CHAPITRE 04
OPTIMISATION DES MATERIAUX COMPOSITES TRIDIMENSIONNELS
I– INTRODUCTION 75
II – ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 75
III – OPTIMISATION DES COMPOSITES TRIDIMENSIONNELS 78
IV – APPLICATION SUR LE TISSAGE ORTHOGONAL 3D 83
V – APPLICATION SUR LE TISSAGE INTERLOCK 2.5D 89
VI – CONCLUSION ET PERSPECTIVES 98
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I - INTRODUCTION Dans l'optimisation des matériaux composites, beaucoup de variables doivent être intégrées tels que la
microstructure interne, le procédé de fabrication, le régime thermique de traitement, etc. Afin de trouver la bonne solution, l'objectif de l’optimisation ainsi que les conditions initiales doivent être clairement formulés. Le problème est généralement résolu sur des modèles approximatifs de comportement, les résultats du procédé d'optimisation dépendent ainsi largement des approximations admises par ces modèles. Dans cet esprit, l'optimisation ne peut pas remplacer entièrement la conception expérimentale parce qu'elle ne peut pas couvrir tous les aspects ou les conditions. Cependant elle peut être utile particulièrement dans la conception des composites à ″design″ complexe où un grand nombre de paramètres rentre en jeu. L’examen de la bibliographie montre l’importance de l'optimisation dans la conception des matériaux composites.
Dans ce chapitre, on parcoura : les études bibliographiques groupant les différentes méthodes d'optimisation avec leurs objectifs, existant dans la littérature et proposées sur les matériaux composites, puis la présentation de la formulation du problème d'optimisation en appliquant un modèle analytique d'homogénéisation. L'examen de la méthode d'optimisation est réalisé sur des matériaux différents avec tissage tridimensionnel: interlock 2.5D et orthogonal 3D.
Un des objectifs finaux de cette étude, est de pouvoir concevoir un logiciel de prédiction du type et mode de tissage résistant sous une sollicitation donnée. Ce logiciel sera un moyen indispensable pour les fabricants, les concepteurs et les industriels, travaillant dans le domaine des matériaux composites.
II - ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
L'utilisation des composites dans les structures industrielles fortement sollicitées (domaine de l’aéronautique par exemple) est en évolution permanente. Au début, l'importance de cette tendance était dans la diminution en poids du composite par rapport à ceux des métaux. De ce fait, les études d'optimisation se sont orientées vers le compromis Design/Poids. Plus tard, on a observé la naissance du compromis Design/coût. Le but principal de l'approche du coût est de réaliser une réduction en coût total durant le cycle de vie d'une structure. Une manière de réaliser la réduction des coûts est de développer de nouvelles matières composites avec de nouveaux concepts de fabrication. Parmi les nouvelles techniques de fabrication, on cite le procédé GMT (Glass reinforced Matrix Thermoplastique, une technique à pression froide utilisée avec des nouvelles matrices thermoplastiques) et le procédé RTM [Nardari et al. 2002], [Avril et al. 2000].
A - LE COMPROMIS DESIGN/POIDS
Particulièrement appliqué dans les industries aérospatiales, l'optimisation de conception a été concentrée à réduire le poids au minimum pour ''voler plus rapidement''. [Thuis, 1997], dans leurs études sur un organe de couplage (stratifié) utilisée dans le domaine industriel aérospatial fabriquée avec le procédé RTM, ont montré qu'une réduction de poids de 43% est atteinte avec l'utilisation de matériaux composite à fibre de carbone (soit en GF420 2.5D fibres symétriques orientées à ±45°/pli ou en GU 230 Unidirectionnel fibres orientées à 0° ou 90°) par rapport à une plaque en aluminium. Des études expérimentales (essais de traction et de compression) ont aussi été réalisé sur des organes fabriqués en matériaux composites et en aluminium. En terme de résistance, Il en résulte qu'un gain en résistance de 1,38 pour les composites avant d’atteindre la rupture. Dans cette méthode d'optimisation, le critère de Tsai-Hill est adopté pour la recherche de la contrainte de rupture sur chaque élément d’un maillage type éléments finis.
B - LE COMPROMIS DESIGN/COUT
La concurrence commerciale a poussé les industriels à développer de nouvelles conceptions tout en s'orientant vers l'objectif de réduire le coût [Kassapoglou, 1998] et aussi le délai de livraison. [Baeten, 1999] ont travaillé sur le compromis Design/coût pour les composites à matrice thermoplastique fabriqués par le procédé GMT à pression froide. Les variables décisives étant: la pression, le temps d'injection, la température du moule durant l'injection et le temps du préchauffage du moule. L'étude comparative avec d'autres procédés de fabrications de préforme mono-axial hybride comme le GF/PP avec chaîne tricoté et le PET à mèches liées, a mis en relief l'intérêt du procédé GMT.
Toujours avec le compromis Design/coût, [Barlow et al. 2002] ont étudié l'optimisation en coût de fabrication des ailes d'avion à travers deux procédés d'injection considérés: VARTM (Vaccum-assisted Resin Transfert Moulding) et le RTM (Resin transfert moulding). La solution optimale recherchée se déduit du
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temps indispensable pour exécuter les différentes étapes de chacun des processus de fabrication. Il en résulte de cette étude qu'une minimisation de coût de l'ordre de 10% est obtenue par le procédé RTM en dépit du procédé VARTM. Pour les procédés d'injection utilisant des matrices thermoplastiques avec viscosités élevées, il y apparition d'espaces vides non remplis de résine. Pour réaliser la diminution du coût de cette technique, [Zingraff et al. (2005)] propose un procédé de fabrication APLC12 (Anionically Polymerised with Liquid activator and Catalyst system Lactam 12 monomer) diminuant ainsi la viscosité et la pression de la résine à l'intérieur du moule. L'étude est appliquée sur des tissus satin 2D à fibre de carbone, le pourcentage de vide atteint 15% avec le procédé LCM (Liquid Composite Moulding) et il est réduit à 1% avec le procédé APLC12.
Plusieurs recherches proposent des études d'optimisation avec un compromis couplé entre le coût et le poids. [Kassapoglou, 1998] a appliqué le modèle Pareto qui n'est autre qu'une méthode déterministe standard pénalisée. Inspiré par le modèle de Pareto, [Wang et al. 2002] ont développé une procédure pour l'optimisation simultanée du coût et du poids en introduisant une fonction «objectif» représentée par le rapport ΔCoût/ΔPoids permettant de rechercher le résultat optimal. L'application de leur procédure est effectuée numériquement sur les ailes des avions.
C - LE COMPROMIS DESIGN/PERFORMANCE
Dans le souci d'augmenter la résistance des matériaux composites, [Duvaut et al, 2001] ont minimisé numériquement une fonction objectif développée à partir des formulations variationnelles en déplacement et en contrainte. Le problème intégrait des inégalités en terme des contraintes et de souplesse. Cette proposition d'optimisation des structures composites est reprise par [Duvaut et al. 2001] en introduisant les variables: orientation de fibre et le taux de renfort. L'algorithme numérique ainsi développé est appliqué sur des panneaux stratifiés composites, dans lequel la contrainte est représentée par une sollicitation donnée alors que la rigidité du composite (ou matrice de souplesse) est calculée par la modélisation de plaque de type Kirchhoff-Love. Il en résulte un composite multicouche à taux minimum de renfort.
Depuis les années quatre vingt, les cylindres à parois minces ont fait l'objet de plusieurs études d'optimisation vu leur large utilisation dans l'aérospatial. Pour les cylindres longs à parois minces, le flambement maximum dû au comportement endommageable est étudié par [Smerdov, 2000]. La même optimisation est aussi étudiée aussi par [Diaconu et al. 2002] sur un stratifié en forme de cylindre long à parois mince sous chargement couplé de compression axiale et de torsion. La fonction objective était fonction de 12 paramètres variables dont l'épaisseur, la longueur, le rayon moyen et l'orientation des fibres.
D - LE COMPROMIS DESIGN/COUT/PERFORMANCE
Récemment, le compromis «Design/coût/performance» représente le meilleur compromis pour l'étude d'optimisation sur les matériaux composites. Généralement plusieurs paramètres structuraux sont fortement couplés avec les paramètres du processus du design et de la mise en œuvre [Nardari et al. 2002]. Dans cet objectif, [Park et al. 2003 et 2004] ont réalisé une étude d'optimisation avec une fonction objective proposant de maximiser les performances et minimiser le temps d'injection. L'étude est appliquée sur un composite stratifié fabriqué selon le procédé RTM. La résolution du problème mathématique est déterminée numériquement à l'aide d'un programme d'éléments finis. La méthode utilise un maillage éléments finis type quadratique et propose de maximiser le déplacement nodal de chaque élément, sous un cas de chargement. Par contre, minimiser le poids du composite est décrit par une fonction reliant le poids de chaque pli du stratifié avec l'épaisseur de la plaque et l'orientation des fibres dans chaque pli. Le coût de fabrication est introduit par le nombre de point d'injection de la résine ainsi que leurs emplacements dans le moule. Un algorithme génétique est utilisé pour trouver la meilleure solution optimale de ce couplage. Les contraintes limites du composite sont déterminées en fonction des propriétés mécaniques à partir des formules de Halpin-Tsai et la rupture du composite est considérée lorsque un pli du stratifié ne vérifie plus le critère de Tsai-Wu. Les résultats sont comparés avec ceux obtenus par des études d'optimisation sur les deux procédés séparément, Design/performance et Design/coût sous les mêmes conditions. Il en sort l'intérêt du couplage design/coût/performance.
[Hsiao, 2004], [Hsiao et al. 2005] ont réalisé des études avec l'objectif d'optimiser et de contrôler le cycle de traitement du procédé LCM (Liquid Composite Molding). Leur procédure présente un couplage d'objectifs: 1-minimiser l'effort de la contrainte résiduelle induit par la conversion non uniforme de la température et de la résine pendant le processus exothermique de traitement. 2-minimiser la dégradation thermique à travers un contrôle de la température du composite durant le traitement. 3-minimiser le temps d'achèvement du cycle de traitement. Le modèle numérique utilisé dans cette étude est inspiré par les études
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de [Liu et al. 1996], [Gokce et al. 2002], [Lawrence et al. 2002] et [Pantelelis, 2003]. Un algorithme génétique est choisi pour gérer la recherche de la solution optimale. Les résultats sont validés par des études expérimentales réalisées sur des préformes stratifiés en fibre de verre injectées sur une résine polyester selon le procédé VARTM. Expérimentalement les paramètres cinétiques du cycle de traitement sont mesurés par DSC (Differentiel scanning calorimetry) ou bien par un spectroscope infrarouge.
E - LES APPLICATIONS D'OPTIMISATION AUX COMPOSITES STRATIFIES
Le comportement des stratifiés sous chargement monotone et dynamique, est maîtrisé depuis très longtemps. Les méthodes utilisées, analytiques ou numériques, sont implantés dans divers codes de calcul. On en trouve aussi dans la littérature les validations de ces modèles par des larges études expérimentales: traction uni-axiale, compression, flexion, cisaillement, flambement, impact, délaminage, fatigue sous charge monotone et cyclique, etc. La validation des modèles mathématiques constitue une base préliminaire pour toute étude d'optimisation. Dans le parcours historique du paragraphe précèdent, les études expérimentales réalisées pour valider les études d'optimisation sont en totalité réalisées sur des stratifiés. Cette réalité nous a conduit à décrire en détails le parcours de quelques processus et démarche des études d'optimisation, proposées dans la littérature concernant ce type de matériaux.
Afin de concevoir de façon optimale les stratifiés, il faut rechercher le nombre minimum de couches, identifiés aussi par les orientations de fibre afin d’exiger le minimum d'épaisseur globale pour une capacité de charge indiquée. Plusieurs procédés sont proposés pour réaliser cet objectif. La plupart du temps, les investigations exigent un nombre prohibitif de calculs répétitifs dont certains souffrent de la limitation du nombre des orientations de fibre en manipulant la nature combinatoire de l'ordre d'empilement. Avec des orientations prédéterminées de fibre, l'optimisation de l'épaisseur globale du stratifié est déjà devenue un problème courant, en particulier quand le nombre d'orientations possibles est grand. Dans l'objectif de réduire le nombre de variables, plusieurs auteurs ont transformé le problème en un procédé de plusieurs étapes. Dans la totalité de ces études, l'objectif de concevoir un stratifié à épaisseur minimal pouvant supporter la charge statique, a nécessité l'introduction d'un critère de rupture introduit comme contrainte d’inégalité. Ce critère étant le critère de Tsai-Hill appliqué sur chaque couche.
[Coneciao et al. 1995 ; Mota Soares et al. 1995] ont considéré un processus à deux étapes employant dans chacune un nombre prédéterminé de couche, réitérant entre l'épaisseur et la détermination de l'orientation de fibre, jusqu'aux résultats finaux.
[Farshi, 2005] ont proposé une nouvelle méthode pour la recherche de l'optimum de l'épaisseur des stratifiés sous un chargement de flexion. Cette méthode est basée sur une stratégie en deux étapes dans laquelle l'épaisseur du stratifié est cumulée par l'introduction séquentielle des couches avec l'orientation optimale des fibres dans chaque pli. Les épaisseurs relatives des couches sont optimisées pour les orientations considérées des fibres parmi cinq modes dont le plus efficace est adopté.
Avec le type discret des variables dans le problème d'optimisation relié à l’empilement dans les stratifiés, les algorithmes génétiques sont devenus populaires ces dernières années vu leur succès [Todoroki, 1995], [Le Riche, 1995]. L'utilisation d'algorithmes génétiques simples basés sur un codage binaire ou réel n'assure pas toujours la convergence vers la solution optimale. Ce qui a poussé le développement des algorithmes génétiques envers le processus de sélection (processus clé sur lequel repose en partie l'efficacité d'un algorithme génétique), parmi les plus appliqués:
- l'algorithme à distribution estimative (EDA); présente une distribution normale des uni-variés pour la distributions des points sélectionnés. L’inconvénient de ce modèle étant l'existence d'une indépendance entre les variables avec une répartition symétrique. Peu d’études ont utilisé cette méthode.
- l'algorithme à distribution marginale uni-varié (UMDA); [Todoroki, 1998], [Park et al. 2001], [Walker, 2003].
- l'algorithme d'optimisation à double distribution (DDOA) est un modèle d'interaction de variables qui évolue à travers une distribution de grandes quantités influençant plusieurs variables. Dans le cas du composite stratifié, les variables primaires de conception sont les angles de fibre et les variables auxiliaires apparaissent naturellement pendant l'homogénéisation dans l'épaisseur en terme de rigidité [Grosset, 2004].
- l'algorithme génétique à sélection parallèle (AGSP) consiste à choisir m individus au hasard dans une population de n individus. Parmi les m individus, il y a la sélection de celui qui a la plus grande fonction d'adaptation, par contre, les m individus non sélectionnés sont ensuite remis dans la population pour une
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autre sélection. L'AGSP est appliqué dans les études de [Bassir et al. 2005], sur des stratifiés (±55) en utilisant des modèles mathématiques de coque mince de Kirchhoff résolu numériquement par éléments finis développé sous CAST3M.
En utilisant l'DDOA et l'UMDA, [Grosset, 2004] a étudié trois problèmes appliqués sur des stratifiés. Le premier est de maximiser la rigidité sous un cas de chargement hors plan. Le deuxième est de réduire au minimum la valeur absolue du coefficient longitudinal de la dilatation thermique tout en respectant une contrainte inégalité sur la première fréquence (l'expression de la fréquence est fonction de la matrice de rigidité Dij, déterminée par la méthode des stratifiés). Le troisième est de maximiser le facteur de chargement écrit à partir du critère de rupture du premier pli du stratifié basé sur la déformation maximale. Les résultats comparatifs entre les deux algorithmes génétiques pour les trois objectifs étudiés ont montrés l'importance de l'DDOA envers l'UMDA.
Une nouvelle formulation basée sur l’utilisation de la méthode polaire de représentation de l’élasticité plane est introduite par [Verchery, 1979]. Elle rassemble dans une écriture unique un certain nombre de problèmes de conception élastique des plaques stratifiées. Il s’agit de la minimisation d’une forme quadratique non-convexe, semi-définie positive, exprimée en fonction des composantes polaires du stratifié (Caractéristiques élastiques des plis, angles d’orientation des plis, séquence d’empilement, etc.) [Vincenti, 2002]. D’autres conditions de conception peuvent être introduites sous la forme de contraintes de l’optimisation, telle la recherche de stratifiés respectant des valeurs seuil relativement aux modules élastiques. Dans ce cas, l’objectif principal de l’optimisation reste la conception des propriétés de symétrie élastique. Les auteurs [Vincenti, 2002 ; Vannucci, 2002] ont développé l’algorithme BIANCA en accord avec la structure relativement simple d’un algorithme génétique standard pour la résolution du problème. On rappelle ici que, en plus des opérateurs génétiques standard de croisement et mutation, BIANCA introduit l’opérateur d’élitisme pour améliorer les performances [Vincenti, 2002]. Ceci se traduit par la conservation d’un nombre fixé des meilleurs individus d’une génération pour remplacer les pires individus obtenus à la génération suivante.
III - OPTIMISATION DES COMPOSITES TRIDIMENSIONNELS Dans le parcours historique, on a bien remarqué l’abondance des programmations mathématiques sur les
composites de type stratifié. Aucune étude n'a abordée le tissage bidimensionnel ou tridimensionnel avec sa complexité géométrique. Le compromis recherché pour ces types de matériaux composites sera uniquement Design/performance pour les raisons suivantes:
- Le type de tissage et le procédé de fabrication étant définis, ceci correspond à un pourcentage connu de plus que de 80% du coût du matériau, alors la recherche du coût minimum n'est plus prioritaire.
- Les procédés récents de fabrication des tissages 3D sont parmi les moins coûteux. La recherche du coût optimal est reliée uniquement au temps d'injection.
- Les matériaux composites constitués de tout type de fibre/résine sont classés parmi les matériaux légers et performants. La recherche du poids minimum est reliée donc au dimensionnement de la plaque.
Le processus d'optimisation qui sera exposée dans ce chapitre tiendra compte du coût en terme de recherche d'un matériau performant avec le minimum de fibre.
A - LA FORMULATION DU PROBLEME D'OPTIMISATION
Deux considérations principales ont influencé le choix de la fonction objective pour les tissés 3D:
- Les études expérimentales [El-Hage 2006] sur les tissés 3D ont permis de démontrer que si les dimensions du Volume Elémentaire représentatif (VER) dans les directions x et y (plan horizontal) diminuent, les propriétés dans la troisième direction se fortifient. Diminuer les dimensions selon x et y du VER tend le composite tissé 2D à avoir des propriétés 3D améliorées.
- La recherche d'un minimum d'épaisseur des plaques ou des pièces à concevoir, ramène à l'idée de la recherche d'un minimum pour la troisième direction du VER (direction z).
Le critère d'optimisation proposée étant ainsi: Minimiser le volume du VER résistant sous un cas de chargement.
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1 - La fonction objective
La fonction objective proposée pour les composites tissés tridimensionnels étant de minimiser le volume du VER résistant sous un cas de chargement. Le volume du VER est fonction de plusieurs variables géométriques. Ces variables sont fonction du type de tissage. Quelque soit le type de tissage, le VER représentant du plus petit élément répétitif dans l'espace, est un parallélépipède. Les tissés 3D sont constitués d'au moins de deux renforts ou mèches dirigées selon deux directions différentes en plus de la matrice. Les dimensions du parallélépipède sont fonction des dimensions des sections transverses des mèches et de leur position dans le VER en sections longitudinale et transversale. Le critère d'optimisation d'un problème généralisé pour tout type de tissage 3D est exprimée s'exprime par :
{ } iablesnàxxxXavecXFMin
n var,...,,:)(
21= (1)
)(XF est la fonction qui exprime le volume du VER, X l'ensemble des n variables xp, pour p = 1, … n; représentant les paramètres du volume du VER.
Les paramètres rentrant en jeu dans l'expression de la fonction objective sont:
• Les paramètres liés à la mèche: pour chaque type de mèche, 3 paramètres interviennent:
1- La largeur de la section transverse de la mèche imprégnée de résine: L
2- L'épaisseur de la section transverse de la mèche imprégnée de résine: h
3- La fraction volumique de la mèche: Vf/m
• Les paramètres géométriques : les espacements entre les positions de deux sections transverses de deux mèches adjacentes se trouvant selon le design architectural interne dans chacune des deux sections longitudinale et transversale du VER. Ils sont propres pour chaque type de tissage 3D.
2 - Les contraintes inégalités
Il est indispensable d'introduire et d'en tenir compte du critère de rupture appliqué sur les composites tissés 3D pour tout cas de chargement imposé. Ces critères sont définis en terme de contrainte transmise sur chaque compartiment et écrite par un vecteur iσ pour i=1, … 6.
Les deux fonctions inégalités issues du critère de rupture sont:
1 - le critère 3D de Tsai-Wu appliqué sur chaque type de renfort. Selon [Berthelot 1992], son écriture fait intervenir deux tenseurs de résistance, Fij du second ordre et Fi du premier ordre. Ce critère quadratique vérifie une forme de l'enveloppe de rupture de l'unidirectionnel (UD) dans l'espace des contraintes.
1......
..2..2..2...2666
2555
2444
2333
2222
2111
322331132112332211
=++++++
+++++
σσσσσσ
σσσσσσσσσ
FFFFFF
FFFFFF (2)
2 - Le critère de rupture de contrainte maximale appliqué sur la matrice du composite est exprimé par :
0≤− lm σσ (3)
avec: mσ le vecteur contrainte transmis à la matrice, lσ le vecteur contrainte limite de la matrice.
En plus de ces contraintes inégalités s'ajoutent les conditions de bornes inférieure et supérieure sur les fractions volumiques des fibres dans la mèche. Ces conditions sont indispensables pour intégrer les contraintes reliées aux procédés courant de fabrication.
max/min fmiff VVV ≤≤ (4)
avec: minfV et maxfV les bornes inférieures et supérieures.
L'inéquation 4, exprime les deux fonctions inégalités dérivant de l'écriture bornée sur les fractions volumiques Vf/m et appliquées sur chaque type de mèche.
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0/min ≤− miff VV
0max/ ≤− fmif VV (5)
Avec les trois expressions des fonctions inégalités exprimées par les équations 2, 3 et 4, l'étude d'optimisation est générale. A travers d'autres fonctions inégalités introduites sur les propriétés mécaniques élastiques 3D (E1, E2, E3, G12, G13, G23, ν12, ν13, ν23), comme bornes inférieures et/ou supérieures, l'étude d'optimisation peut devenir spécifique pour un cas étudié. Ces cas particuliers seront pris en compte dans les paragraphes des applications sur les différents types de tissage, développées dans ce chapitre.
3 - Les contraintes égalités
Une seule contrainte égalité est indispensable pour compléter l’étude. Elle relie la fraction volumique de fibre dans la mèche Vf/m, avec l'aire de la section transverse de la mèche imprégnée de résine. Son expression est présentée par l'équation 6 où elle est appliquée sur chaque type de mèche du composite.
0.. / =− TexVA fmifmèche ρ (6)
dans cette expression : Tex la masse linéique de la mèche en (g/km), fρ : la masse volumique de la fibre
en (Kg/m3) , mècheA : la section transversale de la mèche en (mm2).
4 - Le bilan des paramètres
Les paramètres sont en général de deux types, les inconnues et les données du problème.
1- Les variables inconnues sont regroupées dans l'ensemble X de la fonction objective )(XF . Elles sont notées par Xp, pour p = 1, … n variables. Ces variables sont propres pour chaque tissage. Elles sont de deux catégories:
- Les paramètres géométriques:, ils présentent, en générale, la largeur et l'épaisseur de la section de chaque mèche ainsi que les distances entre deux mèches successives.
- Les paramètres fonctionnels: ils se limitent aux fractions volumiques des fibres dans chaque type de mèche.
2- Les données : Ce sont les caractéristiques et les propriétés mécaniques des constituants fibre et résine:
- les modules d'élasticité longitudinale pour la fibre et la résine, notés respectivement Ef et Em,
- les coefficients de poisson, notés respectivement νf, νm.
- la texture ou masse linéique des fibres, notée par le Tex
- Les 9 contraintes limites de rupture en traction, compression et en cisaillement des fibre, notées respectivement:X+, X-, Y+, Y-, Z+, Z-, S, Q et R.
- Les 3 contraintes limites de rupture de la résine en traction, compression et en cisaillement notées respectivement: X+, X- et S.
En ce qui concerne cette étude, on s'est contenté de 16 types de fibre de carbone pour 2 types de résine, ce qui fait 32 combinaisons possibles et compatibles avec le procédé RTM d'injection de résine. Par contre, il est toujours possible d'ajouter d'autres types de fibre et de résine dans la base de donnée.
Le tableau 1, présente les caractéristiques des 16 types de mèches délivrées par la société SOFICAR (2004) et le tableau 2, présente celles des 2 types de résine délivrées par la société Hexcel.composite (2004). Les propriétés ultimes des fibres Y-, Z+, Z-, Q et R non délivrées par la société SOFICAR (2004), sont prédits d'après les études réalisées par [Khelil, 1993].
5- Calcul des paramètres du tissage
Ce qui intéresse un tisseur ou un fabriquant est de savoir pour un type de tissage choisi au préalable, les proportions de fibre à tisser dans au moins deux directions, avec le type de résine et de fibre, résistant sous un cas de chargement donné.
Le tissage est repéré par plusieurs paramètres. On cite les plus importants:
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• Le taux global de fibre dans le composite, noté par Pf.
• Les proportions de fibre par type de mèche (i) ou direction de tissage, notés par Pfi.
• Les types de fibre pour les sens de tissage
• Le type de résine
• La densité du composite
• La masse surfacique d'une plaque (connaissant l'épaisseur)
• etc…
Les caractéristiques Masse
linéique Densité Module d'élasticité longitudinale
Coefficient de poisson
Les propriétés ultimes en traction, compression et cisaillement pour un
composite à 0.6Vf Tex ρ Ef νf X+ X- Y+ S
Type de fibre de carbone
[g/1000m] [g/cm3] [GPa] [g/1000m] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa]
T300
66 Tex 198 Tex 396 Tex 800 Tex
1.76 230 0.34 1760 1570 76 98
T300 J 189 Tex 396 Tex 800 Tex
1.78 230 0.3 2050 1570 80 98
T400 H 396 Tex 1.8 250 0.34 2250 1570 70 98 T600 S 800 Tex 1.8 230 0.3 2450 1570 70 98
T700 S 800 Tex 1650 Tex 1.8 230 0.3 2450 1570 70 98
T700 G 800 Tex 1650 Tex 1.78 240 0.3 2450 1570 60 93
T800 H 223 Tex 445 Tex 1.81 294 0.34 2840 1570 80 98
Table -1 Propriétés des mèches - Torayca, SOFICAR (2004)
Les caractéristiques
Densité Module d'élasticité longitudinale
Coefficient de poisson
Les propriétés ultimes en traction, compression et cisaillement
ρ Em νm X+ X- S
Type de fibre de carbone
[g/cm3] [GPa] [g/1000m] [MPa] [MPa] [MPa] RTM 6 1.10 2.89 0.35 75 160 50
RTM 120 1.20 2.60 0.35 77 160 50
Table -2 Propriétés des résines, Hexcel.composite (2004)
A partir des paramètres géométriques et fonctionnels, plusieurs fonctions mathématiques sont appliquées pour en pouvoir déterminer les paramètres du tissage:
1- Le calcul des volumes des constituants du VER:
Les volumes de chaque type de mèche dans le VER sont fonction des paramètres géométriques, notés par Vi (pour i=1,..n le nombre de type de mèche du tissage). Le volume total des zones de résine est calculé par :
∑=
−=n
iiVERm VVV
1 (7)
avec: VVER le volume total du VER déterminé à partir des paramètres géométriques
2- Le taux de fibre global dans le VER (fraction de fibre dans le VER) est déterminé en fonction des paramètres fonctionnels qui sont les fractions volumiques de fibre mifV / dans les mèches :
82
mVER
n
imifi
VERf VV
VVV
i
−=∑=1
/
/
).( (8)
pour i=1,..n et n le nombre de type de mèche du tissage
3- Le pourcentage fibre dans le VER est calculé à partir de l équation 8:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
VER
mVERiff V
VVP 1..100 / (9)
4- Les proportions de fibre par type de mèche sont calculées par l'équation 9 en pourcentage (%):
∑=
= n
iiVERf
imifif
VV
VVP i
1/
/
.
..100 (10)
pour i=1,..n et n le nombre de type de mèche du tissage
Les propriétés mécaniques élastiques 3D (E1, E2, E3, G12, G13, G23, ν12, ν12, ν12) ainsi que les propriétés ultimes (contraintes et déformation de rupture), sont déterminées à partir de la matrice de rigidité globale du VER. Le modèle d'homogénéisation utilisé pour déterminer les propriétés mécaniques élastiques 3D est celui utilisé dans les études de [Scida 2000, El-Hage 2005]. Il se base sur la sommation moyenne des produits des rigidités de chaque compartiment du VER par leur volume correspondant. Ce modèle est représenté par la relation (3) où C'ij,k représente la matrice de rigidité correspondant à chaque compartiment ou mèche, réduite au repère de référence global, fonction de l'orientation des fibres. Vk étant les volumes des compartiments et Vt le volume total du VER.
1,...,1).(1 1
1
',, +== ∑
+
=
nkCVV
Cn
kkijk
VERGlobalij (11)
n le nombre de type de mèche du tissage, k le type de compartiment du VER (mèche et résine), k = nombre de type de mèches + le compartiment résine = n +1
5- La densité du composite cρ est calculée par l'équation 12 en fonction des densités des mèches imρ :
VER
n
immiim
c V
VV∑=
+= 1
.).( ρρρ (12)
avec: )1(.. // mifmmiffim VV −+= ρρρ (13)
pour i=1,..n et n le nombre de types de mèche du tissage, fρ la densité des fibres et mρ la densité de la résine (matrice)
6- La masse surfacique d'une plaque pour une épaisseur (hc) donnée :
cccs hM .ρ= (14)
B - ORGANIGRAMME DE L’ANALYSE D’OPTIMISATION
La figure 1 présente l'organigramme de l'étude d’optimisation proposée pour les composites tissés 3D.
83
Figure -1 Organigramme de l'analyse d'optimisation
IV - APPLICATION SUR LE TISSAGE ORTHOGONAL 3D Dans l'objectif de valider cette démarche d'optimisation, on a choisi comme première application le tissage orthogonal 3D. L’étude expérimentale sur ce tissage [Aboura 2005, El-Hage 2006] a permis définir deux volumes élémentaires, la cellule unitaire (CU) et la cellule globale (CG) encadrées respectivement en trait continu et en trait discontinu sur la figure 2. On propose de rechercher les propriétés géométriques et fonctionnelles à partir de l'optimisation du volume de la CU, puis rechercher les propriétés mécaniques élastiques et ultimes en appliquant la modélisation géométrique de la CG.
Début
Fin
Base de donnée:
Cas de chargement introduit en terme de vecteur contrainte: σ
Série de type de fibre de carbone: T300, T300J, … Série de type de résine pour le procédé RTM: M6, M120
présentés par les caractéristiques et les propriétés mécaniques: Tex, ρf, ρm, Ef, Em, νf, νm, X+, X-, …
Application du modèle analytique d'homogénéisation basé sur la sommation moyenne des produits des
rigidités par les volumes des compartiments
Recherche d'une solution vérifiant les critères d'optimisation donnés par les
conditions égalités et inégalités
Solution de l'étude d'optimisation: Propriétés du tissage dont les dimensions des mèches, Fraction volumique des fibres dans les mèches: Vfi/m
Proportion de fibre par type de mèche Taux de fibre global
Propriétés mécaniques élastiques 3D du composite
Nouvelle combinaison fibre/résine
oui
Non
Choix de la meilleure solution: Parmi les résultats optimaux de chaque combinaison fibre/résine, la
sélection est basée sur le composite de densité minimale
Fonction
d'optimisation du volume de
VER
Sélection de la première combinaison entre type de fibre et de résine
k = 1
Création d'une base de solutions pour la combinaison fibre/résine, numéro k
k = k+1
Modélisation analytique et géométrique
84
La superficie du tissage orthogonal 3D
Figure -2 Le tissage orthogonal 3D
A - VARIABLES ET CONTRAINTES
Le VER de la CU est constitué de trois types de mèche, modélisées par des parallélépipédiques schématisés sur la figure 3. Les variables géométriques sont au nombre de 6: largeur et hauteur des mèches sens chaîne et sens trame notées par Lch, hch, Ltr, htr et les deux dimensions de la mèche verticale dans les deux sens chaîne et trame Lvert chaîne et Lvert trame. Les variables fonctionnelles sont les trois fractions volumes des trois types de mèche notées par: mfV /1 , mfV /2 , mfV /3 .
Figure -3 Le VER de la CU du tissage orthogonal 3D
Ce qui donne 9 variables, constituants l'ensemble X :
{ }mfmfmftramevertchaineverttrtrchch VVVLLhLhLX /3/2/1 ,,,,,,,,= (15)
La fonction objective minimisant le volume du VER de la CU s'écrit:
)(.)(.)()( trchchaineverttrtramevertch hhLLLLXFMin +++= (16)
Sous:
1- Les contraintes inégalités appliquées pour chaque type de mèche: chaîne, trame et verticale.
01... ≤−+ jiijii FF σσσ pour i,j =1, … 6. (17)
Les fractions volumiques des trois types de mèche sont bornées entre 0.45 et 0.75 (Contraintes de fabrication) :
75.045.0 / ≤≤ mifV pour i=1, … 3. (18)
2- La contrainte égalité décrite est appliquée pour chaque section transverse des trois types de mèche:
0.. / =− TexVA fmifmèche ρ pour i=1, … 3. (19)
• Les sections des mèches sont déterminées par :
1- Mèche sens chaîne 2- Mèche sens trame 3- Mèche verticale
1 2 2 3
½ Lch ½ Ltr
hch
htr
½ Lvert trame ½ Lvert chaîne
Mèche sens trame, Y Mèche sens chaîne, X Mèche sens vertical, Z Résine
Pas de tissage en sens trame
Pas de tissage en sens chaîne
85
Section de la mèche sens chaîne: chchchaînesensmèche hLA .=
Section de la mèche sens trame: trtrtramesensmèche hLA .= (20)
Section de la mèche verticale: tramevertchaînevertverticalemèche LLA .=
• Les trois contraintes égalités sont exprimées pour les mèches dans les trois sens :
Sens chaîne TexVhL fmfchch =ρ... /1 (21)
Sens trame: TexVhL fmftrtr =ρ... /2 (22)
Sens verticale: TexVLL fmftramevertchaînevert =ρ... /3 (23)
3- En plus des contraintes citées dans le processus de l'étude d'optimisation, s'ajoute la contrainte égalité des modules d'élasticité longitudinale (Equation 24) et ceci pour présenter l'équilibrage du tissage entre le sens chaîne et trame.
21 EE = ou 021 =− EE (24)
avec: E1 et E2 les module d'élasticité longitudinale respectivement dans le sens chaîne et trame.
La détermination des volumes des mèches dans le VER est donnée par :
Volume de la mèche sens chaîne: ( )chaîneverttrchch LLhLV += ..1
Volume de la mèche sens trame: ( )tramevertchtrtr LLhLV += ..2 (25)
Volume de la mèche verticale: ( ) tramevertchaîneverttrch LLhhV ..3 +=
B - LES RESULTATS DE L'ETUDE D'OPTIMISATION
On se contente de présenter dans ce paragraphe uniquement le cas de chargement uniaxial dirigé dans le sens chaîne. Ce choix est pris pour en pouvoir comparer les études expérimentales réalisées sur un composite orthogonale 3D fourni équilibré entre le sens chaîne et le sens trame (proportion de fibre égale à 48% dans chaque sens chaîne et trame). Dans ce cas de chargement le vecteur contrainte σ a une seule composante. A partir des essais de traction dans le sens chaîne, la valeur moyenne de la contrainte de rupture est égale à 770±50 MPa. On a alors imposé dans l'étude d'optimisation pour le vecteur contrainte une valeur de σ égale à (770, 0, 0, 0, 0, 0) en MPa.
Les études microscopiques réalisées sur les échantillons ont permis de déterminer les mesures tridimensionnelles des mèches du tissage orthogonale 3D correspondant aux volumes des VER. Les tables 3, 4 et 5 présentent une comparaison avec les dimensions des compartiments mesurées sur les images du MEB et celles prédites par l'étude d'optimisation. Cette comparaison a nécessité les conditions inégalités et égalités suivantes:
La fraction volumique: 75.045.0 ≤≤ fV . Le module d'élasticité dans l'épaisseur: 2010 3 ≤≤ E . La contrainte de rupture en traction: MPar 770≥σ . Les modules élastiques longitudinaux dans le sens chaîne et trame sont pris égaux, pour respecter l'équilibre des proportions de fibre selon ces deux sens: 21 EE =
Mèche sens chaîne Mèche sens trame Mèche verticale
Largeur (mm)
Epaisseur (mm)
Largeur (mm)
Epaisseur (mm)
Largeur sens chaîne (mm)
Largeur sens trame (mm)
1- Images du MEB T300 J –Tex 386 2.62 0.18 2.12 0.17 0.45 0.78
2-Etude d'optimisation T300 J –Tex 386 2.3578 0.16501 2.358 0.16502 0.6089 0.69895
3-Etude d'optimisation T300 J – Tex 198 1.6673 0.11668 1.6673 0.11669 0.4305 0.43061
Ecart entre 1 et 2 -10.01% -8.33% +11.22% -5.77% +26.10% +10.39% Table 3 : Comparaison des mèches déterminées sur le MEB avec celles obtenues par l'étude d'optimisation
86
Le 1er tissu (T300 J –Tex 386) est considéré comme tissu de référence. Il reflète une conception optimale issue des expériences et tests réalisés au sein de la société partenaire à cette recherche. Il en sort de cette comparaison les points suivants:
- Dans les tables 3, 4 et 5 les écarts moyens entre les dimensions obtenues par analyse d'image et le modèle d'optimisation (T300 J -Tex 386) sont acceptables. Par l'application du modèle d'homogénéisation fonction des volumes, l'influence de ces erreurs est petite sur les résultats prédits des propriétés mécaniques élastiques et à rupture ainsi que sur les proportions des renforts. La table 6 présente une comparaison de ces résultats. L'étude d'optimisation surestime de 1.97% les renforts sens chaîne et trame par rapport à ceux fourni par le tisseur. Ce chiffre est très faible, il met en relief l'intérêt de l'étude d'optimisation et la satisfaction des résultats. Il en va de même pour les propriétés mécaniques élastiques présentées dans la table 7, la comparaison entre les résultats des différentes études, montre la validité des résultats estimés par le modèle d'optimisation.
- Cependant, l’intérêt de la méthode réside dans son pouvoir à prédire pour d’autres tissus des configurations moins volumineuses ayant les mêmes performances mécaniques et à rupture (par exemple : T300 J – Tex 198). Cet outil constitue ainsi une aide à la conception pouvant réaliser le meilleur compromis poids/résistance. Le coût n’est pasinclus dans ce compromis à l’état actuel de cet outil.
Mèche sens chaîne Mèche sens trame Mèche verticale
Section (mm2)
Rapport L / h
Section (mm2)
Rapport L / h
Section (mm2)
Rapport LL / LT
1- Images du MEB : T300J – Tex 396 0.4716 14.55 0.4024 14.14 0.3510 1.7333
2-Etude d'optimisation T300J – Tex 396 0.3891 14.2888 0.3891 14.2892 0.4256 1.1479
3-Etude d'optimisation meilleur choix T300 J – Tex 198 0.1945 14.2895 0.19455 14.2882 0.1748 0..9997
Ecart entre 1 et 2 -17.49% -1.79% +17.28% +1.03% +17.58% -33.76% Table 4 : Comparaison des sections des mèches et des rapports entre largeur et épaisseur entre les valeurs
mesurées sur les images du MEB et celles obtenues par le modèle d'optimisation
Volumes et proportions estimés par l'étude d'optimisation Volumes et proportions par mesure d'analyse d'image
obtenues par le MEB T300 J – Tex 396 Meilleur choix T300 J – Tex 198
Les compartiments Volume (mm3)
Proportion dans la CU
Volume (mm3)
Proportion dans la CU
Volume (mm3)
Proportion dans la CU
Mèche sens chaîne 0.2551 35.82 % 0.2886 39.74 % 0.1020 39.73 % Mèche sens trame 0.2570 36.80 % 0.2886 39.74 % 0.1020 39.73 % Mèche sens verticale 0.0395 7.58 % 0.0306 4.21 % 0.0108 4.207 %
Résine 0.1189 19.80 % 0.1185 16.31 % 0.0419 16.32 %
VER (CU) 0.6005 100% 0.7262 100% 0.2567 100% Table 5 : Comparaison de volume de mèches et ces proportions dans le VER (CU)
entre les mesures et le modèle d'optimisation
Proportion de fibre dans les trois types de mèche Contrainte de rupture
Taux de fibre
Densité du Composite Mèche
sens chaîne Mèche
sens trame Mèche
sens verticale
σr ( MPa) Vf ρf Pf1 % Pf2 % Pf3 % 1-Etudes
expérimentales 770 0.5985 46 46 8
2-Etude d'optimisation T300J – Tex 396 790 0.6 11410 47.969 47.364 5.269
3-Etude d'optimisation T300 J- Tex 198 790 0.6 11410 47.969 47.364 5.269
Ecart entre 1 et 2 +1.97% +1.97% -2.73% Table 6 : Comparaison de fraction volumique et proportion de fibre dans le VER (CU)
entre les mesures et le modèle d'optimisation D'après les études analytiques d'homogénéisation sur ces matériaux, réalisées par [Aboura et al, 2005] sur
les prédictions des propriétés mécaniques élastiques 3D, résumées dans la table 7, il en sort par comparaison
87
que ces propriétés sont mieux estimées par la Cellule Globale (CG) que par la Cellule Unitaire (CU). Pour prendre en considération cette déduction, et sans compliquer la fonction objective, on propose dans cette étude un modèle d'ajustement tenant en compte les paramètres géométriques impliqués dans la CG. Cet ajustement est appliqué sur les résultats géométriques de la structure déjà estimée par l'optimisation du VER de la CU. Il prend en compte la géométrie interne de la cellule globale dans l'épaisseur du matériau donc de la courbure des mèches verticales.
Propriétés mécaniques 3D du tissage orthogonal en GPa
E1 E2 E3 ν12 ν13 ν23 G12 G13 G23
Modèle analytique appliqué sur les dimensions des mèches déterminées par mesures sur les images du MEB Modèle CU Modèle CG
57.302 57.462
58.631 58.944
19.808 15.664
0.0723 0.0676
0.2677 0.3677
0.2692 0.3702
3.687 4.307
3.553 4.114
3.451 3.960
Modèle analytique appliqué sur les dimensions des mèches estimées par le modèle d'étude d'optimisation Modèle CU T300 J – Tex 396 58.652 58.652 16 0.0628 0.3074 0.3077 3.324 3.154 3.154
Modèle CU T300 J – Tex 198 58.652 58.652 16 0.06281 0.30743 0.30771 3.3238 3.154 3.154
Modèle analytique appliqué sur les dimensions des mèches estimées par le modèle d'étude d'optimisation avec ajustement
CU puis CG 60.05 56.198 16.086 0.0627 0.305 0.339 3.7637 3.6354 3.168
Expérimental 57.5±1.8 - 15.534±1.09 0.028 0.269 0.268 4.114±0.05 - -
Table 7 : Comparaison des propriétés mécanique 3D mesurées et celles estimées par l'étude d'optimisation C - GENERALISATION DU PROBLEME D'OPTIMISATION
Ce paragraphe est destiné pour présenter les résultats que peut fournir l'étude d'optimisation avec d’autres types de fibres. Les résultats de l'étude d'optimisation (dimensions des mèches), sont présentés dans les tableaux 8 et 9 respectivement selon la combinaison des types de fibre avec la résine RTM6 et RTM120. Dans chacun des deux tableaux, parmi les 16 combinaisons fibre/RTM6, les études d'optimisation prévoient uniquement 7 combinaisons possibles.
Mèche sens chaîne et trame Mèche verticale Contrainte de rupture Largeur [mm] Epaisseur
[mm] Largeur sens chaîne [mm]
Largeur sens trame [mm]
Type de fibre avec la résine RTM6
σr [MPa] Lch= Ltr hch=htr Lvert chaine Lvert trame
T300J-Tex 198 790 1.6673 0.11668 0.43054 0.43061
T300J-Tex 396 790 2.3578 0.16501 0.6089 0.60895 T400H-Tex 396 870 2.479 0.15664 0.60572 0.60534 T600S-Tex 1750 870 4.8716 0.34094 1.2581 1.2582 T700S-Tex 1650 940 4.7862 0.33495 1.2360 1.2610 T700G-Tex 1650 940 4.9481 0.32932 1.2429 1.2430 T800H-Tex 223 1090 2.0566 0.10763 0.45323 0.45306
Table 8 : Dimensions des mèches tissés avec de la résine RTM6 résistant sous une contrainte uniaxiale de 770 MPa
Mèche sens chaîne et trame Mèche verticale Contrainte de rupture Largeur [mm] Epaisseur
[mm] Largeur sens chaîne [mm]
Largeur sens trame [mm]
Type de fibre avec la résine
RTM120 σr [MPa] Lch= Ltr hch=htr Lvert chaine Lvert trame
T300J-Tex 800 820 3.2345 0.8655 0.2316 0.2316 T400H-Tex 396 900 2.392 0.6057 0.15463 0.15463 T600S-Tex 1700 900 4.7019 1.258 0.33667 0.33667 T700S-Tex 800 980 3.2165 0.8606 0.23033 0.23033 T700S-Tex 1650 980 4.6193 1.236 0.33077 0.33077 T800H-Tex 223 1140 1.984 0.4532 0.10614 0.10614 T800H-Tex 445 1140 2.8025 0.6403 0.14994 0.14994
Table 9. Dimensions des mèches tissées avec de la résine RTM120 sous une contrainte uniaxiale de 770 MPa
88
Les tableaux 10 et 11 comportent les caractéristiques et les propriétés des tissages. En comparant les taux de fibre prédits pour chaque composite orthogonal 3D, on signale que les composites injectés de la résine RTM6 sont plus économiques que ceux prévus avec la résine RTM120. Ceci est dû au fait que le module d'élasticité longitudinale de la RTM6 est supérieure à celui de la RTM120 qui sont respectivement 2.89 GPa et 2.6 GPa. Les propriétés élastiques mécaniques sont présentées dans les tables 12 et 13. Sans aucune contrainte sur les modules de cisaillement, leur valeur est environ de 3 GPa. Si les conditions de chargement exigent des valeurs supérieures pour ces modules, il est indispensable d'en tenir compte. Ceci est développé dans le prochain paragraphe.
Caractéristiques du composite Proportion de fibre par type de mèche Contrainte de rupture
Taux de fibre
Densité du composite
Mèche sens chaîne
Mèche sens trame
Mèche verticale
Type de fibre avec la résine RTM6
σr [MPa] Pf/c % ρc [g/cm3] Pf1 % Pf2 % Pf3 %
T300J-Tex 198 T300J-Tex 396 T400H-Tex 396 T600S-Tex 1750 T700S-Tex 1650 T700G-Tex 1650 T800H-Tex 223
790 790 870 870 940 940 1090
47.969 47.969 47.851 47.969 47.969 47.881 47.567
1.4262 1.4262 1.435 1.431
1.4358 1.4256 1.4377
47.367 47.367 47.580 47.367 47.367 47.476 47.941
47.367 47.367 47.580 47.367 47.367 47.476 47.941
5.269 5.269 4.832 5.269 5.269 5.051 4.112
Table 10 : Caractéristiques et propriétés des tissages solutions pour l'orthogonal 3D tissé avec de la résine RTM6
Caractéristiques du composite Proportion de fibre par type de mèche Type de fibre avec la
résine RTM120 Contrainte de rupture
Taux de fibre
Densité du composite
Mèche sens chaîne
Mèche sens trame
Mèche verticale
σr [MPa] Pf/c % ρc [g/cm3] Pf1 % Pf2 % Pf3 %
T300J-Tex 800 T400H-Tex 396 T600S-Tex 1700 T700S-Tex 800 T700S-Tex 1650 T800H-Tex 223 T800H-Tex 445
820 900 900 980 980 1140 1140
50.002 49.918 50.003 50.003 50.002 49.706 49.705
1.49 1.4995 1.495 1.5 1.5
1.5032 1.5032
47.325 47.551 47.325 47.325 47.325 47.916 47.916
47.328 47.544 47.328 47.328 47.328 47.911 47.911
5.347 4.905 5.347 5.347 5.347 4.173 4.174
Table 11 : Caractéristiques et propriétés des tissages pour l'orthogonal 3D tissé avec de la résine RTM120
Propriétés élastiques mécaniques de l'orthogonal 3D prédits sur le VER de CU E1 E2 E3 G12 G13 G23
Type de fibre avec la résine : RTM6
[GPa] [GPa] [GPa] υ12 υ13 υ23 [GPa] [GPa] [GPa]
T300J-Tex 198 T300J-Tex 396 T400H-Tex 396 T600S-Tex 1750 T700S-Tex 1650 T700G-Tex 1650 T800H-Tex 223
58.65 58.65 63.39 58.65 58.65 60.94 73.46
58.65 58.65 63.38 58.65 58.65 60.94 73.46
16 16 16 16 16 16 16
0.0628 0.0628 0.0615 0.0628 0.0628 0.0603 0.0526
0.3074 0.3074 0.3188 0.3074 0.3077 0.3081 0.3195
0.3077 0.3077 0.3179 0.3077 0.3077 0.3081 0.3195
3.323 3.323 3.301 3.323 3.323 3.311 3.260
3.154 3.154 3.131 3.154 3.154 3.141 3.087
3.154 3.154 3.131 3.154 3.154 3.141 3.087
Table 12 : Les 9 modules de l'ingénieur prédits pour les tissages orthogonal 3D tissé avec de la résine RTM6
Propriétés élastiques mécaniques de l'orthogonal 3D prédits sur le VER de CU E1 E2 E3 G12 G13 G23
Type de fibre avec la résine
RTM120 [GPa] [GPa] [GPa] υ12 υ13 υ23 [GPa] [GPa] [GPa]
T300J-Tex 800 T400H-Tex 396 T600S-Tex 1700 T700S-Tex 800 T700S-Tex 1650 T800H-Tex 223 T800H-Tex 445
60.567 65.549 60.567 60.568 60.567 76.184 76.183
60.567 65.549 60.567 60.568 60.567 76.184 76.183
16 16 16 16 16 16 16
0.0592 0.0581 0.0592 0.0592 0.0592 0.0496 0.0496
0.2967 0.3081 0.2967 0.2967 0.2967 0.3092 0.3092
0.2970 0.3073 0.2970 0.2970 0.2970 0.3085 0.3085
3.051 3.028 3.051 3.051 3.051 2.987 2.987
3.051 3.028 3.051 3.051 3.051 2.987 2.987
3.223 3.201 3.223 3.223 3.223 3.162 3.162
Table 13 : Les 9 modules de l'ingénieur prédits pour les tissages orthogonal 3D tissé avec de la résine RTM120
89
V - APPLICATION SUR LE TISSAGE INTERLOCK 2.5D Les études de modélisation sur ce type de tissage sont bien décrites dans [El-Hage 2006]. Ce tissage ainsi
que son élément géométrique VER sont présentés sur la figure 4. Les études de simulations réalisées sur ce type de tissage ont montré par l'application du modèle analytique d'homogénéisation, l'effet de l'angle du tissage sur les propriétés élastiques mécaniques 3D. Quand l'angle en plus forte pente de la mèche sens chaîne est petit, les propriétés de l'interlock tendent aux propriétés d'un tissage 2D. Ce cas de tissage exige que la distance entre deux sections transverses consécutives de mèches sens trame dans la section longitudinale du VER soit plus grande que l'épaisseur de la mèche sens chaîne. Pour obtenir des propriétés important dans l'épaisseur, l'angle de tissage doit être grand et la distance entre deux sections transverses de mèche sens trame doit être petite. Encore une fois, le critère d'optimisation est bien posé, il reflète le rôle du renfort vertical.
Figure -4 Perspective du tissage angle interlock 2.5D type 1
A - LES VARIABLES ET LES CONTRAINTES Le VER de la cellule de base de l'interlock 2.5D est constitué de deux types de mèche orientées en sens
chaîne et en sens trame ainsi que de la résine. Les variables géométriques sont au nombre de 6 (figure 5):
• Largeur et hauteur des mèches sens chaîne et sens trame noté par ach, hch, atr, htr.
• La distance entre deux sections transverses successives de mèche sens trame dans la section longitudinale du tissage notée par cT.
• La distance entre deux sections transverses successives de mèche sens chaîne existant dans la section transverse du tissage notée par cL.
Les variables fonctionnelles sont au nombre de deux: les deux fractions volumes des deux types de mèche notées par: mfV /1 et mfV /2 .
Figure -4 Sections du tissage angle interlock 2.5D type
La cellule de base -
ctr
atr
htr
Section transverse de la mèche sens trame
ach
cch
hch
Section transverse de la mèche sens chaîne
90
Le cas global du tissage angle interlock est en fonction du nombre d'entrelacement de la mèche sens chaîne à travers les sections transverses des mèches sens trame dans la section longitudinale du VER, noté par ne. Ce nombre est 2, pour le cas des échantillons fournis pour les études expérimentales et qui sont présentés par la figure 5
L'ensemble des variables, X , regroupe alors 8 paramètres (géométrique et fonctionnel):
{ }mfmftrtrtrchchch VVchachaX /2/1 ,,,,,,,= (26)
La fonction objective minimisant le volume du VER s'écrit:
)(.)(.)(.)(.8)( 2chtrchchtrtre hhcacanXFMin +++= (27)
Sous:
1- Les contraintes égalités de rupture sont appliquées pour les deux types de mèche chaîne et trame:
01... =−+ jiijii FF σσσ pour i,j =1, … 6. (28)
Les fractions volumiques des deux types de mèche sont bornées entre 0.5 et 0.8
8.05.0 / ≤≤ mifV pour i=1, … 3. (29)
2- La contrainte égalité de la fabrication est appliquée pour chaque section transverse des trois types de mèche:
0.. / =− TexVA fmifmèche ρ pour i=1, … 3. (30)
a. Les sections des mèches sont déterminées par:
Section de la mèche sens chaîne:π
chchchaînesensmèche
haA
..2= (31)
Section de la mèche sens trame: )121(..
π+= trtrtramesensmèche haA (32)
b. Les deux contraintes égalités sont exprimées par les équations :
Pour la mèche sens chaîne: TexVha
fmfchch =ρ
π..
..2/1 (33)
Pour la mèche sens trame: TexVha fmftrtr =+ ρπ
..)121(.. /2 (34)
B - LES RESULTATS DE L'ETUDE D'OPTIMISATION
Le critère de rupture 3D de Tsai–Wu est fonction du vecteur contrainte σ à six composantes. L'utilisation de ce critère comme contrainte inégalité, rend l'étude d'optimisation applicable pour tout cas de chargement. Comme pour le cas du tissage orthogonal 3D, on s'intéresse dans un premier temps, à valider l'analyse d'optimisation par des résultats des études expérimentales réalisées sur le tissage interlock et dans un second temps à exposer la puissance et l'utilité de telles études d'optimisation.
Dans ce paragraphe on propose rechercher trois types de résultats de tissage résistant sous trois cas de chargement différents:
- Premier type: tension uniaxiale dirigée dans le sens chaîne.
- Deuxième type: tension uniaxiale dirigée dans le sens chaîne.
- Troisième type: tension biaxiale dans le plan de la plaque.
On appliquera pour chaque type, les bases de données correspondant aux caractéristiques et propriétés mécaniques des constituants des échantillons fournis, pour réaliser les études expérimentales: la fibre de carbone la T300J-Tex 396 (toron 6k) comme renfort et la RTM6 comme résine.
91
Le modèle analytique, appliqué sur le VER de la cellule unitaire avec les caractéristiques géométriques et les propriétés du tissage de l'interlock [El-Hage, 2006] permet de prédire:
- La contrainte de rupture en traction uniaxiale dirigée dans le sens chaîne de valeur σr de 520 MPa.
- La contrainte de rupture en traction uniaxiale dirigée dans le sens trame de valeur de σr de 750 MPa.
- Le module d'élasticité longitudinal dans l'épaisseur des plaques, égale à 13.421GPa.
- Les fractions volumiques de fibre environ de 0.75 et 0.55 respectivement dans les mèches sens chaîne et sens trame.
Les bornes sur chaque membre de l’ensemble X est présenté ainsi :
1- Les paramètres fonctionnels (fractions volumiques des fibres dans les mèches) :
max//min/ ifmifif VVV ≤≤ (35)
2- Les paramètres géométriques (largeur et hauteur des mèches): La figure 6 montre deux sections de mèche avant et après le procédé d'injection de la résine. Avant l'injection et la pose dans le moule, la section d'une mèche est circulaire de diamètre dm calculé par l'équation 37. Après la pose et l'injection de la résine, la section d'une mèche prend une forme elliptique de hauteur h inférieur au diamètre dm et de largeur L supérieure à dm. Trouver des bornes sur ces deux dimensions est une phase très délicate. Les études de simulation à travers la programmation mathématique ont montré uniquement la nécessité de poser des bornes inférieures sur les hauteurs des mèches vue l'existence d'une contrainte inégalité reliant la largeur et la hauteur avec l'aire de la section de la mèche par les équations 33 et 34.
maxmin hhh i ≤≤ pour i = 1, …2 (36)
Le diamètre de la mèche à section circulaire dm est déterminé par:
4.. 2
ffm
dnd
π= (37)
fn le nombre de fibres dans la mèche
On affecte pour la borne inférieure des hauteurs des mèches le tiers de la valeur du diamètre de la
section de la mèche : 3minmd
h =
Figure -6 Section transverse d'une mèche avant et après l'injection
3- Les paramètres géométriques du tissage, les distances entre les positions de deux sections de mèches successives dans les sections du VER noté par cT et cL:
• Pour la distance cL, elle peut avoir une valeur nulle dans le cas ou les sections se juxtaposent sans aucun décalage dans les deux directions. Or, dans la majorité des cas les sections se trouvent en position de superposition ce qui donne une valeur non nulle et non négligeable. Pour
dm L > dm
h < dm
Après l'injection par le procédé RTM et l'insertion dans le
moule: La section transverse d'une
mèche à une forme elliptique
Avant l'injection et l'insertion dans le moule:
La section transverse d'une mèche est supposée
de forme circulaire
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imposer la borne inférieure de ce paramètre, on a eu recourt aux études expérimentales qui ont permis d'écrire l'expression en fonction du diamètre de la mèche à section circulaire:
4.3 m
Ld
c =
• Pour la distance cT, la valeur minimal est égale à la hauteur de la mèche sens chaîne hL. Avec cette valeur, la mèche sens chaîne est verticale (angle de 90°) et le tissage est dit orthogonal. Pour obtenir un angle interlock inférieur à 90°, la valeur de cT doit être supérieur à hL. Une borne inférieure posée sur ce paramètre, peut ne pas donner la valeur optimale du VER avec la performance exigée. Pour cette cause, une boucle incrémentée est créée pour cette valeur, suite à chaque recherche de solution optimale. Le choix de la meilleure solution pour cT est celle qui satisfait toutes les contraintes égalité et inégalité avec le minimum en densité.
Les résultats d'optimisation sont: les dimensions des mèches: ach, hch, atr, htr, les distances cT et cL, les deux fractions volumiques des fibres dans les mèches. L'étude d'optimisation prédit les valeurs de ces fractions à la borne minimale de la condition inégalité. Pour la validation avec les études expérimentales, on a imposé pour le paramètre cT la valeur 0.2mm dans l'étude d'optimisation de ce paragraphe qui traitera trois cas de chargement.
1 - Tension uniaxiale dirigée dans le sens chaîne
A travers les études et les résultats cités précédemment, les contraintes égalités et inégalités imposées pour pouvoir validé les études expérimentales sont les suivants:
• Fraction volumique des fibres dans les mèches: 8.05.0 / ≤≤ mifV pour i=1, … 2.
• Contrainte de rupture en traction dans le sens chaîne: 520≥rσ MPa avec le vecteur contrainte : σ égale à (520, 0, 0, 0, 0, 0) en MPa.
• Le module d'élasticité longitudinale dans l'épaisseur: 5.1310 3 ≤≤ E en GPa
Dimensions expérimentales Dimensions de l'étude d'optimisation avec σr=540 MPa Les compartiments
Volume [mm3] % Volumique Volume [mm3] % Volumique Mèche sens chaîne 10.5747 18.01 % 8.8480 26.08 % Mèche sens trame 26.1853 44.58 % 10.3036 30.38 %
Résine 21.9728 37.41 % 14.7686 43.54% Le VER 58.7328 100 % 33.92 100%
Table 14 : Comparaison des proportions volumiques des mèches entre l'étude d'optimisation et les études expérimentales pour l'interlock 2.5D type 1, avec la T300J-Tex 396/RTM6, pour cT=0.2mm,
sous traction uniaxiale dirigée dans le sens chaîne
Caractéristiques du composite Proportion de fibre Contrainte de rupture [MPa]
Taux de fibre %
Densité du composite [g/cm3]
du composite %
mèche sens chaîne %
mèche sens trame %
Expérimentale 520 0.6071 38 35 65 Optimisation 540 0.6 1.3304 33.876 46.2 53.8
-4.124% +11.2% -11.2%
Table 15 : Comparaison des caractéristiques et des propriétés de tissage entre l'étude d'optimisation et les études expérimentales pour l'interlock 2.5D type 1, avec la T300J-Tex 396/RTM6, pour cT=0.2mm,
sous traction uniaxiale dirigée dans le sens chaîne
Le tableau 14 présente les volumes des compartiments du VER prédits par l'étude d'optimisation pour une contrainte de rupture σr de 540 MPa. Le tableau 15 donne les caractéristiques et les propriétés du tissage correspondant aux mêmes cas. Il en sort de ces deux tableaux que l'étude d'optimisation prévoit un tissage à moins de fibre de l'ordre de 4.124% pour une meilleure résistance.
2 - Tension uniaxiale dirigée dans le sens trame
Comme pour le cas du chargement de tension uniaxiale dirigée dans le sens chaîne, on impose pour le cas de tension uniaxiale dirigée dans le sens trame, les contraintes égalités et inégalités les suivantes:
93
• Fraction volumique des fibres dans les mèches: 8.05.0 / ≤≤ mifV pour i=1, … 2.
• Contrainte de rupture en traction dans le sens trame: 750≥rσ MPa, avec le vecteur contrainte : σ égale à (0, 750, 0, 0, 0, 0) en MPa.
• Le module d'élasticité longitudinale dans l'épaisseur: 5.1310 3 ≤≤ E en GPa
Le tableau 16 présente une comparaison des volumes des compartiments du VER déterminés expérimentalement avec ceux prédits par l'optimisation pour une contrainte de rupture σr de 750 MPa sous le chargement uniaxial dirigé dans le sens trame. Le tableau 17 précise les caractéristiques et les propriétés du tissage correspondant aux mêmes cas de chargement avec les mêmes conditions. Il en sort que les écarts entre les proportions des fibres selon les directions chaîne ou trame, sont faibles avec une augmentation de pourcentage de résine de 2,17% pour la même valeur de la contrainte de rupture.
Dimensions expérimentales Dimensions de l'étude d'optimisation avec σr=750 MPa
Volume Volume Les compartiments
[mm3] Proportion Volumique [mm3]
Proportion Volumique
Mèche sens chaîne 10.5747 18.01 % 7.9506 22.88 % Mèche sens trame 26.1853 44.58 % 13.0398 37.54 %
Résine 21.9728 37.41 % 13.7491 39.58% Le VER 58.7328 100 % 34.7394 100%
Table 16 : Comparaison des proportions volumiques des mèches entre l'étude d'optimisation et les études expérimentales pour l'interlock 2.5D type 1, avec la T300J-Tex 396/RTM6, pour cT=0.2mm,
sous traction uniaxiale dirigée dans le sens trame
Caractéristiques du composite Proportion de fibre Contrainte de rupture
Taux de fibre
Densité du composite
du composite
dans la mèche sens chaîne
dans la mèche sens trame
σr [MPa] Vf ρc [g/cm3] Pfc % Pf2 % Pf3 % Etudes expérimentales 750 0.6071 38 35 65 Etudes d'optimisation 750 0.6 1.3465 36.253 37.877 62.123
Ecart entre 1-2 -1.747% +2.877% -2.877%
Table 17 : Comparaison des caractéristiques et des propriétés de tissage entre l'étude d'optimisation et les études expérimentales pour l'interlock 2.5D type 1, avec la T300J-Tex 396/RTM6, pour cT=0.2mm,
sous traction uniaxiale dirigée dans le sens trame
3 - Tension biaxiale dirigée dans le sens de la plaque
On propose dans ce paragraphe d’exposer les résultats que peut fournir les études d'optimisation sous une tension biaxiale. La comparaison avec les résultats d'optimisation obtenus sous les deux cas de tension uniaxiale dans le sens chaîne et trame ainsi qu'avec les études expérimentales, permettra de mettre en relief l'intérêt d'appliquer l'analyse d'optimisation sous un chargement tridimensionnel.
Les contraintes égalités et inégalités imposées sont les suivantes:
• Fraction volumique des fibres dans les mèches: 8.05.0 / ≤≤ mifV pour i=1, … 2.
• Contrainte de rupture en traction uniaxiale: dans le sens chaîne 520≥rσ MPa et dans le sens trame
750≥rσ MPa. Ce qui donne un vecteur contrainte: σ égale à (520, 750, 0, 0, 0, 0) en MPa.
• Le module d'élasticité longitudinale dans l'épaisseur: 5.1310 3 ≤≤ E en GPa
Le tableau 18 présente une comparaison des volumes des compartiments du VER entre ceux déterminés expérimentalement avec ceux prédits par l'étude d'optimisation sous la tension biaxiale dans le plan de la plaque. Le tableau 19 donne les caractéristiques et les propriétés du tissage correspondant au même cas de chargement avec les mêmes conditions. Il en sort que les écarts entre les proportions des fibres selon les directions chaîne ou trame sont faibles, avec une augmentation de pourcentage de résine de 3,75%. Ce qui permet de dire qu'à travers les études d'optimisation avec une tension biaxiale dans le plan de la plaque, prévoit mieux les propriétés du tissage qu'avec celles prédites sous des tensions uniaxiales.
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Dimensions expérimentales Dimensions de l'étude d'optimisation avec σr=750 MPa Volume Volume Les compartiments [mm3]
Proportion volumique [mm3]
Proportion volumique
Mèche sens chaîne 10.5747 18.01 % 8.4412 24.23 % Mèche sens trame 26.1853 44.58 % 12.0588 34.61 %
Résine 21.9728 37.41 % 14.3436 41.16% Le VER 58.7328 100 % 34.8436 100%
Table 18 : Comparaison des proportions volumiques des mèches entre l'étude d'optimisation et les études expérimentales pour l'interlock 2.5D type 1, avec la T300J-Tex 396/RTM6, pour cT =0.2mm, tension biaxiale
Caractéristiques du composite Proportion de fibre
Contrainte de rupture
Taux de fibre
Densité du composite Du composite sens chaîne sens trame
σr [MPa] Vf ρc [g/cm3] Pfc [%] Pf2 [%] Pf3 [%] 1- Modèle analytique (520,750,0,0,0,0) 0.607 38 35 65
2- Etudes d'optimisation (530,770,0,0,0,0) 0.6 1.3513 36.956 37.298 62.702
Ecart entre 1-2 -1.04% +2.29% -2.29%
Table 19 : Comparaison des caractéristiques et des propriétés de tissage entre l'étude d'optimisation et l'étude analytique pour l'interlock 2.5D type 1, avec la T300J-Tex 396/RTM6, pour cT=0.2mm, sous tension biaxiale
C - GENERALISATION DU PROBLEME D'OPTIMISATION
Pour généraliser le problème d'optimisation sur le tissage interlock 2.5D, on propose de présenter les résultats des études d'optimisation par la variation de plusieurs paramètres:
• Variation de la distance cT: l'augmentation de cette valeur, doit influencer sur les propriétés élastiques mécaniques 3D dont l'augmentation des modules d'élasticité longitudinale dans les sens chaîne et trame et la diminution du module d'élasticité dans l'épaisseur.
• Variation du type de fibre et de résine.
• Variation du nombre d'entrelacement ne du tissage.
1 - Variation de la distance cT
Pour étudier l'effet de cT sur les propriétés élastiques mécaniques 3D, on a choisi les données et les conditions suivantes:
• Le chargement de tension biaxiale avec σ (σr1,σr2,0,0,0,0) = (520, 750, 0, 0, 0, 0) MPa.
• La fibre T300 J-Tex 396 avec la résine RTM6
• Les fractions volumiques des fibres dans les mèches: 8.06.0 / ≤≤ mifV pour i=1, … 2.
• Le module d'élasticité longitudinale dans l'épaisseur: 5.1310 3 ≤≤ E en GPa
Les résultats d'optimisation sont présentés dans les tableaux 20 et 21. Caractéristiques du composite Proportion de fibre
Distance Contraintes de
rupture de tension biaxiale
Volume du VER
Densité du composite du composite sens
chaîne sens
trame
cT [mm] σr1 [MPa] σr2 [MPa] Vver [mm3] ρc [g/cm3] Pfc % Pf2 % Pf3 % 0.1 550 760 32.76 1.3477 36.42 36.84 63.16 0.2 530 750 34.84 1.3513 36.96 37.29 62.70 0.3 520 780 37.79 1.3548 37.47 37.92 62.08 0.4 520 770 42.51 1.3573 37.85 39.35 60.65 0.5 520 770 47.56 1.355 37.49 39.36 60.64
Table 20 : Variation des caractéristiques et des propriétés du tissage de l'interlock 2.5D type 1, fonction de la distance cT , sous tension biaxiale
95
cT E1 E2 E3 υ12 υ13 υ23 G12 G13 G23 [mm] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa]
0.1 49.45 56.89 13.5 0.063 0.658 0.188 3.59 7.73 4.06
0.2 49.38 57.38 13.5 0.065 0.667 0.189 3.75 7.82 4.24
0.3 50.11 57.97 13.5 0.067 0.662 0.196 3.94 7.71 4.39
0.4 53.19 58.25 13.5 0.069 0.639 0.219 4.15 7.19 4.43
0.5 52.76 58.23 13.33 0.071 0.616 0.228 4.19 6.67 4.37
Table 21 : Variation des propriétés élastiques mécaniques 3D du tissage de l'interlock 2.5D type 1, fonction de la distance cT, avec la T300J-Tex 396/RTM6
2 - Variation du type de fibre
Dans le cas du tissage orthogonal 3D, on a présenté quelques résultats d'études d'optimisation en variant le type de fibre et de résine. Pour le cas du tissage interlock 2.5D on se contente uniquement de varier le type de fibre. En ce qui concerne les résultats des études d'optimisation présentés dans les tableaux 22 et 23, ils correspondent au cas où les contraintes égalités et inégalités suivants: Les fractions volumiques des fibres dans les mèches 8.06.0 / ≤≤ mifV , le module d'élasticité longitudinale dans l'épaisseur:
5.1310 3 ≤≤ E en GPa et le chargement de tension biaxiale avec le vecteur contrainte σ (σr1,σr2,0,0,0,0) résistant à (520, 750, 0, 0, 0, 0) en MPa. La distance cT est égale à 0.2mm.
Caractéristiques du composite Proportion de fibre Contrainte de rupture Densité du composite Composite sens chaîne sens trame Type de fibre avec la
résine : RTM6 σr1 [MPa] σr2 [MPa] ρc [g/cm3] Pfc [%] Pf2 [%] Pf3 [%] T300-Tex 198 T300-Tex 396 T300-Tex 800 T300J-Tex 198 T300J-Tex 396 T300J-Tex 800 T400H-Tex 198 T400H-Tex 396 T600S-Tex 1700 T700S-Tex 800 T700S-Tex 1650 T700G-Tex 800 T700G-Tex 1650 T800H-Tex 223 T800H-Tex 445
510 530 550 510 530 540 510 530 550 540 550 510 550 520 540
800 790 790 770 770 760 790 780 760 760 760 770 760 770 760
1350 1347.7 1345.6 1353.8 1351.3 1349.2 1362.9 1360.2 1351.2 1356.5 1354.9 1352.8 1346.4 1361.9 1359.1
37.879 37.529 37.216 37.33
36.956 36.646 37.556 37.178 36.406 36.65
36.415 37.175 36.233 36.885 36.487
36.856 36.534 36.269 37.608 37.298 37.038 37.108 36.758 36.829 37.041 36.837 37.699 36.858 37.447 37.05
63.144 63.466 63.731 62.392 62.702 62.962 62.892 63.242 63.171 62.959 63.163 62.301 63.142 62.553 62.95
Table 22 : Caractéristiques et propriétés des tissages solutions de l'étude d'optimisation pour l'interlock 2.5D type 1, avec de la résine RTM6, sous une tension biaxiale
Modules d'élasticité longitudinale Coefficient de poisson Modules d'élasticité transversale Type de fibre avec la
résine : RTM6 E1[GPa] E2[GPa] E3[GPa] υ12 υ13 υ23 G12[GPa] G13[GPa] G23[GPa] T300-Tex 198 T300-Tex 396 T300-Tex 800 T300J-Tex 198 T300J-Tex 396 T300J-Tex 800 T400H-Tex 198 T400H-Tex 396 T600S-Tex 1700 T700S-Tex 800 T700S-Tex 1650 T700G-Tex 800 T700G-Tex 1650 T800H-Tex 223 T800H-Tex 445
49.91 49.84 49.83 49.38 49.38 49.41 53.88 53.81 49.45 49.41 49.45 51.38 51.45 62.61 62.58
59.90 59.39 59.01 57.85 57.38 57.07 63.63 63.09 56.87 57.08 56.88 59.72 58.76 71.68 71.18
13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5
0.072 0.069 0.069 0.066 0.065 0.064 0.066 0.064 0.063 0.064 0.064 0.064 0.061 0.056 0.054
0.668 0.671 0.669 0.664 0.665 0.662 0.685 0.688 0.658 0.662 0.658 0.672 0.667 0.720 0.723
0.189 0.186 0.185 0.191 0.189 0.189 0.194 0.191 0.188 0.189 0.188 0.194 0.190 0.201 0.199
3.944 3.805 3.708 3.888 3.749 3.654 3.917 3.781 3.586 3.655 3.589 3.875 3.58 3.835 3.714
7.570 7.677 7.674 7.770 7.820 7.784 7.779 7.894 7.724 7.786 7.727 7.874 7.842 8.259 8.349
4.354 4.237 4.140 4.375 4.242 4.137 4.361 4.242 4.054 4.138 4.058 4.377 4.058 4.354 4.235
Table 23 : Les 9 modules de l'ingénieur prédits pour les tissages solutions de l'étude d'optimisation pour l'interlock 2.5D type 1, avec de la résine RTM6, sous une tension biaxiale
96
3 - Variation du nombre d’entrelacement du tissage
Parmi les avantages du tissage angle interlock 2.5D, il est possible de faire varier l’architecture interne à travers le nombre d'entrelacement des mèches sens chaîne entre les mèches sens trame. Dans le but de présenter l'importance de l'existence de telles études d'optimisation on se contente de montrer quelques résultats d'entrelacement présentés dans les tableaux 25 et 26. Parmi les conditions on cite:
• Les contraintes égalités et inégalités: Les fractions volumiques des fibres dans les mèches 8.05.0 / ≤≤ mifV , Le module d'élasticité longitudinale dans l'épaisseur: 5.1310 3 ≤≤ E en
GPa.
• La fibre T300J-Tex 396 avec de la résine RTM6.
• La distance cT est égale à 0.2mm.
Le nombre d'entrelacement ne est introduit dans la programmation par un incrément variant de la valeur 1 (tissage 2D) jusqu'à la valeur 4. Les figures 7, 8, 9 et 10, présentent des sections longitudinales du tissage interlock 2.5D correspondant à un nombre d'entrelacement respectivement de 1, 2, 3, et 4. Les sections longitudinales des VER sont présentées par un cadre en trait discontinu.
Figure -5 Section longitudinale de l'interlock pour ne = 1
Figure -6 Section longitudinale de l'interlock pour ne = 2
Figure -7 Section longitudinale de l'interlock pour ne = 3
Figure -8 Section longitudinale de l'interlock pour ne = 4
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Pour chaque nombre d'entrelacement on présentera les résultats des études d'optimisation pour les trois cas de chargement: Tension uniaxial dirigée dans le sens chaîne: σ (σr1, 0, 0, 0, 0, 0). Tension uniaxial dirigée dans le sens trame: σ (0, σr2, 0, 0, 0, 0) et Tension biaxiale dans le plan de la plaque:σ (σr1, σr2, 0, 0, 0, 0).
SENS CHAINE : Le tableau 24 présente la comparaison entre les différents tissages à travers leurs principales propriétés. Lorsque le nombre d'entrelacement augmente, certains avantages et inconvénients apparaissent:
- Les avantages: Augmentation de la contrainte de rupture en traction dans le sens chaîne σr1. Diminution de la densité du composite ρc. Diminution de la proportion de fibre dans le composite Pfc.
- Les inconvénients: Diminution du module de cisaillement, G13.
σr1 ρc E1 E2 E3 G13 Pfc Pf2 Pf3 Nombre ne [MPa] [g/cm3] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] % % % 1 2 3 4
260 540 870
1210
1.404 1.3304 1.299
1.2708
49.25 49.29 49.48 49.55
51.35 46.12 44.38 34.72
13.5 13.5 13.5 13.5
3.657 3.472 3.390 3.174
44.71 33.88 29.27 25.12
55.28 46.2
39.19 42.28
44.72 53.8 60.80 57.72
Table 24 : Caractéristiques et propriétés élastiques des tissages interlock 2.5D type 1, avec cT=0.2mm et T300J-Tex 396/RTM6, fonction de ne, sous tension uniaxiale dans le sens chaîne.
SENS TRAME : Les principales propriétés des 4 tissages sont présentées dans le tableau 25. Par augmentation du nombre d'entrelacement, on constate les mêmes avantages et inconvénients décrits dans le cas précédent:
- Les avantages: Légère augmentation de la contrainte de rupture en traction sens trame σr2. Diminution de la densité du composite ρc. Diminution de la proportion de fibre dans le composite Pfc.
- Les inconvénients: Diminution du module de cisaillement, G13.
σr2 ρc E1 E2 E3 G13 Pfc Pf2 Pf3 Nombre ne [MPa] [g/cm3] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] % % %
1 2 3 4
730 750 770 770
1.43271.3465
1.3329 1.3225
64.99 46.03 36.47 36.44
56.60 56.09 56.44 56.07
13.5 13.5 13.5 13.5
3.965 3.546 3.269 3.331
48.93 36.25 34.26 32.72
55.36 37.88 30.12 25.83
44.64 62.12 69.88 74.17
Table 25 : Caractéristiques et propriétés élastiques des tissages interlock 2.5D type 1, avec cT=0.2mm et T300J-Tex 396/RTM6, fonction de ne, sous tension uniaxiale dans le sens trame.
SENS BIAXIAL : La comparaison entre les 4 tissages d'interlock correspondant à la variation du nombre d'entrelacement, est présenté dans le tableau 26.
σr1 σr2 ρc E1 E2 E3 G13 Pfc Pf2 Pf3 Nombre ne [MPa] [MPa] [g/cm3] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] % % %
1 2 3 4
260 530 830
1150
760 770 760 760
1.4091 1.3513 1.3252 1.3102
49.23 49.38 49.65 49.89
57.22 57.38 56.95 56.72
13.5 13.5 13.5 13.5
3.534 3.749 3.825 3.887
45.46 36.96 33.12 30.91
49.57 37.29 30.71 26.14
50.42 62.70 69.29 73.87
Table 26 : Caractéristiques et propriétés élastiques des tissages interlock 2.5D type 1, avec cT=0.2mm et T300J-Tex 396/RTM6, fonction de ne, sous tension biaxiale dans le sens trame.
Il en sort des résultats d'optimisation, qu'avec l'augmentation du nombre d'entrelacement ne, plusieurs avantages se produisent. Les avantages représentent plutôt les mêmes actes trouvés dans l'ensemble des deux cas précédents de chargement, les suivants:
- Les avantages: Augmentation de la contrainte de rupture en traction dans le sens chaîne, σr1. Diminution de la densité du composite, ρc. Diminution de la proportion de fibre dans le composite, Pfc. Diminution du module de cisaillement, G13.
- Les inconvénients: Aucun dans les propriétés n'est constaté. Par contre avec un nombre d'entrelacement ne supérieur à 3, des problèmes d'homogénéisation se créent en surfaces (dans les
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semelles). On signale que pour tisser avec des nombres d'entrelacement élevé, l'épaisseur de la plaque doit être proportionnellement grande. Pour ces cas de tissage, il est strictement nécessaire de renforcer les parties proches des surfaces, par un tissage à nombre d'entrelacement inférieur au nombre de l'âme qui diminue progressivement avec l'approchement de la surface. Ce travail de renfort provoque un désavantage pour l'augmentation du nombre d'entrelacement.
VI - CONCLUSION ET PERSPECTIVES
Le travail abordé dans ce chapitre vise à explorer un moyen de prédire le tissage, ses caractéristiques mécaniques et ses propriétés de rupture, en vue d'économiser en terme de coût, Design et Performances. Les chercheurs n'ont pas manqué d'idées pour aborder le problème de minimiser le coût. Pour les composites tissés, ils se sont plutôt orienter vers les améliorations des méthodes de fabrication comme la création du procédé RTM. Par contre sur les stratifiés, ils ont abordé le problème en terme de performances. Sur les composites tissés tridimensionnels, il existe véritablement, un manque d'études dans le domaine de prédiction du tissage avec prise en compte des performances ou des cahiers de charges établies préalablement à la fabrication. Toutes ces recherches sont présentées dans la partie intitulée étude bibliographique.
Le modèle analytique exploité dans cette démarche d’optimisation revient à [El-Hage 2006] avec une validation expérimentale jugée suffisante pour aborder les questions reliées à la conception optimale en matériaux composites tridimensionnels. La fonction objective proposée dans cette étude: minimiser le volume du VER, est en fait une traduction réalisant un bon compromis entre les bases de données, les contraintes et les résultats souhaités. La programmation mathématique SQP, intégrée dans MatLab, a rendu la phase de programmation simple et facile à mettre en œuvre.
Les résultats d'optimisation sont illustrés à travers deux applications:
1- Le tissage orthogonal 3D:
La simplicité du design de l'architecture interne du tissage nous a permis de vérifier en détails les résultats d'optimisation avec un suivi d'études expérimentales. Cette application a mis en relief la maniabilité du procédé d'optimisation, par l'addition et la suppression de contrainte égalité ou inégalité sur les propriétés mécaniques et ultimes.
2- Le tissage interlock 2.5D:
Un point important de ce tissage est la complexité et la variété de l'architecture interne, en fonction du nombre d'entrelacement. Une seconde fois, le procédé d'optimisation avec sa fonction objective, a permis de prédire les propriétés du tissage avec succès.
Cette avancée dans le procédé d’optimisation justifie à terme l’intégration de cet outil dans un logiciel de calcul, disponible pour les fabricants, les constructeurs et les chercheurs.
Proportion de fibre par
type de mèche Taux de
fibre global
Propagation des ruptures à travers les trajectoires d'interface mèche sens chaîne/trame
Endommagement longitudinal des mèches sens trame qui apparaissent
Multiplication des ruptures longitudinales des mèches sens chaîne.
Série de type de fibre de carbone:
T300, T300J, …
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