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7/24/2019 Captulo 6 Sistemas Dinamicos
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Captulo 6
La Transformada de Laplace
6.1 Transformadas de Laplace directa e inversa
6.2 Resolviendo ecuaciones diferencialesPropiedades de transformadas de Laplace
Ecuaciones diferenciales lineales (LDE)con coeficientes constantes
Expansin en fracciones parciales
Pares de transformadas de Laplace
Ecuaciones diferenciales Vector-matrizSistemas de LDE
Ecuaciones integrales e integrales-diferenciales
LDE con coeficientes dependientes del tiempo
6.3 Identificacin de sistemas
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Transformadas de Laplace directa e inversa
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Pares de transformadas de Laplace bsicas
Pares de transformadas de LaplaceVerTabla 6.1 para listado completo
0
( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt
1( ) ( )f t F s
( )f t ( )F s
Dominio del tiempo Dominio de Laplace (s)
( )t
1
t
st
e
sin t
cos t
1
1/ s
21/ s
1/ s a
2 2/ s
2 2/ s
La transformada de Laplace
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Transformadas de Laplace directa e inversaPares de Transformadas de laplace
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Transformadas de Laplace directa e inversa
Ejemplo:
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Transformadas de Laplace directa e inversa
Ejemplo 6.1:
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Transformadas de Laplace directa e inversa
Ejemplo 6.2:
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Propiedades de la transformada de Laplace
( )f t ( )F s
Dominio del tiempo Dominio de Laplace (s)
propiedad (teorema)
Linealidad
Tabla 6.2
Desplazamiento en el tiempo
Derivadas
Integrales
Valor final
Valor inicial
1 1 2 2( ) ( )a f t a f t
( )ate f t
2
2
( )
( )
df t
dt
d f t
dt
0
0
lim ( )t
t
f t
0
( )t
f t dt
( )F s a
( ) (0)sF s f
0( ) ( ) /
tF s f t dt s
lim ( )t
f t
1 1 2 2( ) ( )a F s a F s
Desplazamiento en frecuencia( ) 1( )f t a t a ( )ase F s
2
0
( )( ) (0)
t
df ts F s sf
dt
0
lim ( )t
sF s
lim ( )t
sF s
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Transformadas de Laplace directa e inversa
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Teorema del desplazamiento en frecuencia
Propiedad de linealidad
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Ejemplo 6.3
Transformadas de Laplace directa e inversa
Ver Tabla de Transformadas de Laplace: Sen(t)
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Desplazamiento
en frecuencia
EjemploConociendo: Teorema del desplazamiento en frecuencia
Encuentre: 1 2( ) sin ; ( ) cos at at
F s te t F s te t
2
1e
a j tt
s a j
2 2
2 2 22 22 2
21 s a s aj
s a j s a s a
e e e e cos sin e cos e sin a j t at j t at at at t t t t j t t t jt t
Identidad de Euler
2 2
1 22 2
2 22 2
2 ( ) ; ( )
s a s aF s F s
s a s a
comparacin
e e cos e sin a j t at at t t t j t t
VerEjemplo 6.4
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Teorema del desplazamiento en el tiempo
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Ejemplo 6.5
Transformadas de Laplace directa e inversa
Funcin pulso:
Funcin impulso:
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Ejemplo
Se conoce: grfico de f(t) Encuentre: F(s)
1
1
( ), 0 , 0
( ) ( ), 2 , 2
0, 20, 2
f t t a t t a
f t f t a a t a t a a t a
t at a
En forma de funciones paso y rampa
21 1 1
( ) e e 1 eas as asf t as s s
VerEjemplo 6.6
Transformadas de Laplace directa e inversa
1() 1( ) ( 2) 1( 2) 1( 2)
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Transformada de Laplace de derivadas
Transformadas de Laplace directa e inversa
Integracin por partes:
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Transformada de Laplace de Integrales indefinidas
Transformadas de Laplace directa e inversa
Integracin por partes:
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Teorema del Valor Inicial
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Teorema del Valor Final
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Uso de MATLAB para calcular lmites
Transformadas de Laplace directa e inversa
Ejemplo 6.8
Ver MATLAB/Ejemplo_6_8
Teorema del valor inicial:
Teorema del valor final:
v = 120V
R = 240
i(0) = 2A
L = 5H
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_8.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_8.m7/24/2019 Captulo 6 Sistemas Dinamicos
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Funciones peridicas ( ) ( ) ( 2 ) ... ( )f t f t T f t T f t nT
1
1 1
0 0
( ) ( )
( )1 1
T T
st st
sT sT
e f t dt e f t dt
f te e
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Ejemplo 6.9
Transformadas de Laplace directa e inversa
Frmula:
Integracin por partes:
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Convolucin de 2 funcionesTeorema de convolucin
0
( ) ( ) () ( ) t
f t g t f g t d
EjemploEncuentre:
1
2 2 2 2
1( )x t
s a s b
2 2 2 2
1 1( ) ( ) ( )X s F s G s
s a s b
convolucin
1
0
1( ) ( ) ( ) sin sin
t
x t f t g t a b t dab
1 1
( ) sin ; ( ) sinf t at g t bt
a b
2 2
1( ) sin sinx t a bt b at
ab a b
1( ) ( ) ( ) ( )f t g t F s G s 1
( ) ( ) ( ) ( )f t g t F s G s
VerEjemplo 6.10
Transformadas de Laplace directa e inversa
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Resolucin de ecuaciones diferenciales
Modelo
matemtico
Modelo en
dominio de
Laplace
Encontrar
Y(s)
Fracciones
Parciales
Solucin:
y(t)
Ecuaciones
diferenciales
(t)
Ecuaciones
algebraicas
(s)
1
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Fraccin
complicada
Cuatro casos:
Expansin en fracciones parciales
Suma de fracciones
(parciales) ms
simples
reales y simples (distintas)
complejas y simples reales y mltiples (repetidas)
complejas y mltiples
Races de D(s)
( )( )
( )
N sF s
D s
Resolucin de ecuaciones diferenciales
Grado de N(s) < Grado de D(s)
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Ejemplo 6.11
Resolucin de ecuaciones diferenciales
Grado de N(s) > Grado de D(s)
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Ejemplo 6.12
Resolucin de ecuaciones diferenciales
c = - 4/5
d = 3/5
1 + 1
15
1 + 2
4
5
3
5 + 1
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Races del denominador: s = 0 (simple) and s = 1 (doble)
Ejemplo Encuentre:
1
2
1( )
1f t
s s
Usando fracciones parciales
Determine coeficientes a, b, y c
Forma de fracciones parciales
2 2
1( )
11 1
a b cF s
s ss s s
2
0
11
1s
a
s
1
11
s
bs
2
1 1 1( )
11F s
s ss
( ) 1 1 e tf t t
1
VerEjemplo 6.13
Resolucin de ecuaciones diferenciales
1
=
1
= 1
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Expansin en fracciones parciales con MATLAB
Resolucin de ecuaciones diferenciales
Ejemplo 6.14
Ver MATLAB/Ejemplo_6_14
ri = residuos
pi = polosk = polinomio de
trminos directos
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_14.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_14.m7/24/2019 Captulo 6 Sistemas Dinamicos
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Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (LDE)
m = 10-6 kg, c= 3 N-s/m,k= 2 N/m, f= 2 N,Cero condiciones iniciales:
x(0) = 0dx/dt|t=0 = 0
encuentre:x(t)
Con condiciones iniciales cero
Resuelva la ecuacin diferencial
parax(t)
1
1 1 0
( )( )...n n
n n
F s
X sc s c s c s c
1
1 1 01
( ) ( ) ( )... ( ) ( )
n n
n nn n
d x t d x t dx t c c c c x t f t
dt dt dt
11
1 1 0
( )( )...n n
n n
F sx t
c s c s c s c
1
Ejemplo
mx cx kx f
22( )
1 2fX s
s s ss ms cs k
2( ) 1 2e et tx t 1
1 2 1( )
1 2X s
s s s
Expansin en fracciones parciale
Ver Ejemplo 6.15
Resolucin de ecuaciones diferenciales
7/24/2019 Captulo 6 Sistemas Dinamicos
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Uso de MATLAB para calcular transformadas de Laplace
Resolucin de ecuaciones diferenciales
Ejemplo 6-16
Ver MATLAB/Ejemplo_6_16
a=-3/5b=1/5c=1
d=-2/5
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_16.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_16.m7/24/2019 Captulo 6 Sistemas Dinamicos
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Ejemplo
Sistemas de LDE con coeficientes constantes
KCL
Grficos
R = 200 , L = 20 H, C= 10 F,v= 100 V, cero condiciones iniciales
Encuentre y grafique: iL(t), iC(t)
( ) ( ) ( )R L C
i t i t i t
( )( )
( )1( ) 0
L
R
L
C
di tRi t L v
dt
di ti t dt L
C dt
KVL
( ) ( )
1( ) ( ) 0
L C
L C
vR Ls I s RI s
s
LsI s I s
Cs
1
2
2
( )1
( )0
L
C
vR Ls R v
I s s RLCs Ls Rs
I s Ls LCvsCs
RLCs Ls R
1
250
250
( ) 0.5 0.5cosh 239.8 0.52sinh 239.8
( ) 0.5cosh 239.8 0.52sinh 239.8
t
L
t
C
i t t t e
i t t t e
Dado:VerEjemplo 6.17
Resolucin de ecuaciones diferenciales
Ver MATLAB/Ejemplo_6_17
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_17.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_17.m7/24/2019 Captulo 6 Sistemas Dinamicos
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Ecuaciones diferenciales matriciales
1 1
0
2 2
0
( ) ( ) e
( ) ( ) e
st
st
X s x t dt
X s x t dt
1 2( ) ( ) ( ) t
X s X s X s ( ) ( )x t X s Transformada de Laplacede vector de incgnitas
Incgnitas individuales
Incgnitas vectoriales
1
2( ) ( ) (0) (0) ( )x t X s s M K M x s x F s
( ) ( ) ( )M x t K x t f t
2 ( ) (0) (0) ( ) ( )M s X s s x x K X s F s
1
2( ) (0) (0) ( )X s s M K M x s x F s
Solucin en el dominio del tiempo
Solucin en el dominio s
Sistema mecnico de Mltiples-DOF
1
Resolucin de ecuaciones diferenciales
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EjemploModelo fsico Modelo de parmetros concentrados
m1 = m2 = m = 10-6 kg,
k1 = k2 = k = 10-6 N/m,
f= 10-6 (t) N,Cero condiciones iniciales
Encuentre:x1(t),x2(t)
Dado:
1
2( ) ( )X s s M K F s
1 1 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
0m x k k x k x
m x k x k x f
Modelo matemtico
1
2
( ) 0.72sin 0.62 0.28sin 1.62
( ) 1.17sin 0.62 0.17sin 1.62
x t t t
x t t t
1 2 4 2 2
2
2 2 4 2 2
( )3
2( )
3
kX s
m s mks k
ms kX s
m s mks k
6 00 2
; ; ( ) 100
m k kM K f t
tm k k
Solucin 1
VerEjemplo 6.18
Resolucin de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales matriciales
Ver MATLAB/Ejemplo_6_18
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_18.mhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/Ejemplo_6_18.m7/24/2019 Captulo 6 Sistemas Dinamicos
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LDEs con coeficientes dependientes del tiempo
Ejemplo
0
( )(0) 0; 0
t
dx tx
dt
2
2
( )sinh( )
d x tt t
dtResuelva parax(t)
Condiciones iniciales
( )
( ) dF s
tf tds
f(t)
Use la propiedad
( ) 2 1 cosh( ) sin( )x t t t t
2 ( ) sinh( )d
s X s tds
2
2
2( )1
X s
s s
1
VerEjemplo 6.21
Resolucin de ecuaciones diferenciales
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Identificacin de sistemas
Identifique: f(t), a, b, c, y condiciones iniciales
X(s) especificado
( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t cx t f t
2
( )( )
ds e F sX s
as bs c
Con condiciones iniciales no cero
Formato generalcomparacin
2
(0) (0) (0) ( )( )
ax s ax bx F sX s
as bs c
Ejemplo
Sistema de segundo orden de un-DOF
Dado: Identifique el sistema fsico
2
1( )
1F s
s
( ) sin( )f t t
2
2 2
5 5( )
1 2 1
s s sX s
s s s
1 a = 2, b = 1, c = 1
(0) 5(0) (0) 1
ax
ax bx
5 7(0) ; (0)
2 4x x
23 2 2
2 2 2 2 2
15 15 1 1 15 5 1 1 1( )1 2 1 1 2 1 2 1
ss ss s s sX s
s s s s s s s s
2 i t
Modelo matemtico
VerEjemplo 6.23