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Lógica Matemática y Conjuntos

Juan Carlos Damián Sandoval

Universidad San Martin de Porres

7 Marzo del 2016

J.C.Damián . S (USMP) Lógica Matemática y Conjuntos 7 Marzo del 2016 1 / 16

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LEYES LÓGICAS

Leyes LógicasComo en la clase anterior, existen fórmulas cuyos resultados de losvalores de verdad son iguales para una misma forma de asignación delos valores de las variables proposicionales.Diremos que son equivalentes y lo simbolizaremos con ≡ o con ↔ .

Estas fórmulas se conocen como Leyes lógicas y alguna de ellas son:


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LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS


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Ley de Identidad (Reflexiva)p → p ; p ↔ p Una proposición sólo es idéntica en sí mismo.


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Ley de no Contradicción

∼ (p ∧ ∼ p )

Una proposión no puede ser verdadera y falso a la vez.


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Ley de no Contradicción

∼ (p ∧ ∼ p )

Una proposión no puede ser verdadera y falso a la vez.

Ley del Tercio Excluidop ∨ ∼ p

Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una terceraposibilidad.


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EQUIVALENCIAS NOTABLES

Ley de la doble negación


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∼ (∼ p ) ≡ p La negación de la negación es una afirmación.


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La Idempotencia


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La Idempotencia

1. p ∧ p ≡ p



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La Idempotencia

1. p ∧ p ≡ p 2. p ∨ p ≡ p En general:


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La Idempotencia

1. p ∧ p ≡ p 2. p ∨ p ≡ p En general:

1. p ∧ p ∧ p ∧ p ∧ · · · ∧ p ≡ p



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La Idempotencia

1. p

∧p

≡ p

2. p ∨ p ≡ p En general:

1. p ∧ p ∧ p ∧ p ∧ · · · ∧ p ≡ p 2. p ∨ p ∨ p ∨ p ∨ · · · ∨ p ≡ p


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La Idempotencia

1. p

∧p

≡ p

2. p ∨ p ≡ p En general:

1. p ∧ p ∧ p ∧ p ∧ · · · ∧ p ≡ p 2. p ∨ p ∨ p ∨ p ∨ · · · ∨ p ≡ p

Las variables redundantes es una cadena de conjunciones o en unacadena de disyunciones, se eliminan.


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Leyes Conmutativas



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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p


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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p


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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p


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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p

“La conjunción, la disyunción, disyunción exclusiva y la bicondicionalde dos proposiciones son conmutativas”.


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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p


Leyes Asociativas


L C

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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p


Leyes Asociativas

1. p ∧ (q ∧ r ) ≡ (p ∧ q ) ∧ r


L C i

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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p


Leyes Asociativas

1. p ∧ (q ∧ r ) ≡ (p ∧ q ) ∧ r 2. p ∨ (q ∨ r ) ≡ (p ∨ q ) ∨ r


L C i


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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p


Leyes Asociativas

1. p ∧ (q ∧ r ) ≡ (p ∧ q ) ∧ r 2. p ∨ (q ∨ r ) ≡ (p ∨ q ) ∨ r 3. p (q r ) ≡ (p q ) r


L C t ti

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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p


Leyes Asociativas

1. p ∧ (q ∧ r ) ≡ (p ∧ q ) ∧ r 2. p ∨ (q ∨ r ) ≡ (p ∨ q ) ∨ r 3. p (q r ) ≡ (p q ) r 4. p ↔ (q ↔ r ) ≡ (p ↔ q ) ↔ r


L C t ti

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Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p


Leyes Asociativas


Leyes Distributivas


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Leyes Conmutativas

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30/152

Leyes Conmutativas

1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p q ≡ q p 4. p ↔ q ≡ q ↔ p


Leyes Asociativas


Leyes Distributivas

1. p ∧ (q ∨ r ) ≡ (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r )2. p ∨ (q ∧ r ) ≡ (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r )


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Leyes de Morgan


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32/152

Leyes de Morgan


Leyes de Morgan

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33/152

Leyes de Morgan

1. ∼ (p ∧ q ) ≡ (∼ p ∨ ∼ q )


Leyes de Morgan

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34/152

Leyes de Morgan

1. ∼ (p ∧ q ) ≡ (∼ p ∨ ∼ q )2. ∼ (p ∨ q ) ≡ (∼ p ∧ ∼ q )


Leyes de Morgan

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35/152

Leyes de Morgan

1. ∼ (p ∧ q ) ≡ (∼ p ∨ ∼ q )2. ∼ (p ∨ q ) ≡ (∼ p ∧ ∼ q )

Las Leyes del Condicional


Leyes de Morgan


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36/152

Leyes de Morgan

1. ∼ (p ∧ q ) ≡ (∼ p ∨ ∼ q )2. ∼ (p ∨ q ) ≡ (∼ p ∧ ∼ q )

Las Leyes del Condicional1. p → q ≡∼ p ∨ q


Leyes de Morgan


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37/152

Leyes de Morgan

1. ∼ (p ∧ q ) ≡ (∼ p ∨ ∼ q )2. ∼ (p ∨ q ) ≡ (∼ p ∧ ∼ q )

Las Leyes del Condicional1. p → q ≡∼ p ∨ q 2. ∼ (p → q ) ≡ p ∧ ∼ q


Leyes de Morgan

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38/152

Leyes de Morgan

1. ∼ (p ∧ q ) ≡ (∼ p ∨ ∼ q )2. ∼ (p ∨ q ) ≡ (∼ p ∧ ∼ q )


Las Leyes del Bicondicional


Leyes de Morgan


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39/152

Leyes de Morgan

1. ∼ (p ∧ q ) ≡ (∼ p ∨ ∼ q )2. ∼ (p ∨ q ) ≡ (∼ p ∧ ∼ q )



1. (p ↔ q ) ≡ (p → q ) ∧ (q → p ) ≡ (∼ p ∨ q ) ∧ (∼ q ∨ p )


Leyes de Morgan


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40/152

Leyes de Morgan

1. ∼ (p ∧ q ) ≡ (∼ p ∨ ∼ q )2. ∼ (p ∨ q ) ≡ (∼ p ∧ ∼ q )



1. (p ↔ q ) ≡ (p → q ) ∧ (q → p ) ≡ (∼ p ∨ q ) ∧ (∼ q ∨ p )2. (p ↔ q ) ≡ (p ∧ q ) ∨ (∼ p ∧ ∼ q ) ≡∼ (p q )



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41/152


Leyes de la Absorción

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42/152

y



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43/152


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44/152

y

1. p ∧ (p ∨ q ) ≡ p 2. p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ (p ∧ q )



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45/152

1. p ∧ (p ∨ q ) ≡ p 2. p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ (p ∧ q )

3. p ∨ (p ∧ q ) ≡ p




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46/152

1. p ∧ (p ∨ q ) ≡ p 2. p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ (p ∧ q )

3. p ∨ (p ∧ q ) ≡ p 4. p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q



http://find/

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47/152

1. p ∧ (p ∨ q ) ≡ p 2. p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ (p ∧ q )

3. p ∨ (p ∧ q ) ≡ p 4. p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q

Leyes de Transposición



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48/152

1. p ∧ (p ∨ q ) ≡ p 2. p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ (p ∧ q )

3. p ∨ (p ∧ q ) ≡ p 4. p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q


1. (p → q ) ≡ (∼ q →∼ p )




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49/152

1. p ∧ (p ∨ q ) ≡ p 2. p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ (p ∧ q )

3. p ∨ (p ∧ q ) ≡ p 4. p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q


1. (p → q ) ≡ (∼ q →∼ p )2. (p ↔ q ) ≡ (∼ q ↔∼ p )



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50/152

1. p ∧ (p ∨ q ) ≡ p 2. p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ (p ∧ q )

3. p ∨ (p ∧ q ) ≡ p 4. p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q


1. (p → q ) ≡ (∼ q →∼ p )2. (p ↔ q ) ≡ (∼ q ↔∼ p )

Leyes de Exportación



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51/152

1. p ∧ (p ∨ q ) ≡ p 2. p ∧ (∼ p ∨ q ) ≡ (p ∧ q )

3. p ∨ (p ∧ q ) ≡ p 4. p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q


1. (p → q ) ≡ (∼ q →∼ p )2. (p ↔ q ) ≡ (∼ q ↔∼ p )

Leyes de Exportación

1. (p ∧ q ) → r ≡ p → (q → r )



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52/152

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53/152


Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción

S V d d ( l í ) F f l (C d ó C)

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54/152

Si V =verdadero(Tautología=T) y F =falso(Contradicción=C)



Si V d d (T l í T) F f l (C di ió C)

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55/152

Si V =verdadero(Tautología=T) y F =falso(Contradicción=C)1. T ∧ T ≡ T



Si V d d (T l í T) F f l (C di ió C)

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56/152


2. T ∧ p ≡ p



Si V d d (T t l í T) F f l (C t di ió C)

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57/152


2. T ∧ p ≡ p 3. C ∧ p ≡ C



Si V d d (T t l gí T) F f ls (C t di ió C)

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58/152


2. T ∧ p ≡ p 3. C ∧ p ≡ C 4. C ∨ C ≡ C



Si V verdadero(Tautología T) y F falso(Contradicción C)


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59/152


2. T ∧ p ≡ p 3. C ∧ p ≡ C 4. C ∨ C ≡ C 5. C ∨ p ≡ p




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60/152


2. T ∧ p ≡ p 3. C ∧ p ≡ C 4. C ∨ C ≡ C 5. C ∨ p ≡ p 6. T ∨ p ≡ T




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61/152



Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología




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62/152



Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología1. p ∧ C ≡ C




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63/152



Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología1. p ∧ C ≡ C 2. C ∨ T ≡ T




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64/152

Si V verdadero(Tautología T) y F falso(Contradicción C)1. T ∧ T ≡ T



3. p ∨ T ≡ T




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65/152

Si V verdadero(Tautología T) y F falso(Contradicción C)1. T ∧ T ≡ T



3. p ∨ T ≡ T Además se tiene :




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66/152

Si verdadero(Tautología T) y falso(Contradicción C)1. T ∧ T ≡ T




1. p ∨ ∼ p ≡ T





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67/152

( g ) y ( )1. T ∧ T ≡ T




1. p ∨ ∼ p ≡ T 2. p ∧ ∼ p ≡ C


Ejemplo

Reducir las siguientes fórmulas, aplicando la leyes lógicas en forma

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68/152

g , p y gconveniente:


Ejemplo


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69/152

g p y gconveniente:

1. ∼ (p ∧ ∼ q ) ≡


Ejemplo


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70/152

conveniente:

1. ∼ (p ∧ ∼ q ) ≡2. ∼ (∼ p ∨ ∼ q ) ≡


Ejemplo


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71/152

conveniente:

1. ∼ (p ∧ ∼ q ) ≡2. ∼ (∼ p ∨ ∼ q ) ≡3. ∼ [(p → q ) ∧ r ] ≡


Ejemplo



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72/152

conveniente:

1. ∼ (p ∧ ∼ q ) ≡2. ∼ (∼ p ∨ ∼ q ) ≡3. ∼ [(p → q ) ∧ r ] ≡4. ∼ [p ∨ (q → r ) ≡


Ejemplo


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73/152

conveniente:

1. ∼ (p ∧ ∼ q ) ≡2. ∼ (∼ p ∨ ∼ q ) ≡3. ∼ [(p → q ) ∧ r ] ≡4. ∼ [p ∨ (q → r ) ≡5. ∼ [p ∨ (q → r ) ≡


Ejemplo

Determina la menor expresión que representa al siguiente esquemal l

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74/152

molecular:


Ejemplo


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75/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


Ejemplo


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76/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]

≡∼ {[∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q )]} Asoc.


Ejemplo

Determina la menor expresión que representa al siguiente esquemamolecular:

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77/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]

≡∼ {[∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q )]} Asoc.≡∼ {∼ p ∨ ∼ q } Idemp.


Ejemplo


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78/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]

≡∼ {[∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q )]} Asoc.≡∼ {∼ p ∨ ∼ q } Idemp.≡∼ (∼ p )∧ ∼ (∼ q ) Morg.


Ejemplo


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79/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]

≡∼ {[∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q )]} Asoc.≡∼ {∼ p ∨ ∼ q } Idemp.≡∼ (∼ p )∧ ∼ (∼ q ) Morg.≡ p ∧ q doble Neg.


Ejemplo


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80/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]


Ejemplo


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81/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p


Ejemplo


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82/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p

3. ∼ [(p ∨ p ) ↔ p ]


Ejemplo


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83/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p

3. ∼ [(p ∨ p ) ↔ p ]Rta:F

J C Damián S (USMP) Lógica Matemática y Conjuntos 7 Marzo del 2016 10 / 16

Ejemplo


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84/152

molecular:1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p

3. ∼ [(p ∨ p ) ↔ p ]Rta:F

4. [(∼ p ∧ q ) → (r ∧ ∼ r )]∧ ∼ q


Ejemplo


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85/152

1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]≡∼ {[∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q )]} Asoc.≡∼ {∼ p ∨ ∼ q } Idemp.≡∼ (∼ p )∧ ∼ (∼ q ) Morg.≡ p ∧ q doble Neg.

2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p

3. ∼ [(p ∨ p ) ↔ p ]Rta:F

4. [(∼ p ∧ q ) → (r ∧ ∼ r )]∧ ∼ q Rta:∼ q


Ejemplo


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86/152

1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p

3. ∼ [(p ∨ p ) ↔ p ]Rta:F

4. [(∼ p ∧ q ) → (r ∧ ∼ r )]∧ ∼ q Rta:∼ q

5. [(p ∧ ∼ q ) ∧ q ] → p


Ejemplo


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87/152

1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p

3. ∼ [(p ∨ p ) ↔ p ]Rta:F

4. [(∼ p ∧ q ) → (r ∧ ∼ r )]∧ ∼ q Rta:∼ q

5. [(p ∧ ∼ q ) ∧ q ] → p Rta:V


Ejemplo


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88/152

1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p

3. ∼ [(p ∨ p ) ↔ p ]Rta:F

4. [(∼ p ∧ q ) → (r ∧ ∼ r )]∧ ∼ q Rta:∼ q

5. [(p ∧ ∼ q ) ∧ q ] → p Rta:V

6. (p → q ) ↔ q J C Damián S (USMP) Lógica Matemática y Conjuntos 7 Marzo del 2016 10 / 16

Ejemplo



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89/152

1. ∼ [(∼ p ∨ ∼ q )∨ ∼ q ]


2. (p ∨ ∼ p ) ∧ [p ∧ (q ∨ p )]Rta:p

3. ∼ [(p ∨ p ) ↔ p ]Rta:F

4. [(∼ p ∧ q ) → (r ∧ ∼ r )]∧ ∼ q Rta:∼ q

5. [(p ∧ ∼ q ) ∧ q ] → p Rta:V

6. (p → q ) ↔ q J C Damián S (USMP) Lógica Matemática y Conjuntos 7 Marzo del 2016 10 / 16

CUANTIFICADORES


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CUANTIFICADORES

Función Proposicional

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p


CUANTIFICADORES


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p

La función proposicional es un enunciado abierto de la forma p (x ), esdecir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que alser sustituida por un valor particular se convierte en proposición.


CUANTIFICADORES


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p


Ejemplo


CUANTIFICADORES


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Ejemplo

p (x ) : x + 8 > 15, es un enunciado abierto


CUANTIFICADORES



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Ejemplo

p (x ) : x + 8 > 15, es un enunciado abiertop (5) : 5 + 8 > 15, es una proposición falsa.


CUANTIFICADORES



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Ejemplo

p (x ) : x + 8 > 15, es un enunciado abiertop (5) : 5 + 8 > 15, es una proposición falsa.p (9) : 9 + 8 > 15, es una proposición verdadera.


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Cuantificadores

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J C D iá S (USMP) Ló i M t áti C j t 7 M d l 2016 12 / 16

CuantificadoresLos cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto ofunción proposicional en una proposición para lo cual su misión esindicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta

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indicar cuantos elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta

función proposicional.



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Cuantificador Universal



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Cuantificador UniversalRepresentado por ∀ se emplea para afirmar que todos los elementos

de un conjunto dado, cumplen con determinada función proposicional.

J C D iá S (USMP) Ló i M á i C j 7 M d l 2016 12 / 16

CuantificadoresLos cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto ofunción proposicional en una proposición para lo cual su misión esindicar cuantos elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta

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de un conjunto dado, cumplen con determinada función proposicional.De:∀x ∈ A : “se lee: Para todo x que pertenece al conjunto A secumple que”

J C D iá S (USMP) Ló i M á i C j 7 M d l 2016 12 / 16


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Cuantificador Existencial



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j , p




Cuantificador ExistencialRepresentado por ∃, se usa para indicar que al menos un elemento deun conjunto cumple con determinada función proposicional.



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j , p




Cuantificador ExistencialRepresentado por ∃, se usa para indicar que al menos un elemento deun conjunto cumple con determinada función proposicional.De:∃x ∈ A/ “se lee: Existe algún x que pertenece al conjunto A talque se cumple que”


Negación de los Cuantificadores

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∼ [∃x ∈ A/p (x )] ≡ ∀x ∈ A :∼ p (x ) “la negación de una existenciada un universal”

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da un universal


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da un universal

∼ [∀x ∈ A : p (x )] ≡ ∃x ∈ A/ ∼ p (x ) “la negación de un universal daun existencial”

Observación




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110/152


ObservaciónEn general, la proposición universal ∀x ∈ A : p (x ) es verdadera si lapropiedad p (x ) lo es, es decir, si cumple con cada uno de loselementos A y es falso si hay al menos un elemento de A que nocumple la propiedad p (x ).




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111/152


ObservaciónEn general, la proposición universal ∀x ∈ A : p (x ) es verdadera si lapropiedad p (x ) lo es, es decir, si cumple con cada uno de loselementos A y es falso si hay al menos un elemento de A que nocumple la propiedad p (x ).

En general, la proposición existencial ∃x ∈ A : p (x ) es verdadera sien A hay al menos un elemento x que cumple p (x ), y es falsa siningún elemento de A cumple con p (x ), esto es todo elemento de Ano cumple p (x ).


EJERCICIOS

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EJERCICIOS

1. Consideremos el conjunto A = {x ∈ Z / − 2 ≤ x ≤ 2},diga sison verdaderos o falsas las siguientes proposiciones, justificando

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su respuesta.1. ∃x ∈ A/x + 3 ∈ A


EJERCICIOS


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115/152

su respuesta.1. ∃x ∈ A/x + 3 ∈ A Rta:V


EJERCICIOS


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116/152

su respuesta.1. ∃x ∈ A/x + 3 ∈ A Rta:V2. ∀x ∈ A : x 2 + 2 > 9.


EJERCICIOS


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117/152

su respuesta.1. ∃x ∈ A/x + 3 ∈ A Rta:V2. ∀x ∈ A : x 2 + 2 > 9. Rta:F


EJERCICIOS


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118/152

su respuesta.1. ∃x ∈ A/x + 3 ∈ A Rta:V2. ∀x ∈ A : x 2 + 2 > 9. Rta:F3. ∀x ∈ A : 2x − 3 < 5


EJERCICIOS


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119/152

su respuesta.1. ∃x ∈ A/x + 3 ∈ A Rta:V2. ∀x ∈ A : x 2 + 2 > 9. Rta:F3. ∀x ∈ A : 2x − 3 < 5 Rta:V


EJERCICIOS


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120/152


4. ∃x ∈ A/x −4

2 ≥ 5


EJERCICIOS


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121/152


4. ∃x ∈ A/x −4

2 ≥ 5 Rta:F


EJERCICIOS


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122/152


4. ∃x ∈ A/x −4

2 ≥ 5 Rta:F5. ∀x ∈ A : x 2 − 3x + 2 = 0.


EJERCICIOS


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123/152


4. ∃x ∈ A/x −4

2 ≥ 5 Rta:F5. ∀x ∈ A : x 2 − 3x + 2 = 0. Rta:F


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124/152

EJERCICIOS


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125/152


4. ∃x ∈ A/x −4

2 ≥ 5 Rta:F5. ∀x ∈ A : x 2 − 3x + 2 = 0. Rta:F6. ∃x ∈ A/x −4

x +1 = 2 Rta:F


EJERCICIOS


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126/152


4. ∃x ∈ A/x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3.


EJERCICIOS


t

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127/152


4. ∃x ∈ A/x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F


EJERCICIOS


t


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128/152


4. ∃x ∈ A/x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3


EJERCICIOS


t

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129/152


4. ∃x ∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V


EJERCICIOS


su respuesta

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130/152


4. ∃x ∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V9. ∀x ∈ A : x 2 − 2 > 7.


EJERCICIOS


su respuesta

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131/152


4. ∃x ∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V

9. ∀x ∈ A : x 2 − 2 > 7. Rta:F


EJERCICIOS


su respuesta

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132/152


4. ∃x ∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V

9. ∀x ∈ A : x 2 − 2 > 7. Rta:F10. ∀x ∈ A : 2x + 4 = −5.


EJERCICIOS


su respuesta

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133/152


4. ∃x ∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V

9. ∀x ∈ A : x 2 − 2 > 7. Rta:F10. ∀x ∈ A : 2x + 4 = −5. Rta:V


EJERCICIOS


su respuesta

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134/152


4. ∃x

∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V

9. ∀x ∈ A : x 2 − 2 > 7. Rta:F10. ∀x ∈ A : 2x + 4 = −5. Rta:V11. ∃x ∈ A/(x − 2)(x 2 + 1) = 0


EJERCICIOS


su respuesta

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135/152


4. ∃x

∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V

9. ∀x ∈ A : x 2 − 2 > 7. Rta:F10. ∀x ∈ A : 2x + 4 = −5. Rta:V11. ∃x ∈ A/(x − 2)(x 2 + 1) = 0 Rta:V


EJERCICIOS


su respuesta

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136/152


4. ∃x

∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V

9. ∀x ∈ A : x 2 − 2 > 7. Rta:F10. ∀x ∈ A : 2x + 4 = −5. Rta:V11. ∃x ∈ A/(x − 2)(x 2 + 1) = 0 Rta:V12. ∃x ∈ A/x 2 − 8 ≤ 4


EJERCICIOS


su respuesta

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137/152


4. ∃x

∈ A/

x −4


x +1 = 2 Rta:F

7. ∀x ∈ A : 2x +3x +1

= 3. Rta:F8. ∃x ∈ A/3x − 2 > 3 Rta:V

9. ∀x ∈ A : x 2 − 2 > 7. Rta:F10. ∀x ∈ A : 2x + 4 = −5. Rta:V11. ∃x ∈ A/(x − 2)(x 2 + 1) = 0 Rta:V12. ∃x ∈ A/x 2 − 8 ≤ 4 Rta:V


EJERCICIOS

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EJERCICIOS

2. Dado el conjunto A = {−2,−1, 0, 1, 3, 4, 5, 7} negar cada una delas siguientes proposiciones y dar su valor de verdad.

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EJERCICIOS

2. Dado el conjunto A = {−2,−1, 0, 1, 3, 4, 5, 7} negar cada una delas siguientes proposiciones y dar su valor de verdad.

1) ∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14

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140/152

) ∀ ∈ + 5 >


EJERCICIOS2. Dado el conjunto A = {−2,−1, 0, 1, 3, 4, 5, 7} negar cada una de

las siguientes proposiciones y dar su valor de verdad.

1) ∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14[∀ A 2 5 14] ∃ A/ 2 5 14 R V

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141/152

) +∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x 2 + 5 ≤ 14 Rta:V




1) ∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14[∀ A 2 5 14] ∃ A/ 2 5 ≤ 14 R V

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142/152

)∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x 2 + 5 ≤ 14 Rta:V

2) ∀x ∈ A : x 2 − 3 ≤ 46




1) ∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14[∀ ∈ A 2 + 5 14] ∃ ∈ A/ 2 + 5 ≤ 14 Rt V

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143/152

)∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x 2 + 5 ≤ 14 Rta:V

2) ∀x ∈ A : x 2 − 3 ≤ 463) ∃x ∈ A/3x − 1 = 8




1) ∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14[∀ ∈ A 2 + 5 > 14] ∃ ∈ A/ 2 + 5 ≤ 14 Rt V

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144/152

)∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x 2 + 5 ≤ 14 Rta:V

2) ∀x ∈ A : x 2 − 3 ≤ 463) ∃x ∈ A/3x − 1 = 84) ∃x ∈ A/2x −3

2 > 10




1) ∀x ∈ A : x 2

+ 5 > 14[∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x2 + 5 ≤ 14 Rta:V

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145/152

)∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x 2 + 5 ≤ 14 Rta:V

2) ∀x ∈ A : x 2 − 3 ≤ 463) ∃x ∈ A/3x − 1 = 84) ∃x ∈ A/2x −3

2 > 10

5) ∀x ∈ A : 4x +15 14∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x2 + 5 ≤ 14 Rta:V

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146/152

∼ [∀x ∈ A : x + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x + 5 ≤ 14 Rta:V2) ∀x ∈ A : x 2 − 3 ≤ 463) ∃x ∈ A/3x − 1 = 84) ∃x ∈ A/2x −3

2 > 10

5) ∀x ∈ A : 4x +15 14∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x2 + 5 ≤ 14 Rta:V

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147/152


2 > 10

5) ∀x ∈ A : 4x +15 14∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x2 + 5 ≤ 14 Rta:V

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148/152


2

> 105) ∀x ∈ A : 4x +1

5 14∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x2 + 5 ≤ 14 Rta:V

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149/152


2

> 105) ∀x ∈ A : 4x +1

5 14∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x2 + 5 ≤ 14 Rta:V

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2

> 105) ∀x ∈ A : 4x +1

5 14




1) ∀x ∈ A : x 2

+ 5 > 14∼ [∀x ∈ A : x 2 + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x2 + 5 ≤ 14 Rta:V

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151/152

[∀x ∈ A : x + 5 > 14] ≡ ∃x ∈ A/x + 5 ≤ 14 Rta:V2) ∀x ∈ A : x 2 − 3 ≤ 463) ∃x ∈ A/3x − 1 = 84) ∃x ∈ A/2x −3

2

> 105) ∀x ∈ A : 4x +1

5 1411) ∀x ∈ A : x −2

x −4 = 2


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