Chapter 2 - Relativistic Kinematics

8/12/2019 Chapter 2 - Relativistic Kinematics

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Ch a p t e r

R e l a t i v i s t i c i n e m a t i c sI t i s t h e a i m o f t h i s c h a p t e r t o g i v e a b r i e f i n t r o d u c t i o n t o r e l a t i v is t i c k i n e -m a t i c s , w h i c h m a y s e r v e b o t h f o r l a t e r r e f e r e n c e a n d f o r t h e p l a n n i n g a n de v a l u a t i o n o f e x p e r i m e n t s . W e s t a r t b y i n t r o d u c i n g L o r e n t z tr a n s f o r m a -t i o n s a n d b y d i s c u s s in g t h e i r p r o p e r t i e s t o t h e e x t e n t t h a t is n e e d e d f o rt h e p r e s e n t p u r p o s e . A s a n a p p l i c a t io n , w e d e r i v e r e l a t iv i s t ic o n e - b o d yk i n e m a t i c s a n d t h e n p r o c e e d t o t w o - b o d y s y s te m s . H e r e it t u r n s o u t t obe u se fu l t o exp res s , a s f a r a s pos s ib l e , m easu rab l e quan t i t i e s l i ke ene rg i esa n d a n g l e s in t e r m s o f L o r e n t z i n v a r i a n t s . W e g iv e e x p l ic i t f o r m u l a s f o r t h et r a n s f o r m a t i o n o f e n e rg i es a n d m o m e n t a b e t w e e n t w o i n e r ti a l f ra m e s , f o re x a m p l e , t h e c e n t e r - o f - m o m e n t u m a n d t h e l a b o r a t o r y s y s t e m . F i n a l l y , t h et r a n s f o r m a t i o n o f t h e d i f fe r e n t ia l c r o s s s e c ti o n s f o r t h e e m i s s i o n o f p a r t i c l e so r p h o t o n s i s d i s c u ss e d . I n e a c h c a se , t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i s i l l u s t r a t e db y e x a m p l e s .

2 1 L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o nT h e f u n d a m e n t a l e x p e r i m e n t a l f a c t t h a t s t a n d s a t t h e b e g i n n i n g of t h eT h e o r y o f S p e c ia l R e l a t i v i t y i s t h e o b s e r v a t i o n b y M i c h e l so n a n d M o r l e yt h a t t h e s p e e d o f l ig h t c is i n d e p e n d e n t o f t h e f r a m e o f r e f e re n c e , t h a t is

c2t 2 x 2 = c 2 t ~ 2 x ~2 = 0 . (2.1)H e r e , ( x , t ) a n d ( x ' , t ' ) a r e t h e s p a c e a n d t i m e c o o r d i n a t e s o f a s p h e r i c a ls h e ll o f r a d i a t i o n o b s e r v e d i n tw o d i f fe r e n t c o o r d i n a t e f r a m e s t h a t m o v e w i t ha con s t an t ve l oc i t y v w i th r e spec t t o each o the r a nd co inc ide a t t = t ~ = O.T h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e tw o fr a m e s is m e d i a t e d b y a L o r e n t z t r a n s f o r-m a t i o n . T h e s im u l t a n e o u s t r a n s f o r m a t i o n o f s p a c e a n d t i m e c o o r d i n a t e s

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1 8 C H A P T E R 2 . R E L A T I V I S T I C K I N E M A T I C S

x = ( x , y , z ) a n d t , s u b j e c t t o E q . (2 .1 ) , s u g g e s t s t h a t o n e c o m b i n e t i m ea n d s p a c e c o o r d i n a t e s i n to a f o u r - v e c t o r

X = X --- ( X 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) - - c t , x , y , z ) = c t , x ) . ( 2 . 2 )B e f o r e d i sc u s s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t i e s , l et u s e s t a b l i s h t h e n o -

t a t i o n . I n o r d e r t o a c c o u n t f o r t h e m i n u s s ig n i n t h e i n v a r i a n t q u a d r a t i cf o r m ( 2 . 1 ), it is c u s t o m a r y [ J a c7 5 , S c h 6 1 , M e s 6 2 , B j D 6 4 , B e L 8 2 ] t o i n t r o -d u c e t w o d i f f e re n t f o r m s o f a g iv e n f o u r - v e c t o r a , n a m e l y t h e c o n t r a v a r i a n tf o r m a = ( a ~ a 1 , a 2 , a 3 ) a n d t h e c o v a r i a n t f o r m a . = ( a 0, a l , a 2 , a 3 ) . B o t ha r e r e l a t e d b y a0 = a ~ a . = - a f o r # = 1 , 2 , 3 , s o t h a t

a = ( a ~ a ) c o n t r a v a r i a n t v e c t o r ,a . - ( a ~ - a ) c o v a r i a n t v e c t o r . ( 2 .3 )

O n e c a n r e w r i t e t h i s d e f in i t io n w i t h t h e a i d o f a m e t r i c t e n s o r g . ~ i n t h ef o r m 3

a . - E g . . a - g . . a ' , ( 2 . 4 )r t - - -Ow h e r e th e q u a n t i t i e s g . . a r e e l e m e n t s o f t h e m a t r i x

1 0 0 00 - 1 0 0 ( 2 . 5 )g ~ - g ~ - 0 0 - 1 00 0 0 - 1

I n E q . ( 2 .4 ) a n d i n t h e f o l lo w i n g , w e u s e t h e s u m m a t i o n c o n v e n t i o n w h i c hd e f in e s t h a t t h e o c c u r r e n c e o f r e p e a t e d G r e e k - l e t t e r i n d i c es i m p l ie s a s u m -m a t i o n o v e r th e l a b e ls 0 , 1 ,2 , 3.

T h e m e t r i c o f E q . (2 .5 ) is i n t r o d u c e d s o t h a t t h e i n v a r i a n t q u a d r a t i cf o r m o f E q . ( 2. 1) c a n b e i n t e r p r e t e d a s a s c a l a r p r o d u c t x . x . M o r e g e n e r a ll y ,i n v a r i a n t q u a n t i t i e s c a n b e o b t a i n e d a s s c a l a r p r o d u c t s o f t w o f o u r - v e c t o r sa a n d b d e f i n e d a s

a . b - a t , b ~ - a ~ b , - a ~ ~ - a . b . ( 2 .6 )A n o t h e r c o n v e n t i o n [G o 18 1, S a k 6 7 , E i c 90 ] t o s e c u r e t h e n e g a t i v e s i g n in

' - 5 ~ . w i t h a n i m a g i -q . ( 2 .6 ) is t o u s e a f o r m a l l y E u c l i d e a n m e t r i c g , ,n a r y f o u r t h c o m p o n e n t a 4 = i a o . I t a v o i d s d i s t i n c t i o n b e t w e e n c o v a r i a n ta n d c o n t r a v a r i a n t f o u r - v e c t o r s , s o t h a t a ~ = a ~ = ( a , i a o ). W h i l e t h i sc o n v e n t i o n is e a s i e r t o h a n d l e f o r S p e c i a l R e l a t i v i t y a n d i s p r o b a b l y m o r et r a n s p a r e n t , i t is r e g a r d e d a s o l d - f a s h io n e d , a n d w e d o n o t u s e it i n t h i sb o o k .


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20 C H A P T E R 2 . R E L A T I V I S T I C K I N E M A T I C S

w h i c h i s i n c o n t r a s t t o E q . ( 2 .3 ) .A g e n e r a l ( p r o p e r ) L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n o f a f o u r - v e c t o r a ~ is g i v e ny

a '~ = t ~ a ~ , (2 .10 )w h e r e th e A , s a t is f y t h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t io n

A , p gp~, A~ ~ , - g ,~ , ( 2 .1 1 )o r , e q u i v a l e n t l y ,

~ a - - A - l ) t~ 2 12)t~p A p g ~ , ~ ,.H e r e / ~ d e n o t e s t h e t r a n s p o s e d m a t r i x , s o t h a t / ~ - A ~ , , a n d A - 1 is t h em a t r i x o f t h e i n v e r s e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n . I f w e c o n fi n e o u r s e l v e s to aL o r e n t z b o o s t i n t h e z - d i r e c t i o n , w e m a y w r i t e e x p l i c i tl y

a~ 3` 0 0 - /3 3' a00 1 0 0 axax 1 ayy

a z - /33 ` 0 0 3 az(2 .13)

w h e r e w e h a v e i n t r o d u c e d t h e q u a n t i t i e sv 1= - a n d 3` = ~ . (2 .1 4 )c V /1 - / 3 2

T h e i nv e r se t r a n s f o r m a t i o n is o b t a i n e d f r o m E q . (2 .1 3) b y i n t e r c h a n g i n gp r i m e d a n d u n p r i m e d f o u r - v e c to r s a n d b y r e p l a c i n g / 3 w i t h - / 3 . I n b o t hc a se s , t h e t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n t h e 0- a n d t h e z - c o o r d i n a t e m a y b ev i e w e d a s a r o t a t i o n in th e 0 , z - p l a n e b y a n i m a g i n a r y a n g le i x . T h e q u a n t i t yX is u s u a l l y d e n o t e d a s r a p i d i t y . S i n c e t h e a n g l e s X 1 a n d X2 i n s u c c e s s i v et w o - d i m e n s i o n a l r o t a t i o n s a d d u p a l g e b r a ic a l l y , s o t h a t X3 = X1 + X 2, t h i sis a l so t r u e f or th e r a p i d i t i e s o f s u c c e s s iv e b o o s t s i n t h e s a m e d i r e c t i o n o fs p a c e . U s i n g t h e re l a t i o n s

/3 = t a n h X3` = co sh X

/~ 7 = s i n h x , ( 2 .1 5 )t h e a d d i t i v i t y o f t h e r a p i d i t i e s i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e a d d i t i o n t h e o r e m o fh y p e r b o l i c t a n g e n t s y i e ld s t h e a d d i t i o n t h e o r e m o f r e l a t i v i s ti c v e lo c i t ie s

+/33 - ~ 2 . (2 .1 6 )1 Z l Z 2


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2 . 1 . L O R E N T Z T R A N S F O R M A T I O N 21

1 0 3

1 0 2

1 0 1

1 0 0

1 0 1

, i , i i I i i i l l i i , 1 i 1 I I i l l i i , i i i i i i i 1 ~ i , i

X

i | , | i | , , | ,

1 1 ~ 1 2 1 ~E n e r g y T/M GeV/u)

F i g u r e 2 . 1 . T h e r e d u c e d v e l o c it y / 3 - v / c , t h e L o r e n t z f a c t o r 3 ' , a n d t h e r a p i d i t yX a s a f u n c t i o n o f t h e k i n e t i c p r o j e c t i le e n e r g y p e r a t o m i c m a s s u n i t .

S o f a r , o u r d i s c u ss i o n h a s b e e n g e n e r a l. W e n o w w a n t t o t u r n t o t h ea c t u a l p r o b l e m o f r e l a t i v i s t i c k i n e m a t i c s f o r a p a r t i c l e o f m a s s m . F o r th i sp u r p o s e , o n e c a n c o n s t r u c t a n o t h e r f o u r -v e c t o r b y c o m b i n i n g t h e m o m e n -t u m v e c t o r p = P x , P u , P z ) o f t h e p a r t i c l e w i t h i t s e n e r g y E ( i n c l u d i n g t h er e s t e n e r g y m c 2 ) t o p = p = ( E , p c ) [ J ac 7 5 ]. N e x t , w e o b s e r v e t h a t i tm u s t b e p o s s i b l e t o e x p r e s s a ll p h y s i c a l l a w s i n t e r m s o f L o r e n t z i n v a r i a n t s .F r o m e n e r g y a n d m o m e n t u m o f a p a r t i c le , w e c a n f o r m j u s t o n e i n v a r i a n tq u a n t i t y , n a m e l y

p . p _ p i ~ p U _ E 2 _ p 2 c __ m 2 c 4 . ( 2 . 1 7 )L o r e n t z i n v a r i a n c e t e l ls u s t h a t a p h y s i c a l q u a n t i t y , h e r e t h e m a s s m o f ap a r t ic l e , i s i n d e p e n d e n t o f t h e i n e r t i a l c o o r d i n a t e f r a m e or L o r e n t z f r a m ei n w h i c h i t is m e a s u r e d . B e s i d e s t h e r e s t m a s s , t h e r e a r e n o f u r t h e r L o r e n t zi n v a r i a n t s f o r a s i n g l e p o i n t p a r t i c l e .

I t w e a p p l y a L o r e n t z b o o s t i n t h e z - d i r ec t i o n , e n e r g y a n d m o m e n t at r a n s f o r m a c c o r d i n g t o E q . ( 2 . 13 ) w i t h t h e s u b s t i t u t i o n a 0 = E , a = p c a n ds i m i l a r l y f o r t h e p r i m e d q u a n t i t i e s . I f t h e p a r t i c l e is a t r e s t in t h e u n p r i m e d


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22 C H A P T E R 2 . R E L A T I V I S T I C K I N E M A T I C S

s ys tem, the ene rgy i s E = m c 2 , whi le in the mov ing s y s tem E / = m c 2 + T ~can be dec om pos ed in to the r e s t ene rgy an d the k ine t i c ene rgy T ~. Th el a t t e r q u a n t i t y a n d t h e m o m e n t u m p~ - P~z a re d i r ec t ly r e l a t ed to thepa ra m et e r s / 3 an d V, cf. Eq . (2 .14 ), def in ing the Loren tz t r ans fo rm a t io n .Dropp ing the p r imes , we have the fo l lowing us e fu l r e l a t ions

( T + m c 2 ) 2 c - 4 - p 2 c - 22/3 = pc

EE

7 - = m c 2

3 / = Pm c

T7 - 1 = ?ytC 2 (2.18)

For a tomic pa r t i c l e s , k ine t i c ene rg ie s a r e u s ua l ly meas u red pe r a tomicma s s un i t u , t h a t is in M eV /u o r G eV /u , s ee Eq . (3 .13 ). Qu i t e o f ten , thek ine t i c ene rgy pe r a tom ic mas s un i t is loose ly ca l led the ene rgy o f thepa r t i c l e . Fo r eas y r e f e r ence , we p res en t in F ig . 2 .1 the quan t i t i e s /3 , 7 , andX as a func t ion o f the k ine t i c ene rgy pe r a tom ic m as s un i t .

2 . 2 T w o b o d y k i n e m a t ic sIn Sec t ion 2 .1 we dea l wi th on ly one pa r t i c l e . As the p ro to ty pe o f a gene ra lion-a tom col l i s ion , we now cons ider a co l l i s ion be tween two par t ic les , de-no ted by a and b . I n the f ina l s t a t e , two o r more pa r t i c l e s emerge . Wi th inthe f i e ld o f ion -a tom co l l i s ions , we have two ou tgo ing pa r t i c l e s in the cas eo f exc i t a t io n and e lec t ron t r ans fe r , t h r ee pa r t i c l e s fo r s ing le ion iza t ion , a ndfou r pa r t i c l e s fo r e l ec t ron -pos i t ron pa i r p roduc t io n . We f ir st cons ide r thecas e wh en on ly two pa r t ic l e s , c and d , emerge in the f ina l channe l . I n thefo llowing , a s u m m ar y is g iven o f thos e p rope r t i e s o f the r eac t ion a+ b ----, c + dwhich on ly invo lve mas s es , ene rg ie s , and momen ta .

2 2 1 Invar iant quan t i t i e sFor a s ing le pa r t i c l e , on ly one Loren tz inva r i an t quan t i ty can be fo rmed ,nam ely th e r e s t m as s g iven by Eq . (2.17 ) . I n the cas e of two co l l id ingpa r t i c l e s , a and b, and a final s t a t e com pos ed o f pa r t i c l e s c and d , ene rgy -m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n r e q u i r e s

Pa + Pb -- Pc -t- Pd (2 .19)


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2 .2 . T W O - B O D Y K I N E M A T I C S 23

H e r e , p a r t i c l e s c a n d d c a n b e i d e n t i c a l t o p a r t i c l e s a a n d b. I n p a r t i c u l a r ,t h e y m a y r e p r e s e n t e x c i t e d s t a t e s o f p a r t ic l e s a a n d b, w h i c h m e a n s t h a tt h e r e s t m a s s e s r nc a n d m d a r e i n c r e a s e d w i t h r e s p e c t t o m a a n d rob . A ful ld e s c r i p t i o n o f f i n a l - s t a t e k i n e m a t i c s is i m p o s s i b l e i f m o r e t h a n t w o p a r t i c l e ss h a r e t h e e n e r g y a v a i l a b l e to t h e c e n t e r o f m a s s , s i n ce t h e r e e x i s t s o n l y o n ec o n s e r v a t i o n r e l a t i o n ( 2 . 1 9) . F o r t h e t w o p a r t i c l e s n o w b e i n g c o n s i d e r e d ,o n e c a n f o r m s e v e ra l in v a r i a n t q u a n t i t ie s , fo r e x a m p l e , t h e M a n d e l s t a mv ar i ab l e s s , t, an d u ( s ee e . g . [ S ch 6 1] ) . T h e f i rs t o n e o f t h e s e i s r e l a t e d t ot h e i n v a r i a n t r e s t m a s s o r i n v a r i a n t e n e r g y W d e f in e d b y t h e s q u a r e

8 = W 2 = ( P a - 4- p b ) 2 = ( P c - +- P d ) 2 = ( E a % - J ~ b ) 2 - - ( P a -+- P b ) 2 c 2 ( 2 . 2 0 )T h e q u a n t i t y W is a ls o d e n o t e d a s t o t a l c e n t e r -o f - m a s s e n e r g y b e c a u s ei n t h e c e n t e r - o f - m a s s s y s t e m w h e r e P a + PD = 0 , o n e h a s W = E a + E D.I n a d d i t i o n t o ( 2 .2 0 ), t h e r e a r e tw o i n v a r ia n t s q u a r e s o f f o u r - m o m e n t u mt r a n s f e r s , n a m e l y

t = (Pc - Pa ) 2 = E c - E a ) 2 - P c - P a) 2c2, (2 .21 )a n d

u = ( P a - - P d ) 2 = ( P c - - P b ) 2 ( 2 . 2 2 )T h e s e q u a n t i t i e s a r e l in e a r ly d e p e n d e n t b e c a u s e

28 -~- t -~- U - - (fft2a -~- Trt~ -~- ?T tc -Jw TY t2)C 4 (2 .23)A n o t h e r i n v a r ia n t q u a n t i t y is t h e s c a la r p r o d u c t

P a P b = E a E b - - P a P b c 2 (2 .24)I n m o s t e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n s , o n e o f t h e p a r t ic l e s , s a y p a r t i c l e a , is a

p r o j e c t i l e w i t h P a = E a , P a c ) i m p i n g i n g o n a t a r g e t p a r t i c l e b w h i c h is a tr e s t i n t h e l a b o r a t o r y f r a m e a n d t h e r e f o r e h a s PD = m b c 2 , 0 ). O n t h e o t h e rh a n d , t h e c e n t e r - o f- m a s s ( c m or c e n t e r - o f - m o m e n t u m ) s y s t e m is d e f in e d b y

IP a + P b - - + - - 0 2 . 2 5 )s o t h a t i n t h e c m f r a m e

- ( E a + E ~ ) ~ , ( 2 . 2 6 )w h i le in t h e l a b o r a t o r y s y s t e m

2 C 4 C 4S - - m a + m ~ + 2 E a m b C 2. (2 .27)H e r e a n d i n t h e f o ll ow i n g w e a d o p t t h e c o n v e n t i o n t o u s e u n p r i m e d q u a n -t i t ie s in t h e l a b o r a t o r y s y s t e m a n d p r i m e d q u a n t i t i e s i n t h e c e n t e r - o f -m a s ss y s t e m .


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24 C H A P T E R 2 R E L A T I V I S T I C K I N E M A T I C S2 . 2 . 2 T r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n a m o v i n g f r a m e a n d t h e

l a b o r a t o r y f r a m eTransformation for a s ingle part ic leW h i l e t h e o r e t i c a l r e s u l t s a r e o f t e n o b t a i n e d i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m ,f o r e x a m p l e i n t h e c e n t e r - o f - m a s s s y s t e m , e x p e r i m e n t s a r e a l w a y s p e r f o r m e di n t h e l a b o r a t o r y s y s t e m . T h e r e f o r e , t h e t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n t h e t w oL o r e n t z f r a m e s is n e e d e d . W e a s s u m e t h a t t h e r e d u c e d v e l o c i t y / 3 a n d t h eL o r e n t z f a c t o r 3` o f t h e m o v i n g f r a m e ( e. g. , th e c e n t e r - o f - m a s s f r a m e ) w i t hr e s p e c t t o t h e l a b o r a t o r y f r a m e a r e k n o w n . S u p p o s e i n t h e m o v i n g c o o r-d i n a t e s y s t e m a p a r t ic l e h a s a m o m e n t u m p t w i t h a d i r e c ti o n d e t e r m i n e db y t h e p o l a r a n g l e 0 ~ w i t h r e s p e c t t o t h e z - a x is , a n d t o t a l e n e r g y E ~. O n em a y t h e n u s e E q . ( 2 . 1 3 ) t o t r a n s f o r m t h e s e q u a n t i t i e s i n t o t h e l a b o r a t o r ys y s t e m ( u n p r i m e d q u a n t i t i e s ) a c c o r d i n g t o t h e r e l a t i o n s

p s i n 0 = p ~ s i n 0 tp c o s 0 = ~ ( p c o s 0 + ~ E / c )

Z / ~ : ~ ( E / ~ + 9 p cosO ) 2 . 2 s )or , converse ly ,

p ~ s in 0 ~ = p s i n 0p c o s o : - y ( p c o s o - 9 E / ~ )

E / ~ : ~ ( E / ~ - ~ p c o s 0 ) . (:2.29)

Colliding beamsA s a n a p p l i c a t io n , c o n s i d e r a n e x p e r i m e n t w i t h c o l l id i n g b e a m s o f li ke p a r t i -c le s a n d e q u a l a n d o p p o s i t e v e lo c i ti e s, s o t h a t , f o r e a c h p a r t ic l e , l a b o r a t o r yan d cm co ord i na t e f r am es a re i den t i ca l i n th i s case , a nd /3 = /3 ~ and 3 ' = 3`~.For a given 3' = 3`~ = E t / m c 2 we a re i n t e r es t ed i n t he co r resp ond ing YET fo ra f i x e d - t a r g e t , t h a t i s f o r a f i c t i t i o u s l a b o r a t o r y s y s t e m i n w h i c h t h e p a r t i -c le s c o m p o s i n g o n e o f t h e t w o b e a m s a r e a t r e s t. W e t h e n o b t a i n f o r 0 ~ = 0f r o m E q s . ( 2 . 2 8 ) a n d ( 2 . 1 8 ) t h e L o r e n t z f a c t o r i n t h i s f i c t i t i o u s l a b o r a t o r ys y s t e m a s

- = - - + / 3 p ' - - 3 ` 2 / 3 2 + 1 )`FT m c m e 3 ` c

or7 F T = 2 7 2 - 1. ( 2 .3 0 )


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2 .2 . T W O - B O D Y K I N E M A T I C S 25T h i s m e a n s t h a t i n o r d e r t o a c h i ev e v e r y h i g h v a lu e s o f 7 i t is m u c h m o r ee f fi c ie n t t o h a v e t w o b e a m s o f e q u a l a n d o p p o s i t e v e l o c i t i e s co l li d e r a t h e rt h a n l e t t i n g a s i n g l e b e a m w i t h t h e L o r e n t z f a c t o r 7 F T i m p i n g e o n a f i x e dt a r g e t o f e q u a l - m a s s a t o m s . I n t h is w a y , n o e n e r g y i s w a s t e d i n t h e c e n t e r - o f-m a s s m o t i o n . T h e r e f o r e , o n e c a n a c h i e v e h i g h - e n e r g y c o l l i s i o n s w i t h r a t h e rl o w - e n e r g y m a c h i n e s . O n t h e o t h e r h a n d , a c o l l i d i n g - b e a m e x p e r i m e n tw i l l h a v e t o c o p e w i t h a r e d u c e d i n t e n s i t y a s c o m p a r e d t o a f i x e d - t a r g e te x p e r i m e n t .Fixed-target collisionsI n a r e g u l a r f i x e d - t a r g e t s i t u a t i o n , a p r o j e c t i l e a w i t h m o m e n t u m P a , k i -n e t i c e n e r g y Ta, a n d t o t a l e n e r g y Ea i n t h e l a b o r a t o r y s y s t e m c o l l i d e s w i t ha t a r g e t a t o m b a t r e s t ( Pb = 0 a n d E b = m b c 2 ) . L e t u s c a l c u l a t e t h e c o r -r e s p o n d i n g e n e r g ie s a n d m o m e n t a i n t h e c m s y s t e m . T h e g e n e r a l i n v a r ia n te n e r g y W is d e t e r m i n e d f r o m ( 2 .2 0 ) a s

W 2 - ( m a C 2 ) 2 n - ( m b c 2 ) 2 -Jr- 2 E a E b - 2 p a p b c 2 ,o r , s p e c i f i c a l l y i n t h e l a b o r a t o r y s y s t e m ,

W - r - ~- f r t b ) 2 C 4 -3 - 2 T a m b C 2. (2 .31 )W e n o w c a n a p p l y E q . ( 2. 18 ) t o a t w o - p a r t i c l e s y s t e m i f w e r e p la c e t h es i n g l e -p a r t i c le q u a n t i t i e s p , E , a n d m c 2 w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g c m q u a n -t i t i e s Pa, Ea + m bc 2, a n d W , r e s p e ct i ve l y . T h e r e d u c e d v e lo c i t y a n d t h eL o r e n t z f a c t o r of t h e c m m o t i o n in th e l a b o r a t o r y s y s t e m a r e t h e n o b t a i n e da s

p a C/ ~ c m = g a + m b C 2

E a + m b c 2 9 (2 .32)% m = WO n c e w e h av e d e t e r m i n e d t h e s e p a r a m e t e r s , w e c an p r o c e e d t o c a l c u la t e t h ee n e r g i e s E'~ , E ~ a n d m o m e n t a p '~ , p ~ i n t h e c m s y s t e m . S i n c e p'~ - - p ~we h a v e f ro m t h e s e c o n d Eq . (2 .2 9 ) w i t h 0 - 0 , 0 ' - -T r , P b - 0 , a n dE b - m b C 2 , t h e r e l a t i o n

' paC ' ( 2 . 3 3 )Pb - ~ c m % m m b C - - - - ~ m b C - - P aF u r t h e r m o r e , f r o m t h e t h i r d E q . ( 2 .2 9 ), w e g e t f o r 0 - 0

E~ Ea + mbc2E a _ _ _ p~c p ~c W c Ea + m b c2


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26 C H A P T E R 2. R E L A T I V I S T I C K I N E M A T I C So r

1 (m2aC4Ela = ~ Ea?TtbC 2 .S i m i l a r l y , f o r t h e t a r g e t p a r t i c l e w e g e t

, 1E b - - ~ ( m ~ c 4 ~ E a m b C 2 ) .

(2 .34)

2 . 3 5 )

2 . 2 . 3 E n e r g i e s a n d m o m e n t a e x p r e s s e d b y L o r e n t z i n -v a r i a n t s

I n t h e p r e c e d i n g s u b s e c t i o n w e h a v e t r a n s f o r m e d e n e r g i e s a n d m o m e n t af o r a f i x e d - t a r g e t e x p e r i m e n t i n t o t h e c m s y s t e m . I t i s o f t e n c o n v e n i e n tt o e x p re s s t h e c m e n e rg i e s a n d m o m e n t a b y i n v a r i a n t q u a n t i t ie s , n a m e l yW a n d t h e m a s s e s o f t h e p a r t i c l e s i n v o lv e d . S u c h a d e s c r i p t i o n h a s t h ea d v a n t a g e o f b e i n g e n ti re l y s y m m e t r i c b e t w e e n t h e i n c o m i n g a n d o u t g o i n gc h a n n e l o f a r e a c t i o n a+ b --~ c + d . T h e c e n t e r - o f -m a s s a n g l es i n t h e o u t g o i n gc h a n n e l a r e d e t e r m i n e d b y t h e r e a c t i o n d y n a m i c s . T h e y a r e d e f in e d in t h e

I 1 I _ _ I .c m sy s t e m a s ( 0 c r a n d ( d , C d) ( T r - 0 ~ , r + 7r) F u r th e r m or e , w i thw - E c+ E ~P ~ = - - P d

o n e o b t a i n s

a n d

< = 1 ( w ~. + , ~ c ~ _ . ~ 4 )2 wEd = 2W 1 W 2 n - m 2 d C 4 _ T / ~ 2 C 4 ) 2 . 3 6 )

1P c - P ~ = 2 c W [ ( W + , c 2 + m d C 2 ) ( W + m c C ~ - - m d C ~ ) ( W - - ~ + - ~ ) ( W - -~ c~ ~ - , ~ ) ] 1 / ~ . ( 2.3 7 )

O w i n g t o th e s y m m e t r y b e t w e e n e n t r a n c e a n d e x it c h an n e ls i n t h e c ms y s t e m , e q u i v a l e n t r e l a t i o n s a r e v a l i d w i t h t h e r e p l a c e m e n t s c ---, a a n dd ~ b . A f t e r c a l c u la t i ng /3 r f r om P r a n d Ec,d , o n e m a y t r a n s f o r m t h ec m a n g l e s i n t o t h e l a b o r a t o r y s y s t e m b y u s i n g E q . ( 2 . 2 8 ) t o g e t

Z ~sin0 cta n Oc = ) 'a m ( / ~ c m n - /~ t c C O S O t c )tanO d = ~ s in 0~ (2 .38)

) ' a m ( / ~ c m - - / ~ d C O S 0 ~ ) '


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2 3 D IFFER EN T IAL C RO S S S EC T IO N S 27l I l I_ _ PdC/E dhere/3~c pcc /E~ a n d / 3 a

2 3 D i f f e r e n t i a l c r o s s s e c t i o n sT h e a n g u l a r d e p e n d e n c e o f t h e c r o s s s e c ti o n f o r t h e r e a c t i o n a + b ~ c + dis d e t e r m i n e d o n t h e o n e h a n d b y th e d y n a m i c s o f t h e c o l li si on , a n d o nt h e o t h e r h a n d d e p e n d s o n t h e i n e r t i a l s y s t e m i n w h i c h i t i s m e a s u r e d .I n m o s t c a s e s , t h e t h e o r e t i c a l c r o s s s e c t i o n i s o r i g i n a l l y o b t a i n e d i n t h ec m s y s t e m o r s o m e o t h e r n a t u r a l c o o r d i n a t e f ra m e . T h e t r a n s f o r m a t i o nt o t h e l a b o r a t o r y s y s t e m t h e n i s c a r r i e d t h r o u g h i n t w o s t e p s , f i r s t t h et r a n s f o r m a t i o n s o f a n g le s a n d e n e r g ie s , a n d s e c o n d t h e t r a n s f o r m a t i o n o fcross sec t ions .2 . 3 . 1 T r a n s f o r m a t i o n o f a n g l e s a n d e n e r g i e sT h e t r a n s f o r m a t i o n o f a n g l e s is r e l a t e d t o t h e t r a n s f o r m a t i o n o f v e l oc i ti e s.T h e p r o j e c t i l e m o m e n t u m P a i n t h e e n t r a n c e c h a n n e l d e fi n es t h e z - a x is .In t he fo l l owing , a l l ang l es r e fe r t o t he ou tgo ing pa r t i c l e s c and d and a rem e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o t h e b e a m d i r e c t i o n .

I f t h e r e d u c e d v e l o c i t y / 3 ' is g iv e n in t h e c m c o o r d i n a t e f r a m e m o v i n gw i t h t h e r e d u c e d v e l o c i t y ~ c m a l o n g t h e z - a x i s , t h e n t h e r e d u c e d v e l o c i t yi n t h e l a b o r a t o r y s y s t e m is g i v e n b y th e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e a d d i t i o n

t h e o r e m ( 2 . 1 6 ) a sf f_ ~ ; ~ y ] 3 z ~ z

/3x m ( 1 n - ~cm / ~Iz ) ' /~Y - - % m ( 1 + / ~ c m / ~ / z ) ' - - 1 + / ~ cm / ~ I z(2.39)S i n c e a f o u r - v e c t o r m a y b e f o r m e d a s u = ? c ( 1 , / 3 ) w i t h t h e i n v a r i a n t s q u a r eu.u = c 2, th e t r a n sf o rm a ti o n ( /3, ~/, 0) ~-~ ( /3 ', 9 , ', 0 ' ) [where 0, 0 ' a re th e po la rang l es ] i s m ed i a t ed by Eq . (2 .13 ) o r i t s i nve r se , so t ha t

/ / s i n0 = / 3 ~ f s i n 0 f/ ~ CO S 0 = ) 'cm ) /t / ~ f CO S 0 r A m )

= ) ' cm T f ( 1 + ~ m / ~ f C OS O f , ( 2 . 4 0 )o r , e l i m i n a t i n g / 3 a n d 7 , w e h a v e , i n a g r e e m e n t w i t h E q . ( 2 . 3 8 ) ,

s in 0 ft a n 0 - . (2 .41 )' ) 'cm (CO S 0 f I )I f a p a r t i c l e h a s a r e d u c e d v e l o c i t y ~f in t h e c m f r a m e ( w h i c h i n t u r nh a s t h e r e d u c e d v e l o c i t y ~ m w i t h r e s p e c t t o t h e l a b o r a t o r y f r a m e ) , a n d


12/17

28 C H A P T E R 2 R E L A T I V I S T I C K I N E M A T I C S

0

On

0I.. .o

o. 0~

,

F ig u r e 2 .2 . Th e lab ora to ry ang le 0 i s expressed as a func t ion o f the cm ang le 0 Iand the cm p ro jec t i l e ve loc i ty (charac te r ized by the Loren tz fa c to r 7 I) accord ingto Eq . (2 .41) . Th e cen te r -o f -mass i s as sum ed to move wi th 7cm = 2 .0. A heavyl ine is dra w n for 7 = 7 cm - For h igher cm veloci ties (or h igher 7I) , the relat ionbetw een 0 ~ and 0 is s ingle-valued w hile for lower veloci t ies i t i s double-valued.

i f f u r t h e r m o r e ~ < / ~cm, t h e n t h i s p a r t i c l e c a n m o v e o n l y i n t h e f o r w a r dh e m i s p h e r e in t h e l a b o r a t o r y s y s t e m . F r o m E q . ( 2. 40 ) o n e m a y s h ow t h a tt h e m a x i m u m a n g l e 0m ax i n t h e l a b o r a t o r y s y s t e m is g i v e n b y

s i n 0 m a x - - /~cm~/c-------- . 2 . 4 2 )

A s is i n d i c a t e d b y th e e x i s t e n c e o f a m a x i m u m a n g l e 0 m a x , o n e h a s a d o u b l e -v a l u e d r e l a t i o n b e t w e e n 0 a n d 0 ' u n d e r c e r t a i n c o n d i t io n s . N a m e l y , if ~ '

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Chapter 2 - Relativistic Kinematics

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