CIRCUITOS ELECTRICOS

5/23/2018 CIRCUITOS ELECTRICOS

1/220


2/220

CIRCUITOS ELCTRICOS I

1

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PERVicerrectorado de Investigacin

TEORA DE CIRCUITOSELCTRICOS I

TINSINGENIERA ELECTRNICA, INGENIERA MECATRNICA

TEXTOS DE INSTRUCCIN (TINS) / UTP

Lima - Per


3/220


2

TEORA DE CIRCUITOS ELCTRICOS IDesarrollo y Edicin : Vicerrectorado de Investigacin

Elaboracin del TINS : Ing. Fernando Lpez A. Ing. Mercedes Zambrano O.

Diseo y Diagramacin : Julia Saldaa Balandra

Soporte acadmico : Instituto de Investigacin

Produccin : Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y

transformacin de esta obra.


4/220


3

El presente material contiene una compilacin de obras de

Circuitos Elctricos publicadas lcitamente, resmenes de los

temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de

enseanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en

nuestra institucin.

ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes dela Universidad Tecnolgica del Per, preparado para fines

didcticos en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc.

A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor.


5/220


4


6/220


5

Presentacin

El presente trabajo, es un enfoque terico-prctico de temas deCircuitos Elctricos, soporte temtico fundamental en el desarrollo delos silabo en los currculo de Ing. Electrnica, Ing. Mecatrnica yRamas Afines; como complemento de los conocimientos impartidosen aulas en convergencia de las prcticas de laboratorio; en las formasreal y virtual, con aplicacin de software de simulacin electrnica(Proteus, Circuimaker, Orcad, Spice y otros).

Pretende reforzar los conceptos, leyes, teoremas, mtodos desolucin, va anlisis y razonamiento lgico, para estudiantes conapropiada preparacin de Fsica, Matemtica y Lenguajes deProgramacin.

El texto aludido, contiene temas seleccionados de diferentesfuentes bibliogrficas, usadas para la formacin de IngenierosElectrnicos y Mecatrnicos. Tambin ser til enTelecomunicaciones, Ingeniera Industrial e Ingeniera de Sistemas.

La recopilacin de temas ha sido posible, gracias al denuedoacadmico de los profesores Fernando Lpez y Mercedes Zambrano;contiene los siguientes captulos:

En el Captulo 1 se dan los conceptos fundamentales,definiciones de algunas terminologas y magnitudes.

En el Captulo 2 se hace una introduccin y estudio de las leyesbsicas que rigen en todos los circuitos elctricos. Adems se discutenotros aspectos relacionados como reduccin de circuitos ytransformaciones de grupos de elementos.


7/220


6

En el Captulo 3 se analizan varias formas de resolver, aplicandodiversos parmetros de las redes lineales.

En el Captulo 4 se explican los diversos teoremas para lasolucin de circuitos. Aplicando dichos teoremas se resuelvenproblemas a todo nivel.

En el Captulo 5 se hace el estudio y anlisis de los cuadripolos oredes de dos pares de terminales. Adems se analiza el

comportamiento de los elementos almacenadores de energa (Bobinasy Condensadores).

En el Captulo 6 se analiza el comportamiento transitorio decircuitos con elementos que almacenan energa: condensadores einductores. Se hace el anlisis en el tiempo y en el dominio de lafrecuencia usando la transformada de Laplace.

Cerrando estas lneas de presentacin, el agradecimiento

institucional a los profesores que han contribuido al acopio de lostemas y al comentario del presente texto.

Ing. Lucio H. Huamn UretaVicerrectorado de Investigacin


8/220


7

ndice

Pg.Capitulo I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

1.1. Magnitudes elctricas ................................................. 111.2. Generacin de la Energa elctrica DC...................... 131.3. Definiciones Elctricas ............................................... 141.4. Elementos de Circuitos Elctricos ............................. 171.5. Linealidad .................................................................. 291.6. Terminologa de elementos para un circuito ............. 31

Capitulo II: LEYES, REDUCCIONES Y TRANSFORMACIONES.2.1. Ley de Ohm .... 332.2. Las leyes sagradas de Kirchhoof ................................. 342.3. Asociacin de Elementos Pasivos............................... 402.4. Transformacin Delta-Estrella, y Viceversa................ 48

2.5.

Asociacin de Elementos Activos .............................. 58

Capitulo III: METODOS SIMPLIFICADOS DE SOLUCIN.3.1. Divisor de Tensin y Divisor de Corriente................ 613.2. Puente Wheatstone .................................................... 673.3. Mtodo de Transformacin de Fuentes (MTF) ........ 73

Capitulo IV: MTODOS DE SOLUCIN EN REDES LINEALES.4.1. Algebra Topolgica..................................................... 87

4.2. Mtodo de Mallas (Maxwell) ...................................... 924.3. Mtodo Nodal ............................................................ 1004.4. Aplicaciones con Fuentes Controladas...................... 110

Capitulo V: APLICACIN DE TEOREMAS.5.1. Teorema de la Superposicin....................................... 1135.2. Teorema de Reciprocidad ............................................ 1215.3. Teorema de Thevenin ................................................. 126


9/220


8

5.4.

Teorema Norton .......................................................... 1275.5. Teorema Mxima Potencia de Transferencia............... 139

Capitulo VI: REDES DE DOS PARES DE TERMINALES.6.1. Cuadripolos................................................................ 1576.2. Cuadripolos Simtricos.............................................. 1686.3. Teorema de Bartlett.................................................... 168

Capitulo VII: CIRCUITOS TRANSITORIOS DE PRIMER Y

SEGUNDO ORDEN7.1. Funciones Singulares.................................................. 1757.2. Comportamiento del Inductor y Condensador......... 1787.3. Transitorios de Primer Orden.................................... 1797.4. Transitorios de Segundo Orden................................. 1887.5. Circuitos Acoplados................................................... 1967.6. Transformada de Laplace ........................................... 212

Bibliografa .................................................................................... 219


10/220


9

Distribucin Temtica

Clase N Tema Semana

1 Introduccin, elementos de los CircuitosElctricos sistemas lineales, variables y Parmetroselctricos. Curvas caractersticas y relaciones Volt-

Ampere.

1

2 Leyes de Kirchohoff, conexiones de elementosactivos y pasivos. Conexin de Resistencia enserie y paralelo.

2

3 Mtodos simplificados de divisores de tensin yde corriente. Transformaciones de circuitos enconexin. Delta y Estrella. Aplicaciones.

3

4 Puente Wheastone. lgebra Topolgica, mtodo

de las 2b ecuaciones.

4

5 Mtodo de corrientes de malla, malla ficticia. 5

6 Mtodo de Potenciales de nodo, nodo ficticio. 6

7 Principio de Superposicin, teoremas desustitucin y de reciprocidad. Teorema deThevenin.

7

8 Teorema de Norton y el Teorema de la MximaTransferencia de Potencia.

8

9 Repaso de la Teora, ejercicios y problemas. 9

10 E X A M E N P A R C I A L 10


11/220


10

11 Redes de dos pares de terminales, parmetros delos cuadrpolos, reduccin a tres terminalesequivalentes.

11

Clase N Tema Semana

12 Conexiones en serie, en paralelo, en cascada, enserie paralelo y en paralelo-serie.

12

13 El enrejado simtrico como prototipo de red con

simetra fsica completa. Teorema de Barlett.

13

14 Funciones Singulares. Generacin de Funciones,comportamiento en condiciones iniciales yfinales. Potencia y energa de elementosalmacenadores.

14

15 Circuitos transitorios de primer orden,ecuaciones diferenciales de Circuitos R-L y R-C,frmulas generales y variacin de excitacin.

15

16 Circuitos de transitorios de segundo orden,ecuaciones diferenciales de circuitos R-L-C.

Anlisis de tipos de respuestas.

16

17 Introduccin a la aplicacin de la transformadade Laplace en circuitos transitorios. Circuitosacoplados e inductancia mutua.

17

18 Seminario Final. 18

19 EXAMEN FINAL 19

20 EXAMEN SUSTITUTORIO 20


12/220


11

CAPITULO I

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.1. MAGNITUDES ELCTRICAS

Amperio (A):Unidad de medida de la corriente elctrica. Un amperioes la corriente que fluye cuando 1 Coulumb de carga pasa por un

segundo en una seccin dada.

segundo

coulumbAmp

11 =

Coulomb (C): Unidad de medida de la carga elctrica que pasa por unpunto en un segundo cuando la corriente es de 1 amperio.

1 Coulomb = 6.28x1018electrones.

Faradio. (F): Unidad de medida de los capacitores (C) en donde lacarga de 1 coulombio produce una diferencia de potencial de 1 voltio.

voltio

coulombF

11 =

Hertz. (Hz):Es la unidad de frecuencia igual a la cantidad de cicloscompletos de una onda en una unidad de tiempo.

.11seg

cicloHertz=

Henry(H):Unidad de medida de la inductancia (L) en que 1 voltio esinducido por un cambio de corriente de 1 amperio por segundo.

Joule (J): Es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton,actuando sobre la distancia de 1 metro


13/220


12

Ohm (): Es la resistencia que produce una tensin de 1 voltiocuando es atravesada por una corriente de 1 amperio.ampervoltio =1

Siemens (S):unidad de medida de la conductancia (G) que produceuna corriente de 1 amperio cuando se aplica una tensin de 1 voltio.Es la inversa del Ohmio.

Voltio(V):Es la unidad de fuerza que impulsa a las cargas elctricas a

moverse a travs de un conductor.

)(

)(

coulumbsQ

juliosWV=

Watts o Vatio(W):Unidad de la potencia requerida para realizar untrabajo a razn de 1 julio (joule) por segundo.

)(

)(

. tiempoS

trabajoJ

Seg

Coulomb

Coulomb

JoulesWatios ==

Tesla (T): Es la induccin magntica uniforme que, repartidanormalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce atravs de esta superficie un flujo magntico total de 1 weber.

Weber(Wb):Unidad de medida del flujo magntico que, al disminuirde forma uniforme desde su valor hasta cero en un segundo, generaen una espira una fuerza electromotriz de 1 volt.


14/220


13

1.2.

GENERACION DE LA ENERGA DCEn el mundo la generacin, distribucin, transmisin se realizabacon energa continua, al transcurrir el tiempo la ingeniera evolucionacon la incursin de la energa alterna (tema que se tratara en elctricosII).

Histricamente la energa elctrica se genera por medios delelectrolito. El electrolito, una sustancia qumica que reacciona con loselectrodos, de tal forma que a uno de ellos llegan los electronesliberados por la reaccin hacindose negativo, mientras que el otro,habindolos perdido, adquiere carga positiva. Esta diferencia de cargasentre los dos electrodos es la diferencia de potencial.

Si se conecta un cable conductor externo que los comunique, ladiferencia de potencial origina un camino por el que los electrones delelectrodo negativo pasan al electrodo positivo. Precisamente, aldesplazamiento de los electrones a travs de un conductor se le conoce

con el nombre de corriente elctrica.

Otra forma de conseguir energa continua es utilizando dinamos(maquina elctrica rotatoria que genera en principio energa alterna,pero con el uso de escobillas y anillos deslizantes es convertida enenerga continua).

Actualmente la energa continua se obtiene aplicando la electrnicamediante dispositivos llamados rectificadores.

CORRIENTE CONTINUA.Es aquella que una vez conectada a un circuito esta circula con un

valor constante en una sola direccin del polo negativo al polopositivo, y siempre mantiene la misma polaridad.

Por convenio en ingeniera electrnica se establece que la corrientecircule de polo positivo al polo negativo.


15/220


14

CIRCUITOS ELCTRICOS.Es un conjunto de componentes elctricos que interactan entre si,para generar, transportar o modificar seales elctricas, adems sondispositivos usados para controlar la tensin y corriente.

En el circuito elctrico, la energa se transfiere de un punto a otrotravs de alambres de conexin, Se compone de fuente, conductor yresistencia.

1.3. DEFINICIONES ELCTRICAS

Puesta a tierra.Limita la corriente en caso de corto circuito, descargas provocados portormentas, accidentes atmosfericos.


16/220


15

Lo que se hace es conectar todas las partes metlicas de la plantaindustrial a tierra, de tal forma que entre lo que est conectado a tierray tierra, no exista diferencia de potencial.

Carga Elctrica(Q).Se define como carga elctrica a la cantidad de electronesalmacenados en un cuerpo con exceso o defectos de electrones, suunidad es el coulumb.1 Coulomb = 6.28x1018electrones.

Corriente elctrica (I).Es la cantidad de electrones que circula a travs de un conductor delcircuito. Su unidad de medida es el amperio (A). La direccin de lacorriente es en la direccin en la cual fluiran las cargas positiva (porconvencin).

( )Adt

tdqti

)()( =

Sentido de la corriente en un circuito elctrico (por convencin).

Voltaje (V).Es la cantidad de trabajo necesario para transportar una cargaelctrica a travs del elemento de un punto a otro. Tambin se leconoce como diferencia de potencial, fem, tensin. Se mide en voltios(V).


17/220


16

dqdwV =

Energa ( w ).Es la que determina que cantidad de trabajo que desarrolla uncircuito, ejm. Determina cuanto puede llegar a iluminar un bombillo ocuanto tiempo se puede conectar una resistencia, etc. Su unidad es el

Joule se mide en kilowatt-hora (kWh).

Para circuitos con carga constante. .w p t= , donde potencia= Para circuitos de Potencia variable con respecto al tiempo.

( ) ( )dw

p w t p t dtdt

= = Potencia.Es la rapidez en que se ejecuta un trabajo en un determinado tiempo.

Adems es el producto de la diferencia de potencial y la intensidad decorriente que pasa a travs del dispositivo.

dw dw dw dqP P VI P VI

dt dt dq dt = = = = =

La potencia se mide en joule por segundo jseg

equivalente a 1 watts ,

por tanto, cuando se consume 1 joule de potencia en un segundo,estamos gastando o consumiendo 1 watt de energa elctrica.

La potencia indica que tan rpido se esta aportando o consumiendoenerga, esto es si:

0P VI= > El elemento absorbe potencia. Entonces la corriente fluyedesde el potencial ms alto al ms bajo.


18/220


17

.V I=

0P VI= < El elemento entrega potencia.

.V I=

Eficienciain

out

P

P

EntradadePotencia

salidadePotenciaEficiencia ===

__

__

%100(%)(%) ==in

out

P

PEficiencia

1.4. ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELCTRICOS

Los elementos de los circuitos elctricos son: Elementos Activos. Elementos Pasivos.


19/220


18

ELEMENTOS ACTIVOS.Son elementos que generan tensin o corriente para entregarenerga a la red, a estos elementos se les denomina FUENTES; estasson las Fuentes Ideales y Fuentes Reales.

1). FUENTES IDEALES:Se utilizan en diseo de circuitos, para analizar elcomportamiento de componentes electrnicos o circuitos reales.Pueden ser independientes o dependientes.

1.1. Independientes: Sus magnitudes son siempre constantes. Fuentes Independiente de Tensin. Proporciona

energa elctrica con una determinada tensin (V),independiente de la corriente que circula por l. Larelacin V I es una recta horizontal en el querepresenta el valor de la tensin en sus bornes.

Fuentes Independiente de Corriente. ProporcionaEnerga con una determinada corriente (I), que esindependiente de la tensin en sus bornes. Larelacin V I es una recta vertical que representa el

valor de la corriente suministrada.


20/220


19

1.2. Dependientes: Son fuentes controladas por tensin ocorriente en otros puntos de la red.

a. Fuente Dependiente de tensin. El voltaje dependede la variable x, que puede ser una corriente o un

voltaje en cualquier punto del circuito.

v mx= Donde m esconstante.

Fuentes de tensin controlados por Tensin. Escuando la magnitud depende de la tensin entreotros puntos del circuito

cvbv .= Donde b es constante, tiene unidades volts/volts y

Cv es el voltaje de Control.

Fuentes de Tensin Controlados por Corriente. Escuando la magnitud depende de la corriente.

cirv .=


21/220


20

Donde r es constante, tiene unidades volts/amp e Ci es la corriente de control.

b. Fuentes Dependientes de Corriente.- La corrientedepende de la variable x que puede ser una corriente oun voltaje en cualquier punto del circuito.

i nx=

Donde n es constante

Fuente de Corriente Controlado por Tensin. Escuando la intensidad depende de la tensin entredos puntos del circuito.

cvgi .=

Donde g es constante, tiene unidades amp/volts yCv es el voltaje de control.

Fuente de Corriente Controlado por corriente.- Escuando la intensidad es funcin de la corriente enotra parte del circuito.

ciki .=

Donde k es constante, tiene unidades amp/amp e

Ci es la corriente de control.


22/220


21

2). FUENTES REALES:

a. Fuentes de Tensin.- Es la que tiene Resistencia interna

( intR ) en serie, donde hay una prdida de tensin. El restode tensin va a la carga.

b.- Fuentes de Corriente.- Fuente de corriente real es la quetiene Resistencia interna ( intR ) en paralelo, donde hay

una prdida de corriente. El resto de corriente va a lacarga.

Independiente Dependiente

Fuente de Voltaje Controlada por Voltaje Controlada porCorriente

Fuente de Corriente


23/220


22

ELEMENTOS PASIVOS.Son Consumidores y almacenadotes de energa, como son:

1.RESISTENCIA (R):Es la oposicin al flujo de la corriente elctrica, adems controlatensin y corriente. Se mide en ohmios (

).

Su funcin dentro de uncircuito es de convertir energa elctrica a energa calorfica.

Su resistencia depende de varios factores como son: El material con que esta hecho. Su geometra

A = rea en (cm2) = Resistividad ( cm)

l = Longitud en cm

TIPOS:

Valor Variable.- los resistores variables tienen tres contactos, el eje esmvil cuyo valor ohmico puede ser ajustado o cambiado. Se usa para

variar la cantidad de corriente en un circuito. Entre las variablestenemos:

A

lR .=


24/220


23

Potencimetro.- Son de carbn se usa cuando el flujo decorriente es bajo. Restato.- Es de Hilo metlico enroscado alrededor de un ncleo.

Se usa cuando el flujo de corriente es alto.

Potencimetro Parte Interna Smbolo elctrico

Fijos.- Los resistores fijos tienen dos contactos, su valor no puede seralterado, son de baja potencia, los de mayor uso son los de carbncuyos valores son en ohmios y megohmios su potencia de disipacines de 1/8W hasta 2W.

I.RV=

Caractersticas de la Resistencia.- Potencia de Salida.- Indica la cantidad de calor que un resistor

puede dar sin peligro.

Tolerancia.- Es la cantidad de diferencia que es aceptable entre elvalor medido y el valor indicado. Valor ohmico.


25/220


24

Se identifican con bandas de colores que indican su valor.

a. Cdigo de Colores:

Color Primerdigito

Segundodigito

Multiplicador Tolerancia

Negro 0 0 100

Marrn 1 1 101 1%

Rojo 2 2 102 2%

Naranja 3 3 103

Amarillo 4 4 104

Verde 5 5 105 0.5%

Azul 6 6 106 0.25%

Violeta 7 7 107 0.1%

Gris 8 8 108

Blanco 9 9 109

Dorado - - 10-1 5%

Plateado - - 10-2 10%

Incoloro - - 20%

Los dos primero colores indican directamente un nmero, eltercero es el multiplicador y el cuarto la tolerancia.Ejemplo: Si.

primer digito Rojo : un 2 segundo digito Amarillo : un 4 multiplicador rojo : dos ceros tolerancia Dorado : 5%


26/220


25

Unindolo todo nos queda: 2400 Ohmios o escrito de otraforma 2K4 Ohmios.

b. Por Cdigo De Nmero y LetrasEn este caso la posicin de la letra significa el punto decimal

Ejm. R22 = 0.22 R(ohmios)3k3 = 3.3k 33k = 33k

M22 = 0.22M M(megohmios)

R = , 1K = 103, M = 106

2. CONDENSADOR ( C ):Los condensadores tiene la habilidad de almacenar carga elctrica enforma de campo elctrico. La corriente fluye hasta que el condensadoralcance una carga igual a la tensin de la fuente. Su unidad de medidaes el faradio (F). Su capacidad se mide en F = 10-6, nF = 10-9,

pF = 10-12dq Cdv=

Donde: dv es el cambio en el voltaje entre las placas.dq es el cambio en la carga.

La corriente que fluye a travs del condensador esta dada por:

1 ( )CV id t C

= C dvi C dt=


27/220


26

La Energa almacenado en el capacitar es:

2

2CCV

W = Se expresaen Joules

TIPOS:Condensadores fijos.- tienen una capacidad fija, y determinada por el

fabricante. Se dividen de acuerdo al dielctrico que poseen como son:

No polarizados (cermicos y polister) estos capacitares tienenuna corriente de fuga muy baja. Bloquea seales no deseadas, yproducen formas de onda, son osciladores. Se usa para aislar uncircuito del otro.

Polarizados (Electrolticos). Tiene polaridad determinada. Seusan como filtros, eliminacin de rizado, redes RC de altaconstante de tiempo. Mal comportamiento en frecuencias

medias altas.

Smbolo elctrico


28/220


27

Condensadores Variables.- Su capacidad es modificable a voluntad delusuario. Se usa como sensor de desplazamiento, en transmisores yreceptores.

Propiedades del Capacitor. Corriente continua (DC).- el condensador se comporta como

circuito abierto.

Corriente alterna (CA).- Su comportamiento depende de la

frecuencia de la seal, para frecuencias muy altas se comportacomo un corto circuito.

Parmetro de un condensador.Constante de Tiempo (t).- Es el tiempo en el cual el condensador secarga o descarga al 69% del valor del voltaje dado.

Reactancia Capacitiva (Xc).-es la oposicin que ofrece el condensadoral paso de la corriente alterna. Su unidad es el ohmio.

1

2cX

c=


29/220


28

3. INDUCTORES O BOBINA ( L ):La bobina almacena energa en su campo magntico y luego lodevuelve a la red del circuito. Las bobinas se oponen a los cambiosbruscos de la corriente que circula por ellas. Se mide en henrys (H).

La Relacin diferencial lineal entre tensin-corriente ( v i ) es:

L

d iV L

d t= ( )

1. ( )ti v d t

L=

La energa almacenada en el inductor, es cuando aumenta la

intensidad de corriente y esta dada por:

2

2LLi

W = Se expresaen Joules

El valor que tiene una bobina depende de: El nmero de espiras que tenga la bobina (a ms vueltas mayor

inductancia) El dimetro de las espiras (a mayor dimetro, mayor

inductancia). La longitud del cable de que est hecha la bobina. El tipo de material de que esta hecho el ncleo, si es que lo

tiene.


30/220


29

Propiedades del Inductor:

Corriente continua (DC). La bobina se comporta como uncorto circuito.

Corriente alterna (CA). Su comportamiento depende de lafrecuencia de la seal, para frecuencias muy altas se comporta

como circuito abierto.

Parmetros de la bobina.Constante de tiempo.- Es el tiempo que la bobina tarda en cargarse odescargarse el 69% de voltaje que se autoinduce.

( .) Lseg R =

Reactancia inductiva.- es la dificultad que ofrece la bobina a lacorriente alterna.

flLX L 2=

1.5.

LINEALIDAD.En un sistema lineal, el voltaje y la corriente guardan una relacinproporcional.

Una red elctrica es lineal cuando cumple los principios deHomogeneidad y superposicin.


31/220


30

Principio de Homogeneidad. La magnitud de salida del sistema esproporcional a la magnitud de la entrada del sistema.

Principio de Superposicin. El sistema maneja dos entradas

simultneas cuya respuesta es la suma de las individuales a la vez.

Los elementos que responden en estos principios son: Resistencia,Capacitancia e inductancia.

DIPOLOS PASIVOSSe llama dipolo a todo circuito elctrico o red elctrica que presentados polos, por donde se pueden realizar ensayos elctricos, es pasivoporque dentro encontramos puras resistencias, condensadores ybobinas.


32/220


31

.abV cteI

=

.abI

G cteV

=

1.6. TERMINOLOGA DE ELEMENTOS PARA UNCIRCUITO.

Conexin. Punto donde se unen dos terminales deelementos

Tierra.- un nudo del circuito que se toma de referenciapara medir todas las tensiones del circuito.

Red: Conjunto de elementos unidos mediante conectores.

Nudo. Punto donde se unen ms de dos terminales deelementos

Rama: Conjunto de todos los elementos de un circuitocomprendidos entre dos nudos.

Lnea cerrada: Conjunto de ramas que forman un buclecerrado. Son lneas cerradas.

Malla.- camino cerrado formado una o ms ramas quecomienza y termina por un nudo.


33/220


32

Elemento bilateral: Aquel que tiene las mismascaractersticas para polaridades opuestas. Por Ejemplounaresistencia.

Elemento unilateral: Aquel que tiene diferentescaractersticas para diferentes polaridades, como ocurrecon el diodo.

Circuito equivalente: Aquel que puede remplazarse por

otro ms complejo proporcionando el mismo resultado.


34/220


33

CAPITULO II

LEYES, REDUCCIONES Y TRANSFORMACIONES

2.1. LEY DE OHM.La ley de ohm establece la relacin entre tres cantidades elctricascomo son tensin, corriente y resistencia.

Segn la ley de Ohm, la corriente es directamente proporcional a latensin e inversamente proporcional a la resistencia.

Una manera de recordar las formulas que definen la ley de ohm esmediante el siguiente triangulo.

V I R=

VI =

I

VR=

Un conductor cumple con la ley de Ohm slo si su curva V I eslineal; esto es, si R es independiente de la tensin (V) y de corriente(I) que existen en el conductor.


35/220


34

)(=I

VR

1tg GR

= =

Donde G se conocecomo conductancia.

Segn la ley de ohm, la potencia disipada en una resistencia se puedeobtener de dos formas:

2

( )( )

vatiosV V V

P VI R= = =

2

( )

Ley de julios Ley de watts

. ( . ). . vatiosP V I R I I I R= = =

2.2. LAS LEYES SAGRADAS DE KIRCHHOFF.

Las Leyes sagradas de Kirchhoff son:

1. Ley de Corrientes Kirchhoff2. Ley de Tensiones Kirchhoff.

1.Primera Ley de Corrientes Kirchhoff ( LKC ).- La suma de lascorrientes entrantes a un nodo es igual a la suma de las corrientessalientes del nodo.

en tran sa lenI I=


36/220


35

1 2 3I I I I= + +

Ejemplo # 1:Calcular las corrientes I , I1 e I2 en el circuito mostrado, siconocemos las intensidades que se indican en el grafico.

Solucin:Si nos fijamos en el nodo M obtendremos:

1 80 30entran salenI I I= = +

1 50 .I amp=


37/220


36

Ahora, considerando toda la barra de conexin:entran salenI I=

240 80 30 30 I+ = + +

De donde:

2 60 .I amp=

2. Segunda Ley de TensionesKirchhoff ( LKT ).-la suma algebraica

de la cada de tensiones en los componentes de un circuitocerrado es igual a cero.

= 0V

subida potencial caidas potencialV V=

Donde:

Subida de potencial representa un incremento de voltajede ( -) a (+) en el sentido de recorrido de la malla. Caida de potencial es cuando el voltaje en el elemento va

decreciendo de (+) a ( - ) en el sentido en que se recorre lamalla.

1 2 3 4 0V V V V V + + + =

1 2 3 4V V V V V + + + =


38/220


37

Ejemplo# 1:En la red mostrada, calcular el voltaje 4V si las dems tensiones son

las que se indican.

Solucin:Aplicando la segunda ley de kirchhoff tenemos:

Primer mtodo:

4 18 10 2subida potencial caidas potencialV V V= + = +

4

6V V =

Segundo mtodo:

0V=

4 418 10 2 0 18 10 2V V + + = = + +

4 6V V =


39/220


38

El signo negativo indica que la polaridad asumida sobre 4V es lainversa en cuanto al punto de mayor potencial (+).

Ejemplo# 2:Determinar cuales son los elementos pasivos y activos de la red ycalcular su correspondiente potencia.

Solucin:Como las fuentes pueden ser pasivas o activas mientras que lasresistencias solo pasivas, comenzaremos por determinar la tensin porla ley de ohm:

2(6) 12 VRV IR= = =

( )12(2) 24R R wattsP V I += = =

La corriente circulante atraviesa la fuente de tensin como elementopasivo, por tanto:

( )10(2) 20fuente wattsP VI += = =

Para determinar la tensin en la fuente de corriente tenemos queutilizar la 2da ley de kirchhoff:

10 12 22fuente corriente IV V V = = + =

(-)22(2) 44fuente corriente I I wattsP P V I = = = =


40/220


39

Como se observa la suma de potencies generadas es igual a la potenciasdisipadas.

20 w 24 w 44 wf R IP P P+ = + =

Ejemplo# 3:En la red mostrada, calcular la potencia de los elementos activos ypasivos.

Solucin:

La fuente de tensin esta determinado el potencial en todos loselementos, por lo que:

147 A

2RV

IR

= = =

watts (+)14(7) 98R RP I V= = =

(-)14(5) 70I wattsP IV= = =


41/220


40

Para demostrar la corriente por la fuente de tensin aplicamos la 1eraley en el nudo A.

7 5 2 Af R fI I I I+ = = =

( )14(2) 28f f wattsP VI = = =

Corroboramos nuevamente que la suma de potencias generadas ( -)es igual a la potencia disipada ( + ).

Elemento Potencia (-) Potencia (+)

I 70w --------

R --------- 98w

V 28w ---------

total 98w 98w

2.3. ASOCIACIN DE ELEMENTOS PASIVOS.

RESISTENCIA.

a. Conexin en Serie.Se reconoce un circuito en serie cuando la corriente que circula porellos es la misma y la tensin vara en cada una de las resistencias.


42/220


41

Para hallar la resistencia equivalente ( eqR ) es igual a la sumatoria de

de los valores de cada una de ellas.

1

Req nn

R=

=

1 2 3 1 2 3, ,eq TR R R R V V V V I I= + + = + + =

Ejemplo: Hallar R equivalente en los bornes a b.

Solucin:

300 10 100 33 20 30

93.4

eq

eq

R k k k k

R k

= + + + + +

=


43/220


42

b. Conexin en Paralelo.Se reconoce un circuito en paralelo cuando 2 o mas resistenciassoportan la misma tensin, sin embargo por cada rama circula unaintensidad de corriente diferente.

Para hallareqR de dos ramas se halla con las siguientes formulas:

1 2

1 2 1 2

1 1 1

eq eq

T eq

R RVR R

I R R R R R= = = +

+

1 2 ,TI I I V V= + =

CONDUCTANCIA (G).Se dice conductancia a la facilidad con que la corriente puedeatravesar un material. Es la inversa de la resistencia. Se mide ensiemens o mhos ( -1). Recomendable para varias ramas enparalelo.

1 IG GE R= =

1 2

1........eq n eq

eq

G G G G RG

= + + + =


44/220


43

Para hallar la corriente en una rama individual de un circuito enparalelo es por:

VI =

Ejemplo # 1:En la red calcular la resistencia equivalente.

Solucin:

21

21

RR

RRR equiv

+

=

k

k

kk

kkRequiv 25150

15101510 2=

+= kR equiv 6=

O tambin se puede hallar mediante la Conductancia:

RRGeq

11

1

+=

Reemplazando tenemos

1 10.1 0.067 0.167

10 15eqG m s m s m s

k k= + = + =

Entonces eqR Ser: === KmsGR

eq

eq 6167.0

11


45/220


44

Ejemplo # 2: para 3 o mas resistencias

1 2 1 3 2 3

1 2 3

1 1 1 11 2 3e q

R R R R R RR R R R R R R

+ += + + =

323121

321

RRRRRR

RRRR eq

++=

Sustituye los valores de las resistencias

5 10 21.25

(5 10 ) (5 2 ) (10 2 )eq

k k kk

k k k k k k

= =

+ +

Tambin se puede resolver por conductancias (recomendable)

Ejemplo # 3:Para resistencias de igual valor

1 53

5e qR K

kn

= = =


46/220


45

c.

Conexin serie paralelo:Es un circuito que combina una omas circuitos en serie con una o mas circuitos paralelos.

Ejemplo:

Solucin:

5 6 4

6 6( ) 3

6 6a ak k

R R R R R kk k

= + = =

+

3 2( )b aR R R R= +

4 12 3

4 12bk k

R kk k

= =

+


47/220


46

R1 y Rb estn en serie entonces tenemos:

kkkR eq 431 =+=

CAPACITANCIA:

a. Conexin en Serie: El valor del capacitor equivalenteeq

C se

halla por el mismo mtodo que las resistencias en paralelo.

54321

111111

CCCCC

Ceq++++

=

b. Conexin en Paralelo:El valor del condensador equivalente eqC de n condensadores es igual

a la suma de los valores individuales. La tensin en los extremos decada capacitor es la misma.


48/220


47

4321 CCCCCeq +++=

INDUCTANCIA.

a. Conexin en Serie.

1 2 3e qL L L L= + +

b. Conexin en Paralelo.

eqL se halla por el mismo mtodo que las resistencias en paralelo.

1 2 3

1 2 1 3 2 3eq

L L LL

L L L L L L=

+ +


49/220


48

2.4. TRANSFORMACIONES DELTA ESTRELLA YVICEVERSA

Delta a Estrella ( ).Para simplificar el anlisis de un circuito, a veces es convenientetransformar un circuito de tipo estrella (Y) a delta ( ), o viceversa,pero sin que cambie su funcionamiento general. No es slo asunto decambiar la posicin de las resistencias si no de obtener los nuevos

valores que estas tendrn. Hay una manera sencilla de convertir estas

resistencias.

1 3 2 31 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

. .., ,

R R R RR RX Y Z

R R R R R R R R R= = =

+ + + + + +

Si el valor de la resistencia son iguales entonces la transformacin -

Y ser R/3.


50/220


49

Estrella a Delta ( ).

1 2 3, ,XZ ZY YX XZ ZY YX XZ ZY YX

R R RZ Y X

+ + + + + += = =

Estas dos configuraciones tienen una importancia fundamental ya queson dos posibilidades de conexin de cargas trifsicas.


51/220


50

Ejemplo# 1:Hallar la resistencia equivalente en b: Req.______

Solucin:

Transformamos de Y - en los bornes a-b-c


52/220


51

(2 1.71)(1.71)1.17

(2 1.71) (1.71)eqR

+= =

+ +

Ejemplo # 2: Calcular L equivalente en los bornes ab.

Solucin:Transfrmanos Y - aplicando el mismo mtodo de laresistencia porque ambos son homlogos.


53/220


52

(18)(4.37)5.52

18 4.37eqL = =

+

Ejemplo # 3:Calcular R equivalente en a-b:


54/220


53

Solucin:Aplicamos transformaciones estrella-delta


55/220


54

(3)(2 1.71)4 5.66

(3) (2 1.71)eqR

+= + =

+ +

Ejemplo # 4:Calcular en a Ceq.__________

Solucin:Lo convertimos en un circuito anlogo (resistivo) lo cual es la inversade su valor.

Por delta estrella tenemos:2 3

0.552 3 6a

= = + + 2 4

0.732 3 6

b

= = + +

3 41.1

2 3 6c

= =

+ +


56/220


55

Luego hacemos transformacin delta estrella.

Se obtiene:

Regresando a su forma originaltenemos:


57/220


56

Ejemplo # 5:Calcular la capacidad equivalente del circuito mostrado, C1 = 100 nF,C2 = 2 F, C3 = 0.82 F.

Los condensadores C2y C3 estn en serie su equivalente es:

6

1 6 62 3

1 1 1 11 1 1 1

1.72 102 10 0.82 10eqC

C C

= = =

+ +

61 0.58 10 581.4eqC nF

= =

El equivalenteeq

C esta en paralelo con el condensador 1C , entonces la

capacidad equivalente total es:

9 91 1 100 10 581.4 10 581eq eqC C C nF = + = + =


58/220


57

Ejemplo # 6:Calcule la resistencia equivalente entre a y b.

Solucin:Reduciendo: Para 1R asociamos las resistencias en serie y paralelo

1 1

6 126 (4 4 4) 4

18R R

= + + = =

Para R2asociamos seis resistencias en serie y paralelo


59/220


58

2 2 4 124 12 316R R = = =

Para Reqasociamos las resistencias en serie:

4 4 3 11eq

R = + + =

2.5. ASOCIACIN DE ELEMENTOS ACTIVOSIndicaremos la forma de determinar la fuente equivalente de uncircuito respecto a dos puntos, tanto ideales como reales.

1. FUENTES IDEALES:a. Fuentes de Tensin.

Conexin en serie: Es cuando la tensin resultante esigual a la suma de cada una de las fuentes.

Cuando es con igual polaridad se suman cada una de lasfuentes, con distinta polaridad se suman los valores delas fuentes y la polaridad resultante ser a la polaridad dela suma mayor.

1 2 3abV V V V =


60/220


59

Ejemplo: Si 1 2 315 , 2 , 12V V V V V V = = =

15 2 12 1ab abV V V= = Conexin en paralelo:En este caso no se pueden conectar en

paralelo, salvo que sean de la misma tensin.

No cumple con la segundaley de Kirchhoff

b. Fuentes de Corrientes: Conexin en Paralelo:La corriente resultante es la suma

de cada una de las corrientes.

1 2 3eq I I I= + Conexin en serie:No se pueden conectar en serie, si es

que fuere as, los valores de las corrientes tendrn que seriguales.


61/220


60

No cumple con laprimera ley de kirchhoff

2. FUENTES REALES:En este tema es conveniente utilizar el mtodo de transformacin

de fuentes (capitulo que se ve mas adelante).a. Fuentes de Tensin.

Conexin en Serie: Para hallar la fuente equivalente sesuman las tensiones y su resistencia interna de cada unade ellas.

1 2 1 2ab abV V V R R R= = +

Conexin en Paralelo: La fuente de tensin se transformaen fuentes de corriente y se opera como fuentes decorriente en paralelo. (MTF)

b. Fuentes de Corriente En serie: La fuente de corriente se transforma en fuentes

de tensin y se opera como fuentes de tensin en serie.(MTF)

En paralelo: Para hallar su equivalente se suma las

corrientes.

1 2 1 2eq eqI I I G G G= = +


62/220


61

CAPITULO III

METODOS SIMPLIFICADOS DE SOLUCIN

3.1. DIVISOR DE TENSIN Y DIVISOR DE CORRIENTE

1. DIVISOR DE TENSINSe aplica a todo circuito en serie, de modo que el voltaje total

aplicado a las resistencias es dividido en voltajes fraccionados. Elproposito es repartir la tensin aplicada en una o mas tensiones bajas.

f

eq

VI

R=

1 21 1 2 2,f f

eq eq

R RV IR V V IR V

R R= = = =

nn n f

eq

RV IR V

R= =


63/220


62

Ejemplo: Hallar V =_____

Solucin: Ojo: Veamos un potencimetro P.

Se sabe que el potenciometro tiene 3 contactos, 2 son fijos y unovariable, si su valor es 10k y tomamos el 50% entonces tenemos 5kcomo se observa en el grafico.

Se observa que el cablecortocircuita el tramo F-Ventonces rinceamos la

resistencia.


64/220


63

36 12 24

totalV V= = Por divisor de tensin tenemos:

324 6.5411

voltskVk

= =

2. DIVISOR DE CORRIENTE.Un divisor de corriente se presenta cuando hay dos o ms resistenciasen paralelo, de modo que la corriente que circula por cada resistenciaes una parte de la corriente total.

Para dos resistencias en paralelo:


65/220


64

2 11 2

1 2 1 2

;T TR RI I I IR R R R

= =+ +

Para n resistencias en paralelo se tiene:

cuando tenemos n resistencias es mas conveniente trabajar con

conductancias y para ello sabemos que1

GR

= , entonces la corriente

en la resistencia ser:

1 2 3

......

n Tn

n

G IIG G G G

=+ + + +

Ejemplo: calcular A = _______, IFuse=________.


66/220


65

Solucin:

Se rinsea las resistencias 1 3 5 7, , ,R R R R .


67/220


66

Como es un circuito con resistencias en paralelo, la corriente se suman

y trabajaremos con conductancias cuyas resistencias van a ser el inversode su valor.

3 415 5 15 6.6

2 3 4 9

fuseamp ampA y I

= = = = + +

Corto circuito.- Es una resistencia de cero ohmios, en otras palabras,es un conductor que lleva cualquier cantidad de corriente sin sufriruna cada de voltaje por donde pasa. Dos puntos pueden sercortocircuitados juntndolos con un cable.


68/220


67

Circuito abierto.- Es una resistencia de infinito ohmios, es unaislante que soporta cualquier voltaje sin permitir que fluya corriente atravs de el. Es decir, una resistencia infinita o un cable roto.

3.2. PUENTE WHEATSTONEEl puente Wheatstone es un Circuito Pasivo, formado por 4resistencias opuestas 2 a 2, es la mas utilizada para medir resistenciasde gran exactitud, de rango medio (1y 1M).


69/220


68

La resistencia variable 3R se ajusta hasta que ninguna corriente fluya

por el galvanmetro (G) 0I= , lo cual implica quea b

V V= y 1 3yR R se

comportan como si estuvieran en serie, lo mismo hacen 2 XyR R ,

quedando un divisor de tensin de dos ramas, por divisor de tensintenemos:

3

1 3 2

, Xac bcX

R RV V V V R R R

= =+ +

Donde:

bcac VV =

Por lo tanto:

3

1 3 2

X

X

R RR R R

=+ +

Y aplicando la propiedad de proporcin.

33 2 1

1 2

XX

R R R R R R

R R= =


70/220


69

Galvanmetro:Sirve para medir intensidades de corrientes pequeas. Es un aparatomuy sensible, para su uso se conecta en serie con la resistencia.

FACTORES DE LOS QUE DEPENDE LA EXACTITUD DELPUENTE.La exactitud y precisin con la que determinemos el valor de Rx deuna resistencia con un puente de Wheatstone dependen de lossiguientes factores:

1.- La exactitud y precisin de las otras tres resistencias queconstituyen el puente.

2.- Los valores de las resistencias de precisin 1 2yR R . Cuanto

menores sean los valores nominales de dichas resistencias,mayores sern las corrientes en el circuito, y ser ms simpledetectar variaciones de las mismas.

3.- El valor de la fuente V. Cuanto mayor sea dicho valor, mayoressern las corrientes en el circuito, por lo que ser ms simpledetectar variaciones en sus valores.

4.- La sensibilidad del galvanmetro. Cuanto mayor sea dichasensibilidad se podr apreciar mejor la corriente y por lo tantose podrn ajustar las resistencias con ms precisin para que lacorriente sea cero.


71/220


70

Ejemplo # 1.En el circuito mostrado, determine la potencia de la fuente decorriente.

Solucin:

Vemos que en el circuito mostrado, existe triple puente Wheatstoneequilibrado; por tanto se rincea R1 y R2.


72/220


71

e

(5.14)(15)3.83

5.14 15qR = =

+

e .. 6(3.83) 22,97q wattsP I R= = =

Ejemplo # 2: 1 2I I=

Hallar P(fuente)=_________ I1 =_____ , I2=_______________

Solucin:Observamos que el puente esta equilibrado ( el producto de lasresistencias en aspa son iguales) entonces la rama central se rincea.


73/220


72

1 2

6 60.75 , 0.5

8 12m A m AI I

k k= = = =

e

(8 )(12 )4.8

8 12qk K

kk k

= = +

3 3 31 2 A0.75 10 0.5 10 1.25 10I I I

= + = + =

3 3( ) 6(1.25 10 ) 7.5 10fuente wattsP

= =


74/220


73

3.3 MTODO DE TRANSFORMACIONES DE FUENTES(M.T.F.)

Una transformacin de fuentes son procedimiento para sustituir unaclase de fuente por otra, conservando las caractersticas de la fuenteoriginal.

1. FUENTE DE VOLTAJE:Una fuente de tensinse define como una fuente ideal de voltaje en

serie con una resistencia interna existiendo perdidas a travs de ella.

2daley de kirchoff:

in L in LV R I V R I V V = + =

2. FUENTE DE CORRIENTE:

Una fuente de corrientese define como una fuente ideal de corrienteen paralelo con una resistencia interna, existiendo prdida decorriente a travs de ella.


75/220


74

1raley de Kirchoff:

RL R L in in L

VI I V V R I R I

R= + = =

Conclusin:


76/220


75

TRASLACIN DE UNA FUENTE DE CORRIENTE:En este caso esta permitido, porque no afecta para las leyes dekirchhoff:


77/220


76

TRASLACIN DE UNA FUENTE DE TENSIN:

y', ' 'a b c son nodos equipotenciales, entonces podemos hacer elconocido salto del tigre.


78/220


77

Varias fuentes en paralelo equivalen a una sola fuente con el mismovalor.

Ejemplo# 1:En el circuito mostrado encontrar I.

Solucin:La fuente de corriente transformamos a fuente de tensin.

1 6(2) 12V V= =


79/220


78

Luego la fuente de tensin V1 transformamos a fuente de corriente.

1

124 A

3I = =

y1(3)

12 4 8 0.754

I A R= = = =


80/220


79

Ahora por divisor de voltaje:0 . 7 58 2 .1 8 .

2 0 .7 5 a m pI = =

+

Ejemplo# 2:Hallar la corriente I:

Solucin:Por traslacin de fuente de corriente tenemos:

Transformando fuente de corriente a fuente de tensin tenemos:


81/220


80

La rama central esta en paralelo con la fuente de 12 V, lo cual noafecta en nada si lo rinceamos:


82/220


81

Entonces quedara:

por ley de ohm:

VI =

.2 0.33(1 2) am pI = =+

Ejemplo # 3:Calcular el voltaje abV :


83/220


82

Solucin:


84/220


83

Para 1V :

1

4

4( ) 2.674 2V V= =+ Entonces aV respecto a tierra es:

2 .6 7 1 2 9 .3 3aV V= + = Para 2V :

2

21( ) 0.67

3V V= =

Entonces aV respecto a tierra es:

0.67 4 3.33bV V= + =

Ahora elab

V : respecto a tierra

.9.33 3.33 6ab a b

ab volt

V V V

V

=

= =


85/220


84

Ejemplo# 4:En el circuito mostrado calcular I:

Solucin:Hacemos doble salto de fuentes de Tensin.


86/220


85

Aplicando transformaciones de fuentes tenemos:

Ahora sumamos las corrientes y por divisor de corriente tenemos:

.

1(7.53)

2 3.751 1 1 1

12 4 6 2

am pI = =

+ + +


87/220


86


88/220


87

CAPITULO IV

MTODOS DE SOLUCIN EN REDES LINEALES

4.1. ALGEBRA TOPOLGICA.El lgebra topolgica o topologa elctrica es una herramienta grafica-matemtica mediante la cual se determina el nmero de incgnitasque representa un circuito y de ese modo, poder determinar el nmero

de ecuaciones necesarias que los circuitos requieran.

Conceptos de Topologia de redes: Nodo ( n ):Es un punto de unin entre dos o ms elementos

del circuito. Rama ( b ):Es un elemento o grupo de elementos conectados

entre dos nudos. Red Plana:Es una red que puede dibujarse sobre una superficie

plana sin que se cruce ninguna rama

Lazo ( l ): Viene a ser toda trayectoria cerrada formada pornodos y ramas topolgicas, de forma que si se elimina cualquierrama del lazo, el camino queda abierto.

Malla:Este concepto se aplica normalmente a circuitos planos yes un lazo que no contiene ningn otro en su interior.

PROCEDIMIENTO:1.- Hacemos red muerta al circuito, es decir las fuentes de tensin

se cortocircuitn, y las fuentes de corriente se abren.

2.- Bosquejo el grafo topolgico.b = # ramas topolgicasn = # nodos topolgicosl = # lazos topolgicos independientes

( 1)b l n= +


89/220


88

Grafo topolgico

b: R1, R2,n: 3 1 = 2l: 1

Ejemplo# 1:

Solucin:Hacemos Red muerta, cortocircuitando la fuente de tensin yabriendo la fuente de corriente.


90/220


89

Grafo topolgico

Se tiene la siguienteigualdad: a = c,

Como se observa tenemos 3 nodos de las cuales se consideran 2, unoes tierra.

Ejemplo # 2:Determinar el grafo topolgico.


91/220


90

Solucin:Red muerta, cortocircuitando la fuente de tensin y abriendo la fuentede corriente.

Grafo Topolgico

Se tiene la siguiente igualdad: a = d = c (Son nodos topo lgicamenteiguales).


92/220


91

Ejemplo # 3: Trazar el grafo topolgico.

Solucin: Red muerta, cortocircuitando la fuente de tensin yabriendo la fuente de corriente.

Grafo topolgico:

Se tiene la siguiente igualdad topolgica: a = b = c = d (Super Nodo)


93/220


92

4.2. MTODO DE MALLAS ( MAXWELL): 0V= Basado en la segunda Ley de Tensiones de Kirchhoof, llamadotambin Mtodo maxwell, las incgnitas del sistema de ecuacionesson las corrientes de mallas del circuito, que nos permite formular yresolver ecuaciones.

Para desarrollar en forma eficaz este mtodo pasaremos a explicar pasoa paso:

1. Planteamos el diagrama topolgico del circuito, lo cual nospermite determinar el nmero de ecuaciones que vamos autilizar en el circuito.

2. Asignamos las corrientes respectivas a cada malla. (sentidohorario)

3. Aplicamos la ley de Tensiones de kirchhoff (LVK) en cada mallaen funcin de las corrientes de mallas asignadas y planteamoslas ecuaciones.

4. Luego resolverlo por matrices o por sistema de ecuaciones.

[ ] [ ][ ]1 1 11 12 13

2 2 21 22 23

3 3 31 32 33

V I r r r

V I R V I r r r

V I r r r

= =

5. Con las corrientes de mallas obtenidas, se retorna a la redoriginal y se determina las incgnitas de la red porprocedimientos algebraicos.

6. Para obtener los voltajes, aplicamos la ley de ohm.

Nota: Se recomienda al seor alumno se sirva utilizar mallas horarias


94/220


93

Ejemplo: Hallar las corrientes 1 2 3, ,I I I por el mtodo de mallas

Solucin:1.Primero veamos su diagrama topolgico:

n = 3b = 5l = 3; por lo tanto tenemos 3ecuaciones de mallas.


95/220


94

3.

Asignemos dichas corrientes.

4.Planteando las ecuaciones de las corrientes asignadas y polarizamos

cada elemento:

Malla 1:

1 2 3

1 2 3 (1)

10 (2 2 4) 2 4 0

8 2 4 10.........................

I I I

I I I

+ + + =

=

Malla 2:

1 2

1 2 (2)

5 2 (2 4) 0

2 6 5 ........................

I I

I I

+ + =

+ =


96/220


95

Malla 3:

1 3

1 3 (3)

5 4 (2 4) 0

4 6 5 ...................

I I

I I

+ + =

+ =

Ordenando las ecuaciones:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(1)

(2)

(3)

8 2 4 10 ..........

2 6 0 5 ....................4 0 6 5 ..................

I I I

I I I

I I I

=

+ = + =

5.Resolvemos por matrices:

[ ] [ ][ ]V I R=

1

2

3

10 8 2 45 2 6 0

5 4 0 6

I

I

=

Por cramer tenemos que:

1

1

10 2 4

5 6 0 2 4 10 25 65 0 6 6 0 5 6

8 2 4 2 4 8 24 6

2 6 0 6 0 2 6

4 0 6

5(24) 6(70) 120 420 3001.78

4(24) 6(44) 96 264 168

I

I A

+ = =

+

+ += = = =

+ +


97/220


96

De la misma manera para 2I e 3I :

2 3

2 4 0 6 01 .4 2 , 0 .3 6

1 6 8 1 6 8I A I A= = = =

6. Retornando al circuito original, las corrientes en las resistenciasqueda de la siguiente forma:

7.Como conocemos la corriente, entonces por la ley de ohmpodemos conocer los voltajes.

***Algunas restricciones en el mtodo***

Primero: Si vemos una fuente de corriente tratemos de transformarloa una fuente de voltaje.


98/220


97

Ejemplo: Calcule las corrientes por el mtodo de mallas:

Solucin:

Luego se siguen los pasos ya conocidos.


99/220


98

Planteando las ecuaciones:

Malla 1:

18 6 12 0I + + =

Malla 2

212 8 10 0I + + = Resolviendo Tenemos:

1 16 4 0.67ampI I= = 2 28 2 0.25ampI I= =

Segundo:Si notamos que no se puede transformar a fuente de voltaje,utilicemos ecuaciones auxiliares (mallas ficticias o variables ficticias).

Ejemplo:Resolver el circuito por el metodo Maxwell.

Solucin:En este caso la fuente de corriente no podemos transformar a unafuente de voltaje, entonces hacemos la red muerta:


100/220


99

Luego analizamos el diagrama topolgico:

n = 3b = 4l = 2 (2

ecuaciones)

Del diagrama topologico vemos que tenemos 2 ecuaciones.


101/220


100

Escribamos las dos ecuaciones:Malla 1:

1 2 44 8 4 10I I I + =

Malla 2:

1 3 48 10 2 0I I I + =

Ecuaciones de restriccin

1

4

1 02 0

AA

= =

son mallas ficticias.

Resolviendo las ecuaciones tenemos:La mallas ficticias reemplazando en las primeras ecuaciones,obteniendo:

2 2

3 3

8 110 13.75

10 120 12

a m p

a m p

I I

I I

= =

= =

4.3. MTODO NODAL:entran salen

I I= Llamado Potencial de Nodos es aplicable a cualquier red, plana o noplana. Se basa en la primera ley de corrientes kirchoff, sus incognitasson los voltajes de nodo del circuito, que permiten formular y resolverlos sistemas de ecuaciones que describen los circuitos complejos enforma ordenada.

Pasos para desarrollar este mtodo:1. Asignamos los voltajes en cada nodo y elijamos el nodo de

referencia o nodo de tierra.2. Hacemos la red muerta y planteamos el diagrama topolgico,

deduciendo el nmero de ecuaciones.3. Se aplica la ley de corrientes kirchhoff a cada nodo en funcion

de los voltajes asignados.


102/220


101

4.

Ordenamos y resolvemos por matrices o sistema de ecuaciones.

[ ] [ ][ ]I G V= 1 111 12

21 222 2

I Vg g

g gI V

=

5. Se retorna a la red original y aplicamos la ley de ohm paraobtener la corriente en cada elemento.

Nota: este mtodo funciona obligatoriamente con tierra y trabajancon conductancia.

Ejemplo # 1: Aplique el mtodo nodal y calcular: ?, ?a b

V V= =

Solucin:1. Asignamos los voltajes a cada nodo.2. Hacemos la red muerta y Analizamos su diagrama topolgico:

n = 3 1 = 2 ecuacionesb=3l=1

Como se observa el diagrama topolgico tenemos 2 ecuaciones:


103/220


102

3.

Aplicamos la ley de corrientes kirchhoff en cada nodo yplanteamos la ecuacin.

(1)10 .................5 10

a a bV V V= +

(2)20 .................10 5

a b bV V V = +

Ordenando las ecuaciones:

(1)(0.3) (0.1) 10...........a bV V = ( 2 )(0 .1) (0 .3) 20.........a bV V + =

4. Resolvemos por matrices:

[ ] [ ][ ]I G V=

10 0.3 0.1

20 0.1 0.3a

b

V

V

=

Obteniendose:

12.5, 62.25a bV V= =

5. Volvemos a la red original y por ley de ohm hallamos lacorriente en cada rama.


104/220


103

1 2 32.5 , 7.5 , 12.45A I A I A= = =

***Algunas restricciones en el mtodo***

Primero: Si vemos una fuente de voltaje tratemos de transformarlo auna fuente de corriente.

Ejemplo # 2: Calcular ,a b

V V .

Notamos la fuente de tensin no tiene forma de ubicarlo en la matrizfinal por lo que Sugerimos en ese caso hacer la respectivatransformacin.


105/220


104

La resistencia 0.5 esta en paralelo con 1/3.

Aplicando las observaciones generales en los nodos, obtenemos 2ecuaciones:

(1)

(2)

(2 4) (2) (4) 18 6 6 18 ......................

(2 4 5) (2) (4) 3 6 11 3............

a b b a b

b a a a b

V V V V V

V V V V V

+ = =

+ + = + = Por matrices:

[ ] [ ][ ]I G V=

18 6 6

3 6 11

a

b

V

V

=

6, 3a bV V= =

Segundo: Si notamos que no se puede transformar a fuente decorriente, utilicemos ecuaciones auxiliares.


106/220


105

Ejemplo # 3:

Solucin:En este caso notamos que no podemos cambiar a una fuente decorriente, por lo que vamos a usar ecuaciones de restriccin:

Escribiremos las ecuaciones para los nodos a, b, c:Nodo a

(1)1 (0.15) (0.05) 1............

10 20

a a ba b

+ = =

Nodo b

(2)0 (0.05) (0.28) 0.17.....20 5 30

b a b b ca b

+ + = + =

5C V= (ecuacin de restriccin, C es un nodo ficticio)

Aplicando la forma matricial tenemos:

1 0.15 0.05

0.17 0.05 0.28

a

b

=

Los resultados obtenidos son:7.30 , 1.9a V b V = =


107/220


106

Super Malla:Es cuando existe una fuente de corriente entre dos mallas

Ejemplo:En el circuito mostrado hallar 0I , por el mtodo de mallas:

Solucin:Primero asignamos corriente a cada malla

Como se observa hay una corriente entre la malla 2 y malla 3, lo cualno indica que es una supermalla.


108/220


107

Para encontrar el numero de ecuaciones hacemos la red muerta.

Al hacer la red muerta observamos que tenemos 2 mallas, entoncesplanteamos las ecuaciones:

Malla 1:

1 2 37 4 6I I I =

Supermalla :( 2 3eI I )

1 2 35 6 4 12I I I + + =

2 3 3 23 3I I I I = = . Ecuacin de ayuda

Resolviendo por matrices o sistema de ecuaciones obtenemos:

1 21.33 , 3.06I A I A= =

Si: 0 1 2I I I=

Entonces:

0 1.33 3.06 1.73I A= =


109/220


108

Sper nodos: Es un nodazo especial cuando se presenta una fuentede tensin entre dos nodos y cualquier elemento en paralelo a ella.

Ejemplo# 4:Plantear las ecuaciones nodales.

Solucin:


110/220


109

Las siguientes ecuaciones en los nodos respectivos sern:

Nodo a:

4 1.5 0.5 42 1

a b a d a b d

+ = =

Supernodo:

0 1.5 1.5 02 2 1 2 1

b a b c d d aa b c d

+ + + + = + + + =

Ecuaciones de restriccin:12 12b c c b = =

6 6d c d c = = +


111/220


110

4.4. APLICACIONES CON FUENTES CONTROLADAS

Ejemplo # 5:Tenemos un circuito formado por conductancias y fuentecontroladas, calcular las tensiones en cada nodo.

Solucin:Hacemos la red muerta.

Grafo topolgico:

n=3

n 1 = 2 nodos incgnitasNodo a, b.

Nodoa

V :

(3 2) (2) 5 5 2 5a b ab a b abV V V V V V + = =


112/220


111

Pero: ab a bV V V=

Reemplazando tenemos:

(1)5 2 5( ) 10 7 0....................a b a b a bV V V V V V = =

Nodob

V :

(2)(5 2) 2 2 2 7 2................b a a bV V V V + = + = Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

0.25, 0.36, 0.11a b a bV V V= = =

En el nodoc

V tenemos:

4 5 2 0.6375c ab cV V V= + =


113/220


112


114/220


113

CAPITULO V

APLICACIN DE TEOREMAS

5.1. TEOREMA DE LA SUPERPOSICIN.Se utiliza en circuitos elctricos lineales, formados por resistencias,condensadores y bobinas en los cuales la amplitud de la corriente quelos atraviesa es proporcional a la amplitud de la tensin a sus

extremos.

En las figuras mostradas debemos observar, que al actuar una fuentevamos a tener una parte de la respuesta a cada excitacin; por tantosumando todas las respuestas vamos a obtener lo mismo que al excitarcon todas las fuentes empleadas.

Debe hacerse notar que para que deje de actuar una fuente de tensinse debe cortocircuitar en serie con su resistencia interna; mientras quepara anular una fuente de corriente se debe sustituir por un circuitoabierto en paralelo con su resistencia interna.


115/220


114

Nota:Cuando en un circuito, existen fuentes independientes mas losdependientes, solo se superponen las fuentes independientes; es decir,no se cancelan las fuentes controladas dependientes.

Ejemplo # 1:Calcular los valores de las tensiones en los nodos

a bV V , aplicando

superposicin.

Solucin:Paso 1:En primer lugar anulamos la fuente de corriente.

Calculamos las tensiones en ' 'b c

yV V , para ello planteamos la ley de

kirchhoff en el nodob

V .


116/220


115

' ' ' '

120 120 40 06 3 2 4 6

b b b bV V V V = =+

' 120 304b

V V= =

Las resistencias 2 y 4 ohmios forman un divisor de tensin, por tanto

' '4

202 4c bV V V= =

+

Paso 2:Anulamos la fuente de tensin. El circuito resultante ser:

Calculamos los nuevos valores a las tensiones '' ''b cyV V . Aplicamos la

ley de Kirchhoff en los nodos b y c.

'' '' '' '''' ''

'' '' '''' ''

0 6 3 06 3 2

12 2 3 484 2

b b b c

b c

c c bb c

V V V V

V V

V V VV V

+ + = =

= + =

Resolviendo por sistema de ecuaciones tenemos:'' ''12 , 24b cV V V V = =


117/220


116

Paso 3:Sumamos los valores:' '' 30 12 18b b bV V V V = + = =

' '' 20 24 4c c cV V V V = + = =

Ejemplo # 2:

Determinar la tensin en V , por superposicin:

Solucin:a) Primero hacemos la fuente de corriente igual a cero y la fuente

de tensin activa, entonces tenemos que:

Por divisor de tensintenemos:

166 3.6

10V V = =


118/220


117

b)

Ahora hacemos la fuente de voltaje igual a cero y la fuente decorriente lo activamos, entonces tenemos que:

2

49 3.6 (6) 21.6

4 6I V V I V

= = = = +

Por ultimo: 1 2 3.6 21.6 25.2V V V V = + = + =

Ejemplo # 3:

Determinar la tensin V:

Solucin:Teniendo en cuenta el criterio de superposicin la fuente de 12Vhacemos cero:


119/220


118

Por transformacin de fuentes:

Por divisor de tensin hallamos 1V

1

44 2

8V V

= =

Ahora cancelemos la otra fuente, y calculemos 2V :


120/220


119

Transformando:

2

44 2

8V V

= =

Luego Sumamos 1 2yV V

1 2 2 2 4V V V V = + = + =

Ejemplo # 4:Tenemos un circuito con fuentes controladas, por superposicinhallar 0I .


121/220


120

Solucin:1. Cuando trabaja la fuente de tensin:

Por el metodo Maxwell tenemos:

1 26 6 30I I+ =

' ' '1 2 0 2 0 1 0:8 9 0siI I I I I I I = = =

Resolviendo por sistema de ecuaciones:'0 0.5I A=

Nota: Cuando aplique el teorema de superposicin solamente debehacerse con las fuentes independientes no se cancelan las fuentescontroladas.

6. Cuando trabaja la fuente de corriente.


122/220


121

Si:''

2 0I= ''

1 2 1 06 6 12 6 6 12I I I I+ = + =

'' ''1 2 0 1 08 9 0I I I I I = =

Resolviendo por sistema de ecuaciones:''0 0 .2I A=

Sumando las dos respuestas:' ''

0 0 0 0.7I I I A= + =

5.2. TEOREMA DE RECIPROCIDAD.Establece que si la excitacin de entrada, ya sea de voltaje o decorriente, se intercambia a la salida, la respuesta del circuito seridntica en las terminales de entrada. Esta circunstancia, se puedenpresentar dos casos:

CASO IAfectado por dos fuentes de corriente:

I1: ON, I2: OFF I1: OFF, I2: ON


123/220


122

Se cumple que:

21 12

1 2

.V V

cteI I

= =

CASO IIAfectado por fuentes de voltaje:

V1: ON, V2: OFF I1: OFF, I2: ON

Se cumple que:

2

12

1

21

V

I

V

I=

Ejemplo # 1:Verifique las ecuaciones con el siguiente circuito:


124/220


123

Solucin:

Analicemos primero con fuente de corriente 1 1I A= .

Luego con 2 5I A=

Ahora veamos si se cumple la relacin del Caso I dada en teora:21 12

1 2

.4 20

41 5

cteV V

I I= = = (si cumple!!)

Analicemos con fuente de tensin 1 1V V= :

e 3.67 0.27q TR I A= =


125/220


124

21 40.27 0.0912I A = =

e 8.8 0.57q TR I A= =

12

40.57 0.456

5I

= =

Ahora veamos si se cumple la relacin del Caso II dada en teora:

21 12

1 2

0.09 0.456 0.09 .

1 5

I Icte

V V= = =

Ejemplo # 2:Verificar el teorema de reciprocidad:

Solucin:

1ro: e(3)(6)

4 63 6q

R = + = +

e

183

6T q

VI A

R= = =


126/220


125

Entonces, AII 236)6)(3(

366.12 =

+=

+=

2do: Ahora se verifica el Teorema de reciprocidad, excitando losterminales de salida.

e

(6)(4)3 5.4

6 4qR = + =

+

e

183.33 .

5.4T q

VI amp

R= = =

21

.6 (3.33)(6) 2 .6 4 10II amp= = =

+

3ro. luego:

2 1

1 2

2 2. .

18 18

I Icte cte

V V

= = = =

Lqqd.


127/220


126

5.3. TEOREMA DE THEVENIN.Establece que cualquier circuito lineal con dos terminales puedesustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de

voltajeth

V en serie con una resistenciath

R , sin afectar la operacin del

resto del circuito.

Pero veamos que significa equivalencia.

Equivalencia.- Es cuando una red formada por fuentes de tensin,corriente y resistencias es reemplazada por otro circuito que tiene lamisma relacin tensin corriente en sus terminales.

* Para una corriente I dada, el voltaje abV es igual a la suma de losvoltajes de la fuente

thV y de la resistencia

thI R .

Si las terminales a b estn en circuito abiertooc

V , ninguna

corriente fluye entonces la tensin en los terminales a b deben seriguales a la fuente de tensin

thV .

oc open circuitV =


128/220


127

0, a b o cI V V= =

Para redes que contienen slo fuentes independientes y

resistencias, se apagan todas las fuentes, es decir fuente devoltaje en cortocircuito y fuente de corriente en circuitoabierto, luego se calcula la resistencia equivalente entre losterminales. th eqR R= .

Para redes que contienen fuentes dependientes, en este caso seapagan todas las fuentes independientes y se conecta una fuentede voltaje o de corriente de prueba. Luego calculamos lacorriente o el voltaje por la fuente de voltaje o corriente deprueba.

p ru eb a

th

p ru eb a

VR

I=

5.4. TEOREMA DE NORTONEstablece que un circuito lineal de dos terminales es reemplazado porun circuito equivalente formado por una corriente

NI en paralelo

con una resistenciaNR , la relacin V I son iguales en sus

terminales y no afecta la operacin del resto del circuito.


129/220


128

Para determinar la resistencia equivalente NR desde sus terminales se

anulan todas las fuentes, la fuente de corriente NortonN

I , en sus

terminales esta en cortocircuito.

Se puede establecer una equivalente simple entre el equivalente deThevenin y el equivalente de Norton, aplicando la transformacin defuentes.

thL

th L

VI

R R=

+ N

L N

N L

RI I

R R=

+

ocN th

sc

VR R

I= =

thN sc

th

VI I

R= =

Los circuitos Thevenin y Norton son equivalentes solo para la mismafrecuencia que han sido calculados en AC.


130/220


129

Mtodos para aplicar Teorema Thevenin-NortonProcedimiento para obtener los valores de la fuente de voltaje y laresistencia de Thvenin-Norton:

Se desconecta la carga del circuito. Para encontrar el valor del voltaje de Thvenin se calcula el

valor del voltaje de circuito abierto, Voc, en las terminales deinters. Para encontrar la corriente Norton se cortocircuita losbornes de la carga y se calcula la corriente que circula por el

circuito. Para encontrar el valor de la resistencia de Thvenin se

sustituyen todas las fuentes de voltaje por cortocircuitos y lasfuentes de corriente por circuitos abiertos. Se calcula laresistencia equivalente entre las terminales de inters.

Ejercicios # 1:En la red mostrada hallar el equivalente de thvenin entre losterminales a-b.

Solucin:Primero hacemos corto circuito en los terminales c y d, retirando loselementos de carga que se encuentran a la derecha de c d en el cual

ya no circulara corriente, entonces hallamos la tensin c dV a partir

de un divisor de tensin. (triple thevenin)


131/220


130

22 1

' 2 2V V volt

cd th

= = =

+

Luego hallamos la resistencia equivalente entre cd anulando lafuente de tensin de 2v.

2 24 5

' 2 2R R

eq th

= = + =

+

Por lo tanto, a b.

Luego calculamos el equivalente de thevenin del circuito en losterminales ' 'a b . Calculamos la tensin ' 'a bV por divisor de tensin.


132/220


131

51 0.5

' ' '' 5 5V V volt

a b th

= = =

+

Como en el caso anterior hallamos la resistencia equivalente eqR .Entre a b anulando la fuente de tensin de 1v.

5 56 8.5

' ' '' 5 5R R

a b th

= = + =

+

El circuito queda:

Luego dejamos los terminales a b en circuito abierto y hallamos lacada de tensin abV como no hay una malla cerrada, por el circuito no

circula corriente entonces tenemos


133/220


132

3 0.5 2.5V V v v vth ab= = + =

La resistencia de thevenin es la resistencia entre a b, que es 8.5, elresultado ser:

Ejercicio # 2:En la red mostrada hallar el equivalente de Norton, entre losterminales a b.

Solucin:Primero cortocircuitamos los terminales a-b para hallar el valor de lafuente de corriente del equivalente de Norton.


134/220


133

Vemos que: 3c c NI I I= =

Malla # 1:

1 24 2 2I I =

Malla # 2:

1 2 32 11 5 0I I I + =

Malla # 3:

2 35 11 3I I + =

Resolviendo el sistema tenemos:

1 2 30.476 ; 0.047 ; 0.294cc NI A I A I I I A= = = = =

Para hallar la resistencia equivalente entre los terminales a banulamos las fuentes.

(2 2) 4 5 , (5 5) 6 8.5eq eqR R= + = = + =


135/220


134

8.5N eqR R= =

Comprobamos que N thR R=

Entonces El circuito equivalente ser:

Ejercicio # 3: Determinar la tensin en 4L

R = .

Solucin:Para calcular thevenin utilizaremos superposicin.


136/220


135

a). Respecto a la fuente de tensin

b). Respecto a la fuente de corriente.

' '' 10 20

30 .th th th

th

V V V

V volts

= + = +

=

Luego calculamos la Resistencia equivalentes eqR .

Entonces el circuito equivalente de thevenin es:


137/220


136

Donde se puede calcular.

430 15 .

8LV volt = =

Ejercicio # 4:

Calcular el valor de la tensin 0V en el circuito siguiente:

Solucin:

Es posible simplificar el clculo de 0V en el circuito anterior,obteniendo el equivalente Thvenin en los terminales a b. Por tanto,a continuacin se realiza el clculo de dicho circuito equivalente:

thV : Tensin de circuito abierto


138/220


137

Por mallas tenemos:

Malla # 1

1 13 2 2 0 0x xk I k I k I I + = =

Malla # 2

14 2 12

4 2(0) 12 3x

x x

I I

I m A

+ =

+ = =

Entonces

(2 ). (2 )( 3 ) 6th xV k I k mA volt = = =

IN: Corriente en cortocircuito

Al cortocircuitar los terminales, la corriente IXse anula, y por tanto lafuente de tensin tambin, y el circuito anterior se reduce al siguientecircuito:


139/220


138

La resistencia equivalente al conjunto de las resistencias en paralelo

kkkkkR eq 67.021 21 =+=

Por tanto:

mAk

IN 1867.0

12=

=

Y la resistencia thevenin:

60.33

18

thth

N

VR k

I

= = =

Se sustituye el equivalente Thvenin en el circuito original y se hallaV0fcilmente mediante un divisor de tensin:

0

5( 6) 4.097.33V volt k= =


140/220


139

5.5. TEOREMA MXIMA POTENCIA DE TRANSFERENCIACuando una red de c.c. est determinada por una resistencia de cargaigual a su resistencia de Thvenin, se desarrolla la mxima potencia enla resistencia de carga.

th

eq L

VI

R R=

+ L

RL th

eq L

RV V

R R=

+

( )2

2. RL L

L

R R t h

e q L

R

P I V V R= =

+

Para conseguir la condicin de mxima transferencia, hay que derivare igualar a cero en funcin de la variable RL.

( ) ( )

( )

2

22

2. 0L

eq L L eq LR

th

L eq L

R R R R RdPV

dR R R

+ += =

+

( ) ( )2

2eq L L eq LR R R R+ = + donde eq LR R=


141/220


140

Con esta condicin por Thevenin tenemos: 2

(max)4L

thR

L

VP

R=

* Si se desarrolla a partir de Norton equivalente, encontraremos:2

(max)( )

4

L

N LR

I RP =

Como se observa la potencia mxima no implica que la tensin ni lacorriente sean mximas.


142/220


141

Ejemplo # 1: en la red mostrada hallar:

a) RL = ___ para que

absorba la mxima

potencia

b) Pmax = ____

Solucin:a) Sabemos que para que absorba la mxima potencia: RL= Req.

6 .(3 )2

6 3eqk k

R Kk k

= = +


143/220


142

Luego hallamos thV :

63 2 .

9V v o l t

= =

Entonces:

14 .thV volt =

b) La potencia maxima es:

214 7

4RLk

V Vk

= =

2 2

3(max) (7) 24.5 102RL L

VP wattsR k

= = =


144/220


143

Ejemplo # 2:Hallar en bornes a y b:

a) Req :b) Vth:

Solucin:a) Cancelamos todas las fuentes para hallar Req:

e

(2 )(4 )6 7.3

2 4qk k

R k kk k

= + = +

b) Ahora hallamosth

V :

1

3 32

218 6

6

(4 10 )(6 10 ) 24

kV V

k

V V

= =

= =

24 6 30abV V= =


145/220


144

Ejemplo # 3:Hallar: a) RL para que absorba la mxima potencia, b) Pmax:

Solucin:

a) RL = Req

[ ](3 // 9 ) 4 // 4eqR k k k k= +

[ ]2.25 4 // 4

2.44

eq

eq L

R k k k

R k R

= +

= =

b) Pmax.

(8 //9 )16 9.37 .

3 (8 //9 )

k kV volt

k k k= =

+

1

1

16 16 9.37

6.63 .

V V

V volt

= =

=


146/220


145

1 9.376.63 11.32 .2 2th ab thVV V V V volt = = + = + =

11.32thV volt =

Entonces:

2 2

max (11.32) 13.134 4(2.44 )th

L

VP wattsR k= = =

CASO:Con Fuentes dependientes:Cuando un circuito presenta Fuentes combinadas y se quieredeterminar la resistencia equivalente, en 1er lugar se tiene que

cancelar todas las fuentes independientes:

Ejemplo# 4:Hallar RL para que absorba la mxima potencia:


147/220


146

Solucin:Req. Cancelamos solo Fuentes independientes.

Recomendacin: Retiramos la carga y aplicamos una fuente de tensinexterna V: Vemos que V = V2

Nodo a:

2

22 (1)588 ............................10 50

VV

VI Ix

= + +

Malla 1:

2

2 (2)5 ...............................200 1000

V

VIx

= =

(2) en (1):

2 22

0 .80 .1 88

10 00 50

V VI V

= + +

2 2 2 20.1 0.088 0.016 0.028V V V I V = + =


148/220


147

Pero sabemos que: 2 .eqV RI

=

2 1 3 5 . 7 10 . 0 2 8

V

I= =

Tambien se sabe que:

e 35.71q LR R= =

Ahora hallemos Vth:

Planteamos ecuaciones:

2 (1 )5 2 0 0 .. . . . . . . . . . . . .5

VI x= + 2daley de kirchhoff

2 2 (2)0.8

0 88 ..................50 10

V VIx= + + 1raley de kirchhoff


149/220


148

De (2)

22 1.088016.00 VIxV ++=

2 (3)0.00131 ............................Ix V=

(3) en (1):

22 2.0)00131.0(2005 VV +=

2063.05 V=

.57.78.57.780636.0

52 voltVvoltV th ==

=

El circuito equivalente:

2

max

(78.57)43.21

35.71P w atts= =

5/23/2018 CIRCUITOS

Date post:	14-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	anthony-t-rivera
View:	423 times
Download:	0 times

CIRCUITOS ELECTRICOS

Documents