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Capıtulo 2

La ecuacion de Poisson

2.1. Introduccion

El interes del problema de contorno que se estudia en este capıtulo radicaen que permite modelar numerosos problemas de fısica en regimen estaciona-rio. Entre ellos se pueden destacar los de transmision de calor, flujo en mediosporosos, torsion de Saint-Venant, electrostatica, magnetostatica, flujo irrota-cional de fluidos ideales, lubricacion, distribucion de presiones hidrodinamicassobre superficies en movimiento, etc.

En este problema la incognita es la funcion escalar u = u(x), siendo xun punto del dominio Ω en el que se formula el problema. En el caso masgeneral la ecuacion de Poisson se expresa:

− div (k∇u) = f (2.1)

siendo div(·) el operador divergencia, ∇(·) el operador gradiente, f una fun-cion escalar “fuente” y k un tensor asociado a la ecuacion constitutiva. Estaecuacion se completa con las correspondientes condiciones de contorno, queseran analizadas en los subapartados 2.1.1 y siguientes.

Si el material es homogeneo e isotropo, la ecuacion (2.1) da lugar a laecuacion “estandar” de Poisson:

k∇2u = f (2.2)

siendo k el parametro asociado a la ecuacion constitutiva y ∇2(·) el operadorlaplaciano. En el caso particular en que la funcion f es nula, se obtiene laecuacion de Laplace:

∇2u = 0 (2.3)

Las soluciones de la ecuacion (2.3) se denominan funciones armonicas[5]. De acuerdo con la interpretacion que se le de a la variable primariau, se obtendran los modelos matematicos correspondientes a problemas denaturaleza diversa, tal y como se detalla a continuacion.

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34 La ecuacion de Poisson

2.1.1. Ecuacion de calor

Sea un cuerpo conductor de calor que ocupa un dominio Ω ⊂ Rndim . Sea∂Ω la frontera de Ω, con normal exterior n, que consideraremos que se puededescomponer en una parte ∂uΩ con temperaturas impuestas, y una parte∂tΩ con flujo de calor impuesto de modo que se verifica ∂uΩ ∪ ∂tΩ = Ω y∂uΩ ∩ ∂tΩ = ∅.

La notacion Ω hace referencia al conjunto cerrado que resulta de la uniondel conjunto interior con su frontera:

Ω = Ω ∪ ∂Ω (2.4)

En cuanto al contorno de Ω la expresion ∂Ω = ∂uΩ ∪ ∂uΩ indica que en ladefinicion de ∂Ω intervienen los conjuntos abiertos ∂uΩ y ∂tΩ y sus fronteras.

La variable primaria de este problema es el campo de temperaturas T .Suponiendo que el cuerpo esta en equilibrio termico en regimen estacionario,el balance del flujo de calor por unidad de superficie q y del calor suministradopor unidad de volumen por las fuentes internas f se expresa:

div q = f en Ω (2.5)

Considerando como ecuacion constitutiva del material la ley de Fourier:

q = −k∇T ; qi = −kij∂T

∂xj

(2.6)

sustituyendo (2.6) en la ecuacion (2.5) resulta:

− div (k∇T ) = f en Ω (2.7)

Observacion. El tensor de segundo orden k que interviene en la ecuacionconstitutiva es simetrico y definido positivo. En el caso en el que el mate-rial sea homogeneo e isotropo dicho tensor queda definido mediante un unicoescalar k, pudiendose escribir la ecuacion (2.7) en la forma:

k∇2T = f (2.8)

Las condiciones de contorno que consideraremos seran de dos tipos:

1. Temperatura prescrita:T = T en ∂uΩ (2.9)

2. Flujo de calor prescrito:

q · n = q en ∂tΩ (2.10)

Observacion. Otro tipo de condicion de contorno es la conveccion/radiacion,en la que el flujo de calor esta definido por la expresion:

qn = q0 +H(T n − T n0 ) (2.11)

siendo q0 un flujo constante prescrito, H es el coeficiente de pelıcula, n es unexponente entero y T0 es la temperatura del fluido que rodea a la superficiedel contorno. Para n = 1 se obtiene la condicion de conveccion lineal, y paran = 4 se obtiene la condicion de radiacion de Stefan-Boltzman.

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Introduccion 35

2.1.2. Flujo en medios porosos

Se considera un medio poroso que ocupa un volumen Ω ⊂ Rndim , cuyanormal exterior es n. Se denomina ∂Ω al contorno de Ω. Llamando ∂uΩ a laparte del contorno con presiones impuestas y ∂tΩ a la parte del contorno conflujo impuesto, supondremos que se verifica ∂uΩ ∪ ∂tΩ = ∂Ω y ∂uΩ∩∂tΩ = ∅(ver los requisitos descritos en el apartado 2.1.1) La variable primaria delproblema es la altura piezometrica h. En el contexto de la mecanica de suelosh suele denominarse potencial hidraulico, y se puede expresar mediante lasuma de la altura geometrica y de la altura de presion (p/ρg).

El movimiento del fluido en Ω queda definido por el campo vectorial develocidades v = v(x), que sera independiente del tiempo en el caso estacio-nario. Por otra parte, las velocidades estan relacionadas con el gradiente dela altura piezometrica h mediante la ley de Darcy:

v = −k∇h, vi = −kij∂h

∂xj

(2.12)

Observacion. En un medio homogeneo e isotropo la ley de Darcy queda defi-nida mediante un unico parametro de permeabilidad k. En el caso anisotropola ley constitutiva queda caracterizada por un tensor de permeabilidades k,simetrico y definido positivo.

Considerando flujo incompresible y que el medio poroso no varıa su vo-lumen (si no es ası el problema deberıa abordarse mediante la teorıa de laconsolidacion), la ecuacion de continuidad se expresa:

div v = 0 (2.13)

Sustituyendo (2.12) en (2.13), para un medio homogeneo e isotropo re-sulta:

∇2h = 0 (2.14)

que es la ecuacion diferencial que rige el problema de flujo estacionario endichos medios porosos. Los dos tipos de condiciones de contorno que se con-sideran son:

1. Altura piezometrica impuesta:

h = h en ∂uΩ (2.15)

2. Componente de la velocidad normal al contorno impuesta:

v · n = v en ∂tΩ (2.16)

Observacion. La condicion de contorno correspondiente a una superficielibre establece que la presion en la misma es la atmosferica. Da lugar a unproblema no lineal ya que la geometrıa de la superficie libre es desconocida apriori.

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36 La ecuacion de Poisson

2.1.3. Torsion de Saint-Venant

Una pieza prismatica esta sometida a torsion de Saint-Venant (o torsionuniforme) cuando el momento torsor que actua en ella es constante a lo largode la misma y ademas los alabeos que se producen en las secciones rectasno tienen ninguna coaccion que impida su libre movimiento. Los estados detorsion de perfiles cerrados de pared delgada y de piezas de seccion maci-za pueden aproximarse razonablemente bien con las hipotesis de la torsionuniforme.

z

Mt

Ω

∂Ω

y

σyz

x

σxz

Figura 2.1: Torsion de Saint-Venant

Sea Ω ⊂ R2 la seccion recta de la pieza prismatica, siendo ∂Ω el contornode Ω. Llamando ψ = ψ(x, y) a la funcion de tensiones, que es la variableprimaria del problema de torsion de Saint-Venant, se verifica:

∇2ψ = −2Gθ en Ω (2.17)

siendo G el modulo de corte del material de la pieza prismatica, que se suponeelastico isotropo, y θ el giro de torsion (alrededor del eje longitudinal de lapieza) por unidad de longitud.

La funcion ψ debe de ser constante en el contorno:

ψ = ψ en Ω (2.18)

En secciones sin huecos (con un unico contorno exterior) el valor de lafuncion de tensiones en el contorno es arbitrario, tomandose generalmenteigual a cero.

Las ecuaciones constitutivas son:

σxz =∂ψ

∂y(2.19)

σyz = −∂ψ∂x

(2.20)

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Introduccion 37

Finalmente, el momento torsor aplicado viene dado por:

Mt = 2

∫Ω

ψ dΩ = GJθ (2.21)

siendo J el modulo de rigidez torsional.

2.1.4. Electrostatica

Sea un material dielectrico que ocupa un dominio Ω ⊂ Rndim . Sea ∂Ωla frontera de Ω, con normal exterior n, que consideraremos que se puededescomponer en una parte ∂uΩ con potencial electrico impuesto, y una parte∂tΩ con intensidad de campo electrico impuesta, de modo que se cumplen losrequisitos descritos en el apartado 2.1.1: ∂uΩ ∪ ∂tΩ = ∂Ω y ∂uΩ∩∂tΩ = ∅. Lavariable primaria del problema es el potencial electrico φ. Suponiendo que elcuerpo esta en equilibrio estacionario, el balance de la intensidad de campoelectrico por unidad de superficie E y de carga electrica ρ suministrada porunidad de volumen por las fuentes internas se expresa:

div E = ρ en Ω (2.22)

Esta ecuacion, que expresa la conservacion de la carga electrica, se conocecomo ley de Gauss y es una de las denominadas ecuaciones de Maxwell.

La ecuacion constitutiva del material relaciona la intensidad de campoelectrico con el flujo mediante el tensor de permitividades ε:

E = −ε∇φ; Ei = −εij∂φ

∂xj

(2.23)

Sustituyendo (2.23) en la ecuacion (2.22) resulta la ecuacion escalar:

− div (ε∇φ) = ρ en Ω (2.24)

que corresponde, al igual que en los ejemplos anteriores, a la ecuacion dePoisson generalizada. Las condiciones de contorno que consideraremos serande dos tipos:

1. Potencial electrico o voltaje prescrito:

φ = φ en ∂uΩ (2.25)

2. Flujo electrico o corriente prescrita:

E · n = E en ∂tΩ (2.26)

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38 La ecuacion de Poisson

2.2. Formulacion fuerte

Sea Ω = Ω ∪ ∂Ω el dominio en el que se formula la ecuacion de Poisson(Ω ⊂ Rndim conjunto abierto), cuyo contorno ∂Ω admite, de acuerdo con lodescrito en el apartado 2.1.1, la descomposicion ∂Ω = ∂uΩ ∪ ∂tΩ, ∂uΩ∩∂tΩ =∅. Sea n el vector normal exterior en un punto de ∂Ω.

Observacion. En lo sucesivo se seguiran los siguientes criterios para lanotacion:

El producto totalmente contraıdo de los tensores A y B se indica A·B.Por ejemplo, si A y B son tensores de segundo orden:

A ·B = AijBij (2.27)

y si son de primer orden:

A ·B = AiBi (2.28)

suponiendo para las expresiones indiciales que los tensores estan refe-ridos a una base ortonormal.

La aplicacion natural de un tensor de segundo orden A sobre uno deprimer orden B para obtener un tensor de primer orden D, se expresacon AB:

D = AB, Di = AijBj (2.29)

La formulacion fuerte del problema se establece a continuacion.

Dados f : Ω → R, u : ∂uΩ → R, q : ∂tΩ → R, encontrar el campou : Ω→ R que cumple:

div q = f en Ω (2.30)

u = u en ∂uΩ (2.31)

q · n = q en ∂tΩ (2.32)

verificandose la ecuacion constitutiva:

q = −k∇u (2.33)

Observacion. Las expresiones (2.31) y (2.32) se denominan condicion decontorno de tipo Dirichlet y condicion de contorno de tipo Neumann, respec-tivamente. En estas expresiones u y q corresponden al campo primario y alcampo de flujo impuestos en los respectivos contornos.

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Formulacion debil 39

2.3. Formulacion debil

La formulacion debil del problema de contorno de Poisson se establece enlos siguientes terminos:

Dados f : Ω→ R y las funciones u : ∂uΩ→ R, q : ∂tΩ→ R, encontrarel campo u ∈ U tal que ∀δu ∈ V cumple:∫

Ω

(q ·∇δu + fδu) dΩ−∫

∂tΩ

qδu dΓ = 0 (2.34)

siendo:

U =u ∈ H1(Ω,R) | u(x) = u ∀ x ∈ ∂uΩ

(2.35)

V =δu ∈ H1(Ω,R) | δu(x) = 0 ∀ x ∈ ∂uΩ

(2.36)

y H1(Ω,R) el espacio de Sobolev de grado 1 y orden 2:

H1(Ω,R) =

u : Ω→ R |

∫Ω

‖u‖2,1 dΩ <∞

(2.37)

donde ‖u‖2,1 es la norma de la energıa.

Observacion. Las funciones u ∈ U se denominan funciones de prueba, ylas funciones arbitrarias δu ∈ V funciones de peso o variaciones.

Teniendo en cuenta la ecuacion constitutiva (2.33), la expresion (2.34) sepuede re-escribir como:

−∫

Ω

∇δu · k∇u dΩ +

∫Ω

fδu dΩ−∫

∂tΩ

qδu dΓ = 0 (2.38)

2.4. Equivalencia de las formulaciones fuerte

y debil

Parece razonable pensar que las soluciones de las formulaciones fuerte ydebil son equivalentes, ya que no tendrıa sentido introducir dos formulacio-nes de un mismo problema de contorno, con soluciones distintas. Antes dedemostrar la equivalencia de ambas formulaciones1 se hace un recordatoriode dos teoremas, cuyas demostraciones se pueden consultar en la mayorıa delos textos de Analisis Matematico.

Teorema 2.4.1 (Teorema de la divergencia). Sea f : Ω→ Rndim una funcionvectorial continua con derivada continua (de clase C1). Se verifica:∫

Ω

div fdΩ =

∫∂Ω

f · ndΓ (2.39)

1En lo sucesivo supondremos funciones lo suficientemente suaves para verificar los re-quisitos necesarios de derivabilidad e integrabilidad

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40 La ecuacion de Poisson

que en notacion indicial se expresa como:∫Ω

∂fi

∂xi

dΩ =

∫∂Ω

finidΓ (2.40)

Teorema 2.4.2 (Integracion por partes). Sean dos funciones f : Ω→ Rndim

y g : Ω→ R, ambas continuas de clase C1. Se verifica:∫Ω

g div f dΩ = −∫

Ω

f ·∇g dΩ +

∫∂Ω

gf · n dΓ (2.41)

y en notacion indicial:∫Ω

∂fi

∂xi

gdΩ = −∫

Ω

fi∂g

∂xi

dΩ +

∫∂Ω

gfinidΓ (2.42)

La demostracion de la equivalencia entre las formulaciones fuerte y debilse establece con las siguientes proposiciones:

Proposicion 2.1. Si u es solucion de la formulacion fuerte, entonces lo estambien de la formulacion debil.

DemostracionSi u es solucion del problema fuerte, de acuerdo con (2.31) se verifica que

u = u en ∂uΩ, y por tanto u ∈ UMultiplicando (2.30) por δu ∈ V , integrando por partes, y aplicando el

teorema de la divergencia:

0 =

∫Ω

(div q − f) δu dΩ = −∫

Ω

q ·∇δu dΩ +

∫∂Ω

q · nδu dΓ−∫

Ω

fδu dΩ

= −∫

Ω

(q ·∇δu+ fδu) dΩ +

∫∂tΩ

qδu dΓ (2.43)

se obtiene la expresion (2.34).

Observacion. La metodologıa para obtener la formulacion debil de un pro-blema de contorno dado consta de los siguientes pasos:

1. Multiplicar las ecuaciones en derivadas parciales por las funciones deprueba e integrar el resultado en el dominio en el que esta definido elproblema.

2. Reducir el orden de las derivadas de las funciones de prueba integrandopor partes (teorema de la divergencia)

3. Imponer en el resultado del paso anterior las condiciones naturales decontorno.

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Equivalencia de las formulaciones fuerte y debil 41

El resultado es una ecuacion que deben satisfacer todas las funciones deprueba. Este tipo de ecuaciones se denominan “ecuaciones funcionales”

Proposicion 2.2. Si u es solucion de la formulacion debil, entonces lo estambien de la formulacion fuerte.

DemostracionPor ser u solucion del problema debil, u ∈ U y por tanto u verifica la

condicion de contorno (2.31). Por otra parte, de la formulacion debil se tieneque ∀δu ∈ V integrando por partes y aplicando el teorema de la divergencia:

0 =

∫Ω

q ·∇δu dΩ +

∫Ω

fδu dΩ−∫

∂tΩ

qδu dΓ

=

∫Ω

(− div q + f) δu dΩ +

∫∂tΩ

(q · n− q) δu dΓ (2.44)

con lo que deben demostrarse las dos igualdades siguientes:

− div q + f = 0 en Ω (2.45)

q · n− q = 0 en ∂tΩ (2.46)

a) Sea δu = (− div q + f)φ, donde φ es una funcion que verifica:

1) φ > 0 en Ω

2) φ = 0 en ∂Ω

3) φ suave

Sustituyendo en (2.44):

0 =

∫Ω

(− div q + f)2 φ dΩ +

∫∂tΩ

φ (− div q + f) (q · n− q) dΓ︸ ︷︷ ︸=0

(2.47)

⇒ − div q + f = 0 en Ω (2.48)

quedando demostrada la igualdad (2.45).

b) Sea ahora δu = (q · n− q)ψ, donde ψ verifica:

1) ψ > 0 en ∂tΩ

2) ψ = 0 en ∂uΩ

3) ψ suave

Sustituyendo en (2.44) y teniendo en cuenta que en el punto anteriorya se ha demostrado que − div q + f = 0 en Ω, resulta:

0 =

∫∂tΩ

(q · n− q)2 ψ dΓ (2.49)

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42 La ecuacion de Poisson

para lo que debe de verificarse:

q · n− q = 0 en ∂tΩ (2.50)

y por tanto (2.46) queda demostrada.

2.5. Formulacion de Galerkin

Sean los conjuntos Uh y Vh aproximaciones de dimension finita de losespacios funcionales U y V , definidos respectivamente en (2.35) y (2.36).Partiendo de la descomposicion (metodo de Bubnov-Galerkin):

uh = vh + uh (2.51)

donde vh ∈ Vh y uh = u en ∂uΩ (“aproximadamente”), la formulacion deGalerkin se expresa en los siguientes terminos:

Dados f : Ω→ R y las funciones u : ∂uΩ→ R, q : ∂tΩ→ R, encontraruh = vh + uh ∈ Uh tal que ∀δuh ∈ Vh se cumple:∫

Ω

∇T δuh · k∇vh dΩ =

∫Ω

fδuh dΩ−∫

∂tΩ

qδuh dΓ−∫

Ω

∇T δuh · k∇uh dΩ

(2.52)

2.6. Formulacion matricial

El dominio Ω ⊂ Rndim en el que se define el problema de contorno que nosocupa se discretiza en nelm subdominios Ωe, 1 ≤ e ≤ nelm, que se denominanelementos. En dos dimensiones los elementos generalmente son triangulos ocuadrilateros, y en tres dimensiones tetraedros o hexaedros (ver figura 2.2).Los puntos donde se obtienen los valores aproximados de la variable primaria(por ejemplo la temperatura) se denominan nodos. Habitualmente los nodosestan situados en los vertices del elemento, en puntos intermedios de los ladose incluso en el interior de los propios elementos.

La discretizacion de Ω en elementos finitos debe verificar:

Ω =

nelm⋃e=1

Ωe Ωi ∩ Ωj = ∅, si i 6= j (2.53)

Sean η = 1, 2, . . . , nnod el conjunto de numeros cardinales que corres-ponden a la numeracion global de los nnod nodos de la malla de elementosfinitos. Sea ηu ⊂ η el conjunto de nodos con temperaturas prescritas. Elconjunto complementario de ηu respecto de η lo denotaremos por η − ηu ycorresponde al conjunto de nodos en los que hay que calcular el valor apro-ximado de uh. Dado que hay un grado de libertad por nodo, el cardinal deη − ηu es igual al numero de ecuaciones del problema: (η − ηu) = neq.

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Formulacion matricial 43

nodos

Ω

∂Ω

Ωe

elemento Ωe

Figura 2.2: Discretizacion en elementos finitos del dominio Ω en que se defineel problema de contorno

Los elementos de Vh en (2.52) se expresan:

δuh =∑

A∈η−ηu

cANA vh =∑

A∈η−ηu

dANA (2.54)

siendo NA la funcion de interpolacion (o funcion de forma) asociada al nodoA, cA una constante arbitraria y dA la incognita correspondiente al nodo A(por ejemplo la temperatura). Por otra parte las condiciones esenciales decontorno (2.31) se interpolan de acuerdo con:

uh =∑A∈ηu

uANA (2.55)

siendo uA el valor de la variable primaria impuesto en el nodo A: uA = u(xA).

Observacion. La expresion (2.55) establece una interpolacion de las condi-ciones esenciales de contorno, en terminos de las funciones de forma, queaproxima la ecuacion (2.31), y como tal aproximacion introduce un errorasociado a la solucion numerica del problema de contorno. Otras fuentes deerrores inevitables de discretizacion son: a) las aproximaciones fh y qh delas funciones f y h, respectivamente; y b) La aproximacion del contorno ∂Ωmediante los contornos de los elementos utilizados en la discretizacion de Ω.

Sustituyendo (2.54) y (2.55) en (2.52), y teniendo en cuenta que los coe-ficientes cA son arbitrarios, resulta el sistema de ecuaciones:

∑B∈η−ηu

(∫Ω

∇NA · k∇NBdΩ

)dB =

∫Ω

NAf dΩ +

∫∂tΩ

NAq dΓ

−∑B∈ηu

(∫Ω

∇NA · k∇NBdΩ

)uB (A ∈ η − ηu) (2.56)

Para expresar en forma matricial este sistema lineal de ecuaciones esnecesario establecer la numeracion global de las η − ηu ecuaciones que lo

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44 La ecuacion de Poisson

constituyen. Esto se hace asignando a cada nodo A en el que la variableprimaria es incognita, el numero de la ecuacion global que le corresponde:

id(A) =

P si A ∈ η − ηu

< 0 si A ∈ ηu(2.57)

siendo P el numero de la ecuacion global correspondiente al nodo A, y talque 1 ≤ P ≤ neq. La dimension de la matriz id es nnod.

La expresion matricial del sistema de ecuaciones (2.56) es

Kd = F (2.58)

donde:

K = [KPQ], d = dQ, F = FP, 1 ≤ P,Q ≤ neq (2.59)

siendo:

KPQ =

∫Ω

kij∂NA

∂xi

∂NB

∂xj

dΩ, P = id(A), Q = id(B), (2.60)

FP =

∫Ω

NAf dΩ +

∫∂tΩ

NAq dΓ−∑B∈ηu

(∫Ω

kij∂NA

∂xi

∂NB

∂xj

dΩ

)uB (2.61)

Teorema 2.6.1. La matriz de rigidez K es simetrica.

La demostracion es inmediata a partir de (2.60), teniendo en cuenta quela matriz constitutiva k es simetrica.

Teorema 2.6.2. La matriz de rigidez K es definida positiva.

DemostracionEsta demostracion se hara en dos partes:

a) a ·Ka ≥ 0, ∀a ∈ Rneq

b) a ·Ka = 0⇒ a = 0

a) A cada vector a ∈ Rneq , de componentes aP , se le asocia una funcion deprueba wh ∈ Vh mediante:

wh =∑

A∈η−ηu

aANA, siendo: aA = aP , P = id(A) (2.62)

Entonces,

a ·Ka = aPKPQaQ = aA

(∫Ω

∂NA

∂xi

kij∂NB

∂xj

dΩ

)aB =

∫Ω

∂wh

∂xi

kij∂wh

∂xj

dΩ ≥ 0

(2.63)por ser la matriz constitutiva k definida positiva.

BORRADOR

Formulacion de elementos finitos 45

b) Si a ·Ka = 0, de acuerdo con la demostracion anterior:∫Ω

∂wh

∂xi

kij∂wh

∂xj︸ ︷︷ ︸≥0

dΩ = 0⇒ ∂wh

∂xi

= 0 (por ser kij definida positiva)

⇒ wh constante (2.64)

Pero si wh es constante y de acuerdo con (2.36) wh = 0 en ∂uΩ, entonceswh = 0 en Ω. En consecuencia, de la definicion de wh en (2.62) se deduce quecada componente aP = 0, y por tanto a = 0 como se querıa demostrar.

2.7. Formulacion de elementos finitos

La matriz de rigidez y el vector de fuerzas globales se pueden expresarmediante la suma de las correspondientes contribuciones a nivel de cadaelemento e:

K =

nelm∑e=1

Ke, Ke = [KePQ] (2.65)

F =

nelm∑e=1

F e, F e = [F eP ] (2.66)

siendo:

KePQ =

∫Ωe

∇TNA · k∇NBdΩ (2.67)

F eP =

∫Ωe

NAf dΩ +

∫∂tΩe

NAq dΓ−∑B∈ηu

(∫Ωe

∇TNA · k∇NB dΩ

)uB

(2.68)

P = id(A), Q = id(B), ∂tΩe = Ωe ∩ ∂tΩ (2.69)

Suponiendo ahora que el elemento e tiene nen nodos, la matriz de rigidezelemental ke y el vector de fuerzas elemental f e se expresan:

ke = [keab], f e = [f e

a ], 1 ≤ a, b ≤ nen (2.70)

keab =

∫Ωe

∇TNa · k∇NbdΩ (2.71)

f ea =

∫Ωe

Naf dΩ +

∫∂tΩe

Naq dΓ−nen∑b=1

keabu

eb (2.72)

donde ueb es el valor de u impuesto en el nodo b del elemento e (igual a

cero si el nodo no tiene condiciones esenciales de contorno). A partir de los

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46 La ecuacion de Poisson

vectores y matrices elementales se obtienen los globales mediante un operadorde ensamble A[·]:

K =

nelm

Ae=1

ke (2.73)

F =

nelm

Ae=1

f e (2.74)

La matriz de rigidez elemental se puede expresar en la forma “estandar”:

ke =

∫Ωe

BT kB dΩ (2.75)

siendo:B︸︷︷︸

ndim×nen

= [B1, B2, . . . ,Ben] , Ba︸︷︷︸ndim×1

= ∇Na (2.76)

Problemas axisimetricos

En modelos de la ecuacion de Poisson en los que exista simetrıa de revolu-cion la formulacion es practicamente la misma. Unicamente hay que incluir elfactor 2πr en cada integrando de la formulacion debil para considerar en losvolumenes la ponderacion correspondiente. Es decir, el elemento diferencialde area dΩ = 2πr drdz reemplaza a dΩ = dxdy, siendo r y z las coorde-nadas radial y axial, respectivamente, del problema axisimetrico. Asimismo,el factor 2π se puede simplificar pues aparece en todos los terminos de laformulacion.

2.7.1. Ensamble de las ecuaciones

En las expresiones (2.73) y (2.74), el operador A genera la matriz derigidez y el vector de fuerzas globales, a partir de las matrices y vectorescalculados en cada elemento. A este proceso se le denomina ensamble o en-samblaje. Para realizar el ensamble es necesario conocer la topologıa de lamalla de elementos finitos, que puede definirse mediante la conectividad y lanumeracion de las ecuaciones del modelo:

1. Conectividad. Queda definida conociendo la numeracion global corres-pondiente a los nodos de cada elemento. Desde el punto de vista compu-tacional esta informacion puede almacenarse en una matriz de conec-tividad que denominaremos ix(nen, elm), que asigna a cada nodo a =1 . . . nen (definido con la numeracion local) del elemento e, el valor Acorrespondiente a la numeracion global de dicho nodo local a:

ix( a︸︷︷︸nodo local

, e︸︷︷︸elemento

) = A︸︷︷︸nodo global

(2.77)

BORRADOR

Formulacion de elementos finitos 47

2. Numeracion de las ecuaciones. A cada grado de libertad se le asigna elnumero de ecuacion global que le corresponde. A efectos de la imple-mentacion computacional en una matriz id se almacenan los numerosde ecuaciones que le corresponden a los grados de libertad de cadanodo. En el caso de la ecuacion de Poisson, cada nodo tiene un sologrado de libertad por lo que la matriz id puede asimilarse a un vector:

id( A︸︷︷︸nodo global

) = P︸︷︷︸ecuacion

(2.78)

En un codigo de elementos finitos las matrices ix e id se construyen apartir de los datos de entrada correspondientes a la definicion de los elementos(conectividad) y de las condiciones de contorno. Con objeto de clarificar elproceso de ensamble, a partir de ix e id se puede construir una matriz ld sibien la informacion que proporciona es redundante:

ld(a, e) = id(ix(a, e)) (2.79)

A partir de los valores almacenados en ld el procedimiento de ensamblees automatico, tal y como se explica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Se considera la malla de la siguiente figura, en la que se muestra la nume-racion global de los nodos (color azul), la numeracion de los elementos (colorrojo) y las condiciones de contorno.

4

7

10

2

5

8

11 12

9

6

31

3

1 2

4

5 6

Figura 2.3: Malla de elementos de cuatro nodos. Numeracion de nodos, ele-mentos y condiciones de contorno.

A partir de la conectividad se genera la matriz ix:

ix =

1 2 4 5 7 82 3 5 6 8 95 6 8 9 11 124 5 7 8 10 11

(2.80)

BORRADOR

48 La ecuacion de Poisson

La matriz id se genera asignando numeros consecutivos a las ecuacionescorrespondientes a los nodos en los que hay que calcular el campo incognita.Como los nodos 1, 4, 7 y 10 tienen condiciones esenciales de contorno, notienen grados de libertad activos y por tanto se le asigna un numero negativo.En este ejemplo resulta:

id = ( -1 1 2 -2 3 4 -3 5 6 -4 7 8 ) (2.81)

Sustituyendo (2.80) y (2.81) en (2.79) se obtiene la matriz ld:

ld =

-1 1 -2 3 -3 51 2 3 4 5 63 4 5 6 7 8-2 3 -3 5 -4 7

(2.82)

Los valores positivos y su posicion en la columna j−esima de la matriz ldtiene la informacion necesaria para ensamblar la matriz y vector elementalescorrespondientes al elemento j. Por ejemplo, para el elemento 3:

ld(a, 3) =

−235−3

⇒K33 ← K33 + ke

22

K35 ← K35 + ke23

K53 ← K53 + ke32

K55 ← K55 + ke33

F3 ← F3 + f e2

F5 ← F5 + f e3

2.8. Ejercicios

1. Sea de el vector de temperaturas nodales del elemento e:

de = dea =

de

1

de2...

denen

Demostrar que el flujo de calor en un punto x ∈ Ωe se puede calcular con

la expresion:

q(x) = −k(x)nen∑a=1

Badea

siendo k(x) la matriz constitutiva de la ley de Fourier (matriz de conducti-vidades) y Ba la matriz de interpolacion del gradiente de temperaturas.

(Ejercicio 1, pagina 71, de la referencia [11])

BORRADOR

Ejercicios 49

2. Se considera la formulacion fuerte del problema de conduccion de ca-lor, pero en este caso descomponiendo el contorno en tres partes disjuntas∂Ω = ∂Ωu ∪ ∂tΩ∪ ∂rΩ. Las condiciones de contorno en ∂Ωu y en ∂tΩ son lasexpresadas anteriormente en (2.31) y (2.32), que corresponden a temperaturay flujo de calor impuestos, respectivamente. La condicion de contorno en ∂rΩes:

qini = λ(T − T0)

siendo λ ≥ 0 una funcion de x ∈ ∂rΩ que se denomina coeficiente de convec-cion, y T0 = T0(x) la temperatura de referencia del medio que “envuelve” aΩ. Esta condicion de contorno modela la disipacion de calor por conveccion.

Se pide:

1. Expresar la formulacion debil del problema para incluir la conveccioncomo condicion natural de contorno.

2. Obtener la contribucion de la ecuacion de conveccion a la matriz derigidez elemental ke

ab

3. Demostrar que la matriz de rigidez del problema es definida positiva.

(Ejercicio 2, pagina 71, de la referencia [11])

3. Se considera el problema de contorno unidimensional definido por lassiguientes ecuaciones:

d2u

dx2− p(p− 1)xp−2 = 0, 0 < x < 1 (2.83)

du

dx

∣∣∣∣x=0

= 0 (2.84)

u(1) = 1 (2.85)

siendo p una constante dada. Se pide:

1. Obtener la solucion exacta de este problema para p = 5, y representarlagraficamente.

2. Expresar la formulacion debil del problema de contorno.

3. Expresar la formulacion de Galerkin.

4. Expresar la formulacion matricial.

5. Resolver “a mano” la formulacion matricial del problema de elementosfinitos del apartado anterior para p = 5, utilizando funciones de formalineales y considerando las siguientes discretizaciones:

a) un unico elemento.

b) dos elementos iguales.

BORRADOR

50 La ecuacion de Poisson

6. Comparar el valor exacto de la derivada de u en x = 1 con los valoresaproximados obtenidos en el apartado anterior. Justificar porque los re-sultados numericos no aproximan correctamente el resultado analıtico.

(Ejercicio 7, pagina 106, de la referencia [11])

4. En los modelos de conduccion de calor puede tener interes calcular elflujo de calor a traves de una porcion del contorno donde la temperaturaesta impuesta. Supongamos que la temperatura del modelo se calcula conel metodo de los elementos finitos basado en la formulacion de Galerkin.Sin embargo, en lugar de calcular el flujo de calor derivando el campo detemperaturas, se introduce un metodo de postproceso basado en la siguienteformulacion debil:

Encontrar u ∈ δ y q ∈ L2(∂uΩ), tal que ∀δu ∈ V se verifique:∫Ω

q ·∇δudΩ +

∫Ω

fδu−∫

∂tΩ

qδudΓ−∫

∂uΩ

qδudΓ = 0

siendo q el flujo de calor que se desea calcular en ∂uΩ (notese que en estaformulacion δu 6= 0 en ∂uΩ) y L2(∂uΩ) el espacio de Hilbert de funciones concuadrado integrable. Se pide:

1. Demostrar que de la formulacion debil expresada en este ejercicio seobtiene la condicion de contorno:

q = q · n en ∂uΩ

2. Obtener la formulacion de Galerkin y la formulacion matricial corres-pondiente a la formulacion debil expresada mas arriba, suponiendo queq se interpola de la manera habitual:

q(x) =∑A∈ηu

qANA(x)

3. Particularizar esta formulacion para el problema unidimensional des-crito en el ejercicio 3 y calcular por este procedimiento el flujo de caloren el extremo x = 1.

(Ejercicio 8, pagina 107, de la referencia [11])

5. Expresar las matrices ix y ld, y el vector id que, de acuerdo con loexplicado en el apartado 2.7.1, definen la conectividad de la malla de cuadri-lateros de cuatro nodos de la figura. Expresar la contribucion a la matriz derigidez global de las matrices elementales de los elementos 4 y 5.

BORRADOR

Ejercicios 51

Nodos con temperaturasimpuestas

1 2 3

4

7

5

8

6

9

10 11 12

1 2

5

76

3 4

6. Una placa conductora rectangu-lar, de lados a = 4 m. y b = 2 m., tie-ne las temperaturas impuestas en suscuatro lados de acuerdo con las expre-siones (ver la figura adjunta):

TAB = TBC = TAD = T0

TCD(x) = T0x(a− x) + T0

T0 = 100C

x

A B

CD

y

a

b

Considerando que la placa se encuentra en regimen estacionario, realizarun modelo de elementos finitos que permita calcular la distribucion de tem-peraturas en la placa y comparar los resultados obtenidos con la solucionanalıtica:

T (x, y) = T0 +∞∑

n=1

2

a

senh(λny)

senh(λnb)sen(λnx)

[∫ a

0

T0x(a− x) sen(λnx) dx

]λn =

πn

a

7. Se considera una barra de seccionrecta elıptica sometida a torsion uni-forme. Las dimensiones de los ejes dela elipse son a = 1 y b = 2. A labarra se le aplica un momento torsorMt = 6.32246, siendo el modulo decorte del material G = 106. Utilizan-do la discretizacion de una cuarta par-te de la seccion que se muestra en lafigura adjunta, calcular las tensionestangenciales τxz y τyz en los puntos A,B, C, D y E remarcados, comparan-dolos con los valores correspondientesa la solucion analıtica, que se detallanen el siguiente cuadro:

B

D

A

C

E

BORRADOR

52 La ecuacion de Poisson

A B C D Eτxz 0.00000 −0.63662 −0.06366 −0.44563 −0.19099τyz 1.27324 0.00000 1.26686 0.90928 0.50930

NOTA: En el fichero malla2-7.txt, que se puede descargar de http://w3.mecanica.upm.es/~felipe/mef estan definidas las coordenadas nodales y la conectividad de la malla dela figura(Ejemplo aptdo. 12.4, de la referencia [8])

8. La figura adjunta representa una pantalla practicamente impermeable,construida en un terreno cuya permeabilidad es k = 8.47 · 10−5 m/s. Paralos niveles de agua indicados en dicha figura se desean analizar los valores delas filtraciones. Empleando un programa de elementos finitos obtener la dis-tribucion de presiones (altura piezometrica) y la distribucion de velocidadeshorizontales y verticales.

(Ejercicio 7.9 de la referencia [1])

Pantallaimpermeable

Roca impermeable

0.61

9.144

3.048

6.096

18.288

9. Si una superficie sumergida en un fluido incompresible se desplaza conuna distribucion de aceleraciones dada, de manera que la amplitud del mo-vimiento es pequena, las sobrepresiones p resultantes satisfacen la ecuacionde Laplace:

∇2p = 0

En los contornos fijos y moviles, las condiciones de contorno son de tipoesencial y se expresan mediante:

∂p

∂n= −ρan

siendo ρ la densidad del fluido, y an la componente de la aceleracion normala dicho contorno. En las superficies libres, despreciando los efectos asociadosa las ondas de superficie, la condicion de contorno es:

p = 0

BORRADOR

Ejercicios 53

La ecuacion constitutiva relaciona las componentes del gradiente de lapresion con la componente del vector aceleracion:

∂p

∂xi

= ρd2x

dt2

En este ejercicio se considera una pantalla vertical sometida a la presiondel agua contenida en el deposito representado en la figura. Se desea deter-minar la distribucion de presiones en el muro y en el fondo del deposito enlos dos casos correspondientes a:

1. desplazamiento horizontal de la pantalla con aceleracion constante a0

2. desplazamiento horizontal de la pantalla con aceleracion linealmentevariable de valor nulo en el fondo del deposito y valor maximo a0 en elpunto mas alto de la misma.

Se representaran los perfiles de la presion adimensionalizada: p/ρHa0.(Ejemplo aptdo. 7.6.3 referencia [20] tomo I)

1H

2.65H

1

10. Se va a construir una nueva lınea de metro que ha de pasar bajo el rıoque atraviesa la ciudad. El diseno del tramo que ha de atravesar dicho rıo seha realizado teniendo en cuenta que hay un estrato rocoso e impermeable a30 metros bajo el lecho del rıo, sobre el que se apoyara el tunel. El materialque hay entre el lecho del rıo y el estrato rocoso es una mezcla de arenas ylimos, cuyo coeficiente de permeabilidad es k = 7.85 · 10−5 m/s.

En un determinado momento del avance de la excavacion se averıa latuneladora, teniendo que parar la obra por varios dıas. Debido a la permea-bilidad del material en el que se excava, hay un flujo de agua (provenientedel rıo) que atraviesa la seccion de avance del tunel. En el resto del tunel, alestar ya revestido, no se producen filtraciones.

Para poder sacar del tunel el agua filtrada se encarga una bomba cuyapotencia debe conocerse. Se pide estimar mediante un modelo de elementosfinitos el caudal que se infiltra en el tunel, y a partir de este resultado lapotencia necesaria de la bomba.

Notas:

a) Las paredes del rıo son una obra de fabrica que puede considerarse im-permeable.

BORRADOR

54 La ecuacion de Poisson

b) La seccion del tunel es circular, de diametro φ = 8.5 m.

c) Las medidas de la figura estan dadas en metros.

d) La potencia de la bomba es γQh, siendo γ el peso especıfico del fluidoque se bombea, Q el caudal bombeado y h la altura a la que se bombea.

Avan e del túnelArenas y limos Se ión de avan eTúnel revestido

8.5

14

RíoObra de fábri a 35

5.5

30

Ro a impermeable