Capitulo 01 - Mineracao - Razoes Trigonometricas No Triangulo Retangulo

8/16/2019 Capitulo 01 - Mineracao - Razoes Trigonometricas No Triangulo Retangulo

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IFRN Campus Natal Central

Professor Leonardo Andrade 1

Nome: ______________________________ Nº ____

Curso: Mineração Integrado

Disciplina: Matemática I

1°Ano Prof. Leonardo Data:__ /__ /2016

Matemática I – Trigonometria no Triângulo Retângulo

1.1 - Introdução

O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde

os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos

ângulos internos.

Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:

Equilátero: possui os lados com medidas iguais.

Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.

Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:

Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90°.

Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90°.

Retângulo: possui um ângulo com medida de 90°, chamado ângulo reto.

No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o

seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa” . Essa relação é muito importantena geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.

1.2 - Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Em nosso caso, a hipotenusaé o lado ̅ .Os outros dois lados são chamados de catetos. O cateto ̅ é adjacente ao ângulo e oposto ao ângulo. O cateto ̅ é adjacente ao ângulo e oposto ao ângulo .

Podemos estabelecer as seguintes razões trigonométricas entre a hipotenusa e os catetos:

SENO: Razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. No triângulo ABC, temos:

= =


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COSSENO: Razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa. No triângulo ABC,temos:

= =

TANGENTE: Razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo. No triânguloABC, temos:

= = Observação:

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é 180°. No triângulo retângulo temos:

° + + = ° ⇒ + = °

Dizemos então que e são ângulos complementares, pois, somados, totalizam 90°.Note que: = =

=

=

Ou seja,

= e = Assim, podemos concluir que o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento.

1.3 - Ângulos notáveisOs ângulos 30°, 45° e 60° são chamados notáveis por aparecerem frequentemente em cálculos. Vamos

determinar o seno, cosseno e tangente de cada um deles. Para isso, vamos considerar o triângulo equilátero ABC dafigura abaixo:

Podemos destacar algumas relações:

Cada lado do triângulo mede ℓ.

AD é a bissetriz de BÂC . AD é a mediana de BC , dividindo BC em duas partes iguais de tamanho

ℓ em D.

A altura h pode ser escrita em função dos lados ℓ, da seguinte forma:ℓ = ℎ + (ℓ2)

ℎ = ℓ − ℓ

4 ℎ = 3ℓ

4

ℎ = ℓ√ 32

http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S96s8cBk9jI/AAAAAAAAHcw/oRGrHBPbzBg/s1600-h/Figura1[5].jpg


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1.3.1 - Determinação do seno, cosseno e tangente de 30° e 60°

O seno de um ângulo é definido como a razão do cateto oposto a este ângulo pela hipotenusa do triângulo:

= ℎ

30° =

ℓ

2ℓ = ℓ2 .

1ℓ =

12

60° = ℎℓ =ℓ√ 3

2ℓ =

ℓ√ 32 .

1ℓ =

√ 32

O cosseno de um ângulo é definido pela razão entre o cateto adjacente a este ângulo pela hipotenusa dotriângulo:

= ℎ

30° = ℎℓ =

ℓ√ 3

2ℓ = ℓ√ 3

2 .1ℓ =

√ 32

60° =ℓ2ℓ =

ℓ2 .

1ℓ =

12

A tangente de um ângulo é definida pela razão entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este ângulo:

=

30° =ℓ2ℎ =

ℓ2ℓ√ 32

= ℓ2 . 2ℓ√ 3 = 1√ 3 = √ 32

60° = ℎℓ2

=ℓ√ 3

2ℓ2

= ℓ√ 32 .2ℓ = √ 3

1.3.2 - Determinação do seno, cosseno e tangente de 45°

Para calcularmos o seno, cosseno e tangente de 45°, vamos considerar o quadrado mostrado na figura abaixo:

A diagonal d forma com os lados ℓ um ângulo de 45° e podemos escrever a diagonal d em função dos lados ℓ: = ℓ + ℓ

= 2ℓ = ℓ√ 2

http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S96tGODuvkI/AAAAAAAAHeg/0_Za-jzebp0/s1600-h/Figura2[5].jpg


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45° = ℓ = ℓℓ√ 2 =

1√ 2 =

√ 22

45° = ℓ = ℓℓ√ 2 =

1√ 2 =

√ 22

45° = ℓℓ = 1 Vamos, agora, construir uma tabela com os ângulos notáveis:

30 ° 45° 60°

SENO

√

√

COSSENO√

√

TANGENTE √ 1 √

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exemplo 1

Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e = .

Resolução:

= 10 ⇒ 35 =

10 ⇒ 5. = 30 ⇒ = 6

10

= 6

+

⇒ 100 = 36 +

⇒

= 64 ⇒ = ±8 ⇒ = 8

í = 10+ 6+ 8 = 24


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Exemplo 2Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado.

Resolução:

60° = ℎ10 ⇒ √

= ℎ10 ⇒ 2ℎ = 10√ ⇒ ℎ = 5√

Exemplo 3Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qualé o comprimento da escada em metros?

Resolução:

60° = 4 ⇒ =

4 ⇒ = 8


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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

NÍVEL I

01. (Uemg 2016) Observe a figura:

Tendo como vista lateral da escada com 6 degraus, um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa √ 10 metros, Magaliobserva que todos os degraus da escada têm a mesma altura. A medida em cm de cada degrau, correspondeaproximadamente a:

a) 37.b) 60.c) 75.d) 83.

02. (Unifor 2014) Sobre uma rampa de 3m de comprimento e inclinação de 30° com a horizontal, devem-se construirdegraus de altura 30cm.

Quantos degraus devem ser construídos?a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

03. (Espcex (Aman) 2014) Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde serárealizado um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintesprocedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincouno chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9m de B, fixou um aparelho de medir ângulo

(teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de 60° para o ângulo .Qual foi alargura do rio que ele encontrou?

a) 9√ 3 m.b) 3√ 3 m.c)

√ m.

d) √ 3 m.e) 4,5m.


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04. (G1 - ifce 2014) Uma rampa faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que subiu 20 metros dessarampa se encontra a altura de ___ do solo.a) 6 metros.b) 7 metros.c) 8 metros.d) 9 metros.e) 10 metros.

05. (G1 - cftmg 2012) Um triângulo ABC, retângulo em possui o ângulo interno maior que o ângulo interno ̂ .Deacordo com esses dados, é correto afirmar que

a) ̂ < . b) ̂ < ̂.c) < . d) ̂ < ̂.

06. (G1 - ifal 2012) Considere um triângulo retângulo, cujas medidas dos catetos são 10 cm e 10√ 3 . Assinale aalternativa errada.Dados: sen 30° = 0,5, cos 45° = 0,707 e sen 60° = 0,866.

a) O seno do menor ângulo agudo é 0,707.b) O cosseno do menor ângulo agudo é 0,866.c) O seno do menor ângulo agudo é 0,5.d) O maior ângulo agudo desse triângulo mede 60°.e) O menor ângulo agudo desse triângulo mede 30°.

GABARITO

01 A 04 E

02 B 05 B

03 A 06 A

NÍVEL II

01. (G1 - ifsp 2016) Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede que forma um ângulode 90° com o chão. Sabendo que o ângulo entre a escada e a parede é de 30°, é correto afirmar que o comprimentoda escada corresponde, da distância x do “pé da escada” até a parede em que ela está apoiada, a:a) 145%.b) 200%.c) 155%.d) 147,5%.e) 152,5%.

02. (G1 - cps 2016) Um terreno inclinado traz dificuldades para a construção civil, para a agricultura e para umcaminhante aventureiro. Seja a medida do angulo que a superfície do terreno faz com o plano horizontal, conformea figura.

A taxa de declividade, ou apenas declividade, de um terreno é a tangente desse angulo . A declividade de um terrenoé, normalmente, expressa em porcentagem, por exemplo, se = 0,23, então, a taxa de declividade é 23%. Um


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excursionista sobe uma montanha que tem declividade de 50%. Considere que, do ponto que o excursionista partiuaté o topo da montanha, o desnível vencido foi de 1000 metros. Nessas condições, a menor distância percorrida peloexcursionista até o topo da montanha e, em quilômetros,

a) √ 2 b) √ 3 c) √ 4 d)

√ 5

e) √ 6 03. (Fgv 2015) Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas em 8 andares, conforme indica a figura. O edifício foifeito em um terreno cuja inclinação em relação à horizontal mede graus. A altura de cada sala é 3m a extensão 10me a altura da pilastra de sustentação, que mantém o edifício na horizontal, é 6m.

sen cos tg 4° 0,0698 0,9976 0,0699

5° 0,0872 0,9962 0,0875

6° 0,1045 0,9945 0,1051

7° 0,1219 0,9925 0,1228

8° 0,1392 0,9903 0,1405

Usando os dados da tabela, a melhor aproximação inteira para éa) 4°b) 5°

c) 6°d) 7°e) 8°

04. (G1 - cftmg 2015) Uma raposa avista um cacho de uvas em uma parreira sob um ângulo de 30° formado com a

horizontal. Então, preguiçosamente ela se levanta, anda √ 3 em direção à base da parreira e olha para as uvas sobum ângulo de 60° como mostra a figura abaixo.

Nessas condições, a altura h do cacho de uvas, em metros, éa) 1,0b) 1,5

c) 1,7d) 3,4


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05. (Ufu 2015) O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC orientado por um farol Flocalizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No

início da viagem, o comandante obteve a medida = 30° e, após percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se emB ele fez a medição do ângulo ̂ obtendo 60° Observe a figura a seguir que ilustra esta situação.

De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F obtidaspelo comandante foram, respectivamente,

a) 2√ 3 e √ b) 2√ 3 e 4√ 3 c) 3√ 3 e 6√ 3 d) 3√ 3 e √ 3 06. (G1 - ifsc 2015) Em uma aula prática, um professor do curso técnico de edificações do campus Florianópolis doIFSC, pede para que seus alunos determinem a altura de um poste que fica nas instalações da instituição, porém háuma impossibilidade para se chegar tanto ao topo do poste, bem como sua base. Para realizar tal medida, sãodisponibilizados para os alunos uma trena e um teodolito. É realizado o seguinte procedimento: primeiro crava-se umaestaca no ponto A a x metros da base do poste e mede-se o ângulo formado entre o topo do poste e o solo, que é de60° em seguida, afastando-se 10m em linha reta do ponto A e cravando uma nova estaca no ponto B mede-senovamente o ângulo entre o topo do poste e o solo, que é de 30.A partir do procedimento descrito e da figura abaixo,

é CORRETO afirmar que a altura do poste é de aproximadamente:

Dados: sen30° = 0,5 cos30° = 0,86 tg30° = 0,58sen60° = 0,86 cos60° = 0,5 tg60° = 1,73

a) 8,65mb) 5mc) 6,65md) 7,65me) 4m


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09. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento dearquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um teodolitodistante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme mostra a figura:

Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a altura do monumento, em metros, é aproximadamentea) 6,86.b) 6,10.c) 5,24.

d) 3,34.

10. (Mackenzie 2013)

Se na figura, ̅ = 3√ 2 e ̅ = 14√ 6 , então a medida de ̅ éa) 8√ 6 b) 10√ 6 c) 12√ 6 d) 28

e) 14√ 5 11. (Ufsj 2013) Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo de 30° com a horizontal, quandoencostada ao edifício de um dos lados da rua, e um ângulo de 45° se for encostada ao prédio do outro lado da rua,

apoiada no mesmo ponto do chão. Sabendo que a distância entre os prédios é igual a

5√ 3 + 5√ 2 metros de largura,

assinale a alternativa que contém a altura da escada, em metros.

a) 5√ 2 b) 5

c) 10√ 3 d) 10


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12. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do pontoP, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.

O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma

distância ̅ de medida 6√ 2 metros.Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-seafirmar então que a medida do deslocamento ̅ do rato, em metros, é um número entrea) 3 e 4b) 4 e 5c) 5 e 6d) 6 e 7

GABARITO

01 B 05 C 09 D

02 D 06 A 10 C

03 C 07 B 11 D

04 B 08 A 12 B

NÍVEL III

01. (Uece 2016) As diagonais de um retângulo dividem cada um de seus ângulos internos em dois ângulos cujasmedidas são respectivamente 30° e 60°. Se x é a medida do maior lado e y é a medida do menor lado do retângulo,então a relação entre x e y éa) − 4 = 0. b) − 2 = 0. c) − 6 = 0. d) − 3 = 0. 02. (G1 - cps 2015)

A inclinação das vias públicas é um problema para o transporte.Na cidade de Dunedin, na Nova Zelândia, está localizada a rua Baldwin que, em seu trecho inferior, tem uma rampade inclinação moderada e, em seu trecho superior, tem uma rampa extremamente íngreme.O trecho com maior inclinação apresenta uma taxa de 1 : 2,86 o que significa que, para cada 2,86 metros percorridos

horizontalmente, é necessário vencer 1 metro na vertical. Acesso em: 22.02.2015. Adaptado.


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Considere que: - o ângulo de inclinação de uma rampa é medido entre a horizontal e a rampa.

- a inclinação de uma rampa é expressa pela tangente do seu ângulo de inclinação.

- o triângulo retângulo, da figura, representa parte do trecho com maior inclinação da rua Baldwin.

Adote:

Ângulo Tangente

12 0,213

15 0,268

19 0,344

21

0,384 24 0,445

Nessas condições, o ângulo de inclinação desse trecho da rua Baldwin é mais próximo dea) 12°b) 15°c) 19°d) 21°e) 24°

03. (G1 - cps 2014) O passeio em teleférico é uma opção turística em várias cidades do mundo.O teleférico mais alto

e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo topo estáa uma altura de 4 765 metros acima do nível do mar.

O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1 577 metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, depois de sedeslocar 12,5 km, atinge o topo do Pico Espejo.Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que seja o ângulo, com vértice na estação deBarinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme a figura.

Nessas condições, o valor aproximado do ângulo é


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Utilize:

MEDIDA DO ÂNGULO SENO COSSENO TANGENTE

11° 0,191 0,982 0,194

15° 0,259 0,966 0,268

18° 0,309 0,951 0,325

22° 0,375 0,927 0,40425° 0,423 0,906 0,467

a) 11°.b) 15°.c) 18°.d) 22°.e) 25°.

04. (G1 - cp2 2014) Viajar de avião pode ser nada confortável! Uma das razões é o pouco espaço existente entre aspoltronas, o chamado seat pitch.

A ANAC (Agência Nacional de Aviação Civil) classifica as poltronas das aeronaves de acordo com a distância entre seusassentos. No entanto, para fazer essa classificação, a inclinação das poltronas não é considerada.Suponha uma aeronave cuja distância entre as poltronas (seat pitch) seja 73,6 cm e que a medida do comprimento doencosto do assento seja 70 cm. Quando a poltrona da frente se inclina 30° em relação ao seu eixo vertical, o espaçoentre os assentos diminui, conforme a figura a seguir:

Essa disposição está representada abaixo:

a) Determine a medida AB na figura acima, entre o topo da poltrona inclinada e a poltrona de trás. Utilize:

30° = 12 , 30° =√ 32 30° =

√ 33

b) Determine a altura BC.


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05. (Uneb 2014) A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, acarga é presa a uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. Atirolesa também é utilizada como prática esportiva, sendo considerado um esporte radical.Em certo ecoparque,aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as alturas dasextremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 52m e 8m, cada uma, em relação ao níveldo solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80°.Nessas condições, considerando-se o cabo esticado eque tg 10° = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso, é

aproximadamente igual aa) 250b) 252c) 254d) 256e) 258

06. (Unifor 2014) Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controlemanual de subir e descer.

A altura y que a cama varia em função de é de:a) = 2 b) = 2 +2 c) = + 2 d)

= 2

e) = 2 +2 07. (Ifsp 2013) Na figura, ABCD é um retângulo em que ̅ é uma diagonal, ̅ é perpendicular a ̅ , ̅ = 5√ 3 cme = 30°. A área do retângulo ABCD, em centímetros quadrados, é

a) 100√ 3 .b) 105√ 3 .c) 110√ 3 .d) 150√ 2 .e) 175√ 2 .

GABARITO

01 D 04 a)

38,6cm

b) 35√ cm07 A

02 C 05 A

03 B 06 E

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