7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

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W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

C h u r c h ' s t h e s i s m e e t s t h e N - b o d y p r o b l e m

W a r r e n D . S m i t h

E m a i l : w d s @ r e s e a r c h . N J . N E C . C O M

d a t e = M a r c h 1 , 1 9 9 9

A b s t r a c t | T H I S I S A R E V I S I O N - I N - P R O G R E S S !

N O T Q U I T E F I N A L Y E T !

\ C h u r c h ' s t h e s i s " i s a t t h e f o u n d a t i o n o f c o m p u t e r

s c i e n c e . I t i s p o i n t e d o u t t h a t w i t h a n y p a r t i c u l a r s e t

o f p h y s i c a l l a w s , C h u r c h ' s t h e s i s n e e d n o t m e r e l y b e

p o s t u l a t e d , i n f a c t i t m a y b e d e c i d a b l e . T r y i n g t o d o

s o i s v a l u a b l e . I n N e w t o n ' s l a w s o f p h y s i c s w i t h p o i n t

m a s s e s , w e o u t l i n e a p r o o f t h a t C h u r c h ' s t h e s i s i s

f a l s e . B u t w i t h c e r t a i n m o r e r e a l i s t i c l a w s o f m o t i o n ,

i n c o r p o r a t i n g s o m e r e l a t i v i s t i c e e c t s , t h e E x t e n d e d

C h u r c h ' s t h e s i s i s t r u e . A l o n g t h e w a y w e p r o v e a

u s e f u l t h e o r e m : a w i d e c l a s s o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l

e q u a t i o n s m a y b e i n t e g r a t e d w i t h \ p o l y n o m i a l s l o w -

d o w n . " W a r n i n g : w e c a n n o t g i v e c a r e f u l d e n i t i o n s

a n d c a v e a t s i n t h i s a b s t r a c t , a n d i n t e r p r e t i n g o u r r e -

s u l t s i s d i c u l t .

K e y w o r d s | N e w t o n i a n N - b o d y p r o b l e m , C h u r c h ' s t h e s i s ,

c o m p u t a b i l i t y , n u m e r i c a l m e t h o d s f o r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a -

t i o n s .

C o n t e n t s

1 B a c k g r o u n d 1

2 I n t r o d u c t i o n . O u r r e s u l t s a n d t h e i r i n t e r -

p r e t a t i o n . 2

2 . 1 F i r s t w a y t o i n t e r p r e t t h e o r e m 4 : N -

b o d i e s a r e u n s i m u l a t a b l e : : : : : : : : : : 2

2 . 2 S e c o n d w a y t o i n t e r p r e t t h e o r e m 4 i n

w h i c h N - b o d i e s \ s o l v e " t h e g e n e r a l h a l t -

i n g p r o b l e m i n 1 . 1 s e c o n d s . : : : : : : : : 2

2 . 3 C h u r c h ' s t h e s i s a s a s t a t e m e n t a b o u t

s i m u l a b i l i t y v e r s u s a s a s t a t e m e n t a b o u t

b u i l d a b i l i t y o f s u p e r c o m p u t e r s : : : : : : 3

2 . 4 E i n s t e i n t o t h e r e s c u e : : : : : : : : : : : 4

2 . 5 A p o l o g y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

3 T h e N e w t o n i a n N - b o d y p r o b l e m i s u n s i m -

u l a t a b l e ( e v e n i n t h e p l a n e ) 5

3 . 1 A l i t t l e b a c k g r o u n d : : : : : : : : : : : : : 5

3 . 2 G e r v e r ' s e x a m p l e o f a n o n c o l l i s i o n s i n g u -

l a r i t y i n t h e p l a n e : : : : : : : : : : : : : 5

3 . 3 C r u d e j u s t i c a t i o n o f G e r v e r ' s p r o p e r t i e s

a n d p r o o f : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

N E C R e s e a r c h I n s t i t u t e , 4 I n d e p e n d e n c e W a y P r i n c e t o n N J

0 8 5 4 0 U S A

3 . 4 S i d e r e m a r k : a p r o b l e m a b o u t b a s e b a l l

p i t c h e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

3 . 5 M o d i c a t i o n s o f G e r v e r ' s e x a m p l e : : : : 9

3 . 6 C o n c l u s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

4 W i t h m o r e r e a l i s t i c p h y s i c a l l a w s , t h e e x -

t e n d e d C h u r c h t h e s i s i s s a v e d 1 0

4 . 1 E u l e r ' s n u m e r i c a l m e t h o d i s n ' t g o o d e n o u g h 1 0

4 . 2 B u t a s c h e m e i n v o l v i n g R u n g e - K u t t a

m e t h o d s o f u n b o u n d e d l y l a r g e d e g r e e , i s

g o o d e n o u g h : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

4 . 3 R e a d t h e N u m e r i c a l A n a l y s i s l i t e r a t u r e ,

a n d b e s u r p r i s e d : : : : : : : : : : : : : : 1 3

4 . 4 G e n e r a l R e l a t i v i t y : : : : : : : : : : : : : 1 4

4 . 5 W h y w e h a v e n ' t t r i e d t o s i m u l a t e f u l l G R 1 5

4 . 6 L i n e a r i z e d g e n e r a l r e l a t i v i t y : : : : : : : : 1 6

4 . 7 N o n - c o l l i s i o n s i n g u l a r i t i e s a r e i m p o s s i b l e

i n l i n e a r i z e d G R : : : : : : : : : : : : : : 1 6

4 . 8 M o d i e d l i n e a r i z e d G R : : : : : : : : : : : 1 7

4 . 9 T h e N - b o d y p r o b l e m i n m o d i e d l i n -

e a r i z e d G R i s s i m u l a t a b l e w i t h p o l y n o m i a l

s l o w d o w n b y a T u r i n g m a c h i n e : : : : : : 1 7

5 F i n a l r e m a r k s 1 8

5 . 1 W h e r e I s t a n d : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

5 . 2 M o v i e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

5 . 3 I n n i t e e n e r g y s o u r c e : : : : : : : : : : : : 1 8

5 . 4 W a t e r w o r l d : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

5 . 5 R e a l n u m b e r s : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

5 . 6 O p e n q u e s t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : 2 0

6 A p p e n d i x o n n o t a t i o n 2 0

1 B a c k g r o u n d

Y o u s h o u l d k n o w w h a t a U n i v e r s a l T u r i n g M a c h i n e i s

a n d w h a t t h e C h u r c h t h e s i s i s m i 6 7 ] , a n d t h e b a s i c s

o f N e w t o n i a n M e c h a n i c s ( e s p e c i a l l y t h e 2 - b o d y p r o b l e m

c o 8 9 ] ) a n d S p e c i a l R e l a t i v i t y . T h e c a r e f u l r e a d e r w o u l d

w a n t t o k n o w a f a i r a m o u n t a b o u t n u m e r i c a l m e t h o d s

f o r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d t h e i r t e r m i n o l o g y

b u 8 7 ] h a 7 6 ] , a n d w o u l d w a n t t o h a v e c a r e f u l l y e x a m i n e d

G e r v e r ' s p a p e r g e 9 1 ] .

S e e t h e a p p e n d i x f o r e x p l a n a t i o n s o f s o m e o f o u r n o -

t a t i o n .

T M 9 3 - 1 0 5 - 3 - 0 0 5 8 - 6 1 . 2 . 0 . 0

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W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

2 I n t r o d u c t i o n . O u r r e s u l t s a n d t h e i r

i n t e r p r e t a t i o n .

\ C h u r c h ' s t h e s i s , " o r t h e \ C h u r c h - T u r i n g t h e s i s "

t u 3 6 ] m i 6 7 ] , s t a t e s t h a t t h e s e t o f t h i n g s c o m m o n l y u n -

d e r s t o o d t o b e c o m p u t a t i o n i s i d e n t i c a l w i t h t h e s e t o f

t a s k s t h a t c a n b e c a r r i e d o u t b y a T u r i n g m a c h i n e .

A t r s t , C h u r c h ' s t h e s i s s e e m s m e r e l y t o b e a d e n i -

t i o n o f t h e w o r d \ c o m p u t a t i o n " a n d t h u s c o n t e n t - f r e e .

I n d e e d , i t d o e s h a v e s o m e o f a c h a r a c t e r s o m e w h e r e b e -

t w e e n t h a t o f a d e n i t i o n a n d a n a s s e r t i o n , w h i c h i s w h y

i t i s a l w a y s s t a t e d i n a n i n t e n t i o n a l l y s l i g h t l y v a g u e w a y .

H o w e v e r , i t c a n a l s o b e i n t e r p r e t e d a s a p r o f o u n d c l a i m

a b o u t t h e p h y s i c a l l a w s o f o u r u n i v e r s e , i . e . : a n y p h y s i c a l

s y s t e m t h a t p u r p o r t s t o b e a \ c o m p u t e r " i s n o t c a p a b l e

o f a n y c o m p u t a t i o n a l t a s k t h a t a T u r i n g m a c h i n e i s i n -

c a p a b l e o f .

D e n i t i o n 1 I f c o m p u t e r A w i l l a l w a y s c o m p l e t e a t a s k

w h o s e i n p u t i s L b i t s l o n g i n t i m e T ( L ) , a n d c o m p u t e r B

a l w a y s d o e s t h e s a m e t a s k i n t i m e P ( T ( L ) ; L ) w h e r e

P i s a p o l y n o m i a l , t h e n B i s s a i d t o h a v e \ p o l y n o m i a l

s l o w d o w n " r e l a t i v e t o A .

T h e \ e x t e n d e d " C h u r c h t h e s i s s t a t e s t h a t a T u r -

i n g m a c h i n e c a n d o a n y t h i n g a n y o t h e r k i n d o f ( p h y s i -

c a l l y r e a l i z a b l e ) c o m p u t e r c a n d o , w i t h a t m o s t p o l y n o -

m i a l s l o w d o w n

1

.

C h u r c h ' s t h e s i s l i e s a t t h e h e a r t o f t h e o r e t i c a l c o m -

p u t e r s c i e n c e a n d p h y s i c s ; i f i t w e r e f a l s e , m u c h o f t h e

l i f e ' s w o r k o f m o s t c o m p u t e r s c i e n t i s t s a n d t h e o r e t i c a l

p h y s i c i s t s w o u l d b e c o m e w o r t h l e s s , o r a t l e a s t , w o r t h

l e s s .

S o a n i m p o r t a n t q u e s t i o n i s n o w t o t r y t o f o r m u l a t e

c e r t a i n s e t s o f p h y s i c a l l a w s a n d t o t r y t o d e t e r m i n e

w h e t h e r C h u r c h ' s t h e s i s o r t h e e x t e n d e d C h u r c h ' s t h e -

s i s w o u l d b e v a l i d i n a u n i v e r s e w i t h t h o s e p h y s i c a l l a w s .

A w a y t o p r o v e t h e ( e x t e n d e d ) C h u r c h ' s t h e s i s i s t o c o n -

s t r u c t a n ( e c i e n t ) a l g o r i t h m f o r s i m u l a t i n g a n y p h y s i c a l

s y s t e m . A w a y t o d i s p r o v e C h u r c h ' s t h e s i s i s t o s h o w h o w

t o u s e t h e l a w s o f p h y s i c s t o c o n s t r u c t a \ c o m p u t e r " t h a t

c a n d o s o m e t h i n g t h a t T u r i n g m a c h i n e s c a n n o t d o .

L e t N b e a x e d w h o l e n u m b e r . T h e \ N e w t o n i a n

N - b o d y p r o b l e m " i s t o d e s c r i b e t h e m o t i o n o f N p o i n t

m a s s e s w h o s e i n i t i a l l o c a t i o n s a n d v e l o c i t i e s a r e g i v e n ,

a s s u m i n g t h a t N e w t o n ' s l a w o f g r a v i t y F = G m

1

m

2

= r

2

a n d a c c e l e r a t i o n F = m a h o l d . W e w i l l s k e t c h a p r o o f ( i t

i s b a s e d o n J . G e r v e r ' s r e c e n t p r o o f o f t h e \ P a i n l e v e c o n -

j e c t u r e " i n t h e p l a n e ) o f t h e o r e m 4 t h a t a n u n c o u n t a b l y

i n n i t e n u m b e r o f t o p o l o g i c a l l y d i s t i n c t t r a j e c t o r i e s a r e

p o s s i b l e i n 1 s e c o n d , a m o n g t h e p l a n a r N - b o d y p r o b l e m s

w i t h x e d m a s s e s a n d w h o s e i n i t i a l l o c a t i o n s l i e w i t h i n

1

I n t h e e v e n t t h a t t h e p h y s i c a l s y s t e m i s n o t d e t e r m i n i s t i c , t h e n

t h e T u r i n g m a c h i n e h a s t o b e g i v e n a r a n d o m b i t g e n e r a t o r , a n d

t h e c r i t e r i a f o r c o m p l e t i o n o f a c o m p u t a t i o n a l t a s k w o u l d h a v e

t o b e c o m e s t a t i s t i c a l . W e w i l l n o t c o n c e r n o u r s e l v e s w i t h t h i s i n

t h e p r e s e n t p a p e r . A l s o , i t i s n a t u r a l l y e s s e n t i a l , i n o r d e r t o g i v e

t h e p h y s i c a l u n i v e r s e a n y c h a n c e i n t h e c o m p e t i t i o n w i t h a T u r i n g

m a c h i n e h a v i n g a n i n n i t e t a p e , t h a t t h e l a w s o f p h y s i c s c o n s i d e r

t h e u n i v e r s e t o h a v e i n n i t e e x t e n t .

c e r t a i n d i s j o i n t b a l l s a n d w h o s e v e l o c i t i e s a r e b o u n d e d .

M e a n w h i l e , o f c o u r s e , T u r i n g m a c h i n e s c a n o n l y e x p e r i -

e n c e a n i t e n u m b e r o f p o s s i b l e h i s t o r i e s i n a n i t e t i m e .

A s a c o n s e q u e n c e , i t i s i m p o s s i b l e f o r a T u r i n g m a c h i n e t o

c o m p u t e a c o r r e c t q u a l i t a t i v e d e s c r i p t i o n o f t h e m o t i o n

t h a t N b o d i e s c a n m a k e i n 1 s e c o n d . ( H e r e , o f c o u r s e , \ 1

s e c o n d " c o u l d b e r e p l a c e d b y a n y n i t e i n t e r v a l o f t i m e . )

T h i s r e s u l t c a n b e i n t e r p r e t e d a s \ t h e ( u n e x t e n d e d )

C h u r c h t h e s i s w o u l d n o t b e v a l i d i n a u n i v e r s e w i t h p o i n t

m a s s e s a n d N e w t o n ' s l a w s o f m o t i o n . " T h i s i n t e r p r e -

t a t i o n o f o u r r e s u l t i s m u d d l e d b y t h e f a c t t h a t N e w -

t o n i a n p h y s i c s i n v o l v e s r e a l n u m b e r s s p e c i e d i n n i t e l y

p r e c i s e l y . H o w e v e r , t h e t o p o l o g i c a l d i s t i n c t n e s s s t a t e -

m e n t t h a t w e p r o v e i s d i s c r e t e . L e t u s b e c l e a r e r .

2 . 1 F i r s t w a y t o i n t e r p r e t t h e o r e m 4 : N - b o d i e s a r e u n -

s i m u l a t a b l e

A T u r i n g m a c h i n e c o u l d b e g i v e n N r e a l n u m b e r s a s i n -

p u t b y s i m p l y p r o v i d i n g i t w i t h N i n n i t e t a p e s e a c h

c o n t a i n i n g t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n o f a n u m b e r . T h i s

i s i n f a c t t h e r e a l i s t i c m o d e l o f i n p u t i f t h e t a s k i s N -

b o d y s i m u l a t i o n . S u c h a T u r i n g m a c h i n e c o u l d , i n i n -

n i t e c o m p u t a t i o n a l t i m e , c a l c u l a t e t h e t o p o l o g y o f t h e

t r a j e c t o r i e s o f N b o d i e s u p t o t h e p o i n t i n t i m e ( i f a n y )

w h e r e a s i n g u l a r i t y o c c u r s . I n f a c t , i f t h e r e a l n u m b e r s

s p e c i f y i n g t h e i n i t i a l l o c a t i o n s a n d m o m e n t a o f t h e b o d -

i e s w e r e \ u s u a l , " t h e T u r i n g m a c h i n e w o u l d i n f a c t s u c -

c e e d i n c o m p l e t i n g t h i s c a l c u l a t i o n ( f o r a n y p a r t i c u l a r

d e s i r e d a m o u n t o f s i m u l a t e d t i m e ) i n n i t e t i m e . B u t ,

i f t h e r e a l n u m b e r s h a p p e n e d t o b e \ u n u s u a l , " i n f a c t ,

i f t h e y h a p p e n e d t o c o r r e s p o n d t o o n e o f o u r e x a m p l e s

w h o s e t r a j e c t o r y t o p o l o g i e s a c h i e v e d s i n g u l a r i t y a n d i n -

n i t e c o m p l e x i t y i n 1 s e c o n d , t h e n i n n i t e c o m p u t e r

t i m e i t c o u l d o n l y p a r t i a l l y d e s c r i b e t h e t o p o l o g y o f t h e

t r a j e c t o r y a n d w o u l d h a v e t o k e e p r e a d i n g m o r e i n p u t

b i t s f o r e v e r . ( P r o b a b l y o u r e x a m p l e s t r u l y a r e u n u s u a l ,

i n t h e s e n s e t h a t

2

t h e y a r e m e a s u r e z e r o i n t h e s p a c e o f

r e a l n u m b e r t u p l e s . H o w e v e r , w e h a v e n o t p r o v e n t h i s . )

T h u s , t h i s w a y o f l o o k i n g a t i t m a k e s i t a p p a r e n t t h a t

t h e N - b o d y s y s t e m r e a l l y c a n d o s o m e t h i n g a T u r i n g

m a c h i n e c a n n o t d o .

2 . 2 S e c o n d w a y t o i n t e r p r e t t h e o r e m 4 i n w h i c h N -

b o d i e s \ s o l v e " t h e g e n e r a l h a l t i n g p r o b l e m i n 1 . 1

s e c o n d s .

2

I n w h i c h c a s e , i t c o u l d b e a r g u e d t h a t t h e s e u n u s u a l e x a m p l e s

c o r r e s p o n d t o a z e r o v o l u m e s e t i n p h a s e s p a c e . C o m p r e s s i n g t h e

p h a s e s p a c e v o l u m e o f a p h y s i c a l s y s t e m e x p o n e n t i a l l y s m a l l ( e

? n

)

s e e m s t o r e q u i r e ( b y t h e s e c o n d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s ) i n c r e a s i n g

t h e e n t r o p y o f t h e o u t s i d e u n i v e r s e ( o u t s i d e t h i s s y s t e m , t h a t i s ) b y

a t l e a s t n K

B

, w h i c h , a s s u m i n g t h e o u t s i d e u n i v e r s e w a s a t t e m p e r -

a t u r e T , w o u l d r e q u i r e d i s s i p a t i n g e n e r g y n k

B

T . T h u s , s e t t i n g

u p t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s w i t h i n n i t e a c c u r a c y w o u l d r e q u i r e i n -

n i t e e n e r g y e x p e n d i t u r e , a c o n c l u s i o n w h i c h c e r t a i n l y m u s t b e

t a k e n i n t o a c c o u n t w h e n e v a l u a t i n g m y c l a i m t o h a v e \ d i s p r o v e d

C h u r c h ' s t h e s i s . " I s t i l l c l a i m t h e r e i s a s e n s e i n w h i c h N p o i n t

m a s s e s w i t h N e w t o n ' s l a w s a r e m o r e p o w e r f u l t h a n a T u r i n g m a -

c h i n e , b u t t h e p r e s e n t f o o t n o t e e x h i b i t s a s e n s e i n w h i c h t h a t i s

n o t t h e c a s e .

T M 9 3 - 1 0 5 - 3 - 0 0 5 8 - 6 2 . 2 . 2 . 0

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

3/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

D e n i t i o n 2 T h e \ h a l t i n g p r o b l e m " i s t h e f o l l o w i n g

c o m p u t a t i o n a l t a s k . I n p u t : a ( n i t e l e n g t h ) d e s c r i p t i o n

o f a T u r i n g m a c h i n e T a n d t h e n o n - b l a n k p a r t o f i t s t a p e .

O u t p u t : w o u l d T e v e n t u a l l y h a l t { y e s o r n o ?

A s i s w e l l k n o w n m i 6 7 ] t h e h a l t i n g p r o b l e m i s \ u n -

d e c i d a b l e , " t h a t i s , n o T u r i n g m a c h i n e e x i s t s w h i c h c a n

d e c i d e t h e h a l t i n g p r o b l e m i n n i t e t i m e .

D e n i t i o n 3 A \ c o m p u t a b l e r e a l n u m b e r " i s a r e a l

n u m b e r R s u c h t h a t s o m e T u r i n g m a c h i n e T w i t h n i t e

n o n - b l a n k t a p e s e g m e n t , a n d e q u i p p e d w i t h a n \ o u t p u t , "

e x i s t s , t h a t w i l l o u t p u t t h e d i g i t s o f R i n o r d e r . ( N o t e :

w e a l l o w t h e u s e o f r e a l n u m b e r r e p r e s e n t a t i o n s s u c h a s

\ 5 - d i g i t b i n a r y " i n w h i c h t h e d i g i t s a

i

, i ? M , a r e i n

f ?2 ;

?1 ; 0 ; + 1 ; + 2

ga n d R =

P

i ? M

a

i

2

? i

. T h i s p e r -

m i t s a c e r t a i n a m o u n t o f \ c o r r e c t a b i l i t y " o f \ n u m e r i c a l

e r r o r s . " )

O u r u n s i m u l a t a b l e N - b o d y e x a m p l e s a r e c o m p u t a b l e

r e a l n u m b e r s , i n t h e s e n s e t h a t a T u r i n g m a c h i n e T

1

e x -

i s t s t h a t , g i v e n s e q u e n t i a l a c c e s s t o a d e s c r i p t i o n o f t h e

d e s i r e d t r a j e c t o r y t o p o l o g y , w i l l o u t p u t t h e r e a l n u m b e r s

R c o r r e s p o n d i n g t o a n i n i t i a l c o n g u r a t i o n t h a t w o u l d

e v o l v e a c c o r d i n g t o t h a t t o p o l o g y . ( S t r i c t l y s p e a k i n g ,

t h e s e r e a l n u m b e r s a r e c o m p u t a b l e i f a n d o n l y i f t h e

t r a j e c t o r y t o p o l o g y i s d e s c r i b a b l e b y a c o m p u t a b l e b i t

s t r i n g . O t h e r w i s e , t h e y a r e o n l y c o m p u t a b l e i n a n \ e x -

t e n d e d s e n s e " w h e r e t h e i n p u t t o T

1

i n d e n i t i o n 3 i s

a l l o w e d t o b e i n n i t e . T

1

, o f c o u r s e , d o e s n o t c a r e , i t w i l l

h a p p i l y o u t p u t t h e b i t s o f R f o r e v e r r e g a r d l e s s o f t h e s i z e

o f i t s i n p u t . )

T h i s v i e w l e a d s t o a d i e r e n t w a y t o i n t e r p r e t o u r r e -

s u l t s . ( S e e g u r e 0 . ) C o n s i d e r a T u r i n g m a c h i n e T

2

w h i c h , g i v e n i n i t i a l r e a l n u m b e r d a t a i n s u c h a f o r m

t h a t i t c a n a c c e s s m o r e b i t s o n d e m a n d , b y s o m e O D E -

t i m e s t e p p i n g s c h e m e ( s u i t a b l e g o o d o n e s w i l l b e d e -

s c r i b e d l a t e r i n t h i s p a p e r ) s i m u l a t e s t h e m o t i o n o f t h e N

b o d i e s , t o s u c i e n t a c c u r a c y t o b e c o n d e n t i t k n o w s t h e

t o p o l o g y o f t h e t r a j e c t o r y t h e b o d i e s t a k e i n 1 s e c o n d .

( I t k e e p s r e s t a r t i n g t h e s i m u l a t i o n u s i n g m o r e p r e c i s i o n ,

i f n e c e s s a r y , t o a c h i e v e s u c h c o n d e n c e . ) N o w , s u c h a

T u r i n g m a c h i n e , i f a s k e d t o c o m p u t e s a i d t o p o l o g y a n d

t h e n h a l t , w i l l h a l t i a n d o n l y i f t h e N b o d i e s d o n o t

r e a c h s i n g u l a r i t y i n 1 s e c o n d ( a n d i n o u r e x a m p l e s , t h e y

w i l l a l s o p h y s i c a l l y r e a c h i n n i t e d i s t a n c e , i n 1 s e c o n d ) .

H e n c e , t h e N - b o d i e s a r e s o l v i n g a T u r i n g m a c h i n e h a l t -

i n g p r o b l e m i n 1 s e c o n d . O f c o u r s e ( t h e r e a d e r m a y a n d

s h o u l d o b j e c t ) t h i s i s n o t t h e g e n e r a l h a l t i n g p r o b l e m ,

b u t r a t h e r a p a r t i c u l a r h a l t i n g p r o b l e m . B u t i n f a c t , I

c l a i m , t h e g e n e r a l h a l t i n g p r o b l e m i s n o t h a r d e r t h a n

t h i s h a l t i n g p r o b l e m . B e c a u s e , t h e s y s t e m \ T

0

j T

1

j T

2

" i n

w h i c h t h e o u t p u t o f T

0

i s p i p e d i n t o t h e i n p u t o f T

1

a n d

t h e o u t p u t o f T

1

i s p i p e d i n t o t h e i n p u t o f T

2

{ t h e t o t a l

c o m b i n a t i o n i s e q u i v a l e n t t o a n o t h e r T u r i n g m a c h i n e w e

w i l l c a l l T

3

3

{ h a l t s i f a n d o n l y i f , T

0

h a l t s , a n d t h e r e i s

n o r e s t r i c t i o n w h a t e v e r o n T

0

.

3

M o r e d e t a i l s : T

3

r u n s t h e U N I X

T M

o p e r a t i n g s y s t e m a n d

h e n c e h a s n o t r o u b l e w i t h I O p i p e s . . . a l s o , i n t h e e v e n t t h a t T

2

h a l t s , i t s e n d s \ k i l l " s i g n a l s t o T

1

a n d T

0

s o t h a t T

3

w i l l h a l t

H e n c e , w e h a v e t w o m a c h i n e s , t h e N - b o d y s y s t e m , a n d

a T u r i n g m a c h i n e T

3

, a n d w e m a y m a k e a f a c e - t o - f a c e

c o m p a r i s o n . G i v e n n i t e i n p u t , n a m e l y t h e c o m p u t a b l e

r e a l n u m b e r d e s c r i b e d b y T

0

j T

1

, T

2

e i t h e r h a l t s , o r n o t ,

i t h e u n r e s t r i c t e d h a l t i n g p r o b l e m f o r T

0

h a l t s , o r n o t .

M e a n w h i l e , g i v e n t h e \ s a m e " i n p u t b u t e x p r e s s e d i n i t s

l a n g u a g e ( n a m e l y , a c t u a l l y a s r e a l n u m b e r s ) , t h e N - b o d y

s y s t e m e i t h e r e x p l o d e s t o i n n i t y i n 1 s e c o n d , n o b o d y

g o i n g w i t h i n t h e u n i t c i r c l e , o r i t d o e s n o t g o i n n i t e l y

f a r i n 2 s e c o n d s a n d a l a r g e n u m b e r o f \ a s t e r o i d s " h i t

t h e u n i t c i r c l e ( w h i c h c o n t a i n s , s a y , a n u n l u c k y c a t ) i n

1 . 1 s e c o n d s

4

. T h i s i s a b o u t a s f a i r a c o m p a r i s o n a s i t

i s p o s s i b l e t o m a k e . E a c h m a c h i n e s w a l l o w s i n p u t i n i t s

o w n \ l a n g u a g e , " n a m e l y , t h e T u r i n g m a c h i n e s w a l l o w s

a n i t e n u m b e r o f b i t s ( t h e d e s c r i p t i o n o f T

0

j T

1

) a n d

t h e N - b o d i e s s w a l l o w c o m p u t a b l e r e a l n u m b e r s . T h e r e

i s n o w a y t o a v o i d f e e d i n g t h e N b o d i e s i n n i t e l y l o n g

r e a l n u m b e r s . H a d t h e y b e e n f e d r e a l s w i t h t e r m i n a t i n g

e x p a n s i o n s , f o r e x a m p l e , t h e y w o u l d n o t e v e n \ k n o w "

i t , s i n c e t h e i n n i t e s t r i n g o f z e r o e s a t t h e e n d w o u l d

m a t t e r . E a c h m a c h i n e h a s a 2 - s t a t e o u t p u t , r e a d i l y

r e c o g n i z a b l e , t h e s i m p l e s t w e c o u l d a s k f o r : t h e c a t d i e s ,

o r n o t . T h e N - b o d y m a c h i n e c a n s o l v e a l l s u c h p r o b l e m s

i n 2 s e c o n d s , b u t n o T u r i n g m a c h i n e c a n s o l v e a l l s u c h

p r o b l e m s i n a n y n i t e a m o u n t o f t i m e .

T h u s ( a s a t y p i c a l c o n s e q u e n c e ; o n e c o u l d w r i t e a n y

n u m b e r o f s t a t e m e n t s o f t h i s k i n d ) t h e r e e x i s t i n i t i a l c o n -

g u r a t i o n s o f N b o d i e s i n t h e p l a n e i n w h i c h s e v e r a l o f

t h e b o d i e s w i l l h i t t h e u n i t c i r c l e w i t h i n 1 . 1 s e c o n d s i f

a n d o n l y i f t h e R i e m a n n h y p o t h e s i s i s f a l s e

5

.

2 . 3 C h u r c h ' s t h e s i s a s a s t a t e m e n t a b o u t s i m u l a b i l i t y

v e r s u s a s a s t a t e m e n t a b o u t b u i l d a b i l i t y o f s u p e r -

c o m p u t e r s

T h e p r e s e n t p a p e r d e m o n s t r a t e s ( I c l a i m ) t h a t u n s i m -

u l a b l e p h y s i c a l s y s t e m s e x i s t i n N e w t o n ' s l a w s o f g r a v -

i t y a n d m o t i o n f o r p o i n t m a s s e s . H o w e v e r , i t d o e s n o t

a p p e a r t o d e m o n s t r a t e , t h a t , i f w e l i v e d i n a u n i v e r s e

g o v e r n e d b y t h o s e l a w s , w e c o u l d a c t u a l l y b u i l d a d e v i c e

w i t h s u p e r - T u r i n g c o m p u t a t i o n a l p o w e r . T h i s i s b e c a u s e

( c o n j e c t u r a l l y { t h i s i s a n i m p o r t a n t o p e n p r o b l e m ) t h e

s e t o f i n i t i a l c o n d i t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o u n s i m u l a b l e b e -

h a v i o r , h a s m e a s u r e z e r o . I f s o , t h e n t h e r e i s n o w a y

t o a c h i e v e s u c h b e h a v i o r i f o u r p l a c e m e n t a c c u r a c y i s

n o n - i n n i t e s i m a l . I n d e e d , t h e r e a p p e a r t o b e f u n d a m e n -

t a l t h e r m o d y n a m i c r e a s o n s w h y i m p r e c i s i o n , i n c l a s s i c a l

m e c h a n i c s , c a n n o t b e a v o i d e d . I f w e w i s h t o c o m p r e s s

o u r i n i t i a l c o n d i t i o n s i n t o a v e r y s m a l l \ b a l l o f i m p r e c i -

s i o n " i n p h a s e s p a c e , o f v o l u m e V , t h a t w o u l d r e q u i r e

t o o . . . a l s o , T

0

i s n o t c o m p l e t e l y u n r e s t r i c t e d , s i n c e w e w i l l d e m a n d

t h a t i t o u t p u t a c h a r a c t e r e v e r y s t a t e t r a n s i t i o n . T h i s i s o f c o u r s e

n o t a r e a l r e s t r i c t i o n . . . n a l l y , t h e s e t o f \ t o p o l o g i c a l t y p e s " t h a t

w e a l l o w T

1

a n d T

2

t o t h i n k a b o u t h a p p e n t o b e i n a s i m p l e 1 - 1

c o r r e s p o n d e n c e w i t h n i t e a n d i n n i t e b i t s t r i n g s ( s e e x 3 . 6 ) a n d

s i n g u l a r i t y o c c u r s i f a n d o n l y i f t h e b i t s t r i n g i s i n n i t e .

4

I n p l a c e o f \ 1 . 1 " o n e c o u l d h a v e u s e d a n y u p p e r b o u n d o n

1 + 1 = ( 2 )

5

a n d t h e t r a j e c t o r i e s m a y b e i n t e r p r e t e d a s a d e s c r i p t i o n o f a

c o u n t e r e x a m p l e .

T M 9 3 - 1 0 5 - 3 - 0 0 5 8 - 6 3 . 2 . 3 . 0

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

4/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

i n c r e a s i n g t h e e n t r o p y o f s o m e t h i n g e l s e ( t h e r e s t o f t h e

u n i v e r s e ) b y a n a d d i t i v e a m o u n t p r o p o r t i o n a l t o l n V ,

w h i c h w o u l d r e q u i r e e n e r g y o f o r d e r k

B

T l n V w h e r e T i s

t h e t e m p e r a t u r e o f t h e r e s t o f t h e u n i v e r s e . A s V ! 0 ,

t h i s w o u l d b e i n n i t e .

2 . 4 E i n s t e i n t o t h e r e s c u e

N e x t , w e s h o w ( t h e o r e m 8 ) t h a t i f N e w t o n ' s l a w s o f g r a v -

i t y a n d m o t i o n a r e r e p l a c e d b y c e r t a i n m o r e E i n s t e i n i a n

l a w s ( w h i c h a r e b a s i c a l l y i n t e r m e d i a t e b e t w e e n N e w t o n ' s

l a w s a n d G e n e r a l R e l a t i v i t y ) , t h e n t h e n u m b e r o f t o p o -

l o g i c a l l y d i s t i n c t t r a j e c t o r i e s t h a t c a n h a p p e n i n n i t e

t i m e , i s n i t e , a n d i n d e e d , e c i e n t a n d a c c u r a t e s i m u l a -

t i o n i s p o s s i b l e b y a T u r i n g m a c h i n e w i t h o n l y p o l y n o -

m i a l s l o w d o w n .

T h e r e a r e a t l e a s t 3 w a y s t o a l t e r N e w t o n ' s l a w s s o

t h a t C h u r c h ' s t h e s i s i s s a v e d . T h e s i m p l e s t i s s i m p l y

t o a l t e r N e w t o n ' s l a w s s o t h a t t h e r e a r e s h o r t - r a n g e

r e p u l s i v e f o r c e s , f o r e x a m p l e , t h e f o r c e b e t w e e n t w o

b o d i e s o f m a s s e s m

1

a n d m

2

a t s e p a r a t i o n r c o u l d b e

G m

1

m

2

( r ? m

1 = 3

1

+ m

1 = 3

2

] K ) = r

3

.

A n o t h e r i s t h e \ s p e c i a l r e l a t i v i s t i c t h e o r y o f g r a v i t y "

( S R T G ) .

~v

i

=

d ~x

i

d t

; ~p

i

= m

i

~v

i

m

i

= ( m

r e s t

)

i

=

p

1 ? j ~v

i

j

2

= c

2

d ~p

i

d t

= G

X

j 6= i

m

i

m

0

j

~x

0

j

? ~x

i

j ~x

0

j

? ~x

i

j

3

w h e r e p r i m e d q u a n t i t i e s a r e u n d e r s t o o d t o a p p l y a t a

r e t a r d e d m o m e n t t

0

, i . e .

1

c

j~x

i

?~x

0

j

j= t

?t

0

. ( t

0

d e p e n d s

o n i a n d j , a f a c t o b s c u r e d b y o u r n o t a t i o n . ) S R T G

i s a n a p p e a l i n g t h e o r y o f g r a v i t y , u n t i l o n e s e e s t h a t i t

m u s t b e i n c o r r e c t b y c o n s i d e r i n g c e r t a i n g e n e r a l r e l a -

t i v i s t i c g e d a n k e n e x p e r i m e n t s ( m i 7 3 ] p p . 1 8 7 - 9 ) . S R T G

i s m a t h e m a t i c a l l y m o r e c o m p l i c a t e d t h a n N e w t o n p l u s

r e p u l s i o n , d u e t o t h e \ r e t a r d e d p o t e n t i a l s " ( l e a d i n g t o a

\ d e l a y d i e r e n t i a l e q u a t i o n " i n s t e a d o f a n o r d i n a r y d i f -

f e r e n t i a l e q u a t i o n , a n d f o r c i n g t h e i n i t i a l d a t a t o b e p r o -

v i d e d b y a n \ o r a c l e " w h o c a n p r o v i d e d a t a a b o u t t h e

s t a t e o f t h e s y s t e m b e f o r e t = 0 ) a n d a l s o t o t h e n o t -

t i m e - r e v e r s i b l e p o s s i b i l i t y o f \ c o a l e s c i n g b l a c k h o l e s . "

T h e t h i r d a n d m o s t c o m p l i c a t e d s e t o f l a w s w e d i s c u s s

( a n d t h e o n e w e w i l l c o n c e n t r a t e o n ) i s \ m o d i e d l i n -

e a r i z e d g e n e r a l r e l a t i v i t y , " w h i c h h a s a l l t h e m a t h e m a t -

i c a l l y a n n o y i n g f e a t u r e s o f S R T G , a n d a l s o h a s t e n s o r s .

T h i s r e s u l t c a n b e i n t e r p r e t e d a s \ C h u r c h ' s e x t e n d e d

t h e s i s w o u l d b e v a l i d i n a u n i v e r s e h a v i n g o n l y a n i t e

n u m b e r o f p o i n t m a s s e s , a l l o b e y i n g t h e s e l a w s o f m o -

t i o n . " B u t t h i s i n t e r p r e t a t i o n i s a g a i n m u d d l e d b y t h e

q u e s t i o n o f w h a t i n i t i a l c o n d i t i o n s o n e i s \ a l l o w e d " t o

s p e c i f y . T o p r o v e o u r s i m u l a t i o n r e s u l t w e m u s t a s s u m e

t h a t t h e i n i t i a l r e s t m a s s e s a n d k i n e t i c e n e r g i e s m u s t b e

g i v e n i n u n a r y , a l t h o u g h t h e i r i n i t i a l p o s i t i o n s a n d d i r e c -

t i o n s a r e w r i t t e n i n b i n a r y . T h i s s e e m s \ f a i r ; " i t w o u l d

b e r i d i c u l o u s t o a l l o w y o u t o h a v e a m a s s - e n e r g y o f 1 0

1 0 0

g r a m s f o r o n l y 1 0 0 d o l l a r s a n d s t i l l d e s i r e t h a t y o u r p o w e r

( c o m p u t a t i o n a l o r a n y o t h e r k i n d ! ) b e o n l y p o l y n o m i a l l y

g r e a t e r t h a n m i n e .

W h i l e p r o v i n g t h i s r e s u l t , w e a l s o p r o v e a n i n t e r m e -

d i a t e t h e o r e m ( t h e o r e m 7 ) o f g e n e r a l i n t e r e s t : a w i d e

c l a s s o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i s s i m u l a t a b l e w i t h

p o l y n o m i a l s l o w d o w n

6

. B e s i d e s i n n i t e p r e c i s i o n , t h e

t w o k e y f a c t s a b o u t t h e N e w t o n i a n N b o d y p r o b l e m

w h i c h m a k e i t u n s i m u l a t a b l e a r e ( 1 ) a n i n n i t e a m o u n t o f

p o t e n t i a l e n e r g y i s a v a i l a b l e b y m o v i n g t w o p o i n t m a s s e s

a r b i t r a r i l y c l o s e t o g e t h e r , ( 2 ) a b o d y c a n m o v e a t a r b i -

t r a r i l y h i g h v e l o c i t y b y p r o v i d i n g i t w i t h e n o u g h e n e r g y .

I n t h e n e w m o r e r e a l i s t i c l a w s o f g r a v i t y a n d m o t i o n :

n o t h i n g c a n m o v e f a s t e r t h a n t h e s p e e d o f l i g h t , a n d i f

a n y t w o m a s s e s g e t c l o s e r t h a n h a l f t h e i r S c h w a r z s c h i l d

r a d i u s R , t h e s i m u l a t o r i s a l l o w e d t o a s s u m e t h a t t h e y

i n s t a n t l y c o m b i n e i n t o o n e p o i n t m a s s .

A m o r e p r e c i s e d e s c r i p t i o n o f o n e t h i n g w e c a n d o

a b o u t S c h w a r z s c h i l d r a d i i i s a s f o l l o w s :

1 . I f m a s s e s a p p r o a c h w i t h i n ( R

1

+ R

2

) = 2 , a l w a y s c o m -

b i n e .

2 . I f t w o m a s s e s n e v e r g e t c l o s e r t h a n R

1

+ R

2

, n e v e r

c o m b i n e .

3 . I f t h e c l o s e s t a p p r o a c h i s b e t w e e n t h e s e t w o v a l u e s ,

t h e n t h e d e c i s i o n i s a t t h e d i s c r e t i o n o f t h e s i m u l a -

t o r .

T h i s i s n o t a s s i l l y a s i t s o u n d s , b e c a u s e \ K e r r b l a c k

h o l e s " h a v e e v e n t h o r i z o n s w h o s e r a d i u s i s i n ( R = 2 ; R )

w h e r e R i s t h e S c h w a r z s c h i l d r a d i u s , b u t t h e s e e v e n t

h o r i z o n s a r e a f u n c t i o n n o t o n l y o f t h e m a s s o f t h e h o l e

( k n o w n t o t h e s i m u l a t o r ) b u t a l s o o f i t s a n g u l a r m o m e n -

t u m ( n o t k n o w n t o t h e s i m u l a t o r ; a n g u l a r m o m e n t u m

o f a p o i n t m a s s n o t b e i n g a N e w t o n i a n c o n c e p t ) . A l s o ,

t h e r e i s n o s i m p l e t h e o r y o f w h a t t h e e v e n t h o r i z o n s d o

d u r i n g n e a r - c o l l i s i o n s , e s p e c i a l l y n o n b i n a r y o n e s .

6

T h i s i s t h e r s t p o l y t i m e r e s u l t f o r O D E s . P r e v i o u s p a p e r s

r e l a t e d t o t h i s o n e a r e M o o r e ' s p a p e r m o 9 0 ] s h o w i n g t h a t a p o i n t

p a r t i c l e b o u n c i n g b e t w e e n a n i t e n u m b e r o f p e r f e c t p a r a b o l i c a n d

p l a n a r m i r r o r s c a n s i m u l a t e a T u r i n g m a c h i n e , a n d h e n c e h a s u n d e -

c i d a b l e l o n g t e r m b e h a v i o r . M o o r e t h e n o b s e r v e d t h a t t h e m i r r o r s

c o u l d b e \ s o f t e n e d " s o t h a t t h e l o n g t e r m b e h a v i o r o f a p a r t i c l e

m o v i n g i n a c e r t a i n s m o o t h a n d n i t e l y d e s c r i b a b l e p o t e n t i a l i n

3 D , i s u n d e c i d a b l e . B r o c k e t t b r 8 9 ] s h o w s h o w t o c o n s t r u c t a n i t e

s y s t e m o f O D E s w h i c h w i l l e m u l a t e a n i t e s t a t e m a c h i n e o r ( w i t h

t h e a i d o f t h e s i n e f u n c t i o n ) a c o u n t e r . B y p u t t i n g t h e s e t o g e t h e r

( w h i c h , f o r s o m e r e a s o n , B r o c k e t t d i d n o t a c t u a l l y m e n t i o n ) o n e

o b t a i n s \ c o u n t e r m a c h i n e s " w h i c h m i 6 7 ] h a v e t h e f u l l p o w e r o f a

T u r i n g m a c h i n e . T h u s , o n c e a g a i n , o n e h a s a s m a l l s y s t e m o f O D E s

w i t h u n d e c i d a b l e l o n g t e r m b e h a v i o r . B r o c k e t t ' s s y s t e m s h a v e t h e

a d v a n t a g e t h a t t h e y a r e \ s e l f c o r r e c t i n g ; " a b o u n d e d a m o u n t o f

e r r o r i n t h e r e a l n u m b e r i n i t i a l d a t a t h a t s p e c i e s t h e c o u n t e r m a -

c h i n e t h a t t h e O D E i s s i m u l a t i n g , w i l l n o t m a t t e r . A l s o , s i n c e

B r o c k e t t ' s s y s t e m s a r e d e n e d m a t h e m a t i c a l l y a n d n o t r e q u i r e d t o

h a v e a n y c o n n e c t i o n t o p h y s i c s , o n e c o u l d a l s o \ s p e e d u p t i m e "

s o t h a t B r o c k e t t ' s m a c h i n e s w i l l h a v e u n d e c i d a b l e b e h a v i o r i n -

n i t e \ t i m e . " K o k o 8 3 ] s h o w e d v a r i o u s r e s u l t s , m o s t l y n e g a t i v e ,

a b o u t t h e a b s t r a c t c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f O D E s . F o r e x a m -

p l e : T h e s o l u t i o n y ( t ) o f _y = F ( y ; t ) , e v e n i f F i s p o l y n o m i a l - t i m e

c o m p u t a b l e , n e e d n o t b e c o m p u t a b l e . A d i e r e n t k i n d o f u n d e c i d -

a b i l i t y r e s u l t f o r s y s t e m s o f O D E s m a y b e f o u n d i n c h a p t e r 9 o f

m a 9 3 ] .

T M 9 3 - 1 0 5 - 3 - 0 0 5 8 - 6 4 . 2 . 5 . 0

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

5/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

2 . 5 A p o l o g y

I a p o l o g i z e t o t h e r e a d e r f o r t h e e x c e s s i v e n u m b e r o f f o o t -

n o t e s a n d t h e l e n g t h o f t h e d i s c u s s i o n o f t h e i n t e r p r e t a -

t i o n o f t h e r e s u l t s . T h e l a t t e r w a s n e c e s s a r y b e c a u s e

i n t e r p r e t i n g o u r r e s u l t s { a s i s o f t e n t h e c a s e i n t h e l a n d

o f u n c o m p u t a b i l i t y { r e a l l y i s q u i t e d i c u l t ! T h e f o r m e r

w a s f e l t t o b e n e c e s s a r y i n v i e w o f t h e a l m o s t e q u a l l y

e x c e s s i v e a m o u n t o f a k t h a t t h e a u t h o r h a s h a d t o p u t

u p w i t h . I f e e l t h a t c e r t a i n l y a n y q u e s t i o n i n g o f C h u r c h ' s

t h e s i s s h o u l d b e e x a m i n e d n a r r o w l y , b u t I f e e l t h a t m o s t

o f t h e c r i t i c i s m s t h a t h a v e b e e n d i r e c t e d a t t h i s p a p e r

h a v e b e e n , w h i l e s e e m i n g l y w e l l m o t i v a t e d , a c t u a l l y u n -

f o u n d e d . ( O f c o u r s e , a n a d d i t i o n a l f o o t n o t e w a s t h e n

r e q u i r e d t o r e f u t e e a c h s u c h c r i t i c i s m . ) O n t h e o t h e r

h a n d , I f e e l t h a t a f e w s u c h c r i t i c i s m s a c t u a l l y a r e w e l l

f o u n d e d , o r a t l e a s t w o r t h d i s c u s s i n g . F o r s u c h d i s c u s -

s i o n , p l u s s o m e m o r e o n i n t e r p r e t i n g o u r r e s u l t s , a n d a l s o

a f e w o p e n q u e s t i o n s , g o t o t h e e n d o f t h i s p a p e r .

3 T h e N e w t o n i a n N - b o d y p r o b l e m i s

u n s i m u l a t a b l e ( e v e n i n t h e p l a n e )

3 . 1 A l i t t l e b a c k g r o u n d

T h e N e w t o n i a n N - b o d y p r o b l e m i s g o v e r n e d b y t h e l a w s

o f m o t i o n

~x

i

= G

X

j 6= i

m

j

~x

j

? ~x

i

j ~x

j

? ~x

i

j

3

; ( 1 )

w h e r e ~x

i

i s t h e p o s i t i o n o f b o d y i a t t i m e t , m

j

i s t h e

m a s s o f b o d y j , G i s N e w t o n ' s g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t ,

a n d d o t s d e n o t e t i m e d e r i v a t i v e s . S o m e e l e m e n t a r y t h e -

o r e m s a r e t h a t t h e t o t a l m o m e n t u m ~p =

P

j

m

j

_

~x

j

, t o t a l

a n g u l a r m o m e n t u m

~

L =

P

j

m

j

~x

j

_

~x

j

, a n d t o t a l e n e r g y

K + P , w h e r e K =

1

2

P

j

m

j

j

_

~x

j

j

2

i s t h e k i n e t i c e n e r g y

a n d P = ? G

P

i

P

j < i

m

i

m

j

j ~x

i

? ~x

j

j

i s t h e p o t e n t i a l e n e r g y ,

a r e e a c h c o n s e r v e d , a n d t h e v i r i a l t h e o r e m

J = 4 K ? 2 P

w h e r e J =

P

j

m

j

j ~x

j

j

2

i s t h e m o m e n t o f i n e r t i a , h o l d s .

T h e o w i n 6 N - d i m e n s i o n a l m o m e n t u m - p o s i t i o n \ p h a s e

s p a c e " i n d u c e d b y N e w t o n ' s l a w s , i s v o l u m e - p r e s e r v i n g .

S a a r i ( s a 7 3 ] a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n ) h a s s h o w n t h a t w i t h

a n y x e d s e t o f N m a s s e s , t h e s u b s e t o f p h a s e s p a c e

w h i c h w i l l e v o l v e t o a c o l l i s i o n s i n g u l a r i t y , i s o f m e a s u r e

z e r o .

I n t h e 2 - b o d y p r o b l e m , t h e b o d i e s f o l l o w t r a j e c t o r i e s

w h i c h i n p o l a r c o o r d i n a t e s w i t h t h e o r i g i n a t t h e c e n t e r

o f m a s s a r e r = P = ( 1 ? E c o s ( ?

0

) ) , i . e . c o n i c s e c t i o n s

w i t h f o c u s a t t h e o r i g i n , w h e r e E i s t h e \ e c c e n t r i c i t y , "

n a m e l y E = 0 f o r a c i r c l e , E = 1 f o r a p a r a b o l a ( i n n i t e l y

l o n g e l l i p s e ) , 0 < E 1 f o r a

h y p e r b o l a . I t i s c o n v e n i e n t t o r e g a r d t h e e c c e n t r i c i t y E

i s a v e c t o r

~

E s o t h a t j

~

E j = E a n d a r g ( E ) =

0

. P i s

a c o n s t a n t , n a m e l y ( f o r e l l i p s e s ) P i s t h e r a d i u s w h e n

?

0

= = 2 .

T h e s p e e d s o f t h e b o d i e s a l o n g t h e s e t r a j e c t o r i e s f o l l o w

f r o m K e p l e r ' s l a w o f \ e q u a l a r e a s ( o f t h e c o n i c ) a r e s w e p t

o u t i n e q u a l t i m e s " w h i c h i s r e a l l y j u s t c o n s e r v a t i o n o f

a n g u l a r m o m e n t u m , a n d t h e l a w o f c o n s e r v a t i o n o f t o -

t a l e n e r g y . F o r a c i r c u l a r o r b i t ( \ K e p l e r ' s t h i r d l a w " )

t h e o r b i t a l y e a r i s p r o p o r t i o n a l t o t h e 3 = 2 p o w e r o f t h e

o r b i t a l r a d i u s . T h e t o t a l e n e r g y ( w h i c h i s n e g a t i v e ) i s

p r o p o r t i o n a l t o t h e r e c i p r o c a l o f t h e o r b i t a l r a d i u s .

W e n o t e t h a t i n a h y p e r b o l i c o r b i t w i t h a s y m p t o t e a n -

g l e b o u n d e d b e l o w , t h e m i n i m a l s e p a r a t i o n r b e t w e e n

t h e t w o b o d i e s w i l l b e o f o r d e r r G m

2

= v

2

1

w h e r e v

1

i s

t h e s p e e d o f b o d y 1 a t

1, a n d \ a l l t h e a c t i o n " ( a n a r b i -

t r a r i l y l a r g e x e d f r a c t i o n o f t h e c u r v a t u r e o f t r a j e c t o r y

1 , t h a t i s ) w i l l t a k e p l a c e d u r i n g a t i m e i n t e r v a l o f o r d e r

t G m

2

= v

3

1

.

I t i s s o m e t i m e s p o s s i b l e t o t r e a t t h e m o t i o n o f t w o

b o d i e s i n a n N - b o d y p r o b l e m a s a s m a l l p e r t u r b a t i o n

o f t h e s o l u t i o n o f t h e 2 - b o d y p r o b l e m . I n p a r t i c u l a r , i f

t h e f o r c e s e x e r t e d o n t h e 2 b o d i e s b y t h e o t h e r N ? 2

b o d i e s h a v e m a g n i t u d e b o u n d e d a b o v e b y a s m a l l c o n -

s t a n t , t h e n t h e i r n a l m o m e n t a w i l l b e p e r t u r b e d

b y a t m o s t O ( t ) a n d t h e i r n a l p o s i t i o n s b y a t m o s t

O ( t

2

) a f t e r a d u r a t i o n t , i n t h e l i m i t ! 0 + w i t h

a l l o t h e r i n i t i a l d a t a r e m a i n i n g x e d . T h u s , c o n s i d e r -

i n g t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h , h y p e r b o l i c s w i n g b y s w i t h

b e n d a n g l e b o u n d e d w i t h i n ( 0 ; ) , e x e c u t e d b y s u -

c i e n t l y f a s t - m o v i n g o b j e c t s , o r n e a r - c i r c u l a r o r b i t s w i t h

s u c i e n t l y s m a l l r a d i u s , w i l l b e e s s e n t i a l l y u n a e c t e d b y

e x t e r n a l f o r c e s d u r i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e s o f

t h e s e s w i n g b y s / o r b i t s .

3 . 2 G e r v e r ' s e x a m p l e o f a n o n c o l l i s i o n s i n g u l a r i t y i n

t h e p l a n e

I n t h e N e w t o n i a n N - b o d y p r o b l e m , a \ s i n g u l a r i t y " i s a

m o m e n t o f n o n a n a l y t i c i t y o f t h e m o t i o n . A \ c o l l i s i o n s i n -

g u l a r i t y " i s a s i n g u l a r i t y i n w h i c h t h e r e i s a p o i n t o f s p a c e

w h i c h i s s i m u l t a n e o u s l y a p p r o a c h e d , a s t ! t

s i n g u l a r

, b y

t w o o r m o r e b o d i e s . A \ n o n c o l l i s i o n s i n g u l a r i t y " i s a m o -

m e n t o f n o n a n a l y t i c i t y o f t h e m o t i o n , a t w h i c h n o s u c h

p o i n t e x i s t s . I n 1 9 9 1 , J . G e r v e r g e 9 1 ] p r o v e d t h a t 3 N

p o i n t m a s s e s i n t h e p l a n e , f o r N s u c i e n t l y l a r g e , b u t

x e d , c o u l d e v o l v e u n d e r N e w t o n ' s l a w s i n n i t e t i m e

t o a n o n c o l l i s i o n s i n g u l a r i t y

7

. G e r v e r ' s 6 8 - p a g e p a p e r ,

a n d e v e n G e r v e r ' s k e y l e m m a s , w h o s e s t a t e m e n t s a l o n e

c a n t a k e 3 p a g e s , a r e t o o l o n g t o r e p e a t , s o w e w i l l c o n -

t e n t o u r s e l v e s w i t h a s k e t c h y d e s c r i p t i o n o f G e r v e r ' s a r -

g u m e n t , e n o u g h t o i n d i c a t e w h y o u r m o d i c a t i o n s t o i t

w i l l w o r k .

G e r v e r ' s e x a m p l e i s i l l u s t r a t e d i n g u r e 1 . A l t h o u g h

t h e r e a r e 3 N b o d i e s , t h e r e i s e x a c t N - w a y r o t a t i o n a l

s y m m e t r y , s o t h a t t h e r e a r e \ r e a l l y " o n l y 3 b o d i e s , t h e

r e s t a r e j u s t \ i m a g e s . " O f t h e s e t h r e e b o d i e s , t w o a r e

\ s t a r s " e a c h h a v i n g u n i t m a s s . T h e s e t w o s t a r s o r b i t

a b o u t t h e i r c o m m o n c e n t e r o f m a s s r o u g h l y c i r c u l a r l y

( o r , t o a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n , e l l i p t i c a l l y ) , f o r m i n g a

\ b i n a r y s t a r , " w i t h s m a l l o r b i t a l r a d i u s , l o c a t e d n e a r a

v e r t e x o f a r e g u l a r N - g o n . ( T h e i m a g e s o f t h i s b i n a r y

l i e n e a r t h e o t h e r v e r t i c e s o f t h e N - g o n , o f c o u r s e . ) T h e

7

A n o n c o l l i s i o n s i n g u l a r i t y f o r t h e 5 - b o d y p r o b l e m i n 3 - s p a c e

h a d b e e n s h o w n s l i g h t l y e a r l i e r b y X i a x i 9 2 ] .

T M 9 3 - 1 0 5 - 3 - 0 0 5 8 - 6 5 . 3 . 2 . 0

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

6/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

Figure 1. N asteroids move along

the edges of a regular Ngon. Binary

stars with nearcircular orbits are

located at the vertices of the Ngon.

binary

star

The one true

asteroid

An

image

asteroid

The asteroid is moving so fast that its

trajectory is almost polygonal. Do not

worry about longrange attractive forces

eventually causing the Ngon to contract.

Such effects will happen on time scales

much larger than those we will be

concerned with. Due to exact Nway

symmetry, there is only "one"

asteroid and "one"

binary, the rest

are images.

The unit

circleA cat who

lives there

(orbit shown)

F i g u r e 1 :

t h i r d m a s s i s a n \ a s t e r o i d " o f m a s s

2

(

2

0 : 0 0 1 , s a y )

w h i c h t r a v e l s b e t w e e n t h e b i n a r y a n d i t s i m a g e s i n s e -

q u e n c e , r o u g h l y m o v i n g a l o n g t h e p e r i m e t e r o f t h e N -

g o n . ( S i m u l t a n e o u s l y , a l l t h e i m a g e a s t e r o i d s a r e m o v i n g

a l o n g e a c h o t h e r e d g e o f t h e N - g o n , o f c o u r s e . ) I n t h e

l i m i t i n w h i c h t h e r a d i u s o f t h e b i n a r y w e n t t o z e r o w h i l e

t h e N - g o n r e m a i n e d o f c o n s t a n t s i z e a n d

2

w e n t t o z e r o ,

t h e b i n a r y w o u l d o f c o u r s e t r a v e l i n a n e x a c t e l l i p t i c a l

t r a j e c t o r y .

T h e b i n a r y m a y b e s a i d t o h a v e a \ p h a s e a n g l e " i n

0 ; 2 ] a r i s i n g f r o m K e p l e r ' s \ e q u a l a r e a s i n e q u a l t i m e s "

p r i n c i p l e ; t h a t i s , t h e a r e a o f t h e e l l i p s e t r a v e r s e d s o f a r ,

d i v i d e d b y t h e a r e a o f t h e w h o l e e l l i p s e , t i m e s 2 , i s t h e

\ p h a s e a n g l e . "

E a c h t i m e t h e a s t e r o i d g e t s n e a r a b i n a r y , i t i n t e r a c t s

w i t h i t i n s u c h a w a y t h a t t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s h o l d .

P r o p e r t y I . T h e a s t e r o i d w i n d s u p g e t t i n g d e e c t e d

a t p r e c i s e l y t h e r i g h t a n g l e t o s t a r t m o v i n g a l o n g t h e

n e x t N - g o n e d g e t o w a r d a n e v e n t u a l i n t e r a c t i o n w i t h

t h e n e x t b i n a r y . A s a c o n s e q u e n c e , t h e b i n a r y ' s c e n t e r o f

m a s s i s s l i g h t l y a c c e l e r a t e d a w a y f r o m t h e c e n t e r o f t h e

N - g o n , i n c r e a s i n g t h e r a t e o f e x p a n s i o n o f t h e N - g o n .

T h e N - g o n e x p a n d s b e t w e e n i n t e r a c t i o n s b y a f a c t o r o f

1 + 2

2

N

? 2

+ o ( N

? 2

) .

P r o p e r t y I I . T h e a s t e r o i d e x t r a c t s e n o u g h e n e r g y

f r o m t h e b i n a r y s o t h a t i t s s p e e d i s i n c r e a s e d b y a r o u g h l y

c o n s t a n t f a c t o r 1 + + o ( ) . C o n s e q u e n t l y , t h e r a d i u s o f

t h e b i n a r y c o n t r a c t s s l i g h t l y t o 1 ? 2 + o ( ) t i m e s i t s

f o r m e r v a l u e , a n d i t s o r b i t a l s p e e d i n c r e a s e s b y a f a c t o r

1 + + o ( ) , s o t h a t i t s o r b i t a l \ y e a r " i s m u l t i p l i e d b y a

f a c t o r 1 ? 3 + o ( ) . C o n s i d e r i n g p r o p e r t y I , t h e t r a n s i t

t i m e o f t h e a s t e r o i d a l o n g a n N - g o n e d g e i s m u l t i p l i e d

b y a f a c t o r o f 1 ? + o ( ) , s o t h a t t h e s e t r a n s i t t i m e s

a r e d e c r e a s i n g , b u t m e a s u r e d i n b i n a r y - s t a r y e a r s , t h e y

a r e a c t u a l l y i n c r e a s i n g b y a f a c t o r o f 1 + 2 + o ( ) e v e r y

i n t e r a c t i o n .

P r o p e r t y I I I . T h e a s t e r o i d ' s s p e e d a n d d e e c t i o n a n -

g l e a r e i n f a c t c a r e f u l l y a d j u s t e d s o t h a t i t w i l l i n t e r c e p t

t h e n e x t b i n a r y a t p r e c i s e l y t h e r i g h t p h a s e a n g l e a n d

p o s i t i o n s o t h a t I , I I , a n d I I I w i l l a l s o h a p p e n n e x t t i m e .

I n t h e a b o v e , t h e u s e s o f t h e s y m b o l s \ o " a n d \ O " a r e

t o b e i n t e r p r e t e d a s p e r t a i n i n g t o a h y p o t h e t i c a l l i m i t i n g

p r o c e s s i n w h i c h N ! 1 a n d N

2 0

! 1 . O f c o u r s e , N

a n d a r e a c t u a l l y x e d , t h e O ' s a n d o ' s a r e m e r e l y a

c o n v e n i e n t l a b o r s a v i n g d e v i c e f o r p r o v i n g t h e e x i s t e n c e

o f s u i t a b l e N a n d v a l u e s .

A s a c o n s e q u e n c e o f p r o p e r t i e s I - I I I , t h e e n t i r e N - g o n

e x p a n d s i n r o u g h l y g e o m e t r i c p r o g r e s s i o n t o i n n i t e s i z e ,

b u t t h e a s t e r o i d t r a v e r s e s t h e N - g o n e d g e s i n d u r a t i o n s

o f t i m e w h i c h s h r i n k r o u g h l y g e o m e t r i c a l l y t o w a r d z e r o .

I n c o n s e q u e n c e , t h e a s t e r o i d t r a v e l s a n i n n i t e n u m b e r

o f c i r c u i t s a r o u n d t h e N - g o n ( a n d t h i s i s a n i n n i t e d i s -

t a n c e ) , a s t h e N - g o n g r o w s t o i n n i t e s i z e , i n a n i t e

t i m e t

s i n g u l a r

, b o u n d e d b y

t

s i n g u l a r

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

7/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

F u r t h e r m o r e , G e r v e r s h o w s , d u r i n g t h i s p r o c e s s , w e

m a y r e q u i r e t h a t t h e b i n a r y s t a r ' s e l l i p t i c a l o r b i t n e v e r

b e c o m e s v e r y n o n c i r c u l a r . S p e c i c a l l y , i t s \ i n s t a n t a -

n e o u s e c c e n t r i c i t y " E i s a l w a y s b o u n d e d b y 0 E

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

8/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

A

B

C

C (later)

B (later)

Figure 2. Detailed behavior during "type 1" interaction of

asteroid with binary. Stars B and C are rotating happily in

the roughly circular orbit shown. Asteroid A swings past

star B then past star C, then B again (later in its orbit)

and then finally C (again) and then begins the long trek

along the Ngon edge toward the next binary. During the

4 hyperbolic swingbys, 4 momentum transfers from the asteroid

to the star occur, roughly as shown by the vectors.

The total effect of these momentum transfers has a component

in opposition to the orbital velocity of the stars.

Note: some distances have been exaggerated for clarity.

In fact, the angular separation between B and B(later)

or between C and C(later), is O() (that is, small), and

the separation between the asteroid and any star at the

point of closest approach, is extremely small, so thatthe trajectory should in fact look much more like

a chain of 5 line segments, than it does.

F i g u r e 2 :

d e e c t i o n a n g l e o f t h e a s t e r o i d j u s t p r i o r t o i n t e r a c t i o n

n u m b e r k , w i l l c a u s e l a r g e c h a n g e s i n t h e s e q u a n t i t i e s

j u s t p r i o r t o i n t e r a c t i o n n u m b e r k + 1 . T h i s i m p l i e s t h a t a

s i n g l e n e t u n i n g b e f o r e i n t e r a c t i o n n u m b e r 1 w i l l s u c e

t o a d j u s t t h e i n n i t e n u m b e r o f p a r a m e t e r s c o n t r o l l i n g

f u t u r e i n t e r a c t i o n s .

F i r s t l y , s i n c e t h e b e h a v i o r d u r i n g a \ s l i n g s h o t e v e n t " i s

l o c a l l y a p p r o x i m a t e l y h y p e r b o l i c , a n d s i n c e t h e a s y m p -

t o t e s o f t h e h y p e r b o l a m a y b e a d j u s t e d t o a n y a n g l e i n

( 0 ; ) b y n e a d j u s t m e n t s i n t h e i n i t i a l t r a j e c t o r y o f t h e

a s t e r o i d , i t i s i n t u i t i v e l y c l e a r t h a t a n y s e q u e n c e o f s l i n g -

s h o t e v e n t s y o u w a n t c a n b e f o r c e d b y c o r r e c t c h o i c e o f

c o n d i t i o n s a t t h e r s t o n e { s o l o n g a s a l l t h e r e q u i r e d

h y p e r b o l a a n g l e s a r e b o u n d e d w i t h i n ( 0 ; ) a n d t h e a s -

t e r o i d h a s s u c i e n t l y t i n y m a s s c o m p a r e d t o t h e s t e l l a r

m a s s a n d s u c i e n t l y l a r g e s p e e d c o m p a r e d t o t h e s t e l l a r

s p e e d s ( b o t h a r e a s s u r e d b y m a k i n g s m a l l ) . T h e r e -

f o r e , m a k i n g t r a j e c t o r i e s , d u r i n g a s i n g l e a s t e r o i d - b i n a r y

i n t e r a c t i o n , o f t h e r i g h t q u a l i t a t i v e t y p e i s n o p r o b l e m .

S e c o n d l y , w e o b s e r v e t h a t w e h a v e a v e r y l o n g \ l e v e r

a r m " ( n a m e l y , a n N - g o n e d g e ) s o t h a t i t i s o b v i o u s t h a t

a t i n y c h a n g e i n i n i t i a l d a t a w i l l c a u s e a h u g e c h a n g e

a t t h e n e x t a s t e r o i d b i n a r y i n t e r a c t i o n . T h e o n l y t h i n g

w h i c h i s n o t t r e m e n d o u s l y o b v i o u s i s t h a t a i n n i t e s i -

m a l c h a n g e i n t h e p h a s e a n g l e w i l l c a u s e a m u c h l a r g e r

i n n i t e s i m a l c h a n g e i n t h e n e x t p h a s e a n g l e . T h i s i s

b e c a u s e c h a n g e s i n t h e p h a s e a n g l e a e c t t h e a n g l e s o f

m o m e n t u m - t r a n s f e r s d u r i n g s l i n g s h o t e v e n t s , r e l a t i v e t o

t h e d i r e c t i o n o f t h e s t a r ' s o r b i t a l s p e e d , i n t h e r s t o r d e r ,

s o t h a t t h e n u m b e r o f s t a r - y e a r s d u r i n g t h e a s t e r o i d ' s

t r e k t o t h e n e x t b i n a r y , w h i c h , r e c a l l , i s a l a r g e n u m -

b e r w h i c h g r o w s g e o m e t r i c a l l y , i s a e c t e d f r a c t i o n a l l y i n

t h e r s t o r d e r . T h u s , t h e e x p a n s i o n i n t h e ( p h a s e a n g l e ,

i n c o m i n g t r a j e c t o r y l o c a t i o n ) 2 - s p a c e b e t w e e n i n t e r a c -

t i o n s , c a n b e a s s u r e d t o b e l a r g e i n a l l d i r e c t i o n s . T h i s i s

s t i l l t h e c a s e e v e n i f t h e p h a s e a n g l e s n e e d t o b e c h o s e n

t o t h a t t h e c h a n g e i n t h e e c c e n t r i c i t y v e c t o r

~

E c o n t a i n s a

d e c e n t c o m p o n e n t t h a t i s o p p o s e d t o

~

E , s i n c e t h e s i z e o f

t h e r a n g e o f p e r m i s s i b l e p h a s e a n g l e s i s b o u n d e d a b o v e

z e r o ( i n d e e d i s = 2 ) .

A g a i n , t h e p r e c e d i n g a r g u m e n t h a s n o t b e e n n e a r l y a s

c a r e f u l o r d e t a i l e d a s G e r v e r ' s ( G e r v e r a n a l y z e d a l l 6 4

e l e m e n t s o f t h e 8 8 J a c o b i a n m a t r i x o f t h e r e c u r r e n c e

m a p ) , b u t i t s e e m s t o m e , i s a d e q u a t e .

3 . 4 S i d e r e m a r k : a p r o b l e m a b o u t b a s e b a l l p i t c h e r s

T h o r J o h n s o n a n d J a d e V i n s o n ( s t u d e n t s i n l e c t u r e s I

g a v e a t P r i n c e t o n ) s u g g e s t e d t o m e t h a t t h e r e i s a s i m p l e r

p r o b l e m w h o s e a n a l y s i s w i l l g i v e y o u s o m e u n d e r s t a n d i n g

o f h o w i t c a n b e t h a t G e r v e r ' s s c e n a r i o w i l l e x p l o d e t o

i n n i t e s p e e d a n d r a d i u s i n n i t e t i m e , a n d a l s o h o w i t

c a n b e t h a t t h e e x p o n e n t i a l g r o w t h r a t e f o r r a d i u s i s n o t

t h e s a m e a s f o r v e l o c i t y .

T h e i r p r o b l e m , a n d a s k e t c h o f i t s s o l u t i o n , i s a s f o l -

l o w s . A b a s e b a l l p i t c h e r o n a f r i c t i o n l e s s p l a n e s u r f a c e

i n g s a b a l l a g a i n s t a w a l l r e p e a t e d l y ( a n d c a t c h e s i t o n

t h e r e b o u n d ) . E a c h t h r o w , h e e m p l o y s K t i m e s l a r g e r

a r m s p e e d t h a n o n t h e p r e v i o u s t h r o w .

L e t M b e t h e p i t c h e r ' s m a s s , m b e t h e b a l l ' s m a s s , a n d

l e t v

1

b e t h e v e l o c i t y o f t h e r s t i n g . A f t e r F i n g - c a t c h

T M 9 3 - 1 0 5 - 3 - 0 0 5 8 - 6 8 . 3 . 4 . 0

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

9/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

Figure 3. Detailed behavior of "type 2" interaction

of asteroid with binary. this simple trajectory was the

one originally proposed by Gerver and it has the same sort

of energy transfer properties as our alternate proposal

in figure 2, in the limit when is small. Incidentally,

in figures 2 and 3, the range of initial phase angles is

quite flexible (there is a range of size nearly), as is

shown in the two smaller alternative versions of the present

figure that are off to the right. This flexibility is

essential to keep control of the eccentricity of the

(slightly elliptical) orbit.

F i g u r e 3 :

c y c l e s , I n d t h e p i t c h e r i s r e c e d i n g a t s p e e d

V

F

= 2 v

1

m

M

K

F

? 1

K ? 1

: ( 3 )

T h i s g r o w s a t t h e s a m e g r o w t h r a t i o a s t h e b a l l s p e e d .

B u t t h e p i t c h e r ' s d i s t a n c e D

F

f r o m t h e w a l l a f t e r F c y -

c l e s d o e s n o t g r o w a t t h e s a m e e x p o n e n t i a l g r o w t h r a t i o ,

d u e t o t h e f a c t t h a t t h e i n g - c a t c h c y c l e s d o n o t t a k e

c o n s t a n t t i m e ( w h i c h w o u l d h a v e i m p l i e d t h i s ) b u t i n

f a c t h a p p e n f a s t e r a n d f a s t e r , s o t h a t a n i n n i t e n u m b e r

o f i n g - c a t c h c y c l e s h a p p e n i n n i t e t i m e

1 0

.

3 . 5 M o d i c a t i o n s o f G e r v e r ' s e x a m p l e

W e p r o p o s e t h e a l t e r n a t i v e d e t a i l e d b e h a v i o r d u r i n g a n

a s t e r o i d - b i n a r y i n t e r a c t i o n i n g u r e 2 . T h i s c o n t r a s t s

w i t h G e r v e r ' s o r i g i n a l p r o p o s a l i n g u r e 3 . A l l t h e a r -

g u m e n t s o f t h e p r e c e d i n g s i m p l i e d v e r s i o n o f G e r v e r ' s

p r o o f , s t i l l h o l d w i t h t h i s a l t e r n a t e t y p e o f i n t e r a c t i o n ,

o n l y t h e c o n s t a n t s p o s s i b l y d i e r . ( N o t e : s i n c e t h e

a s t e r o i d n o w s l i n g s h o t s p a s t e a c h s t a r t w o t i m e s , o n e

m u s t g u r e t h e t o t a l m o m e n t u m t r a n s f e r i n t h e c r u d e

m o m e n t u m - c o n s e r v a t i o n a r g u m e n t s . T h e e s s e n t i a l f a c t

i s t h a t t h e a n g l e t h i s a s t e r o i d - t o - s t a r i m p u l s e t r a n s f e r

m a k e s w i t h t h e s t a r ' s o r b i t a l v e l o c i t y , i s b o u n d e d a b o v e

9 0

. T h e q u a d r u p l e s w i n g b y i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e , f r o m

t h e s t a n d p o i n t o f a l l m o m e n t u m t r a n s f e r s , a s a d o u b l e

s w i n g b y a t a d i e r e n t i n i t i a l o r b i t a l p h a s e a n g l e . T h e

f a c t t h a t t h e q u a d r u p l e s w i n g b y i s m u c h m o r e s e n s i t i v e

t o i n i t i a l c o n d i t i o n s a c t u a l l y m a k e s a l l t h e e x p a n s i o n a r -

g u m e n t s i n t h e p r o o f w o r k b e t t e r . )

1 0

C a n t h e d i e r e n c e e q u a t i o n f o r D

F

b e s o l v e d i n c l o s e d f o r m ?

W e a r e n o t s u r e .

T h e r e f o r e , w e c l a i m , i n i t i a l c o n d i t i o n s m u s t e x i s t i n

w h i c h e a c h s u c c e s s i v e i n t e r a c t i o n w i l l b e o f t y p e 1 o r

t y p e 2 , f o r a n y d e s i r e d i n n i t e s e q u e n c e o f 1 ' s a n d 2 ' s .

F u r t h e r m o r e , s h o u l d w e s o d e s i r e , w e c a n m a k e o n e i n -

t e r a c t i o n b e o f a n e w \ t y p e 3 " { c a u s i n g t h e a s t e r o i d t o

b e d e e c t e d n o t a l o n g t h e n e x t N - g o n e d g e , a s u s u a l , b u t

i n s t e a d t o w a r d t h e c e n t e r o f t h e N - g o n . N a t u r a l l y , i f e v e r

a n i n t e r a c t i o n o f t y p e - 3 o c c u r r e d , t h e g e o m e t r i c e x p a n -

s i o n p r o c e s s w o u l d t h e n c e a s e a n d n o f u r t h e r a s t e r o i d -

b i n a r y i n t e r a c t i o n s , n o r a n y s i n g u l a r i t y , n e e d o c c u r . F u r -

t h e r m o r e , t h e N a s t e r o i d s w o u l d i n t h i s c a s e p a s s n e a r

t h e N - g o n ' s c e n t e r ( i n t e r s e c t t h e u n i t c i r c l e , s a y , k i l l i n g

a n N - w a y s y m m e t r i c 2 - d i m e n s i o n a l c a t w h o l i v e s t h e r e )

a f t e r

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

10/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

p o i n t s

1 1

. B y s i m p l y r e c o r d i n g w h e t h e r e a c h a s t e r o i d -

b i n a r y i n t e r a c t i o n w a s o f t y p e 1 o r t y p e 2 , w e s e e t h a t

t h e t o p o l o g i c a l t y p e s o f t h e t r a j e c t o r i e s w h i c h a r i s e i n

o u r e x a m p l e s a r e i n 1 - t o - 1 c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e n i t e

s t r i n g s o f ` 1 ' s a n d ` 2 ' s , e n d i n g w i t h a ` 3 ' , u n i o n e d w i t h

t h e s e t o f i n n i t e s t r i n g s o f ` 1 ' s a n d ` 2 ' s .

W e t h e n h a v e p r o v e d

T h e o r e m 4 F o r s o m e n i t e x e d v a l u e o f N , N p o i n t

m a s s e s i n t h e p l a n e , w h o s e i n i t i a l p o s i t i o n s a n d v e l o c i t i e s

l i e i n s i d e a c u b e i n R

4 N

, c a n d e s c r i b e a n u n c o u n t a b l y

i n n i t e n u m b e r o f t o p o l o g i c a l l y d i s t i n c t t r a j e c t o r i e s i n 1

s e c o n d . T h e i n i t i a l l o c a t i o n s a n d v e l o c i t i e s o f t h e b o d i e s

r e q u i r e d t o f o r c e a f u t u r e t r a j e c t o r y o f d e s i r e d t o p o l o g i c a l

t y p e , a r e c o m p u t a b l e ( o r e x t e n d e d s e n s e c o m p u t a b l e ) r e a l

n u m b e r s .

4 W i t h m o r e r e a l i s t i c p h y s i c a l l a w s , t h e

e x t e n d e d C h u r c h t h e s i s i s s a v e d

T h e p l a n o f t h i s s e c t i o n i s a s f o l l o w s . F i r s t , w e w i l l p r o v e

a g e n e r a l r e s u l t ( t h e o r e m 7 ) s a y i n g t h a t a w i d e c l a s s ( c f .

\ A s s u m p t i o n s I I " ) o f s y s t e m s o f O D E s ( o r d i n a r y d i e r -

e n t i a l e q u a t i o n s ) a r e \ s i m u l a t a b l e o n a T u r i n g m a c h i n e ,

w i t h p o l y n o m i a l s l o w d o w n . " N e x t , w e w i l l a p p l y t h i s r e -

s u l t t o t h e N - b o d y p r o b l e m w i t h s u i t a b l y m o d i e d l a w s

o f m o t i o n . W e w i l l a l s o p r o v i d e a u x i l i a r y d i s c u s s i o n s o f

w h i c h n u m e r i c a l s c h e m e s h a v e t h e r i g h t b e h a v i o r t o m a k e

s o m e v e r s i o n o f t h e o r e m 7 h o l d ( x 4 . 3 ) , a n d a l s o o f w h i c h

N e w t o n - l i k e l a w s o f m o t i o n a r e r e a s o n a b l y c o m p a t i b l e

w i t h g e n e r a l r e l a t i v i t y ( x 4 . 4 - 4 . 8 ) . T h e s e a u x i l i a r y d i s -

c u s s i o n s h a r d l y n e e d t o b e r e a d i f y o u d o n ' t w a n t t o

k n o w .

C o n s i d e r a n y N - d i m e n s i o n a l s y s t e m o f o r d i n a r y d i e r -

e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e f o r m

_

~x =

~

F ( ~x ) : ( 4 )

A p p a r e n t l y m o r e g e n e r a l e q u a t i o n s , s u c h a s a l l o w i n g

h i g h e r o r d e r t h a n 1 , a l l o w i n g F t o d e p e n d e x p l i c i t l y o n

t i m e t o r o n t i m e d e r i v a t i v e s o f e l e m e n t s o f ~x , a n d s o o n ,

i n f a c t a r e e a s i l y p u t i n t o t h e f o r m a b o v e b y a d d i n g a

l i n e a r n u m b e r o f e x t r a v a r i a b l e s .

4 . 1 E u l e r ' s n u m e r i c a l m e t h o d i s n ' t g o o d e n o u g h

A s s u m p t i o n s I : S u p p o s e

~

F i s d i e r e n t i a b l e a n d c o m -

p u t a b l e t o B b i t s o f p r e c i s i o n i n t i m e p o l y n o m i a l i n B

a n d N . S u p p o s e a l s o t h a t t h e i n i t i a l d a t a ~x a t t = 0 i s

s p e c i e d a s b i n a r y x e d p o i n t n u m b e r s . A l s o , s u p p o s e i t

i s k n o w n t h a t i n t h e t i m e i n t e r v a l 0 < t < T , t h e a b s o -

l u t e v a l u e o f e a c h c o m p o n e n t o f

~

F , ~x , a n d

_

~x , a r e b o u n d e d

a n d t h a t t h e a b s o l u t e v a l u e o f e a c h p a r t i a l d e r i v a t i v e o f

1 1

I t w i l l b e n e c e s s a r y , i f t h e p a t h i s n i t e , t o a d j o i n a n i n n i t e

r a y t o i t s e n d , i n o r d e r t o c l a r i f y t h e h o m o l o g y . S h o u l d a n y o n e

o b j e c t t h a t o u r n o t i o n o f \ t o p o l o g y " i s i n h e r e n t l y 2 - d i m e n s i o n a l

a n d t h u s n o t r e l e v a n t t o t h e 3 D b e h a v i o r o f t h e b o d i e s ( r e s t r i c t e d

t o a p l a n e t h o u g h t h e y m a y b e ) , w e p o i n t o u t t h a t t h e b o d i e s c o u l d

b e e m i t t i n g \ l a s e r b e a m s " i n t h e d i r e c t i o n s n o r m a l t o t h e p l a n e ,

w h i c h i m p i n g e o n a s h e e t o f p h o t o g r a p h i c p a p e r p a r a l l e l t o i t . . .

~

F w i t h r e s p e c t t o a n y o n e o f i t s N a r g u m e n t s i s s i m i l a r l y

b o u n d e d ( a n d c o n s e q u e n t l y , t h e s a m e i s t r u e f o r

~x ) , b y

b o u n d s t h a t a r e p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o f T , B , a n d N .

T h e n

T h e o r e m 5 U n d e r \ a s s u m p t i o n s I " a b o v e , t h e s y s t e m

( 4 ) m a y b e s o l v e d n u m e r i c a l l y o n a T u r i n g m a c h i n e , s o

t h a t t h e v a l u e s o f ~x a t a n y d e s i r e d t i m e t w i t h 0 t

T , m a y b e c a l c u l a t e d , a c c u r a t e t o

, f o r a n y d e s i r e d

> 0 , b y u s i n g \ E u l e r " t i m e s t e p p i n g . T h e c o m p u t a t i o n

r e q u i r e d d u r i n g a n y t i m e s t e p i s o n l y p o l y n o m i a l l y l a r g e ,

b u t a n e x p o n e n t i a l l y l a r g e n u m b e r o f t i m e s t e p s ( b u t n o t

m o r e ) m a y b e r e q u i r e d .

P r o o f S k e t c h . \ E u l e r " t i m e s t e p p i n g , t h e s i m p l e s t n u -

m e r i c a l s c h e m e f o r s o l v i n g O D E s , w i l l s u c e t o s h o w t h i s

r a t h e r w e a k t h e o r e m . I f e n o u g h b i t s B o f p r e c i s i o n a r e

u s e d s o t h a t 2

? B

a n d i f ~x w e r e e x a c t l y c o r r e c t a t

t h e b e g i n n i n g o f a t i m e s t e p , t h e n t h e e r r o r m a d e b y a

s i n g l e i t e r a t i o n o f s i m u l a t e d t i m e , w i l l b e o f o r d e r

2

t i m e s s o m e b o u n d P

1

p o l y n o m i a l i n B , N . H o w e v e r , i f

t h e i n i t i a l d a t a w e r e i t s e l f i n e r r o r b y a n a m o u n t

p r e v

,

t h e n t h e e r r o r a t t h e e n d o f t h e t i m e s t e p w i l l b e

n e w

=

2

P

1

+ P

2

p r e v

: ( 5 )

T h e d i c u l t y i s t h e s e c o n d t e r m , w h i c h c a u s e s e r r o r s

t o a c c u m u l a t e p o t e n t i a l l y e x p o n e n t i a l l y f r o m t i m e s t e p

t o t i m e s t e p . T h e g r o w t h r a t i o o f t h e e x p o n e n t i a l i s

b o u n d e d b y 1 + P

3

. H e n c e , a f t e r T = t i m e s t e p s , t h e t o -

t a l n u m e r i c a l e r r o r i s b o u n d e d b y ( 1 + P

3

)

T =

2

P

4

, w h i c h

i s l e s s t h a n ( b u t o f t h e s a m e o r d e r a s ) e x p ( P

3

T )

2

P

4

.

T h u s , i f w e c h o o s e t o b e e x p o n e n t i a l l y s m a l l , t h e s i m -

u l a t i o n i s p e r f o r m e d t o t h e d e s i r e d a c c u r a c y a n d e a c h

i t e r a t i o n o n l y r e q u i r e s p o l y n o m i a l c o m p u t e t i m e { b u t

a n e x p o n e n t i a l l y l a r g e n u m b e r o f i t e r a t i o n s a r e r e q u i r e d .

2

T h e t h e o r e m a b o v e i s o f c o u r s e a r a t h e r p o o r r e s u l t

s i n c e t h e s i m u l a t i o n i n v o l v e s e x p o n e n t i a l s l o w d o w n . ( O n

t h e o t h e r h a n d , i t d o e s s u c e t o p l a c e t h e p r o b l e m o f

s i m u l a t i n g O D E s s a t i s f y i n g a s s u m p t i o n s I i s i n t h e c o m -

p l e x i t y c a s e P S P A C E , a n d t h i s i s t r u e e v e n i f w e m a k e

e x p o n e n t i a l l y s m a l l . )

I f w e w i d e n \ a s s u m p t i o n s I " t o s t a t e t h a t F i s ( k + 1 ) -

t i m e d i e r e n t i a b l e a n d t h a t a n y p a r t i a l d e r i v a t i v e o f F

a n d a n y t i m e d e r i v a t i v e o f ~x , h a v i n g d e g r e e k + 1 ,

i s b o u n d e d , t h e n w e c o u l d u s e s o m e o t h e r t i m e s t e p p i n g

m e t h o d ( i n s t e a d o f t h e E u l e r m e t h o d ) o f x e d d e g r e e k ,

w h e r e k > 1 . ( T h e E u l e r m e t h o d h a s d e g r e e k = 1 . )

A n y s u c h m e t h o d w o u l d a l s o r e q u i r e a n e x p o n e n t i a l l y

l a r g e n u m b e r o f i t e r a t i o n s t o m a k e o u r e r r o r a n a l y s i s a s -

s u r e a x e d a c c u r a c y ( s u c h a s = 0 : 1 ) a f t e r t i m e T .

H o w e v e r t h e g r o w t h c o n s t a n t o f t h e e x p o n e n t i a l m a y b e

d e c r e a s e d . U s i n g a k t h d e g r e e m e t h o d w o u l d t e n d t o r e -

p l a c e t h e e x p r e s s i o n e x p ( P

3

T )

2

P

4

f o r t h e t o t a l n u m e r -

i c a l e r r o r , b y e x p ( P

3

T )

k + 1

P

4

s o t h a t y o u c o u l d c h o o s e

= ( = P

4

)

1 = ( k + 1 )

e x p ( ? P

3

T = ( k + 1 ) ) , t h u s c u t t i n g d o w n

t h e g r o w t h f a c t o r o f t h e e x p o n e n t i a l t o i t s ( k + 1 ) = 2 t h

r o o t ( i f P

3

a n d P

4

r e m a i n e d t h e s a m e { w h i c h t h e y p r o b -

a b l y w o u l d n o t ) .

T M 9 3 - 1 0 5 - 3 - 0 0 5 8 - 6 1 0 . 4 . 1 . 0

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

11/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

S o i t s h o u l d n o w b e c l e a r t h a t t h i s e x p o n e n t i a l e r r o r

b u i l d u p , a n d c o n s e q u e n t n e e d f o r e x p o n e n t i a l t i m e s l o w -

d o w n , i s i n f a c t u n a v o i d a b l e w i t h b o u n d e d d e g r e e t i m e

s t e p p i n g m e t h o d s w i t h x e d a c c u r a c y g o a l , s i n c e i t w i l l

t e n d t o h a p p e n f o r v i r t u a l l y a n y s y s t e m o f O D E s h a v i n g

p o s i t i v e L i a p u n o v e x p o n e n t

1 2

.

N o t e : T h i s s u b s e c t i o n h a s b e e n e s s e n t i a l l y t h e s a m e

a s H e n r i c i ' s e r r o r a n a l y s i s o f t h e E u l e r m e t h o d h e 6 2 ] .

T h e o b s e r v a t i o n t h a t i n t e g r a t i n g ( E Q 4 ) w i t h L i p s h i t z i a n

p o l y t i m e F i s i n P S P A C E , w a s a p p a r e n t l y r s t s t a t e d

b y K o k o 8 3 ] , a n d i n f a c t K o w e n t b e y o n d t h i s b y s h o w -

i n g P S P A C E - c o m p l e t e n e s s , i . e . h i s P S P A C E r e s u l t w a s

b e s t p o s s i b l e . T h e p r e s e n t s u b s e c t i o n h a s b e e n i n c l u d e d

m e r e l y t o s e t t h e s t a g e f o r t h e n e x t s u b s e c t i o n .

4 . 2 B u t a s c h e m e i n v o l v i n g R u n g e - K u t t a m e t h o d s o f

u n b o u n d e d l y l a r g e d e g r e e , i s g o o d e n o u g h

S i n c e b o u n d e d d e g r e e t i m e s t e p p i n g s c h e m e s a r e n o t g o o d

e n o u g h , w e w i l l u s e s c h e m e s o f u n b o u n d e d l y l a r g e d e -

g r e e . S p e c i c a l l y , w e w i l l u s e t h e I m p l i c i t \ G a u s s i a n "

R u n g e - K u t t a m e t h o d s d e v i s e d b y J . C . B u t c h e r b u 6 4 ] ,

a n d c h o o s e t h e i r d e g r e e t o g r o w l i n e a r l y w i t h T .

B u t c h e r ' s s c h e m e s h a v e a n u m b e r o f p l e a s a n t p r o p -

e r t i e s . O n e o f t h e o n e s m o s t t o u t e d i n t h e l i t e r a t u r e

i s \ A - s t a b i l i t y , " d e s c r i b e d i n b u 8 7 ] . I n f a c t , B u t c h e r ' s

b o o k d e n e s a l a r g e v a r i e t y o f p o s s i b l e s t a b i l i t y p r o p e r -

t i e s . T h e i m p l i c a t i o n s a m o n g t h e m a r e p i c t u r e d i n g u r e

4 . N o t e t h a t \ a l g e b r a i c s t a b i l i t y " a n d \ L - s t a b i l i t y " t o -

g e t h e r i m p l y a l l t h e o t h e r k i n d s o f s t a b i l i t y d e n e d b y

B u t c h e r . T h e \ G a u s s i a n " m e t h o d s w e u s e h e r e a r e a l g e -

b r a i c a l l y s t a b l e b u t a r e n o t w e a k e n e d - L s t a b l e

1 3

. H o w -

e v e r , w e w i l l n o t n e e d t h e s e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s .

I n t h e b e l o w , l e t k = 2 v b e e v e n . ( T h e d e g r e e o f

t h e s c h e m e w i l l b e k ? 1 . ) W e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i e s :

P r o p e r t y I . T h e v

2

+ v c o e c i e n t s i n B u t c h e r ' s k t h

d e g r e e s c h e m e m a y b e c o m p u t e d n u m e r i c a l l y t o B b i t s

o f p r e c i s i o n , s i n c e t h e y a r i s e f r o m z e r o e s o f L e g e n d r e

p o l y n o m i a l s P

v

o f d e g r e e v a s d e s c r i b e d o n p a g e 5 8 o f

b u 6 4 ] , i n c o m p u t a t i o n a l t i m e p o l y n o m i a l i n k a n d B .

S p e c i c a l l y , i f k = 2 v , l e t c

1

; c

2

; : : : ; c

v

b e t h e v r o o t s

o f P

v

( 2 c ? 1 ) = 0 i n i n c r e a s i n g o r d e r . T h e n n d a

i j

,

i ; j

2 f1 ; 2 ; : : : ; v

ga s s o l u t i o n s t o t h e v

2

l i n e a r e q u a t i o n s

( b u t o n l y t h e v e q u a t i o n s w i t h i x e d n e e d b e c o n s i d e r e d

1 2

A n d i n p a r t i c u l a r , v i r t u a l l y a n y H a m i l t o n i a n s y s t e m , i n p a r -

t i c u l a r t h e N e w t o n i a n N - b o d y p r o b l e m w i t h N 3 , w i l l a l m o s t

a l w a y s h a v e p o s i t i v e L i a p u n o v e x p o n e n t ( s i n c e p h a s e s p a c e v o l -

u m e i s p r e s e r v e d ) .

1 3

T h e v e r y s i m i l a r \ L o b a t t o " a n d \ R a d a u " R u n g e - K u t t a m e t h -

o d s a r e b o t h a l g e b r a i c a l l y s t a b l e a n d L - s t a b l e , b u t i t i s n o t c l e a r t o

m e t h a t t h i s m a k e s t h e m p r e f e r a b l e t o t h e G a u s s i a n m e t h o d s . I t

c o u l d b e a r g u e d t h a t i t i s a g r e a t v i r t u e f o r t h e b o u n d a r y b e t w e e n

t h e s t a b l e a n d u n s t a b l e r e g i o n t o b e p r e c i s e l y t h e i m a g i n a r y l i n e ,

a n d t h i s \ s y m m e t r y " p r o p e r t y i s i n c o m p a t i b l e w i t h w e a k e n e d - L

s t a b i l i t y a n d a p p a r e n t l y i s u n i q u e l y e n j o y e d b y t h e G a u s s i a n R K

m e t h o d s . I n a n y c a s e , t h e t h e o r e m s o f t h i s p a p e r s t i l l h o l d i f y o u

u s e B u t c h e r ' s R a d a u o r L o b a t t o R K m e t h o d s i n p l a c e o f h i s G a u s -

s i a n R K m e t h o d s t h r o u g h o u t .

a t a t i m e )

v

X

j = 1

a

i j

c

k ? 1

j

=

1

k

c

k

i

( 6 )

f o r i ; k

2 f1 ; 2 ; : : : ; v

g. S i m i l a r l y n d b

j

, j

2 f1 ; 2 ; : : : ; v

g,

a s s o l u t i o n s t o t h e v l i n e a r e q u a t i o n s

v

X

j = 1

b

j

c

k ? 1

j

=

1

k

; k 2 f 1 ; 2 ; : : : ; v g : ( 7 )

T h e n B u t c h e r ' s R u n g e - K u t t a s c h e m e f o r n u m e r i c a l l y

s o l v i n g ( 4 ) i s

~g

i

=

~

F

0

@

~x

o l d

+

v

X

j = 1

a

i j

~g

j

1

A

; i 2 f 1 ; 2 ; : : : ; v g ; ( 8 )

~x

n e w

= ~x

o l d

+

v

X

i = 1

b

i

~g

i

( 9 )

w h e r e ~x

n e w

i s ~x a t a t i m e t w h i c h i s l a r g e r t h a n t h e

v a l u e o f t y i e l d i n g ~x

o l d

, a n d ~g

1

; : : : ; ~ g

v

a r e d e n e d i m p l i c -

i t l y b y ( 8 ) . ( O n e h a s t o k n o w h o w t o c o m p u t e z e r o e s

o f L e g e n d r e p o l y n o m i a l s P

v

e c i e n t l y . J u s t u s i n g t h e i r

z e r o - d o v e t a i l i n g p r o p e r t y a n d i n t e r v a l b i s e c t i o n i s g o o d

e n o u g h f o r o u r p u r p o s e s . )

P r o p e r t y I I . T h e f a c t t h a t t h e c o e c i e n t s a

i j

d o n o t

g r o w v e r y l a r g e , i s a s s u r e d b y t h e f o l l o w i n g n e w

L e m m a 6 T h e c o e c i e n t s a

i j

i n B u t c h e r ' s d e g r e e 2 v

R u n g e - K u t t a s c h e m e , v 2 f 1 ; 2 ; 3 ; : : : g , a l w a y s o b e y a

i j

1 . A l s o , t h e m a t r i x A o f t h e s e c o e c i e n t s h a s m a x i -

m u m e i g e n v a l u e 1 , m i n i m u m e i g e n v a l u e 1 = v , a n d t h e

E u c l i d e a n l e n g t h , o r t h e s u m , o f a n y r o w ( o r c o l u m n )

o f A i s

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

12/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

Algebraic L

BN

B

A

Stiff

Weakened L

AN

(If c s distinct)i

Various kinds of "stability" properties that

numerical methods for ODEs can have (as defined

in Butcher 1987). "A B" is to be read "A implies B."

Figure 4.

A()

F i g u r e 4 :

m i n i m u m e i g e n v a l u e o f D i s c

1

, c

1

> 1 = v

2

, a n d t h e m i n i -

m u m e i g e n v a l u e o f C R C

? 1

( w h i c h o f c o u r s e h a s t h e s a m e

e i g e n v a l u e s a s d o e s R ) i s 1 = v , a n d t h e m a x i m u m e i g e n -

v a l u e o f D i s c

v

, c

v

7/27/2019 Church's Thesis Meets the N-body Problem - Warren D. Smith

13/22

W a r r e n S m i t h t y p e s e t 7 5 1 M a r 1 , 1 9 9 9 C h u r c h & N - b o d i e s

b o u n d o n t h e m a x i m u m m a g n i t u d e o f t h e k t h d