Cinematica y Dinamica de La Dispersion

Cap. 3 Cinemática y Dinámica de Circulación y Dispersión

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CAPITULO 3

CINEMATICA Y DINAMICA DE LA CIRCULACION Y DE LA DISPERSION

81

Hidrodinámica de Lagunas Costeras

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OBJETIVOS DEL CAPITULO: Establecer las ecuaciones de la hidrodinámica y del transporte de materia en las lagunas costeras. Obtener su solución para advección, difusión molecular y turbulenta, y dispersión, en dimensiones longitudinal, transversal y vertical. Aplicar estos resultados a casos reales de dispersión de contaminantes y renovación del agua, determinando escalas espaciales y temporales, para diferentes tipos de inyección. 3.1 Ecuación de Continuidad Si se considera que la masa en un volumen de fluido es una propiedad conservativa, entonces: la masa que entra menos la masa que sale (del citado volumen) es igual a la variación interna de la masa; es decir que no puede crearse ni destruirse masa en el interior del volumen. En un volumen V encerrado por una superficie exterior S, la masa/unidad de tiempo que sale o entra con velocidad v en dirección x, a través de un elemento de area dS normal a n, (si la densidad ρ es constante), es:

dSnvdtxddSn

dtdV ˆˆ •=•=

rr

ρρρ (3.1)

La igualación de esta variación de masa/unidad de tiempo, integrada a través de toda la superficie S, con la tasa de variación interna de masa dentro del volumen V:

∫∂∂

−=V

dVtdt

dmρ (3.2)

es la ecuación de continuidad:

∫∫ −=•VS

dVt

dSnv ρ∂∂

ρ ˆr (3.3)

3.1.1 Flujo Estacionario

Un río o una laguna costera larga y angosta, sin presencia de mareas o en situación promedio de un ciclo mareal, puede representarse por un canal unidimensional (según x) cuya superficie libre del agua no cambia su posición vertical en el tiempo (“y” es independiente de t), y en que la diferencia entre volúmenes que salen y que entran/ unidad de tiempo es nula, reduciéndose la ecuación de continuidad (3.3) a:

0ˆ =•∫ dSnvS

rρ (3.4)

Si no hay evaporación por la superficie libre, las únicas áreas por las que puede salir o entrar fluido son las de las secciones transversales A1 y A2 (Figura 3.1), implicando la ecuación (3.4) que

, y si ∫ ∫ =− 02211 dAvdAv v y 1 v son los valores medios seccionales (independientes de A1 y A2 ): 2

v A = (3.5) v A Q1 1 2 2 =

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siendo Q, por definición, la descarga, flujo, o gasto que, en este caso, es uniforme a lo largo de las sucesivas secciones transversales del canal.

Fig. 3.1 Canal unidimensional Si un canal principal de una laguna costera, en que la descarga es Q1, se ramifica en afluentes o efluentes de descargas Q2, Q3, Q4, etc. y el nivel de las superficies libres de todos ellos no cambia en el tiempo, entonces Q1 = Q2 + Q3 + Q4 + etc. ó v1A1 = v2A2 + v3A3 + v4A4 + etc.

3.1.2 Flujo No-Estacionario

Si en el canal anterior, la posición vertical de la superficie libre cambia en el tiempo (i.e.: con la marea): y = f(t) y Q1 ≠ Q2 (en la Figura 3.1). El primer término de la ecuación de continuidad (3.3) es equivalente, según el Teorema de Gauss, a:

(3.6) dVvdSnvVS

)(ˆ ∫∫ •∇=•rr

ρρ

y el segundo, según la Regla de Leibnitz, a:

tVdV

tdV

t V V ∂∂

ρ∂∂ρ

ρ∂∂∫ ∫ += (3.7)

substituyendo (3.6) y (3.7) en (3.3), simplificando ρ que es constante en el tiempo, expresando dV = B∆x dy, siendo B el ancho de las secciones transversales que no varía mucho con y, y si y es solamente función de x y t, por lo que:

dydt

yt

dxdt

yx

= +∂∂

∂∂

(3.8)

la ecuación resultante se integra en una dimensión, quedando:

∂ν∂

∂∂

ν∂∂x

y yx

yt

+ + = 0 (3.9)

o equivalentemente:

∂ ν∂

∂∂

( )yx

yt

+ = 0 ó ∂∂

∂∂

qx

yt

+ = 0 ó ∂∂

∂∂

Qx

B yt

+ = 0 (3.10)

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siendo por definición, para un canal de secciones aproximadamente rectangulares, la descarga entre unidad de ancho q = Q/B = vy, porque Q = Av ≈ Byv La relación (3.10) puede expresarse en diferencias finitas, para usarla en modelación numérica (ver Capítulo 4), como:

Q Qx x

By yt t

x x t t2 1 2 1

2 1 2 1

0−

−+

−

−= (3.11)

Es decir que, la variación de la descarga a lo largo del canal o la diferencia entre el volumen que entra y sale se compensa con la variación temporal de volumen debida a la variación de altura de la superficie libre. 3.1.2.1 Modelo para Evaluación de Velocidades En el caso real de una laguna costera de batimetría irregular, la ecuación de continuidad no-estacionaria permite obtener en primera aproximación las velocidades de las corrientes en su interior, bastando conocer solamente la batimetría y las características de la ola de marea (por predicción armónica o mediciones). Eventualmente puede requerirse la evaporación y/o las descargas de ríos. Sea un segmento de longitud ∆x entre dos secciones transversales posicionadas en x1 y x2 de una laguna costera, que experimenta un ascenso o descenso ∆y (entre y1 y y2 ) de la superficie libre del agua en un intervalo de tiempo ∆t (entre t1 y t2 ) por efecto de la marea (Figura 3.2).

Fig. 3.2 Segmento de laguna costera de batimetría irregular Si la longitud ∆x del segmento es suficientemente corta como para que el ancho B sea aproximadamente uniforme, la ecuación de continuidad (3.11) puede expresarse como:

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∆∆∆

Q Q Q By yt t

x Vtx x

t t= − = −−

−= −

2 1

2 1

2 1

∆ (3.12)

siendo ∆V la variación de volumen de agua experimentada en el segmento en el intervalo ∆t . La velocidad media 2v , a través de la sección transversal situada en x2 , es:

−∆∆

−==1

2 12 x

x QtV

AAQ

υ (3.13)

2v es la velocidad media en la sección transversal, promediada durante el intervalo ∆t y A es el área media de la sección transversal durante el intervalo ∆t mientras el agua baja o sube por efecto de la marea. La descarga Q puede: x1

a) ser la descarga de un río, si la posición x1 coincide con la cabeza de una laguna costera

estuarina,

b) ser nula, si la posición x1 coincide con la cabeza de una laguna costera no-estuarina, c) ser la descarga proveniente de un segmento aguas arriba, si la posición x1 es intermedia entre 2 segmentos,

d) ser la diferencia entre cualquiera de las descargas de los casos anteriores menos la descarga

evaporada QE en el segmento En todo caso, Q debe conocerse como dato inicial antes de efectuar las computaciones. Puede determinarse:

x1

a) en el caso a), mediante información estadística estacional o mediciones con un flujómetro en el río,

b) en el caso c), como la descarga de salida ya computada en una etapa anterior para el segmento aguas arriba, es decir Q (del segmento actual) = Q (del segmento anterior aguas arrriba), y x1 x2

c) en el caso d) mediante información estadística estacional, mediciones con un evaporímetro, o evaluación con la ecuación (2.52) midiendo variables meteorológicas y oceanográficas (ver Sección 2.3.1.1).

En consecuencia, las computaciones deben iniciarse siempre para el segmento adyacente a la cabeza de la laguna, continuando sucesivamente para los segmentos contiguos aguas abajo, hasta llegar a la boca. El procedimiento para efectuar las computaciones consta de las siguientes etapas: I) Elegir inicialmente en forma arbitraria t1 y t2, pero condicionados a determinar un intervalo

suficientemente pequeño para los propósitos resolutivos de la evaluación; ∆t t t= −1 2

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II) De la curva de predicciones o mediciones de marea (Figura 3.3), determinar y1 y y2 correspondientes a los t1 y t2 elegidos;

III) De la curva planimétrica (Figura 3.3) obtener ∆ midiendo el área bajo la curva

entre y

∫=2

1

y

y

SdyV

1 y y2 (la curva planimétrica se obtiene graficando la superficie horizontal superior (S) del segmento para cada profundidad (y) proveniente de mediciones directas en la carta batimétrica);

Fig. 3.3 Curvas de: A) marea, B) planimetría, y C) anchos superficiales IV) De la curva de anchos superficiales (B) vs profundidades (y) (Figura 3.3), que se obtiene

también de mediciones directas en la carta batimétrica, evaluar ∫=y

BdyA0

como el área bajo la curva

entre el origen y el valor promedio de y1 y y2 ; V) Introducir los valores obtenidos en I), III), y IV) y un valor adecuado de Q en la ecuación (3.13) para obtener

x1

2v ; VI) Repetir iterativamente las etapas I) a la V) para pares sucesivos de valores de y1 y y2 hasta cubrir todo el tramo de curva de marea que se desee; y VII) Aplicar el procedimiento sucesivamente para los segmentos siguientes adyacentes aguas abajo hasta llegar a la boca. Limitaciones del modelo: i) Considera solamente velocidades por transporte advectivo (corrientes) no incluyendo difusión turbulenta (mezcla, remolinos); y no entrega distribución de velocidades para distintas zonas de la sección transversal;

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ii) Considera la fluctuación vertical de la superficie libre (ola de marea) uniforme y simultánea a lo largo del segmento ∆x, y no incluye reflexiones ni amortiguaciones por fricción; y iii) El transporte es en una sola dirección (longitudinal) no existiendo capas con perfil variable de velocidad por estratificación vertical. 3.2 Conservación de la Energía (Estacionaria y No-Estacionaria) En mecánica de sólidos, la segunda ley de Newton: Fuerza = masa × aceleración se integra espacialmente (respecto de ds) para obtener la ecuación de la energía:

∫ ∫ ∫ ∫∫ −===== )(21 2

122

2

1

vvmvdvmdsdtdvmadsmmadsFds (3.14)

trabajo = variación de la energía cinética

Similarmente en mecánica de fluidos, sea en este caso un volumen rectangular de fluido ∆V = yb∆x , de masa ∆m , moviéndose en dirección x hacia abajo en un canal inclinado en un ángulo θ (Figura 3.4).

Fig. 3.4 Volumen de fluido en canal inclinado Despreciando la fricción, las fuerzas actuantes son: la causada por el gradiente de presión ∇p en la dirección del movimiento

∂∂px

by x∆ (3.15)

y la componente del peso según x

∆ ∆m gsen = gby xsen = - gby x zx

θ ρ θ ρ∂∂

∆ (3.16)

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(el signo - del último término proviene de ser el eje z positivo hacia arriba y el peso positivo hacia abajo, o bien, que ∂z = -∂x senθ dada la ubicación de los orígenes de referencia de z y de x). La segunda Ley de Newton considerando estas fuerzas, y que el gradiente de presión actúa en sentido contrario al movimiento, queda:

xbyaxzxgby ∆=∆−∆−∂∂

ρ∂∂ xby

xp

ρ (3.17)

Si la densidad es constante y la presión es la hidrostática p = ρgy (es decir, que no hay curvaturas verticales ni pendientes exageradas en el canal), introduciendo la expresión de la aceleración

a dvdt

vt

v vx

= = +∂∂

∂∂

(3.18)

e integrando la ecuación respecto a x, y simplificándola por ρgby∆x (es decir, reduciéndola a dimensión longitud) se expresa como la ecuación no-estacionaria de conservación de la energía:

∫ =+++ constante2

2

dxtv

gl

gvzy

∂∂

(3.19)

que si ∂ v / ∂ t = 0, se reduce a la ecuación estacionaria de conservación de la energía:

y z vg

+ + =2

2constante = H (Bernoulli) (3.20)

denominándose H la Energía Total. Las lagunas costeras se comportan estacionariamente en intervalos cortos de tiempo (∼ 1 hora) en pleamar y bajamar, o para valores medios en el ciclo mareal, pudiendo en estas situaciones aplicarse la ecuación de Bernoulli. Si hay pérdida de energía por fricción entre 2 estaciones (1 y 2) se puede evaluar graficamente una corrección copiando verticalmente trazos de longitud igual al valor numérico de los términos de la ecuación (3.20) en las posiciones de cada una de las estaciones, como se ilustra en la Figura 3.5. Nótese que la coordenada z se mide verticalmente hacia arriba desde el nivel de una linea de referencia horizontal situada arbitrariamente (datum) hasta el fondo del canal; y la coordenada y (profundidad) también verticalmente hacia arriba pero desde el fondo del canal hasta el nivel de la superficie libre del fluido.

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Fig. 3.5 Representación gráfica de la ecuación de Bernoulli, con y sin pérdida por fricción Si no hay pérdidas de energía, la línea de energía total debe ser paralela a la línea de referencia horizontal, cumpliéndose:

y z vg

y z vg1 1

12

2 222

2 2+ + = + + (3.21)

Si hay pérdidas de energía por fricción, la línea de energía total tiene pendiente no nula con respecto a la línea de referencia horizontal y:

y z vg

y z vg

hf1 112

2 222

2 2+ + = + + + (3.22)

Correspondiendo la longitud del trazo hf al valor de esta pérdida de energía.

También puede determinarse la pérdida de velocidad debida a la fricción si se conoce el coeficiente de Chèzy, la razón hidráulica y la pendiente del fondo, mediante la ecuación v2 = C2RS (ver 2.69). 3.2.1 Energía Específica La energía con respecto al fondo del canal, en una sección transversal de área A, se denomina Energía Específica (E):

E y vg

y QgA

y QgT y

y qgy

= + = + = + = +2 2

2

2

2 2

2

22 2 2 2 (3.23)

90


si T es el ancho de la sección, aproximadamente rectangular, tal que A ≈ Ty, y q = vy = Q/T es la descarga entre unidad de ancho. En consecuencia, E es función de Q, T, y y, o equivalentemente, solo de q y y. 3.2.2 Transiciones (Flujo Subcrítico, Crítico, y Supercrítico) Una transición es un cambio gradual o abrupto ∆z en la profundidad del fondo de un canal.

Fig. 3.6 Transición de flujo estacionario en canal con levantamiento de fondo. Si el ancho T del canal no varía, y la situación es estacionaria (Q es uniforme a lo largo del canal), la descarga entre unidad de ancho q = Q/T permanece constante al pasar el fluido por la transición. Si adicionalmente no hay pérdidas por fricción, la energía total H se conserva entre las estaciones 1 y 2, antes y después de la transición (Figura 3.6):

H y qgy

y qgy

z= + = + +1

2

12 2

2

222 2

∆ ó (3.24) zEEH ∆+== 21

La dependencia funcional de E con y y q (ecuación 3.23) se representa graficamente como una familia de curvas de q = constante en el espacio bidimensional E vs y, asintóticas a y = 0 y a y = E (Figura 3.7). Para un par de valores E1 (inicial) y E2 (final), la transición puede ocurrir opcionalmente a lo largo de la rama superior o de la rama inferior de una curva q = constante. Si el fondo sube de nivel ( ∆z > 0 ; E < E ) la transición puede ser de los puntos A → B ó A' → B' 2 1

Por ser q = vy = constante en la curva, la rama superior se denomina de flujo profundo y lento ("y" grandes y por ende "v" pequeñas) o subcrítico, y la rama inferior de flujo superficial y rápido ("y" pequeñas y por ende "v" grandes) o supercrítico.

91


Fig. 3.7 Energía específica en función de la descarga y de la profundidad Si la transición de ∆ z > O ocurre en la rama subcrítica (A → B), "y" disminuye y "v" aumenta ; y si ocurre en la rama supercrítica (A' → B'), "y" aumenta y "v" disminuye. Como la linea de energía total permanece horizontal (porque H se conserva), lo anterior significa que la superficie libre del fluido desciende al pasar por la transición de ∆ z > 0 en el primer caso, y asciende en el segundo caso (Figura 3.8).

Fig. 3.8 Transiciones subcrítica y supercrítica con ascenso y descenso del fondo Si la transición es un descenso del fondo ( ∆ z < 0; E > E ) los resultados son los inversos de los anteriores, como se ilustra en las Figuras 3.7 y 3.8 para trayectos A → D ó A' → D'

2 1

Para una transición estacionaria con q constante, el ascenso ∆ z del fondo está limitado a un valor máximo que conduce a un estado final de flujo crítico (punto C en la Figura 3.7), que define

92


valores de profundidad crítica yC, energía específica crítica EC, y velocidad crítica vC. Si se continúa levantando el fondo mas allá de este punto, el régimen se altera cambiando a un valor menor de q. Una secuencia ascenso-descenso del fondo, con profundidad crítica intermedia, y si q permanece constante, permite transitar gradualmente de flujo subcrítico a supercrítico B → C → B', o viceversa B' → C → B (Figura 3.9). Una transición abrupta de flujo supercrítico a subcrítico B' → B con q constante sin paso intermedio por flujo crítico, y sin variar la profundidad del fondo ( ∆ z = O ) es posible con pérdida de energía (Salto Hidráulico, Sección 3.3), no así la situación inversa.

Fig. 3.9 Tránsito gradual de flujo subcrítico a supercrítico y viceversa Flujo crítico es el flujo de E mínima para una q constante (Figura 3.7). Por ende, su condición de existencia está determinada por una primera derivada nula de la ecuación de E con respecto a y (3.23):

dEdy

l qgy

= − =2

3 0 (3.25)

o bien,

q g2 = y ycc3 ó v ó gc

2 = v g (3.26) yc c= que coincide con la expresión de la velocidad de propagación de una ola superficial en una profundidad yc. Por ende, en un flujo subcrítico ( v < gy ) una ola puede propagarse aguas arriba contra la corriente, en uno crítico ( v = gy ) una ola permanece estacionaria en reposo sobre la corriente, y en

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uno supercrítico ( v > gy ) una ola no puede propagarse aguas arriba contra la corriente. Este análisis es determinante en la condición para formación de olas de bore en las bocas de lagunas costeras estuarinas (Sección 3.3.2). Por definición del número de Froude (Henderson,1966):

F vgyr = (3.27)

éste será menor, igual o mayor que uno, según que el flujo sea subcrítico, crítico, o supercrítico, respectivamente. Según la expresión (3.26): , entonces 2/2/2

cc ygv =

E y vg

yc cc

c= + =2

232

(3.28)

Es decir que la recta es el Lugar Geométrico de los puntos críticos de todas las curvas de q constante en la gráfica de y vs. E (Figura 3.7)

2/3 cc yE =

3.2.3 Contracciones y Ensanches Una contracción o un ensanche es un cambio gradual o abrupto ∆T en el ancho de un canal. Si la profundidad del fondo no varia ∆z = 0 , la Energía Específica E permanece constante al pasar el fluido por la contracción, y aunque la situación sea estacionaria (Q uniforme), q = Q / T varia funcionalmente con y según la expresión (3.23). Graficamente, las especificaciones anteriores corresponden al tránsito entre puntos de las rectas B-B' o A-A' (de valor E constante), en sentido vertical: a) desde arriba hacia abajo (y disminuye: descenso de la superficie libre): {q aumenta ⇒ T disminuye

(contracción) si el flujo es subcrítico} ó {q disminuye ⇒ T aumenta (ensanche) si el flujo es supercrítico}; y viceversa,

b) desde abajo hacia arriba (y aumenta: ascenso de la superficie libre) : {q aumenta ⇒ T disminuye

(contracción) si el flujo es supercrítico} ó {q disminuye ⇒ T aumenta (ensanche) si el flujo es subcrítico}.

La recta vertical de tránsito E = constante es tangente a solamente una curva de q = constante ( en su punto de flujo crítico precisamente) que corresponde al máximo valor de q posible para ese tránsito (ensanche o contracción). Por ende, el flujo crítico es aquel de máximo q posible para E constante.

94


3.2.4 Distribución de Velocidades en Cortes Seccionales Por ser el agua un fluido viscoso, y haber fricción en las fronteras externas y esfuerzo de viento en la superficie, existe la capa límite (Sección 2.7); y la magnitud del vector velocidad en cada sección transversal de una laguna costera varía horizontal y verticalmenmte dentro de la sección, disminuyendo hacia el fondo, las paredes y la superficie. La distribución de velocidades en una sección transversal depende de la forma geométrica del contorno y la naturaleza del fondo y de las paredes. La Figura 3.10 muestra algunas distribuciones de velocidades típicas para formas geométricas habituales de secciones transversales en lagunas costeras, para flujo no-estratificado y sin presencia de viento.

Fig. 3.10 Distribuciones de velocidad en secciones transversales típicas, según Chow. Si existe homogeneidad vertical y transversal, la velocidad máxima ocurre al centro cerca de la superficie, entre 0.05 y 0.25 de la profundidad máxima. En canales rectangulares muy anchos, la distribución de velocidad en la parte central no es afectada por la posición de las paredes laterales si el ancho es mayor en 5 o mas veces la profundidad. El procedimiento standard para determinar empiricamente la velocidad media en una sección transversal vertical y horizontalmente no-estratificada de una laguna costera, efectuando mediciones con correntímetro, es el siguiente (Chow, 1959): 1.- dividir la sección transversal del canal en varias columnas verticales según la precisión deseada; 2.- medir en cada una de las columnas verticales la velocidad de la corriente a 0.2 y 0.8 de la

profundidad total; 3.- promediar las dos velocidades anteriores para cada columna y multiplicar por el área de la columna,

obteniendo la descarga promedio en cada una de ellas:

Q v v Ai =+0 2 0 8

2. .

i (3.29)

4.- sumar todas las descargas, obteniendo la descarga total Q en la sección; y 5.- dividir entre el área total A de la sección, obteniendo así la velocidad media:

95


v QA

Q

Ai i

= =Σ

(3.30)

Este método puede ser lento y poco preciso si se dispone de pocos correntímetros y la sección transversal es muy extensa o profunda, como para que las mediciones de velocidades sean sinópticas (simultáneas) si el tiempo empleado es muy grande respecto al lapso de ascenso o descenso de la marea. En secciones transversales de lagunas costeras con estratificaciones vertical u horizontal puede emplearse el método que se describe en la Sección 3.5, en sustitución del presente. 3.2.5 Método de Medición de Velocidades por Arrastre Todo objeto sumergido en un fluido que se mueve respecto a él experimenta una fuerza en el sentido del movimiento relativo, denominada fuerza de arrastre, producida por las componentes paralelas a la dirección del movimiento del esfuerzo de presión y el esfuerzo viscoso actuando sobre la superficie de contacto fluido-objeto (White, 1974). Adicionalmente, si el movimiento relativo es acelerado, se generan fuerzas inerciales. La fuerza de arrastre depende de la forma geométrica del objeto, su tamaño, la naturaleza de su superficie (lisa o rugosa), la velocidad relativa fluido-objeto, y la densidad o la viscosidad del fluido. Stokes determinó empiricamente en 1860 esta dependencia para casos muy viscoso (número de Reynolds pequeño) y poco viscoso (número de Reynolds grande):

(3.31a) F C v L Rar D e= < −µ para 10 3

F C v A Rar D e=12

102ρ para > 3 (3.31b)

siendo: L la longitud característica del objeto (en órdenes de magnitud), A el área frontal (proyección del área del objeto que enfrenta perpendicularmente al fluido, y no la tangencial porque en el caso poco viscoso el esfuerzo viscoso es mucho menor que el esfuerzo de presión), v la componente de la velocidad fluido-objeto en la dirección del movimiento relativo, ρ la densidad del fluido, µ la viscosidad dinámica del fluido, CD el coeficiente de arrastre, y Re el número de Reynoldsque es por definición:

R vLe = ν

(3.32)

siendo ν = µ / ρ la viscosidad cinemática ≈10 cm , para el agua de mar. 2− s2 / En las lagunas costeras, las velocidades típicas de las corrientes advectivas son ≈ 10 a 100 cm / s, de modo que Re ≈ L(cm); y por ende, para objetos de orden de magnitud mayor a L = 1 cm en tamaño, que es lo mas habitual, se está en el caso poco viscoso, y rige la expresión (3.31b) para

(10 103 a )4

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calcular la fuerza de arrastre. Excepcionalmente, para velocidades u objetos muy pequeños, rige la expresión (3.31a). El coeficiente de arrastre CD depende de la forma geométrica, las dimensiones, y la naturaleza de la superficie del objeto, y del número de Reynolds. Para una lámina rectangular lisa de dimensión relativa largo/ancho = 1, 5, 20, ó ∞, el coeficiente de arrastre CD = 1.16, 1.20, 1.50, ó 1.95 respectivamente, para el rango de número de Reynolds Re de 103 a 107. La Figura 3.11 muestra graficamente la dependencia del coeficiente de arrastre con el número de Reynolds para cilindros o esferas lisas, y láminas rectangulares lisas.

Fig. 3.11 Dependencia de CD con Re para: A) cilindros o esferas lisas, y B) láminas rectangulares lisas. La constancia de CD en un rango grande del número de Reynolds para las láminas rectangulares, determina que se elija esta forma geométrica, en vez de cilindros o esferas para el dispositivo de medición de corrientes en lagunas costeras, en que el rango de velocidades fluctúa ampliamente con la marea. Este dispositivo consiste en una cruceta de perfil rectangular simétrica, suspendida con un cabo de un mástil de la embarcación, y con pesos adicionales convenientes para que se introduzca y sumerja en el agua cuya velocidad de corriente se desea medir (Figura 3.12). Una vez logrado el equilibrio entre las componentes horizontales y verticales del peso Mg, la tensión T del cabo, y la fuerza de arrastre de la corriente Far:

F Tsen Mg Tar = θ y cos= θ (3.33) dividiendo término a término la primera expresión entre la segunda (con lo que se elimina T), y substituyendo la expresión (3.31b) para la fuerza de arrastre, se despeja finalmente la velocidad

v MgtgC AD

=2 θ

ρ (3.34)

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A, CD, ρ, y el peso sumergido (no en seco) Mg se determinan o conocen previo a las mediciones y permanecen constantes, de modo que la velocidad v es sólo función del ángulo θ del cabo con la vertical, que es la única variable a medir.

Fig. 3.12 Cruceta y frasco con gelatina para medir velocidades de corrientes La dirección de la corriente se puede determinar visualmente con una brújula que mida la desviación del plano cabo-mástil. El método permite medir directamente en superficie y hasta aproximadamente 20 metros de profundidad sin efectuar correcciones por el ángulo de curvatura del cabo y su longitud vertical. Es relativamente barato, rápido y simple, y es útil en mediciones en lagunas costeras someras desde embarcaciones menores. Su precisión es de 5 % a 10 %. Desventaja: no entrega registros continuos, sólo datos puntuales. Pritchard y Burt (1951) describen detalladamente su metodología de aplicación. Una versión mas versátil y actualizada del dispositivo consiste en un frasco pequeño conteniendo una gelatina que permanece líquida a la temperatura de ebullición del agua, pero se solidifica a las temperaturas típicas del agua de mar. Los frascos permanecen en agua en ebullición al baño-maría a bordo de la embarcación, hasta que son atados al cabo que se sumerge, tardando algunos minutos en enfriarse y solidificarse la gelatina a la temperatura del agua de mar que la rodea, quedando su superficie horizontal sólida inclinada a un ángulo (90 - θ) con respecto al eje vertical del frasco que experimenta la fuerza de arrastre de la corriente a esa profundidad (Figura 3.12). El ángulo θ se mide con comodidad abordo una vez recuperados los frascos. Una brújula inserta en un corcho que flota en la gelatina permite determinar la dirección de la corriente una vez que ésta se solidifica. Los frascos son utilizables indefinidamente licuando cada nueva vez la gelatina. Es posible obtener perfiles verticales de velocidad suspendiendo varios frascos a distintas profundidades en un mismo cabo; se los fabrica en versiones para soportar presiones altas en mar profunda.

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3.3. Conservación del Momentum En mecánica clásica de sólidos, la transferencia o conservación del momentum se expresa como: “variación del momentum mv = impulso de las fuerzas aplicadas”, o:

∆( )mv F= ∑ t∆

∆

(3.35) Para un elemento de fluído de masa m que circula con velocidad v y descarga Q = Av por el canal de una laguna costera; sustituyendo estas expresiones en la ecuación (3.35), y considerando el tránsito entre dos secciones consecutivas 1 y 2:

V A x= =ρ ρ∆ x t= ∆ ∆/

(3.36) ( Qv)2ρ ρ− = ∑( )Qv F1

3.3.1 Salto Hidráulico Estacionario Si en un canal de fondo horizontal ( ∆z = 0 ) y ancho constante T, es decir sin transiciones ni contracciones o ensanches, coexisten en una región 2 secciones transversales con profundidad de flujo y1

y y2 diferentes, con flujo incidente supercrítico y emergente subcrítico, en la zona intermedia se genera un cambio de nivel abrupto con turbulencia y disipación de energía, denominado "salto hidráulico" (Figura 3.13).

Fig. 3.13 Salto hidráulico estacionario

En situación estacionaria (Q uniforme) la posición horizontal del salto no cambia; y en situación no-estacionaria ( Q desuniforme) migra aguas abajo o aguas arriba, denominándose bore para el segundo caso. La única fuerza horizontal, si no se considera fricción, es la debida al gradiente de presión hidrostática ∇ρgy actuando en dirección contraria al movimiento, de modo que si el ancho T no varía mucho con la profundidad:

∫∫∑ −===1

2

22

21

1

2

)(21 yygTgyTdygydAF ρρρ (3.37)

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Sustituyendo esta expresión en la ecuación (3.36), reemplazando Q = qT = constante para salto estacionario, y expresando las velocidades en función de q y de las profundidades "y" respectivas, la ecuación de conservación de momentum queda:

qgy

y qgy

y2

1

12 2

2

22

2 2+ = + (3.38)

denominándose indistintamente al término de la derecha o al de la izquierda función momentum M, indicando la ecuación anterior que esta función se conserva en el salto hidráulico estacionario. Sustituyendo alternativamente q o q en la ecuación (3.38), reordenando los términos y resolviendo las ecuaciones de segundo grado para y

v y212

12= v y2

22

22=

2 ó y1:

−+= 181

2 1

211

2 gyvyy y

−+= 181

2 2

222

1 gyvyy (3.39)

llamadas ecuaciones del salto hidráulico estacionario que permiten conocer y2 ó y1 si se conocen las condiciones del flujo aguas arriba (v1, y1) o aguas abajo (v2, y2) del salto, respectivamente. y2 y y1 se denominan profundidades conjugadas y el valor de una cualesquiera de las dos determina univocamente el de la otra, es decir, una vez establecidas las condiciones del régimen de flujo aguas arriba o aguas abajo sus contrapartes en el otro extremo del salto estacionario son únicas (no hay multiplicidad de saltos estacionarios posibles para una condición de flujo incidente o emergente ya determinada). La representación gráfica de q constante en un espacio de coordenadas y vs. M, según la dependencia entre q, y, y M establecida en el término de la izquierda o de la derecha de la ecuación (3.38), muestra (Figura 3.14) curvas con una rama superior para flujo subcrítico y otra inferior para supercrítico, esta última asintótica al eje y = 0, y un punto de mínima M posible, para el flujo crítico; siendo esto demostrable analíticamente. Por ende, el flujo crítico es aquel que para una q constante tiene la mínima M posible, y para una M constante tiene la máxima q posible. Los puntos correspondientes al estado inicial (flujo incidente) y final (flujo emergente) para un salto hidráulico estacionario, se sitúan sobre la curva de q constante, en una recta vertical de M constante, y con absisas y2 y y1 (profundidades conjugadas).

100


Fig. 3.14 Función momentum M y energía específica E para q constante en un salto hidráulico estacionario.

Situando paralelamente las gráficas, a la misma escala en ejes verticales "y", de y vs. M y de y vs. E de una misma curva de q constante (Figura 3.14), es posible determinar graficamente la pérdida de energía específica ∆E en un salto hidráulico estacionario, si trasladamos las absisas y2 y y1 (determinadas en la primera gráfica al cortar la curva q constante con la recta vertical de M constante correspondiente) de la primera a la segunda gráfica (en que cortarán la curva q constante en las ordenadas de E1 y E2 correspondientes, tal que ∆E = E ). Nótese que esta ∆E no puede asociarse fisicamente con una variación de la profundidad del fondo ∆z, inexistente en el salto, ni analiticamente, porque la conservación de la energía (ecuación 3.21) no rige.

E1 − 2

En las transiciones, y contracciones o ensanches, la función momentum M no se conserva porque actúa una fuerza externa sobre el flujo producida por la variación de profundidad del fondo o del ancho del canal, respectivamente. 3.3.2 Salto Hidráulico No-Estacionario (El Bore) Si en un salto hidráulico estacionario ya existente, se hacen variar las condiciones del flujo incidente o del emergente (variables v y/o y) de modo que los valores de las profundidades respectivas ya no correspondan a los de las conjugadas y2 y y1 relacionadas entre si por las ecuaciones (3.39), el salto se torna no-estacionario propagándose aguas arriba o aguas abajo. Esto ocurre porque la nueva velocidad "v1" del flujo en la zona inmediata aguas arriba del salto adopta un valor menor o mayor que el de la velocidad de fase de una onda superficial (frente del salto) propagándose en la nueva profundidad y1 ( gy1 ). Al fenómeno de ocurrencia de este salto hidráulico no estacionario propagándose aguas arriba en las zonas vecinas a la boca de algunas lagunas costeras estuarinas, alcanzando a veces alturas espectaculares, se le denomina bore. La palabra bore se ha traducido erroneamente al español como "ola de marea", analogamente como la palabra japonesa tsunami (en español maremoto) se ha traducido al inglés como "tidal wave". Ni el bore ni el tsunami son olas de marea. Algunos frentes de onda de tsunamis, pero no todos, suelen propagarse hacia el interior como bores en las playas y en las bocas de lagunas costeras.

101


Puede demostrarse (Officer, 1976) que la velocidad de propagación "C" del frente de onda de un bore es:

C gyy

y y v= +2

11 22

( ) − 1 (3.40)

Las etapas necesarias para la formación de un bore en la zona de la boca de una laguna costera son, secuencialmente: a) existencia de pendiente del fondo acentuada cerca de la boca; b) ocurrencia de nivel de bajamar exageradamente bajo, por ejemplo durante el descenso de

mareas de sicigia (vivas) mas extremas del año; {a) y b) son las condiciones iniciales que generan un flujo vaciante supercrítico (rápido y

superficial) del agua de la laguna hacia un océano adyacente con flujo subcrítico (lento y profundo)}

c) ascenso paulatino de la marea , con profundidades y2 en aumento en el océano adyacente tales

que inicialmente gy2 sea menor que la velocidad del flujo supercrítico v1 emergente por la boca de la laguna, lo que origina un apilamiento y frente de onda en su acceso, no pudiendo propagarse hacia su interior; y

d) continuación del ascenso de la marea hasta que gy2 = 1 y finalmente v gy2 >

propagándose el frente de onda del bore hacia el interior de la laguna. v1

Algunos ejemplos de los escasos bores observados en el mundo: Estuario País altura y(m) C (km / hora)

Severn Inglaterra 2 12.9

Trento Inglaterra 1.5 20.9

Sena Francia 7 24.2

Petitcodiak Canadá 3 ---

Amazonas Brasil 5 35.4

Chien Tang Kiang China

7

16.1 (embarcaciones lo han surfeado)

3.4 Modelos Analíticos Puramente Advectivos

102


3.4.1 Ecuación de Transporte Advectivo de Sal La ecuación 1.7 (Sección 1.4.1.3.8), para transporte unidimensional longitudinal (según x), en condición estacionaria (ecuación 3.13) para transporte medio en el ciclo de marea, sin términos de difusión molecular o turbulenta, y expresando las velocidades "v" en términos de las respectivas descargas "Q", se reduce a:

∂∂( )QS

xQS Q S Q S Q S etc= = = =0 1 1 2 2 3 3 ó constante ó . (3.41) =

para secciones transversales consecutivas 1, 2, 3, etc.; denominándose Ecuación Estacionaria de Transporte Advectivo Unidimensional de Sal. 3.4.2 Unidimensional Estratificado (Teorema de Knudsen) Si se considera a una laguna costera estratificada ( estuarina A o B ó no estuarina α o γ ) como una caja unidimensional en que entran y salen volúmenes de agua y sal estacionarios medios (netos) en el ciclo de marea en 2 estratos verticales, sin considerar la naturaleza de la mezcla interior (Figura 3.15), las ecuaciones de continuidad (3.5) y transporte de sal (3.41) en la sección de la boca: Q2 - Q4 = R ó Q2 - Q4 = - QE y Q2 S2 - Q4 S4 = O (3.42)

Fig. 3.15 Lagunas costeras estratificadas estuarina y no-estuarina permiten obtener las descargas de entrada o salida en cada capa (dificilmente medibles), en función de las descargas del río o evaporadas y las salinidades (mas facilmente medibles o determinables):

Q RSS S

Q RSS S4

2

4 22

4

4 2

=−

=−

y o Q (3.43a) Q SS S

Q Q SS S

E4

2

4 22

4

4 2

=−

=−

y E

En vez de la sección de la boca de la laguna, puede considerarse otra sección intermedia cualesquiera (Figura 3.15):

Q RSS S

Q RSS S

Q Q SS S

Q Q SS S

E3

1

3 11

3

3 13

1

3 11

3

3 1

=−

=−

= −−

=−

y o y E (3.43b)

Resultado conocido como Teorema Hidrográfico de Knudsen

103


Con frecuencia en la literatura científica estos resultados se expresan en función de volúmenes V/ciclo de marea en vez de descargas Q, y con la siguiente nomenclatura sustitutiva:

, Q , arreEf óVVQVQVR 02,, →→→ abaSóVV→4

arrmezclaóSSS →2 , , y S , abaoceanoóSSS →4 S S fondo boca4 2− → −∆ sup ( )

o similares (Dyer, 1979 entre otros), quedando:

V S VS

V S VS

V V SS

V V SS

fS

far

abaaba

ar0

0= = =−

=−océano

sup-fondo

mezcla

sup-fondo sup-fondo sup-fondo

y ó y ∆ ∆ ∆

0

∆ (3.43c)

3.4.3 Bidimensional Bien Mezclado (Bombeo por Marea) El "bombeo por marea" (tidal pumping en inglés) es un fenómeno típico de la interacción entre el flujo de la marea y la configuración de la laguna costera cerca de la boca, producido por la conservación de la dirección del vector momentum en llenante y el efecto de succión en vaciante (Fischer, 1979). Se produce de preferencia en bahias y lagunas costeras no-estuarinas con boca de acceso estrecha y ensanche interior amplio cerca de la boca. Se caracteriza por un "chorro" (jet en inglés) unidireccional del agua que entra en llenante a la laguna, y un "embudo o abanico" (funnel en inglés) de la que sale en vaciante (Figura 3.16).

Fig. 3.16 Bombeo por marea (adaptada de Fischer)

104


Suponiendo mezcla vertical uniforme y geometría rectangular y semicircular para los flujos de llenante y vaciante respectivamente, la ecuación de continuidad estacionaria (para un ciclo de marea) es:

12

2πb d aLd Q Tf= + (3.44)

Si d es la profundidad media, T el período de la marea, Qf la posible descarga de agua dulce de ríos, ‘a’ el ancho de la boca, ‘L’ el alcance espacial máximo del agua de la marea en llenante, y ‘b’ el alcance espacial máximo del agua mezclada saliente en vaciante. Y la conservación de sal estacionaria, también para un ciclo de marea, si el volumen del rectángulo achurado en la Figura 3.16 se sustrae por no alcanzar a mezclarse con el resto del agua en el ciclo:

SabddbdSbLa

−=− 2

0 21)( π (3.45)

siendo S la salinidad media en el interior de la laguna durante el ciclo de marea, y S0 la salinidad del océano adyacente. Del sistema de ecuaciones (3.44) y (3.45) puede eliminarse L ó b quedando ecuaciones de segundo grado, cuya solución en el caso de b es:

−

−±=0

02 21SS

Sd

TQaab fπ

π (3.46)

que dá una adecuada estimación del alcance espacial del agua mezclada saliente de la laguna costera a renovarse en el océano por efecto de la marea y de eventuales descargas de ríos. Analogamente se puede despejar L. Martori (1995) detecta que la interacción del flujo de marea con la configuración de la laguna costera, por efecto del bombeo por marea, es el mecanismo principal que induce flujos netos de sentido opuesto y giros acoplados en la circulación residual en Bahía de San Quintín, B.C. durante el verano (Figura 3.17). Morales y Cabrera (1982),mediante el análisis de series de tiempo de velocidades de corrientes, evidencian la presencia del mismo efecto en la circulación en Ensenada de la Paz, B.C.S. durante el otoño y la primavera (Fig. 3.18).

105


Fig. 3.17 Bombeo por marea en Bahía de San Quintín, B.C., según Martori

Fig. 3.18 Bombeo por marea en Ensenada de La Paz, BCS: A) llenante y B) vaciante, según Morales y Cabrera.

106


3.4.4 Para Intercambio con Tributarios 3.4.4.1 Tributario Somero Si un tributario somero es afluente al canal de transporte de una laguna costera estratificada mas profunda, sus aguas interactúan sólo con la capa superior del canal principal en la zona de interacción. Debido a la acción de la marea, las descargas del río principal y del tributario, y las diferencias de densidad del agua entreambos, se produce un intercambio de descargas a dos niveles (Qa y Qd) en la zona de interacción, y un transporte vertical dentro del tributario (Figura 3.19).

Fig 3.19 Tributario somero Las ecuaciones de continuidad y conservación de sal estacionarias, en el tributario, son:

Qa = Qd + Rt y Qa St = Qd Sb (3.47) si St = salinidad media en el tributario somero, Sb = salinidad en la capa superior del canal principal de la laguna en la zona de interacción, y Rt = descarga de agua dulce del río del tributario. Eliminando Qd :

tb

tba SS

RSQ−

= (3.48)

Debido a variaciones estacionales en la descarga del río o mensuales en el rango de la marea, la salinidad Sb fluctúa en el tiempo, y debido a la inercia en el intercambio más lento de volúmenes con el tributario, St fluctúa también pero con retraso respecto a Sb (Figura 3.20).

107


Fig 3.20 Fluctuación de la salinidad Sb en el canal central y St en el tributario Con las siguientes consecuencias en el sentido de las descargas superficial y profunda entre el canal principal y el tributario:

Si: Sb > St (Sb - St > 0) Si: Sb = St (Sb - St = 0) Si: Sb < St (Sb - St < 0) Qa > 0 y Qd = Qa - Rt = ? Qa y Qd → ∞ Qa < 0 y Qd = Qa - Rt < 0

En el primer caso, la circulación superficial será siempre hacia afuera y la circulación de fondo puede ser hacia afuera, adentro o nula según el valor de Rt, que determinará si Qd es menor, igual, o mayor que cero. El segundo caso corresponde al lapso corto de tiempo de transición entre el primero y el tercero; las descargas en superficie y fondo no están definidas y hay turbulencia en la zona de interacción. En el tercer caso, la circulación superficial es siempre hacia adentro, y la circulación de fondo siempre hacia afuera. 3.4.4.2 Tributario Profundo Si el tributario es profundo, y sus aguas interactúan con ambos estratos del canal principal de la laguna costera (Figura 3.21), dado que en los tributarios las descargas de agua dulce Rt son generalmente pequeñas, es razonable suponer que éste es verticalmente homogéneo con una salinidad intermedia St, tal que Sg < St < Sh . En la zona A: Sg < St y las aguas menos densas del principal fluyen hacia el interior del tributario sobre las aguas más densas de éste. En la zona B: St < Sh , y las aguas más densas del principal fluyen hacia el interior del tributario bajo las aguas menos densas de éste. En el centro se forma una contracorriente de aguas de densidad media que fluyen hacia afuera del tributario. Las ecuaciones de continuidad y conservación de sal estacionarias, en el tributario, son:

tmhggthg SQQSQRQQ S y Q= hm =+++ (3.49) Aproximando St al promedio aritmético entre Sh y Sg (lo que es razonable en casos reales), y eliminando Qm entre ambas ecuaciones:

108


hg

hgthg SS

SSRQQ

−

+=− (3.50)

y Qg ó Qh sólo pueden determinarse separadamente con la ayuda de una tercera ecuación, i.e. conservación del momentum o conservación de la energía térmica.

Fig. 3.21 Tributario profundo 3.4.5 Unidimensional Bien Mezclado para Intercambio en la Boca Una fracción del agua que entra a una laguna costera por la boca durante la fase de llenante es agua que salió en la vaciante anterior, y el saldo es agua nueva del océano. Para determinar la dilución de contaminantes y la renovación o intercambio de agua de la laguna a travéz de la boca, es necesario conocer estas fracciones. Se define fracción o razón de intercambio exterior R al cuociente entre el volumen V0 de agua nueva del océano que entra por la boca en llenante y el volumen Vm total de agua que entra por la boca en dicha llenante (R = V0/Vm ). Esta fracción depende de la naturaleza de las corrientes litorales existentes en la boca, y es difícil de evaluar teoricamente mediante la estimación de su influencia. Las ecuaciones de continuidad y conservación de sal estacionarias, aplicadas a la parcela de agua que entra en llenante por la boca, son (Figura 3.22):

109


Fig. 3.22 Intercambio de agua en la boca

Vm = Vref + V0 (3.51a)

Vm Sm = Vref Se + V0 S0 (3.51b) si S0 es la salinidad del océano, Se la de la parcela de agua que sale en vaciante, Sm la de la que entra en llenante, y Vref la fracción de volumen saliente en vaciante que se incorpora totalmente a la parcela que ingresa en llenante. Formando el cuociente V0/Vm en cada una de las ecuaciones 3.51, y eliminando entreambas el cuociente Vref/Vm , se obtiene:

R VV

S SS Sm

m e

e

= =−−

0

0

(3.52)

que permite evaluar R si se efectúan mediciones de las salinidades medias en vaciante y en llenante en la boca y en el océano adyacente. Sin embargo, el método no es muy preciso para lagunas costeras no-estuarinas, porque en ausencia de agua dulce que ingrese por afluentes: Sm ≈ Se ≈ S0 y el denominador de la fracción anterior → 0 ó a quedar indeterminado si la incerteza en las mediciones de salinidad es muy grande.

110


3.4.6 Unidimensional Bien Mezclado para Concentración de Descarga Este modelo estacionario permite evaluar la concentración media evacuada por la boca al mar (Cexit) de un contaminante introducido en el interior de una laguna costera continuamentea una tasa M (masa/ tiempo) por un tubo que descarga Q

&

d = Vd /T fluído con contaminante (Figura 3.23), sin considerar la naturaleza de la mezcla interior (solo procesos advectivos).

Fig. 3.23 Descarga interior de contaminante Por definición, la concentración (masa de contaminante / volumen de fluído) del contaminante saliendo al mar es:

eeexit V

TMQMC

&&== (3.53)

siendo T el período de la marea, y Ve y Qe el volumen y la descarga de salida por la boca en vaciante, respectivamente. Las ecuaciones de continuidad y conservación de sal estacionarias, aplicadas a la parcela de agua interior en que ocurre la mezcla con el efluente del tubo de descarga (si se supone que la distancia entre esta parcela y la boca es suficientemente corta como para que no ocurra ninguna mezcla adicional en ese trayecto), son:

Ve = Vm + Vf + Vd (3.54a) Vm Sm = Ve Se (3.54b)

111


siendo Vm y Vf , los volúmenes de ingreso de fluído por la boca en llenante, y de agua dulce por eventuales tributarios, respectivamente; y Se y Sm , las salinidades medias cerca de la boca en vaciante y en llenante, respectivamente. Eliminando Vm entre ambas ecuaciones, despejando Ve e introduciéndolo en la expresión (3.53):

C MT S SS V Vexit

m e

m f d

=−+

& ( )( )

(3.55)

bastando medir las salinidades medias en vaciante y llenante y los volúmenes de fluído descargados por el tubo y por eventuales afluentes de agua dulce. Limitación: supone mezcla completa e instantánea en la parcela interior adyacente al tubo de descarga, y que no ocurren otras interacciones en el trayecto aguas abajo. 3.4.7 Métodos para el Tiempo de Evacuado Son métodos puramente advectivos, que permiten resolver en forma rápida y simplificada situaciones de contaminación y evacuado en lagunas costeras. 3.4.7.1 Definiciones Tiempo de Evacuado (Flushing Time) es el tiempo necesario para renovar toda el agua dulce de una laguna costera estuarina reemplazándola por agua dulce nueva proveniente del río, o el tiempo necesario para renovar toda el agua de una laguna costera no-estuarina reemplazándola por agua nueva proveniente del océano. Si la descarga de agua dulce del río (en el caso estuarino) es R = Vf /T, siendo Vf el volumen de agua dulce que ingresa en un ciclo de marea y T el periodo de la marea; Vfe el volumen de agua dulce (mezclada con agua salada) que se almacena en el interior de la laguna en cada ciclo; VT el volumen total de agua en pleamar contenido en la laguna; y V0 el volumen de agua que sale de la laguna en vaciante (Figura 3.24a); entonces, el tiempo de evacuado es por definición:

τ = = =VR

V TV

V TV

fe fe

f

T

0

(3.56)

Los tres métodos de uso mas común en la determinación del tiempo de evacuado son: el de la fracción de agua dulce, el del prisma de marea, y el modificado del prisma de marea. El primero está limitado en su aplicación a las lagunas costeras estuarinas, y no se expone aquí, pudiendo consultarse en referencias (Ej: Dyer, 1973). Los dos últimos se exponen a continuación.

112


Fig. 3.24 Nomenclatura para métodos de Tiempo de Evacuado 3.4.7.2 Del Prisma de Marea Se supone que el agua que entra en llenante del océano y de eventuales ríos se mezcla completamente con el agua que está en el interior de la laguna, y de este volumen mezclado se evacúa posteriormente en vaciante la fracción comprendida entre los niveles de pleamar y de bajamar consecutivos (denominado Prisma de Marea (P), por definición, ver Sección 2.1.2.1.1). Entonces, V0 = P, y VT = P + Vb, siendo Vb el volumen de agua remanente en bajamar en el interior de la laguna (Figura 3.24b), y el tiempo de evacuado es:

τ =+( )P V T

Pb (3.57)

siendo P, Vb, y T determinables, aun en primera aproximación sin necesidad de efectuar mediciones de campo, si se dispone de una batimetría de la laguna con resolución adecuada y de la predicción astronómica de las alturas de marea para el lugar. Sin embargo, este método da valores muy bajos (subestimación) del tiempo de evacuado porque la suposición de mezcla completa no se cumple en la realidad, pues ni el agua dulce de rios tiene alcance suficiente para llegar hasta la boca ni el agua salada proveniente del océano lo tiene para llegar a la cabeza de la laguna, en un ciclo de marea . 3.4.7.3 Modificado del Prisma de Marea Para superar la dificultad expuesta en el párrafo anterior, Ketchum (1951) supone que las partículas de agua no recorren toda la longitud de la laguna en un ciclo de marea, sino una distancia limitada X, que depende de la batimetría y de la fluctuación de la marea. 3.4.7.3.1 La Excursión y la Razón de Intercambio Interior A la distancia anterior se la denomina la excursión de la partícula de agua en el ciclo de marea. Se subdivide la laguna costera en segmentos de longitud igual a la excursión de las partículas en cada segmento, dentro de cada uno de los cuales se considera aceptable la mezcla total en un ciclo de marea. Se aplica entonces separadamente el método de prisma de marea a cada uno de ellos,

113


obteniéndose tiempos de evacuado parciales τ para cada segmento i. El tiempo de evacuado total será (Figura 3.25 a).

i

τ = ∑ ii

τ

Fig. 3.25 Segmentación según excursiones, y su metodología La subdivisión en segmentos de longitud igual a la excursión de las partículas se inicia con el segmento cercano a la cabeza, en que se supone que no llega contribución de agua salada del océano (P0 = Vf ), para el caso estuarino, o bien que toda el agua del segmento es igual al prisma de marea y proviene del segmento siguiente aguas abajo (P0 = V1b y V0b = 0), para el caso no-estuarino (Figuras 3.25 b y c). Los segmentos siguientes se construyen de modo que su volumen en bajamar sea igual al volumen total en pleamar (prisma + volumen en bajamar) del segmento anterior aguas arriba, es decir representando su longitud precisamente la excursión de una partícula durante un semiciclo: V1b = V0b + P0 , V2b = V1b + P1, V3b = V2b + P2, ... Vnb = V(n-1)b + P(n-1), etc. Los tiempos de evacuado parciales para cada segmento así obtenido, y el tiempo de evacuado total para la laguna, son:

τ ii bi

ii

i

P V TP

=+

= ∑( ) y τ τ (3.58)

La evaluación de las excursiones (Xi) permite determinar aproximadamente las velocidades longitudinales medias de las partículas en cada segmento durante un semiciclo de marea: Ui = 2 Xi /T. La razón de intercambio interior en cada segmento i, se define como la fracción de agua de cada segmento que es removida en cada ciclo de marea:

r PV P

Ti

i

bi i i

=+

=τ

(3.59)

Por ende, (1 - ri) es la fracción de agua de cada segmento i que permanece (remanente) después de cada ciclo de marea. 3.4.7.3.2 Concentración Remanente y Tiempo para su Reducción

114


En una laguna costera estuarina, si el volumen de agua dulce nueva del río que ingresa en cada ciclo de marea es Vf , el volumen de agua dulce removida en un ciclo de marea en un segmento i es riVf, y el volumen remanente que permanece es (1 - ri) Vf . Al siguiente ciclo de marea, del volumen remanente que quedó, otra fracción ri será removida y otra fracción (1 - ri) permanecerá; y así sucesivamente, aplicando este razonamiento ciclo a ciclo, puede demostrarse que después de m ciclos, del volumen Vf de agua dulce original quedará en cada segmento i:

i

mif

fei rrV

V])1(1[ 1+−−

= (3.60)

que para m grande: Vfei = Vf / ri, y para todo el estuario Vfe = Vf ∑ (ri)-1. Si se introduce en forma discontinua (una sola vez) un volumen "q" de contaminante en un segmento "n" de una laguna costera, siguiendo el razonamiento anterior, el volumen remanente que permanece después de un ciclo de marea será q(1 - rn), después de 2 ciclos será q(1 - rn )2, y después de m ciclos será q(1 - rn )m = qp; definiendo así la fracción ‘p’ de contaminante que queda después de m ciclos en el segmento n de introducción:

p r (3.61) nm= −(1 )

Inversamente, el número m de ciclos que se requiere para reducir el contaminante a una fracción p en el segmento n en que se le introdujo, y el tiempo necesario para llevar a cabo esto, son:

m l pl r

Tm Tl pl r

n

n n

n

n n

=−

=−( ) ( )1 1

y (3.62)

Estas expresiones permiten también calcular la vida media (tiempo necesario para reducir su concentración a la mitad) del contaminante en el segmento en que se le introdujo. 3.4.7.3.3 Variación de Concentración en el Segmento de Inyección, .........Aguas Arriba y Aguas Abajo Por definición, la concentración de un contaminante en el segmento en que se le introduce (i), después de un cierto tiempo de su introducción, es igual al volumen remanente de contaminante para ese tiempo dividido entre el volumen total de fluído en pleamar en ese segmento ( Ci = q pi / VTi ). Si el tiempo transcurrido son m ciclos de marea, la fracción remanente es pi = (1 - ri )m , y por ende, la concentración remanente es:

115


ii T

m

ii

T

mi

i V

TqC

VrqC

−

=−

=τ

1 ó )1(

(3.63)

Las concentraciones de contaminante C-N en los segmentos consecutivos aguas arriba del de introducción son proporcionales a la concentración en el de introducción en la misma proporción que sus salinidades, y las concentraciones CN en los segmentos consecutivos aguas abajo del de introducción son proporcionales a esa concentración en la misma proporción que sus fracciones de agua dulce; para el mismo número m de ciclos de marea transcurridos después de la introducción:

C C SS

C C ffN

NN

N−

−= =00

00

y (3.64)

asignándose el índice i = 0 al segmento de introducción del contaminante, y los índices i = -1, -2, -3, ... -N a los segmentos consecutivos aguas arriba de éste, é i = 1,2,3, ... N a aquellos aguas abajo; y siendo, por definición, las fracciones de agua dulce:

f SS

f SSN

N

océano océano

= − = −1 00 y 1 (3.65)

3.5 Transporte de Materia Difusivo-Dispersivo En esta Sección se analizan soluciones a la ecuación de transporte de materia (en suspensión o dilución) considerando difusión molecular, difusión turbulenta, y dispersión; y sus aplicaciones. Las definiciones de los procesos de transporte mencionados pueden verse en la Sección 1.4.1.3.7. En general, las fluctuaciones e irregularidades en el campo de la velocidad, son tanto o más importantes que el flujo medio (advectivo) en el transporte de materia (contaminantes, sal, oxígeno, etc.). Por esta razón, los modelos analíticos puramente advectivos, expuestos en la Sección 3.4, deben considerarse solamente como una primera aproximación. 3.5.1 Escalas de Tiempo, Coeficientes y Ecuaciones

Fig. 3.26 Difusión de contaminante

116


Es importante determinar y establecer las escalas de tiempo y de espacio en que toman lugar estos procesos de transporte; como ejemplo ilustrativo, las etapas sucesivas de la descarga de un contaminante por un desagüe a una laguna costera tienen tipicamente las siguientes escalas espaciales y temporales: Etapa Escala espacial (m) Escala temporal (s) Mezcla inicial en el jet de salida

< 102 (< 100 m) < 103 (< 15 min)

Establecimiento de "nube" que viajará con la corriente media

101 - 103 (10 m - 1 km) 102 - 103 (2- 15 min)

Difusión turbulenta lateral y/o dispersión asociada al perfil de velocidad + difusión lateral

102 - 104 (100 m -10 Km)

103 - 105 (15 min - 24 hrs)

Advección por la corriente media

103 - 105 (1 - 100 Km) 103 - 106 (15 min - 10 días)

Evacuación por la boca después de varios ciclos de marea

104-106 (10 Km - 1000 Km)

106 - 108 (10 días - 3 años)

Este ejemplo indica que cada etapa del proceso de transporte tiene escalas características bien diferenciadas en órdenes de magnitud. Por lo tanto, para aplicaciones prácticas puede usualmente bastar en primera aproximación con estimar los órdenes de magnitud de estas escalas con incertezas aceptables de 100 % (un orden de magnitud) para resolver situaciones reales de contaminación. Aplicación típica: Determinar cuanto tiempo tarda un contaminante introducido en la superficie de un río, en mezclarse totalmente en profundidad (hasta el fondo), sin considerar efectos gravitacionales, y a qué distancia horizontal del punto de introducción ocurre esto (Figura 3.26) Si la mezcla es por difusión turbulenta vertical, el coeficiente respectivo (ver definición según la Ley de Fourier en la Sección 1.4.1.3.8) tiene dimensión L2/T, de modo que el tiempo de mezcla vertical total es proporcional a d2 / ∈ , siendo d la profundidad y ∈ el coeficiente. v v

Como veremos mas adelante en este mismo capítulo, para ríos, el coeficiente de proporcionalidad en la relación empírica anterior es O.35 y duv *07.0=∈ (ver Sección 3.5.7), siendo u*

la velocidad característica (“shear velocity” en inglés) o velocidad del esfuerzo tangencial de corte, de deslizamiento, o de cizalle. La velocidad característica es por definición, y según la ecuación de Chèzy (Sección 2.7), y aproximadamente para ríos:

u gRS u∗ = = ≈τρ

0

15 (3.66)

117


siendo τ el esfuerzo tangencial, ρ la densidad, g la aceleración de gravedad, R la razón hidráulica, S la pendiente del fondo ó de la linea de energía total, y

0

u la velocidad horizontal media de la corriente advectiva del río. Sustituyendo las expresiones de los 2 párrafos anteriores en la relación de proporcionalidad original, se obtiene en primera aproximación para el tiempo de mezcla vertical total tm y la distancia horizontal a la que ésta ocurre Xm:

t d

d udu

x utm ≈ ≈ ≈0 350 07

15

75 752

..

y dm m ≈ (3.67)

Ejemplo: si d = 5 m y u= 0.5 m/s : tm ≈ 750 s ≈ 12 min. y Xm ≈ 375 m Similarmente puede tratarse la difusión transversal, usando un coeficiente ∈ que para ríos y lagunas costeras es aproximadamente 10 a 15 veces mayor que ∈ (ver Secciones 3.5.7.2 y 3.5.8.2).

t

v

Nótese que para la aplicación anterior no fué necesario resolver la ecuación de transporte de materia para obtener una solución aproximada (en órdenes de magnitud) y rápida, pero confiable, del problema. La dependencia entre u, u y u para un canal ancho sin estratificaciones es, mas rigurosamente: ∗

u u uk k

u yd

= + +∗

∗2 3010

. log (3.68)

siendo y la distancia a la pared más cercana, k la constante de Von Karman = 0.40 (sin sedimento en suspensión) ó = 0.21 (con sedimento en suspensión). Los dos últimos terminos sumados equivalen a la desviación u' de la velocidad con respecto a su valor medio en el perfil ( u = u + u' ). El tratamiento matemático de los fenómenos de difusión térmica, difusión eléctrica, difusión molecular, difusión turbulenta y dispersión, es enteramente similar, basándose en la postulación de leyes de flujo, es decir: a) Ley de flujo térmico de Fourier: flujo calor Q ∝ gradiente de temperatura T:

Q k dTdx

= − (3.69a)

b) Ley de flujo eléctrico de Ohm: corriente eléctrica I ∝ gradiente de potencial eléctrico V:

I CdVldx

= − (3.69b)

118


c) Ley de flujo de masa de Fick: flujo de masa q ∝ gradiente de la concentración C:

q D dCdx

= − (3.69c)

siendo los respectivos coeficientes de difusividad térmica k, de conductancia / unidad de largo C/l, y de difusión molecular D, todos de la misma dimensión: L2T-1. Nótese que la expresión (3.69c), postulada por Fick para la difusión molecular, es semejante a la expresión (1.4) de la Sección 1.4.1.3.8 para la difusión turbulenta, y a la de la Sección 3.5.6 para la dispersión, definitorias para estos coeficientes. Esto último indica que los tratamientos matemáticos de la difusión molecular, la difusión turbulenta, y la dispersión son similares difiriendo solamente en el orden de magnitud de sus coeficientes, respectivamente:

D∼10 ε∼52

− cms

10 K∼-10 2 cms

2

10 (3.70) 104 62

−cm

s Los coeficientes de difusión molecular D dependen solamente de las substancias involucradas, y por lo tanto están tabulados, Ej: sal en agua: D = 1.5 × 10-5, azúcar en agua: D = 0.5 × 10-5. No así los coeficientes de difusión turbulenta y de dispersión que dependen del campo de velocidades en cada situación particular. Si la ecuación de continuidad no-estacionaria unidimensional (3.10) se multiplica término a término por la densidad ρ = M/V = M/Qt = M/Byx, considerando que la concentración unidimensionalmente es M/x, resulta:

∂∂

∂

∂∂∂

∂∂

&Mx

Mxt

qx

Ct

+ = = −0 ó (3.71)

que introduciendo la expresión de q de la Ley de flujo de masa (ecuación 3.69c), deviene en la ecuación de transporte de materia unidimensional puramente difusiva (Fick), o advectivo-difusiva si se le agrega el término respectivo:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ct

D Cx

Ct

u Cx

D Cx

= = −2

2

2

2 y + (3.72)

En las Secciones siguientes se resuelven estas ecuaciones o sus versiones en mas dimensiones para casos particulares obteniéndose de su solución las distibuciones espacio-temporales de concentración de materia C(x,t), C(x,y,t), ó C(x,y,z,t). 3.5.2 Difusion Unidimensional sin Advección

119


3.5.2.1 Inicialmente Puntual, e Instántanea (Fick) En el instante t = 0 se introduce una masa "puntual" en la posición x = 0, que se difundirá unidimensionalmente a lo largo de x, sin advección ( u = 0). Esta masa puntual M concentrada inicialmente en un espacio infinitamente pequeño, tendrá una concentración (C = dM/dx) inicial infinitamente grande pero acotada C(x,0) = M δ (x) , representando δ (x) una masa unitaria con las propiedades matemáticas de la función pico o delta de Dirac (Figura 3.27):

1)( pero ;0 para )( ;0 para 0)( ==∞→≠= ∫+∞

∞−

dxxxxxx δδδ (3.73)

Fig. 3.27 Concentración inicial y distribución posterior Esta descripción corresponde muy bien en la realidad a la concentración inicial en una mancha de tinta descargada desde un frasco en un lago, una laguna costera, o el océano. Con esta condición inicial, y la condición de frontera C ( ± ∞, t ) = 0 para todo tiempo t, la ecuación 3.72 (sin advección) tiene como solución:

C x t MDt

exDt( , ) =

−

4

2

4

π (3.74)

120


que representa graficamente la distribución de concentración a lo largo de x como una curva Gaussiana (Figura 3.27) El máximo de esta concentración, para todo instante de tiempo, se sitúa en el centro de la distribución o posición de la introducción inicial (x = 0):

C t MDtmax ( , )0

4=

π (3.75)

decreciendo este máximo con el tiempo según t ; ejemplo: para M = 1, y

D C t t y C x t t ext= = =

−14

012

12

2

: ( , ) ( ) ,.. .. ( , ) ( ) π− −

π (Figura 3.28).

Fig. 3.28 Decaimiento de la concentración

121


La posición media de la distribución de concentraciones o centroide o centro de masa de la mancha se sitúa en:

µ==

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

dxtxC

dxtxxCx

),(

),( (3.76)

que corresponde a x = 0 en el caso de introducción central, sin velocidad advectiva. Y la varianza de la distribución es:

2

2

2

),(

),()()( σ

µµ

−=−

∫

∫∞

∞−

∝∞

∞−

dxtxC

dxtxCxx = (3.77)

sustituyendo C(x,t) de la ecuación 3.74 y efectuando las integraciones, puede demostrarse que:

(3.78) σ2 2= Dt

independientemente de si la introducción es central (en x = 0), o en cualquiera otra posición x. La desviación estándar " σ " es una medida espacial de la extensión de la mancha o nube de

materia: 95 % del área centrada bajo la curva (o 95 % de la masa ) está comprendida entre

los límites ± 2 σ , lo que permite, como criterio práctico, definir

∫+∞

∞−

= CdxM

el diámetro o ancho de una nube que se extiende por difusión = 4 σ = 4 2 Dt (Figura 3.27). En consecuencia, el ancho de esta nube crece en el

tiempo proporcionalmente a t . Teoricamente la curva Gaussiana extiende sus "colas" hasta ± ∞ de acuerdo a la condición de frontera especificada inicialmente.

12

Esta definición permite evaluar empiricamente el coeficiente D de difusión (molecular, en este caso) midiendo la evolución temporal de anchos (4σ) de las nubes. De sus valores representados como puntos en una gráfica de ejes coordenados σ vs. t se puede mediante regresión lineal ajustar una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es 2D, según la ecuación 3.78. El método no es válido para los instantes iniciales, cuando aún no se ha establecido la nube, en que la relación lineal no se cumple sino hasta haber alcanzado escalas espacio temporales Lagrangianas (ver Secciones 3.5.5.1 y 3.5.5.2).

2

122


3.5.2.2 Inicialmente Extensa, e Instantánea Si en el instante t = 0, la masa M se introduce inicialmente como una fuente de distribución espacial extensa (pero conocida) de concentración: C(x,0) = f(x), cada elemento puntual de masa dM = C(x,0)dx = f(x)dx en un punto cualquiera x = ξ aporta un elemento de concentración espacio-temporal según la solución del caso anterior (Figura 3.29):

dC x t dMDt

e fDt

ex

Dtx

Dt( , ) ( )( ) ( )

= =−

−−

−

4 4

2 2

4

πξπ

ξξ ξ

d4 (3.79)

Fig. 3.29 Fuente inicial extensa Como la ecuación diferencial de la difusión es lineal, el aporte total a la difusión es igual a la superposición lineal de los aportes de todos los elementos puntuales componentes de la distribución inicial, es decir:

∫+∞

∞−

−−

= ξπξ ξ

deDt

ftxC Dtx4

)( 2

4)(),( (3.8O)

Para evaluar esta distribución espacio-temporal de concentración (efectuar la integración) en cada caso particular, debe conocerse a priori la forma funcional de la distribución de concentración inicial f(ξ) = C ( ξ , 0).

123


Ejemplo: un tubo con una válvula de paso al centro, inicialmente cerrada y lleno en una mitad con agua pura, y en la otra mitad con un contaminante de concentración homogénea C0 (Figura 3.30). Al abrirse la válvula se produce una difusión mutua (sin advección) entre ambos fluidos.

Fig. 3.30 Difusión para concentración escalón La distribución de concentración inicial, en forma de escalón es: f(x) = C(x,0) = 0 para x > 0 y C(x,0) = C0 para x < 0. La condición de frontera es C(- ∞, t ) = C0 y C(+ ∞, t ) = 0. Con estas condiciones, y si se considera que la integral de 0 a + ∞ (mitad derecha inicialmente con agua pura) es nula, la integración solución (ecuación 3.80) es:

+==

−−

∞−∫ Dt

xerfCdeDt

CtxC Dtx

41

24),( 04

)(00

2

ξπ

ξ

(3.81)

que se representa graficamente en la Figura 3.30.

Siendo erf la función dze z∫ −=α

πα

0

22)(erf que está tabulada:

α erf (α) 0

0.5 1.0 2.0 . . ∞

0 0.5205 0.8427 0.9953

.

. 1.0

3.5.2.3 Inicialmente Puntual, y Continua

124


Si se introduce un contaminante en forma puntual en el origen x = 0, como en el caso de la Sección 3.5.2.1, pero en forma continua desde un instante t = t0 a una tasa M = dM /dt, la concentración resultante es la integración en el tiempo de las concentraciones para cada instante, desde el inicial t0 hasta un final t cualesquiera:

∫ −−

−=

t

t

tDx

detD

MtxC0

2

)(4

)(4),( τ

τπτ

& (3.82)

en que es necesario conocer la dependencia funcional M(τ) para poder efectuar la integración en cada caso de aplicación específico; en particular M puede ser una tasa constante para un flujo estacionario (independiente de τ ). Al tiempo inicial t

&

0 se le puede asignar el valor 0 si es un instante conocido, o el valor - ∞ si se desconoce el momento en que se inició el flujo continuo contaminante pero se sabe que es de larga data. 3.5.2.4 Inicialmente Extensa, y Continua Finalmente si una tasa de masa M se introduce continuamente, y como una fuente espacial extensa (combinación de casos de las Secciones 3.5.2.2 y 3.5.2.3), se obtiene la solución espacio-temporal más general a la ecuación diferencial original:

&

∫ ∫+∞

∞−

−−

−

−=

t

t

tDx

ddetD

MtxC0

2

)(4)(

)(4),(),( τξτπ

τξ τξ&

(3.83)

En que debe conocerse la dependencia funcional espacio-temporal M ( ξ ,τ ) para poder efectuar la integración en cada caso particular.

&

3.5.3 Extensión a 2 o 3 Dimensiones y con Fronteras Finitas (Cerradas) En todos los casos anteriores la condición de frontera espacial es abierta, permitiendo que el contaminante se difunda longitudinalmente en ambas direcciones ilimitadamente (hasta ± ∞ ). En la realidad, particularmente en las lagunas costeras, la difusión está limitada por fronteras físicas a distancia finita: fondo, superficie, y márgenes laterales. En el caso de una difusión inicialmente puntual, y no-continua, que se origina en el centro del canal de una laguna costera con márgenes laterales a distancia x = + L y x = - L del centro, las "colas" de la solución con frontera abierta se reflejan en ambas márgenes y se superponen a la solución en la zona central. Si la reflexión es total, esto permite tratar matemáticamente la solución por el método de imágenes, superponiendo linealmente, en el dominio -L a +L, la solución real centrada en x = 0 con las "colas" de 2 soluciones imagen centradas en x = - 2L y x = + 2L (Figura 3.31):

125


++=−

−−−

−−Dt

LxDt

LxDt

x

eeeDt

MtxC 4)]2([

4)]2([

4

222

4),(

π (3.84)

Fig. 3.31 Difusión con fronteras finitas Pero estas "colas" de las soluciones imagen centradas en x = - 2L y x = + 2L, se reflejarán a su vez en las márgenes situadas en x = +L y x = -L respectivamente, al continuar la difusión; pudiendo aplicarse así sucesivamente el procedimiento matemático anterior hasta obtener la solución final:

C x t MDt

ex iL

Dt

i n

i n

( , )( )

=−

+

=−

=+

∑ 4

24

2

π (3.85)

limitando el valor de n al número de términos necesarios para obtener la solución aproximada al menor orden de magnitud deseado. Las soluciones expuestas en las Secciones 3.5.2.1 a 3.5.2.4 pueden extenderse a 2 o 3 dimensiones. En el caso de difusión inicialmente puntual, no-continua y centrada, si el pico de concentración inicial es: C (x ,y,0) = M δ(x)δ(y) , la ecuación diferencial para difusión bidimensional, sin advección es:

∂∂

∂∂

∂∂

Ct

D Cx

D Cyx y= +

2

2

2

2 (3.86)

que tiene como solución para la difusión en el plano x-y:

126


C x y t Mt D D

ex y

xD t

yD tx y( , , ) =

− −

4

2 2

4 4

π (3.87)

que representa una campana Gaussiana de secciones x-y circulares si Dx = Dy = D (que es el caso para difusión molecular) ó elípticas si los coeficientes son ∈ ≠ (que es el caso mas habitual en la difusión turbulenta, en que rige la misma ecuación y su respectiva solución); ver Figura 3.32.

∈x y

Fig. 3.32 Difusión bidimensional Extrapolando a 3 dimensiones este mismo caso, con condición inicial C(x,y,z,0)= Mδ(x)δ(y)δ(z), la respectiva ecuación es:

127


∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ct

D Cx

D Cy

D Czx y z= + +

2

2

2

2

2

2 (3.88)

con solución:

C x y z t Mt D D D

ex y z

xD t

yD t

zDx y( , , , )

( )=

− − −

4 3 24 4 4

2 2

πt (3.89) z

2

Nótese que la dimensión de la Concentración para los casos uni, bi, y tridimensional es: ML-1, ML-2, y ML-3 respectivamente. 3.5.4 Difusión Simultánea con Advección Si la materia contaminante que se difunde es introducida en un fluido que se mueve con velocidad advectiva u (u,v,w) , y si se supone que la advección y la difusión son 2 procesos de transporte aditivos e independientes (aunque la difusión turbulenta requiere para su existencia de la presencia de un campo de velocidad advectivo con número de Reynolds suficientemente grande), la ecuación de transporte de materia en 3 dimensiones es:

r

++=+++ 2

2

2

2

2

2

zC

yC

xCD

zCw

yCv

xCu

tC

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (3.90)

en que se ha supuesto que Dx = Dy = Dz = D. A continuación se exponen 3 casos en que el transporte advectivo y el difusivo son unidimensionales y en la misma dirección, o transversales entre si. 3.5.4.1 En la Misma Dirección (Taylor) La versión advectivo-difusiva de la ecuación 3.72 considera ambos procesos simultáneos y en la misma dirección (x). Para la situación expuesta en la Sección 3.5.2.1: una masa puntual introducida instantaneamente en el origen, y difundiéndose con condición de frontera abierta, pero en presencia de una corriente de velocidad advectiva constante "u" en dirección x, la solución a la ecuación 3.72 es:

C x t MDt

ex ut

Dt( , )( )

=−

−

4

2

4

π (3.91)

conocida como expresión de Taylor (1954), que graficamente representa un distribución Gaussiana de concentración difundiéndose y trasladándose con velocidad u a lo largo de x (Figura 3.33).

128


Este caso es típico del transporte de materia en lagunas costeras estuarinas angostas o en rios, en que los transportes lateral y vertical son despreciables respecto del longitudinal.

Fig. 3.33 Advección y difusión unidimensional para inyección puntual Para la situación del ejemplo de la Sección 3.5.2.2: un tubo con condición inicial de concentración en forma de escalón, pero estableciendo una corriente de velocidad "u" constante en el instante en que se abre la válvula, la solución a la ecuación correspondiente (3.72 advectivo-difusiva unidimensional) es:

−

+=DtutxerfCC

4)(1

20 (3.92)

que se representa graficamente en la Figura 3.34

Fig. 3.34 Advección y difusión para tubo con concentración inicial escalón

129


3.5.4.1.1. Condición para Desprecio Si transcurrido cierto tiempo, el esparcimiento espacial causado por la difusión es 2 órdenes de magnitud menor que el causado por la advección, en la misma dirección, se le considera despreciable. Como la distancia de traslación advectiva por una corriente de velocidad u en un tiempo t es "ut", y el radio de esparcimiento por difusión de una mancha, en el mismo tiempo es 2σ = 2 2Dt , la condición para despreciar la difusión en la dirección advectiva es que 2 2 , es decir, que para difusión molecular y para difusión turbulenta respectivamente, haya transcurrido un tiempo:

10 2Dt ut≤ −

t Du

tu

x≥ ≥10 103

2

3

2 y ε (3.93)

Ejemplo: en un río con velocidad de corriente u = 50 cm/s (u2 = 2.5 × 103

cm2/s2), si D ∼ 10-5

cm2/s, y ∈ ∼ 10 cmx2/s, el tiempo mínimo transcurrido después del inicio del fenómeno para poder

despreciar la difusión molecular es de 4 × 10-6 segundos, y para poder despreciar la difusión turbulenta es de 4 segundos. Es decir, casi instantaneamente en el primer caso, y en muy breve lapso en el segundo caso. Si la corriente es mas débil, ya sea durante el estado de pleamar o de bajamar en las lagunas costeras, o en las zonas alejadas del centro de su canal de transporte, estos tiempos mínimos necesarios para poder despreciar las difusiones en la dirección de la advección, son mayores. 3.5.4.2 Transversalmente 3.5.4.2.1 Lateral y Verticalmente Si un tubo descarga materia en una laguna costera, en forma puntual y continua a una tasa M, esta materia será transportada longitudinalmente (según x) por la corriente de marea, y difundida transversal y verticalmente a lo ancho y profundo (según y y z).

&

La ecuación tridimensional de transporte (3.90) para este caso, si se considera coeficientes de difusión turbulenta transversal ∈ y vertical ∈ diferentes entre si, se reduce a: t v

∂∂

∂∂

ε∂∂

ε∂∂

Ct

u Cx

Cy

Czt v+ = +

2

2

2

2 (3.94)

Para resolverla se considera el flujo compuesto de sucesivas "rebanadas" bidimensionales y-z de espesor δx que se desplazan con la velocidad "u" de la corriente y reciben, al pasar en tránsito por la boca del tubo, una cantidad de materia M δt , si δt = δx/u es el tiempo de tránsito (Figura 3.35). &

En consecuencia, la concentración inicial (masa entre unidad de area y de espesor) es C0=Mδt/δx=M/u; la que se difunde bidimensionalmente (en el plano y-z) según la solución (ecuación 3.87):

& &

130


tz

ty

vt

vtet

uMtzyC εε

εεπ44

22

4/),,(

−−

=&

(3.95)

en la que se puede sustituir el tiempo "t" mediante la relación cinemática advectiva: x = ut, quedando la distribución espacial tridimensional estacionaria (geométrica) de la concentración:

xuzy

vt

vtexMzyxC

+−

= εε

εεπ

22

41

4),,(

& (3.96)

que es independiente del tiempo, lo que significa que la forma y dimensiones geométricas del cono de descarga de materia permanecen invariantes.

Fig. 3.35 Difusión transversal a la advección 3.5.4.2.2 Solo Lateral con Mezcla Vertical Total Habitualmente en ríos y lagunas costeras en que la profundidad es mucho menor que el ancho, se logra rapidamente la mezcla vertical total en la sección transversal de introducción y la situación se reduce a difusión solamente lateral de una fuente vertical lineal (no puntual), con advección longitudinal (Figura 3.36).

131


Fig. 3.36 Difusión lateral con advección longitudinal La ecuación de transporte de materia, en este caso, es:

∂∂

∂∂

ε∂∂

Ct

u Cx

Cyt+ =2

2 (3.97)

cuya solución espacial estacionaria, que puede también obtenerse como un caso especial de la ecuación 3.96, es:

C x y M ux u

et

uyxt( , )

& //

=−

4

2

4

πεε (3.98)

con la forma geométrica que muestra la Figura 3.36. 3.5.5 Difusión Turbulenta Si la velocidad del fluído aumenta, para valores del número de Reynolds mayores que 103, el flujo deja de ser laminar y se torna turbulento. Esto significa que las posiciones y las velocidades de las partículas dejan de ser deterministas y se mueven en trayectorias y con velocidades al azar, describiendo remolinos, y superpuestas a las trayectorias y velocidades del flujo medio. Estas fluctuaciones de las posiciones y velocidades solo pueden conocerse estadisticamente, y por ende, las escalas de espacio y tiempo de la difusión turbulenta se determinan en función de propiedades estadísticas del movimiento de las partículas.

132


Fig. 3.37 Ensemble de nubes por difusión turbulenta Si en un campo de flujo turbulento (en que el observador, situado en el origen, se desplaza con la velocidad advectiva media) se introduce una masa de un trazador en un punto, y se la deja difundir; ejecutando repetidamente este experimento de inyección en el mismo punto, se observa que (Figura 3.37): a) Las partículas en el interior de cada nube se difunden en forma diferente en cada caso, y

b) los centros de masa se difunden respecto del origen o punto de introducción del trazador. Se definen:

1.- Las coordenadas X Y del centro de masa de una sola nube: Z, ,

∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

= dxdydztzyxxCMlX ),,,( (3.99)

siendo x la posición de una partícula; y similarmente para Y . Z y

133


2.- La varianza según x de la nube individual (y similarmente según y y z):

∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

−= dxdydztzyxCXxMl

x ),,,()( 22σ (3.100)

3.- La coordenada según x del centro de masa de todo el conjunto (ensemble) de nubes ( y similarmente según y y z):

∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

>=< dxdydztzyxxCMlX ),,,( (3.101)

siendo x la posición de todas las partículas en el conjunto de todas las nubes, y denotando < > el promedio en el conjunto (ensemble). 4.- La varianza según x (y similarmente según y y z) de todo el conjunto de nubes:

∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

><−=∑ dxdydztzyxCXxMl

x ),,,()( 22 (3.102)

Se puede demostrar que:

Σ x x X X2 2 2=< > + < − < > >σ ( ) (3.103) Es decir, que la varianza del conjunto de nubes es mayor que la varianza de las nubes individuales (Σ > σ )

3.5.5.1 Tamaño de Nubes y Escala de Tiempo Lagrangiana Se define tridimensionalmente, el tamaño de una nube individual:

21222 )(

31)(

++= zyxtl σσσ (3.104a)

y el tamaño de una nube promedio:

21

222 )(31)(

Σ+Σ+Σ= zyxtL (3.104b)

que dan respectivamente, el crecimiento de una nube respecto a su centro de masa móvil (lagrangiano), y el crecimiento de una nube promedio respecto de un punto fijo (euleriano).

134


Hay teorías que describen satisfactoriamente el crecimiento de l(t) y L(t) en el tiempo.

La posición respecto del origen (x= 0) de una partícula cuya velocidad es U, es , y

su cuadrado:

∫=t

Udtx0

)( τ

2120 0 12 )()()( ττττ ddUUtx

t t

∫ ∫= 3.105)

y el valor medio del cuadrado de estas posiciones, en el conjunto de nubes:

2120 0 12 )()( ττττ ddUUx

t t><>=< ∫ ∫ (3.106)

o bien:

(3.107) ∫ ∫ −>>=<<t t

x ddRUtx0 0 2112

22 )()( ττττ

si por definición, el coeficiente de correlación (autocorrelación) de las velocidades es:

R U Ux ( ) ( ) ( ) /τ τ τ τ2 1 1 22− =< > < U >

t2

T t

(3.108) y la intensidad inicial de la turbulencia es < >=< >U U U2 0 0( ) ( ) O, usando la variable s = intervalo ∆τ : τ τ= −2 1

∫ −><>=<t

x dssRstUtx0

22 )()(2)( (3.109)

Taylor (1921) distingue 2 casos o etapas en el fenómeno de crecimiento: a) tiempo corto después de la inyección, en que las velocidades de las partículas están todavía muy correlacionadas (R ) : x → 1

< >=< >x U2 2 (3.110) b) tiempo largo, después de la inyección en que no es posible relacionar entre si las trayectorias de las partículas en su pasado:

∫∞

><>=<0

22 )(2 dssRtUx x (3.111)

lo que puede expresarse como: < >= < >x U x

2 22

135


siendo, por definición Tx la escala de tiempo Lagrangiana (constante):

∫∞

=0

)( dssRT xx (3.112)

es decir, que para un tiempo largo:

12

22d x

dtU Tx

< >=< > = constante (3.113)

3.5.5.2 Simil con la Difusión Molecular y la Escala de Longitud Lagrangiana La expresión (3.110) es válida para t << Tx , y la (3.113) para t >> Tx . Comparando esta última con la correspondiente a la difusión molecular de Fick, en que σ crece linealmente en el tiempo, con un coeficiente de difusión

2

molecular D constante, en forma de una curva de Gauss:

12

constante∂∂σ

tD2 = = (3.114)

se puede definir por analogía, un coeficiente de difusión turbulenta (constante en el tiempo):

εx constante=< >

=< > =12

22d x

dtU Tx (3.115)

y tratar matematicamente la difusión turbulenta igual que la difusión molecular de Fick, pero usando los valores medios de las variables, y después de transcurrido un tiempo t >> Tx . En consecuencia, para una materia de concentración C, se puede expresar ecuaciones de transporte para valores instantáneos, sus fluctuaciones, y los valores medios, semejantes a las ecuaciones para la salinidad (1.1) y (1.3) del Capítulo 1:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ct= − − −

( ) ( ) (UCx

VCy

WCz

) (3.116)

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ct= − − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, , , , , ,ucx

vcy

wcz

u cx

v cy

w cz

)

z

(3.117)

y analogamente a la expresión (1.4) definir los coeficientes de difusión turbulenta ∈

independientes del tiempo, como: ∈ ∈x y, ,

u c cx

v c cy

w c czx y

, , , , , ,; ;= − = − = −ε∂∂

ε∂∂

ε∂∂

z ; (3.118)

136


de modo que la ecuación de transporte turbulento queda en la forma general de Fick (con

independientes del tiempo): ∈ ∈ ∈x y, , z

+

+

=+++

zc

zyc

yxc

xwvu zyx ∂

∂ε

∂∂

∂∂

ε∂∂

∂∂

ε∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zc

yc

xc

tc

(3.119)

que en el caso de ∈ independientes de x, y, z, respectivamente, queda: ∈ ∈x y, , z

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ε∂∂

ε∂∂

ε∂∂

ct

u cx

v cy

w cz

cx

cy

czx y z+ + + = + +

2

2

2

2

2

2 (3.120)

cuyas soluciones matemáticas son similares a las ya vistas para los casos de difusión molecular de Fick. Tridimensionalmente, la escala de tiempo Lagrangiana es:

T T TL x y= + +13

( Tz ) (3.121)

En muchos casos reales, al efectuar mediciones, es difícil determinar TL porque se desconoce el instante inicial t = 0 en que comenzó la difusión turbulenta. Se define entonces, con propósitos operacionales, la escala de longitud Lagrangiana:

L UL2 2=< > TL

2 (3.122) de modo que para toda nube de tamaño l la difusión es de Fick, y los coeficientes de difusión turbulenta (ε) son independientes del tiempo.

22 2 LL>

Las escalas de tiempo y longitud lagrangiana pueden interpretarse en un caso real, en que se sitúan 2 sensores de velocidad en un fluido turbulento, de la siguiente forma: a) temporalmente, las mediciones tendrán inicialmente una correlación alta si ambos están en la estructura de un mismo remolino, y baja al aumentar el tiempo si quedan situados en dos remolinos independientes disgregados del principal por la "cascada de energía" típica del fenómeno turbulento, y b) espacialmente, la correlación es alta si ambos están cerca (sobre un mismo remolino) o baja si están lejos (sobre diferentes remolinos independientes). Ver Figura 3.38 a y b.

En las lagunas costeras, la frontera física mas cercana que interrumpa la difusión de la nube inicial, descorrelacionando las velocidades, determina la escala de longitud Lagrangiana. Para lagunas anchas y someras esta escala es la profundidad, y para lagunas angostas y profundas (tipo fjordo) es el ancho (Figura 3.38 c y d).

137


Fig. 3.38 a) y b) Interpretación de escalas temporal y espacial Lagrangiana, respectivamente;

c) y d) escala de longitud Lagrangiana para laguna costera ancha-somera y angosta-profunda, respectivamente.

De las expresiones (3.115) y (3.122) se deduce que:

ε ≈< >U L

2 1 2 L (3.123) pudiendo obtenerse en primera aproximación una estimación del valor de los coeficientes de difusión turbulenta vertical y transversal en las lagunas costeras mencionadas anteriormente, según que se tome como escala Lagrangiana el ancho (b) o la profundidad (h):

ε εvertical transversalU h U≈< > ≈< >2 1 2 2 1 2 y b

v≈ 2 / ε

(3.124) y/o una vez conocidos los valores de estos coeficientes, determinar la escala de tiempo Lagrangiana:

T b T hL t L≈ 2 / ε ó (3.125) TL es, en orden de magnitud y en primera aproximación, el tiempo de mezcla total. 3.5.6 Dispersión en Flujos Cizallados (con Shear)

Por definición, un flujo cizallado (o con esfuerzo tangencial de corte, deslizamiento, o shear) es un flujo en que existen gradientes de la velocidad advectiva, en el plano transversal a esta advección longitudinal. Ejemplos de flujos cizallados, con gradientes transversales bidimensionales en los perfiles de velocidad pueden verse en la Figura 3.10.

Por definición (ver Sección 1.4.1.3.7) la dispersión es el esparcimiento (scattering) de las partículas por el efecto simultáneo del flujo advectivo con cizalle y de la difusión transversal a éste. La dispersión puede ser laminar o turbulenta según que la difusión predominante sea molecular o turbulenta respectivamente.

3.5.6.1 Dispersión Laminar: Coeficientes y Ecuaciones

138


Si en un flujo hay un gradiente transversal en la velocidad advectiva longitudinal, con un vector velocidad máximo al centro, cuanto mas alejadas estén las partículas de este vector de velocidad máxima (las de los extremos, fondo u orillas) mas atrasadas quedarán en su avance, separándose paulatinamente de las centrales al transcurrir el tiempo. La Figura 3.39a ilustra este caso de formación de una nube alargada con 2 colas laterales, típica del flujo en un tubo o en el canal de transporte de una laguna costera. Al agregar simultáneamente un movimiento transversal al azar por la difusión molecular, las partículas se cambian a otros vectores velocidad diferentes en cada instante de tiempo, deformando el perfil inicial de la distribución, la forma de la nube, y su centro de masa (Figura 3.39b).

Fig. 3.39. Esparcimiento de nube de partículas en un canal por: a) flujo advectivo cizallado, y b) el

anterior más difusión transversal.

Sin embargo, después de un cierto tiempo, semejante al de la escala de tiepo Lagrangiana, todas las partículas habrán muestreado todos los vectores velocidad del perfil, y sus posiciones y velocidades serán independientes de las posiciones y velocidades iniciales, distribuyéndose en forma normal (Gaussiana). Lo anterior justifica la aplicación para la Dispersión, de un tratamiento estadístico semejante al de la Difusión, y la definición por analogía con la expresión (3.115) y por sustitución de la (3.125), de un coeficiente de Dispersión (longitudinal) constante en el tiempo:

K U T U a D U ax L≈< > ≈ ≈202 2

02 2 / ε/ (3.126)

correspondiendo el segundo término al caso de difusión molecular, y el tercero al de difusión turbulenta, y siendo "a" una longitud característica del caso (ancho o profundidad) y U0 la velocidad máxima en el perfil . El coeficiente K, similarmente a D y a ε, tiene dimensión L2T-

1 . El valor medio y las desviaciones de la velocidad y de la concentración en el perfil

transversal (no confundir con valor medio y fluctuaciones turbulentas) son (Figura 3.40):

uyuyuudyb

ub

−== ∫ )()( 1 ,

0

(3.127a)

cycyccdyb

cb

−== ∫ )()( 1 ,

0

(3.127b)

139


Fig. 3.40. Valor medio y desviaciones de la velocidad y la concentración en el perfil.

Con estos valores, la ecuación de transporte de masa dispersivo (con difusión molecular) queda:

+++=++++ )()()()()( ,

2

2,

2

2,,, cc

ycc

xDcc

xuucc

t ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (3.128)

Taylor (1953) demuestra que esta ecuación tiene como solución un transporte de masa debido a las variaciones dispersivas, de forma:

∫ ∫ ∫ ∫==b b y y

dydydyuuDl

xcdycuM

0 0 0 0

,,,,

∂∂& (3.129)

que puede escribirse como una ley de flujo semejante a las (3.69):

&M k cx

= −α∂∂

(3.130)

140


si se define un coeficiente para la dispersión longitudinal:

∫ ∫∫−=y ya

dydydyuuD

K0 0

,

0

,1α

(3.131)

con lo que la ecuación para el transporte de materia por dispersión longitudinal se reduce a la forma de Fick:

∂∂

∂∂

∂∂

ct

u cx

K cx

+ =2

2 ( 3.132)

(nótese que en esta ecuación solo hay términos de variación espacial en la coordenada "x" por ser la dispersión longitudinal, pero la evaluación del coeficiente K mediante la expresión (3.131) ya considera las fluctuaciones transversales por difusión según "y")

Esta ecuación y su solución Gaussiana están también limitadas en su validez a una escala de tiempo Lagrangiana. Como se observa en la Figura 3.41, la distribución de concentración media transversal, a lo largo de x, tiene 3 etapas definidas en su evolución temporal desde un estado inicial puntual, a uno intermedio asimétrico, hasta uno final simétrico Gaussiano. Estas 3 etapas ocurren respectivamente para una extensión temporal de:

t a D a D t a D t a≤ < <0 4 0 42 2 2. / . / / / D≥ 2 (3.133)

En la primera etapa no es posible definir el coeficiente K, ni tampoco plantear una ecuación

analítica sencilla de transporte de materia. En la segunda y tercera etapas la ecuación de transporte de materia es de la forma conocida de Fick. Sin embargo, en la segunda etapa el coeficiente K depende linealmente del tiempo y es necesario encontrar una solución por integración numérica para cada caso particular. Solamente en el tercer caso el coeficiente K es constante en el tiempo y la solución es de tipo Fick. Esto define el tiempo de mezcla total como: t ≈ a2 /D ó t ≈ a2 /ε, según que predomine la difusión molecular o la difusión turbulenta respectivamente en el plano transversal. "a" es la profundidad "h" o el ancho "b", y el coeficiente ε puede ser el vertical o el transversal, según el caso.

141


Fig. 3.41. Evolución temporal de la distribución de concentración media durante dispersión longitudinal en un canal de transporte.

3 ejemplos simples de evaluación de K en flujos laminares paralelos: a) perfil de velocidad vertical lineal (Figura 3.42a):

U z U z h u U u u u U z h h( ) / / ( ) /,= = = − = −0 0 02 2 2

D 1202

)2(2

)2(1 220

0 0 0 00hUdzdzdz

hhzU

hhzU

hDK

h z z=

−−−= ∫ ∫ ∫

b) perfil de velocidad parabólico radial (Figura 3.42b):

U r U a r a( ) ( ) /= −02 2 2

∫ ∫ ∫+

−=−=

2/

2/ 0 0

220,,

D 19221 a

a

r r aUdrdrdruu

aDK

si en este último caso se dispersa sal en agua (D ≈ 10-5 cm2/s), en un tubo capilar de radio a = 2 mm, con velocidad máxima U = 1 cm/s, el coeficiente de dispersión resulta ser K ≈ 20 cm2/s ≈ 2 × 106 D, es decir, 2 millones de veces mas grande que el de difusión molecular, lo que es usual. c) En forma análoga puede calcularse que para un flujo laminar bajando un plano inclinado, con profundidad "d", y cuyo perfil de velocidad es es: U (z) = U0 [2(y/d) - (y2 /d2)], el coeficiente de dispersión longitudinal es K = 8 d2U 2

0 / 945 D.

142


Fig. 3.42. Flujos laminares paralelos con perfil de velocidad: a) vertical lineal, y b) radial parabólico

3.5.6.2 Dispersión Turbulenta: Coeficientes y Ecuaciones

El tratamiento matemático es similar al caso laminar, salvo que en vez de D, está presente el coeficiente de difusión turbulenta "ε". Por ser función de la velocidad, este coeficiente varía al través del perfil , en función de la coordenada "z" para el caso vertical e(z), o de la coordenada "y" para el caso lateral e(y). El coeficiente de dispersión "K" (ecuación 3.131) para el caso de presencia de turbulencia lateral, queda:

∫ ∫ ∫−=b y y

dydydyuy

ub

K0 0 0

,,

)(11

ε (3.134)

Para el caso de turbulencia vertical, la expresión es similar pero con la profundidad "h" en vez del ancho "b", ε (z) en vez de ε (y), y las integraciones con respecto a "z" en vez de "y".

Para evaluar K usando la expresión anterior es necesario: a) encontrar un u' adecuado al perfil de velocidad de cada caso particular, b) evaluar ε (z) ó ε (y), ó un valor medio )(zε ó

)(yε a lo largo del perfil, y c) integrar. Un ejemplo (algo tortuoso) es la evaluación de Elder (1959) para un flujo verticalmente turbulento en un canal infinitamente ancho con profundidad "h", suponiendo un perfil de velocidad logarítmico (ecuación 3.68):

u z u u z u uk k

u zh

( ) ( ) * . *log,= + = + +2 30

10 (3.135)

siendo u* = (τ0/ρ)1/2 la velocidad característica (ecuación 3.66), en que τ0 es el esfuerzo en el fondo, y “k” la constante de Von Karman = 0.21 ó 0.40 para canales naturales con o sin sedimento en suspensión. Suponiendo que el esfuerzo tangencial de la velocidad depende linealmente con la profundidad, y que el coeficiente de transporte de momentum "ν" debido a este esfuerzo es del orden del coeficiente de difusión turbulenta ε:

−===

hz

zu

zu 10τ∂

∂ρε

∂∂

ρντ (3.136)

143


o bien, y usando el perfil de velocidad (3.135), el coeficiente "ε" es

*11)(1

0 huhz

hzk

zu

hzz

−=

−=

−

∂∂

ρτ

ε (3.137)

e introduciendo u' y ε en la ecuación (3.134), integrando, y evaluando para k = 0.40 (sin sedimentos), el coeficiente de dispersión resulta:

K = 5.93 h u* (3.138)

recordando que u* puede evaluarse aproximadamente según el segundo o el tercer término de la ecuación (3.66).

Introduciendo las variables adimensionales: y , z z , y b, /= h, /= }{ 2/12)'('"

−= uuu , y ε ε ,

siendo el promedio de ε en la sección transversal, la ecuación (3.134) queda:

, /= E

∫ ∫ ∫ ∫= dydzdydzE / ε

K (3.139), en que b uE

I=2 2,

,,,

0 0,

1

0

, ,

"1" dydydyuuIy y

∫ ∫∫= ε

Para los 3 casos ejemplo de la sección anterior: a) I = 0.10, b) I = 0.0625, y c) I = 0.0952; y

para la gran mayoría de casos reales de flujos paralelos en canales artificiales I ≈ 0.1, y en rios I ≈ 0.07 aproximadamente; lo que hace innecesario calcular la integral I para propósitos prácticos. Se puede derivar una expresión similar a la (3.139) pero con "h" en vez de "b" e integrando respecto de "z" en vez de "y" en la expresión de I, para el caso con difusión turbulenta en dirección vertical.

3.5.7 Determinación de los Coeficientes de Difusión Turbulenta Vertical y Transversal, y de Dispersión,

en Canales y Rios

3.5.7.1 Canales Rectangulares Lisos y Anchos

Si el canal es muy ancho (ilimitado, para propósitos prácticos) en comparación con su profundidad, la escala espacial que determina la mezcla turbulenta total, es decir el uso de coeficientes ε constantes en el tiempo, es la profundidad "h". Laufer (1950) determina que para estos canales < U2 >1/2 ≈ u* . Entonces, según la expresión (3.123):

ε ≈ h u * (3.140)

Considerando el perfil logarítmico de Elder (3.135), promediado sobre "z", y para k = 0.40,

el valor medio del coeficiente de difusión turbulenta vertical resulta ser:

144


εvertical = 0 067. h u* (3.141)

Csanady (1976) encuentra ε para la capa límite del viento en la atmósfera (h ≈ 10 m).

vertical = 0 05. h u*

Aún cuando en un canal muy ancho no hay un gradiente transversal de velocidad

apreciable, se produce mezcla turbulenta transversal, no pudiendo depender su coeficiente del ancho "b", que no está definido para este proceso. Según Fischer et al (1979), resultados de 75 experimentos de difusión turbulenta transversal en canales rectangulares lisos y anchos, efectuados por diversos investigadores, indican que:

ε transversal = ±0 15 50. * h u % (3.142)

3.5.7.2 Canales Irregulares y Rios

Los canales irregulares y rios se diferencian del caso anterior en que:

a) la profundidad varía irregularmente según "x" y según "y"; b) el canal principal puede tener muchas curvas; y c) pueden ocurrir irregularidades significativas en las márgenes laterales: salientes, bajos,

entradas, etc.

Los fenómenos anteriores no afectan significativamente la mezcla vertical, pudiendo usarse para el coeficiente de difusión turbulenta vertical el valor de la expresión (3.141). Nuevamente, según Fischer et al (1979), resultados de numerosos experimentos de difusión turbulenta transversal en canales irregulares y rios, efectuados por diversos investigadores, indican que, para canales con curvaturas suaves:

ε transversal = ±0 60 50. * h u % (3.143)

para canales con curvaturas abruptas, este coeficiente puede ser un orden de magnitud (10

veces) mayor.

Nótese que en promedio: tε = 10 vε , y por lo tanto, según la (3.125), los tiempos de mezcla total serán:

t h b tmezcla mezcla vertical horizontal ≈ 10 2( / ) (3.144)

de modo que si el ancho (b) es mucho mayor (en órdenes de magnitud) que la profundidad

(h), la mezcla vertical puede considerarse instantánea y para muchos casos de lagunas costeras reales se puede suponer que el efluente se distribuye inicialmente como una fuente lineal vertical uniforme (ver Figura 3.36).

Respecto del coeficiente de dispersión longitudinal (K), numerosas mediciones en rios

indican que, aunque la distribución vertical de velocidades es aproximadamente logarítmica, la expresión (3.138) de Elder para canales no es válida, siendo los valores reales de K para rios entre

145


140 h u* y 500 h u*, y aún en casos extremos, hasta 7500 hu* (Fischer et al, 1979). Esta disparidad con la expresión de Elder se debe a que esta última considera el canal infinitamente ancho despreciando los gradientes laterales de velocidad y las variaciones laterales de la profundidad debidas a las irregularidades de la batimetría real. Para evaluar la influencia de estas fluctuaciones es necesario considerar que la velocidad (u) y la profundidad (h) dependen de la coordenada lateral (y), y definir en cada corte seccional de la laguna los valores medios verticales de la velocidad (para diversas posiciones laterales (y):

∫−=0

)(),(

)(1)(

yh

z dzzyuyh

yu (3.145)

y las desviaciones de estos valores medios verticales con respecto al valor medio lateral de

todos los valores medios verticales yzu :

yzz uyuyu −= )()(, (3.146)

aplicando a estas desviaciones laterales en el corte seccional el análisis tradicional de Taylor

ya visto, se obtiene para el coeficiente de dispersión longitudinal en esa sección:

∫ ∫∫−=y y

t

bdydydyyhyu

yhyyhyu

AK

0 0

,

0

, )()()()(

1)()(1ε

(3.147)

siendo A el área de la sección transversal.

Esta última expresión puede adimensionalizarse usando las variables ya definidas

anteriormente, además de la profundidad adimensional: h'(y) = h(y)/ h , quedando: y

K (3.148a) b uE

Iy

=2 2,

en que ∫ ∫ ∫−=1

0

,,,

0 0

,,,

,, ,

"1" dydydyhuh

huIy y

ε (3.148b)

Estas expresiones y el análisis de Taylor precedente, además de estar limitadas en escala

temporal de aplicación al tiempo de mezcla total, deben ajustarse y revisarse en casos reales porque:

A) los rios no son canales longitudinalmente uniformes, es decir, las secciones transversales cambian a lo largo de x;

B) hay numerosas irregularidades difíciles de cuantificar (curvaturas, bancos de arena, pozos, bolsillos laterales, objetos hundidos, etc.) que contribuyen aditivamente a la dispersión longitudinal, causando:

1) aumento en el tiempo de mezcla total o de inaplicabilidad del análisis;

146


2) generación de "colas" en la distribución de concentración por atrapamiento del material dispersivo en zonas muertas o bolsillos laterales, y su posterior liberación (este efecto es típico de lagunas costeras por acción de la marea, produciendo atrapamiento y liberación en ciclos sucesivos); y

3) fluctuaciones en los coeficientes, al trasladarse lateralmente el máximo de velocidad hacia las márgenes externas de las curvas al haber meandros presentes (ver Sección 2.6.1 y Figura 2.17).

De diversas observaciones y mediciones en rios con irregularidades en su cauce, Fischer

(1975) propone como adecuado para aplicaciones, substituir: E = 0.6 h u* ; 2

2, 2.0

=

yz

yuu ; y

0.7 b en vez de b en la expresión (3.148), con I = 0.07, quedando:

* /011.0 22

rios uhbuKy

z

= (3.149)

esta ecuación es operacionalmente muy útil para determinar K en rios si se conoce la batimetría (anchos, profundidades, pendientes de fondo), se efectuan suficientes mediciones de velocidad en cada corte transversal, y el canal de transporte es uniforme (el ancho y la profundidad media no varian mucho de una sección a otra). Salvo excepciones, los valores de K así calculados son del mismo orden de magnitud que los obtenidos experimentalmente por medición de ancho de nubes de materia dispersada en el cauce del rio (que es la otra alternativa empírica para su determinación).

3.5.8 Dispersión en Flujos Oscilatorios con la Marea

Sea un flujo con perfil de velocidad vertical lineal, inicialmente u = U0 z/h, que oscila cosinusoidalmente en el tiempo, invirtiendo su sentido en 180° según x, cada t = T/2 (Figura 3.43):

u U zh

t T= 0 2cos( / )π (3.150)

el coeficiente de dispersión también fluctuará en el tiempo tomando los valores extremos

, K = 0 , K , K = 0, etc. sucesivamente cada cuarto de ciclo. Y las distribuciones de concentración de materia en dispersión adoptarán en cada etapa las formas que se muestran en la parte inferior de la Figura citada.

K U h= 02 2 120/ ε U h= 0

2 2 120/ ε

147


Fig. 3.43 Etapas en el ciclo oscilatorio de un perfil vertical lineal de velocidad, y correspondientes distribuciones de concentración de materia en dispersión.

3.5.8.1 Periodo de las Oscilaciones y Tiempo de Mezcla Total

Este cambio periódico en las posiciones de las partículas de materia, como se muestra en la Figura anterior, solo puede ocurrir si el cambio de sentido de la velocidad es suficientemente lento como para que la viscosidad del medio permita a las partículas mezclarse y revertir su movimiento. Es decir, el tiempo de inversión de sentido debe ser igual o superior al tiempo de mezcla total. En caso contrario y en extremo, si el flujo oscila a una frecuencia suficientemente alta, las partículas permanecen en situación estática y la dispersión es nula. En resumen:

K K U h m= =0 2400

2 2 para T << t y para m / ε T t>>

Para periodos de oscilación intermedios, T ≈ tm (como es el caso de las mareas astronómicas), el valor medio de K en el ciclo, calculado según el promedio de la expresión integral (3.134) considerando las desviaciones u' correspondientes al perfil cosinusoidal temporal, es:

122

2

1

22

4

220 1)12(

2)12(

−

∞

=

−

+

−−

= ∑

mnm tTnn

tThUK π

επ (3.151)

Esta relación, en función de las variables adimensionales: T' = T/tm y f(T') = K/K0

(si: K ) se representa graficamente.en forma logarítmica en la Figura 3.44. U h0 02 2 240= / ε

148


Fig. 3.44 Coeficiente de dispersión para flujos oscilatorios vs. período de oscilación (adimensionalizados), según Fischer

3.5.8.2 Coeficientes de Difusión Turbulenta Vertical y Transversal, y de Dispersión, en Lagunas Costeras.

Para una típica laguna costera con ancho medio del canal de transporte (sin incluir las zonas de bajos de las áreas de almacenamiento) b = 100 m , si ε ≈ 500 cm /s, el tiempo de mezcla turbulenta total es t = 2 × 10

2

bm = 2 / ε 5 s. El periodo de la componente predominante de la marea astronómica semidiurna es T = 12.4 horas = 4.5 × 104 s. De modo que T ≈ tm : T' = T/tm ≈ 0.22, y por lo tanto para los casos reales de gran mayoría de las lagunas costeras se está en el rango de aplicabilidad de la ecuación (3.151) o su representación gráfica de la Figura 3.44, es decir que K =

f(T'). K0

Usando la expresión (3.148) de K para ríos, pero considerando ahora que t , I ≈ 0.1 , y denotando como

0 b Em = 2 /u al promedio vertico-transversal de la velocidad en la sección:

K u t f T u T T flagunas m= = −0 02 0 02

2 2 1. ( ' ) . { ' ( ' )} T (3.152)

149


La función entre paréntesis de llave {}, representada graficamente en la Figura 3.45, exhibe las siguientes propiedades interesantes:

Fig. 3.45 Función T f(T') vs. período adimensional, según Fischer '−1

a) El valor máximo es T f(T') ≈ 0.8 para T' ≈ 1, es decir para T ≈ t'−1

m que, como se vió anteriormente, es lo habitual en lagunas costeras. Entonces, sustituyendo en la (3.152), el valor máximo de K en lagunas costeras es:

K uimomax . lagunas ≈ 0 016

2T (3.153)

Ejemplo: si u = 0.3 m/s, y T = 12.4 horas .: K ≈ 64 m /s. máximo

2

b) T' f(T') disminuye hacia ambos extremos de la curva, teniendo sus valores mínimos tanto para T' muy grandes como para T' muy pequeños, ó, como T' = T/tm = TE/ b , para cuencas muy anchas o muy angostas. En consecuencia, la máxima dispersión ocurre en lagunas costeras para anchos intermedios.

2

La expresión (3.152) tiene como limitantes en su validez que:

1) No considera lagunas costeras con estratificaciones verticales de densidad, siendo válida solamente para lagunas de una sola capa vertical homogénea;

2) No considera la presencia de zonas de atrapamiento lateral;

150


3) Considera solamente canales varios órdenes de magnitud mas anchos que profundos; y

4) No considera defases ni amortiguaciones por efecto de la fricción de fondo en la propagación de la onda de marea.

Por lo anterior, si existen suficientes mediciones, o es posible llevarlas a cabo, es conveniente evaluar la integral "I" en vez de suponer que I ≈ 0.1; o bien determinar K mediante mediciones de la evolución del ancho y alargamiento de nubes de materia de un trazador que se disperse en la laguna.

Okubo (1973) sugiere usar el siguiente coeficiente de dispersión modificado, para lagunas costeras con presencia de zonas de atrapamiento:

KK

rr ur r

lagunas atrap

=+

++ + +−1 2 1 1

02

1 2ξ σ( ) ( ξ) (3.154)

siendo r el volumen relativo de la zonas de atrapamiento respecto del canal de transporte, u0

la velocidad máxima, σ la frecuencia angular de la marea, y ξ el tiempo de intercambio entre las zonas de atrapamiento y el flujo principal (habitualmente del orden de medio ciclo de marea).

3.5.8.2.1 Verticalmente Estratificadas y Verticalmente Homogéneas

Fischer (1973) deduce la siguiente expresión para el coeficiente de dispersión en

un corte seccional de forma geométrica triangular en una laguna costera estratificada:

tv

bhx

gxKεε∂ρ

∂ρ2

2625

estrat 10 9.1

= − (3.155)

siendo ρ la densidad media en el corte, y ∂ρ/∂x el gradiente longitudinal de densidad. Fischer (op. cit.) evalua K ≈ 360 m2/s para el estuario del rio Mersey usando esta expresión. Este resultado es del orden de los valores medidos por otros autores en experimentos de dispersión en el mismo estuario. En general, para lagunas costeras estratificadas estuarinas, el valor de K es de 50 a 500 m2/s, fluctuando según la estación del año de acuerdo a la descarga de agua dulce del rio que es la que determina el menor o mayor grado de la estratificación vertical.

Para los coeficientes de difusión turbulenta vertical (εv) y transversal (εt) en lagunas costeras, no es posible usar las expresiones deducidas para rios, en función de hu*, porque siendo el flujo de marea no-estacionario, u* fluctua entre 0 y su valor máximo en el ciclo de marea.

Bowden (1967) propone usar los siguientes valores medios para el coeficiente de difusión turbulenta vertical en lagunas costeras de tipo estuarino homogéneas y estratificadas:

vεv og

h Uhom

.= 0 0025 a y (3.156)

151


v vε εv v iestrat og

R= + −hom

( . )1 3 33 3 2 (3.157)

siendo Ua la velocidad máxima a profundidad media, y Ri el número de Richardson (ver definición según ecuación 1.24 en la Sección 1.4.2.1.1).

Resultados de mediciones en experimentos de difusión turbulenta vertical en

lagunas costeras muestran que:

εv ogs

hom. /≈ 0 50 a 71.0 cm2 y (3.158)

εvestrat og≈ 0 01 0 10. .

hom a εv (3.159)

Para el coeficiente de difusión turbulenta transversal en lagunas costeras

verticalmente homogéneas, los resultados de experimentos efectuados por Ward (1974), Ward (1976), y Fischer et al. (1979) pueden agruparse estadísticamente en

ε t og

h uhom

. *= ±1 0 60 % (3.160)

Y para el coeficiente de difusión turbulenta transversal en lagunas costeras verticalmente estratificadas:

ε t estrat og

= 0 01 0 10. .hom

a ε t (3.161) Sin embargo, tanto para el coeficiente de difusión turbulenta transversal, como

para el vertical, no existen suficientes mediciones en casos reales ni de laboratorio en situaciones verticalmente estratificadas, como para validar o deducir razonablemente una expresión analítica.

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Cinematica y Dinamica de La Dispersion

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