UNIVERSIDAD PRIVADA ALAS PERUANASESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CIRCULO DEMOHR

CICLO:VCURSO:RESISTENCIA DE MATERIALES IDOCENTE:ING. AARON WILBER LINO LIPAALUMNO:Valdez Chura, RuthEspinoza Coayla, Minelly Herrero Suyo, Lizbeth GricelQuispe Coayla, Anyelo ManuelCasilla Ramos, JaimeCoayla Colana, Yuri Johny

INDICE

INTRODUCCION.

CIRCULO DE MOHR.

1. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS1.1 CASO BIDIMENSIONAL.1.2 CASO TRIDIMENSIONAL.2. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

3. ESFUERZOS EN EL ESPACIO.

1.1 EL ESFUERZO ESFERICO.1.2 ROTACION DE PLANOS: PLANOS DE MAXIMO ESFUERZO CONSTANTE.1.3 EL ESTADO DE ESFUERZOS TRIDIMENSIONAL.1.4 ECUACIONES DE TRANSFORMACION DE ESFUERZOS.

RESOLUCION DE PROBLEMAS

INTRODUCCION

El Crculo de Mohr es una de las pocas construcciones graficas en la ingeniera civil que no ha perdido importancia con la introduccin de las calculadoras y las computadores. La razn para esta vigencia se encuentra en la informacin, simultneamente general y detallada, que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniera.

Las aplicaciones de esta construccin grafica tienen su fundamento en las leyes de transformacin de ciertas entidades matemticas llamadas tensores, a las que el crculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Una de sus caractersticas ms importantes es que, aunque se trate de una solucin grfica, su construccin no exige, en la mayora de las aplicaciones, medidas de escala. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonomtricas elementales para obtener ecuaciones de inters en la solucin de algunos problemas propios de la Resistencia de Materiales y de la mecnica de suelos.

CIRCULO DE MOHR

El Crculo de Mohr es una tcnica usada en ingeniera y geofsica para representar grficamente un tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de una circunferencia (radio, centro, etc). Tambin es posible el clculo del esfuerzo cortante mximo absoluto y la deformacin mxima absoluta.

1. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS

1.1 CASO BIDIMENSIONAL

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y tangencial sobre dos ngulos que forman 90:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensin normal () y el eje vertical representa la tensin cortante o tangencial () para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del crculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones mximas y mnimas vienen dados en trminos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener tambin calculando los valores propios del tensor tensin que en este caso viene dado por:

1.2 CASO TRIDIMENSIONALEl caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (, ) caen siempre dentro de una regin delimitada por 3 crculos. Esto es ms complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre una nica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la regin de posibles pares (, ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

2. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Para slidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma tcnica de la circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. Tambin es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las frmulas de clculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son anlogas a las del clculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

3. ESFUERZOS EN EL ESPACIO

Un elemento de material como el indicado en la figura siguiente se encuentra en un estado de esfuerzo triaxial, pues adems de los esfuerzos asociados a las direcciones X y Y aparecen ahora los esfuerzos en la direccin Z.

Estado de los esfuerzos en el espacio

Solo se muestran los esfuerzos sobre lascaras positivas del cubo elemental.

1.1 EL ESFUERZO ESFERICO

Es un estado especial de esfuerzo triaxial en el cual los esfuerzos normales en las direcciones x, y, z son iguales y no existen cortantes. Es claro que estos esfuerzos son esfuerzos principales.Ntesex, y, z = Direccin de los ejes de coordenadas.X, Y, Z = Componentes de esfuerzos paralelos a los ejes x, y, z respectivamente.

Para el estado de esfuerzo esfrico, el esfuerzo cortante es nulo en todos los planos (el circulo de Mohr se convierte en un punto).

1.2 ROTACION DE PLANOS: PLANOS DE MAXIMO ESFUERZO CONSTANTE.

El estado de esfuerzos principales indicados encuentra su representacin grfica en los crculos de Mohr A, B, C.

Interpretacin de los Crculos de Mohr:

Circulo A = rotacin respecto al eje x.Circulo B = rotacin respecto al eje y.Circulo C = rotacin respecto al eje z.

Esfuerzos cortantes mximosCirculo A: Circulo B: Circulo C:

En este caso en particular, el mximo esfuerzo cortante se obtiene en el crculo C.

Los esfuerzos cortantes as obtenidos actan sobre planos de esfuerzos cortantes mximos (o principales). Grficamente:

1.3 EL ESTADO DE ESFUERZOS TRIDIMENSIONAL

El estado de esfuerzos tridimensional no solo consta de esfuerzos normales sino tambin de esfuerzos cortantes, como se muestra en la figura siguiente, donde se supone que todos los esfuerzos (normales y cortantes) son positivos.

Notacin para los esfuerzos cortantes:Ty = Esfuerzo cortante que acta en la cara i del elemento y tiene la direccin del eje j.

Del estado tridimensional de los esfuerzos se concluye que es posible conocer los esfuerzos en cualquier plano que pase por el punto en el cual se quiere obtener los esfuerzos, si se conocen las seis componentes del estado tensional .

1.4 ECUACIONES DE TRANSFORMACION DE ESFUERZOS.

Supngase que se quiera calcular los esfuerzos que se generan en un plano oblicuo cuya direccin en el espacio viene determinada por los cosenos directores de la normal N al plano, es decir por l, m y n.

RESOLUCION DE PROBLEMAS