Cap tulo 1 Interpolaci on polin omica - rodas5.us.es · INTERPOLACION POLIN OMICA 1. facilidades a...

Capıtulo 1

Interpolacion polinomica

1.1. Introduccion

Los orıgenes de la interpolacion los podemos encontrar en los intentos deobtener, a partir de las tablas de valores publicadas para las funciones tradi-cionales como las raices cuadradas o las trigonomtricas, otros valores para argu-mentos que no aparecıan en las tablas.

La aparicion de los computadores ha hecho que esta necesidad desaparezcapracticamente. De todas formas, la interpolacion sigue teniendo un papel centralen el analisis numerico debido a su papel de representar una tabla de valores enterminos de una funcion y viceversa:

La interpolacion construye un puente de union entre los prob-lemas en dimension finita y aquellos en dimension infinita.

Cuando los datos a interpolar traen consigo errores inherentes puede ser mas con-veniente no ajustarse a los valores puntuales sino aproximar en algun otro sentidomas apropiado, mınimos cuadrados por ejemplo, el conjunto de puntos por unafuncion que no tenga porque pasar por ninguno de los valores. Estaremos hablan-do entonces de aproximacion en vez de interpolacion y esto es la materia delsegundo Tema.

Supongamos dados los datos de viscosidad de un lıquido con respecto a tempe-ratura

temp 0 5 10 15visc 1.792 1.519 1.308 1.140

se nos puede plantear

1. aproximar la viscosidad a una temperatura de 8, interpolacion

8

CAPITULO 1. INTERPOLACION POLINOMICA 1.1. INTRODUCCION

2. aproximar la viscosidad a una temperatura de 16, extrapolacion

3. dibujar una curva suave a traves de, o proxima a, los datos,

4. determinar una razon de crecimiento

5. integrar una funcion que aproxime estos datos,

6. etc...

Nosotros como matematicos queremos estudiar maneras eficientes de llevar a caboestos procesos.

En general, el problema de interpolacion mas simple es: Dados un conjuntodeterminado de valores

x x0 x1 . . . xn

y y0 y1 . . . yn

donde vamos a suponer que los puntos xi son todos distintos, se busca una funciony = f(x) tal que

f(xi) = yi, i = 0, 1, 2, ..., n.

Diremos que y = f(x) es una funcion interpolante o simplemente un inter-polante para los datos dados.

Es importante entender que existen muchos mas factores a la hora de ajustardatos. Por ejemplo:

1. ¿Cual tiene que ser la forma de la funcion interpolante? El origen de losdatos puede condicionar la forma del interpolante a buscar

2. ¿Cual tiene que ser el comportamiento de la funcion interpolante entre losdatos a interpolar?

3. Si los datos son periodicos, monotonos, convexos, etc...¿Tiene que heredarel interpolante estas propiedades?

4. ¿Nos interesan los parametros de la funcion interpolante resultante del pro-ceso, o solo evaluarla en otros puntos?

5. Al visualizar juntos la funcion y los datos, ¿Tiene que ser visualmente agra-dable?

La eleccion del interpolante depende de los datos y de las respuestas a estaspreguntas. Esto es, la seleccion del interpolante se basa normalmente en

9 T.Ch.R, y E.Ch.V., Dpto. EDAN, Universidad de Sevilla

1.1. INTRODUCCION CAPITULO 1. INTERPOLACION POLINOMICA

1. facilidades a la hora de trabajar con el (determinacion de los parametrosque lo definen a partir de los datos, evaluaciones del interpolante en unpunto dado, derivacion, integracion, etc...)

2. ajuste de las propiedades del interpolante a las de los datos.

Algunas familias usadas como interpolantes son:

polinomios

polinomios locales conectados por alguna regularidad global, por ejemplouna poligonal

funciones trigonometricas

funciones exponenciales

funciones racionales

1.1.1. Existencia, unicidad y condicionamiento

Dos aspectos hay que tener en cuenta:

1. Teorico: la cuestion de la existencia y unicidad del interpolante se resumeen tener un sistema lineal cuadrado con solucion unica.

2. Practico: queremos que este sistema lineal cuadrado con solucion unicaeste bien condicionado y que cueste poco resolverlo.

Volvamos a nuestro conjunto de datos

x x0 x1 . . . xn

y y0 y1 . . . yn

y busquemos nuestro interpolante y = f(x) tal que

f(xi) = yi, i = 0, 1, 2, ..., n

como combinacion lineal de m + 1 funciones Φ0(x),Φ1(x),Φ2(x), ...,Φm(x), esdecir,

y = f(x) =m∑i=0

aiΦi(x)

donde los parametros ai hay que fijarlos.

T.Ch.R, y E.Ch.V., Dpto. EDAN, Universidad de Sevilla 10


Las condiciones de interpolacion f(xi) = yi, i = 0, 1, 2, ..., n originan un sis-tema lineal a resolver que es

Φ0(x0) Φ1(x0) Φ2(x0) . . . Φm(x0)Φ0(x1) Φ1(x1) Φ2(x1) . . . Φm(x1)Φ0(x2) Φ1(x2) Φ2(x2) . . . Φm(x2)

......

.... . .

...Φ0(xn) Φ1(xn) Φ2(xn) . . . Φm(xn)

·

a0a1a2...am

=

y0y1y2...yn

.

Entonces, si n = m tenemos un sistema lineal cuadrado y la existencia y unicidaddel interpolante depende exclusivamente de que la matriz del sistema lineal seano singular.

Tenemos que observar que para un mismo tipo de funciones, por ejemplopolinomios, podemos elegir distintas familias Φj para expresar el interpolante.Esto condiciona el sistema lineal en cuanto a estabilidad y facilidad deresolucion.

1.1.2. Interpolacion Polinomica

La forma mas simple de buscar un interpolante es mediante polinomios. Pordos motivos:

Practico: Son facilmente evaluadas, derivadas, integradas, etc...

Teorico: Poseen buenas propiedades de aproximacion, por ejemplo el Teo-rema de Weierstrass, los desarrollos de Taylor, etc..., y ofrecen un estudiobastante simple de los errores.

Posibilidad de la no unicidad del interpolante

La eleccion arbitraria de n+ 1 polinomios Φ0(x),Φ1(x),Φ2(x), ...,Φn(x) parainterpolar n + 1 datos no garantiza la unicidad de solucion. Si el grado de lacombinacion lineal resultante es mayor que n puede tener n + 1 raices sin ser elpolinomio nulo, por lo que no habrıa unicidad.

Por ejemplo:La interpolacion de los datos, (x0, y0), (x1, y1), como combinacion lineal de las

funciones {1, x} posee solucion unica: la recta y = a + b x que pasa por ambospuntos.

Pero si buscamos el interpolante como combinacion lineal de las funciones{1, x2} y tenemos la mala suerte de que x0 y x1 son los ceros de algun polinomio



de grado dos de la forma h(x) = a+ b x2, o lo que es lo mismo, de algun h(x) =a+ x2 = (x− x0)(x− x1), entonces existe un elemento h(x) no nulo combinacionlineal de {1, x2} tal que h(x0) = h(x1) = 0 por lo que es imposible obtenerunicidad del interpolante en esta familia. Observemos que esto pasa si x0+x1 = 0.

Existencia y unicidad del interpolante polinomico

Una vez que garanticemos la unicidad, varias estrategias son posibles paraconseguir una representacion unica del interpolante por polinomios:

bien usar un unico polinomio (interpolacion global),

bien usar polinomios locales que se conecten entre sı (interpolacion local)de forma que garanticen determinada regularidad global.

Dentro de estas dos variantes existe la posibilidad de

trabajar solo con valores de la funcion (interpolacion de Lagrange)

o incluir tambien valores de sus derivadas (interpolacion de Hermite)

Observacion 1 Es claro que el crecimiento de los polinomios para val-ores grandes de la variable independiente hace poco interesante el estudio dela interpolacion polinomica global para intervalos grandes o no acota-dos cuando se quiere reemplazar una funcion acotada o con un comportamientoradicalmente distinto al polinomial en esos intervalos. Ası que nos vamos a fijaren el problema de interpolacion global en un intervalo acotado, como por ejemplo[−1, 1] para fijar ideas y porque su punto medio es x = 0.

Observacion 2 Sabemos que el polinomio de Taylor de una funcion es unaherramienta de aproximacion que proporciona informacion solo de una maneralocal, en el entorno del punto con respecto al que se realiza, pero no dice mucho sinos alejamos de este punto. Necesitamos ademas una gran cantidad de informa-cion sobre sus derivadas para poder ampliar el intervalo donde la aproximacionfunciona.

Observacion 3 En general, segun el Teorema de Weierstrass, se puede aprox-imar una funcion mediante un polinomio en un intervalo acotado y con la normadel supremo tanto como se quiera. Veremos que, de hecho, el polinomio que surgede este resultado, es un polinomio que interpola globalmente a la funcion f(x) enun conjunto de puntos determinados pero desconocidos.



Dos tipos de interpolacion global se plantean: La interpolacion de Lagrange yla de Hermite. La diferencia es

Lagrange: Se interpolan datos (xi, yi) para i = 0, 1, .., n o valores de unafuncion (xi, yi = f(xi)) para i = 0, 1, .., n

Hermite: Se interpolan valores de una funcion y de algunas de sus derivadas.Por ejemplo, (xi, f(xi), f

′(xi)) para i = 0, 1, .., n

Interpolacion global de Lagrange

Vamos a considerar el problema de encontrar un polinomio que interpole unconjunto determinado de valores

x x0 x1 . . . xn

y y0 y1 . . . yn

donde vamos a suponer que los puntos xi son todos distintos. Un polinomio p(x)se dice que interpola estos datos si cumple p(xi) = yi para i = 0, 1, 2, ..., n. Losvalores xi los denominamos ”nodos”.

Tambin puede ocurrir que yi = f(xi) para i = 0, 1, 2, ..., n siendo f(x) unafuncion que, o bien solo conocemos en los puntos xi, o bien queremos reemplazarlapor un polinomio por cualquier razon, como por ejemplo que tenga una expresionanalıtica muy complicada. Tenemos entonces una tabla de valores

x x0 x1 . . . xn

f(x) f(x0) f(x1) . . . f(xn)

donde los puntos xi son todos distintos.Como se puede observar facilmente, nos vamos a ir decantando por un poli-

nomio de grado menor o igual a n para interpolar n+1 datos puesto que tenemosn+ 1 coeficientes a determinar y podemos plantear un resultado de existencia yunicidad del polinomio interpolante.

Observacion 4 Un mismo polinomio se puede describir de distintas maneras,por ejemplo,

(x− 1)2 = x2 − 2x+ 1

por lo que vamos a poder plantear distintas formas de construir el polinomio deinterpolacion. Todas seran equivalentes desde el punto de vista de la aritmeticainfinita, como no podrıa ser de otra forma, pero daran resultados radicalmentedistintos cuando se realizan con aritmetica finita, es decir, cuando se imple-menten en un ordenador con precision limitada y el numero de nodos a interpolarsea muy grande.



Polinomios de Lagrange

Para un conjunto de n + 1 puntos distintos x0, x1, ..., xn vamos a construirn+ 1 polinomios de grado n, denotados por li, con la propiedad

li(xj) = δi,j =

{1 i = j0 i = j

Por ejemplo, si tenemos los puntos x0, x1 los polinomios vienen dados por

l0(x) =x− x1

x0 − x1

, l1(x) =x− x0

x1 − x0

.

Si tenemos x0, x1, x2 los polinomios vienen dados por

l0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2), l1(x) =

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2), l2(x) =

(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1).

En general, para valores distintos x0, x1, .., xn el hecho de que li(x) se tenga queanular en los puntos xj para j = i hace que sea divisible por el producto de

monomiosn∏

j=0,j =i

(x− xj) por lo que existe una constante λ tal que

li(x) = λn∏

j=0,j =i

(x− xj)

y la restriccion adicional li(xi) = 1 nos dice que tiene que ser λ =n∏

j=0,j =i

(xi − xj)

de donde

li(x) =

n∏j=0,j =i

(x− xj)

n∏j=0,j =i

(xi − xj)

=n∏

j=0,j =i

(x− xj)

(xi − xj), i = 0, 1, 2, ..., n. (1.1)

Entonces p(x) =∑n

i=0 yi li(x) ∈ Pn es tal que

p(x) =n∑

i=0

yi li(x) ⇒ p(xi) = yi, i = 0, 1, 2, ..., n. (1.2)



Ası que ya hemos construido el polinomio de interpolacion. La unicidad es in-mediata puesto que la existencia de dos tales polinomios nos llevarıa a que sudiferencia, siendo un polinomio de grado n tendrıa n + 1 ceros distintos y esodarıa como unica posibilidad que esa diferencia fuese cero. Por lo tanto, hemosdemostrado el siguiente resultado:

Teorema 1 (Existencia y unicidad del polinomio de interpolacion).Sean x0, x1, ..., xn n+1 nodos distintos. Entonces para cualquier eleccion de valoresy0, y1, ..., yn existe un unico polinomio p(x), de grado menor o igual a n, tal quep(xi) = yi para i = 0, 1, 2, ..., n.

Consecuencias interesantes sobre los polinomios de Lagrange son:

Corolario 2 Dados x0, x1, ..., xn n + 1 nodos distintos, los polinomios de La-grange l0(x), l1(x), ..., ln(x) forman una base del espacio vectorial Pn.

Dem: Si c(x) = a0 l0(x) + a1 l1(x) + ... + an ln(x) = 0 para todo x, entoncesevaluando en los puntos x = xj, se tiene que aj = 0 para todo j por lo queson un sistema linealmente independiente. Ademas, es claro que para cualquier

p(x) ∈ Pn se tiene que p(x) =n∑

i=0

p(xi) li(x), por lo que tambien es un sistema

generador. �

Definicion 3 Dados x0, x1, ..., xn n + 1 nodos distintos, los polinomios de La-grange l0(x), l1(x), ..., ln(x) se denominan la base de Lagrange de Pn asociada alos nodos x0, x1, ..., xn.

Corolario 4 Dados x0, x1, ..., xn n + 1 nodos distintos, los polinomios de La-grange l0(x), l1(x), ..., ln(x) cumplen

p(x) =n∑

i=0

p(xi) li(x) (1.3)

para cualquier p(x) ∈ Pn. En particular, se tiene

1 =n∑

i=0

li(x), x =n∑

i=0

xi li(x), x2 =

n∑i=0

x2i li(x), ..., x

n =n∑

i=0

xni li(x)

pero

xn+1 =n∑

i=0

xn+1i li(x)



Ejemplo 5 Vamos a construir el polinomio de interpolacion para la tabla

x 1 1/2 3y 3 −10 2

usando la base de Lagrange. Primero tenemos que

l0(x) =(x− 1/2)(x− 3)

(1− 1/2)(1− 3)= −(x− 1/2)(x− 3)

l1(x) =(x− 1)(x− 3)

(1/2− 1)(1/2− 3)=

4

5(x− 1)(x− 3)

l2(x) =(x− 1)(x− 1/2)

(3− 1)(3− 1/2)=

1

5(x− 1)(x− 1/2)

de donde el polinomio de interpolacion en su forma de Lagrange es

p(x) = −3(x− 1/2)(x− 3)− 8(x− 1)(x− 3) +2

5(x− 1)(x− 1/2).

Ademas, se cumple que

l0(x) + l1(x) + l2(x) = 1, ∀x

es decir,

−(x− 1/2)(x− 3) +4

5(x− 1)(x− 3) +

1

5(x− 1)(x− 1/2) = 1.

Tambien1 l0(x) + 1/2 l1(x) + 3 l2(x) = x, ∀x,

es decir,

−(x− 1/2)(x− 3) + 1/24

5(x− 1)(x− 3) + 3

1

5(x− 1)(x− 1/2) = x.

Observemos aquı que x0 = 1 para todo x por lo que 10 = 1, (1/2)0 = 1, 30 = 1fue usado en la relacion previa, y por ultimo tenemos tambien que

12 l0(x) + (1/2)2 l1(x) + 32 l2(x) = x, ∀x,

es decir,

−(x− 1/2)(x− 3) + (1/2)24

5(x− 1)(x− 3) + 32

1

5(x− 1)(x− 1/2) = x2.



Uso de la base natural {1, x2, x3, ..., xn}Es evidente que {1, x2, x3, ..., xn} es una base de Pn, y se llama base natural

por razones obvias. Entonces, todo polinomio de Pn se puede describir como

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n.

Podriamos haber planteado el problema de interpolacion directamente forzandolas condiciones p(xi) = yi sobre una expresion como la anterior y nos hubierallevado a una sistema lineal para determinar los coeficientes a0, ..., an como sigue:

a0 + a1x0 + a2x20 + ...+ anx

n0 = y0

a0 + a1x1 + a2x21 + ...+ anx

n1 = y1

...

a0 + a1xn−1 + a2x2n−1 + ...+ anx

nn−1 = yn−1

a0 + a1xn + a2x2n + ...+ anx

nn = yn.

Entonces el sistema lineal a resolver es1 x0 x2

0 . . . xn0

1 x1 x21 . . . xn

1

1 x2 x22 . . . x2

n...

......

. . ....

1 xn x2n . . . xn

n

·

a0a1a2...an

=

y0y1y2...yn

.

Este calculo lleva a la inversion de la matriz de Vandermode (Van der Monde).

Definicion 6 Dados n + 1 nodos distintos x0, x1, ..., xn , se define la matriz deVandermonde asociada a estos nodos como la matriz cuadrada (n+ 1)× (n+ 1)dada por

V (x0, x1, ..., xn) =

1 1 1 . . . 1x0 x1 x2 . . . xn

x20 x2

1 x22 . . . x2

n...

......

. . ....

xn0 xn

1 xn2 . . . xn

n

.


x 1 1/2 3y 3 −10 2



usando la base natural. Buscamos p2(x) = a0+a1x+a2x2 por lo que tenemos que

resolver el sistema lineal 1 1 11 1/2 (1/2)2

1 3 32

·

a0a1a2

=

3−102

.

Resolviendo el sistema lineal se obtiene la solucion

p2(x) =−283

10+

419

10x− 53

5x2.

Cualquiera que sean los nodos x0, x1, ..., xn distintos det(V (x0, x1, ..., xn)) = 0. Porlo que el sistema lineal siempre tiene solucion unica...¡si se usa aritmetica in-finita!. El problema es que tenemos que trabajar forzadamente con la aritmeticafinita del computador y esto nos lleva a tener que considerar el numero decondicion de esta matriz.

La matriz de Vandermonde, se sabe que esta mal condicionada para n grandey por lo tanto el problema lineal que se plantea con esta matriz esta mal condi-cionado. Este mal condicionamiento amplifica los errores inevitables en larepresentacion de la matriz en el computador y la acumulacion de erroresde redondeo hace que la solucion calculada este muy alejada de la verdadera.

Observacion 5 Sobre el determinante de una matriz y su cercanıa aser singular: Es natural preguntarse lo siguiente: para una matriz cuadrada Asi det(A) = 0 entonces A es singular. Si det(A) ≈ 0, ¿esta cerca la matriz deser singular? Desafortunadamente, existe poca relacion entre la solucion, o mejordicho, el numero de condicion, del sistema lineal Ax = b y el valor de det(A).Por ejemplo, la matriz n× n

An =

1 −1 . . . −10 1 . . . −1...

.... . .

...0 0 . . . 1

.

cumple det(An) = 1 pero su numero de condicion k∞(An) = n 2n−1. Por lo quela resolucion de un sistema lineal con esta matriz An esta condenada al fracasoal crecer n. Por otro lado, una matriz bien condicionada puede tener un determi-nante muy pequeno. Por ejemplo, la matriz n× n diagonal Dn dada por

Dn =

10−1 0 . . . 00 10−1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 10−1

.



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 1.1: Base natural {xj}j=1,2,..., en [0, 1]. El parecido para valores no muygrandes del exponente dan una idea intuitiva de porque son una base deficientepara usar.

tiene un numero de condicion kp(Dn) = 1 independientemente de la p-norma quese use para medir, mientras que det(Dn) = 10−n.

En conclusion, el logico camino que plantea el uso de la base natural nos llevaa un problema mal condicionado. Por lo tanto, no es aconsejable su uso para unnumero de nodos grande. En la Figura 1.1 se aprecia que estas funciones son muyparecidas a partir de un cierto exponente. Esto origina que sea una mala eleccion.

Metodo de Newton

Vamos a plantear otra forma de construir el polinomio de interpolacion. Tam-bien va a estar ligada al uso de otra base distinta del espacio Pn (del que ya hemosusado dos, a saber la natural y la de Lagrange). Ahora nos va a aparecer labase de Newton asociada a n+1 nodos distintos x0, x1, ..., xn. Esta aproximacionllevara a introducir las diferencias divididas de Newton y su calculo medianteun algoritmo recursivo.

Vamos a proceder de una manera iterativa: En el caso en el que solotenemos un dato, (x0, y0), entonces n = 0 . El polinomio de interpolacion de grado0 que buscamos es simplemente p0(x) = y0.

Supongamos ahora que tenemos dos datos (x0, y0), (x1, y1), entonces n = 1, y



construimos el polinomio a partir de p0(x) de la forma siguiente: ponemos

p1(x) = p0(x) + c (x− x0) = y0 + c (x− x0)

donde c se tiene que determinar. Esta claro que por construccion se cumple quep1(x0) = y0. Ahora fijamos c imponiendo la condicion p1(x1) = y1. Por lo tanto,

y1 = y0 + c (x1 − x0) ⇒ c =y1 − y0x1 − x0

(observemos que si y1 = y0, lo cual es admisible, entonces p1(x) = p0(x)).

Ası sucesivamente, si pk(x) tiene grado menor o igual a k e interpola los datos(x0, y0), (x1, y1), ..., (xk, yk), donde xi = xj si i = j, entonces para construir elpolinomio que interpola los puntos (x0, y0), (x1, y1), ..., (xk, yk), (xk+1, yk+1), conxk+1 = xi si i ≤ k,partimos de pk(x) y construimos

pk+1(x) = pk(x) + c (x− x0)(x− x1)...(x− xk).

Como antes, esta claro que pk+1(xi) = yi para i = 0, 1, ..., k. Ahora, imponemosla condicion pk+1(xk+1) = yk+1 para fijar el valor de c y se tiene que

c =yk+1 − pk(xk+1)

(xk+1 − x0)(xk+1 − x1)...(xk+1 − xk),

valor bien definido al ser xk+1 = xi si i ≤ k.

Llegamos a lo que se conoce como metodo de Newton: La forma generaldel polinomio pn(x) de grado menor o igual a n que interpola en los n + 1 no-dos distintos x0, x1, ..., xn los valores, no necesariamente distintos, y0, y1, y2, ..., yn,viene dada por la expresion

pn(x) = c0+ c1 (x−x0)+ c2 (x−x0)(x−x1)+ ...+ cn (x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)

donde los ci se calculan de forma recursiva. En forma compacta se puede escribircomo

pn(x) =n∑

k=0

ck Nk(x), Nk(x) =∏

0≤j≤k

(x− xj), k = 0, 1, 2, .., n. (1.4)

donde∏

0≤j≤k

(x − xj) = 1 si k = 0. Se puede comprobar que los polinomios

{N0, N1, ..., Nn} forman una base de Pn que es la base de Newton asociadaa los nodos de interpolacion x0, x1, ..., xn.




x 1 1/2 3y 3 −10 2

usando el metodo de Newton. Primero tenemos que

p0(x) = 3, p1(x) = 3 + c (x− 1)

y como queremos que sea p1(1/2) = −10 necesitamos que −10 = 3 + c (−1/2) dedonde c = 26. Entonces

p2(x) = p1(x) + c (x− 1)(x− 1/2) = 3 + 26(x− 1) + c (x− 1)(x− 1/2)

si ahora se impone p2(3) = 2 = 3 + 26(3) + c (2)(5/2) se obtiene c = −53/5 yfinalmente

p2(x) = 3 + 26(x− 1)− 53

5(x− 1)(x− 1/2).

Las funciones

N0(x) = 1, N1(x) = (x− 1), N2(x) = (x− 1)(x− 1/2)

son una base de P2.

Diferencias divididas

Si el polinomio de Newton es

pn(x) = c0 + c1N0(x) + c2N2(x) + ...+ cnNn(x)

entonces las diferencias divididas f [x0, x1, ..., xk] se definen como los coeficientesck de este polinomio.

Observacion 6 Esta notacion sirve para generalizar e incluir el caso en el queyi = f(xi) para alguna funcion y = f(x).

Sabemos que f [x0] = y0 = c0 y definiendo f [xj] = yj para j = 0, 1, 2, ..., npodemos construir

c1 = f [x0, x1] =y1 − y0x1 − x0

=f [x1]− f [x0]

x1 − x0

.

Esto se puede generalizar como sigue

f [x0, x1, ..., xk] =f [x1, ..., xk]− f [x0, x1, ..., xk−1]

xk − x0

(1.5)

que es de donde viene el nombre de diferencias divididas.



Observacion 7 La comprobacion de la validez de esta ultima expresion provienede escribir el polinomio pn(x) que interpola en los nodos x0, x1, .., xn en terminosde los polinomios que interpolan en los nodos x0, x1, .., xn−1, qn−1(x), y en losnodos x1, .., xn, rn−1(x), como sigue

pn(x) = qn−1(x) +x− x0

xk − x0

(rn−1(x)− qn−1(x)).

Como consecuencia, podemos usar la siguiente disposicion, o tabla, para calcularlos coeficientes que nos interesan

x0 f [x0]x1 f [x1] f [x0, x1]x2 f [x2] f [x1, x2] f [x0, x1, x2]x3 f [x3] f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3]...

......

......

. . .

que son los que aparecen al final de cada fila. Estos se pueden calcular via unalgoritmo recursivo. Si definimos inicialmente ck = f [xk] = yk, despues de estecalculo

Para j = 1; j = j + 1, j ≤ n;Para k = n; k = k − 1, k ≥ j;ck = (ck − ck−1)/(xk − xk−j)

tendremos que ck = f [x0, x1, ..., xk] para k = 0, 1, 2, .., n que son los coeficientesque queremos.

Ejemplo 9 Para los datosx 1 1/2 3y 3 −10 2

la tabla que aparece es

1 31/2 −10 263 2 24/5 −53/5

y finalmente

p2(x) = 3 + 26(x− 1)− 53

5(x− 1)(x− 1/2).



Observacion 8 El numero f [x0, x1, ..., xk] no depende de la ordenacion de losvalores x0, x1, ..., xk. Es decir, para cualquier permutacion σ de los enteros 0, 1, ..., kse cumple

f [x0, x1, ..., xk] = f [xσ(0), xσ(1), ..., xσ(k)]. (1.6)

Por ejemplo, se puede comprobar simplemente teniendo en cuenta que el poli-nomio de interpolacion va a ser el mismo o, por ejemplo, igualando los coeficientesde las expresiones del polinomio de interpolacion usando la base de Lagrange y labase de Newton, esto nos da, para x0, x1, ..., xk distintos dos a dos,

f [x0, x1, ..., xk] =∑i=0

yi

k∏j=0,j =i

(xi − xj)−1 (1.7)

y este lado derecho no depende de la ordenacion de los nodos.

Observacion 9 La expresion en terminos de x0, x1, ..., xn dada para f [x0, x1, ..., xn]se puede extender por continuidad al caso en el que alguno de los valores x0, x1, ..., xn

se repita. Sea α = mın{x0, x1, ..., xn}, β = max{x0, x1, ..., xn} y supongamos queyi = f(xi) para alguna f ∈ Cn([α, β]). Si los nodos x0, x1, ..., xn son todos distin-tos se verifica que

f [x0, x1, ..., xn] =

∫ 1

0

∫ t1

0

∫ t2

0

...

∫ tn−2

0

∫ tn−1

0

g(t1, t2, t3, ..., tn−1, tn)dt1dt2...dtn

para

g(t1, t2, ..., tn−1, tn) = f (n(tn(xn−xn−1)+tn−1(xn−1−xn−2)+ ...+t1(x1−x0)+x0).

Como consecuencia, la expresion f [x0, x1, ..., xn] depende continuamente de losnodos de interpolacion incluso cuando alguno de ellos aparezca repetido. En par-ticular la funcion de x dada por g(x) = f [x0, x1, ..., xn, x] es continua indepen-dientemente de que se repitan nodos, o que x coincida con alguno de ellos. Tam-bien existe ξ ∈ (α, β) tal que

f [x0, x1, ..., xn] =f (n(ξ)

n!. (1.8)

Resumen de las tres formas de calculo presentadas

Dados los nodos de interpolacion x0, x1, ..., xn distintos, y los valores y0, y1, ..., ynhemos construido el unico polinomio p(x) ∈ Pn, de grado menor o igual n, tal que

p(xi) = yi, i = 0, 1, 2, ..., n.



El polinomio de interpolacion, que es unico, se ha obtenido usando tres basesdistintas de Pn(x), que son:

1. Base natural {1, x2, x3, ..., xn}: polinomio

pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n

este calculo lleva al sistema lineal para obtener los coeficientes1 x0 x2

0 . . . xn0

1 x1 x21 . . . xn

1

1 x2 x22 . . . x2

n...

......

. . ....

1 xn x2n . . . xn

n

·

a0a1a2...an

=

y0y1y2...yn

.

Esto equivale a la inversion de la matriz de Vandermode que esta malcondicionada y cuando el numero de puntos es grande no se puede resolvercon garantıas de que sea precisa la solucion.

2. Base de Lagrange o Canonica asociada a x0, x1, ..., xn: polinomio

pn(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + ...+ ynln(x)

en donde los polinomios de Lagrange asociados a los nodos x0, x1, ..., xn,tambien llamadas funciones cardinales, vienen dados por

li(x) =n∏

j=0, j =i

x− xj

xi − xj

, i = 0, 1, ..., n.

Si se quiere enfocar como el proceso de resolucion de un sistema lineal paraobtener los coeficientes, podemos ver que el sistema es

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

·

y0y1y2...yn

=

y0y1y2...yn

,

es decir, aquı el sistema lineal es trivial. Se puede decir que todo el esfuerzocomputacional se ha llevado al calculo de la base canonica.

El problema de esta tecnica reside en que hay que calcular otra vez to-das las funciones de base cada vez que se introduce un nuevo nodo deinterpolacion.



3. Base de Newton asociada a los nodos x0, x1, ..., xn: son los productos

Nj(x) =

j∏i=0

(x− xj) para j = 0, ..., n− 1: polinomio

pn(x) = c0N0(x) + c1N1(x) + c2N2(x) + ...+ cnNn(x).

Puesto tambien en terminos de un sistema lineal, este calculo lleva a

1 0 0 . . . 01 x1 − x0 0 . . . 0

1 x2 − x0

1∏i=0

(x2 − xi) . . . 0

......

.... . .

...

1 xn − x0 (xn − x0)(xn − x1) . . .

n−1∏i=0

(xn − xi)

·

c0c1c2...cn

=

y0y1y2...yn

.

Esta matriz es parecida a la matriz de Vandermonde pero mas simple. Se puedepensar en un compromiso a medio camino entre la matriz de Vandermonde y lamatriz identidad.

Observacion 10 Esta tecnica la diseno Newton, por lo tanto mucho antes deluso del computador. La propiedad que la hizo muy interesante es que que se puedeampliar el numero de nodos de interpolacion y aprovechar el trabajo realizado paralos nodos previos.

Discusion y analisis de los tres procedimientos de calculoexpuestos

Esfuerzo computacional

De manera general y sin mucha precision:

el numero de calculos necesarios para resolver el sistema lineal planteadocon la base natural es del orden de n3, es decir, O(n3) puesto que es unsistema denso de talla n× n.

El uso de la base de Lagrange lleva asociado un coste computacional delorden de n2, es decir, O(n2). Este es el coste de calcular los polinomios debase. La dificultad principal es que hay que rehacer todo este trabajo si seanade un nuevo nodo.



El uso de la base de Newton tiene tambien un coste O(n2) con la ventajade que no hay que rehacer calculos si se anade un nuevo nodo.

Como primera consecuencia de esto, descartamos el uso de la base natural paraun numero grande de nodos de interpolacion debido al esfuerzo computacional yal mal condicionamiento de la matriz resultante.

Por otro lado, en la mayorıa de textos de analisis numerico se manifiesta quela interpolacion usando la base de Lagrange es muy interesante desde el punto devista teorico pero poco desde el punto de vista practico. Esto es debido a que:

1. Cada evaluacion requiere O(n2) sumas y productos (puesto que no podemosreescribir el polinomio para usar una multiplicacion anidada).

2. Anadir un nodo mas de interpolacion requiere rehacer completamente elcalculo.

Como conclusion, se podra recomendar desde el punto de vista practico el usodel metodo de Newton para calcular el polinomio de interpolacion. Esto es debidoa que

1. El calculo de las diferencias divididas se puede hacer en O(n2) sumas yproductos. Este calculo es independiente del punto en el que se va a evaluarel polinomio.

2. La evaluacion del polinomio se puede realizar en O(n) operaciones si se usael algoritmo de Horner, tambien conocido como de multiplicacion anidada.

3. Anadir un nodo mas de interpolacion no requiere rehacer completamente elcalculo.

Pero tambien se observa en la practica que con el metodo de Newton

1. Hay que rehacer la tabla de diferencias divididas cada vez que cambiamosde datos.

2. Las diferencias divididas no dependen del orden en aritmetica infinita perosı en aritmetica finita y se pueden producir inestabilidades numericas. Dehecho se producen.

3. Tambien se observan inestabilidades numericas independientemente de laordenacion de los nodos cuando el numero de estos crece.



Formula de Lagrange mejorada: interpolacion baricentrica

Existe una forma de manipular la base de polinomios de Lagrange que permitereducir el esfuerzo computacional. Se conoce como interpolacion baricentrica ypermite ser evaluada y actualizada, al anadir puntos nuevos, en O(n) operaciones.

Recordemos que los polinomios de Lagrange asociados a los nodos x0, x1, ..., xn

son

li(x) =n∏

j=0, j =i

x− xj

xi − xj

, i = 0, 1, ..., n.

Entonces el numerador se puede reescribir completando el producto usando lafuncion (que se conoce como polinomio soporte de los puntos x0, x1, .., xn)

w(x) = (x− x0)(x− x1)...(x− xn)

como l(x)/(x− xi). Si definimos wi como

wi =1

n∏j=0, j =i

(xi − xj)

(wi = 1/w′(xi)) entonces tenemos que li se puede reescribir como

li(x) = w(x)wi

x− xi

, i = 0, 1, ..., n.

El factor w(x) es comun a todos los elementos de la base, ası que el polinomio deinterpolacion en la forma de Lagrange se reescribe como

pn(x) = w(x)n∑

i=0

wi

x− xi

yi. (1.9)

Pero ademas, tenemos que

1 =n∑

i=0

li(x) = w(x) ·n∑

i=0

wi

x− xi

de donde la formula baricentrica para el polinomio de interpolacion pn(x) vienedada por la expresion

p(x) =n∑

i=0

ci f(xi), con ci =

wi

x− xin∑

j=0

wj

x− xj

. (1.10)



Es claro quen∑

i=0

ci = 1, de donde proviene su nombre.

Podemos observar ahora que esta expresion requiere O(n2) operaciones paracalcular determinadas cantidades que son independientes de cada punto de eva-luacion, los numeros wj y despues con solo O(n) operaciones podemos obtener elvalor del polinomio en cualquier punto. Aun mas, incorporar un nuevo nodo deinterpolacion conlleva

1. Dividir cada wj por xj − xn+1, coste de n+ 1 operaciones.

2. Calcular wn+1, coste tambien de n+ 1 operaciones.

Por consiguiente, la actualizacion es posible realizarla en O(n) operaciones.Las ventajas sobre el metodo de Newton residen en que:

Las cantidades que se tienen que calcular en O(n2) operaciones solo de-penden de los nodos de interpolacion y no de los datos f(xj) o yj. Estoimplica que se pueden interpolar tantas funciones como se deseen en O(n)operaciones una vez que se conocen los pesos.

No depende del orden en el que los nodos de interpolacion son dispuestos.

Es ms estable numricamente.

Por otro lado, el metodo de Newton tiene la ventaja de que desde el punto devista teorico lleva a formas elegantes de incorporar informacion con respecto alas derivadas de la funcion que se esta interpolando, entre otros aspectos.

Conclusion: Ambos son de gran interes por distintos aspectos.

Estudio del error en la interpolacion polinomial

Nos podemos plantear ahora dos preguntas:

1. Si se quiere interpolar una funcion f(x) en n + 1 nodos x0, ..., xn de unintervalo cerrado ¿como se deben escoger los nodos?

2. ¿Como de preciso se puede realizar una interpolacion polinomica en unintervalo cerrado?

La sorpresa es que la eleccion optima de los nodos de interpolacion no estomar los nodos espaciados uniformemente:



Ejemplo 10 Para la funcion de Runge

f(x) =1

1 + x2

una interpolacion polinomica uniforme pn incluyendo los puntos finales del inter-valo [−5, 5] cumple que

lımn→+∞

maxx∈[−5,5]

|pn(x)− f(x)| = +∞.

Resulta que una eleccion mucho mejor es la de las raices de los polinomios deChebyshev (de la primera clase). En [−1, 1] tomamos los n+ 1 nodos como lasraices del polinomio de Chebyshev de grado n+ 1:

xk = cos

((2 (n− k) + 1)π

2(n+ 1)

), k = 0, 1, 2, ..., n

o bien

xk = cos

((2 k + 1)π

2(n+ 1)

), k = 0, 1, 2, ..., n

segun los representemos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

Teorema del error en la interpolacion polinomica

Los nodos de Chebyshev no surgen de casualidad. El hecho de que sean ade-cuados para la interpolacion polinomica proviene de la siguiente formula de error:

Teorema 11 Sea pn(x) es el polinomio de grado al menos n que interpola lafuncion f(x) en los nodos x0, x1, ..., xn todos distintos en [a, b] y f ∈ C(n+1([a, b]).Entonces para cada x ∈ [a, b] existe ξx ∈ [mıni{xi, x},maxi{xi, x}] ⊂ [a, b] tal que

f(x)− pn(x) =f (n+1(ξx)

(n+ 1)!

n∏i=0

(x− xi). (1.11)

Observacion 11 Observemos la similitud en las expresiones del error entre eldesarrollo de Taylor de una funcion en un punto

f(x) = f(x0) +f (1(x0)

1!(x− x0) + ...+

f (n(x0)

n!(x− x0)

n +f (n+1(ξx)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

y la expresion arriba expuesta



Dem: Queremos evaluar el error r(x⋆) = f(x⋆) − pn(x⋆) para x⋆ = xi coni = 0, 1, ..., n. En el caso sencillo en el que f ∈ Pn tenemos f(x) = pn(x) paracualquier x y el error es cero. Supongamos ahora que f ∈ Pn+1 y tomemos qn+1(x)el polinomio que interpola a f(x) en los n + 2 nodos distintos x0, x1, ..., xn, x⋆.Entonces por la unicidad de la interpolacion polinomica global, como f ∈ Pn+1,se tiene que f(x) = qn+1(x) para cualquier x y de acuerdo con el metodo con-structivo de Newton tenemos que

qn+1(x) = pn(x) + cn+1(x− x0)(x− x1)...(x− xn)

donde

cn+1 = f [x0, x1, ..., xn, x⋆]

es el valor conveniente para poder satisfacer la condicion extra qn+1(x⋆) = f(x⋆).Entonces derivando n+ 1 veces, sabemos que

cn+1 = f [x0, x1, ..., xn, x⋆] =q(n+1

(n+ 1)!

donde q(n+1 es el valor constante de la derivada n + 1 de qn+1(x) ∈ Pn+1. Por lotanto, en el caso f ∈ Pn+1 (f = qn+1), tenemos que para cualquier valor x

f(x)− pn(x) = qn+1(x)− pn(x) =q(n+1

(n+ 1)!(x− x0)(x− x1)...(x− xn).

Consideremos ahora una situacion general y pongamos r(x) = f(x) − pn(x).Sabemos que r(x) se anula en los puntos x0, x1, ..., xn. Siguiendo la idea anterior,vamos a definir para un valor x⋆ = xi, i = 0, 1, ..., n

ϕ(t) = f(t)− pn(t)− λx⋆ (t− x0)(t− x1)...(t− xn)

y escogemos λx⋆ = f [x0, x1, ..., xn, x⋆] tal que ϕ(x⋆) = 0. Entonces ϕ(t) se anula enlos puntos x0, x1, ..., xn, x⋆. Si f ∈ Cn+1 y usando el Teorema de Rolle podemosgarantizar la existencia de un punto ξx⋆ tal que ϕ(n+1(ξx⋆) = 0 puesto que alderivar n+ 1 veces conseguimos que desaparezcan los polinomios en la expresionde ϕ. Por lo tanto, existe ξx⋆ ∈ [mıni{xi, x⋆},maxi{xi, x⋆}] ⊂ [a, b] tal que

λx⋆ = f [x0, x1, ..., xn, x⋆] =f (n+1(ξx⋆)

(n+ 1)!.

�



Lema 1 Se verifica que

f [x0, x1, ..., xn] =f (n(η)

n!

para algun η ∈ [mıni{xi},maxi{xi}] ⊂ [a, b].

Como consecuencia, dada una funcion,

Lo unico que nosotros podemos elegir son los nodos de interpo-lacion de la manera que se minimice w(x) = (x−x0)(x−x1)...(x−xn)en el intervalo [a, b].

Los nodos de Chebyshev en el intervalo [−1, 1] tienen la propiedad de que mini-mizan este producto siendo

|(x− x0)(x− x1)...(x− xn)| ≤ 2−n, ∀x ∈ [−1, 1].

Se puede comprobar que para cualquier otra eleccion de nodos en [−1, 1]distinta a los nodos de Chebyshev se cumple

|(x− x0)(x− x1)...(x− xn)| ≥ 2−n, ∀x ∈ [−1, 1].

Teorema 12 La mejor eleccion de los nodos interpolacion para el problema deinterpolacion en el intervalo [a, b] es la de los nodos de Chebyshev. Ademas, eneste caso, para el intervalo [−1, 1] la formula de error optima que se obtiene es

|f(x)− pn(x)| ≤1

2n(n+ 1)!max

ξ∈[−1,1]|f (n+1(ξ)|. (1.12)

Los nodos de Chebyshev se pueden reescalar para un uso general en cualquierintervalo [a, b] simplemente realizando el cambio de variable lineal de un intervaloa otro

φ(x) =b− a

2x+

a+ b

2, x ∈ [−1, 1].

En este caso toman la forma

xk =b− a

2cos

((2 k + 1)π

2(n+ 1)

)+

a+ b

2, k = 0, 1, 2, ..., n.

El reescalamiento de los nodos cambia la cota sobre w(x) en [a, b] y se obtiene

|f(x)− pn(x)| ≤(b− a)n+1

22n+1(n+ 1)!maxξ∈[a,b]

|f (n+1(ξ)|, x ∈ [a, b]. (1.13)



Interpolacion con nodos uniformes

A pesar de la superioridad de los nodos de Chebyshev, la particion uniformees muy facil de obtener y se usa con bastante frecuencia. Si tomamos xi = a+ i hcon h = (b− a)/n, i = 0, 1, 2, ..., n, entonces se cumple

|(x− x0)(x− x1)...(x− xn)| ≤hn+1n!

2, ∀x ∈ [a, b]

de donde la interpolacion con nodos uniformes nos lleva a la estimacion de error

|f(x)− pn(x)| ≤hn+1

4(n+ 1)maxξ∈[a,b]

|f (n+1(ξ)|, x ∈ [a, b]. (1.14)

El problema que aparece aquı es cuando |f (n(ξ)| crece muy rapido con n, y estopasa con la funcion de Runge: Para la funcion f(x) = (1 + α2x2)−1 se tiene que

∥f (n+1∥∞ = αn+1 (n+ 1)!.

Polinomios de Chebyschev (Tschebysheff)

Observemnos que la formula de Moivre nos dice que eiθ = cos(θ) + i sen(θ)de donde

ei n θ = cos(n θ) + i sen(n θ) = (eiθ)n = (cos(θ) + i sen(θ))n.

Como x = cos(θ) es una biyeccion de [0, π] en [−1, 1] y sen(θ) =√1− x2 ≥ 0

entoncescos(n θ) + i sen(n θ) = (x+ i

√1− x2)n

pero usando la formula del binomio de Newton

(x+ i√1− x2)n =

n∑k=0

(nk)xn−k(i

√1− x2)k

La parte real de esta expresion coincide con los exponentes k pares y por lo tantola raiz cuadrada se compensa. Por lo que tomando la parte real obtenenmos quepara x = cos(θ) tenemos que

cos(n θ) = xn − (n2)xn−2(1− x2) + (

n4)xn−4(1− x2)2 + ...

esto es, cos(nθ) es un polinomio de grado n en cos(θ).



Definicion 13 El polinomio de Chebyschev de grado n es Tn(x) = cos(n arccos(x))y viene dado por

Tn(x) = xn − (n2)xn−2(1− x2) + (

n4)xn−4(1− x2)2 + ...

Es facil comprobar que los primeros polinomios de Chebyschev son

T0(x) = 1

T1(x) = x

T2(x) = 2 x2 − 1

T0(x) = 4 x3 − 3 x

etc...

Usando las formulas trigonometricas para cos((n+1)θ) y cos((n−1)θ) en terminosde cos(nθ) y cos(θ) podemos comprobar facilmente que estos polinomios cumplenuna relacion de recurrencia

T0(x) = 1, T1(x) = x

Tn+1(x) = 2 xTn(x)− Tn−1(x), (n ≥ 1).

Por lo tanto,

Tn(x) = 2n−1xn + terminos de grado menor, n ≥ 1.

Es muy simple comprobar que

Corolario 14|Tn(x)| ≤ 1, x ∈ [−1, 1].

Corolario 15 Tn(x) solo posee n ceros simples en los puntos

xk = cos

((2 k − 1)π

2n

), k = 1, 2, ..., n

Corolario 16 Tn(x) solo posee n+ 1 puntos crıticos en [−1, 1] que son

x′k = cos

(kπ

n

)= cos

((2 k)π

2n

), k = 0, 1, 2, ..., n

y donde asume los valores alternativos (−1)k.



Si definimos

Tn(x) =1

2n−1Tn(x), n ≥ 1.

Observemos entonces que

Tn(x) = xn + terminos orden menor que n.

Finalmente, podemos comprobar que esta eleccion de ceros es la optima paraminimizar el error de la interpolacion de Lagrange

Teorema 17 Sea Pn los polinomios monicos de grado n, es decir,

Pn = {p ∈ Pn; p(x) = xn + terminos de grado menor que n}.

Entoncesmax|x|≤1

|Tn(x)| ≤ max|x|≤1

|p(x)|, ∀p ∈ Pn.

Dem: Tenemos quemax|x|≤1

|Tn(x)| = 21−n

y este maximo se alcanza en los n+1 puntos crıticos x′k de Tn(x). Supongamos que

existe p ∈ Pn tal que max|x|≤1 |p(x)| < 21−n. Entonces Qn(x) = Tn(x) − p(x) =xn + ... − (xn + ...) = c xn−1 + ... para algun c ∈ R, es decir, Qn ∈ Pn−1 peroQn /∈ Pn. Pero entonces, en los puntos x′

k se cumple que

Qn(x′k) = Tn(x

′k)− p(x′

k) = (−1)k ∗ 21−n − p(x′k).

Como |p(x′k)| < 21−n por hipotesis entonces

Qn(x′0) = 21−n − p(x′

0) > 0,

Qn(x′1) = −21−n − p(x′

1) < 0,

Qn(x′2) = 21−n − p(x′

2) > 0,

etc...

por lo que Qn(x) cambia de signo en n + 1 puntos distintos y tiene que tener nceros reales distintos. Siendo un polinomio de grado n− 1 esto es imposible. �Corolario 18 Para cualquier eleccion de numeros reales a1, a2, ..., an se tiene

max−1≤x≤1

|xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + ...+ an−1x+ an| ≥1

2n−1

y para cualquier eleccion de puntos x1, x2, .., xn en [−1, 1] se tiene

max−1≤x≤1

|(x− x1)(x− x2)...(x− xn)| ≥1

2n−1.



Podemos ahora repetir con seguridad el resultado ya visto donde usamos que paracualquier eleccion de x0, x1, ..., xn en [−1, 1]

max−1≤x≤1

|(x− x0)(x− x1)(x− x2)...(x− xn)| ≥1

2n

y que el mınimo se alcanza en los nodos de Chebyshev.

Corolario 19 La mejor eleccion de los nodos interpolacion para el problema deinterpolacion en el intervalo [−1, 1] es la de los nodos de Chebyshev. La formulade error optima que se obtiene es

|f(x)− pn(x)| ≤1

2n(n+ 1)!max

ξ∈[−1,1]|f (n+1(ξ)|. (1.15)

¿Es una buena idea aproximar funciones por poli-

nomios?

Para funciones continuas la respuesta es que sı lo es, al menos desde el puntode vista teorico y en intervalos compactos:

Teorema 20 (Teorema de Weierstrass (1885)) Si f ∈ C0([a, b]) entoncespara cada ϵ > 0 existe un polinomio pn(x) de grado n = n(ϵ, [a, b]) tal que

|f(x)− pn(x)| ≤ ϵ, ∀x ∈ [a, b]. (1.16)

Usando la norma del supremo, ∥f∥∞ = maxx |f(x)|, este teorema tambien admiteotras lecturas como son

Para cada funcion continua f y ϵ > 0 existe un polinomio pn(x) talque

∥f − pn∥∞ < ϵ.

Para cada funcion continua f y ϵ > 0 existe una sucesion de poli-nomios {pn(x)}n que converge uniformemente hacia f(x):

lımn

∥f − pn∥∞ = 0.

Definicion 21 (Polinomio de la mejor aproximacion) Dada una funcionf ∈ C0([a, b]) se define el polinomio de la mejor aproximacion a f en PN comoaquel polinomio p⋆N(f) ∈ PN tal que

∥f − p⋆N(f)∥∞,[a,b] = mın{∥f − p∥∞,[a,b], p ∈ PN}. (1.17)



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 1.2: Base natural {xj}j=1,2,..., en [0, 1]. El parecido para valores no muygrandes del exponente explican el porque son una base deficiente para usar.

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1.3: Base de Chebyshev, o polinomios ortogonales de Chebyshev, en [−1, 1].Lo distintas que son explican el porque son una base eficiente para usar.



Teorema 22 (Teorema de equioscilacion de Chebyshev) Si f ∈ C0([a, b])entonces para cada N ≥ 0 existe p⋆N(f) ∈ PN el polinomio de mejor aproximaciony es unico. Ademas, existen x0, x1, ..., xN+1, N + 2 puntos en [a, b], tales que, obien

f(xi)− p⋆N(f)(xi) = (−1)i∥f − p⋆N(f)∥∞,[a,b], ∀i = 0, 1, 2, .., N + 1,

o bien,

f(xi)− p⋆N(f)(xi) = (−1)i+1∥f − p⋆N(f)∥∞,[a,b], ∀i = 0, 1, 2, .., N + 1.

Corolario 23 Existen ξ0, ..., ξN puntos en [a, b] tal que p⋆N(f) interpola a f(x)en estos puntos: p⋆N(f)(ξi) = f(ξi) para i = 0, 1, ..., N .

Como consecuencia de esto existe una familia de polinomios de interpolacion{p⋆N(f)}N para una funcion dada f ∈ C0([a, b]) tal que lımN ∥f−p⋆N(f)∥∞,[a,b] = 0.Sin embargo, el calculo de los puntos de interpolacion de p⋆N(f) a f requiere laresolucion de problemas no lineales complicados.

Por otro lado, la eleccion del conjunto de puntos de interpolacion es esencial:

Teorema 24 Dado un sistema de nodos {a ≤ x(N)0 < x

(N)1 < ... < x

(N)N ≤ b}N en

[a, b] se puede encontrar una funcion continua f(x) de manera que los polinomiosde interpolacion para f en estos puntos no convergen uniformemente a f .

Primera aproximacion a la estabilidad

Ya hemos mencionado que algunos conjuntos de nodos de interpolacion sonmejores que otros. Dado un intervalo [a, b] y Xn = {x0, ..., xn} n + 1 nodos deinterpolacion distintos dentro de [a, b] y fijos podemos definir el operador deinterpolacion

Πn : C0([a, b]) → Pn

dado por Πnf = pn el polinomio de interpolacion de f en los nodos Xn. Esteoperador es una proyeccion lineal que coincide con la identidad cuando se restringea Pn. Es decir,

Πnq = q, ∀q ∈ Pn.

Ademas, sabemos que

Πnf(x) =n∑

i=0

f(xi)li(x)



donde las funciones li(x) son las funciones de Lagrange asociadas a los nodosx0, x1, ..., xn. Si usamos la norma del maximo en C0([a, b] entonces

∥Πnf∥ = ∥n∑

i=0

f(xi)li(x)∥ ≤ maxx∈[a,b]

n∑i=0

|li(x)|maxi

|f(xi)|

es decir,∥Πnf∥ ≤ Λn∥f∥, ∀ f ∈ C0([a, b])

donde

Λn = maxx∈[a,b]

n∑i=0

|li(x)|. (1.18)

Aquı Λn es la constante de Lebesgue asociada a los nodos Xn, se puedecomprobar que

Λn = ∥Πn∥ = supf∈C0([a,b])

∥Πnf∥∥f∥

(1.19)

y da una medida del comportamiento del problema de interpolacion global. Porejemplo, en cuanto a la estabilidad del problema de interpolacion tenemos que si

Πnf(x) =n∑

i=0

f(xi) li(x) y Πnf(x) =n∑

i=0

(f(xi) + ϵi) li(x)

con ϵ = maxi{ϵi} entonces se satisface que

Πnf(x)− Πnf(x) =n∑

i=0

ϵi li(x) ⇒ ∥Πnf − Πnf∥C0([a,b]) ≤ ϵΛn.

por lo que esta aproximacion satisface una propiedad de estabilidad depen-diente del valor de Λn.

Error de interpolacion con respecto a la mejor aproximacion

Si comparamos la funcion f(x) con su interpolante Πnf en Pn con respectoa los nodos arriba mencionados, x0, x1, ..., xn y su mejor aproximacion en normauniforme p⋆n(f) en Pn, nos podemos preguntar ¿como se comporta este errorde interpolacion con respecto al menor posible?, el que da p⋆n(f). Es claroque

∥f − Πnf∥C0([a,b]) ≤ ∥f − p⋆n(f)∥C0([a,b]) + ∥p⋆n(f)− Πnf∥C0([a,b]).



Como p⋆n(f) ∈ Pn tenemos que Πnp⋆n(f) = p⋆n(f) y entonces

∥p⋆n(f)− Πnf∥C0([a,b]) = ∥Πn(p⋆n(f)− f)∥C0([a,b]) ≤ Λn∥p⋆n(f)− f∥C0([a,b])

de donde

∥f − Πnf∥C0([a,b]) ≤ (1 + Λn)∥f − p⋆n(f)∥C0([a,b]). (1.20)

Podemos observar entonces que la constante de Lebesgue contiene toda la infor-macion relativa a la eleccion de los nodos sobre el error ∥f − Πnf∥∞,[a,b].

Teorema 25 (Erdos, 1961) Para cualquier eleccion de los nodos de interpo-lacion existe una constante C tal que

Λn >2

πlog(n+ 1)− C. (1.21)

Como consecuencia, Λn → +∞ cuando n → +∞. En particular, para una dis-tribucion uniforme

Λn ∼ 2n+1

e n log(n), n → +∞

y para una distribucion con los nodos de Chebyshev

Λn ∼ 2

πlog(n+ 1), n → +∞

que es mucho mejor que la distribucion para nodos uniformes y proximo al valoroptimo.

Lmites de la interpolacion de Lagrange

La interpolacion de Lagrange es la base de numerosas tecnicas numericas yse generaliza de forma natural a varias dimensiones. De todas formas tiene suslımites:

Teoricos: No tenemos asegurada la convergencia de manera general, puedeocurrir el fenomeno de Runge.

Polinomios de alto grado oscilan mucho: Aunque sean correctos anteel proceso de interpolacion, pueden ser altamente oscilatorios si el numerode nodos es muy alto. Esto puede ser innecesario.



Numericos: Incluso cuando tenemos la convergencia asegurada a nivelteorico, las inestabilidades en el calculo que provienen de la acumulacion delos errores de redondeo limitan el uso de esta tecnica a un numero no muygrande de nodos de interpolacion.

Practicos: En muchos casos, los valores que se dan para interpolar provienende medidas experimentales y contienen por tanto errores. Ası que el proble-ma real se traduce mas en un problema de mejor aproximacion que en unode interpolacion. Y en el caso de un problema de aproximacion es mejor usarpor ejemplo un metodo de mınimos cuadrados, que veremos mas adelante.

Derivacion usando interpolacion polinomial

Dados los valores de una funcion f(x) calculamos su polinomio de interpo-lacion global de Lagrange pn(x) y lo derivamos. Entonces esta derivada p′n(x)sera la aproximacion a la f ′(x).

Este argumento tan evidente hay que usarlo con cuidado puesto que se sabeya que el polinomio de interpolacion puede ser altamente oscilatorio si se usanmuchos nodos y estos no estan escogidos de manera adecuada.

En la practica, determinamos el polinomio de interpolacion solo con unospocos puntos. Por ejemplo, tomamos el polinomio p1(x) de grado ≤ 1 que inter-pola a f(x) en los puntos x0 y x1. Entonces

p1(x) = f(x0) + f [x0, x1](x− x0)

de donde

f ′(x) ≈ p′1(x) = f [x0, x1] =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

.

Si tomamos x0 = x y x1 = x+ h entonces obtenemos

f ′(x) ≈ f(x+ h)− f(x)

h

y si tomamos x0 = x− h y x1 = x+ h entonces obtenemos

f ′(x) ≈ f(x+ h)− f(x− h)

2h.

Ademas, si consideramos la interpolacion con respecto a tres nodos x0, x1 y x2

obtenemos que

p2(x) = f(x0) + f [x0, x1](x− x0) + f [x0, x1, x2](x− x0)(x− x1)



de donde su derivada es

p′2(x) = f [x0, x1] + f [x0, x1, x2](2x− x0 − x1).

Podemos observar aquı que tenemos dos sumandos: el primero proviene de ladiferencia dividida mientras que el segundo se puede ver como una correccion. Siusamos esta ecuacion para evaluar f ′(x) en el punto x = (x1 − x0)/2 podemosobservar que el termino de correccion no anade nada. Por lo tanto, este primertermino tiene que ser mas preciso que en otros casos puesto que el termino decorreccion no aporta nada.

El analisis de error general es el siguiente: Supongamos que pn(x) es el unicopolinomio de grado≤ n que interpola a f(x) en los puntos x0, ..., xn todos distintosen [a, b] y f ∈ C(n+1([a, b]). Entonces la formula de error nos dice que para cadax ∈ [a, b] existe ξx ∈ [mıni{xi, x},maxi{xi, x}] ⊂ [a, b] tal que

f(x)− pn(x) =f (n+1(ξx)

(n+ 1)!

n∏i=0

(x− xj).

Si derivamos esta expresion obtenemos que, para wn(x) =∏n

i=0(x−xj), tenemos

f ′(x)− p′n(x) =1

(n+ 1)!wn(x)

d

dxf (n+1(ξx) + w′

n(x)f (n+1(ξx)

(n+ 1)!.

Entonces, como wn(xi) = 0 para cada nodo xi podemos ya evaluar la derivadacomo

f ′(x) = p′n(x) + w′n(xi)

f (n+1(ξx)

(n+ 1)!.

Por ejemplo, en el caso n = 1 e i = 0 obtenemos

f ′(x0) = f [x0, x1] +f (n+1(ξ)

2(x0 − x1).

Tambien podemos observar que la ecuacion se simplifica en cualquier punto x talque w′(x) = 0. Por ejemplo, cuando n = 1 la funcion w2(x) = (x − x0)(x − x1)cumple w′

2(x) = 0 para x = (x0 + x1)/2. Entonces,

f ′((x0 + x1)/2) = f [x0, x1]−(x0 − x1)

2

8

d

dxf (2(ξ).



Interpolacion de Hermite

Nos referimos en este caso a la interpolacion de una funcion y de algunasde sus derivadas. Tambien aquı se juega con la eleccion de la base del espaciode polinomios Pm(x) donde se interpola (m el numero de restricciones) paraconseguir un proceso de calculo lo mas efectivo posible.

Ejemplo: Interpolar (xi, f(xi), f′(xi)) para i = 0, 1 nos lleva a un polinomio

que cumplap(xi) = f(xi), p′(xi) = f ′(xi), i = 0, 1

en total 4 restricciones que lleva a un polinomio de grado 3 y una forma adecuadade busqueda cuando se escribe en la forma

p3(x) = a+ b(x− x0) + c(x− x0)2 + d(x− x0)

2(x− x1)

Ejemplo: Si se piden las 3 restricciones

p(0) = 0, p(1) = 1, p′(1/2) = 2

podemos observar que no hay solucion en P2(x) y que puede haber infinitas enP3(x).

Problema global de interpolacion de Hermite

Vamos a estudiar una clase importante de problemas de interpolacion en dondehay solucion unica. Estos problemas se conocen como problemas de inter-polacion de Hermite: Siempre que se da el valor de una derivadap(j(xi) en un nodo xi se dan tambien los valores de p(j−1(xi), p

(j−2(xi),..., p(1(xi), p(xi).

Problema de interpolacion de Hermite: sobre los nodos x0, x1, ..., xn,inponemos las condiciones de interpolacion

p(x0) = y0,0, p(1(x0) = y0,1, p

(2(x0) = y0,2, ..., p(k0−1(x0) = y0,k0−1

p(x1) = y1,0, p(1(x1) = y1,1, p

(2(x1) = y1,2, ..., p(k1−1(x1) = y1,k1−1

...

p(xn) = yn,0, p(1(xn) = yn,1, p

(2(xn) = yn,2, ..., p(kn−1(xn) = yn,kn−1

tenemos entonces un numero de restricciones (los ki pueden variar en distintosnodos)

k0 + k1 + ...+ kn



por lo que se plantea la busqueda de solucion en el espacio de los polinomios degrado m, en Pm(x) siendo

m = k0 + k1 + ...+ kn − 1.

los valores ki pueden variar en distintos nodos.

Teorema 26 El problema de interpolacion de Hermite posee solucion unica.

Dem: El problema nos lleva a un sistema lineal cuadrado. Ası que la unicidad desolucion implicara la existencia. Busquemos pm(x) ∈ Pm(x) solucion de nuestroproblema. Podemos escribir pm(x) en terminos de cualquier base que nosotrosqueramos de Pm(x). Como ya hemos visto en el caso de la interpolacion de La-grange, esto nos llevara a formas mas o menos practicas de determinar los coe-ficientes del polinomio. Pero para demostrar la existencia y unicidad nos bastacon considerar la base natural de Pm(x). Entonces

pm(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ amx

m

y tenemos m+1 coeficientes a determinar con m+1 = k0+k1+ ...+kn, el numerode restricciones. Por lo que se nos va a plantear un sistema lineal cuadrado detamano m + 1. Si el problema homogeneo tiene por unica solucion el polinomiocero habremos terminado. Supongamos entonces que pm(x) ∈ Pm(x) es tal que

pm(x0) = p(1m(x0) = p(2m(x0) = ...p(k0−1m (x0) = 0

pm(x1) = p(1m(x1) = p(2m(x1) = ...p(k1−1m (x1) = 0

...

pm(xn) = p(1m(xn) = p(2m(xn) = ...p(kn−1m (xn) = 0

entonces pm(x) es divisible por el producton∏

i=0

(x − xi)ki lo que quiere decir que

tiene un grado mayor o igual a m + 1 lo que no es posible si es distinto de cero.Ası pues la solucion al problema homogeneo solo puede ser cero por lo que lasolucion a nuestro problema de interpolacion existe y es unica. �

Ejemplo 27 Si consideramos el caso en el que solo imponemos restricciones enun punto, es decir, buscamos un polinomio pm(x) tal que en un punto x0 satisfagalas condiciones

p(x0) = y0,0, p(1(x0) = y0,1, p

(2(x0) = y0,2, ..., p(k0−1(x0) = y0,k0−1



entonces tenemos k0 restricciones y buscaremos un polinomio de grado k0 − 1.Esta claro que la mejor manera de escribir el polinomio a buscar es

pm(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + ...+ am(x− x0)

m, (m = k0 − 1)

puesto que las condiciones se imponen de manera natural

pm(x0) = a0, p(1(x0) = a1, p

(2(x0) = 2! a2 p(3(x0) = 3! a3, ..., p

(m(x0) = m! am

de dondeai =

y0,ii!

, i = 0, 1, 2, ...,m = k0 − 1.

Entonces, si los datos y0,i provienen de una funcion f ∈ Cm en un entorno dex = x0 en la forma

f (i(x0) = y0,i, i = 0, 1, 2, ...,m = k0 − 1

nos encontramos con que el polinomio de interpolacion de Hermite es el polinomiode Taylor asociado a f en el punto x = x0.

Base de Hermite asociada al problema de interpolacion de Hermite

Este ejemplo nos lleva a motivar la pregunta de cual es la mejor forma deescoger una base del espacio Pm(x) para poder calcular el polinomio de Hermite.Siguiendo la idea de la base de Lagrange asociada a una particion, o soporte,∆n = {x0, x1, ..., xn} que viene dada por las funciones

li(x) =n∏

j=0, j =i

x− xj

xi − xj

, i = 0, 1, ..., n

y que satisfacen

li(xj) = δi,j =

{1 i = j,0 i = j

podemos considerar polinomiosHi,j(x) ∈ Pm(x) para i = 0, 1, .., n, j = 0, 1, .., ki−1

donde el ındice i va a ir asociado al nodo de interpolacion xi y el ındicej = ji al orden de derivacion sobre el nodo xi, entonces j depende de i de laforma j = 0, 1, 2, ..., ki−1 (con el convenio de que la derivada de orden 0 coincide

con la propia funcion, H(0i,j(x) = Hi,j(x)). Escribimos el polinomio que buscamos

en la forma

pm(x) =n∑

i=0

ki−1∑ji=0

yi,jiHi,ji(x)

=n∑

i=0

yi,0Hi,0(x) +n∑

i=0

yi,1Hi,1(x) + ....



(en el caso de interpolacion de Lagrange ki = 1, ji = 0 y Hi,0(x) = li(x) parai = 0, 1, ..., n).

De manera natural, tenemos que

pm(x) = ys,rHs,r(x) +n∑

i=0,i=s

ki−1∑ji=0,ji =r

yi,jiHi,ji(x).

Entonces el polinomio Hr,s(x) de grado m debe de cumplir el problema de inter-polacion de Hermite con datos hi,j = 0 para todo (i, j) = (s, r) y hs,r = 1. Esdecir, debe de ser, con i, s = 0, 1, 2, ..., n y j(= ji), r(= ri) = 0, 1, .., ki − 1

H(ri,j(xs) =

{1 i = s y j = r0 otro caso

Sabemos que existe solucion unica a cada uno de estos problemas y estas solu-ciones son la base de Hermite asociada al problema de interpolacionconsiderado.Ejemplo: Veamos el caso en el que nada mas que tenemos un punto de interpo-lacion x0, i = 0 y k0 − 1 = m. Entonces las funciones son H0,j(x) ∈ Pm(x) paraj = 0, 1, ...,m y vienen caracterizadas por

H(j0,j(x0) = 1, H

(r0,j(x0) = 0, si r = j.

Nos encontramos con que

H0,j(x) =1

j!(x− x0)

j, j = 0, 1, ...,m.

Base de Newton asociada al problema de interpolacion de Hermite

Una base mas manejable se puede formar de manera analoga a la base deNewton para la interpolacion de Lagrange. A diferencia con el caso de Lagrange,ahora los terminos (x− xj) hay que elevarlos a las potencias α = 1, ..., kj.

Recordemos que, en el caso de Lagrange, para interpolar en los nodos x0, x1, ..., xn,para interpolar x0 y x1 usabamos los terminos

N0(x) = 1, N1(x) = x− x0,

para interpolar x0, x1 y x2 usabamos

N0(x) = 1, N1(x) = x− x0, N2(x) = (x− x0)(x− x1)



y ası para interpolar los puntos x0, x1, ..., xj usamos los terminos

N0(x) = 1, N1(x) = x− x0, N2(x) = (x− x0)(x− x1), ..., Nj(x) =

j−1∏i=0

(x− xi).

Entonces para interpolar x0, x1, ..., xn usamos los productos

N0(x) = 1, N1(x) = x− x0, ..., Nj(x) =

j−1∏i=0

(x− xi), ..., , Nn(x) =n−1∏i=0

(x− xi)

por lo que para la interpolacion del punto nuevo xn este nuevo punto noaparece en la base de Newton y su influencia aparece exclusivamente en el coe-ficiente del ultimo termino de la base Nn(x) = (x− x0)(x− x1)...(x− xn−1).

Ademas, para llevar a cabo el analisis de error en un punto x lo que hacemoses obtener el polinomio de interpolacion que interpola en los nodos x0, x1, ..., xn, xpor lo que nos aparece un nuevo termino en la base que es

(x− x0)(x− x1)...(x− xn−1)(x− xn).

Este es el termino que aparece en el error y su coeficiente es el que lleva lainfluencia del ultimo punto considerado x.

Algo similar ocurre con la base de Newton para el polinomio de interpolacionglobal de Hermite. Veamos, para interpolar las condiciones

pm(x0) = y0,0, p′m(x0) = y0,1

usamos los terminos1, x− x0

parapm(x0) = y0,0, p′m(x0) = y0,1, p(2m(x0) = y0,2

usamos los terminos1, x− x0, (x− x0)

2

y ası sucesivamente, por lo que para interpolar todas las condiciones sobre x0 queson k0 y vienen dadas por

pm(x0) = y0,0, p′m(x0) = y0,1, ..., p(k0−1m (x0) = y0,k0−1

usamos los k0 polinomios

1, x− x0, (x− x0)2, (x− x0)

3, ..., (x− x0)k0−1.



Si ahora interpolamos las condiciones sobre x0 y la condicion sobre pm(x1) = y1,0usamos, como en el caso de Lagrange, el nodo nuevo no aparece en el termino dela base que se anade,

1, x− x0, (x− x0)2, ..., (x− x0)

k0−1, (x− x0)k0

ası podemos ver ahora que para interpolar las condiciones sobre x0 y

pm(x1) = y1,0, p′m(x1) = y1,1

usamos los terminos

1, x− x0, (x− x0)2, ..., (x− x0)

k0−1, (x− x0)k0 , (x− x0)

k0(x− x1).

Ası sucesivamente llegamos a que para interpolar

pm(x0) = y0,0, p′m(x0) = y0,1, ..., p(k0−1m (x0) = y0,k0−1

pm(x1) = y1,0, p′m(x1) = y1,1, ..., p(k1−1m (x1) = y1,k1−1

usamos la base formada por

1, x− x0, (x− x0)2, ..., (x− x0)

k0−1, (x− x0)k0 , (x− x0)

k0(x− x1),

(x− x0)k0(x− x1)

2, ..., (x− x0)k0(x− x1)

k1−1

es decir, para el nodo x1 hemos usado tambien los polinomios

1, x− x1, (x− x1)2, ..., (x− x1)

k1−1

pero multiplicados por (x− x0)k0 . Ademas, anadir una condicion sobre un nuevo

punto pm(x2) = y2,0 lleva a considerar un nuevo termino en la base que es

(x− x0)k0(x− x1)

k1 .

Esta observacion es importante a la hora de estudiar el error de interpolacion.La base completa para nuestro problema de interpolacion de Hermite es

1, x− x0, (x− x0)2, ..., (x− x0)

k0 , (x− x0)k0(x− x1),

(x− x0)k0(x− x1)

2, ..., (x− x0)k0(x− x1)

k1−1, (x− x0)k0(x− x1)

k1 ,

...,

n−1∏i=0

(x− xi)ki(x− xn),

n−1∏i=0

(x− xi)ki(x− xn)

2, ...,

n−1∏i=0


kn−1.

En total, para cada nodo xi usamos ki polinomios nuevos por lo que el numerototal de polinomios en la base es k0+k1+ ...+kn = m+1 que es la dimension del



espacio vectorial que usamos Pm(x). Nos encontramos con k0+k1+ ...+kn−1+knpolinomios, todos monicos, es decir, con coeficiente lıder 1, de grado distintocreciente y el mayor de grado k0 + k1 + ... + kn−1 + kn − 1 = m. Por lo tantoforman una base de Pm(x) y es la base de Newton asociada a la interpolacion deHermite. Se puede observar que en el caso de Lagrange, ki = 1, recuperamos labase ya vista.

Nos podemos apoyar en el siguiente resultado para demostrar que estamosdelante de una base vectorial:

Teorema 28 Cualquier familia de polinomios de Pm(x) de la forma {p0, p1, ..., pm}con grado(pi) = i exactamente y ademas p0 = 0 forma una base de Pm(x).

Se mantienen las propiedades del caso de Lagrange y el polinomio de interpolacionde Hermite se puede escribir de manera analoga como

pm(x) = c0 + c1(x− x0) + c1(x− x0)2 + ...+ ck0(x− x0)

k0

+ ck0+1(x− x0)k0(x− x1) + ....+ cm

n−1∏i=0


kn−1

Entonces cuando los datos de interpolacion provienen de una funcion derivablef(x), evaluar el error en un punto x equivale a considerar este polinomio pm(x)y el que proviene de interpolar los mismos datos y ademas este punto nuevoxn+1 = x junto con un valor kn+1 = 1, por lo que nos encontramos con que elnuevo polinomio qm+1(x) se escribe como

qm+1(x) = pm(x) + cm+1

n∏i=0

(x− xi)ki .

y es cm+1 quien recoge la dependencia del punto nuevo xn+1 = x. Entonces elerror en el punto x se expresa como

f(x)− pm(x) = qm+1(x)− pm(x) = cm+1(x)n∏

i=0

(x− xi)ki .

Cuando f ∈ Cm+1 si razonamos mediante el Teorema de Rolle de manera similara como hicimos en el caso de la interpolacion de Lagrange, usando la funcion

Φ(t) = f(t)− pm(t)− λ wm+1(t),

donde wm+1(t) =n∏

i=0

(t− xi)ki llegamos a la



Teorema 29 (Expresion del error para la interpolacion de Hermite)

f(x)− pm(x) =f (m+1(ξx)

(m+ 1)!

n∏i=0

(x− xi)ki

donde ξx ∈ [mıni{xi, x},maxi{xi, x}] y m + 1 = k0 + k1 + ... + kn−1 + kn es elnumero total de restricciones.

Ejemplo 30 (Interpolacion osculatoria de Hermite) La aplicacion practi-ca mas usual es el caso ki = 2 para todo i y tenemos entonces 2n+2 restriccionesy un polinomio de interpolacion p2n+1(x) ∈ P2n+1(x).

Dados (n + 1) nodos distintos xi, calcular un polinomio que interpole a f(x)y a su derivada f ′(x) en dichos puntos. Probar que la solucion a dicho problemapuede escribirse de la forma

p2n+1(x) =n∑

i=0

f(xi)Ai(x) +n∑

i=0

f ′(xi)Bi(x), (1.22)

donde Ai y Bi son polinomios que satisfacen las condiciones:

Ai(xj) = δij Bi(xj) = 0;A′

i(xj) = 0 B′i(xj) = δij.

Se puede comprobar que dichos polinomios pueden definirse como

Ai(x) = [1− 2(x− xi)L′i(xi)]L

2i (x) 0 ≤ i ≤ n;

Bi(x) = (x− xi)L2i (x) 0 ≤ i ≤ n,

donde los Li(x) son los polinomios cardinales de Lagrange. En este caso la esti-macion de error para una funcion f ∈ C2n+2([a, b]) es

f(x)− p2n+1(x) =f (2n+2(ξx)

(2n+ 2)!

n∏i=0

(x− xi)2 (1.23)

donde ξx ∈ [mıni{xi, x},maxi{xi, x}].



−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

240 nodos uniformes: base natural

−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

240 nodos uniformes: base Lagrange

−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

240 nodos uniformes: base Newton

−1 −0.5 0 0.5 1−5

0

5x 10

8 Elemento de la base de Lagrange

Figura 1.4: Comparacion de la funcion f(x) = |x| en [−1, 1] y su interpolante deLagrange global calculado de las tres formas distintas vistas en clase y usandonodos uniformes. Se puede observar claramente el efecto de las altas oscilaciones,el fenomeno de Runge.



−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

280 nodos uniformes: base natural

−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

280 nodos uniformes: base Lagrange

−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

280 nodos uniformes: base Newton

−1 −0.5 0 0.5 1−1

0

1x 10

20 Elemento de la base de Lagrange

Figura 1.5: Comparacion de la funcion f(x) = |x| en [−1, 1] y su interpolante deLagrange global calculado de las tres formas distintas vistas en clase y usandonodos uniformes. Se puede observar claramente el efecto de las altas oscilaciones,el fenomeno de Runge, y ademas el efecto de las inestabilidades numericas debidasa la acumulacion de errores de redondeo por el alto numero de nodos usados.



−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

240 nodos Chebyshev: base natural

−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

240 nodos Chebyshev: base de Lagrange

−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

240 nodos Chebyshev: base de Newton

−1 −0.5 0 0.5 1−1

0

1Elemento de la base de Lagrange: nodos Chebysev

Figura 1.6: Comparacion de la funcion f(x) = |x| en [−1, 1] y su interpolante deLagrange global calculado de las tres formas distintas vistas en clase y usandonodos de Chebyshev. Aquı el fenomeno de Runge no esta presente.



−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

280 nodos Chebyshev: base natural

−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

280 nodos Chebyshev: base de Lagrange

−1 −0.5 0 0.5 1−2

0

280 nodos Chebyshev: base de Newton

−1 −0.5 0 0.5 1−1

0

1Elemento de la base de Lagrange: nodos Chebysev

Figura 1.7: Comparacion de la funcion f(x) = |x| en [−1, 1] y su interpolante deLagrange global calculado de las tres formas distintas vistas en clase y usandonodos de Chebyshev. Aquı el fenomeno de Runge no esta presente pero sı queaparecen los efectos de las inestabilidades numericas debidas a la acumulacion deerrores de redondeo por el alto numero de nodos usados.



Las siguientes lıneas de codigo Matlab construyen la funcion con la que se hancreado las graficas anteriores:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% m---> numero de puntos a interpolar

% tt--> intervalo de tiempo al dibujar sucesivas

% funciones de la base de Lagrange

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function global_int(m,tt)

n=m-1;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Particion fina para representar funciones

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

np=1000;

zu=linspace(-1,1,np);

%

% Distintas funciones para interpolar

% yu---> funcion evaluada en la particion fina

%

%yu=1./(1+25*zu.^2);

%yu=zu.^2-1;

yu=abs(zu);

%yu=ones(1,np);

%

% datos a interpolar

%

x= -1:2/n:1 ;

% y---> funcion evaluada en los puntos de interpolacion

%y=1./(1+25*x.^2);

%y=x.^2-1;

y=abs(x);

%y=ones(1,m);

%

% calculo directo con la base natural

%

A=vander(x);

disp([num2str(m),’ nodos uniformes: Numero de condicion de la matriz: ’...

,sprintf(’%0.5g’,cond(A))]);

c2=inv(A)*y’;

for i=1:np

nat(i)=0;

for j=1:n+1

nat(i)=nat(i)+c2(j)*zu(i)^(n+1-j);

end

end

%

% calculo directo con la base de Lagrange

%



for i=1:np

lag(i)=0;

for j=1:n+1

lag(i)=lag(i)+y(j)*lagrange(zu(i),j,x);

end

end

%

% Calculo de las diferencias divididas

%

c=y;

for k=2:n+1

for i=n+1:-1:k

c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x(i)-x(i-k+1));

end

end

%

% calculo directo con Horner

%

for i=1:np

new(i)=c(n+1);

for j=n:-1:1

new(i)=new(i)*(zu(i)-x(j))+c(j);

end

end

figure(1);

subplot(4,1,1), plot(zu,yu,zu,nat,’r-’);

title([num2str(m),’ nodos uniformes: base natural ’]);

axis([-1 1 -2 2]);

subplot(4,1,2), plot(zu,yu,zu,lag,’g-’);

title([num2str(m),’ nodos uniformes: base Lagrange ’]);

axis([-1 1 -2 2]);

subplot(4,1,3), plot(zu,yu,zu,new,’k-’);

title([num2str(m),’ nodos uniformes: base Newton ’]);

axis([-1 1 -2 2]);

for j=1:(n+1)/2

for i=1:np

lagr(i,j)=lagrange(zu(i),j,x);

end

subplot(4,1,4),plot(zu,lagr(:,j),’-’);

% axis([-1 1 -5 5]);

%title([’Base de Lagrange: ’,num2str(m),’ nodos uniformes’]);

title([’Elemento de la base de Lagrange’]);

pause(tt);



end

hold off;

% figure(2);

% plot(zu,yu,zu,nat,’g-’);

% figure(3);

% plot(zu,yu,zu,lag,’r-’);

% figure(4);

% plot(zu,yu,zu,newh,’k-’);

% hold off;

%

% USO de los nodos de Chebyshev

%

for k=1:n+1

%

% Error de redondeo acumulados a la izquierda

%Nodos empiezan de der. a izq.

%

xche(k)=cos(pi*0.5*(2*k-1)/(n+1));

%

% Error de redondeo acumulados a la derecha

% Nodos empiezan de izq. a der.

%

%xche(k)=cos(pi*0.5*(2*n+2-(2*k-1))/(n+1));

end

%

% yche---> funcion evaluada en los nodos de Chebyshev

%

%yche=1./(1+25*xche.^2);

%yche=xche.^2-1;

yche=abs(xche);

%yche=ones(1,m);

%

% calculo directo con la base natural

%

A=vander(xche);

disp([num2str(m),’ nodos Chebyshev: Numero de condicion de la matriz: ’...

,sprintf(’%0.5g’,cond(A))]);

c2=inv(A)*yche’;

for i=1:np

natche(i)=0;

for j=1:n+1

natche(i)=natche(i)+c2(j)*zu(i)^(n+1-j);

end

end

%

% calculo directo con la base de Lagrange

%



for i=1:np

lagche(i)=0;

for j=1:n+1

lagche(i)=lagche(i)+yche(j)*lagrange(zu(i),j,xche);

end

end

%

% Calculo de las diferencias divididas

%

cche=yche;

for k=2:n+1

for i=n+1:-1:k

cche(i)=(cche(i)-cche(i-1))/(xche(i)-xche(i-k+1));

end

end

%

% calculo directo con Horner

%

for i=1:np

newche(i)=cche(n+1);

for j=n:-1:1

newche(i)=newche(i)*(zu(i)-xche(j))+cche(j);

end

end

figure(2);

subplot(4,1,1), plot(zu,yu,zu,natche,’r-’);

title([num2str(m),’ nodos Chebyshev: base natural ’]);

axis([-1 1 -2 2]);

subplot(4,1,2), plot(zu,yu,zu,lagche,’g-’);

title([num2str(m),’ nodos Chebyshev: base de Lagrange ’]);

axis([-1 1 -2 2]);

subplot(4,1,3), plot(zu,yu,zu,newche,’k-’);

title([num2str(m),’ nodos Chebyshev: base de Newton ’]);

axis([-1 1 -2 2]);

% figure(2);

% plot(zu,yu,zu,natche,’g-’);

% figure(3);

% plot(zu,yu,zu,lagche,’r-’);

% figure(4);

% plot(zu,yu,zu,newche,’k-’);

%subplot(6,1,5),plot(zu,yu,zu,newche,’k-’);

for j=1:(n+1)/2

for i=1:np

lagr(i,j)=lagrange(zu(i),j,xche);

end

subplot(4,1,4),plot(zu,lagr(:,j),’-’);

axis([-1 1 -1 1])



%title([’Base de Lagrange: ’,num2str(m),’ nodos Chebysev’]);

title([’Elemento de la base de Lagrange: nodos Chebysev ’]);

pause(tt);

end

hold off;

function [valor]=lagrange(t,i,x);

n=length(x);

valor=1;

for j=1:n

if (j~=i)

valor=valor*(t-x(j))/(x(i)-x(j));

end

end

Interpolacion polinomica a trozos

Ya hemos visto las dificultades del problema de interpolacion global de La-grange a la hora de abordar el problema de la convergencia cuando el numero depuntos a considerar crece. Facilmente se observa que con la interpolacion globalde Hermite las cotas no mejoran especialmente y las dificultades a la hora decalcular los polinomios no disminuyen sino que se incrementan.

Se puede comprobar que la interpolacion de Hermite es mas precisa que la deLagrange pero tambien requiere polinomios de grado alto y por lo tanto las oscila-ciones que aparecen tambien tienen una gran amplitud. Ası que ambos problemasvan a llevar a soluciones con grandes oscilaciones y con un requerimiento de regu-laridad en la funcion a interpolar bastante fuerte para poder obtener estimacionesde error.

Por lo tanto, ahora nos replanteamos la estrategia y consideramos una inter-polacion local en vez de global:

Queremos poder trabajar con muchos nodos de interpolacion perocon polinomios localmente de grado pequeno en subintervalos cadavez mas pequenos.

Esta es la idea detras de la interpolacion local.Dado un intervalo fijo, podemos suponer otra vez [−1, 1], y un soporte de n+1

puntos ∆n = {−1 = x0 < x1 < ... < xn = 1}. Consideramos los subintervalosIi = [xi−1, xi] y denotamos por hi = xi − xi−1 la longitud de cada subintervalo,poniendo h = maxi{hi} . Vamos a interpolar en cada uno de los Ii con polinomiosde grado bajo y hacer tender h a cero, es decir, tomar subintervalos cada vez maspequenos.



Interpolacion P0 a trozos:

Se reemplaza una curva continua por segmentos horizontales. En este caso encada subintervalo Ii = [xi−1, xi] reemplazamos f(x) por el polinomo de grado 0,p0(x), que pasa por algun punto (ξi, f(ξi)) , es decir, cumple

pi(x) = f(ξi), x ∈ [xi−1, xi].

Tenemos entonces una funcion f∆n : [−1, 1] → R tal que en cada subintervaloIi = [xi−1, xi] del soporte ∆n se tiene f∆n = cte = f(ξi) es un polinomio de grado0. La funcion f∆n no es continua.


Se reemplaza una curva continua por una poligonal, es decir, una funcion enH1(∆n) siendo

H1(∆n) = {vh ∈ C0([−1, 1]); vh|(xi−1,xi)∈ P1(x), i = 1, 2, ..., n} (1.24)

En este caso en cada subintervalo Ii = [xi−1, xi] reemplazamos f(x) por el poli-nomo de grado 1 pi(x) que pasa por los puntos (xi−1, f(xi−1)) y (xi, f(xi)), esdecir, cumple

pi(xi−1) = f(xi−1), pi(xi) = f(xi).

En cada Ii = [xi−1, xi] se tiene que f∆ es de la forma

x ∈ [xi−1, xi] ⇒ f∆(x) = ai + bi x, i = 1, 2, ..., n

si ponemos fi = f(xi) las restricciones son

fi−1 = ai + bi xi−1

fi = ai + bi xi

sistema lineal de solucion unica. Para la construccion de la solucion podemosintroducir la base de Lagrange asociada a ∆n. Definimos Li ∈ H1(∆n) talque Li(xj) = δi,j para i = 0, 1, 2, ..., n. Es decir, debe de ser, para i = 1, 2, ..., n−1

Li(x) =

x−xi−1

xi−xi−1x ∈ Ii = [xi−1, xi]

xi+1−xxi+1−xi

x ∈ Ii+1 = [xi, xi+1]

0 en otro caso

(1.25)



y en los casos particulares i = 0 e i = n tienen la expresion

L0(x) =

{ x−xi−1

xi−xi−1x ∈ I1 = [x0, x1]

0 en otro caso(1.26)

y

Ln(x) =

{ x−xn−1

xn−xn−1x ∈ In = [xn−1, xn]

0 en otro caso(1.27)

Entonces

f∆n(x) =n∑

i=0

f(xi)Li(x). (1.28)

Se puede comprobar que {L0, L1, ..., Ln} es una base del espacio vectorialH1(∆n),∥Li∥+∞,[−1,1] = 1 y que para todo x ∈ [a, b] se cumple, por la unicidad delinterpolante,

n∑i=0

Li(x) = 1,n∑

i=0

xi Li(x) = x.

Tenemos entonces una funcion f∆n : [a, b] → R tal que en cada subintervaloIi = [xi−1, xi] del soporte ∆n se tiene f∆n |Ii

es un polinomio de grado 1. En este

caso la funcion f∆n es continua.Estabilidad: Ya podemos observar un comportamiento distinto al caso de la

interpolacion global puesto que independientemente del numero de puntos con-siderado en ∆n se cumple

∥f∆n∥+∞,[a,b] ≤ ∥f∥+∞,[a,b]

puesto que si x ∈ (xi−1, xi) entonces

f∆n(x) = f(xi−1)Li−1(x)+f(xi)Li(x) ≤ max{|f(xi−1)|, |f(xi)|}n∑

i=0

Li(x) ≤ ∥f∥+∞,[a,b]

y si x = xi entoncesf∆n(xi) = f(xi) ≤ ∥f∥+∞,[a,b].

De aquı se deduce el resultado de estabilidad buscado: Si

f∆n(x) =n∑

i=0

f(xi)Li(x), y f∆n(x) =n∑

i=0

(f(xi) + ϵi)Li(x)



con ϵ = maxi{ϵi} entonces se satisface que

f∆n(x)− f∆(x) =n∑

i=0

ϵi Li(x) ⇒ ∥f∆n − f∆n∥+∞,[a,b] ≤ ϵ.

por lo que esta aproximacion satisface una propiedad de estabilidad conconstante independiente del numero de puntos usados. No como en elcaso de la interpolacion de Lagrange global.

Estimacion de error: Podemos ademas plantear una cota para el erroraplicando los resultados vistos para este tipo de problemas en cada subintervaloIi con dos puntos x0 ≡ xi−1 y x1 ≡ xi. Por lo tanto la estimacion de error sededuce de estos problemas locales cuando f ∈ C2([a, b]) es

f(x)− f∆(x) =f (2(ξx)

2!(x− xi−1)(x− xi)

donde ξx ∈ [mıni{xi, x},maxi{xi, x}]. Entonces, como x ∈ [xi−1, xi] podemostener

(x− xi−1)(x− xi) ≤h2i

4≤ h2

4y finalmente

∥f − f∆∥+∞,[a,b] =M

8h2, M = ∥f (2∥+∞,[a,b]. (1.29)


En cada subintervalo Ii = [xi−1, xi] dados (xi, f(xi), f′(xi)) para i = 0, 1, 2, ..., n

reemplazamos f(x) por el polinomo de grado 3 pi(x) que cumple

pi(xi−1) = f(xi−1), p′i(xi−1) = f ′(xi−1)

pi(xi) = f(xi), p′i(xi) = f ′(xi).

Tenemos entonces una funcion f∆n : [a, b] → R tal que en cada subintervaloIi = [xi−1, xi] de la particion ∆n se tiene f∆n es un polinomio de grado 3 y essolucion del problema de interpolacion local de Hermite

f∆n(xi−1) = f(xi−1), f ′∆n

(xi−1) = f ′(xi−1)

f∆n(xi) = f(xi), f ′∆n

(xi) = f ′(xi)

por lo que en cada nodo interior se cumple

f∆n(x−i ) = f∆n(x

+i ) f ′

∆n(x−

i ) = f ′∆n

(x+i )



entonces f∆n ∈ C1([a, b]). Aquı solo necesitamos aplicar un problema de interpo-lacion de Hermite local en cada subintervalo con dos puntos x0 ≡ xi−1 y x1 ≡ xi

y los valores k0 = k1 = 2 y por lo tanto la estimacion de error se deduce de estosproblemas locales cuando una funcion f ∈ C4([a, b]) es

f(x)− f∆n(x) =f (4(ξx)

4!(x− xi−1)

2(x− xi)2

donde ξx ∈ [mıni{xi−1, x},maxi{xi, x}]. Entonces, como x ∈ [xi−1, xi] podemostener

(x− xi−1)2(x− xi)

2 ≤ h4/16

y finalmente

∥f − f∆n∥+∞,[a,b] =M

4!16h4, M = ∥f (4∥+∞,[a,b].

Podemos decir que f∆n ∈ H3(∆n) siendo

H3(∆n) = {vh ∈ C1([a, b]); vh|(xi−1,xi)∈ P3(x), i = 1, 2, ..., n}. (1.30)

Hemos visto entonces que el proceso de interpolacion local puede ser de tipoLagrange, solo interpolamos valores nodales, o de tipo Hermite, permitimosinterpolar tambien valores en las derivadas. La diferencia reside en que con lainterpolacion de Lagrange solo podemos garantizar la continuidadmien-tras que con la de Hermite tenemos mas juego y podemos garantizar laregularidad que nos interese. Ya hemos visto en los ejemplos que para con-seguir una funcion globalmente continua, m = 0, debemos imponer datos en losextremos, dos datos, y estamos en el caso de H1(∆n). Para obtener una funcionglobalmente C1 entonces m = 1 y en cada subintervalo imponemos 4 condicionesy estamos con funciones locales en P3(x).

Funciones splines

El caso que mas nos interesa es cuando se realiza una interpolacion localcon un ojetivo global de obtener una determinada regularidad. Ademas, nor-malmente los valores de las derivadas no estan a nuestra disposicion.La historia de las funciones spline se encuentra ligada a la de los disenadores yarquitectos que frecuentemente necesitaban dibujar curvas entre puntos de de undiseno. Este proceso de ajuste se puede realizar de varias formas. Por ejemplo seusaban listones flexibles de madera, llamadas spline ya en 1891, que se ponıan



−1 −0.5 0 0.5 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Datos a interpolar y su spline not−a−knot con 5 nodos

valoressplinenodos

Figura 1.8: Interpolacion con un spline cubico not-a-knot de unos datos discretos.

entre los distintos puntos con determinados pesos que forzaban la curvatura. Lanaturaleza elastica de estas varas de madera les permitıa curvarse solo un pocomientras que pasaban por los puntos pedidos. De hecho estas varillas de maderaminimizaban la energia de tension sobre la curva al mismo tiempo que mantenıanuna curvatura global suave.

La ventaja que las funciones spline representan sobre la interpolacion globales que se minimiza siempre la oscilacion de la funcion entre dos nodos de interpo-lacion consecutivos. Esto no ocurre con la interpolacion global que frecuentementeda lugar a muy amplias oscilaciones entre nodos consecutivos.

Las siguientes lıneas de codigo Matlab construyen la interpolacion con unspline cubico not-a-knot de datos discretos y que origina la Figura 1.5.

x=[-1:0.5:1];

y=[0 1 -1 0 0];

m=length(x);

ceros=zeros(m,1);

xx=[-1:0.01:1];

yy=spline(x,y,xx);

plot(x,y,’o’,xx,yy,’-’,x,ceros,’*’);

legend(’valores’,’spline’,’nodos’);

title([’Datos y el spline not-a-knot con ’,sprintf(’%0.5g’,m),’ nodos’])



Definicion de funcion spline:Dado un soporte ∆n = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}, consideramos los subinter-valos Ii = [xi−1, xi], denotamos por hi = xi−xi−1 la longitud de cada subinterva-lo, poniendo h = maxi{hi} y consideramos una coleccion de valores a interpolar{yi}i=0,1,2,...,n. Diremos que vh : [a, b] → R es una funcion spline de grado m queinterpola los valores {yi}i=0,1,2,...,n en los nodos {xi}i=0,1,2,...,n si se cumple quev ∈ Wm(∆n) donde

Wm(∆n) = {vh ∈ Cm−1([a, b]); vh|Ii ∈ Pm(x), i = 1, 2, ..., n} (1.31)

y ademas vh(xi)h = yi para i = 0, 1, 2, ..., n.

Observacion 12 Para un intervalo cerrado cualquiera I = [c, d] denotemos por

Pm(I) = {q : R → R; q|I ∈ Pm, q(x) = 0 ∀x /∈ I}.

Wm(∆n) es un espacio vectorial y Wm(∆n) = ∅ ya que Pm([a, b]) ⊂ Wm(∆n).Como dim(Pm([a, b])) = m+1 y dim

⊕ni=1 Pm(Ii) = n (m+1) siendo Wm(∆n) ⊂⊕n

i=1 Pm(Ii) tenemos que

m+ 1 ≤ dim(Wm(∆n)) ≤ n (m+ 1)

Pero ademas, vamos a ver que

dim(Wm(∆n)) = n+m. (1.32)

En cada subintervalo la funcion es un polinomio de grado m, por lo que ten-drıamos n (m + 1) parametros y una dimension n (m + 1) si no existiesen res-tricciones. Pero las restricciones de continuidad de clase Cm−1 que se deben deimponer en cada nodo interior, xi para i = 1, ..., n − 1 obligan a ligar estosparametros y el numero total de restricciones es m (n − 1), a saber: n − 1 danla continuidad de la funcion, n − 1 dan la continuidad de la primera derivada,n − 1 dan la continuidad de la segunda derivada, etc... Por lo tanto, tenemosn (m + 1) − m (n − 1) = n + m grados de libertad que podemos fijar para cadaelemento de Wm(∆n).

Observacion 13 De la observacion anterior se deduce que el numero de restric-ciones impuestas en el problema de interpolacion, s(xi) = yi para i = 0, 1, 2, ..., nno es suficiente para determinar el interpolante, puesto que solo suponen n + 1restricciones. Se deben de adjuntar m − 1 condiciones adicionales queidentifican el tipo de spline de grado m con el que se quiere trabajar.



Los splines mas usados en la practica son los correspondientes am = 1, 2, 3. Comoya hemos visto, el caso m = 1 coincide con la interpolacion local por problemas deLagrange con solo dos puntos por subintervalo, es decir, con la aproximacion poruna poligonal. El caso m = 2 se denomina spline cuadratico y el caso m = 3es el spline cubico. De entre estos el mas aplicado en la practica y con mejorespropiedades resulta ser el spline cubico.

Splines cubicos: suavidad optima (curvatura mınima)

Vamos a medir la suavidad de una curva con la segunda derivada. Tene-mos dos motivaciones para hacerlo: Primero, la segunda derivada mide lo rapidoque cambia la primera derivada que, intuitivamente, se puede interpretar comolo rapido que la curva cambia de direccion. Segundo, la curvatura de una curvay = s(x) viene dada por

s′′(x)

(1 + s′(x)2)3/2

y esta acotada superiormente por |s′′(x)|. Entonces vamos a ver que de entre todaslas funciones de clase C2([a, b]) que pasan por los puntos (xi, f(xi)) determinadostipos de splines cubicos son las funciones con menor norma L2(a, b) de su derivadasegunda:

Buscamos una funcion s : [a, b] → R tal que

s ∈ W 3(∆n) = {v ∈ C2([a, b]); v|Ii ∈ P3(x), i = 1, 2, ..., n}

y la asociamos a los datos de interpolacion

s(xi) = yi, i = 0, 1, 2, ..., n

donde normalmente sera yi = f(xi) para alguna funcion y = f(x).

Como dim(W 3(∆n)) = n+3 el problema de interpolacion no queda determinadoimponiendo solo las n + 1 condiciones de interpolacion, s(xi) = yi. Necesitamos2 condiciones adicionales a fijar.

Tipos mas usuales de splines cubicos

Varios tipos de splines cubicos son usados en la practica dependiendo de lascondiciones que se planteen en los extremos del intervalo:



spline cubico periodico: tiene como condicion

s′(a) = s′(b), s′′(a) = s′′(b).

El espacio vectorial

W 3P (∆n) = {sh ∈ W 3(∆n); s′(a) = s′(b), s′′(a) = s′′(b)} (1.33)

tiene dimension n+ 1.

spline cubico natural: tiene como condicion

s′′(a) = s′′(b) = 0.


W 3N(∆n) = {sh ∈ W 3(∆n); s′′(a) = s′′(b) = 0} (1.34)


spline cubico sujeto: tiene como condicion

s′(a) = α, s′(b) = β.


W 3S(∆n) = {s ∈ W 3(∆n); s′(a) = s′(b) = 0} (1.35)


spline cubico sin dos nodos que tiene como condicion la continuidadC3 en los nodos x1 y xn−1 (spline usado por MATLAB). La idea es simple,usamos un polinomio cubico en los dos primeros intervalos [x0, x2] y en losdos ultimos [xn−2, xn]. De esta forma los nodos x1 y xn−1 no son nodos deinterpolacion. De ahı proviene el nombre en ingles de not-a-knot, puestoque cada nodo de interpolacion se le llama tambien nudo, knot, y se lequita uno de cada extremo. El espacio vectorial lineal

W 3K(∆n) = {s ∈ W 3(∆n); s ∈ C3([x0, x2]), s ∈ C3([xn−1, xn])} (1.36)


Ahora, el spline cubico de interpolacion en estos subespacios de W 3(∆n) SI quedadeterminado unicamente por las n+ 1 condiciones de interpolacion.



Propiedades de los splines cubicos: minimizacion de la cur-vatura

Teorema: Sea ∆n = {a = x0 < x1 < ... < xn = b} y s el spline cubicoasociado a f ∈ C2([a, b]) con el soporte ∆n, es decir, s(xi) = f(xi) para i =0, 1, 2, ..., n. En los casos del spline cubico natural y sujeto se cumple que∫ b

a

(f ′′(x)− s′′(x))2 dx =

∫ b

a

f ′′(x)2 dx−∫ b

a

s′′(x)2 dx. (1.37)

Por lo que ∫ b

a

s′′(x)2 dx ≤∫ b

a

f ′′(x)2 dx (1.38)

y ademas ∫ b

a

(f ′′(x)− s′′(x))2 dx ≤∫ b

a

f ′′(x)2 dx. (1.39)

Dem: Denotemos e(x) = f(x)− s(x). Ademas de tener s(xi) = f(xi) con lo quee(xi) = 0, en el caso del spline natural tambien se cumple s′′(a) = s′′(b) = 0 y enel caso del spline sujeto se tiene s′(a) = f ′(a) y s′(b) = f ′(b) de donde en amboscasos e′(a) = e′(b) = 0. Entonces∫ b

a

f ′′(x)2 dx =

∫ b

a

(e′′(x) + s′′(x))2 dx

=

∫ b

a

e′′(x)2 dx+

∫ b

a

s′′(x)2 dx+ 2

∫ b

a

e′′(x)s′′(x) dx

Vamos a comprobar que∫ b

ae′′(x)s′′(x) dx = 0. Una integracion por partes nos

dice que∫ b

a

e′′(x)s′′(x) dx =n∑

i=1

∫ xi

xi−1

e′′(x)s′′(x) dx

=n∑

i=1

([e′(x)s′′(x)]xixi−1

−∫ xi

xi−1

e′(x)s′′′(x) dx)

= e′(xn)s′′(xn)− e′(x0)s

′′(x0)−n∑

i=1

s′′′|Ii

∫ xi

xi−1

e′(x) dx.



Aquı hemos usado la continuidad de la funcion e′(x)s′′(x) en [a, b] y tambien ques′′′|

Iies una constante en cada uno de los subintervalos Ii .

Entonces, en el caso de los splines naturales se tiene s′′(xn = b) = s′′(x0 = a) =0 y en el caso del spline sujeto se cumple s′(x0 = a) = f ′(a) y s′(xn = b) = f ′(b).Por lo tanto, tenemos que e′(xn)s

′′(xn) = e′(x0)s′′(x0) = 0 y∫ xi

xi−1

e′(x) dx = e(xi)− e(xi−1) = 0, i = 0, ..., n

puesto que e(xi) = f(xi)− s(xi) = 0. Ası pues llegamos a que

∫ b

a

e′′(x)s′′(x) dx = 0

y entonces ∫ b

a

(f ′′(x)− s′′(x))2 dx =

∫ b

a

f ′′(x)2 dx−∫ b

a

s′′(x)2 dx.

�Como podemos repetir este analisis con cualquier funcion v ∈ C2([a, b]) que pasepor los puntos (xi, f(xi)), es decir, v(xi) = f(xi), se tiene la desigualdad

Corolario 31 Para cualquier funcion v ∈ C2([a, b]) que pase por los puntos(xi, f(xi)), es decir, v(xi) = f(xi), se cumple

∫ b

a

s′′(x)2 dx ≤∫ b

a

v′′(x)2 dx

en los casos del spline cubico interpolante natural y sujeto.

Corolario 32 La existencia y unicidad del spline cubico interpolante nat-ural y sujeto se sigue del resultado anterior.

Corolario 33 De entre todas las funciones de clase C2([a, b]) que pasan por lospuntos (xi, f(xi)) los splines cubicos naturales y sujetos son las funciones conmenor norma L2(a, b) de su derivada segunda.



Estimacion del error para splines cubicos

Gracias a que para el spline cubico natural y sujeto se cumple∫ b

a

(f ′′(x)− s′′h(x))2 dx =

∫ b

a

f ′′(x)2 dx−∫ b

a

s′′h(x)2 dx

entonces tenemos que∫ b

a

(f ′′(x)− s′′h(x))2 dx ≤

∫ b

a

f ′′(x)2 dx. (1.40)

Esto nos va a poder ofrecer una estimacion de error de manera facil como sigue:

Teorema 34 Sea ∆n = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}, h = maxi=1,2,...,n

(xi − xi−1)

y sh(x) el spline cubico natural o sujeto asociado a f ∈ C2([a, b]) con el soporte∆n. Entonces

∥f − sh∥2,[a,b] ≤ h2 ∥f ′′∥2,[a,b], ∥f ′ − s′h∥2,[a,b] ≤ h ∥f ′′∥2,[a,b] (1.41)

Dem: Usamos el Teorema de Rolle, junto con la regla de Barrow y la desigualdadde Cauchy-Schwarz.

Sea eh(x) = f(x) − sh(x). Como eh ∈ C2([a, b]) y eh(xi) = 0 para i =0, 1, 2, ..., n entonces por el Teorema de Rolle existen ξi ∈ (xi−1, xi) tales quee′h(ξi) = 0. Ahora bien, para x ∈ Ii = [xi−1, xi]

e′h(x) =

∫ x

ξi

e′′h(t) dt

nos puede llevar a dos acotaciones distintas, a saber:

e′h(x) =

∫ x

ξi

e′′h(t) dt ≤ ∥e′′h∥2,Ii|x− ξi|1/2 ≤ h1/2 ∥e′′h∥2,Ii ,

o bien

e′h(x) =

∫ x

ξi

e′′h(t) dt ≤ ∥e′′h∥+∞,Ii|x− ξi| ≤ h ∥e′′h∥+∞,Ii .

Podriamos trabajar con cualquiera de las dos. Pero tenemos informacion relativaa la cantidad ∥e′′h∥2,[a,b] por lo que seguiremos esta acotacion.Tenemos que ∫ xi

xi−1

e′h(x)2 dx ≤ h∥e′′h∥22,Ii

∫ xi

xi−1

dx ≤ h2∥e′′h∥22,Ii



de donde sumando en i obtenemos que

∥f ′ − s′h∥2,[a,b] ≤ h ∥e′′h∥2,[a,b].

Hasta aquı el analisis realizado es general. Es decir, no hemos usado las propiedadesdeducidas en el resultado anterior. Exclusivamente el hecho de que existen cerospara la funcion eh(x) y que aplicamos el Teorema de Rolle y la regla de Barrow.Si ahora usamos la propiedad (1.40) vista anteriormente de los splinescubicos, obtenemos que

∥f ′ − s′h∥2,[a,b] ≤ h ∥f ′′∥2,[a,b].

Usando ahora que eh(xi) = 0 tenemos que para todo x ∈ Ii = [xi−1, xi]

eh(x) =

∫ x

ξi

e′h(t) dt ≤ ∥e′h∥2,Ii|x− xi−1|1/2 ≤ h1/2 ∥e′h∥2,Ii

ası que razonando como antes llegamos a

∥f − sh∥2,[a,b] ≤ h ∥e′h∥2,[a,b] ≤ h2 ∥e′′h∥2,[a,b] ≤ h2 ∥f ′′∥2,[a,b].

�Podemos tambien presentar las estimaciones en la norma del supremo.

Corolario 35 En las condiciones del resultado anterior se tiene

∥f − sh∥+∞,[a,b] ≤ h3/2 ∥f ′′∥2,[a,b], ∥f ′ − s′h∥+∞,[a,b] ≤ h1/2 ∥f ′′∥2,[a,b]. (1.42)

Dem: Para x ∈ Ii = [xi−1, xi] usamos la desigualdad

e′h(x) =

∫ x

ξi

e′′h(t) dt ≤ ∥e′′h∥2,Ii|x− ξi|1/2 ≤ h1/2 ∥e′′h∥2,Ii

y tomando el maximo llegamos a

∥f ′ − s′h∥+∞,[a,b] ≤ h1/2 ∥f ′′∥2,[a,b]

luego, tomamos para x ∈ Ii = [xi−1, xi]

eh(x) =

∫ x

xi−1

e′h(t) dt ≤ ∥e′h∥2,Ii|x− xi−1|1/2 ≤ h1/2 ∥e′h∥2,Ii .

Tomando el maximo llegamos a

∥f − sh∥+∞,[a,b] ≤ h3/2 ∥f ′′∥2,[a,b]

�



Calculo efectivo, existencia y unicidad de los splines cubicos

Si buscamos nuestra solucion en el espacio⊕n

i=1 P3(Ii) nos encontramos conque en cada subintervalo tenemos 4 parametros a fijar, que nos da un total de 4nparametros. Los requerimientos de interpolacion y de regularidad nos imponenvarias restricciones. Veamos:

Tenemos 2n condiciones de interpolacion

s|Ii (xi−1) = yi−1, s|Ii (xi) = yi, i = 1, 2, ..., n

que ya de por sı garantizan la continuidad de s en [a, b].

Al exigir la continuidad de s′ en los nodos interiores se plantean las n − 1condiciones de continuidad

s′|Ii (xi) = s′|Ii+1(xi), i = 1, 2, ..., n− 1

Al exigir la continuidad de s′′ en los nodos interiores se plantean las n− 1condiciones de continuidad

s′′|Ii (xi) = s′′|Ii+1(xi), i = 1, 2, ..., n− 1.

En total tenemos 2n+n−1+n−1 = 4n−2 condiciones y 4n parametros. Por loque tenemos dos grados de libertad que podemos fijar, por ejemplo, imponiendocondiciones sobre los extremos del intervalo:

s′′h(a) = s′′h(b) = 0, condiciones que se conocen como de frontera libre (splinecubico natural).

s′h(a) = α, s′h(b) = β, condiciones que se conocen como de frontera sujeta(spline cubico sujeto).

Por lo tanto, podemos llegar a un sistema lineal 4n× 4n que si se puede resolverde forma unica nos da la solucion buscada a nuestro problema dentro del espacio⊕n

i=1 P3(Ii).Pero nosotros vamos a buscar la solucion directamente en alguno de los sub-

espacios de W 3(∆n) que ya hemos visto. En estos subespacios solo necesitamosimponer las n+ 1 condiciones de interpolacion.

Existen dos tecnicas:



Calculo mediante las pendientes: En cada subintervalo el spline cubicoadmite una representacion como resultado de una interpolacion de Hermite.Se plantean como incognitas las pendientes en cada uno de los nodos. Ten-dremos n+ 1 pendientes, una en cada nodo xi. Esta aproximacion esta es-pecialmente indicada si se quiere calcular un spline sujeto, donde hayque imponer ademas los valores de la derivada en los extremos. Por lo tan-to, usaremos esta tecnica si queremos obtener nuestro interpolante en elespacio W 3

S(∆n).

Calculo mediante los momentos: Como la segunda derivada de nuestrospline cubico tiene que ser una poligonal a trozos continua, si fijamos losvalores en los puntos de conexion tendremos garantizada la continuidadde esta segunda derivada. Tendremos n + 1 valores zi = s′′h(xi), uno encada nodo xi. Esta aproximacion esta especialmente indicada si se quierecalcular un spline natural, donde hay que imponer ademas los valoresde la segunda derivada en los extremos, normalmente cero. Por lo tanto,usaremos esta tecnica si queremos obtener nuestro interpolante en el espacioW 3

N(∆n).

Vamos entonces a obtener un sistema lineal estrictamente diagonal dominante,por lo que hay solucion unica. Veamos como funciona el metodo de los mo-mentos. En este caso fijaremos las condiciones de interpolacion y las segundasderivadas en los extremos:

Nuestras incognitas son los n+ 1 valores z0, z1, ..., zn tales que

zi = s′′h(xi), i = 0, 1, 2, ..., n.

Veamos como tiene que ser sh a partir de estos valores para cumplir nuestrosrequisitos:

La expresion para s′′h(x) en cada Ii para i = 1, 2, ..., n se puede escribir como

x ∈ Ii = [xi−1, xi] ⇒ s′′h(x) = −zi−1x− xi

hi

+ zix− xi−1

hi

, hi = xi − xi−1

en donde s′′h(xi−1) = zi−1 y s′′h(xi) = zi y la continuidad de la segunda deriva-da en los nodos interiores esta garantizada.

Integrando ahora con respecto x tenemos que para x ∈ Ii = [xi−1, xi]

s′h(x) = −zi−1(x− xi)

2

2hi

+ zi(x− xi−1)

2

2hi

+ ci

y tambien

sh(x) = −zi−1(x− xi)

3

6hi

+ zi(x− xi−1)

3

6hi

+ ci x+ di



pero vamos a reescribir ci x+ di como ci(xi − x) + di(x− xi−1) que va a ser unamanera mas conveniente. Ası que para x ∈ Ii = [xi−1, xi]


3

6hi

+ zi(x− xi−1)

3

6hi

+ ci(xi − x) + di(x− xi−1).

Calculemos los valores ci y di. Las condiciones de interpolacion

sh|Ii (xi−1) = yi−1, sh|Ii (xi) = yi, i = 1, 2, ..., n

se tienen que cumplir. Entonces, tenemos que

sh|Ii (xi−1) = yi−1 ⇒ zi−1h2i

6+ ci hi = yi−1 i = 1, 2, ..., n

y tambien

sh|Ii (xi) = yi ⇒ zih2i

6+ di hi = yi i = 1, 2, ..., n.

Entonces ci y di se pueden expresar en funcion de zi y zi−1 como

ci =yi−1

hi

− zi−1hi

6, di =

yihi

− zihi

6, i = 1, 2, ..., n

y la expresion completa de sh en terminos de los coeficientes zi viene dada parax ∈ Ii = [xi−1, xi]


3

6hi

+ zi(x− xi−1)

3

6hi

+ {yi−1

hi

− zi−1hi

6}(xi − x)

+{ yihi

− zihi

6}(x− xi−1)

es decir,

sh(x) = ai (x− xi)3 + bi(x− xi−1)

3 + ci(xi − x) + di(x− xi−1)

siendo

ai =−zi−1

6hi

, bi =zi6hi

, ci =yi−1

hi

− zi−1hi

6, di =

yihi

− zihi

6.

Tambien se puede reescribir como

sh(x) = −zi−1{(x− xi)

3

6hi

+hi

6(xi − x)}+ zi{

(x− xi−1)3

6hi

− hi

6(x− xi−1)}

+yi−1

hi

(xi − x) +yihi

(x− xi−1).



Solo necesitamos ahora verificar las condiciones de continuidad en la derivadaprimera. Para x ∈ Ii = [xi−1, xi]

s′h(x)|Ii = −zi−1{(x− xi)

2

2hi

− hi

6}+ zi{

(x− xi−1)2

2hi

− hi

6} − yi−1

hi

+yihi

.

entonces s′h(xi)|Ii vale

s′h(xi) = zihi

3+ zi−1

hi

6+

yi − yi−1

hi

y para x ∈ Ii+1 = [xi, xi+1],

s′h(x)|Ii+1= −zi{

(x− xi+1)2

2hi+1

− hi+1

6}+ zi+1{

(x− xi)2

2hi+1

− hi+1

6} − yi

hi+1

+yi+1

hi+1

.

por lo que s′h(xi)|Ii+1vale

s′h(xi)|Ii+1= −zi

hi+1

3− zi+1

hi+1

6+

yi+1 − yihi+1

entonces imponer la igualdad entre ambas para i = 1, 2, ..., n − 1 origina laecuacion para i = 1, 2, ..., n− 1

zi+1hi+1

6+ zi{

hi

3+

hi+1

3}+ zi−1

hi

6=

yi+1 − yihi+1

− yi − yi−1

hi

.

Si definimos

bi = 6 {yi+1 − yihi+1

− yi − yi−1

hi

}

tenemos que para i = 1, 2, ..., n− 1

zi+1hi+1 + zi 2{hi + hi+1}+ zi−1hi = bi.

Observemos que para i = 1 e i = n− 1 intervienen en las ecuaciones z0 y zn y sifijamos estos valores, por ejemplo, z0 = 0 y zn = 0 caso del spline natural, entoncesobtenemos un sistema en terminos de las incognitas z1, z2, .., zn−1. Finalmenteobtenemos para i = 1 la ecuacion

2{h1 + h2} z1 + h2 z2 = b1 − h1 z0

para i = 2, ..., n− 2

hizi−1 + 2{hi + hi+1} zi + hi+1zi+1 = bi



y para i = n− 1

hn−1 zn−2 + 2{hn−1 + hn} zn−1 = bn−1 − hnzn.

Si definimosui = 2{hi + hi+1}, i = 1, 2, ..., n− 1

tenemos un sistema lineal para las incognitas z1, z2, ..., zn con matriz tridiagonalsimetrica dada por

A =

u1 h2 0 0 . . . 0

h2 u2 h3 0 . . ....

0 h3 u3 h4. . .

......

. . . . . . . . . . . . 0...

... 0 hn−2 un−2 hn−1

0 0 0 0 hn−1 un−1

.

En el caso de una particion uniforme, hi = h y entonces

A = h

4 1 0 0 . . . 0

1 4 1 0 . . ....

0 1 4 1. . .

......

. . . . . . . . . . . . 0...

... 0 1 4 10 0 0 0 1 4

.

Resulta que esta matriz tridiagonal es diagonal dominante por filas con loque su determinante es distinto de cero y hay solucion unica una vez fijadosz0 y zn. Ademas se puede realizar la resolucion del sistema lineal mediante lafactorizacion LU sin necesidad de pivotar.

En el caso en el que se fijan los valores de las derivadas del spline se puederealizar un desarrollo similar mediante las pendientes. Hemos demostrado

Teorema 36 El problema de interpolacion sobre el espacio de splines cubicosnaturales, W 3

N(∆n), o sujetos, W 3S(∆n), posee solucion unica que viene dada por

la solucion de un sistema lineal como el expuesto anteriormente.


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