+ All Categories
Home > Documents > C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM...

C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM...

Date post: 27-Mar-2021
Category:
Upload: others
View: 1 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
35
Asher P eres
Transcript
Page 1: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�������� ���� �� �� ���� ����� ���

����� �

Asher Peres �������� �� � �� ����� �� ���� ������� � �� ��� ! � ����" #

��� ��� ����� � ���� ��� ����� �� ����� ������ ���� � �������� ���� � !�� � �"��� ��# ��$%& '� �(�� )* # �+�� ���,� -�./� ���� ��� 0�� 1��2� ��3� � # # �$ ��32� �4����� ���� � �� � 5�6�0��� (���� �3���� )��� 0�� ���� ���,� 7� ���� ���8� ���+ �������� ���� � 7� ���,� #��� � ��$ ��32� �+�� ���� � �� � ��2��#�$!�� ��2�4� �9�# ��2� :�; �� 7� :#�.�� �62+ #� �4����� ���� � # �+�� ���� � �� �$ 1�/<� �<� ���� ��$��;� 7� �� �=�3>� 7� �������� ���� � ��2� :�; !��� ��$ ���� ?���� �##�@ A�� 1�>��� �9�# ��2� :�;���$ �� B��2�� �=�C�� ��;� !�� 7� �DE2� # �C�� �F��� �� �������� ���� � ��3�G� �3� # ��$ �� 7�HI �=�C��B�� ����&#� �� �+�� �� J�,G �� # �I :���6<� �K� 7� �� # ���3�G� �K� 7� �� �������� ���� � ���� )��L�@ �� �+�� ��M� B��2�� N��O P�C�� ��;� 7� ���=�3>� 7� ��2� NQ� �������� ���� � ��� �# # ����.� �3� �� !�� ()* #�< RS # ��2� �� ���� -�O� �T �� � �=�C�� ��;� !�� '� !�� �#� M34O � �M� -�3= # UV�+ ��4� �=�C��

��2�4� ������8� P�� �� )�22� �;�G # ���)�$ !�#�� ����� P�C�� ��;� !�� �� ���� W�C�� �� ��2� ��

�������� ���� �� �� ���� �

�������� ���� � ���� ����� ���

����$ �� X"8� (ND�4� � ���2�� �����Y�� 7� �=�3>� �� X"8� � �0� ��4� �� M�<C# �� �� ����� ���I ���7I :�+� � � ���2�� �����Y�� !�� ���<� ��2�4� 7� ��Z ����,�"� ��3� ����Y�� !�� ���� ��0� ����<C# �� �� M� �I (��$ �� ����� 0�� )���8� �� �� ��� [� (���[� (������0� � � ����& �� ��4�MV�9 �� 7� ��Z 7� �ED� �� �2<� (M� )���8� # ��,9 N��O � ���2�� �����Y�� 7� ���D� �� �� � �0� ��4� 7�

\

Page 2: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�� (1�+ NQ� (�2�4� M��] �� ��4� �� :�,"8� 7� ��� �I �� ��2� MO�^ ���� �� ��8� � ��4� 7� �,� N��O � �0� � ���2�� �����Y�� �2� �� M��9 �<� �� � �� �� )* ���� �Q� _����$ �3� )����� � ���2�� ��Y�� �I���K� # � ��� V�� �� )* #� ���� � (x, y, z, px, py, pz) 7� �2��6= ����Y�� !�� �2� �� M��9 �<� � � �� ��)* ���� �(x, p) 7� �2��6=��� ���#� M��9 �� �`2� # M� !�� �� ��)* ���� �(x1, x2, p1, p2) 7� �2��6= ����Y�� !�� �22� �� M��9 �<� ����Y�� �� �� �������� ���� � � ��2�� �� ��8� � �I ���* ����#�7��� � ����.V�� �� (S1, S2, S3) 7� �2��6= ����Y�� !��!�����2� ���$ �� )��� M64� ������ ��/3=�� _� ���2�� �����Y�� 7� �<��� ��^ ��%@ )���8� �� �� �/� �T �� # � ���2������� �� M64� � P ������ �a�/3= p �� �b�2�� # Xa������ ��/3= (x �� �b�2�� �2� �� M��9 �<� �� � �� )* �� ���������Y�� �&� )�=�O !�����2� �M��`8� 1 ?���� �b�2� )�=�O �� ���� �� � � ����/3= !�� ���� M64� ���� �� � �/;�

(�2$�� ��7 ����@ �$#�� �E�� ���� C # B (A � ���2��

{A,B} = C, _1^

c�22� )�#I�� � ��7 ���>��+ A��# �`�I �� d���� �����/3= M4��� ��

[A, B] = i�C. _2^

c��$�� ��$�� M4��� �� �2� �� M��9 �<� �� � �� ��)* ���� !�����2�

[X, P ] = i�I, _3^

c�2$�� ��O�� ��7 A��# M4��� �� �2� �� M��9 �<� � � �� ��)* ���� �� #

[Xk, Xl] = [Pk, Pl] = 0

[Xk, Pl] = i�δk,lI. _4^

� �T���� �����/3= (�2�4��� ����#�7��� � ����.V�� �� � ���2�� �����Y�� �`2� �� �2�� �)* ���� !�2� ��c�22� �� e�; ��7 A��#

[Sk, Sl] = i�εklmSm _5^

������ � ���� � ����� ��� � �� ����� ���

��Z ����� �� ��8� H �� � :�6/�� ��Z Ff �3<� ���$ �� )��� M64� :�6/�� ��Z �� � �0� ��4� �� ������� �� �2<� !�� �� (��� g��3� �I � � � ���2�� �����Y�� �� ��4��# �����/3= ����� �� �$�� ��2� M4��� �� :�6/��

Dirac Correspondence Principle1

h

Page 3: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�� �>�I7� ����)�$ !��<� �#� N;� � �� �$�� ���3� M� ��$ ���>��+ �E�� �� ��� i��<� �Z �I � ������/3=?��8����� )j�# �� �� �������� A�� Ha:�6/�� ��Z (��� ��EO ���@ ��� ���� �� � )���$�>��+ ������ �����/3=B # A � ���2�� �����Y�� �&� !�����2� ���$ �� k#�+ �2�4� ND�4� � ���2�� �����Y�� 7� ��3�0��� �=�3>� �� ���03�������� 7� M� :�6= :�6/�� ��Z ���� ���@ �� (_���$ �>��+ �� �� �3� �2<�^ �2$�� ��3�0��� �=�3>��� · · · , C #

�I� �� |ai, bj , ck, · · ·〉

A|ai, bj , ck〉 = ai|ai, bj, ck〉B|ai, bj , ck〉 = bj |ai, bj, ck〉C|ai, bj , ck〉 = ck|ai, bj, ck〉. _6^

�� 7� � �0� MV�9 �� �� ��2�4���� � 0�� ���� ���@ !�2� (�2�4�� �� � ��3�0��� �����%@ )���8� �=�3>� �� �>�I7�MV�9 �� �� �b�2�� :�6/�� ��Z � ���� �� (R <V�� # ��$ �� )��� M64� :�6/�� ��Z � ���� �� � �0� ��4�)��8���7I � � �0� ��4� MV�9 ���� ��%@��0�3� �T �� � MV�9���� # � �0� MV�9 l�E;� �<� �� !�� 7� �M� � �0� �����/3= ��=�3>� {A, B · · ·} �����/3= )�&�� ����� �� �� �� :�6/�� ��Z � �I �)�2�� ��8� ���� !�2� �� #

c��� A4� |ai, bj, · · ·〉 ���@ ������� U49�� ���� �� � � �0� MV�9 �� )���I (�2$�� ��3�0���

|ψ〉 =∑i,j,···

ψai,bj ,···|ai, bj , · · ·〉, _7^

��2�4� e� a���@ � |ψ〉aMV�9 a���� A4� ����.V�� ψai,bj ,··· := 〈ai, bj , · · · |ψ〉 �I� ��

���! "#�$%� & �' ����� ���

����D� )j�# 7� � � � ��,� �T �� (������ )7���� � A NQ� ���%@ )���8� �&� M� |ψ〉 MV�9 � � �0� ��4� �� ��O#��2� �����@ N�/D� a�� �b�2�� ���� )j�# �� 0�� )���� MV�9 # ��I �� M�� a NQ� A ��/3=

�� ���; � �P (a) = |〈a|ψ〉|2 �� M������ ��3�9� ��G �>����# 〈a|ψ〉 �� M������ ��I M�� a ��D� �� !�� ��3�9� �2����� M� �� � !�� ��3�9� |〈a|ψ〉|2 da �� �2<� !�� �� ��� �� M�� � ��3�9� �V��� |〈a|ψ〉|2 �2$�� ����@ A ����D� )j�#

���I M�� a+ da # a !�� ���D� �� ���

�� ��2L�I P�C�� N;� !�� N��� ���� ���� ����� �2&�# Ai�T �� ��� )��� [� P�C�� N;� !�� ����� �(���)��<� � :�6/�� ��Z �� ��2� [� ���7���@ �� )�� ��Q� �� �� M4"� ������ �� � 0�� � !&�# i�T �� �����/3=

c��2� �� ���& )7���� ��$ �� i�;�� A��/3= �� �� � A�a�%@ )���8� # M�

A =

⎛⎝ 1 0 0

0 2 00 0 2

⎞⎠ . _8^

m

Page 4: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

NQ� ������ �K� � � ��V�9

|ψ〉 =

⎛⎝ α

βγ

⎞⎠ = α|1〉 + β|2〉 + γ|3〉. _9^

��2�4� ��D� #� !�� A �a���D� )j�# ���7 ��I ����G M�� h # \ ��D� #� AD A ���& )7���� �\ � 2�� ��3�9� n^ ��#I M�� � 2 a��D� � 2�� ��3�9� # P (1) = |α|2 �� M� ����� ��#��� M�� � 1 ��D� � 2�� ��3�9�����G g��� |ψ′

1〉 = |1〉 �� )* MV�9 (\ ��D� ���I M�� :�; � �P (2) = |β|2 + |γ|2 �� M� ����� _��#��� M��# |2〉 A�� �� _���Z ��7��^�o.; �� � /� �$ ����"� ���,� |3〉 �� |2〉 �� )* MV�9 ��#��� M�� � h ��D� �&� ��� �M ��

�� ��$ �� N��6� :�; !��� )* MV�9 �2<� ��$ ����G���,� ��$ �� k#�+ |3〉

|ψ′2〉 =

1√β2 + γ2

(β|2〉 + γ|3〉). _10^

�2<��Z ��7 !�� ���� ���,� ��/3= � �<� ��

P2 := |2〉〈2| + |3〉〈3|, _11^

cM$�� ���� ��

P (2) = |β|2 + |γ|2 = 〈ψ|P2|ψ〉. _12^

c��2� �� ��2� �3+ ��7 :�; �� � UV�E� !��

��$ �� i��<� ��7 :�; �� �� ��� ��+# Pα NQ� �&���,� ��/3= �� (A �a�/3= 7� α ��D� )j�# �� ��7� ��

Pα :=∑i

|α(i)〉〈α(i)|, _13^

�>���� # �2�4� α a��D� )j�# �� �b�2�� # ���<�� ������� )j�# �� |α(i)〉 �I� ��

A =∑α

αPα. _14^

�� M� ����� α ��D� ��#I M�� ��3�9� )���I ��2� ���& )7���� � Aa��%@ )���8� (|ψ〉 MV�9 �# �&�

P (α) = |〈ψ|Pα|ψ〉|2, _15^

p

Page 5: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

7� ��� ����G :�6= ���+ MV�9 0�� �I 7� �<� #

|ψ′α〉 =

Pα|ψ〉√ψ|Pα|ψ〉

. _16^

�*������ & +�,- ����� ���

��$ �� !��<� ��� 1�� ��2��#�$ �V��<� �� ��7 �V��<� �� � �0� ��4� MV�9 ��o�

i�d

dt|ψ〉 = H |ψ〉, _17^

�M� ���� ����/���� ��3� �������� �b�2�� �� ��$ �� )����� � �0� ��4� ����/���� ��/3= H �I� ��U(t) = e−

i�Ht N $ �� ��o���/3= MV�9 !��� ���� �� )�� N9 (M� M��] ���7�� H �� ��O# ���� ��2��#�$ �V��<�

�� ��� ����G����� t �KoV� ��4� MV�9 (�$�� |ψ(0)〉 (0 �KoV� ��4� MV�9 )�&�� �M�

|ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉 = e−i�Ht|ψ(0)〉 =

∑n

e−i�Ht|n〉〈n|ψ(0)〉

=∑n

e−i�Ent|n〉〈n|ψ(0)〉. _18^

�2<� ����/���� ��� MV�9 )j�# U49�� ��V#� MV�9 A4� !�4��� �� !�����2�

|ψ(0)〉 =∑n

cn|n〉 _19^

���2� !��<� 0�� � t �KoV � MV�9 ������ ��

|ψ(t)〉 =∑n

e−i�Entcn|n〉. _20^

N��� �T �� � ����2�� �/q4� ������� �� ��#I M�� � ����/���� ��� MV�9 )j�# �� M� � �� MV�9 !��� !�����2�� � �� �# !�� ���� �� �� M4��� �� � ��� )��L�@ ��� �# (�$�� ���7 �� ��4��# ����/���� �� ��O# ���� ���2� N9

�MG��I �����G )�2�I ��� '�

r

Page 6: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�� �� ���� ����� �

�&��7 -��T 7� �� �����$�� ��#� �@� #���� ���$� �� )��3� �� �%& �� ���>� 1�/= !�#�� 7� �� �� ���; �T�� � ()7���� (���� # ��" (��; ()0� (�� (s� (�2��2 # � 6 ��K� ����.�� DZ��$� !�� ���� ����� ���2$I �`�I �� )��7# �2�� �� u :��.�� !�� � �� ����Y� '���� � ��G ������@ ����� :F�o� # )��� X"8� ��9��� ������ �� � M=� #�� ����� # ��2� ���& )7���� -�O� �T �� � :��.�� !�� ����� �� M� ��G��I �� �� �O�# � ���� ��0� ���2� ������$%& ��O �2� �T :��.�� !�� ���& )7���� # ��$� !�� �� �� ���2$I ���2� ���� ���7 U49 �� � �`�I :����Y� :��C�� �3����`$ ��� DZ0+ ��$�G #� �� �I M��9 # !��7 ���� ��& )7#��� ����� ��o� v��� �� �� � �0� ��`$ �� )�$ w=���� d�D !��7 �# �� ��4 � k��$ �� 1�4+� �3� �� !�� �M� )��6� !�2� ����S� 7� N6O ��4�� ���� � �I ��9 # M�

�M� )��6� !�2� !���� # �/�V�& 7� N6O ��4�� ���� � �I ��9# M�� ��`$ DZ0+ (�22�

)�#�o� �� 7� �� � !�8�@ ����.� �� ��2� �� ��� )�& I��G�� # ���� �� ���4& � ��G :����>� )�#�o� �� ��O#���+ ����� :��.�� ���� ���� ����.� !�� �� ���$ �+��� M� ! 3� ���6� �� �� 0�� ���+ ����� ���� ����� �&�� �� �����G ��4� ����� �����G �� �� �� M� ��� !�� 7� �$�� �������� ���� � ���7 ���� '������ 7� �3`� g"� ��2�4�� � ���� )��7# ����� 7� �� ��2� i�;�� ����7 ��3� �� ����� �I ���$� 7� �3�D�4� )���8� # ���>� P�� x�� �� � �@� #� ��!��� ���2� ��6�� ��G �� k�� ��� � # �� � �� !��7 �� MG� 7� �� � 5�� �� ��4� ��G �8� �� ������ �� �� ������ �&M� i� � � 5�� �� ������ �� !�2� �� ( y��2�� ��z ��G '��9 7� � � �� � 5�� ��4� �f3�D�4� # �E�# �#�� �� �+��� �� �3� �� ��6V� # #7��� NQ� )�� ��4� )���� �� �� ������ �� �����"� �&� ���2� R9 � �I � 6 # ������ ��G!�� 7� 1��� x�� �#�� V� NQ� �@� #� �� 0�� �� ��� � ��� ���2� �4��D� ���� 0�� �� �7# �� � �I �7# ��K� )���L�I ���2�6� ����� {�F �#� �� # ��� �O��� �#� ��9 � �#�� V� ��4� ������ �3� 0&�� �� ��2�4�� ��%@ �� �� :����8���9� �"� �� 7� ��G �6= �]�� �#�� V� �� kI �@� #���� :��EO 7� M� ���V�6�� �O�# � ��2�� �� ��� �O��� �#� ���<O�# ��4� �`�I �# 7� ���� �3� # M� �#�� V� �)7���� 7� �� 50� �� �����/�� :��EO !�� )7���� �M� )��� ��>�� P�6$��� ��@ � (��� )���8� ����� {�F � ��4S��� ��+ ��+ �� !��4"� �� ���4� !�2� �� ���� !��<� � �#�� V� -�O� ## 1�+ ���& )7���� ���%& �� �O�� ��G 7� �#�� V� ���/�� �����/�� 7� N 8�� ��� ��� �� M� ���4� � /� M4�� �#�� V�d�D )�o� )���8� �� M4���� �� �/�� ��Q� ���2= �� ���$ �� ��%@ �� �� ��<�� ��K� # ���>� ����E�# �� 0�� �#�� V� ��

��2� !��<� � �#�� V� 1�+ (��4S��� g���7I �� �I v���� U���� �� RS # �#�� V� �� !H# �@� #���� :��EO ��<; ��

��4� ����E�# �� Ff #� �@� #� �� ����� :��.�� ���& )7���� # )���8� ����� �� �2�� �� ��8� )�� ������3� !���� � ��2L�I # M� ��K� ��� �� �� � �� :��.�� !�� !��<� # ���& )7���� P���� ����� �f ���] # ���& �� :�; ���7# )���8� �� ��O# �� M� �<�6T !�����2� ����%@ �3� :�; (��2� �� ?� �f3�D�4� ��G '��9 �� � �@� #���� ���$��� � �0� ���7 # �� ��`$ �� �f ��� �� ���G ���� �;��G �� ��7���@ �� �@� #� �� �������# M6] # ���& )7�������� �9 !�� �� �������� ���� � k���� �� M� N�V� !�� �� ��2$�� ������ ����� �&�� �� �`�I i�;�� ���� �� ������ �<�6T ���7 �� �������� ���� � ��K� k���� ���� ��8� �� ��2� �� �< g"� !�� � �� �M� U��H ��

|

Page 7: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

��2� �� ��4D� )#�& #� �� ��$ � ��� # �&0� U49 �� �� U� (0�� ���& )7���� )���� c\ N $

M4�� �I ��2<� �� !�� (����� ���� ��$%& N, ���D� � �� �E��3� ��6V� �M� �@� #� �� ���$� J��G i�;����$ ����"� �4�� �2� �� �}�� �������� ���� � �� �L�I �� M64� y���3` z 7� �� -�3= ���+� �� ��2� �=�� ������ �� �� ��

�� ��� �� ����� ���

�&�� ���� ���2� ��+ )7���� # s� U49 �� � �`�I �����G �� # ���� ���G�� � �� U� 7� ����� �� �� ��2� [� �� ���� # 50� � �`�I �� M� P�� #� AD 0�� �`�I )7���� # ���� 06 # u� s� #� AD �� U� �� ��2� �� [� �� A�� � �� U� # ����& �� �K� � � )7���� �Q� �� M�.�� 7� � � �� M� !�� ��2� �� �� ��� �#� 1�O � ���������& )7���� )���� !�� �#� 10��� � �� �+ !��� ���2� �� ��+ �� 7� ���� �� ��8� S �� � �I �� 0��a���& )7���� )������ �� U� ���� ��+ NQ�^ �$�� )�� ��4� ����� �� �� ���)��� ��O�� ���#7� �� �� M� !�� �`� �� � �`2� (����� ���7� N6O �_ M�)�$ )��.�� ������+ ���� � ��� � # � ��@� (� ��� V� ��� 10��� � 7� �I� ��^ )��L�@ ��4� �� # _M�MV�9 �� � �� U� ���& !�� !�����2� (����� �=�T� P�� x�� �`�I s� # )7���� 7� �� ���$ )���� ��# �� U� �� !���� �`�I �� ���$ B�G )���� ��� �+#�G 7� �� 1��� 7� �� !�����2� ���$ �� B�G �� U� ��O# ��� (�2�4�X"8���# ��� �� �& ��O ���� �� 50� Ma V�9 #� � �+#�G ��� U� �� ������ # �_\ N $^ ���0� ���� �� 50� U4��� ������

����� ��8� ���� |s〉 �� 50� ��2<� �� |l〉 �����3� �� � �� MV�9 !��)���� 7� � 50� �f Q� ��� U� )�� #� �&� ������ �C�� ��2<� P�� x�� ����3� !�� �/9�� !�� � �� ��2� MO��h �2�I �� �#��� 50� ��� U� �� d���� �+#�G 7� �� U� 1�3� �� !�� �� ��2�� �� ���� �6= 0�� ���& )7�����2<� !�<� MV�9 �� � ����� ���& )7���� �� ��O# ����� X"8� �� MV�9 �� � �� � ���� U� �� ����& �� !�����2�

�����& �� ��O |s〉 �� |l〉aMV�9���& )7���� )������ 7� � �`�I �� M� � �� ��2� ��+ �� 7� �`�I s� ��26� �� � �� U� �����"� �&� �o� !�3� ���� u� ��2<� �� |r〉 Ma V�9 #� � ������ !�2� 7� )�$ B�G ��� U� ����� �6= ���� �� g��3� C �� � �I �� s�

~

Page 8: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

50� ��� U� �+#�G 7� �� U� 1�3� ���� �6= 0�� ���& )7���� )���� 7� )��#� � 50� ��� U� )�&�� ch N $����$ �� B�G

��2� �� ��4D� 06 # u� )#�& #� �� �`�I s� U49 �� � �� U� s� ���& )7���� )���� cm N $

U� )��#� ������ �� ��2� N;�9 ��2�3T� �� U� s� 7� �����"� �&� ��7�� �_m N $^ ����& �� ��O 06 ��2<� �� |g〉�� U� )7���� ��� � �� ��� �����G � �0�� ��3� )��#� # ���� �6= s� ���& )7���� )������ 7� � )�$ ��+ ���

_�p Na $^ (�2�4� u� �f<O�# s��G� ��� U� �2<� �����

)���� �� 7� �2�4� |l〉aMV�9 � �� � ���� U� �� M� � �� ��2� ��+ � 0��O # 50� ��� U� �����"� �&� ��9#� 7� � � � (���$ B�G )���� !�� 7� �� U� �� !�� 7� �<� ����� �6= ���� g��3� C �� � �I �� s� ���& )7�������� ��`� )� �O�# � ���& )7���� #� !�� �_r N $^ ����& �� ��O 06 # 50� �2<� |l, g〉 �� u� # 50� �2<� |l, r〉 MV�9���� ��/� # U�2� ��� ���& )7���� 1�>�� �� ������ �� �� ��2�� �� ��� �� �� � �0� X"8� ��� MV�9 � � �� U�_u� ���� ��� U�^ |s, r〉 �� _u� 50� ��� U�^ |l, r〉 NQ� �./�"� ��� MV�9 � � �� U� !�<� ��� �+#�G

���2� y��`�z �I ���K�#

Page 9: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

50� ��� U� �+#�G 7� �� U� 1�3� ���� �6= 0�� ���& )7���� )���� 7� )��#� � 50� ��� U� )�&�� cp N $����$ �� B�G

��O |l, r〉aMV�9 � �� � ���� U� ���)��� ��+ � u� # 50� ��� U� �f<O�# � 2�� 7� ��2�3T� ���� ������ �� �+ !����f<O�# �� ��2�� �� ���� 1�>�� �V��G �� # �<O�# ��� U� �� � �� !�� �&� ����� �6= 0�� ���& )7���� )���� 7� )��#� ������� U� �� d���� �+#�G 7� �3� ���$ �� � 0�� ���& )7���� )���� 7� �� ��O# |l, r〉aMV�9� 7� �� ���� U� 1�3��f���] ���� �2<� ������ �T �� Ff #� )7���� # s� NQ� ���� M/,G �� �2�� �� ��8� �� g���7I !�� �| ���$ �� B�G 50��O�# � �����& �� )7���� �� ��2� �� i8� � �`�I ��G ��� g���7I �� �`2� �� # ���� ��+# �� U� � N6O 7� �� M/,G !��)��� �`�I �� �� �� �6<+ �#� ��� U� �� ����� �� ���� 1�>�� �� U� �# ���& )7���� ���& x�� �� !�� 7� N6O ��9)7���� ��2�4� �`�I ���K� # 06 # 50� �� (u� # 50� NQ� ���� M/,G ���� (��2 � �� ��2� R3V � �`�I �� (��2 � �� ��2�)��� �6<+ !�� �#� �� ��)��7 ��+�� �� ���4�� x�� �&� ��9 ��2� �� i8� � /� �2� �3� -/G � �� M�.�� !�� �� ���&�&� ��9 �8G� �� ��2L3� )�� ��.J�O ��3I ��2`@ � ����� � ��G ��� )7���� # �� s� ��2L3� �� U� !�� �2 ��@� #���� ���$� ��� � �D2�� �� )�&��� !�� ��I �� ��2�6� �����G �� ��<� g"� � ��2 � )��� �I �� ���4�� x��

��� �� �2� �� �.9 � ��G �6�=� 0�� �@� #� �� ���$� ��� � (M��$�G N��O��H

�� �� �� ����� ���

1�>�� \�h� ��`V�� 2 uF�& # ���$� A�� �� !��4"� g���7I !�� �O�# � ����� 1�>�� �� ��� �� �8���7I �� ������ ��9���� � N�V� �� !�2� �� # :�* !�� ���� ���� N�V� �� # ���)�$ ��>�� �� �#�� V� # ��4� 7� �� ��� �� ����� �� ��$����� �� g��3� �μ a���� �� �� � �4�T�2Y� #��8& !�� �M� �4�T�2Y� #��8& ���� ��� �� �#�� V� # ��4� ����#�7)�D� ��� ��� 7� ��"� M4"� �`�I ������� )7���� �� ��� ���� � �4�T�2Y� #��8& !�� a��D� �� ��� !�� uF�& # ���$� ���#��8& �� �� ��O# ������ �6= ��3��� �4�T�2Y� ����� �� 7� # )��� M=� �� # ����3� � �`�I RS # ����� ��`�!�� ���I �� M�� �τ := �μ× �B ��E�� 7� �� ��$ �� ��# #��8& �� �I �� ����� ��O �Ba�4�T�2Y� ����� � �μ �4�T�2Y�

Stern and Gerlach2

Page 10: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

06 # 50� �� u� # 50� ��� U� ������ �� ���� �6= s� ���& )7���� )���� 7� � 50� ��� U� )�&�� cr N $���2� ��`�

06 # 50� �� u� # 50� ��� U� ������ �� ���� �6= s� ���& )7���� )���� 7� � 50� ��� U� )�&�� c| N $���2� ��`�

!�� �M� ��� ���* #��8& �� U�2�� �4�T�2Y� #��8& �� ����� �� !�2� �� ��G�L� �B ��9 �μ �� ��$ �� w=�� #��8&�I �� �� U�2� U��C !�� �� ����� �� R�T�2Y� # ���4��� V� �����D� ��0� 7� ����� �� ��8� �S �� � ���* #��8&���� ���4� ��� ��#� ��3�G� �� �� M� M��] �� g �I � �� γ := g e

2mc �� M������ ����& �� �4�T�2Y�#��� U��C�2<� M��9 �V��<� � � :���/<� !�� )�&�� ��μ = γ�S ���� !�����2�

d�S

dt= �τ _21^

��#I �� M�� ���� ��O

d�S

dt= γ�S × �B. _22^

\�

Page 11: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

��2� �� )�@ #� � :�* � ��� z M`+� MG��2 ��� �4�T�2Y� ����� c uF�& ���$� g���7I c~ N $

#� �� ω = γB ����#�7 M=� �� �4�T�2Y� #��8& �M�)�� �/�G �V��<� !�� ��@ �� ����� �� � N $ �� �+�� ��WC�# �E�� !�� �� �+�� �� �U = −�μ · �B �� M� ����� �4�T�2Y� ����� � #��8& �� ����� ��G�� �� �4�T�2Y� �����[� ��9 ��F = −∇U = ∇(�μ · �B) ���7 (��$ �3� ��# #��8& �� ��#��� ���& x�� M��] �4�T�2Y� ����� �� � �� M�M`+ � �#��� :�; !��� � �B = �B(z) �2<� (��� ��G��2 ��� z M`+ � � /� M4�� MG��2 � �4�T�2Y� ����� �� ��2�

c�� M� ����� �I ��0�� �� ��$ �� ��# ��� �� z

Fz = �μ · ∂�B

∂z= μx

∂Bx∂z

+ μy∂By∂z

+ μz∂Bz∂z

. _23^

�� ��� M=� ���$ �3� ��# �� ��� �� ���� ��� M`+ � ��#��� ��� z �� ���4��# �`2� �4�T�2Y� ����� �� M� WC�## �2G�� �� �4�T�2Y� ����� #� �� �� ���0� (�22� �� �6= �4�T�2Y� ����� �DE2� 7� �� ����7 :�� � �� M� ��2���# �� ��� �� z M`+ � �� ��2�I�� �#��� �f 3= �>���� �M� �.; �� ����� ��4� �T 7� μy # μx ����.V�� A��� !�����2�

�� ��$ ������� ��$ ��

Fz = μz∂Bz∂z

= γSz∂Bz∂z

_24^

N�V�� )���� 7� B#�G � # �2� �� ���>� � ��#��� (�$�� �D� �� Sz � 2�� �� ��4� �� )* �� g���7I !��� �>��� ����� �K��� ���� ����� 7� �� �L��2� Sz �&� ��2�8� �� N��D� )��@ 7� ��#�.�� �ED� �# �� M� )��� ���@ �� � ��o��)�� �ED� #� �`2� g���7I � �V# (��2�6� :�* 7� ����@ � V �� N��D� )��@ �# M4��� �� �$�� ��$�� �� ����@ ��D� ��

�M� ��$�� � −�

2 # �

2 a��D� #� �`2� Sz ��� �� ��8� �� ��2�� ����� � �3 � �+# x�� � � �� �7 (��� � ��D ��E� P� � x�� �� � ��� ��`$ � � # M� 0 �� �� M.�$ � �4 � �>� � � ! ��#� � 8 & � �^ ! � S � ��� � � � M. & ��� � �3 � ��$� � ±�

2 )�� 3 � �I �� �� . V� � ���� � �� � � � � � �� � �, � � ���� �! ��� �� 2 � �� ��� � � & y)7�� ��z ��� �� M`+ � � � � z M`+ � � �I �� . V� � � � # M� )�� � � 2 � < � M`+� _��� �#�7� � (� ` �I ! � S � �� . V� � � ��)� $ B� G uF� & �� � $� g �� �7I � �F� � � G� $ 7� � � � �� � � �� �f < O�# � � M. & ��� � � 3 ����� ��� �� 7� �� l�E;� !�� �M�)�� � �

2 a��D� ���� (� ��� �K � � ���� ��� ��� � 7� � � �� ��� 2 < � ��3�

\\

Page 12: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

)�$ � � � & 1�# �4 �T� 2 Y � ��� � � � � � @� #� �� � �4 �T� 2 Y � �� � #� � 8 & g2 � ��� � �� � � � � � �0 &� � �� � 7� #M�)��I M� � �� �� �I �� 2 � �� �3� �� g�� �7I v �� � � i�;� � � � � � � � � M� �7� � � 6$ �� �` 2 � (M���� � i �� b � � # � � M O� 1� 3 � ! � � & � K �� � � �M �)�� � � � � @� #� �� � )� � � � � � � �� g 2 � � �� � �� > � � ��M� d���� �I 7� �� MG�2$ )�o� # M<�6T � �� M� ���* �]� �� �]� !�� ���� !�� 7� � �]� !�� ���� �3� ���& )7���� )����

uF�& ���$� g���7I ��F�� ��G�$ 7� �� ���� ��� �� ����& �� ��#�� g�@ g���7I !�� 7� ��G MG�2$ � � �I ��������& �� !�2� �� ����� ��O |z,+〉aMV�9 � M�)��� �

2 M`+� �`�I !�S��.V�� �� � ��� ���,����2� # ���$ �� B�G����� ��O |z,−〉aMV�9 � �2�I�� �#��� �2���@ �G�$ 7� �� ���� ���

)�8� 1�>�� �`�I ��� � ���& )7���� P�� x�� �� !�� N�V� �� (���$ �� )���� ��# �� ���� ��� ��� � �� �� ��2� MO��� � � ���* �� ���� �� M� ���& )7���� !�� ����2$ �3� � �`�I MV�9 !�����2� # ����� �3� �`�I �)�� � �0�� (M���� �� �� �2<� !�� �� M� � ��,� �f ��� �I v���� �� M� !�� g���7I !�� �`� M/,G �� ��2� �� ��`� !�<� MV�9� ��,� !�� �� ������ M� ! 3� ����& �� ��O |z−〉 �� |z+〉 �+#�G ��� MV�9 7� � � � � ��,� �f ��� �T �� ��##v���� �� M� �<�6T # ����� �,"8�aMV�9 x�� ��## ��� ��� ���7 M� �K��� ��� �f ��� # M4�� U�>= ���2� ����� ��,� # :#�.�� M4��� �� �2$�� ��$�� :#�.�� M/,G �� M� ! 3� 1����� �� :�* 7� ��� ��� �# ���& )7����M� ��## :�* ���� ���3��� 7� �$�� ���� � ��,� ��I ��2�6� � �I ���� �M� ��� �f ��� !"[���=� !�� ��$�����$� )���� �� 7� �2�4� |z,+〉aMV�9 � �� � ���* �� !�� ����� �� 1�>�� uF�& ���$� g���7I �� ���� �� ���� � � ��,� �>��� P�� x�� # �22� �� �6= ��F�� �G�$ 7� DZ�2Q�� �#�� �`�I �3� �� ��2�� �� # ���� �� �6= Sz auF�&���� U� NQ� k�G ��2�4� M/,G !�� ���� �f<O�# ���)�$ y��`�z |z+〉aMV�9 � �� ���* �� � �� �K� �� ���2� �M4���2<� M/,G #� '�� �� � �� ��� �����G �� 0�� �� !�� ����� ��+ � �`�I s� U49�� RS # )7���� U49�� M4"� ���� �6= SxauF�& ���$� g���7I �� 7� �2�4� |z+〉aMV�9 � �� � ���� ��� �K2� !�� �� ���2� ��+ �� �I Sx # Sz )7��������$ �� B�G )���� 7� � ��,� :�; �� �f ��� # !���@ # F�� ����G�$ 7� i,� � i,� M64� �� :�* �� !�� �����U�>= ���2� �� P�C�� !�� k�G ��4� ���� �2�� g�@ � ��## �)* �� �+#�G MV�9 ���� �3� �E���$ x�� Mo��� �� ���)��� ��`� � ���* ( ��� M8@ g���7I #� 1�>�� �� �� �� U� g���7I NQ� M� ������ ������ �� �M4��1#�auF�& ���$� )���� �+#�G 7� �� ���* �� ������ ������ �� !�����2� �M� !�<� �`�IaSxaM/,G �� # Sz Ma /,G��2�4� |z+, x−〉aMV�9 � ���$ �� B�G )���� !���@ �+#�G 7� �� ���* # �2�4� |z+, x+〉aMV�9 � ���$ �� B�G� �� � ���* �f<O�# ��I �� ��2� -�Do� �� U� g���7I NQ� M� # ���0� M� UV�+ g���7I �� �� ������ �� ��9���$�ag���7I �� 7� � :�* !�� �K2� !�� �� ����� 7�2� � ���� +z Ma /,G �f<O�# ��I (���)��� ��`� |z+, x+〉aMV�97� i,� � i,� M64� �� �f ��� :�* ���I �� M�� 0���� M.�$ �>��� �� �f<O�# �+ !��� ����� �� �6= SzauF�&�� # SzaM/,G �� �� ��� ��`� � ���* ���� �3� �� !�� �2<� �>��� !�� ����$ �� B�G !���@ # F��a�+#�G #� ����`� |z+〉aMV�9 � �f 6O �� � ���* # M�)��� ���Y� � :�* MV�9 �f ��� Sx ���& )7���� ��$�� 1�/<� ���� �`�I SxaM/,G�� �22� �3� N3= �� U� NQ� �� ��� U���� !�� �� ����)��� ����� � ��G SzaM/,G Sxa)���� 7� B#�G 7� R@ ����� )���!�� �� ���� !��<� ���� � �� ���aSx # SzaM/,G #� ���� �3� �� U� ��G�� ���� )���8� �� U� NQ� ���� �3� � �`�I

\h

Page 13: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

7� � � � � �� ��� �� ������ # ��2� !��<� � �� M/,G 7� � � ������ �� �`2� �� ����� �2<� |z+, x+〉 NQ� ��V�9 Ff �;� �2<��� �f9�E;� ���2� ��`� _|n−〉 �� |n+〉 ^ ��� MV�9 7� � � � �/� �T �� �� _ |x−〉 �� |x+〉^ �� _|z−〉 �� |z+〉 ��� MV�9����/3+ �I 7� ����&7��� �� �� �� M/,G �G�� �@� #� �� ����� � ����&7��� �� �� Sz # Sx ��� M/,G �� ����&1����� ���& )7���� # ��� !��<� ���� �3� ���� � �&7��� ��� M/,G !�� ���� � # �� � �� # ����#�7 ���� � ����.V��#� )�&�� �M� ��O�� M�<EO 1�= N;� �`�I ���� �� �2�4� �� M/,G !�3� ���� �� !�� 7� � �/6O ���& )7���� �>���g���7I 1�>�� �� ���� �� �>���� # ��� !��<� ���� � �`�I �#��� ���� �� )���I �2$�� �&7� ���� B # AaNQ� M/,G����� � bj a��D� baM/,G 7� # ai a��D� AaM/,G 7� �� MV�9 P�� !�� ���� !��<� |ai, bj〉��� MV�9 � � �� ��� U�2� ���

����$ �� !��<� M/,G �� �� AD �� ��� �� ��2� �� [� '� !�� ������ � �&�� ����

A ���& )7���� )���� 7� �/;� �� �&�^ {|a1〉, |a2〉, · · · |aN 〉} ��� MV�9 7� � �� :�* �� ��2� �,� ������ �� !�����2�B ���& )7���� )���� 7� �/;� ���&�^ ������O {|b1〉, |b2〉, · · · |bN 〉} ��� MV�9 7� � � � �� # ������O _��� )��I �#����+# !�V#� �+ !��� �����6= A )���� 7� � |b〉 MV�9� :�* )��8���7I� ����� �� ��8���7I ��I ���K� # _��� )��I �#���MO� 1�3� # M� ��4 � g���7I A���$ ���3� �� ���+# �� �� M� !�� �I# �7� ��� $I� ��G �������� ����� e��� �� ��G � ��,� �T ��f���� |b〉 MV�9� )* �2<� �M� 0�� �� ���� ���& )7���� !�� �>��� M� )�$ ��3=� 17F ����� �$�� �����G ��7�� �����Y�� �>��� ���� � ��,� !�� �� M� ! 3� ���� ����G ��8� |aN 〉 �� |a1〉 ��� MV�9�k��H�# ���7I ���� �3�f�< � [� !�� ��$�6�#�D� �� ����f�< g���7I �� � 1��2� �`�I ���� ��4 � # �`�I �� �����/9�� !�����2� ���� !��<� �2�4� ��%@�� � # �2�<� �� � �%& :F�3�9� )��8���7I��� M� �I ��� ���� �� �� ����`2� �IMV�9 �%& ��3�9� �<� �� !��7� ���� !��<� i/�"� :��;�,G ���� �%& :F�3�9� �3� 7� �V#��+ ���� �� �� M� �I 1#�

�� � |b〉 �� |a〉

P (b, a) _25^

c��$ �� )�#I�� ��7 d�$ �� M� WC�# ����� �� ��8�

N∑j=1

P (bj , a) = 1. _26^

cM� g���7I 7� �$�� ��7 �E�� !�2� ��

P (aj , ai) = δij _27^

MV�9� Ag���7I ��� �� �� )* �2<� ��� �2<� �$ 1�>�� F��� �� �/ $ �� MV�9 i��<� �� M�2<� !�� �� �E�� !����G 7� � ai M/,G ��3� ��7�� _�%�� �I�� ���7 � 2�� �#�� ��6V�^ ���&��O g���7I ��3� Mo� )��#� �&� M� )�$ ��+ ai

� ��� ����G ��8�

\m

Page 14: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�� �#��� +z �+#�G 7� �� ���* ���<� # M� 7�� :�* ���� �� ��4� �`2� ���� M8@ uF�& ���$� g���7I #� c� N $�N1 �� M������ �2�I

����� �

�� M� �/;� ��26� # :�* ���� �+�� M�;�G ��26� �&j�# !�� ��� �� �@� #� �� ����� �&j�# !���3`� �� ��9���� � �EG ��G� �� � �� �� M� �&j�# !�� -�O� ��2� ���� ���� ��� �f���`� # ����& �� �`� ���� N;� � �IM� )�$ )��� ��8� �aN $ � �� �6���� �� �� � M8@ � uF�& ���$� g���7I #� �� !�� ���� ���$ �� ��32� ��������

����� �� 1�>��M4"� ����� �� �6= Sx uF�& ���$� )���� �� 7� M4"� ���)�$ ��`� |ψ〉 NQ� �2�<�aMV�9 � �� � )* N ���<�

7� �2��6= U���� �� ���<� !�� ���2� �� M6] MO� �� � Sx )a���� !���@ # F�� ��� �+#�G 7� �� � ���* ���<�

N(x+ |ψ), N(x− |ψ). _28^

U���� !�� �� ��$�� )���� 7� �6= ��9 � )* �� AD # AD �KoV �� � �� ��2� -�O ��2� ������ �� � :�* � ���� �2�I �� �#��� !���@ �+#�G 7� �� � ���* ��/+ ��9 ����%& �3� ��]�� �� �# # �22� �3� g2� ���� ���� ��� :�*�� ���* �� ���)��� �6O ����� �� �6= Sz uF�& ���$� )���� �� �� �2�I �� �#��� F�� �+#�G 7� �� � ���* # ��2� ����2�I �� �#��� !���@ �+#�G 7� 1

2 a��3�9� �� # F�� �+#�G 7� 12 a��3�9� �� ���$ �� )����� � Sz )���� �� +xaMV�9 �

�� M� ����� ���$ �� B�G SzauF�& ���$� )���� �F�� �+#�G 7� �� ���* ���<� �� ��2�� �� �F� !�����2�

N1 :=12N(x+ |ψ). _29^

7� �� ���* :�; !��� ���2� �� � � �E# )���� �F�� �+#�G �� !�� �V# ��2� �� �� � � g���7I ��9�� ���)�$ B�G !���@ �+#�G 7� �� ���* �`2� # �22� �3� ���@ � �GI )���� �� ��� �� �� ���$ �� B�G F�� �+#�G

\p

Page 15: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�� �#��� +z �+#�G 7� �� ���* ���<� # M� 7�� :�* ���� #� ��4� �`2� ���� M8@ uF�& ���$� g���7I #� c� N $�N2 �� M������ �2�I

c�� M� ����� ���<� !�� ��2 �� ��GI )����

N2 :=12N(x− |ψ). _30^

�� # F�� �+#�G 7� �� ���* �� �� !�� ����� �� 1�>�� � g���7I # ��2� �� 7�� � �E# )���� �+#�G #��� ��97� � $I �� �� ��)* �� ��22� �� ���@ � 1#�auF�& ���$� )���� �� ��� �� �� ���)�$ B�G !���@ �+#�G 7� �� ���*7� �� M� )��I Sx )���� � F�� �+#�G 7� �� (� #� ��4� �� # M� )��3�@ � �� ��4� �� M� )�� N $ � )�$ )��� ��8�� � � � # ���7 �/�G ����7 ����/;� �� ���7 �����$��� ���� � �� 0�� ���]�� ���& x�� :�* !�� ��I !���@ �+#�G�� N6O ��� MV�9 � �� ���* P�3>� �� �$�� ����� �2 �� 7�� $I �� �� ���* ���<� �� ���� �K��� !�����2� ����)��

�2<� ����

N12 =12N(x+ |ψ) +

12N(x− |ψ). _31^

� �/6O �E�� !� �T �&� ���4��� �� :F�3�9� U49�� � ��$%& A��# ��2� ��2� ���� �/� :�; �� � �/q4� � �I ������4��2� ��7 :�; �� ������ �� � �E�� !�� )���I ��2� ��4D� N ��

P12(z + |ψ) = P (z + |x+)P (x+ |ψ) + P (z + |x−)P (x− |ψ). _32^

�� 7� ���2���� MG�2$ 7� �� M�>� �f ��� �K��� �� �K��� !�� ����)��� )��.�� P (z + |x±) = 12 ��E�� 7� �I � ��

)��3�@ � �� ��4� �� M� )�� 7� � $I �� �� ��)* �� �� ����& �� ��G �� ���7 M� )�$ �$�� �@� #� �� ��H :�*� g���7I �� ��O# ��+# !�� �� ����)�$ �� )���� ��# �� 7� ND�4� # � � � � 0�� :�* !�� 1�3� # � #� ��4� �� # M��� ��`$ �� �+# x�� �� # M� U�>= ��4� ���>� )���8� !�� �M4�� ��O�� �� �#�4� !�2� �� ��2�� �� ���� �� 1�>��

�M4�� �&7�

\r

Page 16: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�� �#��� +z �+#�G 7� �� ���* ���<� # M� 7�� :�* ���� ��4� #��� ���� M8@ uF�& ���$� g���7I #� c�\ N $�N12 �� M������ �2�I

�3� � # ��2� �� � z # x ��+ �� n # m ��� M`+ �f Q� �� !�S� ��&���& ��� M`+ ���� � F�� g���7I ������ ������ ���>� �K� 7� �2<� �M4�� ��O�� ���� �K��� ��G ���� ��`$ 7� �� �E�I :F�3�9� !�� ��E�� �� ��2�� �� ����

P12(m+ |ψ) �= P (m+ |n+)P (n+ |ψ) + P (m+ |n−)P (n− |ψ). _33^

��K2� # �#I �3+ �� M� )�$ �#�o� �@� #� �� ����� )���8� � �� �� �� � �� �K� �� �� �#�4��� !�� ��# �2�I �3� � �K� �� �����O # )�=�O x�� Mo� 0�� :F�3�9� !�� # ��#I �� M�� i/�"� ��� g���7I 7� �� ��F�3�9��M� 17F ��4� �2� ���@ �2�� g�@ :�O ���K� �� � �I ���� ������8� # �C�� A��# � �K� �� ��+# � �I ��9���K� �$�� ��$��� � ���+ :F�3�9� �2�� g�@ :�O # �7���S� �`�I P�O# :F�3�9� # �� ����# M6] �� �`2� �� �����K����K� !�� 7� ��� �� R@ �2� !��<� � �I �� d���� :F�3�9� �� # �#�� V� -�O� ��4� �� ������ �������� ���K� �&� �M4��1��� 〈a|b〉 NQ� A/�"� ��= �� ���� :�; �� � P (a|b)aNQ� ��%& ��3�9� �� ���� �� �� M� !�� ��@ �M���G���+ �� �� �2<� !�� �� M� ��O�� -�O� ��4� �K� �� ��3�9� ��� �2��� !�� !�� # M$�� 3 ��3�9� �2��� �� �%& �2��� ��

c��� ��+# ��3�9� ��� �2��� !�� ��7 �E�� uF�& ���$� g���7I � F�� ��E��

〈m+ |ψ〉 = 〈m+ |n+〉〈n+ |ψ〉 + 〈m+ |n−〉〈n− |ψ〉. _34^

�# )�&�� ����� ��+# �I � ���2Q�� x�� # M� )�$ )��� �� g���7I �3� � �� M� �/� ��E�� �� �E�� !��i/�"� ����2��� !�� ��7 ��E�� )���I ���� 1�>�� � bi �a ���D� �� Bag���7I # ai �a ���D� �� Ag���7I ψ !�<� MV�9 ��

Probability Amplitude3

\|

Page 17: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

���$ �� ) ���8� )��@ �# I1 l�T # M� 7�� ��F�� �� $ �`2� c �� $ #� g���7I c\\ N $

c��� ��+#

〈bj |ψ〉 =∑i

〈bj |ai〉〈ai|ψ〉. _35^

�M� )�$ ���� ���>� )���8� !�� '���� �������� ���� � ��K� ��G� 1�3� �� M.& ���� ���2<� NG��� 7� ���� ��Q� �� �� ��7���S� ��$ �� �2� '�� !�� �� �� �������� ���� � ��K� ��G� �� � �I 7� N6O ���

���7���@ �� �� $ #� g���7I

���� �� ���� ���

� :�* �� )�22��4 � 7� �� �=�3>� )��3� �� � ��� V� ��� ����� ��2� �� �=�,�� ��G 7� � )0������ :�* (\\^ N $�� |ψ〉aMV�9 �O�# � ����� �� ��8� |ψ〉 �� � :�* !�� MV�9 ��22� �� ��+ M��.; �� ����� �`�I �C�= ��� � �� ��V�9 ��� )�$ )��� ��8� N $ � ����� �� �� �� � |ψ �a �3� ��3� wo� ��G��� �� ���� �V# ����2� 0�� |Py = 0〉aMV�9 ������ ���� |y〉 MV�9� )��@ �# RS # ���& �� ��O |1〉 MV�9� �%�� ��F�� �� $ 7� �� )*�� �M� )�$ �#�4� �2���@ �� $��F�T :�� ���� � g���7I !�� )�&�� ���$ �� M6] ��� �� ��8� _7�� $I �� A��^ � )��@ �# �I !�48� �ED�U��� I1(y) ���� ���I ����G ��+�� I1 l�T �� R���}�/ )��@ �� �f Q� )��@ �� �# :�* !�48� �]�� ���� 1�>��

����� �� ��8� P1(y|ψ) �� �� � �I �� y ��ED� �# )* !�48� ��3�9� �� M�����&��O |1〉 MV�9� # �%�� 1 �� $ �#� 7� ( M� |ψ〉 MV�9� �� ��)* �� M� �I ��3�9� P (1|ψ) �� ����� ��|y〉 MV�9� �2<� �2�82� y �ED�� M� ��$%& 1 �� $ 7�# M� |1〉 MV�9� �� )* �� M� �I ��3�9� P (y|1) !�2� ������� �2�82� y ��ED� �# J�,"� g���7I !��� M� )�$ ��`� ψ MV�9 � �� �� )* � 2�� ��3�9� !�����2� ��������O

�2<� (�2�82� y �ED� �# � 2�� ��3�9� � k�C �%�� 1 �)�3$ �� $ 7� )* !�� � 2�� ��3�9� �� M�

\~

Page 18: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

���$ �� ) ���8� )��@ �# I2 l�T # M� 7�� �2���@ �� $ �`2� c �� $ #� g���7I ch\ N $

P1(y|ψ) = P (y|1)P (1|ψ). _36^

��� �� ��8� � g���7I ��3� (h\^ N $c ���� �� !�� !�8�@ �E�� ��2<� ��3� �� �M� ��4� ��F�� �� $ �� !�� �� :#�.� !����

P2(y|ψ) = P (y|2)P (2|ψ). _37^

��2�4�7�� �� $#����� !�� �� :#�.� !���� ��� �� ��8� � g���7I ��3� (m\^ N $c�$����O�� ��7 �E�� �� !�� �� �����K���

P12(y|ψ) = P (y|1)P (1|ψ) + P (y|2)P (2|ψ). _38^

�$�� ��O�� �� :�$ !�� ��7 ��E�� M4��� �� �>��� � #

I12(y) = I1(y) + I2(y). _39^

���22�8� �� )��@ �# M� �/G��� l�T �� �� I12 l�T �� -��E� :�* �� M� �I ��2�� �� g���7I� �� �L�I ���

c��� ��+# 0���� M.�$ # UV�+ �� � !� �2� l�T !���

�� �`2� �� ��O# �� M64� :�* ���3� ��9 ���<� �� M� )�$ w=�� ���� �� $#��� ����7�� )��@ 7� �����+� c iV�:�;� �� M� ���* ���<� P�3>� �I �����#� :�* ���<� )��@ A# NQ� 0�� �����+� ���� �ED� �I �� ���7�� �� $

\�

Page 19: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

���� �K��� �� M� �� l�T I1 + I2 l�T �2<� )��@ �# l�T � �2�4� 7�� �� $ #��� c �� $ #� g���7I cm\ N $���2�6�

���2� �� )���8� )��8���7I � �f<O�# �� M� �0�� �I (�/G��� M� �9�T �� I12 l�T �2<� )��@ �# l�T cp\ N $

��� �� )��@ �� ���`2� �� �� �� $ 7� 1����� ����7��

��8�� � �� �ED� �I �� �� ���* ���<� �� M� )�$ w=�� �� $#��� ����7�� :�* 7� ����� ����+� R =�� c k��� �� �ED� �I �� ��� ��7�� �� $#��� �� ���;� �� ��$ ���* P�3>� 7�

(�2� �6= �� �� $ 7� :�* 7� � � AD # AD �I ��� � ��E� :�* �38� ���� -�O �� �/G��� l�T !�� N $ c BF�� :��]� �� �22� �� g2� ���� ��T ���� ��� �� $#��� ����7�� 1��2� :�* �� M.& ���� �3� !�����2� ��2� �3� ���Y�

���$ )���

� �I �� )* M���� �� 7�� $I # ��2� �� M6] 7�� $I A�� N��� �T �� ���`� )��@ �# � :�* 7� 1����� c �7� �I 7� �8"� # M� )��� N3= ����@ ��+�� �� NQ� g���7I !��� )* �� M.& ���� �3� !�����2� ��2� �� ����� ���"�

\�

Page 20: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�M� )����6= ���� �� $ �� 7� ���� �8"� # �� $ ��

��6$ �0��^����@ �� :�; �� �� $ #� 7� �6= !�9� )* �� M� ! 3� ���� �$ _�^ )�0&� ���� �� ��6V� c����$ �� 0��3�� ���� )* �� :�; �� )��#� ��� !�� ���3� )��@ �# !�48� �O�� �`���� RS# �2� �� �� _��� ��7� �6= �O�� M� )* �� ��3`.� �� M$�%& ����7�� $I �� �� $ M8@ M� ���� �� )* �� 7� �� ���� �@ �����0�� �� �V� �� ��� �� :�; �� )* �� �>�I� �� ���$ �� �+��� ��2 � ��� !�2� �&� ��2� �� �� ����� �� �� $�+ !��� �V# ���$ �� M6] 7� � $I� _��G :��;�,G ���� # �� # 1�+ 1�3���^ ���3� �� � /� �2� �3� �� �I �� ��6$I12 �/G��� l�T �� M� )�$ w=�� )* �� 7� �� ���� �@ ���� �� ��� �� M� !�� �I # ���$ �� �`� e�.�� �� �+����0��I��� �� �� ���� �@ ���� �� �$�� 7� )* �f���b �M� )��� I1 + I2 �V�3<� l�T �� � ��G ��+ # M� �� !�� 7�

��2� �3� � 0���� M.�$ �� �I ���� # M� )�$ ���6,= ��� )��� 1�>��

�� �� )* �� )�GF�� � ��#I �# )�� -E2� �� ������ �� �� ��� �3�� ��G i��b )���8� �� !� )* �� ��9 c #7� �� ���* ���<� �� ������� ��� ��48� )��@ �# �� ���* ���<� �h �� $ 7� �� M� )��I \ �� $ 7� �� �2�8� �� )��@ �#��� ��48� )��@ �## )��� �6= \ �� $ 7� �� ���* ���<� ��� ���� )��I h �� $ 7� �� ���* ���<� � ��� )��I \ �� $� ��0� )���8� �#�� ��9R@ �I2 �� M� ����� ��� ��48� )��@ �## )��� �6= h �� $ 7� �� ���* ���<� # I1 �� M��������� �� ���;� ��$�� I1 + I2 �� ����� M4��� �� ��$ �� M6] )��@ �# 1�>�� �� �9�T �� ��2� � 9 ������ �� �� �� $7� �� ����� )�GF�� �M� W�o; F�� �F��� �2$�� )��� N3= ��6�� ��� NQ� ���4� �2$I �`�I �� �� �� ����$� NQ� M� ��NG��� �#�� l�T ��3� )�$ )���8� l�T M4��� �� # �2���@ �� $ 7� �� # M� )�� )��@ �� # )��� �6= ��F�� �� $7� ��� !�2� ��� ���� �@� #� �� :�* �� �� �#�� V� �� ��3`.� ������ �3� �� �C�9 ��9� ��$�� I1 + I2 l�T �2<���9 ���� W�C�� � �� �#�� V� �� ����� ������ �3� �`2� ���� �M����� �� !�� 7� ��9 �/q4� ��2�� �� 7#�� ��G�� $ !�� 7� �� �#�� V� )�GF�� z �� P�� !�� 7� �������� N��D�� ����� W�C�� ������ �3� !�� 7� ��`� � �I �� �������� ��2� )�24� !�� �� ������ �� �`2� y ��$�� ��$�� �/G��� l�T M4��� �3� :�; !��� # �� $ �I 7� �� # �2� �� �6=7� �<O�# �/G��� l�T �� ��2�� �� ���S� �����G �� ���>� # �/3= :�; �� � �� �� $ 7� �#�� V� �6= ��� ��O# ���������� ���4� ������ �3� ��2� �3� )���8� � �#�� V� ��O# �� ����& �� !�����2� �����G �3��� �ZO�2� �� �� # �# �� !����� M� M�D �� !��O �� N3= ���&� ��2� !��<� � �I ��4� ���>� �K� 7� �����"� �� �� )�&�� # ��2� �2<� ��9 # i��<� �I# ���K� ���$ �� ��7 ��� �f ��� # ��� �3� 1�>�� ��� �� 1�>�� )���8� k��H� �� � �0���� M.�$�� �I ���� �#�� V��� !�� # �� � �� �O�.�� �� �fD�O� �2��� �� !�9� � 2�� �� ��� �� �� ��$ �� 7�HI �ED� !�� 7� �������� ���� � k����7� �%& :F�3�9� �=�3>� �`2� # ������ �2��� �� 1�>�� # 7�HI �� �`2� � /� ����� �� �� ���&7� �� ��`$ �� :�O�.�� !��:F�3�9� !�� �&7� ��G ��K� )������ �� ��2� �� �< # ��2� �� !��<� )��8���7I� � ���`� :F�9 �� ��V#� :F�9

���2� �2�� g�@ ���� �Z<� �# 7� ��`�I 7� �Z<� �>���� # )��� ����@ ���� � �� � P�O#

:�; �� � �%& ��3�9� �� �� ��� W�C�� ���� �� U���� !�� �� �`2� � )��@ �# )�$ ��>�� l�T �C�9 g���7I ��� ��� ������ RS # P (y|2) = |〈2|φ〉|2 # P (y|1) = |〈1|φ〉|2 ���� ��O �2<� (������ ��3�9� �2��� 1�� �� A/�"� ��= �� ����

h�

Page 21: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

c�22� e�; ��7 �E�� � ��3�9� ��� �2��� !��

〈y|ψ〉 = 〈y|1〉〈1|ψ〉 + 〈y|2〉〈2|ψ〉. _40^

��� )� �� d���� ��3�9� ����2��� !�� ��� ���`� ��>��� �� �� i/�"� ���)� 7� ����� �� �2��� �� ��O# � 2�� �2<�:�3+ 7#�� w=�� ��� !�� ���7� �� � ���`� ��3�9� �2��� # ���$ �� �3+ ���� �� �2�4� :F�3�9� ��G �� # i/�"��0�� M� !�2� ��� � 2�� ���$ �� i/�"� d�D� � )* !� �� ���� ���`� ��3�9� ���� � �+�� �� �>��� � # �/G������O 7�HI �ED� ���$ �M� �������� ���� � 7�HI �ED� !�� �M� )�8� )��� �I ���� �o�C�� ���& x�� ��2� �� �� M�

������ ���`� # �� -�3= 7�HI �ED� M� ��4����� ��2� �� �� �4� �V# �$�6� ��)�22�

N $ ���� �� ���$ �� ���� �I '���� �������� ���� � ��K� ��3�G� 7� ���4� �� M� �� �/;� �E�� �E�� !��c M$�� ��7 :�; �� � �I �/�

ck|ψ〉 =∑j

〈ck|bj〉〈bj |ψ〉. _41^

�I �%& ��3�9� MV�9 �� �# ��&���& ��� g���7I 1�>�� �� ������ �� �� M� �I M� ��,9 N��O )��8���7I� �� �L�I�� �%& :F�3�9� Ag���7I 1�>�� �� ������ �� |ψ〉 MV�9 �# ��Q� ���2= �� ���2� ���& )7���� ���� ��� MV�9 �� � MV�9� ���I !�� �� # ��2� U��� ��7 N $ -��E� ���� ���I ��� � �� �2��� !�� ������ �� ���2� !��<� � |ai〉 ��� MV�9

c��� )��I M�� A ��� ���& )7���� 7� ���I !�� NG�� ���=� �� M� �I �#I��� ���� AXG�$ �� ���%�� |ψ〉A

|ψ〉A =

⎛⎜⎜⎝

〈a1|ψ〉〈a2|ψ〉

·〈aN |ψ〉

⎞⎟⎟⎠ _42^

��2� !��<� � �I���K�# |ψ〉C ( |ψ〉B NQ� �� ���I 7� �� �=�3>� U���� !�3� �� ����� �� ��8���7I ���� :����8� 1�>������� �� ��8� ���>� :� ���8� �� ��2� )�$� !�� �� ���� M4"� ����� �� �� �E� �� �� ���I !�� �� M� !�� ��� ��9�� ���� 1�>�� �/;� �� � ���& )7���� !�� �&� ��6V�^ M��.; �� ����� ���� :#�.�� MV�9 �� |ai〉 MV�9 �� �%& �2��� ��

cM$�� �����G !�����2� _�M� !�3� �� �� [�

|a1〉A =

⎛⎜⎜⎝

10·0

⎞⎟⎟⎠ |a2〉A =

⎛⎜⎜⎝

01·0

⎞⎟⎟⎠ · · · |aN 〉A =

⎛⎜⎜⎝

00·1

⎞⎟⎟⎠ . _43^

���7 �2� ���@ ��� �2��� A6��� �� �� ��`8���7I 7� �� �=�3>� �� M4��� �� ��8���7I �� M� 17F �� � !�� �#I��������� � �`8���7I !�� 7� �� ���3� �� �I 7� �� # ��� ����G M�� � ��= �I )7���� �`2� A/�"� ��= �� ���� !�4���

h\

Page 22: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

���� �����G

���@ ����8�@ :�O ��G ����� �� � 2����# �7���S� �� ���I !�� �#I �3+ �� �`2� N<.2� :�,� M4��� �� ��8���7I ��I�M.& �����G ��@ �I �� )�2�I g"� � �� M� �V�� !�� ��2�

� ! "#����$ �

��2� �4���7�� ��7 N $ �� � �I # ��2� �+�� (41^ �E�� �� �KoV !��� �&�

〈bj |ψ〉 =∑i

〈bj |ai〉〈ai|ψ〉, _44^

�� M� !�� NQ� M� ����$ �� ���� �� ��� �.V�� �� |ψ〉B # |ψ〉A ��� ���I� �� ���� �E�� 1�3� # 1�� M��6$ �+����.V�� |ψ〉B ��<� N ���I # ����� �� A ���@ �&�� ���� � �I �� ���@ ��� � ���� �� ��� �.V�� |ψ〉A ��<� N ���I�� MV�9 �� ������ # ��2� �%9 |ψ〉 7� � A,B, · · · XG�$ ������ �� �>���� ��2�� �� ��8� B ���@� � ���� ��3� ���MV�9 �� MV�9 �I �%& ��� �2��� MD�D9� Ag���7I A�� )* �I ���& )7���� # ��$ �� !��<� |ψ〉 ���� �� A�� )*�� � �� �� M4��� �� �+ !��� ���� �� M�� ���@ �� � ���� �I i/�"� ��� �.V�� ���2= �� � 〈ai|ψ〉 i/�"� ���P (ai, ψ) :F�3�9�� ����Y� x�� ��2� k�C 7� ��� � 〈ai|ψ〉 ��� �2��� 1�3� )�&�� �� M� !�� �I # ��2� )�$� �`��`� �� � ��9 ��� �� M� )�$ k�C �� �2���� �7� ��I �� ��� �@ !�� �� ���� �3� Ag���7I �� !�����2� ��I ����"� ��+��g���7I x�� �� !�����2� # �$ ����G k�C 0�� 〈bi|ψ〉 �2<� ���� ��� �2��� 1�3�� 7� ��3� (41^ �E�� ���2� �� M� !���#�� ��� k�C �/�7� ��� ���� �� )��3� � �� ���I !�� �>���� ���� X�"8� � 7� ��$ k�C ���� �3� � �0�

��#I�� �� ��]� � 2���2��� �� �<� �� !�� 7� ������ �� i/�"� ��� ���@� ���� �� ��� �.V�� !�� �� �E�� ���2= �� (44^ �E�� ��6O�� !�2� ��

�� M� !�� [� !�� ��>��� �� ���2� )��� 〈b|a〉 M���� ��3� �� ���� #� �/G�� k�C ���2= �� 〈b|a〉 ��3�9�

P (a, b) = P (b, a) _45^

���� �� � [� !�� �M� �#�4� |a〉aMV�9 �� |b〉aMV�9 �%& ��3�9� �� |b〉aMV�9 �� |a〉aMV�9 �%& ��3�9� �2<��� ��� �� ��8� (27^ �E�� �I�� )#�= ���� �� ��8� � �I Mo; ��8� ���>� # ��S ���>� ���7I �� �/;� ��

〈ai|aj〉 = δij . _46^

��2�4� ��3= ���� �22� �� ��+ �� 7� �f ��� � :�* �� �� ���& )7���� P�� !�� �� d���� ����@ ������� �2<�

hh

Page 23: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

#�%&'( �

��2� �� ��V�� |〈ai|ψ〉|2 ��3�9� �� � ai ����D� AM/,G ���& )7���� M� |ψ〉 MV�9� )* ��O# �� ��� �� �&��� ��2� ���� ��8� 〈A〉ψ �� �� � ��D� !�� ���2� k�49 ��I �� M�� ���& )7������ �2� 7� R@ �� � �E��� ��D� ������ �� ��9

c�� M� ����� ����

〈A〉ψ =N∑i=1

ai|〈ai|ψ〉|2 =N∑i=1

ai〈ψ|ai〉〈ai|ψ〉

〈ψ|A|ψ〉, _47^

cM���7 N $ �� # M� )�$ )��� M64� ���& )7���� !�� �� �� M� ���/3= A �I� ��

A =N∑i=1

ai|ai〉〈ai|. _48^

c��� � ��7 N $ # M� ��EO A ���@ �2<� ���G ���@���/3= !�� �� M� �/4�

AA =

⎛⎜⎜⎝

a1 . · .. a2 · .. . · .. . · aN

⎞⎟⎟⎠ _49^

'� !��)�2�I ��� g"� � ���� ����"� ��EO ���� �I �4����� N $ ��4��2� ����� ���@ � )�&�� � ��/3= !�3� �����#I M�� ���� �� � ����/3= !������� �� ��� �����G ��8� 1/2 !�S� :�* �� d���� ��� g���7I �a � -�O� �<V�E� ��

��)�� �

��� ����G |ψ(t)〉aMV�9 � ��4� !�� t ��KoV � ��$�� |ψ(0)〉aMV�9 � �.; ��KoV � �� �������� ��4� �� ��2� [� ��$ �� )��� U(t) NQ� ��� � ��/3= �� �� MV�9 #� !�� �E�� #

|ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉. _50^

��#I �� M�� # ����& �� -�8� �E�� !�� !� �T 7�

d

dt|ψ(t)〉 = ˙

U(t)|ψ(0)〉 = ˙U(t)U †(t)|ψ(t)〉. _51^

hm

Page 24: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�� A �I� �� ���� �� ��8� iA �� � �I !�����2� �M� ��������@ ��/3= �� ˙UU † �a�/3= �� ��$ �� 1�/<� ��9�����4��� �� !�����2� �M� ������ ��/3=

d

dt|ψ(t)〉 = iA|ψ(t)〉. _52^

�������� ���� � v���� �� ��2� �� )��.�� �� � !��7� �� !�� ���� �M� ���/3= �� A �a�/3= �� ��2�6� �����G �� ��9!�� A��� �����& �� �K� � � Q NQ� ���3� ��$�� :#�.�� M4��� �� ���� ���� � v���� �� �� M�3� A��� ����

c�� M������ �I :����Y� � 〈Q(t)〉 := 〈ψ(t)|Q|ψ(t)〉 �� M� ����� M�3�d

dt〈Q(t)〉 = 〈ψ(t)|Q|ψ(t)〉 + 〈ψ(t)|Q|ψ(t)〉

= −i〈ψ(t)|AQ|ψ(t)〉 + i〈ψ(t)|QA|ψ(t)〉 = −〈ψ(t)|i[A, Q]|ψ(t)〉. _53^

cM���O�� ��7 � ���2�� �E�� Q NQ� )��"V� M�3� �� A��� ���� �� ��� �& �>��� !�����2�

d

dt〈Q〉 = −i〈[A, Q]〉 _54^

a���� ��E�� �� � �E�� !�� )�&��

d

dtQ = {Q,H} _55^

�� A� ���� ��� M�3� ����@ ��$#�� �� � �� ��/3= �&�>��+ �� � ?���� g����� N;� !�2� �� # ��2� �4��D����

��E�� �2<�

{Q,H} −→ i�[Q, H ] _56^

�V��<� �>�I 7� # A = �H �2<� �$�� ��4� ����/���� �/�3= �� ����� M4��� �� A �a�/3= �� ��#I �� M�� ��#I �K� �c��I �� M�� ��2��#�$ �V��<� �� 1��� �������� ��4� � ���2��

i�d

dt|ψ(t)〉 = H |ψ(t)〉. _57^

(M4�� �������� ��`+ -�3= �` ��2<� �� wo� !�� �� �� ����@ �� �+ !��� P�C�� ��;� ����� )�� � �� wo�# ��`$ ��� M��#�o� !�2� �� # :����8� # :����>� 7� ����� �������� ���� � P�C�� ��;� �� M� �I ��2<� �� � /���$%& �� �, � ��T � ��K� k���� !�� # P�C�� ��;� !�� ����$ �� �$�� �@� #� �� ��`+ i�;�� ���� �� ���7

hp

Page 25: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

7� )��� P���� ���3� # (�� �� V�� (�� ��� 7� �@� #� �� '��D� � M<�6T i�;�� ���� �� �D�O� ��4� # ��# ( ���+ ��26��6��+ �3� �$ �� # M� )��� ���� �+�G A���$ ��/� # �V��� # �8 # ��� 7� ��)���4& A���$ � ���� # 7�& # ���+# ��$ ����@ �� �2�<� ��`$ �� ���&7� # �� �` N��O ���K� �� �� 7# �I �M� ��G���%@ �� �� � �@� #� �� ���V�2 ��� (�� �3��O ���K� ��� �� # �&�� �� �������� ���� � (��� W�C�� � ��# ��2`@ !�� ���3� ������ �&�� !�=�

�M�)���� �� 7�2� 7# �I �V# ��$ ����G )��`� �2� ����S� ���K�

*+,� �

��8� ��2� �� �< # ��2� �� �<V�E� �� -�O� �T �� � 1/2 !�S� :�* �� )�$ 1�>�� ��� g���7I g"� !��GI !�� ��� �2� �� ��O � �� ������������ � ����� �� !�� # ��$ �� 1�>�� ������������ � � �`8���7I !�� i�;�� ����� ����|x+〉aMV�9 � � ���* ��O# �� ����� �� g���7I 7� ���7���S� :�* !�� ��� � ���� ��`8���7I v���� -�O� �2�� g�@ ��

c�2�4� ��7 :�; �� :F�3�9� ���� �� �6= SzauF�& ���$� g���7I 7� � �`�I RS # ��2� �� ��`�

P (z+, x+) = P (z−, x+) =12, _58^

��$ �� �>��� �I 7� ��

|〈z + |x+〉| =1√2, |〈z + |x+〉| =

1√2, _59^

�>���� #

|x+〉 =1√2eiα|z+〉 +

1√2eiβ |z−〉. _60^

c��I ��� ��7 :�; �� e� �E�� !�����2� � ���6� !�� 7� � e� ���7� ������ �� |z−〉 # |z+〉 ��� MV�9 i��<�7�� ��

|x+〉 =1√2|z+〉 +

1√2|z−〉. _61^

���>� A��# 7� ���8� -��T ��

P (z+, x−) = P (z−, x−) =12, _62^

hr

Page 26: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

M �& �>��� ���� ��

|x−〉 =1√2eiγ |z+〉 +

1√2eiδ|z−〉. _63^

7� |x−〉 i��<�7�� �� ���� �� � �`�I 7� � � �`2� ���� !�� 7� |z±〉 ��� MV�9 i��<�7���� ���� �3� ���� � e� ���7� cM$�� �����G �>���� # ��� !��

|x−〉 =1√2|z+〉+

1√2eiδ|z−〉. _64^

c ��#I �� M�� # ��2� �� )��.�� 〈x+ |x−〉 = 0 ��# P (x+, x−) = 0 ���>� �E�� 7��>2���

|x−〉 =1√2|z+〉 − 1√

2|z−〉. _65^

c M$�� ���� �� y ���� � uF�& ���$� g���7I ���� ���8� ���>� A��# 7� )��.�� �� U���� !�3� ��

|y+〉 =1√2|z+〉+

1√2eiγ |z−〉,

|y−〉 =1√2|z+〉+

1√2eiδ|z−〉. _66^

7� �� !�� ���� �M� γ ��D� ��2� !��<� ���� �� �0�� !��GI �eiδ = −eiγ ��#I �� M�� 〈y + |y−〉 = 0 �E�� 7� ��9� 2�� �I # ��2� �� )��.�� )���3�O�� ���>� �E�� ��

P (x+, y+) =12. _67^

�� �2� �� 1�0V� �E�� !��

|〈x + |y+〉|2 =14|(1 + eiγ)|2 =

12

_68^

c M$�� �����G !�����2� ���2� �� k�"��� � i k��+ �;�G M�o+� x�� �#�� �γ = ±i ��� �� �>��� ��

|y+〉 =1√2|z+〉 +

1√2i|z−〉,

|y−〉 =1√2|z+〉 − 1√

2i|z−〉. _69^

h|

Page 27: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

c�2�I ��� ��7 N $ �� e� A��# ��2� )��.�� Sz ���@� ������ W��; g��3� 7� )�&��

|z+〉 =(

10

)|z−〉 =

(01

)

|x+〉 =1√2

(11

)|x−〉 =

1√2

(1−1

)

|y+〉 =1√2

(1i

)|y−〉 =

1√2

(1−i

). _70^

�E�� !�2� �� # �4�T�2Y� ��� ��3� �� MG��2 ��� �4�T�2Y� ����� �� g2� ���� )�o� # ������0� 7� 1�`V� ���� � ���* Sz uF�& ���$� g���7I� (�$ ��.& N, !�� ���D�� �� �/ $ ��3� �� �� ��#�7 #��8&$ �� �4�T�2Y� ��3�MV�9� �� � ���* # M� �

2 �� ����� z ��������`�I �� ��#�7 #��8& �.V�� �� ��2� �� ��4.� !�2� ������O |z+〉 MV�9������ # ���@ M��] � �I� �� M� −�

2 �� ����� z ��������`�I �� ��#�7 #��8& �.V�� �� ��2� �� ��4.� !�2� ������O |z−〉�M� ����] �#� 6.627× 10−34 h # M� # h2π ��

c ��4��2� ��7 N $ �� � Sz # Sy (Sx �����/3= (48^ �E�� �� �+���� ������ �� �>����

Sx =�

2(|x+〉〈x + | − |x−〉〈x− |) =

2

(1

1

)

Sy =�

2(|y+〉〈y + | − |y−〉〈y − |) =

2

( −ii

)

Sz =�

2(|z+〉〈z + | − |z−〉〈z − |) =

2

(1

−1

). _71^

c�2�4���O�� ����/3= !�� !�� ��7 A��# �� ��� ��8� ���� �� )�� �6�o� ����

[Sx, Sy] = i�Sz, [Sy, Sz] = i�Sx, [Sz, Sx] = i�Sy. _72^

M� N�V� !�� �� � ��� ��+# ���� ���� �� �� ��#�7 #��8& ��� �.V�� !�� �� M� �� �E�� �� ��6$��4� �E�� !����2�4� )* �� ���* M��9 )7���� ����.V�� M�3� � !�� ����& �� ��

J��G ���$ �� i��<� ��7 N $ �� �� �� R����� !�� ���2� )�$� �V##�@ ��� R����� J��G �� �+ !��� M4�� ������ ���$ �2$I �`�I �� ���"� �� �� M���`� �>8��� # ���� �3`� # UV�+ ��4�

σx =(

11

)σy =

( −ii

)σz =

(1

−1

). _73^

1�3� ����� �� )�2���G ��%&��3� !�� �� ����� �� ��8� σ1, σ2, σ3 �� σx, σy, σz ��+ �� � �V##�@ ��� R����� Ff �3<�c��� ��8� )�� �6�o� �� � ��7 �C�� A��#

σ2i = I, σ†

i = σi,

h~

Page 28: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

σjσk = δjkI + 2iεjklσl {σi, σj} = 0, i �= j, _74^

a���� �� ��7� �� �&� �{A,B} = AB +BA �2<� M�`�I �&�>��+��@ ����/3= ���� {, } 7� �K2� �GI ��E�� � ��:�; �� � a · σ �a�/3= a = (a1, a2, a3)

a · σ = a1σ1 + a2σ2 + a3σ3, _75^

c�2�4� ��O�� ��7 A��# �� ��� ��8� ��9� �� ���� �� F�� A��# 7� )��.�� �� )���I ��2� i��<�

(a · σ)(a · σ) = a · bI + 2i(a× a) · σ, _76^

n �� � ���� �� ��7� �� #

eiθn·σ = cos θ + in · σ sin θ. _77^

�� �b�2�� �� ������/3= !�2L3� �M� Sz = �

2σz (M� z M`+� !�S� ���& )7���� �� �b�2�� �� ���/3= �� ������� ���/3= �<� 6T �T � � �Sy = �

2σy # Sx = �

2σx � � � ��� ��b� 2 � � � ��� � y # x :�`+� !� S� ��� ���& )7�� ���I� �� Sn = �

2 n · σ 7� M� :�6= M� n = (n1, n2, n3) )��"V� M`+� !�S� ���& )7�������b�2��

n · σ =(

n3 n1 − in2

n1 + in2 −n3

). _78^

|n,+〉 �� � ������ )j�# !�� �−1 # 1 �� ������� �I ����D� )j�# !�����2� ��2� �� e�; (ν · σ)2 = I M�;�G���/3= !��c���� �� ��8� |n,−〉 #

(n · σ)|n,+〉 = |n,+〉(n · σ)|n,−〉 = −|n,−〉 _79^

c7� M� :�6= ������ )j�# !�� W��; N $ �� ��� �� ��8� �6�o� �3�

|n,+〉 =(n1 − in2

1 − n3

)=

(cos θ2e

−iφ

sin θ2

), _80^

#

h�

Page 29: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

|n,−〉 =( − cos θ2e

−iφ

sin θ2

). _81^

�� �� # +�

2 ��D� �V�3�9� ���� z M`+� �I !�S� ���& )7���� M� |n,+〉 MV�9� )* �� ��O# ���@ �� ��9���#��� M�� � Pz(−) # Pz(+) �,� �����/3= �� M� � �� �� !�� ���� ���� ����G M�� � −�

2 ��D� �V�3�9�����

Pz(+) = |z,+〉〈z,+| =(

1 00 0

)Pz(−) = |z,−〉〈z,−| =

(0 00 1

)_82^

c��#I �� M�� �>����

Pr(z+, n) = 〈n,+|Pz(+)|n,+〉 = cos2θ

2,

Pr(z−, n) = 〈n,+|Pz(−)|n,+〉 = sin2 θ

2. _83^

cM$�� �����G U���� !�3� ��

Px(+) = |x,+〉〈x,+| =12

(1 11 1

)Px(−) = |x,−〉〈x,−| =

12

(1 −1−1 1

)_84^

Pr(x+, n) = 〈n,+|Px(+)|n,+〉 =12(1 + sin θ cosφ),

P r(x−, n) = 〈n,+|Px(−)|n,+〉 =12(1 − sin θ cosφ). _85^

)�GF�� #

Py(+) = |y,+〉〈y,+| =12

(1 −ii 1

)Py(−) = |y,−〉〈y,−| =

12

(1 i−i 1

)_86^

Pr(y+, n) = 〈n,+|Py(+)|n,+〉 =12(1 + sin θ sinφ),

h�

Page 30: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

Pr(y−, n) = 〈n,+|Py(−)|n,+〉 =12(1 − sin θ sinφ). _87^

��#I M�� i/�"� ��� ���& )7����� � !�S� ����D� A��� ���� �� !�2� ��

〈Sx〉 =�

2〈σx〉 =

2〈σx〉 =

2sin θ cosφ

〈Sy〉 =�

2〈σy〉 =

2〈σy〉 =

2sin θ sinφ

〈Sz〉 =�

2〈σz〉 =

2〈σz〉 =

2cos θ. _88^

� �3�4� !�2� ����/���� ���2� �<V�E� z �o� ��9 M��] �4�T�2Y� ����� ��� � !�S� ����2�� ������ �� ��9�M� )* �4�T�2Y�#��8& μ �I� �� ��4��� ����7 N $ �� ���� ��0� 7� 1�`V���

H = μBSz = μB�

2σz . _89^

c��I �����7 N $ �� ��o���/3= �>����

U(t) = e−i�Ht = e−

µBt2 σz =

(e−iωt 0

0 eiωt

). _90^

�I� ��

ω :=μB

2, _91^

n = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ) �I� �� �$�� |n,+〉MV�9 ��V#� MV�9 �� ��2�[� ���$ �� )����G ��F R���� c���� �� ��8� |θ, φ〉 �� �,�G� �� � MV�9���� !�� �M� � ����� ��

|ψ(0)〉 = |θ, φ〉. _92^

c�� ��$ �� 1�/<� �>����

|ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉 = |θ, φ+ ωt〉. _93^

m�

Page 31: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

MV�9���� !�� ���� ��G�� �� �4�T�2Y� ����� ��9 ω �� ��#�7 M=��� !�S� MV�9���� �� M� �I ��2<� �� ��cM$�� �����G

〈Sx(t)〉 = sin θ cos(φ+ ωt)

〈Sy(t)〉 = sin θ sin(φ + ωt)

〈Sx(t)〉 = cos θ. _94^

N $ �� ����� �&� �� �2�� �� ��8� A��# !��

〈�S〉(t) := (〈Sx(t)〉, 〈Sy(t)〉, 〈Sz(t)〉) _95^

�4�T�2Y�#��8&���� ��� � � ���2�� ��3� 〈�S〉 ���� )���I (M� !�S� ��� �.V�� A��� )�2�� ��8� �� ��2� i��<�)��3� �� M�3� A��� �� �2<� !�� �� M� ���3= M�;�G �� !�� �O�# � �M$�� ����G �4�T�2Y� ������ ��������� # �������� ���� � P�C�� ��;� )�� � �� wo� �+ !��� ����� �K��� ���� ��0� 7� �� ���� � ��� ��3���;� ����� �� ��� �����G )�2�I '� � �� �� ����@ �� �������� �)���@ !��� �2$I �� ���2= �� !�S� ��Q� �}�� �� �`�I

��# �� �� �� �2�4� ��� � # �� � �I � ���2�� :�,�"� �� )* �� ����2�� i�;�� ���� �������� ���� � P�C��

# �&-.�

uF�& ���$� g���7I 7� ��� ����$�2$I ��8�� !�S� g����� )���@ # uF�& ���$� g���7I�� �����G �� !��3� !��� � \��� ����%&�� � �I��D� ���� �� ���� ��8� �μ �� � ��� �� �4�T�2Y� ��3� )�&�� �M�� ��� �4�T�2Y� ��3� ���& )7��������/������ �4�T�2Y� ������� �3�� !�2� g2� ���� ���� ��0� � ���� ���& )7���� !�3��� �4�T�2Y� ����� ��7���

c��$ �� i�;����7

H =P 2

2m− �μ · �B. _96^

U��C g �I� � � �μ = g�S M$� � ��� � �� �$� � ��o� ��9 � �� gG�� 7� �$� � �4 �T� 2 Y � �� 3 � ! �� )� &� �# �� ��#�7 ��� � ��� �.V�� 7� �2��6= �/q4� !�� ���7I :�+� �M� ��� ���* �� ��#�7 ��� � �S # M� �4�T�2Y�#���

�1�+0��� ��� � # :�,�"�

c��#I M����7 ��I�@ ��� �$#�� 7� )��.���� � M��9 :F��<� c iV�

{xi, pj} = δij ,

m\

Page 32: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

{Si, Sj} = iεijkSk,

{Si, xj} = {Si, pj} = 0, _97^

c�2�4���7 N $ �� :F��<� !�� �� ���� ��8� #

d

dt�r =

�P

md

dt�p = ∇(�μ · �B)

d

dt�μ = g�μ× �B. _98^

�� ��2�[� ��2� �� �8G�� M��9 �4�T�2Y� ����� ��9 ��� �4�T�2Y� ��3� �� ��� �� ��8� 1� �V��<� ck�4�T�2Y� ����� �2�3��� )�&�� �M� A�����D� B �I� �� �B = Be1 �2<� ��$�� e1 M`+� �4�T�2Y� ����� A�������� ��9 �I gG�� ����@ �� M64� �4�T�2Y� ����� 7� ��� �6= ���7 )�&�� !�2� �� # �$�� �� A�����D� !�� �� M64�

�����K� ��; e �� ��3= ���� � �4�T�2Y� ��3� ��� �.V�� 7� ���� �� �$�� ���7

�M� M��] ��D� �� μ1 := �μ · e1 A���$ !�� Mo� �� ������ �>��� 1� �V��<�7� c k

�� ������ �>��� 1#� �V��<�7� cB

d

dt(e1 · �P ) = μ1B

′ _99^

�I� ��

B′ := (e1 · ∇)(e1 · �B), _100^

���� ���4� R�T�2Y� ��3�G� �� �f ��� �� M� ���3������ ���� � �4�T�2Y� ��3� �.V�� �2<� μ1 �� U�2�� �fD�O� )* �� ��# �#��� �� ����& �� �>��� 99 �V��<�7�

�M� A��� �4�T�2Y�

�4�T�2Y� ��3� �� M�2<� !�� �� �� M� )�$ ��>�� R�T�2Y� N��D� )��@ �# � V #� AD �� ��2�� �� g���7I� c����� 1�>�� ��`+���� g���7I�&� �f 23C �−μ # +μ �� ���������D�#� !�� �M� ��$�� ��D�#� �`2� e1 ���� � :�*�� ���� �4�T�2Y� ��3� �� ���& )7���� 7� N6O �� ��� �� ��� [� ���� �� ��I ��2�I �� M����D�#� !�3� ��7���,� e3 # e2 ( e1 � � ���� � �/q4� !�� -�Do� ���� �����& �� )7���� !�<� M`+ ��� � �I �.V�� g���7I A����

��2� e�;��7 ��� d�$� �� ��2��,� �μ NQ� ����� ������ �� ��I ���7� �� �+� \h� ��#�7 ���� ��� �� ��2�

�μ · e1 = ±μ

mh

Page 33: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

�μ · e2 = ±μ�μ · e3 = ±μ. _101^

c������ �K� � � ��7 MV�9 � h

|n〉 =(

cos θ2sin θ

2eiφ

)_102^

# ��� ����G +�

2 ������� �>��� �V�3�9� �� �� ���� 1�>�� MV�9 !�� �# z ���� � uF�& ���$� g���7I �� �&� ciV��−�

2 ������� �V�3�9� ����

# ��� ����G +�

2 ������� �>��� �V�3�9� �� �� ���� 1�>�� MV�9 !�� �# y ���� � uF�& ���$� g���7I �� �&� ck�−�

2 ������� �V�3�9� ����

cM��D� MV�9 !��� ��7 �����%@ )���8� A��� cB

Sx, Sy, Sz. _103^

� � )* MV�9 (�$�� |n〉aMV�9 � )* t = 0 ��KoV � �&� ���2� �� ��3=� z ���� � M��] �4�T�2Y� ����� �� c�c��2� ���@ ���7 7� �<���� ���2= �� � ��7 A��� ����D� ���2� ���@ t �KoV

〈Sx(t)〉, 〈Sy(t)〉, 〈Sz(t)〉. _104^

��������K� � � |z+〉 MV�9 � m

M�� ��F�3�9� �� �� # �����D� �� (������ )7���� n = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ) ���� � � )* !�� !�S� �&����#I ��

c��� ��O ��7 MV�9 � �� )* ��<� � :�6/�� ��Z �� � � p

|ψ〉 =

⎛⎝ α

βγ

⎞⎠ . _105^

c��2� �� ���& )7���� ��$ �� i�;�� ��7 ��/3= �� �� � ���%@ )���8� )* !�� �# ��

A =

⎛⎝ 0 0 1

0 1 01 0 0

⎞⎠ _106^

mm

Page 34: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

0�� � ���& )7���� 7� �<� ��� MV�9 ���I �� M�� ��F�3�9� �� �� # �����D� �� A ���& )7���� � �� ��2� !��<� ciV����2�X"8�

cM� ��7 N $ �� ����/���� ��/3= �� ��2� [� ck

H =

⎛⎝ 1 0 2

0 1 02 0 1

⎞⎠ _107^

���2� ���@ t ���7 � � )* MV�9 (�$�� |ψ〉 MV�9 � )* t = 0 �KoV � �&�

cM���7 N $ �� m 1�+ �� ��7I )* �� B�� ���� t = 0 �KoV � � r

ψ(x, 0) = (π

α)−1/4e−αx

2/2. _108^

���#I M�� � ψ(p, 0) �2<� ��� � ��Z � B�� ���� ciV�

���#I M�� t �KoV � � ��� � # :�,�"� ��Z � B�� ����� ck

c��2� k�49 � ��7 ��� M�3� cB

〈X(t)〉, 〈X2(t)〉, ΔX(t) :=√〈X2(t)〉 − 〈X(t)〉2, 〈P (t)〉, 〈P 2(t)〉, ΔP (t) :=

√〈P 2(t)〉 − 〈P (t)〉2.

_109^

�M� �D� ��2� ���@ (−α, α) ��/;� � � )* �� � t �KoV � � 2�� ��3�9� c�

�M� �D� ��2� ���@ (− �

α ,�

α ) ��/;� � � )* ��� � t �KoV � � 2�� ��3�9� c )

���#I M�� � J(x, t) �2<� ��3�9� ����+ �V��� c#

���2� ��6<� � �0� �K� 7� � ��G v���� 1�3� �� ��2� �<

cM���7 N $ �� m 1�+ �� ��7I )* �� B�� ���� t = 0 �KoV � � |

ψ(x, 0) = (π

α)−1/4e−α(p−p0)2/2. _110^

mp

Page 35: C:DOCUMENTS AND SETTINGSVAHIDDESKTOPNEW QM …physics.sharif.edu/~vahid/teaching/QuantumMechanics/New... · 2014. 10. 4. · (1 + NQ (2 4 M ] 4 :,"8 7 I 2 MO ^ 8 4 7 , N O 0 2 Y M

���#I M�� � ψ(p, 0) �2<� :�,�"� ��Z � B�� ���� ciV�

���#I M�� t �KoV � � ��� � # :�,�"� ��Z � B�� ����� ck

c��2� k�49 � ��7 ��� M�3� cB

〈X(t)〉, 〈X2(t)〉, ΔX(t) :=√〈X2(t)〉 − 〈X(t)〉2, 〈P (t)〉, 〈P 2(t)〉, ΔP (t) :=

√〈P 2(t)〉 − 〈P (t)〉2.

_111^

�M� �D� ��2� ���@ (−α, α) ��/;� � � )* �� � t �KoV � � 2�� ��3�9� c�

�M� �D� ��2� ���@ (− �

α ,�

α ) ��/;� � � )* ��� � t �KoV � � 2�� ��3�9� c )

���#I M�� � J(x, t) �2<� ��3�9� ����+ �V��� c#

���2� ��6<� � �0� �K� 7� � ��G v���� 1�3� �� ��2� �<

mr


Recommended