CALCULO INTEGRAL UNIDAD 1. Integrales AUTOREFLEXION 1 1. ¿Qué es una Integral definida? ……………………………………………………………………………………………………… 2 2. ¿Qué es área? ……………………………………………………………………………………………………………………………… 2 3. ¿Concepto de integral? ………………………………………………………………………………………………………………… 2 4. ¿Cómo determinas la Suma de Riemann? …………………………………………………………………………………… 3 5. ¿Cuáles son las Regla del punto medio? ……………………………………………………………………………………… 3 6. Menciona las Propiedades de la integral definida: ……………………………………………………………………… 4 7. Función del Teorema fundamental del cálculo: …………………………………………………………………………… 7 8. Explica brevemente como se realiza la derivación e integración como procesos inversos. ……… 8 9. ¿Para qué se utiliza la Tabla de integrales indefinidas? ……………………………………………………………… 8 10. ¿Cuál es la Regla de sustitución? ……………………………………………………………………………………………… 8 11. ¿Significado y uso de la Simetría? ……………………………………………………………………………………………… 9 Referencias…………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Materia: Carrera: Cálculo Integral . Ingeniería en Desarrollo de Software. Alumno: Cuatrimestre: AL12527162 Mario Esteban Ramírez Carmona 3ro
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal X y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota
como: ∫a
b
f ( x )dx y lo cual es igual a limn→∞
∑i=1
n
f (x i¿ )∆ x
2. ¿Qué es área?
El área es un espacio delimitado por fronteras. Estas delimitaciones marcan los límites del área, es decir que todo espacio que se encuentre entre esas delimitaciones podemos llamarlo área.
Con lo anterior podemos decir que el área, es la región limitada por ciertas fronteras, como puede ser líneas rectas, como el caso del cuadrado, o bien, por líneas curvas, como el caso del círculo.
El área de una figura plana cerrada delimitada por líneas rectas siempre se puede determinar subdividiéndola en triángulos y calculando el área de cada triángulo. El área de cualquier otro tipo de figuras se puede encontrar ya sea por aproximación, utilizando figuras geométricas básicas, o mediante el proceso de integración
3. ¿Concepto de integral?
La integral es la operación inversa de la derivada así como la división es la inversa de la multiplicación y la suma de la resta.
Podemos decir que la integral es el proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
Por conveniencia se introduce una notación para la anti derivada de una funciónSi F’(x) = f(x), se representa ∫ f x dx=F x+c en donde c es igual a una constante.
4. ¿Cómo determinas las Suma de Riemann?
Para determinar el área de una figura geométrica es necesario efectuar operaciones ya conocidas. Sin embargo, cuando se desea calcula el área bajo la curva de una función o un conjunto discreto de datos el cálculo se puede complicar mucho y se requiere de las sumas de riemann para efectuar dicho Cálculo.
Las sumas de riemann nos conducirán al concepto de la integral definida como el área bajo la curva en un intervalo dado.
∫a
b
f ( x )dx= limn→∞
∑i=1
n
f ( xi¿ )∆ x
5. ¿Cuáles son las Regla del punto medio?
Sea f una función continua en [a, b]. La regla del punto medio para aproximar su integral viene dada por:
∫a
b
f ( x )dx ≈ lim∑i=1
n
f (x i )∆ x=∆ x [f (x1 )+…+ f (xn ) ], en donde ∆ x=b−an
Y x i=12
(x i−1+x i ) que es el punto medio de intervalo o la base del rectángulo [ x i−1 , x i ]
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El Teorema fundamental del cálculo establece la conexión entre las dos ramas del cálculo, el diferencial y el integral. En otras palabras, la diferenciación y la integración son procesos inversos. Dan la relación precisa entre la derivada y la integral.
El TFC permite calcular integrales con mucha facilidad sin tener que emplear límites de sumas.
El teorema fundamental del cálculo se establece en dos partes
a) Dada una función f continuaen [a ,b ] ,la funció ngdefinida por :
g ( x )=∫a
x
f (t )dt a≤ x≤b
es continuaen [a ,b ] y derivableen (a ,b ) y
g' ´ (x )=f (x )
b)Dada una función f continuaen [a ,b ] ,entonces :
∫a
b
f ( x )d x=F (b)
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8. Explica brevemente como se realiza la derivación e integración como procesos inversos.
La integración es el proceso inverso de la derivación. Al resolver una integral obtenemos la anti derivada (también llamada primitiva).
Las dos partes del teorema fundamental del cálculo expresan que la derivación y la integración son procesos inversos. Cada una deshace lo que hace la otra.
Si g ( x )=∫a
x
f (t )dt , entonces g'´ (x )=f (x )
Si∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a ) , donde Fes cualquier antiderivadade f , esdecir ,F'´=f
9. ¿Para qué se utiliza la Tabla de integrales indefinidas?
En la tabla de integrales indefinidas se resumen las reglas de integración de algunas funciones comunes. En general, se llama integrales inmediatas a las que se deducen directamente de esta tabla y de las propiedades de linealidad de la integración. Con ello nos permite ahorrar tiempo en el cálculo de integrales.
10. ¿Cuál es la Regla de sustitución?
La regla de la sustitución es un método de integración usado especialmente para calcular la integral definida de una función. Consiste en el reemplazo de las variables por unas que de alguna manera conviertan nuestra función en una integral mucho más sencilla; se conoce como el opuesto de la regla de la cadena, y es una de las formas más comunes para hallar la primitiva.
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Este método es usado constantemente en la resolución de problemas que presentan radicales, encontrando en este método una forma sencilla de resolver la integral. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x.Regla de Sustitución.Si tenemos una función u=g ( x ) diferenciable en el intervalo I, y además continua en ese mismo intervalo, entonces:
∫ f (g (x ) ) g '' ( x )dx=¿ f (u )du¿
Así que si u = g(x) , entonces du = g ' (x)dx . La clave es pensar en du y dx como diferenciales.
11. ¿Significado y uso de la Simetría?
Simetría: Propiedad de ciertos objetos físicos y/o figuras geométricas de permanecer inalterables ante cierta "transformación lineal" ya sea de traslación o de rotación.
En algunas integrales es posible simplificar los cálculos, poniendo atención a sus propiedades
En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero).
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