Rev Teacutec lng Univ Zulia Vol 24 Nordm 2 128- 1372001

Generalization of the CQC3 crlterlon to inelude three seismic components in any direction

Osear A Loacutepez y Julio J Hemaacutendez Facultad de lngenieria Universidad Central de Venezuela Apartado 50361 Caracas lOSO-A Venezuela E-mail oslopezreacciunveJulherregcantvnet

Abstraet

The stnlctural response to three seismic translational components that can fonu any angle with the dJrectlons of stnlctural axes is investigated in this papero The systems are elastic and the seismic motion Is described in terms of a response spectnlm for each component which have ldentical shapes but differshyent tntensities The GCgC3 method for combining respon ses to multicomponent selsmic motlon ls proshyposed which Is a generalizatlon ofthe well-known CQC3 method that restricts a principal seismic composhynent along the vertical direction The proposed method allows studying the variability of the response with the directlon of the three principal seismic components

Key words Seismic components tnclination CQC3 response spectrum analysis seismic response

Generalizacioacuten del criterio CQC3 para incluir tres componentes siacutesmicas en cualquier direccioacuten

Resumen

En este artiacuteculo se estudia la respuesta estructural ante tres componentes siacutesmicas traslacionales que puedan incidir con cualquier aacutengulo con respecto a las direcciones de referencia de la estructura Se supone conducta elaacutestica de las estructuras y la accioacuten del sismo se especifica mediante espectros de resshypuesta de cada componente proporcionales entre siacute Se propone el meacutetodo GCgC3 para combinar las resshypuestas ante varias componen tes siacutesmicas el cual es una generalizacioacuten del conocido m eacutetodo CQC3 que considera que una componente siacutesmica principal debe mantenerse seguacuten la direccioacuten vertical El meacutetodo propuesto permite estudiar la variabilidad de la respuesta con la direccioacuten de las tres componentes siacutesmishycas principales

Palabrae clave Componentes siacutesmicas inclinacioacuten CQC3 anaacutelisis espectral respuesta siacutesmica

Introduccioacuten

La excitacioacuten siacutesmica en un punto dado ocurre como traslacioacuten y rotacioacuten generalizadas en el espacio Podemos descomponer cada una de ellas seguacuten tres ejes ortogonales cualesquiera y en general las componentes estaraacuten correlacioshynadas entre si Un estudio ya claacutesico (1) encontroacute que existen tres direcciones llamadas prtncipashyles casi constantes durante la fase fuerte del siSshymo seguacuten las cuales las componentes traslacioshynales no estaacuten correlacionadas Una de las direcshy

ciones principales es cas i horizontal y estaacute dirtgishyd a hacia el epicentro la segunda es tambieacuten casi horizontal y perpendicular a la primera y la uacuteltishyma es cercana al eje vertical Sin embargo algushynos estudios hallan cierta correlacioacuten entre la componente vertical y las componenteSlOrtzonshytales (2)10 cual equivale a qu e la direccioacuten princishypal no sea exactamente vertical sino que estaacute algo desviada al respecto La desviacioacuten puede ser significativa en algunos casos Por ejem plo los registros de la estaciOacuten 095 del s ismo de Kero County 1952 citados en HadJian (2) y procesa-

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129 Criterio CQC3 para tres componentes sismicas en cualquier direccioacuten

dos de acuerdo con la Natlonal Geophysical Data Center (3 ) conducen a una inclinacioacuten promedio de unos 17deg para una componente principal A1gunos trabajos [4J tambieacuten conducen a pensar en la posibilidad de que una topografia irregular afecte la inclinacioacuten de las ondas incidentes

Recientemente se ha impulsado el anaacutelisis conjunto de las llamadas componentes horizonshytales [5 ] pero soacutelo excepcionalmente se exige la adicioacuten de la llamada componente vertical mienshytras que la influencia de las componentes rotashycionales s e analiza separadamente Sin embargo sismos recientes como los de Northridge (1994) y Kobe (1995) sugieren la necesidad de incorporar las tres componentes traslacionales de la excitashycioacuten siacutesmica actuando simultaacuteneamente Puede estimarse en general que el grado de influencia de la com ponente quasi-vertlcal en el valor total de una cierta respuesta en comparacioacuten con la influencia de las componentes quasi-horlzontashyles depende del sistema estructural de la resshypuesta en estudio y de la cercaniacutea o no del ePicenshytro que condiciona el contenido de frecuencias y la intensidad de dicha componente En edificios aporticados la fuerza axial en las columnas pueshyde ser sensible a la misma mientras que otras solicitaciones lo son menos

Hasta ahora se han presentado en la literashytura teacutecnica herramientas que permiten una esshytimacioacuten relativamente sencilla de la respuesta elaacutestica a dos componentes horizontales que pueden incidir con cualquier aacutengulo con respecto a los ejes principales de la estructura maacutes una componente de direccioacuten vertical fija seguacuten el meacutetodo denominado Complete Quadratic Combishynation extended to 3 Components (CQC3) [6-9) Este trabajo se situacutea en la perspectiva de ampliar este procedimiento de anaacutelisis de respuesta para cubrir la posibilidad de que las tres componentes siacutesmicas prinCipales actuacuteen seguacuten direcciones arbitrarias en el espacio y disponer asiacute de una heshyrramienta de anaacutelisis Quedan pendientes posteshyriores verificaciones con anaacutelisis temporales y acelerograrnas reales

Combinaci6n de respuestas a varias componentes siacutesmicas

Sea un sistema estructural con mmodos de vibracioacuten Estudiarnos una respuesta r que pueshy

da expresarse estaacuteticamente como combinacioacuten lineal de los desplazamientos generalizados del sistema estructural desplazamiento fuerza moshymento o esfuerzo (seguacuten una detenninada direcshyCioacuten) en un elemento estructural Definimos la respuesta cuadraacutetica a la componente siacutesmica k de direccioacuten arbitraria iacute k

2 como el cuadrado de la

respuesta probable (llamada a veces maacutexima o pico) que cumpla con cierta probabilida d de exshycedencia prefijada En todo el desarrollo que s ishy

gue partimos de las respuestas modales (maacutexishym as) que deben establecerse con la miSIna proshybabilidad de excedencia porque el sismo se ideashyliza como un proceso estocaacutestico gaussiano como es praacutectica usual

En esta seccioacuten repasamos en primer lugar la respuesta estructural a la accioacuten de una componente siacutesmica y luego a vanas componenshytes siacutesmicas actuando simultaacuteneamente para las cuales supondremos dos casos uno con coshyrrelacioacuten nula entre las componentes y otro con correlacioacuten total entre ellas Las expresiones obshytenidas nos serviraacuten de base para deducir fonnu shylaciones ante la accioacuten de tres componen tes siacutesshymicas traslaclonales no-correlacionadas en funcioacuten de su direccioacuten

Caso de una componente sismica

En caso de que la estructura esteacute sometida a la accioacuten de una uacutenica componente siacutesmica k actuando en cualquier direccioacuten disponemos de la fonnulacioacuten denominada Combinaci6n Cuashy

clrAtica Completa Complete Quadrattc Combishynatiacuteon (CQC) [ID] Las m respues tas modales r ki (i = 1 m) ante una componente s iacutesmica k estaacuten correlacionadas entre siacute mediante el coeficiente de correlacioacuten modal Py [10) Su valor depende del cociente de las frecuencias modales t y j acershycaacutendose a 1 para frecuencias cercanas entre siacute y a O para frecuencias alejadas entre siacute Foacutermulas para calcularlo se encuentran en (10) en textos

[11] y en las normas en general OltPy~ l p uuml = 1

Tenemos

(1)

donde debe destacarse que las r es puestas modashyles rki se toman con el signo que les corresponda Los valores dep ygarantizan que el resultado de la

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130 Loacutepez y Hemaacutendez

doble surnatoria es ~ O La formulacioacuten cgc debe utilizarse siempre que existan modos con freshycuencias cercanas entre siacute y asiacute lo especifican las normas

Caso de varias componentes siacutesmicas no correlacionadas

Si actuacutean simultaacuteneamente n componentes siacutesmicas que no estaacuten correlacionadas entre siacute (p ej cuando las componentes siacutesmicas actuacutean seguacuten las direcciones principales del sismo) poshydemos estimar la respuesta cuadraacutetica conjunta 2 simplemente sumando las respuestas cuadraacuteshyticas correspondientes a cada componente siacutesmishyca k (k = 1 n) Se deriva de la suposicioacuten de que estamos ante procesos estocaacutesticos gaussianos independientes [ 11 J Suele llamarse la regIa de la rafz cuadrada de la suma de 108 cuadrados square-root-oJ-sum-oJ-squares (SRSS) Asiacute pues usando (1)

(2)

Caso de varias componentes siacutesmicas totalmente correlacionadas

Cuando actuacutean simultaacuteneamente n composhynentes siacutesmicas las cuales puedan suponerse que estaacuten totalmente correlacionadas el probleshyma equivale al de un solo sismo que se presenta descompuesto en esas n componentes Es el caso por ejemplo en que se quiera calcular la resshypuesta a una componente siacutesmica actuando en una direccioacuten inclinada del espacio 10 cual equishyvale al problema de calcular la respuesta a la acshycioacuten de sus tres componentes ortogonales que por tanto tienen correlacioacuten total entre ellas Para cada modo ila respuesta modal total es la suma algebraica de las n respuestas modales a cada componente siacutesmica

n

r = ~gtId (i = 1 m) (3) k

luego combinamos las diferentes respuestas moshydales totales mediante el criterio cgc (1) para obtener la respuesta cuadraacutetica global

(4)

Si ahora definimos la correlacioacuten de resshypuestas a las componentes s iacutesmicas k amp l totalshymente correlacionadas como

(5)

podemos expresar la respu esta cuadraacutetica gloshybal reemplazando (5 en (4)

(6)

Obseacutervese que la respuesta cuadraacutetica a una sola componente siacutesmica rk

2 (1) es un caso particular de la correlacioacuten de respuestas (5)

(7)

Utilizando (7) la expresioacuten (6) puede escrishybirse tambieacuten como

(8)

Es importante diferenciar entre la correlashycioacuten de las respuestas (riel) y la correlacioacuten de las componentes siacutesmicas Aunque estas uacuteltimas esshyteacuten totalmente correlacionadas la correlacioacuten de las respuestas puede ser pequentildea o incluso nula En el caso de 3 componentes siacutesmicas U 1)amp wtoshytalmente correlacionadas la expresioacuten (8) queda como

(9)

Respuesta a Tres Componentes Siacutesmicas en Cualquier Direcci6n

Pasemos ahora a es tudiar una determinashyda respuesta a la accioacuten de un sismo con tres componentes ortogonales principales que pueshydan tomar cualquier direccioacuten en el espacio las cuales denominaremos U1bull U2 y U3 (Figura la) Nuestro objetivo por motivos de su convenienshycia en la praacutectica profesional seraacute el de expreshysarla en teacuterminos de las respuestas parciales calculadas seguacute n las direcciones de referencia de la estructura que Uamamos X y Y Z (Figushyra l a)

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130 Loacutepez y Hemaacutendez

doble surnatoria es ~ O La formulacioacuten cgc debe utilizarse siempre que existan modos con freshycuencias cercanas entre siacute y asiacute lo especifican las normas

Caso de varias componentes siacutesmicas no correlacionadas

Si actuacutean simultaacuteneamente n componentes siacutesmicas que no estaacuten correlacionadas entre siacute (p ej cuando las componentes siacutesmicas actuacutean seguacuten las direcciones principales del sismo) poshydemos estimar la respuesta cuadraacutetica conjunta 2 simplemente sumando las respuestas cuadraacuteshyticas correspondientes a cada componente siacutesmishyca k (k = 1 n) Se deriva de la suposicioacuten de que estamos ante procesos estocaacutesticos gaussianos independientes [ 11 J Suele llamarse la regIa de la rafz cuadrada de la suma de 108 cuadrados square-root-oJ-sum-oJ-squares (SRSS) Asiacute pues usando (1)

(2)

Caso de varias componentes siacutesmicas totalmente correlacionadas

Cuando actuacutean simultaacuteneamente n composhynentes siacutesmicas las cuales puedan suponerse que estaacuten totalmente correlacionadas el probleshyma equivale al de un solo sismo que se presenta descompuesto en esas n componentes Es el caso por ejemplo en que se quiera calcular la resshypuesta a una componente siacutesmica actuando en una direccioacuten inclinada del espacio 10 cual equishyvale al problema de calcular la respuesta a la acshycioacuten de sus tres componentes ortogonales que por tanto tienen correlacioacuten total entre ellas Para cada modo ila respuesta modal total es la suma algebraica de las n respuestas modales a cada componente siacutesmica

n

r = ~gtId (i = 1 m) (3) k

luego combinamos las diferentes respuestas moshydales totales mediante el criterio cgc (1) para obtener la respuesta cuadraacutetica global

(4)

Si ahora definimos la correlacioacuten de resshypuestas a las componentes s iacutesmicas k amp l totalshymente correlacionadas como

(5)

podemos expresar la respu esta cuadraacutetica gloshybal reemplazando (5 en (4)

(6)

Obseacutervese que la respuesta cuadraacutetica a una sola componente siacutesmica rk

2 (1) es un caso particular de la correlacioacuten de respuestas (5)

(7)

Utilizando (7) la expresioacuten (6) puede escrishybirse tambieacuten como

(8)

Es importante diferenciar entre la correlashycioacuten de las respuestas (riel) y la correlacioacuten de las componentes siacutesmicas Aunque estas uacuteltimas esshyteacuten totalmente correlacionadas la correlacioacuten de las respuestas puede ser pequentildea o incluso nula En el caso de 3 componentes siacutesmicas U 1)amp wtoshytalmente correlacionadas la expresioacuten (8) queda como

(9)

Respuesta a Tres Componentes Siacutesmicas en Cualquier Direcci6n

Pasemos ahora a es tudiar una determinashyda respuesta a la accioacuten de un sismo con tres componentes ortogonales principales que pueshydan tomar cualquier direccioacuten en el espacio las cuales denominaremos U1bull U2 y U3 (Figura la) Nuestro objetivo por motivos de su convenienshycia en la praacutectica profesional seraacute el de expreshysarla en teacuterminos de las respuestas parciales calculadas seguacute n las direcciones de referencia de la estructura que Uamamos X y Y Z (Figushyra l a)

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131 Criterio CQC3 para tres componentes siacutesmicas en cu alquier direccioacuten

a) z b) z

y

x x ji = ltP = 0deg

Figura 1 Direcciones principales de la estructura y de las componentes sismicas espaciales no correlacionadas a) caso general b) caso con lll1a componente principal en direccioacuten vertical

Como simplificacioacuten suponemos que en cada direccioacuten princlpalla accioacuten siacutesmica se pue shyde representar mediante un espectro proporcioshynal al espectro de una accioacuten siacutesmica patroacuten

siendo Yl Y2 Y Y3las respectivas intensidades esshypectrales respecto a dicho espectro patroacuten

Los resultados obtenidos son vaacutelidos indeshypendientemente de que se impongan o no limitashyciones a la direccioacuten o intensidad de alguna comshyponente sIacutesnuacuteca Sin embargo veremos que el ya conocido problema de la respuesta a 3 composhynentes siacutesmicas con la imposicioacuten de una composhynente vertical (Figura lb) es un caso particular relativamente maacutes sencillo

Combinaci6n cuadraacutetica completa generalizada con 3 componentes (GCQC3)

En primer lugar consideremos la accioacuten siacutesshymica dada por el espectro patroacuten actuando altershynativamente seguacuten cada direccioacuten de referencia (x y 2) de la estructura (Figura 2) Obtenemos las respuestas cuadraacuteticas para cada direccioacuten de aplicacioacuten rxx ryy rzz bull Ylas respectivas correlashyciones rxy r yz y rzx dadas por

m m

r = rxx = iquestiquest pyrgtjrfl J

rz 2

=rzz = II pyrttrg (10) J

y

t a) Sismo X b) Sismo Y e) Sismo Z

Figura 2 Ilustracioacuten de r r rcomo respuestas ante la componente patroacuten de espectro A

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132 Loacutepez y Hernaacutendez

m m

rxy =iquestiquestPgrllf= r lP I J

Tve = r = ~~ Pgrl (11) I J

donde rxi ryi y rzi son los valores de las respuesshytas parciales en el modo i ante el espectro patroacuten aplicado separadamente en las direcciones (x y z) respectivamente (FIgura 2)

Veamos ahora que la respuesta a cada comshyponente siacutesllUacuteca principal obrando en cualquier direccioacuten puede calcularse a partir estos paraacutemeshytros de respuesta referencial Luego podemos obtener la respuesta cuadraacutetica global a las 3 componentes prinCipales actuando simultaacuteneashymente las cuales por definiCioacuten no estaacuten correlashycionadas entre siacute Sean lil = (ulx U UI Z ) I

I V h =(~ ~Y ~z)tyM3 =(Usx Usy Usz) los vecshytores directores unitarios seguacuten las direcciones prinCipales del sismo La acCioacuten segUn cada una de las componentes principales equivale a la acshytuaCioacuten de tres sub-componentes ortogonales seshyguacuten X Y YZ totalmente correlacionadas pero de intensidades diferentes La accioacuten seguacuten lik

equivale a Ykuex veces la accioacuten siacutesmica patroacuten seguacuten el eje X maacutes YJcllky veces la accioacuten siacutesmica patroacuten seguacuten el eje y junto con Ykukz veces la acshycioacuten siacutesmJca patroacuten seguacuten el eje Z Multiplicando estas intensidades por las respuestas (a espectro patroacuten) de las foacutermulas (10) Y(11) Ysustituyendo los resultados en la expTesioacuten (9) asignando u v y w a cada sub-componente obtenemos

(12)

y dado que las tres componentes segUn UI y U2 Y U3 no estaacuten correlacionadas entre siacute podemos aplicar (2) para obtener la respuesta cuadraacutetica global bajo la accioacuten conjunta de dishychas componentes es decir ~ = riexclz + rz

2 + r reshysultando

(13)

A la expresioacuten (13) podemos denominarla Combinacioacuten Cuadraacutetica Completa Generalishyzada con 3 Componentes (GCQC3 por sus sishyglas en ingleacutes) pues representa una generalizashycioacuten de la CgC3 [7 9) la GCgC3 considera las tres componentes acluando en cualquier direcshycioacuten espacial mientras que la CgC3 considera una componente fija en la direccioacuten vertical Esto uacuteltimo corresponde a tomar el tercer vector direcshytor fijo como Y3 = (O O l)t por tanto los otros dos vectores son horizontales lil = (Ul x ul y O)t h =(~x ~Y O)t los cuales pueden variar de dishyrecCioacuten pero mantenieacutendose en el plano horizonshytal En ese caso no necesitamos suponer que el es pectro vertical sea proporcional al espectro pashytroacuten sino simplemente que la respuesta vertical es rz bajo su espectro Entonces con esos tres vectores directores la expresioacuten (13) se reduce a

(14)

Para comprobar que la expresioacuten (14) es equivalente a la foacutermula conocida de la CgC3 [7

9) consideremos los vectoresJl yh situados en el plano horizontal (Figura lb) fonnando un aacutenshygulo (J con los ejes de referencia X y Y Entonces lil =(cose sene O) t h =(-sene cose O)ty sustishytuyeacutendolos en (14) queda como expresioacuten para la respuesta cuadraacutetica global con sismo vertical

(15)

la cual es ideacutentica a la foacutermula CgC3 presentada en las referencias antedichas cuando y1 = l

La Ec (15) describe la variacioacuten de la resshypuesta cuadraacute tica con la orientacioacuten (O) de las compon entes horizontales del sismo En las Ref (9) y (12) se presenta una foacutermula explicitaque da el valor de las respuestas criticas maacutexima y miacuteshy

nima para el conjunto de valores del aacutengulo e Anaacutelogamente en relacioacuten con la GCQC3 (13) en

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133 Criterio CgC3 para tres componentes siacutesmicas en cualquier direccioacuten

Hernaacutendez y Loacutepez [131 se demuestra que las resshypuestas criticas ante tres componentes siacutesmicas pueden ser obtenidas a partir de los autovalores de la matriz de respuesta R que se define maacutes adelante

Ejemplo ilustrativo

A continuacioacuten ilustramos las expresiones obtenidas con un caso sencillo pero de caracteshyristicas reales Sea una plataforma cuadrada de un piso formada por una losa apoyada en cuatro vigas que a su vez apoyan en cuatro columnas (Figura 3) El mat rial de los elementos estructu shyrales es concreto armado con f e = 275 MPa La distancia entre columnas es de 6 metros y su al shytura 4 metros El espesor de la losa es 015 m la

seccioacuten de las vigas 040 ID x 065 m y las columshynas son de 060 m x 060 m La plataforma se di shysentildea para soportar equipos con una carga distrishybuida de 49 kN m2 en el aacuterea de la losa y una carga concentrada de 106 kN en el centro de la misma

Consideramos la estructura sometida a un sismo con tres componentes que pueden obrar seguacuten cualquier direccioacuten en el espacio La comshyponente UI tiene un espectro de disentildeo elaacutestico en teacuterminos de pseudoaceleracoacuten (F1gura 4) defi shynido para la aceleracioacuten velocidad y desplazashymientos picos del terreno iguales a 05 g 61 cmseg y 457 cm respectivamente percentile de 841 Y coeficiente de amortiguamiento de 5 Las componentes siacutesmlcas U 2 y U3 tienen esshypectros iguales a 065 y O50 veces el espectro anshyterior respectivamente valores justificados en estadiacutesticas de espectros [14 15) Entonces Yl =1 Y2 = 065 Y Y3 = 05

El sistema estructural se modeloacute en forma simplificada mediante el programa de computashycioacuten SAP90 [161 tomando 9 nodos desplazables de una malla de 2 x 2 metros en la losa para un total de 27 grados de libertad con elementos finishytos planos para la losa y elementos lineales para las vigas y columnas La respuesta r a estudiar consiste en la fuerza axial de la columna inferior Izquierda (Figura 3) En la Tabla 1 se exponen los periodos propios que resultan significativos para los movimientos traslacionales del terreno (X Y Z) con sus respectivas masas parttcipativas y las fuerzas axiales rik en cada modo i en respuesta a

y

600

600

I Unidades metros I

Figura 3 Planta de plataforma de un piso

Alg 15 ----------------~

I 10 shy

1

I 05

00 ------------------ ---

00 05 10 15 20

(seg)

Figura 4 Espectro elaacutestico de pseudoaceleraclones

cada componente siacutesmica k (X Y Z) bajo el esshypectro de la Figura 4

Con los valores modales aplicando las Ecs (10) y (11) calculamos las respuestas referenciashyles ante una componente siacutesmica y las correlashyciones entre esas respuestas

rx = 1058 kN ry = 1058 kN rz =871 kN

(16)

Obtengamos ahora las respuestas a la comshyponente siacutesmica patroacuten seguacuten las diferentes

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134 Loacutepez y Hemaacutendez

Tabla 1 Valores modales

Modo (t) TI Masas participatlvas () Respuestas a la componente siacutesmica (seg) Eatroacuten seguacuten X Y YZ (kN)

Otr X Otr y Otr Z

1

2

3

6

7

11

19

23

0176

0176

0 174

0 073

0073

0045

0 0102

00098

922

O

O

78

O

O

O

O

O

922

O

O

78

O

O

O

O

O

345

O

O

341

20

294

r jr

1056

O

O

62

O

O

O

O

rfy rz

O O

1056 O

O 756

O O

62 O

O 348

O 16

O 239

kN 175 - ------- ------ -bull- - bull _-__ -_ -__ __-- _bull

125

100

75

50

25

O ~-----+------------~L-__--~----------______----~____~ e 135 180middot 360middot

Figura 5 Respuesta seguacuten direccioacuten (8 ltpI de apuumlcacioacuten de una componente siacutesmica

direcciones del espacio mediante el vector unitashy entre ellas Del conjunto de casos de Yl inclinamiddot rio ul expresado mediante dos aacutengulos (Figu shy dos en el espacio la mayor respuesta graficada ra la) 8 =aacutengulo entre el eje Xy su proyeccioacuten en estaacute en ltp =30deg y 8 = 45deg con el valor r =16844 kN

el plano XY ltp =aacutengulo entre el vector u 1 Yel pla shy un 126 mayor que la maacutexima a componente noXY horizontal

Consideremos ahora la accioacuten de 3 composhyUl =(cos ti cos 11sen ti cos 11 sen 11) (17) nentes siacutesmicas ortogonales simultaacuteneas La poshy

s icioacuten de los vectores directores unitarios en el Por simetriacutea podemos limitarnos a analizar espacio puede expresarse mediante los 3 aacutengulos

la variacioacuten ltp eacute (0deg 90deg) junto con 8 eacute (0deg 360deg] (8 ltp jIl indicados en la Figura la siendo ji = aacutenshySustituyendo (17) y (l6) en (12) obtenemos la gulo entre el vector Ms y el eje vertical El vector MI fuerza axial en funcioacuten de 8 y ltp la cual se presenmiddot se indicoacute en (17) y los otros vectores son ta en la Figura 5 para incrementos discretos de 15deg en el valor de (p El caso ltp = 0deg corresponde a 2 = (-sen esec 11 cos 1f - 11 COS () sen 11 cos () sec IJ

las componentes horizontales siendo 8 = 45deg la que conduce a la mayor respuesta r = 14962 kN COS 1f - flSen () sen IJ + 11 cos IJ) (18)

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m m

rxy =iquestiquestPgrllf= r lP I J

Tve = r = ~~ Pgrl (11) I J

donde rxi ryi y rzi son los valores de las respuesshytas parciales en el modo i ante el espectro patroacuten aplicado separadamente en las direcciones (x y z) respectivamente (FIgura 2)

Veamos ahora que la respuesta a cada comshyponente siacutesllUacuteca principal obrando en cualquier direccioacuten puede calcularse a partir estos paraacutemeshytros de respuesta referencial Luego podemos obtener la respuesta cuadraacutetica global a las 3 componentes prinCipales actuando simultaacuteneashymente las cuales por definiCioacuten no estaacuten correlashycionadas entre siacute Sean lil = (ulx U UI Z ) I

I V h =(~ ~Y ~z)tyM3 =(Usx Usy Usz) los vecshytores directores unitarios seguacuten las direcciones prinCipales del sismo La acCioacuten segUn cada una de las componentes principales equivale a la acshytuaCioacuten de tres sub-componentes ortogonales seshyguacuten X Y YZ totalmente correlacionadas pero de intensidades diferentes La accioacuten seguacuten lik

equivale a Ykuex veces la accioacuten siacutesmica patroacuten seguacuten el eje X maacutes YJcllky veces la accioacuten siacutesmica patroacuten seguacuten el eje y junto con Ykukz veces la acshycioacuten siacutesmJca patroacuten seguacuten el eje Z Multiplicando estas intensidades por las respuestas (a espectro patroacuten) de las foacutermulas (10) Y(11) Ysustituyendo los resultados en la expTesioacuten (9) asignando u v y w a cada sub-componente obtenemos

(12)

y dado que las tres componentes segUn UI y U2 Y U3 no estaacuten correlacionadas entre siacute podemos aplicar (2) para obtener la respuesta cuadraacutetica global bajo la accioacuten conjunta de dishychas componentes es decir ~ = riexclz + rz

2 + r reshysultando

(13)

A la expresioacuten (13) podemos denominarla Combinacioacuten Cuadraacutetica Completa Generalishyzada con 3 Componentes (GCQC3 por sus sishyglas en ingleacutes) pues representa una generalizashycioacuten de la CgC3 [7 9) la GCgC3 considera las tres componentes acluando en cualquier direcshycioacuten espacial mientras que la CgC3 considera una componente fija en la direccioacuten vertical Esto uacuteltimo corresponde a tomar el tercer vector direcshytor fijo como Y3 = (O O l)t por tanto los otros dos vectores son horizontales lil = (Ul x ul y O)t h =(~x ~Y O)t los cuales pueden variar de dishyrecCioacuten pero mantenieacutendose en el plano horizonshytal En ese caso no necesitamos suponer que el es pectro vertical sea proporcional al espectro pashytroacuten sino simplemente que la respuesta vertical es rz bajo su espectro Entonces con esos tres vectores directores la expresioacuten (13) se reduce a

(14)

Para comprobar que la expresioacuten (14) es equivalente a la foacutermula conocida de la CgC3 [7

9) consideremos los vectoresJl yh situados en el plano horizontal (Figura lb) fonnando un aacutenshygulo (J con los ejes de referencia X y Y Entonces lil =(cose sene O) t h =(-sene cose O)ty sustishytuyeacutendolos en (14) queda como expresioacuten para la respuesta cuadraacutetica global con sismo vertical

(15)

la cual es ideacutentica a la foacutermula CgC3 presentada en las referencias antedichas cuando y1 = l

La Ec (15) describe la variacioacuten de la resshypuesta cuadraacute tica con la orientacioacuten (O) de las compon entes horizontales del sismo En las Ref (9) y (12) se presenta una foacutermula explicitaque da el valor de las respuestas criticas maacutexima y miacuteshy

nima para el conjunto de valores del aacutengulo e Anaacutelogamente en relacioacuten con la GCQC3 (13) en

Rev Teacutec lng Univ Zulla Vol 24 No 2 2001

133 Criterio CgC3 para tres componentes siacutesmicas en cualquier direccioacuten

Hernaacutendez y Loacutepez [131 se demuestra que las resshypuestas criticas ante tres componentes siacutesmicas pueden ser obtenidas a partir de los autovalores de la matriz de respuesta R que se define maacutes adelante

Ejemplo ilustrativo

A continuacioacuten ilustramos las expresiones obtenidas con un caso sencillo pero de caracteshyristicas reales Sea una plataforma cuadrada de un piso formada por una losa apoyada en cuatro vigas que a su vez apoyan en cuatro columnas (Figura 3) El mat rial de los elementos estructu shyrales es concreto armado con f e = 275 MPa La distancia entre columnas es de 6 metros y su al shytura 4 metros El espesor de la losa es 015 m la

seccioacuten de las vigas 040 ID x 065 m y las columshynas son de 060 m x 060 m La plataforma se di shysentildea para soportar equipos con una carga distrishybuida de 49 kN m2 en el aacuterea de la losa y una carga concentrada de 106 kN en el centro de la misma

Consideramos la estructura sometida a un sismo con tres componentes que pueden obrar seguacuten cualquier direccioacuten en el espacio La comshyponente UI tiene un espectro de disentildeo elaacutestico en teacuterminos de pseudoaceleracoacuten (F1gura 4) defi shynido para la aceleracioacuten velocidad y desplazashymientos picos del terreno iguales a 05 g 61 cmseg y 457 cm respectivamente percentile de 841 Y coeficiente de amortiguamiento de 5 Las componentes siacutesmlcas U 2 y U3 tienen esshypectros iguales a 065 y O50 veces el espectro anshyterior respectivamente valores justificados en estadiacutesticas de espectros [14 15) Entonces Yl =1 Y2 = 065 Y Y3 = 05

El sistema estructural se modeloacute en forma simplificada mediante el programa de computashycioacuten SAP90 [161 tomando 9 nodos desplazables de una malla de 2 x 2 metros en la losa para un total de 27 grados de libertad con elementos finishytos planos para la losa y elementos lineales para las vigas y columnas La respuesta r a estudiar consiste en la fuerza axial de la columna inferior Izquierda (Figura 3) En la Tabla 1 se exponen los periodos propios que resultan significativos para los movimientos traslacionales del terreno (X Y Z) con sus respectivas masas parttcipativas y las fuerzas axiales rik en cada modo i en respuesta a

y

600

600

I Unidades metros I

Figura 3 Planta de plataforma de un piso

Alg 15 ----------------~

I 10 shy

1

I 05

00 ------------------ ---

00 05 10 15 20

(seg)

Figura 4 Espectro elaacutestico de pseudoaceleraclones

cada componente siacutesmica k (X Y Z) bajo el esshypectro de la Figura 4

Con los valores modales aplicando las Ecs (10) y (11) calculamos las respuestas referenciashyles ante una componente siacutesmica y las correlashyciones entre esas respuestas

rx = 1058 kN ry = 1058 kN rz =871 kN

(16)

Obtengamos ahora las respuestas a la comshyponente siacutesmica patroacuten seguacuten las diferentes

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134 Loacutepez y Hemaacutendez

Tabla 1 Valores modales

Modo (t) TI Masas participatlvas () Respuestas a la componente siacutesmica (seg) Eatroacuten seguacuten X Y YZ (kN)

Otr X Otr y Otr Z

1

2

3

6

7

11

19

23

0176

0176

0 174

0 073

0073

0045

0 0102

00098

922

O

O

78

O

O

O

O

O

922

O

O

78

O

O

O

O

O

345

O

O

341

20

294

r jr

1056

O

O

62

O

O

O

O

rfy rz

O O

1056 O

O 756

O O

62 O

O 348

O 16

O 239

kN 175 - ------- ------ -bull- - bull _-__ -_ -__ __-- _bull

125

100

75

50

25

O ~-----+------------~L-__--~----------______----~____~ e 135 180middot 360middot

Figura 5 Respuesta seguacuten direccioacuten (8 ltpI de apuumlcacioacuten de una componente siacutesmica

direcciones del espacio mediante el vector unitashy entre ellas Del conjunto de casos de Yl inclinamiddot rio ul expresado mediante dos aacutengulos (Figu shy dos en el espacio la mayor respuesta graficada ra la) 8 =aacutengulo entre el eje Xy su proyeccioacuten en estaacute en ltp =30deg y 8 = 45deg con el valor r =16844 kN

el plano XY ltp =aacutengulo entre el vector u 1 Yel pla shy un 126 mayor que la maacutexima a componente noXY horizontal

Consideremos ahora la accioacuten de 3 composhyUl =(cos ti cos 11sen ti cos 11 sen 11) (17) nentes siacutesmicas ortogonales simultaacuteneas La poshy

s icioacuten de los vectores directores unitarios en el Por simetriacutea podemos limitarnos a analizar espacio puede expresarse mediante los 3 aacutengulos

la variacioacuten ltp eacute (0deg 90deg) junto con 8 eacute (0deg 360deg] (8 ltp jIl indicados en la Figura la siendo ji = aacutenshySustituyendo (17) y (l6) en (12) obtenemos la gulo entre el vector Ms y el eje vertical El vector MI fuerza axial en funcioacuten de 8 y ltp la cual se presenmiddot se indicoacute en (17) y los otros vectores son ta en la Figura 5 para incrementos discretos de 15deg en el valor de (p El caso ltp = 0deg corresponde a 2 = (-sen esec 11 cos 1f - 11 COS () sen 11 cos () sec IJ

las componentes horizontales siendo 8 = 45deg la que conduce a la mayor respuesta r = 14962 kN COS 1f - flSen () sen IJ + 11 cos IJ) (18)

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133 Criterio CgC3 para tres componentes siacutesmicas en cualquier direccioacuten

Hernaacutendez y Loacutepez [131 se demuestra que las resshypuestas criticas ante tres componentes siacutesmicas pueden ser obtenidas a partir de los autovalores de la matriz de respuesta R que se define maacutes adelante

Ejemplo ilustrativo

A continuacioacuten ilustramos las expresiones obtenidas con un caso sencillo pero de caracteshyristicas reales Sea una plataforma cuadrada de un piso formada por una losa apoyada en cuatro vigas que a su vez apoyan en cuatro columnas (Figura 3) El mat rial de los elementos estructu shyrales es concreto armado con f e = 275 MPa La distancia entre columnas es de 6 metros y su al shytura 4 metros El espesor de la losa es 015 m la

seccioacuten de las vigas 040 ID x 065 m y las columshynas son de 060 m x 060 m La plataforma se di shysentildea para soportar equipos con una carga distrishybuida de 49 kN m2 en el aacuterea de la losa y una carga concentrada de 106 kN en el centro de la misma

Consideramos la estructura sometida a un sismo con tres componentes que pueden obrar seguacuten cualquier direccioacuten en el espacio La comshyponente UI tiene un espectro de disentildeo elaacutestico en teacuterminos de pseudoaceleracoacuten (F1gura 4) defi shynido para la aceleracioacuten velocidad y desplazashymientos picos del terreno iguales a 05 g 61 cmseg y 457 cm respectivamente percentile de 841 Y coeficiente de amortiguamiento de 5 Las componentes siacutesmlcas U 2 y U3 tienen esshypectros iguales a 065 y O50 veces el espectro anshyterior respectivamente valores justificados en estadiacutesticas de espectros [14 15) Entonces Yl =1 Y2 = 065 Y Y3 = 05

El sistema estructural se modeloacute en forma simplificada mediante el programa de computashycioacuten SAP90 [161 tomando 9 nodos desplazables de una malla de 2 x 2 metros en la losa para un total de 27 grados de libertad con elementos finishytos planos para la losa y elementos lineales para las vigas y columnas La respuesta r a estudiar consiste en la fuerza axial de la columna inferior Izquierda (Figura 3) En la Tabla 1 se exponen los periodos propios que resultan significativos para los movimientos traslacionales del terreno (X Y Z) con sus respectivas masas parttcipativas y las fuerzas axiales rik en cada modo i en respuesta a

y

600

600

I Unidades metros I

Figura 3 Planta de plataforma de un piso

Alg 15 ----------------~

I 10 shy

1

I 05

00 ------------------ ---

00 05 10 15 20

(seg)

Figura 4 Espectro elaacutestico de pseudoaceleraclones

cada componente siacutesmica k (X Y Z) bajo el esshypectro de la Figura 4

Con los valores modales aplicando las Ecs (10) y (11) calculamos las respuestas referenciashyles ante una componente siacutesmica y las correlashyciones entre esas respuestas

rx = 1058 kN ry = 1058 kN rz =871 kN

(16)

Obtengamos ahora las respuestas a la comshyponente siacutesmica patroacuten seguacuten las diferentes

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134 Loacutepez y Hemaacutendez

Tabla 1 Valores modales

Modo (t) TI Masas participatlvas () Respuestas a la componente siacutesmica (seg) Eatroacuten seguacuten X Y YZ (kN)

Otr X Otr y Otr Z

1

2

3

6

7

11

19

23

0176

0176

0 174

0 073

0073

0045

0 0102

00098

922

O

O

78

O

O

O

O

O

922

O

O

78

O

O

O

O

O

345

O

O

341

20

294

r jr

1056

O

O

62

O

O

O

O

rfy rz

O O

1056 O

O 756

O O

62 O

O 348

O 16

O 239

kN 175 - ------- ------ -bull- - bull _-__ -_ -__ __-- _bull

125

100

75

50

25

O ~-----+------------~L-__--~----------______----~____~ e 135 180middot 360middot

Figura 5 Respuesta seguacuten direccioacuten (8 ltpI de apuumlcacioacuten de una componente siacutesmica

direcciones del espacio mediante el vector unitashy entre ellas Del conjunto de casos de Yl inclinamiddot rio ul expresado mediante dos aacutengulos (Figu shy dos en el espacio la mayor respuesta graficada ra la) 8 =aacutengulo entre el eje Xy su proyeccioacuten en estaacute en ltp =30deg y 8 = 45deg con el valor r =16844 kN

el plano XY ltp =aacutengulo entre el vector u 1 Yel pla shy un 126 mayor que la maacutexima a componente noXY horizontal

Consideremos ahora la accioacuten de 3 composhyUl =(cos ti cos 11sen ti cos 11 sen 11) (17) nentes siacutesmicas ortogonales simultaacuteneas La poshy

s icioacuten de los vectores directores unitarios en el Por simetriacutea podemos limitarnos a analizar espacio puede expresarse mediante los 3 aacutengulos

la variacioacuten ltp eacute (0deg 90deg) junto con 8 eacute (0deg 360deg] (8 ltp jIl indicados en la Figura la siendo ji = aacutenshySustituyendo (17) y (l6) en (12) obtenemos la gulo entre el vector Ms y el eje vertical El vector MI fuerza axial en funcioacuten de 8 y ltp la cual se presenmiddot se indicoacute en (17) y los otros vectores son ta en la Figura 5 para incrementos discretos de 15deg en el valor de (p El caso ltp = 0deg corresponde a 2 = (-sen esec 11 cos 1f - 11 COS () sen 11 cos () sec IJ

las componentes horizontales siendo 8 = 45deg la que conduce a la mayor respuesta r = 14962 kN COS 1f - flSen () sen IJ + 11 cos IJ) (18)

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134 Loacutepez y Hemaacutendez

Tabla 1 Valores modales

Modo (t) TI Masas participatlvas () Respuestas a la componente siacutesmica (seg) Eatroacuten seguacuten X Y YZ (kN)

Otr X Otr y Otr Z

1

2

3

6

7

11

19

23

0176

0176

0 174

0 073

0073

0045

0 0102

00098

922

O

O

78

O

O

O

O

O

922

O

O

78

O

O

O

O

O

345

O

O

341

20

294

r jr

1056

O

O

62

O

O

O

O

rfy rz

O O

1056 O

O 756

O O

62 O

O 348

O 16

O 239

kN 175 - ------- ------ -bull- - bull _-__ -_ -__ __-- _bull

125

100

75

50

25

O ~-----+------------~L-__--~----------______----~____~ e 135 180middot 360middot

Figura 5 Respuesta seguacuten direccioacuten (8 ltpI de apuumlcacioacuten de una componente siacutesmica

direcciones del espacio mediante el vector unitashy entre ellas Del conjunto de casos de Yl inclinamiddot rio ul expresado mediante dos aacutengulos (Figu shy dos en el espacio la mayor respuesta graficada ra la) 8 =aacutengulo entre el eje Xy su proyeccioacuten en estaacute en ltp =30deg y 8 = 45deg con el valor r =16844 kN

el plano XY ltp =aacutengulo entre el vector u 1 Yel pla shy un 126 mayor que la maacutexima a componente noXY horizontal

Consideremos ahora la accioacuten de 3 composhyUl =(cos ti cos 11sen ti cos 11 sen 11) (17) nentes siacutesmicas ortogonales simultaacuteneas La poshy

s icioacuten de los vectores directores unitarios en el Por simetriacutea podemos limitarnos a analizar espacio puede expresarse mediante los 3 aacutengulos

la variacioacuten ltp eacute (0deg 90deg) junto con 8 eacute (0deg 360deg] (8 ltp jIl indicados en la Figura la siendo ji = aacutenshySustituyendo (17) y (l6) en (12) obtenemos la gulo entre el vector Ms y el eje vertical El vector MI fuerza axial en funcioacuten de 8 y ltp la cual se presenmiddot se indicoacute en (17) y los otros vectores son ta en la Figura 5 para incrementos discretos de 15deg en el valor de (p El caso ltp = 0deg corresponde a 2 = (-sen esec 11 cos 1f - 11 COS () sen 11 cos () sec IJ

las componentes horizontales siendo 8 = 45deg la que conduce a la mayor respuesta r = 14962 kN COS 1f - flSen () sen IJ + 11 cos IJ) (18)

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135 Criterio CgC3 para tres componentes siacutesmicas en cualquier direccioacuten

kN (a) V =0deg kN (b) V = 30deg 175 r--------------- 175

150

125

100

75 e 75 S Omiddot 450 900

0deg 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 360 1350 1800 2250 2700 3150 3600

kN (e) V =60deg kN (d) V = 90deg 175

150

125

100

1 qgt =30deg qgt =45deg qgt 75 S 75 e

00 45 0 900 135 1800 225 2700 3150 360middot Omiddot 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600

cp F 15deg cp =30deg

i

~

=60middot

175

125

Figura 6 Respuesta seguacuten direccioacuten (8 ltp ji de aplicacioacuten de tres componentes siacutesmicas

con y = 1 Y2 =065 Y y = 05

3 = (-cosOtan~coS1) + i sen8-sen O tan ~

cos J - i COS O cos tp1 donde (19)

(20)

En la expresioacuten (20) se observa el requisito

de que debe ser ttan JI~ ttan IJI

Por sirnetrias basta con analizar los rangos O E rOo 3600

) ltp E (0deg 90deg) Y ji E (0deg 900 J Susshytituyendo (17) (19) (20) Y (21) en (14) obtenemos las respuestas mediante la GCgC3 en funcioacuten de los tres aacutengulos En la Figura 6 se presentan las mismas incrementando ltp y ji en tramos discretos de 15deg y 30deg respectivamente La Figura 6a

ltp = ji = 0 0 corresponde a la situacioacuten de la tercera

componente siacutesmica vertical o sea es el caso de la

CQC3 Para eacutel la respuesta maacutexima es r = 15583 kN cuando 8 = 45deg Cuando las tres componentes siacutesmicas variacutean en todo el espacio (Figura 6b a 6d) la maacuteximarespuesta es r = 17044 kN cuando ji = 90deg ltp = 30deg Y 8 = 45deg Y la miacutenima r= 8819 kN cuando ji = 60deg ltp = 0deg y 8 = 135deg La respuesta maacutexima es poco mayor que la obtenida con una sola componente siacutesmica inclinada Noacutetese que para la respuesta maacutexima la componente menos intensa (3) queda hOrizontal seguacuten la direccioacuten en que la respuesta a una componente es nula (Figura 5)

Expresiones matriciales de las respuestas y sus correlaciones

Deflnimos ordf como matriz de respuestas a la componente siacutesmica patroacuten actuando altershynadamente seguacuten los ejes X Y YZ

Rev Teacutec lng Univ Zulla Vol 24 No 2 2001

136 Loacutepez y Hernaacutendez

ra R = r (21 )- [ IX

r

Sea cualquier vector unitario en el espado y = (lLx Uy ui a lo largo del cual actuacutea una

componente siacutesmica de intensidad espectral yu

respecto a la patroacuten Por analogiacutea con (12)

(22)

Sea otro vector unitarto l = (vx Vy bull vi seshyguacuten el cual actuacutea una accioacuten siacutesmica de intensI shy

dad Yv respecto a la patroacuten totalmente correlashycionada con la de la direccioacuten J La correlacioacuten r uv viene a ser

(23)

Veamos ahora como se abrevian las expreshysiones de la respuesta cuadraacutetica global a 3 componentes siacutesmicas principales La expresioacuten (12) viene a ser mediante (22) y (23)

(24)

Y por tanto la foacutermula (13) se puede escri shybir simplemente como

3

r 2 = iquest Y~ordfh (GCgC3) (25) kl

Conclusiones

Se ha desarrollado una foacutermula explicita para el caacutelculo de la respuesta estructural ante las tres componentes principales del sismo las cuales puedan tener cualquier orientacioacuten con respecto a las direcciones de referencia de la esshytructura Esta foacutermula llamada GCgC3 consti shytuye una extensioacuten del conocido criterio de la Combinacioacuten Cuadraacutetica Completa con 3 Comshyponentes (CgC3) y permJte la incorporacioacuten de la posibilidad de que las componentes s iacutesmicas principales no esten situadas exactamente en el plano horizontal y el eje vertical sino que sean quasi-hortzontales y quasi-vertical

Se presentoacute un ejem plo de la influencia de la desviacioacuten de una componente siacutesmica princishypal respecto a la vertical en la respuesta de una estructura algo sens ible a la misma

Se desarrollaron expresiones matriciales compactas de las respuestas a una y a tres comshyponentes siacutesmicas actuando en cualquier direc shycioacuten

Agradecimientos

Los autores quieren dejar constancia de su agradecimiento al Consejo de Desarrollo Cientiacutefishyco y Humaniacutestico de la Universidad Central de Venezuela y a la Coordinacioacuten de Investigacioacuten de la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Central de Venezuela por su contribucioacuten al fishynanciamiento de esta investigacioacuten

Referencias Bibliograacuteficas

l Penzien J and Watabe M Characteristlcs of 3 -dImension al earthquake ground moshytion Earthquake Engineertng and StrucshyturaJ Dynamics Vol 3 (1975) 365-374

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3 National Geophysical Data Center Earthshyquake Strong Motion (1996) Boulder Colorado

4 Marsan P Milana G Pugliese A and Sano T Local Amplification Effects TCshy

corded by a Local Strong Motion Network durtng the 1997 Umbrla-Marche Eartb shy

12thquake World COIUacuteerence on Earth shyquake Engineering (2000) New Zealand

5 lntemational Conference of Building Offlshycials JCBO 1997 Uniform Bullding Code Volume 2 Structural Engtneertng Design Provisions Whittier (1997) CA 492 pp

6 Smeby W and Der Kiureghian A Modal Combinatlon Rules for Multicomponent Earthquake Excitatlon Earthquake En gishyneeling and Structural DynamiCS 13 (1985) p 1- 12

7 Menun C and Der Kiureghian A A Reshyplacement for the 30 40 and SRSS Ru les

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for Multicomponent Seismic Analysis Earthquake Spectra 14 W 1 (1998) p 153-1 56

8 Lopez O A and Torres R The critical anshygle of selsmlc incidence and the maximurn structural response Earthquake Engrg and Struct Dyn 26 (1997) p 881-894

9 Loacutepez O A Chopra A K and Hemaacutendez J J The signtlicance of the direction on tbe structural response 12th World Conference on Earthquake Engineerlng (2000) New Zeashyland

10 Wilson E L Der Kiureghian A and Bayo E P ~A replacement for the SRSS method in seismic analysis Earthquake Engineering and Structural Dynamics 9 (198 1) p 87- 194

11 Newmark N and Rosenblueth E ~Fundashymentals of Earthquake Engtneering Prenshytice Hall1nc Englewood Cliffs (1971) N J

12 Loacutepez O A y Hemaacutendez J J Crtterios para combinar respuestas ante dos composhynentes siacutesmicas Revista Teacutecnica Facultad

de Ingenieriacutea Universidad del Zulla (2000) propuesto para publicacioacuten

13 Hernaacutendez J J and Loacutepez O A Response to Three-component Seismic Motion of Arbl shytrary Direction Earthquake Engineering and Structural Dynamics (2001) accepted for publication

14 Loacutepez O A Hernaacutendez J J Y Raven E Al shygunas propiedades de las tres componentes siacutesmicas prtncipales en preparacioacuten (2001)

15 Bozorgnia Y Campbell K W and Nlaz1 M Observed spectral characterlstics ofvertical ground motion recorded during worldwtde earthquakes from 1957 to 1995 Proc 12th World Conf Earthq Eng 26714 (2000) New Zealand

16 Computers amp Structures Inc SAP90 Comshyputers Program Berkeley California (1989)

Recibido el 9 de Octubre de 2000

En forma revisada el 17 de Abril de 200 1

Rev Teacutec Ing Unlv Zulla Vol 24 No 2 2001

136 Loacutepez y Hernaacutendez

ra R = r (21 )- [ IX

r

Sea cualquier vector unitario en el espado y = (lLx Uy ui a lo largo del cual actuacutea una

componente siacutesmica de intensidad espectral yu

respecto a la patroacuten Por analogiacutea con (12)

(22)

Sea otro vector unitarto l = (vx Vy bull vi seshyguacuten el cual actuacutea una accioacuten siacutesmica de intensI shy

dad Yv respecto a la patroacuten totalmente correlashycionada con la de la direccioacuten J La correlacioacuten r uv viene a ser

(23)

Veamos ahora como se abrevian las expreshysiones de la respuesta cuadraacutetica global a 3 componentes siacutesmicas principales La expresioacuten (12) viene a ser mediante (22) y (23)

(24)

Y por tanto la foacutermula (13) se puede escri shybir simplemente como

3

r 2 = iquest Y~ordfh (GCgC3) (25) kl

Conclusiones

Se ha desarrollado una foacutermula explicita para el caacutelculo de la respuesta estructural ante las tres componentes principales del sismo las cuales puedan tener cualquier orientacioacuten con respecto a las direcciones de referencia de la esshytructura Esta foacutermula llamada GCgC3 consti shytuye una extensioacuten del conocido criterio de la Combinacioacuten Cuadraacutetica Completa con 3 Comshyponentes (CgC3) y permJte la incorporacioacuten de la posibilidad de que las componentes s iacutesmicas principales no esten situadas exactamente en el plano horizontal y el eje vertical sino que sean quasi-hortzontales y quasi-vertical

Se presentoacute un ejem plo de la influencia de la desviacioacuten de una componente siacutesmica princishypal respecto a la vertical en la respuesta de una estructura algo sens ible a la misma

Se desarrollaron expresiones matriciales compactas de las respuestas a una y a tres comshyponentes siacutesmicas actuando en cualquier direc shycioacuten

Agradecimientos

Los autores quieren dejar constancia de su agradecimiento al Consejo de Desarrollo Cientiacutefishyco y Humaniacutestico de la Universidad Central de Venezuela y a la Coordinacioacuten de Investigacioacuten de la Facultad de Ingenieriacutea de la Universidad Central de Venezuela por su contribucioacuten al fishynanciamiento de esta investigacioacuten

Referencias Bibliograacuteficas

l Penzien J and Watabe M Characteristlcs of 3 -dImension al earthquake ground moshytion Earthquake Engineertng and StrucshyturaJ Dynamics Vol 3 (1975) 365-374

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4 Marsan P Milana G Pugliese A and Sano T Local Amplification Effects TCshy

corded by a Local Strong Motion Network durtng the 1997 Umbrla-Marche Eartb shy

12thquake World COIUacuteerence on Earth shyquake Engineering (2000) New Zealand

5 lntemational Conference of Building Offlshycials JCBO 1997 Uniform Bullding Code Volume 2 Structural Engtneertng Design Provisions Whittier (1997) CA 492 pp

6 Smeby W and Der Kiureghian A Modal Combinatlon Rules for Multicomponent Earthquake Excitatlon Earthquake En gishyneeling and Structural DynamiCS 13 (1985) p 1- 12

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Rev Teacutec Ing Univ Zulla Vol 24 No 2 2001

137 Criterio CQC3 para tres componentes siacutesmicas en cualquier direccioacuten

for Multicomponent Seismic Analysis Earthquake Spectra 14 W 1 (1998) p 153-1 56

8 Lopez O A and Torres R The critical anshygle of selsmlc incidence and the maximurn structural response Earthquake Engrg and Struct Dyn 26 (1997) p 881-894

9 Loacutepez O A Chopra A K and Hemaacutendez J J The signtlicance of the direction on tbe structural response 12th World Conference on Earthquake Engineerlng (2000) New Zeashyland

10 Wilson E L Der Kiureghian A and Bayo E P ~A replacement for the SRSS method in seismic analysis Earthquake Engineering and Structural Dynamics 9 (198 1) p 87- 194

11 Newmark N and Rosenblueth E ~Fundashymentals of Earthquake Engtneering Prenshytice Hall1nc Englewood Cliffs (1971) N J

12 Loacutepez O A y Hemaacutendez J J Crtterios para combinar respuestas ante dos composhynentes siacutesmicas Revista Teacutecnica Facultad

de Ingenieriacutea Universidad del Zulla (2000) propuesto para publicacioacuten

13 Hernaacutendez J J and Loacutepez O A Response to Three-component Seismic Motion of Arbl shytrary Direction Earthquake Engineering and Structural Dynamics (2001) accepted for publication

14 Loacutepez O A Hernaacutendez J J Y Raven E Al shygunas propiedades de las tres componentes siacutesmicas prtncipales en preparacioacuten (2001)

15 Bozorgnia Y Campbell K W and Nlaz1 M Observed spectral characterlstics ofvertical ground motion recorded during worldwtde earthquakes from 1957 to 1995 Proc 12th World Conf Earthq Eng 26714 (2000) New Zealand

16 Computers amp Structures Inc SAP90 Comshyputers Program Berkeley California (1989)

Recibido el 9 de Octubre de 2000

En forma revisada el 17 de Abril de 200 1

Rev Teacutec Ing Unlv Zulla Vol 24 No 2 2001

137 Criterio CQC3 para tres componentes siacutesmicas en cualquier direccioacuten

for Multicomponent Seismic Analysis Earthquake Spectra 14 W 1 (1998) p 153-1 56

8 Lopez O A and Torres R The critical anshygle of selsmlc incidence and the maximurn structural response Earthquake Engrg and Struct Dyn 26 (1997) p 881-894

9 Loacutepez O A Chopra A K and Hemaacutendez J J The signtlicance of the direction on tbe structural response 12th World Conference on Earthquake Engineerlng (2000) New Zeashyland

10 Wilson E L Der Kiureghian A and Bayo E P ~A replacement for the SRSS method in seismic analysis Earthquake Engineering and Structural Dynamics 9 (198 1) p 87- 194

11 Newmark N and Rosenblueth E ~Fundashymentals of Earthquake Engtneering Prenshytice Hall1nc Englewood Cliffs (1971) N J

12 Loacutepez O A y Hemaacutendez J J Crtterios para combinar respuestas ante dos composhynentes siacutesmicas Revista Teacutecnica Facultad

de Ingenieriacutea Universidad del Zulla (2000) propuesto para publicacioacuten

13 Hernaacutendez J J and Loacutepez O A Response to Three-component Seismic Motion of Arbl shytrary Direction Earthquake Engineering and Structural Dynamics (2001) accepted for publication

14 Loacutepez O A Hernaacutendez J J Y Raven E Al shygunas propiedades de las tres componentes siacutesmicas prtncipales en preparacioacuten (2001)

15 Bozorgnia Y Campbell K W and Nlaz1 M Observed spectral characterlstics ofvertical ground motion recorded during worldwtde earthquakes from 1957 to 1995 Proc 12th World Conf Earthq Eng 26714 (2000) New Zealand

16 Computers amp Structures Inc SAP90 Comshyputers Program Berkeley California (1989)

Recibido el 9 de Octubre de 2000

En forma revisada el 17 de Abril de 200 1

Rev Teacutec Ing Unlv Zulla Vol 24 No 2 2001