Chapter 8

: Base

band D

igita

l Transm

ission

6/8/20

101

Intro

ductio

n

Tran

smissio

n of d

igital sig

nal

Over a b

aseban

d ch

annel (C

hap

ter 8) 

local co

mmunicatio

ns

Over a b

and‐pass ch

annel u

sing m

odulatio

n (C

hap

ter 9) 

netw

ork

Chan

nel‐in

duced

 transm

ission im

pairm

ents 

Chan

nel n

oise, o

r receiver noise

Interferen

ce: sometim

es treated as n

oise

Intersym

bol in

terference (IS

I)

Digital d

ata has a b

road ban

dwidth w

ith a sig

nifican

t low‐freq

uen

cy conten

t

Man

y chan

nels are b

andwidth lim

ited: d

ispersive, u

nlik

e low‐pass filter

Each

 received pulse is affected

 by n

eighborin

g pulses 

ISI

Majo

r source o

f bit erro

rs in m

any cases

Solutio

ns to

 be stu

died in th

is chap

ter

Noise: m

atched filter 

maxim

ize the sig

nal n

oise level at th

e receiver

ISI:

Pulse sh

aping 

minim

ize the IS

I at the sam

plin

g points

Equalizatio

n

compen

sate the resid

ual d

istortio

n fo

r ISI

6/8/20

102

6/8/20

103

Transm

ission Im

pairm

ent: N

oise

Therm

al noise: g

enerated

 by th

e equilib

rium 

fluctu

ations o

f the electric cu

rrent in

side th

e receiver circu

it Due to

 the ran

dom th

ermal m

otio

n of th

e electrons

Modeled

 as an Additive w

hite G

aussian

 noise (A

WGN)

Noise sp

ectral den

sity: No  = KT(w

atts per h

ertz), where K

is the B

oltzm

ann’s co

nstan

t K = 1.38

0×10−23, an

d T

is  the 

receiver system noise tem

peratu

re in kelvin

s ([K] = [°C

] + 

273.15)

If b

andwidth is B

Hz, th

en th

e noise p

ower

is N = BKT

Alw

ays exists

Other so

urces o

f noise: in

terference

6/8/20

104

Additive N

oise

6/8/20

105

http

://files.amourau

x.web

node.co

m/20

0000047‐3fd

9440d34

/resint_eeg

2.jpg

received sig

nal

Transm

ission Im

pairm

ent: ISI

Line co

des

Map

ping 1’s an

d 0’s to

 symbols

Ran

dom process, sin

ce 1’s and 0’s are ran

dom

Power sp

ectrum (S

ection 5.8

)Rep

resentatio

n in th

e frequen

cy domain

The n

ominal b

andwidth of th

e signal is th

e same o

rder o

f mag

nitu

de as 1/T

ban

d is cen

tered aro

und th

e orig

in

Mism

atch betw

een sig

nal b

andwidth B

san

d ch

annel 

ban

dwidth B

c

If B

c  ≥Bs , n

o problem

If B

c  < B

s , the ch

annel is d

ispersive, th

e pulse sh

ape w

ill be 

chan

ged an

d th

ere will b

e ISI

6/8/20

106

baseb

and

Power Sp

ectra of Several Lin

e Codes

6/8/20

107

•Freq

uen

cy axis norm

alized w

ith T

b

•Averag

e power is n

orm

alized to unity

Transm

ission Im

pairm

ents d

ue to

 Lim

ited Channel B

andwidth

Each

 received sym

bol m

ay be w

ider

than th

e transm

itted one, d

ue to

 loss o

f high freq

uen

cy componen

ts

Overlap

 betw

een ad

jacent sym

bols: IS

I

Lim

it on data rate: u

se guard

 time b

etween

 adjacen

t symbols

Or n

eed to sh

ape th

e pulses to

 cancel IS

I at samplin

g points

6/8/20

108

From D

ata Communica

tions a

nd Netw

orking, B

ehrouz A

. Forouzan

Match

ed Filter –

The P

roblem

Meth

odology: 

Cope w

ith th

e two typ

es of im

pairm

ents sep

arately

First assu

me an

 ideal ch

annel an

d only co

nsid

er noise

e.g

., low data rate o

ver a short ran

ge cab

le

No problem

 of IS

I

Tran

smitted

 pulse g

(t)for each

 bit is u

naffected

 by th

e tran

smissio

n excep

t for th

e additive w

hite n

ose a

t the receiver fro

nt 

end

6/8/20

109

Basic p

roblem of d

etecting a p

ulse tran

smitted

 over a ch

annel th

at is corru

pted

 by ad

ditive w

hite 

noise at th

e receiver front en

d

Match

ed Filter

Received

 (or, in

put) sig

nal: x(t) =

 g(t) +

 w(t), 0

≤t≤T

T: an

 arbitrary o

bservatio

n in

tervalg(t): rep

resents a b

inary sym

bol 1 o

r 0w(t): w

hite G

aussian

 noise p

rocess o

f zero m

ean an

d power 

spectru

m den

sity N0 /2

Output sig

nal: y(t) =

 x(t)   h(t) =

 g0 (t) +

 n(t)

6/8/20

1010

Detectio

n of R

eceived Sign

al

6/8/20

1011

s1 (t)

tT

0

s0 (t)

tT

0

tT

0

tT

0

1T

T

dtt

s0

1)

(

T

dtt

s0

0)

(

Optim

al detectio

n tim

e

Optim

al detectio

n tim

e

Match

ed Filter (co

ntd.)

Problem

Find h(t)

to m

aximize th

e peak

 pulse sig

nal‐to

‐noise  

ratio at th

e samplin

g in

stant t=

T:  

If G

(f)

g(t), H

(f)

h(t), th

en g

0 (t)

H(f)G

(f). W

e can derive g

0 (t)by in

verse Fourier tran

sform

:

The in

stantan

eous sig

nal p

ower at t=

Tis:

6/8/20

1012

power

noise

output

Average

signaloutput

in thepow

er

ousInstantane

E

)(

2

2

0

(t)

n Tg

df

ftj

fG

fH

tg

)2

exp()

()

()

(0

22

0)

2exp(

)(

)(

)(

df

fTj

fG

fH

Tg

Instan

taneo

us 

power

Why sq

uare?

Match

ed Filter (co

ntd.)

The averag

e noise p

ower

The p

ower sp

ectral den

sity of th

e output n

oise n

(t)is

The averag

e noise p

ower is

The p

eak pulse sig

nal‐to

‐noise ratio

 is

6/8/20

1013

df

fH

Ndf

fS

tn

N

20

2)

(2

)(

)(

E

20

)(

2)

(f

HN

fS

N

dff

HN

dffT

jf

Gf

H

20

2

)(

2

)2

exp()

()

(

Find H

(f)

h(t) th

at m

axim

izes η

Match

ed Filter (co

ntd.)

Sch

warz’s in

equality

Therefo

re, we h

ave

6/8/20

1014

If an

d

The eq

uality h

olds if an

d only if: 

when

Complex 

conjugatio

n

Match

ed Filter (co

ntd.)

Excep

t for th

e factor k∙exp

(‐j2πfT), th

e transfer fu

nctio

n of th

e optim

al filter is the sam

e as the co

mplex co

njugate o

f the 

spectru

m of th

e input sig

nal

k: scales th

e amplitu

de

exp

(‐j2πfT): tim

e shift

For real sig

nal g

(t), we h

ave G*(f)=

G(‐f): tim

e inversed

The  o

ptim

al filter is found by in

verse Fourier tran

sform

Match

ed filter: m

atch

ed to th

e signal

A tim

e‐inversed

and delayed

version of th

e input sig

nal g

(t)

6/8/20

1015

Properties o

f Match

ed Filters

Match

ed filter:

Received

 signal:

Noise p

ower:

6/8/20

1016

Properties (co

ntd.)

Maxim

um peak

 pulse sig

nal‐to

‐noise ratio

Observatio

ns

Indep

enden

t of g

(t): removed

 by th

e match

ed filter

Signal en

ergy (o

r, transm

it power) m

atters

For co

mbatin

g ad

ditive w

hite G

aussian

 noise, all sig

nals th

at have th

e same en

ergy are eq

ually effective

Not tru

e for IS

I, where th

e signal w

ave form m

atters

E/N

0 : signal en

ergy‐to

‐noise sp

ectral den

sity ratio

6/8/20

1017

Example 8

.1 M

atched

 Filter for 

Rectan

gular P

ulse

Rectan

gular p

ulse fo

r g(t)

Match

ed filter

6/8/20

1018

)2 1

(rect

)(

T tA

tg

)2 1(

rect

)2 1

(rect

)(

)(

T tkA

T

tT

kA

tT

kgt

h

Example 8

.1 M

atched

 Filter for 

Rectan

gular P

ulse (co

ntd.)

Output g

o (t)

Max o

utput k

A2T

occu

rs at t=

T

Optim

al samplin

g 

instan

ce

Im

plem

ented

 usin

g th

e integ

rate‐and‐dump 

circuit

6/8/20

1019

)(

)(

)(

th

tg

tg

o

Sam

plin

g tim

eInteg

rator is resto

re to 

initial co

nditio

n

k=1/A

Effect of N

oise

6/8/20

1020

William

 Stallin

gs, D

ata and Computer C

ommunicatio

ns, 8

/E, P

rentice H

all, 2007.

Bit erro

r rate (BER) = 

2/15=13.3%

Line co

ding:

‐“1”: ‐5 vo

lts‐“0”: 5 vo

lts

A properly 

chosen

 decisio

n 

thresh

old

Sam

plin

g 

instan

ce

Probability o

f Error d

ue to

 Noise

Assu

me p

olar n

onretu

rn‐to‐zero

 (NRZ) sig

nalin

g1: p

ositive rectan

gular p

ulse, +

A

0: n

egative rectan

gular p

ulse, ‐A

Additive w

hite G

aussian

 Noise w

(t)of zero

 mean

 and 

power sp

ectral den

sity N0 /2

Received

 signal is

The receiver h

as prio

r knowled

ge o

f the p

ulse sh

ape, n

eed 

to decid

e 1 or 0 fo

r a received am

plitu

de in

 each sig

nalin

g 

interval 0

≤t≤tb

6/8/20

1021

Probability o

f Error d

ue to

 Noise 

(contd.)

Sam

pled valu

e y, with 

thresh

old λ,

6/8/20

1022

received 0

sym

bol ,

if

received 1

symbol

,

if

y y

Two kinds o

f errors

01

01

1 ‐

1 ‐

‐How to quantify resid

ual B

ER?

‐How to ch

oose th

reshold to m

inim

ize BER? 

Consid

er the C

ase When

 Symbol 0

Was Tran

smitted

Receiver g

ets x(t) = ‐A + w(t), fo

r 0≤t≤Tb

The m

atched filter o

utput, sam

pled at t=

Tb , is th

e sam

pled valu

e of a ran

dom variab

le Y

Since w

(t)is w

hite an

d Gau

ssian, Y

is also Gau

ssian 

with m

ean E[Y]=–A, an

d varian

ce

6/8/20

1023

See P

age 19

Gaussia

n 

distrib

utio

n ca

n be 

completely 

determ

ined by it 

mean and va

riance

When

 0 W

as Transm

itted (co

ntd.)

Since w

(t)is w

hite G

aussian

,

The varian

ce is

Yis G

aussian

 with m

ean µ

Y =–A

, variance σ

Y2=N

0 /(2Tb )

The co

nditio

nal p

robab

ility den

sity functio

n (P

DF) o

f Y, 

conditio

ned on th

at symbol 0

was tran

smitted

, is

6/8/20

1024

T

N

Ay

TN

yy

fb

Y

Y

Y

Y/

)(

exp/

1

2

)(

exp2 1

)0|

(0

2

02

2

Stan

dard

 PDF of G

aussian

 r.v., with m

ean µ

Yan

d varian

ce σY2

When

 0 W

as Tran

smitted

 (co

ntd.)

W

hen no noise, Y

=‐A

W

ith noise, d

rifts away fro

m –

AIf less th

an λ, o

utput 0 (n

o bit 

error)

If larg

er thanλ, o

utput 1 (b

it erro

r occu

rs) 

6/8/20

1025

When

 0 W

as Transm

itted (co

ntd.)

Assu

me sym

bol 1 an

d 0 are eq

ual lik

ely to be 

transm

itted, w

e choose λ

=0, d

ue to

 symmetry

Defin

e                    , we h

ave

Eb : th

e transm

itted sig

nal en

ergy p

er bit

Eb /(N

0 /2) : (signal p

ower p

er bit)/(n

oise p

ower p

er Hz)

6/8/20

1026

When

 0 W

as Transm

itted (co

ntd.)

Defin

e Q‐Functio

n: 

The co

nditio

nal b

it error 

probab

ility when 0 w

as tran

smitted

 is

6/8/20

1027

u

Q‐fu

nctio

n, see P

age 4

01

x=[‐3:0

.1:3];for i=

1:length(x)

Q(i)=

0.5*erfc(x(i)/sq

rt(2));en

dplot(x,Q

)

When

 1 W

as Transm

itted

6/8/20

1028

Receives:  x(t)=

A+w(t), 0

≤t≤Tb

Yis G

aussian

 with µ

Y =A, σ

Y2=N

0 /(2Tb )

W

e have

The co

nditio

nal b

it error rate is

Choosin

g λ=0, an

d defin

ing                             ,  w

e have

Bit Erro

r Probability (o

r, Bit Erro

r Rate –

BER

)

6/8/20

1029

Bit E

rror R

ate (BER) is 

Dep

ends o

nly o

n E

b /N0 , th

e ratio of th

e transm

itted sig

nal 

energ

y per b

it to th

e noise sp

ectral den

sity

Noise is u

sually fixed

 for a g

iven tem

peratu

re

Energ

y plays th

e crucial ro

le tran

smit p

ower

W

hat are th

e limitin

g facto

rs?Battery life, in

terference to

 others, d

ata rate requirem

ent

00

01

10

0

10

22

2 12

2 1

}ed

transmitt

is {1

Pr

}ed

transmitt

is {0

Pr

N EQ

N EQ

N EQ

Pp

Pp

PP

P

bb

be

e

ee

e

Wider p

ulse

Higher am

plitu

de

BER

6/8/20

1030

Intersym

bol In

terference

The n

ext source o

f bit erro

rs to be ad

dressed

Hap

pen

s when th

e chan

nel is d

ispersive

The ch

annel h

as a frequen

cy‐dep

enden

t (or, freq

uen

cy‐selective) am

plitu

de sp

ectrum

e.g

., ban

d‐lim

ited ch

annel: 

passes all freq

uen

cies |f|<W with

out d

istortio

n

Block

s all frequen

cies |f|>W

Use d

iscrete pulse‐am

plitu

de m

odulatio

n (P

AM) as 

example

First exam

ine b

inary d

ata

Then co

nsid

er the m

ore g

eneral case o

f M‐ary d

ata

6/8/20

1031

Example 8

.2: Th

e Disp

ersive 

Natu

re of a Telep

hone C

hannel

Ban

d‐lim

ited an

d disp

ersive

6/8/20

1032

Block high frequ

encies:

cut‐o

ff at 3.5 k

Hz

Block dc

Example 8

.2: Th

e Disp

ersive natu

re of a Telep

hone C

hannel

Conflictin

g req

uirem

ents fo

r line co

ding

High freq

uen

cies block

ed 

need

 a line co

de w

ith a n

arrow 

spectru

m 

polar N

RZ

But p

olar N

RZ has d

c

Low freq

uen

cies block

ed 

need

 a line co

de th

at has n

o dc

Man

chester co

de

But M

anch

ester code h

as high freq

uen

cy

6/8/20

1033

Example 8

.2: Th

e Disp

ersive natu

re of a Telep

hone C

hannel (co

ntd.)

Previo

us p

age: d

ata rate at 1600 bps

This p

age: d

ata rate at 3200 bps

6/8/20

1034

Eye Pattern

An operatio

nal to

ol fo

r evaluatin

g th

e effects of IS

I

Syn

chronized

 superp

ositio

n of a

llpossib

le realizations o

f the sig

nal view

ed w

ithin a p

articular sig

nalin

g in

terval

6/8/20

1035

http

://mem

bers.ch

ello.nl/~

m.heijlig

ers/DAChtm

l/digco

m/d

igco

m.htm

l

Eye Pattern

 (contd.)

Eye o

pen

ing: th

e interio

r region of th

e eye pattern

6/8/20

1036

Interp

reting Eye P

atternThe w

idth

of th

e eye open

ing

Defin

es the tim

e interval o

ver which th

e received sig

nal can

 be 

sampled w

ithout erro

r from IS

I

The b

est samplin

g tim

e: when th

e eye is open th

e widest

The slo

pe

The sen

sitivity of th

e system to tim

ing erro

rs

The rate o

f closu

re of th

e eye as the sam

plin

g tim

e is varied

The h

eightof th

e eye open

ing

Noise m

argin of th

e system

Under severe IS

I: the eye m

ay be co

mpletely clo

sed

Im

possib

le to avo

id erro

rs due to

 ISI

6/8/20

1037

Example 8

.3 

6/8/20

1038

The ch

annel h

as no ban

dwidth 

limitatio

n: th

e eyes are open

Ban

d‐lim

ited ch

annel: b

lurred

 reg

ion at sam

plin

g tim

e

Eye Pattern

 on Oscillo

scope

6/8/20

1039

http

://www.m

ypriu

s.co.za/p

cmx2_

processo

r1.ht

m

Baseb

and Binary P

AM System

Input seq

uen

ce: {bk  | b

k  = 0 or 1} 

Tran

smitted

 signal: 

The receiver filter o

utput: 

where: 

Assu

me p

(t)is n

orm

alized, p

(o)=1, u

sing μ

as a scaling facto

r to 

account fo

r amplitu

de ch

ange d

urin

g tran

smissio

n

6/8/20

1040

k

bk

kTt

ga

ts

)(

)(

)(

)(

)(

tn

kTt

pa

ty

kb

k

)

()

()

()

(t

ct

ht

gt

p

)(

)(

)(

)(

fC

fH

fG

fP

Baseb

and Binary P

AM System

 (co

ntd.)

For th

e i‐th received

 symbol, sam

ple th

e output y(t)

at ti =iT

b , yielding

6/8/20

1041

)(

])

[(

)(

])

[()

(

i

ik k

bk

i

ik

bk

i

tn

Tk

ip

aa

tn

Tk

ip

at

y

Contrib

utio

n of th

e i‐th 

transm

itted bit

Resid

ual effect d

ue to

 the 

occu

rrence o

f pulses 

befo

re and after th

e sam

plin

g in

stant t

i : the IS

I

Effect o

f noise,

taken care o

f by 

match

ed filter

In th

e absen

ce of b

oth IS

I and noise: 

ii

at

y

)(

Nyquist’s C

riterion fo

r Disto

rtionless Tran

smissio

n

Recall th

at:

The p

roblem

: Usu

ally the tran

sfer functio

n of th

e chan

nel h

(t)an

d th

e tran

smitted

 pulse sh

ape are sp

ecified (e.g

., p32, telep

hone ch

annel)

to determ

ine th

e transfer fu

nctio

ns o

f the tran

smit an

d receive 

filters so as to

 reconstru

ct the in

put b

inary {b

k }

The receiver p

erform

sExtractio

n: sam

plin

g y(t)

at time t=

iTb

Deco

ding: 

req

uires th

e ISI to

 be zero

 at the sam

plin

ginstan

ce: 

6/8/20

1042

)(

])

[()

(i

ik k

bk

ii

tn

Tk

ip

aa

ty

)(

)(

)(

)(

tc

th

tg

tp

.,0 ,1

])

[(k

i

ki

Tk

ip

b

Nyquist’s C

riterion fo

r Disto

rtionless 

Transm

ission (co

ntd.)

Sam

plin

g p(t)

at nTb , n

=0, ±

1, ±2, …

{p(nTb )}

Sam

plin

g in th

e time d

omain produces p

eriodicity in

 the freq

uen

cy domain

, we h

ave

On th

e other h

and, th

e sampled sig

nal is 

Its Fourier tran

sform is

If the co

nditio

n is satisfied

6/8/20

1043

nb

bnR

fP

Rf

P)

()

(

)(

)(

)(

bn

bnT

tnT

pt

p

dt

ftnT

tnT

pf

Pb

nb

)2

exp()]

()

([

)(

1)0

()

2exp(

)(

)0(

)(

p

dtft

tp

fP

.,0 ,1

])

[(k

i

ki

Tk

ip

b

Nyquist’s C

riterion fo

r Disto

rtionless 

Transm

ission (co

ntd.)

Finally w

e have

The N

yquist C

riterion fo

r disto

rtionless b

aseban

d 

transm

ission in th

e absen

ce of n

oise: b

bn

b

nb

b

TR

nRf

P

nRf

PR

fP

/1

)(

1

)(

)(

The freq

uen

cy functio

n P(f)

eliminates IS

I for sam

ples 

taken at in

tervals Tbprovid

ed th

at it satisfies

bn

bT

nRf

P

)(

P(f): fo

r the o

verall system, 

inclu

ding th

e transm

it filter, th

e chan

nel, an

d th

e receive filter

Ideal N

yquist C

hannel

The sim

ples w

ay of satisfyin

g The N

yquist 

Criterio

n is

Where W

=Rb /2=

1/(2Tb ).

The sig

nal th

at produces zero

 ISI is th

e sinc

functio

n

Nyq

uist b

andwidth: W

Nyq

uist rate: R

b =2W

6/8/20

1045

Wf

Wf

WW

W f

Wf

P|

|,0

,2 1

2rect

2 1)

(

)2(

sinc2

)2

sin()

(W

tW

t Wt

tp

Ideal N

yquist C

hannel (co

ntd.)

6/8/20

1046

Raised

 Cosin

e Spectru

mP(f)

is physically u

nrealizab

leNo filter can

 have th

e abrupt tran

sitions at f=

±W

p(t)

decays at rate 1/|t|: to

o slo

w, n

o m

argin fo

r samplin

g tim

e erro

r (see Fig. 8

.16)

Use raised

 cosin

e spectru

m: a flat to

p + a ro

lloff p

ortio

n

6/8/20

1047

Raised

 Cosin

e Sp

ectrum (co

ntd.)

6/8/20

1048

Rollo

ff factor: α

=1‐f1 /W

 

Indicates th

e excess ban

dwidth 

over th

e ideal so

lutio

n, W

)1(

)1

1()

2(1

1

WW f

Wf

WB

T

W=Rb /2=

1/(2Tb ).

Sam

e property as  sin

c(2Wt), b

ut 

now  it is p

ractical

How to

 Design

 the Tran

sceiverNyq

uist C

riterion 

P(f)

= raised

 cosin

e spectru

m

Study th

e chan

nel 

find h(t)

Match

ed filter (to

 cope w

ith noise) 

c(t)an

d g(t)

are sym

metric 

solve fo

r c(t)an

d g(t)

6/8/20

1049

)(

)(

)(

)(

tc

th

tg

tp

)

()

()

()

(f

Cf

Hf

Gf

P

)2

exp()

()

(fT

jf

kGf

C

Example 8

.4 Bandwidth 

Req

uirem

ent o

f the T1

 SystemT1 system

: multip

lexing 24 vo

ice calls, each 4 kHz, 

based

 on 8‐bit P

CM w

ord, T

b =0.647μs

Assu

ming an id

eal Nyq

uist ch

annel, th

e minim

um 

required

 ban

dwidth is

In practice, a fu

ll‐cosin

e rollo

ff spectru

m is u

sed w

ith 

α=1. T

he m

inim

um tran

smissio

n ban

dwidth is

In Chap

ter 3, if use S

SB an

d FDM, th

e ban

dwidth is

6/8/20

1050

kHz

773

)2

/(1

2/

b

bT

TR

WB

MH

z

544.1

2)

1(

W

WB

T

kHz

96

424

T

B

Digital tran

smissio

n is n

ot b

andwidth efficien

t

Baseb

and M

‐ary PAM Tran

smissio

nBaseb

and M‐ary P

AM system

M

possib

le amplitu

de levels, w

ith M

>2

Log2 (M

)  bits are m

apped to one o

f the levels

6/8/20

1051

Baseb

and M

‐ary PAM Tran

smissio

n 

(contd.)

Sym

bol d

uratio

n: T

Signalin

g rate: R

=1/T

, in sym

bols p

er second, o

r bau

ds

Binary sym

bol d

uratio

n: T

b

Binary d

ata rate: Rb =1/T

b

Sim

ilar proced

ure u

sed fo

r the d

esign of th

e filters as in th

e binary d

ata case

6/8/20

1052

MT

Tb

2log

M

RR

b2

log

Eye Pattern

 for M

‐ary Data

Contain

s (M‐1) eye o

pen

ings stack

ed up vertically

6/8/20

1053

Tapped

‐Delay‐Lin

e Equalizatio

nISI is th

e majo

r cause o

f bit erro

r in baseb

and 

transm

issions

If ch

annel h

(t)or H

(f) is known precisely, o

ne can

 desig

n 

transm

it and receiver to

 mak

e ISI arb

itrarily small

Find P(f) 

find G(f) 

find C(f)

However in

 practice, h

(t)may n

ot b

e known, o

r be k

nown 

with erro

rs (i.e., time‐varyin

g ch

annels)

Cau

se residual d

istortio

nA lim

iting facto

r for d

ata rates

Use a p

rocess, eq

ualizatio

n, to

 compen

sate for th

e intrin

sic residual d

istortio

nEqualizer: th

e filter used

 for su

ch process

6/8/20

1054

Tapped

‐Delay‐Lin

e FilterTotally (2N

+1) tap

s, with w

eights w

‐N , …w

1 , w0 , w

1 , …w

N

6/8/20

1055

T=Tb : sym

bol d

uratio

n

Tapped

‐Delay‐Lin

e Filter (co

ntd.)

W

e have

and 

6/8/20

1056

Tapped

‐Delay‐Lin

e Filter (co

ntd.)

The N

yquist criterio

n m

ust b

e satisfied. W

e have

Den

ote c

n =c(n

T), w

e have 

6/8/20

1057

Tapped

‐Delay‐Lin

e Filter (co

ntd.)

Rem

arks

Referred

 to as a zero

‐forcin

g eq

ualizer

Optim

um in th

e sense th

at it minim

izes peak

 disto

rtion 

(ISI)

Sim

ple to

 implem

ent

The lo

nger, th

e better, i.e., th

e closer to

 the id

eal co

nditio

n as sp

ecified by th

e Nyq

uist criterio

n

For tim

e‐varying ch

annels

Train

ing

Adap

tive equalizatio

n: ad

justs th

e weig

hts

6/8/20

1058

Them

e Example –

100Base‐TX

 –Tran

smissio

n of 1

00 M

bps o

ver Tw

isted Pair

Fast E

thern

et: 100BASE‐TX

Up to 10

0Mbps

Usin

g tw

o pairs o

f twisted

 copper w

ires Categ

ory 5 

cable

One p

air for each

 directio

n

Maxim

um distan

ce: 100 m

eters

First stag

e: NRZ 4B5B 

provid

e clock

ing in

form

ation

Seco

nd stag

e: NRZI

Third stag

e: three‐level sig

nalin

g M

LT‐3

W

ith tap

ped‐delay‐lin

e equalizatio

n

6/8/20

1059

Summary

Two tran

smissio

n im

pairm

ents

Noise

ISI

Im

pact o

f the tw

o tran

smissio

n im

pairm

ents

How to m

itigate th

e effects of tran

smissio

n im

pairm

ents

Match

ed filter

Evalu

ating th

e BER

Eye p

attern

Nyq

uist criterio

ns fo

r disto

rtionless criterio

n

Tap

ped‐delay‐lin

e equalizatio

n

Binary tran

smissio

ns an

d M‐ary tran

smissio

ns

6/8/20

1060