Cart a Smith

8/20/2019 Cart a Smith

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Introdução

Objetivos

Mostrar a Carta de Smith como representação da LT Carta de Smith

Procedimento gráfico desenvolvido por P. H. Smith em 1939

Abordagem mais intuitiva da variação da impedância e do coeficreflexão ao longo da LT

Tornou-se popular e é utilizada nos dias de hoje para representarcomponentes ou sistemas de RF passivos ou ativos

Utilizado em programas para análise de impedância, circuitos decasamento, como em instrumentos como o Network Analyzer



Introdução

Notação

0 ℓ (m) x

Gerador Carga

E g

Z g

Z 0

Z r+

-

E s

+

-

E

+

-

E r

+

-

x d

I s

I r I



Introdução

Coeficiente de reflexão de tensão a uma distância d da ca

Seja Γr =|Γ r |∠δ o coeficiente de reflexão na carga (d =0) , entã

em que

Impedância da linha a uma distância d da carga

( ) ( )( )d jd

r d

r eeed E d E d β α γ 222 −−−

+

−

Γ=Γ==Γ

0

0

Z Z Z Z

r

r r

+−=Γ

( ) ( )d ed d

r β δ α 2

2 −∠Γ=Γ −

( ) ( )

( )d Z Z

d Z Z Z d Z

r

r

γ

γ

tanh

tanh

0

00

+

+=



LT com baixas perdas

Se α=0, temos que

Normalizando a impedância

Temos então que

1

1

0

0

+

−=

+

−=Γ

r

r

r

r r

z

z

Z Z

Z Z

( ) ( ) ImRe2 Γ+Γ=−∠Γ=Γ jd d r β δ ( ) (

( jZ Z

jZ Z

Z d Z r

r

tan

tan

0

0

0 +

+

=

( ) ( )

0 Z

d Z d z = ( )

0

0 Z

Z z z r

r ==

( ) ( )( )d jz

d j zd z

r

r

β

β

tan1

tan

+

+=

( ) ( )

( ) ImRe

ImRe

1

1

1

1

Γ−Γ−

Γ+Γ+=

Γ−

Γ+=+==

j

j

d

d jxr zd z





Mapeamento entre e z

Exemplo: Uma linha de 50 Ω de 2 cm operando em 2 GH

conectada a uma carga de impedância 30+j60 Ω. Use ocoeficiente de reflexão para encontrar a impedância na enda linha se a velocidade de fase é 50% da velocidade da l




Exemplo: Uma linha de 50 Ω de 2 cm operando em 2 GH

conectada a uma carga de impedância 30+j60Ω

. Use ocoeficiente de reflexão para encontrar a impedância na enda linha se a velocidade de fase é 50% da velocidade da l

56,7163,06,02,0

0

0 ∠=+=+

−=Γ j

Z Z

Z Z

r

r r m77,83

2==

pv

f π β

( ) ( ) ( ) 55,032,099,19156,7163,02 jd r s −−=−∠=−∠Γ==Γ β δ

( ) ( ) 29,0

1

12

Im

2

Re

2

Im

2

Re =Γ+Γ−

Γ−Γ−=r

( ) 53,0

1

2

Im

2

Re

Im −=Γ+Γ−

Γ= x

Ω−= 7,267,14 j Z s




Se representarmos a impedância z por retas no plano com

r ×

x, como será sua representação no plano complexoΓ

R

Invertendo a parte real de z, temos que

( ) 2

Im

2

ReIm

2

Re 11 Γ−Γ−=Γ+Γ−r

( ) ( ) r r r r −=+Γ+Γ−+Γ 1121 2

ImRe

2

Re

11

12 2

ImRe

2

Re+−=Γ+Γ

+−Γ

r r

r r

( ) 1

1

11

2

Im2

22

Re+

−=Γ+

+−

+−Γ

r

r

r

r

r

r






Para resistência normalizada constante




Para reatância normalizada constante




Combinando os dois gráficos, temos a Carta de Smith



Carta de Smith

Mapeamento biunívoco entre o plano da impedâncianormalizada z no plano do coeficiente de reflexão Γ com

Note que 0 ≤ r < ∞ e – ∞ < x < +∞

Se |Γ| > 1, então r < 0, utiliza a Carta de Smith compacta, como eosciladores, por exemplo

Fase de rotação –2 β d introduzida pela linha é medido a pfasor Γr =|Γ r |∠δ

Um volta completa no círculo unitário equivale a 2π , isto

2 2

222

λ π

λ

π β =⇒== d d d

O comprimento β d chamado comprime



Carta de Smith

Procedimento para encontrar Z (d ) a partir de β , Z r e Z 0 utilizando a Carta de Smith

1. Normalizar Z r com respeito a Z 0 para determinar zr

2. Localizar zr na Carta de Smith

3. Identificar Γr em magnitude e fase

4. Rotacionar Γr duas vezes o comprimento elétrico β d para obter

5. Encontrar a impedância normalizada z(d )

6. Converter z(d ) em Z (d )



Carta de Smith

Exemplo: Uma linha de 50 Ω de 2 cm operando em 2 GHconectada a uma carga de impedância 30+j60 Ω. Use ocoeficiente de reflexão para encontrar a impedância na enda linha se a velocidade de fase é 50% da velocidade da l



Carta de Smith



Carta de Smith

Exemplo: Uma linha de 50 Ω de 2 cm operando em 2 GHconectada a uma carga de impedância 30+j60 Ω. Use ocoeficiente de reflexão para encontrar a impedância na enda linha se a velocidade de fase é 50% da velocidade da l

1. zr = 0,6+ j1,2

2. Círculo r =0,6 com círculo x=1,2

3. Γr = 0,63∠72° 4. 2 β d = 2×96°=192°

5. z(d ) = 0,3 – j0,53

6. Z (d ) = 15 – j26,5 Ω



Carta de Smith

1. zr = 0,6+ j1,2

2. Círculo r =0,6 comcírculo x=1,2



Carta de Smith

3. Γr = 0,63∠72°

1 → 8,4 cm

| Γr | → 5,3 cm



Carta de Smith

4. 2 β d = 2×96°=192°

5. z(d ) = 0,3 – j0,53

6. Z (d ) = 15 – j26,5 Ω



Razão de onda estacionária

Tensão medida com voltímetro ao longo da LT para impeda carga complexa e |Γr |≠1

Razão de onda estacionária ( ROE )

min

max

min

max

I

I

E

E ROE SWR ===

Onda estacionária pura: VSWR=∞Onda caminhante pura: VSWR=1

4λ

43λ

2λ

d

( )Voltsef E

max E

min E




A ROE varia de 1 (onda progressiva) a +∞ (onda estacion

Definida apenas para linhas sem perdas (α=0) Lembrando que , que ,

Ou então,

Assim a ROE pode ser representada na Carta de Smith como círorigem em Γ(d )=0, ou ROE =1

( )( )d d

ROE Γ−

Γ+=1

1

( ) ( )[ ]d E d E Γ+= +

1 ( ) 11 +≤Γ≤− d

1

1

+−=Γ

ROE

ROE r




Temos também que

e que |Γ(d )| ≤ 1, ou seja, ROE ≥ 1, de modo que a ROE será eninterseção do círculo de raio |Γ(d )| com o lado direito do eixo

A Carta de Smith permite uma rápida observação do grau de dcarga com a linha ao verificar o raio do cícrculo de ROE

( )

( )d

d z

Γ−

Γ+=

1

1

( ) Re

1

1

1

1Γ=

+

−=

+

−=Γ

r

r

z

zd

r

r

( )( ) Re

Re

1

1

1

1

Γ−

Γ+=

Γ−

Γ+=

d

d ROE



Razão de Onda Estacionária

Exemplo: Para uma LT de 50 Ω, encontre os círculos de R

para as seguintes impedâncias de carga

Z r = 50 Ω

Z r = 48,5 Ω

Z r = 75+ j25 Ω

Z r = 10 – j5 Ω



Exemplo

Z r = 50Ω

Z r = 48,5 Ω

Z r = 75+ j25 Ω

Z r = 10 – j5 Ω

Razão de Onda Estacionária



Para uma carga descasada indutiva

Se 0 ≤ δ <π , primeiro ponto notável é E max ( I min)

Máximos de tensão e mínimos de corrente a uma distância d d

θ =δ + 2k π ou d =δλ /(4π ) + k λ /2 (k ∈Z)

Mínimos de tensão e máximos de corrente a uma distância d d

θ =δ + (2k +1)π ou d =δλ /(4π ) + (2k +1)λ /4 (k ∈Z)

Máximos e mínimos de tensão e corrente

δ +

r E

−

r E



Para uma carga descasada capacitiva

Se 0<δ ≤ – π , primeiro ponto notável é E min ( I max) Mínimos de tensão e máximos de corrente a uma distância d d

θ =π – δ + 2k π ou d =(π – δ )λ /(4π ) + k λ /2 (k ∈Z)

Máximos de tensão e mínimos de corrente a uma distância d d

θ =π – δ + (2k +1)π ou d =(π – δ )λ /(4π ) + (2k +1)λ /4 (k ∈Z


δ

+r E

−

r E



Exemplo: Uma LT de 50 Ω está conectada a carga 50+ j50Encontre o valor da impedância da LT a λ/4 da carga, os va distância da carga onde ocorrem os primeiros máximosmínimos de tensão e os valores da impedância da linha ne

pontos.


C i ti



Carga resistiva

Para Z r = Rr e Z 0= R0, temos que

Se Rr > R0 , δ =0 e considerando LT com baixas perdas

<∠Γ

>∠Γ=+

−=Γ

0

0

0

0

se

se0

R R

R R

R R

R R

r r

r r

r

r r

π

r r r E E Γ+= +

1

d β 2

+r

E

− E

−+ += E E E

−r

E

4

λ

4

3λ

2

λ

d

C i ti



Carga resistiva

Se Rr < R0 , δ =π Na carga, considerando LT com baixas perdas

Temos então mínimo de tensão e máximo de corrente na cargar r r Γ−=∠Γ=Γ π

4

λ

4

3λ

2

λ

d

min

0

min

max

min

max 1

r R

R

I

I

E

E ROE

r

====

r R

R I I 0

minmax =

Carga resistiva



Carga resistiva

Se Rr > R0 , δ =0

Em d =0, há um máximo de tensão

Em d =λ /4 ⇒ 2 β d =π , há um mínimo de tensão

d β 2

+r

E

− E −+ += E E E

−r

E

( ) d e E d E d

r β α

212 −∠Γ+= −+

E E += + 1max

minr max

0min

max

min

maxr

R

R

I

I

E

E ROE

r ====

r R

R E E 0

maxmin =r R

R I I 0

maxmin =

Carga complexa



Carga complexa

Se Z r = Rr + j X r

Equivalência

d

( )Voltsef E

max E

r E

1−2

Z r =Rr +jX r Z r =R

1

Carga complexa



Carga complexa

Se ℓ 1< λ/4 ⇒ carga indutiva

d

( )Voltsef

E

max E

r E

1

−2

Z r =Rmin

1

Carga complexa



Carga complexa

Se ℓ 1> λ/4 ⇒ carga capacitiva

d

( )Volts

ef

E

1−2

Z r =Rmin

1

P d d t d i ã



Balanço de potência

Exemplo: Carga reativa Z r =jX r

Linha resistiva Z 0=R0

Perda de retorno e de inserção

P+

P

Potência real incidente

Potência real refletida

Potência real dissipada

0

2

0

2

R

E

Z

E

P

++

+

==

+

+−

− Γ=Γ

== P R

E

Z

E P r

r 2

0

22

0

2

21 r PPPP Γ−=−= +−+ Aplicada à parte

real da carga

10

0 =+

−=Γ

R jX

R jX

r

r

r 0=P Onda estacionária pura( ROE = ∞)

P d d t d i ã



Perda de retorno é a razão entre a potência refletida e a poincidente na carga

Medida em dB

Se LT estiver casada, Γr =0 e RL→∞

Se LT estiver ligada a curto ou circuito aberto, |Γr |=1 e RL=0


r r P

P RL Γ−=Γ−=

−=

+

−

log20log10log10 2

P d d t d i ã



Perda de inserção é a razão entre a potência transmitida eincidente

Medida em dB

Se LT estiver casada, Γr =0 e IL =0

Se LT estiver ligada a curto ou circuito aberto, |Γr |=1 e IL →∞

Ambas medidas podem ser encontradas em instrumentos Network Analyzer

Algumas versões da Carta de Smith apresentam valores para RL


( )21log10log10log10 r

P

PP

P

P IL Γ−−=

−−=

−=

+

−+

+

Admitâncias



Admitância característica da LT

Admitância normalizada

A partir da impedância normalizada, é possível encontrar a admitnormalizada rotacionando 180° no plano complexo.

Admitâncias

00

1

Z Y =

( )( )

0

01

Y

d Y

d Z

Z

z y ===

( )( ) ( )( )d ed e

d d

z y j

j

Γ−

Γ+=

Γ+

Γ−== −

−

π

π

11111

Admitâncias



Exemplo: Para uma LT de 50 Ω, e carga 50+ j50 Ω enconadmitância da carga usando a Carta de Smith.

Admitâncias

Admitâncias



Exemplo: Para uma LT de 50Ω, e carga 50+ j50 Ω encontre

a admitância da carga usandoa Carta de Smith.

Admitâncias

Admitâncias



Ao invés de rotacionar 180°, outra opção é usar a Carta de Smith dou Carta de Smith Y, que é a Carta de Smith tradicional (Carta de Srotacionada de 180°

Resistências normalizadas tornam se condutâncias normalizadas

Reatâncias normalizadas tornam-se susceptâncias normalizadas

Direção de δ e sentido de rotação (em direção ao gerador ou à carg preservados

Valores negativos de susceptância estão na parte superior da Carta positivos na parte inferior

Curto-circuito equivale a zr =0 na Carta de Smith Z e yr =∞ na Carta

Admitâncias

( ) ( )G Z

Y

d Gg

Z

d Rr 0

00

==⇒=( ) ( )

B Z Y

d Bb

Z

d X x 0

00

==⇒=

Admitâncias



Exemplo: Impedância normalizada z=0,6+ j1,2 em ambas

Admitâncias

Carta de Smith ZY



Carta de Smith ZY

Conexão em série



Conexão em série

Carga R-L( )

00 Z

L j

Z

R jxr zr

ω ω +=+=

Conexão em série



Conexão em série

Carga R-C( )

00

1

CZ j

Z

R jxr zr

ω ω +=−=

Conexão em paralelo




Carga R-L( )

L

Z j

R

Z jbg yr

ω ω 00

−=−=





Carga R-C( ) C jZ

R

Z jbg yr ω ω 0

0+=+=

Linha de λ /4



Inversor de impedância

zr =Z r /Z 0

4λ

zs=1/ zr

Z s= zs . Z 0 = Z 0 / zr =Z02 / Z r

Linha de λ /4



Aplicações Casadores de impedância

Stubs ou tocos Isoladores

Baluns (Balanced - unbalanced)

Linha de λ /2



Replicador de impedância

zr =Z r /Z 0

2λ

zs= zr

Lista de Exercícios



Livro do Johnson Capítulo 5: 1, 2, 3, 5, 6 ,9, 10, 11, 12, 13, 14

Capítulo 6: 1, 4, 7, 9, 13, 15 Capítulo 7: 2, 3, 4, 5, 6

Livro do Ludwig/Bretchko:

Capítulo 3: 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.9, 3.10, 3.12, 3.13, 3.20, 3.21, 3.2

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