in dee tener la misma dimensión.

>!s#u y

ΣJ

O


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10/03/16 23

®Retroalimentación a tra5s de trad&ctor

Coneión con retroalimentación parcial

Para &n modelo con coneión de retroalimentación de dos sistemas, &sando la literal t para las

ariales del sistema !s#u yΣ

J

O

!s#


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10/03/16 2(

®Sistemas a&mentados

Por medio de append se p&ede a&mentar el estado de &n sistema. "a

instr&cción%A,8,C,7B : append !A1,81,C1,71,A2,82,C2,72#

Permite )ormar el sistema a&mentado, partiendo de dos sistemas%

+

=

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

u

u

D

D

x

x

C

C

y

y

u

u

B

B

x

x

A

A

x

x

4l comando augstate permite crear &n sistema n&eo, considerando al estado como

salida%

At,8t,Ct,7tB : a&9state !A,8,C,7#

u D

x I

C

y

y

u B x A x

+

=

+=

02

1


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10/03/16 2*

®

3.3 Resp&esta en el tiempo


26/54

10/03/16 26

®Resp&esta en el tiempo

Se descrien comandos


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10/03/16 2;

®4+emplo

Para el sistema%

[ ] x y

u x x

101

1

1

0

100

01.03

031.0

=

+

−

−−

−

=

A:G.1 3 0DG3 G.1 0D0 0 G1B

A :

G0.1000 3.0000 0 G3.0000 G0.1000 0

0 0 G1.0000

8:0 1 1BH

8 :

0

1

1C:1 0 1B

C :

1 0 1

Con el comando se )orma la )&nción de

trans)erencia%

n,dB:ss2t)!A,8,C,0#

n :

0 1.0000 3.2000 12.0100

d :

1.0000 1.2000 E.2100 E.0100

E2.E2.1

122.3#!

23

2

+++

++=

s s s

s s sG


28/54

10/03/16 2

®4+emplo

Se considera &n escalón &nitario como entrada, - s& trans)ormada de

"aplace es 1/s.

res,pol,FB:resid&e!n,d 0B# Q m&ltiplicación de denominador de >!s# - s

res :

G0.166* J 0.00**i

G0.166* G 0.00**i

G1.00001.3330

pol :

G0.1000 J 3.0000i

G0.1000 G 3.0000i

G1.0000

0

F : B

s s j s

j sY

333.1

1

1

31.0

00*.0166.0#! +

+

−+

+

±−=

#!#333.1#10C.33cos!332.0!#! 1.0 t uet et y t t +−+= −−

∑= −

=Φ n

i i

i

s

" s

1

#!λ

#cos!2#! 2

11i j

mn

j j

t m

ii "t "ee " s

ii ∠++= ∑∑

−

=

−

=

− ω φ α λ

4n 9eneral

Φ )&nción comple+a con resid&os R i - races λi del denominadorD m reales - !nGm#comple+as, sin tener races mltiples.


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10/03/16 2E

®4+emplo

"os comandos


30/54

10/03/16 30

®Resp&esta nat&ral

[ ] x y

u x x

10

1

0

(3

3(

=

+

−−−=

0 0.5 1 1.5-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1Response to Initial Conditions

Time (sec)

A

m p l i t u d e

Condiciones iniciales 0: 2D0B

A:G( 3DG3 G(BD8:0D1BDC:0 1BD7:0D

initial !A, 8, C, 7, 2D0B#

4n 9eneral se p&ede 9&ardar la salida, las

ariales de estado - el tiempo de m&estreoD posteriormente se p&ede 9ra)icar los

res&ltados.

salida, estado, ttB: initial!A,8,C,7,0#


31/54

10/03/16 31

®

Resp&esta escalón4l comando step permite otener las salidas - las ariales de estado de &n sistema

lineal inariante en el tiempo, con condiciones iniciales cero, pero ecitado por &nescalón &nitario.

salida, estado, ttB: step!1 10B,1 2*B#

2*C

10#!

2 ++

+=

s s

s sG

0 0.5 1 1.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Para otener la resp&esta c&ando camia el cero

del sistema, manteniendo la 9anancia. Con el

arti)icio de )&nción con mltiples salidas se

camia sólo el primer coe)iciente.

coe):G( G2 G1 0 1 2 (BDden:1 2*BD-,,tB:step!coe)H 10ones!len9t!coe)#,1#B,den#D

mes!coe),t,-#

-4

-2

0

2

4

0

0.5

1

1.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6


32/54

10/03/16 32

®

Resp&esta imp&lso4l comando impulse permite otener resp&esta de sistemas lineales inariantes en el

tiempo al imp&lso &nitario, con condiciones iniciales cero.

salida, estado, ttB: imp&lse !1 10B,1 2*B#

2*

10#!

2 +++

= s s

s sG

0 0.5 1 1.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


33/54

10/03/16 33

®Resp&esta a entrada de)inida por &s&ario

"a resp&esta a &na se=al de)inida por medio de instr&cciones de AT"A8 se p&ede

implementar como si9&e, c&ando la ecitación es tipo senoidal con )rec&encia de 1 '.

x y

u x x

=

+−=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Linear Simulation Results

Time (sec)

A m p l i t u d e

)rec:1Dt:0%0.0*%10/)recD

&:sin!2pi)rect#D lsim!G1,1,1,0,&,t#


34/54

10/03/16 3(

®

3.( Resp&esta a la )rec&encia


35/54

10/03/16 3*

®

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

M a g n i t u d e ( d B )

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

7ia9ramas de 8odePermiten 9ra)icar el mod&lo - la )ase de la resp&esta a la )rec&encia, con respecto a la

)rec&encia en &na escala lo9artmica. P&ede &sarse para anali'ar propiedades del sistematales como mar9en de )ase - de 9anancia, anco de anda, reca'o a dist&rios -

estailidad de los sistemas con retroalimentación.

n&m:(Dden:pol-!G1 G1 G1B#D ode!n&m,den#

3#1!

(#!

+=

s sG


36/54

10/03/16 36

®

-3

-2

-1

0

1

2

3

T o : O

u t ( 1 )

-4 -2 0 2 4 6 8 10-10

-5

0

5

10

T o : O u

t ( 2 )

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

7ia9ramas de N-!+M# contra la partereal. S&poniendo &na )&nción de trans)erencia de la'o aierto%

n-


37/54

10/03/16 3;

®ar9en de 9anancia - de )ase4l mar9en de 9anancia - de )ase permite conocer la propiedad de ro&ste' de los

sistemas lineales inariantes en el tiempo.

ar9en de 9anancia es el inerso de la ma9nit&d de resp&esta a la )rec&encia en a!+ω# es π, el mar9en se de)ine como%

dB !dB ! jGm jGm #!#!

1

ω ω −==

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

M a g n i t u d e ( d B )

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Gm = 6.02 dB (at 1.73 rad/sec) , Pm = 27.1 deg (at 1.23 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

4l mar9en de )ase es el n9&lo


38/54

10/03/16 3

®"&9ar de las racesPara la )&nción de trans)erencia >!s# el l&9ar de las races !root loc&s# es &na 9r)ica en

el plano comple+o de los ceros de la )&nción 1JF>!s# a medida


39/54

10/03/16 3E

®"&9ar de las racesPara la )&nción de trans)erencia >!s# el l&9ar de las races !root loc&s# es &na 9r)ica en

el plano comple+o de los ceros de la )&nción 1JF>!s# a medida


40/54

10/03/16 (0

®"&9ar de las races"a )&nción de trans)erencia modi)icada%

#2#!1!

1#!

+++= s s s

s sG

n&m:1 (BDdeno:pol-!0 G1 G2B#D

rloc&s!n&m,deno#Ds9rid!0.( 0.B,1#D

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

Con sgrid se 9ra)ican las c&ras

para los coe)icientes de

amorti9&amiento 0.( - 0. -

)rec&encia nat&ral ωn se 9ra)ican.


41/54

10/03/16 (1

®

3.* Conersión entre Representaciones


42/54


43/54

10/03/16 (3

®

3.6 Pantallas interactias


44/54

10/03/16 ((

®Toolbox de Sistemas de Control

Creación de odelos

"ineales Inariantes en elTiempo%

T !)&nción de

trans)erencia#

KP !ceroGpolosG

9anancia#

SS !4spacios de 4stado#

7R !7atos de Resp&esta

a la rec&encia#


45/54

10/03/16 (*


odelo de &nción de

Trans)erencia.

4l n&merador - el

denominador son

polinomios,

especi)icados porectores


46/54

10/03/16 (6


odelo de )&nción de

trans)erencia.

n&m Q n&merador

den Q

denominador

:t)!n&m,den#D


47/54

10/03/16 (;


odelo de ceros - polos


48/54


49/54

10/03/16 (E


odelo de 4spacio de

4stado


50/54

10/03/16 *0


odelo de 4spacio de

4stado.


51/54

10/03/16 *1


odelos de 4spacio se

4stado

Se de)inen las matrices

A, 8, C - 7 para &sar el

comando ss.

:ss!A,8,C,7#D


52/54

10/03/16 *2


odelos con datos de

Resp&esta a larec&encia

:)dr!resp,)re


53/54

10/03/16 *3


4+emplo%

7ados los p&ntoseperimentales, con estos

datos &sando "re# - resp

se p&ede constr&ir &n

modelo R7

:)dr!resp,)re


54/54

®$esumen

"as erramientas del ?toolo@ permite el anlisis de odelos

- conocer las resp&estas transitorias - a la )rec&encia demodelos lineales inariantes en el tiempoG!"TI#.

N&ee resp&estas sicas se tienen para el anlisis% 4scalón

Imp&lso 8ode

a9nit&d en 8ode

N-

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Cap 3 Toolbox Sistemas de Control

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