+ All Categories
Home > Documents > Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª «...

Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª «...

Date post: 27-Apr-2020
Category:
Upload: others
View: 2 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
48
Transcript
Page 1: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä
Page 2: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � ��

� � � � � � � � �� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � ! " # � � " �$ % & ' ( ) ) & % & ' $ * + ) , - ) . / 0 , 1 2 ) , 3 & 4 5 , % 6 7 0 , 89 � # # : ; < = " �> ? @ ( $ % & ' ( ) ) & % & ' $ * + ) , - ) A / 0 , 1 2 ) , @ + & ' B ? C D 8 0 E

F G H I J H K L MN O P P Q R S T P U V W X Y Z [ \ ] [ ^ _ ` [ a [ b c ^ d e f ] g h i j ^ k l m n o p q r i s t u ^ v w r q x y z o{ a | y } ~ � � 7 a p b � � ^ � � � n o ] � � � � l k � � � � � �� � � � �

Page 3: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

  ¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ § ¨ ©ª «

¬­ § ® ¯ ° ± ² ³ ´µ ¶ · ® ¸ ³ ¹

º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä Å Æ Ã Ç Ã È É Ê Ë Ì Í Î Ï Ê Ð Ñ Ì È Ã Í Ã Ò Ó È É Ô Õ Ì Ç Ã Ì Ô È Ì Ñ Ö Ç Õ Ì × Ã Ø Ù É Â Ì É Ñ Ö Ç Ç Ô Ö È ÚÌ × Í Ô Ñ Ã Ä Û Ô Í Ü Ò Ã Ý Ë

Þ «ß§ ® ¯ ° ± ² ³ ´à á â¬

ãàá ä

å ¶ æ ç ¶ ® ¯ è éêº » ¼ ½ ¾ ¿ ë ì × Ô È É Ô Ü Ç í Ì É Â î Ä Ã ï Ê È Ã Ñ Ì È Ô í Ã È Ñ Ü Ç Õ Ì × Ã ð Ë ì Í Ê Ð È Ã Ê Ë È É Ã ñ Ç Ì Í Ì ò Ô Ü È Ä É Â Ã

í Ì É Â î Ì È Ä Ì Ñ Ü Ç ó Ì × Ã Ê Ë È É Ã ñ Ç Ì Í Ô Û Ã Ç É Â Ã Ñ Ü Ç Õ Ì × Ã ð Å Ñ Ç Ã ô Ü Ê Ë Ç Ã Ä Õ Ô Ç õ É Ô ö Ã Ñ ÷ ÑÉ Â Ã Ô Ç Ã Ò Ë

ø Ë ù ú û ü Ó ý þ ÿ ù � � ü � Ó � � � � Ó � � � Ó � � ÿ � � û � Ó ý � � Ó � ù � û � ÿ � Ë û � ú � ÿ � ù ù ù ÿ � ý � � û � Ó ù � ù� ú Ó û � Ó � ù ú ÿ � Ó � Ë ý Ó ÿ ü ü � � � ÿ � � û � ø Ë � � Ó � � û � � ÿ � � � � � ù Ë � � ÿ ý ý � � � û � � û � Ó � ú ÿ � � � ù �� Ó � ÿ � Ó ÿ � ù û � ù Ó � � � � � Ó � Ó � � � û � ÿ � � Ó � � � ÿ ü ü � ø Ë � ÿ � û � ù ÿ � ý ø Ë � ü û � Ó � � ø Ë ÿ � � ú Ó û � Ë

� � � � � !½ ¾ ½ " # Å È Ä É Â Ã É Ç Ì È Ñ Õ Ô $ Ì % Ð Ô È Ò Ì É Ç Ê Ë & É Â Ì É Ç Ô É Ì É Ã Ñ É Â Ã ' Å Ñ ( ) Ô Õ Ì Ç Ã × É Ì È * Í Ì Ç × Ô Ô Ç Ä Å È Ì É ÃÑ + Ñ É Ã Ò , - . É Ô / Ì Ç Ä ( 0 Ì Ç Ô Ü È Ä É Â Ã 1 ¾ Ì & 2 Ð Ñ Ð½ ¾ ¿ " 3 Ç Ô Û Ã 4 ô Ü Ì É Ê Ð Ô È Ñ 5 Ë 5 6 Ì È Ä 5 Ë 5 5 Õ Ç Ô Ò É 7 Ð ñ Ô È Ô Ò Ã É Ç Å × × Ô È Ñ Å Ä Ã Ç Ì % Ë Ô È Ñ Ë½ ¾ À " # Ê Ë È Ä É Â Ã É Ç Ì È Ñ Õ Ô $ Ì É Ê Ð Ô È Ò Ì É Ç Ê Ë & É Â Ì É Ç Ô 8 É Ã Ñ Ì Ç Ã × É Ì È * Í Ì Ç × Ô Ô Ç Ä Ê Ë È Ì É Ã Ñ + Ñ É Ã ÒÉ Â Ç Ô Ü ñ Â Ì È Ì È ñ Í Ã Ô Õ 5 9 6 . Ì : Ô Ü É Ì È Ì & Ê Ë Ñ Ò Ì ö ; È ñ à ô Ü Ì Í Ì È ñ Í Ã Ñ < Ë É Â É Â Ã Ô Ç Ê Ð = È Ì Í É Â Ç Ã Ã× Ô Ô Ç Ä Ê Ë È Ì É Ã ' Ã Ñ Ë½ > " õ Â Ô /? Ï @ A B C D E FF C E B E ? G @ A B C D H 0 II C J 0 B H 0

½ ¾ K " õ Â Ô / : + Ä Ê Ð Ç Ã × É Ã & í Ì È Ñ Ê Ë Ô È É Â Ì É L M L N O II 5 Ë # Ô Ç Ñ Ê Ð Ò í Í Ê Ë × Å P 8 ö Ã Q É Ô : Ã Ì R Ô SÄ Ê Ë Ò Ã È Ñ Ê Ë Ô È Ì Í Ô Ç É Â Ô ñ Ô È Ì Í É T È Ñ Õ Ô Ç Ò Ì É Å Ô È Ò Ì É Ç Ê Ë & Ë

UV

W X Y Z [ \

Page 4: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

] ] ^ _ ` a b c d e f g a h i e j k f g a h l m g n o n dp q r s t u v w x u y x z { | y } v ~ � � � � � y ~ � � v � � � ~ � � � � | � � � ~ � � � � � { | � � � � � � ~ x x u y x x u � � ~ � q� v � y } v ~ � � y � � � | ~ � u y ~ � � � x u � � � ~ � x u v � y � � � ~ � � � � � � ~ x �p q � s � v ~ � � � � � � y | ~ � � x � | � � � � x u v ~ � � v � ~ � � y x x u � v � � � � � ~ y ~ � x u � � � y � � � y � � ~ x � � � � � � � � � ~ �y � v ~ � x u � x u � � � � � � v � y � � � � ~ � � y � � v v � � � � ~ y x � � � � x � � � � � ~ � � � � � � x v � � � � � � � � �  ~ � x u � � � � y � v ~ y � � v � x u � � | � � � ¡ y x �� � x u � y ~ � � � � � ¢ � � ~ y ~ � £ y � � � v � � � � y � v ~ y � � ¤p ¥ s ¦ � x § � � y � � � x v � � � v � x u � v � � ¨ ~ x v y £ v � ~ x © ª � « � � � � ~ � £ y � � � ¦ � x ¬ � � y � � � x v � � � v �x u � v � � ­ ~ x v y ® � � y � � � £ v � � ~ x ¯ ° ± ² ³ ± ´ ³ ± µ ¶ � t u v w � y x§ · ¬ ¸¸ ¹ ´� � � x u � � { | y x � v ~ v � y £ � y ~ � £ � º � ~ � � � � | � y � x v § y ~ � £ y � � � � ~ � x u � v | � u x u � £ v � ~ x © �p q » s � v � x u � ¢ v � � � x v � � § ¸¸ ¼ ½ ¾ ¿ À ½ ¸ Á ³  ¸¸ ¸ ¿ ¼ s ¾ à À s ¾ Áª � ~ �Ä Å Æ § Ç Â y ~ � È § Ç Â È Ä É Æ � v � £ v ~ � ~ x v � Â Ê v ~ � § Ä Ë Æ y ~ � � � � � ¢ � � ~ § y ~ � ÂÄ Ì Æ § Í Â Ä Î Æ ° § Ç Â ¶ Í ° § Ï Â ¶p Ð p Ñ s Ò £ y � x � � � � � � v � � � � � ~ y £ � y ~ � � � � � � £ x � � � y � v � �   x � � � � � � � � � � � � x u � £ v � � � } v ~ � � � x v �

Ó Ç Ç ¿ Ô � � � ~ Õ Ö × · Ï Ô � v � Õ Ö Ø ·Ä Å Æ � � � ~ � Ù Ú Å ³ y ~ � x u � £ y � x � � � � � £ � � � �Ä É Æ ¡ y x � � � x u � y ~ � � � � � ¢ � � ~ Ù y ~ � Å y x x � � � � Û ÇÇ Ü Ý ¿ Õ ¤

p Ð p p · t u v w � y x x u � Ö Þ � ß à á â ã ä ã å æ ç è é â Ö ° § Í Â ¶ ½ ê � y ~ � � w � � x x � ~ y �

ë¹ ² ¹ ´ ¹ µ

ë° § ì  ¶ · ê ¸¸ í ² î ïð ñ òt u v w y � � v x u y x x u � £ � v � | � x � � � | ~ ó � � x � � � � y ~ � � ~ x � � � u y ~ � � v � x u � � � y � y � y ~ � � � � x v �£ � v � | � x v £ � � y ô � v ~ � v � � � y � u y ~ � � � � ~ x u � v � � � � v � § ³  õ ê õ y � � v ~ � ö x u � � y � � � � ~� � � � � � v � � � � õ � � y x � � � ÚÄ § ì Â Æ · ê ¸ ¸ § s Ä Â ì ê Æ ¸¸  s Ä ê ì § Æ ¸¸ Ä ê ì § Æ ·  õ � x � �÷ � � y � x u � � � � v � � | � � � � ~ v � x � � v ~ ø ê x v � � ~ v x � x u � x � � £ � � � � y � y � £ � v � | � x � � � ~ y � � � ³� � � � � y � � v � � x � � � � � � ~ x � º � � � } v ~ v � ø ê � � � v � £ | x � ~ � � � � v � | � � v � x u � £ y � y � q� � � � £ � £ � � � � ª � ~ � � � � x u � x u � � � � � � x v � � § ³ Â Ú ê �p q p ù s ¦ � x Å Ú É õ Ë � � � � � � � v ~ � � ~ x � � � x v � � � � y w ~ � � v � x u � v � � ¨ ~ x v � � £ v � ~ ú ¹ Ú í Ú û �¡ y x � � x u � � � � � � ~ � � � � v � � � v � � ü ~ x v x u � £ � y ~ � � � ª � ~ � � � � x u � £ v � � ~ ú ¹ ³ í õ û ¤¡ y x � � � x u � y � � y v � x u � x � � y ~ � � � ¹ í û ý �

p Ð p þ s ÿ � � � y ~ | ~ � ~ v w ~ � � � x v � � y } � � � ~ � x u � � v � � v � � ~ � � � � y x � v ~ � � ~ � v � � � ~ � � � � ~ v � � � � qx v � � § y ~ �  y ~ � x u � � � y � y � � ³§ ì ÿ ¸¸  õ § · ÿ ¸ ¸ � sz « £ � � � � ÿ � � ~ x � � � v � § ³  � � õ y ~ � x u � � y � ~ � � x | � � v � § �

Page 5: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � " # $ � % � & � � ��

'( ) * (

+ ') ( ,

+ ') (

+- ** , . ( / 0 ** , * ( ) 1 2 ** 3 .) , ( ( ( . ( ,4 � � � � � � � � � � ! � � "5 6 7 8 - 0 8 9 : ; - 2 9 < ; - 0 2 9 = ; > ? @ ? A > A

� B � C D 4 � � � � � � � E F � � � � G � � � � � � � � # $ H � � � � � � � ! � � " I � � � � J $ K � � � � � � � " � � $ �

'( , ,

+, L * L, L L� B � M D N $ � � F � � $ & � � � � � � O � � � � � � � � P Q R D 6 ** & � � � � � � � $ � � � � � � � & % S P � � � � � 6 T � $ U � & � � � � � & � � �� V � � # $ W � � � F � � $ � � � � � � � & � � � � � � � � # X � � % � " � � � $ � � Y T � � � � O � � � � Z � � U � & � � � � � � � �O � � � � � [ \ ] ^ 1 ] _ 1 ] ` a � � � � � � F � � $ & � b �

� � � c � d P V � � � � � � & � � � � � � $ e � � O $ � � f � " � � � # � � g P Q T � � � h � � � � � � " X � O � � � F & � \ i @ j a k\ i @ j a $ � � X � � l O $ � � �� � � � � � � � O � � � F & � �� B � m � d P V � � � � � � � � � � � $ e � � O $ � � f � " � � � # � � g P Q � � � � � h � � K � " X � O � � � F & � i n j $ � �oX � $ � � � � $ � � � � O � � � � � V Z � � \ i p j a n j �

� � � q D r � % � U � X � � � � ! S � " � l O � � � � � � � � � P Q s � � � " U � & � � � t " � P � $ ��5 6 7 & � � \ L * u a ** & � � L & � � u v � w � L � �� � u5 x 7 � y � \ L * u a ** � � � � L & � � u * & � � L � T � u� B z { � | � � e � � $ �

9 } ; ~ � � � � � � � � � * * , 9 : ; ~ � � � � � � � � � � ** ) � � � � 9 < ; ~ � � � � � � � � � � * * �� � � � � � � � � � � � � � �� � z � D | � � e \ � � � $ � � � � � P � # ( � ( ( a � � $ �� � ** ~ � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � z z � � E F $ � � � � � � F # ~ � � � � � � � � \ e � � � & � & � � V � � � � . � � J � a P Q & � � � � � � � % � � " � � � � � � F � � � ��t O � � � � � P � & � # P � � � $ � � � � � � � � � � /   � / ¡ ¢ � / X $ � �� � 15 6 7 � � @ @   � 5 x 7 � � @@ £ 5 ¤ 7 � S ¥ @ ¢ 5 ¦ 7   S @@ £ 5 § 7   � @ @ ¢ 5 ¨ £ @@ ¢5 © 7 � � ª £ � � ¢ 5 « 7   � ª £ � � ¢

| � � e � � $ � ~ � � � ¬ � � � � ** � � � � � � � ­ * � � ­ � � � ��$ � � X � � F � � � � � � � � � � F � � � O � � U �i ® \ j ® � a * * \ i � � a j * \ i � j a �

¯

°

Page 6: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

± ² ³ ´ µ ¶ · ¸ ¹ º » · ¼ ½ ¾ ¿ À Á »  ½ Ã Ä · Å Æ Å ¹Ç È É Ê Ë Ì Í Î Ï Ð Î Ñ Ò Ó Ô Õ Ö × Ï Ø Ö Õ Ù Õ Ú Ú Î Û Ü Ý Þ Î Ï Ð Î Ø Ú Î Õ Ï Ü ß àá â ã ä å ã á æ ã ç å è è á é ç å æ è á é æ å çÇ ê É ë ì í Î Ï â î Î Ù Õ Ù Û î Ø Ï Û Ù ï Þ Î ð Ï Ö Û ñ Ù Õ Ú ò Î Ï ó î Î Ù ô Õ Ü Ý Ï Þ Î ð Ï Ö Û Ø Õ Í Ö õ Î ö Ü ÷ Î Ú Ú Ü Ý Û Î ð ø ù Ö Õ Ý ú Ð Ö ûÏ Ð Ù Ï â üü ó á â ý ó å þ ó ÿ á â ÿ ó å

� Ù Ï � Í Ï Ð Î � Î Ö õ Î Ï Û Ø ð Ù ò Í Ü � � Õ Ü ù ö Ü ð Ù Õ ð Î Ö � Î Ù ð Ð Ö � Ï Ð Î � Ö Ï Î � Í Ö � Ï Ð Î Î ÷ � Ù Õ Í Ø Ö Õ � ÝÇ É Ë � Ü ß Õ Ú Ï Ð Î ð Ö õ � Ö Õ Î Õ Ö � Ï Ð Î Ù ð ð Î ò Î Û Ù � Ö Õ Þ Î ð Ï Ö Û � Ø Õ Í � Ð Î Û Ü Ý ð Ù ò � Ö Ö Û Ú Ø Õ Ù Ï Î Í Ý

Ç � É � ì � � Ù Û Ï Ü ß ð ò Î õ Ö Þ Î Í � ù Ï Ð � üü ð Ö Õ Í Ï Ý Ù ò Ö Õ � Ï Ð Î ð ô � Î � �� � á � þ ð Ö Í � å á Ù � � � � � Ý � Ý ! Ý � Ü � Õ Úì " ì ó # $$ � ì ó # % & � & ñ Ù Õ Ú ' Ë ÝÇ � É ( Ë ) � * Ù Õ Ú * Ë üü + Ù Û Î î Ö Ï Ð Î ÷ � ò Ü Ý ð Ü Ý Ï � ô Õ ð Ï Ø Ö Õ , Ö � Ï Ø õ Î - Í Ð Ö û Ï Ð Ù Ï

. � / * ã á + ã * å 0 èè � 1 � 2 á * Ë + å + è á � 1 2 * ì � å *� 3Ç � É 4 Ë ú Ð Ö û Ï Ð Ù Ï

5 á ò Õ & * & å èè 6 * 1�Ç � É 7 Ë � Ø Õ Ú Ï Ð Î Ù Õ � ò Î î Î � Î Î Õ Ï Ð Î , ô Û � Ù ð Î Í Ú Î ö Ü Õ Î Ú î 8 � 1 üü 9 Ù Õ Ú : þ ; þ < 1 => � Ù Ï Ï Ð Î

� Ö Ü Ý Õ Ï á ? º ü ? @ � å ÝÇ � Ê A ì ú Ð Ö û Ï Ð Ù Ï B á C D å èè C B D 2 D B C �

Ç � Ê Ç ì ú Ð Ö û Ï Ð E ÏF � å B � G üü H � I J K 1 L * F M å B N á � å üü * K O � N P Q R B 1 á ò Õ � å üü 6 � 1� � � �

Ç � Ê É ì ú Ð Ö û Ï Ð Ù ÏS á ? � * ì * ì 2 ? T * ì ì Ë * Ë å � 3 èè � * 1 2 T � ì 1 2 ð Ö Õ Í Ï �

û Ð Î Û Î * Ü ù Í Ï Ð Î Þ Î ð Ï Ö Û � Û Ö õ Ï Ð Î Ö Û Ø � Ü � Õ Ï Ö Ï Ð Î � Ö Ü ù Õ Ï á : U - : 1 V : W å � X Ð Î Y ô Ù Õ Ï Ü � Ï Ü � Î Í � Ù Õ Ú ì�Ù Û Î Ï Ð Î õ Ù � Õ Ø Ï ô Ú Î Í Ö � Ï Ð Î Þ Î ð Ï Ö Û Í * Ù Õ Ú * ì @ Û Î Í � Î ð Ï Ü Ý Þ Î ò 8 Z Ù Õ Ú � Ù Õ Ú T Ù Û Î ð Ö Õ Í × Õ ùÇ [ Ê Ê Ë ú Ð Ö û Ï Ð Ù Ï

S \*K ì è 6 * � ì

1 ] � 3 èè *K 2 æ� � �û Ð Î Û Î æ Ü ù Í Ù ð Ö Õ Í × Õ Ï Þ Î ð Ï Ö Û Ý

^

Page 7: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

_ ` a b c d e f g hi j k l m n o p q r p s t s u t v w x s t y z q

{ | } | m m ~ �i j k � � � u � � s u p s s u t o � q r � t � � � � � x s � s u t v w x s t � � t � � x y � � q wv x � t � � � t � v x t � � � � � � � � � � � �

p x � � � � � � �� � � v w � � �� � � � � � � wi j k � � � v w x �   t o ¡ r t � ¢ s u t v w x s t y � p q £ ¤ | m ~ ¥ ¦ � u t � t | §§ � ¨ m § � © ª � « p x � ¬ v w � s u t � q � � t �� r � ¢ p � t � t � v x t � � � s u t � � q ­ x � t � ® � �� � � � � � w ¯ u t s � ° p x � � � s s � � � ¢ s u t � � q ­ x � t �p � t p s � § § ~ p x � ± ¦ � t � ° t � s ­ o t q � w

i j k ² ³ � ­ x � s u t o p q r t � ¢ s u t v w x s t y � ¡ £ ¤ | � ~ ¥ ´ � u t � t | �� µ � � � � � � � � ¶ µ � ¨ m � � © � � « ¶ p x �  t � r � ¢ p � t ¬ v w � � t � v x t � � � s u t � ° u t � t · � �� � � � � � � � � w ¸ � s u t v w x s t y z q � v w � t � ¹ �p x � p q � � � � r � ­ x y º p r � � ¦ � s u t � � t � wi » k ¼ m � ­ x � s u t o p q r t � ¢   t ­ x s t y z q £ ½ µ ¾ } | ¶ ¿ ~ ¥ ­ ¢ s u t o t � s � � | �� � ¨ À � � © � � « p x � ¬ ­ �s u t � r � ¢ p � t � t � v x t � � � s u t ° p � p � � q � v w � � �� � � � � � � � ¦ � u t � t � Á§ ± wi j k  � à ° q p x t ° p � � t �   � � r y u s u t s u � t t ° � ­ x Ä µ � ¦ � Å � ¶ § § µ � ¦ ± ¦ ± ¶ ¦ µ ± ¦ Æ ¦ ± ¶ Ç µ ± ¦ ± ¦ � ¶ w

È ¥ É � ­ x � p r x v Ê s o t � s � � ° t Ë t x � v w � r q p � s � s u t ° q p x t w È Ì É � v w x � s u t � v w � s p x � t ¢ � � � s u t° � v w x s µ � ¦ � ¦ � ¶ s �   t � q � � t � s ° � v w x s � ¢ s u t ° q p x t p x � s u t � � � � � v w x p s t � � ¢ s u t � q � � t � sw° � v x s Í Î

i Ï Ð m ¯ u t u t v w y u s � ¢ p u v w q q ­ x � t s t � � ­ � Ñ o t x � � � �� Æ Ò � � Ó � Ô Õ � � Ö � � Æ Ö � � � Æ ¦� u t � t � v w � s u t � ­ � × x � t t p � s p x � � ­ �   t � v w � × x � t x � �   � ¢ Ø t � � v w Ñ x w È ¥ É Ù t � t ­ �  t s � ° � ¢ s u t u ­ q q p x � u � � u ­ y u v w � v w s Ú È Ì É Û � � � s t t ° ­ � s u t u ­ q q p s � �� � �� � ¦ s u p s ­ � ¦� u p s v w � s u t p x y q t � t Ü t t x p o t � s � � ° t Ë t x � v w � r q p � s � s u t u v w q q p x � s u t � p Ý ­ � Ú È Þ É ß x� u ­ � u � � � ° p � � � v w � t � � � x v Í � s u t � q � ° t p s � �� � � � � � s t t ° t � s Úi Ï i à � � � � u p s o p q r t � � ¢ � p � t s u t o t � s � � � | §§ Æ � ¨ � § Æ á ª � « p x � â §§ � ¨ m ª Æ � © ª Æ «

° t Ë t x � ­ � r q p � Ú

Page 8: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

* + , - . / 0 1 . 2 3 / 4 5 6 4 7 8 6 . 9 : / ; < = 6 4 : /

> ? @ A B C D E C F ? G H E C IJ

G K IJ

K L ? M ? N B M ? K O P Q ? G A A B N O C R S ? C T U IJ

F IJ

V W B C K @ H ? C

K F E U U R IJ

K X G ? K B M H D Y H Z ? U B G IJ

W ? K E M ? ? C G B O C A ? M ? R J [ IJ

\ I G O U W ? K ] L > ? ^ B C IJ

E C F ? _

G H E C IJ

G K F E ` a K B B G G O M @ H ? C F E K K IJ

Z ? B P Q ? G b B M ? C B c B O K R D K X G ? K E M ? IJ

C Z B U Z ? R J

d e f G W G E U U IJ

F IJ

V g B C E U K B B G G O M K @ H ? C L ? C O F P ? M B N P B R D ? K G B C K W A O W C Y L ? K ` K _

A ? F IJ

K U E M Y ? J h C i H E e A ? M j k @ ? K ? ? A H E A @ ? G E C C B A B P V IJ

C E Y ? C ? M E U K B U O W B C IJ

C

G U B K ? R N B c N B M L ? F B W B C B N E K l A ? F B N F B M ? L E C m B IJ

C A ? f G W C Y P B R IJ

? K ? Z ? C

N B M L ? M ? U E W Z ? U ` K D F e U ? G n ? B N o p V W B C E U IJ

C A ? f G W B C q r B G E U G O U E A ? L ? F B W B C IJ

C

E L M ? s P B R ` K l A ? F k @ ? F O K A M ? K B M A A B E C O F ? tJ

G a E e e M B uJ

F E W B C e M B G ? R O M ? Jv L B O Y H K O G H E F ? L B R I

JK I

JC e t

JC G D e U ? G E e E P U ? B N E C ` R ? K D M ? R E G G O f w x L ? U E P B M

IJ

C Z B U Z ? R IJ

K G B C K y R ? f P U ? J r H ? F B W B C IJ

C ? Z ? C F B M ? G B F e U ? z K ` K A ? F K { N B M ? z E F _

e U ? x L ? K ` K A ? F G B F e B K ? R B N E U U A H ? F E Q B M B P Q ? G b D C A H ? K B U E M K ` K A ? F | G E C U D } ? _

~ K ? P ? G B F e O A ? R x P O A A H ? e M B G ? R O M ? f e IJ

R U ` P ? G B F ? K A B B O C ~ ? U R ` A B P ? B NF O G H O K ? N B M E C ` U E M Y ? M K ` K A ? F J r B G E U G O U E A ? A H ? F B W B C B N A H ? I

JC R I

Jp R O E U F B U ? _

G O U ? K D C x K E ` x E G O P IJ

G G ? C A IJ

F ? A ? M B N Y E K G B C V IJ

C IJ

C Y�� � � � � F B U ? G O U ? K I

JK G U ? E M U ` B O A

B N A H ? � O ? K A D B C J d K O G G ? K K N O U F ? L B R B N G E U G O U E W C Y L ? � � � � � � e M B e ? M W ? K B N K O G H

K ` K A ? F K @ n R � ? U B e ? R IJ

C A H ? U E A A ? M e E M A B N L ? C IJ

C ? A ? ? C L G ? C A O � P ` � B U � F E C C k� � @ ? U U x � I

JP P K x � D B O � U U ? x E C R B L ? M K J r H ? K ? e M B G ? R O M ? K E U U B @ ? R A H ? R � E F I

JG K

B N K ` K A ? F K A B P ? G E U G O U E A ? R N M B F e M B P E P D U D � A H ? B � k E C R E � � � � �J

� � �J

� � � � � � � � � �J

� � � K

? Z B U Z ? R J � B F ? G B F F ? C b M ? Y E M R IJ

C Y A H ? N B c O U E W B C B N K V A D K A y G E U G B C G ? e b IJ

C

F ? G H E C IJ

G K E M ? N B O C R D C � ? G W B C � J �   J

¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ §

¨ _ © ª « ¬ ­ ­ ® ¯ ° ± ² ³ ± ± ² ° ´ ® µ ¶ ° ³ ¶ · ¸ ¹ ® ¸ ³ ­ ³ µ · ¶ º ° »J

¯ ´ ³ ¶ ± ® µ ³ ¼ º ° »J

¸ ± ® ® ¸ ° ® ´ ± ² ° ´ ® º º ® ½J

¸ ¹´ ® ¾ ¯ JJ

¿ À Á Â Ã Ä Å Æ ÁÇ È É Ê Ã Ë Á Ì Æ Á ¿ Í Á Â Ã

JÄ Å Æ Á Ç È

É Ê Ã qË Á Î Ê Æ Á ¿ Ï Á Â Ã Ä Å Ã q

Ë ÁÈÇ É Ê Ã Ë Á Î Ê Ã

JÐ Ñ Á

Ò ® µ Ó ² »J

¶ ² ¶ Ô ° ¯ ³ µ ° Õ ° ° Ö ¬ ³ · ® ¸ ¯ ® ´ × ® ± »J

® ¸ »J

¸ ± ° ¹ Ø ¼ º ° Ù

¨ _ ¨ Ú Û ­ ³ µ Ü ¶ º ° ® ´ × ³ ¯ ¯ Ý »J

¯ ¶ ® ¸ ¯ Þ ³ »J

¸ ° ß ± ® × ® à ° ® ¸ ± ² ° ¯ ¬ µ ´ ³ ¶ ° ® ´ ³ ¯ ­ ² ° µ ° ® ´ µ ³ ß »J

¬ ¯ á¼ â ³ ¸ ³ ­ ­ º »

J° ß ´ ® µ ¶ ° ã Ê ä å æ Á J ç è

J± ° Õ ° ° Ö ¬ ³ ± »

J® ¸ ® ´ × ® ± »

J® ¸ J

¨ _ é ê ë ³ ­ µ ® ì ° ¶ · º ° »J

¯ í » µ ° ß ´ µ ® × ± ² ° ® èJ

î ¸ ® ´ Õ ° ¶ ® ® µ ß »J

¸ ³ ± ° ¯ â ¯ ± ° × ï ± ² ³ ¸ »J

¸ »J

± »J

³ º à ° º ® ¶ _

»J

ð ñ ò ³ ¸ ß »J

¸ ³ ß »J

µ ° ¶ Ü ® ¸ × ³ ó »J

¸ ¹ ³ ¸ ³ ¸ ¹ º ° ô ï Õ ± ² ° ² ® èJ

õ ® ¸ ± ³ º å ¶ ³ º ¶ ¬ º ³ ± ° ± ² ° ± »J

× °µ ° Ö ¬ »

Jµ ° ß ´ ® µ ± ² ° ­ µ ® ì ° ¶ · º ° ± ® ¶ µ ® ¯ ¯ ³ º »

J¸ ° ­ ³ ¯ ¯ »

J¸ ¹ ± ² µ ® ¬ ¹ ² ± ² ° ® è

Jî ¸ ³ ¸ ß × ³ ó »

J¸ ¹ ³ ¸

³ ¸ ¹ º ° ö ÷ ô ï ± ² ± ² ° ² ® èJ

õ ® ¸ ± ³ º J

¨ ø ª Û ¶ º ® ù »J

¯ ì ¬ ¹ ¹ º »J

¸ ¹ ´ ® ¬ µ ¼ ³ º º ¯ ¯ »J

× ¬ º ú ¸ ° ® ¬ ¯ º â J « ± ¬ ß ° ¸ û ¬ ¯ ° ³ üJ

ß ° ® ú ­ ° ± ® ß ° ± ° µ ý

× »J

¸ ° ± ² ³ ± »J

± ± ³ ó ° ¯ Õ ° ¶ º ® ù þ J ÿ ¯ ± ® ¶ â ¶ º ° ° ³ ¶ ² ¼ ³ º º ± ² µ ® ¬ ¹ ² ² »J

¯ ² ³ ¸ ß ¯ Ê »J

¸ ¶ º ¬ ß »J

¸ ¹¶ ³ ± ¶ ²

J» ¸ ¹ k Þ ³ ¸ ¯ ´ ° µ è

J¸ ¹ Å ³ ¸ ß ± ² µ ® ï ¸ ¹ Á ³ ¸ ß ± ® ¼ ° µ ° ³ ß â ± ® ¶ ³ ± ¶ ² ± ² ° ¸ ° � ± ¼ � º J � ³ ±

»J

¯ ± ² ° × »J

¸ »J

× ¬ × à ° µ ± »J

¶ ³ º ¯ ­ ° ° ß ± ² ° ¶ º ® ù × ¬ ¯ ± ± ² µ ® Ó ¬ ­ ° ³ ¶ ² ¼ ³ º º Ù

¨ _ � ê Û ì ° ± í » ¹ ² ± ° µ ­ »J

º ® ± ó ¸ ® Ó ¯ ² ° »J

¯ ³ ¼ º ° ± ® ï ± ² ¯ ± ³ ¸ ß ³ ¸ ³ ¶ ¶ ° º ° Ø ± »J

® ¸ ® ´ ÿ Î ¼ ° ´ ® µ ° ¼ º ³ ¶ ó _

»J

¸ ¹ ® ¬ ± J � ² ° ­ »J

º ® ± ­ ® »J

¸ û ² »J

¯ ­ º ³ ¸ ° à ° µ Ü ¶ ³ º º â ß ® ù Ó ² »J

º ° ± µ ³ à ° º »J

¸ ¹ ³ ± � ³ ¶ ² � ¯ ­ ° ° ß³ ¸ ß »

J¸ ± ° ¸ ß ¯ ± ® ­ ¬ º º ¬ ­ »

J¸ ³ ¶ »

Jµ ¶ ¬ º ³ µ × ³ ¸ ° ¬ à ° µ ¼ ° ´ ® µ ° ¶ µ ³ ¯ ² »

J¸ ¹ »

J¸ ± ® ± ² ° ¹ µ ® ¬ ¸ ß J

¿ À Á � ° µ ° ß ® ° ¯ ± ² ° × ³ � »J

× ¬ × ³ ¶ ¶ ° º ° µ ³ Ü ® ¸ ® ¶ ¶ ¬ µ »J

¸ ± ² ° × ³ ¸ ° ¬ à ° µ Ù ¿ Í Á � ³ ± »J

¯ ± ² °× »

J¸ »

J× ¬ × µ ³ ß »

J¬ ¯ ± ² ° ­ »

Jº ® ± ¶ ³ ¸ ú ó ° Ù

� � � �

��

Page 9: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � � � � �� � � � � � ! " # $ % & & ' ( ) * + , - - . ' ( ' � / ! ( 0 ' 1 + * ( / ! ) � * ) ( * 2 ' 3 " ' # ! 1 + ( * 4 ' � ' $ % 5 # ' � ! � *+ ! ! ) ! ( / ' � � # ! % 6 ! 2 # ' � ! 7 ! 0 * 8 % & * � 9 # 3 ' � : ; < = > ( ' � ) ) ( * 2 2 ! ) � ! " ' # ! 1+ ( * 4 ' ! $ % ? � * + - < 4 ' " * @ ! � ! 7 ' � A � ? ! % B C D E ! 0 ' � � ! ) � ! " ' # ! 1 * + ' 3 � * # ' � )F < 4 " ! $ % � ) � ! / ' � G ! 1 * ' 1 � * � * � $ % � � ! 4 % H ! ( ! 1 * I # ) 1 ! 2 I 1 � ! " ' # ! 1 * I �* + � ! ' $ % 5 # ' � ! J % B K D 6 * � * � $ % � � ! / ' � G ! L 0 ' � $ % 1 � ! # ' ( ? ! 1 � � $ % 4 ! ! ( ( * ( 1 ! / * I # )4 ' M ! 0 $ % # ! 2 I 1 $ % � ? � ! " ' # ! 1 * I � * + � ! ' $ % 5 # ' � ! N � ? � * ( ! ' $% ( ( ! 1 $ % 1 � ' � / ! %� O P Q � � / # I ) ! ' $% ( ( ! 1 $ % 1 � ' � / ! + * ( � ! " ' # ! 1 * + ' 3 $ % � � ! 2 ( ! R % * I 1 2 ( * " # ! 4 % S " ' # ! * + ' 3 ' 1 ' 4 ' 1 1 * + ' " * I � F < M ? ' � ) ' � ' @ ! ( ' ? ! ' ( ! ' * + ' " * I � < % T 4 U % V ! � � ! ( ! 1 $ % 1 � ' � / ! " !

2 ( * 2 * ( � $ % * � ' # � * � ! 1 W I ' ( ! * + � ! 1 2 ! ! ) ' � ) # ! � X Y ZZ < % - % [ # * � � ! � A \ ! / � * 8 % ! 1 ] � '/ * 4 2 I � ! ( ^% _ ! ' 3 " ` ! 1 # ' � ) F < 4 " ! $ % � ) _ ! / ' � G ! + * ( " * � $ % � / # I ) $ % � ? ' $% ( ( ! 1 $ % ab � / ! ' � ) � * � % � + _ ! " ' # ! 1 * + ' 3 0 ! ( ! ( ! # ! ' 1 ! ) ' � � ! 1 ' 4 ! � $ % 4 ! $ % � � ! c * / d ! 1 .0 ' � $ % 1 � ! ) $ % 1 b � / ! " ! c ! ! � # ' � ) $ % � ? 2 * 1 $ % e * � 1 * + � ! " ' # ! 1 N� f � S 2 ( * \ ! / e # ! $ % 1 g $ ( ! ) ] � ' @ ! # * / $% h i j 1 I / � ' � $ % � 2 d 1 ! 1 � ( * I ? c * 2 * $ % � k " * � ') $% 1 b � / ! l ' " * @ ! � ! * 8 % & * � b # % E * 0 � ' � $ % + � ! ? I � $ % 1 ' ) \ I 1 � ! ) + * ( 4 ' m $ % 4 I 4A � ? ! . � ! 1 ! 2 ' A e * � * + � ! 2 * $% � k $ % 1

n Zo p i j q i j U Z r s ls� t u � v * � 1 $ % ) ! ( ' 2 ( * w % ! / � $ % # ! x ( ! ) @ ! ( � $ % / ' # # 3 $ % � ' / * � 1 b � � ? ( ' R % b y * � ' # g $ ! # ) % z * ( � ! 1 ' 4 !$ % � $ % � $ % ' # @ ! # * / $ % � $ % ! 1 . / * 4 2 ' ( ! � ! y 4 ! 1 ( ! W I $% ( ! ) + * ( � ! 2 ( * \ ! / � $ % # ! � * ( ! ' / $% k 4 ' m $ % t

4 I 4 ! $ % ? � B C D + * ( & ! ( * ( ! 1 $ % 1 e � ? + * ( / ! { B K D + * ( ' ( ! 1 $ % 1 � $ % � ? + * ( / ! 2 ( * 2 * ( � $ % * � ' # � * � !$% � 1 b � b � ! * I 1 @ ! # * / $ % h * + � ! 2 ( * \ ! / e # ! % %� t | } Q ~ ! 2 ! ' � � m ' 4 2 # ! T % r " 3 2 ! ( + * ( 4 $ % � ? ' / ' # / I # ' � $ % * � I 1 $ % � ? ' / * 4 2 I � ! ( � * 1 * # @ !� W I ' � $ % * � T % T T % � 1 ! � ! + * # # * ] � ? @ ' # I ! 1 %% � oo : M ? { i j oo : < 4 > 1 , � j oo < { ' � ) � oo

< % : 1 � � % � ' M ! 2 # * k * + i @ ! ( 1 I 1 � � @ ! ( 1 I 1 � { ' � ) i @ ! ( 1 I 1 � % v * 4 2 ' ( ! ] � � ! ( ! 1 I # k* + � m � 2 # ! T % r � * 1 ! ! $ % + 3 * I ( ( ! 1 I # k ' ( ! ( ! ' 1 * � ' " # ! %� t | | Q v * � 1 $ % ) ! ( ' 2 ' ( e / # ! * + 4 ' 1 1 � 0 * 1 ! 4 * y * � 1 � ' ( k + ( * 4 ( ! 1 � $ % � ' / * � 1 b � � ? A R % b t

� $ % * � ' # g $ ! # ) % � + ' ( ! 1 $% 1 e � ? + * ( / ! 2 ( * 2 * ( y * � ' # � * � ! 1 W I ' ( ! * + � ! @ ! # * / $ % h � $ % % ! % , � � i U D$ % 1 ! � / * I � � ! ( ! ) , 1 * 0 � ' � � ! ) $ % 1 b � / ! � � ! 2 ' ( � $ % / # ! + ' # # 1 $ % � ' / / ! # ! ( ' e � ? + ( * 4 i j � *i � $ % 1 � @ ! � " 3� D : # �

s Z � i Uj�� i j � i � o Z � T � � � � Uo i �

� t | � � S 2 ' ( � $ % / # ! $ % 1 2 ( * \ ! / � ! ) @ ! ( � $ % / ' # # 3 I 2 0 ' ( ) $% � ' / * � 1 � ' � � ? ( ' R % � ' � $ % * � ' # g $ ! # ) � % � ' �$ % � $ % � $ % ' # 1 2 ! ! ) i j % E * 0 � ' � $ % + � ! ( ! $ % 1 ' ( ! b ( ) $% � ? + * ( / ! 2 ( * 2 * ( � $ % * � ' # � * � ! 1 W I ' ( !* + � ! $ % � 1 � ' � b � ! * I 1 1 2 ! ! ) { � ! 1 2 ! ! ) * + � ! 2 ' ( � $ % / # ! 0 ! � $ % � ( ! � I ( � 1 � * � ! $ % � $ % � $ % ' #% % %2 * 1 $ � $ * � $ 1i j i �� � i j U � i U �

0 ! ( ! i � $ % 1 � ! � ! � $ % � ' # 1 2 ! ! ) %� � | � � S 2 ' ( e / # ! 4 * @ ! 1 $ % � ' 4 ! ) $% I 4 I � ) ! ( � ! $ % � 7 I ! � / ! * + ' ( ! b ( ) $ % � ? + * ( / ! ! W I ' # � *� � � i � � � U i D L 0 ! ( ! � ' � ) � ' ( ! / * � 1 � ' � k % E * 0 � ' � + * ( ' � 3 @ ' # I ! * + � ! $% � $ % � $% ' #

Page 10: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � �   ¡ ¢ £ ¤ ¡ ¥ ¦ ¢ § ¨ © § ª « © ¡ ¬ ­ ¢ ® ¯ ° © § ­ ¢± ² ³ ³ ´ µ ¶ ³ ² · ¸ µ ¹ º » ¼ ³ ½ ¼ ¼ ¾ ³ ¿ ³ ¸ À Á ¿ ³ · ´ ¹º ±  ¾ » ³ à ¸ ³ · µ ³ ¸ µ ¶ · ¾ Ä Å Æ Ç È · ¾ ´ µ ¶ · µ É ³ ² · ¸ µ ¹ º Ê

» ¼ ³ » Á À ³ ± µ Á ¸ ³ ± µ Á ¾ ¼ Ë Ì Á ¸ Í Î Ï ºÐ Ñ Ò Ó Ô Õ ² ¸ Á Ö ³ » µ ¹ º ¼ ³ ¹ º ± × ¹ ¸ ³ ´ ½ É ¹ º ¾ ¹ º Ø Ù ± ² ³ ³ ´ Ú Û · µ · ¾ ³ ¼ ³ Ü Ø Á ¾ · ¾ à ¼ ³ Á Ì Ý Þ ² · ¶ ¹ º ¼ ¼ Á Ì ± ¼ Á ² ³

ß à Ý á ß â ºã ä â å Á æ Ì · ¸ Þ ² µ ¶ ³ ¶ ¹ º ¼ ¼ ½ ¼ ¼ µ ¶ ³ ² ¸ Á Ö ³ » ç ¼ ³ ¼ · ¾ ´ èã é â Õ µ æ ¶ · µ · ¾ à ¼ ³ Ý ½ ¼ ¼ µ ¶ ³ ¸ · ¾ à ³ ê ³ · À ë ¹ º À Þ À è

ã ì â í · µ ¹ º ± É ³ À ë ¹ º À Þ À ¸ · ¾ à ³ èÐ Ê Ò î ï Õ ² · ¸ ç » ¼ ³ Á Ì À · ± ± ð ± ¼ ¹ º ´ ³ ± ´ Á ñ · ¾ ¹ º ¾ » ¼ ¹ º ¾ ³ ´ ² ¼ · ¾ ³ Þ ¾ ´ ³ ¸ É ³ ¹º ¾ ò Þ ³ ¾ » ³ Á Ì Ã ¸ · ó ô º õ ÌÉ ³ À Á Ø Á ¾ ¹ º ± ¸ ³ ± ¹ º ± µ ³ ´ ê Ë · Ì Á ¸ » ³ ö ÷ø Ç ð Ú ù ú ± ¶ Á æ µ ¶ · µ µ ¶ ³ ç À ³ ¸ ³ û Þ ü ¸ ³ ´ µ Á À Á ¿ ³ ·ý º ±  ¾ » ³ þ ÿ µ ³ ¸ ±  ¸ � ¾ Ã Ì ¸ Á À ¸ ³ ± µ ¹ º ±

» Á ± ¶ � ¹ à � � � âÍ ø÷ �� Ç º

�� ± ¹ ¾æ ¶ ³ ¸ ³ � ¹º ± É ³ · ¾ à ¼ ³ Á Ì ¹ º ¾ » ¼ ¹ º ¾ · µ ¹ º Á ¾ Á Ì µ ¶ ³ ² ¼ · ¾ ³ º

Ð Ñ Ò Ô Õ ² · ¸ µ ¹ º » ¼ ³ ¹ º ± ² ¸ Á Ö ³ » µ ³ ´ ½ µ ¶ · ¾ ¹º ¾ ¹ º ç · ¼ ¿ ³ ¼ Á » ¹ º ô Ú Û Þ ² · ± ¼ Á ² ³ µ ¶ · µ À · � ³ ± · ¾ · ¾ à ¼ ³ ݽ µ ¶ É ³ ¶ Á � º Á ¾ � º � ± Þ À ³ Ì � º » ç Á ¾ ¼ ³ ± ± À Á � Á ¾ · ¾ ´ × ¹ ¾ ´ µ ¶ ³ ç À ³ ¸ ³ û Þ ¹ º ¸ ³ ´ Ì Á ¸ É ³² · ¸ ç » ¼ ³ µ Á ¸ ³ µ Þ � µ Á ¹ º � ±  ¸ ç ¾ à ² Á ± ¹ º Ø Á ¾ º � ¹ º ¾ ´ µ ¶ ³ Ø À ³ Ì Á ¸ Ú Û ÷ ÷ Æ º � À Å ± · ¾ ´ Ý ø÷ Æ � � º

Ð � Ò � Ô Õ ± � Á ¾ à ± Á Ì µ ê Ù ¼ ² ¼ · Ë ³ ¸ ± À · » � µ ¶ ³ ê · ¼ ¼ · µ · ¶ ³ ¹ º à ¶ µ Á Ì � º � À · ê Á ¿ ³ ¶ Á À ³ ² ¼ · µ ³ º � ¶ ³ê · ¼ ¼ ¼ ³ · ¿ ³ ± µ ¶ ³ ² ¼ · Ë ³ ¸ � ± ê · µ · µ · ¾ ³ ¼ ³ ¿ · ç Á ¾ · ¾ à ¼ ³ Á Ì � � � · ¾ ´ µ ¸ · ¿ ³ ¼ ± µ Á æ · ¸ ´ · Ì ³ ¾ » ³ ÆÀ ¶ ¹ º à ¶ · ¾ ´ � � À · æ · Ë º¹ ¾ » ³ ¾ µ ³ ¸ × ¹ ³ ¼ ´ í · µ À Þ ± µ µ ¶ ³ ¹ º ¾ ¹ º ç · ¼ ± ² ³ ³ ´ Á Ì µ ¶ ³ ± Á Ì µ ê · ¼ ¼ ê ³µ Á » ¼ ³ · ¸ µ ¶ ³ » ³ ¾ µ ³ ¸ × ¹ ³ ¼ ´ Ì ³ ¾ » ³ è õ à ¾ Á ¸ ³ · ¹ ! ¸ ¸ ³ ± ¹ ! ±  ¾ » ³ !

Ð " Ò # õ ¾ » ¼ Þ ´ ³ · ¹ ! ¸ ¸ ³ ± ¹ ! ± Â ¾ » ³ ² ¸ Á ² Á ¸ µ ¹ ! Á ¾ Ù µ Á µ ¶ ³ ± û Þ · ¸ ³ Á Ì É ³ ê Ù ¼ ú ± ± ² ³ ³ ´ ¹ ! ¾ µ ¶ ³ ² ¸ ³ ó Á Þ ±² ¸ Á ê ¼ ³ À ! $ ³ µ É ³ ´ ¸ · Ã » Á ³ % ¹ » ¹ ! ³ ¾ µ ê ³ & '

øø � ! � ú µ ¶ ³ ± Á Ì µ ê · ¼ ¼ ( ´ ¹ ! Þ ± ê ³ � » À · ¾ ´ µ ¶ ³À · ± ± ê ³ Æ � � à ! ã ä â � ¹ ! ¾ ´ É ³ ¹ ! ¾ ¹ ! ç · ¼ ± ² ³ ³ ´ Á Ì µ ¶ ³ ± Á Ì µ ê Ù ¼ ¾ ³ ³ ´ ³ ´ ¾ Á æ µ Á » ¼ ³ · ¸ µ ¶ ³Ì ³ ¾ » ³ ! ã é â � Á ¸ µ ¶ ¹ ! ± ± ² ³ ³ ´ ú ) ¾ ´ É ³ ¹ ! ¾ ¹ ! Ø Ù ³ ¼ ³ ¿ · Ø Á ¾ · ¾ à ¼ ³ µ ¶ · µ · ¼ ¼ Á æ ± µ ¶ ³ ê Ù ¼ µ Á À Á ± µ³ · ± ¹ ! ¼ Ë » ¼ ³ · ¸ µ ¶ ³ Ì ³ ¾ » ³ ! * Ë ¶ Á æ À Þ » ¶ ´ Á ³ ± µ ¶ ³ ê · ¼ ¼ ¾ Á æ ¿ ³ ¸ Ø » · ¼ ¼ Ë » ¼ ³ · ¸ µ ¶ ³ Ì ³ ¾ » ³ èÐ + Ò , - õ Ì · ² ¸ Á Ö ³ » ç ¼ ³ À Á ¿ ³ ± ± Þ » ¶ µ ¶ · µ ¹ ! � ´ ¹ ! ±  ¾ » ³ Ì ¸ Á À µ ¶ ³ ² . ¹ ! ¾ µ Á Ì ² ¸ Á Ö ³ » ç Á ¾ ¹ ! ± · ¼ / Ë ± ¹ ! ¾ "

» ¸ ³ · ± ¹ ! ¾ Ã 0 × ¹ ¾ ´ µ ¶ ³ À ë ¹ ! À Þ À · ¾ Ã ¼ ³ · ê Á ¿ ³ É ³ ¶ Á �!

Á ¾  ¼ ½ É æ ¶ ¹ ! » ¶ É ³ ² · ¸ ç » ¼ ³» Á Þ ¼ ´ ¶ · ¿ ³ ê ³ ³ ¾ ² ¸ Á Ö ³ » µ ³ ´ ! à � ± Þ À ³ ¾ Á · ¹ ! ¸ ¸ ³ ± !¹ ±  ¾ » ³ ! âÐ + Ð 1 - Õ 2 ¾ × ¹ ¸ ³ ± · ² ¸ Á Ö ³ » Ø ¼ ³ Á Ì À 3 ± 4 � � à Á Ì É ³ 5 ³ µ Á æ ¶ !¹ » ¶ É ³ » Þ 6 ³ ± Á Ì � ¹ !

2 ¸ ³ Æ " �· ² ² ¼ Ë ! � ¶ ³ À Þ ¼ ³ ¿ ³ ¼ Á » ¹ ! ô ¹ ! ± 4 � � À Å ± ! � 7 ¶ ¸ Á Þ Ã ¶ æ ¶ · µ · ¾ Ã ¼ ³ À Þ ± µ µ ¶ ³ ê · ¸ ¸ ³ ¼ ê ³ ³ ¼ ³ "

Ü µ ³ ´ µ Á ¶ ¹ ! µ · Â ¸ Ã ³ µ Á ¾ µ ¶ ³ ± 8 ³ ¶ Á � ! Á ¾ Â ¼ ² ¼ · ¾ ³ · ± µ ¶ ³ 2 ¾ · ¾ ´ 4 � � � À · æ · Ë è9 Á À ² · ¸ ³ É ³ ¸ ³ ± Þ ¼ � ½ É µ ¶ Á ± ³ Ì Á ¸ É ³ » · ± ³ Á Ì ¾ Á ¸ ³ Â ¸ ´ · Ø Á ¾

Ð : Ð Ò ; < ¶ Á æ ´ ¹ ! ¸ ³ » = Ë µ ¶ · µ µ ¶ ³ ç À ³ ¸ · µ ³ Á Ì » ¶ · ¾ Ã ³ Á Ì É ³ · ¾ 2 ¼ · ¸ À Á À ³ ¾ µ Þ À · ê Á Þ µ µ ¶ ³ Á � ! "

> ¾ Ì Á ¸ · ² ¸ Á ? ³ » ç ¼ ³ × ¹ ¸ ³ ´ Ì ¸ Á À É ³ Á � !> ¾ à » Á ¾ ± Â ¾ µ � â !¹ ± ³ û Þ Ù µ Á É ³ À Á À ³ ¾ µ Á ÌÌ Á ¸ » ³ à Á ¸ µ Á ¸ û Þ ³ â · ê Á Þ µ É ³ Á � !

> ¾ !

Ð " Ð Ð @ � ¶ ³ À Á ç Á ¾ Á Ì · » ¶ · ¸ à ³ ´ ² · ¸ µ ¹ ! » ¼ ³ ¹ ! ¾ · ¾ ³ ¼ ³ » � Á À · à ¾ ³ Ø » × ¹ ³ ¼ ´ » · ¾ ê ³ Á ê  ¹ ! ¾ ³ ´ Ì ¸ Á Àµ ¶ ³ A B C D E F D G H I - B E J Ì Á ¸ µ ¶ ³ Ì Á ¸ » ³ Á ¾ · ² K Ø » ¼ ³ ¹ ! ¾ ± Þ » ¶ · × ¹ ³ ¼ ´ ! L M ³ ³ ¼ ³ » N ! » ) ³ ¼ ´¿ ³ » µ Á ¸ ¹ ! ± O · ¾ ´ É ³ À · P ³ ç » × ¹ ³ ¼ ´ ¿ ³ » µ Á ¸ !¹ ± Q R µ ¶ ³ Ì Á ¸ » ³ Á ¾ · ² · ¸ ç » ¼ ³ Á Ì À · ± ± ð É · µS « T T U V W X T Y Z [ \ T U ] T ^ _ ` a _ ¦ ` b ! W a ú c d e f g h i j k l h m n o p q f g h r s f ! i m f ! t u v w x y « T z { W a | ! } ~ !

� �

Page 11: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � � � � �

� � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �

  ¡¡ � ¢ £ � � ¤ ¥

¦ � � � � ¦ � § � ¨ © � ª � � ª « ¬ ¬ ­ ® � ¯ � � � � ° � �� � � ª ± �² ³ ± ´ ° ª � � � � � � � � � � � � � ª � �

� µ � � � � � � � � � ° ¶ � ¯ � � ª � �� � � � � ª � � � ª � � © � � � � · � µ � � � � �

�� � �

�� ¸

� � � ¹ � � ¯ � º � � � � �� ¨ � � � ª � ª � � �

�� � � � � ° © � � � � · � » ¼ ½ � � � ¦ ª � � ª ª � � ª � � ¾ � � ª � ¿

�� � �� �

�� � � � 
�ª � � � �

�� ¨ �

Á Â ÂÃ ¡ Ä ¡ Å¡ ¡

� Æ Ç È

¦ � � � � Ç ÉÊÊÊ � Æ Ë Á

�� � ª � � Ì Í Î Ï Ã Ð Ñ Ò � Ó Ô Ì �

² Õ ± Ö � � � � � ª � � × Ø Ù �� � ª � � � �� Ú

� � ª � � ��� � � � · � � � ° ¥ � � � � � ª ¶ � ¯ � � � � � � � Û � �

� � � � � ¢ � � �¥ � � ¶ � Ü × Ý ¯ � � � � � Þ � ¨ �

¥ ¡¡ Æ ß à ¢ ¡ ¡ á â ã £ á ä ß

å � � ¦ ª � � ª ª � � × � � © ¯ � � � � ª � ° ª � � © � ª ��

� � ��

� � � � � � �

æ ® Ï ± ¡¡ × ç £ × èç Ï £ é � á ê

Ï ëì Á

¦ � � � �

× ® í ±ÊÊÊ × ç � � � × è

® í ± ÊÊ Ê × èç

² î ± Ö � � · � ¨ � ª � � � � � � ¨ � � · � � � � � � � Û � � � � ï ¯ � � � � � � � � � ° � � ð ñ® Ï ± � � � Ü

ò® Ï ± � å ó � ¦ ª � � ª ª � �

ª � � © � � � � � � � � � � ° ª � � � � � � � � � � �� � � © ¯ � � � � ô � � �

õ ð èö

¡¡á÷ â

ø ù ú ö¡¡ í

Æ

® å � � ¦ ¶ � ª ª � � © � ª � � � � � � � ¯ � � � � � �� � � � � ª � � � � � � � � � � � � � � � � � � � © ¯ � � ª � ¯ � � � � � � ±² û ± ´ � ª � � ü ª � ¶ � � � � � � �

�� � ý ¨ � ¹ � � � ° � ¨ � � � � � ® � ± � � � � � � ¦ ® þ ¶ ª � � �

� � � � ¹ � � � � � � � � ¸· � � � ð ® í ±

¡ ¡ ÿ � Ë Ç É ø ð è® í ± ¡¡ á â Ë Æ ø Ü ® í ±

¡¡ í ø ú ® í ±¡¡ � ± Ï � � Ï

ð ® Ï ± ¡ ¡ � ¡ �� � � Ç È Ï £ � á â

Ï � Ü ® Ï ±¡� � �

� � � � Ç È ÏÇ É Æ Ç É

Þ � � � � � � � ª � � ¯ � � � © � ª � �� � � ý ¨ � ª�� � � � � ° � ª � � � � � � � � � å � ª � � ª � � ¯ � � ¾ � � ª � � � � � ° ª � �

ª � � ¾ � � ª � ¿ � � ª � � ¡ ¯ � � � � ° � � ª � � � � � � � ® � �± � � � á â Ë Æ � ½ ®

�� � �± � � á â Ë Æ � ½ � � �

® � � � � � �± � ¡ ¡ � á â Ë Æ � � ® Þ � � � � � ª � § � �

�� � � � � � � � � � �� � � ±

� ¸ � � ñ � ¯ � � · � � � � ° © � � � Á ÊÊ � � � �� � ¨ � �

� � � ª � � ª � � � � � � � � © � � � � � � � � � ° � � � � � ® Ï ±¡ ¡ � Ï � � � � ½

¦ � � � � � ¡¡ � � Ë � � � � � ¡¡ í � � � � � � ´ ° ª � � ¯ � � ¹ � � � � � � � � � � � ¹ � � � � � ª � � � ª ½ � � � � ¨ � � ª � � � � ¯ � � ªþ ¶ ¶ � � � � � � ° � � � © ¯ ¨ ª � � ª � � ¯ � � � � ¹ � � � � ¯ � � � � � � � � � � � � � � � · � � � ° ¶ � ¯ � � ¹ � � � § �

° ¨ � � ª �� � � � ° · © � �

� ! � " ñ � � # � � ¦ � � �

� � � � � � $ í � � Û � ô ° � � © � � � ª � � % � � � � � � ��

� � � ��

� � � � ª � & ' � ( � � # � � í í ©� � % ¶ � � �

�� � � � � ¶ � � � � § ô ° � � & í © ) � � � � � � � � � � � ¦ ¨ � · � � � � ª � ¯ � è * �

� � � ª � � � � � ° ¸µ � �

�� � � ª � ° # � � · � ° � �� · � � � � + � � � ¶ � � # � , � ¶ � � � � ¦ � - � ª � � � � � � �

� � � � � ¶ � � # � �� � � � � ª ¶ � � � ª ª � © � ° ¶ � � � � � � .

Page 12: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

/ 0 1 2 3 4 5 6 3 7 8 4 9 : 3 ; 9 < = ; 3 > ? 4 @ A B ; 9 ? 4

C D C E F G H I J K L J M N O P P Q RR S T U V L W P I X T Y Z P Y J [ \ O M ] T K ^ X T J \ I Z P P X T \ K I X T \ Z _ ` X aW b c Z V d G e T f g Z

H I J K L X T P c Z I Z O P Z Y O g Z X TW g ^ h RR i T j S N O H J k Z ^ g Z H J ^ ^ J N J M ^ g Z I J J l T

m n e o O ^ X T P ^ g Z M J c K Z J M ^ g Z TX \ K I X T \ Z Y ^ c O K L J \ ^ g Z H I J K L O ^ ^ g Z H J ^ ^ J N _ l J TX \ ^ p e qm r e o O ^ X T P ^ g Z M J c K Z J M ^ g Z s O K L J \ ^ g Z H I J K L O ^ l J X T \ ^ t qm u e G ^ [ g O ^ P l Z Z Y Y J Z P ^ g Z H I J K L I Z O k Z ^ g Z ^ c O K L qm v e w J [ M O c O [ O x M c J N l J X T \ ^ p Y J Z P ^ g Z H I J K L I O \ Y J \ I Z k Z I W c J b \ Y qm y e z L Z ^ K g { Z l J ^ Z \ ^ X T O I Z \ Z c | } _ ~ e J M ^ g Z H I J K L T � \ Y X T K O ^ Z ^ g Z ^ J � I Z \ Z c | J \ ^ g Z

P L Z ^ K g T

� � � � �� � �� � � � �� � �� ��� � � � � ��

� � �

� � � C � � � c J H I Z N V D V � T

C D C � � G K g TX I Y P I � T Y Z P O H I J K L J M N O P P V L W O I J \ W O P I TX K L L X T ^ K g Z \ � J J c T � M ^ g Z X T \ X T � O I P l Z Z Y X T P �N � P O \ Y ^ g Z H I J K L g X T � O P l ] T \ W � ^ g P l ] T \ W K J \ P � \ ^ U   � N ¡ [ g O ^ X T P { Z N ¢ TX N b N

K J N l c Z P P TX J \ J M ^ g Z P l ] T \ W q o O ^ X T P ^ g Z c Z P b I ^ TX M { Z H I J K L P I X T Y Z P O K c J P P V N J M Oc J b W g � J J c ^ g O ^ g O P £ ¤ RR ¥ T V q

C D C ¦ F G c J l Z g O § T \ W O ^ J � I N O P P J M ¥ T � L W O \ Y ^ J ^ O I I Z \ W { � N g O P ¥ T U N J M ^ g Z c J l Zg O \ ¨ \ W k Z c ^ X T K O I I x Y J [ \ J © O [ J c L H Z \ K g T w J [ N b K g [ J c L N b P ^ H Z Y J \ Z ^ J l I O K Z

O I I ^ g Z c J l Z J \ ^ g Z H Z \ K g q

C D C ª « G P b l Z c H O I I J M N O P P ¬ O \ Y O N O c H I Z J M N O P P Q O c Z Y c J l l Z Y M c J N O g Z X TW g ^ h � { ^ g Z

N O c H I Z ­ b P ^ J \ ^ J l J M ^ g Z P b l Z c H O I I T G P b l Z c H O I I g O P O K J Z ® X K X T Z \ ^ J M c Z P ¯ ^ b ¯ J \ J M\ Z O c I x S _ X T T Z T ° X T � K J I I X T P X T J \ X T P Z P P Z \ � O I I x Z I O P ¯ K e T � W \ J c Z ^ g Z P X T ± Z P J M { Z P b l Z c H ² I O \ Y

N O c H I Z T f g Z P b l Z c H O I I K J I I X T Y Z P � ^ g { Z � J J c ³ c Z H J b \ Y P ´ O \ Y P N O K L P { Z N O c H I Z °[ g TX K g N J k Z P H O K L b l T w J [ g X T

W g Y J Z P ^ g Z N O c H I Z W J X T M O I I ^ g Z N J � J \ TX P k Z c � K O I qw J [ g TX W g Y J Z P ^ g Z P b l Z c H O I I W J q

C D C µ « ¶ O b ^ J N J H X T I Z Y c X T k Z c ^ · k Z I X T \ W Y J [ \ O \ ¸ ¹ º W c O Y Z P I O N P J \ g X T P H c O L Z P O \ Y P L X T Y P i ¥N H Z M J c Z g TX ^ ¯ \ W O l O c L Z Y K O c T G I O » Z c g TX c Z P O \ Z ¼ l Z c ^ [ g J N Z O P b c Z P ^ g Z K J Z ® X D

K TX Z \ ^ J M ½ T \ Z ^ X T K M c X T K � J \ H Z ¾ Z Z \ { Z ^ X T c Z P O \ Y c J O Y ^ J H Z £ ¤ RR ¥ T � � T � P ^ g Z I O » Z cK J c c Z K ^ ^ J O K K b P Z { Z Y ] T k Z c J M Z ¼ K Z Z Y X T \ W ^ g Z V ¿ À � w P l Z Z Y I X T N TX ^ q Á ¼ l I O X T \ T

C D Â Ã « G P ^ b Y Z \ ^ Y c J l P O [ O ^ Z c d Ä X I I Z Y H O I I J J \ M c J N { Z c J J M J M ^ g Z Å I Z P ^ H b TX I Y TX \ W X T \ ^ J Æ^ Ç

T \ W ^ J g TX ^ g Z c c J J N N O ^ Z J \ ^ g Z W c J b \ Y _ [ g J X T P ^ J J È b X T K L e T f g Z Ä X c P ^ P ^ b Y Z \ ^Y b K L P H O K L H b ^ g Z O c P { Z [ O ^ Z c P l I O P g � T ¥ V S P É ^ Z c Y c J l l X T \ W ^ g Z H O I I J J \ T � M ^ g ZP l Z Z Y J M P J b \ Y X T P i i S N � P ° Ä X \ Y { Z g Z X T

W g ^ J M ^ g Z H b X T I Y X T \ W ° \ Z W I Z K ¯ \ W O TX c c Z P X T P � \ K Z T

Ê

Page 13: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

Ë Ì Í Î Ï Ð Ñ Ò Ó Ô

Õ Ö × Ø Ù Ú Û Ü Ý Þ ß à á â ã ä å æ ç è é â ê ä Û ê ä è ê ä Þ á ë â á ì í ê äî ì ï è é â ê ð Û í ì ß ê ä Û ñ í é Þ ò ñ â ó à Þ ô è ê ä õ á â é Þ ó Û ì í ì ß ö

à ì Û â Û è Þ á ì Û ñ è é â ÷ ø ù ê ú û ä ü é ì ý è é Þ è þ â ë â Û ÿ ï � è é Þ ó Þ Û ÷ í ì ß à ì Û â Û è þ è é â û � � û â � � â Û èß ì è ê ä ì Û ì ï è é â à Þ � � ð í á â ý ì � á ó � â è é â û Þ ß â � è é Þ è ì Û á � è é â � ó ê ä � û ì ï è é â é â á ê ú Ý ý ì � á ó� â è â ô â ó

Õ Ö × Õ Ù � ý ì � á ì í � û ì ï � Û â � � Þ á ß Þ û û Þ ô â í ì Û Û â í è â ó � � Þ û è ú Û ñ ì ë â ô Þ û ß ì ì è é à � á á â � � � ê ä� ô â

ã � � � ä � � � â í ì â � ê í ê ä â Û è ì ï � äê Û â � í ï ô � í è ê ä ì Û ê ä � � � � ý é Þ è Þ Û ñ á â � ì ï è é â ÿ Û í á ê ä Û â Þ á á ì ý � âß ! û â " è ì ß ì ë â Þ è Þ í ì Û û # Û è û à â â ó $%

& ''

�( ) * Õ + , - ô ì � á â ß ã Ö . ã ä

Õ Ö × × / - â ô ï ì 0 Þ í ì ß à � è â ô í Þ á í � á Þ 1 ì Û ï ì ô Þ Û ì � 2 â í è ß ì 3 ä Û ñ ë â ô è ê ä í Þ á á � ê ä Û Þ ê ä ô � Û ó â ô ñ ô Þ 4 îÞ Û ó â Ý à â ä â Û í ê ú Û ñ Þ ô â # ô ó ê ä Û ñ ï ì ô í â à ô ì à ì ô è ê ú ì Û Þ á è ì è é â û � � Þ ô â ì ï è é â ì � 5 â í è 6 û û à â â ó

� 7 â â Ü � � Þ 1 ì Û ã ä ã å � % 8 û â ë Þ ô ê ä Þ � á â û 9 � ì ô ß Þ û û Þ Û ó : ï ì ô è é â ì � ;ä â í è ç < ô Þ ó ê ä � û ä = > á è é â

ì � ;ä â í è û Þ ô â ó ô ì à à â ó ï ô ì ß ? â û è ï ô ì ß è é â è ì à ì ï Þ å æ æ @ ß A # á á � � � á ó ê ä Û ñ ä 8 B â C ë Þ á � â ì ï

D E FG æ ä H I Þ Û ó ß Þ � â í ì ß à � è â ô à á ì è û ì ï é â ê äñ é è J K û à â â ó L þ Þ Û ó Þ í í M á â � è ê ä ì Û N ë â ô < � û O

ï ì ô è é â ï ì á á ì P Û ñ í ì Û ó ê ä 1 ì Û 7 Þ Û ó Þ Û û ý â ô è é â � � â û Q ì Û û ääR S � T � Þ " â � Þ á á ì ï 9 U V æ ä å W X � ñ Þ ê Y ó : ZZ æ ä æ . [ [ ß ä� \ � T à ê ä Û ñ A à ì Û ñ � Þ á á ì ] 9 ^_ æ ä æ æ ã W � ñ Þ Û ó : ` ` æ ä æ å a ß äR b � T ô Þ ê ä Û ó c ì à ì ï : ^^ æ ä æ æ . ß ä� d � e ì Þ á á f â ì � ;

ä â í g ô â Þ í é h â ê ä ô è â ô ß ê ä Û Þ á û à â â ó û i e ê ä û í � û û è é â ë � â û ì ï f â è â ô ß j ä �Û Þ á ë â á ì í ê ä � â û Þ Û ó â Ý à á Þ ê ä Û è é â ê ú ô ó ê ä k â ô â Û í â û ä

� l � m � n Þ Û Þ � Þ û â � á � â è é ô ì o p ï Þ ô è é â ô è é Þ Û Þ à ê ä Û ñ � à ì Û ñ � Þ á á â ë â Û f ì � ñ é è é â� Þ û â � Þ á á ê ä q û ì ß � õ é ß ì ô â ß Þ û û ê ä ë â i

R r e ê % û í � û û è é â è â 0 äê Û û à â â ó û ì � � ê äñ Þ Û ó û ß Þ á á ô Þ ê ä Û ó ô ì à û s Þ è Þ ô â h â è â 0 ê ð Û Þ á

t à â â ó û ì ï � ê ä Û ó ô ì à û é Þ 4 Û ñ ô Þ ó äê ê ä æ ä æ æ ã ß u ó æ ä æ æ W ß i

Õ v × w Ù T à Þ ô è ê ä í á â ê ä û ô â á â Þ û â ó ï � ì ß ô â û è � J ZZ æ � Þ Û ó ï á 7 � Û ó â x è é â ê ä Û y � â Û í â ì ï ñ ô Þ 4 î Þ Û óÞ ê ä ô ô â û ê ä û # Û í â ä � ê ä Û ó è é â ô â á Þ z ê ä { Û û é ê ä

à | â } â â Û L Þ Û ó è é â ó äê û # Û í â ì ï ï Þ á á äê Û ñ J ý é â Ûè é â Þ ~ ä ô ô â û ê ä û # Û í â ê ä û â � � Þ á è ì � S � � L Þ Û ó R \ � � L � ä

Õ Ö × � Ù - â ô ï ì ô ß è é â Û � ß â ô ê ä í Þ á í Þ á í � á Þ è ê � ì Û û ì ï Ü Ý Þ ß à á â ã % � ï ì ô è é â ë Þ á � â û ñ ê ë â Û ê ä Û � ê äñ � ô â

ã � � ä � á ì è � ì è é � ê äñ � ô â û ã Ö � Þ Û ó ã � a ä e ì Û ì è ó � à á ê ä í Þ è â è é â � ì á � è ê ä ì Û ê ä Û T à à â Û ó � Ý � � ä

í ì ß à ì û â � ì � ô ì � � ì á � è ê ä ì Û ä

Õ � × � Ù T � Û ê ä û á ì í Þ è â ó ì Û Þ � á � � ì ï é â äê ñ é è � ì ë â ô á ì ì � ê ä Û ñ Þ � ä ë â ô ë Þ á á â � ä Ú ï è é â ß � � � á â ë â �á ì í äê î ê ä � L � þ � ê Û ó è é â â Ý à ô â û û ê ä ì Û ï ì ô è é â � Û ñ â Þ û Þ ï � Û í è � ì Û ì ï è é â â á â ë Þ è ê ä ì Û Þ Û ñ � â ì ï

è é â � Û ä ü ì � ë â Û � ß â ô � í Þ á á � � ì ô è é â ß ù ê ä ß � ß � Þ Û ñ â ì � è ê ä Û è ì è é â � á á â � ï ì ô Þ � ë â Û �Þ Û ó L � ä

Page 14: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � �   ¡ ¢ £   ¤ ¥ ¡ ¦ § ¨ ¦ © ª ¨   « ¬ ¡ ­ ® ¯ ¨ ¦ ¬ ¡

° ± ² ³ ´ µ ¶ · ¸ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ · À Á Â Ã Ä À ¶ ¼ ¼ Å Æ Ç Ç È É Ê Ë Ã ¼ ¸ ¼ Ì Í Î À Í Î Ï À Å ÎÍ À ¶ » · º ¼ ¿ ¼ Ð Ï Î Ñ Í Î Ð Å Ï Ã ¼ ¾ ½ ¸ º ¼Ò Ó Ì Ô ¸ ¼ À ¶ ½ Ð À Í Î Õ » ¼ Ö

° × ² Ø Ù Ú Ã ¼ À ¶ ¼ ¼ Å ½ ¾ · ¶ · ¸ Ï ÎÍ º » ¼ ½ ¾ ¿ · À À Â Û · Ü Î ¼ À Ý Ï Ã Þ ¼ ß Î À Ï · Ð º ¼ Ì · À Æ Ó Ì Ô à à È Ì á â Î ã À ä ¿ ¼Æ Ó Ì åå æ Ô Ç à æ · Ï ç àÇ æ Î è é Ô Ñ ÎÍ Ð Å Ï Ã ¼ ¾ ½ ¸ º ¼ Ò Ó Ì Ô ¸ ¼ À ¶ ½ Ð À Í Î Õ » ¼ Î è ê Ô ë ¼ Ï ¼ ì Í Î Ð ¼ Ì Ó ç Ô · Ð Åè í Ô î ç Ô Î

° × ² ï ´ µ Õ ½ · Ï Ý Ï Ã Í Î Ð Í Î Ï Í Î · » À ¶ ¼ ¼ Å Æ ð ÎÍ À » · ä Ð º à ¼ Å ½ Ð · » · ñ ¼ Î Ú Ã ¼ Õ ½ · Ï Í Î À À » ½ Ë ¼ Å Õ ò Ï Ã ¼ Ë · Ï ¼ ¸ Õ ò· ¾ ½ ¸ º ¼ Ò àÇ à È ó ô õ Î Ó é Ô Ñ Í Î Ð Å · Ð ¼ ö ¶ ¸ ¼ À À Í Î ½ Ð ¾ ½ ¸ Ï Ã ¼ À ¶ ¼ ¼ Å Æ Ó ç Ô Î è ê Ô Ñ ÎÍ Ð Å Ï Ã ¼ Ï Í Î ¿ ¼ · Ð Å

è í Ô Å Í Î À ÷ Ð º ¼ ¾ ½ ¸ Þ ¼ Õ ½ · Ï Ï ½ À Ï ½ ¶ Î

° ø ù ´ µ ¶ · ¸ ú º » ¼ ¿ ½ Û ¼ À Í Î Ð · û ü ÎÍ ¿ ¼ Ð À Í Î ½ Ð · » ½ ¸ Õ Í Î Ï Å ¼ ý Í Ð ¼ Å Õ òÌ Ó ç Ô àà þ Ó ÿ È ç à À Í Î Ð È ç Ô

� Ó ç Ô Ç à þ Ó � à º ½ À È ç Ôè é Ô Ñ ÎÍ Ð Å Ï Ã ¼ ÷ Ð � ¼ Ð Ï Í Î · » · º º ¼ » ¼ � Ï Í Î ½ Ð � � · Ð Å Ð ½ ì · » · º º ¼ » ¼ ¸ · ¹ ½ Ð � â · À · ¾ ä Ð º Ï Í Î ½ Ð ½ ¾

Ï Í Î ¿ ¼ Ë Ã ¼ ¸ ¼ Þ ¼ Ï · Ð � ¼ Ð Ï Í Î · » · Ð Å Ð ½ ¸ ¿ · » º ½ ¿ ¶ ½ Ð ¼ Ð � · ¸ ¼ ÷ ñ ¼ Ð � Î Ï Ã ¸ ¼ À ¶ ¼ º Ï Ï ½ Ï Ã ¼Û ¼ » ½ º Í Î � Î

è ê Ô ë ¼ Ï ¼ ì Í Î Ð ¼ · Ï Ë Ã · Ï Ï ¿ ¼ À Í Î Ð Ï Ã ¼ ½ ¸ Õ ÎÍ Ï � â Ã Ä · ¿ Í Î ¿ ä ¿ Î

° ø � ´ µ Ï ¸ · ÎÍ Ð ¿ ½ Û ¼ À · » ½ Ð � Ï Ã ¼ Ï ¸ · º ñ À · Ï · º ½ Ð À Ï · Ð Ï À ¶ ¼ ¼ Å � Î µ Ë ½ ¿ · Ð ½ Ð Ï Ã ¼ · Í Î Ð Ï Ã ¸ ½ Ë À· Õ · » » ½ ¾ ¿ · À À  À Ï ¸ · Í Î � Ã Ï · à ¼ · Å Ý Ï Ã · À ¶ ¼ ¼ Å Æ Ý Ï Ã ¸ ¼ À ¶ ¼ º Ï Ï ½ à ¼ ¸ À ¼ » ¾ Î è é Ô � · Ï Í Î À Ï Ã ¼ñ Í Î Ð ¼ ú º ¼ Ð ¼ ¸ � � Í Î Ð ½ ¾ Ï Ã ¼ Õ · » » · À ¿ ¼ · À ä ¸ ¼ Å Õ ò · ¶ ¼ ¸ À ½ Ð ½ Ð Ï Ã ¼ Ï � Í Î Ð � Ó ê Ô Õ ò · ¶ ¼ ¸ ×

À ½ Ð À Ï · Ð Å Í Î Ð � � Ï Ã ¼ ¸ · » ¸ ½ · Å Ï ¸ · º ñ Î � è í Ô � ½ Ë ¿ ä º Ã Ë ½ ¸ ñ Í Î À Å ½ Ð ¼ Õ ò Ï Ã ¼ Ë ½ ¿ · ÐÏ Ã ¸ ½ � Î Ð � Ã ¼ Õ · » » · Ð Å è � Ô Õ ò Þ ¼ Ï ¸ · Í Î Ð �

° ø ° Ù µ À ½ » Í Î Å º ä Õ ¼ ½ ¾ ä Ð Í Î ¾ ½ ì Å ¼ Ð À Í Î � · Ð Å À Í Î Å ¼ À ½ ¾ � Í Î À Í Î Ð ¼ � ä Í Î » Í Î Õ Ü Î � ½ Ð Ï ½ ¶ ½ ¾ · º ò » Í Î Ð Å ¼ ¸½ ¾ � Å ÎÍ ä À � Ó Ñ Í Î � ä ¸ ¼ ÿ � � Ô Î Ú Ã ¼ ¶ » · Ð ¼ À ½ ¾ ¾ ½ ä ¸ À ÎÍ Å ¼ À ½ ¾ Ï Ã ¼ º ä Õ ¼ · ¸ ¼ ¶ · ¸ · » » ¼ » Ï ½ Ï Ã ¼ ÎÍ À

½ ¾ Ï Ã ¼ º ò » Í Î Ð Å ¼ ¸ Î Ú Ã ¼ º ½ Ð ÷ º Ï Õ ¼ û ¼ ¼ Ð º ä Õ ¼ · Ð Å À ¶ à ¼ ¸ ¼ Í Î À ¶ ¼ ¸ ¾ ¼ º � ò ¸ ½ ä � à Π� Ð Å ¼ ¸Ë à · Ï º ½ Ð Å Í Î � ½ Ð À Í Î À Ï Ã ¼ ¼ � ä Í Î » Í Î Õ Ü Î ä ¿ À ÷ Õ » ¼ ½ ¸ Ð ½ Ï À ÷ Õ » ¼ �

! " # ° × $ % ¸ ½ Õ » ¼ ¿ ÿ × & ÿ Î

° ø ² Ù µ ¶ · ¸ ú º » ¼ Í Î À ä Ð Å ¼ ¸ Ï Ã ¼ Í Î Ð ' ä ¼ Ð º ¼ ½ ¾ · ¾ ½ ¸ º ¼ Ò (à à ) Ì * ) Ì + É È , - Ë Ã ¼ ¸ ¼ ) · Ð Å È · ¸ ¼º ½ Ð À ÷ Ð � · Ð Å ) Í Î À ¶ ½ À Í Î Ï Í Î . ¼ Î ë ¼ Ï ¼ ì Í Î Ð ¼ / Ó Ì Ô · Ð Å Å Í Î À º ä À À Ï Ã ¼ ¿ ½ ú ½ Ð Î 0 · Ï Ã · ¶ ¶ ¼ Ð À

Ë Ã ¼ Ð 1 (( Ó 2 É & Ô ) È , �° ø 3 Ù 4 ½ » Û ¼ 5 ö · ¿ ¶ » ¼ ÿ Î 2 ÿ Õ ò ä À Í Î Ð � ¾ ½ ¸ º ¼ À ¸ · Ï Ã ¼ ¸ Ï Ã · Ð ¼ Ð ¼ ¸ � Î � ½ Ë º · Ð ò ½ ä Å ¼ Ï ¼ ì Í Î Ð ¼

Ë Ã ¼ Ï Ã ¼ ¸ Ï Ã ¼ À ò À Ï ¼ ¿ ¼ � ä Í Î » Í Î Õ ¸ Í Î ä ¿ Í Î À À ÷ Õ » ¼ ½ ¸ ä Ð À ÷ Õ » ¼ �

6 7

Page 15: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

8 9 : ; < = > ? @ AB C D E F G H I J K L G M N O P N Q G P G R S K T G O M G P M G U V T G W X S K Y KS L U S K X Z S [ H H \ L Y G N U X T H \ L Y G O M G T

] ^ _ ` a ^ b _ c d e f g KB C h E i U S K P G P M G I U S K P G U S K V j N U Q G P G R S [ T S K T k O M G P M G U V T G W X KS Y S K L U S K X Z S K H H P V L Y G N U X T H \ L Y GO M G T V Y Y Q G J l m V P S [ m G H X n P M U N X k M N U Q G U o p ] ^ q ` a ^ b r c d sf g KB C t E u N T H S K Q G U V n V U v I Y G Z N w K T k KS T P M G U G k S K N T b x g X T Q G U P M G S K T y X G T I G N j P M G n N P G T v V Y

` ] b c ee ` d z { | } { b~b |

O M G U G ` d es � � V T Q � e s � Z K � Y N P P M G n N P G T P S K � p � S T Q P M G G W X S K Y S K L J K X Z n N S K T � � V T QQ G P G R S K T G O M G P M G U P M G � V U G Z � KS Z V N U Z K S T KS Z V KB C � E � O N k U V w K P V P S K N T V Y Y � L N X T Q H P V U H � P M G W X V Y Z V H H G H � � H G n V U V P G Q L � V Q S K H \ T I G ^ � U G �

m N Y m G V L N X P P M G S K U I G T P G U N j Z V H H KS T I S [ U I X Y V U N U L KS � K � M N O P M V P P M G n G U KS N Q � KS H n U N n N U �P KS N T � P N ^ � � _ ] � G n Y G U � H � M S K U Q � V O c V T Q � S T Q P M G n U N n N U P S K N T � S K � I N T H P V T P K

B C � � � O N k � w K P V � N T V Y Y � L N X T Q H \ U H � K P M X T G W X V Y Z � H G H � � V T Q � _ � H G n V U V P G Q L � V Q S K �\ T I G ^ p U G m N Y m G V L N X P P M G KS U I G T P G U N j Z V H H S K T I S K U I X Y V U N U L S K P H K � M N O P M V P P M G n G U S K N Q �S K H n U N n N U P S K N T V Y P N ^ � � _ ] � G n Y G U p H � M KS U Q � V O c V T Q � S T Q P M G n U N n N U P S K N T V Y S K � I N T H \ T P KB   D ¡ � ¢ I I N U Q S [ T k P N H n G I S K V Y U G Y V P S K w K � � V n V U P S K I Y G N j U G H P Z V H H � d V I I G Y G U V P G Q S K T N T G Q S K Z G T £

H S K N T L � V j N U I G ¤ N L G � H P M G G W X V P S K N T N j Z N � N T ^ ¥ a ^ ¦ ef ¤ K § G U G ¥ f e � d ¨ a ] � ©¨ _ a ª _ c � � _ S K H P M G U G Y V P KS w K H � I Z N Z G T P X Z � O M S K I M U G Q X I G H P N � d ¨ j N U ¨ _ a « _ ¬ ¬ � K ­ ® c ¯ N UP M G I V H G N j I N T H \ T P ¤ V T Q S K T KS P S K V Y I N T Q S K P S K N T H b ] g c f e g f e ¨ ] g c ° � S T Q b ] ¦ c V T Q ¨ ] ¦ c K

] ± c � ² G P I M � N X U U G H X Y P j N U ¨ ] ¦ c K ­ ³ c � X n n N H G P M V P ¤ a � d es � g ´ H _ ] µµ ¶ N T · V U P M c K§ N O Z X I M � Z G S K H U G W X S K U G Q j N U P M G n V U P KS I Y G P N U G V I M M V Y ¸ P M G H n G G Q N j Y S K k M P V T Q N j¹ ¹ º » P M G H n G G Q N j Y S [ k M P ¼B � D ½ E � G P X H Z V ² G P M G ] X T U G V Y S K H � I c V H H X Z n P S K N T P M V P V L N V P N j Z V H H � k Y KS Q S K T k � P M KS T S K v V Ym G Y N I S K � ¨ d KS T O V P G U S K H H Y N O G Q L � V w K H I N X H U G P V U Q S K T k j N U I G N j Z V k T KS P X Q G ¾ ¨ _ � O M G U G ¾KS H V I N T H \ T P K ­ ® c ¯ S K T Q V T Q H ² G P I M ¨ ] ¦ c K § N O Y N T k Q N G H S K P \ ² G P M G L N V P P N U G V I M VH n G G Q N j ¨ d a � g g g ¼ ] ± c ¯ S K T Q b ] ¦ c K § N O j V U Q N G H P M G L N V P P � m G Y S K T P M S [ H P S K Z G ¼ � G P � s e

� g g ² k � ¨ d ef � Z a H p V T Q ¾ ef g K � ¿ Z À _ H _ KB � D B E ¢ n V U P KS I Y G N j Z V H H � Z N w K T k S K T N T G Q S K Z G T H S K N T M V H n N P G T v V Y G T G U Á ` ] b c ©©

` d  � ] b a | c _ e ] b a | c Ã Ä � O M G U G ` d V T Q | V U G n N H S K P KS m G I N T H \ T � K ­ ® c ¯ S K T Q P M G j N U I G¤ ] b c � O M S K I M V I � N T P M G n V U P S K I Y G K ] ± c � ² G P I M ` ] b c K ¯ S K T Q P M G n N H S K P S K N T H N j H \ L Y G V T QX T H P V L Y G G W X KS Y S K L J [ X Z K ­ ³ c Å V P KS H P M G V T Æ Y V U j U G W X G T I � Ç N j N H I S K Y Y V � N T H V L N X P P M Gn N KS T P N j H P V L Y G G W X S K Y S K L J K X Z ¼ ­ È c Å V P KS H P M G Z S K T KS Z X Z H n G G Q P M G n V U P S K I Y G Z X H P M V m GV P P M G N J K k S K T P N G H I V n G P N S K T � S T S K � ¼ ­ É c ¢ P ¦ sf g P M G n V U v I Y G S K H V P P M G N J K Ê T V T Q S K P H m ËY N I S K � S K H n N H S K P S K m G V T Q G W X V Y KS T Z V k T S K P X Q G P N P M G G H I V n G H n G G Q N j n V U P ­ È c K ¯ S K T Q b ] ¦ cV T Q H ² G P I M Ì G U G H X Y P K

B � D Í � Å KS I M N j P M G j N Y Y N � T k j N U I G H V U G I N T H G Î V P KS m G ¼ Ï j I N T H G Î V P S K m G � � S T Q P M G n N P G T P S K V YG T G U Á ` ] Ð c K ­ ® c ¤ Ñ ee | Ò Ó } ¾ b } « � ¤ Ô sf | b Õ } ¾ Ó � ¤ Ö f e | b × } Ø K ­ ± c ¤ Ñ ©©e Ó Ù Ú Û p ¤ Ô es Y T Ó � ¤ Ü s e Ù Ú Û } × a Ó K ] ³ c Ý es É Þ | a ß ] | ° ¾ � « V U G I N T H \ T � c KB � D à � ¢ n N \ P N N j Z V H H g K á ² k Z N m G H X T Q G U · V U P M â H k U V w K � � P M V T V S K U U G H S K H P KS m G j N U I G N j© ã � ¨ K ] ® c ¯ KS T Q P M G P G U Z KS T V Y m G Y N I KS � KS j P M G n N P V P N KS H U G Y G V H G Q j U N Z U G H P V T Q ã es

g K g � H À ä K ­ ± c ¯ KS T Q P M G Z � S K Z X Z M G S K k M P N j P M G n N \ P N S K j S K P M V H P M G H V Z G m V Y X G N j ã �

Page 16: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

å æ ç è é ê ë ì é í î ê ï ð ñ ï ò ó ñ é ô õ ê ö ÷ ø ñ ù õ êú û ü ýþ ü þ ÿ � þ ÿ � þ ý ü þ ý � � � � � � � ü � þ ý � � � û � � � � � ü � � � ü û � � ü � � � � � � ü � ü � � û � � ü � � � ýþ � þ ý ü þ ý � �� � � ýþ � � � � � � � � � ý

� � � � � � � û � � � þ ÿ � � � � � � � � � � � � � ü � û ü � � � � ü û � � ü � � � � � � � � � û � � � � þ ý � � � � � û � � ü� � � � � ü ýþ � � � � � � � � � ! � � � � ü � � þ ý � " � � � � � � � � � � ü � � � � � � # $ � � ü û � � ü �û � � � þ ý � � ü ú � � � � � � � � � ü � � � � ü � � � � û � ü � þ ÿ � ýþ ü ýþ � � � � � þ ý � � � � � � � ý % � ü � � þ ÿ �� � & ý � ü ýþ � � � � � � ' (( ( ) * + , � � ü � � ü � � � � û � � ) -

Page 17: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

) * +

, - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 9 : 6 1 ; 2

< = > ? @ A

B C D E F G HI J K L M N O P J Q R HI S Q G S I H L L O T Q P S Q R G I H G U Q V O W X X Y Z J O G G O T T O S N M [ T Q O G K P I H R Z \ N Q G MV Q P S M S Q R G T O R T I H G W X ] [ ^ M _ S J H ` N M J O G G I H G [ I H G K a O S M [ b S J O R [ P M L M O G M [ V P Q J P M G T H

c O L S d L O T M e f g T N M R O T d h L V P M i d M R S j k l O R [ T N M K M P I H Q [ m l n e o g T N M T Q p M R M P q r O R [e s g T N M J t I H J d J G K M M [ H

B C u v w L Q \ T N M J Q x Q R I H R T N M K P M S M [ I H R Z K P Q y L M J T Q T O z M K L O S M I H R O P M G I H G T I H R Z J M [ I H d J H{ T M P Q G S | H L O T I H R Z V Q P W X G n } M J t I H J d J O J K L I H T d [ M [ M S P M O G M G T Q N O L V } M I H R I H T I H O L

~ O L d M H c O L S d L O T M e f g T N M [ O J K I H R Z K O h J M T M P � n e o g } M V P M i d M R S j k I � S Q J K O P M � H T N} M d R [ O J K M [ V P M i d M R S j k l g n O R [ e s g T N M [ M S P M J M R T Q V T N M J Q x Q R H

B C B v ` N M Q G S I H L L O T Q P Q V � P Q y L M J b � W I H G G M T I H R T Q J Q T I H Q R y j Z I H ~ I H R Z I H T O R I H R I H T I HO L ~ M L Q S I H T j Q V

W S J _ G O T � U M i d I H L I H y P I H d J K Q G I H T I H Q R H c O L S d L O T M e f g T N M J t I H J d J [ I H G K L O S M J M R T O R [e o � T N M J t I H J d J K Q � M R x O L M R M P q H

B � v c Q R G I H [ M P O G I H J K L M N O P J Q R I H S Q G S I H L L O T Q P H c O L S d L O T M T N M � � H � � O ~ M P O Z M G Q V T N M z I H R M x SO R [ K Q T M R T I H O L M R M P � M G Q ~ M P Q R M S j S L M n O R [ G N Q \ T N O T T N M G M i d O R T I H T I H M G O P M M i d O L H

� j I H G T N I H G O P M O G Q R O y L M P M G d L T �H � M � T S O L S d L O T M T N M � � � � � O ~ M P O Z M G Q V T N M � H R M � S O R [K Q T M R T I H O L M R M P Z I H M G H � I H G S d G G T N M P M G d L � G H

B � � v � y T O I H R O R M � K P M G G I H Q R V Q P T N M V h S T I H Q R Q V O S Q J K L M T M K M � H Q [ T N O T O G I H J K L M N O � Q R I H SQ G S I H L L O T Q P G K M R [ G � H T N I H R O G J � L I H R T M � O L   ¡ O T O K Q G I ¢ � Q R ¡ H £ z M T S N S d � M G Q V T N I H GV d R S x Q R ~ M P G d G ¡ V Q P G M ~ M h L [ I H V V M P M R T O J K L I ¢ T d [ M G H � I ¢ G S d G G T N M K N j G I H S O L G I H

Z R I H ¤ I S O R S MQ V T N M P M G d L U H c Q J J M R T Q R T N M O P M O G d R [ M P T N M ~ O � H Q d G S d � M G ¢

B � ¥ v ` \ Q J O G G M G � ¦§ § W X X Z O R [ � ¨ § § © X X Z G L I H [ M V P M M L j I ¢ R O N Q � H ª Q R p V P I H S T I H Q R L M G G T P O S z

O R [ O P M S Q R R M S T M [ y j O G K P I H R Z \ N Q G M V Q P S M S Q R G « R T I H G ¬ §§ X ¢ ­ � _ J H ® I H R [ T N M V P M ¯

i d M R S j Q V Q G S I H L L O T Q ° J Q T I H Q R V Q P T N I H G G ± T M J H

B C ² v F y Q [ j Q V d R I H V Q � S P Q G G Y G M S T I H Q R O L O P M O ³ § ´ W S J ¨ O R [ Q V J O G G [ M R G I Hµ ¶ · · X H ¸

Z _ S J ¹ º Q O U I H R O L HI i d I H [ Q V [ M R G ¢I µ ¶ l »» W Z _ S J ¹ O R [ O T M i d I H L HI y � ¢ d J [ I H G K L O S M G O ~ Q L ¯d J M ¼ ½½ X ¢ ¸ S J ¹ H £ N Q \ } O T T N M K M � H Q [ Q V G J O L L Q G S I H L L O � Q R G O y Q d T T N M M i d � L I H

y P I H d JK Q G I ¢ T I H Q R I H G � ~ M R y j

m § ´ © ¾ ¿ ¼ _ À ³

\ N M P M À I ¢ G T N M Z P O Á H T O � Q R � ¤ I M L [ G T P M R Z T N H � M T M � I H R M T N M ~ O L d M Q V m H

B Â Ã F K M R [ d L d J I H G G d G K M R [ M [ V P Q J T N M S d G K Q V O S j S L Q I H [ Ä S d T I H R O � ¢Z I H [ G d K K Q P T � ® I ¢

Z d P Mb � F g H ` N M K O T N [ M G S P HI y M [ y j } M K M R [ d L d J y Q y

HI G Å S L Q ¢I [ � Æ [ I H G � ~ M R y j

¡ § § � � Ç ´ G I H R Ç g n ȧ´ � � S Q G Ç ´ W g

\ N M P M T N M L M R Z T N Q V T N M K M R [ d L d J I H G É §§ Ê � n O R [ \ N M P M Ç I H G T N M O R Z L M Q V P Q T O T I HQ R

Q V } M S HI P S L M Z M R M P O T I H R Z T N M S j S L Q HI [ H £ N Q \ T N O T T N M Q G S I ¢ L L O T I ¢ Q R G O P M M � O S Ë j I H G Q S N P Q �R Q d G \ I H

T N O V P M i d M R S j Ì l§§ Í À _ É r I ¢ R [ M K M R [ M R T Q V T N M O J K L I H T d [ M ¢

Î : Ï Ð Ñ Ð Ò Ó Ð Ñ Ô Õ Ö Ò × H Ø Ù H Ø Ò Ñ Ú H Û Û Ð Ü Ñ Ý Ü Ð Ñ Þ H Ø Ð ß Ý Ö à á à Ù Ý H Ø Ó ß ß Ï Ý Ô Ù Ó à Ý Õ ß Ô Ù Þ Ò Þ Ð â Þ Ý Õ Ò Õ Ò Ù ãH à ä Ý × Ð Þ å H

æ ç èé ê ë ì í

î ï

Page 18: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

ð ñ ò ó ô õ ö ÷ ø ù ú

û üýýþþ ÿþ � �þý� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ý �þ ý �þþ � þý �ý

� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � ! " � # $ % & � � � ' � " ( ( ) $ � ( " # � � ( # " # # * � � + , � ' " ( ! � $ � + - . ' � � & � & � + ( / + # 01 2 3 * " + - $ � + -' � � � " 4 $ 5 � , ( 6 ! ! � � # � # 7 01 8 9 " & � + ( # " + # , � : ; " � , ' � � & � < $ � ( " ! ! � $ � � , # � # * � � " ( (" + , " & = ' � � " # $ � � � 7 > � ? * � ; # * " # 9 @ # � � # * � ' � � & � $ � ( � � � � A � , B # * � , $ � ( ! � " & � � � + # � ' # * �� " ( ( ' � � � �$ = � C 6 % $ � % $ � � $ � 6 � ! � ( $ � # $ � � + . D 1 0 D > B ; * � � � D �$ ( , � : 3 % $ (<D 0 D > 0 0 E F & � ( G > . 7 1 7 > 3 1 & � ( G > 7 H2

; * � � � G I > 0 1 2 J ) �� � K L � M ' # * � " � ! � $ � # 6 , � � ' " , " � ! � , � ( & % $ � � " # � � , � & � � " ( � ( # � N J O � ' % $ = $ � + $ � # $ � P A " � 6 � @ # � �Q ! � R � � , ( S ( * � ; # * " # # * � ' � � C 6 � + & T � ' # * � � ( & $ � � � " # � � � 6 ( # � � " ! ! � � 5 U � " # � � TF N 0 . � V I Q I 3 W $ H X � � ( # * � ' � � C 6 � + & T � ' # * � & � � � � ( ! � + , $ � + - 6 + , " � ! � , � ( & $ � � � " # � � %Y

Z K K � [ � R � A � # * � � 5 ! � � ( ( $ % � + ( ' � � # * � � + � � \ " + , � + � � \ � � � ( ( & 6 ] � ( ( * � : $ � + ^ $ � - 6 � � � �' � � # * � , " � ! � , � ( & U � � " # � � � ^ � � " � $ � - * _ T , " � ! � , � ( & $ � � � " # � � B & " � & 6 � " # � # * � ` a b ` c O d ` 7 O" # ; * �$ & * # * � , " � ! � , � ( & $ � � � " # � � � � ( � ( � + � � \ . $ � � � � 9 & � � ! 6 # � " # $ � � � " A � e - � � A � � � + �& T & � � 3 �� f K g � ( $ � � ! � � ! � + , 6 � 6 � & � + ( $ � ( h ( � ' " � " ( ( ) ( 6 ( ! � + , � , ' � � � " 4 $ 5 � , ! � $ � + # � T " ; � $ � - * # i

� � ( ( j � 5 # � + ( $ � � + � � ( ( � � , � ' � � + - # * k % l � # " $ % + # * � � C 6 " # $ � � + � ' � � # $ � � + " + , B $ � + # * �" ! ! � � m � � " X � + n " # ( $ � + o p 00 o q ( * � ; n " # n � + " # 6 r ' � � C 6 � + s $ � ( G > 01 t c J k B ; * � � � c�$ ( # * � - � " u # " X � + " � 4 $ � � , ( # � � + - # * % [ % $ ( & 6 ( ( # * � � � # % $ � + �$ + # * � � A � + # # * " # # * � � � # �$ � +/ v � ( ! � " & � $ % + " u ( & � 6 ( � � , $ � 6 � w � # * � � / � , $ � + - ' � � & � x ) y c k o z %� { K � � ? * � ; # * " # | C 6 " # $ � � + } � ~ } $ � ( $ % + , � � , # * � ( � � 6 # $ % � + ' � � & � U # $ � & " � , " � ! $ � + - � T " ( ( 6 � $ % + - "( � � 6 � � + � ' # * � ' � � D . 7 3 01 � . 7 3 � 5 ! . 1 � 7 3 " + , , � # � � � $ � + $ % + - n � ' 6 + & # $ � � + � . 7 3 %� { K � � | 5 ! � � ( ( # * � , �$ ( ! � " & � � � + # D . 7 3 " + , # * � A � � � & % $ � D � . 7 3 ' � � # * � � A � � , " � ! � , � ( & $ � � � " # � � �$ +# � � � ( � ' * � � � � � � $ � & ' 6 + & # $ � � + ( �

� � K � � � � ! � � , 6 & � ^ $ % � � � ( } � N 8 � " + , & ' � � # * � ( " � � � � 6 � ( � � A � + $ � + | 5 " � ! � � } � x S � 6 #$ � + ( # � " , � � # � 11 8 � N ( � $ " + , � 11 V e , � � � ; � " + T X � � ( , � � ( # * � ( � # � � & � � ( ( # * � D 008 � $ % + � � � ' � � � # * � " � ! � $ � # 6 , � 4 $ + P � T ' P � ( � � � � ; N 8 W I � ' $ � h ( � " 5 $ % � 6 � A P 6 � � � $ � & *

! � � # q � � � & B �$ ( � � � � 6 ( � ' 6 � ' � � , � # � � �$ + $ � + - # * �$ ( + 6 � � � � � | 5 ! � " $ � + %� � K � � [ $ � ( & 6 ( ( # * � � � # $ � � + � ' " ! " � # $ � & � � , � ( & � $ � � � , � T | C 6 " # $ � � + } � } ~ $ � + # * � � A � + # # * " # � � 8

. $ � � � � q # * � , " � ! $ � + - � � ( $ � ( / + & � $ � ( Q O c ` 7 � � a O 3 �

Page 19: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � �   ¡ ¢ £ ¤ ¥ ¢ � ¦  § ¨ © ª « ¬ ­ ® ¯ ® ° ± ² ¯ ³ ¯ ´ µ ¶ ² · ¬ ¸ ¹ º µ » » ® ¼ ¬ ­ ½ ¸ ¾ ¬ ¿ ¼ ¾ ® ¼ ¼ ¾ ² ® ¶ ² ­ ® À ² Á º µ · ² ¼ º µ ¹ ² · ² ­ Â Ã Ä Å ² ¸ ® ° ² ® ¼® Æ ­ ² Ç È ² · ¹ É ¬ Æ ® À º µ ¶ ² · · È ° Ê ² ­ ¬ Æ ¬ ¹ Ë ¶ ² ¸ Ì ® Ê ¬ ¶ ² ¼ ¾ ² Á º µ · ² ¼ ͺ ¹ ² · ² ­  ­ ² ¸ ¬ · ® · ¹ ² ® ¸ ® ¼® Æ ­ ² Ç È ² · ¹ É ¬ Æ ¼ ¾ ² ¸ ® ° ² · È ° Ê ² ­ ¬ Æ ¬ ¹ ¼ ® ¶ ² ¸ Ê ² » ¬ ¿ ­ ² ¸ ¬ · ® · ¹ ² µ

§ ¨ Î Ï Ð ¾ ¬ ¿ ¼ ¾ ® ¼ Ñ º µ Æ ® ¯ ­ º µ ¶ ² · ¬ ¸ ¹ º µ » » ® ¼ ¬ ­ º µ ¸ ¬ · » É » º µ À ¾ Ò É ¯ ® ° ± ² ¯ ® · ¯ ¯ ­ º µ ¶ ² · · ² ® ­ ­ ² ¸ ¬ · ® · ¹ ² Ó¼ ¾ ² Ô ¬ Æ ¼ ¾ ² ¸ É ¸ ¼ ² ° º µ ¸ ® ± ± ­ ¬ Õ º Í ° ® ¼ ² » ÉÖ

× Ø Ù Ú Û Ü Û Ý ÞßÔ à á â ã ä å æ ç è é ê ë ì í í î ï ð ñ ç ò ì ç ² ± ² ­ ñó ¬ ô

§ ¨ õ ª « ¬ ­ ® » º µ À ¾ Ò É ¯ ® ° ± ² ¯ ¬ ¸ ¹ º µ » » ® ¼ ¬ ­ ö ¸ ¾ ¬ ¿ ¼ ¾ ® ¼ Ô ÷ø ø ù ú û ü ù ý þ Ç È ® ¼ º µ ¬ · ÿ µ � � � µ§ � � ª � » ¬ ¼ ® � � �

µ� � ­ ² ¸ ¬ · ® · ¹ ² ¹ È ² Æ ¬ ­ ® ¯ ­ º Í ¶ ² · Ñ ¯ ® ° ± ² ¯ ¬ ¸ ¹ º µ » » ® ¼ ¬ ­ � Í Å Ô �� � ³ ® · ¯ ¸ ¾ ¬ ¿¼ ¾ ® ¼ ¼ ¾ ² Æ È » » � µ ¯ ¼ ¾ ¬ Æ Å ² ¹ È ² Ê ² � ² ² · ¼ ¾ ² ± ¬ º µ · � ¹ ¬ ­ ­ ² ¸ ± ¬ · ¯ º µ · À ¼ ¬ � �

� � û � ã º µ ¸ ® �± ­ ¬ Õ � ° ® ¼ ² » É ² Ç È ® » ¼ ¬ � � � � Í� � � ¨ ª � ¸ ² ® ¹ ¬ ° ± È ¼ ² ­ ¼ ¬ ± ­ ¬ ¯ È ¹ ² ® ± ¾ ® ¸ ² ¸ ± ® ² ¯ º µ ® À ­ ® ° ¸ º Í ° º µ » ® ­ ¼ ¬ « º µ À È ­ ² ! " " Æ ¬ ­ ¼ ¾ ²#¹ ® ¸ ² ¬ Æ ¹ ´ µ ¼ º µ ¹ ® » ¯ ® ° ± à · À µ Ð ¾ ¬ ¿ ® · $ É ¼ º µ ¹ $ » É ¼ ¾ ® ¼ ¼ ¾ ² ² Ç È ® % ¬ · ¬ Æ ¼ ¾ ² » º Í · ² ¼ ¾ ® ¼ ¼ ¾ ²

± ¾ ® ¸ ² ± ® Å ¸ ® ± ± ­ ¬ ® ¹ ¾ ® ¸ & ± ¼ ¬ ¼ ' ¹ ® » » É º Í ¸ � ( )* + , � Í Ð ¾ ¬ ¿ ¼ ¾ ² ± ¾ ® ¸ ² ± ® ¼ ¾ ¸ Æ ¬ ­ ® ¼ » ² - ¼¼ ¾ ­ ² ² µº · º µ. ® » ± ¬ ¸ ͺ / ¬ · ¸ ® Ê ¬ ¶ ² ® · ¯ Ê ² » ¬ ¿ ¼ ¾ ² » ͺ · ² µ

0 � � � ª 1 ² ¼ ¼ ¾ ² º µ · º µ . ® » ± ¬ ¸ º Í. ¬ · ® · ¯ ¸ ± ² ² ¯ ¬ Æ ® · ¬ ¶ ² ­ ¯ ® ° ± ² ¯ ö · ¬ · ¯ ­ º µ ¶ ² · ¬ ¸ ¹ º µ » » ® ¼ ¬ ­ Ê ² � ú ® · ¯

2 3 4 ­ ² ¸ ± ² ¹ . ¶ ² » É µ5 6 � Ð ¾ ¬ ¿ Å ® ¼ Å ² 7 È ² ¸ ¬ Æ Å ² ® ° ± » ' 8 ¯ ² ¸ 9 º ® · ¯ 9 : º µ · þ Ç È ® / ¬ · ÿ Í ; ; ¾ ® ¶ ² Å ² 7 È ² ¸

9 <== , > ? � ú @ 2 3 ® · ¯ 9 ?

AA * , B º � 3 @ 2 3 ¿ ¾ ² ­ ² , < C D, E ù ? ® · ¯ , ? ) *

, @ ù ? µ, ? * , º , ? * , º

5 F � Ð ¾ ¬ ¿ ¼ ¾ ® ¼ ¿ ¾ ² · 9 º * G H I ¼ ¾ ² ± ¾ ® ¸ ² ± ® ¼ ¾ ¸ ¬ Æ « º µJ ­ ² ÿ K " " ° È ¸ ¼ Ê ² ® » ¬ · À ¼ ¾ ²¯ ® ¸ ¾ ² ¯ ¹ È ² L ¶ ² · Ê É � M * = N , ? � ö ¬ ¼ ¾ ² O

µ ¸ ² ¼ ¾ ² ® ¸ P ± ¼ ¬ % ¹ ± ® Å ¸ ® ­ ² ® » ¬ · À Å ²¬ Å ² ­ ¯ - ¾ ² ¯ ¹ È ² L ¶ ² · Ê É � � ) ) Q , < � µ R S µ T � µ µ U ¬ ¼ ² ¼ ¾ ® ¼ , ? V , < ® · ¯ W º · ¯ ¼ ¾ ²- & ± ¼ ¬ . ¹ ± ® ¼ ¾ ¸ ¿ ¾ ² · � X Y Í

0 Z � � [ \ ¬ Ê ² ¼ ¼ ² ­ È · ¯ ² ­ ¸ Ë · ¯ È · ¯ ² ­ ¯ ® ° ± ² ¯ ° ¬ % ¬ · Ñ È ¸ ² ® ¹ ¬ ° ± È ¼ ² ­ ¼ ¬ ± » ¬ ¼ � ý � � ¬ Æ þ Ç È ® . ¬ ·ÿ µ ; H ý � Í Å 9 = = " ° � ® · ¯ º µ� ] ¬ ¹ ¬ ° ± ¬ · ² · � ^ � _ ` a ® · ¯ ¹ ¬ ¸ ý ù < b ) c � d ® · ¯ ¹ ¬ ° ± ® ­ e

º µ ¸ ¬ · ¸ ý � Í Å ,f ) H � ¬ · g ² ¸ ® ° ² h » ¬ ¼ - i Í · « º µ

J ­ ² j µ 1 ² ¼ ù ú * ) " ­ ® ¯ û ¸ ® · ¯ ° ® Á ² k �® ­ ® ¼ ² ± » ¬ � Æ ¬ ­ , ? û ù ? ú ) * H µ l m H µ � ö ® · ¯ H µ n ® · ¯ Æ ¬ ­ c ý º µ · o ¯ º µ ® · ¸ �)* H Ñ ä û p ö ® · ¯ ä µ q ® ¶ ²¬ · » É ¬ · ² ¶ $ È ² ¬ Æ c ® · ¯ , ¬ · ² ® ¹ ¾ ± » ¬ ¼ ý º Í Í ² µ r · º µ · ² ± » ¬ � � µ s º µ ¸ ¹ È ¸ ¸ Å ² ­ ² ¸ È » � µ

§ � t � « ¬ ­ , â � H µ ã ¸ u < m ± ­ ¬ ¯ È ¹ ² ¹ ¬ ° ± È ¼ ² ­ ± » ¬ � » º v Á ² ¼ ¾ ¬ ¸ ² ¸ ¾ ¬ w º v · « º Í À È ­ ² ÿ x " � Æ ¬ ­ ® ¸ º Í · È e

¸ ¬ º µ ¯ ® » ¯ ´ v ¶ ² · ö ¯ ® ° ± ² ¯ ¬ ¸ ¹ º Í » » ® ¼ ¬ ­ ¿ ¾ ² ­ ² � y ý � � Ó � z ý � � ö ® · ¯ ¼ ¾ ² ¸ È ° � ý � � ® ­ ² ¸ ¾ ¬ w µ 1 ² ¼{ ) | " Á À û ¸ ? ® · ¯ } += " Á À v s ¬ Å º Í ¸ Æ ¬ ­ ¶ ® » È ² ¸ ¬ Æ ù û ù < ¬ Æ " û n m " û ÿ ö ~ µ " ö ÿ ö ® · ¯ � Í « ¬ ­¼ ¾ ² � � � � � ¸ ¬ » È ¼ º µ ¬ · ý þ Ç È ® ¼ ͺ ¬ · ÿ µ ; H � m » ² ¼ ¼ ¾ ² ± ¾ ® ¸ ² ® · À » ² c � � H ® · ¯ ¼ ¾ ² ® ° ± » º v ¼ È ¯ ²

9 ** * " ° v « ¬ ­ ¼ ¾ ² � � ý � � ¸ ¬ » È ¼ ͺ ¬ · ý þ Ç È ® ¼ º v ¬ · ÿ v � H � Ó » ² ¼ 9 * * " ° û ¸ ? Ê È ¼ ¹ ® » ¹ È » ® ¼ ² c v� ® ¼ ¯ ¬ É ¬ È ¬ Ê ¸ ² ² ® Ê ¬ È ¼ ¼ ¾ ² ­ ² » ® . ¶ ² ® ° ± » º Í ¼ È ¯ ² ¸ ¬ Æ ¼ ¾ ² � ¬ � ¬ » È . ¬ · ¸ - ù º Í · e

¹ ­ ² - ² ¸ � � É ¯ ¬ ² ¸ ¼ ¾ à ¸ ¬ ¹ ¹ È ­ � � ¬ ­ ù û ù � *� � � » ² ¼ 9 =* ã H ° û ¸ ? Æ ¬ ­ � � ý � � ® · ¯ ± ­ ¬ ¯ È ¹ ²¼ ¾ ² ± » ¬ ¼ ® � º µ · ͧ � � ª « ¬ ­ � » È ² ¸ ¬ Æ ,

�* " ¸ u < Ó { � � " Á À û ¸ ? ö ® · ¯ } * | " Á À m ± ­ ¬ ¯ È ¹ ² ¹ ¬ ° ± È ¼ ² ­ ± » ¬ � » º v Á ² ¼ ¾ ¬ ¸ ²¸ ¾ ¬ w º µ · « º µJ ­ ² ÿ � " � Æ ¬ ­ ® ¸ º µ · È ¸ ¬ º Í ¯ $ ¯ ´ µ ¶ ² · m ¯ ® ° ± ² ¯ ¬ ¸ ¹ º µ » » ® ¼ ¬ ­ ¿ ¾ ² ­ ² � y ý � � ö � z ý � � ö

� � � � � � � � � µ � � � � � �   � ¡ � ¢ � µ ¡ � � £ ¤ � µ ¡ ¥ ¦ � µ � ¦ � ¦ � ¦ � µ§ ¦ � ¨ � � � � �   � ¡ � ¢ � µ � ©

µ   � � ª µ � � � ¦ � ¤ � ¥ � � � � � � �   � ¡ � ¢ µ

« ¬

­ ®

Page 20: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ¸ ·

¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä Å ¹ Æ ¾ ¿ ½ Ç È É Ê Ç ¼ ½ ËÌ

¿ Í Ç Æ Î À ¾ ¿ Ç Í Ï Ð Ï Ñ Ç Í Ò Ð Ó Ô Ò Ð Õ Ö Ò Ì Ò Ö Õ × ¹ º » Ø Ì Ù Ç Æ¼ ½ ¾ Ú Û Ü

¼ Ý Ú ¹ Þ Þ ß » ¹ Á à ¾ » Â á Ã Ä Å ¿ Ç Þ À â Ç º Ç Í ã ä À ¹ â Ç º Õ Ì å Õ Ô Þ ¾ ¼ æ ç è ç Ò Á ¹ º » é èè Ò Á Ð ¿ ÜÙ Ç Æ ¼ ½ ¾ Â ê Ã Ä Å ¿ Ç Þ À ¼ Ë Ü

Ç º Ç Í ã ä À ¹ ë Ç º Õ Ü Ø ì Ô Þ ¾ ¼ æ èè í Á Ð ¿ î ¹ º » Ú ï Ú À Þ ¹ ¼ ¾ ð É ñ ¹ ¼ » Ç ß Ç ÀÇ ò ¿ ¾ ó ¾ ¹ ò Ç À ¼ ¼ ½ ¾ Æ ¾ Þ ¹ ¼ Ë Ü

ô ¾ ¹ Á à Þ Ë Ü ¼ À » ¾ ¿ Ç Í ¼ ½ ¾ õ Ç ¿ Ç Þ À â Ç º ¿ ¹ ¿ Ï Ë Ü º Ú Æ ¾ ¹ ¿ ¾ ¿ ö ñ ß » Ç ¾ ¿÷ Ë É

¿ Ç Ú Ú À Æ ö Ù Ç Æ Ï Ð Ï Ñ èè Ø × Þ ¾ ¼ æ èè ø ì Á Ð ¿ î Í Ç Æ Â ê Ã Ä Å ¹ º » à Æ Ç » À Ú ¾ ¼ ½ ¾ à Þ Ç ¼ ¹ ù Ë É º É

ú û ü ý þ Ù Ë Éÿ Æ ¾ Õ � � Ë É Þ Þ À ¿ ¼ Æ ¹ ¼ ¾ ¿ ¹ Á ¹ ¿ ¿ � � » Û Ü

ô ¾ º ò ß ¹ ¿ Ë É º À ¿ Ç Ý » ¹ Þ Í Ç Æ Ú ¾ � ½ Ç ¿ ¾ Í Æ ¾ ä À ¾ º Ú ß Ë É¿ Ï Ü� ½ ¾ Á ¹ ¿ ¿ � � Ë Ü ¿ ¹ ¼ � Ú ½ ¾ » ¼ Ç ¹ � � » ¿ À à à Ç Æ ¼ ò ß ¹ ¿ à Û É º Ç Í Í Ç Æ Ú ¾ Ú Ç º ¿ � º ¼ ¹ º » ¿ Þ Ý » ¾ ¿

Ç º ¹ ¿ ¾ Ú Ç º » Á ¹ ¿ ¿ � î É � ½ ¾ Í Û ÜÚ � Ç º ï Í Ç Æ Ú ¾ ò ¾ õ ¾ ¾ º � � ¹ º » � î

Ü Ë ¿ Æ ¾ à Æ ¾ ¿ ¾ º ¼ ¾ » ò ß ÷ ¾» ¹ Á à Ë

ɺ à ¹ Æ ¹ Á ¾ ¼ ¾ Æ � � × ¹ º » ¼ ½ ¾ Í Û Ü

Ú ¼ Ý Ç º ï Í Ç Æ Ú ¾ ò ¾ õ ¾ ¾ º � î ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À à à Ç Æ ¼ ËÌ

¿ Æ ¾ à �Æ ¾ ¿ ¾ º ¼ ¾ » ò ß � î Ü Ç º ¿ ¼ Æ À Ú ¼ ¼ ½ ¾ ¾ Þ ¾ Ú ¼ Æ Ü Ë Ú ¹ Þ ¹ º ¹ Þ Ç Ç Í ¼ ½ � ¿ ¿ ß ¿ ¼ ¾ Á ¹ º » Ú ¹ Þ Ú À Þ ¹ ¼ ¾ ¼ ½ ¾

Ë ÜÁ à ¾ » ¹ º Ú ¾ Ü

� � � � �� �� �� � � ú û � � Æ Ç ò Þ ¾ Á Õ � ø Ø É

� ü � þ � ½ Ç � ¼ ½ ¹ ¼ ¼ ½ ¾ Ù Ç À Û Ü ¾ Æ ¿ ¾ Û É¾ ¿ Ç Í ã ä À ¹ ë Ç º Õ É � Ó Ú ¹ º ò ¾ ¾ � à Æ ¾ � ¾ » ¹ ¿

� Ä Åèè Ò ! Ñ " # $ % Ú Ç ¿ Ã & Ï Ä è ' % Å

ø % ( ) �* ¾ Þ ¹ ¼ ¾ ¼ ½ ¾ Ú Ç ¾ + Ë Ú Ë Ü ¾ º , $ - ¼ Ç ¼ ½ ¾ ! % ¹ º » � % Ç Í ã ä À ¹ â Ç º Õ É Ó ì Ü .ú û ü / þ 0 ò � Ý º ¼ ½ ¾ Ù Ç À � ¾ Æ ¾ � à ¹ º ¿ Ë Ü

Ç º Ç Í ¼ ½ ¾ Í À º Ú â Ç º

1 è Ò × ç 2 Ð Ï 3 Ä 3 ì� Ä Åç è " Ò Ö ì 3 Ä 3 2 Ð Ï

Ë Ü º ÷ ¾ Ë Ü º ¼ ¾ ó ¹ Þ è 2 Ð Ï 4 Ä 4 2 Ð Ï É � ¹ 5 ¾ Ï è è Ò 6 » Ð ¿ É 7 º ¼ ½ ¾ à ¾ Û ÜÇ » Ë

ÌÚ ¹ Þ Ë Ü º ¼ ¾ 8 × Ú ¹ Þ �

Ú À Þ ¹ ¼ ¾ ¹ º » à Þ Ç ¼ ¼ ½ ¾ ¿ À Á ¿ Ç Í ¼ ½ ¾ 9 Ë Æ ¿ ¼ õ Ç ¼ ¾ Æ Á ¿ Ö ÷ ¾ 9 Ë Æ ¿ ¼ ¼ ½ Æ ¾ ¾ ¼ ¾ Æ Á ¿ × ¹ º » ¼ ½ ¾ 9 Ë Æ ¿ ¼Í Ç À Æ ¼ ¾ : ¿ ¼ Ç » ¾ Á Ç º ¿ ¼ Æ ¹ ¼ ¾ ÷ ¾ Ú Ç º ô ¾ Æ ¾ º Ú ¾ Ç Í ÷ ¾ ¿ ¾ Û

̾ ¿ É

ú û ü ; þ 0 ò � ËÜ

º ¼ ½ ¾ Ù Ç À Û Ü¾ Æ ¿ ¾ Û Ü

¾ ¿ Æ ¾ à Æ ¾ ¿ ¾ º ¼ Ë Ü º ¼ ½ ¾ Í À º Ú ë Ç º

1 ì Ô è ø 2 Ð Ï 3 Ä 3 ì� Ä Å è è¿ Ë

̺ Ï < ì 3 Ä 3 ø 2 Ð Ï

ú û ú = > 0 ò � Ë Üº ¼ ½ ¾ Ù Ç À � ¾ Æ Æ ¾ à Æ ¾ ¿ ¾ º � ¼ Ë

ÌÇ º Ç Í ¼ ½ ¾ Ç À ¼ à À ¼ Ç Í ¹ Í À Þ Þ � � ¹ ô ¾ Æ ¾ Ú ¼ Ë É 9 Ë ¾ Æ É � Þ Ç ¼ ¼ ½ ¾ 9 Ë Æ ¿ ¼

¼ ½ Æ ¾ ¾ ¼ ¾ Æ Á ¿ Ç Í ¼ ½ ¾ ¾ � à ¹ º ¿ ËÌ

Ç º ¹ º » Ú Ç Á à ¹ Æ ¾ ? É ÷ ¼ ½ ¾ ¾ � ¹ Ú ¼ Í À º Ú ¼ Ý Ç º É

ú û ú @ þ A » ¹ Á à ¾ » Þ Ý º ¾ ¹ Æ Ç ¿ Ú Ë É Þ Þ ¹ ¼ Ç Æ B Ç ÛÜ � º ¹ Þ Þ ß ¹ ¼ Æ ¾ ¿ ¼ Ë É º Ë

Ü , ¾ ä À Ë Ü Þ Ë Éò Û

ÌÀ Á à Ç ¿ Ë É â Ç º Ô Ë Ü ¿ ¿ À ò C É ¾ Ú ¼ ¾ »

¼ Ç ¹ Í Ç Æ Ú ËÌ

º Í À º Ú â Ç º Ë Üô ¾ º ò ß

� Ä Å

Dì Ô Ä 3 ìE èè ! F Ã Ä Ð G Å × ì 3 Ä 3 G� ! Ô Ä H G

Ù ËÜ

º » ¼ ½ ¾ Æ ¾ ¿ à Ç º ¿ ¾ Í À º Ú ë Ç º Ü I Þ Ç � G J ì ¹ º » ¿ ½ Ç � ¼ ½ ¹ ¼ ÷ ¾ ¿ Ç Þ À ë Ç º ò ¾ Ú Ç Á ¾ ¿ ¼ ½ ¹ ¼Í Ç Æ ¹ ¿ ¼ ¾ à Í À º Ú ¼ Ë

ÜÇ º Ì

K L

Page 21: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

M N O P Q R S T U V W X U R Y SZ [ \ ] ^ _ ` a b c d e f g f h i j c h f j k l m b a c f l g j h n a b m m l d j g d j l h d f i k o c n d b a j c l c p d j l c b a q i o m h f k o c n rs j c t a b c d e f m a u q a b d v w x y k j g j z f g p l q i a u c { b | } f d n e ~ f g f h i j c h f � c n d a b j c h �

[ � [ [ ] � � n o m l d f d e f q � a u q o q z l m o f h j k d e f l q i m a b d o p f h j k d e f g f h i j c h f � c n s j c h h e j �� c � � � g f h � � � l c p � � � u ^ � ` a u c c o q f � u n l m � m o f h k j g � � � x u � � � � e f c � � � � q � h � �� � �� � g l p � h � l c p � � �� x u[ � [ � ] � j c h a b p f g l c o c p l q i f p m a b c f l g j h n a b m m l d j g � � d e l c l d o � m k g f   o f c n ¡ � � �� x b ¢ � p � hl c p d e f h d f i k o c n s j c � £ ¤ � q � h � � � l m n o m l d f l c p h } f d n e d e f g f h i j c h f k o c n d a u j c k j gl c a � q i o m h f k j g n a u c { k o c n d b a j c l n s c { k j g l d a b q f v �� � ¥ � � � b ¦ a b z f l i e ¡ h a u n � a b c d f § g f r¨ l d a � j c j k d e f g f h o m © �

[ � [ ª ] ^ _ d l � c d e f g f h i j c h f j k l m a b c f l g j h n a b m m l d j g d j d e f k j g n a b c { k o c n d a u j c« � y

¬x ­ � ® x¯ �� � h a b c � � ° x ® � ® ¥ � �± x ² � ³ ¥ � �[ � [ ´ µ ¶ f � b z f l c f · i g f h h a b j c k j g d e f ¸ u h i m l n f q f c d j k l m a b c f l g j h n a b m m l d j g l c l m j { j o h d j¹   o l s j c º � � � x _ o d k j g d e f a � c a u d b a l m n j c p a u d a u j c h » t � � y �� » � l c p » ] t � � y � � » ] � u

[ � [ ¼ ½ ¶ f ¾ z f d e f ¦ g f f c ² h q f d e j p h j m o d a b j c k j g d e f g f h i j c h f n l o h f p _ ¡ l c l g _ a u d g l ¿ k j g n a b c {k o c n d a � j c � � j c h a � p f g d e f k o c n d a u j c d j n j c h a u h d j k l h f g À f h j k h d f i k o c n Á j c h r ½ Â d e l d b a h ­ h ` Ãk g j q Ä   o l s j c º b � x ¢ g l d e f g d e l c k g j q Ä   o l d a u j c º � � � x b[ � [ Å Æ Ç h f ¦ g f f c È h q f d e j p d j j _ ` a b c d e f g f h i j c h f j k l p l q i f p j h n À m m l d j g d j l k j g n a u c {k o c n d a u j c j k d e f k j É

Ê t Ë x � ® x� y �� Ê � Ì Í Î Ï h a b c � � � ³ x[ � [ Ð Ñ � j c h a b p f g d e f i f ¾ j p a � n k o c n d a u j c« y Ò h a b c � � ² x ® � ® ¥ � �� �� x � ¥ � � ® � ® � ¥ � �� e a � n e g f i g f h f c © d e f i j h a b d a � z f i j g d a b j c h j k l h a b c f k o c n d a b j c b t | o n e l k o c n d b a j c g f i g f rh f c © ² k j g f · l q i m f � d e f j o d i o d j k l e l m k r � l z f g f n Á Ó b c { n a b g n o a b d u y � a u c p d e f � j o � � f gg f i g f h f c ` d a u j c l c p i m j d d e f h o q j k d e f Ô a g h d k j o g d f g q h u

[ Õ Ö × Ø l o d j q j _ Ù � m f � u d e l q l h h j k � x x x } { È a b c n m o p a b c { i l h h f c { f g h ­ h f d Ú f h � � x n q n m j h f g d jd e f g j l p k j g f z f ¿ l p p À Á j c � � x x } { j k i l h h f c { f g h b Û d a b h p � b z f c � � d e l n j c h ` c d e j ¾ rÜ j c ` m n j q i j c f c d j k h i f f p � x Ý � e j z f g l � l h e _ j l g p g j l p � u d e h a b c o h j a u p � _ o q i h �Þ e f l q i m a b d o p f l c p � l z f m f c { d e j k d e f h a b c f n o ß f l g f ¢ b x n q l c p � x n q � g f h i f n s z f m ¡ uÞ e f p a b h d l c n f _ f à f f c d e f k g j c d l c p _ l n } � e f f m h � h � u � q u � a u c p d e f l q i m a b d o p f j kj h n a u m m l d a u j c j k d e f l o d j q j _ a u m f È l h h o q À c { � d q j z f h z f g d a � n l m m ¡ l h l c o c p l q i f p p g a � z f ce l g q j c a u n j h n a b m m l d j g u á f { m f n d d e f q l h h j k d e f � e f f m h l c p h i � b c { h l c p l h h o q f d e l dd e f � e f f m h l g f l m � l ¡ h a u c n j c ` n d � � d e d e f g j l p �[ Õ â ã ä å y Ç h f d e f { f c f g l m h j m o d a b j c h » t � y d j d e f p a u k k f g f c d a � � f   o l d a b j c æ � » � æ � � ç � � æ » � æ � ç� è� é » ê� x k j g o c p f g p l q i f p � n g a � s n l m m ¡ p l q i f p � l c p j z f g p l q i f p q j d a � j c l c p n e j j h fd e f n j c h ` c © j k À c d f { � d a u j c d j h l d a b h ë ~ f b a c a b d À l m n j c p a b d a b j c h » � � » � l c p ì �� ì � �� x l d� � � x b ä í y Ç h f l n j q i o d f g d j i m j d d e f g f h o m © k j g » t � y � » � l h l k o c n d a u j c j k � � � a b c d e f

Page 22: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

î ï ð ñ ò ó ô õ ö ÷ øù ú û ü ü ý þ ÿ ü ÿ � �� � � � � � � � � � � þ � � � � � � � � � ú � � þ � � ù ú û ü ü ý � � ü ÿ � � þ ÿ � � � � � ü

� � � ù �� � � � � � � � � ü � � � ! ü � ú þ " � � � � ý � ÿ ý � � � � þ ù � û ÿ þ # � $ ü ÿ % ü ü & ' ( � ) � * + � , � � - � . / 0 . 1 / 2

� � / 3 � 45 6 � 1 � � 7 ú ü � � 8 � � � 9 � û ý ü : 1 � � ; 6 � ÿ � � � � 1 � � � ÿ ÿ < � ù ý ú ü � � � þ ù 1 = � > ? � @ � � � � 3 � 1 �9 � û 1 A = 9 � û ù ú ü � � � � ù � � B ý � � � � � ù � � � � ÿ 3 � = þ � � C 55 = þ ù 1 = � > D � @ � � � � 3 � 1 � 9 � û � EE � �F G H I � � � ù ú ü � � � + � � ù � J � � � � G � � û û ü ÿ � � ù 9 � û � þ û ù > ? � � � K ü ù ý ú G � � û û ü ÿ � � ù 9 � û 3 � 1 � L M � N 1 � O � � þ û ù > ? � � � � K 9 � û þ � þ û ù � � ý � � þ û ÿ � � � , � � � 9 ù ú ü � � � P ü û ü � , þ � ü & � þ ù � � � � � 9 ù ú ü9 � û + 3 � Q ÿ � � � � � 1 � þ � � � ü ù ü û + � � � ü Q � R � � ù ú ü ÿ � � � S � � � 9 ù ú ü ú � + � � ü � ü � � ÿ ü & � þ Tù � � � � ù � % �� ÿ ù � � F H � � � ù ú ü � ü � ü û þ � ÿ � � � U � � � 9 ù ú ü �� � ú � + � � ü � ü � � ÿ ü & � þ ù � � � �� � � V R � � � � � ù + þ ÿ ÿ - ÿ � �� � ü ÿ < � ù ú � � ù 9 � ý ù � � � � � � þ ú � û W � X � � H � H F � ü þ ù � � ü ü � � � 9 þ + þ ÿ ÿ � ü ÿ ÿÿ � � � ) � � 9 � þ ù � û þ � � ü � � ù ú Y þ � � ÿ � � � � � ý � � ÿ H � ù Z þ ÿ ÿ ú � [ W � � @ W � \ û ü ] ^ � _ ú ü ÿ � � � �� � ÿ þ ù H ý ú ü � ù � ù ú ü H F � ü ÿ � � � ù ý þ � û � H ù ü 9 û ü ü � G ` ù ú � � ù 9 � ý ù � � � � � _ ú ü � ü ù 9 � û ý ü � � ù ú ü

+ þ ÿ ÿ � � ÿ % ü ý ü � ù û þ � 9 � û ý ü a � b � � � Z � b c Y � � > ? � @ � � � � þ � � ÿ K ü ù ý ú F � ù ú ù ú ü � � ù ü � ù � � þ �ü � ü û d e � b � þ � � % ü ü P ü ý S ! ü � � ù ü � , þ � e f g � b � � > D � h þ ù þ � \ � þ û ! ü � � ý � i � � � � ÿ û ü j& � � � û ü � 9 � û þ ý � û ý � � þ û � û F � � ù ` ù ú û þ � � � � ÿ b � k > l � m ü � � ! ü % ü 9 û ü & � ü � n � 9 ÿ + B � � ÿ ý � � o þ p � � ÿ

� þ F � � ù % ü ý � � û ý � � q � û F � � ù ` % r s � ÿ b � t u � û ü ÿ ÿ G � � û v ÿ � ü w 9 � û > D � þ � � > l � � � � ù ü x� 9 Z y z b � þ � � {

|}~ �

� � � � � � � û � F � ü + � � � �� � � ^ � � ÿ � � � ü û þ � þ + � ü � � þ � � � � � ý � ÿ ý � � � � þ ù � û � � ù ü û 9 � � û ý G ý � ü ÿ ù ú ü þ + � � � � ù � � ü � 9 ù ú ü � ÿ �ý � � � � þ ù � û ú þ ÿ � û � � � ü � ù � � � � � 9 � � � ÿ � � � � � ù � � þ � ! B � ü � @ � � � � ù ú ü r ù � � � � 9 ù ú ü 9 û ü & � ü � ý G � 9 ù ú ü� þ + � ü � � ÿ ý � � � � þ ù � û ù � � � � þ ù � r � 9 û ü & � ü � ý G �� � � � R � û þ � � * þ ù ú ü û ý � � ý K ú þ ÿ þ � ü � � � � � + � ü � � ù ú � 9 = � � + þ � � + þ ÿ ÿ F � F � 9 = � � K � � R+ þ ÿ ÿ � 9 � K � 9 þ � � ÿ = � + � � � ÿ ü ! ü � � þ G ÿ ù � K ü ü � ù ú ü þ + � � � ù � � ü � 9 û � + ü & � � � � � � F û �� � + � � 9ù ú ü � ü � � � � � + � ÿ ý � � � � þ , � � ÿ ù ü þ � G þ ù = � = � û þ � � h þ � � ÿ ù ú ü � � 9 ù ú ü ÿ G ÿ ù ü + k

Page 23: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

' ( ) * + , - . / 0 1 2 30 45 6 7 6 5 4 8 9 : ; < 4 : => ? 5 4 @ ? A B C D E @ @ C ; E F C 6 G

HI I JKKL

M : : N OP Q RQ S T UV W X YM : : N Z 8: ; [ 5 \ 9] E ; 9 ?^ _ ` a b c d e f g h h i h j k j l m n h o h p q r s p t u h n v f w f v x h h y l j z { | f w so h } l ~ v p � � f f w l y q r n r

� � r � � � � r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � r � � � r � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � r � � � � � r � � r � � � � � � r �   � � � � � � � r � � � � � � � � ¡ � � r � � � � � � � � r¢ � � � �   £ � � � � � � � � ¤ � � ¥ ¦ r � � � � � r � � � � � � � § � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¨ � � � § � � �© � � �   � � � � � � � � � r £ � � � ª � � r � � � r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � « �   � � � ¬ ­� � ® ¡ � � � � r � � � � � � ¯ � � � � ¡ § � � � � � � � � � � ¡ � � � � � � � � � � ° � ± ² ³ � � � � ³ ´ � � r �µ ¶ � � � � � � · ­ ² ¸ ¹ r � � � ¯ � � � � � � � � � � � � � º � � � � � r � � � � � � � � � � � � r � � � � � � � � ¯ � » � � �   ­� � � � � � � � � � � º � � � ¨ �   � � ¼ � r � r � � � r � � � � � � � � � � � � r � � £ � � � � � � � � ¡ � � � � � � � r � � ® ¡� � r � � � � � � ½ � � � ½ � � � ¾ � � � � � � � � ¿ � � � � � � � � � � � � � � � � À � � � � � � � � Á � � � � ¯ � � b r � � � � ¡ � � � � � � � � ¥ � � � � � � � � Ã Ä � � � � � � Å � � Æ � � � � � � � � Ç � � � Å ½ � � � � � � � � � ¨ ½ � � r � � � r �� � � � � � � � � � È � � � � � � � � � � � � � « � È � � � � � � � � � � � ª � � ­ © � � � ¼ É r § � � � � � � � � � � � ° ­� � � � � Ê � � � � ¯ � � � Ë � � � Ì   � Í È � � � � · ­ ² Î r

Ï Ð Ñ Ò Ó Ô ÕÖ c � e × h v j p v p h h Ø m q r Ù f v h w v q r l Ú n m ~ Û l j h n l w u o h Ú q r w h n f Û Û f ~ j h Û f ~ Ü f Ù f q r w v g Ý n h n n h Ù l b~ l v h u x { l j h ~ Þ q r w u q \ n v l w j h r ß h y v º j f w n q r u h ~ f w h f Û o h g Ý n h n v f p l à h l á q j â t f m nw h ã t à h g Ý n ä å r e × h æ j p v p h h Ø m q ç Ù f v h w è l Ú n m ~ Û l j h n l w u Ú q Å w h n f Û Û f ~ j h Û f ~ v p q r nj l n h \ é f ê p l v × q r w u f Û Ù p ë q r j l Ú n q r v m l v ì f w u f h n v p q r n n h v f Û h Ø m q r Ù f v h w â l Ú n l w u á q h Ú uÚ q r w h n l Ù Ù í { î r ï ß f v h v p l v v p h í q r w h n f Û Û f ~ j h p l à h ð ñ \ ò ó ô õ ñ \ ö ÷ ø r ù w u q r j l v h v p q r ú û v p l Ù Ù ~ f Ù ü \ ýl v h l ~ ~ f ê n r þ

a b ÿ � � Û o h á q h Ú u à h j v f ~ q r n q r w u h Ù h w u h w v f Û o h ~ l u q r l Ú u q r � Þ w j h û v p q r w l n Ù p h ~ h º á q w u v p hÛ m w j â f w u h n j ü r x q r w s v p h u h w n q r � � � � � ï ò þ f Û o h � Ù p h ~ h r

��

� � � � �

Page 24: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � � � � � �

� � � � ! " # $ % & ' ( ) * ( * $ % + + , ! $ % ! - & . , $ % ! " & $ % # / 0 + - & ( 1 . * 2 . " 2 * ( , 3 , # $ 4 & $ % # " # 5 , 2 0 . $ 4 6 * / * + �( $ 4 . 2 , # " ! ( ) * 5 , * ( ( ) , ! " + 7 * . , 0 7 8 * + ( ) ( 0 , ! . * / , 7 + 0 # 8 * + ( ) 9 ! ' + * : ( * ( $ % 0 & * 2 ; $ , 2 < 4

= > - $ 4 & * & " # , ? % . * 2 5 * 2 " , 7 0 + ( ) , + , ! " 2 ( % @ A ) 4$ ! 5 , 2 0 . 4$ 6 $ % ! . * 2 2 , < ( ) , B C D E F B G B H I D J K L M % N� O � P / * + Q . 2 , * ( + , ! ( $ 4 ! * ( ( + * . ( , < ( 0 R * + < * . , & ( , + 0 7 7 0 + . , * . . 0 + < $ 4 & ' ( 0 ( ) , + , 2 * ( $ 4 0 & S TT

U V W X Y % Z [ 0 R ( ) * ( 3 , ( \ % # , + , ] " \ 4 ^ , < 7 0 + 3 , / * + _ . 2 , ( 0 + , * . [ ( ) , 7 0 + . , . , & ( , +7 + 0 # * < $ 4 ! - & . , ` $ 4 ! ` a X b % c

� � � � P / * + d . 2 , 7 * 2 2 ! ( 0 8 * + 3 ! - + ( $ % & ' 7 + 0 # + , ! ( * ( * ' + , * ( ) , $ % ' ) ( @ # * & e ( $ % # , ! 8 * + ( ) f !g < $ % " ! N % h , ' 2 , . ( * $ % + + , ! $ 4 ! - & . , * & < ! ) 0 R ( ) * ( ( ) , / * + d . 2 , + , ] " $ % + , ! * / / + 0 i $ % # * ( , 2 e j k l0 7 3 , ( 0 - 2 ( $ % # , 0 7 7 * 2 2 ( 0 ( + * 5 , + ! , ( ) , ; $ + ! ( ) * 2 7 0 7 ( ) , < m ! - & . , %

n o � p 0 # / " ( , < $ % + , . ( 2 e ( ) , ' g : - d 0 & * 2 7 0 + . , 0 & * " & $ % ( # * ! ! * ( * / 0 $ 4 & ( , i ( , ? 4 q + ( 0 * ) 0 r# 0 ' , & , 0 " ! ! / ) , + , 0 7 # * ( ( , + %

� � s t p * 2 . " 2 * ( , ( ) , u * : - _ 0 & * 2 v 0 ( , & Q * 2 < " , ( 0 * ( [ $ % & + 0 < 0 7 2 , & ' ( ) H * & < # w ! x * ( *< $ 4 ! - & . , y 7 + 0 # ( ) , . , & ( , + 0 7 ( ) , + 0 < * & < $ % & * < $ % + , . ( $ % 0 & / , + / , & < z . " 2 * + ( 0 ( ) , + 0 < %

� { � p * 2 . " 2 * ( , ( ) , ' g : - ( $ 4 0 & * 2 ; $ , 2 < 5 , . ( 0 + < " , ( 0 * ) 0 # 0 ' , & , 0 " ! . e 2 $ 4 & < , + * ( , i ( , ? 4 0 +/ 0 $ % & | 0 & ( ) , * i $ 4 ! 0 7 3 , . } 2 $ 4 & < , + % ~ , + 7 0 � ( ) , . * 2 . " 2 * ( $ % 0 & � � � > e . 0 # / " ( 4$ & ' ( ) ,

7 0 + . , < $ % + , . � e * & < � � � > e . 0 # / " ( 4$ & ' ( ) , / 0 ( , & ( $ 4 * 2 ; $ + ! ( %� � � � p * 2 . " 2 * ( , ( ) , / 0 ( , & Q * 2 < " , ( 0 * ( ) $ % & . $ % + . " 2 * + + z & ' 0 7 g < $ % " ! E * & < # * ! ! � 7 0 + / 0 $ % & |

2 � 4 & ' 4$ & ( ) , / 2 * & , 0 7 ( ) , ? % & ' * & < , i ( , ? % 0 + ( 0 $ 4 ( % A ) , + , ! " 2 ( . * & > , , i / + , ! ! , < * ! * &, 2 2 $ % / ( $ % . $ % & ( , ' + * 2 % � ! " # , ( ) * ( ( ) , < $ % ! - & . , 7 + 0 # ( ) , . , & ( , + 0 7 ( ) , + � % & ' ( 0 ( ) , ; $ , 2 <

/ 0 $ % & ( 4$ ! 2 * + ' , . 0 # / * + , < R 4$ ( ) 3 , g < 4$ " ! 0 7 ( ) , ? % & ' � 8 i / * & < ( ) , , i / + , ! ! 4$ 0 & 7 0 + ( ) ,/ 0 ( , & ( z * 2 * & < ; $ & < ( ) , ; $ + ! ( . 0 + + , . ( z 0 & ( , � �

� � � � t � � & < 3 , / 0 ( , & ( z * 2 * ( 0 � � � z ! / 0 z & | < " , ( 0 * ( ) � & . � + . " 2 * + � & ' 0 7 + * < z " ! E * & < # w !� � � , ( y > , ( ) , < � ! - & . , 7 + 0 # ( ) , . , & ( , + 0 7 ( ) , � & ' ( 0 ( ) , ; $ , 2 < / 0 � & ( � * & < 2 , ( � > ,

( ) , * & ' 2 , > , � , , & ( ) , 2 z & , . 0 & & , . ( � & ' ( ) , . , & ( , + 0 7 ( ) , � & ' � ( ) ( ) , ; $ , 2 < / 0 � & (* & < ( ) , * i z ! 0 7 ( ) , + z & ' � ! " # , y � � E ! 0 ( ) * ( ( , + # ! 0 7 0 + < , + @ E X y N � * & < ) $ � ' ) , +

# * e > , & , ' 2 , . ( , < %n � � � p 0 & ! � < , + * # w ! z 5 , > 0 < e 0 7 * + > $ % ( + * � ! ) * / , * & < * ! / ) , � . * 2 ! " + 7 * . , ( ) * ( z ! , i ( , � 0 +

( 0 * & < < 0 , ! & 0 ( . 0 & - %$ & ( ) , > 0 < e � Z ) 0 R ( ) * ( ( ) , * 5 , g ' , � 2 " , 0 � ( ) , / 0 ( , & ( $ � * 2 < " ,( 0 ( ) , > 0 < e - � , & 0 5 , + ( ) , ! / ) , ? � . * 2 ! " + 7 * . , z ! , ] " * 2 ( 0 ( ) , 5 * 2 " , 0 7 ( ) , / 0 ( , & ( $ � * 2 * (( ) , . , & ( , + 0 7 ( ) , ! / ) , + , %

n �   � ¡ & ( ) , / + , : 0 " ! / + 0 > 2 , # � 2 , ( ( ) , # w ! $ % 5 , > 0 < e > , z & ! z < , ( ) , ! / ) , ? % . * 2 ! " + � * . , � h 0 R! ) 0 R ( ) * ( ( ) , * 5 , g ' , � 2 " , 0 7 ( ) , / 0 ( , & ( z * 2 0 5 , + ( ) , ! " + 7 * . , 0 7 ( ) , ! / ) , + , � ! , ] " * 2( 0 ( ) , 5 * 2 " , 0 7 ( ) , / 0 ( , & ( $ � * 2 ( ) * ( R 0 ¢ 2 < , i $ � ! ( 0 & ( ) , ! ¢ + 7 * . , 0 7 ( ) , ! / ) , + , z 7 * 2 2 ( ) ,# * ! ! 0 7 ( ) , > 0 < e R , + , . 0 & . , & ( + * ( , < * ( ( ) , . , & ( , + 0 7 ( ) , ! / ) , + , %

n � � � P / 2 * & , ( 0 7 < , & ! � 6 £ $ @ ! / ) , + z . * 2 . 0 + , 9 + * < z " ! y $ N � ( ) * ( ) z . � ! / ) , + z . * 2 . 2 0 " < 0 7< " ! ( @ < , & ! � 6 £ a 9 + * < � " ! y a N $ � ! < $ � ! . 0 5 , + , < % ¤ * ( � ! ( ) , 7 0 + . , 0 & * / * + ( � . 2 , 0 7 # * ! ! V/ 2 * . , < � ( ) $ % & ( ) , < " ! ( . 2 0 " < ¥ %

¦ � § § ¨ © © § ª « ¬ � ­ � ® ¯ ° ± ² ¬ � ³ ´ ¯ ® ³ ¯ µ § § ² ² ¬ � © ¶ � · ¬ � ª ´ § ¸ ° ¹ ³ �º »

Page 25: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä Å Ä Æ Ç È

É Ê Ë Ì Í Î Ï Ð Ñ Î Ò Ñ Ñ Î Ó Ô Õ Ö × Ø Ï Ù Ò Ú Û Ó Ú Ü Ý Ù Ó Þ ß à Ó Ù Ó Þ ß Ï Ü á Û Ó â ã Ú ä å æç Ó è Ó é Û Ó Ü Þ Ï â æç Ù ê ç Ù æç ë ìÏ Ü Ò í Ù æç Ü Ï Þ â Û å Î Ó Þ Ó Ï Ü â Ò Û Û î Ò Ù ï Þ Ò ï ç æ í Û ð æç Ûñ ò óô õ õ ö ÷õ ø ð

ù ú Ê ù û ü å Ò Þ ý è Ú Ó æç Û ï Þ Ï å å Ó ï ç þ Ù Ñ Ï Ò Î Ï Ú Ó ï ÿ æ Ú Ú Ó ï Û � � æ Ô Î Ñ Ñ Î Þ Ï í Ô Î � Ó è Ó Ù Ñ Ó Þ Ï Ü � Ò Þ Ñ Î þ� Ó Ô Ú Ó è ý Ù Ô Þ Ï × ý Ï Ù Ò Ú Ó � Ó è � � Û Î Ï Ð Ñ Î Ò Ñ Ñ Î Ó å Ò Þ ý è Ú Ó � Û â Ï ý Ï Ù ç æ Û Û æç â å Ú Ó Î Ï Ù æç è ç þ Üä Ï í á Û í â Ó � Ò Þ Ñ Î Î á í Ù ç æ Ü Ï Þ â ï Ó Ù Û ç æ ë æ Í Î Ï Ð Ñ Î Ò Ñ � Ó å Ó ÿ æ Ï ï Ï Ü Ñ Î Ó Ï Û è ç æ Ú Ú Ò Ø Ï Ù æç Û

Ò ã Ï í Ñ � â ç æ Ù æÉ Ê � û ü í Ù æ Ï Þ â Ú ä Û Ï Ú æç ï Û å Î Ó Þ Ó Ï Ü â á Û î Ò Ù ï Õ ï ç æ í Û ð æç Û ê ç � Ó ï Ò ï ç þ Û × Ù è Ó � Ò ã Ï � Ó Ò Ñ Î ç æ Ùæç Ù ê ç Ù ç æ Ñ Ó Û Î Ó Ó Ñ Ï Ü â Ò � Û ï Ó Ù Û æç ë � � à â á Û � Ò Þ Ó Ò ì � � æç Ñ Î Ð Î Ò Ñ Ü Ï Þ è Ó ï Ï Ó Û � Ó Û å Î Ó Þ Ó Ò Ñ �

Ñ Þ Ò è Ñ Ñ Î Ó Û Î Ó Ó Ñ � æù � Ê � û � Ó Ð Ñ Ï Ù � Û â Ï ï Ó Ú Ï Ü � Ó Ø ï Ò Ú Î Ó ç æ Ô Î Ñ � í Û æç Ù Ô � Ó � Ï Ð Ò Ñ Ó Þ Ð Ó Ú Ú Û ï í Ô Ñ Ï � Ó è Ó Ù Ñ Ó Þ Ï Ü� Ò Þ Ñ Î � í Û Ó ï Ñ Î Ó Ü Ò è Ñ � Ò Ñ Ñ Î Ó å Þ Ó Û Û í Þ Ó Ò Ñ Ñ Î Ó ã Ï Ñ Ñ Ï â Ï Ü Ñ Î Ó � Ï Ð Ó Ú Ú Û Û Î Ï í Ú ï ã Ó Ñ Î Ó

Û Ò â Ó � � Û í â Ó Ð Ò Ñ Ó Þ � Û � Ù è Ï â å Þ Ó Û Û � ã Ú Ó Ò Ù ï ê ç Ù ï Ñ Î Ó Ñ ç � ï � Î Ó � Ô Î Ñ ï ç � � Ó Þ Ó Ù è Ó � �� í Ò ! Ï Ù ø � ø ø " ï í Ó Ñ Ï Ñ Î Ó # Ï $ Ù í Û % Ù Ô Ñ Î & Û â Ï ï Ó Ú þ à ' ( � ) * þ þ + , - . / � 0 1 2 3 õõ + , 4 . / � 0 5 2 6 7"� õõ 6 8 9 õ 3 8 9 � Ð Î Ó Þ Ó 6 : ; < 3 = õõ > ð ? @ A B " Ò Ù ï ð ? C B ç þ Û � Ò Þ Ñ Î � Û â Ó ï ç þ Ò Ù Õ ï ç � í Û 7 ìù ú Ê D û Í Î Ï Ð Ñ Î Ò Ñ Ñ Î Ó Õ Ñ ç � Ï Ï Ü â E � â í â ! ï Ò Ú Î Ó ç � Ô Î � ï í Ó Ñ Ï Ñ Î Ó # Ï Ï Ù Ò Ù ï Í í Ù ç � Û F � � Ó Ù ã ä

G HI

J KL

MN OG P QÒ Ù ï � Ò Ñ Ñ Î ç þ Û � Ò Ú í Ó ç þ Û > þ > þ ð R ç þ Û Ñ Î Ó ï ç þ Û × Ù è Ó ã Ó � Ó Ó Ù Ñ Î Ó Í í Ù Ò Ù ï � Ò Þ � " Ò Ù ï î S ç þ Û

Ñ Î T Í í Ù U Û â Ò Û Û þÉ Ê V û W Î Ó Ï Þ ã ç þ Ñ Ò Ú Þ Ó � Ï Ú í ! Ï Ù Ï Ü Ñ Î Ó # Ï Ï Ù Ò ã Ï í Ñ � Ò Þ Ñ Î × X Ó Û Ò ã Ï í Ñ > Y þ ñ ï Ò ä Û Ò Ù ï ç þ Û ç þ Ù � Ó

Û Ò â Ó ï ç þ Þ Ó è ! Ï Ù á � Ò Þ Ñ Î U Û Þ Ï × Ñ ç þ Ï Ù à > � Î ì þ Z Û Ó � ç � Û ç � Ù Ü Ï [ Ò Ø Ï Ù Ñ Ï Û Î Ï Ð � \ Ñ Î ç � Ô Î! ï Ó Û Ï è è ] Þ Ó � Ó ^ Î Ó Þ Ó Ï Ù � Ò Þ Ñ Î Ó � Ó _ ` > Î Ò Ù ï > a â ç þ Ù 7É b c Ì ü Ñ Î ç � Ù ï ç þ Û X Ï Ü â Ò Û Û î Ò Ù ï Þ Ò ï d í Û ð Ú � Ó Û � Ù Ñ Î Ó à 6 e 3 ì å Ú Ò Ù Ó é Ñ Î Ñ Î Ó f � E % Û å á Û ç þ Ù ÔÑ Î Þ Ï í Ô Î � Ó è Ó Ù Ñ Ó Þ Ï Ü Ñ Î Ó ï ç � Û X � g Ò Ú è í Ú Ò Ñ Ó Ñ Î Ó Ô Þ Ò h × Ñ ç þ Ï Ù Ò Ú å Ï Ñ Ó Ù Ñ ç þ Ò Ú i à f ì Ò Ù ï Ñ Î Ó

Ô Þ Ò h × Ñ ç 7 $ Ù Ò Ú ê ç Ó Ú ï j à f ì õõ õ k i à f ì õõ õ l 2 i à f ì � 2 f Ï Ù Ñ Î Ó f � E ç þ Û þù � b Ê m ü å Ï ç æ Ù Ñ â Ò Û Û n � Û Ú Ï è Ò Ñ Ó ï Ò ï ç æ Û × Ù è Ó o Ü Þ Ï â Ñ Î Ó Ù Ó Ò Þ Ó Û Ñ Ó Ù ï Ï Ü Ò � ç æ Ù Þ Ï ï Ï Ü â á Û î

Ò Ù ï Ú Ó Ù Ô Ñ Î p Ò Ú Ï Ù Ô Ñ Î Ó Ò � � Û Ï Ü � Ó Þ Ï ï � q ç þ Ù ï � Ó Ô Õ h × Ñ ç þ Ï Ù Ò Ú Ü Ï Þ è Ó Ó � Ó Þ Ñ Ó ï Ï Ù � Óå Ï � Ù Ñ â á Û ã ä Ñ Î Ó Þ Ï ï þ

Page 26: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

] ] ^ _ ` a b c d e f b g a h i j k l m n o n a b p q r j h b i as t u v w x y z{ | } ~ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �  � � � � � � � ¡ ¢ � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¢ � � � � £ � ¤ � � � £ ¢ £ � � � � � � � � � � ¥   ¢ � � ¤ � � � � � ¦ � § ¤ � �¡ ¨ � � © � � � � ª � � � �� � « ª � � � � ¬ � � � � � � ­ � � � � � ® � � � � ¡ � � � � � £ � � ¤ � � � � � � � � � � � ¤ � � � ¡� � � � � � ¨ � � � ¤ � � � � � � � � © � � ¤ � � � � � � � � � � � � � � � � � ¯ ¨ � � ¦ � � � � � � ¡ ° ¯ ¢ � � � ¤ � � ± � ² ¤{ | ³ ~ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ´ � � � ¥ � µ � � � µ � � � � ¤ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¤ � � � � � ¤ � � �{ | ¶ ~ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¤ � ´ � � � ¥ � µ � � � µ � � � � ¤ � · � ¤ � � ¸ � � � | � � ¤ £ � � � � ¤ � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � ¤ � � �{ ¹ º � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¨ � ¡ � � � � ¡ � § ¤ � � � � � � � � ¨ � � � �   � � � � � � � � ¤ � � � � � £ � � � � ¡ �� � � � ¤ � �{ | » ~ ¼ � � � � � � � � � � � � ¨ � ¡ � � � � � � � � � � � � ¥   � � ¦ � � ½ � � � � � � ¤ � � � � � � � � � � � � � ¾ � ® � � � � � � � � � � �� � � ¿ � � � � � � � � � � � � � � ¥ � ¨ � � � À � � � � � � � � � � � Á � � � � � � µ � � � � � � · ¤  � � � � � � � � ¯ ¨ � � � ¤ � �� ¡ � � � � � ¤ � � � � � � � � � � ¤ � � � � � � � � ¤ � · � ¨ � � � � � � � � � � ¨ � ¡ � � � � � � � � � � � � � � � � ¥   � � � � � ¦ � |� ¨ � � ¤ � � � � ¤ ¤ � ¤ � � � � � � � � � ¡ � � � � ¨ � ¡ � � � � ¡ � � ¦ � � ¨ � � ¤ � � � � ¤ � � £ � ¤ � � ¤ £ ¨ £ ¤ à ¥ ´ � ¤ � � � � � � � ¨ |� � ¤ � � ¥   ¨ � � ¤ � � ° ¯ ¨ � � � ¤ � � ± ¤ Ä Å ¤Æ { ~ Ç � � � � £ � ¤ � � � � � � � � ¥ � � £ � ¡ � � � ¥ � � � � � ¤ � � � � � � � � � � ° � � £ � � � ± ¤ È � � � � � � � � � � � � � � �� � ¤ £ � � � ¯ ¨ � ¤ � � � ¡ � � � � � � � � ¤ � � � � � £ � ¦ � � ¡ § ¤ � � � ¤ � � � � � � �   � � � � � � É Ê Ë Ì Ê ¤ É Í É � � � ¤ � � � ¡ � � � �   |� � � � ¤ � � � � ¬ Î Ï Ð Ñ � Ê � Ì Ò Ó Ô Ó Ì Ò Õ Ì Ö � ¡ � � � � ´ � � � � � � � � � � � � �{ | × ~ ¼ � � � � � � � � � � ¤ � � � � � � � � ¤ � � ¡ � � £ � � � £ � � � ¤ ¨ £ Á � � � � � � � � � � ¡ � � ¡ � � � � � ¤ � � Ì � � ¤ � � � � � � � � � �£ � � � ¤ ¨ £ Á ¤ � � � ¤ � � � � � ¡ � � ¡ � � � � � � � � Ì � �  � ¤ � ¨ � � Ø Ù � � ­ � �  � � £ � � Ú � � § ¤ � � � � � � � � � £ � ¤ � � ¤ |£ � ¤ Û � � � ¤ £ � ¿ Ü � � � � � ¦ � � � � � � � � ¡ � � ¡ Ý � © � � � � Ì � � � � � Þ � �� ß � � ¤ � Þ � �àáá ááá áâ � ááááá á ã �á ä ã � å ã � æá ã �áááá â �áááááááç è é { | ê ë � � ¥ � � £ Ø ì ¤{ í î ~  � ¤ � � � � � � � ¤ £ � � � � ¤ � � � � ¡ � � � � � � � � � � � � � � ¤ � � � � ¡ £ À � ¤ £ ¨ £ ¦ � � ¨ £ � � � ¤ � � ¨ £ � � § ¤ ¥ � � ¥  ï ð ñ � � � � � � � � ¡ � � � � ¤ ¨ � ò � ¤ ï ó ñ � � � � � � ¤ � � � � ¤ � Á ¤ � � � � £ � ¤ À � � Ï � ô ¿ õ ¤{ | ö ~  � ¤ � � � � � � � � � � � � ¤ � � � ¤ � ¦ � � ½ ¤ � � � � � ¡ ¨ � � � � ¤ � � ÷ � � � � � � � � ø � � � � � � � � � £ � ¤ � � ¤ £ ¨ £ � ¦ � � � � �¦ � � ¨ � � ¡ � � � � ¯ ¨ � � � � ¡ � ¤ · � � � � � ¤ � � � Á ¤ ¸ � ¤ � � � � � ´ � ¤ � ¦ � � ¨ £ � ù � ¡ � � � � � ¤

ú ûü ý þ ÿ

� �

Page 27: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! " # � � � � � � $ � % � � � � � � $ � � & � � & ! ' � � & ( ' � � � � � � � ) � * � �+ � ' ! , � - � � � , � � � � , � � . � " � � " ! � � � & � � � � � / �0 � � 1 2 � � " 3 � � � � � � � ! " # � � ' ' " 4 � � � ! � " ' � � 5 5 � 6 � $ � � " � � � � � 5 � � � 7 � ' � 8 99 : ; < � � � � � � � � = ! � �

� � � � � � & � � " � � � � � � � � > * 5 � � " " � � & � � � � � � 6 � � � � � � ' ' � ? " @ � � � A " 3 � � � � ' ' " � � � � � � � & � � �� � & B � � 5 � � � 7 � ' � � � � � � � � � � � ' ( � � � 5 � � � � � C � � � � � 5 � � � � � � � � � B 5 � " � � � � � �

� � � D E F � 5 � � � > * � , 5 ' � G � H I ) � � � � � � $ � � " � � � � " � 5 � � 7 � J � � � � � ( J � 5 � � � � K " � � � L " ! � �� � & � � � � " 5 � � � I 7 ! � ! " � � � , � � � � � � � � > ! ' � � � = ! � M � � " 4 � � � � � ! * � 6 ' � 6 � N & � � �� � � � � � � , 5 � " � � �

� � � O 1 F � 5 � � � > * � , 5 ' � G P G 7 ! � � � � � � ! " � � � & � � " � � � � � � @ � � � � 8 9 9 Q ' � 6 � � � " � � 7 � � � � ,5 � � � � � � � � � � � R S � ? � � � � � 5 ' � � � & ! T � � � � $ � � + � � ' � � $ � U ? � � & � � & ' � " � " � , � * �� � , ! , � � � � U � " � & � � � & ' � �

� � � V E � � � � � � " � � � � " � 5 � � 7 � J � � � � � W ; C 8 I X Y 5 � � � B W Q C Z [ C Q Y � � � W Q I [ I Q Y � � � �& � � � 6 & � ' " ! � � � & � X 99 [ 9 \ ; < ] 8 ^_ R ` � � � " � � ' � � $ � � � � � 5 � � a b � � � 6 � � � " � " � �" � � � � " � , � ! � c � � � 5 � � � � � ! � � � + � ' & � � � �� � � d 1 W e f � � � � � � & ! T � 8 W ; Y � � � 5 � " " � " � � � ! $ � � � � � 5 � � � � K " W Q I Q Y � � � W [ U [ Y � � � , � 6 � �

� , � . � " @ � � ! � & � � 6 � � � ' g h 8 i j 9 k l � h W m 8 n m ; Y < 9 8 o i m ; R W p f ` � � � � " @ � , � � � , ! , + � ' ! �� � � � � � � � $ � � ' q R W r f > + � ' ! � � � g h 8 i � � � � " � � � � � $ � ' � � � 8 9s ; 7 � J � � � � � 5 � � � K " W Q I Q Y� � � W [ U [ Y 6� � � � 1 W e f ` � � & ! T � � � � � " ! � � � & � X j 9 ; t u < v � � � � � � $ � � 5 � � � B W ; C 8 C X Y 99 W Q U Q I Q Y � � �

W [ U [ C [ Y � " � � " � � � � " � � � & ' � � $ � w R W p f x " � � & � , 5 ! � � � � � 5 � � � ! & � � 5 ' � � " � 4 � � $� � " ! � � � & � � � � � � " � � � � " � & ! T � � � � " � � $ ' � 5 ' � � R� � � y 1 z � & � � � � � " � � � � � & � � � $ ' � ' � � � � � � � ' ' � � 5 " � W ; n : Y < ] W 8 n { Y < 9j [ � W e f ` � � � " � ! ' �� � & � � � � � " 7 � ' � & � � � � � � � � � � � � � � , � * � , � � . � � � � � � � � � @ � � � & � � � $ ' � a W p f ` � �� � � & M � � � � � � � � � � � � � � � ' ' � 6 5 " � � " & � + � � � � 7 ( � � � � & | � $ ' � 4 A � , } � , ! , � � � � a

0 � ~ 1 2 5 � � � � & ' � � � , � " " � � 6 " & � � " � � � � � � � � � , � + � ! � � � � $ � � � � � 4 � � � � � � � & � � � � � � � �" ! � � � & � � j 9 X R ` � � � � " � � � � v � & � � N � � � � 5 � � � � & ' � � � � � " | � � " � � � , � � " � � � W ; I 8 I X Y 9s

W [ I j [ I 9 [ Y 4 � � � � X � � * � � " + � � � � & � ' �

Page 28: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � ! " � #$

% & � ' � ! ( � ! ) " ! *$

� ! � #+

, - . #+

- � � " ! % / , - 0 � � � - 1 2 2 2 3 4 ! - 5

6 7 822 2 9

3

:6 ; 8 < 1 22 2 3

= � #$

' " � & ! > , - #$

' ? ' � � ? & @ - % ! & % ? & ! A - ) 4 � , " � B ! C & � 4 � � � � - � " ) � > % ' #$

- & ! - � � D$C , E , - +

F G H I J K L

M N O P Q R S+

T U V W X X T Y+

Z [ W \ Z T X S+

] ] S $ ^ _ ` a V W T T ` [ W b+

c W ^ d X ] X ` ^ e + f [ e ] X ` ^ e W g Z [ e R S+

T U V e N

h ` i+

^ T j e V k a ` X l m \ Z i+

Z i+

T n V e e Z W V W Z ` Z e ` m W \ Z ` j e V o a ` X p i+

T q r ` Z _ e ^ e V ` X i+

s e R a W W V R i+ t

^ ` Z e T h ` u m e \ T e R Z W R e T a bq

m e Z v e h W Z iq

W ^ w q x bq

Z e ` R iy

z e V e ^ Z iq

` X e { \ ` k W ^ R e T a bq

m iq

^ _Z v e V W X X i

q^ _ a W ^ T Z V ` i

q^ Z q | T Z v i

qT e { \ ` o W ^ i

y^ Z e _ V ` m X e } ~ \ T k � u W \ V ` ^ T � e V m u ` ] v u T i

qa ` X

` V � h e ^ Z q | T Z v e a W ^ T Z � iy

^ Z v W X W ^ W h iq

a �

M � � � x W V U W \ Z � � ` h ] X e � � � T v W � ^ _ ` X X Z v e T Z e ] T � iq

^ ] ` V Z iq

a \ X ` V Z v W T e X e ` R iy

^ _ Z W� { \ ` Z i

qW ^ T � q � � ` ^ R � � � � q � � ] X ` i

q^ � v u Z v e T i

q_ ^ W n � e ` a a e X e V ` Z i

qW ^ � a � q ^ ^ W Z � e a Z

Z v e n V e { \ e ^ a u � q � i�

j e ` ^ ` V � h e ^ Z � v u Z v e T iq

_ ^ T W n � � ` ^ R � iq

^ Z v e T W X \ Z iq

W ^ W n � �

iq

^ � { \ ` Z iq

W ^ � q � � ` V e Z v e T ` h e q

M � � � Q T ] v e V e W n V ` R iq

\ T � iq

T a W ^ T Z V ` iq

^ e R Z W V W X X � Z v W \ Z T X iq

] ] iq

^ _ W ^ Z v e X W � e V v ` X n W n Z v ei

q^ ^ e V T \ V n ` a e W n ` v W X X W � a u X i

q^ R e V W n i

q^ T i

qR e V ` R i

q\ T � y � e Z e V h i

q^ e Z v e � ` _ V ` ^   ` ^

n \ ^ a o W ^ l Z v e e { \ ` k W ^ W n a W ^ T Z V ` iq

^ Z � ` ^ R � ` _ V ` ^ _ e ¡ T e { \ ` Z iq

W ^ T W n h W k W ^ q ¢ iq

^ R Z v en V e { \ e ^ a u W n T h ` X X W T a i

qX X ` Z i

qW ^ T q

M £ � Q ] ` V Z iq

a X e h W j e T iq

^ ` ] X ` ^ e \ ^ R e V Z v e iq

^ ¤ \ e ^ a e W n ` n W V a e ¥¦¦ ¦ § ¨ © ª i R i

qV e a Z e R Z W «

� ` V R Z v e W bq

  ^ � q § ` ^ R ¬ ­ ® ¯ ° ` V e a W ^ T d ^ ± q ² v W W T e ` ] ] V W ] b�

` Z e _ e ^ e V ` X iq

s e R a W «

W V R iq

^ ` Z e T ¡ ` ^ R X e Z Z v e ] W Z e ^ Z i�

` X e ^ e V ³ m e s e V W ` Z Z v e W bq

  ^ q ¢ iq

^ R � e � ` _ � ^ ´ ` ^e { \ ` Z i

qW ^ T W n h W Z i

qW ^ � | T Z v e ` ^ � X ` V h W h e ^ Z \ h ` m W \ Z Z v e W b

q´ ^ a W ^ T e µ e R � | T Z v e

Z W d X e ^ e V ³ a W ^ T e µ e R }

M ¶ · ¸ ² W ^ T iq

R e V ` j e V k a ` X ] X ` ^ e iq

^ ` a W ^ T d ^ Z _ V ` ¹q

d Z iy

W ^ ` X º i e X R � � e Z Z v e W bq

  ^ W n ` a W W V t

R iq

^ ` Z e T u T Z e h m e X W a ` Z e R ` Z T W h e ] W i�

^ Z iq

^ Z v iq

T ] X ` ^ e � Q ] ` V Z iq

a X e W n h » T ¼ h W j e T iq

^Z v e j e V k a ` X ] X ` ^ e \ ^ R e V Z v e i

q^ ¤ \ e ^ a e W n _ V ` ¹

q½ ` ^ R \ ^ R e V � e i

q^ ¤ \ e ^ a e W n ` ^ ` R «

R iq

Z iq

W ^ ` X n W V a e ¥ ¦ ¦ ¦ § ¨ © ª i R iq

V e a Z e R Z W � ` V R � e W bq

_ iq

^ ­ ¨ iq

T � e R iq

T d ^ a e n V W h Z v eW b

q  ^ l q ¾ ` ^ R ¿ À Á ¯ W V � Â ` V e a W ^ T d ^ ± ° q ² v W W T e ` ] ] V W ] b y

` Z e _ e ^ e � X iq

s e R a W W V R i� «

^ ` Z e T � ` ^ R º i ^ R Z v e � ` _ � ^ ´ ` ^ e { \ ` Z iq

W ^ T W n h W k W ^ q | T Z v e ` ^ _ \ X ` V h W h e ^ Z \ h` m W \ Z Z v e W b

q´ ^ a W ^ T e µ e R } � � ] X ` i

q^ q

M Ã Ä ¸ Q v W W ] W n h ` T T ¼ ` ^ R V ` R iq

\ T � V W X X T Yq

Z v W \ Z T X iq

] ] iq

^ _ R W Å ` ^ iq

^ a X iq

^ e R ] X ` ^ e W nh ` T T Æ l � v i

qa v h ` U e T ` ^ ` ^ _ X e ¬ Y

qZ v � e v W b

qs W ^ d X q ¢ i

�^ R Z v e � ` _ V ` ^ _ e e { \ ` k W ^ T

` ^ R � e iq

^ Z e _ V ` X T W n � e h W Z iy

W ^ iq

n Z v e ] X ` ^ e a ` ^ T X iq

R e Yq

Z v W \ Z n bq

a o W ^ ` X W ^ _ ` v W bq «

s W ^ d X T \ V n ` a e q

M � M � Q R W \ m X e ] e ^ R \ X \ h a W ^ T iq

T ± W n Ç W T i y h ] X e ] e ^ R \ X ` � � Z v W ^ e ] e ^ R \ X \ h T \ T ] e ^ R e Rn V W h Z v e m W m W n Z v e W � e V q | n � e Ç W ] e ^ R \ X ` v ` j e e { \ ` X X e ^ _ Z v T ` ^ R v ` j e m W m T W n

e { \ ` X h » T ` ^ R iq

n m W Z v ] e ^ R \ X ` ` V e a W ^ º i ^ e R Z W h W j e iq

^ Z v e T ` h e ] X ` ^ e È º i ^ R� ` _ V ` ^ _ e ¡ T e { \ ` o W ^ T W n h W Z i

qW ^ n W V Z v e T u T Z e h q � W ^ W Z ` T T \ h e T h ` X X ` ^ _ X e T q

É Ê Ë Ì Í ÎÏ Ð

Page 29: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

Ñ Ò Ó Ô Õ Ö × Ø Ù Ú Û

Ü Ý Þ ß à á â ã äå

æ ç è é è ç ê á â á ë ã ì é í ç æ äî

ïî

æ ç æ ð ñ é ì ò é â ç î ó ô ç ì á õ ç â ö é ò ç â ç è ÷ á ë é ì é è ø í ò ç ä å âè ç ê á â ù ä

úã û ä é â æ ä

îâ è ç ê á â ü ä

îõ ä

îã û ý î þ ë é ì é è ø í ò ç á ë ÿ é ã ã � é â æ � � ã ì ç ç æ � ä

åâ è ç �

� á â ù ì é ã ã ç ã ë è á ÿ è ç � á â ù õ á è ç ê á â ü ã � í ô õ ô é õ äî � ì é õ ô ä

îâ è ç ê á â ù ÿ é � ç ã é â

é â ò ç ä � î � � ç â á è ÿ é ò � á õ ô ç ì ò é â ç á ë ã ç ì é ö á â é â æ é â é â ò ç ý � îõ ô õ ô ç â á è ÿ é ò� ô ç â ä

îâ è ç ê á â ü � ã ô á � õ ô é õ

ã äî

â ä

�û ä � û ý

�ä � ý� � ù � ��

ã äî

â ý � ä

� ô ç è ç � ä � � � � � � � ý � î � é õ äú

ã õ ô ç á ì õ äî

í é ò é â é ò á á ë õ ô ä åã ì è á ð ò ç ÿ �ú

Ü � ! " æ äî

ã � á ë ÿ é ã ã # é â æ è é æ äî � ã $ è á ò ò ã � õ ô á � õ ã ò ä

îì ì ä

îâ æ á % é ì ò é â ç ä

îâ í ò ä

îâ ç æ ë è á ÿ

õ ô ç ô á & î ' á â ( ò ð ñ é â é â ò ç ) î ó ô ç æ äî

ã � ô é ã é ã ô á è õ � ç äî ô õ ò ç ã ã * ò ç á ë â ç ò ä

îê ð ò ç �

æ äî � ã î + è á ÿ õ ô ä

úã é , ä

îã ä

îã ã � ã ì ç â æ ç æ é ã ä

îÿ ì ò ç ì ç â æ � ò � ÿ á ë ò ç â õ ô - . $ é â æ � ô á ã ç ð á ð

ô é ã é ÿ é ã ã / à á â ã äî

æ ç è õ ô é õ õ ô ç ÿ á õ äî

á â á ë õ ô ç ì ç â æ � ò � ÿ õ é � ç ã ì ò é í ç äî

â õ ô ç ì ò é â ç á ëõ ô ç æ ä

îã � 0 é â æ 1 ä â æ 2 é â ç 0 ã ç 3 � é ö á â ã ë á è õ ô ç ã ñ ã õ ç ÿ î

Ü 4 5 6 ß ó � á ð ò á í � ã � ç é í ô á ë ÿ 7 ã # 0 é è ç í á â â ç í õ ç æ ð ñ é â ç , õ ç â ã äå

á â ò ç ã ã 0 � â ä å ë á è ÿ ã õ & îâ á ë

ò ç â � - î 8 â ç ð ò á í � ä úã ì ò é í ç æ á â é ã ÿ á á õ ô ô á è ä

î ' á â 9 ã � è ë é í ç 0 é â æ õ ô ç á õ ô ç è ð ò á í �ô é â : á ; ç è � ç ã ä

îæ ç 0 õ ô ç ã õ & î

â ì é ã ã äî

â á ; ç è é ë & îí ö á â ò ç ã ã ì � ò ò ç ñ ú < ç ã í & å

ð ç õ ô ç ÿ á �ö á â á ë õ ô ç ã ñ ã õ ç ÿ = > ? � ô ç â õ ô ç ÿ é ã ã á ë õ ô ç ã õ & î

â äî

ã â ç ò äî � ð ò ç é â æ = @ ? � ô ç â õ ô ç

ã A äî

â ô é ã é ÿ é ã ã /Ü 4 5 5 B " ì é è õ ä

îí ò ç á ë ÿ é ã ã � ä

îã í á â ã õ è é ä

îâ ç æ õ á ÿ á ; ç á â é í ä

îè í ò ç á ë æ ä

î � ã C ó ô ç í äå

è í ò ç è á ( õ ç ãä

îâ ã ì é í ç é ð á � õ á â ç ì á ä

îâ õ á â õ ô ç í ä

îè í ò ç � � ô ä

åí ô ä

úã 1 ä , ç æ î ó ô ç è á ( õ ä

îá â ( � ç ã ì ò é í D ä

îâ� ç ì ò é â ç á ë õ ô ç í ä å è í ò ç é â æ � � í á â ã ( â õ é â E ò é è ã ì ç ç æ F î þ â � ç é ð ã ç â í ç á ë é è é ï

å �( ö á â G ë á è í ç � ã ô á � õ ô é õ õ ô ç ì é è ø í ò ç 0 ã ÿ á ö á â é ð á � õ á â ç ç â æ á ë é æ ä ú

é ÿ ç õ ç è ì 7 ã äå

â õ ô è á � ô õ ô ç ì ä

î ; á õ ì á äå

â õ é â æ � ç í ç â õ ç è á ë õ ô ç í äî

è í ò ç äî

ã � ç ã é ÿ ç é ã � é õ á ë é ì ò é â ç

ì ç â æ � ò � ÿ äî

â é � â äî

ë á è ÿ H ( ö á â G I ç ò æ î J , ì ò é äî

â � ô ñ õ ô äå

ã äå

ã é è ç 7 á â é ð ò ç è ç ã � ò õ î

Ü K 5 L ß " ì é è õ äî

í ò ç á ë ÿ 7 ã � è ç ã � á â é ã ÿ á á õ ô ì ò é â ç î ó ô ç ì ò é â ç äî

ã è é äî

ã ç æ õ á é â äî

â í ò äî

â é õ äî

á âé â ò ç M é õ é í á â ã ( â õ è é õ ç N O �� P é õ Q �� P ? 0 í é � ã ä

îâ õ ô ç ì é è õ ä

îí ò ç õ á ÿ á ; ç æ á % õ ô ç

ì ò é â ç î < ç õ ç è ÿ äî

â ç õ ô ç ÿ á õ äî

á â á ë õ ô ç ì é è õ äî

í ò ç î

Ü K 5 R ß " ã äî

ÿ ì ò ç ì ç â æ � ò � ÿ á ë ò ç â õ ô S é â æ ð á ð � îõ ô ÿ é ã ã � ä

åã é õ ( í ô ç æ õ á é ÿ é ã ã ò ç ã ã ã � T

ì á è õ ÿ á H â ô á & î ' á â õ é ò ò ñ � õ ô í á â ã ( â õ é í í ç ò ç è é ö á â U ú < ç õ ç V äî

â ç = > ? õ ô ç ç 3 � é ö á â ãá ë ÿ á ø á â é â æ = @ ? � ç ì ç & î

á æ ë á è ã ÿ é ò ò á ã í äî

ò ò é ö á â ã å

Ü K 5 W ß " ã äú

ÿ ì ò ç ì ç â æ � ò � ÿ á ë ò ç â õ ô S é â æ ð á ð � îõ ô ÿ 7 ã � ä

îã é õ ( í ô ç æ õ á é ÿ 7 ã ò ç ã ã ã � T

ì á è õ ÿ á H â ; ç è õ äî

í é ò ò ñ � ì � é è æ � õ ô í á â ã ( â õ é í í ç ò ç è é ö á â U î < ç õ ç è ÿ äå

â ç = > ? õ ô çç 3 � é õ ä å

á â ã á ë ÿ á ö á â é â æ = @ ? õ ô ç ì ç & îá æ ë á è ã ÿ é ò ò á ã í ä

îò ò é ö á â ã î

Ü 4 5 X ß " ì ç â æ � ò � ÿ í á â ã äî

ã � á ë é ÿ é ã ã � ã � ã ì ç â æ ç æ ð ñ é ÿ 7 ã ò ç ã ã ã ì & îâ � î

õ ô � â ç , õ ç â æ ç æò ç â õ ô S é â æ ã ì & î

â í á â ã ( â õ Y î + äî

â æ 2 é è é â ç 0 ã ç 3 � é ö á â ã á ë ÿ á ö á â î

Ü 4 5 Z ß ó ô ç ì á äå

â õ á ë ã � ì ì á è õ á ë é ã ä åÿ ì ò ç ì ç â æ � ò � ÿ á ë ÿ 7 ã � é â æ ò ç â õ ô S ä

îã æ & å ; ç â ô á & î �

' á â ( ò ò ñ ð ñ [ �� U ã äî

â F Q î + äî

â æ õ ô ç ì ç â æ � ò � ÿ 0 ã ç 3 � é õ äî

á â á ë ÿ á ø á â î

Ü \ 5 Ü ß " ì é è õ äî

í ò ç á ë ÿ é ã ã � í é â ã ò äî

æ ç ë è ç ç ò ñ é ò á â é � åè ç ] ^ � ô á ã ç ì ç _ ç â æ ä

åí � ò é è æ ä ú

ã ( â í çõ á õ ô ç á & î � â ` ä

îã a O ã ç ç + ä

î E è ç b � " 0 ì é ç ü c ü ? ú ó ô ç ò äî

â ç ` d è á ( õ ç ã é ð á e õ õ ô ç á è äå

ê â

Page 30: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

f g f h i j k l m n o p q r s o t k r l u v w x y x z { | j k l m n o z | } ~ k t q�

��

� � �� � ���� � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � � � �   ¡ ¢   � �   £ � � � ¤ � � � � ¥ ¦ § ¨ ©© ª ¦ « ¬ � ­ � ¡ ¥ � � ¥ � �   � ® � ¬ � ­ � � � ¥ ¦ � � � � �   � � ¯ � ¡ � ° � � � ¯¥ ¦   � � � � ¡ � ® � ¬ � �   ± � � ² �   ¯ � ¬ � ¯ ¥ � ¡ ¢   � � ³ � � � ¬ � ­ � ¥ �   � ´ � µ ® � ¬ � ­ � � � ¥ ¦ � � � ¥ � ¡ ¡ ¶ � · � � � � � �� ± ¸ ¹ � ¢ º � �   � � ® � � � � » �   ¯ ¥ � ® � ¬ � ¥ �   ¥ � � ¥ � � � � �   ¯ ¼ � ¼ �   ¡ � � �¨ ½ ¾ ¿ ©© ¾ À ³ ½ ¾ ¿ ©© ¾ À ³ � ½ ¾ ¿ ©© ¾

¡ ¬ � Á � ¬ � � � ¬ � � ¥ � � � ¯ � ­ �   ¯ �   � � � ® � ¬ � � � � � ¯ ¥ ¦   � � � ³ ¥ � ¡³ ½ Â ¿ ©© Ã Ä ½ � � ¡ ¬ ª Â © � � ¡ ª Â ¿Å ª

Æ Ç � � � ¬ � ¬ ¥ È ¡ � � ¡ ¶ � � È É � � ­ ¶ � � � ¬ � Ê � � ¥ � � � �   ¥ ¦ �   ® � � � ¬ � ¡ Ë ¡ � � � » �   ¯ � � � ­ � � � Ì � ¬ � ¬ �� � ¢ � �   � � Í � µ ¡ Î � � � ¢ � �   � � Í � �   ¡ � Ï � ¯ Ð ¦ ¦� Ñ Ò Ó � Ô ­ �   ¯ ¶ � ¶ � ¥ ¦ ¡ � �   ¡ � Õ � � � ¯ � Ë � � � � � ¬ ¥ �   ± � � � ¡ ¡ Ö � � �   � × � �   ¡ ¥ � �   � � ¡ ¡ ¡ � ° ¦   ± � ®� �   ± � ¬ Ø « ¬ � ¶ ­ ­ � � �   ¯ � ® � ¬ � ¡ Ù ¦   ± ¥ � ¡ � �     � � � � ¯ � � � ¬ � ¶ ­ ­ � � � � ¡ � ­ � ¥ ¦   � �   � ¤ � � �

� ¥ � � � � ¯ ¥ È ¡ Ç � ® � � ¯ ¥ � ¶ ¡ Ú ½ Ú Û Ü Ý Þ ¿ ß ¥ �   à ¥ � £ � � � � á È â � ¢ ¥ ã   � ¬ � ­ �   ¯ ¶ � ¶ � » ¡ � ä ¶ � � ¥ � �  � ® � � � ¥ � �   À �   ¯ å ¥   ¯ Î � ® � � ä ¶ �   � Ë � ® ¡ � � � � � ¡ � ¥ ¦ � � � � ¥ � �   ¡ È à ¥ �   ¯ � ¬ � � ¥ ¦   � � � � ¶ � Á ¬ ¥ � � ¬Î � �   ± ¶ � � � � � æ �   � × � �   ¯ ¡ � ä ¶ � � � Ë ¥ ¦   � ¥ � Î � � ¯ ¥ ¦ � � � � ¼ �   ½ ¥ ¦ È � � À ¨ ¥ ©© ¨ Ä ¿ �

ç è è è è è è è è è è è èé è è èê ë ë ë ë ì í è è èìî ì ì è èî ï ì ì ì ð è è èï ñ ì ì � Ä è èñ ò ì ì è è èó ô õ öô ô ÷ ø ø÷ ù ú ú øù û üû üý þý ÿ ÿ � � � ÿ � � � �� � � � �� � � � Ñ � � � � � � � � � � � � È

Page 31: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � ! " # # $ # % & " ' ( ) * % & + ) , " - $ . ' ' $ . / $ ( 0 1 " 2 3 4 ( - ( 5 6 $ ' 7 / 8 9 " ' ( 5' $ 7 6 : ; < 0 6 $ ! = # 3 > $ ? / $ ' # & @ ' 6 $ # # # A 3 ' 7 5 6 $ ' 7 / 8 B & & 3 # " / C . 8 $ ( / % & " ' ( . ' D' $ . / $ ( / " E & ? $ ( F &3 ' / 5 # G F F H I 3 J & K ! & K 6 " - 6 1 L " # / 2 K ' 7 5 6 $ ' 7 / 8 M * B & + N , . ' D' $ . O ) " ' ( I K P 0 C & K ' / 8 $ $ Q G " / & K ' ( $ # . R 0 S ' 7 / 8 $ ! T ' & K ' / 8 $ F 6 " ' $ 5 % U L % V L

" ' ( I W " ' ( E & ' ( X $ 5 - $ Q G $ ' . 1 5 # ! " 6 6 # . & @ 6 6 " Y ' # " - G ' ( / 8 $ $ Q G & K 6 & K 0 R G ! F # & K T ' 3� � Z [ \ ] . & 3 - . G 6 " - 8 F & 3 # # G # F $ ' ( $ ( & K ' " 8 2 3 ^ ' C 6 F 6 " ' $ 0 1 / 8 - $ $ # / 2 K ' _ ` $ " . 8 5 6 $ ' 7 / 8

B L � 8 & 3 . 8 " - $ " / / " . 8 $ ( # a ! $ / 2 3 . " 6 6 1 / / 8 $ 8 F " ' ( " - $ . ' ' $ . / $ ( / E & ? $ ( F & K ' O6 b 3 ' 7 & K ' " F 6 " ' $ " 0 c $ / 8 $ 8 F 3 ] / $ Q G S 6 & K 0 2 K G ! d $ " . 8 # / 2 K ' 7 S # c $ - / & K . " 6 3 J 8 � / 8 " /

X $ 5 - $ Q G $ ' . 1 5 # ! e 6 - C / S ' f 6 # . & 3 6 6 " g ' # " 0 G / / 8 $ c $ - / & ; . " 6 X - G 7 8 / 8 $ . $ ' / $ - 5 / 8 $ 8 F & K # / 8 $ # " ! $ " # / 8 " / 5 - " # & 3 ! F 6 $ F $ ' ( G 6 G ! 5 6 $ ' 7 / 8 h

� � Z i � ] F " - / &3 . 6 $ &3 # . ' # j " &@ ' $ ( / ! c $ * k 3 / 8 G / 5 2 K . / &3 ' , ' " . 3 & - . G 6 " - k K - $ - / " T ' 7 k 3 / 8. ' # C ' / " ' 7 G 6 " - # F $ $ ( l " 0 G / " c $ - m . " 6 ( & @ " ! $ / $ - 3 n & 3 ' ( / 8 $ $ Q G & K 6 & 3 0 2 K G ! F # & 3 / & 3 ' 5 / 8 $ F " - Y . 6 $ L " ' ( . " 6 . G 6 " / $ / 8 $ 5 - $ Q G $ ' . 1 5 # ! " 6 6 # . & K 6 6 " T ' # " - G ' ( / 8 &3 # F # & K D

/ & 3 ' 3 n & 3 ' ( " ' ( & 3 ' / $ o - $ / F 8 1 # & K . e 6 1 " . 2 K T . " 6 " ' 7 G 6 " - c $ 6 . & K p q r r q s / 8 " / ( S t K ( $ # / 8 $uF " - m . 6 $ d # ! T ' S ' / v ( & @ # / & 3 ' . / w $ # @ x ' # / - G . / F 8 " # $ ( & 3 " 7 - " ! # 5 - / 8 $ v . " # $ y

q z q { " ' ( q | q } 3� ~ Z Z \ ] F " - m . 6 $ 5 ! = # % ! c $ # & K ' ' $ ( S ! $ ' # S ' G ' ( $ - / 8 $ S ' � G $ ' . $ 5 " 5 - . $

� * � � , rr � � � � � � � � �W � �� 8 $ - $ � " ' ( � " - $ � # &@ / &3 c $ . ' # C ' O @ x ! � G / $ � 8 $ � " 7 - " ' < " ' " ' ( � " ! &3 6 / ' & K " '

5 G ' . / & @ ' # K x ! F " - $ / 8 $ � " ! & K 6 / ' &3 " ' " ' ( / 8 $ / / " 6 $ ' $ - � L " ' ( ( & K # . G # # X $ . ' # $ - D� g ' 5 $ ' $ - � 5 - / 8 $ # 1 # / $ ! @

� � Z � � x ' � & @ ( $ - " F " - T . 6 $ 5 ! " # # % ! t @ ' 7 5 - $ $ 6 1 & 3 ' " . ' # $ � " Y c $ 5 - . $ E & $ 6 ( � 8 # $ F D/ $ ' T " 6 5 G ' . m ' & K # � @ n & K ' ( / 8 $ � " ! & @ 6 / ' & 3 " ' 5 G ' . Y ' d " ' ( # 8 � / 8 " / / 8 $ . " ' ' & ; . " 6

$ Q G " / & K ' # 5 ! / & @ ' - $ ( G . $ / � $ � / ' L # $ Q G " Y ' # K * � # $ - $ . C ' � 6 " - . - ( & 3 ' " / $ # 3 ,� � Z � � x ' # & 3 ( $ - " # &3 ! F 6 $ F 6 " ' $ F $ ' ( G 6 G ! . ' # & @ # Y ' 7 5 " ! " # # % " / C . 8 $ ( / " # / 2 3 ' 7 5

6 $ ' 7 / 8 B K � / $ - / 8 $ F $ ' ( G 6 G ! & @ # # $ / & K ' / ! Y ' L / 8 $ 6 $ ' 7 / 8 5 / 8 $ # / 2 3 ' 7 & 3 # # 8 - / D$ ' $ ( " / " . ' # C ' / - " / $

9 B� rr r   rr . ' # C ' /9 �� 8 $ # G # F $ ' # & K ' F & @ ' / - $ ! " &3 ' # E & ? $ ( @ x ! F G / $ / 8 $ � " 7 - " ' ¡ " ' " ' ( � " ! & K 6 / ' & K " '5 G ' . g ' # 3 x ! F " - $ / 8 $ � " ! &3 6 / ' & K " ' " ' ( X $ / C 6 $ ' $ - � d " ' ( ( S # . G # # / 8 $ . ' # $ - D

c " Y ' 5 $ ' $ - � 5 - X $ # 1 # / $ ! K� � Z ¢ � ] F " - Y . 6 $ 5 ! " # # % ! c $ # G ' ( $ - X $ & 3 ' � G $ ' . $ 5 £ t K p " 6 ' 7 X $ 8 $ 6 &3 ? ¤ rr � ¥ d ¦ §¨

. ' # C ' / W � 8 $ - $ � & @ # " . ' # / " ' / " ' ( ¤ & 3 # c $ - T . " 6 K P 0 C & K ' X $ � " ! S 6 / ' & K " ' $ Q G " / & K ' # 5 ! Y ' K

� � Z © � ª $ � $ « ¬ ' $ / 8 $ � " ! & 3 6 � ' & 3 " ' " ' ( � " ! & @ 6 � ' L # $ Q G " / ¬ ' # 5 ! / & 3 ' 5 - ­ ® ¯ " # & K ! F 6 $F $ ' ( G 6 G ! " ' ( ­ ° ¯ " # & 3 ! F 6 $ ] v ( ! " . 8 & 3 ' $ * # & 3 ' 7 6 $ F G 6 6 $ 1 , 3

� � Z � � ] ! " # # 6 $ # # # F 2 @ ' 7 5 6 $ ' 7 / 8 ± " ' ( # F 2 K ' 7 . ' # / " ' / � . ' ' $ . O v F " - T . 6 $ # 5 ! " # # $ #% & " ' ( % � 3 � 8 $ # 1 # / $ ! - $ # O ' " # ! X / " 0 6 $ " ' ( ! " 1 # . & @ 6 6 " / $ " ' ( - C / $ 3

Page 32: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

² ³ ´ µ ¶ · ¸ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À ¼ Á ¸ ¿ ¹ Â Ã Ä Å Æ Å Ç È É · ¸ ¹ º » ¼ Ç É Ê Ë ¸ Á ¾

Ì Í Î Ï Ð Ñ Ð Ò ÓÔ Õ Ð Ö × Ø Ù × Õ Ø Ð ½ Ú Ð Û Ü × Ý Þ Õ Ú Þ ß à Þ Ý Þ Õ áÌ â Î ã × ä × Ù Ð Ñ å Ð Ø Ð Õ Ð Ù æ Ó á ç Ð è à Þ à Ð Õ é ê Ú Þ ë Ó á × Ñ Ð è ì Ñ å í î ë î ë ï Ó á ë ë Þ Þ Ù è ÓÔ Õ × Ñ Ð Ú ð áÌ ñ Î Ï Ð Ñ Ð Ò ÓÔ Õ Ð ò × à Ó ó ï Ñ Þ Õ ô Ú Ð Û Ü × Ý Þ Õ Ú Þ ß à Þ õ Þ Õ á

ö ÷ ø ù ú û ü × Ù Ý ë ï Ð Þ ß à ê Ú ý Ó á Ú × Ñ þ × ë Ñ Ð è Ñ Þ × ß Þ Ù ë Ð ë Ð Õ Ñ Ð Ù ì Ñ å ÿ Ð ß Þ Ù ë Ð Þ ß à × � ÓÔ Ñ Ü è Ð � � � � á� Ú Ð ü ï × Õ Ð ü Þ ï × Ù ë Þ Þ Ù è Ó á Õ × Ñ Ð Ú × Õ è � Ó Õ è ò × à Ó á ï Ñ Þ Õ ½ Ú Ð Û Ü × � Þ Õ Ú Þ ß à Þ Ý Þ Õ áö ÷ ø � ú Þ Õ Ú Ó Ô è Ð Ù Ñ å Ð ü Ð Õ è Ü ï Ü à è Ð Ú ë Ô � Ð è Ó Ô Õ � Ù Þ � ï Ð à � � � á � å Ð ü Ð Õ è Ü ï Ü à � Ú ü Þ Ó ó Õ Ñ Þ ß � Ü �

ü Þ Ù Ñ á Ú Ð Ú � Ð Ù Ý ë × ï ï î ì ÿ ë Þ Õ Ú é Õ Ñ × ë ë Ð ï Ð Ù × � Þ Õ � áÌ Í Î � Ú Ð ÿ Ð Ö × Ø Ù × Õ � × Õ à Ð Ñ å Þ è Ñ Þ � Õ è ÿ Ð Ð Û Ü × Ý Þ Õ Ú Þ ß à Þ õ Þ Õ áÌ â Î Ï Ð Ñ Ð Ù à Ó á Õ Ð ÿ Ð ò × à Ó ó ï Ñ Þ Õ ÓÔ × Õ í è ò × à Ó á ï Ñ Þ Õ � Ú Ð Û Ü × Ý Þ Õ Ú Þ ß à Þ Ý Þ Õ áÌ ñ Î ã × ä Ó Ô Ú ÿ Ð ü Ð ó Þ è Þ ß Ú à × ï ï Þ Ú ë Ó ó ï ï × Ý Þ Õ Ú ð �

ö ÷ � � � Þ Õ Ú ÓÔ è Ð Ù × Õ î � Þ ë Þ Õ Ý Õ Ü Þ Ü Ú ß Ü Õ ë Ý Þ Õ Ú Þ ß ÿ Ð Ø Ð Õ Ð � Ó Ô ç Ð è ë Þ Þ Ù è Ó á Õ × Ñ Ð Ú × Õ è à à Ð Õ é ! " # ½ $ # % í è & ' " # ô $ # % á � å Ð ( ) * � ) + â , Í ñ - . / × Ù Ð è Ð � Ó Õ Ð è � î

0 & 1 2 34 5 4 & 4 5 4 &

675 8 7 7 # 9 4 " # 9 4 $ # : 94 $ # ; 4 " #

< Ð á = ÿ Ð ß Þ ï ï Þ ì Õ Ø ü Ù Þ ü Ð Ù Ý Ð Ú Þ ß ÿ Ð � Þ Ó Ô Ú Ú Þ Õ � Ù × ë > Ð ? áá

Ì Í Î Ã @@ 5 A :: 0 5 B C D E 4

@ 5 A Ì â Î " ú F G :: H " I J 8 C B $ K F L M : H $ F ô N OÌ ñ Î 0 $ P 8 $ F Q 1 :: R ô 0 " P ô " F G 1 :: R Ì S Î 0 " P ô $ F Q O : : T P F Q

U å Ð Ù Ð N Ó á Ú ÿ Ð ò × à Ó á ï Ñ Þ Õ Ó á × Õ á V ß ÿ Ð � Þ Ó á Ú Ú Þ Õ � Ù × ë > Ð Ñ Þ ß � Þ Û Ü × Õ � Ý Ð Ú W Õ ÓÔ Ú å Ð Ú ô Ñ å ÐÛ Ü × Õ � Ý Ð Ú × Ù Ð Ú X è Ñ Þ Y Z ý ý [ \ á V ß ÿ Ð � Þ ÓÔ Ú Ú Þ Õ � Ù × ë > Ð Ñ Þ ß � Þ Û Ü í � � Ð Ú Ð Û Ü × ï Ú Ü Õ Ó á ] 8

Ñ å Ð Û Ü × Õ Ý Ý Ð Ú × Ù Ð Ú X è Ñ Þ � Ð Y � ^ Z ^ _ á Y � ` ` a Y Z ^ b ó [ 5 � A c á Ì . Î d å Þ U ÿ × Ñ × Õ î Û Ü × Õ Ý ] Ñ å × Ñè Þ Ð Ú Õ Þ Ñ è Ð ü Ð Õ è Ð e ü ï Ó á ë Ó ó f î Þ Õ Ñ å Ð Ý à Ð × Õ è Ñ å × Ñ ë Þ à à Ü Ñ Ð Ú ì ÿ ÿ Ð ò g ÓÔ ï Ñ Þ Õ Ó ó × Õ Ó á Ú× ë Þ Õ Ú é Õ Ñ Þ ß ÿ Ð à Þ Ý Þ Õ Þ ß ÿ Ð Ú î Ú Ñ Ð à á � Þ ÓÔ Ú Ú Þ Õ h � Ù × ë > Ð Ñ ß Þ Ò × ï ÓÔ Ú à Ó ó Ú Þ ß ë Þ Õ Ú Ó ó è Ð Ù h× � ï Ð Ó á à ü Þ Ù é Õ ë Ð ÓÔ Õ Û Ü × Õ Ñ Ü à à Ð ë å í Ó á ë Ú á

ö ÷ � i � û Ú ü å Ð á ë æ ü Ð Õ è Ü ï Ü à ë Þ Õ Ú ÓÔ Ú ? Þ ß × � Þ � Þ ß à × Ú Ú j × Ñ é ë å Ð è Ñ Þ × U Ð Ó á Ø å f Ð Ú Ú k Ð e Ñ Ð Õ ÷Ú Ó Ô Þ Õ ï Ð Ú Ú Ù Þ è Þ ß ï Ð Õ Ø Ñ å ` á � å Ð Ð Õ è Þ ß ÿ Ð Ù Þ è Þ ü ü Þ Ú Ó á Ñ Ð Ñ å Ð � Þ � ü ÓÔ � Þ ? ß Ù Ð Ð ï î ' ÓÔ Õ × ï ï è l ÷

Ù Ð ë � Þ Õ Ú % × � Þ Ü Ñ Ú Þ à Ð � Ó e Ð è ü Þ Ó á Õ Ñ á d Ð Ñ Ü ü ÿ Ð ò g ÓÔ ï Ñ Þ Õ Ó ó × Õ ß Ü Õ ë Ý Þ Õ Ó ó Õ Ú ü å Ð á ë æ ë Þ Ù è Ó á Õ × Ñ Ð Ú � ' m $ n :: R 8 ÿ Ð Ù Ð Ú Ü ï Ñ Ó ó Ú ÿ Ð Ú × à Ð ê Ñ å × Ñ ß Þ Ù Ñ å Ð ü ï × Õ Ð ü Ð Õ è Ü ï Ü à á % Þ à � Ó á Õ Ð Ñ å Ð Ñ Ð Ò ÿ × Ñ è Ð ü Ð Õ è Ú Þ Õ $ n ì Ñ å ÿ Ð Þ Ù è Ó á Õ × o ü Þ Ñ Ð Õ Ý æ Ð Õ Ð Ù p Ñ Ð Ò Ñ Þ

è Ð � Ó Õ Ð ê c q q c Y A _ Ô r c ü Þ Ñ Ð Õ Ý × ï s ' t 8 $ n % � d > Ð Ñ ë å s ê × ß Ü Õ ë � Þ Õ Þ ß t ß Þ Ù Ú Ð � Ð Ù × ï u Ü Ð Ú Þ ß$ n ô Ó á Õ ë ï Ü è Ó á Õ Ø $ n :: R á Ï Ó á Ú ë Ü Ú Ú ÿ Ð ß Ð × Ñ Ü Ù Ð Ú Þ ß ÿ Ð à Þ Ý Þ Õ k ü Þ Ó á Õ Ý Õ Ø Þ Ü Ñ ÿ Ð è ÓÔ v Ð Ù ÷

Ð Õ ë Ð Ú � Ð � Ð Ð Õ $ n :: R × Õ è $ n w R á Ï l Ú ë Ü Ú Ú ÿ Ð ï ÓÔ à Ó á Ý Õ Ø ë ê Ð Þ ß Ñ å Ð ë Þ Õ Ó á ë æ ü Ð Õ è Ü �ï Ü à ' t xy ë Þ Õ Ú é Õ Ñ % ì ÿ Ù Ð ß Ð Ù Ð Õ ë Ð Ñ Þ ÿ Ð s z t è Ó á × { × à á

ö ÷ � ø ú û ü × Ù õ ë ï Ð à Þ � Ð Ú Ó á Õ × Ú ü å Ð á ë × ï ï î Ú | à Ð Ñ Ô ë ß Þ Ù ë Ð � Ó Ð ï è ì Ñ å ü Þ Ñ Ð Õ Ý æ Ð Õ Ð Ù p � � Ð Õ� î } ' � % :: : � � � á × ï ë Ü ï × Ñ Ð ÿ Ð ò × à Ó á ï Ñ Þ Õ Ó Ô × Õ ß Ü Õ ë õ Þ Õ Ó á Õ Ú ü å Ð á ë æ ë Þ Þ Ù è Ó á Õ × Ñ Ð Ú 8 × Õ èÞ � ~ á Õ ÿ Ð ë × Õ Þ Õ Ó Ô ë × ï Ð Û Ü × � Þ Õ Ú Þ ß à Þ Ý Þ Õ á d > Ð Ñ ë å Ñ å Ð ü × ÿ ÿ × Ñ × Ù Ð ü Ù Ð Ú Ð Õ é Ý � Ðü Þ ÓÔ Õ Ñ ß Þ Ù ÿ Ð Ú î Ú Ñ Ð à U Þ Ü ï è ß Þ ï ï Þ U Þ Õ × Ú Ü Ù ß × ë Ð N :: ë Þ Õ Ú é Õ Ñ Ó á Õ ü å ê Ð Ú ü × ë Ð � � Ð � Õ� î Ú å Þ ì Õ Ø ÿ × Ñ Ñ å Ð à Þ Ý Þ Õ à Ü Ú Ñ ï Ó á Ð Ó á Õ × ü ï × Õ Ð Ú Þ ÿ × Ñ ÿ Ð ü å ê Ð Ú ü × ë Ð Ó á Ú ß Þ Ü Ù è Ó Ô ÷à Ð Õ Ú ÓÔ Þ Õ æ ' � ô t k $ � 8 $ � ô � Ü Ñ Þ Õ ï î ÿ Ð � Ó Ù Ú Ñ ÿ Ù Ð Ð × Ù Ð Õ Þ Õ Ñ Ô � á æ % � æ ë Ü ï × Ñ Ð ÿ Ð ü Ù Þ � Ô Ð ë ÷

� Þ Õ Þ ß Ñ å Ð ü å × Ú Ð ü × ÿ Þ Õ Ñ å Ð � ÷ $ � ü ï × Õ Ð k ÿ Ð Õ é > Ð Ó á Õ Ñ Þ × ë ë Þ Ü Õ Ñ ÿ Ð W á × � Þ Õ � á ÿ t á

Page 33: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �   �¡ ¢ � £ � � � � � � � ¤ � �   �¡ ¢ � £ � ¥ ¦ � § ¨ � © £ � ¦ £ ª   £ � � � £ � ª £ « � � ¤ £ ¨ ¬ ¢ �­ ® £ £ ¤   � ¯ ° � ¡ � � £ ª ± ² �   ³ ¢ � ´ ¡ µ �

� ¶ � · ¸ ­ ³ � « © ¯ ¢ � £ ª   � ¦ ¦ ¹ ¦ ¢ � � ¤ � ¦ ¤ £ º � ¦   £ £ � ° ¯ �¡ « ¯ ¨ ¢ � « » � ¤ ¼ � £ ª   ½ ¦ ¾ � ¦ ¦ ° £ º �¡ �¿ À Á  « � ´ Ã Ä � Å ° � » � ¤ ¼ � « � ¦ Æ £ � � ¦   £ £ � ° ° £ Ç � È £ � É ¢ É ¬ ¢ � � ¿ �� � ¤ Ê Ë Ì � � � § Í � Î £ � £ ª  £ © £ � £ ª ¹ � � ¤ ¾ � � ¤ Ê Ï Ì � ° � « � � ¯ Ð £ � £ ª � ° � » � ¤ ¼ � £ � ¹ �

ÑÒ

Ó

Ô Õ Ö � ¶ × Ø « £ ¬ ¢ �   ´ ¶ Ù Ú Û� ¶ � Ü � ¿ £ ¨ « ³ � « Î ¯ ¢ � ¦ � « � ¤ �¡ « � ¯ � � ¤ ¨ ³ » � « ¤ �¡ � � ¨ � � � ª £ «   ¼ « � Ý É © £ � � ¢ Þ � � ¢ ¤ ß � ° � � ª £ ¢ à £ » á

�¡ � ¼ �¡ � � � � � � â ¯ £ � ¤ ã ¡ � �¡ £ � ¦ ¡ �ä å æ ç Ê è Ì éé ç ê ¡ ë ì í Ê è Ì éé îä ï æ ç Ê è Ì éé ç ê ð ñ ò �ë ì ó Ê è Ì éé îä � æ ç Ê è Ì éé ç ê ¥ � ì í Ê è Ì é é î ð ñ î �

ä · æ ç Ê è Ì é é ç ê ð ñ ò �ë ì í Ê è Ì éé ì ê ð ñ îô ° £ » ¬ õ ¤ � � « � ¯ � ¯ � ¢ ¯ ¨ ¢ � ö £ � � ° � � � ° � « � ³ « � ¦ � � É � � ¡ ÷ � ø £ �¡ � Æ ¯ £ « « � ¦ ³ £ � ¤ �¡ � ¼ � £ � ° � ¦ �³ � « ö ¯ ¢ � ¦ � ¢ » � õ ¦ ¤ � Þ � � � � � � « � � � � � ³ ° � ¦ � ¦ ³ � ¯ � � § ¨ â � £ ñ ò ñ î � ô ù � � ¯ ° � � ³ ° � ¦ �³ � � ° ¦ ë � � ¤ ¦ ° £ » ª £ « ¦ � ÷ � « � ¢ � � �   � ¦ ú û è � � ¦ ° � ³ � £ ª � ° � « � ü £ � » ° £ ¦ � � « � � « �   � � � � ¦¯ £ � ¦ É � � �

� ý þ ¸ � � � ¦ ¯ ¨ ¦ ¦ � � � ÿ   ³ ¢ � � ¯ � ö £ � ¦ £ ª � � � £ ¨ � � ¢ ¢ � ë ¦ � ° � £ « �   £ � � ° � ª £ ¯ ¨ ¦ � ÿ � ¼ £ ª ¬ � �   ¦ £ ª¯ ° � « ¼ � ¤ ³ � « ö ¯ ¢ � ¦ ¬ õ ¯ £ � ¦ � � ¤ � Ç � � ¼ � ° � ª £ ¢ ¢ £ � ÿ � ¼ ¦ � �   ø ¢ � ¯ � ¦ � � � � ¢ � ¯ � « £ � ¬ � �   £ ª¯ � ÿ « ¯ ¨ ¢ � « ¯ « £ ¦ ¦ ¦ � ¯ ö £ � Ê « � ¤ � � ¨ ¦ � ê Ì � � ¦ ¤ � � « � ¯ � � ¤ � ¢ £ � ¼ � ° � ç � � � ÿ ¦ ÿ Å ° � ¤ � � ¦ � � � £ ª � ¢ � ¯ ¶� £ � ¦ � ¯ « £ ¦ ¦ � ° � ¬ � �   � � ¦ ¯ £ � ¦ É � � ¬ ¨ � � �   £   � � � ¨   ¯ £   ³ £ � � � Æ � � � ¦ ÷ � � � £� � ¬ � �   Ê ì � � � ¤ ì � Ì � « � ¤ � � ¦ ÿ ¬ ¨ � � ¤ ¨ � � � £ � ¢ õ £ ÷ � « � ¯ � � « ¯ ¢ � £ ª � ¤ � � ¨ ¦ î � � �   £   � � ¶� ¨   ¦ ³ � ¯ � ÿ � ª ¦ £   � ª £ ¯ ¨ ¦ � � � ¼ ¦ õ ¦ � �   « � ¤ ¨ ¯ � ¦ � � ¬ � �   « � ¤ � ÿ ¨ ¦ ª « £   � ê � £ � � ë Þ � � ¤ � ° �« � ¦ ¨ ¢ ö � ¼ ¤ � � ¦ � Ç � ¬ ¨ � � Á £ � £ ª � � � « � � ¦ ÷ � �   £   � � � ¨   ¯ £   ³ £ � � � Æ ÿ � � � � � ¦ � � ø ° õ ¦ � � ¶

¯ � ¢   � � � � � � ¼ £ ª � � � ¦ « � ¦ ¨ ¢ � � � Ê Ä £ � ¦ � � ¤ � « � ° � � �  ¢ � « ¤ � � ÷ � « ¼ � � ¯ � £ ª � ° � ¬ � �   � Ì� � � � ¸ � ¦ � � �   � � ° £ ¤ £ ª � � ¼ « � � ¼ � ¨ � ¤ � � � «   � � � � ¤   ¨ ¢ Ð ³ ¢ � ÿ � � £ Þ � � ¤ � ° � � � � ¦ � � £ � ¦ � ÿ � ¬ £ � °¦ � � ¼ ¦ £ ª � ° � ¤ £ ¨ ¬ ¢ � ­ ® £ £ ¤   � ¯ ° � � � � £ ª ± ² � ³ ¢ � ´ � µ �� � � � ¸ Å ° � ³ £ � � � ö � ¢ ª £ « � � � � ° � � £ � � � ¯ £ ¦ ¯ � � ¢ ¢ � � £ « � ÿ ¦ � éé � � � � � ð � � � � Ú » ° � « � � � � ¤ � � « �¯ £ � ¦ É � Æ � ¿ � ÿ � ¤ � �   � � ¢ � £ � � ¦ � § ¨ � ö £ � ¦ £ ª   £ ö £ � �� ¶ � � ¸ � � ² � « �   � ¢ õ ¢ � ÿ   ¬ � « « £ ³ � £ ª ¨ � � � ª £ «     ½ ¦ ¤ � � ¦ � � � ¥   ½ ¦ ¹ � � ¤ � £ ¢ � � ¼ � ° � ¢ � Á � ¦ £ �� É ¬ ¢ � ß � ° � ¢ � � ¼ � ° ç ° � � ! � ¼ £ ÷ � « � � � ¤ ¼ � £ ª � ° � É ¬ ¢ � � " � ¢ õ # � Ý � � ¯ Æ £ � � ° �« £ ³ � � ¿ � ÿ � ¤ � � # � � ¼ � � ¦ � § ¨ � Î £ � £ ª   £ ö £ � �

$

% &

'()

Page 34: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

* + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 9 0 7 1 : ; < = > = ? @ A / 0 1 2 3 4 ? A B C 0 9 6

D E F G H I J K L M N O N P I K M K Q R S T U V W X Y N I V J U X U Z V J [ Q U T T \ ] V Y U V Q J ^ N T _ S V Y J K V [ ` a X V R S J P J PU Y J ` b c J P V U M T K Z [ U X N a d N N e R S f Z N g h i S j U X Y O N P I K M K Q Y U T M N P k V Y l U P I Q m T L J L n

e R a P I V Y N N o K U V R a J P T J [ Q J p J P a

qrq

r

s t uv w x y D h z { Z J L M N Q g | } ~ a

D E � � H O N P I K M K Q J [ M N P k V Y l U P I Q U T T L J L ] R S T J T X R a M M U V R a P k U V T Q U M M U P k M N T � Y N P V Y NM N P k V Y J [ V Y N O N P I K M K Q T V ` S P k R S T T Y J Z V N P N I U V U ^ N M J X R a � J [ � � � l � � � �� � � � a e R S P I

� � U k Z U P k N � T N o K U � J P T J [ Q J � J P a

Page 35: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � � � � � � �   ¡ ¢ £ ¤ ¥ �   ¦ § £ � � ¨ ¤ �© ª « ¬ ­ ® ª ¯ ° ± ® ª ® ² ª ³ ´ ® ® ª ° µ ¶ · « ¬ ­ ¯ ¸ ª ¹ ª º « ­ « ¬ ® ª « ¬ ­ ® ª ¯ ° ± ³ » ¼ ³ ­ ½ ¾ ½ ¿¿ ½ ³ ­ ½ ¿ ½ » ® ÀÀ Á ® ± « ¬ ­ ±  ® ª ° à À ³ ³ ª Ã Ä ­ ¯ ® ª Å · »

Æ Ç È É ¿ È Ê Ë Ì ÍÎ Ï

È ÊÐ Ñ �Ò Ó Ô ¿ ¿ Õ Ö Ì × ¿ È Ê ³ ­ Ø × È É ¿ È Ê Ù Ú Û Ü Ý ËÞ ß ß à

á  ⠪ « ¬ ­ · ª ° ® ¸ ª ­ ¶ µ Á ª ° ·  ° À µ ¸ ª ³ ± · ® ª ã ± µ ä ³ ª » â ª º « ­ ¹ ¸ ª · ± µ ª ± ­ · â ª °  À ° ® ² ªÁ ¶ ° ­ À ¶ ® ² ª « ¬ ¯ ² ® åæ ² ª · ä ª ª ¹ ± ® Á ¶ ° ­ À ¶ ® à ± ­ Á ª ¹ ª ® ª Å ç ­ ª ¹ ¹ ç ° ª à è é  ° À µ ê ë ¶ ± ì À ­ í å î ï ð åñ × ³ Ï

È ÉÐò ó ¿¿ ¿ Æ Í ­ ô È Ê

õ È É ¿ È Ê ËÏ

àÐ

¿¿ ¿ ö × Í ³ ­ ô Ù Ú Û Ü Ý � Ëß È Ê

÷ ø ù ú û ü ýþ ÿ � � � � ¬ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¬ � � � � � ¬ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¬ � � � � � � � � � � �� � ¬ � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¬þ � � � � � ¬ � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¬ � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � � ¬ � � � " # � � � � � � ¬ $ � %

þ & ' � � � ¬ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¬ � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � ¬ � � � " # � � � � � � ¬ $ � (� � � � � � � å� � � � å� � � � � � � � ) � � å � � # * � � � � � + � ! � � � � � � � � � � å � $ åþ , � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � å � � � - � � � � � ! � � � � � � � � . � / � � � � � � å � � � � � �� � � � � � � � � � � � # 0 � � � � 1 � å � � � å 2 � 3 4 5 å

6 7778 7 77777 7 9 :7 7 ;< < : =< 9 ;< < < < < < < >? @ A B C D � ! � � 3 E å

þ ÿ F � G � � � � � � � � $ � H � � � � � � � � � � � I � � � � � å � � � � � � å � � ! � � * � J � � � K � � � � $ � L 4� ¬ � � å � � � � � � � � � � K � � � � � � M � � ¬ � � � � � � � � � � $ � N å � � å � � � � � � � � 0 � � � * � � � � � � � � � � $ � H � � å � å� � � � O � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¬ � � � � ¬þ P � Q � � � � � � � + � � � I � � � � � � � M � � � � � R ¬ G � � � � � � � � � � � � � S � � � � � � T � UU V � � �T � UU W X Y Z ¬ [ � � � � � /� � � � � � � /� � � � � � � � � � � � � � � � \ å ] å � 0 * � � å� � � � � � � å� å� � � 0 L � � � � 4� ¬ � 0 � � � � � � � � � � O � � � � � � � � � � � � � � ^ ¬

_

`

ab

Page 36: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

c d e f g h i j k l mn o p q r s t u v w t x y z v { y v | s t w v } ~ w v � � � � � � � z t � � � � � � � � � ~ | v � o � � � v | v � � � y z v } v � y v | t xs � � � �

� � ����� � ����� � � � ��e � � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � n � � � | t � w v s � o   �

n o ¡ q � v | v � � � y z v } v � y v | t x s � � � t x ¢ v � � � t � } v w v � | � � � z y y £ � � � � w v t x ~ � � � x t ¤ � | v � w u v � � � � ¥� z t ¦ � � � � � � § | v � o ¨ ��

� � ©�

� � � ª « � | t � w v s ¬ ­ �n ® n ¯ r ° | t ± v } ² w v � � � ³ � | v u � y � � � � � w v t x ´ µ ¶ · ¢ � ¸ � ¹ y � � º » � � � v y � � } v � v | ¼ ½ � r y y z v y t ° t x � � ¾y | � ¿ � v } y t À Á y z v ° | t ± v }  w v v à ° w t u v � · y z � u u � � Ä t � � w v � v | ¼ ½ � � � y t Å t x | � � s v � ¾ �� � v x | � Æ v � y t x s � � � Ç � y | � È v w � � y | � ¹ � z y u t ¦ É � � y � � � y z v È v w t } � � ¥ Ê s � � � � ¸ y ~ u v� � u u ¹ | v } Ë t � Ì t x ¢ v � v } t � u x | � Æ v � y t x s � � � Ç � � � u ¢ v È v w t } � � ¥ t x y z v ³ � | � y Í� � y Î � � y z v | �  t t x Ç � Ï Ç � � z v � Ç � Î É � � s Ð Ñ s ~ s Ín Ò Ó Ô Õ r } � � � t � Î Ö � � x t | y t È v | w t t × Ö � � y z v t } v � � ³ Î | v � � � z v w w t x s � � � Ø � y � � v w v Ù y Î ¸ t �� � � w v Ú � � u s ~ Û Û w v È v w t } Î Ö ¥ Ü Ý Ö r y ¢ v z Î Ö � z v � y ° t ÎÖ � y Þ y z v � z v w w v à ° w t u v � Î Ö � y t ß tx | � Æ v � ¾ à s á � v � Ç � â Ç � ãã Ø Ì Þ · y z � � � u u Î Ö Â t � � w v � v | ¼ ä Á y | � È v w Î ¸ � � Î ¸ � y z vt £ ¸ å Ö � � w z t £ Ö Û t � æ u Î Ö | v } ² t � � � ÎÖ � u y z v u Î ¸ � ç � } v � v ° � | �  � � ¢ v ß t x | � � s v � ¾ � z v �y z v è w � � u Î � � ¢ v t } v � � Ö � t | � ÎÖ s ° w Î � } Î Ö ¥ é � � � ~ s v y z v } � � � t � Î Ö � � y � v � w v È v w �n o Ó Ó Õ ê v £ Ö ë y z � y y z v � v } t � u y v ¤ t � ¢ v £ Ö � z y o z � � u � Î Ö u v t x ì í ~ � y Î Ö t � � Ö � Î � � u v v u È � � Ñ � z v �x t | ¢ v } � � v î ãã ï Ö

n Ò Ó ð q ñ y | t � � ~ y ò y ~ s � w v � ~ s � � � u v | � y t t x � | � { è x | t s ¢ v � ° � } v � z ~ y ó v t | � Î ¸ y v | � z Ñ w v| v ° � Î Ö £ Ö � � � � | t » v � } t s s ~ � Î Ö } � Â t � � � � y v w w ÎÖ y v Ö ò y ~ s � w v � ~ s | v º Î Ö Û v � y z � y ¢ v t | � Ñ y v |Î ¸ � s t ô Ö � � � { è x | t s z ÎÖ s � y ï s Ï � Ö ò y ~ s � w v � ~ s � � u z Î Ö � s � � v ~ È v £ � � � ~ � Î Ö y z � È v �s á � t x õ ö ö » � é ÎÉ � } w ~ u Î É � � � ° | v � � ~ £ É Û v u ç � » t x s � � � õ ö » � É ÷ z v ç � » Î É � } w ~ u v � t � w èø » � t x � � � ¢ � y ÎÉ � ~ � v u y t ° | t ° v w z Î É s Î É � � ° � } v É ÷ z v � á v � } � ° v � · y z � } t � � ç � y È v ow t } Î É ¥ t x õ ö ö s Ï � É

ù ú

û

ü

Page 37: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

ý þ ÿ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � ! " # $ � � " ! % � & � % � ' ( & � ) * � ! % � � � � � % +,� - � � � . * / & ' � 0 � � ! ( � . 1 2 � � � � � � � � � � � � & ' 0 � � ! � & % ! / * � � � 3 1 4 5 ' 6 7 � ! % � ' ( &* � ! % � � . � � % + �8 9 : ; < = 0 � * ! � # & * � � ! > " ! % ( � ! ' ) ? � � � ! " 3 @ A ( � � ) � = B � ' C ! D � D � � � ) E � % ! F � & � � �� ! % B � � � ' 7 ! � � � E � % ! � � & ! / * ' � * � � � � ! % B � � & $ * � ) G � H � � � . ' 7 ( ! ! % I � . 9 ' � � ) 7 ) � � � ,8 9 : J < K ! ) � . I � % ' ) 7 ) � � � ! " 3 ' % C ( � � ) � . � � % ' ( C # � 7 � ' # � C ( " ! % ( � ) � L � = B � ' A ! ) D � M M' I D � N M H � . I + . = O 3 � ' � . ,8 9 : P < Q ) � ! ! * % ! 3 � � . ) 3 � ' ( � I ' � ! 0 � ' & ! � � � . ' 4 � � � � R � � S % � D T U � . V � � I ! " * � % ! 3 �" ' � � ) * % ! � # & � & � & ! � � ' � W XX Y F 3 � � � � . # ) � � ' I � . � 7 ! * � % � � Z I � % ! " * � % ! 3 � , R � . I* � 0 � � ! ( � . 1 ' I ' ( ( � � � % ' C ! ! " * � % ! 3 � $ ' " � ( C ! ! " * � I � � ) 4 ( � � ! * � � I ! "� & � % ! 3 � [ , \ ] ! % � ^ � " _ . ( C ! � ` & � � ! > � � # * ! " * � % ! 3 � � � ) a �

b c de fgh ijgk l m n o p % ! � � � � D 9 M q �

8 9 : r < R ! % * � � � % s t ! ) � u . # ( $ � ! " * � " ^ � � � # ( & ' � � � . = O ' � 3 � � D � v F ) & ! / * ' � * �� � ) � . ! ! � � . � & � % ) � . I � ! " * � � ! � � ! � � � I � . ) � B � ^ ' I & $ * � H � � w [ , x y z �8 9 : { < \ � � # % ' � � = B � ' C ! D � M { � . = O ' � 3 � � D , v � � � % � . ( ' � � 7 ' I � ' 5 � ' 3 � ! � ! "� & � ) 3 � � I 0 � % ) � ) � & � � � . � � � ) � . # I � � � � ) � . ! � � ) ) 3 ' % ' � � � � % ) F e , y | 0 ) � W y }/ & � % � } � . ) � & � " % � � " ' � � C � � ~ W � � � � � � � � R � � I � & � � � . � � � . � � ' 5 � ) " ! % � & � " % � � � I � !% � ' ( & � & � � ! � � ! � , U � � � � ' � � % ' � � � � � � 7 � XX X � � � � � � F � XXX e � � � ' I � . � � # % ' � �� � y � " % ! � � XX � � ) ! � � ) � ' � � � � � � % # % � ' � � % � & ' Y � � ! � XX : � � V � ( ' � � � . T� � # % ' � � � � � % � . ( ' � � 7 " % ! � � XX Y � � ( ' � ) � ! " ' ) � . # � � ' _ � 1 � . � � y � � ` & � � O 3 % � ) ) � � ! � � y � � � ) � � : � v �X� �X� v � � : X � �n : � < � ) � ' ( ! � 3 � � � % � ! � ' 5 � ' 3 � ! � ! " � & � � � ) � � ! 0 � % ) � ) C � � " ! % * � " ^ � � . # ( & Z � � = O ' � 3 � � D � v � � ) � I � � � � ) � � ! � � ) ) 3 ' � � � � % ) � � y � � � 0 � � � ) � � � �   ¡ ¢ £ F / & � % �� � ¤ ¥ ¥ � ¦ §¨ � � � � � � � � ! 3 * � 3 � ! � � � " ! % � � y � � � � ( ! � � ) © � ' � � % * ª q Y �n : 8 < Q ( & Z ) � ( & $ * � ! � � . = O G 3 « � D � v � 2 * * � ) G � 3 ¬ � � � � � � ! " � � # � & ­ ' I� $ ) w ­ � . ) ) � ) 3 � I � I " % ! � ! � � I ' � ' 3 ! � . � * ' � � � ) ' & � � � # & � ­ ' � ! 0 � ' 4 � � � ) ! * ' �

®¯°

Page 38: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

± ² ³ ´ µ ¶ · ¸ ¹ º »¼ ½ ¾ ¿ ½ ½ ½ À Á  à ¿ ½ Ä Å Æ Ç È É Ê ½ Ë ¼ ½ Ì Â Ä ½ Æ Ç Í Î Ï Æ Ð Ñ ½ Ò ÓÓ Ô Õ ¼ ½ Ö × ½ Á ½ À Á Ç ¾ Æ Ê ½ É Ê Ã Ø Ù À Ø Ú Ë¿ ½ Ä ½ Ã Ë ½ Á Î Û Ø Ù À Á ¼ ½ ¾ Ç ¿ É ½ Æ Ê Ã Æ ¼ ½ Ì Â Ä ½ Æ Ç Í ½ × ½ ¿ Ü Ç À Æ Ê ½ É Ê Ã Ø Î À Ý Æ ½ ¿ ¼ ½ Ç Þ Ù ß À àá Ø × ½ Á ½ À Á Ê Ã Ë ¾ Ã Ä Ä ½ À à Á Ø Ù Ë Ì À É ½ âã ä å æ ç Ï È À Ø Î ¾ Ç è ¿ Ç Í ½ Ç ¾ Æ Ç Ì Ä Ä ½ À é ¼ ê ë Ê Ã À é Ë Ø Î À ½ ì È Ø Î Ä Ø Î Â Þ Î È Ñ Ç í ½ ¿ Ã Ë Ñ Ç Ç ¼ À Ã Ø Î Ä Ù Ï í ½ îË Ñ à Ä Ø Ù Ñ Í È Ä Ë ½ É Ã È Ë ½ Ë Æ Ê ½ ¿ Ç Í ½ Æ Ç Ë Ä Ç ï Ä Å ¿ Ç Ä Ä Ç ð Æ Ê ½ À ñ Ä Ù Û Ø Î À Á ¼ ½ í ½ Ä Ç É Ø Ù ò Ç ¾ ¼ ½¿ Ç Í ½ ó Ø Î Æ ô Ù È Ë Æ É Ä ½ à ¿ Ë ¼ ½ À Ã Ø Î Ä Ù õ Ë È Ñ ½ Æ Ê ½ ¿ Ç Í ½ Ø Ú Ë Í ¿ ½ í ½ À Æ ½ Á ¾ ¿ Ç Ñ Ä Ø Î ¾ Ð À é Ç ð ¼ ½ À Ã Ø Î Äà À Á Ø Ù Ë Ø Î À ¾ ¿ ½ ½ ¾ Ã Ä Ä Ùö å ÷ ø Ï ù ½ × Ø Î Â Ä ½ ¿ Ç Í ½ Ç ¾ Ä ½ À é Æ Ê ú Î Ô Ñ Ë Ä Ø Î Á ½ Ë ¾ ¿ Ç Ñ Ã ¾ Þ Î É û Ç À Ä ½ Ë Ë Ì Â Ä ½ Æ Ç Í ó Ë Ê Ç ü Ø Î À Û Ø Î ý ¿ ½þ ÿ � Ù � Ê ½ ¿ Ç Í ½ Ø Ù Ë Ø Î À Ø Î û à Ä Å ¿ ½ Ä ½ ó ½ Á ¾ ¿ Ç Ñ ¿ ½ Ë Æ � ¼ � Ô É Ñ Ê Ã À ß À é Ç í ½ ¿ ¼ ½ ½ Á é ½ Ç ¾ ¼ ½Ì Â Ä ½ Î Û Ø Î À Á ¼ ½ û Ñ ½ Ã Æ ï Ê Ø Ù É Ê Æ Ê ½ Ä ½ ¾ Æ ½ À Á Ç ¾ ¼ ½ ¿ Ç Í ½ ¿ ½ Ã É Ê ½ Ë ¼ ½ ½ Á é ½ Ç ¾ ¼ ½ Ì Â Ä ½ Ú

� � � ã � � ¿ Ç Â Ä ½ Ñ þ ÿ ê ú Úã ä å å ç Ï Á ½ È Æ ½ ¿ Ç À À È É Ä ½ È Ë Ç ¾ Á ½ È Æ ½ Þ Î È Ñ Ã Æ Ç Ñ É Ç À Ë Ø Ù Ë Ð À é Ç ¾ Ã Í ¿ Ç Æ Ç À à À Á à À ½ È � Ç À � Î Æ ÊË Í ½ ½ Á ú � Î þ � � Ë É Ç Ä Ä Ø Î Á ½ Ë ½ Ä Ã Ë û É Ã Ä Ä Å � ¼ à À ½ È � Ç À Ã Æ ¿ ½ Ë Æ Î � Ë ½ ¼ ½ Ã Í Í ¿ Ç × Ø Ù Ñ Ã û Ç À¼ Ã Æ ¼ ½ Á ½ È Æ ½ ¿ Ç À Ø Ú Ë � Ú É ½ Æ Ê ½ Ñ ó Ë Ç ¾ Æ Ê ½ À ½ È Æ ¿ Ç À Î � � � ¾ Æ Ê ½ Á ½ È Æ ½ ¿ Ç À Ø � Ë Ë É Ã Æ Æ ½ ¿ ½ ÁÆ Ê ¿ Ç È é Ê Ã � à À é Ä ½ � ÓÓ ú Ô � Õ ï Ê Ã Æ Ã ¿ ½ Æ Ê ½ á Ø À à Ë Í ½ ½ Á Ë Ç ¾ ¼ ½ Á ½ È Æ ½ ¿ Ç À à À Á À ½ È äÆ ¿ Ç À � � � � Ã Æ Ø Î Ë Æ Ê ½ � Ë É Ã Æ Æ ½ Þ Î À é à À é Ä ½ Ç ¾ Æ Ê ½ À ½ È � Ç À � � � � Ã Æ Ø Î Ë Æ Ê ½ Ñ � Ø Î äÑ È Ñ Í Ç Ë Ë Ø Î Â Ä ½ Ë É Ã Æ Æ ½ Þ Ù À é à À é Ä ½ Ç ¾ Æ Ê ½ Á ½ È Æ ½ ¿ Ç À �ö å ç Ï Í Ã ¿ û É Ä ½ Ç ¾ Ñ ó Ë ! Ø Ã À Á í ½ Ä Ç É Ø Î ò " Ø É Ç Ä Ä Ø Î Á ½ Ë � ¼ Ã Í Ã ¿ Ð É Ä ½ Ç ¾ Ñ Ã Ë Ë ! # Ã Æ ¿ ½ Ë Æ Ù � Ê ½$ Ç Í Ã ¿ Æ Ø Î É Ä ½ Ë Ë Æ Ø Î É % Æ Ç é ½ Æ Ê ½ ¿ Î � Ã Æ ¾ ¿ Ã É Ð Ç À Ç ¾ ¼ ½ Ç Þ Î ß À Ã Ä & Î À ½ û É ½ À ½ ¿ ' Ø Ù Ë Ä Ç Ë Æ Ø Î À¼ ½ É Ç Ä Ä Ø Î Ë Ø Ù Ç À �ö å ( ç Ï Í Ã ¿ û É Ä ½ Ç ¾ Ñ ó Ë ! Ã Æ ¼ ½ ½ À Á Ç ¾ Ã Ä Ø Î é Ê Æ Ë Æ Þ Î À é ï ¿ Ã Í Ë Ø Î Ü ½ Ä ¾ Ã Â Ç È Æ Ã á Ø × ½ Á í ½ ¿ Ð É à) Ä Ø Î À Á ½ ¿ Ç ¾ ¿ à Á Ø Ù È Ë ë Û Ø Î ý ¿ ½ þ ÿ Û � Ú * Ä ¼ ½ Ñ Ç Ð Ç À Ø Î Ë Ø Î À Æ Ê ½ Ê Ç Þ Ù + Ç À Ì Ä Í Ä Ã À ½ Á Ø Î Ë ¿ ½ ÿé à ¿ Á é , - Ù ò � Ú � Ê ½ à À ý Ä Ã ¿ í ½ Ä Ç É Ø Î ò Ç ¾ Æ Ê ½ É Ç ¿ Á Ø Î Ë . / ï Ê ½ À Æ Ê ½ Á Ø Î Ë Ì À É ½ ¾ ¿ Ç Ñ Æ Ê ½ Í Ã ¿ �û É Ä ½ Æ Ç Æ Ê ½ Í Ç Ø Ù À Æ Ç ¾ É Ç À Ì É Æ Ç ¾ ¼ ½ Ë Æ Þ Ù À é à À Á É Å Ä Ø Î À Á ½ ¿ Ø Ù Ë 0 Ù Û Ø Î À Á Æ Ê ½ à À ý Ä Ã ¿ í ½ Ä Ç É Ø Î òà À Á Æ ½ À Ë Ø Î Ç À Ø Ù À Æ Ê ½ Ë 1 Ù À é Ý Æ ½ ¿ Æ Ê ½ É Ç ¿ Á Ê ó Æ È ¿ À ½ Á ¼ ¿ Ç È é Ê Ã À à Á Á Ø Î û Ç À à à À é Ä ½ 2 Ù

3 4 56 78 · 9 : 9 ;< => = ? @ 3 AB 5C 6 /

� � � ã ä D ¿ Ç Â Ä ½ Ñ þ � ê � Ùã ä å E ç F Ä Ç ï � Ñ Ç - Î À é À ½ È � Ç À Ë Ê Ã í ½ Ã Ñ È É Ê Ä Ã ¿ é ½ ¿ Ã Â Ë Ç G û Ç À ¿ Ã Æ ½ Ø Ú À # H I � ¼ à À ¾ Ã Ë Æ À ½ È ÿÆ ¿ Ç À Ë Í ¿ Ç Á È É ½ Á  Š# J I � K á Ø Ë Ë Ø Î Ç À Ø Î À à À È É Ä ½ à ¿ ¿ ½ Ã É Æ Ç ¿ Ù Û Ç ¿ ¼ Ã Æ ¿ ½ L Ç À Õ ¿ ½ Ã É Æ Ç M É Ç À ÿË Ø Î Ë Æ Ç ¾ Ñ Ç Á ½ , Æ Ç ¿ Ë Æ Ç Ë Ä Ç ï Á Ç ü À ½ È � Ç À Ë Â Å ½ Ä Ã Ë Ð É É Ç Ä Ä Ø Î Ë Ø Ù Ç À Ë Ù � Ã Æ ½ Ä ½ Ñ ½ À Ü Ã ¿ ½Â ½ Ë Æ Æ Ç Â ½ È Ë ½ Á ó Ñ Ç Á ½ , Æ Ç ¿ Ë � � × Í Ä ñ À Î

N

O

PQ

Page 39: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ ` \ a b c ] ^ d e a Z [ f b \g h i j k l m n o p q r n p o s t u s r v p w x n y n n w y p z s q v r { n | } ~ | � � n w x �

� } � �� � � � � � � � } � � � � � � � � � } � �� �� m n q n � � | s r p w | � t � � � } � | s r p w | � w t � n { p r } � � � s w � � ��� � � � � � } � � � s { r � { s t n � n } � w t n �  t p q ¡ � n o p q � n | � | t n ¢ �£ � m � � p n | � } � | ¡ ¤ ¥ � w p t ¦ } � | m § ¨ | t m n | � | t n ¢ r p w | n © v � n §

g ª i « ¬ ­ n ® � � n ¯ ¡ � s t } � p w ° ~ ° ± �g ª i ² ¬ ³ z s q t } ~ r { n p o ¢ ´ | µ } n { s | t } ~ r s { { � r p { { } � � n | ¶ � t m s z s q t } � r { n p o ¢ s | | µ � s t q n | t � · s t } � |t m n ¢ s ¸ } ~ ¢ � ¢ o q s r t } � p w p o ¹ } ~ w n t } ~ r n w n q º { p | | o p q µ } § ­ n | r ® � x n t m n q n s r t � p w ~g h i g » ­ n ® ~ � n ¯ ¡ � s v p w ° � ° ¼ �g h ½ ¾ » ³ t n w w } � | z { s � n q | ¿ ~ ¹ n | s w } � w r p ¢ } � w À t n w w � | x s { { p o ¢ s | | Á ± À s | | m p  � w à } � À � q n ° Ä Å ~l m n } � w r p ¢ } � w À t n w w � | x s { { � n { p r } ~ � } � | � Æ �� Ç ¢ È | É s w � � n p � t À p } ~ w À � n { p r } ~ � } � |� Ê �� ¼ Á ¢ È | �

Ë Ì � · s t } � ¢ z � { | n � s | � � n w t p t m n t n w w � | x s { { §Ë Í � ¨ o t m n r p { { } � | � p w t � ¢ n � s | ± � ± ¼ | � � m s t � s | � n s � n q s À n o p q r n n ¸ n q t n � x � t m n t n w w � |q s r ¹ n t Î

Ï Ï Ð ÑÏ Ï Ï Ò Ó ÔÏ Ï ÕÏ Ö Ö Ï× Ó Ô ÏÐ Ø

Ù Ú Û g h Ú Ü q p x { n ¢ ° Ä Ý ± �g h ½ Þ » ­ n ® ~ � n ¯ ¡ � s v p w ° � ° ß �g h ½ i k ³ z s q t } ~ r { n p o ¢ s | | µ s w � � n { p r } ~ � à } ¢ s ¹ n | s m n s � Ä p w r p { { � | } � p w á t m s w p t m n q z s q ¥ r { np o ¢ s | | ß µ s t q n | t ~ ¨ o t m n r p n o â } r } � n w t p o q n | t } � t � t � p w } ~ | | � r m t p ¢ s ¹ n � n { p | | p o t p � { ¹ } ~ ª

w n t � r n w n q º s ¢ ã } � ¢ � ¢ É � m s t s q n t m n � n { p r } ~ t } ~ n | � } s w � ä å t n q t m n r p { { } ~ | } ~ p w æg ç ½ ½ k è m p � t m s t é } È é � r s w x n n ¸ z q n | | n � } � w t n ê | p o µ � È µ } ��� ë s w � r ì | í �� � î s |

ï é } �� � ¼ ð ë � ñ � ò ß î � ð ë � � ¼ ð ß î ó ë � ð ô � ¼ õé �Ü { p t é } È é � s | s o � w r v p w p o í o p q ë �� ¼ ö ß ö ÷ ö s w � ¼ ß � l m n | n z { p ø r p q q n | z p w � t p � nn w n q À } ~ n | p o z q p t p w | p q w n � t q p w | å t n q | r s t t n ® ~ w À o q p ¢ m � � q p À n w � ë �� ¼ � £ � n � t n ® � � ¢

� ë �� ß � É m n { } ~ � ¢ � ë �� ÷ � ö s w � r s q x p w � ë � � ¼ ß � ö p q p o s { z m s z s q ¥ r { n | | r s t t n q n � o q p ¢m n { � � ¢ � ë �� ¼ � ö p ¸ � À n w � ë �� ÷ � £ s w � | p o p q t m �

ù

Page 40: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

ú û ü ý þ ÿ � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! " � # $ % � � � � � � & '

� ( � � � ( ) * � + , ( � � � # � � � � � - � ( . // 0 1 2 3 4 � � 5 � � 6 � � � � � � � � � 7 8 * � ( � � � � � � � � � � � � 9� � � � � � � � � & � : ( � � � � � � � � ; � � � < � ( 8 * � ( = � � > � � � � � � � � � � � � � � � � # � � > � ?

� @ A B � C � � � � � � � � # 6 � D � � � � � � � � � � � � E ( � F � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � C � G � � � � � # 6 � H

� ( � � � ( � � � � = I ( � # ) * � C � G � � � D � � � � � � � ( ( � � � � � � J > * � = � � > � � . 5 * 6 �+ � � � � � � � � � K � 7 8 * � � � K � // K � L . % 4 � � � � � � J � � � � � � J � * � � ( � � M # � � � N � � � � � � �� � � ( ( � � � C � � M � � � � � � # � � C � � � ( � � � � � � � � � � � � � ( � � � � J O � � � ; � � � � C � � � � ( � � � � � � � ( P

( � Q � > 5 > � � 3 R � � � � � � � � � � 6 � � ! S % D T // D � 7 ! U % D T VV W D � X 5 ! Y % D T // Z � [ J > > � � (� � � C C � � � � � � � � � � � � 3 � � � � \ ( � � � ( � ] � � � � � ( � � ( � � � � � � J � � � � C ^ � � � �

_ P @ ` � a � � � � � � � ( � � � � � � � � � � � � � � � b � C � � M � � � � � ( * # � � � � � D � � � D T c � � � � � � � ( � � � � � � � � � � � �� � � d � � � d T // e d � a � ( * � � � � � ( � 3 � � f � � M � � � � � g

� � � � ( * � b � C � � � � � � � � � � � h J � � 7i � � ( * � � � � � � � � � � � � � � j k � � D � j D T � J � * ( * � ( D � � � � ( � � � ( : ( � � ( * � � � � � � � � � � � l m � # � � � � � � ( * � 6 � � � � � ( * � � � �

> � � � n

_ 9 @ o p q � � � � J � � � ( i � � � � � � � r � 7 ( * � � m C � � � � � � � � J � � � � � � h J � � s � ' � [ J C C � � � ( * � � � � � � � �( * � � J � � � ( � � t // L u v w / x w y z T � { T % | J � � � ( * � � � � � � � � � � # � � } � � � L � � � � # � � � �} � � � % � ) * � # � � � � � ( * � � J � � � ( � � u >

! S % q � ( � � # C J � � � � � ~ � � ( * � � J � � � ( ?! U % q � ( � � � ( * � # J } } � � � � � � � �

� � � � � r � ?

_ P @ � � [ * � 8 ( * � (� � D T � � T/� / � � �

� � L D � � D T % T

8 * � � �

� . � � � � L � / . %��� � � � D ��D T

_ P @ _ � � C � � M � � � � � # � � � D � � s � � � � # � � ( * 8 � � � � ( � � � � > � � � � � � # � � � � � # � � � ) * � � � � � �i � � � � � � ( � � � � � ( � � ( J ( � � � � � � � 4 � � ( * � � � � � � � �

� � � � � � � � � J � � � > � � � � ( * � C � � � � � �: ( � � � � � � � > ( * � 8 � � � �

_ � � � � C � � ( � � � � � � # 6 � D � � � � � � � � � �� � � � ( Q � s � � * � � � � � C � � M � � � � � # � � � D T � ( � � � ( �

) * � � � � � i � � � � � ( � � � � � M ( J ( � � � � � � � � � ( � � � � D T � � � � � ( � � C � � � ( � � � � � � � � � � ' � �� * � � � � � 4 �

r � � � � � 4 � � � ( * � � � � � � � � L # � > � � ( J � � � � � � � ( � � � % � � D � � � D T

: ( � � ( * � � � � � � � � � � � �

� � T� � �

�������� �

� �� �   _ P ¡ � � � � � � # ¢ 9 0 w

£

¤

¥

Page 41: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

¦ § ¨ © ª « ¬ ­ ® ¯ ° ± ² ³ ´ ° µ ¶ · ± ² ¸ ¹ µ ® ¯ º ¶ °

» ¼ ½ ¾ ¿ À Á Á Â Ã Á Ä Å Å Æ Ç È É Ã Ê Ë Ë Â É Ì Ã Ê Í Ã Â È Î Ê Ï Î Ê Ä Å Æ Ð Ï Ê Å Â Ñ Í Ò Ê Ê Ã Ä É Ó È Ô Ï Õ Â Ö Æ Ä × Ø Ð Ù Ú ÂÃ Ñ Á Á Â Ã Á Ä Å Å Á Ê Ñ Ï Õ Â È Ñ Ë Î Ê Ä Ú Â Æ Ç

Û Ú Î Ü Ç Ý Ä Î Ó È Þ Â Õ Ê Â ß Æ Õ Æ Ð Â Ï Î Ê Ì Ã Â È à Î Ñ á Ê Ï â Ý Ä ÎÌ Ã Ä Õ Î Æ Ð Ê Ï Ê Ì Þ Â Ê ã Ç

ä Ï Ä Å å Æ Ð Ï Â à Õ Â Ï Â Ã æ Æ Ç È Å Ê È Î Æ Ð Ï Î Â ç È Ê Ì è é

» ¼ ê ¾ ¿ È Î Â Â Å Á Ä Å Å Ê Ì ë Â Å Ê Õ Ó ì í Í î È È Î ã Ð å Â È Ä È Í Ê Ê Î Ú ï Ú Â Ä ð È Î Â Â Å Ë Å Ä Î Â Ä Î Ä Ï Ä Ï Û Å Â Ê Ì ñ ò óÌ Ã Ê Í Î Ú Â Ï Ê ç ô Ç õ Ì Î Ú Â Õ Ê Â ß Æ Õ Ó Â Ï Î Ê Ì Ã Â È Î Æ Ç Î Ñ Î Æ Ð Ê Ï Æ Ç È ò Ç ö ï Ä Î ÷ Ú Ä Î Ä Ï Û Å Â Ä Ï É ë Â Å Ê Õ Æ Ð

ìÉ Ê Â È Î Ú Â È Î Â Â Å Á ô Å Á Ê Ñ Ï Õ Â Ê ø Î Ú Â Ë Å Ä Î Â ù

» ¼ ú ¾ ¿ Ë Ã Ê Î Ê Ï û Í Ä È È ü ý Ê Ì þ Ç Ï Â à Õ Â Ï Â Ã æ ÿ � Õ Ê Å Å Æ Ç É Â È � Ç Þ Ä Ú Â Å Ó Ñ Í Ï Ñ Õ Å Â Ñ È û Í Ä È È � ü ý Ä ÎÃ Â È Î Ð � Ó Ï É Þ Â Ã Â Õ Ê Æ Ð Å Ä Ï Û Å Â Ê Ì Î Ú Â Ú Â Å Æ Ç Ñ Í Ó Ì � � � � í � Ä Ï É Þ Â Ó Ï Â Å Ä È Î Æ Ð Õ Õ Ê Å Å Æ Ð È Æ Ð Ê Ï Ú Ä È

� � � � ÿ � î Ç

» ¼ ¾ ¿ Ñ Ï ÐÆ Ì Ê ç Å Ø É Â Ï È Â Ã Ê Ë Â Ê Ì Å Â Ï Û Î Ú � Ä Ï É Í Ä È È É Â Ï È Æ Çì � Æ Ð È Õ Ê Æ Ç Å Â É Ê Ï Ä È Í Ê Ê Î Ú Ô Á Å Â Ð Ï Â Â Ï É Æ Ð È Å Æ Ð Ì Î Â É Á Ø Ú Ä Ï É � Î Ú Ä Õ Ê Ï È Î Ä Ï Î ë Â Å Ê Õ Æ Ð

ì � � Ç � Æ Ð Ï É Þ Â Ì Ê Ã Õ Â Ê Ì Î Ú Â Ã Ê Ë ÂÚ Â Å É Á Ø Î Ú Â Ú Ä Ï É ÷ Ú Â Ï Þ Â Ã Ê Ë Â Æ Ç È Ä É Æ Ð È Ô Ï Õ Â � Ä Á Ê ë Â Þ Â Ô Á Å Â � � � � ý Ð

» ¼ � ¾ � Ú Ê ÷ Þ Ä Î Î Ú Â Â � Ñ Æ Ç ë ô Â Ï Î Ê Ì � � Ñ Ä Î Æ Ð Ê Ï � � � � � Â � Ë Ã Â È È Â É Æ Ç Ï Î Â Ã Í È Ê Ì � Ã Ä Î Ú Â Ã Î Ú Ä Ï � Æ Ð È

� � � ý � � � � � ý ¾ � � � Õ Ê È �û � � � � Õ Ê È � � � ý ! "

» ¼ # ¾ $ Ä Å Õ Ñ Å Ä Î Â Þ Â É Æ Ç ø Â Ã Â Ï Î Æ Ð Ä Å Õ Ã Ê È È È Â Õ à Ê Ï � � � ý Ä Ï É Î Ú Â Î Ê Ô Å Õ Ã Ê È È È Â Õ à Ê Ï � % Ì Ê Ã Þ ÂÂ Å Ä È Î Æ Ç Õ È Õ Ä Î Î Â ã Ð Ï Û Ê Ì Ä Ë Ä Ã & Õ Å Â Ì Ã Ê Í Ä Ï Æ Ð Í Ë Â Ï Â Î Ã Ä Á Å Â È Ë Ú Â Ã Â Ç' Î Ú Â Ë Ê Î Â Ï Î Ó Ä Å Æ Ð È ä ë Â ÏÁ Ø Ç

( � ý )ò * + , �+ �� - ' + . �

» ¼ / 0 � Ú Ê ÷ Î Ú Ä Î Î Ú Â 1 Ñ Þ Â Ã Ì Ê Ã É È Õ Ä Î Î Â ã Ð Ï Û Õ Ã Ê È È È Â Õ & Ê Ï û Ì Ê Ã Î Ú Â Õ Ä È Â ü Æ � � ü ý Õ Ä Ï Á Â Â � 2Ë Ã Â È È Â É Æ Ð Ï Î Â Ã Í È Ê Ì Î Ú Â Ã Â Õ Ê Æ Ç Å Ä Ï Û Å Â Ä È

3 �� 4 � 5 ý �� 6 ¾ 7 ! 5� Õ Ê È

8 9 0 $ Ê Ï È Æ Ç É Â Ã Þ Â Õ Ä È Â Ê Ì 1 Ñ Þ Â Ã Ì Ê Ã É È Õ Ä Î Î Â ã Ð Ï Û Æ Ð Ï Þ Â Â ë Â Ï Î Þ Ä Î ü Æ , , ü Ç Á Ô Æ Ð Ï Ä Ï Ä :Ë Ã Ê � Ó Í Ä Î Â Â � Ë Ã Â È È Æ Ç Ê Ï Ì Ê Ã Þ Â É ; Ç Â Ã Â Ï à ô Õ Ã Ê È È È Â Õ à Ê Ï Æ Ð Ï Þ Â < Õ Ê Ê Ã É Æ Ç Ï Ä Î Â È Ø È Î Â Í Ð

» ¼ » ¾ $ Ê Ï È Æ Ç É Â = Î Ú Â Õ Ä È Â Ê Ì 1 Ñ Î Ú Â Ã Ì Ê Ã É È Õ Ä Î Î Â ã Ð Ï Û Ó Ï Þ Â Â ë Â Ï Î Î Ú Ä Î ü , , ü Æ Ç Á Ô Æ Ç Ï Ä ÏÂ � Ë Ã Â È È Æ Ð Ê Ï Ê Ì Î Ú Â É Æ Ç ø Â Ã Â Ï & Ä Å Õ Ã Ê È È È Â Õ & Ê Ï Æ Ð Ï Þ Â $ > È Ø È Î Â Í Î Ú Ä Î Ó È Õ Ê Ã Ã Â Õ Î Î Ê ? Æ Ã È ÎÊ Ã É Â Ã Æ Ð Ï Î Ú Â � Ñ Ä Ï Î Æ Ð

ì ü @ ü Ç $ Ê Í Ë Ä Ã Â Þ Ó È Ã Â È Ñ Å Î � Î Ú � � Ñ Ä à Ê Ï � Ð � � ò Ç

» A � B ¾ ¿ ? Æ � Â É Ì Ê Ã Õ Â Õ Â Ï Î Â Ã È Õ Ä Î Î Â Ã È Ä Ë Ä Ã à Õ Å Â Ê Ì Í Ä È È ü Ä Õ Õ Ê Ã É Æ Ç Ï Û Î Ê Þ Â Ì Ê Ã Õ Â Å Ä ÷C + ý � � 3 î D Ç õ Ì Î Ú Â Æ Ç Ï Æ Ð Î Æ Ç Ä Å ë Â Å Ê Õ ÐÆ ì Ê Ì Þ Â Ë Ä Ã & Õ Å Â ÐÆ È E � F È Ú Ê ÷ Î Ú Ä Î Þ Â É Æ Ð ø Â Ã Â Ï Î Æ Ç Ä Å È Õ Ä Î 2

Î Â ã Ð Ï Û Õ Ã Ê È È È Â Õ Î Æ Ç Ê Ï Æ Ç È3 G � G � � ý� û � ý ��

ü E � � � � G � � ý È Æ Ç Ï �» A � ½ ¾ õ Î Æ Ð È Ì Ê Ñ Ï É Â � Ë Â H Í Â Ï Ô Å Å Ø Þ Ä Î Æ Ð Ï Î Ú Â Â Å Ä È & Õ È Õ Ä Î Î Â H Ï Û Ê Ì Ï Â Ñ Î Ã Ê Ï È Á Ø Ë Ã Ê Î Ê Ï È

� ü I JKK ü L ý Ä Î Ã Â Å Ä Î Æ Ç ë Â Å Ø Å Ê ÷ Â Ï Â Ã ä Â È ' Î Ú Â Â Ï Â Ã æ É Æ Ç È Î Ã Æ � Á Ñ & Ê Ï Ê Ì Î Ú Â Ã Â Õ Ê Æ Ð Å Æ Ç Ï Û Ë Ã Ê MÎ Ê Ï È Æ Ç Ï Î Ú Â N È Ø È Î Â Í Æ Ð È Õ Ê Ï È Ô Ï Î Ñ Ë Î Ê Ä Í O Æ � Í Ñ Í Â Ï Â Ã æ ï ÷ Ú Æ Ç Õ Ú Æ Ç È Þ Â Â Ï Â Ã æ Ê ÌÎ Ú Â Ó Ï Õ Æ Ç É Â Ï Î Ï Â Ñ Î Ã Ê Ï È Ç Ý Ä Î Æ Ç È Î Ú Â Ä Ï Û Ñ Å Ä Ã É Æ Ð È Î ã Ç Á Ñ Î Æ Ð Ê Ï Ê Ì Î Ú Â È Õ Ä Î Î Â ã Ç Ï Û Æ Ç Ï Î Ú Â $ >

È Ø È Î Â Í â

P Q

R S

Page 42: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

T U V W X Y Z [ \ ] ^_ ` a b c d e f g d h g g d i i j i k l m n o p g q r s g n o t j e u v h k g w x y i p k i x e n o y n z j { u k e | h j i y } ~ x x e y y w p w e j n � ph y f h � p m n � k i x � � v k e v e k � e j h y g e g d i m � z i k i j g w h y p x h g g i q j { x k e p p p i x g n o e j n z j g d i � �p � p g i | z� � ` � � � d i | e p g i j i k { i g n z x � � v h k g n o x y i p h � h n z y h r y i g e � k j i p g � s g d i k u e k m h j m d w p x e y y i h { s i pu e k g d i u h | e s p � s g d i k u e k m p x h g g i q j { i � v i � � | i j g f i k i � o � � i � z � e k g d i p x h g g i k �

n o j { e u � o � � i � � � v h k ~ x y i p u k e | � � � � � n o j w g n o h y y � h g k i p g � h g h p x h g g i � z j { h j { y i n z j g d iy h r e u � � � � h y y x h y x s y h g w e j p h k i w j g d i � p � p g i | s j y i p p e g d i � w p i j e g i m � �   n j mg d i u e y y e ¡ j { oz¢ £ � ¤ i k i x e n o y p x h g g i � z j { h j { y i e u � � � � �¢ ¥ � g d i p x h g g i � z j { h j { y i p e u g d i � � v h k ~ x y i h j m � ¦ � � n o j g d i � � p � p g i | o

¢ § � g d i ¨ n o j i © z x i j i k ª i p e u ¤ i p x h g g i k i m � � v h k g n o x y i h j m « � ¬ � �¢ ­ � ¤ i n z | v h x g v h k h | i g i k ® z

¢ ¯ � g d i ° z p g h j x i e u x y e p i p g h v v k e h x d ± ² z³ ´ µ¢ ¶ ¤ i m n o u u i k i j ~ h y x k e p p p i x � e j h g � � · z¢ ¸ � g d i ¹ g n � e e u ¤ i v k e r h r n z y n z ~ i p e u p x h g g i q j { h g � � · g e º d h g e u » · o

� ¼ ` ½ ¾ ¿ k e x ¨ i g p g h k À u k e | k i p g n o j u k i i p v h x i r � i | n o g g n o j { | } p o ¿ g f d h g u k h x g n o e j e u g d i n z j n z Ág n o h y | h p p w p g d i | e | i j g s | h | Â n o | s | Ã

_ ` ` b Ä i � g k i | i y � f i y y � x e j p Å s x g i m k e x ¨ i g d h p h | h p p k h g n z e � Æ Ç È Æ � e u É � o ¿ j i f u s i y n z pm i � i y e v i m g d h g d h p h j i � d h s p g � i y e x n z Ê h p d n z { d h p Ë » � � | È p o � d i u s i y r s k j p h g h x e j Á

p Ì j g k h g i u e k Í � � p z � h Î x s y h g i g d i | h � w | s | � i y e x n z Ê e u g d n z p p w j { y Ï p g h { i k e x ¨ i g � h Ðp s | n z j { x e j p Ì j g h x x i y i ¹ � e j e u { ¹ Ñ z Ê o Ò u g d i i p x h v i � i y e x n o Ê e u h v h k g n o x y i u k e | g d ii h k g d w p É É o Í ¨ | È p Ó x h j h p n z | w y h k p n z j { y i � p Ì { i k e x ¨ i g ¡ g d g d i p h | i | h p p ¹ g n o e h j m i � Ôd h s p g � i y e x n o Ê r i x e j p g Õ x g i m g d h g x h j k i h x d g d i | e e j Ö

� × ` Ø � ¿ f h g i k m k e v y i g u h y y n z j { n z j g d i h g | e p v d i k i w p p v d i Ù o x h y o Ú p s | i g d h g h p g d i m k e v y i gv h p p i p g d k e s { d h x y e s m � w g h x Û s w k i p | h p p h g h k h g i i Û s Ü g e Ý Þ f d i k i Ý n z p h x e j ¼

p Ì j g � ß � � h j m Þ w À x k e p p � p i x g n o e j h y h k i h o � e j p n o m i k h m k e v y i g e u n o j n z g n z h y ¹ m n o s p ± Ç ¤ h gi j g i k p h x y e s m ¡ ¤ h � i y e x n z Ê à Ç z Ú p s | i j e k i p n o p � � i u e k x i h j m p d e f ¢ £ � g d h g g d i k h �m n z s p w j x k i h p i p y n o j i h k y � ¡ ¤ ¤ i � | i á h j m ¢ ¥ � ¤ h g n o u ± Ç n o p j i { y w ª r y � p | h y y g d i j ¤ ip v i i m n z j x k i } i p y w j i h k y � ¡ ¤ g d i ~ | i â g d n z j ¤ i x y e s m o

� ã ` ä � ¿ k e x ¨ i g n o j e s g i k p v h x i n o j h j i { y n o { n z r y i { k h Ñ z g h g n z e j h y   n i y m p Ì k À u k e | k i p g h j m h x x i y �i ¹ g i p s j n o u e k | y � h g å s j g n z y w À   n j h y p v i i m w p à o � d i n o j n z ~ h y | } p e u g d i k e x ¨ i g n z p æ oç e f | s x d f e k ¨ m e i p g d i k e x ¨ i g è p i j ª j i m e é

_ ` ê ¾ � e j p n z m i k h p n z j { y i � p Ì { i k e x ¨ i g g h ¨ n o j { e u u u k e | � h k g d o c d e f g d h g g d i d i n o { d g e u g d ik e x ¨ i g h g r s k j e s g n z p { n z � i j r � � Û s h ~ e j � z É ë ë o ç e f | s x d u h k g d i k n z j d i n z { d g ¡ y y g d ik e x ¨ i g { e ì g i k r s k j e s g é� ¼ ` � b ¿ k e x ¨ i g d h p h j n o j n z g n o h y | h p p e u Æ h j m h u s i y r s k j k h g i e u � � � Û s h g n z e j � z É ë É � o í h g n z pg d i | n z j w | s | i � d h s p g � i y e x n z Ê g d h g î o y y h y y e f g d i k e x ¨ i g g e y ï o g e ð n z | | i m n o h g i y � ì g i k  n � z j { Ã� ¼ Ø ñ ¾ ¿ k e x ¨ i g d h p h j w j n o g n z h y | h p p e u � ò É � ó ¨ { h j m e j   n � z j { r s k j p n o À u s i y h g h k h g i e u ô » �¨ { È p o � d i i � d h s p g � i y e x w Ê n z p ô » � � | È p o Ò u g d i k e x ¨ i g d h p h � i k õ x Ü h p x i j g u k e | k i p g �

w j { e j g d i i h k g d � d e f y e j { ì g i k g d i k e x ¨ i g i j ª j i p   n k i ¡ y y g d i k e x ¨ i g y n z u g e ö o í h gn z p ÷ e j { ¡ g d g d i m i p n o { j e u g d n z p k e x ¨ i g é

Page 43: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

ø ù ú û ü ý þ ÿ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " # � � $ % � � ! � � & � � " ' ( ' � ) ' � � � � * � � � + , � " ' � � ! � � $ ' � � � " # � ' � � ' � � � � � � - � � � . � � / � � � � � 0 1 2 2 3 4 5 3 6 7 � 8 ' � 9 ' � : � ; � � � �� * � � � � $ ' � % ' � < ! � = � % > � � 1 � � � ? � @ � * � � $ � � � � � � � " � � A � � � � � � � � � � � � � ! " B � � � � � � ' � C � � D � � � � / � C � : � � � E � " � � $ ' � � � � � A 9 ' = " ' ' � � � ! � � F G < � � � � � � " " � � � � � � � � � $ H 5 I � @ ' � � ) ' � � � C � � � " � � J = �K L L L � 5 � M / � $ � � � � � � � � � � � ! � � � � N K L * � � " � � � $ ' � � � � � O � � � N / � � � � � �P � 9 � � � ! " � � ' � � � � � � G � ! " � Q ' � C � � R � � S � T � � 9 * � � U � " � � � � � � � � " ' � � � � � � � C � � � * � � = � ' � N � � � K L K V ' � " � � � � � � " ' � W L X # !� * ' � Y � " � � * � � / � ( ' � � � � � = = � � � * � � � � $ I L L L � 5 � � Z � � � � . � ! * � [ � � � � A � / \ � " ] � � �� � � � " ' � � C � � � G " � � � N �

^ _ 7 ` � ! � � " � � � � � � � � G � � � " � � � � � � � � � � ' � ' � � " " � � � � � � � � � � $ ! � � F G J � � � " � � � < � �a � � � � � � � � ' � 9 ' � � ! ' ' � � � � � " ' � � � / U � " " � � � � � " ' � / � C � ' � � � � $ � " � � $ , � � ' �^ b 7 c $ ' � � / \ � " ' � � � � � � � � � � � $ K L " � � � � ' � � = � � � � � G � < � " � � � � * � � * � � � � � � � � � : �� d � � � � � $ ' � � / U � " A � � * � � � ( ' e f 2 2 L � K A � � � � � � G � � ' � � g = � � � ' � � � ! ' � � � " ' � � � h � � � � ' � � � � � � G J � $ � � � � � � � " � � � < � �^ i 7 ` � 9 � � � � � G � " � � � � ' � $ � " ' � ' � � " " � � � � � � � � � $ ! � � F � J � � " � � � � � � � � ' � � / \ � " � � � � � � / � C � , � � ' � Z � � � � ' � ' � � � ! ' � � � " ' � � �^ j 7 ` � 9 � � � ' � � $ $ � " ] � $ ' � � � " � � � � � = � � � G � � � � � � � J ( : � � � G � � � � ' � " � � " � � � k

. � � � l � " � � C � m � � � ! ' � N � � * � � � � � ' � � � G � � � � � � � J / N n o p q r s t u vv v w � w x y z w G { {9 ' � � � | � � � ' � � � � � � � � � � G J � G � # ! 5 � } � � � ~ � � � ' � � � . � � � � / � C � , � � ' = � # � �a � � � � G � � ' � 9 ' � � ! ' ' � � / \ � " � � 9 ! � � � �� � � � T � � 9 � � � � ! � � k � < ! � � � " # � � � � � � C � � � * � � � G � ' � N � � � K L K V M ' � F � � ! � ! � � � ) ' � � � C � � � � " k

� � J � $ � L L L � 5 � � @ ' � � < � � � � � � $ ' � � � " # � � � � W L � # ! A ( ' � L � � � $ = ] � � � � / � � � � !$ � � � G @ ' � $ � � � / � � � � d � � � " � N � � � W L L � � � " � � � < � � � � Z � � � � � � � ! * � [ � � � � & ' �� � " # � � � � � � � � " ' � � C � � � � " � � � N � � � � $ � � � , � � ' A � � � � $ � " � � � � 9 � � * � � ] ^ _ 7 ' � � � ! '^ j 7 � $ ' � * � � F � � � � * � � / � � � �

� � � � c � � � � � " � � � � � � � � � " # � 0 , � � � � * ' � c c c 7 : � , � � � � I � � � � � � � � " # � � � � � � * � � � � � �� � < � � � � * � � � � � $ � � � ` � � � h � � � � : � � < � � � " # � � � � � � � � � � " ' � � � � � ! � � � : � � � ' O � � � " # � � � � � � � $ � � � � K L ! ' � / � � � � C � � � N $ � � W � � � � @ ' � � � " # � � = � � � � � � � �K � � � � h � � � � � " � � � < � / � � � � � $ ' � * � � * � � � � � � O � 0 W W ! 7 M � � � " # � � ) ' � � � � * � � � � L L � 5 � M C � � � " � � � � " � � A � � � � � � ! " � � � � " � � � � e 22 L � � � G a � � � � � � ��^ _ 7 @ ' � � * � � � � � � � � � � � � � � � � � � / � � � � � A^ b 7 � g � � � � � ' � � G ! ' � � � � � � � � � � " " � � � &^ i 7 � g � � � � � � " " � � � � � � � � � A^ j 7 @ � � � � � G ! ' � � � A � � �^ � 7 8 * � � � � ! � � � � � � � � * � " �� � � � � " � � * � � � $ � � � � � � � � � � � * � � � C � � � � � . � � � Z � � � � G � * � � � " � � J A / � " � � � � ' � * � �

* � � � � � � O � � � � � � � N K L � � � $ ' � � � � � � � � A � � � � � � � " � � � � � � � � � � � � � ! � � " # � / � � � � � � ! �� � � � Z � � ' � * � � � � � � * � � / � � � A � # � � � � � � " " � � � ' � " ' � � ! � � $ � � " # � � � � � ( ' � � � �� � � � � � � ' � � � � " � $ ! � � F G J � ^ _ 7 Z � � � � ' � � � " # � A � � * � � � � / � � � � � � ^ b 7 P � 9 $ � �' � � ' � � � " # � � � C � � � � � ' � � � � � � � � �   � � � � * � � � ' � � � Y � ¡ � � � � $ � � ' � / � � � � � ' � � � ! ' ¢ £ ¤ � G � , ) � � * � � � � W V � ¥ � � ' � � � � k

/ � � � $ � � : � ¦ § ¨ > © ª � � " # � � � � , ) � � * � � � � W K � � � � � � , d � � � � � � � � � W I � � � � � G W I � �� � � � � � � � � ' � ' � = ! ' � � � � * � � � � / � � � � � �

«

Page 44: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

î ï ð ñ ò ó ô õ ö ÷ ø

ù ú û ü ý þ ÿ� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � ! � ! � � � � � � � � � � � � � "� � # $ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � % � � & � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ' � � � � � � � � � ( � � ' � � ) � � � � � � � � ! � � * � � � � � + � � � , � � � � � � � � � , � � � � � � - � � . � � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � , � � � � � % � �� � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � � � � � � � � / � � 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 � � � � � � � � � � � ) � � � � � � � � � � � � � � � 2 � � � � � � � � ! � � �� � � � � � � � � � � � � � �

� � # 3 4 � � � � � � � � � � � � � � � ! � 5 � � � % � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 6 � 7 � 8 � � � � 9 : ; 9 < ; 9 = �� � > 4 � � � ! � � � � ?� � � � � � � � � @ � � � � � � A � � � B � � � � ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � C � � � � � � � � � � � ' � � � % ! � � � � D � � � � ' � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ) � � � � � � � B � � 7 ! � ' � � � � ) � � � � � � � � � � � � � � � �� � � 5 � � / � � � � E � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B � � ! � � F � � � G H I � J K L M H N � K O �� � # P Q R H S C � � � D ! � � � � ' � � � � ) � � � � � � � � � ) � � � � � � � � ) � � T � 0 � � D � � � � � 6 � � � � � � 6 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � R U S � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ) � � � � � � � � � E ) � �V ' � � ) � � � � � � � � D � � � � � � � W � � � � � � � � � � X �

� � � Y Z / ' � � � � � � � � � D � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ) � � � � � � � � � � � � � � � � � [ � � � � � � � � ' � � � � \ � � ] � ) � � � E ! � � � � � ^ � � � � B , � ] � � � � � � � [ #� � � ' � � � � � � � � � ! � � � ' � � � � � � � � � � ' �

� � _ ` 4 a � � � � � � � � ! � 0 � � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � � 6 � � � � � � � � � � � � � � � � � ! b � E �� � � � � � � � ! � � � � c � � � � � � � � ! � � � � � � � � � d ) � � ' � � � � � e � � � � � � � � � � �� c � 5 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 � � � � � f � � g � � � � � � � � � � 5 � � � � � � � � � � � ! � � � � � � f � � � � � � ) ] � � � �

� � h i Z a � � � � � � � � � � � T � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ) � � � � � ] � � � j � � � � � � � 6 � � � � k� j e � � � � � � j � � � � � � � � � � l m n % j � � � j � � � � � � � � � � � � � � j � � � � � � � j � � � � j 9� j o � � � D � � � j � � � � � � ] j � 5 � � � � � � � � � ' � � � D � � j � � � j � � � � � �� � 0 � � � � � � � � � � � , j � � � � � g p n q � � r � 5 � � � j� � s t 4 a � � � � � � � � � � ) � � � j � � u � � : � j � � � � � � � � � � � 2 � , � � g � � j � � � � � � � � j � � �' � � v wj � wj � � ] j b � E � � x � ' D � � D � � � wj � wj � y � � � E ) � f � j w � w� ) ] j � � � � D � � � ) � � � � � � w z � � � � w z � � w � � { w z � � ; : | 9 z } � � w z � � � � f � � g � � � � � � � � ~ � w z � � � � w z � � Xx 0 � � � � � � 5 � � � � � � � � � � � � w z � � � � � � � � � � � w � � � � � � � � � z x � 'D � � � � w z � � � w z w z � � � � � � �� m y � � � ; : | 9 ) � � � � � � � � � : | 9 �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c � w z � � � � � E � � � � � g w z � � � � � z � � � � � � � � B �

� � � w z � � � ) � � � � 2 w , � � w z � � � � z � � � � z � � � � � � � � A � w z w z 5 F � g � � � � � � � � � B ~� � � � � � � E � B � � � w z � � � � � � � � � � � w z � � � � � D � � � z x � ' � � � � ' D � � � �5 � � � � � � � D � � � � � � � D � � E 5 � � � � � � � � z � � � B ) � E � � �

� � � � � �

Page 45: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

� � � � � � �   ¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ § ¨ ¢ � © ¥ � ¢ ª ¤« ¬ ­ ® ­ ® ¯ ° ±

² ³³ ´ µ ¶ · ³ ¸ ¹ º»¹ º ¼ ½ ¾

¿ À ± Á ± µ Â Ã Ä Å À ± Å Æ Å ­ ° Å Ç È ± Á ± É Ê Â Ã Á ± Ë Ì Æ Á Å À ± Í ­ Á Å Â Ã Î ° ± Å Æ È Æ Ï ± Ì Á Æ È Æ ® ± Í Æ ° ± Å Æ Å À ±Æ Å À ± Á ÃÐ Ð Ñ Ð Ð Ò Ó À Æ È Æ ¯ ± ® ± Æ Ê Ä Î Ê « ± Ô ± ­ Î À ± Ë ¯ ± Æ Ì ¿ À  à ΠÀ À ­ Ä ­ ° ± ® ¯ Å À Õ Ö Â Ã Ä Â Ã ® Âà Š à ­ ° ° ¬  à ® ­ Í Æ Ä Â Ã Å Â Ã Æ ® Æ ÌÊ ® Ä × « ° ± ± É Ê Â Ã °  à « Ø Ê È Ù Ã Å À Æ ® ± ± Ë ¯ ±  à ® Î Æ ® × Î Å Ù Ã Å À ­ À Æ Ú Ã Û Æ ® × ° Í ° ­ ® ± Ã Ü À ± Î Ê « ±Â Ã Ä Å À ± ® Ý Ï ± ® ­ Ä È ­ ° ° Ë Ç Ä Í ° ­ Î ± È ± ® Å ­ ® Ë ­ ° ° Æ ¿ ± Ë Å Æ Ì ­ ° ° Ã Þ À Æ ¿ Å À ­ Å Å À ± ­ ® ß ° ­ Á Ï ± Ñ

° Æ Î Â Ã à Æ Ì Å À ± Î Ê « ± ¿ À ± ® Æ ® ± Ì ­ Î ± Ä Å Ú Ã á ± Ä Å À ± Í ° ­ ® ± Â Ã Ä Ý Ï ± ® « ¬´ â ³³ ã äå æ ç ¹ ³ · èÕ

¿ À ± Á ± ã ³³ é ê ¹ Â Ã Ì Å À ± ± Ë ¯ ± Î ­ ® ® Æ Å Ä ° Ç Ë ± Æ ® Å À ± Í ° ­ ® ± ­ ® Ë ¿ À ± Á ± ã ³³ · ¹ ê ½ Ç Ì Ä ° Â Ã Ë ÑÂ Ã ® ¯ Î ­ ® Æ Î Î Ê Á Ù ë Å À Æ Ê Å Ì Ú Ã Î Å Ç Æ ® Ã

Ð Ð Ñ Ð ì Ò Þ À Æ ¿ Å À ­ Å ® Æ ® ± Æ Ì Å À ± Í Ú Ã ® Î Â Ã Í ­ ° È Æ È ± ® í Æ Ì Ç ® ± Á Å Â Ã ­ Î ­ ® ± î Î ± ± Ë Å À ± Ä Ê È Æ Ì Å À ±Æ Å À ± Á ï Æ ÃÐ Ð Ñ Ð ð Ò Ó Å À Á ± ± Ñ Í ­ Á Å Ç Î ° ± Ä ¬ Ä Å ± È Î Æ ® Ä Ç Ä Å Ä Æ Ì È ­ Ä Ä ± Ä ¾ ñ ò ­ ® Ë Î Æ Æ Á Ë Â Ã ® ­ Å ± Ä ó ô  õ ô â Ô ô ö ÷ ­ Ä Ì Æ ° ° Æ ¿ Ä Ã Ãø

¾ Â ³ ³ é ¾ Ô ó ù Ô ú Ô ù ÷¾ â ³³ û ¾ Ô ó ù ü ù Ô ³ ù ÷

¾ ö ³³ ¹ ý ó ³ ù Ö ù Ô ú ÷ þÿ�  à ® Ë Å À ±  à ® ± Á Å Ç ­ Å ± ® Ä Æ Á Ô Í Ú Ã ® Î ÂÃ Í ­ ° ­ î ± Ä Ô ­ ® Ë Í Ú Ã ® Î Â Ã Í ­ ° È Æ È ± ® í Æ Ì Ç ® ± Á Å Â Ã ­ ëÐ Ð Ñ Ð � � � ± Å ± Á È Â Ã ® ± Å À ± Í Ø ® Î Â Ã Í ­ ° � ± Ä ­ ® Ë Í Ú Ã ® Î Ç Í ­ ° È Æ È ± ® í Æ Ì Â Ã ® ± Á Å Ç ­ Æ Ì ­ Ê ® Â Ã Ì Æ Á È ° ¬Ä Æ ° Â Ã Ë À ± È Â Ã Ä Í À ± Á ± Æ Ì Á ­ Ë Â Ã Ê Ä ù ­ ® Ë È ­ Ä Ä ¾ ­ « Æ Ê Å Â Ã í Î ± ® Å ± Á Æ Ì È ­ Ä Ä ÃÐ Ð Ñ Ð � � � Ì ­ Í À ¬ Ä Â Ã Î ­ ° Í ± ® Ë Ê ° Ê È À ­ Ä Å À ± Ä ­ È ± Í ± Ú Ã Æ Ë Æ Ì Æ Ä Î Â Ã ° ° ­ � Æ ® ¿ À ± ® Í Â Ã Ï Æ Å ± Ë ­ « Æ Ê Å ±  à ± Á Æ Ì ï Æ Í Æ Â Ã ® í Æ Ì Ê ® ± É Ê ­ ° Ë Â Ã Ä × ® Î ± Ä Ì Á Æ È Å À ± Î ± ® Å ± � Æ Ì È � Ä õ Ä À Æ ¿ Å À ­ Å Å À ±° ± ® ¯ Å À Æ Ì Å À ± Ä Â Ã È Í ° ± Í ± ® Ë Ê ° Ê È Ù Ã Å À Å À ± Ä ­ È ± Í ± Ú Ã Æ Ë Â Ã Ä ± É Ê ­ ° Å Æ Å À ± Ä Ê È Æ Ì Ä ± Í ­ Ñ

Á ­ Æ ® Ä Æ Ì Å À ± Í Â Ã Ï Æ Å Í Æ Â Ã ® í Ì Á Æ È Å À ± Î ± ® Å ± Á Æ Ì È ­ Ä Ä Ã Þ Ê Î À ­ Í À ¬ Ä Â Ã Î ­ ° Í ± ® Ë Ê ° Ê È ÔÎ ­ ° ° ± Ë � � � � � � � � � � � � Ò � Ð � � � � � � � � ­ Å Æ ® ± Å Â Ã È ± Í Á Æ � Ã Ë ± Ë Å À ± È Æ Ä Å ­ Î Î Ê � Å ± ¿ ­ ¬ó Å Æ ­ « Æ Ê Å · Í ­ Á Å Ç ® · ú � ÷ Å Æ È ± � Ê Á ± Å À ± ­ Î Î ± ° ± Á ­ Æ ® Æ Ì ¯ Á ­ � à à à ! � Â Ã Ä Î Ê Ä Ä Å À ± ­ Ë Ï ­ ® Ñ× ¯ ± Ä Æ Ì " Å ± Á ü Ä Í ± ® Ë Ê ° Ê È Æ Ï ± Á ­ Ä Â Ã È Í ° ± Í ± ® Ë Ê ° Ê È Ì Æ Á Ä Ê Î À ­ Í Ê # Æ Ä ± Ã

Ð Ð $ Ð % � & Æ ® Ä Â Ã Ë ± Á Å À ± Ì Æ ° ° Æ Ù Ã ® ¯ Â Ã ® ± Á Å Â Ã ­ Å ± ® Ä Æ Á Ãë' ( ) · ó ã ¼ * ÷ ) · ó ã ³ * ÷ ú¹ ¹+ , - ³³ ) · ó ã ³ * ÷ ) · ó ã ¼ * ÷ ú¹ ¹ú ú ./ ¦ 0 Ã 1 2 3 4 2 5 6 Ã 0 7 � 8 � 8 9 : £ ; < = 0 > 7 ? 5 7 @ A 3 5 1 B � C C C D � 8 E F G H 9 4 3 3 I 5 J 5 3 I K 6 L ; 2 ; < < ; 1 5 7 3 M : 2 4 N N 5 2 3 5 62 K J 5 L I ; 3 5 ; 1 M Ã 0 5 1 9 : © K I 7 5 7 9 5 1 N 5 1 Ã O I 5 P 5 K @ K Q A 3 5 1 R 2 < 5 7 6 4 M 4 J L ; 2 S 5 ; 3 5 6 0 > 7 6 5 3 ; 0 Ã M 9 :¦ T 5 6 T U I V Ã 0 M I 5 M J © 5 2 2 5 M B � C 8 W � 8 X Y G 0 Ã 7 � 8 Z Y Ã

[\

]^

_ `

Page 46: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

a b c d e f g h i j kl m n o p q r n p s t p u p o v m w p p n x y z u r { m | } | { m ~ � } r u r u � � m � r � p � { { � m � � � � y � | �� � � � r { m { � m � r u | o p q m x { m u | p n m � m ~ m u � � r u x | � p � { � r { { � m w � p y � w m � �� � � � n m u �x m n | { � m y � u m n t r { m u | p n x y z r � p u r � � � v m � m ~ m u � � � � � r u x � �� � � � � � � p u | y � x m n r { � y � u � p ~ p � m u m p � | � � r { m v r { � y � m | � u v m � y � �   � � r u m � ¡ � p � v r { { � m y z u �m ¢ � r { m u | p n s £ m | v m o p n ~¤ ¥ ¦ § ¨ ©ª « ¬ ¦ ¦ ¦ § ­ ¨¨ ¨ ¥ ® ­� � ¯ � ° ± ² o ³ y � u v m � n m ´ p � | � n p � � m ~ � { � m w p p n x y � u r { m � m | r n m n p s { m x { � n p � � � r u r u � � m �r � p � { v m � � � � y z | ³ | � p � { � r { { � m u m � y � u m ¢ � r { m u | p n y z |

¤ ¥ µ ¶ § µ ¨ ©ª « ¬ ¦¦ ¦ § µ ­ µ ¨¨ ¨ ¥ µ ® ­ µ� � m n m � µ ·· � w p |   � · � | y � u ¸ � ¹ � | y � u   �� µ ·· � | y � u   � ¹ � | y � u ¸ � ¹ � w p |   � º� µ ·· � w p | ¸ � · » ¸ ¼ ½ � · � ¾ | y � u ¸ �r u x � m u w m | � p � { � r { v m � y � r u x � ¿ � m | � m w p ~ m � À � u w y� � Á � m | y� o { � m r u � � m p o n p s � �à p u y | � · » ¼ s u Ä y Å Æ ¸ � Ç· ¸ � · �� � � � È � � p u | y � x m n r � � r u m � p ~ p � m u m p � | � � r { m p o x m u | y � É Ê � p � u x m x � } { � m � p � r À z { � ~ y � w | � y � �n Á Ë ·· Ì Í Î Ï r u x v m Ð x y � y z � · · Ñ r u x � ·· � z Ò � s y z u { � m y � u m n { y � r { m u | p n o p n { � m p À z Ó ur { Ë ·· Ñ y z o { � m � � r { m � Ô z m | y � u v m � y � �   � � r u m � l m n o p n ~ r n p s { y � p u p o v m w p p n x y � u r { m� m | { p p � s y � u { � m � À z u w y � � r � ~ p ~ m u � p o y � u m n t r � r u x � | m v m n m | � � � p o v m � n m ´ �p � | � n p � � m ~ { p | � p � v r { v m } r n mÕ y µ ·· Ê Ì Ö × ½ Ø · Ù ¾ � Õ   µ ·· Ê Ì Ö × ½ Ø ¹ Ù ¾ � Õ � µ ·· Õ y µ ¹ Õ   µ� � m n m × · Ú Í Ö Û Î · ¼ Ø · Ü ¼ ¹ � Ý   Ù · Þ ¼ ¹ � Ý  · · ·¼ ß ½ ¼ ¹ � Ý   ¾ � ¸ Ý �� � � à á � â � u y � o p q n p x p o � m u � v ã | s u x | ä m n å w r � � } � � n y � � � { p u r n p � � � æ p p n r u x { � m u { y � � |p ä m n � ç r { y z | v m n p x ³ | r u è � r n ä m � p w é � É � � m u y � { � y � � v m æ p p n ê �� � ¯ à � � ë � m � n p p o n m � n m | m u { m x � } � ì � r t p u | ¼ ¼ � í î ¼ ¼ � ß ¼ y z | m ï � n m | | m x m u å n m � } y � u { � m | � ~ �~ r ð p u w p u ä m u ð p u � ñ m ò � { m v y z | � n p p o y � u ~ r ó � ï u p s { y � p u �

Page 47: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

ô õ õ ö ö ÷ ø ù ú û ü ý þ ÿ � � û ø � þ ø û � ý� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � �

� � ! " # $ %% & ' ( (() � * + , - . � � � / � � � � � � � � �

�� � 0 �

1 � � � � � � � � � � 2 � � 3 � � � � � 4 5 � � � � � � � 6 � 7 � � �

8 � � � 9 1 : � � ; � * � � � � < � � * � � �

� � ! " #% $ � � ! " =

#

* � > ? @ � � � � � � � � � � � � � 5 � � � � � � � � � - � � � � � � ! " #= � � � � � � � � � � � � 5 � � � � � � A

� � � � - � � � � � B � � C � � � . 5 � � � � � � � � � � - � � � � D 7 E � � � � � � � � � � � � � � � F � A

� � � � / � � � � ��

� G � � � � � � � � � � � 5 � , H 6 � � � � 6 � � � I � � . � � �

� � � I � �

� � J � K � ) � * , - ; � � � � L � �� � � . � M

� � � . � � , � � � � � ; N O P Q RS

T U T P � � � � A

� � � � � � � � � � � �

� � � �

� V 7 � � � 8 � � � W 1 � � � � � � �� � �

� � 0

1 � � � � � � � / � X � � � D 0

�E

� � � � � � � � � � � � � � � � 5 � � � � � 5 � , �

� � � � Y Z [ � � � � � � 8 � � \ � � � � � � � � � 5 � � � � X � � � � � � � � � � � � � � � � � � . � � � � � � � � A

� � � � ] � . � � 5 � � � . � � � � � � . � � � � � � � � ; . � � � � � � � � . � � � � 8 � � �

� � � 4 � � 0 � � � � � � � �

�� � � � . � � � ^ � _ � � � � � � � � . � � � � � � � � � � � �

� � � � ^ ` _ � � � �� � � . I

� � � � a � b � � � � � � � � � � � � � c 5 � � . � � � � � d � � � � � � � � � � � 6 � 5 � � � 5 � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � c : � � � � � � � � � � � ��

1 e � � � � � � � � � � � � ��

1 f e < � � � � � I . � � � �

� � � � � � g � 4 � � � �� � * � � � � � c � � � � � h � � � � � � �

. . � � � � � � � � � � 0

� A

i � � B � � � � � � 5 j � � � B � �

� � B c � . � � 5 ��

� � . � � � � � � � � � c k

� � � � l � m , B � � ; 5 � � . � � � � � � � � � n � � � 6 � � 5 � 1 6 5 � � � o j � p 8 � � � � � � q q q r f k � � A

� 5 s - � � � � ; � 4 � � � � � � � W � � � � � 0� I t j p 8 � � � �

� � q q u u k v

� � w � x Z y � z � � 7 5 , � � - � � 6 � {�

; � � � ; � � | � � 5 � � � � � 5 � � � � � � 8 � � } � ~ � , � � z � � � � � � � ; , � � - � � � � , � � � � � ~ �

= � � � � � , d � o � � � ~ � � � � � } �� � � � � �

� � �� �

� � � - , � � � ~ � A ~ � . � � � � � � � � � � � n � � � 6 � � 5 ��

1 � � � � z � � �� � � � , � � � � � � � � � � � � � ' � � ' � 3 � � � � � � �

� � � � � Z ) � * � � � � [ � n � q q A u 5 � � � � 5 � � . � � � � � � o � � � � � � � � I � j ~ ��

k � � � � � �

� �= %% � 5 � � � � � � � � � � � � � �

� �� �

= %% � � � � � % � � �

� � 5 � � �

� �� �

= %% � 5 � � � � �

� � J � � Z : � 6 � X � � � � � � � � � � � � � � z � � 0

5 � � . � � � � 5 � � � � ��

� ) 5 X � � q q � q q � � � � 5 � � � � * � � 5 � � �

� � � � � B � � � � � � � 6 � X 5 � � j � �

� � ~ �= � � � � ~ � A � I � 5 � � � 5 � � k �

) � * � � � ; � � � � �� � � � � � v � � � B , � � � � � � B , � � . � � � � � � � * � � � 8 � � � A

� � 1 � ' � � � � � ' � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�1 ) c � 5 � F 5 X 6 . � � � X � �

� �j � k � � � � d � 5 � � � < � � � . � � � � � � � � � � � � � � � � � � 5 � � � � � � � � � � � �

* � � ; � � � ��

� � � �� � B , � : � � � � . �

� � � � . � � � � � � � � � � B , � 5 � � � � n 4 � � � � �

* � � � � � � F 5 � � � � 0 5 9 � � � � � � � � � � - � � � 5 � � 6 � � � � � � � � j � � � � �

�� � 5 � � � �

� � � � � . � � � � � . < �

k

 

Page 48: Classical Dynamics of Particles and Systemsmtamash/f315_mecgeral_i/problemas_marion.p… · ª « ¬ § ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ ¶ · ® ¸ ³ ¹ º » ¼ ½ ¾ ¿ À Á Â Ã Ä

¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ § ¨ © ª «

¬ ¬ ­ ® ¯ ° ± ² ³ ² ´ µ ¶ µ · ² ¸ ¹ º » ¼ º º ½¾ ¶ ¿ ¶ ³ µ · ² º À Á ² µ ´ ½

» µ ¶ à ½

¾ ¿ Ä ² » µ ½¾

¶ ¿ Å Å ¾ Å Å ¾ Æ ¿ Ç ² º È É Ê µ ² Ë ² ² Ì ¼ Ê Í°

Î ¶ ¿ ³ ¶ ´ Ë ² µ ¼ ´ ¿ ¹ ¿ É Ã ¶ ½¾

¿ Ï ¶ ³ Ë ² ¿ ¼ Ð È ¶ ¿ Ê Ñ Á ¶ µ ½¾

¶ ¿ Ò Ó º ² µ È ¿ É Ô ÕÕ Ö ¹ ¿ × Ì ¼ Ê È ¶ ¿Å Å ¾ Å Ø Ù ¾ Ä · ¶ Ú µ · Ê µ µ · ² ´ ² º Û µ ½

¾¿ É ² Ì ¼ Ê µ ½

¾¶ ¿ ¹ º Ê » ¼ Ò ½

¾» ¹ ¿ » ¶ º Ô Ê ¿ ¸ · Ê º Ü ¶ ´ ² Ê Ñ ´ ¶ ¶ Ï

Ê ¿ ¸ ¶ ¿ ² ¹ Á Ê Ý ¿ Ê Þ ´ ¶ ¶ µ ³ ¶ ´ Ô Â

¬ ¬ Í ® ¬ ° ß ¶ ¿ º ½¾ ¸ ² ´ Ê Ë ½

¿ · ¶ Á ¶ É ² ¿ ² ¶ ¼ º Ã Ñ Ê µ ² à µ · à á

¾¿ » ½

ÂÃ â Á ¶ Á ² ¿ Ð ¶ ³ ¹ ¿ ² ´ Î Ê

ã ½ â ¶ ¿ É µ · ² Ã ´ ¹ ¿ » ½¾

à â ä ½¾

º å ½

ã æ ç ã ½ â ¶ ¿ É µ · ² Ã á¾

¿ » ½¾

Ã Ê Ñ Ê è ½Â

º å æ

ã éêê ã ½ ë ã æ Ê Ñ ¶ ¿ É µ · ² Ã ´ ½

¾¿ » ½

¾Ã Ê Ñ ä ½

º å ì

í ² µ µ · ² ¶ áÂ

Ý ¿ º ¶ ³ µ · ² å î Ê ¿ ¸ å îïð º Ó º µ ² Á º » ¶ ½

¾¿ » ½

¾ ¸ ² Ê ¿ ¸ Ò ² Ñ ¶ » Ê µ ² ¸ Ê µ µ · ² » ² ¿ µ ² ´ ¶ ³Á Ê º º ñ ¶ ³ µ · ² Ã Ñ Ê µ ² ¾ ò µ È Á ² ó êÕ Ö ô Ë ² Ã Ñ Ê µ ² ¹ º º ² µ ´ ¶ Ð È ¿ É ½

¾¿ Ê ³ ¶ ´ » ² Í ³ ´ ² ² Á Ê ¿ ¿ ² ´

õ¾

Ë Ê ¿ Ê ¿ É ¼ Ñ Ê ´ Ç ² Ñ ¶ » ½¾

ö ÷ Ê Ò ¶ ¼ µ Ê ¿ ä ½¾

º ½¾

¿ » Ñ ½¾

¿ ² ¸ Ê µ Ê ¿ Ê ¿ É Ñ ² ø ³ ´ ¶ Á µ · ² Ã Ñ Ê ¿ ² ¶ ³µ · ² Ã Ñ Ê µ ² Ê ¿ ¸ Ã ² ù ² ¿ ¸ ½

¾» Û Ê ´ µ ¶ µ · ² å æ Í ä ¹ º ¾ Æ ³ ã ú ã æ

ûûû » ¶ º Ù ø ü º · ¶ Ú Ë Ê µ Ê µ µ¾½ Á ² ó

µ · ² Ê ¿ ý Ñ Ê ´ Ç ² Ñ ¶ » ½¾

ö Ê Ò ¶ ¼ µ µ · ² å æ Í ä ½¾

º ½Â

º

þ æ ÿ ó � ê ê ÷ » ¶ º ø Ð ¿ · ÿ ÷ ó º ¹ ¿ ø �¬ ¬ Í ® � ° Ä ¶ Ñ Ç ² × è Ê Á Ã Ñ ² Å Å ¾ Ù ³ ¶ ´ µ · ² » Ê º ² Ú · ² ¿ µ · ² à · Ó º ¹ » â à ² ¿ ¸ ¼ Ñ ¼ Á ¸ ¶ ² º ¿ ¶ µ ¼ ¿ ¸ ² ´ É ¶

º Á â Ñ ¶ º »¾½ Ñ Ñ Ê µ ½

¾ ¶ ¿ º ¾ � · ² Ã ² ¿ ¸ ¼ Ñ ¼ Á ½¾

º ´ ² Ñ ² Ê º ² ¸ ³ ´ ¶ Á ´ ² º µ Ê µ Ø � � Ê µ Î Á ² ó ê ê Ö ¾ � ¾½ ¿ ¸

Ë ² Ê ¿ ý Ñ Ê ´ Ç ² Ñ ¶ » ½¾

ö Ú · ² ¿ µ · ² Ã ² ¿ ¸ ¼ Ñ ¼ Á Ê ¿ É Ñ ² ½¾

º Ê µ Å � ¾ � · ² Á Ê º º ¶ ³ µ · ² à ² ¿ ¸ ¼ Ñ ¼ Á¹ º � � Ö É ü Ë ² ¸ ½

¾º Ð ¿ » ² � ½

¾º Å � » Á ü Ê ¿ ¸ µ · ² ´ Ê ¸ ½

¾¼ º ¶ ³ Ê È ¶ ¿ ½

º Å � » Á ¾ �

¬ ¬ � ® ® ° ¶ Ê Ñ ½¾

µ ² � µ ¼ ´ ² º ² Ê ´ » · Ê ¿ ¸ ² è Ã Ñ Ê ½¾

¿ · ¶ Ú Ê » Ê µ » Ê ¿ Ê Ñ Ú Ê Ó º Ñ Ê ¿ ¸ ¶ ¿ ½¾ Ï ³ ² ² µ Ú · ² ¿

¸ ´ ¶ à à ² ¸ ³ ´ ¶ Á Ê Ã ¶ º ½Â

µ ½¾

¶ ¿ Ê µ ´ ² º µ à µ · ½¾

Ï ³ ² ² µ Ã ¶ ½¾

¿ È ¿ É ¼ Ã Ú Ê ´ ¸ ¾ × º µ ½¾

Á Ê µ ² Ë ² Á ½¾

¿ ¹ Í

Á ¼ Á · ²¾½ É · µ Ê » Ê µ ¿ ² ² ¸ º � ¶ ³ Ê Ñ Ñ ¾

½ ¿ ¶ ´ ¸ ² ´ µ ¶ ² è ² » ¼ µ ² º ¼ » · Ê Á Ê ¿ ² ¼ Ç ² ´ ¾

¬ ¬ � ® � ° ß ¶ ¿ º ½¾ ¸ ² ´ Ê º � Á ² µ á

¾» Ê Ñ á

¾É ½

¸ Ò ¶ ¸ Ó ´ ¶ µ Ê Î ¿ É ³ ´ ² ² Ñ Ó Ê Ò ¶ ¼ µ ¹ Ï » ² ¿ µ ² ´ ¶ ³ Á Ê º º ¾ ò ³ á

¾» �

µ ½¾

¶ ¿ Ê Ñ µ ¶ ´ Ì ¼ ² ÿ � � êÕ Õ � þ � Ê » Ï µ ¶ º Ñ ¶ Ú ¸ ¶ � µ · ² ´ ¶ µ Ê È ¶ ¿ ¾ � ½¾

¿ ¸ µ · ² » ¶ Á Ã ¶ ¿ ² ¿ µ ¶ ³µ · ² Ê ¿ � Ê ´ Ç ² Ñ ¶ » ½

¾ö â ¶ ¿ É µ · ² º À Á ² µ Þ ä ½

¾º Ê º Ê ³ ¼ ¿ » È ¶ ¿ ¶ ³ µ ½

¾Á ² ¾


Recommended