Date post: | 28-Sep-2015 |
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GEOMETRA
DESCRIPTIVA
Segunda Edicin
Geometra
Descriptiva
Autor:
Vctor Vidal Barrena
Universidad
Nacional de Ingeniera
CAPTULO
2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada
10 Interseccin
Entre
Superficies
2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada
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12.1 Superficies: Cono Cilindro.
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Las intersecciones comunes que se presentan, son tales como dos tuberas, la proa de un barco y el ala de un avin con su fuselaje. De dos superficies solamente una corta a la otra.
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12.2 REGLAS DE VISIBILIDAD
1. Si son visibles dos generatrices que se interceptan, su punto de
interseccin es visible.
2. De dos generatrices que se interceptan, una o ambas estn ocultas, el
punto de interseccin es invisible.
3. Si dos crculos o sus porciones que se interceptan son visibles, el punto
de interseccin es visible.
4. De dos crculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas estn
ocultas, el punto de interseccin es invisible.
Antes de aplicar estas reglas de visibilidad, analizar la visibilidad de las
generatrices, utilizando las reglas de visibilidad:
1. Considerar al signo (+) como visible y el signo (-) como invisible.
2. No se plica la regla de los signos.
11- 3
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12.3 INTERSECCIN DE DOS CONOS.
1. MORDEDURA.
Cuando la introduccin es parcial de uno de los
conos con respecto al otro y la lnea de
interseccin ser una lnea curva continua. Se
numeran consecutivamente los puntos tangentes y
secantes definidos por los planos de corte en
ambas bases, de acuerdo con el sistema de
numeracin establecido. En la figura 14.1 se
muestra un ejemplo de sistema de numeracin.
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12.3.1 TIPOS DE INTERSECCIONES.
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1. MORDEDURA
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Fig. 12.1 Interseccin por mordedura
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12.3 INTERSECCIN DE DOS CONOS.
2. PENETRACIN.
Cuando uno de los conos est introducido
totalmente en el otro, formndose dos curvas
separadas de interseccin. En la figura 14.2 se
muestra un ejemplo, en el cual se numeran
consecutivamente los puntos tangentes y secantes
definidos por los planos de corte en ambas bases,
de acuerdo con el sistema de numeracin
establecido.
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12.3.1 TIPOS DE INTERSECCIONES.
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2. PENETRACIN
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Fig. 12.1 Interseccin por penetracin.
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CUYAS BASES ESTN EN EL MISMO PLANO HORIZONTAL
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12.4 INTERSECCIN DE DOS CONOS
En la figura 14.8 se ilustra
dos conos que se
interceptan, cuyos vrtices
son V y P respectivamente.
Fig. 12.1 Interseccin de dos conos.
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SOLUCION
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PROCEDIMIENTO:
11- 10
En la vista frontal, desde el vrtice V se traza una lnea recta que pase por el vrtice P, que se prolonga hasta cortar al plano
de las bases en el punto X.
Luego proyectar el punto X a la vista horizontal y en la interseccin de la recta que parte desde el vrtice V y que pasa
por el vrtice P determinan la proyeccin horizontal del punto
X.
Desde el punto X se trazan los necesarios planos cortantes tangentes o secantes a las bases de los slidos, se aplican las
reglas del sistema de numeracin que nos predice el tipo de
interseccin a resultar. Por ejemplo el PCI define los puntos
1,7 y que al interceptarse con generatrices del mismo nmero
determinan los puntos de interseccin buscados.
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TABLA DE VISIBILIDAD
3 - 11
CONO
V
CONO
P INT VIS
CONO
V
CONO
P INT VIS
H F H F H F H F H F H F
+ + + + 1 + + + - + + 7 + -
- + - - 2 - - + - - - 8 - -
- - - - 3 - - + - - - 9 - -
- - - - 4 - - + - - - 10 - -
- - + + 5 - - + - + + 11 + -
- + + + 6 - + + - + + 12 + -
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12.5.1 TIPOS DE INTERSECCIONES Y SISTEMA DE NUMERACIN.
11- 12
12.5 INTERSECCIN DE DOS CILINDROS.
1. MORDEDURA.
Cuando los planos cortantes tangentes estn en distintas
bases, la introduccin es parcial de uno de los cilindros con
respecto al otro y la lnea de interseccin resultante ser una lnea
curva continua, como se muestra en la figura adjunta. Se observa
que los dos cilindros son mutuamente tangentes en la parte
comn, teniendo adems un plano cortante tangente a ambas
bases, siendo la curva de interseccin continua y cruzndose en el
punto de tangencia, formndose una especie de nmero ocho.
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1. MORDEDURA.
11- 13
2. PENETRACIN.
Cuando los planos cortantes tangentes estn en una misma base, la
introduccin es total, formndose de ese modo dos curvas separadas de
interseccin, como se muestra en la figura 14.14 (a). En la figura 14.14 (b)
los dos cilindros tienen el mismo dimetro y son mutuamente tangentes en
las superficies extremas, teniendo adems los planos cortantes tangentes a
ambas bases, siendo la curva de interseccin dos elipses continuas que se
cruzan en los puntos de tangencia.
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2. PENETRACIN.
11- 14
12.6 MTODO DEL PLANO CORTANTE.
Para encontrar la interseccin de dos cilindros oblicuos, mostrada en
la figura de la pgina 15, los planos cortantes que se usan deben ser
paralelos al eje de cada uno de ellos, y que corten a la base comn
horizontal de modo que determinen generatrices sobre ellas, cuyas
intersecciones establecern los diferentes puntos de interseccin de la curva
buscada.
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Problema 11.3: 12.6.1 MTODO DEL PLANO CORTANTE
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SOLUCION:
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PROCEDIMIENTO:
1. Se asume un punto X en la plano frontal, y desde ese punto se
traza XM paralela al eje del cilindro AB (el punto M se
encuentra en el plano de base).
2. En el plano frontal y desde el mismo punto X se traza XN
paralela al eje del cilindro CD (el punto N se encuentra en el
plano de base).
3. En el plano horizontal asumir el punto X y trazamos XM y
XN paralela a los ejes AB y CD respectivamente, hasta
encontrar a las lneas de referencia de M y N.
4. Las rectas XM y XN determinan el plano maestro MXN.
5. Trazar los planos cortantes paralela a la recta MN, en la figura
14.16 se observan dos planos cortantes tangentes y dos planos
cortantes secantes; que determinan 12 puntos
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PROCEDIMIENTO:
6. Como los dos planos cortantes tangentes estn en bases
diferentes, la interseccin entre estas dos superficies es por
mordedura.
7. Trazar en la vista horizontal las generatrices del mismo
nmero desde la bases A y B, la interseccin de estas
generatrices determinan los puntos de interseccin 1, 2, hasta
encontrar al punto 12.
8. En la vista horizontal en donde las bases se muestran en
dimensin verdadera, determinar la visibilidad de las
generatrices en las vistas horizontal y frontal; este rango de
las visibilidades nos permite hacer la tabla de visibilidad.
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12.4.2 CON BASES EN DIFERENTES PLANOS.
Para encontrar la interseccin, los planos cortantes oblicuos que se usan
deben ser paralelos a los ejes de ambos cilindros, y que corten a las bases de
cada uno de ellos, de modo que determinen generatrices cuyas
intersecciones determinarn los diferentes puntos de interseccin de la
curva buscada.
PROCEDIMIENTO:
1. En la vista frontal y desde un punto arbitrario X, se traza XM
paralela al eje del cilindro AB (el punto M se encuentra en el
plano de base del cilindro AB).
2. Desde el mismo punto X se traza XN paralela al eje del cilindro
CD (el punto N se encuentra en el plano de base del cilindro CD).
3. Los planos de bases de los cilindros AB y CD se cortan en KG,
formndose con las rectas XM y XN el plano de prueba
MXNKG.
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PROCEDIMIENTO:
4. En la vista horizontal trazamos los planos cortantes para la
base del cilindro AB paralela a la recta MK y para la base
del cilindro CD paralela a la recta KN.
5. Como se tiene que determinar la interseccin de este plano
de prueba con cada uno de los planos de las bases, es
necesario conocer dos puntos en cada base; para lo cual
seleccionamos el punto Y contenida en la recta XM, luego
trazamos YP paralela a XN.
6. Se une N con P y se prolonga hasta su encuentro con el
plano inclinado en el punto K. El plano MXN corta a las
bases segn las rectas MK y NK al que sern paralelos los
planos cortantes.
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12.6 INTERSECCIN CONO CILINDRO.
1. MORDEDURA:
Cuando la introduccin es parcial del cilindro con respecto al cono o
viceversa y la lnea de interseccin resultante ser una lnea curva continua,
los planos de corte limitadores son tangentes y secantes a ambas bases,
como se muestra en la figura. En esta figura los planos de corte limitadores
son tangentes a ambas bases, formndose dos curvas de interseccin
separadas que se cruzan una a otra en dos puntos de tangencia del cilindro y
cono.
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2. PENETRACIN:
Cuando el cilindro est introducido totalmente en el cono o viceversa,
formndose dos curvas separadas de interseccin. En la figura siguiente los
planos de corte limitadores son ambos tangentes a una base y secantes a la
otra, formndose dos curvas de interseccin separadas, igualmente sucede
en la figura en la otra figura dada.
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12.6.1 MTODO DEL PLANO CORTANTE.
Cuando un cono y un cilindro oblicuo se interceptan todos los planos de corte estn
articulados en un punto. Para encontrar este punto, trazar desde el vrtice del cono una
recta paralela al eje del cilindro hasta cortar al plano de base de estas superficies en un
punto que denominaremos punto de articulacin.
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12.6.1 MTODO DEL PLANO CORTANTE.
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PROCEDIMIENTO:
1. En el plano frontal y desde el vrtice V del cono se traza una recta
paralela al eje del cilindro AB y se prolonga esta recta hasta cortar
al plano de base de estas superficies en el punto X.
2. Luego, desde este punto X hallado se proyecta a la vista
horizontal, y en la interseccin de la recta que parte desde el
vrtice V del cono y paralela al eje del cilindro, se determina la
proyeccin horizontal del punto X.
3. Desde la proyeccin horizontal del punto X, se trazan los
necesarios planos cortantes tangentes y secantes a las bases de los
slidos.
4. En la figura 14.25 se muestran 5 planos cortantes, en donde se
observa que los planos cortantes I y V son tangentes a la base del
cono y secantes a la base del cilindro; que corresponde a una
interseccin por penetracin
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PROCEDIMIENTO::
5. Se numeran los puntos tangentes y secantes definidos por los planos
cortantes en ambas bases, en orden progresivo, de acuerdo con el sistema
de numeracin establecido.
6. Por ejemplo el PC-3 define los puntos 3,11 y 7,15 tanto en el cilindro como
en el cono, y que al interceptarse generatrices del mismo nmero
determinan los puntos de interseccin buscados. La visibilidad de estos
puntos hallados depende de las que tengan las generatrices que las
determinaron.
7. Los puntos numerados en la base del cono y del cilindro en el plano
horizontal, se proyectan al plano frontal e interceptamos generatrices del
mismo nmero.
8. La visibilidad de los puntos de interseccin depende de la visibilidad que
tengan las generatrices que determinaron estos puntos de interseccin; tal
como se observa en la figura 14.25.
9. En la tabla de visibilidad se observa la visibilidad de las generatrices del
cono y del cilindro en los planos horizontal y frontal.
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PROBLEMAS RESUELTOS.
PROBLEMA 12.1: D es el centro de un cilindro cuya base es un crculo
frontal de 3cm de dimetro, siendo CD el eje del cilindro. V es el vrtice y
O es el centro de la base horizontal de 4.6cm de dimetro de un cono
oblicuo. Hallar la interseccin de las superficies, mostrando completamente
la visibilidad del conjunto. Hacer la tabla de visibilidad. Utilizar cinco
planos cortantes.
CONO CIL
INT
VIS CONO CIL
INT
VIS
H F H F H F H F H F H F
+ - - + 1 - - + - + - 9 + -
+ + - + 2 - + - - + - 10 - -
+ + - + 3 - + - - + + 11 - -
+ + - + 4 - + - - + + 12 - -
+ + - + 5 - + - + - + 13 - +
+ + + + 6 + + - - - + 14 - -
+ + + + 7 + + - - - + 15 - -
+ + + - 8 + - - - - + 16 - -
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PROBLEMA 14.1: SOLUCIN
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PROBLEMA 12.2.
OB es el eje de un cilindro de base horizontal en O de 2.5cm de radio. CD
es el eje de otro cilindro de base frontal en C de 4 cm de dimetro. Hallar la
interseccin de las superficies, mostrando completamente la visibilidad del
conjunto. Hacer la tabla de visibilidad. Utilizar cuatro planos cortantes.
CIL A CIL B
INT
VIS CIL A CIL B
INT
VIS
H F H F H F H F H F H F
+ - + - 1 + - - - + - 7 - -
+ + + - 2 + - - - + + 8 - -
+ + - - 3 - - - + + + 9 - +
- + - - 4 - - - + + + 10 - +
- + - - 5 - - + + + + 11 + +
- - - - 6 - - + + + + 12 + +
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PROBLEMA 12.2: SOLUCIN.
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PROBLEMA 12,3:
C es el centro de un cilindro cuya base es un crculo horizontal de 4cm de
dimetro, siendo CD el eje del cilindro oblicuo. V es el vrtice de un cono
oblicuo y O es el centro de su base que es un crculo frontal de 5cm de
dimetro. Hallar la interseccin de las superficies, mostrando completamente
la visibilidad del conjunto. Hacer la tabla de visibilidad. Utilizar cinco
planos cortantes.
CONO CIL INT
VIS CONO CIL INT
VIS
H F H F H F H F H F H F
- - - - 1 - - - - + - 9 - -
- - - + 2 - - - - + - 10 - -
- + - + 3 - + - + + - 11 - -
+ + + + 4 + + + + + - 12 + -
+ + + + 5 + + + + + - 13 + -
+ + + + 6 + + + + + - 14 + -
- - - + 7 - - + - + - 15 + -
+ - - + 8 - - + - + - 16 + -
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2. PENETRACIN:
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PROBLEMA 12.4:
Hallar la interseccin de las superficies, mostrando completamente la
visibilidad del conjunto. Hacer la tabla de visibilidad. Utilizar cinco
planos cortantes.
CIL AB CIL CD INT
VIS CIL AB CIL CD INT
VIS
H F H F H F H F H F H F
- - - - 1 - - - - + - 9 - -
- - - + 2 - - - - + - 10 - -
- + - + 3 - + - + + - 11 - -
+ + + + 4 + + + + + - 12 + -
+ + + + 5 + + + + + - 13 + -
+ + + + 6 + + + + + - 14 + -
- - - + 7 - - + - + - 15 + -
+ - - + 8 - - + - + - 16 + -
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PROBLEMA 12.4: SOLUCIN-