CAPITULO 3: COLOREO DE GRAFOS

Pablo Torres

Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierıa y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario

Asignatura: Topicos Avanzados en Teorıa de Grafos

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta.

El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G) = χ(L(G))≤ ∆(L(G))+1≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta. El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G) = χ(L(G))≤ ∆(L(G))+1≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta. El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G) = χ(L(G))≤ ∆(L(G))+1≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta. El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G)

= χ(L(G))≤ ∆(L(G))+1≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta. El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G) = χ(L(G))

≤ ∆(L(G))+1≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta. El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G) = χ(L(G))≤ ∆(L(G))+1

≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta. El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G) = χ(L(G))≤ ∆(L(G))+1≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta. El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G) = χ(L(G))≤ ∆(L(G))+1≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

Definicion: Un k-coloreo de aristas de un grafo G es una funcionf : E(G) 7→ {1, . . . ,k} tal que dos aristas con un extremo en comunreciben diferente etiqueta. El ındice cromatico de G, notado χ ′(G), esel mınimo k para el cual G admite un k-coloreo de aristas.

Clases de color−→ Matching

∆(G)≤ χ ′(G) = χ(L(G))≤ ∆(L(G))+1≤ 2∆(G)−1.

α ′(G): numero de matching de G.χ ′(G)≥ m

α ′(G) .

TEOREMA (VIZING, 1964; GUPTA, 1966)Si G es un grafo simple,

χ′(G)≤ ∆(G)+1.

COLOREO DE ARISTAS

χ ′(G) = ∆(G)−→ Clase1.

χ ′(G) = ∆(G)+1−→ Clase2.

1 χ ′(Cn) =

{2 si n es par,3 si n es impar.

2 χ ′(Kn) =

{n−1 si n es par,n si n es impar.

TEOREMA

Sea G un grafo regular. G es de clase 1 sii G es 1-factorizable.

COROLARIO

Todo grafo simple regular de orden impar es de clase 2.

COLOREO DE ARISTAS

χ ′(G) = ∆(G)−→ Clase1.

χ ′(G) = ∆(G)+1−→ Clase2.

1 χ ′(Cn) =

{2 si n es par,3 si n es impar.

2 χ ′(Kn) =

{n−1 si n es par,n si n es impar.

TEOREMA

Sea G un grafo regular. G es de clase 1 sii G es 1-factorizable.

COROLARIO

Todo grafo simple regular de orden impar es de clase 2.

COLOREO DE ARISTAS

χ ′(G) = ∆(G)−→ Clase1.

χ ′(G) = ∆(G)+1−→ Clase2.

1 χ ′(Cn) =

{2 si n es par,3 si n es impar.

2 χ ′(Kn) =

{n−1 si n es par,n si n es impar.

TEOREMA

Sea G un grafo regular. G es de clase 1 sii G es 1-factorizable.

COROLARIO

Todo grafo simple regular de orden impar es de clase 2.

COLOREO DE ARISTAS

χ ′(G) = ∆(G)−→ Clase1.

χ ′(G) = ∆(G)+1−→ Clase2.

1 χ ′(Cn) =

{2 si n es par,3 si n es impar.

2 χ ′(Kn) =

{n−1 si n es par,n si n es impar.

TEOREMA

Sea G un grafo regular. G es de clase 1 sii G es 1-factorizable.

COROLARIO

Todo grafo simple regular de orden impar es de clase 2.

COLOREO DE ARISTAS

χ ′(G) = ∆(G)−→ Clase1.

χ ′(G) = ∆(G)+1−→ Clase2.

1 χ ′(Cn) =

{2 si n es par,3 si n es impar.

2 χ ′(Kn) =

{n−1 si n es par,n si n es impar.

TEOREMA

Sea G un grafo regular. G es de clase 1 sii G es 1-factorizable.

COROLARIO

Todo grafo simple regular de orden impar es de clase 2.

COLOREO DE ARISTAS

TEOREMA (KONIG, 1916)Si G es bipartito,

χ′(G) = ∆(G).

PROPOSICION

Si G es un grafo simple tal que m > ∆(G)α ′(G) entonces G es de clase2.

Un grafo simple G es overfull si m > ∆(G)bn2c.

PROPOSICION

Los grafos overfull son de clase 2.

Si G es de clase 1 entonces m≤ ∆(G)bn2c

COLOREO DE ARISTAS

TEOREMA (KONIG, 1916)Si G es bipartito,

χ′(G) = ∆(G).

PROPOSICION

Si G es un grafo simple tal que m > ∆(G)α ′(G) entonces G es de clase2.

Un grafo simple G es overfull si m > ∆(G)bn2c.

PROPOSICION

Los grafos overfull son de clase 2.

Si G es de clase 1 entonces m≤ ∆(G)bn2c

COLOREO DE ARISTAS

TEOREMA (KONIG, 1916)Si G es bipartito,

χ′(G) = ∆(G).

PROPOSICION

Si G es un grafo simple tal que m > ∆(G)α ′(G) entonces G es de clase2.

Un grafo simple G es overfull si m > ∆(G)bn2c.

PROPOSICION

Los grafos overfull son de clase 2.

Si G es de clase 1 entonces m≤ ∆(G)bn2c

COLOREO DE ARISTAS

TEOREMA (KONIG, 1916)Si G es bipartito,

χ′(G) = ∆(G).

PROPOSICION

Si G es un grafo simple tal que m > ∆(G)α ′(G) entonces G es de clase2.

Un grafo simple G es overfull si m > ∆(G)bn2c.

PROPOSICION

Los grafos overfull son de clase 2.

Si G es de clase 1 entonces m≤ ∆(G)bn2c

COLOREO DE ARISTAS

TEOREMA (KONIG, 1916)Si G es bipartito,

χ′(G) = ∆(G).

PROPOSICION

Si G es un grafo simple tal que m > ∆(G)α ′(G) entonces G es de clase2.

Un grafo simple G es overfull si m > ∆(G)bn2c.

PROPOSICION

Los grafos overfull son de clase 2.

Si G es de clase 1 entonces m≤ ∆(G)bn2c

COLOREO DE ARISTAS

Dado un grafo G, un subgrafo H de orden impar con n′ = |V(H)| ym′ = |E(H)| es un subgrafo overfull si m′ > ∆(G)bn′

2 c= ∆(G)n′−12 .

Ejercicio: Si H es un subgrafo overfull de G entonces ∆(H) = ∆(G)

TEOREMA

Si G tiene un subgrafo overfull entonces G es de clase 2.

La recıproca no es cierta. Estudiar el grafo de Petersen.

Conjetura(Chetwynd-Hilton, 1986): Sea G un grafo simple con m > n3 .

G es de clase 2 sii G tiene un subgrafo overfull.

COLOREO DE ARISTAS

Dado un grafo G, un subgrafo H de orden impar con n′ = |V(H)| ym′ = |E(H)| es un subgrafo overfull si m′ > ∆(G)bn′

2 c= ∆(G)n′−12 .

Ejercicio: Si H es un subgrafo overfull de G entonces ∆(H) = ∆(G)

TEOREMA

Si G tiene un subgrafo overfull entonces G es de clase 2.

La recıproca no es cierta. Estudiar el grafo de Petersen.

Conjetura(Chetwynd-Hilton, 1986): Sea G un grafo simple con m > n3 .

G es de clase 2 sii G tiene un subgrafo overfull.

COLOREO DE ARISTAS

Dado un grafo G, un subgrafo H de orden impar con n′ = |V(H)| ym′ = |E(H)| es un subgrafo overfull si m′ > ∆(G)bn′

2 c= ∆(G)n′−12 .

Ejercicio: Si H es un subgrafo overfull de G entonces ∆(H) = ∆(G)

TEOREMA

Si G tiene un subgrafo overfull entonces G es de clase 2.

La recıproca no es cierta. Estudiar el grafo de Petersen.

Conjetura(Chetwynd-Hilton, 1986): Sea G un grafo simple con m > n3 .

G es de clase 2 sii G tiene un subgrafo overfull.

COLOREO DE ARISTAS

Dado un grafo G, un subgrafo H de orden impar con n′ = |V(H)| ym′ = |E(H)| es un subgrafo overfull si m′ > ∆(G)bn′

2 c= ∆(G)n′−12 .

Ejercicio: Si H es un subgrafo overfull de G entonces ∆(H) = ∆(G)

TEOREMA

Si G tiene un subgrafo overfull entonces G es de clase 2.

La recıproca no es cierta. Estudiar el grafo de Petersen.

Conjetura(Chetwynd-Hilton, 1986): Sea G un grafo simple con m > n3 .

G es de clase 2 sii G tiene un subgrafo overfull.

COLOREO DE ARISTAS

Dado un grafo G, un subgrafo H de orden impar con n′ = |V(H)| ym′ = |E(H)| es un subgrafo overfull si m′ > ∆(G)bn′

2 c= ∆(G)n′−12 .

Ejercicio: Si H es un subgrafo overfull de G entonces ∆(H) = ∆(G)

TEOREMA

Si G tiene un subgrafo overfull entonces G es de clase 2.

La recıproca no es cierta. Estudiar el grafo de Petersen.

Conjetura(Chetwynd-Hilton, 1986): Sea G un grafo simple con m > n3 .

G es de clase 2 sii G tiene un subgrafo overfull.

COLOREO POR LISTAS

v ∈ V(G)−→ L(v).

L = {L(v) : v ∈ V(G)}.

Un L -coloreo por lista f de G es un coloreo de G tal que f (v) ∈ L(v).

En tal caso se dice que G es L -elegible.

Un grafo G se dice k-elegible si es L -elegible para todo conjunto delistas L con |L(v)| ≥ k para todo v ∈ V(G).

El mınimo k para el cual G es k-elegible se denomina numerocromatico por lista y se nota χl(G).

Ejercicio: χ(G)≤ χl(G)≤ ∆+1.

COLOREO POR LISTAS

v ∈ V(G)−→ L(v).

L = {L(v) : v ∈ V(G)}.

Un L -coloreo por lista f de G es un coloreo de G tal que f (v) ∈ L(v).

En tal caso se dice que G es L -elegible.

Un grafo G se dice k-elegible si es L -elegible para todo conjunto delistas L con |L(v)| ≥ k para todo v ∈ V(G).

El mınimo k para el cual G es k-elegible se denomina numerocromatico por lista y se nota χl(G).

Ejercicio: χ(G)≤ χl(G)≤ ∆+1.

COLOREO POR LISTAS

v ∈ V(G)−→ L(v).

L = {L(v) : v ∈ V(G)}.

Un L -coloreo por lista f de G es un coloreo de G tal que f (v) ∈ L(v).

En tal caso se dice que G es L -elegible.

Un grafo G se dice k-elegible si es L -elegible para todo conjunto delistas L con |L(v)| ≥ k para todo v ∈ V(G).

El mınimo k para el cual G es k-elegible se denomina numerocromatico por lista y se nota χl(G).

Ejercicio: χ(G)≤ χl(G)≤ ∆+1.

COLOREO POR LISTAS

v ∈ V(G)−→ L(v).

L = {L(v) : v ∈ V(G)}.

Un L -coloreo por lista f de G es un coloreo de G tal que f (v) ∈ L(v).

En tal caso se dice que G es L -elegible.

Un grafo G se dice k-elegible si es L -elegible para todo conjunto delistas L con |L(v)| ≥ k para todo v ∈ V(G).

El mınimo k para el cual G es k-elegible se denomina numerocromatico por lista y se nota χl(G).

Ejercicio: χ(G)≤ χl(G)≤ ∆+1.

COLOREO POR LISTAS

v ∈ V(G)−→ L(v).

L = {L(v) : v ∈ V(G)}.

Un L -coloreo por lista f de G es un coloreo de G tal que f (v) ∈ L(v).

En tal caso se dice que G es L -elegible.

Un grafo G se dice k-elegible si es L -elegible para todo conjunto delistas L con |L(v)| ≥ k para todo v ∈ V(G).

El mınimo k para el cual G es k-elegible se denomina numerocromatico por lista y se nota χl(G).

Ejercicio: χ(G)≤ χl(G)≤ ∆+1.

COLOREO POR LISTAS

v ∈ V(G)−→ L(v).

L = {L(v) : v ∈ V(G)}.

Un L -coloreo por lista f de G es un coloreo de G tal que f (v) ∈ L(v).

En tal caso se dice que G es L -elegible.

Un grafo G se dice k-elegible si es L -elegible para todo conjunto delistas L con |L(v)| ≥ k para todo v ∈ V(G).

El mınimo k para el cual G es k-elegible se denomina numerocromatico por lista y se nota χl(G).

Ejercicio: χ(G)≤ χl(G)≤ ∆+1.

COLOREO POR LISTAS

TEOREMA

Todo arbol es 2-elegible. Mas aun, para todo arbol T, vertice u de T,L = {L(v) : v ∈ V(T)} una lista de colores de tamano dos, con a ∈ L(u),existe un L -coloreo por lista tal que u recibe el color a.

TEOREMA

Todo ciclo par es 2-elegible.

¿Todo grafo bipartito es 2-elegible? No.

LEMA

Sean r y k dos enteros positivos tales que r ≥(2k−1

k

). Luego, Kr,r no es

k-elegible.

COLOREO POR LISTAS

TEOREMA

Todo arbol es 2-elegible. Mas aun, para todo arbol T, vertice u de T,L = {L(v) : v ∈ V(T)} una lista de colores de tamano dos, con a ∈ L(u),existe un L -coloreo por lista tal que u recibe el color a.

TEOREMA

Todo ciclo par es 2-elegible.

¿Todo grafo bipartito es 2-elegible? No.

LEMA

Sean r y k dos enteros positivos tales que r ≥(2k−1

k

). Luego, Kr,r no es

k-elegible.

COLOREO POR LISTAS

TEOREMA

Todo arbol es 2-elegible. Mas aun, para todo arbol T, vertice u de T,L = {L(v) : v ∈ V(T)} una lista de colores de tamano dos, con a ∈ L(u),existe un L -coloreo por lista tal que u recibe el color a.

TEOREMA

Todo ciclo par es 2-elegible.

¿Todo grafo bipartito es 2-elegible?

No.

LEMA

Sean r y k dos enteros positivos tales que r ≥(2k−1

k

). Luego, Kr,r no es

k-elegible.

COLOREO POR LISTAS

TEOREMA

Todo arbol es 2-elegible. Mas aun, para todo arbol T, vertice u de T,L = {L(v) : v ∈ V(T)} una lista de colores de tamano dos, con a ∈ L(u),existe un L -coloreo por lista tal que u recibe el color a.

TEOREMA

Todo ciclo par es 2-elegible.

¿Todo grafo bipartito es 2-elegible? No.

LEMA

Sean r y k dos enteros positivos tales que r ≥(2k−1

k

). Luego, Kr,r no es

k-elegible.

COLOREO POR LISTAS

TEOREMA

Todo arbol es 2-elegible. Mas aun, para todo arbol T, vertice u de T,L = {L(v) : v ∈ V(T)} una lista de colores de tamano dos, con a ∈ L(u),existe un L -coloreo por lista tal que u recibe el color a.

TEOREMA

Todo ciclo par es 2-elegible.

¿Todo grafo bipartito es 2-elegible? No.

LEMA

Sean r y k dos enteros positivos tales que r ≥(2k−1

k

). Luego, Kr,r no es

k-elegible.

COLOREO POR LISTAS DE GRAFOS PLANARES

Conjetura: [Vizing, 1976; Erdos et al., 1979]Todo grafo planar es 5-elegible.

TEOREMA (CARSTEN THOMASSEN, 1994)Todo grafo planar es 5-elegible.

COLOREO POR LISTAS DE GRAFOS PLANARES

Conjetura: [Vizing, 1976; Erdos et al., 1979]Todo grafo planar es 5-elegible.

TEOREMA (CARSTEN THOMASSEN, 1994)Todo grafo planar es 5-elegible.