Capítulo 13: Integral de Trayectoria del Sistema de Coulomb

Et modo quae fuerat semita, facta via est

What was only a path is now made a high road

Martial (40–103), Epig., Book 7, 60

13

Integral de Trayectoria del Sistema de Coulomb

Uno de los exitos mas importantes de la mecanica cuantica de Schrodinger es laexplicacion de los niveles de energıa y las amplitudes de transicion del atomo dehidrogeno. En terminos de la formulacion de la integral de trayectoria de la mecanicacuantica, este sistema fundamental se ha resistido por mucho tiempo a todo intentode solucion. Un avance esencial se hizo en 1979 cuando Duru y Kleinert [1] re-conocieron la necesidad de trabajar con una particion pseudotemporal de la integralde trayectoria, como la descrita en el Capıtulo 12. Luego de una apropiada trans-formacion de coordenadas, la integral de trayectoria puede escribirse en una formaarmonica y resolverse facilmente. Una generalizacion de esta transformacion de dospasos ha llevado a la solucion de muchas otras integrales de trayectoria que seran pre-sentadas en el Capıtulo 14. La solucion final del problema es muy complicada debidoa la naturaleza no holonomica de la transformacion subsecuente de coordenadas, lacual requiere de un desarrollo adecuado de una integral de trayectoria en espacioscon curvatura y torsion [2], como se hizo en el Capıtulo 10. Esto hizo posible evitarcorrecciones a las fluctuaciones indeseadas en la transformacion de Duru–Kleinertdel sistema de Coulomb, complicacion hallada en todos los anteriores intentos desolucion.

La primera solucion consistente fue presentada en la primera edicion de este libroen 1990.

13.1 Amplitud de Evolucion Pseudotemporal

Consideremos la integral de trayectoria para la amplitud de evolucion temporal deuna sistema electron–proton en una interaccion de Coulomb. Si me y mp son lasmasas de los dos partıculas, cuya masa reducida sera M = memp/(me +mp), y si ees la carga del electron, el sistema obedece el Hamiltoniano

H =p2

2M− e2

r. (13.1)

981

982 13 Integral de Trayectoria del Sistema de Coulomb

En su version continua, la integral de trayectoria formal para la amplitud deevolucion temporal es

(xbtb|xata) =∫

D3x(t) exp[

i

h

∫ ta

tb

dt(px−H)]

. (13.2)

Como se comenta en el ultimo capıtulo, la version Euclideana no puede particionarsetemporalmente en un numero finito de integrales ya que las trayectorias colapsan.Las trayectorias deben estrecharse sobre una lınea recta donde x ≈ 0 y se particionanen la singularidad 1/r. Se puede escribir una integral de trayectoria cuya versionEuclideana sea estable utilizando la amplitud de evolucion pseudotemporal (12.28).La familia conveniente de funciones reguladoras sera

fl(x) = f(x)1−λ, fr(x) = f(x)λ, (13.3)

cuyo producto satisface la relacion fl(x)fr(x) = f(x) = r. Dado que la integral detrayectoria representa el operador resolvente general (12.21), en el lımite continuotodos los resultados deben de ser independientes del parametro de la particion λ.Esta independencia es util para comprobar los calculos.

Ası, consideremos la amplitud de energıa constante

(xb|xa)E =∫ ∞

0dS〈xb|UE(S)|xa〉, (13.4)

donde la amplitud de evolucion pseudotemporal es

〈xb|UE(S)|xa〉= rλb r1−λa

∫

DDx(s)∫ DDp(s)

(2πh)Dexp

i

h

∫ S

0ds[px′ − r1−λ(H −E)rλ]

,

(13.5)

y donde la primada indica la derivada con respecto al pseudotiempo s. Por cuestionde generalidad, hemos permitido una dimension general D para el movimiento or-bital. Luego de hallar la particion temporal y usando la notacion ∆xn ≡ xn−xn−1,ǫs ≡ S/(N + 1), la amplitud (13.5) tiene la forma

〈xb|UE(S)|xa〉 ≈ rλb r1−λa

N+1∏

n=2

[∫ ∞

−∞dD∆xn

] N+1∏

n=1

[

∫ ∞

−∞

dD pn(2πh)D

]

eiANE/h, (13.6)

donde la accion es

ANE [p,x] =

N+1∑

n=1

[

pn ∆xn − ǫs r1−λn rλn−1

(

pn2

2M− E

)

+ ǫs e2

]

. (13.7)

El termino ǫs e2 tiene inicialmente un factor (rn−1/rn)

λ el cual se omite, dado que esigual a la unidad en el lımite continuo. Cuando integramos con respecto las variablesdel momentum, obtenemos N +1 factores 1/(r1−λ

n rλn−1)D/2. Luego de rearreglarlos,

la integral de trayectoria en el espacio de configuracion es

〈xb|UE(S)|xa〉≈rλb r

1−λa

√

2π iǫsh r1−λb rλa/M

D

N+1∏

n=2

∫

dD∆xn√

2πiǫshrn−1/MD

eiANE[x,x′]/h, (13.8)

13.2 Solucion al Sistema Bidimensional de Coulomb 983

donde la particion pseudotemporal de la accion es

ANE [x,x

′] = (N + 1)ǫse2 +

N+1∑

n=1

[

M

2

(∆xn)2

ǫsr1−λn rλn−1

+ ǫs rnE

]

. (13.9)

En el ultimo termino, hemos hecho el reemplazo r1−λn rλn−1 por rn, sin que esto de

lugar a cambio alguno en el lımite continuo. En este lımite la accion se puede escribirformalmente como

AE [x,x′] = e2 S +

∫ S

0ds(

M

2rx′2 + Er

)

. (13.10)

Ahora resolveremos la integral de trayectoria del sistema de Coulomb primero endos dimensiones, supondremos que el movimiento del electron esta restringido alplano mientras que el campo electrico se extiende a la tercera dimension. Luegode esto procederemos a calcular el sistema en tres dimensiones. El caso para unadimension arbitraria D sera resuelto en el Capıtulo 14. El caso unidimensionalno sera considerado. En forma exacta los niveles de energıa fueron encontradosanteriormente, en la parte final de la Seccion 4.1, apartir de un desarrollo semiclasico.Por mucho tiempo, el unico interes en el sistema unidimensional de Coulomb fuesolo matematico. Sin embargo, debido a la posibilidad de tener estados ligadostipo atomo de hidrogeno en alambres cuanticos [3], el interes en este sistema haaumentado recientemente.

13.2 Solucion al Sistema Bidimensional de Coulomb

Observemos primero que la pseudoenergıa cinetica tiene una dimension de escala[rp2] ∼ [r−1] la cual es opuesta al termino potencial [r+1]. La situacion dimensionales similar a la del oscilador armonico, donde las dimensiones son [p2] = [r−2] y[r+2], respectivamente. La correspondencia puede ser perfecta si describimos elsistema de Coulomb en terminos de “las coordenadas de la raız cuadrada”, i.e.,transformando r → u2. En dos dimensiones, la raız cuadrada apropiada esta dadapor la tranformacion de Levi–Civita

x1 = (u1)2 − (u2)2,

x2 = 2u1 u2. (13.11)

Si imaginamos que los vectores x y u se mueven en los planos complejos parametriza-dos por x = x1 + ix2 y u = u1 + iu2, la variable transformada u corresponde a laraız cuadrada compleja:

u =√x. (13.12)

Introduzcamos tambien la matriz

A(u) =

(

u1 −u2u2 u1

)

, (13.13)


y escribamos la Ec. (13.11) como una ecuacion matricial:

x = A(u)u. (13.14)

La transformacion de Levi–Civita es una transformacion de coordenadas integrables,la cual lleva el espacio plano xi al espacio plano uµ. Mencionamos este hecho dadoque en nuestro posterior tratamiento tridimensional del atomo de hidrogeno, latransicion a las “coordenadas de la raız cuadrada” requerira de una transformacionde coordenadas no integrable (no holonomica) definida solo diferencialmente. Comose explica en el Capıtulo 10, tal transformacion cambia, en general, un espacio planoEuclideano en un espacio con curvatura y torsion. La generacion de la torsion esprecisamente la razon por la cual el sistema tridimensional permanecio sin solucionhasta 1990. En dos dimensiones, este fenomeno no existe.

Si escribimos la transformacion (13.11) en terminos de una base diada eiµ(u)como dxi = eiµ(u) du

µ, la transformacion es

eiµ(u) =∂xi

∂uµ(u) = 2Ai

µ(u), (13.15)

donde la recıproca de la diada es

eiµ(u) =

1

2(A−1)T i

µ(u) =1

2u2Ai

µ(u). (13.16)

La coneccion afın asociada

Γµνλ = ei

λ ∂µ eiν =

1

u2[(∂µA)

TA]νλ (13.17)

tiene los elementos de matriz (Γµ)νλ = Γµν

λ:

(Γ1)µν =

1

u2

(

u1 −u2u2 u1

)

µ

ν

=1

2u2A(u)µν ,

(Γ2)µν =

1

u2

(

u2 u1

−u1 u2

)

µ

ν

. (13.18)

La coneccion afın cumple con la importante identidad

Γµµλ ≡ 0, (13.19)

la cual se sigue de la definicion

Γµµλ ≡ gµνei

λ ∂µ eiν , (13.20)

donde hemos sustituido la propiedad especial de eiµ

∂µeiµ = ∂2u x

i(u) = 0, (13.21)

y usado el caracter diagonal de gµν = δµν/4r.


En la Seccion 13.6 se demostrara que la identidad (13.19) es la razon geometricaesencial para la ausencia de correcciones a la particion temporal.

La torsion y el tensor de curvatura de Riemann-Cartan se anulan identicamente,el primero debido a la forma especıfica de los elementos de matriz (13.18), el ultimodebido a la linealidad en u de la diada base eiµ(u), la cual garantiza trivialmentelas condiciones de integrabilidad, i.e.,

eiλ (∂µ e

iν − ∂ν e

iµ) ≡ 0, (13.22)

eiκ(∂µ ∂ν − ∂ν ∂µ) e

iλ ≡ 0, (13.23)

y ası Sµνλ ≡ 0, Rµνλ

κ ≡ 0.En el lımite continuo, la transformacion de Levi–Civita convierte la accion (13.10)

en la accion de un oscilador armonico. Usando

x′2 = 4u2 u′2 = 4r u′2 (13.24)

encontramos

A[x] = e2S +∫ S

0ds(

4M

2u′2 + Eu2

)

. (13.25)

Independientemente del termino trivial e2S, esta es la accion de un osciladorarmonico

Aos[u] =∫ S

0dsµ

2(u′2 − ω2u2), (13.26)

el cual oscila con el pseudotiempo s con una masa efectiva

µ = 4M, (13.27)

y la pseudofrecuencia

ω =√

−E/2M. (13.28)

Notese que ω tiene la dimension 1/s, que corresponde a [ω] = [r/t] (a diferencia dela frecuencia usual, cuya dimension es [1/t]).

La integral de trayectoria estara bien definida siempre que la energıa E delsistema de Coulomb sea negativa, i.e., para el estado ligado. La amplitud en elregimen continuo donde E es positiva sera obtenida por continuacion analıtica.

En la forma regularizada, la particion pseudotemporal de la amplitud se calculacomo sigue. Elegimos un parametro de division λ = 1/2, e ignorando por el momentotodas las complicaciones debido a lo finito de la particion temporal, de la Ec. (13.14)deducimos que

dx = 2A(u)du, (13.29)


Figure 13.1 Esquema de los puntos finales asociados en el espacio u, a ser sumados en

la amplitud del oscilador. En el espacio x, las trayectorias van de xa a xb una vez en

forma directa y de nueva cuenta luego de cruzar la discontinuidad en la segunda hoja de

la funcion compleja u =√x.

y ası

d2xn = 4un2d2un. (13.30)

Dado que tanto el espacio x como u son ambos Euclideanos, las integrales sobre ∆xn

en (13.8) pueden reescribirse como integrales sobre xn y transformarse directamentea las variable un. El resultado es

〈xb|UE(S)|xa〉 =1

4eie

2S/h[(ubS|ua0) + (−ubS|ua0)], (13.31)

donde (ubS|ua0) representa la particion temporal de la amplitud del oscilador

(ubS|ua0) ≈ 1

2πihǫs/µ

N∏

n=1

[

∫

d2un2πihǫs/µ

]

(13.32)

× exp

i

h

N∑

n=1

µ

2

(

1

ǫs∆un

2 − ǫsω2un

2)

.

La evaluacion de las integrales Gaussianas, en el lımite continuo, son [recordemos laEc. (2.177)]:

(ubS|ua0) =µω

2πih sinωSexp

i

2h

µω

sinωS[(ub

2 + ua2) cosωS − 2ubua]

. (13.33)

La simetrizacion en ub de la Ec. (13.31) es necesaria dado que para cada trayectoriade xa a xb hay dos trayectorias en el espacio de la raız cuadrada, una de ua a ub yotra de ua a −ub (ver la Fig. 13.1).

La amplitud de energıa constante se obtiene de la integral (13.4), usando la am-plitud de evolucion pseudotemporal (12.18):


(xb|xa)E =∫ ∞

0dS eie

2S/h 1

4[(ubS|ua0) + (−ubS|ua0)]. (13.34)

Sustituyendo (13.33), obtenemos

(xb|xa)E =1

2

∫ ∞

0dS exp(ie2S/h)F 2(S)

× exp[

−πF 2(S)(u2b + u2

a) cosωS]

cosh[

2πF 2(S)ubua

]

, (13.35)

donde usamos la forma abreviada

F (S) =√

µω/2πih sinωS, (13.36)

para el factor de fluctuacion uni–dimensional [recordemos la Ec. (2.171)]. Las coor-denadas ub y ua, del lado derecho, estan relacionadas con el producto xbxa del ladoizquierdo por la expresion

u2a,b = ra,b, ubua =

√

(rbra + xbxa)/2. (13.37)

Cuando realizamos la integral sobre S, tenemos que cruzar las singularidades enF (S), y de acuerdo con la prescripcion iη reemplazamos ω → ω − iη. En formaequivalente, podemos rotar el contorno de la integracion S para que recorrer elsemi–eje negativo imaginario,

S = −iσ, σ ∈ (0,∞).

Esto requiere utilizar la amplitud Euclideana del oscilador armonico, en la cual lassingularidades se evitan completamente. La amplitud se reescribe en una forma mascompacta introduciendo las variables

≡ e−2iωS = e−2ωσ, (13.38)

κ ≡ µω

2h=

2Mω

h=√

−2ME/h2, (13.39)

ν ≡ e2

2ωh=

√

e4M

−2h2E. (13.40)

Luego

πF 2(S) = κ2√

1− , (13.41)

eie2s/hF 2(S) =

2

πκ1/2−ν

1− , (13.42)


y la amplitud de energıa constante del sistema bidimensional de Coulomb tiene laforma

(xb|xa)E = −iMπh

∫ 1

0d

−1/2−ν

1− cos

[

2κ2√

1−

√

(rbra + xbxa)/2

]

× exp

[

−κ1 +

1 − (rb + ra)

]

. (13.43)

Notese que la integral converge solo para el caso donde ν < 1/2. Si desarrollamosel integrando en potencias de ρ, es facil evaluar la integral y obtenemos la suma sobrelos terminos 1/(ν − 1/2), 1/(ν − 3/2), . . . . Los residuos se pueden factorizar en lasuma eimφbe−imφa + e−imφbeimφa , donde φ son los angulos azimutales de los vectoresbidimensionales x. De esta forma, la descomposicion espectral de la amplitud sera:

(xb|xa)E =∞∑

n=1

ih

E − En

n−1∑

m=0

[

ψnr ,m(xb)ψ∗nr ,m(xb) + ψnr ,−m(xb)ψ

∗nr ,−m(xb)

]

, (13.44)

donde

ψnr ,m(x) =1√rRnr,|m|(r)

1√2πeimφ, (13.45)

son las funciones de onda, mientras que

En = −Me4

h41

(n− 12)2

(13.46)

son los valores propios. El numero cuantico principal n estara relacionado con elnumero cuantico radial nr = 0, 1, 2, 3, . . . y el numero cuantico azimutal m por larelacion n = nr + |m| + 1. Las funciones propias radiales se expresan en terminosde las funciones hipergeometricas confluentes (9.45) en la forma

1√rRnr ,|m|(r) = Nnr ,|m|

(

2r

rn

)|m|

e−r/rn1F1(−n + |m|+ 1, 2|m|+ 1, 2r/rn), (13.47)

donde rn ≡ (n− 1

2)rH = (n− 1/2)Me2/h2, y ademas [5]

Nnr ,|m| ≡2

rn

1

2|m|!

√

√

√

√

(n + |m| − 1)!

(2n− 1)(n− |m| − 1)!. (13.48)

Es posible escribir otra representacion integral valida para todo ν 6=1/2, 3/2, 5/2, . . . . Para ello cambiamos las variables de integracion a la expresion

ζ ≡ 1 +

1− , (13.49)

13.3 Carencia de Correcciones debido a la Particion Temporal para el caso D = 2 989

tal que

d

(1− )2=

1

2dζ, =

ζ − 1

ζ + 1. (13.50)

De esto obtenemos

(xb|xa)E = −iMπh

1

2

∫ ∞

1dζ(ζ − 1)−ν−1/2(ζ + 1)ν−1/2

× cos

2κ√

ζ2 − 1√

(rbra + xbxa)/2

e−κζ(rb+ra). (13.51)

El integrando tiene una discontinuidad en el plano complejo ζ , para el intervaloz = −1 a −∞ y para ζ = 1 a ∞. La integral se evalua sobre el contorno C, el cualencierra la discontinuidad del lado derecho en la direccion contra reloj. Dado que ladiscontinuidad es del tipo (ζ − 1)−ν−1/2, podemos reemplazar

∫ ∞

1dζ(ζ − 1)−ν−1/2 . . .→ πeiπ(ν+1/2)

sin[π(ν + 1/2)]

1

2πi

∫

Cdζ(ζ − 1)−ν−1/2 . . . , (13.52)

y la amplitud de energıa constante es

(xb|xa)E = −iMπh

1

2

πeiπ(ν+1/2)

sin[π(ν + 1/2)]

∫

C

dζ

2πi(ζ − 1)−ν−1/2(ζ + 1)ν−1/2

× cos[

2κ√

ζ2 − 1√

(rbra + xbxa)/2]

e−κζ(rb+ra). (13.53)

13.3 Carencia de Correcciones debido a la Particion

Temporal para el caso D = 2

Ahora nos convenceremos de que el ancho finito de la particion pseudotemporal, en las formulasintermedias, no cambian la amplitud de evolucion temporal obtenida en la ultima seccion [6]. Ellector que ignora las dificultades historicas que han tenido que sortearse puede no estar interesadoen los detalles tecnicos a ser discutidos. En tal caso, se puede omitir esta seccion y quedarse conel breve argumento dado en la Seccion 13.6.

El termino potencial en la accion (13.9) se puede ignorar dado que su contribucion es deorden ǫs, y la particion temporal solo dara origen a correcciones de orden superior al lineal enǫs, las cuales no contribuyen en el lımite continuo cuando ǫs → 0. El punto crucial donde lascorrecciones pueden aparecer es en la transformacion de la norma y la particion pseudotemporalde los terminos cineticos de las Ecs. (13.8) y (13.9). En notacion vectorial, para cada particiontemporal n, la transformacion de coordenadas es

xn = A(un)un. (13.54)

Entre las diferentes posibilidades, discutidas en la Seccion 11.2, para transformar la particiontemporal de la integral de trayectoria usamos la representacion de Taylor (11.56) y transformamos∆x en ∆u. Luego de sustituir la Ec. (13.15) en la Ec. (11.56) encontramos

∆xi = 2Aiµ(u)∆uµ − ∂νA

iµ(u)∆uµ∆uν . (13.55)


Dado que la transformacion x(u) es cuadratica en u, no hay terminos de orden superior en eldesarrollo. Notemos que debido a la ausencia de curvatura y torsion en el espacio u, la transfor-macion de coordenadas es holonomica y ∆x se puede calcular directamente de x(u) − x(u−∆u).Luego, usando la linealidad de A(u) en terminos de u, de la Ec. (13.54) encontramos

∆xn = A(un)un −A(un−1)un−1 = 2A(un − 1

2∆un)∆un = 2A(un)∆un, (13.56)

donde un es el promedio sobre la particion. El desarrollo de Taylor de A(un − 1

2∆un) tiene solo

dos terminos, de donde directamente hallamos la Ec. (13.55).Usando la Ec. (13.56), tendremos

(∆xn)2 = 4u2n(∆un)2, (13.57)

un ≡ (un + un−1)/2. (13.58)

Por lo tanto, en la n−esima particion de la Ec. (13.9) el termino cinetico de la accion para tiemposcortos tiene la forma

Aǫ =M

2ǫs

(∆xn)2

r1−λn rλn−1

=M

2ǫs

4u2n

(u2n)1−λ(u2

n−1)λ(∆un)2. (13.59)

Desarrollando este termino alrededor de los postpuntos, obtenemos

un = un − 1

2∆un, (13.60)

un−1 = un − ∆un, (13.61)

u2n

(u2n)1−λ(u2

n−1)λ

= 1 + (2λ− 1)un∆un

u2n

+

(

1

4− λ

)

∆un2

u2n

+ 2λ2(

un∆un

u2n

)2

. (13.62)

Sera de mucha utilidad separar la accion de tiempos cortos en un termino principal

Aǫ0(∆un) = 4M

(∆un)2

2ǫs, (13.63)

mas los terminos correctivos

∆Aǫ = 4M(∆un)2

2ǫs(13.64)

×[

(2λ− 1)un∆un

u2n

+

(

1

4− λ

)

∆un2

u2n

+ 2λ2(

un∆un

u2n

)2]

,

los cuales seran tratados perturbativamente.Para hallar la transformacion de la norma de integracion en la expresion (13.8), desarrollamos

∆x en la forma:

∆xi = 2Aiµ(u− 1

2∆u)∆uµ

= 2Aiµ(u)∆uµ − ∂νA

iµ(u)∆uµ∆uν . (13.65)

Donde, por brevedad, los ındices n se han eliminado. Por supuesto, esta expresion tiene la formageneral dada en la Ec. (10.96), lo cual puede verse luego de sustituir

eiµ(u) = 2Aiµ(u). (13.66)


Dado que la matriz de la transformacion Aiµ(u) en la relacion (13.15) es lineal en u, la matriz

eiµ(u) no tiene segunda derivada y el Jacobiano de la accion de las Ecs. (11.60) y (10.145) sereduce a

i

hAǫ

J = −eiµeiµ,ν∆uν − 1

2ei

µeiκ,νejκejµ,λ∆uν∆uλ

= −Γνµµ∆uν − 1

2Γνκ

µΓµλκ∆uν∆uλ. (13.67)

Los coeficientes del desarrollo se pueden calcular facilmente utilizando la diada recıproca

eiκ =

1

2u2eiκ, (13.68)

como

Γνµµ = ei

µ∂νeiµ =

2uν

u2,

Γµνµ = −eiν∂µeiµ =

2uν

u2, (13.69)

ΓνκµΓλµ

κ = −∂λeiκ∂νeiκ = − 2

u4(δνλu2 − 2uνuλ).

La segunda ecuacion se encuentra directamente de

−∂µeiµ = −∂µ(2u2)−1eiµ = eiµ 2uµu−2, (13.70)

misma que se sigue de la indentidad ∂µeiµ = 0. Notemos que la tercera expresion en la Ec. (13.69)

es automaticamente igual a ΓνκσΓλσ

κ, i.e., es de la forma requerida por la Ec. (13.67), dadoque el espacio uµ no tiene torsion y Γνκ

σ = Γκνσ. Luego de sustituir las Ecs. (13.69) en el lado

derecho de la Ec. (13.67), hallamos el desarrollo de postpunto

i

hAǫ

J = −[

2un∆un

u2n

− ∆un2

u2n

+ 2

(

u∆un

u2n

)2

+ . . .

]

. (13.71)

La norma de la integral en la Ec. (13.8) contiene los factores adicionales rb, rn y ra que requierende un tratamiento posterior. Primero escribimos la norma como

(rb/ra)2λ−1

2πiǫsh

N∏

n=1

[∫

d2∆xn2πiǫsrn−1/M

]

≈ 1

2πiǫsh

N∏

n=1

[∫

d2∆xn2πiǫshrn/M

]N+1∏

n=1

(

rnrn−1

)2λ

=1

2πiǫsh

N+1∏

n=2

[∫

d2∆xn2πiǫshrn/M

]

eiANf /h. (13.72)

En el lado izquierdo, hemos cambiado las etiquetas n en una unidad utilizando el hecho que∆xn = xn − xn−1 se puede escribir en la forma

∏N+1n=2

∫

d2∆xn =∏N

n=1

∫

d2∆xn. En la primeraexpresion del lado derecho hemos cambiado los subındices de los factores 1/rn−1 en la norma de

la integral de n − 1 a n, y hemos compensado con un factor extra∏N+1

n=1 (rn/rn−1). Junto con

el prefactor (rb/ra)2λ−1, podemos expresar todo esto como un producto

∏N+1n=1 (rn/rn−1)

2λ. Haysolo un pequeno error de orden ǫ2s en el lımite superior [esta es la razon de escribir el sımbolo ≈en lugar de = en la Ec. (13.72)]. En la ultima parte de la ecuacion hemos introducido una accionefectiva

ANf ≡

N+1∑

n=1

Aǫf (13.73)


debido a los factores (rn/rn−1)2λ, donde

i

hAǫ

f = 2λ logr2nr2n−1

= 2λ logu2n

u2n−1

. (13.74)

El subındice f indica que el origen general de este termino esta en los factores reescaladosfl(xb), fr(xa).

Veamos ahora como cambian las integrales al usar la transformacion de ∆xn a ∆un, dondeusamos la relacion

d2∆x = 4u2d2∆u exp

(

i

hAǫ

J

)

. (13.75)

La norma sera

1

2× 4

2 · 2πiǫsh

N∏

n=1

[∫

4d2∆un2 · 2πiǫsh/M

]

exp

[

i

h(AN

J + ANf )

]

, (13.76)

donde ANJ representa la suma sobre todos los terminos Aǫ

J de la particion temporal de la accionJacobiana de la Ec. (13.71):

ANJ ≡

N+1∑

n=1

AǫJ . (13.77)

En el denominador de la norma (13.76), los factores 2 extra se introducen para que las integralessobre un sean calculadas sobre todo el espacio u, en este caso el espacio x se utiliza dos veces.

La particion temporal de la expresion (13.76) tiene una forma importante que no se observaen la formulacion continua. Esta expresion recibe contribuciones importantes no solo de la regionvecina un ∼ un−1, donde (∆un)2 es de orden ǫs, sino que tambien de un ∼ −un−1, donde (un)2 esde orden ǫs. Esto es entendible ya que ambas configuraciones, que corresponden a xn, son cercanasa xn−1 y deben de ser incluidas. Afortunadamente por razones de simetrıa, estos terminos dancontribuciones identicas de tal forma que basta con discutir solo el caso un ∼ un−1, la contribuciondel segundo caso se incluye eliminando el factor 2 en el denominador de la norma.

Para analizar la norma, desarrollamos la accion dada en la Ec. Aǫf (13.76) alrededor del post-

punto y hallamos

i

hAǫ

f = 2λ log

(

u2n

u2n−1

)

= 2λ

[

2un∆un

u2n

− ∆un2

u2n

+ 2

(

u∆un

u2n

)2

+ . . .

]

. (13.78)

Una comparacion con la Ec. (13.71) muestra que el hecho de sumar los terminos (i/h)Aǫf y (i/h)Aǫ

J

cambia el termino 2λ, en la expresion de Aǫf , por la cantidad 2λ− 1.

Ası, reuniendo terminos, observamos que la particion temporal da origen a la accion paratiempos cortos

Aǫ = Aǫ0 + ∆corrAǫ, (13.79)

donde la accion de la partıcula libre es el termino principal

Aǫ0(∆un) = 4M

(∆un)2

2ǫs, (13.80)

y el termino total de la correccion es

i

h∆corrAǫ ≡ i

h(∆Aǫ + Aǫ

J + Aǫf )

=i

h4M

∆un2

2ǫs

[

(2λ− 1)un∆un

u2n

+

(

1

4− λ

)

∆un2

u2n

+ 2λ2(

un∆un

u2n

)2]

+ (2λ− 1)

[

2un∆un

u2n

− ∆un2

u2n

+ 2

(

un∆un

u2n

)2]

+ . . . . (13.81)


Ahora mostramos que la accion ∆corrAǫ es equivalente a cero, para ello mostraremos que elnucleo asociado con la accion para tiempos cortos

Kǫ(∆u) =4

2 · 2πiǫsh/Mexp

[

i

h(Aǫ

0 + ∆corrAǫ)

]

(13.82)

es equivalente al nucleo de orden cero de la partıcula libre

Kǫ0(∆u) =

4

2 · 2πiǫsh/Mexp

[

i

hAǫ

0

]

. (13.83)

La equivalencia se obtiene verificando las relaciones de equivalencia de las Ecs. (11.71) y (11.72).Para el nucleo de la Ec. (13.82), la correccion dada por la Ec. (11.71) es

C1 = C ≡ exp

(

i

h∆corrAǫ

)

− 1. (13.84)

Esta correccion tiene que ser comparada con el factor trivial del nucleo dado por la Ec. (13.83):

C2 = 0. (13.85)

Ası, la equivalencia requiere mostrar que

〈C〉0 = 0,

〈C (p∆u)〉0 = 0. (13.86)

Las funciones de correlacion clasicas debidas a Kǫ0(∆u) son

〈∆uµ∆uν〉0 ≡ ihǫs4M

δµν , (13.87)

〈∆uµ1 · · ·∆uµ2n〉0 =

(

ihǫs4M

)n

δµ1...µ2n , n > 1, (13.88)

donde los tensores de contraccion δµ1...µ2n de la Ec. (8.64), se determinan recursivamente de

δµ1...µ2n ≡ δµ1µ2δµ3µ4...µ2n + δµ1µ3δµ2µ4...µ2n + . . .+ δµ1µ2nδµ2µ3...µ2n−1 . (13.89)

Estos tensores constan de (2n−1)!! productos de parejas contraidas δµiµj . En forma mas especıfica,al calcular la relacion (13.86) encontramos valores esperados de la forma

〈(∆u)2k(u∆u)2l〉0 =

(

ihǫs4M

)k+l[D + 2(k + l − 1)]!!

(D + 2l− 2)!!(2l − 1)!!(u2)l, (13.90)

y

〈(∆u)2k(u∆u)2l(u∆u)(p∆u)〉0 =

(

ihǫs4M

)k+l+1[D + 2(k + l)]!!

(D + 2l)!!(2l− 1)!!(up), (13.91)

lo cual es valido para un espacio u general de dimension D. Desarrollando la Ec. (13.86) podemosverificar que, a orden ǫs, los valores esperados 〈C〉0 y 〈C (p∆u)〉0 se anulan:

〈C〉0 =i

h〈∆corrAǫ〉0 +

1

2!

(

i

h

)2

〈(∆corrAǫ)2〉0 = 0, (13.92)

〈C (p∆u)〉0 =i

h〈∆corrAǫ (p∆u)〉0 = 0. (13.93)


De donde, el primer termino de la relacion (13.92) sera

i

h〈∆corrAǫ〉0 = 2i

hǫsM

[

−(

1

4− λ

)

(D + 2)D

16− 2λ2

D + 2

16

]

, (13.94)

y para D = 2 se reduce a

i

h〈∆corrAǫ〉0 = −i hǫs

M

(

λ− 1

2

)2

. (13.95)

Este termino se cancela identicamente por el segundo termino de la Ec. (13.92), el cual es igual a

1

2!

(

i

h

)2

〈(∆corrAǫ)2〉0 =i

2

hǫsM

[

4(2λ− 1)2(D + 4)(D + 2)

64+ 4(2λ− 1)2

1

4− 8(2λ− 1)2

D + 2

16

]

,

(13.96)donde, para D = 2 se reduce a

1

2!

(

i

h

)2

〈(∆corrAǫ)2〉0 = ihǫsM

(

λ− 1

2

)2

. (13.97)

En forma similar el valor esperado dado por la Ec. (13.93),

〈∆corrAǫ (p∆u)〉0 = − h2ǫs

4M[(2λ− 1)(D + 2)/4 − (2λ− 1)], (13.98)

se anulara proporcionalmente a λ, para el caso D = 2,Ası obtenemos que no hay correcciones, provenientes de lo finito de la particion temporal, a

la formula de transformacion dada en la Ec. (13.34) para la integral de trayectoria del sistema deCoulomb en dos dimensiones.

13.4 Solucion al Sistema Tri–Dimensional de Coulomb

Veamos ahora el sistema de Coulomb en tres dimensiones. El primer problema, unavez mas, es encontrar una “raız cuadrada” de las coordenadas que conviertan elpotencial −Er, del Hamiltoniano pseudotemporal en el exponente de la Ec. (13.5),en un potencial armonico. En dos dimensiones, la respuesta fue una raız cuadradacompleja. Aquı, la solucion es una “raız cuadrada cuaternionica” conocida comotransformacion de Kustaanheimo-Stiefel , la cual ha sido utilizada extensamente enmecanica celeste [7]. Para aplicar esta transformacion los tri–vectores x deben trans-formarse primero a un espacio cuatro–dimensional uµ (µ = 1, 2, 3, 4), esto se logramediante las ecuaciones

xi = zσiz, r = zz. (13.99)

Donde σi son las matrices de Pauli (1.448), mientras que z y z son los siguientesobjetos de dos componentes

z =

(

z1z2

)

, z = (z∗1 , z∗2), (13.100)

llamados “espinores”. Sus componentes estan relacionadas con los cuatro–vectoresuµ mediante la expresion

z1 = (u1 + iu2), z2 = (u3 + iu4). (13.101)

13.4 Solucion al Sistema Tri–Dimensional de Coulomb 995

Las coordenadas uµ pueden parametrizarse en terminos de los angulos esfericos delvector tri–dimensional x y un angulo arbitrario adicional γ, en la forma:

z1 =√r cos(θ/2)e−i[(ϕ+γ)/2],

z2 =√r sin(θ/2)ei[(ϕ−γ)/2].

En las Ecs. (13.99), es claro que el angulo γ se cancela. Cada punto en el espacio x

corresponde a una curva completa en el espacio uµ, mientras que el angulo γ tienevalores en el intervalo [0, 4π].

Tambien podemos escribir las Ecs. (13.99) en forma matricial

x1

x2

x3

= A(~u)

u1

u2

u3

u4

, (13.102)

donde A es la matriz, de dimension 3× 4,

A(~u) =

u3 u4 u1 u2

u4 −u3 −u2 u1

u1 u2 −u3 −u4

. (13.103)

Dado que

r = (u1)2 + (u2)2 + (u3)2 + (u4)2 ≡ (~u)2, (13.104)

esta transformacion permite que, en el Hamiltoniano pseudotemporal, el potencial−Er sea armonico en la variable ~u. La flecha superior indica la naturaleza cuatro–vectorial de uµ.

Ahora, en la accion dada por la Ec. (13.10), consideremos el termino cinetico∫

ds(M/2r)(dx/ds)2. Cada trayectoria x(s) esta asociada con un conjunto infinitode trayectorias ~u(s) en el espacio ~u, las cuales dependen de la eleccion de la trayec-toria en terminos de la variable muda γ(s) en el espacio de los parametros. Latransformacion de los vectores tangentes duµ a los vectores dxi esta dada por

dx1

dx2

dx3

= 2

u3 u4 u1 u2

u4 −u3 −u2 u1

u1 u2 −u3 −u4

du1

du2

du3

du4

. (13.105)

Para que la transformacion sea unica debemos hallar al menos una ecuacion dife-rencial para el angulo mudo dγ. Esto puede hacerse facilmente reemplazando adγ por un parametro que este naturalmente relacionado a las componentes dxi

dadas en el lado izquierdo de la expresion anterior. Introducimos el vector tan-gente (dx1, dx2, dx3) en un espacio ficticio cuatro–dimensional y definimos una nuevacomponente dx4 mediante una cuarta fila adicional en la matriz A(~u), con lo cualextendemos la Ec. (13.29) a la ecuacion cuatro–vectorial

d~x = 2A(~u)d~u. (13.106)


La flecha sobre x indica que ahora x es un cuatro–vector. Por razones de simetrıaelegimos la matriz A(~u), ahora de dimension 4× 4, de la forma

A(~u) =

u3 u4 u1 u2

u4 −u3 −u2 u1

u1 u2 −u3 −u4u2 −u1 u4 −u3

. (13.107)

La cuarta fila implica la siguiente relacion entre dx4 y dγ:

dx4 = 2(u2du1 − u1du2 + u4du3 − u3du4)

= r(cos θ dϕ+ dγ). (13.108)

Ahora, hacemos la observacion importante de que esta relacion no es integrabledado que ∂x4/∂u1 = 2u2, ∂x4/∂u2 = −2u1, y ası

(∂u1∂u2 − ∂u2∂u1)x4(uµ) = −4, (∂u3∂u4 − ∂u4∂u3)x4(uµ) = −4, (13.109)

lo cual implica que x4(uµ) no cumple el criterio de integrabilidad de Schwarz [recorde-mos la Ec. (10.19)]. La transformacion es no holonomica y cambia la geometrıaEuclideana del espacio ~x en un espacio no Euclideano ~u con curvatura y torsion.Esto sera discutido en detalle en la siguiente seccion. La imposibilidad de hallar unatransformacion unica entre los puntos del espacio ~x y ~u tiene como consecuenciael hecho que, con respecto al punto inicial, la transformacion entre trayectorias esmultivaluada. Luego de haber escogido una imagen especıfica para el punto inicial,la transformacion (13.107) determina de manera unica la imagen.

Ahora, incorporamos la cuarta dimension muda en la accion, remplazando x enel termino cinetico por el cuatro–vector ~x y extendemos la accion cinetica a la forma

ANkin ≡

N+1∑

n=1

M

2

(~xn − ~xn−1)2


. (13.110)

La contribucion adicional de la cuarta componente, x4n − x4n−1, puede eliminarseen forma trivial de la amplitud de evolucion pseudotemporal final integrando cadaparticion temporal sobre dx4n−1 con la norma

N+1∏

n=1

∫ ∞

−∞

d(∆x4)n√

2πiǫshr1−λn rλn−1/M

. (13.111)

Notese que en estas integrales las coordenadas radiales rn se mantienen fijas. Con-trario a las integrales espaciales d3xn−1, la cuarta coordenada debe de ser integradasobre la coordenada inicial auxiliar x40 = x4a. Ası, usamos la identidad trivial

N+1∏

n=1

∫ ∞

−∞

d(∆x4)n√

2πiǫshr1−λn rλn−1/M

exp

[

i

h

N+1∑

n=1

M

2

(∆x4n)2


]

= 1. (13.112)


De esta forma, la amplitud de evolucion pseudotemporal del sistema de Coulomben tres dimensiones puede reescribirse como la integral de trayectoria cuatro–dimensional

〈xb|UE(S)|xa〉 =∫

dx4arλb r

1−λa

(2πiǫshr1−λb rλa/M)2

×N+1∏

n=2

[

∫ ∞

−∞

d4∆xn(2πiǫshrn−1/M)2

]

exp(

i

hAN

E

)

, (13.113)

donde ANE es la accion dada en la Ec. (13.9), en la cual los vectores tri–dimensionales

xn se reemplazan por los cuatro–vectores ~xn y donde r aun es la longitud de la parteespacial de ~x. Distribuyendo los factores rb, rn, ra equitativamente en los intervalos,cambiando en la norma los subındices n, de los factores 1/rn, a n + 1 y usando elmismo procedimiento de la Ec. (13.72), obtenemos la amplitud de evolucion pseu-dotemporal

〈xb|UE(S)|xa〉 =1

(2π iǫsh/M)2

∫ ∞

−∞

dx4ara

×N+1∏

n=2

[

∫

d4∆~xn(2πiǫshrn/M)2

]

exp[

i

h(AN

E +ANf )]

, (13.114)

donde la particion de la accion es

ANE [~x, ~x

′] = (N + 1)ǫse2 +

N+1∑

n=1

[

M

2

(∆~xn)2


+ ǫs r1−λn rλn−1E

]

. (13.115)

La accion ANf tiene en cuenta todos los factores restantes en la norma de

la integral. Ahora, el prefactor (rb/ra)3λ−2 puede escribirse como el producto

∏N+11 (rn/rn−1)

3λ−2. El cambio de ındice en el factor 1/r cambia el exponente 3λ−2a 3λ

i

hAN

f = 3λN+1∑

n=1

log

(

~u2n~u2n−1

)

(13.116)

[comparemos con la Ec. (13.73)]. Como en el caso bi–dimensional, al principiodebemos de ignorar las sutilezas debido a la particion temporal. Ası usamos λ = 0 yaplicamos la transformacion formalmente al lımite continuo de la accion AN

E , la cualtiene la forma (13.10), excepto que x se reemplaza por ~x. Usando las propiedadesde la matriz dada en la Ec. (13.107)

AT = ~u2A−1,

detA =√

det (AAT ) = r2, (13.117)

vemos que

~x′2 = 4~u2~u′2 = 4r~u′2, (13.118)

d4x = 16r2d4u. (13.119)


Con lo cual encontramos la relacion,

〈xb|UE(S)|xa〉 = eie2S/h 1

16

∫ dx4ara

(~ubS|~ua0), (13.120)

donde la amplitud de evolucion temporal del oscilador armonico cuatro–dimensionales

(~ubS|~ua0) =∫

D4u(s) exp(

i

hAos

)

, (13.121)

y donde la accion esta dada por

Aos =∫ S

0dsµ

2(~u′2 − ω2~u2). (13.122)

Como en las Ecs. (13.27) y (13.28), los parametros son

µ = 4M, ω =√

−E/2M. (13.123)

La relacion (13.120) es el analogo de la Ec. (13.31). En lugar de la suma sobre las dosimagenes de cada punto x en el espacio u, ahora hay una integral,

∫

dx4a/ra, sobre lasimagenes infinitas del espacio cuatro–dimensional ~u. Esta integral se puede escribircomo una integral sobre el tercer angulo de Euler γ, usando la relacion (13.108).Dado que x y ası mismo los angulos polares θ y ϕ, se mantienen fijos durantela integracion, obtenemos directamente

∫

dx4a/ra =∫

dγa. En cuanto al rango deintegracion, observamos que puede restringirse a un solo perıodo γa ∈ [0, 4π]. Losotros perıodos pueden incluirse en la amplitud del oscilador. Definiendo el cuatro–vector ~ub, todas las trayectorias se suman sobre la trayectoria que va hacia el angulofinal de Euler γ o a todas sus repeticiones periodicas [las cuales por la Ec. (13.102)tienen el mismo ~ub]. Esta fue la leccion aprendida en la Seccion 6.1. En lugar deesto, la Ec. (13.120) contiene una suma sobre todos los perıodos iniciales, lo cuales completamente equivalente a lo discutido aquı. En forma especıfica, la relacion(13.120) sera

〈xb|UE(S)|xa〉 = eie2S/h 1

16

∫ 4π

0dγa(~ubS|~ua0). (13.124)

La razon por la cual los otros perıodos en la Ec. (13.120) deben de ser omitidos puedeentenderse mejor si hacemos la comparacion con el caso bi–dimensional. Es ese casoobservamos una doble degeneracion de contribuciones a la particion temporal dela integral de trayectoria, la cual cancela todos los factores 2 en la norma (13.76).En el caso actual sucede lo mismo, excepto que tenemos una degeneracion infinita.Cuando se integra sobre todas las imagenes d4un de d4xn en la integral de trayectoriadel oscilador, para el intervalo γn ∈ [0, 4π], cubrimos una vez el espacio original x,y en forma repetida para todos los perıodos γn ∈ [4πl, 4π(l + 1)]. Esto suguiereque cada elemento de volumen d4un debe ser dividido por un factor infinito para


eliminar la degeneracion. Sin embargo, esto no es necesario dado que el terminoproporcional al gradiente da origen al mismo factor infinito. De hecho

(~un + ~un−1)2(~un − ~un−1)

2 (13.125)

es pequeno si ~xn ≈ ~xn−1 para un numero infinito de valores de γn − γn−1, uno paracada repeticion periodica del intervalo [0, 4π]. La degeneracion infinita cancela elfactor infinito en el denominador de la norma. El unico caso donde la cancelacion nosucede es en la integral

∫

dx4a/ra. En este caso el factor infinito en el denominadoraun esta presente, pero se puede remover restringiendo la integral sobre γa, en laEc. (13.124), a un solo perıodo [8].

Notese que un cambio de γa en 2π, i.e., por la mitad del perıodo, cambia ~u a −~u,lo cual corresponde a la doble–degeneracion del sistema bi–dimensional anterior.

Ahora, podemos hallar inmediatamente la particion temporal de la integral detrayectoria del oscilador armonico, la amplitud es la version cuatro-dimensional dela Ec. (13.33) [recordemos la Ec. (2.177)]:

(~ubS|~ua0) =1

(2πihǫs/µ)2

N∏

n=1

[

∫

d4∆un2πihǫs/µ

]

exp

[

i

h

N∑

n=1

µ

2

(

1

ǫs∆~un

2 − ǫsω2~u2n

)

]

=ω2

(2πih sinωS /µ)2exp

i

2h

µω

sinωS[(~ub

2+~u2a) cosωS−2~ub~ua]

. (13.126)

Para hallar la amplitud de energıa fija, tenemos que integrar esta expresion sobre S:

(xb|xa)E =∫ ∞

0dSeie

2S/h 1

16

∫ 4π

0dγa(~ubS|~ua0). (13.127)

Tal como en la Ec. (13.35), la integral se puede escribir en forma mas convenienteen terminos de las variables dadas por las Ecs. (13.38)–(13.40), de tal forma queobtenemos la amplitud de energıa fija del sistema tridimensional de Coulomb

(xb|xa)E =1

16

∫ ∞

0dSeie

2S/h∫ 4π

0dγa(~ubs|~ua 0)

= −i ωM2

2π2h2

∫ ∞

−∞

dx4ara

∫ 1

0d

−ν

(1− )2exp

(

2κ2√

1− ~ub~ua

)

exp

[

−κ1 +

1 − (rb + ra)

]

.

Para hallar la integral sobre dx4b , escribimos ahora el termino ~ub~ua en funcion de losangulos polares

~ub~ua =√rbra cos(θb/2) cos(θa/2) cos[(ϕb − ϕa + γb − γa)/2]

+ sin(θb/2) sin(θa/2) cos[(ϕb − ϕa − γb + γa)/2] . (13.128)

Un rearreglo trigonometrico nos permite reescribir los angulos polares como

~ub~ua =√rbra cos[(θb − θa)/2] cos[(ϕb − ϕa)/2] cos[(γb − γa)/2]

− cos[(θb + θa)/2] sin[(ϕb − ϕa)/2] sin[(γb − γa)/2] , (13.129)


y luego en la forma

~ub~ua =√

(rbra + xbxa)/2 cos[(γb − γa + β)/2], (13.130)

donde β esta definido por

tanβ

2=

cos[(θb + θa)/2] sin[(ϕb − ϕa)/2]

cos[(θb − θa)/2] cos[(ϕb − ϕa)/2], (13.131)

o

cosβ

2= cos

θb − θa2

cosϕb − ϕa

2

√

rbra(rbra + xbxa)/2

. (13.132)

Ahora, podemos hallar la integral∫ 4π0 dγa para cada x fijo. Esto nos permite hallar

la amplitud de energıa fija del sistema de Coulomb [1, 9, 11, 10].

(xb|xa)E = −i Mκ

πh

∫ 1

0d

−ν

(1− )2I0

(

2κ2√

1−

√

(rbra + xbxa)/2

)

× exp

[

−κ1 +

1− (rb + ra)

]

, (13.133)

donde κ y ν son los mismos parametros que aquellos dados en las Ecs. (13.40).Tal como en el caso bi–dimensional, la integral converge solo para ν < 1. Sin

embargo, es posible hallar otra representacion integral que converga para todo ν 6=1, 2, 3, . . . , mediante el cambio de las variables de integracion ζ ≡ (1 + )/(1− ),y luego transformando la integral sobre ζ en una integral de contorno que circundela singularidad desde ζ = 1 hasta ∞, en el sentido de las manecillas del reloj. Dadoque la singularidad es de la forma (ζ − 1)−ν , el reemplazo es

∫ ∞

1dζ(ζ − 1)−ν . . .→ πeiπν

sin πν

∫

C

dζ

2πi(ζ − 1)−ν . . . . (13.134)

Esto nos lleva a la representacion

(xb|xa)E = −iMπh

κ

2

πeiπν

sin πν

∫

C

dζ

2πi(ζ − 1)−ν(ζ + 1)ν

× I0(2κ√

ζ2 − 1√

(rbra + xbxa)/2)e−κζ(rb+ra). (13.135)

13.5 Carencia de Correcciones debido a la Particion

Temporal para el caso D = 3

Demostraremos ahora que en el sistema tridimensional de Coulomb el procedimiento de hallar laparticion temporal finita no cambia el resultado formal dado en la ultima seccion. El lector nointeresado en los detalles puede consultar el breve argumento dado en la Seccion 13.6. La accion


ANE en la particion temporal de la integral de trayectoria tiene que complementarse, para cada

seccion, con la accion Jacobiana [tal como se hizo en la Ec. (13.67)]

i

hAǫ

J = −eµeiµ,ν∆uν − eiµeiκ,νej

κeiµ,λ∆uν∆uλ

= −Γνµµ∆uν − 1

2Γνκ

σΓλσκ∆uν∆uλ. (13.136)

La base tetrada

eiµ = ∂xi/∂uµ = 2Aiµ(~u), i = 1, 2, 3, 4, (13.137)

esta ahora dada por la matriz (13.107), de dimension 4 × 4 , donde la tetrada recıproca es

eiµ =

1

2~u2eiµ. (13.138)

De aquı hallamos las componentes de la coneccion afın [comparar con la Ec. (13.18)]

(Γ1)µν =

1

~u2

u1 u2 −u3 −u4−u2 u1 −u4 u3

u3 u4 u1 u2

u4 −u3 −u2 u1

µ

ν

,

(Γ2)µν =

1

~u2

u2 −u1 u4 −u3u1 u2 −u3 −u4

−u4 u3 u2 −u1u3 u4 u1 u2

µ

ν

, (13.139)

(Γ3)µν =

1

~u2

u3 u4 u1 u2

−u4 u3 u2 −u1−u1 −u2 u3 u4

−u2 u1 −u4 u3

µ

ν

,

(Γ4)µν =

1

~u2

u4 −u3 −u2 u1

u3 u4 u1 u2

u2 −u1 u4 −u3−u1 −u2 u3 u4

µ

ν

.

Como en el caso bi–dimensional [ver la Ec. (13.19)], la coneccion cumple con la importante identidad

Γµµν ≡ 0, (13.140)

la cual es, una vez mas, consecuencia de la relacion [comparar con la Ec. (13.21)]

∂µeiµ = 0. (13.141)

En la Seccion 13.6 se mostrara que esta es la razon esencial por la cual no tenemos correccionesdebido a la particion temporal, mismas que seran demostradas en esta seccion.

Sin embargo, ahora hay una diferencia importante con respecto al caso bi–dimensional. Laactual transformacion dxi = eiµ(u)duµ no es integrable. De la parte antisimetrica de Γµν

λ encon-tramos que el espacio uµ tiene la torsion Sµν

λ, cuyas componentes diferentes de cero son

S12λ = S34

λ =1

~u2(−u2, u1,−u4, u3)λ. (13.142)

La contraccion de la torsion es

Sµ = Sµνν =

uµ

~u2. (13.143)


Por esta razon, las conecciones contraidas

Γνµµ = ei

µ∂νeiµ =

4uν

~u2, (13.144)

Γµνµ = −eiν∂µeiµ =

2uν

~u2

ya no son iguales, contrario a lo que se habıa encontrado en la Ec. (13.69). La simetrizacion en losındices inferiores dara

Γνµµ =

3uν

~u2. (13.145)

Contrario al caso bi–dimensional, los terminos ∆uν∆uλ ya no estan dados directamente por

ΓνκσΓλσ

κ = − 4

~u4(δνλ~u2 − 2uνuλ). (13.146)

La simetrizacion de los ındices inferiores es necesaria y sera

ΓνκσΓλσ

κ = ΓνκσΓλσ

κ − 2ΓνκσSλσ

κ + SνκσSλσ

κ (13.147)

= ΓνκσΓλσ

κ − 2(−δνλ~u2 + 2uνuλ)/~u4 + uνuλ/~u4.

Reuniendo terminos, la accion Jacobiana (13.136) sera

i

hAǫ

J = −[

3~un∆~un~u2n

− ∆~un2

~u2n+

5

2

(

~un∆~un~u2n

)2

+ . . .

]

. (13.148)

Contrario a la ecuacion bi–dimensional (13.71), esta expresion no se puede incorporar a la expresionde Aǫ

f . Aunque las dos expresiones contienen los mismo terminos, sus coeficientes son diferentes[ver la Ec. (13.116)]:

i

hAǫ

f = 3λ log

(

~u2n~u2n−1

)

(13.149)

= 3λ

[

2~un∆~un~u2n

− ∆~un2

~u2n+ 2

(

~u∆~un~u2n

)2

+ . . .

]

.

Entonces es conveniente reescribir (omitimos los subındices n)

i

hAǫ

J = −2 log

[

~u2

(~u− ∆~u)2

]

+~u∆~u

~u2(13.150)

−∆~u2

~u2+

3

2

(

~u∆~u

~u2

)2

+ . . . ,

y absorber el primer termino en Aǫf , el cual cambia el factor 3λ en (3λ − 2). Ası, obtenemos la

accion adicional [comparemos con la Ec. (13.81)]

i

h∆corrAǫ =

i

h4M

∆~u2

2ǫ

[

(2λ− 1)~u∆~u

~u2+ (

1

4− λ)

∆~u2

~u2+ 2λ2

(

~u∆~u

~u2

)2]

+(3λ− 2)

[

2~u∆~u

~u2− ∆~u2

~u2+ 2

(

~u∆~u

~u2

)2]

+~u∆~u

~u2− (∆~u)2

~u2+

3

2

(

~u∆~u

~u2

)2

+ . . . . (13.151)

13.6 Argumento Geometrico que Justifica la Carencia de Correcciones de la Particion . . .1003

Con esto, mostramos que el desarrollo del termino de la correccion

C = exp

(

i

h∆corrAǫ

)

− 1 (13.152)

tiene valores esperados iguales a cero

〈C〉0 = 0,

〈C (~p∆~u)〉0 = 0, (13.153)

i.e.,

i

h〈∆corrAǫ〉0 +

1

2

(

i

h

)2

〈(∆corrAǫ)2〉0 = 0, (13.154)

i

h〈∆corrA (~p∆~u)〉0 = 0, (13.155)

tal como en las Ecs. (13.92) y (13.93). De hecho, usando la formula (13.91) puede hallarse inme-diatamente que el valor esperado dado por la Ec. (13.155) es igual a

i

[

−2(2λ− 1)D + 2

16+ 2(3λ− 2)

1

4+

1

4

]

, (13.156)

el cual se anula identicamente para D = 4. De forma similar, usando la formula (13.90), el valoresperado para el primer termino en la Ec. (13.154) es proporcional a

i

[

−2

(

1

4− λ

)

(D + 2)D

16− 4λ2

D + 2

16− (3λ− 2)

(

D

4− 2

4

)

−(

D

4− 3

8

)]

, (13.157)

i.e., para D = 4, tendremos

−i38(2λ− 1)2, (13.158)

a esta expresion tendremos que sumar la contribucion del segundo termino

i1

2

[

4(2λ− 1)2(D + 4)(D + 2)

64+ 9(2λ− 1)2

1

4− 12(2λ− 1)2

D + 2

16

]

, (13.159)

contribucion que cancela la expresion (13.158) para D = 4. Ası, tambien para el caso tri–dimensional, la suma de todas las correcciones de la particion temporal se anulan.

13.6 Argumento Geometrico que Justifica la Carencia de

Correcciones de la Particion Temporal

Como se menciono anteriormente, puede mostrarse que la razon que justifica la carencia de co-rrecciones de la particion temporal son una propiedad de la coneccion

Γµµλ = gµνei

λ∂µeiν = 0, (13.160)

la cual se sigue de la identidad ∂µeiµ = 0, misma que se cumple para la tetrada base, y del caracter

diagonal de la metrica gµν ∝ δµν . De hecho, es posible aplicar las tecnicas de las Secciones 10.1 y10.2 a la amplitud de evolucion pseudotemporal general (12.28), donde las funciones reguladorasson

fl = f(x), fr ≡ 1. (13.161)


Dado que esta regularion afecta solo a los postpuntos en cada seccion temporal, puede hallarsede manera directa la derivacion equivalente a la amplitud de tiempo corto de la Seccion 11.3. Elresultado se puede expresar en la forma (donde hemos omitido los subındices n)

Kǫ(∆q) =

√

g(q)√

2πiǫhf/MD

exp

[

i

h(Aǫ + Aǫ

J)

]

, (13.162)

donde f es una abreviacion del valor de postpunto f(xn) y Aǫ es la accion para tiempos cortos

Aǫ =M

2ǫfgµν(q)∆q

µ∆qν . (13.163)

Ahora, existe una expresion simple para la accion Jacobiana. Con ayuda de la formula (11.75),obtenemos

i

hAǫ

J =1

2Γµ

µν∆q

ν − iǫhf

8M(Γµ

µν)2. (13.164)

En la formulacion postpunto, la norma no necesita ninguna transformacion. Esto puede versedirectamente de la expresion de la particion temporal dada por la Ec. (13.8) para el caso λ = 0 o,de forma explıcita, de la cancelacion de la accion extra Aǫ

f en la Ec. (13.74) para D = 2 y en laEc. (13.149) para D = 3. Como resultado, la cancelacion de la coneccion contraida que se obtieneen la Ec. (13.164) obliga a que todas las correcciones de la particion temporal se anulen. Solo laaccion base de tiempos cortos (13.163) es diferente de cero:

∆Aǫ = 4M(∆u)2

2ǫs. (13.165)

Gracias a esta circunstancia fortuita, la solucion formal hallada por Duru y Kleinert en 1979 resultaser correcta.

13.7 Comparacion con la Teorıa de Schrodinger

Por completes, mostraremos el significado de la propiedad geometrica Γµµλ = 0 en

la teorıa de Schrodinger. Consideremos la ecuacion de Schrodinger del sistema deCoulomb

(

− 1

2Mh2∇2 − E

)

ψ(x) =e2

rψ(x), (13.166)

que sera transformada a la ecuacion del oscilador armonico. La regularizacion post-punto de la integral de trayectoria junto con las funciones (13.161) equivale a mul-tiplicar la ecuacion de Schrodinger a la izquierda por fl = r. De esto obtenemos

(

− 1

2Mh2r∇2 − Er

)

ψ(x) = e2ψ(x). (13.167)

Ahora busquemos las coordenadas uµ cuya raız cuadrada transformen −Er en elpotencial armonico −E(uµ)2 y el Laplaciano ∇

2 en gµν∂µ∂ν −Γµµλ∂λ. La propiedad

geometrica Γµµλ = 0 asegura la ausencia del segundo termino y el resultado es

simplemente gµν∂µ∂ν . Dado que gµν = δµν/4r, la ecuacion de Schrodinger (13.167)tiene la forma simple

[

− 1

8Mh2∂2µ − E(uµ)2

]

ψ(uµ) = e2ψ(uµ). (13.168)

13.7 Comparacion con la Teorıa de Schrodinger 1005

Debido al factor (uµ)2 que acompana a la energıa E, el producto escalar para estadosortogonales entre sı, con diferente energıa, esta dado por

〈ψ′|ψ〉 =∫

d4uψ′(uµ)(uµ)2ψ(u). (13.169)

Esto corresponde precisamente al producto escalar dado en la Ec. (11.95), el cualtiene el proposito de hacer que, en el espacio uµ con torsion, el operador de Lapace(∆ = (1/4u2)∂2u) sea hermıtico. De hecho, el tensor de torsion contraido Sµ = Sµν

ν

se puede escribir como el gradiente de una funcion escalar:

Sµ = ∂µσ(~u), σ(~u) =1

2log ~u2. (13.170)

En forma general, hemos mostrado en la Ec. (11.104) que sı Sµ(q) es una derivadaparcial de un campo escalar σ(q), el producto escalar estara dado por la Ec. (11.95):

〈ψ2|ψ1〉phys ≡∫

dDq√

g(q)e−2σ(q)ψ∗2(q)ψ1(q). (13.171)

De la Ec. (13.137), tenemos

√g = 16~u4, (13.172)

de tal forma que el producto escalar es

〈ψ2|ψ1〉phys =∫

d4u√ge−2σψ∗

2(~u)ψ1(~u) =∫

d4u 16~u2ψ∗2(~u)ψ1(~u). (13.173)

El operador de Laplace obtenido de ∂2~x por la transformacion no–holonomica deKustaanheimo-Stiefel es ∆ = (1/4~u2)∂2µ. En el producto escalar de la Ec. (13.173),este operador es Hermıtico, pero en el producto escalar de la Ec. (11.90), cuya normade integracion es

∫

d4u 16~u4, no lo es.En dos dimensiones, la torsion se cancela y el producto escalar se reduce a la

forma simple:

〈ψ2|ψ1〉phys =∫

d2u√gψ∗

2(u)ψ1(u) =∫

d2u 4u2ψ∗2(u)ψ1(u). (13.174)

Si µ = 4M y −E = µω2/2, la Ec. (13.168) es la ecuacion de Schrodinger deloscilador armonico:

[

− 1

2µh2∂2µ +

µ

2ω2(uµ)2

]

ψ(uµ) = Eψ(uµ). (13.175)

Los valores propios de la pseudoenergıa E son

EN = hω(N +Du/2), (13.176)

donde Du = 4 es la dimension del espacio uµ,

N =Du∑

i=1

ni (13.177)


la suma es sobre los numeros cuanticos principales enteros de las funciones de ondafactorizadas en cada direccion del espacio uµ. El caracter multivaluado de la transfor-macion de x a uµ nos permite asociar solamente las funciones de onda simetricas conlos estados de Coulomb. Ası, N debe ser par y puede se escrito como N = 2(n− 1).Por lo tanto, el espectro de la pseudoenergıa sera

En = hω 2(n+Du/4− 1), n = 1, 2, 3, . . . . (13.178)

De acuerdo a la Ec. (13.175), las funciones de onda de Coulomb deben de tener lapseudoenergıa

En = e2. (13.179)

Las dos ecuaciones se cumplen si la frecuencia del oscilador tiene los valores discretos

ω = ωn ≡ e2

2(n+Du/4− 1), n = 1, 2, 3 . . . . (13.180)

Donde ω2 = −E/2M y Du = 4, de esto obtenemos las energıas de Coulomb

En = −2Mω2n = −Me4

h21

2n2= −Mc2

α2

2n2, (13.181)

mostrando que el numero N/2 = n − 1 corresponde al numero cuantico principalusual de las funciones de onda de Coulomb.

Enfoquemos ahora nuestra atencion al problema tridimensional del sistema deCoulomb, donde Du = 4. En este caso no todas las funciones de onda pares deloscilador se corresponden con las funciones de onda del estado ligado de Coulomb.Esto se sigue del hecho de que las funciones de onda de Coulomb no dependen dela cuarta coordenada muda x4 (o lo que es lo mismo, los angulos mudos γ). Ası lasfunciones cumplen la restriccion ∂x4ψ = 0, lo cual implica que en el espacio uµ secumple la relacion [recordemos la Ec. (13.137)]

−ir∂x4ψ(x) = −ire4µ∂µψ(uµ) = −i12

[

(u2∂1 − u1∂2) + (u4∂3 − u3∂4)]

ψ(uµ)

= −i∂γψ(uµ) = 0. (13.182)

La construccion explıcita de las funciones de onda del oscilador y del estadoligado de Coulomb puede hacerse en forma mas conveniente en terminos de lascoordenadas complejas (13.101). En terminos de las cuales, la restriccion (13.182)sera

1

2[z∂z − z∂z ]ψ(z, z

∗) = 0. (13.183)

Misma que sera utilizada en lo que sigue para seleccionar los estados de Coulomb.Para resolver la ecuacion de Schrodinger (13.175), simplificaremos la notacion

usando unidades atomicas , donde h = 1,M = 1, e2 = 1, µ = 4M = 4. Las


longitudes se miden en unidades del radio de Borh (4.376), cuyo valor numerico esaH = h2/Me2 = 5.2917 × 10−9 cm, las energıas se miden en unidades de EH ≡e2/aH = Me4/h2 = 4.359 × 10−11 erg = 27.210 eV y las frecuencias ω en unidadesde ωH ≡ Me4/h3 = 4.133 × 1016/sec(= 4π× la frecuencia de Rydberg νR). Luegola Ec. (13.175) sera (donde hemos multiplicado por 4M/h2)

hψ(uµ) ≡ 1

2

[

−∂2µ + 16ω2(uµ)2]

ψ(uµ) = 4ψ(uµ). (13.184)

Es claro que el espectro del operador h sera 4ω(N + 2) = 8ωn. Donde, de larestriccion sobre la frecuencia ω, obtenemos los valores ωn = 1/2n.

Ahora, vemos que el operador h tendra la forma estandar

hs =1

2

[

−∂2µ + 4(uµ)2]

, (13.185)

con ayuda de la transformacion dependiente de ω tendremos

h = 4ωeiϑDhse−iϑD, (13.186)

donde el operador D es el operador de dilatacion infinitesimal, el cual en este con-texto sera llamado operador de deriva [12, 13]:

D ≡ −1

2iuµ∂µ, (13.187)

y ϑ es el angulo de deriva

ϑ = log(2ω). (13.188)

Por lo tanto, las funciones de onda de Coulomb estaran dadas por las solucionesreescaladas de la ecuacion estandarizada de Schrodinger dada en la Ec. (13.185):

ψ(uµ) = eiϑDψs(uµ) = ψs(√2ωuµ). (13.189)

Notese que para la solucion con numero cuantico principal n, el parametro de escala√2ω depende de n en la forma:

ψn(uµ) = ψs

n(uµ/√n). (13.190)

Las funciones de onda estandarizadas ψsn(u

µ) se construyen convenientementepor medio de cuatro conjuntos de operadores de creacion y aniquilacion a†1, a

†2, b

†1, b

†2

y a1, a2, b1, b2. Estos operadores son una combinacion de z1, z2, sus complejos conju-gados y los operadores diferenciales asociados, ∂z1 , ∂z2, ∂z∗1 , ∂z∗2 . Las combinacionesson las mismas a las dadas en las Ecs. (9.127) y (9.128), lo mismo para z1 comopara z2. Ademas, elegimos los ındices de tal forma que ai y bi se transforman conla misma representacion espinorial de la rotacion de grupo. Si cij es la matriz 2× 2

c = iσ2 =

(

0 1− 1 0

)

, (13.191)


entonces cijzj se transforma como z∗i . Por lo cual, definimos los operadores decreacion

a†1 ≡ − 1√2(−∂z∗

2+ z2), b†1 ≡

1√2(−∂z1 + z∗1),

a†2 ≡1√2(−∂z∗

1+ z1), b†2 ≡

1√2(−∂z2 + z∗2), (13.192)

y los operadores de aniquilacion

a1 ≡ − 1√2(∂z2 + z∗2), b1 ≡

1√2(∂z∗

1+ z1),

a2 ≡1√2(∂z1 + z∗1), b2 ≡

1√2(∂z∗

2+ z2). (13.193)

Notese que ∂†z = −∂z∗ . El Hamiltoniano estandarizado del oscilador sera

hs = 2(a†a+ b†b+ 2), (13.194)

donde hemos utilizado la misma notacion espinorial de la Ec. (13.99). El estadobase del oscilador cuatro–dimensional es aniquilado por a1, a2 y b1, b2. Por lo cualtendra la siguiente funcion de onda

〈z, z∗|0〉 = ψs,0000(z, z∗) =

1√πe−z1z∗1−z2z∗2 =

1√πe−(uµ)2 . (13.195)

Como es usual, el conjunto completo de funciones de onda se obtiene aplicando losoperadores de creacion al estado base,

|na1, n

a2, n

b1, n

b2〉 = Nna

1,na

2,nb

1,nb

2

a†na

1

1 a†na

2

2 b†nb

1

1 b†nb

2

2 |0〉, (13.196)

donde el factor de normalizacion es

Nna1,na

2,nb

1,nb

2

=1

√

na1!n

a2!n

b1!n

b2!. (13.197)

Los valores propios de hs se obtienen de la suma de los numeros cuanticos de a y bcomo

2(na1 + na

2 + nb1 + nb

2 + 2) = 2(N + 2) = 4n. (13.198)

Las funciones de onda de Coulomb del estado ligado estan en una corresponden-cia uno–a–uno con las funciones de onda del oscilador, las cuales cumplen con larestriccion dada por la Ec. (13.183), y las podemos escribir en la forma

L05 = −1

2(a†a− b†b)ψs = 0. (13.199)


Estos estados tienen un numero igual de cuantos a y b. Los estados diagonalizan losespınes a y b (los cuales conmutan mutuamente)

Lai ≡

1

2a†σia, La

i ≡1

2b†σib, (13.200)

y tienen los numeros cuanticos

la = (na1 + na

2)/2, ma = (na1 − na

2)/2,

lb = (nb1 + nb

2)/2, mb = (nb1 − nb

2)/2, (13.201)

donde l y m son los valores propios de L2 y L3, respectivamente. Definiendo

na1 ≡ n1 +m, na

2 ≡ n2, nb1 = n2 +m, nb

2 = n1, para m ≥ 0,

na1 ≡ n1, na

2 ≡ n2 −m, nb1 = n2, nb

2 = n1 −m, para m ≤ 0, (13.202)

entramos en contacto con los estados propios |n1, n2, m〉 los cuales aparecen na-turalmente cuando diagonalizamos el Hamiltoniano de Coulomb en coordenadasparabolicas. La relacion entre estos estados y la funcion de onda usual de Coulomb,para un momentum angular dado |nlm〉, es obvia dado que el operador del mo-mentum angular Li es igual a la suma de los espınes a y b. La rediagonalizacionse obtiene de los coeficientes usuales de los vectores de acoplamiento (ver la ultimaecuacion del Apendice 13A).

Notese que luego de la transformacion de deriva dada por la Ec. (13.189), elcomportamiento exponencial de las funciones de onda ψs

n(uµ) ∝ polinomio(uµ) ×

e−(uµ)2 muestran correctamente la dependencia exponencial en funcion de r de lasfunciones de onda de Coulomb, ψ(x) ∝ polinomio(x)× e−r/n.

Es importante notar que aunque el operador de dilatacion D es Hermıtico y eloperador eiϑD para el angulo ϑ fijo es unitario, los estados ligados de Coulomb ψn,que se obtienen del conjunto completo de estados del oscilador ψs

n aplicando eiϑD,no cubren el espacio de Hilbert. Debido a la dependencia en n del angulo de derivaϑn = log(1/n), no puede cubrirse una seccion del espacio de Hilbert. Los estadoscontinuos del sistema de Coulomb, los cuales se obtienen cambiando otro conjuntocompleto de estados, cubren esa seccion. En forma intuitiva, podemos enteder laincompletes de las funciones de onda en la siguiente forma. Las funciones de ondaψsn(u

µ) para valores crecientes de n tienen oscilaciones espaciales con longitudes deonda cada vez menores. Esto permite que la completes de la suma

∑

n ψsn(u

µ)ψs∗n (uµ)

de origen a una funcion δ, la cual es necesaria para cubrir el espacio de Hilbert. Porel contrario, cuando construimos la suma de las funciones de onda dilatadas

∑

n

ψsn(u

µ/√n)ψs∗

n (uµ/√n),

los termimos para valores grandes de n tienen oscilaciones espaciales que continua-mente se compactan, las cuales no son suficientes para construir una distribucioninfinitamene angosta.

Algunas propiedades algebraicas mas, de la representacion de los operadores decreacion y aniquilacion de las funciones de onda de Coulomb, pueden hallarse en elApendice 13A y en la Seccion 13.10.


13.8 Descomposicion Angular de la Amplitud

y la Funcion de Onda Radial

Veamos ahora la descomposicion angular de la amplitud de energıa fija. Este es unpunto de partida apropiado para obtener las funciones de onda radiales del sistemade Coulomb, el cual en el Capıtulo 14 nos permitira hallar la amplitud de Coulomben D dimensiones. Partimos de la Ec. (13.133),

(xb|xa)E = −iMκ

πh

∫ 1

0d

−ν

(1− )2I0

(

2κ2√

1−

√

(rbra + xbxa)/2

)

× exp

−κ1 +

1− (rb + ra)

, (13.203)

y reescribimos la funcion de Bessel como I0(z cos(θ/2)), donde θ es el angulo relativoentre xa y xb, ademas

z ≡ 2κ√rbra

2√

1− . (13.204)

Ahora, utilizando el desarrollo1

(

1

2kz)µ−ν

Iν(kz) = kµ∞∑

l=0

1

l!

Γ(l + µ)

Γ(1 + ν)(2l + µ)F (−l, l + µ; 1 + ν; k2)(−)lI2l+µ(z).

(13.205)

Haciendo k = cos(θ/2), ν = 2q > 0, µ = 1 + 2q y usando las formulas (1.445) y(1.446) para las funciones de rotacion, obtenemos

I2q(z cos(θ/2)) =2

z

∞∑

l=|q|

(2l + 1)dlqq(θ)I2l+1(z), (13.206)

las cuales para el caso q = 0 se reducen a

I0(z cos(θ/2)) =2

z

∞∑

l=0

(2l + 1)Pl(cos θ)I2l+1(z). (13.207)

Luego de sustituir este resultado en la Ec. (13.133) y utilizando y = − 1

2log , obte-

nemos

= e−2y, z = 2κ√rbra

1

sinh y, (13.208)

donde hemos expresado la amplitud de energıa fija en terminos de los armonicosesfericos

1G.N. Watson, Theory of Bessel Functions , Cambridge University Press, London, 1966, 2nded., pag.140, ver la Formula (3).

13.8 Descomposicion Angular de la Amplitud y la Funcion de Onda Radial 1011

(xb|xa)E =1

rbra

∞∑

l=0

(rb|ra)E,l2l + 1

4πPl(cos θ)

=1

rbra

∞∑

l=0

(rb|ra)E,l

l∑

m=−l

Ylm(xb)Y∗lm(xa), (13.209)

y donde la amplitud radial es

(rb|ra)E,l = −i√rbra2M

h

∫ ∞

0dy

1

sinh ye2νy (13.210)

× exp [−κ coth y(rb + ra)] I2l+1

(

2κ√rbra

1

sinh y

)

.

Ahora, usamos la formula integral (9.29) y encontramos

(rb|ra)E,l = −iMhκ

Γ(−ν + l + 1)

(2l + 1)!Wν,l+1/2 (2κrb)Mν,l+1/2 (2κra) . (13.211)

Los terminos del lado derecho contienen la energıa E en terminos de los parametros

κ =√

−2ME/h2 y ν =e2/2ωh=√

−e4M/2h2E. La funcion Gama tiene polos enν = n, donde n = l + 1, l + 2, l + 3, . . . . Estos polos corresponden a los estadosligados del sistema de Coulomb, donde las energıas propias son

En = −Me4

h21

2n2= −Mc2

α2

2n2. (13.212)

Si usamos la relacion

κ =1

aH

1

ν, (13.213)

donde el radio de Bohr es

aH ≡ h2

Me2(13.214)

(en el electron, aH ≈ 0.529× 10−8cm), para distancias cercanas a los polos tenemosla aproximacion ν ≈ n,

Γ(−ν + l + 1) ≈ −(−)nr

nr!

1

ν − n,

1

ν − n≈ 2

n

h2κ2

2M

1

E −En

,

κ ≈ 1

aH

1

n, (13.215)


donde nr = n− l − 1. Ası

−iΓ(−ν + l + 1)M

hκ≈ (−)nr

n2nr!

1

aH

ih

E − En. (13.216)

El desarrollo de la representacion espectral de la amplitud de energıa fija radial cercade los polos tendra la forma

(rb|ra)E,l =∞∑

n=l+1

ih

E − EnRnl(rb)Rnl(ra) + . . . . (13.217)

Las funciones de onda radiales definidas por este desarrollo corresponden a las fun-ciones de onda normalizadas del estado base

ψnlm(x) =1

rRn,l(r)Ylm(x). (13.218)

Comparando los terminos de los polos de las Ecs. (13.211) y (13.217) [donde hemosusado la Ec. (13.216) y la formula (9.48) para las funciones de Whittaker, junto conla Ec. (9.50)], identificamos las funciones de onda radiales como

Rnl(r) =1

a1/2H n

1

(2l + 1)!

√

√

√

√

(n+ l)!

(n− l − 1)!

× (2r/naH)l+1e−r/naHM(−n + l + 1, 2l + 2, 2r/naH)

=1

a1/2H n

√

√

√

√

(n− l − 1)!

(n + l)!e−r/naH (2r/naH)

l+1L2l+1n−l−1(2r/naH). (13.219)

Para obtener la ultima expresion hemos usado la fomula (9.53).2 Debe de notarse quelas integrales de normalizaciıon de las funciones Rnl(r) difieren por el factor z/2n =(2r/naH)/2n, de la normalizacion correspondiente al caso del oscilador armonicodado en la Ec. (9.54). Estas integrales de normalizacion pueden encontrarse entablas integrales. Sin embargo, debido a la relacion de recursion de los polinomiosde Laguerre

zLµn(z) = (2n+ µ+ 1)Lµ

n(z)− (n+ µ)Lµn−1(z)− (n+ 1)Lµ

n+1(z), (13.220)

encontramos que el factor z/2n deja invariables los valores de las integrales de nor-malizacion. La ortogonalidad de las funciones de onda para diferente valor de nes mas difıcil de visualizar, ya que en las integrales los dos polinomios de Laguerretienen diferente argumento. El tratamiento de teorıa de grupos del Apendice 13Ada una solucion mas simple, la ortogonalidad se muestra en la Ec. (13A.28).

Regresemos ahora a las funciones de onda continuas. La amplitud de energıafija tiene una discontinuidad en el plano de la energıa, para energıas positivas donde

2Comparese con L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics , Pergamon, London,1965, p. 119. Notese la diferencia en la definicion de los polinomios de Laguerre Lµ

n =[(−)µ/(n+µ)!]Ln+µ

µ|L.L..

13.8 Descomposicion Angular de la Amplitud y la Funcion de Onda Radial 1013

κ = −ik y ν = i/aHk son imaginarios. En este caso reescribimos ν = iν ′. De ladiscontinuidad podemos extraer la dispersion de las funciones de onda. La discon-tinuidad esta dada por

disc (rb|ra)E,l = (rb|ra)E+iη,l − (rb|ra)E−iη,l

=M

hk

[

Γ(−iν ′ + l + 1)

(2l + 1)!Wiν′,l+1/2 (−2ikrb)Miν′,l+1/2 (−2ikra) + (ν ′→ −ν ′)

]

.(13.221)

En el segundo termino reemplazamos

Miν′,l+1/2(−2ikr) = e−iπ(l+1)M−iν′,l+1/2(2ikr), (13.222)

y usamos la relacion, valida para el caso donde arg z ∈ (−π/2, 3π/2), 2µ 6=−1,−2,−3, . . . ,

Mλ,µ(z) =Γ(2µ+ 1)

Γ(µ+ λ+ 1/2)eiπλe−iπ(µ+1/2)Wλ,µ(z) +

Γ(2µ+ 1)

Γ(µ− λ+ 1/2)eiπλW−λ,µ(e

iπz),

(13.223)de donde hallamos

disc (rb|ra)E,l =M

hk

|Γ(−iν ′ + l + 1)|2(2l + 1)!2

eπν′

Miν′,l+1/2 (−2ikrb)M−iν′,l+1/2 (2ikra) .

(13.224)Los estados continuos aparecen en la relacion de completes en la forma

∫ ∞

0

dE

2πhdisc (rb|ra)E,l +

∞∑

n=l+1

Rnl(rb)R∗nl(ra) = δ(rb − ra) (13.225)

[comparar con la Ec. (1.330)]. Sustituyendo la Ec. (13.221) y reemplazando laintegral continua

∫∞0 dE/2πh por la integral del momentum

∫∞−∞ dkkh/2πM , la parte

continua de la relacion de completes sera∫ ∞

−∞dkRkl(rb)R

∗kl(ra), (13.226)

donde las funciones de onda radiales son

Rkl(r) =

√

1

2π

|Γ(−iν ′ + l + 1)|(2l + 1)!

eπν′/2Miν′,l+1/2(−2ikr). (13.227)

Expresando las funciones de Whittaker, Mλ,µ(z), en terminos de las funciones hiper-geometricas, las funciones de Kummer M(a, b, z), en la forma

Mλ,µ(z) = zµ+1/2e−z/2M(µ− λ+ 1/2, 2µ+ 1, z), (13.228)

hallamos nuevamente el resultado conocido de la mecanica cuantica de Schrodinger:3

Rkl(r) =

√

1

2π

|Γ(−iν ′ + l + 1)|(2l + 1)!

eπν′/2eikr(−2ikr)l+1M(−iν ′ + l + 1, 2l + 2,−2ikr).

(13.229)

3L.D. Landau and E.M. Lifshitz, op. cit., pag. 120.


13.9 Notas sobre la Geometrıa del Espacio

Cuatro–Dimensional uµ

A continuacion algunas observaciones sobre la geometrıa de Riemann del espaciocuatro dimensional ~u, cuya metrica es gµν = 4~u2δµν . Como en el caso de dos di-mensiones, el tensor de curvatura de Cartan Rµνλ

κ se anula trivialmente dado queeiµ(~u) es lineal en ~u:

(∂µ∂ν − ∂ν∂µ)eiλ(~u) = 0. (13.230)

Sin embargo, contrario al caso en dos dimensiones el tensor de curvatura de RiemannRµνλ

κ es distinto de cero. El tensor asociado de Ricci [ver la Ec. (10.41)], tiene loselementos de matriz

Rνλ = Rµνλµ

= − 3

2~u 6(δνλ~u

2 − ~uν~uλ), (13.231)

de donde la curvatura escalar es

R = gνλRνλ = − 9

2~u4. (13.232)

En general, a una metrica diagonal de la forma

gµν(q) = Ω2(q)δµν (13.233)

se le llama conformalmente plana, ya que puede ser obtenida de un espacio planocon metrica unitaria gµν = δµν mediante una transformacion conforme a la Weyl

gµν(q) → Ω2(q)gµν(q). (13.234)

Bajo tal transformacion, el sımbolo de Christoffel cambia de la siguiente forma:

Γµνλ → Γ λ

µν + Ω,µδνλ + Ω,νδµ

λ − gµνgλκΩ,κ, (13.235)

los subındices separados por una coma indican diferenciacion, i.e., Ω,µ ≡ ∂µΩ.En D dimensiones, el tensor de Ricci se transforma de acuerdo a la regla

Rµν → Ω−2Rµν − (D − 2)(Ω−3Ω;µν − 2Ω−4Ω,µΩ,ν)

−gµνgλκ[

(D − 3)Ω−4Ω,λΩ,κ + Ω−3Ω;λκ

]

= Ω−2Rµν + (D − 2)Ω−1(Ω−1);µν − gµν(D − 2)−1Ω−D(ΩD−2);λκgλκ. (13.236)

Un subındice separado por un punto y coma significa la derivada covariante enterminos de la coneccion de Riemann, i.e.,

Ω;µν = DνΩ,µ = Ωµν − ΓµνλΩ,λ. (13.237)

13.9 Notas sobre la Geometrıa del Espacio Cuatro-Dimensional uµ 1015

La curvatura escalar tiene la forma

R → RΩ = Ω−2[

R− 2(D − 1)Ω−1Ω;µνgµν− (D − 1)(D − 4)Ω−2Ω,µΩ,νg

µν]

.(13.238)

La metrica gµν = 4~u2δµν en la descripcion del espacio ~u del atomo de hidrogenoes conformalmente plana, de tal forma que, usando Ω = 2|~u|, de las relacionesanteriores podemos hallar todas la cantidades geometricas a partir de la metricatrivial inicial gµν = δµν , donde Rµν = 0, es decir tendremos

Ω,µ = 2uµ

|~u| , Ω,µν =2

|~u|3 (δµν~u2 − uµuν). (13.239)

De los terminos del lado derecho de las Ecs. (13.236) y (13.238) obtenemos

Rµν = −3(D − 2)1

4~u 6(δµν~u

2 − ~uµ~uν),

R = −3(D − 1)(D − 2)1

4~u4. (13.240)

Para el caso D = 4, estas expresiones concuerdan con las Ecs. (13.231) y (13.232).Para D = 2, las expresiones se anulan.

En el sistema de Coulomb, la metrica conformalmente plana dada en laEc. (13.234) se obtiene de la transformacion noholonomica de la Ec. (13.106), dondelas tretradas base estan dadas por la Ec. (13.137) y las inversas estan dadas por laEc. (13.138), las cuales dan origen al tensor de torsion de la Ec. (13.142). En lanotacion de la Ec. (13.234), el tensor de torsion tiene la contraccion

Sµ(q) ≡ Sµνλ(q) =1

2Ω2(q)∂µΩ

2(q). (13.241)

Notese que aunque Sµ(q) es el gradiente de un campo escalar, el tensor de torsion(13.142) no es llamado gradiente de torsion, el cual esta definido, en forma general,por

Sµνλ(q) =

1

2

[

δµλ∂νs(q)− δν

λ∂µs(q)]

. (13.242)

Para un gradiente de torsion, Sµ(q) tambien es un gradiente: Sµ(q) = ∂µσ(q) dondeσ(q) = (D− 1)s(q)/2. Por supuesto, este no es el unico tensor para el cual Sµ(q) esun gradiente.

Notese que bajo una transformacion conforme a la Weyl, un campo escalar sinmasa φ(q) se transforma como

φ(q) → Ω1−D/2(q)φ(q). (13.243)

El operador diferencial de Laplace-Beltrami ∆ = D2 aplicado a φ(q) lo transformaen Ω1−D/2(q)∆Ωφ(q) donde

∆Ω = Ω−2[

∆− 1

2(D − 2)Ω−1Ω;µνg

µν − 1

4(D − 2)(D − 4)Ω−2Ω,µΩ,νg

µν]

. (13.244)


Una comparacion con la Ec. (13.240) muestra que existe una combinacion entre∆ = D2 y la curvatura escalar de Riemann R, que sera llamada Laplaciano cova-

riante de Weyl . Esta combinacion es

∆− 1

4

D − 2

D − 1R. (13.245)

Cuando se aplica a un campo escalar, se transforma como

(

∆− 1

4

D − 2

D − 1R)

φ(q)−−−→ Ω−1−D/2(

∆− 1

4

D − 2

D − 1R)

φ(q). (13.246)

Ası, podemos definir el campo escalar sin masa en una forma conformalmente in-variante requiriendo la cancelacion de la Ec. (13.246), tal como la condicion quese impone a una ecuacion de onda. Esta propiedad de simetrıa ha hecho que lacombinacion dada en la Ec. (13.245) sea la forma preferida del operador Lapacianoen espacios curvos [14].

13.10 Degeneracion del Grupo de Runge-Lenz-Pauli

Una simetrıa del problema de Kleper fue utilizada por Pauli para hallar el espectrodel problema de Coulomb, usando para ello manipulaciones puramente algebraicas.Tenemos el operador vectorial M, construido apartir del operador Hamiltoniano Hde la Ec. (13.1), el operador del momentum p, el operador del momentum angular

L ≡ x× p y el operador pE ≡√

−2MH , el cual es llamado vector de Runge-Lenz-

Pauli :

M =M

pE

[

1

2M(p× L− L× p)− e2

r

r

]

, (13.247)

el cual conmuta con H , y es por tanto una cantidad conservativa. Juntos, los vectoresM y L forman el algebra de las rotaciones O(4) en el espacio cuatro–dimensional

[Li, Lj ] = iǫijkLk, [Li, Mj ] = iǫijkMk, [Mi, Mj ] = iǫijkMk. (13.248)

El vector M es ortogonal a L,

M · L = L · M = 0, (13.249)

y cumple la relacion

L2 + M2 + h2 = −e4 M2H

= e4M2

p2E. (13.250)

Las combinaciones

J(1,2) ≡ 1

2(L± M) (13.251)

13.11 Solucion en el Espacio del Momentum 1017

generan el algebra conmutativa de Lie de las rotaciones tri–dimensionales O(3),

de tal forma que el cuadrado de las cantidades(

J(1,2))2

tienen los valores propios

j(1,2)(j(1,2)+1). La condicion (13.249) implica que j(1) = j(2) = j. Ası, la Ec. (13.250)sera

L2 + M2 + h2= 4(L± M)2 + h2 = [4j(j+1)+1]h2 = e4M2

p2E= −h2α2Mc2

2H.(13.252)

De esto se sigue que los valores propios del operador pE son (2j + 1)αMc, y queH tendra los valores propios Ej = −Mc2α2/(2j + 1)2. De esta forma identificamoslos numeros cuanticos principales como n = 2j + 1 = 0, 1, 2, . . . . Para cada n, losnumeros cuanticos magneticos m1 y m2 de los operadores J(1) y J(2), aceptaran losvalores desde −j hasta j, de tal forma que cada nivel tendra una degeneracion de(2j + 1)2 = n2.

Las funciones de onda del atomo de hidrogeno, con numero cuantico principaln, se obtienen del producto de los estados propios de J(1) y J(2):

|nm1m2〉 = |jm1〉(1) ⊗ |jm2〉(2). (13.253)

En fısica atomica se utiliza la combinacion de estos estados, los cuales diagonalizanel momentum angular orbital L = J(1) + J(2). La combinacion se puede hacercon ayuda de los coeficientes de Clebsch-Gordan (j,m1; j,m2|l, m) [18], los cualesacoplan el espın j con el espın j, donde l = 0, 1, . . . 2j:

|n lm〉 =∑

m1,m2=−j,...,j

|jm1〉(1) ⊗ |jm2〉(2) (j,m1; j,m2|l, m). (13.254)

13.11 Solucion en el Espacio del Momentum

La integral de trayectoria de una partıcula puntual en un potencial de Coulombtambien se puede resolver en el espacio del momentum.

13.11.1 Integral de Trayectoria Pseudotemporal

Al igual que para el tratamiento en el espacio de las coordenadas de la Seccion 13.1,calcularemos los elementos de matriz de la amplitud de desplazamiento pseudotem-poral asociada con el operador resolvente R ≡ i/(E − H). Como se hizo en laEc. (12.19), reescribimos el operador en la forma

R =i

f(E − H)f (13.255)

donde f es una funcion arbitraria del espacio de los momenta. Reescribiendo laintegral de trayectoria dada en la Ec. (12.31) en la representacion del espacio delmomentum de la Ec. (2.34), tenemos que evaluar la integral de trayectoria canonicapara la amplitud de desplazamiento pseudotemporal donde M = 1:


〈pb|UE(S)|pa〉 =∫

D3x(s)∫ D3p(s)

2πh

× exp

i∫ S

0ds

[

−p′ · x− f

(

p2

2− E

)

+ fα

r

]

fa. (13.256)

De esto hallamos la amplitud de energıa fija mediante la integral [comparar con laEc. (13.4)]

(pb|pa)fE =

∫ ∞

0dS 〈pb|UE(S)|pa〉. (13.257)

El superındice f del lado izquierdo nos recuerda la presencia de f en el lado derecho,aunque la amplitud no dependa de f . Esta libertad de eleccion puede verse comouna invarianza de norma [17] de la Ec. (13.257) bajo la transformacion f → f ′.Tal invarianza nos permite someter la Ec. (13.257) a una integral de trayectoriaadicional sobre f , siempre que la funcional que fija la norma Φ[f ] nos asegure lacontribucion de solo una “norma” especıfica. Ası, calcularemos la amplitud (13.257)como la integral de trayectoria

(pb|pa)E =∫

Df Φ[f ] (pb|pa)fE . (13.258)

La unica condicion sobre Φ[f ] es que debe estar normalizada a la unidad:∫ Df Φ[f ] = 1. La eleccion que nos lleva a la integral de trayectoria deseada es

Φ[f ] =∏

s

1

rexp

− i

2r2

[

f − r2(

p2

2− E

)]2

. (13.259)

Con esta eleccion, la accion total de la integral de trayectoria de la Ec. (13.258) sera

A[p,x, f ] =∫ S

0ds

−p′ · x− r2

2

(

p2

2− E

)2

− 1

2r2f 2 +

f

rα

. (13.260)

En la Ec. (13.258), las integrales de trayectoria sobre f y x son Gaussianas, lascuales pueden hallarse inmediatamente, de donde obtenemos la nueva accion

A[p] =1

2

∫ S

0ds

[

4p′2

(p2 + p2E)2 + α2

]

, (13.261)

y donde hemos usado pE ≡√−2E, suponiendo que E es negativa. El regimen

positivo puede obtenerse despues, mediante una continuacion analıtica.Ahora vayamos a un sistema coordenado mas simetrico en el espacio del momen-

tum, proyectando los tres vectores p estereograficamente sobre los vectores unitarioscuatro–dimensionales ~π ≡ (, π4):

≡ 2pEp

p2 + p2E, π4 ≡

p2 − p2Ep2 + p2E

. (13.262)


Con esto, la Ec. (13.261) tendra la forma

A[~π] =1

2

∫ S

0ds

(

1

p2E~π′2 + α2

)

. (13.263)

El vector ~π describe una partıcula puntual con pseudomasa µ = 1/p2E , que se muevesobre una esfera unitaria cuatro–dimensional. La amplitud de evolucion pseudotem-poral de este sistema es

(~πbS|~πa0) =∫ D~π

(2π)3/2p3EeiA[~π]. (13.264)

Veamos ahora como cambia la norma. Cuando se integran las fluctuaciones espa-ciales para obtener la Ec. (13.261) a partir de la Ec. (13.260), la norma canonicaen cada particion temporal [d3pn/(2π)

3]d3xn sera [d3pn/(2π)3][(2π)1/2/(p2

n + p2E)]3.

De la proyeccion estereografica (13.262) vemos que esta expresion es igual ad~πn/(2π)

3/2p3E , donde d~πn representa el producto de las integrales sobre el angulosolido de la superficie de la esfera unitaria en cuatro dimensiones. La integral

∫

d~πes la superficie total 2π2. De manera alternativa, podemos reescribir esta integralcomo en la Ec. (1.560),

∫

d~πn =∫

d4πnδ(|~πn| − 1) = 2∫

d4πnδ(~π2n − 1), o utilizar una

forma angular explıcita del tipo dado en las Ecs. (8.120) o (8.124).La expresion (13.264) se obtuvo mediante manipulaciones puramente formales

sobre el eje pseudotemporal continuo, por lo que la particion pseudotemporal necesi-tara correcciones similares a las usadas en la Seccion 13.5. Para el movimiento sobreuna superficie esferica las correcciones tienen que evaluarse mediante los metodosdel Capıtulo 10. En ese capıtulo vimos que para hallar la correcta particion de laintegral de trayectoria en un espacio curvo la particion temporal de la norma dela trayectoria de integracion esta dada por el producto de las integrales invariantes∫

dqn√

g(qn), en cada seccion temporal, multiplicada por una contribucion de la

accion efectiva exp(iAǫeff(qn)) = exp(iǫR(qn)/6µ), donde R es la curvatura escalar.

Para una esfera de radio r en D dimensiones, R = (D − 1)(D − 2)/r2, lo cual paraD = 4 implica que exp(iAǫ

eff) = exp(iǫ/µ) = exp(iǫ p2E). Ası, cuando transformamosla particion temporal de la norma de la integral de trayectoria (13.256) a la par-ticion temporal de la norma sobre la esfera de la Ec. (13.264), por definicion, el factoreiS p2

E estara contenido en la norma de la integral de trayectoria de la Ec. (13.264)[comparar con las Ecs. (10.153) y (10.154)]. Esto tiene que compensarse con unprefactor e−iS p2

E . Un calculo cuidadoso de las correcciones a la particion temporaldan un factor adicional eiS p2

E/2. Luego, la version correcta de la Ec. (13.264) sera

(~πbS|~πa0) = e−iS p2E/2∫ D~π

(2π)3/2p3EeiA[~π], (13.265)

donde la norma de la integral estara definida como en las Ecs. (10.153) y (10.154).La integral de trayectoria para el movimiento cerca de la superficie de una esfera

en cuatro dimensiones se resolvio en la Subseccion 8.7. Las energıas fueron obtenidas


en la Seccion 8.9. En terminos de las matrices de rotacion, la representacion espectralse obtuvo explıcitamente en la Ec. (8.162). Ahora usaremos los armonicos ultra-esfericos Ylm1m2

(~π), definidos en la Ec. (8.125). De estas funciones construiremos,mediante combinaciones apropiadas, las funciones del atomo de hidrogeno, las cualesseran denotadas como Yn,l,m(~π), donde n, l,m son los numeros cuanticos del atomode hidrogeno cuyos valores son bien conocidos (n = 1, 2, 3, . . . , l = 0, . . . , n−1, m =−l, . . . , l). En forma explıcita, estas combinaciones pueden hallarse con ayuda delos coeficientes de Clebsch-Gordan (j,m1; j,m2|l, m) [18], los cuales acoplan el espınj con el espın j, donde l = 0, 1, . . . 2j, y donde j esta relacionado con el numerocuantico principal en la forma n = 2j + 1 [comparar con la Ec. (13.254)]:

Ynlm(~π) =∑

m1,m2=−j,...,j

Y2j,m1,m2(~π) (j,m1; j,m2|l, m) . (13.266)

Las relaciones de ortonormalidad y completes son

∫

d~π Y ∗n′l′m′(~π)Ynlm(~π) = δnn′δll′δmm′ ,

∑

n,l,m

Ynlm(~π′)Ynlm(~π) = δ(4)(~π′ − ~π), (13.267)

donde la funcion δ cumple con la relacion∫

d~π δ(4)(~π′−~π) = 1. Cuando restringimosla suma solo a los valores de l y m, obtenemos el analogo cuatro–dimensional de lospolinomios de Legendre:

∑

l,m

Ynlm(~π′)Ynlm(~π) =

n2

2π2Pn(cosϑ), Pn(cosϑ) =

sin nϑ

n sinϑ, (13.268)

donde ϑ es el angulo entre los cuatro–vectores ~πb y ~πa:

cos ϑ = ~πb~πa =(p2

b − p2E)(p2a − p2E) + 4p2Epb · pa

(p2b + p2E)(p

2a + p2E)

. (13.269)

Utilizando la correccion a las energıas halladas en la Seccion 10.4 y adaptandoal caso presente la solucion de la integral de trayectoria para una partıcula sobre lasuperficie de una esfera dado en las Ecs. (8.162), obtendremos que la representacionespectral de la integral de trayectoria dada en la Ec. (13.265) sera

(~πbS|~πa0) = (2π)3/2p3E

∞∑

n=1

n2

2π2Pn(cosϑ) exp

[

−i(p2En2 − α2)] S

2

. (13.270)

En la integral de trayectoria de la Ec. (13.265), la exponencial contiene los valorespropios del cuadrado del operador del momentum angular L2/2µ, los cuales en Ddimensiones seran l(l +D − 2)/2µ, l = 0, 1, 2, . . . . Para una partıcula sobre unaesfera en cuatro dimensiones, e identificando l = 2j = n− 1, los valores propios deL2 son n2 − 1, de donde encontramos la exponencial e−i[p2

E(n2−1)−α2]S/2, junto con el

prefactor exponencial de la Ec. (13.265) esto nos permite obtener el exponencial dela Ec. (13.270).


Sustituyendo la representacion espectral (13.270) en la Ec. (13.257), obtenemosinmediatamente la integral sobre S y tendremos tambien la amplitud para la pseu-doenergıa de orden cero

(~πb|~πa)0 = (2π)3/2p3E

∞∑

n=1

n2

2π2Pn(cosϑ)

2i

2En2 + α2. (13.271)

Los polos de esta expresion se corresponden con las enegıas del espectro del atomode hidrogeno:

En = − α2

2n2, n = 1, 2, 3, . . . . (13.272)

En el Apendice 13B se dan otros detalles sobre las funciones de onda.La solucion en el espacio del momentum fue hallada primeramente por Schwinger

[19, 20, 21].

13.11.2 Otra Forma para la Accion

Consideremos la siguiente generalizacion de la accion (13.261), la cual contiene unafuncion arbitraria h y depende de p y s:

A[p] =1

2

∫ S

0ds

[

1

h

4p′2

(p2 + p2E)2 + α2h

]

. (13.273)

Esta accion es invariante bajo la reparametrizacion s → s′, sı hacemos la transfor-macion simultanea h→ hds/ds′. La integral de trayectoria que se obtiene usando laaccion (13.261) puede verse como una integral de trayectoria con una accion, dadapor la Ec. (13.273), invariante de norma y una integral de trayectoria adicional∫

df Φ[f ], la cual tiene un funcional arbitrario Φ[h] que fija la norma. El parametros puede identificarse con el tiempo real t. Hallando el extremum respecto de h, laaccion se reduce a la forma

A[p] = 2α∫ τb

τadτ

√

√

√

√

p2

(p2 + p2E)2 . (13.274)

Esta forma es la reparametrizacion completamente invariante de la accion en unespacio curvo con metrica gµν = δµν/ (p2 + p2E)

2. De hecho, esta accion coincide con

la eikonal clasica en el espacio del momentum:

S(pb,pa;E) = −∫ pb

pa

dτ p · x. (13.275)

La eikonal (13.275), y ası la accion (13.274), determina las orbitas clasicas medianteel primer principio extremo de la mecanica teorica hallado en 1744 por Maupertius(ver la pag. 398 y la Ref. [22]).


Apendice 13A Grupos Dinamicos de los Estados

de Coulomb

El subespacio de las funciones de onda del oscilador ψs(uµ/√n), en la forma estandar dada por

la Ec. (13.189), los cuales no dependen de x4 (i.e., de γ), se obtiene aplicando un numero igualde operadores de creacion a† y b† al estado base de la ecuacion de onda de la Ec. (13.195). Estosoperadores son igual a los productos escalares entre los estados localizados bra 〈z, z∗| y los estadosket |na

1 , na2 , n

b1, n

b2〉 de la Ec. (13.196).

Los estados ket forman una representacion irreducible del grupo dinamico O(4,2), el grupoortogonal del espacio plano seis-dimensional cuya metrica gAB tiene cuatro entradas positivas ydos negativas (1, 1, 1, 1,−1,−1).

Los 15 generadores LAB ≡ −LBA, A,B = 1, . . . 6, de este grupo se construyen de los espinores

a ≡(

a1a2

)

, b ≡(

b1b2

)

, (13A.1)

y sus adjuntos Hermıticos, utilizando las matrices σ de Pauli y c ≡ iσ2, en la siguiente forma(debido a los subındices de Lij , definos σi ≡ σi):

Lij = 1

2

(

a†σka+ b†σk b)

i, j, k = 1, 2, 3 cıclico,

Li4 = 1

2

(

a†σia− b†σib)

,

Li5 = 1

2

(

a†σicb† − acσib

)

,

Li6 = i2

(

a†σicb† + acσib

)

,

L45 = 1

2i

(

a†cb† − acb)

,

L46 = 1

2

(

a†cb† + acb)

,

L56 = 1

2

(

a†a+ b†b+ 2)

. (13A.2)

Los valores propios de L56 con respecto a los estados con numero igual de los cuantos a y b son

1

2

(

na1 + na

2 + nb1 + nb

2 + 2)

= n, (13A.3)

donde n es el numero cuantico principal [ver la Ec. (13.198)]. Las reglas de conmutacion entreestos operadores son

[LAB, LAC ] = igAALBC . (13A.4)

Puede corroborarse que las siguientes combinaciones de los operadores de posicion y del momentumen un espacio Euclideano tri–dimensional son elementos del algebra de Lie de O(4,2):

r = L56 − L46,

xi = Li5 − Li4,

−i(x∂x + 1) = L45,

−ir∂xi = Li6. (13A.5)

La ultima ecuacion se sigue de la fomula de transformacion [recordemos la Ec. (13.138)]

∂xi =1

2~u2eiµ∂µ (13A.6)

Apendice 13A Grupos Dinamicos de los Estados de Coulomb 1023

junto con

u1 = 1

2(z1 + z∗1), u2 = 1

2i (z1 − z∗1),

u3 = 1

2(z2 + z∗2), u4 = 1

2i(z2 − z∗2), (13A.7)

y

∂1 = (∂z1 + ∂z∗

1), ∂2 = i(∂z1 − ∂z∗

1),

∂3 = (∂z2 + ∂z∗

2), ∂4 = i(∂z2 − ∂z∗

2). (13A.8)

Ası

−ir∂xi = − i2(zσi∂z + ∂zσiz). (13A.9)

En analogıa con la Ec. (13A.2), los generadores LAB se pueden expresar en terminos de las variablesz y z∗, en la forma siguiente:

Lij = 1

2(zσk∂z − ∂zσkz),

Li4 = − 1

2(zσiz − ∂zσi∂z),

Li5 = 1

2(zσiz + ∂zσi∂z),

Li6 = − i2(zσi∂z + ∂zσiz),

L45 = − i2(z∂z + ∂zz),

L46 = − 1

2(zz + ∂z∂z),

L56 = 1

2(zz − ∂z∂z). (13A.10)

Actuando sobre los operadores xi, ∂xi , tendremos

Lij = −i(xi∂xj − xj∂xi),

Li4 = 1

2

(

−xi∂2x − xi + 2∂xix∂x)

,

Li5 = 1

2

(

−xi∂2x + xi + 2∂xix∂x)

,

Li6 = −ir∂xi ,

L45 = −i(xi∂xi + 1),

L46 = 1

2(−r∂2x − r),

L56 = 1

2(−r∂2x + r), (13A.11)

donde los operadores puramente espaciales ∂2x y x∂x son iguales a ∂2xµ y xµ∂xµ , debido a larestriccion dada en la Ec. (13.182).

El algebra de Lie de los operadores diferenciales (13A.11) es isomorfa al algebra de Lie delgrupo conforme en cuatro dimensiones, la cual es una extension del grupo inhomogeneo de Lorentz

o grupo de Poincare, definido por los conmutadores del espacio de Minkowski (µ, ν = 0, 1, 2, 3),cuya metrica tienen los elementos diagonales (+1,−1,−1,−1),

[Pµ, Pν ] = 0, (13A.12)

[Lµν , Pλ] = −i(gµλPν − gνλPµ), (13A.13)

[Lµν , Lλκ] = −i(gµλLνκ − gνλLµκ − gµκLνλ − gνκLµλ). (13A.14)

La extension involucra los generadores D de las dilataciones xµ → ρxµ y Kµ de la transformacion

conforme especial4

xµ → xµ − cµx2

1 − 2cx+ c2x2, (13A.15)

4Notemos la diferencia con respecto a la transformacion conforme a la Weyl de la Ec. (13.234),la cual corresponde a dilataciones locales.


donde se tienen las siguientes reglas adicionales de conmutacion

[D,Pµ] = −iPµ, [D,Kµ] = iKµ, [D,Lµν ] = 0, (13A.16)

[Kµ,Kν] = 0, [Kµ, Pν ]=−2i(gµνD+Lµν), [Kµ, Lνλ]= i(gµνKλ − gµλKν). (13A.17)

Las reglas de conmutacion se pueden representar por los operadores diferenciales

Pµ = i∂µ, Mµν = i(xµ∂ν − xν∂µ), D = ixµ∂µ, (13A.18)

Kµ = i(2xµxν∂ν − x2∂µ). (13A.19)

Donde sus combinaciones

Jµν ≡ Lµν , Jµ5 ≡ 1

2(Pµ −Kµ), Jµ6 ≡ 1

2(Pµ +Kµ), J56 ≡ D, (13A.20)

cumplen con las relaciones de conmutacion de O(4,2):

[JAB , JCD] = −i(gACJBD − gBCJAD + gBDJAC − gBCJAD), (13A.21)

donde la metrica gAB tiene los valores diagonales (+1,−1,−1,−1,−1,+1).Cuando trabajamos con las funciones de onda del oscilador, factorizadas en las cuatro–

coordenadas uµ, la forma mas convenientes de los generadores es

L12 = i(u1∂2 − u2∂1 − u3∂4 + u4∂3)/2,

L13 = i(u1∂3 + u2∂4 − u3∂1 − u4∂2)/2,

L14 = −(u1u3 + u2u4) + (∂1∂3 + ∂2∂4)/4,

L15 = (u1u3 + u2u4) + (∂1∂3 + ∂2∂4)/4,

L16 = −i(u1∂3 + u2∂4 + u3∂1 + u4∂2)/2,

L23 = i(u1∂4 − u2∂3 + u3∂2 − u4∂1)/2,

L24 = −(u1u4 − u2u3) + (∂1∂4 − ∂2∂3)/4,

L25 = (u1u4 + u2u3) + (∂1∂4 − ∂2∂3)/4,

L26 = −i(u1∂4 − u2∂3 − u3∂2 + u4∂1)/2,

L34 = [(u1)2 + (u2)2 − (u3)2 − (u4)2]/2 + (∂21 + ∂22 − ∂23 − ∂24)/8,

L35 = −[(u1)2 + (u2)2 − (u3)2 − (u4)2]/2 + (∂21 + ∂22 − ∂23 − ∂24)/8,

L36 = −i(u1∂1 + u2∂2 − u3∂3 − u4∂4)/2,

L45 = −i(u1∂1 + u2∂2 + u3∂3 + u4∂4 + 2)/2,

L46 = −(uµ)2/2 − ∂2µ/8,

L56 = (uµ)2/2 − ∂2µ/8. (13A.22)

Las reglas de conmutacion (13A.4), entre estos generadores, permiten que la solucion de laecuacion de Schrodinger sea muy simple. Reescribiendo la Ec. (13.167) como

(

−aH2r∇2 − E

EH

r

aH− 1

)

ψ(x) = 0, (13A.23)

y usando unidades atomicas naturales, podemos expresar r∂2x y r en terminos de L46, L56 mediantela relacion (13A.11). De esto tenemos

[

1

2(L56 + L46) − E(L56 − L46) − 1

]

ψ = 0. (13A.24)

Con ayuda de la formula del desarrollo de Lie

eiABe−iA = 1 + i[A, B] +i2

2![A, [A, B]] + . . .

Apendice 13B Funciones de Onda en el Espacio Tridimensional del Momentum1025

para A = L45 y B = L56, y los conmutadores [L45, L56] = iL45 y [L45, L46] = iL56, podemosreescribir

[

eiϑL45L56e−iϑL45 − 1

]

ψ = 0, (13A.25)

donde

ϑ =1

2log(−2E). (13A.26)

Si ψn representa a los estados propios de L56, con valor propio n, las soluciones de la Ec. (13A.25)estaran dadas por los estados propios de descenso eiϑL45ψn del generador L56, cuyos valores propiosson n = 1, 2, 3, . . . [como se sigue directamente de la representacion (13A.2)]. Para estos estados,el parametro ϑ tendra los valores

ϑ = ϑn = − logn, (13A.27)

de donde las energıas son En = −1/2n2.Dado que la energıa E en la ecuacion de Schrodinger (13A.24), esta acompanada del factor

L46 − L56, el producto escalar entre estados de Coulomb es

〈ψ′Hn′ |ψH

n 〉phys ≡ 〈ψ′sn′ |(L56 − L46)|ψs

n〉 = δn′n. (13A.28)

En este producto escalar, las funciones de onda de Coulomb

ψHn (x) =

1√neiϑnDψs

n(uµ) =1√nψsn(uµ/

√n) (13A.29)

son ortonormales.Sin considerar un factor constante trivial, el producto escalar (13A.28) concuerda con el pro-

ducto escalar (13.169) y con el producto escalar (11.95), deducido para un espacio con torsion enla Seccion 11.4.

Ahora, usando las representaciones (13A.5), es facil calcular los elementos de matriz del opera-dor dipolar xi y el operador del momentum angular −i∂xi . Aquı, solo se pueden hacer operacionesen el algebra de Lie del grupo O(4,2). Esta es la razon por la cual al grupo O(4,2) se le conocecomo el grupo dinamico del sistema de Coulomb [13].

Por completes, reescribamos la relacion entre los estados de los elementos de la base del os-cilador |n1n2m〉 y los estados propios del momentum angular fijo |nlm〉 de la Ec. (13.219), la cuales analoga a la combinacion (13.254)

|nlm〉 =∑

n1+n2+m=(n−1)/2

× |n1n2m〉〈 1

2(n− 1), 1

2(n2 − n1 +m); 1

2(n− 1), 1

2(n1 − n2 +m)|l,m〉. (13A.30)

Apendice 13B Funciones de Onda en el Espacio

Tridimensional del Momentum

Introduzcamos el momentum de Borh pH ≡ h/aH = Me2/h, donde usamos unidades tal quepH = 1. Luego, las funciones de onda radiales Fnl(p), cuya normalizacion es

∫∞

0dp p2F 2

nlm(p) = 1,estaran dadas por

Fnl(p) =

√

2

π

√

(n− l − 1)!

(n− l)!n222(l+1)l!

nlpl

(n2p2 + 1)l+2C

(l+1)n−l−1

(

n2p2 − 1

n2p2 + 1

)

, (13B.31)


donde C(λ)n (z) son los polinomios de Gegenbauer definidos en la Ec. (8.102), por ejemplo

C(λ)0 (z) = 1, C

(λ)1 (z) = 2λz, C

(λ)2 (z) = 2λ(λ+ 1)z2 − λ, . . . . (13B.32)

Las funciones de menor orden son

F10 = 4

√

2

π

1

(p2 + 1)2, F20 =

32√π

4p2 − 1

(4p2 + 1)3, F21 =

128√3π

p

(4p2 + 1)3. (13B.33)

En dos dimensiones, las funciones de onda en el espacio del momentum estan dadas en laRef. [21].

Notas y Referencias

Ver en el Prefacio las notas sobre la historia de la solucion de la integral de trayectoria del sistemade Coulomb.Las ventajas del espacio cuatro-dimensional uµ, para describir el sistema tri–dimensional deCoulomb fue explorado primeramente porP. Kustaanheimo and E. Stiefel, J. Reine Angew. Math. 218, 204 (1965).Ver tambien el libro de texto deE. Stiefel and G. Scheifele, Linear and Regular Celestial Mechanics , Springer, Berlin, 1971.En la mecanica cuantica de Schrodinger’s, una transformacion analoga fue introducida porE. Schrodinger, Proc. R. Irish Acad. 46, 183 (1941).Ver tambienL. Infeld and T.E. Hull, Rev. Mod. Phys. 23, 21 (1951).Numerosas aplicaciones de la transformacion de la ecuacion de Schrodinger pueden verse enM. Boiteux, Physica 65, 381 (1973);A.O. Barut, C.K.E. Schneider, and R. Wilson, J. Math. Phys. 20, 2244 (1979);J. Kennedy, Proc. R. Irish Acad. A 82, 1 (1982).

Las citas particulares se refieren a

[1] I.H. Duru and H. Kleinert, Phys. Lett. B 84, 30 (1979) (http://www.physik.fu-ber-lin.de/~kleinert/65); Fortschr. Phys. 30, 401 (1982) (ibid.http/83). Ver tambien lasnotas historicas en el prefacio.

[2] H. Kleinert, Mod. Phys. Lett. A 4, 2329 (1989) (ibid.http/199).

[3] Ver el artıculo deS. Sakoda, Exactness in the Path Integral of the Coulomb Potential in One Space Dimension,(arXiv:0808.1600),y referencias ahı citadas.

[4] H. Kleinert, Gen. Rel. Grav. 32, 769 (2000) (ibid.http/258); Act. Phys. Pol. B 29, 1033(1998) (gr-qc/9801003).

[5] X.L. Yang, S.H. Guo, F.T. Chan, K.W. Wong, and W.Y. Ching, Phys. Rev. A 43, 1186(1991).

[6] H. Kleinert, Phys. Lett. B 189, 187 (1987) (ibid.http/162).

[7] La interpretacion de esta transformacion como una raız cuadrada de un cuaternion puedeverse enF.H.J. Cornish, J. Phys. A 17, 323, 2191 (1984).

[8] Esta restriccion no aparece en el artıculo deR. Ho and A. Inomata, Phys. Rev. Lett. 48, 231 (1982).

Notas y Referencias 1027

[9] En la mecanica cuantica de Schrodinger, esta expresion fue primeramente obtenida porL.C. Hostler, J. Math. Phys. 5, 591 (1964).

[10] Notese tambien el calculo de la amplitud de evolucion temporal del sistema de Coulomb porS.M. Blinder, Phys. Rev. A 43, 13 (1993).Su resultado esta dado en terminos de una serie infinita la cual, desafortunadamente, es tancomplicada como la conocida representacion espectral

∑

n ψn(xb)ψ∗n(xb)e

−iEn(tb−ta)/h.

[11] Una solucion perturbativa interesante de la integral de trayectoria de la amplitud deCoulomb integrada

∫

d3x (xbtb|xata), fue presentada porM.J. Goovaerts and J.T. Devreese, J. Math. Phys. 13, 1070 (1972).Se tiene tambien una solucion perturbativa para el potencial δ(x), debida a :M.J. Goovaerts, A. Babcenco, and J.T. Devreese, J. Math. Phys. 14, 554 (1973).

[12] Para una introduccion y uso extensivo del operador de bajada en el calculo de amplitudesde transicion, verH. Kleinert, Group Dynamics of the Hydrogen Atom, Lectures presented at the 1967 Boul-der Summer School, in Lectures in Theoretical Physics , Vol. X B, pp. 427–482, ed. byW.E. Brittin and A.O. Barut, Gordon and Breach New York, 1968 (ibid.http/4).

[13] H. Kleinert, Fortschr. Phys. 6, 1 (1968) (ibid.http/1).

[14] N.D. Birell and P.C.W. Davies, Quantum Fields in Curved Space, Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1982.

[15] B.S. DeWitt, Rev. Mod. Phys. 29, 377 (1957).

[16] H. Kleinert, Phys. Lett A 252, 277 (1999) (quant-ph/9807073).

[17] K. Fujikawa, Prog. Theor. Phys. 96 863 (1996) (hep-th/9609029); (hep-th/9608052).Ver tambienS. Sakoda, Mod. Phys. Lett. A 23, 3057 (2008) (quant-ph/9901048).

[18] A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics , Princeton University Press,1960.

[19] J. Schwinger, J. Math. Phys. 5, 1606 (1964).

[20] H.A. Bethe and E.E. Salpeter, Quantum Machanics of One- and Two-Electron Atoms,Springer, Berlin, 1957, p. 39.

[21] S.P. Alliluev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33, 200 (1957) [Sov. Phys.–JETP 6, 156 (1958)].

[22] A. Karamatskou and H. Kleinert, Quantum Maupertuis Principle (klnrt.de/390).

Date post:	10-Jan-2017
Category:	Documents
Upload:	phamdieu
View:	219 times
Download:	0 times

Capítulo 13: Integral de Trayectoria del Sistema de Coulomb

Documents