REVISTA MEXICANA DE FíSICA +1 SUI'LEhll<:NTO 3. 59.....())

Características geométricas de algunos poliedrosy su aplicación a agregados atómicos

J.M. Monlejano-Carrizales y F. Aguilera-GranjaInstituto de Ffsica, Universidad Autónoma de San Luis Potos(

78000 San Luis PO/OSI: SLP., Mexico

Recibido el 3 de marzo de 1998;aceptado el 4 de julio de 1998

DICIEMBRE 1998

Sornegeometrical shapes for small c1usterswilh more (han 5 atoms are prescnted and their gcometrical characteristics are determined. Thcc1ustersstudied are: hcxahedron, octahedron, trigonal prism. dodecadchahedron, developed trigonal prism. and developed cubic anliprism.The procedure to obtain various gcometries for a number of atoms given is pUllingatoms on top sites over the faces of the geometric shapes.The coordination [or each atom in each geomclrical array is given. Sorneapplicationsof thesc geomctrical characteristics are also mentioned.

Keywords: Geomctrical shapcs; gcomctrical charaCleris(ics

Se presentan varias figuras geométricas para cúmulos pequeños desde 5 átomos en adelante, y se determinan sus características geométricas.Las geometrías estudiadas son: hexaedro, octaedro. dccaedro. trigonal, dodeca-deltaedro, antiprisma cuadrado. prisma trigonal y cubo an-tiprisma. La manera de obtener varias geometrías para un mismo número de átomos. es generando sitios sobre las caras de las geometríasmencionadasy equidistantes a los sitios que forman las caras, a distancia de primeros vecinos. Se determina la coordinación de cada átomoen cada arreglo encontrado. Se mencionan algunas aplicaciones de estas características geométricas.

Descriptores: Figuras geométricas: caraclerísticas geométricas

PAes: 61.50.Ah; 61.82.Rx

I. Introducción

En su incesante lucha por entender, descubrir y describir laspropiedades físicas y químicas de los materiales nanoestruc-turados (agregados o cúmulos atómicos con un número deátomos que va desde unos cuantos hasta miles de ellos), elhombre de ciencia ha utilizado algunas aproximaciones ysuposiciones que simplifiquen el tratamiento matemático ycompulacional de algunos modelos propueslos para tal fin.Algunos modelos propueslos son; el modelo de lsing [1) enla aproximación del modelo de solución regular. El ingredi-ente principal de estos modelos es considerar la interacciónquímica y/o magnética sólo a primeros vecinos. La simpli-ficación que conlleva el tener sitios equivalentes es de granimportancia para ahorrar tiempo de cómputo y para lograruna mejor interpretación de los resultados obtenidos.

Las propiedades de los sistemas nanoestructurados no sonsolo la simple inlerpolación entre las propiedades del sólidoy las del átomo o molécula, sino que presentan propiedadescaracterísticas propias que los hacen interesantes desde elpunto de vista de la investigación de nuevos materiales. Estaspropiedades lan especiales provienen. en gran parle, del he-cho que un gran número de los átomos que forman el cúmulose encuentran localizados en la superficie del mismo.

Una de las principales metas en la investigación de lossistemas nanoestructurados es describir la geometría que pre-sentan y la distribución espacial atómica, en el caso de sis-temas con más de un elemento. Se han llevado a cabo ex-perimentos enfocados a determinar el tamaño de los cúmulos

generados de diferentes formas. También se realizan expe-rimentos de adsorción de diversas moléculas para inferir laforma de la superficie de los cúmulos y con ello la formageométrica.

En trabajos anteriores se han estudiado las característicasgeométricas de estructuras compactas y que a panir de uncúmulo con la geometría deseada se van generando loscúmulos mas grandes construyéndolos en forma concéntrica(cáscaras de cebolla) [4J. Se estudiaron eslrUcluras con formade icosaédro. cubo-octaédro. bcc y se.

En este trabajo se presenla la descripción sislemálicade las características geométricas de algunos poliedros quepodrían simular cúmulos de átomos. Se presenta la formaen la cual se pueden obtener cúmulos con un número masgrande de átomos en base a los poliedro estudiados. Tambiénse mencionan algunas aplicaciones que se han hecho de estosresultados.

2. Características geométricas

2.1. Poliedros básicns

En esta sección vamos a considerar formas geométricascon un cierto número de átomos los cuales se arreglan deforma (al que generan un poliedro con caras triangularesy cuadradas unidas (enlazadas) por aristas y vérlices. Lospoliedros considerados son: el hexaedro (Hexa), octaedro(acta), trigonal (Tri), decaedro (Deca), dodeca-delIaedro(Dode). aniiprisma cuadrado (Ancua), prisma trigonal (Prilri)

(,0 j,¡\l \IONTEJANO.CARRIZALES y F AGUILERA-GRANJA

T,\BLA 1. Caraclerísticas geomélricas de los poliedros hásicos.

Polyhedron JV~T. No To ~Y"T 'Yce T, .\"p '\"ma>; 3 4 5 6

Hexa 5 2 9 2 6 1 O 11 2 3OcIU (, 1 12 1 8 I O 14 6

Deca 7 2 15 2 10 - 1 O 17 5 2

Tri (, 1 9 2 2 3 2 O 11 (,

Dode 8 2 18 3 12 - 2 4 16 4 4

Cuan 8 I 16 I 8 2 2 O 18 8

Delri 9 2 21 2 14 - 2 3 20 3 6

Decuan 10 2 24 2 16 - 2 O 26 2 8

• Smaz- Número maximo de sitios.

• .vp- Número de sitios prohibidos

• T('- Número de tipos de caras.

• .\"cc - Número de caras cuadradas.

po 2. Por airo lado. en el caso del Tri todos los vénicestienen coordinación 3. por i:onsiguientc se tiene un solo tipodc arista pero las caras son de dos tipos diferentes. triangu-lares y cuadradas. En el dodeca-t1eltaedro totlas las caras sontriangulares. pero son de dos tipos: (1) las formadas por 2sitios de coordinación 4 y uno de 5. y (2) las formada~ por Isitio de coordinación 4 y 2 de 5.

En la Tabla I se presentan las características geométricasde estos poliedros. En la segunda y tercera columnas se listael número de sitios (vértices) en el poliedro y el número detipos de sitios equivalentes. respectivamente. que se detallande la undécima columna en adelante. En la cuarta y quintacolumpas se listan el número de aristas y lo" tipos de ariqasen el poliedro. En la sexta. séptima y octava columnas se rre.sen tan el número de caras triangulares. cuadradas y los tiposde caras, respectivamente. Es de notar que en los poliedroshá~icos el número de enl<tces es igual al número de aristas.ya que no presentan sitios internos. excepto en el Deca. yaque los sitios de coordinación 6 se coordinan internamenteentre ellos.

De la Fig. 1 Yde la Tahla I se puede ver que los poliedrostienen un determinado número de sitios. Para tener una var-iedad mas amplia de cúmulos con diferente número de sitiosse va a suponer que sohre los centros de las caras del poliedroy equidistantes a los sitios que forman la cara. :-.epuedentCller sitios del poliedro. De esta forma. se puede generar unpoliedro de 6 sitios agregando un sitio sobre una de las carasdel Hexa, nótese que debido a que todas las caras son iguales.vease Tabla 1,es independiente de sohre cual de las seis carasse eSi:oja. a fin de cuentas se tiene un poliedro de 6 sitios, 2 decoordinación 3. 2 de 4 y 2 de 5. Además. debe mencionarse

• .\"5- Número de sitios T5- Número de lipos de silios

• Xa- Número de arist,ls. T(J- Número de tipos de arista ...•

• .\"('r- Número de caras triangulares.

('1(b)(.1

y cuho antiprisma (Cuan). En la Fig. I 'se muestran estospoliedros y se puede ver que lodos presentan caras triangu-lares con excepción del trigonal y del antiprisma cuadradoque también presentan 3 y 2 caras cuadradas. respectiva-mente.

De la Fig. 1 se puede \'cr que en los poliedros básicos. nosiempre son todos los sitios equivalentes. cntcndicmJosc porsitios equivalentes aquellos con características geométricasiguales entre las que se cuentan: ocupar el mismo tipo dcsitio en el cúmulo, tener la misma coordinación y con losmismos tipos de sitios. es decir. son sitios que aún y (uandoocupan sitios espacialmente distantes. los rodea el mismo en-torno. Por ejemplo, para el Hexa se tiene que 2 sitios tienencoordinación 3 y 3 tienen coordinación 4, entendienduse quedos átomos sc coordinan cuando se encuentran a distanciade primeros vecinos. Aun y cuando todos son vértices delpoliedro se tiene que hay dos tipos de sitios equivalentes, losde coordinación .3y los de 4. De la misma forma se ohservaque las aristas de los poliedros (enlaces externos) pueden uniro no sitios equivalentes. Por ejemplo, en el Hexa, se tienendos tipos de aristas: (1) las que unen sitios iguales, sitios decoordinación 4, y (2) las que unen sitios diferentes, sitios decoordinación 3 y 4.

En lo que a distancia a primeros vecinos respecta. dp"•consideramos el rango V3/2 = 0.866 :s dp,. :s J72 =1.189. En los poliedros básicos la distancia entre lo,",sitiosque los forman es 1.0. con excepción del Deca. en el cual ladistancia entre los sitios de coordinación 6 es 1.05. La dis-tancia de los sitios agregados sobre las caras a cada sitios queforma la cara correspondiente es 1.0 también. La distanciaentre sitios agregados es variable: en el Hcxa se encuentran adistancia de 1.09. en el Deca de 1.12, en el Pritri de 1.04 y enel Cuan de 0.87.

Por lo que respecta a las cara~ que l:onforman lospolicdros, puedcn ser de tipos diferentes por ser de formadiferente, o por estar formadas por tipos diferentes de aristas.Por ejemplo, de la f-ig. 1 tenemos que todas las caras del Hcxason idénticas, o sea de un solo tipo, es decir, son de formatriangular y esk'Í.nformadas por dos sitios de coordinación 3 yuno de coordinación 4. o bien por dos aristas tipo 1 y una li-

~0~(e) ID (g) (h)

FIGURA 1. Poliedros básicos. <1) hexaedro. b) octaedro. e) trigonal.d) occaedro. e) d<X1ecadcltaedro. t) antiprisma cuadrado. g) prismatrigonal)' h} cubo antiprisma

Nev. M('x. Frs. 44 SJ ( ll)l)X) 59--63

CARACTERíSTICAS GEOMÉTRICAS DE ALGUNOS POLIEDROS Y SU APLICACiÓN A AGREGADOS ATÓMICOS 61

FIGURA 2. Poliedros de 7 átomos generados a partir de lospoliedro:-. básicos. a) hexaedro mas dos sitios con arista comúntipo 1, b) hexaedro mas 00:-' sitios con arista común tipo 2. e) hex.acdro mas dos sitios con sitio común. d) octaedro mas un átomo. e)trigonal mas un sitio en cara triangular, f) trigonal mas un sitio encara cuadrada.

1.1 1"1 lel

Para el caso de 8 sitios se tienen 6 poliedros diferentes:Hexa. OCia. Tri. Deca. Dode y Cuan. Para el Hexa oay 20posioilidades pero agrupadas en 3 diferentes. En el Oeta setienen 28 posibilidades. pero agrupadas en 5 diferentes. En elTri se tienen 10 posibilidades agrupadas en 3 diferentes for-mas. En el Deea son 10 posibilidades pero todas equivalentes.Por lo que se tienen 14 opciones para cúmulos de 8 átomos.

Para cúmulos con mayor número de sitios el número deopciones que se tiene se incrementa grandemente dado queel número de poliedros que pueden participar es mayor y elnúmer~ de caras que tienen también aumenta, lo que ofrecemas posibilidades de obtener opciones diferentes.

En base a lo anterior se puede formar una diversidad decúmulos de diferentes tamaños pero no siempre es posiblehacerlo sin ocasionar que entre dos sitios agregados se lengauna distancia menor que dpv, a estos sitios se les llama siliosprohioidos. En la décima y undécima columnas de la Tabla lse tiene el número de sitios prohibidos y número máximo d~sitios, el cual resulta de restar el número de sitios prohibidosde la suma de el número de vértices y el número de caras enel poliedro.

que el Octa y el Tri son poliedros de 6 sitios tamoién. y quepresentan coordinaciones diferentes a la anterior y entre ellos.por lo que se tienen 3 opciones para un cúmulo de 6 átomos.

Para cúmulos de 7 sitios se tienen cuatro poliedros difer-entes de los cuales se puede partir para obtenerles: Hcxa.OCia, Tri y Deca. Los pohedros que se obtienen se muestranen la Fig. 2 Yse delallan enseguida.

l.. Se agregan 2 átomos sobre dos de las seis caras delHexa, es de notar que existen 15 formas de hacerlo, lascuales se agrupan en solo 3 formas diferentes con: (a)sobre dos caras con una arista común tipo 1, Fig. 2a,resultando 3 sitios de coordinación 3. 3 de 5 y 1 de 6;(b) Sobre dos caras que comparten ona arisla de lipo2. Fig. 20. Y que además son primeros vecinos. resul-tando 5 sitios de coordinación 4 y 2 de 6; (e) Sooredos caras que comparten un sitio de coordinación 4,Fig. 2e. ooteniendo 2 sitios de coordinación 3, 2 de 4.2 de 5 y l de 6.

2. Se agrega un átomo sobre una de las ocho caras delOcta, como todas las caras son iguales, se tiene un soloarreglo de 1 sitio de coordinación 3. 3 de 4 y 3 de 5.Fig.2d.

3. Se agrega un átomo sobre una de las caras del Tri,como se tienen 2 caras triangulares y 3 cuadradas setiene dos arreglos diferentes: (a) sobre una cara trian-gular. Fig. 2e. con 4 sitios de coordinación 3 y 3 de 4.y (o) sobre una cara cuadrada. Fig. 2f. con 3 sitios decoordinación 3 y 4 de 4.

4.- El Deca de 5 sitios de coordinación 4 y 2 de 6.

NÓlese que el Deca es equivalente al de la Fig. 20. porlo tanto para un cúmulo de 7 átomos se tienen 6 diferentesopciones para formarlo.

2.2. Poliedrorn

Cuando se alcanza el número máximo de sitios en un poliedrooásico. undécima columna de la Tabla l. se ootiene unpoliedro resultante o poliedro oásico con el máximo de sitios(Poliedrorn). En base a estos poliedros se puede formar otradiversidad de cúmulos siguiendo el procedimiento anterior.Al igual que en el caso de los poliedros básicos tamoiénse tienen sitios prohibidos, solo que además se presenta lasituación en la que al agregar un sitio sobre una de las carasde un Poliedrom se genera una distancia menor que dpl' conalguno de lo, sitios del Poliedrom. sitios no permitidos. Estohace que en algunos de ellos el número de caras sea mayorque el número de sitios permitidos. En la Fig. 3 se presentanlos Poliedrom y en la Taola 1I sus características geomélricas.En segunda y tercera columnas se (iene el número de vérticesy de caras, respectivamente; es de notar que solo se tienencaras triangulares. En la cuarta columna-se tiene el número desitios permitidos. en la quinla el número de silios prooioidosy en la sexta el número máximo de sitios, el cual resulta derestar el número de sitios prohibidos de la suma de el númerode vértices y el número de sitios permitidos, cs decir, restar laquinta columna de la suma de la segunda y la cuarta colum-nas.

Es de notar que cuando se tienen sitios prohibidos, apare-cen por pares, lriadas o mas, es decir, uno de los sitios puedeocasionar que otro, otros dos o más no puedan colocarsc. Enel caso del Dode y del Pritri los silios prohibidos aparecenpor pares, lo que provoca que en el caso del Dode, al ten-erse 4 sitios prohioidos se liene la posibilidad de oOlener2' = 16 Dodem. es decir. 16 opciones de Dode con elmáximo número de átomos, y para Pritri se tienen 23 = 80p-

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25

o Experimenlo• Teol'ia

10 15 20

0Jllrncro ele alonlos5

(r)

1')(h)

(e)

FI(JURA 3. Poliedros básicos con número maximo de sitios agre-gados (Policdrom), a) hexaedro lllas seis átomos, h) octaedro masocho, e) trigonal mas cinco. d) dccacdro mas diez. e) dodccadeltac-dro mas ocho. O anliprisma cuadrado mas diez. g) prisma trigonalmas oncc y h} cubo antiprisma.

(,) (h)

FIGURA 4. El momento magnético promedio como función deltamaño del cúmulo para cúmulos de níquel. Los valores experimen.tales reportados en la Ref. 4 se muestran en círculos vacíos. Losvalores calculados con el modelo de FriedeJ y las característicasgeométricas de los cúmulos se mues(ran en círculos llenos

ciones de Pritrim. Al considerar la coordinación de cadaátomo en los diferentes poliedros anteriores y obtenerel número de sitios equivalentes, se encuentra que és!Osnúmeros coinciden en varios de ellos, dando como resultadoque los 16 Dodem se puedan agrupar en sólo tres tipos; Do-demI. DodemIl y Dodemlll; y los 8 Prilrim en dos tipos:Pritriml y Pritrimll.

3. Aplicaciones

TABLA 11. Características geométricas de los poliedro básicos connúmero maximo de sitios agregados (Poliedrom).

Pnlyhcdron N, N, Np, N Nm1t.K ) 4 5 6 7 8 9 lO 1Ip

Hexam II 18 18 6 23 6 2 )

OClaro 14 24 O O 14 8 6Dccam 17 30 )0 13 34 lO 5 2Trim 1I 18 18 9 20 2 3 6

Dodeml 16 4 4 O 20 R 2 6Dodemll 16 6 6 O 22 8 4 4Dodemlll 16 8 8 O 24 8 I 2 5

Cuanm 18 32 16 8 26 8 2 RDelriml 20 18 18 6 32 3 6 ) I I 6DClrimII 20 18 18 6 32 3 6 3 2 6Dccuanm 26 48 O O 26 16 2 8

• N,- Número de sitios.

• ,Vc- Número de caras.

• Npe- Número de sitios permitidos.

• Np- Número de sitios prohibidos.

• l'l,¡'maz.- Número maximo de sitios.

En trabajos anteriores se enumeraron las característicasgeométricas de agregdos con estructura icosédrica, cubo-octaédrica, bcc y se 1...1). La aplicación de ellas las hemosllevado a cabo en varios sistemas: La distribución cspal:ialatómica en cúmulos bimctálicos de metales de transit:ión us.ando el modelo de solución regular [51 y usando el Embed.ded Atom Method(EAM) [GI; Usando éste modelo se hizo unanálisis de la estabilidad estructural como función del tamañode cúmulos grandes de Cu. Ni. Pd YAg. usando el EAM [iJYse estudiaron cúmulos de Ni [8].

En magnetismo lo hemos aplicado a cúmulos de Ising conestructura cubo-octaédrica 19}. Asimismo, usando el modelode banda cuadrada dc Friedel para cúmulos de Ni, se cakuóel momenLo magnético promedio (fIN) de varios poliedrosen función del Lamaño del cúmulo, arrivando a una propuestade las estructuras geométricas en el rango de 5 ~ N ~ 2Gque mejor ajustan con los resultados experimentales [10].Y cuya gráfica reproducimos en la Fig_ 4. Con el mismomodelo pero ahora para cúmulos de hierro con estruclUrabcc se encontraron expresiones analíticas para el momentomagnético promedio como función del número de átomos enel clÍmulo. Además se reproduce el comportamiento oscila-torio de if'N como función del tamaño, reportado experimen-talmente, con- siderando cúmulos bcc esféricos [10J. Repro.ducimos aquí la gráfka en la Fig. 5.

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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE ALGUNOS POLIEDROS Y SU APLICACiÓN A AGREGADOS ATÓMICOS 63

FIGURA 5. El momento magnélico promedio para cúmulos de hi-erro con estructura bcc con simetría esférica como función deltamaño del cúmulo. Los valores experimentales rcport<tdos en laRef. 5 se muestran en círculos llenos. Los valores calculados con elmodelo de FriedcJ y las características geométricas de los cúmulosse muestran en círculos vacíos.

Numero de atomos

4. Sum;lrio y conclusiones

Trabajo parcialmenle apoyado por el CONACyT a Iravés delos proyeclos 4920-E9406 y 4851 005-G25851 E.

A~radecimientos

Se determinaron las características geométricas dc algunospoliedros hásicos y otros que resultan dc agregar sitios su-hre las caras de los primeros. Se hace notar la importan-cia de la existencia de sitios equivalentes que pueden sim-plificar el c•.ílculo computacional al aplicarse a modelosmatemáticos de problemas físicos adecuados. Se presentaronalgunas aplicaciones de las características geométricas en sis.temas himctálicos de Illctalcs de transición y en magnetismode agrcgados atómicos pcqucños de níquel y hierro.

Se puede concluir que el rango de las aplicaciones de lascaracterísticas geométricas de poliedros y estructuras gCOIlH~.lricas puede ser tan amplio como el modelo en cuestión scsimplifique al usar el conccpto de sitios equivalentes.

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• Experimentoo Teoria

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