Ch1_Equations.pdf

7/21/2019 Ch1_Equations.pdf

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LeLeççonon 22

EquationsEquations etet principesprincipes

fondamentauxfondamentauxMaster MFE 2008/2009Master MFE 2008/2009



DescriptionDescription desdes éécoulementscoulements DeuxDeux approchesapproches possiblespossibles

Approche Approche lagrangiennelagrangienne Approche Approche euleuléériennerienne



Approche Approche lagrangiennelagrangienne IdentificationIdentification dede chaquechaque particuleparticule (e.g. par la position de son(e.g. par la position de son centrecentre dede

massemasse àà unun instantinstant donndonnéé))

EtudeEtude desdes variationvariation desdes propripropriééttééss de lade la particuleparticule le long de sale long de sa trajectoiretrajectoire

A A propripropriééttéé quelconquequelconque

ExemplesExemples:: vitessevitesse,, accaccéélléérationration

( ) ( ) 0; 0t = =r r r r

( ) ( )0

0 0

cos

, ,t

dA A A A t t

dt t =

∂ = ⇒ =

∂ r

r r

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, , , ,

d d

t t t t dt dt = = = =

r u

u u r r a a r r



Approche Approche euleuléériennerienne

IdentificationIdentification dd’ ’ unun pointpoint fixefixe de lde l’ ’ espaceespace

EtudeEtude desdes variationvariation desdes propripropriééttééss de lde l’ ’ éécoulementscoulements en ceen ce pointpoint ((=propri=propriééttééss

desdes particulesparticules qui, enqui, en diversdivers instantinstant vontvont occuperoccuper cece pointpoint))

A l A l’ ’ instantinstant t t , le, le vecteurvecteur rr coincidecoincide avecavec lele vecteurvecteur position de laposition de la particuleparticule quiqui

occupeoccupe lele pointpoint considconsidéérréé::rr==rr(t),(t), rr(0)=(0)= rr00

Formule deFormule de changementchangement dede reprepèèrere euleuléérienrien / /lagrangienlagrangien

DA/DA/DtDt == derivderivééee particulaireparticulaire ouou substantiellesubstantielle ouou matmatéériellerielle

ExempleExemple:: accaccéélléérationration

( ), A A A A

A A t dA dt dx dy dzt x y z

∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = + + +

∂ ∂ ∂ ∂r

Du v w

Dt t x y z t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + + + = + ⋅∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u u u u u ua a u u

( )0 ,

dA DA A A dx A dy A dz A A A A

t u v wdt Dt t x dt y dt z dt t x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + + + = + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂r



DDéérivrivééee matmatéériellerielle Variation Variation de Ade A suivantsuivant lele mouvementmouvement dd’ ’ uneune particuleparticule::

TermineTermine locallocal:: variationvariation de A en unde A en un pointpoint donndonnéé auau courscours dudu tempstemps

TermineTermine convectif convectif :: variationvariation duedue auau ddééplacementplacement dede particulesparticules fluidesfluides

dd’ ’ unun pointpoint àà ll’ ’ autreautre

EcoulementEcoulement stationnairesstationnaires ((ouou permanentspermanents):):

LeLe propripropriééttééss de lde l’ ’ éécoulementcoulement sontsont indindéépendantespendantes dudu tempstemps

terme locale termine convectif

i

i

DA A A u Dt t x

∂ ∂= +∂ ∂

0 A

t

∂=∂



Vitesse Vitesse etet accaccéélléérationration

Approche Approche lagrangiennelagrangienne::

Vitesse Vitesse etet accaccéélléérationration dd’ ’ uneune particuleparticule donndonnééee

Approche Approche euleuléériennerienne::

Vitesse Vitesse etet accaccéélléérationration en unen un pointpoint donndonnéé

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0( ) , , ( ) , ,d d

t t t t t t dt dt

= = = =r u

u u r r a a r r

( ) ( ) ( )0, , ,d

t t t dt t

∂= = + ⋅∇

∂

r uu r r a r u u



DescriptionDescription dudu champchamp dede vitessevitesse TrajectoireTrajectoire::

LieuLieu desdes pointspoints occupoccupééss par unepar une particuleparticule auau courscours dudu tempstemps NotionNotion lagrangiennelagrangienne

EquationEquation dd’ ’ uneune trajectoiretrajectoire

vv vitessevitesse de lade la particuleparticule,, rr vecteurvecteur positionposition

( )( ),d

t t dt

=r

v r



DescriptionDescription dudu champchamp dede vitessevitesse LignesLignes dede courantcourant::

LigneLigne tangentetangente en touten tout pointpoint auau vecteurvecteur vitessevitesse àà ununinstantinstant donndonnéé

DDéépendpend dudu tempstemps

NotionNotion euleuléériennerienne EquationEquation desdes ligneslignes dede courantcourant::

ConditionCondition dede parallparalléélismelisme vitessevitesse / /éélléémentment dede courbecourbe

( ) ( ) ( ), , ,

dx dy dz

u t v t w t = =

r r r



DescriptionDescription dudu champchamp dede vitessevitesse LigneLigne dede fumfumééee ( ( streakline streakline ): ):

LieuLieu desdes pointspoints occupoccupééss àà unun instantinstant donndonnéé parpar desdes particulesparticules qui,qui, àà unun instantinstant

prprééccéédentdent,, occupaientoccupaient une positionune position communecommune DefinitionDefinition expexpéérimentalerimentale

EcoulementEcoulement stationnairestationnaire:: trajectoire=lignetrajectoire=ligne dede courant=streaklinecourant=streakline



GradientGradient dede vitessevitesse ParticuleParticule fluide defluide de centrecentre GG

DDééplacementplacement de G en un intervallede G en un intervalle ∆∆tt

Vitesse Vitesse dd’ ’ unun autreautre pointpoint P de laP de la particuleparticule

' GGG t = ∆u

2

...2!

i j

G i

i i jG G

x x

x x x x

∂ ∂

= + + + ∂ ∂ ∂

u u

u u

( )G G

=

+ ∇u u x



GradientGradient dede vitessevitesse GradientGradient dede vitessevitesse

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 (tenseur taux de déformation)

2

1 (tenseur taux de rotation)2

t

t

sym skw

sym

skw

∇ = ∇ + ∇

∇ = ∇ + ∇ =

∇ = ∇ − ∇ =

v v v

v u v E

v u v Ω



Volumes Volumes matmatéérielsriels etet volumesvolumes dede

contrcontrôôlele Volume Volume matmatéériel=Ensembleriel=Ensemble dede pointspoints matmatéérielsriels enen mouvementmouvement sese ddééplaplaççantant

àà uneune vitessevitesse macroscopiquemacroscopique v(x,t) (v(x,t) (pointpoint dede vuevue LagrangienLagrangien))

Volume di Volume di contrcontrôôle=Ensemblele=Ensemble dede pointpoint de lde l’ ’ espaceespace donndonnééss ((pointpoint dede vuevueEulEuléérienrien))

SemblablementSemblablement, on, on peutpeut ddééfinirfinir desdes surfacessurfaces matmatéériellesrielles etet dede contrcontrôleôle

EvolutionEvolution temporelletemporelle dd’ ’ un volumeun volume matmatéériellerielle (en cyan) et position fixe d(en cyan) et position fixe d’ ’ un volume deun volume de contrcontrôleôle



GrandeursGrandeurs intensivesintensives etet extensivesextensives Grandeur intensive: neGrandeur intensive: ne ddéépendpend paspas dudu volumevolume ouou masse de fluidemasse de fluide considconsidéérréé

((exemplesexemples:: pressionpression,, densitdensitéé, temp, tempéérature, enrature, enéérgiargia spspéécifiquecifique……))

GrandeurGrandeur extensiveextensive:: ddéépendpend dudu volume (volume (etet doncdonc masse) de fluidemasse) de fluideconsidconsidéérréé

((exempleexemple: masse,: masse, quantitquantitéé dede mouvementmouvement,,……))

SoitSoit b una grandeurb una grandeur intensiveintensive. La grandeur. La grandeur extensiveextensive correspondantecorrespondante,,

relativerelative àà un volume de fluideun volume de fluide V V est:est:

V B b dV ρ = ∫



LoisLois dede conservationconservation Volume Volume matmatéérielriel ((contientcontient toujourstoujours lesles mmêêmesmes particulesparticules):):

Conservation de la masse (Conservation de la masse (systsystèèmeme fermferméé))

( )0

V dt

dM d dV

dt dt ρ = =∫

M=cte

V(t)

Q(t)

V(t)

U(t)

V(t)Forces devolume

Forces desurface

Travail forces devolume

Travail forces desurface

Transfertsde chaleur



LoisLois dede conservationconservation Volume de Volume de contrcontrôôlele ((fenfenêêtretre dd’ ’ observationobservation):):

Causes de variationCauses de variation dd’ ’ uneune grandeur extensivegrandeur extensive B B dansdans V V00

( )

0

0 00

0

(pour un volume fixe)

(transport de à travers )

production de dans +causes diverses (dépendant de la nature de )

V

V S

dB d bdV dt dt

bdV b dS b S

t

b V b

ρ

ρ ρ

= =

∂= = − ⋅

∂

+

∫

∫ ∫ v n

Production(réactions chimiques,injection/suction demasse, irradiation dechaleur)

V0

Particules fluidesentrant/sortant de V0

Causes diverses



ThThééororèèmeme dudu transporttransport ouou dede

ReynoldsReynolds PermetPermet dd’ ’ exprimerexprimer lesles variationsvariations enen tempstemps dd’ ’ une grandeurune grandeur extensiveextensive

associassociééee àà un volumeun volume matmatéérielriel parpar rapportrapport àà un volume deun volume de contrcontrôleôle qui,qui, àà

ll’ ’ instantinstant considconsidéérréé, coincide, coincide avecavec ce volumece volume matmatéérielrielchangementchangement dede reprepèèrere lagrangienlagrangien / /euleuléérienrien

DDéémonstrationmonstration àà partir de lapartir de la ddééfinitionfinition dede ddéérivrivééee

( )0 0( )V t V S

bdB d b dV dV b dS dt dt t

ρ ρ ρ

∂= = + ⋅

∂∫ ∫ ∫ v n

( ) ( )

0lim

V t t V t

t

b dV b dV dB

dt t

ρ ρ +∆

∆ →

−=

∆

∫ ∫



Pour un volumePour un volume matmatéérielriel V(t): V(t):

Pour un volume dePour un volume de contrcontrôôlele::

On passe de lOn passe de l’ ’ uneune àà ll’ ’ autreautre par lepar le ththééororèèmeme dudu transporttransport::

ConservationConservation de la massede la masse

( )0

V dt dM d dV dt dt

ρ = =∫

0 0V S dV dS

t ρ ρ ∂ = − ⋅∂∫ ∫ v n

( ) 0 0

Th. transport

V dt V S

d dV dV dS

dt t

ρ ρ ρ

∂= + ⋅

∂∫ ∫ ∫ v n



EnEn utilisantutilisant lele ththééororèèmeme de lade la divergencedivergence……

Lemme deLemme de localisationlocalisation (la relation pr(la relation prééccéédentedente doitdoit valoirvaloir pour tout volumepour tout volume

V V00):):

FORME DIFFERENTIELLE CONSERVATIVEFORME DIFFERENTIELLE CONSERVATIVE

DDééveloppantveloppant lesles ddéérivrivééeses::

FORME DIFFERENTIELLE LAGRANGIENNEFORME DIFFERENTIELLE LAGRANGIENNE

ConservationConservation de la massede la masse

( )0 0 0

0V S V

dV dS dV t t

ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ + ⋅ = + ∇ ⋅ = ∂ ∂ ∫ ∫ ∫v n v

( ) 0t

ρ ρ

∂+ ∇ ⋅ =

∂v

D

Dt

ρ ρ = − ∇ ⋅ v



SignificationSignification physiquephysique dede ∇⋅∇⋅vv ElEléémentment parallparalléélléépippipèèdede de fluidede fluide soumissoumis àà uneune ddééformationformation purepure

Volume Volume initialinitial::

Volume Volume apraprèèss lala ddééformationformation

Variation Variation relative de volumerelative de volume dansdans ll’ ’ unitunitéé dede tempstemps

V xyz=

( )

'

1 1 1 1 . . .

u v wV x x t y y t z z t x y z

u v wV t t t V t T O S

x y z

∂ ∂ ∂ = + ∆ + ∆ + ∆ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + ∆ + ∆ + ∆ = + ∇ ⋅ ∆ +

∂ ∂ ∂

u

0

1 1 'lim

t

dV V V

V dt V t ∆ →

−= = ∇ ⋅

∆

u





EnEn utilisantutilisant lele ththééororèèmeme de lade la divergencedivergence……

+ le lemme de+ le lemme de localisationlocalisation……


DDééveloppantveloppant lesles ddéérivrivééeses etet utilisantutilisant lala conservationconservation de la masse:de la masse:

FORME DIFFERENTIELLEFORME DIFFERENTIELLE LAGRANGIENNELAGRANGIENNE--LoiLoi de Newton!de Newton!

ConservationConservation de lade la quantitquantitéé dede

mouvementmouvement

( ) ( ) [ ]0 0V V

dV dV t

ρ ρ ρ

∂ + ∇ ⋅ = + ∇ ⋅ ∂ ∫ ∫

vvv f T

( ) ( )t

ρ ρ ρ ∂ + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∂

v vv T f

D

Dt ρ ρ = ∇ ⋅ +

vT f



Pour lPour l’ ’ ééquilibrequilibre àà la rotation dla rotation d’ ’ unun éélléémentment fluidefluide……..

TT tenseurtenseur symsyméétriquetrique

CommeComme touttout tenseurtenseur,, TT peutpeut sese ddéécomposercomposer en uneen une partiepartie isotropeisotrope etet enen

uneune partiepartie ddééviateurviateur

p p coincidecoincide avecavec lala pressionpression thermodynamiquethermodynamique soussous certainescertaines conditionsconditions

TenseurTenseur desdes contraintescontraintes TT

( ) ( )

( )

ou, par définition

1pression mécanique=-3

sph dev p

p tr

= + = − +

=

T T T I τ

T



UtilisantUtilisant lala ddéécompositioncomposition prprééccéédente, ondente, on obtientobtient

FORME INTEGRALE LAGRANGIENNEFORME INTEGRALE LAGRANGIENNE

FORME INTEGRALE EULERIENNEFORME INTEGRALE EULERIENNE


FORME DIFFERENTIELLEFORME DIFFERENTIELLE LAGRANGIENNELAGRANGIENNE--LoiLoi de Newton!de Newton!

ConservationConservation de lade la quantitquantitéé dede

mouvementmouvement

( ) ( ) ( ) ( )forces de pression forces visqueuses forces de volumevariation de q. mvt

V t S t S t V t

d

dV p dS dS dV dt ρ ρ = − + ⋅ +∫ ∫ ∫ ∫v n τ n f

( ) ( ) pt

ρ ρ ρ

∂+ ∇ ⋅ = −∇ + ∇ ⋅ +

∂

vvv τ f

D p

Dt ρ = −∇ + ∇ ⋅ +

vτ f

( )0 0 0 0 0

flux de q. mvt forces de pression forces visqueuses forces de volumevariation locale de q. mvt

V S S S V dV dS p dS dS dV t

ρ ρ ρ

∂= − ⋅ − + ⋅ +∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫

vvv n n τ n f



Pour un volumePour un volume matmatéérielriel V(t): V(t):

Pour un volume dePour un volume de contrcontrôôlele::

E=E= éénergie totalenergie totale spspéécifiquecifique

e e ==éénergienergie interneinterne spspéécifiquecifique

qq=flux de=flux de chaleurchaleur (puissance(puissance thermiquethermique ééchangchangééee àà ll’ ’ unitunitéé de surface)de surface)

ConservationConservation de lde l’é’énergienergie

( ) ( )Puissance forces de surface Puissance forces de volume

Chaleur échangée

.S V V dt S t

dU d E dV dS dt dt

ρ = = ⋅ + ⋅ −∑ ∑∫ ∫F v F v q n

21| |

2 E e= + v

( )0 0 0Puissance forces de surface Puissance forces de volume

Chaleur échangée

.S V

V S S

E dV E dS t

ρ ρ ∂ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ −∂ ∑ ∑∫ ∫ ∫v n F v F v q n



ThThééororèèmeme de lade la divergencedivergence……

+ le lemme de+ le lemme de localisationlocalisation……


DDééveloppantveloppant lesles ddéérivrivééeses etet utilisantutilisant lala conservationconservation de la masse:de la masse:

FORME DIFFERENTIELLE LAGRANGIENNEFORME DIFFERENTIELLE LAGRANGIENNE

ConservationConservation de lde l’ ’ energieenergie

( ) ( ) ( ) ( )0 0V V

E E dV p dV t

ρ ρ ρ ∂

+ ∇ ⋅ = ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ − ∇ ⋅ ∂ ∫ ∫v f v v τ v q

( ) ( ) ( ) ( ) E E pt

ρ ρ ρ ∂ + ∇ ⋅ = ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ − ∇ ⋅∂

v f v v τ v q

( ) ( ) DE

p Dt

ρ ρ = ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ − ∇ ⋅f v v τ v q



SystSystèèmeme de 5de 5 ééquationsquations scalairesscalaires en 5+1+6+3=15en 5+1+6+3=15 inconnuesinconnues!!!!!!

BesoinBesoin dd’ ’ uneune loiloi dd’ ’ éétattat, e.g., e.g.

LoiLoi dede comportementcomportement pourpour ττττττττ

PourPour lesles fluidesfluides NewtoniensNewtoniens

Avec Avec ll’ ’ hypothhypothèèsese dede StokesStokes::

LoiLoi dede comportementcomportement pourpour qq LoiLoi de Fourierde Fourier

LoisLois dede variationvariation pour lapour la viscositviscositéé etet lala conductivitconductivitéé thermiquethermique µµ etet κ κ

BesoinBesoin dede loislois dede comportementcomportement

( )

( ) ( )

, (disponible pour des fluides "simples", e.g. gaz parfaits)

ou

, (loi d'état thermique); , (loi d'état calorique)

p p e

p p T e e T

ρ

ρ ρ

=

= =

( ) ( )T µ λ = ∇ + ∇ + ∇ ⋅τ v v v I

2

3λ µ = −

T κ = − ∇q



ConditionCondition dd’ ’ adhadhéérencerence

LL’ ’ expexpéériencerience montremontre queque,, avecavec uneune trtrèèss bonnebonne approximationapproximation, la, la vitessevitesse relativerelative

desdes particulesparticules fluidesfluides parpar rapportrapport àà desdes paroisparois solidessolides ouou àà unun autreautre fluide nonfluide nonmisciblemiscible est nulleest nulle

ConditionCondition sursur la templa tempéératurerature

EcoulementEcoulement ididééalal (non(non visqueuxvisqueux))

ConditionCondition dede glissementglissement

ParoiParoi adiabatiqueadiabatique

ConditionsConditions auxaux limiteslimites

0w− =v v

0wT T − =

( ) 0w− ⋅ =v v n

( ) 0w =q

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