歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.1 面鏡成像
顯微鏡、望遠鏡、照相機、隱形眼鏡、掃描器以
及你的眼睛,都是利用反射或折射來成像(image
)而提供現實世界的視覺呈現。
有些狀況中,光確實從像進入我們的眼睛,這樣
的像稱為實像(real image);而其它的情形則是
,光看起來有如從像位置出來,則該像稱為虛像
(virtual image)。
3
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31.1 面鏡成像
圖 31.1b 重複了成像定
位的過程,這次用的
是垂直反射的光線,
同樣的方法可以找到
箭號的底端,因此箭
頭與底端的連線即為
完整的箭號,成像結
果如圖 31.1b 所示。
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31.1 面鏡成像
在平面鏡中的像,保
有物體的高度以及垂
直向上的取向,但所
成的像與物體是相向
的。這個前後反向使
得右手的像看起來為
左手(圖 31.2)。
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31.1 面鏡成像
曲面鏡
最佳曲面鏡為拋物面,
是因所有平行拋物線軸
直線與拋物線之法線所
夾之角,與另一條連接
特定點之直線與法線所
夾的角相等,此特定點
稱焦點(focus 或 focal
point)(圖 31.3)。
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31.1 面鏡成像
由於球面的製作比較容易,所以事實上有很多聚
焦的鏡子為球面的形狀,由此而產生的輕微變形
,稱為球面像差(spherical aberration),著名的
例子為哈伯太空望遠鏡的面鏡,由於該面鏡磨成
不正確的曲面而造成了相當大的像差(圖 31.4)
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31.1 面鏡成像
正常來說,使面鏡成為整個球面中的一小部分可
以將球面像差減至最小,在此狀況下,焦距(
focal length)亦即鏡頂到焦點的距離會遠大於面
鏡的尺寸,因此大部分入射於面鏡的光線幾乎與
鏡軸平行,也只有這樣的近軸光線(paraxial ray
)才能使近似拋物面的球面具有精確的聚焦,但
為了清楚起見,所畫的面鏡圖通常會具有誇大的
曲率,因此並非所有光線都呈現近軸的情形。
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31.1 面鏡成像
隨著物體往前移動比
較靠近面鏡時,實像
逐漸變大,當物體位
於曲率中心與焦點之
間時,像比物體大並
且更為遠離面鏡(圖
31.6b)。
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31.1 面鏡成像
當來自物體的光線比焦
點還靠近面鏡時,光線
在反射後發散開來,對
觀察者而言,這兩條光
線有如從鏡後的某個點
發出,因此為虛像,在
此情形為放大正立的像
(圖31.6c)。
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31.1 面鏡成像
面鏡方程式
描繪光線圖可以對成像獲得直覺上的感受,而更
為準確的成像位置與大小則可由面鏡方程式(
mirror equation)求得,這是我們接下來要推導的
。這次將利用列於解題技巧 31.1 的特別光線 (1)
及 (3) 來找到像,圖 31.10a 呈現這兩道光線,光
線 (1) 平行於鏡軸,而光線 (3) 入射鏡心。
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31.1 面鏡成像
由於入射於鏡心的光線以對稱於鏡軸的方式反射
,因此兩個陰影的三角形相似,定義放大率(
magnification)M 為像高 h' 與物高 h 的比值,因
此放大率與像距(像與面鏡的距離)對物距(物
體與面鏡的距離)比相同,將倒立像的高度定義
為負值,因此從圖 31.10a 有
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31.1 面鏡成像
在這裡物體和像皆位於面鏡前方,因此物距 s 和
像距 s‘ 為正值,而方程式 31.1 中的負號表示此時
的情形為倒立的像。另外,從圖 31.10a 中物體的
位置也可以知道 |M| < 1,這表示像為縮小而非放
大。
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31.1 面鏡成像
圖 31.10b 只顯示光線反射後通過焦點,除此之外
其餘都與圖 31.10a 相同,圖中也標示了焦距 f,
另外將另一對相似三角形以陰影表示,從圖中可
以得到 –h'/h = (s' – f )/f,這裡也將 h' 加上負號,
因為我們已經定義倒立像之 h' 為負值,而在比較
相似三角形的邊長時要取正。
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31.1 面鏡成像
方程式 31.1 顯示比值 h'/h 為放大率 M = –s'/s,因
此有 s'/s = (s' – f )/f,或將方程式兩邊同除以 s' 並
重新整理可以得到
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31.1 面鏡成像
雖然藉由實像來推導此面鏡方程式,它也適用於
虛像的情形,但規則是像位於面鏡後方時像距 s'
要取負。另外只要將焦距取負,則方程式也可以
處理凸面鏡的情形。表 31.1 總結了面鏡成像和符
號規則。
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31.1 面鏡成像
藉由與圖 31.10 相似但描繪通過曲率中心之光線
圖,可以求得曲面鏡另一個有用的性質:焦距長
度的大小為半徑的一半:
應用題第 30 題要證明上面的結果。
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例題 31.1 凹面鏡:哈伯太空望遠鏡
在組裝哈伯望遠鏡時,一位技術人員站在望遠鏡
之凹面鏡前方 3.85 m 處(圖 31.11),已知望遠
鏡的焦距為 5.52 m,求該技術人員像的 (a) 位置,
和 (b) 放大率。
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例題 31.2 凸面鏡:侏羅紀公園
在電影侏羅紀公園中,當暴龍追逐汽車時,車內
驚嚇的乘客看著側面之後照凸面鏡,面鏡上印有
警告文字「鏡中所見物體比實際遠」。如果面鏡
的曲率半徑為 12 m,且暴龍與面鏡的實際距離為
9.0 m,求恐龍看起來的大小縮小為原來的幾倍?
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31.2 透鏡成像
透鏡(lens)是一個利用折射成像之透明材質。就
如面鏡一樣,透鏡分為凹透鏡和凸透鏡,但不同
的是,光會通過透鏡而只會在面鏡上反射,因此
兩者互為相反。
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31.2 透鏡成像
凸透鏡將平行光線會
聚於焦點(focal point
),因此為會聚透鏡
(converging lens)(
圖 31.14)
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31.2 透鏡成像
凹透鏡為發散透鏡(
diverging lens),它將
平行光線折射使得平
行光線看起來有如從
共同的焦點發散出來
。如同凸面鏡一樣,
凹透鏡只會形成虛像
(圖 31.15)。
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31.2 透鏡成像
首先來探討薄透鏡(thin lens),是指透鏡之厚度相
對於兩個表面的曲率半徑來說相當小。雖然光進入透
鏡時發生折射,出去時又再次折射,但在薄透鏡的近
似條件下,由於兩個表面相當接近,因此可以將光視
為在通過透鏡之中央平面時只經歷了一次折射。與面
鏡情況不同的是,光可以從透鏡的兩邊進入而通過,
這表示透鏡具有兩個焦點,各自位於透鏡的一邊;對
薄透鏡而言,兩邊的焦距相同,所以透鏡的取向為何
並不重要。
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31.2 透鏡成像
描繪薄透鏡的成像
圖 31.17 顯示物體相對於會聚透鏡之不同位置所描繪
的光線,在圖 31.17a 中看到物體位於兩倍焦距外時,
在透鏡另一邊產生縮小倒立實像,由於光線確實從該
像發出,因此不需要藉由透鏡就可以看見像。
當物體往透鏡移動時,像則會遠離透鏡且變大,在物
與透鏡的距離為一至兩倍焦距之間時,像移到 2f 之外
且為放大的像(圖 31.17b)。
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31.2 透鏡成像
圖 31.18 顯示發散透鏡
的光線描繪。如同凸面
鏡一樣,這個透鏡只能
產生縮小的正立虛像,
它也只能藉由透鏡才能
看見,而即使物體移動
至焦距之內也不會改變
圖 31.18 的基本幾何原
理。
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31.2 透鏡成像
這裡也是一樣,高度為負代表倒立的像。圖 31.19
中兩個陰影三角形也是相似,因此 –h'/(s' – f ) =
h/f,將方程式 31.4 代入並整理方程式可得
這個結果與面鏡方程式 31.2 相同。
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31.2 透鏡成像
圖 31.20 以曲線圖的方式描述物體在不同位置之
成像的大小與類別。
雖然以實像的情形來推導方程式 31.5,它也適用
於虛像的狀況,但需要把像距定義為負,此時像
與物位於透鏡的同一側。表 31.2 中總結透鏡成像
情形,包括相關的符號規則在內。
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例題 31.3 使用透鏡方程式:小字體
你使用焦距 21 cm 的放大鏡(會聚透鏡)在讀電
話簿(圖 31.21),則你應將透鏡放在距離頁面多
遠才會看見放大三倍的字體?
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31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
曲面折射
圖 31.22 顯示一個透明材質其折射率為 n2 且曲面的半
徑為 R,材質外部為折射率 n1 的介質。
接下來要證明圖 31.22a 中所顯示者:點物體 O 所發
射出的光線在折射後聚焦於同一個像點 I。我們的證
明只在近軸的近似條件下才成立,亦即所有的光線與
光軸之夾角為很小,而與面鏡相同的是,在我們的圖
中不一定會把這些角度畫得很小。
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31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
圖 31.22b 顯示了單一光線的折射情形,由於所有標示
的角度皆很小,因此可以取近似值 sin x ≌ tan x ≌ x,
其中 x 為弧度。
現在司乃耳定律 n1 sin θ1 = n2 sin θ2 變成 n1 θ1 = n2 θ2。
從三角形 BCI 和 OBC 有 θ2 = β – γ 以及 θ1 = α + β,所
以司乃耳定律成為 n1(α + β) = n2(β – γ)。
另外,在小角度的近似下,弧度 BA 很接近直線,因
此有 α ≌ tan α ≌ BA/s,其中 s = OA 為物體與折射面
的距離。同樣地,β ≌ BA/R 以及 γ ≌ BA/s'。
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31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
上面並沒有出現 α,這表示此物距和像距關係式
對所有滿足小角度之近似條件的光線皆成立,換
句話說,圖 31.22a 為正確:所有這樣的光線皆會
聚於同一個焦點 I。
方程式 31.6 雖然是從實像的情形所推導而來,但
如同前面所說的只要將像距取負,它也可以適用
於虛像的情況。如果把 R 取負,它也適用於凹面
的情形。甚至也可以取 R = ∞ 而應用於平面。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
例題 31.4 曲面折射:圓柱水族箱
直徑為 70.0 cm 的圓柱形水槽由塑膠薄壁所做成
,如果水槽內的魚與水槽壁的距離為 15.0 cm,對
在外面直接注視該魚的貓而言,魚的距離看起來
多遠?
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31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
厚透鏡和薄透鏡
圖 31.24 為厚度 t 以及折射率 n 的透鏡,置於 n =
1 的空氣中。物體 O1位於距離透鏡左表面為 s1 處
,該表面的成像為 I1,此像對右表面而言如同一
個物體,因此又稱為 O2,它在右表面的折射形成
第二個像 I2,要連結初始像 O1 與最終像 I2 的關係
。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
在左表面,方程式 31.6 中的物理量變成
由於 O1 的位置很接近透鏡,因此 I1 為虛像,亦
即 s‘1 為負值。
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31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
現在再將方程式 31.6 應用到右表面,此時 I1 為物
體,其物距 s2 為 t – s'1,因為 s'1 為負。另外,在
右表面有 s' = s'2,n1 = n 以及 R = R2,其中 R2 為
負,因為在此情形下,右表面凹向要成像的物體
(I1, O2),所以方程式 31.6 應用在右表面為
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31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
接下來令透鏡為無限薄以至於 t → 0,然後再將兩
方程式相加,則居於中間成像的項 n/s'1 消去,只
剩下第一個物距以及最後的像距,將下標 1 和 2
去除而得到
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
此方程式的左邊與方程式 31.5 的右邊相同,而方
程式 31.5 的右邊為 1/f,因此令兩方程式的右邊相
等而得到焦距,這就是造鏡者公式(lensmaker's
formula):
這裡仍然與前面相同,亦即半徑可以為正或負。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
對圖 31.24 而言,R1 為正,因為左表面凸向物體,而
R2 為負,因為右表面凹向物體,它也是中間像 I1。雖
然利用中間像為虛像的情形推導方程式 31.7,但對薄
透鏡焦距而言,造鏡者公式為一般性的結果。
透鏡具有各式各樣的形狀(圖 31.25),中間較厚者
為會聚透鏡,此時從方程式 31.7 可以得到正的焦距,
而中間較薄者為發散透鏡,則其焦距 f 為負。但如果
圍繞透鏡之介質的折射率大於透鏡,則這兩個結果會
反過來。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
例題 31.5 造鏡者公式:平凸透鏡
求圖 31.25 中平凸透鏡之焦距的關係式,已知其
折射率為 n,曲面的半徑為 R。
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31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
透鏡像差
透鏡展現了好幾個光
學缺陷。先前在面鏡
時已提過了球面像差
(spherical aberration
),這個相同的缺陷
在球面透鏡(圖
31.26a)也存在。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
如果只利用透鏡的中
央部分,則可以消除
具有較大角度的光線
(圖 31.26b),而得
到較清晰的聚焦。
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560
歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.3 透鏡內部之折射:細節的部分
色像差(chromatic aberration)是因為折射率隨波
長而改變,導致不同顏色的光在不同點聚焦。高
品質的光學系統利用複合透鏡來將此效應降至最
小,此複合透鏡由具有不同折射率的材質所構成
。另外當透鏡在不同方向具有不同的曲率半徑時
,則形成像散(astigmatism),這是人眼常見的
缺陷(譯註:俗稱散光),可以用具有補償不對
稱曲度的眼鏡或隱形眼鏡進行矯正。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
近視的人其眼睛在視網
膜的前方成像,這使得
遠方的物體看起來模糊
(圖 31.28a),使用發
散的矯正透鏡可以產生
較近的中間像,因而使
近視眼睛可以聚焦(圖
31.28b)。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
對遠視的人而言,近物
在視網膜的後方成像,
會聚矯正透鏡可以改善
此狀況(圖 31.29)。即
使正常的眼睛,也無法
對於比所謂近點(near
point)還近許多之物體
聚焦,這個距離約 25
cm。
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560
歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
處方上所開之矯正透鏡以折光度(diopter)指定
矯正率 P,折光度定義為焦距(以公尺為單位)
的倒數,因此折光度為 1 的透鏡其焦距為 f = 1 m
,而折光度為 2 則是 f = 0.5 m,後者使光線彎折
的程度較大因此矯正的效果也較大。就如同焦距 f
之正負號所代表的透鏡類別,矯正率為正或負的
透鏡分別代表會聚鏡片或發散鏡片(譯註:將折
光度乘以 100 即為我們所說的鏡片度數)。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
觀念題 31.1 弄亂的隱形眼鏡
你和你室友的拋棄式隱形眼鏡盒混在一起,其中
一盒標示「–1.75 折光度」, 而另一盒為「+2.5
折光度」,你為遠視,你室友為近視,則哪一盒
隱形眼鏡是你的?
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
例題 31.6 鏡片的矯正率:眼鏡遺失!
在渡假時你遺失了閱讀眼鏡,沒有它你的眼睛無
法對 70 cm 內的物體聚焦,還好你可以在藥房買
到非處方的眼鏡,所販賣的眼鏡度數以 0.25 折光
度的倍數增加,那你應該買什麼樣的眼鏡才能看
清楚標準為 25 cm 的近點?
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31.4 光學儀器
照相機
相機與眼睛非常類似,差別只是電子偵測器或底片取
代了光感應視網膜。相對於眼睛改變水晶體的形狀以
因應不同的物距,相機則是移動其剛硬的透鏡來改變
像距。簡單的「傻瓜相機」利用紅外線光束來測定物
距,接著再自動調整鏡頭的位置以得到最佳的聚焦。
相機也依周遭的光照條件來調整透鏡的孔鏡與曝光時
間。放大鏡頭則利用可動元件來改變焦距,以得到廣
角以及遠距離的視野。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
放大鏡和顯微鏡
檢視非常小的物體時,需要將它們移到人眼無法聚焦
之 25 cm 近點以內的位置,然後再利用透鏡使它放大
而位於我們可以聚焦之較遠的距離。物體真實像的大
小並不重要,重要的是物體看起來有多大,而這取決
於它佔據了我們多少視野。角放大率(angular
magnification)m,為透過透鏡觀看物體之對角與肉眼
觀看位於 25 cm 近點之對角的比值。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
當眼睛接近透鏡且物
體恰好位於焦距內時
我們看起來最舒適,
此時會在遠處形成一
個放大的虛像,圖
31.30b 顯示出此像角
非常接近 h/f 。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
單一透鏡在像差不影響成像品質前,可以產生大
約四倍的角放大率,要獲得更大的放大率需要利
用一個以上的透鏡。在複顯微鏡(compound
microscope)中,具有較短焦距的物鏡(objective
lens)先形成放大的實像,此像再透過第二個透鏡
也就是目鏡(eyepiece)來觀看,目鏡的功能即為
簡單的放大鏡(圖 31.31)
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
此顯微鏡的安排為所要觀看之物體恰好位於物鏡
的焦點外,而且其所形成的像恰好落在目鏡的焦
距內,如果兩個透鏡的焦距相較於透鏡間的距離
為很小,則物鏡的物距大約為物鏡的焦距 f0,且
最後的像距大約為兩透鏡的間隔 L。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
物鏡所成之實像比物體大,其放大倍率為像距和
物距的比值即 M0 = –L/f0,目鏡會使實像看起來更
大,放大率則是角放大率 m = 25 cm/fe,因此顯微
鏡的總放大率為
符號規則與前面相同,負號表示倒立的像。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
望遠鏡
望遠鏡收集遠方物體的光線,它可能用來成像或
將光傳送到儀器做分析。現代的天文儀器為不可
調整的反射望遠鏡(reflector),它利用面鏡作為
收集光的主要元件。小型手持的望遠鏡、雙筒望
遠鏡、攝遠鏡頭都是折射望遠鏡(refractor),它
們是利用透鏡來收集光線。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
簡單的折射望遠鏡由物鏡和目鏡所組成,物鏡將
遠物成像於焦點上,再以目鏡觀看該像(圖 31.32
)。由於物鏡與目鏡的焦點幾乎重合,因此在物
鏡焦點上的實像再透過目鏡來觀察時會形成放大
很多的虛像。角放大率為最後成像的對角 β 與實
際物體的對角 α 的比值,圖 31.32 顯示的比值為
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
由於實像為倒立而虛像為正立,因此雙透鏡折射
望遠鏡會得到倒立的像,這對天文工作而言並沒
問題,但在地球上使用的望遠鏡會設計一個額外
的透鏡,它可以為發散目鏡或一組反射稜鏡,以
產生正立的像。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
反射望遠鏡比折射望遠鏡具更多的優點。由於面
鏡前表面具有反射鍍膜,因此光不會通過玻璃因
而消除了色像差,另外就是面鏡的整個背表面被
支撐起來,不像透鏡只能由邊緣固定,因此反射
望遠鏡可以相當大。最大的折射望遠鏡具有直徑
1 m 的透鏡,而大型反射望遠鏡可以達到 10m。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
更大的望遠鏡在進行中
,包括將建在智利的 24
m 巨型麥哲倫望遠鏡(
Giant Magellan Telescope
),計劃興建在夏威夷
毛納基山頂的 30 m 望遠
鏡(Thirty Meter
Telescope,圖 31.33)。
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歐亞書局 第 31 章 像與光學儀器 P.
31.4 光學儀器
望遠鏡更常被用來作為「光桶」,也就是用來收
集遙遠光源,但由於太過於微弱,即使今日的大
型光學望遠鏡也難以成像。因此要使用副鏡將光
線傳送至某焦點,以便讓固定在望遠鏡之儀器方
便做分析。另外還有用光纖來將主鏡所收集到的
光線傳送至固定的儀器。圖 31.34 顯示反射望遠
鏡常見的三種設計。
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