C.L. Pekeris- A Classical Model of a Roton

8/3/2019 C.L. Pekeris- A Classical Model of a Roton

1/9

PHYSICS: C . L . PEKERIS

A CLASSICAL MODEL OF A ROTONBY C . L . P E K E R I STHE WEIZMANN I N S T r r U T E , REHOVOTH, I S R A E L *

Communicated F e b r u a r y 1 9 , 1 9 5 31 . I n t r o d u c t i o n . - I n h i s t h e o r y o f l i q u i d H e l i u m I I , L a n d a u ' a s s u m e st h a t , i n a d d i t i o n t o t h e p h o n o n s a s s o c i a t e d w i t h c o m p r e s s i o n a l w a v e s , t h el i q u i d p o s s e s s e s a n o t h e r d e g r e e o f f r e e d o m m a n i f e s t e d by v o r t e x m o t i o n . ,The v o r t e x m o t i o n h e a s s u m e s t o b e q u a n t i z e d , a n d h e a p p l i e s t o i t t h e

t e r m r o t o n s . S i n c e t h e a n g u l a r m o m e n t u m o f a r o t o n c a n n o t b e a r b i -t r a r i l y s m a l l , b u t m u s t b e o f t h e o r d e r o f h , h e c o n c l u d e s t h a t b e t w e e n t h eg r o u n d s t a t e o f t h e p h o n o n s a n d t h a t o f t h e r o t o n s t h e r e i s a n e n e r g y - g a pA . From d i m e n s i o n a l c o n s i d e r a t i o n s i t f o l l o w s 2 t h a t

A p ' / ' h 2 m H j / , H ( 1 )w h i c h i s o f t h e o r d e r o f 1 k , w h e r e k i s B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t . He i s t h u sl e d t o t h e a s s u m p t i o n t h a t f o r s m a l l v a l u e s o f t h e m o m e n t u m p o f t h e r o t o n ,t h e e n e r g y o f t h e r o t o n E i s g i v e n b y

E = A + p 2 / 2 A , ( 2 )w h e r e , u i s a n e f f e c t i v e mass o f t h e r o t o n . Th e v a l u e s o f A a n d 1 s h e d e t e r -m i n e d e m p i r i c a l l y u s i n g Keesom a n d K e e s o m ' s 3 d a t a o n t h e s p e c i f i c h e a to f H e l i u m I I , o b t a i n i n g

A / k = 8-9, = 7-mHe. ( 3 )S u b s e q u e n t m e a s u r e m e n t s o f t h e v e l o c i t y o f s e c o n d s o u n d b y P e s h k o v 4h a v i n g s h o w n t h a t j , v a r i e s w i t h t e m p e r a t u r e , L a n d a u 5 m o d i f i e d e x p r e s s i o n( 2 ) t o t h e f o r m E=A+(p-po)2/2s, ( 4 )w i t hA / k = 9 . 6 0 , p o = 2 . 0 6 X 1 0 - 1 9 , , = 0 . 7 7 m H e = 5 . 2 X 1 0 - 2 4 g . ( 5 )K h a l a t n i k o v 6 h a s r e ev a lu a t e d t h e s e c o n s t a n t s , u s i n g m o r e r e c e n t measure-m e n t s o f s p e c i f i c h e a t a n d v e l o c i t y o f s e c o n d s o u n d i n H e l i u m I I , o b t a i n i n gA = ( 8 . 9 4 0 . 2 ) 0 , P o = ( 2 . 1 4 0 . 0 5 ) X 1 0 - 1 9 , , = ( 1 . 7 2 4 0 . 6 8 ) X 1 0 - 2 4 g .( 6 )I t w o u l d s e e m f r o m L a n d a u ' s e x p r e s s i o n s f o r t h e t h e r m o d y n a m i c f u n c t i o n st h a t p i n ( 4 ) d e n o t e s I j P I2 . H i c k s S p h e r i c a l V o r t e x . - I n a t t e m p t i n g t o c o n s t r u c t a m o d e l o f a r o t o no n e m e e t s w i t h t h e d i f f i c u l t y t h a t s o f a r i t h a s n o t b e e n d e m o n s t r a t e d t h a t

V O L . 3 9 , 1 9 5 3 4 4 3


2/9


v o r t e x m o t i o n c a n h a v e a w a v e - c h a r a c t e r a n a l o g o u s t o s o u n d p r o p a g a t i o ni n t h e c a s e o f p h o n o n s . T h e p i c t u r e o f i s o l a t e d v o r t e x l i n e s , w h i c h a r ec o n s e r v e d b y t h e f l u i d p a r t i c l e s a l o n g t h e i r p a t h , i s a l s o n o t a c c e p t a b l es i n c e i t i n v o l v e s s i n g u l a r i t i e s i n t h e v e l o c i t i e s a n d i n t h e p r e s s u r e o n t h ev o r t e x l i n e s . A v o r t e x r i n g w i t h f i n i t e v e l o c i t i e s e v e r y w h e r e p r o v i d e s ac l a s s i c a l m o d e l o f a n i s o l a t e d s y s t e m e n d o w e d w i t h k i n e t i c e n e r g y o f v o r t i c a lo r i g i n . H o w e v e r , i n a n o r d i n a r y v o r t e x r i n g t h e r e i s n o n e t a n g u l a r momen-t u m , w h i c h o n e w o u l d l i k e t o a t t r i b u t e t o a r o t o n . I f t h e p a t h o f a p a r t i c l ei n a v o r t e x r i n g w e r e n o t l i m i t e d t o o n e m e r i d i o n a l p l a n e , b u t w e r e a s p i r a lc o i l e d a r o u n d t h e s u r f a c e o f a t o r u s , t h e s y s t e m w o u l d p o s s e s s a n a n g u l a rmomentum. T h i s i s a c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e o f t h e s p h e r i c a l v o r t ex d e -s c r i b e d b y H i c k s . 7I t w i l l b e h e l p f u l t o c o n s i d e r f i r s t t h e m o t i o n i n d u c e d i n a n i d e a l i n c o m -p r e s s i b l e f l u i d b y a r i g i d s p h e r e a d v a n c i n g w i t h c o n s t a n t v e l o c i t y U . Them o t i o n i s i r r o t a t i o n a l a n d i s d e r i v e d f r o m a s t r e a m - f u n c t i o n , o .

# 0 = , r U s i n 2 9 [ ( a g / r ) - r 2 ] , ( 7 )U r = ( 1 / 2 , r r 2 s i n 9 ) ( b 4 / b 9 ) ; u 9 = - ( 1 / 2 i r r s i n 0 ) ( 4 , b / 4 3 r ) , u , = 0 .( 8 )H e r e we h a v e u s e d a s y s t e m o f c o o r d i n a t e s w i t h o r i g i n a t t h e c e n t e r o f t h es p h e r e . At g r e a t d i s t a n c e s f r o m t h e s p h e r e t h e l i q u i d m o v e s p a s t t h es p h e r e w i t h c o n s t a n t v e l o c i t y U f r o m t h e d i r e c t i o n 9 = 0 t o w a r d 9 = r .To o b t a i n t h e m o t i o n w h e n t h e l i q u i d i s a t r e s t a t i n f i n i t y , t h e r 2 t e r m i n( 7 ) i s t o b e d r o p p e d . T h e f l u i d m o t i o n p r o d u c e s a v a r i a b l e p r e s s u r e o n t h es u r f a c e o f t h e s p h e r e w h i c h i s p o s i t i v e a t t h e p o l e s a n d r ea c h es a m a x i m u mn e g a t i v e v a l u e o n t h e e q u a t o r .I f t h e r i g i d s p h e r e w e r e n ow r e p l a c e d b y t h e l i q u i d , t h e l a t t e r w o u l d b es e t i n t o i n t e r n a l m o t i o n d u e t o t h e v a r i a b l e p r e s s u r e p r o d u c e d b y t h el i q u i d o u t s i d e t h e s p h e r e . O n e m a y i n q u i r e w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o f i n da m o t i o n o f t h e l i q u i d i n s i d e t h e s p h e r e w h i c h s h a l l b e c o n t i n u o u s , a n d w h i c ha t t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e s h a l l m a t c h t h e v e l o c i t i e s a n d p r e s s u r e s i n t h ef l u i d o u t s i d e . T h a t t h i s i s p o s s i b l e w a s d e m o n s t r a t e d b y H i l l . 8 I n H i l l ' ss p h e r i c a l v o r t e x t h e m o t i o n i n s i d e t h e s p h e r e i s i n m e r i d i o n a l p l a n e s , l i k ei n a v o r t e x r i n g . The s y s t e m h a s n o a n g u l a r m o m e n t u m .I n t h e H i c k s 7 s p h e r i c a l v o r t e x t h e f l u i d i n s i d e t h e s p h e r e h a s a l s o al o n g i t u d i n a l c o m p o n e n t o f v e l o c i t y . Th e m e r i d i o n a l c o m p o n e n t s o f v e l o c -i t y a r e s t i l l d e r i v a b l e f r o m a s t r e a m - f u n c t i o n & b y t h e r e l a t i o n s g i v e n i n( 8 ) , b u t 4 ' n o w h a s t h e f o r m

= A s i n 2 9 [ ( s i n X x / X x ) - c o s Xv- x 2 J ' ] p ( 9 )x = r / a , J ' = [ ( s i n , / X ) - c o s A ] , ( 1 0 )

A = ( 3 M / 4 p a 2 X ) / s ( X ) ; s ( X ) = [ ( s i n S)X]

4 4 4 P R O C . N . A . S .


3/9

PHYSICS: C . L . PE K E R IS

a n d t h e r e i s a l o n g i t u d i n a l c o m p o n e n t o f v e l o c i t y u . = X 4 / ' / 2 r a r s i n 0 .H e r e X i s a d i m e n s i o n l e s s p a r a m e t e r , a n d M i s t h e i n t e g r a l o f t h e a n g u l a rm o m e n t u m o v e r t h e s p h e r eM= 2 T f a r 3 d r J s i n 2 A u , , d @ . ( 1 2 )

T h i s i s a l s o t h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m . o f t h e s y s t e m , s i n c e o u t s i d e t h es p h e r e t h e m o t i o n i s r e p r e s e n t e d by ( 7 ) a n d ( 8 ) , w i t h u . v a n i s h i n g . Ont h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e u . v a n i s h e s , a n d t h e c o m p o n e n t s U r a n d u 0 m a t c ht h e v a l u e s o f t h e p o t e n t i a l m o t i o n o u t s i d e . The p r e s s u r e i s t h e r e f o r e a l s oc o n t i n u o u s . The v e l o c i t y o f a d v a n c e U o f t h e s p h e r e r e l a t i v e t o t h e f l u i da t i n f i n i t y i s g i v e n b yU = U o q ( X ) ; U o = ( 3 M / 4 i r p a 4 ) ; q ( X ) =[ ( J ' / X ) - ( 1 / 3 ) s i n X ] / s ( X ) . ( 1 3 )C o m p u t i n g t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e f l u i d , b o t h o u t s i d e a n d i n s i d e t h es p h e r e , i n a c o o r d i n a t e s y s t e m i n w h i c h t h e f l u i d i s a t r e s t a t i n f i n i t y , weg e t

E = E o L ( X ) , E o = ( 9 M 2 / 1 6 w r p a r ) , ( 1 4 )L ( X ) J 2J 2- si n X J ' + 4 s i n 2 X ] / s 2 ( X ) . ( 1 5 )

W i t h a g i v e n v a l u e o f t h e p a r a m e t e r X o n e c a n c o m p u t e q ( X ) a n d L ( X )f r o m ( 1 3 ) a n d ( 1 5 ) , a n d t h u s o b t a i n a r e l a t i o n b e t w e e n e a n d v , w h e r e

( e = E / E o , V = U / U o . ( 1 6 )I n t h i s wa y o n e o b t a i n s t h e d e p e n d e n c e o f t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m o n t h em o m e n t u m f o r a g i v e n v a l u e o f t h e a n g u l a r momentum M. F o r s m a l lv a l u e s o f X , U i s l a r g e , a n d s i n c e M i s f i x e d , t h i s means t h a t t h e e n e r g y i sp r e d o m i n a n t l y n o n - r o t a t i o n a l . e i s t h e n p r o p o r t i o n a l t o v 2 . As X i s i n -c r e a s e d , t h e e n e r g y g o e s t h r o u g h a m i n i m u m , a s s h o w n i n f i g u r e 1 .We n o t i c e t h a t f o r v = 0 , e i s n o t z e r o b u t i s e q u a l t o 1 0 . T h i s c o r r e -

s p o n d s t o t h e v a l u e X = 5 . 7 6 , when t h e n u m e r a t o r o f q ( X ) v a n i s h e s . F o rt h i s v a l u e o f t h e p a r a m e t e r w e h a v e a s p h e r i c a l v o r t e x w h i c h i s s t a t i o n a r yi n t h e f l u i d . On t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e a l l t h r e e c o m p o n e n t s o f v e l o c i t yv a n i s h , a n d w i t h t h e m t h e d y n a m i c p r e s s u r e . T h e r e i s n o m o t i o n o u t s i d et h e s p h e r e . At p o i n t s o u t s i d e t h e s p h e r e t h e r e i s t h e r e f o r e no wa y o f t e l l -i n g o f t h e e x i s t e n c e o f t h e v o r t e x .F o r X up t o 5 . 7 6 t h e r e i s o n e r i n g , o f r a d i u s l e s s t h a n a , l y i n g i n t h e e q u a -t o r i a l p l a n e w h i c h t h r e a d s t h r o u g h a l l t h e t r a j e c t o r i e s . L o o k i n g a t t h ev o r t e x a l o n g t h e d i r e c t i o n o f a d v a n c e U , t h e f l u i d moves f o r w a r d i n s i d e t h i sr i n g w h i l e i t r e g r e d e s o u t s i d e . The l o n g i t u d i n a l m o t i o n i s s u c h t h a t t h em o m e n t u m v e c t o r M i s d i r e c t e d a l o n g U .

V O L . 3 9 , 1 9 5 3 4 4 5


4/9


As X i s i n c r e a s e d b e y o n d 5 . 7 6 , U b e c o m e s n e g a t i v e r e l a t i v e t o t h e d i r e c -t i o n o f t h e m o m e n t u m v e c t o r M. What h a p p e n s i s t h a t f r o m t h e s u r f a c eo f t h e s p h e r e d own t o a c e r t a i n d e p t h t h e r e a p p e a r s a s h e l l w i t h a s e c o n de q u a t o r i a l r i n g w h i c h i s t h r e a d e d i n a d i r e c t i o n o p p o s i t e t o t h a t o f t h e e q u a -t o r i a l r i n g i n t h e n u c l e u s . Th e l o n g i t u d i n a l m o t i o n i n t h e s h e l l i s o p p o s e dt o t h a t i n t h e n u c l e u s , b u t t h e n e t a n g u l a r m o m e n t u m f o r t h e w h o l e s p h e r e

- 4 6

- 4 4

- 3 83 6- 3 4- 3 2- 3 0- o8

- I u O 2 6" ' 2 4t 2 2

- 2 0- 1 61 4

. 1 21 0

. 6- 4. 2 V a U / u 0

- 3 - 2 - 1 0 2 3 4 5 6FIGURE 1E n e r g y E o f a H i c k s s p h e r i c a l v o r t e x a s a f u n c t i o n o f

t h e v e l o c i t y U f o r a g i v e n v a l u e o f t h e a n g u l a r m o m e n t u mM i n t h e f i r s t m o d e . E o = ( 9 M / l 1 6 r p a 5 ) , U o = ( 3 M / -4 7 r p a 4 ) , a = r a d i u s o f s p h e r e .

i s s t i l l o f t h e s i g n o f t h e a n g u l a r m o m e n t u m i n t h e n u c l e u s . Th e m o t i o ni n s i d e t h e e q u a t o r i a l r i n g o f t h e n u c l e u s r e g r e d e s r e l a t i v e t o t h e d i r e c t i o n o fa d v a n c e .The e n e r g y c u r v e s h o w n i n f i g u r e 1 we s h a l l r e f e r t o a s t h e f i r s t m o d e .As X i s f u r t h e r i n c r e a s e d , o n e f i n d s h i g h e r m o d e s , t h e f i r s t t h r e e b e i n g s h o w ni n f i g u r e 2 . T h e y a l l c r o s s t h e e - a x i s a t t h e v a l u e 1 0 . E a c h c u r v e h a s a

4 4 6 P R O C . N . A . S .


5/9


m i n i m u m a t s o m e p o s i t i v e v a l u e v , n * n , a n d V i n . d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n go r d e r o f t h e m o d e . F o r p o s i t i v e v t h e f i r s t m o d e l i e s b e l o w a l l t h e h i g h e ro n e s , w h i l e f o r n e g a t i v e v i t i s a b o v e a l l t h e h i g h e r m o d e s .

E n e r g y E o f a H i c k s s p h e r i c a l v o r t e x a s a f u n c t i o n o f t h e v e l o c i t yU f o r a g i v e n y a l u e o f t h e a n g u l a r m o m e n t u m M i n t h e f i r s t t h r e em o d e s . E o = ( 9 M 2 / 1 6 T r p a 5 ) , U o = ( 3 M / 4 r r p a 4 ) , a = r a d i u s o fs p h e r e .

N e a r t h e m i n i m u m we c a n w r i t eL = a + 1 ( q -q o ) 2 , ( 1 7 )

q Q ( 1 ) = 0 . 8 4 2 . ( 1 8 )

V O L . 3 9 , 1 9 5 3 4 4 7

a , = 7 . 9 0 5 , 1 i = 2 . 7 7 8 ,


6/9


F o r l a r g e v a l u e s o f t h e o r d e r o f t h e mode nc a 1 0 - ( 5 . 7 / n 2 ) , X - - 4 ( 1 - 0 . 4 6 / n 2 ) , q o - - 1 . 2 / n . ( 1 9 )T h e a b o v e d i s c u s s i o n a p p l i e s t o p o s i t i v e v a l u e s o f X . F o r n e g a t i v e v a l u e so f X we h a v e a n o t h e r H i c k s s p h e r i c a l v o r t e x w h i c h d i f f e r s f r o m t h e o n e

c o r r e s p o n d i n g t o p o s i t i v e v a l u e s o f X o n l y t h r o u g h t h e r e v e r s a l o f t h es e n s e o f l o n g i t u d i n a l m o t i o n . T h e m o d e s a r e t h e r e f o r e d o u b l y d e g e n e r a t e .3 . A p p l i c a t i o n s t o R o t o n s . - I n t h e f o l l o w i n g we s h a l l i n v e s t i g a t e t h e e x -t e n t t o w h i c h t h e H i c k s s p h e r i c a l v o r t e x d e s c r i b e d a b o v e c a n b e a d o p t e da s a m o d e l f o r r o t o n s . P e n d i n g a n i n v e s t i g a t i o n o f t h e s t a b i l i t y o f t h ev a r i o u s m o d e s o f t h e s p h e r i c a l v o r t e x , we s h a l l c o n s i d e r o n l y t h e f i r s t m o d ef o r w h i c h t h e d e p e n d e n c e o f e n e r g y o n v e l o c i t y o f a d v a n c e o f t h e v o r t e xi s s h o w n i n f i g u r e 1 . F o r l o w t e m p e r a t u r e s t h e p o r t i o n o f t h e c u r v e n e a rt h e m i n i m u m i s d e c i s i v e , s o t h a t we c a n r e p r e s e n t t h e e n e r g y E o f a r o t o nb y

E ( 9 M 2 / 1 6 7 r p a 5 ) [ a + , B ( q - q o ) 2 ] , ( 2 0 )w i t h t h e v a l u e s o f a , , B , a n d q o g i v e n i n ( 1 8 ) . We w i s h t o d e t e r m i n e t h ee n e r g y a s a f u n c t i o n o f t h e m o m e n t u m o f a d v a n c e p o f t h e v o r t e x . T h e e f -f e c t i v e m a s s o f t h e v o r t e x i s r e p r e s e n t e d b y t h e mass m o f t h e f l u i d i n s i d et h e s p h e r e a n d b y t h e i n d u c e d m a s s i n t h e f l u i d o u t s i d e t h e s p h e r e .Th e l a t t e r i s ( ' / 2 ) m . H e n c e

P = ( 3 / 2 ) M U = ( 3 M / 2 a ) q . ( 2 1 )S u b s t i t u t i n g i n t o ( 2 0 ) w e g e t

E = A + ( p - p o ) ? / 2 j . u ( 2 2 )A = ( 9 M 2 a / 1 6 7 r p a 5 ) , A = ( 3 m / 2 # ) , P o = ( 3 M / 2 a ) q o . ( 2 3 )E q u a t i o n ( 2 2 ) i s o f t h e s a m e f o r m a s t h e o n e a d o p t e d b y L a n d a u . How-e v e r , w h e r e L a n d a u h a s t o d e t e r m i n e t h e t h r e e c o n s t a n t s A , , u , a n d P o f r o . nt h e o b s e r v a t i o n s , we h a v e o n l y t w o i n d e p e n d e n t c o n s t a n t s a t o u r d i s p o s a l :t h e a n g u l a r m o m e n t u m M a n d t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e a .A d o p t i n g e q u a t i o n ( 2 2 ) f o r t h e e n e r g y o f a r o t o n , we c a n d e t e r m i n e t h et h e r m o d y n a m i c f u n c t i o n s f r o m t h e f r e e e n e r g y F

F = + ( k T / p ) ( 8 T r / h 3 ) f , l n { 1 F e x p [ - E ( p ) / k T ] } p 2 d p . ( 2 4 )H e r e t h e u p p e r s i g n s r e f e r t o B o s e - E i n s t e i n , a n d t h e l o w e r s i g n s t o F e r m i -D i r a c s t a t i s t i c s . A f a c t o r o f 2 w a s i n t r o d u c e d b e c a u s e o f t h e d o u b l e -d e g e n e r a c y. B e c a u s e o f t h e l a r g e v a l u e o f A / k T , t h e e x p o n e n t i a l t e r mi n t h e i n t e g r a l i s v e r y s m a l l , s o t h a t t h e t y p e o f s t a t i s t i c s d o e s n o t m a t t e r .F o r p o s i t i v e X t h e i n t e g r a t i o n f r o m 0 t o o a p p l i e s t o v o r t i c e s w h o s e a n g u l a rm o m e n t u m M p o i n t s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e v e l o c i t y o f a d v a n c e U , w h i l et h e i n t e g r a t i o n f r o m - t o 0 a p p l i e s t o v o r t i c e s i n w h i c h Mi s a n t i - p a r a l l e l

4 4 8 P R O C . N . A . S .


7/9


t o U . The o p p o s i t e i s t r u e f o r n e g a t i v e v a l u e s o f X . S u b s t i t u t i n g ( 2 2 )i n t o ( 2 4 ) , we g e tF = - ( 4 k T / p h 3 ) ( 2 i r k , A T ) 3 I 2 e - X ( C o x + 1 ) . ( 2 5 )

P n / P = - ( 8 r / 3 h 3 p ) p 4 d p [ e x p ( E / k T ) 1 -1( 4 A / p h 3 ) ( 2 7 q k T ) 3 / 2 e ' [ 1 + 2 X x + w 2 x 2 / 3 ] . ( 2 6 )

S= -aF/aT = ( 4 k / p h 3 ) ( 2 7 r k , . T ) ' / 2 e - x [ w x ( 1 . 5 + x ) + 2 . 5 + x ] . ( 2 7 )C r = TaS/aT = ( 4 k / p h 3 ) ( 2 i r k , T ) 3 / 2 e - x [ w x ( 0 . 7 5 +'x + x 2 ) +( 3 . 7 5 + 3 x + X 2 ) ] , ( 2 8 )w h e r e S J d e n o t e s t h e e n t r o p y o f r o t o n s , c r t h e s p e c i f i c h e a t o f r o t o n s , P n t h ed e n s i t y o f t h e " n o r m a l f l u i d , " a n d

x = ( A / k T ) ; C = 2 q o 2 f l / a = 0 . 4 9 8 . ( 2 9 )The s p e c i f i c h e a t a n d e n t r o p y o f H e l i u m I I h a v e r e c e n t l y b e e n m e a s u r e db y K r a m e r s , W a s s c h e r , a n d G o r t e r , 9 a n d a r e g i v e n i n t a b l e 1 . V a l u e s o f

TABLE 1 .THERMODYNAMIC F U N C T I O N S O F HELIUM I I

S r = S - 0 . 0 0 7 8 T 3 , c r = c - 0 . 0 2 3 5 T 3 . I n t h e c o m p u t e d v a l u e s t h e f o l l o w i n g c o n -s t a n t s w e r e u s e d : M= 1 . 5 h , a = 3 . 1 9 X 1 0 - 8 c m . , m = 2 . 9 4 m H e , A = 8 . 9 3 k .

S , S r , S r , C , C r , C r ,JOULE/ JOULE/ JOULE/ JOULE/ JOULE/ JOULE/G . D E G . , G. DEG., G . D E G . G . DBG., G . DEG., G . DEG.,T, - K . OBS. OBS. COMP. OBS. OBS. COMP.0 . 6 0 0 . 0 0 1 6 9 0 . 0 . 0 . 0 0 5 1 0 . 0 0 0 0 0 . 0 0 0 40 . 7 0 0 . 0 0 2 7 6 0 . 0 . 0 0 0 2 1 0 . 0 0 9 8 0 . 0 0 1 7 0 . 0 0 2 60 . 8 0 0 . 0 0 4 7 5 0 . 0 0 0 7 5 0 . 0 0 1 0 3 0 . 0 2 2 2 0 . 0 1 0 2 0 . 0 1 0 90 . 9 0 0 . 0 0 8 8 5 0 . 0 0 3 1 5 0 . 0 0 3 3 5 0 . 0 5 1 0 0 . 0 3 3 9 0 . 0 3 2 61 . 0 0 0 . 0 1 6 8 0 . 0 0 9 0 0 . 0 0 8 9 0 . 1 0 4 2 0 . 0 8 0 7 0 . 0 7 8 01 . 1 0 0 . 0 3 0 4 0 . 0 2 0 1 0 . 0 1 9 8 0 . 1 9 1 0 . 1 6 0 0 . 1 5 81 . 2 0 0 . 0 5 2 3 0 . 0 3 8 6 0 . 0 3 8 5 0 . 3 2 2 0 . 2 8 1 0 . 2 8 41 . 3 0 0 . 0 8 5 3 0 . 0 6 8 0 0 . 0 6 7 9 0 . 5 1 6 0 . 4 6 4 0 . 4 6 31 . 4 0 0 . 1 3 2 0 . 1 1 1 0 . 1 1 1 0 . 7 8 0 0 . 7 1 5 0 . 7 0 31 . 5 0 0 . 1 9 7 0 . 1 7 1 0 . 1 6 9 1 . 1 2 7 1 . 0 4 8 1 . 0 0 81 . 6 0 0 . 2 8 4 0 . 2 5 2 0 . 2 4 6 1 . 5 7 2 1 . 4 7 6 1 . 3 7 91 . 7 0 0 . 3 9 5 0 . 3 5 7 0 . 3 4 2 2 . 1 1 1 . 9 9 5 1 . 8 1 71 . 8 0 0 . 5 3 5 0 . 4 9 0 0 . 4 6 0 2 . 8 0 2 . 6 6 2 . 3 21 . 9 0 0 . 7 0 9 0 . 6 5 5 0 . 6 0 0 3 . 6 3 3 . 4 7 2 . 8 92 . 0 0 0 . 9 2 9 0 . 8 6 7 0 . 7 6 4 4 . 9 5 4 . 7 6 3 . 5 12 . 0 5 1 . 0 6 1 0 . 9 9 4 0 . 8 5 5 5 . 8 2 5 . 6 2 3 . 8 52 . 1 0 1 . 2 1 5 1 . 1 4 3 0 . 9 5 2 6 . 9 2 6 . 7 0 4 . 2 02 . 1 5 1 . 4 0 1 . 3 2 1 . 0 5 8 . 6 1 8 . 3 8 4 . 5 62 . 1 8 1 . 5 3 1 . 4 5 1 . 1 2 1 1 . 6 1 1 . 4 4 . 7 82 . 1 8 6 1 . 5 7 1 . 4 9 1 . 1 3 1 4 . 3 1 4 . 1 4 . 8 3

V O L . 3 9 , 1 9 5 3 4 4 9


8/9


P n / c a n b e t a k e n f r o m t h e d i r e c t m e a s u r e m e n t s o f A n d r o n i k a s h v i l l i , ' 0 o rc a n b e d e r i v e d f r o m t h e m e a s u r e d v a l u e s o f t h e v e l o c i t y o f s e c o n d s o u n d .The v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s Ma n d a w h i c h we a r e s e e k i n g h a v e t h e r e f o r et o s t a n d t h e t e s t o f f i t t i n g t h r e e s e t s o f e s s e n t i a l l y i n d e p e n d e n t t y p e s o f e x -p e r i m e n t a l d a t a . W e s h a l l d e t e r m i n e t h e m b y f i t t i n g t h e e n t r o p y m e a s -u r e m e n t s . On p l o t t i n g l n S r a g a i n s t 1 / T , o n e f i n d s t h a t , e x c e p t a t t h ee n d s o f t h e t e m p e r a t u r e r a n g e , t h e r e l a t i o n s h i p i s l i n e a r , w i t h a s l o p e c o r -r e s p o n d i n g t o

A / k = 8 . 9 3 . ( 3 0 )We n o w a s s u m e t h e a n g u l a r m o m e n t u m t o b e q u a n t i z e d

M = 1 k , A = 9 M 2 a / 1 6 7 p a 5 = 9 1 ( 1 + 1 ) h 2 a / 1 6 7 r p a . ( 3 1 )W i t h A k n o w n , w e c a n e x p r e s s a i n t e r m s o f 1 ( 1 + 1 ) , a n d s i m i l a r l y , u( = 2 7 p a 3 / ( l ) . S u b s t i t u t i n g t h e l a t t e r i n ( 2 7 ) , we d e t e r m i n e I b y f i t t i n gw i t h t h e o b s e r v e d v a l u e o f S , a t 1 . 5 0 . Th e a g r e e m e n t i s o b t a i n e d a t I =1 . 5 . From ( 3 1 ) i t n o w f o l l o w s t h a t a = 3 . 1 9 X 1 0 - 8 c m . , l e a d i n g t o t h ev a l u e sm = 2 . 9 4 m H e , u = 1 . 5 9 m H H e , P o = 5 . 9 4 X 1 0 7 h = 6 . 2 6 X 1 0 , 2 0 ( 3 2 )Sr= 1 . 1 6 T h / 2 e - x [ 0 . 4 9 8 x ( 1 . 5 + x ) + 2 . 5 + x ] j o u l e / g . d e g . ;x = ( 8 . 9 3 / T ) , ( 3 3 )C r - 1 . 1 6 T ' / ! e - z [ 0 . 4 9 8 x ( 0 . 7 5 + X + X 2 ) + 3 . 7 5 + 3 x + x 2 ] j o u l e / g . d e g . ,

( 3 4 )P n / p = 0 . 8 9 6 T 3 / 2 e - x ( 1 + 0 . 9 9 5 x + 0 . 0 8 2 6 X 2 ) . ( 3 5 )

I t w i l l b e s e e n f r o m t a b l e 1 t h a t , e x c e p t n e a r t h e l a m b d a p o i n t s , t h e a g r e e -ment b e t w e e n c o m p u t e d a n d o b s e r v e d v a l u e s o f S , i s s a t i s f a c t o r y . T h eo b s e r v e d c , a g r e e w i t h t h e c o m p u t e d v a l u e s b e l o w 1 . 8 0 0 , b u t a b o v e t h a tt e m p e r a t u r e t h e t w o d e v i a t e m a r k e d l y . The c o m p u t e d v a l u e s o f p n / pa r e t o o l o w b y a f a c t o r o f a b o u t 3 . I n c o m p a r i n g o u r c o m p u t e d v a l u e sw i t h t h o s e o b t a i n e d b y t h e u s e o f K h a l a t n i k o v ' s p a r a m e t e r s g i v e n i n e q u a -t i o n ( 6 ) , w e f i n d t h a t t h e l a t t e r a r e i n b e t t e r a g r e e m e n t f o r P n / p , a n d a r ea b o u t t h e same f o r c r a n d S r . O u r v a l u e s a r e o f c o u r s e o n l y p r e l i m i n a r y ,p e n d i n g a n i n v e s t i g a t i o n o f t h e s t a b i l i t y o f t h e v a r i o u s m o d e s , a n d o f t h er o l e o f t h e h i g h e r m o d e s , w h o s e c o n t r i b u t i o n we h a v e n e g l e c t e d .4 . D i s c u s s i o n . - I t i s n o t p r o p o s e d t h a t t h e c l a s s i c a l s p h e r i c a l v o r t i c e sd i s c u s s e d i n t h i s p a p e r r e s e m bl e c l o s e l y t h e r o t o n s i n H e l i u m I I , w h i c hp r e s u m a b l y owe t h e i r o r i g i n t o p u r e l y quantum e f f e c t s . I t i s s u g g e s t e d ,h o w e v e r , t h a t c e r t a i n f e a t u r e s e x h i b i t e d by t h e s e v o r t i c e s w i l l s u r v i v e i nt h e r o t o n t h e o r y o f t h e f u t u r e : ( 1 ) t h e a n g u l a r m o m e n t u m o f a v o r t e x i sc o l i n e a r w i t h i t s m o m e n t u m ; ( 2 ) a v o r t e x c a n h a v e a f i n i t e e n e r g y w i t h

4 5 0 P R O C . N . A . S .


9/9

V O L . 3 9 , 1 9 5 3 PHYSICS: C . L . PEKERIS 4 5 1

z e r o m o m e n t u m, d u e t o i t s a n g u l a r m o m e n t u m ; ( 3 ) a v o r t e x h a s a m i n i -mum e n e r g y a t s o m e n o n - z e r o v a l u e o f m o m e n t u m .* P a r t o f t h i s w o r k w a s d o n e a t t h e I n s t i t u t e f o r Advanced S t u d y i n t h e F a l l o f 1 9 5 2 .' L a n d a u , L . , J . P h y s . U . S . S . R . , 5 , 7 1 ( 1 9 4 1 ) .2 I b i d . , p . 7 5 . D i n g l e , R . B . , P h i l . M a g . S u p p i . 1 , 1 3 0 ( 1 9 5 2 ) .3 K e e s o m , W. H . , a n d K e e s o m , A . P . , L e i d e n C o m m . S u p p i . , 8 0 b ( 1 9 3 6 ) .4 P e s h k o v , V . , J . P h y s . U . S . S . R . , 1 0 , 3 8 9 ( 1 9 4 6 ) .6 L a n d a u , L . , I b i d . , 1 1 , 9 1 ( 1 9 4 7 ) .6 K h a l a t n i k o v , I . M . , J . E x p . T h e o r e t . P h y s . U . S . S . R . , 2 3 , 2 8 ( 1 9 5 2 ) .7 H i c k s , W . M . , P h i l . T r a n s . R o y . S o c . , A 1 9 2 , 3 3 ( 1 8 9 9 ) .8 H i l l , M. J . M . , I b i d . , A 1 8 5 , 2 1 3 ( 1 8 9 4 ) . L a m b , H . , H y d r o d y n a m i c s , D o v e r P u b l i -c a t i o n s , Ne w Y o r k , 1 9 4 5 , p . 2 4 5 .9 K r a m e r s , H . C . , W a s s c h e r , J . D . , a n d G o r t e r , C . J . , P h y s i c a , 1 8 , 3 2 9 ( 1 9 5 2 ) .1 0 A n d r o n i k a s h v i l l i , E . , J . P h y s . U . S . S . R . , 1 0 , 2 0 1 ( 1 9 4 6 ) .

Date post:	06-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	plamcfe
View:	220 times
Download:	0 times

C.L. Pekeris- A Classical Model of a Roton

Documents