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Capítulo 5:
Resonadores en microondas
Los circuitos resonantes (en baja y alta frecuencia)son muy utilizados en ingeniería electrónica en una gran variedad de aplicaciones: filtros,
osciladores, medidores de frecuencia y amplificadores sintonizados. El capítulo comienza recordando la teoría básica de circuitos resonantes, siendo la tecnología la que diferencie los circuitos resonantes en las distintas bandas
frecuencia. Las tecnologías expuestas para realizar circuitos resonantes en microondas
serán: líneas de transmisión, guías de onda formando cavidades resonantes y guías dieléctricas constituyendo resonadores dieléctricos.
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ÍNDICE
• Introducción– Circuito resonante serie.– Circuito resonante paralelo.– Definiciones: factor de calidad cargado y descargado de un circuito.
• Circuitos resonantes en alta frecuencia• Resonadores basados en líneas de transmisión.
– Resonancia serie– Resonancia paralelo
• Cavidades resonantes.– Cavidades rectangulares.– Cavidades cilíndricas.
• Resonadores dieléctricos• Excitación de resonadores
µO-CAF -1- 3
INTRODUCCIÓN I: CIRCUITO RESONANTE SERIE
• Definición: – Resonancia serie o circuito resonante: en sus bornes hay mínimo de voltaje y máximo
de corriente lo que supone mínimo del módulo de la impedancia.– Resonancia paralelo o circuito antirresonante: en sus bornes hay máximo de voltaje y
mínimo de corriente lo que supone máximo del módulo de la impedancia.
• Configuración del circuito serie y representación del módulo de su impedancia
V I
Zin
CS
LSRS
? / ? 0
|Zin(? )|
BW
R
R/0.707
µO-CAF -1- 4
INTRODUCCIÓN II: CIRCUITO RESONANTE SERIE
• Impedancia de entrada al circuito resonante
• Balance energético
• Un circuito resuena cuando la energía media almacenada por el campo magnético coincide con la almacenada por el campo eléctrico. Esto supone que la impedancia de entrada a dicha frecuencia de resonancia es real.
sssin C
jLjRZ⋅
⋅−⋅+=ω
ω1
( )emlosss
ssinin WWjPC
jLjRIIZIVP −⋅+=
⋅
⋅−⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ωω
ω 21
21
21
21 22*
ssce
sm
sloss
CICVW
LIW
IRP
⋅⋅⋅=⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
2
22
2
2
141
41
4121
ω
( )
2
22I
WWjPZ emloss
in−⋅+
==ω
µO-CAF -1- 5
INTRODUCCIÓN III: CIRCUITO RESONANTE SERIE, DEFINICIONES
• Pulsación de resonancia: aquella a la que se cumple la condición de resonancia.
• Factor de calidad o de sobretensión: relación existente entre la energía media almacenada en el circuito y la energía perdida por segundo.
• Definición en función del margen de frecuencias
sso CL ⋅
=1
ω
loss
em
PWW
segundopordisipadaenergíaalmacenadamediaenergía
Q+
⋅=⋅= ωω
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) sssosin
oo
sososin
ss
ssin
LjRLjRZ
ddf
jddf
jC
jLjRZ
fjRC
jLjRZ
oo
22
...!2
1
1
22
⋅∆⋅+=⋅−⋅+=
+⋅−
⋅+⋅−⋅+
⋅
⋅−⋅+=
⋅+=⋅
⋅−⋅+=
==
ωωωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωω
ωω
ωωωω
( ) ( ) ( )αω
ωω ⋅⋅+⋅=⋅
⋅⋅∆⋅+= QjRQR
jRZ so
ssin 12
( )α
ωω
=⋅∆
o
2
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INTRODUCCIÓN IV: CIRCUITO RESONANTE PARALELO
• Definición: – Resonancia paralelo o circuito antirresonante: en sus bornes hay máximo de voltaje y
mínimo de corriente lo que supone máximo del módulo de la impedancia.
• Configuración del circuito serie y representación del módulo de su impedancia– Las expresiones que rigen su funcionamiento son las duales de las del circuito serie.
? / ? 0
|Zin(? )|
BW
R
R/0.707
V
I
Vg Zin
CPLPRPV
I
Vg Zin
CPLPRP
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FACTOR DE CALIDAD CARGADO, AISLADO Y EXTERIOR
LPGP CPGO GL
Circuito resonante de
factor Q
LPGP CPCPGO GL
Circuito resonante de
factor Q
• La energía almacenada es única por lo que la variación del factor de calidad irá ligada a la variación en las pérdidas que pueda haber.
• Si pudieran separarse los efectos de las pérdidas dependiendo de si la causa fuera interna o externa al circuito tendríamos:– Factor de calidad aislado o en vacío, Q: las pérdidas se deben exclusivamente al
circuito resonador.– Factor de calidad exterior, Qex, las pérdidas se deben a los circuitos exteriores a que se
conecta el resonador– Factor de calidad cargado: incluye todos los efectos de pérdidas, internos y externos, y
es el que realmente se puede medir, QL.
GO GL
LP
GP
CP
GO GL
LP
GP
CPLP
GP
CPLP
GP
CPLP
GP
CPCPCP
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FACTOR DE CALIDAD: CONEXIÓN DE RESONADORES
• Hay tantos factores de calidad externos cuantas conexiones del resonador tengamos al exterior. Así se pueden clasificar los resonadores por su conexión:– Resonadores a reflexión: solo existe un terminal que aporta energía al resonador.
Tiene una configuración tipo dipolo y hay un solo Qext
– Resonadores a transmisión: se aporta energía al resonador por un terminal y se extrae por otro. Tiene una configuración tipo cuadripolo y hay dos Qext: Qext1 y Qext2
• Si la energía almacenada es común y las pérdidas han podido separarse el factor de calidad cargado, que es el que se puede medir, viene dado por:
• Si las resistencias exteriores son Rex1 y Rex2
• Que para el circuito paralelo tendremos:
21
1111
exexL QQQQ++=
2222
1111 ;
ex
s
sex
sso
ex
soex
ex
s
sex
sso
ex
soex
RR
QRR
RLR
LQ
RR
QRR
RLR
LQ
⋅=⋅
⋅⋅=
⋅=
⋅=⋅
⋅⋅=
⋅=
ωω
ωω
p
ex
po
ex
ex
p
pex
ppo
ex
poex R
RQ
LR
G
GQ
GG
GC
G
CQ 11
1111 ⋅=
⋅=⋅=
⋅
⋅⋅=
⋅=
ω
ωω
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FACTOR DE ACOPLAMIENTO
• Relación entre los factores de calidad externo e interior: s
• Si se normaliza la resistencia exterior a un valor 1 resulta:– Resonador serie: s= 1/rs
– Resonador paralelo: s=1/gp
• Clasificación de resonadores atendiendo al factor de acoplamiento:– Resonador subacoplado: s<1? Q<Qext (pérdidas en el resonador mayores que en el
circuito exterior)? rs>1 (para circuito serie)– Resonador sobreacoplado: s>1 ? Q>Qext (pérdidas en el resonador menores que en el
circuito exterior)– Acoplmiento crítico: s=1
==⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅
⋅⋅
===
ex
p
p
ex
p
ex
s
ex
s
ex
ex
R
R
GG
GV
GVparalelo
RR
RI
RIserie
resonadorelenPérdidasexteriorcircuitoelenPérdidas
s
2
2
2
2
2121
:
2121
:
µO-CAF -1- 10
0.2 0.5 1 2
j0.2
-j0.2
0
j0.5
-j0.5
0
j1
-j1
0
j2
-j2
0
Cavidad subacoplada:RS>ZO
Acoplamiento crítico:RS = ZO
Cavidad sobreacoplada:RS<ZO
REPRESENTACIÓN DE LOS FACTORES DE ACOPLAMIENTO
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RESONADORES EN ALTA FRECUENCIA
• Inconvenientes en alta frecuencia:– El aumento de la frecuencia de resonancia supone reducir la inductancia o capacidad:
caso límite, reducción a un hilo, concepto de línea de transmisión.– Una bobina acaba siendo auto resonante: capacidades parásitas y resistencias parásitas– En un circuito no cerrado el efecto de la radiación se hace no despreciable.
• Conclusiones sobre alta frecuencia:– Una sección de línea de transmisión puede resonar en determinadas circunstancias.– Se puede reducir las pérdidas cerrando la estructura y pasando al concepto de cavidad
resonante.– Los conceptos de resonancia serie y paralelo siguen siendo válidos pero se repiten
cada media longitud de onda.
• Tipos de resonadores en alta frecuencia:– Basados en líneas de transmisión– Cavidades resonantes– Resonadores dieléctricos
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z=l z=0
Zin
Zo, β, α
l= n λ/2
n=1
n=2
l
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES
CONDICIÓNDE RESONANCIA
PARALELO
CONDICIÓNDE RESONANCIA
SERIE
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ANÁLISIS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES
• Valores de voltaje y corriente en cualquier punto de la línea:
• Supongamos que está acabada en cortocircuito
• Condición de resonancia:
• Frecuencias de resonancia
( ) ( )( ) ( )zjzj
o
o
zjzjo
eeZV
zI
eeVzV
⋅⋅−
⋅⋅−
⋅Γ−⋅=
⋅Γ+⋅=
ββ
ββ
( ) ( )( ) ( ) z
ZV
eeZV
zI
zVjeeVzV
o
ozjzj
o
o
ozjzj
o
⋅⋅=⋅+⋅=
⋅⋅⋅−=⋅−⋅=
⋅⋅−
⋅⋅−
β
β
ββ
ββ
cos2
sen2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅−⋅
⋅⋅
+⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
⋅
⋅−⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅=
⋅
⋅+⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅=
∫∫
∫
∫
222
0
*
0
*
2
0
*
2
0
*
22sen
21
21
22sen
124
1
22sen
124
1
ooo
ll
loss
ol
E
ol
H
ZGRl
lZGRlIzVzVGzIzIRP
lllLI
zVzVCW
lllLI
zIzILW
ββ
ββ
ββ
( ) ,...3,2,1;4
02sen =⋅=⇒=⋅ nnllλ
βeff
oneffonon
p
l
cnf
f
cn
f
vnnl
εε
λ
⋅⋅⋅=⇒
⋅⋅=⋅=⋅=
4;
444
µO-CAF -1- 15
RESONANCIA SERIE (II)
• Valor de la impedancia:
• Considerando una línea de bajas pérdidas:
• Valor de la impedancia:
• Parámetros del resonador
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )lljljl
ZljZlZZlZZ
ZZ ooZLo
oLoin
L⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+⋅=⋅+⋅=
⋅⋅+⋅⋅+
==
βαβα
βαγγ
tgtgh1tgtgh
tghtghtgh
0
( ) ll ⋅≅⋅ ααtgh ( )ooo
lω
πωω
πωω
πωπβ
⋅∆≈
⋅∆=
⋅∆+=⋅ tgtgtg
⋅∆⋅+⋅⋅≈
⋅∆⋅⋅⋅+
⋅∆⋅+⋅
≈
<<
⋅∆⋅⋅
oo
lo
ooin jlZ
lj
jlZZ
o
ωπωα
ωπωα
ωπωα
ωωα 1
1
αβ
απω
ωπ
α
22
2;
=⋅
=⋅
=
⋅=⋅⋅=
resonancia
o
o
osos
lRL
Q
ZLlZR
µO-CAF -1- 16
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES CERRADAS POR AMBOS EXTREMOS
• En el caso de que las líneas de transmisión se encuentren cerradas por ambos extremos la resonancia existirá cuando se cumpla la condición en ambos lados. Esto quiere decir que será a múltiplos de media longitud de onda.
• La condición de resonancia en este caso será:
( ) ( ) 0=+ xZxZ iin
din
µO-CAF -1- 17
Zin
Zo, β, α
l l1
C
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES ACORTADAS
0.2 0.5 1 2
j0.2
-j0.2
0
j0.5
-j0.5
0
j1
-j1
0
j2
-j2
0
XC
2π-φc
2?
01
1tan
arctan2
2
ZCw
ZX
o
CC
C
⋅⋅=
+=
=−
θ
πφ
πθφ
µO-CAF -1- 18
CAVIDADES RESONANTES (I)
• Definición: volumen cerrado por paredes conductoras metálicas dentro del cual se introduce y extrae energía por diversos métodos.
• Análisis más complicado que en líneas de transmisión porque hay infinitos modos de propagación. – En modos TEM existen voltajes y corrientes definidos de forma unívoca– El estudio se hace a partir del modo de la guía y se particulariza para unas condiciones
de cierre determinadas.
• Campo en una guía:
• Constante de fase en una guía
• Si se cierra en z=0 por un cortocircuito perfecto
( ) ( )[ ]zjzjt
mnmn eAeAyxezyxE ββ −−+ += ,,,22
2
−
−=
bn
am
kmnππ
β
0=tE −+ −= AA
( ) ( ) 0sin2,,, =−= + djAyxedyxE mnt β
,...,3,2,1 == lldmn πβ
µO-CAF -1- 19
CAVIDADES RESONANTES (II)
a
b
d
d
a
m=1
l=1
x
x
y
y
z
z
222222
+
+
=⇒+=
dl
bn
am
kkk mnlcπππ
β
222
22
+
+
==
dl
bn
amcck
frrrr
mnlmnl
πππεµπεµπ
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CAVIDADES RESONANTES (III)
222222
+
+
=⇒+=
dl
bn
am
kkk mnlcπππ
βSi dividimos la expresión
por el número de onda de corte asociado al TE10 resulta
22
2
10
202
+
=
da
lkk
caf
c
c
µO-CAF -1- 21
FACTOR DE CALIDAD DE UNA CAVIDAD RECTANGULAR CON EL MODO TE101
dzl
ax
akEj
H
dzl
ax
ZjE
H
dzl
ax
EE
z
TEx
y
ππηπ
ππ
ππ
sincos
cossin
sinsin
0
0
0
=
−=
= ∫ ==V yye E
abddvEEW 2
0*
164εε
( )
+=+= ∫ 222
2
220
** 1164 akZ
Eabd
dvHHHHWTE
V zzxxm ηπµµ
( ) ( )
( ) ( )[ ]
+++=
=+=+
=+==
∫∫
∫ ∫∫ ∫
==
= == =
ad
dal
abd
dablER
dxdzyHyHR
dydxHRdxdyzHRP
s
a
x zx
d
zs
d
z
b
y zs
b
y
a
x xsc
228
00
00
2
22
2
2
220
0
22
0
0 0
2
0 0
2
ηλ
z
( )( )[ ]3323322
3
2
22
22
30
221
2
22
14
2
addalbdbalRbkad
ad
dal
abd
dablR
abdkP
WQ
s
sc
ec
+++=
+++
==
πη
πηω
δεεω
tan12
=′′′
==d
ed P
WQ
111
−
+=
dc QQQ