Date post: | 11-Apr-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | api-3702571 |
View: | 1,348 times |
Download: | 12 times |
Theory and Background
������������� �����������������
Table of Contents
Part I Signal processing
Chapter 1 Spectral processing��� ������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������
��� �������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��� ������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������
����� ������ ������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������ ������������������������������������������������������������������������������������
���������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������!"������ �#��������������������������������������������������������������������������
����������������$��� �#������������������������������������������������������������������������������
����������������!����� �%����������������������������������������������������������������������������
��& �'������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������
��# (���������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 2 Structural dynamics testing��� �������������� �&������������������������������������������������������������������������������������������������
��� ���$��������� �#������������������������������������������������������������������������������������������������
��� ����"����������� �%������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 3 Functions��� )�$����$����!"������ ������������������������������������������������������������������������������������
)�$��(����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������
�"����������� ������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������
*������$ �&��������������������������������������������������������������������������������������������������������
+��,�,����������� �&����������������������������������������������������������������������������������������
+��,�,����������,"��� �&��������������������������������������������������������������������������������
��� -��."�������$����!"������ �/������������������������������������������������������������������������
����"$ �/����������������������������������������������������������������������������������������������������������
�"������� ����"$ �%������������������������������������������������������������������������������������
����������������"$ ��������������������������������������������������������������������������������������
�������� �0������������������������������������������������������������������������������������������������������
+�����������$������ ����� &�����������������������������������������������������������������������
-��."�����(��������-"����� &�����������������������������������������������������������������������
�$�"����(������� &&������������������������������������������������������������������������������������������
��� ��$������ !"������ &/��������������������������������������������������������������������������������������
1'��������'���21�3 &/������������������������������������������������������������������������������������������
-��."����������� &/������������������������������������������������������������������������������������������
1������������ &�������������������������������������������������������������������������������������������������
1��'��������� &�����������������������������������������������������������������������������������������������
��& 4��� &0����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��# ($������"������ #���������������������������������������������������������������������������������������������
Part II Acoustics and Sound Quality
Chapter 4 Terminology and definitions&�� ���"����."������ #/����������������������������������������������������������������������������������������
�"���������2+3 #/�������������������������������������������������������������������������������������������� �"��������"�� #/������������������������������������������������������������������������������������������������ �"���2���"���3� ������� #/����������������������������������������������������������������������������-����!���� #%��������������������������������������������������������������������������������������������������������+�������'������ #��������������������������������������������������������������������������������������������������"�����$��������253 #0��������������������������������������������������������������������������������
&�� (�!���������������� /����������������������������������������������������������������������������������������6������ /������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �"�����������'����� /�������������������������������������������������������������������������������������+�������'���������'����' /��������������������������������������������������������������������������������� �"���2���"���3�����������'����� /��������������������������������������������������������������� �"��������"�����'����+ /���������������������������������������������������������������������������������
&�� 1��'��,���� /���������������������������������������������������������������������������������������������������&�& ���"����������� /&������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 5 Acoustic measurements#�� ���"����$���"��$���!"������ /�������������������������������������������������������������������
�"��������"�����'�� /��������������������������������������������������������������������������������������� �"���������� /�����������������������������������������������������������������������������������������������(����"��� ������� /0������������������������������������������������������������������������������������������+����"��������"���������������7 %�������������������������������������������������������������������
#�� ����"�������!����"����."������ %�����������������������������������������������������������������#�� ���"����$���"��$����"�!���� %&��������������������������������������������������������������������
���"����� 1��������� %&����������������������������������������������������������������������������������#�& -��."�����,���� %/��������������������������������������������������������������������������������������������#�# -����� ��������� %%����������������������������������������������������������������������������������������������
-��� �"���!������$������'����,������������� %%��������������������������������������������-��� "�!���������"��8���������������� %%����������������������������������������������������-���9����'����������������������� %�������������������������������������������������������������-&��9��8"��!��$����������� %0����������������������������������������������������������������������#�#�� )��������� %0����������������������������������������������������������������������������������������������"��$���$������."��� ������������������������������������������������������������������������
Chapter 6 Sound quality/�� )��,��������������!� �"���:"���� �&����������������������������������������������������������
�"���������� �&��������������������������������������������������������������������������������������������������)�������������!���"����,����"$������ �#����������������������������������������������6���"���������� �/�������������������������������������������������������������������������������������������� �"������������ �/����������������������������������������������������������������������������������������������"����� �%����������������������������������������������������������������������������������������������������������+�� �%������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� �0����������������������������������������������������������������������������������������������������������)�$�������!!��� 0���������������������������������������������������������������������������������������������
/�� �"���."������������� 0�����������������������������������������������������������������������������������������������!���"���������� 0�������������������������������������������������������������������������������6���"����������������������,��� 0�������������������������������������������������������������������
/�� (���������� 0#������������������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 7 Sound metrics%�� �"��������"�����'�� �����������������������������������������������������������������������������������������
)�$����$������"��������"�����'�� �����������������������������������������������������������������%�� ;."�'�������"��������"�����'�� �����������������������������������������������������������������������%�� ��"����� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������
%���� �'���������<� �������������������������������������������������������������������������������������%���� �'���������<�� ��&��������������������������������������������������������������������������������%���� ��"������5������ ��&������������������������������������������������������������������������������
%�& ������� ��%��������������������������������������������������������������������������������������������������������%�# (�"����� ��0������������������������������������������������������������������������������������������������������%�/ -�"�"���������� �����������������������������������������������������������������������������������������%�% +�� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�� ����"����������7�2��3 �������������������������������������������������������������������������������������%�0 ���������!���������'���2 ��=�+ ��3 ��&����������������������������������������������������������%��� �$�"���'����� ��#��������������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 8 Acoustic holography��� �����"���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���"�������������������� ��0����������������������������������������������������������������������
)�$�����������������!��."���� ��0�������������������������������������������������������������������� "$$������!���������'�� �������������������������������������������������������������������������������+���������������'����������'�� �����������������������������������������������������������������26���3������������������������ ��&��������������������������������������������������������������)�� ������!�������������*��������� ��#������������������������������������������������������'������!��������"����."������ ��/��������������������������������������������������������
Part III Time data processing
Chapter 9 Statistical functions����$"$=�$�7�$"$=������������7��$"$ ��������������������������������������������������� "$ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������(���$�����."��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������!���� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������+��������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������<����������������������'������ �������������������������������������������������������������������������,���"����'������ ��&������������������������������������������������������������������������������;7��$����'����� ��&������������������������������������������������������������������������������������������ ������� ��&����������������������������������������������������������������������������������������������������������>"����� ��#�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������'����������� ��/������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 10 Time frequency analysis���� �����"���� �&��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������� �$�8!��."����� ������������� �&�������������������������������������������������������
)�� ���)�$��-�"�����)����!��$�2 )-)3 �&������������������������������������������������� �'������������ �&�����������������������������������������������������������������������������������������������
���� :"������� �$�8!��."����� ������������� �&/������������������������������������������������)�� �����8<����������,"��� �&%��������������������������������������������������������������������?�������@���� �&�������������������������������������������������������������������������������������������������
���& (�!������� �#�������������������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 11 Resampling���� -�7�������$����� �#���������������������������������������������������������������������������������������������
������ �������������$����� �#�������������������������������������������������������������������������
������ �������"���$����� �#&������������������������������������������������������������������������������������ -�������������� �#/����������������������������������������������������������������������������������
�����& ��,����������� �#%���������������������������������������������������������������������������������������� �����'������$����� �#0��������������������������������������������������������������������������������������
�$���$��������7�$��� �#0���������������������������������������������������������������������������������� (�!������� �/�������������������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 12 Digital filtering���� 6�������!�������������������������!������� �/&���������������������������������������������������� -�(�������(�!����������� �%�������������������������������������������������������������������������������
������ -��������������$������� �%���������������������������������������������������������������������-����� ������������ �%���������������������������������������������������������������������������������������
������������!����� �%�����������������������������������������������������������������������������������������
-��������� �%������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������!�-�(�!����� �%&��������������������������������������������������������������������������
��������!����-�(��������!���� �%&��������������������������������������������������������������������-�(�$"����������-���� �%/��������������������������������������������������������������������������������
-�(�(�$�@�!���� �%%�������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������!���(�!������"�������������������� �%�����������������������������������
����3� ����!����!����������������� �%������������������������������������������������������� ����3���$�"�����������!��."������ �%0����������������������������������������������������
����3� ��������"��,����������!���� �����������������������������������������������������������6������!����� �������������������������������������������������������������������������������������������������������
6"������ !����� �����������������������������������������������������������������������������������������������,���'�2�����3�!����� ���������������������������������������������������������������������������������
��'�������,���'�2������3�!����� �������������������������������������������������������������������"���2���������3�!���� �������������������������������������������������������������������������������������
���&3��)����!��$��������������������!���� ��#���������������������������������������� ���#3����������,������������!��$���� ��#����������������������������������������������������
����$��������!���������� ��#�������������������������������������������������������������������������������& ��(���'������������!���� ��%����������������������������������������������������������������������
���� �������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������& ���������!����� ��0������������������������������������������������������������������������������������������������
���# (�!������� �0�������������������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 13 Harmonic tracking���� �����"���� �0&����������������������������������������������������������������������������������������������������
����������!���"�� �0&���������������������������������������������������������������������������������������������� )���������,������"�� �0#��������������������������������������������������������������������������������
������ ����$��������!���(�$ �0#���������������������������������������������������������������������� �'�!��$�������� �0#������������������������������������������������������������������������������
)�� �"�"�����."���� �0/��������������������������������������������������������������������������������)�������."���� �0/����������������������������������������������������������������������������������������
���� +�������� ������������� �00��������������������������������������������������������������������������������
Chapter 14 Counting and histogramming�&�� �����"���� ��&�����������������������������������������������������������������������������������������������������&�� 1�����$�����������"�����$���� ��/������������������������������������������������������������
�&���� +������"��$���� ��/�����������������������������������������������������������������������������&���� ��'�����������"�����$���� ��%�������������������������������������������������������������&���� (�������"�����$���� �������������������������������������������������������������������������"������!�������������� �����������������������������������������������������������������������������������"������!������8����� ��0������������������������������������������������������������������������������
�&�� )��8��$�����������"�����$���� ��������������������������������������������������������������&���� -��$8�8��"���� ��������������������������������������������������������������������������������&���� (����8$������"���� ��������������������������������������������������������������������������&���� AA(���������8�����B����AA(���!���CC�$��� �������������������������������������
�&�& (�!������� ��%������������������������������������������������������������������������������������������������������
Part IV Analysis and design
Chapter 15 Estimation of modal parameters�#�� ;��$������!�$���������$���� ���������������������������������������������������������������������
�������,�"�"��� ����������������������������������������������������������������������������������������������#�� )������!��������� �����������������������������������������������������������������������������������������������
�#���� ���������$"��������������!�!�����$�$��� ������������������������������������#���� ������������,������$��� ��#���������������������������������������������������������������������#���� �"���������"��������� ��/�������������������������������������������������������������������������#���& )�$��'��!��."�������$�����$���$������ ����������������������������������������#���# <�,��8���"����$������������� �������������������������������������������������������������
�#�� +���$�������$�����$���� ����������������������������������������������������������������������� ���������!���$��� ����������������������������������������������������������������������������������������#���� +����������� ��&�����������������������������������������������������������������������������������������#���� ������������ ��/���������������������������������������������������������������������������������������#���� �������!���� ��%�����������������������������������������������������������������������������������������#���& ��$���7�$�������������!"����� �������������������������������������������������������������������������������� �&����������������������������������������������������������������������������#���# ������."�������$���7��7�������� �&���������������������������������������������������������!��������"�"����� �&&����������������������������������������������������������������������������������!�����$�������� �&&��������������������������������������������������������������������������������+���������$���$��������!���$��� �&#����������������������������������������������������������$�����������$"$��"$,����!�$���� �&/����������������������������������������������;7�$��� �&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����$�������� �#���������������������������������������������������������������������������������+���������$���$��������!���$��� �#�������������������������������������������������������;7�$��� �#������������������������������������������������������������������������������������������������������������#���/ ������."�����!��."�������$��� �#&�������������������������������������������������������#���% -��."�������$��������������$���������!������ �#/������������������������
�#�& ��7�$"$�����������$��� �/��������������������������������������������������������������������������#�&�� )��������������� �/�������������������������������������������������������������������������������
�#�# ����"�������!��������$���������$���� �/&��������������������������������������������������
Chapter 16 Operational modal analysis�/�� �������������$�������������D �/������������������������������������������������������������������/�� )��������������� �%�����������������������������������������������������������������������������������������
�/���� ��������",���� �����!�������$���� �%����������������������������������������/���� 9�"����;7�������)����."�� �%#�����������������������������������������������������������/���� ���������!���$���������$���������!�������$��� �%%��������������
�/�� (�!������� �%0������������������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 17Running modes analysis
�%�� ("������$������������ ��������������������������������������������������������������������������������������%�� ����"������"������$���� ��&����������������������������������������������������������������������������
�%���� )����$����,����� !"������ ��&�������������������������������������������������������������������%���� ����������������� ��/����������������������������������������������������������������������������
�%�� �����!��������������������!��"������$���� ��������������������������������������������������%���� ��������!��"������$���� ���������������������������������������������������������������������
�%�& �������������!����"�� �0��������������������������������������������������������������������������������������� �����-�������������������"�������������� �0�������������������������������������������$������� �0�������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 18Modal validation
���� �����"���� �0&�������������������������������������������������������������������������������������������������������� � -�������� �0#�������������������������������������������������������������������������������������������������� ����� ����������� �0%�������������������������������������������������������������������������������������������& (����������,���������"�������"�"� �0����������������������������������������������������������# ?�������@���$���������$���� ��������������������������������������������������������������������������/ �������$���7�� ��������������������������������������������������������������������������������������������������% ���������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������� ��$���������!�$����� ��&�������������������������������������������������������������������������������������0 ��������������!"������ ��#����������������������������������������������������������������������������������� "$$������!�-(-� ��%������������������������������������������������������������������������������������������� ��������!�-(-� ���������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 19 Rigid body modes�0�� ����"�������!�������,������������� ���������������������������������������������������������������
����'������!�������,��������������!��$�$���"����-(-� �������������������������������"�������!���������,������������� ���������������������������������������������������������
�0�� (�����,����$������������ ��/�������������������������������������������������������������������������������0���� ����$���������!�$���"����$���������������,����$���� ��%�������������0���� ��������!�������,����$�����,�����������$���������� �����������������
�0�� (�!������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������
Chapter 20 Design���� 4�������$�����$�����!���$����������� ����������������������������������������������������������� �����'�� ��#��������������������������������������������������������������������������������������������������������
������ ���$������,������"�����������'����������� ��#�������������������������������� ����!������� ��������� ��0��������������������������������������������������������������������������������
������ ���$������,������"�� ��0������������������������������������������������������������������������ �$���$��������!�����!���������������� ��������������������������������������������� ��!��������!�$���!������������$���� ��0���������������������������������������������& ����!���������������������"����� �&%�������������������������������������������������������# 4�����!�������� �&�������������������������������������������������������������������������������������;7�$�����!���������������!���,��$����$�� �&0������������������������������������������ ���� ����������� �#�����������������������������������������������������������������������������������������
���& -�������������� �#&�������������������������������������������������������������������������������������������������&�� ���$������,������"���!���!�������������� �#&��������������������������������
Chapter 21 Geometry concepts���� )�����$�����!��������"�"�� �#����������������������������������������������������������������������� 9���� �#0��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������� �#0����������������������������������������������������������������������������������������������������������1�������� �#0������������������������������������������������������������������������������������������������������
Part I
Signal processing
Chapter 1Spectral processing 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 2Structural dynamics testing 23. . . . . . . . . . . . . .
Chapter 3Functions 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Theory and Background
�
��������
��������������� �
����� ������ ��� ���� ��� � � ��� ��� �� ���������� ���� ������������������������������������������ �������������������������
Digital signal processing
Aliasing
Leakage and windows
Averaging
������������������������������ �������������������������������������� ���������
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!�
1.1 Digital signal processing
Time and frequency domains
"�������������������������� �������������������������������������������� �����������������������������������#����������� ����������������������������������������������������������������������������������������� ����
���� �������
�� ������
$���������� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ��������!�������������������������
Fourier transform
������ ����������������������������������������%��������� ��&������� ����������'������������������������������
��2�3� ��
��
�2�3E� E�� E�� E��F�� ��������
�2�3� ��
��
��E2�3� EF�����F�� ��������
���������������������������������������������'����������������������������������������������������������������(��������
The Discrete Fourier Transform (DFT)
�������������������������'���������������������������)�����'�����������������"������������ �������������������%���&���������������������������������������������������������(��������%*�������&�
����������������
+����"��������������������
�2�3E����E� E���E��
������
��������� ������������������������������� ������������������������� �������,����������� ����(��������������������������������������� ������������������������������������������
Hermitian symmetry
���'����������������������������������������������������������(��������������������������������������������������������������������������������������"���������������������������������������!����������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������
����������
�
���
������
��������� �������������
The Fast Fourier Transform (FFT)
���'���'�����������������������������������������������)'����"��������������������%�������&�����������������������������-��������������������������������������������������� ����������������������������� ���������!�����''��
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!
����
�������
����� ���
����� ����������
������
������� �����������������������������''�����������������������������������������%*&������� ��������%��������.,�/,�0,�����,�1�.,��2./,�.2/0&�
Blocksize
�������������������*�����������������������������������������*�������������������*�������������������������� �����*3.�����������������������������$�����������������������������������������������������
Frequency range
�������!����������������������!������������� ����������������������������������������������������������������
�
�����������������������������������������������3������������ �������������������������������%*3.&�%�3�&�
����������������
!+����"��������������������
�������
����� ����������
�
��
��
�$�7��� �
�������� �
��������������������������� ��������������������������!��-�%*&���������������������%�&�������� �������������������������������������������������������������������������
Real time Bandwidth
4�����������''�������������"����������!������������������������������������������������!���������������������!����������������������!��-���������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������������!����������������������,�������������������������������������������������������������
�����������
������������
����������!
�����������"
##�� ##��� ##��!
$���������� ������
�����������
������������
����������!
�����������"
##�� ##��� ##��!
���������������������������������������!�����������������������������������������������������������������������
Overlap
5 ����������������� �� ������������������������������������������������������������������������
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!#
�����������
������������
����������!
�����������"
##�� ##��� ##��!
"�������������������������������������������������������������,���� ����������������������������������������������������!������������������ �������������������������6���������������������������� �,���� ��������������������-�����������������������������
������������������������������������������7����������������"������������������������.28����������������������������������������������������������������������������� ��������������
��� �������
&������������'��(���������
����������������
$+����"��������������������
9������������ ��������������:28�������������������������������������;���������������������������������������������������%��������������������� ����&�����������!�������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������
��� �������
&�������������'��(�!�)�������
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!%
1.2 Aliasing
���������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������
������������������� �������������������������!����������&������'��������,�������������������������������������%��&������������������������������������������������%�"&�
�� � �F��
�������������������������������������"�( ���������������������������������%��&,�������������!����������*��������������%��&�
��������FF� �
��������������������������������������������������������������
� ����������
����������������
�
� ����*���
�
� �� �! �"
!�� "��
9����������������*��������������%��&�������<������������=������� ������������!����� ������������:��� ,�� �������������!������ ������������.��� ������� ������������!������ �������������� �������������������������� ,�� ,�� ��������������������������������� �
������������������� ���������������������������������������������������;�������������������������������������������������������'����������������������� ����������������������������������������������������������������������"�( ���������������������������������������
����������������
)+����"��������������������
������������
���+ ��
���+ ��
���������(���������������������������
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!�*
1.3 Leakage and windows
9������������������������������������������������������������������!�����9����������������� ����������������������������������������������������������
����
�������
�������'�������
�������������������������� �����������������,���)'������������������������� ��������������6����������� ����������������������������������,�����������������������!�����������������������������������������������������������������
����
����
�������
������������ ���'�������
,#��������'�������
��������������������������!�����������������������������������������������������������������������6���������������������������������� ��������������,����������������������+���������"�����,�����!��������������������������������(����������������������������������������������,�������������������������������������������
����������������
��+����"��������������������
1.3.1 Windows
������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������-�������������������������������������������������������������������� �����������������������������<��������������=����������������!������������������������������������� �
#�������� ��������������'���-� ���������(����� ��� �������.
#�������� ��������������'���-���� ������'��(��(����� ��� �����'��(������'���'.
#�������� ��������������'�����(�������� �������'��(��(����� �� �����������'���'.
��� �� �������.
��� �� �������.
� *
������������������� ������������������������������������������������������������� ��������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Self windowing functions
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������������9�������������������������������������������������������������������������������
Note! It should be noted that synchronizing the signal and the sampling time, or usinga self windowing function is preferable to using a window.
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!��
Window characteristics
����������������� �����!������������������;����������������������������������������� ���������������������������������������������� ��������������������������������(������������������������������������������������������������������������-������������������������
��/���
(�/(����������0�
�������0���������
��1
�����1��'���(
����������� ��������������������������-���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�������,���������������� �������,��������������������������,�������������������������������!�������������������������������������������5�����������,����� ���%������������������!���������������������(�����������&��������� ������������������������"�������������������������������������� �������������!��������������������������������������������������������������9������������������������������������������� ��������� ��������������
6�������� 7�����������%� &
��������������%� 3����&
*���� ���������%����&
>�(�9���������%� &
?������ ;�: ;.2 ��22 :�@
7������ ;:. ;A2 ��1 ��/
7������ ;/: ;.2 ��:A ��0
B����; ��� ;A@ ;.2 ��0 ��2
���!��� ;@. ;.2 .�2 ���
'���� ;@: 2 :�/: C2�2�
���������+��������������������
����������������
�+����"��������������������
Window types
Uniform window
�������������������������!���������������������������������������������������������� � "� ��� ������� ��� �� ���� ��� �������� ����� �,��������,��������������������������������������-���������������������������������������
���������������������;�7������,�7������,� ���!���,�B����; �������'����������!����������������������������������� ������������������'���������������������� �������� ������� ����� ������������� ;� ����������
Hanning
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������"��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������
Hamming
��������������������������������������7���������������������������������������������������������������������12� �
Blackman
�����������������������������������!���������������������������������
Kaiser–Bessel
�������������������������������������� ������������ ��,����������!��������������������������������������������������������������� �����"����������������!���������7����������������������������������(�������
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!�
Flattop
�����������=��������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Force window
���������������������������������������������������������������������"����������������������������������(�����������������������������"������� �����������������������������������2��������
Exponential window
���������������������������������������������"����������������������������������������������������������������������� ������ ��� ������ ������ � ������� ��� �� (�������� ������� ��� ���������������������������������<$(�������������=� �������� ��8�� ���� �������������������
9��(���������������������������������������������%����&����������������������������"��������������������������������������������������(������������������������������������������������������������������%�&�����������%�&���"�������� ����������������������������������������������������������������������!���������������������������������������������������
����������������
�!+����"��������������������
Choosing window functions
For the analysis of transient signals use :
?������ �����������������
'��� ������������������������������������ ��������������������
$(������� �������������������������������������������������������������������������������������������
For the analysis of continuous signals use :
7������ �����������������
���!�������B����; ���
������� ���������������������������������������������������������������� ����������� ��
'���� ������������������������������������������������������������������������������������
?������ ��������������-�������������������������������������������������������������������������
For system analysis i.e. measurement of FRFs use :
'��� ������(�������%�����&��������������������������
$(������� ���������������������������������������������������(������
7������ ���������������������������������������������(��������������
?������ ���������������������������������������������������(��������������
Window correction mode
9����������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������
9������ ������������������������������������� ����
$���� ����������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!�#
"������������������������������������������,��������������������������������������,���������������������������������������
Amplitude correction
����������(���������������� ��������������7��������������
����
'���'�����/��
�� ������
�� ������
�������
����
�� ������
�������
�'���'�����/��
6��������������������%������ �(�7�������������&�������������������������������,������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������7�����������������������������������������������,������������������������������������������������������������������.�
9�������������������������������������������������������������������������������������������������������
Energy correction
6��������������������������������������
���/������/�� '���'������ '���'�����/��
����������������
�$+����"��������������������
"������������� �������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������� ������������������������������������������������
"�������������7�������������,�������������������������������A�8���������������������������������������������������������������A:���������������������� ��
Window correction factors
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.�������� ���������
6�������� 9���������� $��������
?������ � �
7�������(� . ��A:
7�������(. .�AD ��@�
7�������(: :�.2 .���
���!��� .�02 ��@D
7������ ��01 ��1@
B����; ��� .�/@ ��0A
'���� /��0 .�.A
�������.�6���������������������
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!�%
1.4 Averaging
��������������������������������������������;����������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� ������-����� ������������� �,�������������������,���!�������������������������������������� ���������������9������������������������������ ������������������������ ����
Linear
������������������������������ ����������������������� ������������������ �����"������������������������ ����� ������"����� ���� ������-�������� ��������������������(�����;
�� ������
���
�� ������
������������� �����������E � ��2 ��3� � ������������� ������������
���������������������������
Stable
"����������������� ����������������������� ����������������� ����"������������������������ ����� ������"���������������,����������� �����������������������;
� � �� F� ��� � ������
����� �������������� ������������������������ ������������������������������������������������������ ����!������������������������������������
Exponential
$(��������� ������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������"����������;
� � �� �� F� ��� � � ������!
����������������
�)+����"��������������������
�����������������������������������������������
Peak level hold
"������������������������������������������� ������������������������6������������������(����,�������������������������������������������������'�����!�� �������� ������,��������������������������������������� ������������,�(�����.�%�����/�*���&�������&���������!��-������������������ ����������;���� ��������,�(�������������� ����(����. ����������������;
� 2�3� � 2�3 G� 2�3G�F G� ��2�3G
� 2�3� � ��F2�3
�! ��
�������
�� ������
"���������,���� �������������������,����������������,�����(����� �����������������������������������,�������������������� ���������������
Peak reference hold
"����!������������� ������,��������������������� �����������������"��(������������������������������(�����������������������,�����������������������(�
�����%�����/�*���&������������������� ����������;���� ��������,�(�
�������������� ����(����. ����������������;
�� 2�3� �� 2�3 G�� 2�3G�F G�� ��2�3G
�� 2�3� �� ��F2�3
�! ��
�������
������$
��������,���� ������������������������ ������������������������(������ ������������������������
������� ����������������
����������������� ��!������� ��!�*
1.5 Reading list
Signal and system theory
E����� ��������9�F��+������4������)���G�9������������>�������+�������6����;�"�������,��@D��
E����� ��������9�F��+������$���������9�����������������������������������9�������6����;�"�������,��@02�
4�B��5����������$��������9���������������9�������E����6����H�����,��@D0�
E��>�(>�����������������������������������%.�����&>�����,��@D.,��@0A�
General literature in digital signal processing
9�#��5������������4�6��������)�������������+��������+�����7���,�$���������������*�E�,��@D1�
��4��4���������� ��F�������������9�������������)�������������+��������+�����7���,�$���������������*�E�,��@D1�
B�F�� ��������������B��I��)������>����������������9�������F����9����H�?����,���������@D@�
>�� �������������*�����������������>�����,�+������@0��
9��+������� �����)�������������+�������������,�)�����9���"���������E����6����H������
Discrete Fourier Transform
$�5�� ���������'���'���������������+�����7���,�$���������������*�E�,��@D/�
����������������
��+����"��������������������
4�6��4����-���''��G�'��������������������+�����7���,�$���������������*�E�,��@01�
����� ������������6��+��!�)'�3''��������� �������9���������G�����������"���������E����6����H�����,��@01�
7�E��*��������'���'����������������������� �������9����������������#����,��@0.�
4�$�� ����'���9�������������)�������������+��������9�������6���,��@01�
"$$$;9��+������+������������)�������������+��������"$$$�+���,�*��I��!,��@D@�
�
��������
������������ ���������� �
?����������������������������������������������������������������� �������������������(�������������������������������� ����������������
�������������� �������������������������������������������(���������������������� ��������������
Signal analysis
Signature analysis
System analysis
������. ����������������������
����������������� ��!������� ��!�
2.1 Signal analysis
������������������������������������������������������� ��������������������������������%����&�������������(��������������(���������������������������������,������������,�����������������!�������>��������������������!�����(����������������������������������.�.
"��(���������� ������������� ���������������,���������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������:�
*����� ������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������9��������������������������
���(����������������� ��������������������������������� ������,����������������������������������������������������������������������������������������.�:�
����������������������
�!+����"��������������������
2.2 System analysis
�������������������������������(���������������������������,��������������������������������������������"�����������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������
� �� � ��
�� �
�� �
�� �
�� �
�� �
>��������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������� �������������������
���'�������4������'�������%'4'&�����������������������������(�����������������������������%����&��������������������%����&�����������������������������������������������������0�������1�2���,�"�)5'����9��'4'���������������������.�)5'�,����������)5'%�������&�������������)5'�%���������&�
2 ���������������,3#
�4
3�� ����������� ����,3#
��
#$#
5���
H(f) �Xi
Xj
'�����������������������������������������������������������������������)5'����������������������������"������������!�������'4'�������������������� ��������������������� ���%��������&,������������������������������� ��,� �����������������%���;��������&�
������. ����������������������
����������������� ��!������� ��!�#
��/���
�����������������
������
Measurement points
������������������������������������������"������������������(�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������"��������� �������-�����������������)5',�������������������������������������
Exciting the structure
���������������������������������������������������������!����?�����������!���������������<�����=�������������������������������������!��������������������������������������������������������������������
"������������������������ �����������)5'�������������(�����������������������������������'4'���������>������"����>�����5����
6��������������������(��������������������������������������"�������������������������������������������������������?����������������������������������������������(������������������������������������������(�������������������������������<4� ����������=���������� ����������������������������������������������������������������������������������������<'�(�������=�
����������������������
�$+����"��������������������
2.3 Signature analysis
������� �� �������-�����������������;����������������������� �������� ��������������������9��(��������������� ���������3������������� ����������������������������������������������������������<���;��=����3��<���;����=������������������������������������������ �����������������,�������������������������%�������������&�
�������������������-��������������������(����������������������������������������������������!���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:�������:�.�
0��������
�� �����������
���6�/� ��������
9�������������������������������������,�������������������������������������;����������������������������������;��������������������������������������������!����������� ����������������������� ������ �������������������������������������������������:�:�
>������������!������������������������������������������������������������������������������!����������������������������������������������
Tracking
������������������������������������������������������������!�����������������������������,����,����������������������������������������������������������!���������������������������������������������������������
� �� �!
9� ������ ��� ������ ��� � ������� ���������������������������������������������������� �������������������������� ����������������������������������������
������. ����������������������
����������������� ��!������� ��!�%
6��������������������������������������������!���� ����,����������������������������������,��������������������������������������
Parameters relating to signature analysis
���������������� ��� ��
�������������� �F�F�
*J�*��������������������J�%*��������������3� &���%*��������� �&������%�����������������-&�������%����!��-&
��F�F�
>� J� *����� ��� ������K3K� � J� %*����� ��� ������K3��&� �� � %*����� �����K3� &
�� �����2��3
+J�*��������� �KK3KK����!�J%�*��������� �3��&���%�*�����������&
�� ��� E2��3F�F� ���2��3
��
>�������K3K� > > >
���!��-�*�J�>+�������
*��������� ��+
Orders
'�������������������������������������������������������������������������������
9������������������������������������������"���������������������������1������������������������"��������������������
����������������������
�)+����"��������������������
�*�3�.�� ���57�
'����������������������� ����������������������;
��(�������������%���(&
���������������������%��&
���+*�������
���*� ����
'�������������� ����������� ����������������������;
��(����������%5��(&
3��+*�8����
������������������%�5&
�3�*� ���&
���+*�3��+�.�� �
��*��3�.�� �
Fixed sampling
�������������������������������������������,��������������������������������������������������������������������������� ������������(�������������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������������������!��"���������,�����(����������������������������������� ������������������������%���&�
Order tracking
������� �� �������������������������������������������������������,�������������������������������� ���������3������������������"�
��������������������������������������������������%���&���"�������������"���������"�����������+�����������!���������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������,������������������������%5��(J�>�3�.&�
6�����������!���,������������� ��������3��������%+&���������������������������������������������������+,����������������������������%�5J���3�+&������������������������������������!�������������� ��������������������������� ������������������
���������
�� ��� �
������������� ������������������������ �������������������������������������������
Time domain measurements
Frequency domain measurement functions
�����������������������������������������������������������������������������������L9�������������������������M�
"����������������������������������������������������������������������������������������������!�����������
Composite functions
"����������������������������������������������������������� ����������������������� ������������������������
Units
Calculation of rms values
������: '�������
����������������� ��!������� ��!�
3.1 Time domain functions
Time Record
&����������������������(���.�����!������&�J�������!��-����������������������������������(���.������������� �����������������-��������������������,�����-J������������� ���������4������������� ��������������
�������F2 3� �������F2��2 33 � ����� �
9 ����������������������� ���������������������������������������������������������������������� ������!�������������������������!�������������������� ��������+��������"����,�����������������������������/�
"�������������������9�������,�������������������������������������������������!������������������������ ������������������������������������������,�� ����������������������������������������������������������������������
Autocorrelation
�������������������������������������������������������������������������������������������!������������������������������������������� ��������������
����������������������������������5((���������������������������������������������������������������������������%�&������������������������� ���������
���F2�3F�F ��$ ��
�2�3F�2�� �3F�� ������
7�� ���������������������������������������������������������������������������������������"�����������������������������������������5((�����������������������(������������������,
���F2 3F�F ��FF���F2�3=FF �����k � 0...N � 1
n � 0...N � 1
'�������
+����"��������������������
����2���������� ���'��������������������6((�����������������������������
"���������������������������������������������� � � �������������������������������������������(���������������������������������� �������(������+�������������������������������(��������������!��� � �� +������������������ �������(�������������!����������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� ������,�������������������-�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Crosscorrelation
�������������������������������������������������,�������������������"������������������������������"���������������������������������G
��!F2�3F�F ��$ ��
�2�3F!2�� �3F�� �����
9����������������������������������������������������������������������4(��%�&�����������������������(%�&������%�&���������������,
��!F2 3F�F ��FF��!F2�3=FF�����!
k � 0...N � 1
n � 0...N � 1
����6(�����������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������"���������������������������������������������������������
������: '�������
����������������� ��!������� ��!
Histogram
�������������������������7���������������� ������������������������������ ���������������������������������������������(�������� �������8���������$����������7.7�/�*���8��.���������������-��������� ���� ����(7 ��������������������(�
��/�����/�
�����������
ÇÇÇÇ
ÇÇÇÇ��� � �
ÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇ��
�
�
�
!
�!�����������
!�!
'�����:;��7�������
������������������������������������������(���������������������,
�2�3F�F �FF
� ��
F�F �FF �F�F2 3F=FFF �F�F ����F"F�F � �����#
�F�2 3F�F �=F ��F��F�F���F�F �F2 3F�F ��F�F
���FF
�F�2 3F�F �=F ��#��$���FF
����
�����(����� �������8�����������������������������%�������&������������������������!�
Probability Density
����������������������7��������������-��������������������������������������7�,
�2�3F�F �����FF �2�3=FF �F�F ����"F�F � �����$
����������������(�������������������������������
Probability Distribution
�������������������������,�7���� ���������������%�������&������������� �������������� �� ��������������������������������������������������������,�������� ������������:;A�
'�������
!+����"��������������������
�2�3F�F��
���
F �2�3=FF �F�F ����"F�F � �����%
������: '�������
����������������� ��!������� ��!#
3.2 Frequency domain functions
Spectrum
�����������������������������������9���.�������������������'�����������������������������������������������
%2�3F�F 2F� EF2 3F3=FFF �����)n � 0...N � 1
k � 0...N � 1
������������������������������������������������ ����������������>��������������������������������9"���.�"�/�*���-����.
%&
F2�3F�F �������F2%�F2�33=FF �F�F ����F� � ������*
�������������� �������������������������������������������������7��������������
%2�3F�F % HF 2� �3F�F % HF 2� �3=FF �F�F ���F�FF �������
����9:�����������(���������
������������������������������������������������������������
���''��������������������������������'���������������������������������������;����������������������5����������� ��������� ���������������������������������������������������������������9+�!������������������������������������.,�������������������������������������������������������� ���4������������������������������.�
9���������������� ������,������;�������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������6���������������������� ��������������������������������� ������ ������������������ ��������������������� �������-��,������������������������ ����
'�������
$+����"��������������������
Autopower Spectrum
��������������������������������������������������������������������������������������������������������6((������������������������ ���������������������������-�������������������������������9"����,
���F2�3F�FF �������F2%
H�F2�3F%�F2�33=FF �F�F ����F� � �������
����9:�����������(���������
���������������������������������(������� ����������������,���������������������������������������������������������������
�������������� ��������������������������,���������������������������������������-��;�������,
�2��3F2�3F�FF ���F2� �3F�F ���F2� �3=FFF �F�F �F���F�
������
���
��� �
��/��
���0����������������� �����
������
���0������������ �'���� ������
�
��/�������������� �'���
���� �'���� �����
�� ����
�++� 9++
����
'�����:;. 9������������
5�������������������������������,������������� ��������� ������������������"������������������������������������,��������������������������� �������������� ��������� ������������������,����������������;������4>��9�������������;((���.
'��FF2�3F�F ���=FF$#� F�F�F �������
'��FF2�3F�F ����F2�3=FF$#� F�F�F ����� �F �
��������������� �������������������'�����������������������������������������'��������������������� ����������������������;�������������������,�(���������4>��������+$9B��������� �����
������: '�������
����������������� ��!������� ��!%
���������������������������������������������������������
������������������������������-����� ��������������������������������������� ����������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������'����������������������������������������������������������������������!������� ������������������������ ���������� ���������������������������������������������������+����������)������������������������
�������������������������������������������������������:�����������������9�������������������������'�����:;.�,������'��������������������������$(����������������������������������������������
9���������� 9������������ #������������)�����
4>� +��� 9.3.
4>� ����� 93�.
4>� +�) 9.3.�'
4>� $�) 9.��3.��'
+�! +��� 9.
+�! ����� 9
+�! +�) 9.3��'
+�! $�) 9.��3��'
�����:���9��������������������
Crosspower spectrum
���������������������6(� �����������������������������������������������������������������������������"�����������������������������������������
"��������������������������������;
��!F2�3F�FF �������F%H�F2�3F�F (�F2�3F=FF �F�F ����F� � ������!
9:-��<�� "���������(���������������������������������������������������������9���.����
'�������
)+����"��������������������
="��<� "�������������������������������������������������=���.
���������������������������������������������������������������������������������"������������������������������ �����������������������������������������������������-���������������������
������������������,���������� �������� ���������������������� ���������,����������� �������������������� ������������"���������������������������������������� ����������������������������"������������������������������������������� �������������� ���������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������
���9���������������������������������������������������������������������� ��������������9����������������4�������+$9B�� ������������������
Coherence
��������������������������������N������������������,�������������������� �������������
Ordinary Coherence
���%������&������������������������������9���&������97�&������������,
�����F2�3F�F����F2�3 �
�
���F2�3F� ���F2�3������#
�������2�3������� ��������������������2�3��������2�3������� ���������������
"������������������(������������������������������������������� ����������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������9���������������������������������������������������������������������"����������� ���������������������������������������������������������!���
������: '�������
����������������� ��!������� ��!*
�����������������������!� �����������������2���������9������ �����%�����&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������9���� ����%����2&�������������������������(���������������������������������,�����,�����������������������������������
������������������%�����������������������������������������'4'&�������������������������������������������������,���������������������,����������������������������������������%��������������&�����������������������%���������������������&����������������������������������������������������"�������������������������������������,����������� �����������������������������������������������������������"���������� ����������������������������������,�����������������������������������������������%�����&�
���������������������������������������������������=��������������������������9���������������������
������$��!I�F2�3F�F ��F�!!� JF2�3
�!!F2�3
��� 6����� �����������������������������������6����>��� ��������������������6�����������������������������������������������9������� ������������
��� �������������������������������������2�������
Partial Coherence
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������
�����������������������,�������������������9����.�9�.�97.�������������������������9� �����97.�������������������������9�������9� ������ ����,
������F)FF2�3FF�F����F�F)F2�3F �
�
���F�F)F2�3F� ����)F2�3������%
����G
����) �*�+�K ��"��������!��������%� ����"�����!�"�������!�����������%������)
'�������
�+����"��������������������
����) �*�+�K ��"��������!��������%�����"�����!�"������!�����������%������)
����) �*�+�K ������������,��������������%� �����%�����"�����!�"�������!����������%������) �
����������������������!� ���������2�������
Virtual Coherence
���#����������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������,
������)��,��F2�3F�F�����F2�3 �
�
����F2�3F� ���F2�3
����G
6?����� ������������������������������9?�
6?�7��� ����������������������(7 �����������������������9?�
��� ��������� ���������������������������2�������������������� �������������������������������������������������������������������������O2,�P�
Principal Component Spectra
����������������������,�9�����9����*�����������������������������������������������������������������,���������������������,��������������������������������������������������%�����������9?������9?����������������������������������������������������������������*�����������������������������������������(�����2,����������������������,������������������������������������������������������������������������������%������&����� ������������������
���+�����������������������������������������������������������������������������������������������������������,
�%2�3�F�F L-M#F�%�2�3� ������*
�%�2�3�F�F L-MF�%2�3�
L-M#L-MF�F .
L���MF�F L-M#F������FL-M
������: '�������
����������������� ��!������� ��!�
���
�6?((�J �������������(���������������������������������������������������������
Q9?�<�R�J ��������������������������������������������
O@P�J ������������������������(�
����������������������������������������������������������������������������������������������%������&�����������������9�����!����(�����������������������������������(����������������������3�������������'4'���������
Frequency Response Function
��������������������������%'4'&�����(�O7%!&�P�(��������������������������������������������������������������������;�� ����������
������
2 ��
2 ��
2 ��
3�� ��
3�� ��
3�� ��
������������
���������� ��� �����
"��&� �����������������������������&� ����������������������,��Q9�&�R�����&�; ��������������������������������Q=�&�R���&�; �����������������������������9����������������������������(�O�A���P������-%&�.�&�&�����������������������,
�(2�3�F�F ��2�3�F�F �%2�3� �������
������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������OA���P������������������������������������
The H1 Estimator
����������������������������7�;������,���������������������������������������������������������������S���������������������
'�������
+����"��������������������
N
O
NO
9
*
N�K�*O�P�9
"�������-�����������������������������������������"������������������������������� �����;
���2�3�F�F��!�2�3�����2�3�
�������
�������������������� ������������������'4'��������������������������7�������������;����������������������������� ���������������������������������������������������������
The H2 Estimator
9����� ��,���7.���������������������������������������������������������������������������������I��������������������
N
O
NO
�
*
N�K�*2O�8��3
"�������-��������������������������������������������������������������������������� �����;
���2�3�F�F��!!2�3���!�2�3�
������
�������������������� ����� �����������'4'������������������������������������������������������������������;���������
������: '�������
����������������� ��!������� ��!
Note! This estimator can only be implemented in the case of a single output
The Hv Estimator
'�������������A+ �������,�B�A���P����������������������� �������������������������������� �������������(�B�6((�CD
����!F�FF�F ����!�
��!
�!! ������
������������������-������������������������������������������������������6�������������������������������������������� �������������������������������������
N
O
O
�
*
9
N
N89�K*�2O8�3
��������������� ���������� ���������������������������������"�����(���������7.���������������������������7���������������;�����������"�������� ���������������������������������������
'���������������������������������������������������������������������������������
Impulse Response
�����������������%"4&�������������(�O����P�(��������������������������������������������������������������������������������������!����������������� ��������������
!2�3F�F � �2�3F�2�� �3F�� ������!
'�������
!+����"��������������������
O����P����������������������� ���'����������������������������������������������������������;
�#2�3�F�F ��FF��2�3� ������#
"����������������������������������������������������������������������������������
���'4'����������%7�,�7.����7 &������������������ �
������: '�������
����������������� ��!������� ��!#
3.3 Composite functions
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(������� �������������������������������������������� �������%������,���,����&,���������������������������(��������� ������������������������������������������������� ���������<�����=���������������������������������� ����������,������������� ��������������������
Overall level (OA)
����������������������� ����������������������������������������9�������������������(������������������������������ ������"����� �����������������������������������������$�������������������������������������
ANSI 1.4 time based OA level calculation
����������������(����������� �����������������5 ������ ��� ���
���������������������9��(�����������������������������%����� &������
������������������������������������������"���������������� ��������������������������������������������������-�� ����������������
��J�:1��������"������%��!�&�����������J��.1��������������������������������J��222����������� ������������������
6�����������������������!������������������������L������M�����������������!����������������������������"��������������������������� �������������:1���� ��������������������������!����������������������������122���
Frequency section
����������������������� ������������������������������������� ����������������������������������������"�����������(������������4������������������������� �������������������������������������������������������������������
������������������������������������������ ���� ���������������������������� ����
'�������
$+����"��������������������
1��'���(
:������������
;�'��0�������
< ��0�������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����
������������T3;�Q �������U3U.R
��� ����������������������� �����������������+����������������������(������� �����������;
� ����(��������������
� ����(����������������������������������������(����������� �����������
� ������������������������������
����������������������������
�
� �
1�������*���������
��*�����
1�������*)���/� /� ��� �
� �
��
1�������*����
������: '�������
����������������� ��!������� ��!%
Order sections
����������������������� ������������������������������������������������<����=��������5�����������������������.�:����������������������������9��<����=�������������������������������������������������������������������������� �������������!�����������"��������������������������!���������������<�������=���������������%����������������������&���9�������������������������������������������������!���������������� ��������������������������������������������(��������������������������������������������������������������������������������(��������������������������������������
+���������������������������������������������G
� ����(��������������
� ����(����������������������������������������(��� �����������
� ����(������� �������
� ������������������������ ���
�������������������������������
�
� �
1�������*�������
��
��*�����
1�������*�����
��*������.�� �
�3*�����
1�������*�)
��*������.�� �
�3*�����
�3�������*1��'���(��)��.��
�3�������� *1��'���(��)��.���� �
� � � �
� ��� ��
1�������*����
Octave sections
9����� ���������������������������� ������ ����� �������������������������������������������������"�5�������12�.AA���+��������� ��������������3�,��3.,��3:,��3�.������3./���� ��
'�������
)+����"��������������������
3.4 Units
�������������������������������������������>������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�����,�����,���,�������,������,���������,������ ��������������������������������������G
������������������ !����������� "�#���������� !�����������
���� � �� �
���� �� ������ ���
���� �� !������� !�
�� � ����� �
����� �� 9��V� 9
������ ���B� �� �2B
���� �� ������ ��
�����:�.�4���������
������������������������������������������������������LMS �����������������������������������������9������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������
'���(����,������������������������������������%����3��.&������� ����������������������������������� �������������������������������%�3�.&�
������: '�������
����������������� ��!������� ��!!*
3.5 Rms calculations
�������������������������������������������������������������������������������������������4>������������4���>���������������������������������������������
"�������������������������,������������������������ ������������������������������������
Time and Impulse records
6�����������������������,�������������������������������������-�������������������������������������������������������������������������������������� ����,��������������������!�������� �����%���&���� ��������������������������������������������������������������!�������� ��������� ��������������������������������������������2�������������������!
���� ��� �E �E
�����
!���� � � � � �
!�
������$
rmsA
��!������(���������������� ,�������������9,���������� ������
�
��
Frequency spectra
����������������������������� ��������������������������������
��������� ������������ ���
�� ��������
�� �������
'�������
!�+����"��������������������
����������������� ���������������������� �������������������������������������� ����������������.���9������������������������������������������������������������%9�&���������!�� ����������������'��������������������������������%92�����9�!&,������������� �������!��
������������
��
���
�01 �0�
������� ������������������������������������������
���� �F������
������
���
��� ����
����� �������%
Autopower and crosspower spectra
��������������������� ��������������������������������������������������%!&���������������������������������������������������������9������������������������������������������ ,��� ����������������������������%92�����9�!&������� ����������� �������������������������������������������
���� �F�����������
���
�����
����� �������)
FRF, Impedance, Transmissibility and Transmittance
4��� �����������������������������������������������������������������������'4'�����������������������������������������������������������9������������������������������ ����2�"� �������
���� �� �� ������*
����!��������������������������������
������������������,�9�"� ������� ��������������:;.0�
������������'4'�������A�"� ���
������: '�������
����������������� ��!������� ��!!�
�������
�����%���
���
����� ��� �F�
�����
���
���
���
��� ����
�����
Sound power, sound intensity (active and reactive), SFTVI and SFUI
�'�#"�%������������������������������������&������'?"�%������������������������������&����"�5������������������������������������������������������������������������������������,��������������������������������������,������ ���������������������������������������
�������������������
��
�
Particle velocity (active and reactive)
9���������������� �����������������������������������,�������������������������������������������������������������������.�������������:;.0�
���� F���
������
���
��� ����
�� ������
53
Part II
Acoustics and Sound Quality
Chapter 4Terminology and definitions 55. . . . . . . . . . . . . .
Chapter 5Acoustic measurements 67. . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 6Sound quality 83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 7Sound metrics 99. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 8Acoustic holography 117. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Theory and Background
!!
���������
����� ���� �
���� ��� �
����� ������ �������� ���������� ��� ������ ���� ��������� ������������
Acoustic quantities
Reference conditions
Octave bands
Acoustic weighting
������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!!#
4.1 Acoustic quantities
Sound power (P)
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,���� ������������������������������������������������������������������������������������ ������� �������,��������������������������(�����������
������������������EF�������������������������&��������������������� ����
�������.��
���
��
����������������������������(���������E�������������,����6���
����������������������������������������6�
Sound pressure
�������������������������������������������������� �������������������������������������������������������,���� ��������������������������(���������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������%����������&,����������� ����������������������������������������������������������������������������,������������������������������������%S,I,����W&��������������+�����%E�&����&G"��
Sound (Acoustic) intensity
9������������������������ ����������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������
������������������������
!$+����""����9������������������X�����
���������2F��$��F�.�� . ���
.
�
������������������ ���,�����������:);����������������������������HG"�,�%�����������������������&�
���������������������� �������:)����������������������������������������������,��������������������������������������
���������9������,��� �����������% .
���
�&�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"������������������� ����������������������������,����������������������������-���
"������������������;� ��������������������������������
�����.� ��
�
.2�3��
9������,�������������������������!���������������������-���������������������������-����������
Normal sound intensity
������������������������������������ �����������������������������
Free field
�����������������������-���������������������������������������������������������������������������� � ��� ����� ���� ���������� ����������������������������������� ������������
������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!!%
Diffuse field
"����������� ����� ������� ��� ������������������������� ������� �����-���
Particle velocity
+������ ����������� ��������� �����������������������"��������������������������������� ������������������������������"���������������������������
�����. � �F,
��� �/��������������%E��, J�������� ������%"G��
���������� �������������������������������� ���� ����������� ����������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������,���������������������������� ����������������������,����������� �������������������������������������������� ���������
$�������/;/���������������������������� �����,�������������������������������������������� �������������+������ ����������� ��������:);�����(�����������������%"G���
"����������������������������� ����������� ��������������� �����������������������-���
?����������������������%����������������� ��� ��������������&,��������� ����������������������������������������������������������������%����
�����!,� ��E�E�/
������������������������
!)+����""����9������������������X�����
��� ��/����� ��������������%E���J�����������������������%��G"��/� ��������������������������%"G��
��������������������/;/�����/;1�����������������������������,���������������(��������������������������������������������������� ������������������� �
�����#� . ��
�����/
Acoustic impedance (Z)
����������������������������������������������������������� ��������������������������
3� �F�F/ �����$
���� /�������������%��G"����J�� ��������������������������%"G��
������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!#*
4.2 Reference conditions
"������������������������������������������������������,�������,������������������������.2��������������������������������������2.:��+�%�����&���?����������������
������������������ J���.��%��G"��� ����������������������� /�:/:�%"G������������������������ J�/�1�������%��G"���
dB scale
����������������������� ��������������������������������������������������������������������,�����������������(������������������������������������������������������� �������������� ������7������������������������������������������ ���������������,������������������������������
Sound power level Lw
������������������������������������������������%�������&� ������������������������������������
�����%45� �� �����FG�.G��
������������������������E*�J��2;�.�%H�
Particle velocity level Lv
������������������������������������������������ ������
�����)4,� �� �����F ,,�
���������������� ���������+*�J�12��2;@�%"G��
������������������������
#�+����""����9������������������X�����
Sound (Acoustic) intensity level LI
��������������������������������������� ���������������� ����
������*4.� �� �����FG. G.�
����������������������������������������������������������� J�2;�.�%HG"��
Normal acoustic intensity level (LI)
��������������������������������������� ���������������������� ����
�������4. � �� �����FG. G.� �6
Sound pressure level LP
����������������
�������
4�� �� �����F ����
� �� ����� �������������� ������������������������%���+�&
������ ������� �������������������������������������������� ��������������������
�� J�2�2222.�%E��/�.2��E�
������������������� �����.2��E�����!������������������-����������������������������������������������������2227-�������������������� ����������
������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!#�
4.3 Octave bands
������%�3�&���� �����������������������������������������������������������������(����������%��������������������-�� ����&���������� ��������
�-��� �-�����-��
fc, i�1 � 2. fc,i
+��������� �������%�3:,��3�.��3./������&������������������������
fc, i�1 � ( 21�x ). fc,i
��������(�J�:,�.,�./������
� �0���
�!�0���
fc.2�1�2x�������������������������3(���� ��������
fc.2�1�2x�������������������������3(���� ��������
���������������������������������������<������=������������"�����������"�5�������12.AA��������������-���������������������� ������������ ����������3�,��3.������3:���� ����������������������/���
*��������������������������������������������������-��������������������������������5�� ���������� ������������������-�� ������������������������������������
������������������������
#+����""����9������������������X�����
*������-��������
�3���
�3.��
�3:��
�3���
�3.��
�3:��
�3���
�3.��
�3:��
�A ( ( ( �A2 ( �A22 (
�0 �02 ( �022
.2 ( .22 ( .222 ( ( (
..�/ ( ../ ../2
.1 ( .12 ( ( ( ..12 (
.0 .02 .022 (
:��1 ( ( ( :�1 ( :�12 (
:1�1 :11 ( :112
/2 ( /22 ( /222 ( ( (
/1 ( /12 /122
12 ( 122 ( ( ( 1222 (
1A 1A2 1A22 (
A: ( ( ( A:2 ( A:22 (
D� D�2 ( D�22
02 ( 022 ( 0222 ( ( (
@2 ( @22 @222
�22 ( �222 ( ( ( �2222 (
��. ��.2 ��.22 (
�.1 ( ( ( �.12 ( �.122 (
�/2 �/22 ( �/222
�A2 ( �A22 ( �A222 ( ( (
�����/�� *������-�����������%7-&
������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!#
4.4 Acoustic weighting
Frequency weighting
������������������������,���������������������������,���������������������������������������������������������������������������� ����������������������� ����(���������������� ���������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������������������������������������������(����������������������������������������������������� ������������������9�������������������������������������������'�����/;��������������� �����(���������<+����=�����!7-;���������������������,���������������������222�7-���,���+���� �������������������� �������������� ��
'�����/;� $����������������������������
������������������������
#!+����""����9������������������X�����
9,� �������;�������������������������������9;���������������������������������������������������������(������������������������ ���/2��������������������������������������������������� �����/2� ������9;������������� ������������������������(�������������������� �������������� ������;����������������������������D2������22������������������ �����������������������������'�����/;.��������������� �������������������9,�� ,�������������� 9,�� ���
�����/�.�%� ����&������������� ��������������������������������������:����������������"����������������������������,������������������������������������������;�����������'�����/;.�������������������������������������������
�=�
�>�
�?�
�"�
�!�
���
� �
�
�
��
� �� �! �"� ? � � ?? �
#��������57�
$����������� ������1�
�
1
:
,
'�����/;. ��������-������������� �
������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!##
�3:�5�� �����������������7-
9���������� ���������� �����������
�A ;1A�D ;.0�1 ;0�1
.2 ;12�1 ;./�. ;A�.
.1 ;//�D ;.2�/ ;/�/
:��1 ;:@�/ ;�D�� ;:�2
/2 ;:/�A ;�/�. ;.�2
12 ;:2�. ;���A ;��:
A: ;.A�. ;@�: ;2�0
02 ;..�1 ;D�/ ;2�1
�22 ;�@�� ;1�A ;2�:
�.1 ;�A�� ;/�. ;2�.
�A2 ;�:�/ ;:�2 ;2��
.22 ;�2�@ ;.�2 2
.12 ;0�A ;��: 2
:�1 ;A�A ;2�0 2
/22 ;/�0 ;2�1 2
122 ;:�. ;2�: 2
A:2 ;��@ ;2�� 2
022 ;2�0 2 2
�222 2 2 2
�.12 T2�A 2 2
�A22 T��2 2 ;2��
.222 T��. ;2�� ;2�.
.122 T��: ;2�. ;2�:
:�12 T��. ;2�/ ;2�1
/222 T��2 ;2�D ;2�0
1222 T2�1 ;��. ;��:
A:22 ;2�� ;��@ ;.�2
0222 ;��� ;.�@ ;:�2
�2,222 ;.�1 ;/�: ;/�/
�.,122 ;/�: ;A�� ;A�.
�A,222 ;A�A ;0�/ ;0�1
.2,222 ;@�: ;���� ;���.
�����/�. 6�������������������������
#$
��������
���������������� ��
�������������������������������������������������
Measured acoustic functions
"�����������������������������������������������������������������������������������������������������������
Calculation of acoustic quantities
Acoustic measurement surfaces
Frequency bands
Field indicators
������1 9���������������
����������������� ��!������� ��!#%
5.1 Acoustic measurement functions
�������������������������������������������������������'�������������������������������������� ����������������������������������1�.�
Sound pressure level
������������������������/;�.���������������������������������������"������������������ ������������������������������
'������������������������,�������������������������������,������������������������� �������������������������������� ����"��������,����������!��������������������������,����������������� ��������������������������������� ��
Sound Intensity
���������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������
"������������������������������������������������ ������������
����������������,� . �,������������������
"������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������"��������,���������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������9�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'�����������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����!��.� .��)F��=�
���F�F�
6���6�.�������������������������������������������������������,����������������������,�,���������������������������� ����������������
9���������������
#)+����""����9������������������X�����
'��������������,���������������������������������������,���������������������������������� �����������"�������������������� ���������������������������
��������������������������%�������������������&���������������
.���/��,�F�F��=F�F� ��=F���F�F�F�
�����!��
'����������-�������������������������������%�����������������������&�������������������������������,������� �����������-���
Residual intensity
����������������
�.�4����F.� ����!�
����4���������������������������� ��������F.���������������������
����������(����������������������������������������������������� ����������������������������(�� ������������������������������"������������������������������������������������������������ ��������������
4����.��4.�4� ����!�
I� ��������������������/;�.,�����IF �����������/;�2���"���������������������������������� �����������,����������������������,������������������������������������������������������������%4�� ��F.�
&����
�������������������� ����������������������������������� ���������������� ��
������1 9���������������
����������������� ��!������� ��!$*
Pressure residual intensity index
'����������������������������������������������(����������������������,������������������������������������������������������������������������������������ ���� �������"��������������������������������������������������������������������,�����������������������������������-�����7�� �,����������������������������������������������������������������������������������!����������������������������������������������������������!��������������������������������������������������������������������������������(����� ������������������� ����6��������(�,������������������������������������������ ����������������������������������������"������������������������������������������������������(���>��������������������������������������������(���
��.�� 2F4��4. F3 ����!�!�6
����I� �������������������� �������IF���������������������������� ���
Dynamic capability index
"��������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������<���������������=�%�&
4����.��F �F�6� 4. � 4� ����!�#
�����������������������
I,
� !�
4�
�1
�������
4.
'�����1;� )��������������������(���
9���������������
$�+����""����9������������������X�����
���<���������������=�%�&����������������������������������������������������������������
F��������������� ���������������
+������� %�������& �2
$�������� %������.& �2
��� � %������:& D
�����1�� ���������������%�&
�������������������������������;����������(�����������������������������������������������������������������������<���������������������(=��I,�������������
4�� 2F��.���F3 ����!�$�6
������1 9���������������
����������������� ��!������� ��!$�
5.2 Calculation of acoustic quantities
9������������������������� ���������������� �������������������������������������������������������������1�.��� ������ � ����������������������������������������������� �����
������������������������ ����������������������������������������������������������1�/��������������������������� ����!��������������������������������������%����&��������������������������������������������1�:�
Effective sound pressure
������� ���������������� ������"� �������������������������������������������������������������������������
��� � ����
��
� �2�3 �� ��
����!�%
� ����
��
��2�3��
Acoustic intensity
���������� ��������������������������������������������������������������
. ��
��
��
. 2�3�� ����!�)
6�������������������������� ������������������������������������� ������,����������������������������������������������������������� �����������������������������������������
.���� �F�F/
����!��*
�� � �� ���
�� � �� ���
. � .�
. F�F�
,
.
�
9���������������
$+����""����9������������������X�����
�����������,�����������"������������������������+�� �+�����������������,�
Sound power
�������������������������������������6�����������������������������������������������������
�� . F�F� ����!���
?���������������������,�������������������������������������������� �������������,�������
����� �F/F�F� ����!���
Particle velocities
������������������������������������������������������������������ ������
, � .
�����!��
9�����������������������������������������-����������1�.���%������������������������������������������ ��� ���������������&
9������������� ������ 4��������� '������ >B�����
$���� �%4>�&������������
�� ���������������������
+����*3�.�
��������������4
"����� ������ 63�.
���������� E "��������,���� 6�
���������������������,����
%�&
����������������,����
%�&
+������ ����� ���������,������������
�3�
�����1�. 5 � �������������������������������������������
��� �F/�F�
��� �F/�F�
������1 9���������������
����������������� ��!������� ��!$
5.3 Acoustic measurement surfaces
9������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������9��������-�����������������������������������������������������������������������"�5�����������������������������������������������������
ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ
�������/� ���
����������������������
�����
'�����1;.������������,�����������������������������
9�������������������������������������,��������������������������������
9������������������������������� �������������������������������������������,���������������������TW����������������������������������������������������������
Acoustic ISO standards
$��%�&'()**���%�&'()*+������������������������������������������������������������������������������%���;&������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�����������������������
9���������������
$!+����""����9������������������X�����
"�5;:D// 9��������;�)������������������������ �����������������;�$���������������������;���������������� ����������������
"�5;:D/1 9��������;�)������������������������ �����������������;�+���������������������������������;�������������
$��%�&',-.*'.����������������������������������������"��������������������������������������������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������������������������������������������������������
������1 9���������������
����������������� ��!������� ��!$#
5.4 Frequency bands
6�� ������������������������������� ����������������������,��������������������������
��� ��
��
�2�3�� ����!��
����������������������������������������������������������������� ����������������������������G
�� ������
�
�����������!��!
���� �� 0��*��+�7 0��*�7+�8� �9�88 �88� �9��87
���������������!�������������������� �����������������������������������,�����12�8���������������������������"���������������������������������������������
"�����������������������������������������������������������������������������������������������������"������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������!����������������������������������������������������������������
9���������������
$$+����""����9������������������X�����
5.5 Field indicators
6�����������������-��������������������������������������������������,����������������������"�5�@A�/;�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������9������������������������������,���������� �����������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������
F1 Sound field temporal variability indicator
������� ��������������������%�����&� ����������������������"���������������������
����!��# ���.
��� �
�����
2F. �� . F3��
6��� . ���������� �������>���������� ��������F�� ������������������������������
. � �������
. � ����!��$
F2 Surface pressure–intensity indicator
"������������������������������������������������������,��������������������� ������������������������"������������������ ��������� �,����������������������������������������9���������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������;���������������(������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������,��������������'.��������������������� ����� ������� �����������������������
������1 9���������������
����������������� ��!������� ��!$%
����!��% �� 4��4G. G
4� �������������������������� ����������
4�� �� �����E�� �E�
���
�����
�!�����!��)
�����������������������������������&����������������������������%������������������&�
4G. G ������������������������������������������� ����������
4G. G� �� �����E�� �E�
���
G. �G.��!�
����!��*
����G. �G�������������%�������&� ����������������������� ����
Note! A large difference between intensity and pressure suggests that the probe isnot well aligned or that you are operating in diffuse field.
"�����������������2� ������������������ �������������������������%��������&���������������������������������
F3 Negative partial power indicator
�������������������(�������������������������������������������,������������������������������������������!������������������������������(�������� ����������������������������������������������� ��������%����� &�����������������������(�������������%���� &�
����!��� ��4��4.
4� �������������������������� ����������� �
9���������������
$)+����""����9������������������X�����
4. ����������������������������������������� ����������
4. � �� �����E����F�E�
���
. �.�F���� ����!���
Note! If the quantity � . �.� is negative, then the effect of extraneous sources is
too great and the set of measurements do not satisfy the ISO requirements.
"�����������������2 ������������������ �������������������������%��������&���������������������������������
F4 Non–uniformity indicator
�������������������������������%������������&� �������������(���������������"���������������������������������������������� ������
����!�� &��.
�� �
����
2F. �� . F3��
6����������������������������������&������������������������������ . ������������������������������������� ������!��� ����*��������
. � � E����
. � ����!��
"�����������������2 ,��������������������������������
5.5.1 The criteria
������������������ ��������� ���������������������������������������������
������1 9���������������
����������������� ��!������� ��!%*
Ld – F2 Measurement chain accuracy
"������������������������������������������������������������������� ������������������������������"�5�@A�/;�,����������������������������(�%I,&���������������������������'� ����������������������
4�� �� � "��������
I, ����������������������������������������������������*5��9F���2� ��������������������1;�0���I, ������� �����������������������������������(������������������������������������������
"������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������
F3 – F2 Extraneous noise sources
"�������������������������������2� �����2 ���������������%��������:� &,��������������������������������������������������(���������������������� ������������������������������
"��������������������������������������������:�� ,�������������������������� ���������������� ��������������������������������������������,��������������������������������(������������������������������������������������������������ ��������
Measurement mesh adequacy
9����!������������������������������������%���&��������������������������������������
� :F�F &E� "���������
��� &�����������������������%����&���������2 �������������������������������1;.:'��������������������������1�:�������������������������������
6������������������������������������������������(����� ������'�2
���������������������� ������������������
9���������������
%�+����""����9������������������X�����
�������������%7-& �
5�� ����� �3:�5�� ����� +��������������
$��������������.
��� �������:
A:;�.1 12;�A2 �@ ��
.12;122 .22;A:2 @ �@
�222;/222 022;1222 1D .@
A:22 �@ �/
9�������%A:�;�/!����12�;�A�:!&�7- 0
�����1�: #����������������������������������������
%
���������
�� ��������
����������������������������������������������������������������������
Basic theory relating to sound quality
Sound quality analysis
9��(��� �����������������������������������������������������������������
������A ������������
����������������� ��!������� ��!%
6.1 The basic concepts of Sound Quality
Sound signals
�����������������������������������������+�,�������(������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �����������%���������&�������������������������������������������;���� ������������������������(���������������� ��������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������,������������������������������������������� ����� ����������������������������-��
������������������������������������������������������������������������� ��%�+�&��������I�����������������������/;�.�������������������� �����.2��E����!������������������-����������������������������������������������������2227-��������������������� ����������
����������������������� ��������������������������������������������������������������������,�����������������(������������������������������������������������������� �������������� ������7������������������������
/�����#�� ��������������������������������������������������������.2!7-�������������������������������������� ��������������������,�������������������������������������������������������������������������������(������������������������������������ �����������������������I����������������������)�����������������������������//��B7-�����)9�����������/0!7-�
����������������9���������������������-����������������%����������+�&����������������������������������������������������������������������������%�����&�������<����=���7�� ���������� ����������������+�,����������������������������������������������,����������������� ���� ������������������������������������������
������������
%!+����""����9������������������X�����
The perception of sounds by the human ear
9�����������������(������������������������������������ �� ������� ���������������������� ����������������������������������������������������������������������������(,����������� ��,�����������������������������������������������������"���������,�������������������������� �� ���������%���<��������=&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������� ������������������� �������������������
+�����������,���� �,������������������(������������������������������������"������������������������������������������������������,����!�������,�(�������,�� ������,����(,�����9������������,������������<����=����������������������������������,�������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������'����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��J�K����
The hearing process
��������������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������� �������������������������������������������������� ���������������������������������������,J�K�
'�����A;���������� ��������������������%�����J!K&������������������������������������������������)������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������2�!7-������������������!��������������������,��������������������������������������������!������������������������������������������!������������������,����������������������
������A ������������
����������������� ��!������� ��!%#
&��&��
@������@�������
@����(�����0�
�������� ��
:�(���
��������0���
��������������
3����'���'
����5�����
$����'���'
������
3�������� 8��������
2������
����������0���
'�����A;� ��������������������
Binaural hearing
9���������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������122�7-,�����������������������������������������������������������������-����,��������� ������������������������� �����������������������������������������������������������
+���������������������������������������������������������������������-�,���������������������������������������������������������������������������������������J��#K����������������!�����<����=�������������������������������=�������������������� �����������������������������������������������������!������������
Sound perception
�������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������!�����������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������,���������������������������������������������������������������� ������������������������������������
������������
%$+����""����9������������������X�����
����������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������������<�������=������������������������������������� ����"���������,������� ��������������������������������������������� �� ����������������������9���������������������������������,��������������������������<����=�����������������������������������������������������������������������
Loudness
����������������� ���������������������������������������������������������%����������&��������������������������������������������� ,�������������������������������������������������������������������������������� �����������������'�����A;.�J!K�������������������� ������������ ������������+�,��������������������������,��������������������������������������������������������������� ��
'�����A;. $�����������������������������Q1R
Pitch
������� ��<���������������=,������������<����=,�����������������������������������J#K�
������A ������������
����������������� ��!������� ��!%%
�������������������� ������������������������������������������ �,�������������������������������������������������������+����������������������������������������������� ����5��������������������������������������<���������=���"�����������������������!�������������������,����������������������������������������������������������������������������������9�������������,������ ��������������������������������������������.G���������������9������������������� ���������������������������������������������������������������.G����'���(�����������������0!7-�����������<���������=���������:227-�
����������������������������������������������(������,��������������� ����,�������������������������������������������<���������=���9�������������������.1�7-��������������������������������,������������ ����������������������������������������� ���������������������� ���������������������������������������������������������������,��������������������������L"��?����������������������.1�7-���������������������.1���,��������������������,�//27-,�������������������������������������������� ����
9��������������,������������ ������������������������������������� �������������������������������(������������������������������0!7-�������<���������=�����:227-,������������������������ ������������������������������������������������0�!7-����������������������������.�22����������������������:22�7-������������������������������212��,������������������.�22����
Critical bands
������������������������������������������ ������������������������ ������������������������ �������������������������(������������������ ��������������������2�7-,�������������������122�7-, �� ���������������������� ����%�����.:�8&���������������������������������������������������������������;��������������������������������������� ���������������������������<�������� ���������=�������< ��!=������������������������������������������A���
������������
%)+����""����9������������������X�����
�������� ����% ��!&����'�������%7-&
��������%7-&
�12�22
.�12�22
:.12�22
/:12�22
1/12��2
A1D2�.2
DD22�/2
00/2�12
�������� ����% ��!&����'�������%7-&
��������%7-&
@�222�A2
�2��D2�@2
���:D2.�2
�.�A22./2
�:�012.02
�/.�12:.2
�1.122:02
�A.@2/12
�������� ����% ��!&����'�������%7-&
��������%7-&
�D:/22112
�0/222D22
�@/022@22
.21022��22
.�D222�:22
..0122�022
.:�2122.122
./�:122:122
�����A�� ���������������������
Masking
���������������������������� ,��� ������������������������������������������������������������'���(����,����������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������5������������,��������� �������������������<���!=������������� �����������������������������������
9��(�����������!������������������J!K���9�12�� ,�/�!7-����%���!��T&�������������������������������;���������,��������������.22�7-,�������� �����@2�� ���"���������� ����������22�� ,�����������������
#������
����� �����������������1�
�(���(�������(����/
;�����������6�/�����
'�����A;: >��!�����������������������������O1P
������A ������������
����������������� ��!������� ��!)*
������������ ����������!���������,������������������������ ����������!�������������9����,������������������������������������������������������������������� �����������������������!����� �,��������������������������������������������������������������������������!������������
Temporal effects
'������,�������������������������������������������������������������������<��������=����������������������������,����������������� ����������������������� ����������������������������� ��������������������������������������������������������������������������.22������'�����������������,��������������������������������������
����������������������������������!����G
�;������������������������������������������������������������������ �����!������������� �������������������<��;���!���=���������������������������������������������
�;�9�������������������������������������������������������)������������� ��������.22����%������������!������������ �&,�����������������������!��%���;���!���&�
�;�"����������������� �����������������,��������������� ���(��������������������������,���������������,�����������������������������������<��������������!���=�
9���������������������������������������������������J#K�
������������
)�+����""����9������������������X�����
6.2 Sound quality analysis
5������������������������������������������������<���;���;���;��;��;���;���;�=���*�������������������������������������������������������������� ������������������������������� ��������������'��������<���;���;��!;��;��;���;���;���=��������������������������;������������������������������������(����������������������������������������9��������������������������������������;����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������A���
"�����������������������������������������������,�������������������������������,����������������������������������������"������������������������������������������,����������������������������������������������� ���������������������������� ���������������������������������������������������������������� �������(�������������������������������������������������%���<������=&,����������������������������������<������=������������
9��������������������������������,�����������������������������������������������������<����=�����������(����������������������,��������������������������,�������������,����������������������������!����� ��������$(��������� ���������������������������������������������������������������������������������� �,�������������,��������������,��������������,���������������!�������(������������� ��������������������,�������������������� ����������!�����,����,�����,������,�����,��,�����!,�������������,���������,���������,���������,����������,����������������
����� ��������������������������������������9������������������������������������������������������,������ ���������� ���������$(�����������������������������;����,����������������� �������������������%���(����&�����������������,������������������������������,��<�������=��������������!,���������������"���������,������������������������� �,�����������������<����=�
Analysis of sound signals
7� �������������������������������������,� ����������������������������������������������������������������������������������
������A ������������
����������������� ��!������� ��!)�
ÄÄÄÄ
#������/
:�������������
Analysis
ÎÎÎÎÎÎÎÎÎ
#�$���
�� �
#�$���
�� �
%� ���
%� ����$
� ����� ������/
'�����A;/ ���������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ �������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������(�������������������������������������,���������������������������������������������������������"��������� �������������������������������,��������%���;(����� &�������������������������
%�&������������������������� ������������ ��������������������������������������������������� ������������������������������������ ��������������������� �����������������������������������!�����6������������������,�������������������������������������������������������������������� ����������������<����!=�������������������������������������;����������������������������������������� ��� �����������������������������������������������������������
%�&�������������������������������������������������������������;��� ���������� � ����������������������������������������������������������������������������������������������������
����#�������"���������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������,�������������������������
������������
)+����""����9������������������X�����
9���������������������������������������,�������������������� ���������<���=�������������������������������������������������������������������
Binaural recording and playback
������������������������������������������������������,������-,��������������������������������!������������������������������������(������������������������ �(������������������������������������������������������������������������ ����� � ���������������������������������������������������� �� ���������"�������� ����������������������������������������������������������
����A�������������
%�������$
��������
������&����
'�����&����
��(������&����
"���)�����
����������(��� ,����������
#�������,������������
;������
'�����A;1 ����������������������������!
"����������������������������������������!����(�������������������������9���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:)�����������������"������������������������ �����������������������(����������������������������������������������������������������������������������������������������������;�����������������������������������������9�������������������,���������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������!��������������������������,��������� �� �����������������������������������������������������
9������������������������������������������������,������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������
� ����0�����I��������������������������������������������������������������,����������������������������������"���������,���������������<����=������������������������������������������������������������������������������������������������������,������,�����������,�
������A ������������
����������������� ��!������� ��!)
9������������������������-���������������������������������������������������������������� �������������������������������������������9����������������������������������������������������������������
����,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������������������������������������������,���������������������-�������������������������������� ������;������-������������������������� ����;�����-�����������������������������������
$����#�����������������������������)9����������������������A������������������6���������������������������������,���������������� �������:.������������������������������� �������� �����������������������������������
"�����6����������������������������������������,�����;�����-�����������������������;�������������������������-������������������������������������������"���������,�������������������������!�������������������������������������������������������������������������
������������
)!+����""����9������������������X�����
6.3 Reading list
� D.LUBMAN=������;<�2��!=��$������4��)���>���� ���������:� ���2�� )� ���� )=�Q�"�R�����!�9������������;����������=�����
� J.BLAUERT=�������2������ )=���)�+����=���$,������2��3=��0���
� W.BRAY ET AL=�?�,�2���� ��� ��-������6� �<��2�����<���� ���/# ��<�=�+�����9���������A0�=�)�������29N3=�Q"����&8�/=��00�=����&&�8&#��
& D.HAMMERSHOI, H.MOLLER,�6� �<��2��<��2������ �@��������2������� ����� < /A��� �����<����� ��<�� ��<B��/��=�+�����������0�����; ����'�����=�<������2�3=����=��&8�%=��00�=�%���
# J.HASSAL, K.ZAVERI=��/�<���/����������<���� ��=�6�"���S�>T���=��>��#��9���R"$=����$���=��0��
/ E.ZWICKER,H.FASTL,���!/#��/�<���/�=� �/��� � ������2�=� �������� <�����=� 6�����2?��$���3=��00��
% Q�*1��; =�����/#��! �#������ ����/�) ���� =�<���9�������(������=� ������$=6��������24>3=��0���
� ��*4 ��9=�Q�?1;��; =���������/�2��,�2<���� ����� �� �!� /��. ��������� )� ��������/���� )�=� �;�+�����0�����=�+����� �;�9���������<�,���������!������=�)��R'���������2��3=������/8����00������#08�/��
0 *� *�--6�;9>;(�;)���=�?�,�2���� ��� �����2�/���� ����� ��,�2<���� ��/# ��<������������#���<B��/��,��:#���/�������� )� ������=� �;�������0�����=�+����� �;�9��������<�,���������!������=�)��'���������2��3=������/8����00�=�����/08�%0�
�� >�)�>�9����;)���=�.����,� )�. ����������������</���?<�� )��//�2������ =� �;������0���%�=�+����� �;�9���������<�,���������!������=�)��'���������2��3=�����/8����00�=������08�&��
�� ?��(�)1=�?�(4 +�=�. �2<� /������#���������� ��2������ )�� ��#���,�2<���� �����<B��/A��,�������;<�2��!=�+�����������!�������������������������!����������<��������$R!��=�1���&8�/=��00�=�6�������2����3=���������8��&&�
�� �9);(9�)�19���1(?�9�5�)�19�-1(� )�9��(��5�)�19=����#��� ���:�2/<2��� )�4�<� ����4�,�2=�� 18#��8�0%#�2;3
�� ;�5 ��>;(� ;)� ��=� ���)���� ���� :�2/<2��� )� 4�<� ���� �//���� )� ��� ?.CD�E�*.�FDE76+=�Q�"��������"���� ������Q���2;3=�<������=�9���=��00��
�& �Q� );<;9 =����/��<�������:�2/<2��� )�4�<� ����@������>..=�Q�����"��� �����$�=�<�����=�9����=�����#%%8�#�#=��0/��
�# �Q� );<;9 =����/��,���4�,�2���������B!������>..�� ��?�/�B�2=�Q�����"��� �����$�=<���#��=�9���=�����#%#8/��=��0%��
�/ ;�5 ��>;(=����/��<��� ����:�2/<2��� )�4�<� �������������22!�>����B2����< ��=�Q����"��� �����$�=�<����/�=�9����=����/%#8/��=��0%%�
�% ����6;(�9;>=�:������������������ ��>�B����� �� �:���< �����=�6<�2�� )��� ��>�#�/2����������� ��>�B����� �:� ���2=���'�����������=���?���8*��������=��0���
�� ��4(; =�6���/# < )�,����#�� ��G����� ��� �����/#� �5�#2�2� )�B�2��B�)� ��/#�22��)A �2�=���"����=�<���#0=��������8�&�=��0�#
������A ������������
����������������� ��!������� ��!)#
�0 ��51��9;(=���!/#��/�<���/���<)# ��������$�;<�2��!�:������� =�����7�;��������=�00��
�� ��4(; =��� �6���/# < )�,����#�� �������<#�)����=���"����=�<���#�=������/�8���=�0�#�
�� ��-�(4 ;�=�5#������/�������;<�2��!�. ��/��=�+�����;������������������� ����� �$����"$����9<*�����������8�+��,��$� ��"����=�1����=��00��
�� ��-�(4 ;��;)������<B��/��,���������� �����?����2�>�#�/2������=� ����;������0�#��%=�(�!�����0U�&&=�-� �)�����!�������;�����������!������"��$��=�����%8&�=�00��
�� ��?�-� *=�>�#�/2�������;<�2��!����$�����.����,� )��#��:����2���� ����FB��/��,�����A�<���� ���$��#��<B��/��,������ )=���������;��8�������0�#��/=�(�!�����0U&/��-� �)�8���!������=�;�����������!������"��$��=������08�/=��00��
�& ?�)1 9 ;9�=����$�������/#�����#��� �2!�������.��<2��,� ����� ��#���������������>�#�/2��=�+������"����A�0=�������%U�/�
�# �1)1(��9�4 )(N�(; ;�(�*�� 1���)�19=�.����,� )�:����2���� ����FB��/A��,�� ����<���� ��� $��#� �<B��/��,�� ���� )� ��� >�#�/2�� ����=���(�� �������� �����>��//��/�
�/ -�>�6(�9���;)���=���:� /��������?��� ���� �����<B��/��,�������:#���/��������6�����������������/�� ��>�#�/2����������</��� �������)���=�8�+����������� ���������8�0=9������6����2��3=������&8/=��0�0=������%08�����
�% (� �)*1�� =���?�,�2���� �����/�������.����,��>�#�/2����< ��;<�2��!=� �;������0���%0=�+���=� �;�9���������<�,���������!������=�)��'���������2��3=�������8�/�00�=������&08�#��
�� ?�(�6�;9<;94;=�����916��;=�#������� � /���������/# ��<��� �:#���/������ )���/����� �����������) �2��:� ��� � )�?��/������ ��=�+����� ���������� A0�=�)�����=������=�Q"�����8��=��00�=��������#8�����
�0 >�) 4?;�;)���=�����<�!���������� �>�#�/2������� )���:�������� ���<�� )��//�2���A��� =� �;��������#�0//#=�+����������� �;�9���������<�,���������!������=�)��'��������2��3=������#8�%=��0�#=������%8�&�
�� )� �>�)��;)���=�FB��/��,������ )�����<�B2��� �>�#�/2��+�����������$���$����"����������������=� �;��������0��##=�+����������� �;9���������<�,���������!������=�)��'���������2��3=������/8��=��0�0=�������#8����
�� �N�?� *� *�=�� �2!�������:���. �������������<�� )��//�2������ ���� )� � ����/A/�< ���<�����!�.�������� �=�Q �;�(�'����2;3=�<������=����&=�1����00�=�����#�8/��
�� >�-4Q�)��;)���=�������/#�� ���< ��;<�2��!��,�2<���� ����#����������#�<�������=Q �;�(�'����2;3=�<����0=�9����=��������0��=�������8���
�� �$�������9������� ������=� ����&8�0%%�2(��/3=����� )������$��#������/���������/#. ������� /�=����"������ �������!��$������
�& *� );;9;>;9=�)�*14)?� )=����.=�����2������,�2<��� )��<�������=�6�"���S>T����)��������(�'���=�����8�0�#=�������8���
�# ��9�>��4(�=�)�N��� *�)�=���< ���,�2<���� �� �:����B!����.����#��=�Q �;(�'���=�<�����=�9��&=�1���00�=������8&��
�/ *��1��;(=� < ���� ��2�����6� �<��2��/# �2�)!=������������"����=�<�����/=��00�=�����%�8����
������������
)$+����""����9������������������X�����
�% >�?;94�)=���64(>*�(�=�������/��2����������<���� ���!����������<B��/��,���,�2A<���� ������< ��;<�2��!=� �"�������<�,�����=�������00�=�������8���
�� ?����*;�=�?�;66�)=�6� �<��2�����<���� ������4�<� �������������������� ��#���,�2A<���� ������< ��;<�2��!� � ��<����B�2��=�+�����9���������� A0�=�)������� 29N3=� Q"���&8�/=��00�=�����&��8&0��
�0 ?�)*;��;=�#��.������ /�����?���<��� ��2����<�2������ ������������#� �/���/���� )� ��������</��� =�+�������8�)��$�������"��=��0�&�
&� �� ���9���=�+�(��191<�9=�� ��,�2<���� ����6� �<��2�����<���� ���!���������/�<���/� �� ��</���=� +����� 9����� ���� 0�=� )������� 29N3=� Q"��� �&8�/=� �00�=� ���&//�
&� *�*���;( *1�=�*��1��;(=�������/��2���������� ���� ��2����/���� )�H���$�5�22?��#�!����<2�������2�������I=�+������&����=�6��T���=��00�=�+�����*/8%�2���3�
&� >�?;94�)=�*�?�;(���*=� . ,����)���� �B��$�� �FB��/��,�����������<���� ��� ��<B��/��,��:2������/���� =� �;�+������0��#&=�+����������� �;�9���������<�,��������!������=�)��'���������2��3=������/8����0�0=�����0#8����
&� *��1��;(�;)���=��� �����:#���/�������/����������#� ��=�+�����0�����; ����'��R���=�<������2�3=�������&8�%=��00�=�������
&& N�1>��1)1�;)���=��,�2<���� ����>�#�/2���F< ���#��<)#��! �#���������< ����#������� �����?��,� )�F������� =�Q �;�(�'����2;3=�<�����=�9��&=�1���00�=���#�8#%�
&# ���*4)�*�9 �;)���=�����=�>�B����� �� ������# ����������#��/<������J����� ����>��$=�.��/#��������K7D�L�=���������0U�&0=�+�����-� �)�80�����!=�;�����������!�����"��$���
&/ *��1>��;)���=�����/��������$����2� ��>�B����� �� ���< ��;<�2��!�� ��#������� )��:�������� ��?<�� )��//�2������ =� �;��������%�0##=�+����� �;�9���������<�,��������!�=�)��'���������2��3=��������8��=��0�%=����#�8/��
&% >����+�( 19 =���Q��?(�--�9=����#�������������/�� )������ )���>�B����� �?��/��A����=� �������!��"�$��'��;���������)��������+����� ���������0��
&� ��Q�� ?(�--�9=� �� �B���� ��� �<�� � >�B����� =� �����$��� +����� ���� � � 69�8��8���&�8&
&0 Q�����;�)*;( 11�=�����6�(>;(=���-����F��� ����� ��:���<������������2������������ )�>�#�/2�������;<�2��!=�9� ��)��������+�������00�2�0�&3
#� ������������ ������=�(�!��9���� 1��/��U��8��0�#�2;3
#� ������������ ������=�(�!��9���� 1�#�&0�8��0�/�2;3
#� British Standards Institution=�����<���� ��� ���,�2<���� ����#<�� ������<������$#�2��B��!���/#� �/�2�,�B����� �� ������������#�/��(�!��9���6 �/�&��8��0�%
#� �$�������9������� ������=� ���&�8��0%%�2(8�0�/3=����� )������$��#������/��������/#�. ������� /�=�������!��$������"������ �������!��$������
#& �9 �� ��#=�:�2/<2���� �����#������/<2���� �� ���=���$�������9������� ������������R"�=�����=��&���6�������=�9���N���=�9���N����������4 �=��0/0
## ������������ ������=�(�!��9���� 1�#���8��0%#�2;3
))
���������
�� ��������
"�������������������������� ������������������������������������������(����������������������,������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������� �������������������������������������(��������������;�� ���������� ����������������������������������������������
Sound pressure levels
Loudness metrics
Sharpness
Roughness
Fluctuation strength
Pitch
Articulation index
Speech interference levels
Impulsiveness
���������������������������A
������D �����������
����������������� ��!������� ��!�**
7.1 Sound pressure level
����������������������������������������������������� ��%�+�&��������I�������������������������/;�.�
������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4>��� ����� ����������������������� ���������,������������9; ;������)����������������������������������������������(���������������������������������������������(����������������������������������������������������������������� ��������������
Time domain sound pressure level
����������������������������������������������������������� ���������������"$��A1������9*�"��"�/;�@0:����������
'��������������������������������������������������9,� ������������������������� ����������������������(����������� ���������� ������������������� ����9��(����������������������������
%����� &�������������������������������������������������"���������������
����������������������������������%���&��������������%���������-�&� ����������������
��J�:1��������"������%��!�&�����������J��.1��������������������������������J��222����������� ������������������
������������������������%���&�������������������������������������
6�����������������������!������������������������������L�������M����������������!����������������������������"����������������������������� ������������������,�����������������������(�������6�����������������������,����(��������� ���������������������������������,���������������122����������������������������������������������,�������"�����������
�����������
�*�+����""����9������������������X�����
7.2 Equivalent sound pressure level
���������������G�"�5�@@A3�;�@0.�����"�5�@@@G�@@2���� �������������������<��� ����9;�������������������� �����������=������������9�,��
��������������� ���� ���������9;�������������������� �����������������,��������������,����������������������� ����,������������������������������������������������������������������� �� �����������������������������(�������G
4���=� �� ������
��
��� �����
��
F���2�3
���
F�����
�����$��
���
�9�,�� �������� ��������������9;�������������������� �,�����������,��������� ���������� ����������������������������.
�2� ������������������������%.2�+�&N
�9%& ����������������9;�������������������������������������
"����������������������������� ������������������ ������������������������������������� ������������������ �,����� �� ��������������������������
9����������-����,������������������������������������;9;��������������������������%&�����������,��
������D �����������
����������������� ��!������� ��!�*�
7.3 Loudness
���������������������������������'�����A;.�������������L�����������M�����������������������������������;����������(������������������������������ ������������������������������� �� ���������������� ����� ����������������������������������(������������������������������ ���������������������������� ��������������������������������������� ���������������L���,�������+��?�
������������ ����������(���������E���������!7-;����������������������,�����������������������!7-���,���+���� ������������������� ��������������� ���������������������������������������������������������������������;����������������������������-�����"�5�..A;�@0D%$&�
9�������������� ���������%����������&�+���� ����������6����%6&,������������������+����%E&��������������������G
����$���� �2��&�3���
�����������=�����������������������(�����������������!������������������9������������������������������������������ �����/2�+�����9������������������������,�������� ������������,�����%���&� ���,���������,�������+�������������2�+�����������
6��������������������;��������������������������,�����������������������������������������������������������,���������������� ���������������������������!���������������������A���������������L������������M���"����������������������<���������������=�������,�(��������������3 ��!�
'�����������������,���������-������������������������ ��������������W���!������� �������������������"�5����������J��.��.��K���9�������������������� ���J�!K�������������������������"�5����������
�������������������G
� ����� ������������������������� �������������������� ����������� �������������%�������&�������������������
� ����� �������������������������������� ��������������������������,��!������������������!���������
'������������ �������������,�W���!��������������������������������!��������������������������J�#K,���������������������������"�5���������
�����������
�*+����""����9������������������X�����
7.3.1 Stevens Mark VI
���� ���%>��!�#"&�����,���������-�����"�5�1:.;9;�@D1�����9*�"�:�/;�@02,�������������� �������������������� ������������������������������������������������������������!7-���"�������������������,�������������������������� ��������,�������������������������������������������-����� �,�������� ������� �������� ����������������������������(��������'�����D;���������������������� ������������������������������������%�������&,��������������D;:�
����$���� ��� F2F��� ��F3
��� �M� �J �����������������������M" �J ��������������������������,����������J ��������������������������������������,��������2�J ����������������������������������,������������!����
������"��������������������� ���������%2�:���� �3����� �,2��1������3:���� �&�
'�����D;� ��������%>��!�#"&
������D �����������
����������������� ��!������� ��!�*
7.3.2 Stevens Mark VII
9����������������������������� ���>��!�#""�J�!.��$K,������������������������������������������������%���'�����D;.�&,�������������� ����������������������2�����������D;:�����������������������:�127-���9�������������������%�������&,������������������<���� ������������ �=�%+�� &����������,����������:.�� ��������������������������:�127-���+�� � �����������������0�� ��������������������� �����+�����$(���������������������J!K�����J�$K�
'�����D;. ��������%>��!�#""&
7.3.3 Loudness Zwicker
������������������������W���!�������%��������-�����"�5�1:. &�����������3:���� �������������������� �����,�������������������������������������,��������������������"������������������������������(���������������,��������������������������
�����������
�*!+����""����9������������������X�����
���������!��"�������������������������>��!�����������������������������������������������������������9������� �������������������<���!=������������� ��������������������������������������9��(������������!������������������J!K���9�12�� ,�/�!7-����%���!��T&�������������������������������;���������,��������������.22�7-,�������� �����@2�� ���"���������� ����������22�� ,�����������������
#������
����� �����������������1�
�(���(�������(����/
;�����������6�/�����
'�����D;: >��!�����������������������������%1&
����������������������������������������������������������������������� ������������������ ����������!������!��������������������������;������������������������������� ����������������,���������������������!����������������������������������������� ��������������������������� �����!����������������������������� ��
'�����D;/����������(����������W���!�������������3:���� �����������������������������������W���!����������
������D �����������
����������������� ��!������� ��!�*#
#������
����� �����������������1�
'�����D;/ $(������������������������������������W���!�=�������Q1R
�������������������������������������������������������%������ �������&���������%���!�� �������&�������������������W���!����������������������������������������-����������������������������������������������������''�;�������� ������������������������ ��������������-������������������������������������������ ����������; ����������������������������������������
���W���!����������������������������������������������������!��������!����������������������������������������� ������������������������������!������� ���������
������������,������������������������������������� �����������������������������������������(�������������,���������������� �����+�������������������������������������������������� ���������������� �������������������� ��������������!�� ��������
�����������
�*$+����""����9������������������X�����
7.4 Sharpness
9�������������������� ����������������������������������<��������=,�����������������������������������������%�����&����<����=���������������������������������������������������������������������������������;���������������������������������������� �����������������������������������
4������,�������������������������������������������������������,��������;�����������������������������9�������� ����������������������,�(����������������������������<����=��������������������������������������;���������,��������������������,���������������������������!7-������� ������� �����A2�� �
��������������������������������������������������������������������������'�����D;1�J#K��������������� ����������������������������������������������������������������,������������������� ��������������������������������������������(�������%�2!7-&���������%2�.�!7-&���;������������������������������������;���� �������7�����������������������������������������
'�����D;1 �������������������������
������D �����������
����������������� ��!������� ��!�*%
�������������������������������%6?����&�������������������G
����$���2�3� ����F
�2�3F)2�3F�
��&E6���
�E6���
�2�3F��
��� �&?�����������������N ������������������������������������������;������������������������������%'�����D;A&���������������� ����������A� ��!����������(�������������
����$�!)2�3� ���//����%��
'�����D;A �����������������������������������
�������������������6�(���������<�����=�����������������������������������������
����$�#�� ��&E6���
�E6���
��2�3F��
�����������
�*)+����""����9������������������X�����
7.5 Roughness
���������������������������������������������������������������������������������������6���������������������������� �������%�1�7-&,����������� ������������������������������������ �����������������������������������������������D�A�
9�������������������������%��� ��12;:22�7-&,��������������������������"�������������������������%�1;:22�7-&,��������������������������,������������,������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������
4���������������������������������������������������������������,����������������� ������������������������������������������������������L����MN����������������������������228,�D2�7-�����������!7-������A2�� �
����������������������������������������������������������� ���������������������9����������������������������� ���������������������������������!��������,�����������������!��������%�L&�����������,��������������������������(��������������������������������� ��������������������������)�����������!���,�������!�������������������������������������,����������������������������������������������������������(R) �����������������������������������������(�������
R" fmod �L ����$�$
X������ ������������������������������� �������������������� �� �����������������L��������������������������M��������������������,�������������������������,��������������!���������������������������������������������
������D �����������
����������������� ��!������� ��!��*
7.6 Fluctuation strength
6���������������������� �������������������������.2�7-,���������� ����������������������� ������ ����������������,�������������������������������%����������������&�������������������������������������������"���������,������������������������������������L'��������������M�����������L ����M���9������������������ �����������������������B7-�������A2�� ��������22�8����������������������/7-������������������� ����������������/�7-���X������ ��������� ���������������������������������QAR��������!�������������������������!��������������������������������
��������������������������������%'&�����������������������%����&��������!��������%�L)������������������
F# �L(fmod�4Hz) � (4Hz�fmod)
����$�%
�����������
���+����""����9������������������X�����
7.7 Pitch
+���������������������������������������������������������������������'���������,���������������������������������������,������������������������������� ��
"���������(���,����������������������������������,�������������������������� ���������������������������������(��������������������������������������,������������!������������������,���!����������������������������������
+����,����������������������(����,���������������� ����������������������������������,���������������������������
"������������ ���������������(���,��������������������������������������������������������������,��������������������������������������������������� �,� ����������������������������������������������������"���������,������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������+�������������
������������������������������������������������ ��������������%E��9������������9���#���D�,����AD@;A00,��@0.&��� ������������� ��������������������� �������������� ������������������������������������������������������������������� ��
"�,�������������������������������� ����������������!�������������,���������������������������������������"���������������� �����������������,��������������"�����������
������D �����������
����������������� ��!������� ��!���
7.8 Articulation index (AI)
���9����������"��(�������������� ����������� ��������������������� �������������� ������������������������!�����������������������-���������������������������!��������������������������� ���������� �������������� ����
�����������������������������������������!���������������������������������������������������%����3:���� ������&��������������������������������������������������'��������������������,��9����������"��(������� ��
9�������������� ������������������������ �����'�����D;D�������J�$K&�������3:��� � ������ �� ��� �� ����� ����������������������������6���������� ������� � �� ��� ����� ��� ��������,���9"���������� ������������������������ ������������ ������ �� ���� ������� � +�������� ��������������������������������������
'�����D;D F������������������������9����������"��(
����� ���(������������������������������������������������%��'������D;0������J�$K&��'������������ ���,���9"����2�21����������,��������;��� ����� �������� ���;����������� ����,� ��9"����2��������������J�$K�
'�����D;0�"����������������������������������������������������(
����������������� �������
� �������������������������������������!���� ���!������������L������������������������������������M,�+��������������"4$,�#���/1,002;00/,��@/D������������������������������������������2;�228
�����������
��+����""����9������������������X�����
� >�������������������������������������9">������������������������������������!����������� ,������������������������������������������:2� �������(����������02� ����������������.2�����22� �����������������������������������������;�2D8�����������A28
������D �����������
����������������� ��!������� ��!��
7.9 Speech interference level (SIL, PSIL)
6����������������������������������,����!������������������������������ ���������������������"������������������,����� ������-����������������!����� �������������������������������������������������������,��������������������<�����"�������� �=�%�"�&����� �����
���!����������������������������������� ���������������������� ��������������A22;�.22,��.22;./22�����./22;/022�7-������������������������������������ �����������,�����������������������������E�� �����,�6������F������������I�+��?����E6FI,������������� ����������������� �������122,��222�����.222�7-���� �������J!.�$K�
"���@DD,��������"�������� ��������������-�����9*�"�:��/;�@DD%4;�@0A&�JK,����������������������/�!7-���� �����������������������������������"�5���������,������������"�5����������4�����4::1.;�@D/���5��� ���,���9*�";�"������������� ���������������������% ���!&����������.�1�� ������������+�"��J�$K�
��������������������"�������������������������������������������� ��������������������J��!.�$K�������������������������������������"���������������������������������������������������9����(����,�'�����D;@���������������������������������;�;�������� ����������������������� �����+�"�,���������������������������J!K�
'�����D;@ ������������������������������������!������������%����6����&
�����������
��!+����""����9������������������X�����
7.10 Impulsiveness
������������������������������������ ��������������������"��������������������������������������������������������
���������������������������������� ������������������������� ���,����������������������������� ����N����������������!�� �,���������������������������������������������$�����������������������������������'������������"��������������������������%��������&����������
��/�������� �
�(���(���
&��6������
����� ������
��������
��������� ���������
���������
�(���(����������
9������������������������������������������������������ � ����������������������������� ����������4>�� ����%����������������������&�������4>������������%���������������!������������&�����������;��������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������!�� ������������������!�� ����(���������� ,���������������������������������!����������������� �����������������!������������������������������������������������������� ����������������������!���������������������������������������
�����������������(�����������������������������������������������������!�
��$
���������
���������������
������������������������!����������������������������
������0 9�����������������
����������������� ��!������� ��!��%
8.1 Introduction
9����������������������������������������������-���������������"���������������������������������������� ����;�����������������������-�������������� ����"�G
� ���������������������������������������������������������(���������
� �����������������,� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%���������;���������&�
� ����������������� �����������������������,��������������������������������
������������������������������������!��������������������������������������������������������������������,�������������������������������������
Basic principles
"������������������������������,����������������������������������������������������������������������������������'���������������������������� �������������,�������� �������������������� �����
9�������������������������������������������������������������������������������������������������������������>���������������!�����������������
"���� ����������������������:)���������-���������������������������������������������������������������������������������� ������������������������
9�����������������
��)+����""����9������������������X�����
8.2 Acoustic holography concepts
����������������������������������������������������������������������������� �,�������������������'�����������������6�������������������(�,������������������������������������ ����������,���������������������������������������������������������������������������������������
��������������������� ���>����������������������������������������� ������������������������G
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
����������� ���
������������������������������������ ������������!�������������������������������$����������������������������������������(��������%����������������&�
Temporal and spatial frequency
"�����������������������������������������������������������������
$���������6�������������������������������������,��������������������������������%�&������(���������������������������������� ��������������������������
����
�* ��
�������
�
*B�B�
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
�
���������������������������������������������������� ���������'������������������ ������
������0 9�����������������
����������������� ��!������� ��!��*
2E�E3� ���
��
F � 2E� E3�� E�E�F�� ����%��
�������������"�������������������������������������(������������� ��������������������������,����������������������������������
������
�������
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
�
����������������������������������������������%!2&�������������G
6��*����� � ���* *
������������������������������������������������
"������(�����������������,������������������������� ���������(�������������(��������������������������������������������������������������������������
��� �����������������������������������������������'�����������������"�9���������������������������������������������������%(����������(����&,������.;�����������������������������������
� E2��=�!3���
�F�����<���F2E�E=E !3F���2�����!!3EE��E�E�! ����%��
������%!(�,�!�&������������������������������������������������� �+���"������(���,�����,�"�����������������.;)����������������������
9�����������������
���+����""����9������������������X�����
&��������
� ������������+-� '�����0���������6+-�6�
9���������������%�����&��� �����������������������������������������������������������������,�������� ������ ����%!&�������� ���������������������������������������� ���������������������������������������!�������������������������������������������� ����������.����������������������������������������������������� ����������������������
��������������
6�
'�����0����������6+��6�
6+
Summation of plane waves
����������'��������������������������������������������������������������������������������������������
$������������������������������������������������������������������� ������������������ �������������������
������0 9�����������������
����������������� ��!������� ��!���
����������� ���
'�����/�(�*���� ������ ���������'�����/�(�*���
��������������������������������������������������������������� ��������"�����,������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������� ��
6�� �������������������,�������������������������������������� ����� ��
Propagating and evanescent waves
����������!��������������� ��G
������������������� � �� ������� �� ���� ��� ������������������������������������
�������������������� � �� ������� ��� ����������
+������������ �����������������������������������������������������������������������$ �������� ����������������(������������������������������������
�����������������������!� ������������� ������������,������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������������������������� ����,���������������������������������������������� ������������������G
9�����������������
��+����""����9������������������X�����
����������� ���
� ������ ���������
6�� ����������������������������������� ������,������������������������������������������������������������������������ ��������������,������������������������������������������������������������� �������� �%������������ ������������������������������������������� �&��������������������
9�������������������������� �������� ��������������� ������!-����������������������������������������������������������� ��������������
6+
6������������ ���
67
!-����������������������� �������!2�������!����� ��������!(����!����������������������
��� ��� � ��! � ���� � �/
����%�
��� �/�� 2��� � ��!3�
�� ��������������� � ��! � 2
�/ 3����%����������������������������������� �
����&��������������������� �����������������������������������G�������� ������������������ ���������������������������������
������0 9�����������������
����������������� ��!������� ��!��
��� � ��! � ���
�� �������
����/
�� �/���/'����
��� � ��! � ���
�� ������/����
��������'������
�!
6���!-�������������,����������������������������������(�������
��������%�����F�&������������������������� ��������������������������������������������������������
(Back) propagating to other planes
+������� ���������������������������������4�����=���������$����������)������=��F�����������G
�2�3����2��3'� E2�� ��3E�� E�! ����%�
������F�����������F����������������������������������������������������������������������������������������������
6���������� ����������������%!&�������������������������������������������%-&�
�������������������������4�����=�����������
�2��=�!= �3� �2��=�!= �3E)� E2��=�!= �� ��3
�E2��=E�!=E �3� �E2��=E�!=E ��3 �)�2��=E�!=E ��� �3
�����-�Y�-=
�����2�C�-�C�-=
����%�!
����%�#
����-=�����������������������-��������������������������������������������������� ����
)�� �E� E�� E��
����!-�������������������������0;:�
9�����������������
��!+����""����9������������������X�����
����������������������������� �������������������!��������������������
The Wiener filter and the AdHoc window
9������������ ,� �������� ��������������������������������������������+������������������������������������������������������������������������������kz���$ �������� ����������������������������������� ��������kz,������������������������������������������������������������������������������������������ �������� �����������������������������������������*�������������������� �������� ������������������������������������ ��,����������
+���������������������������,��� �������� ����������������������������������������������������������������������������������7�� ������������������� ����������������������,�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
6+
ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ
�������*�6�
6� �� �/���/�'����
��������'����
6����������������������������,���6�������������������������������������������� �������� ��������� ����������������!���������������������� ���!������������������������������������������������������������������������������������6���������!������������������*����4����%�*4&���6������*4� �����������������1� ,��������������������������������������������������� �������� �������������������?�������������*4� ����%1� �����(����&����������� ��������� ������!����������������������������������������� ��������������������������������������� ��������1� ���� ������������������������������������������������������
6�����6���������������,��������������������������������������;��������������������9�����������������������''�,������� ����������������<�������=������������� �������������"�����������������,���������������������������������������''����������������������������������� ������������������������������������� ������
������������������
������0 9�����������������
����������������� ��!������� ��!��#
�������������������,������������������������������������"���������������������������,������������������ �������������������������������������������������������� ������������������������
�����;������!�/��������'��������������,���''������������!��������������������������������������������������������"������������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������''���������������������������������������7����������������7����������������������''�������9�7�����������������,������������������������������������7���������������������� ����������������������������(����������������
�����;���������9��7����������%6&��������G
� ��2�� �3� .� � �
�2�� �3
.�� ��2�� �3
.�� ��2�� �3
5L.M� ��#� ��#���� ��� ��� �
.�� ��2�� �3�
5L.M� ��#� ��#���� ��� ��� �
.�� ��2�� �3�
5EL.M� �
6��
6��
6��
Derivation of other acoustic quantities
"����!����������������� ���������,�����������������������������������������������,��������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������G
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
measurement plane
correct calculation plane
correct calculation plane
incorrect
9�����������������
��$+����""����9������������������X�����
B��������������������������������������,�������������������������������� ���������� ����������������������������
���������� ������%#&��������!�����������������������������������������;�������������������9����������������������������������������������������%��T���&
>�� �
/���2�3
����%�$��E2�3� � E2�2�3=�2�� �E��33
5������������������ ���������!����������������������������������������
����%�%.� �E>
128
Part III
Time data processing
Chapter 9Statistical functions 129. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 10Time frequency analysis 139. . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 11Resampling 151. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 12Digital filtering 163. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 13Harmonic tracking 193. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 14Counting and histogramming 203. . . . . . . . . . . . .
Theory and Background
��)
���������
������������� ��� �
)������ ������������ �������������������������-�������������������������� ���� ��������������������� �����������������������������
������@ �����������������
����������������� ��!������� ��!�*
Minimum, maximum, range and extremum
�������������������������'�����@;�������������������
��+�������+������
������
�
+
��/�
���
���������� �0������������
'�����@;� >������,���(����,����������(���������������
������������������������������� ������������������������������������ ������
��1����������������������������� ������������������������������������ ������
"��������������������������������������������(����� �����
�1���������(��������������������� ����������������������������������"���������������(������������������ �����������(������������������������� ����������������,������������������������� ����������
Sum
�����������������������������&�� �����������������
�<�� ������
F �� �����)��
Integration
������������������������ ���� ����,����������������������������������������� ��������������������
�����������������
��+����"""�������������������
����� ������
FF��� �����
F��
��
��
����
�����)��
Root mean square
����������������,���������������� � ���,������ ����
����)����� F �������
F ���������&������������������������"������������������ ������������������������������
Crest factor
������������������ ����
����)�G������ G�F���
���������������� �����������������<<���!���==������������9����������������������������������/���9���������������������������������������:����/�9���������!����������������������������
Mean
��������������������� �����%(���������������� �������������������������"������������
����)�!��� �
������
F ��
������@ �����������������
����������������� ��!������� ��!��
����&����������������������
�����������������������������������������-���������� ���������������������9�������� ������������
�������������������������� �������������������� ������������ �����������������������������������������������������������!���������������������:/�
Median
�����������������������������������(������� ������������������������������ ��������(������������������G
����)�#�����
��
F�2�3F��F� ���
����
F�2�3F��F� ��
'������������,����������������������������� ��������������������������������������������������%�����������&������6���&�������,�����������
����)�$����� ����
������������ ������������������������������������������������������6���&���� �,���������������������������������������������� �����
����)�%���������� �
�
�
������������������������ �������������������� ������������� ���������������������6��������������������������������������������������������������������!�����������������!��������������������'����@;.�
�����������������
�+����"""�������������������
�*�+
�
�*�+
�
�*�+
�
������������������6�'
&���������6�'��� ��/�������6�'���
���������*������ �0������C������ �������D������
'�����@;. ���������������!������������������
�!������������������������������������������������ ������+�����������������������������!����)�����������������������������������������(���������� ���������������(���������� ��!�����������������(��������� �������������� ��!����������������������������������(��� ����������������,��������������������������������!����������������������;��������'��������������������!������$�������@;�:������
Percentiles
��������������������(�����������12������������������������ ��������128���������� ������������������������������128������� ����"����������������������������2�,�.1�,�D1������@2����������
����������������������������������������(������� �������������O����� ���������������������������������� ����������28������ ���������������������2�������������@28����������
Variance and standard deviation
'����������������������������� ������������������������������������������������������������ ����� ��������������� ����������� ������������� ����
����)�),��F2��= ���= ���3��
� �������
��� ���
�������������������������������������������������������������������
������������ ����������������������������������� ������G
������@ �����������������
����������������� ��!������� ��!�
����)��*�F2��= ���= ���3� F,��F2��= ���= ���3�
������������ ���������������������������������������������
Mean absolute deviation
"���������������,�����������,��������������������������������������������������������(���%�������������&���"���������,��� �������������������� �������������������������������������������������������� ���������������������� ��������������������!����!�������������������
9���������������������������������� ����� �������������������� �����,���������G
����)����?�,F2��= ���= ���3��������
�F��� ��F�
Extreme deviation
���(���� ����������� ����
����)���$�7F2$�7���� =F��� �$��3�
���(���� ������������������������������,�(�������������������������������������������������������������������������-���
Skewness
�!���������������������'�����@;.���"���������-���������������������������������������������������� ������"������������
����)�����$F2��= ���= ���3��������
F�� ��� �
�
� �!�
�
����!������������������������!����������������������������������������
�����������������
�!+����"""�������������������
$ ��������������!����������������-��,�������������������������������������������!�����I��������� ����������������!����������������������!����������������������������� ���������������������������%$���@;�:&���'����������-������������������%F�������&������������,������������ ������������������!�������������(�����
/�� ����"�����������������������������������������������!��������������������� �������� �����������������������
Kurtosis
5��������������������������������������������������������!������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������� ���������������F�������������������������������'�����@;:�
�*�+
�
�*�+
�
�*�+
�������������0���� ��������6������� �/������6�������
'�����@;: )�������������������� ��������� �!������������������������������������
���!������������������
����)���<��F2��= ���= ���3F�F ��$�
F �F���
���
F�� ��� �
�
� �!�
&
F��%!
�� �
������;:�����������,���������F�������������������������!����������-���
���!����������������������������������������������������������������������9������ � ������������������������������������������������F������������������,������������ � ������������������������������������������
������������ ���������%$���@;�/&���� �&�� ,������������-�������������������%F�������&��������������7�� �,���!�������������������������������,������������������;������������������������������������ �����������������@;�/�������� ����������
������@ �����������������
����������������� ��!������� ��!�#
Note! Higher order moments (skewness and kurtosis), are often less robust than low-er order moments which are based on linear sums. (It is possible that the cal-culation of the skewness or kurtosis generates an overflow.) They must beused with caution.
Markov regression
���������������� ���������������������������!����������������� ����������������������������������"������������������������������������4%�&����������������������������������������������������������� ���������� ��������������������������,������������������
��/��/
�����������������������!�������������� ������������������������
���������������������������������������������������� ����
�2�3����F���
���
��F����F���� ��F��� ����)��!
�����������������������������������%2&������ ����
�2�3� ������
��� ����)��#
���>��!� ���������������������������������������������
����)��$�����,F��)������ F/�����/�� �� �2�3
�2�3
�����������������
�$+����"""�������������������
������������������������!� ���������2�% ����������������&������%��������������&���"��������������������������������������������2��������������������������"���� ��������������������������������������������������������������������
�)
���������
���������� ��� ������
�������� ��������;����������������������(�������������%�������&������������������������������ ���������������������������� ���� ������������������ �����!���������������������������������������
Introduction to the theory
Linear representations
Quadratic representations
�������2 ��������������������
����������������� ��!������� ��!�*
10.1 Introduction
9�����������������������������������;�����������'���������������������������;�;�������������������������������������������,�������� ����������������-����������������=���������������������6��������� ������������������������������������������������������� ��������������������,�������������������������(������������������������������������
���;���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������=��������������������������������������3������������������"�������������������������������������������������������������������������������,�����������L����������������M�
������������������������������������������� ����
G�2�3G� J�$�������������������������������
������������������������������ ���������������������������'��������������6���
G�2�3G� J�$�����������������������������������������
����������������E��.��������������������������������������������������
�2�= �3 $������������������������������%�����������&����������%��������
J
"����������������������������������� ������������������������ �����������������
��
��
�2�= �3E��� G�2�3G� �����*��
������������� ������������������ ���������������������
��
��
�2�= �3E��� G�2�3G� �����*��
��������������������
��+����"""�������������������
$���������2;�������2;.����!����������<��������=���������������������������������,��
�� ��
��
�2�= �3E�� E�� �����*�
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2;�������2;.����������������� ����������������� ����
"����������������������������������;�����������������������;
� ���������������������������������2�.
� ������������������������������������2�:�
�������2 ��������������������
����������������� ��!������� ��!��
10.2 Linear time–frequency representations
�������������������������������������������������"��(�.�����(� ����������,����3��.����������������;���������������������;
��2�3& ��2�= �3
��2�3& ��2�= �3
�2�3� /���2�3� /���2�3& �2�= �3� /���2�= �3� /���2�= �3
������������������������������;
� ������������'���������������
� 6� ����������
The Short Time Fourier Transform (STFT)
9���������������������� �������; ����������������������;��������������'����������������%��'�&���������� �� ��������������� ��������������� ����������,���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ���������������'������2;��
����
�������
��
�����/�����
�����'���'�/���
�
�
'������2;� ������������'���������������
'������������������������������������������������������,�����������'���������������������������������� ����
��������������������
�+����"""�������������������
� 2�=�3� ���� �
�
��
�����F�2�3F)H2�� �3E�� �����*�
��������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������%��J��3�&����������(����������������������������������������������������������������������������������,���������� ����������������������������������������������������������������������,���������������������������������������-���������������������������������������������������������������
9�������� � ����������'�������������������(�����������������'����������������������������6�������������������������;������$�������2;/���������
� 2�=�3� ���� �
�
��
�V���F�2�3E'H2�� �3FE�� �����*�!
������������������ ������������������������������� ����������������������<<�����������==����������������������-��������������'�����2;�����������������������������������!��������������������������� �����������������������������������������������
Wavelet analysis
9������������ ������������� ����������������������;�����������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������'�������6� ������������
"�����,���'�������������������������������������������������������������,��������������������������� ������6� ����������������������������������,�����������������������������������,��������� ���������������������������������������,��������������������������������-����������������=��������5�������������������������������,������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
�������2 ��������������������
����������������� ��!������� ��!�
�������������������������������������������6� �������������"��������������������������%�������� �&�������-���������* ��������������*����������� �������%�� ��&������ ����
#�2�3� �
G�G� F# �� �����*�#
������������������������ ������*G�
�������������6� �������������6������� ����
:52�= �3� �
G�G� ��
��
�2�3E#�� �� E�� �����*�$
��������������������-�����
9������ ������������'������������������������������������������������������������������������������(���������������������������������������������"���� ������������������������ ��������������������>�������������������3��������������������������(������������������'������2;.%�&�
���������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������'������2;����!�������'����������������������� �,������������������?��������������������,����� ����������������������������������!������������������+�� ��������������
��
�� /
����������������������������������������'������2;.%�&������������������������������������������������� ���,�������;����������������������������
��������������������
�!+����"""�������������������
����
�������
����
�������
������#��0��E��������������
'������2;. >��������������3������������
����������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�������������,�������������������������������������������������������������������7�������������������� ���������������������������������������������������,������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������,������������������������������������������������� �������
�������2 ��������������������
����������������� ��!������� ��!�#
10.3 Quadratic time–frequency representations
6��������������������������������,�������������,�����������������������������;�������������������������;�����������������������������������������������������������������������������;�����������������������(�����������������������������������,�������������������� �����������������������������������������
�2�3& �2�= �3
!2�3& !2�= �3
�2�3� /��2�3� /�!2�3& �2�= �3
� G/�G��2�= �3� G/�G
�!2�= �3� /�/� H �!2�= �3� /�/� H !�2�= �3
������*�%
���������������������������������������L����������M,����������������������L�����������M����������������������������������������������������������������������!���L����������������M,������������!�������������������������������
���������������������������-������������������������,����������������;������L��������M����������������������������������������,��� �,����������������������N����������������������������������������;��������������-����������������������������������������������������������������������=��������������;�����������,������������������;��������������-�����������������������������
����(��������������������;�������������������������������������������������
����������J�Z��'�Z.
����������J�Z6�Z.
������������������;�������������������;����'���������������%��'�&�������6� ������������%6�&������ ������������������������������������������(������������������������������� �����7������������������������������������������������������;�����������,�������������������������������-�����6���������������������������������������������������,������������������������������������� ������������-�������������
'���������������������������;����������������������,��������������������������� ������������%��'�����6�������������������������&,���������!���������������������������L���������������M�������L�����������M�
��������������������
�$+����"""�������������������
The Wigner–Ville distribution
���6����;#�����������������
52�= �3� �����
��
� H �� ��EF�����F��� �
�EE�� �����*�)
����������������������"����������������������
52�= �3� �����
��
� H �� ��EF�����F��� �
�EE�� �����*��*
�������������������������
�������������������������������������������������"���������,���������������������������������������������������������������������������
>�����������������������������������������������������������������������2;@����������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ������-������������������������������������������ ����������������������������6������������� ����������������������������������� ���������������������
������������������������������������������������������������������,�������������������� � ����-������������������������������������� ��������������������������������������,�,
������ ���
�������������������������6�����#�������������������������������������������,������������,��������������������������������������,������,�������,��������������������������������������������� ��������������������������������������������,���6�����#����������������������-��������������������
������������ ����������������������� �������������������������������� ����������-�������������������������������������
�������2 ��������������������
����������������� ��!������� ��!�%
��
9�����������������������������-�����*�,�������������������������������������������������������������;-��� ������"������������������������#��5�) ���������B<��� ���� ��������$#� ��#����) �2����������������������������������!��������������������,�������������������-�����������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
� ��
6��� ������������������������������������ ������������������������������������,���� �������������������������������������������,�������������������������������������*������������������ ����������������������������������������������������
����������������������������(��������������������������������������������������(���������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������9������������ ,���������������������������-����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Generalization
9�������-����������6����;#����������������������������������������;������������������,������������������������������������������� �������������������������!��������,�������������������3����������������������������������������������������������������������������� ����������������;������������������������������,��������������������������������������������������������������;�������������������
��������������������
�)+����"""�������������������
��������������������������3���������������������������������������
�2�= �3����
���
�2�� ��= �� ��35�E2��= ��3F������ ������*���
����H(��?.� ?�������6����;#���������������������������(���.���������Ψ3 �
�����L!�����������M���"�������������������!������������������������������������������������������;��������������������� ������������������������������!������������������������������������������������������������6����;#���������������
��������(����������������������������������������������!���
����������������!����J�6�������������������������������������
�������+����;6�����)����������%�+6)&������!����J����������������������������������������������������������;��������������������
+����;6�����)����������%+6)&�������������+6),�������������������������������������(�������������������������������L����;���6���������������M�
����;6��������)����������%�6)&������!����J�(�������������������������
����������������;�� �����������������%��;��������������������&������������������=�������,�����(�����������������������������������������������������,���6����;#��������������,�+6),��+6),����
�������������������3���������� �������������������������!���������9����������,�����(��������������������������������������������������������,���6����;#��������������,��6),�����
�������2 ��������������������
����������������� ��!������� ��!�!*
10.4 References
Books
���;�����������������G���������;�+�����7����;��@@1�;�.@@�����;�"� *�2;�:;1@/1:.;�
Papers
����������X�����������;���������������4�����������G'��7�������,�F�'� ������(; �����%"$$$��+�>���-��,�9������@@.&
���;��������������������;�9�� �����G����������%+��������"$$$,�E�����@0@&
6� ��������������������������G5��4����,�>��#����%"$$$��+�>���-��,�5������@@�&
���;�����������������������������������������������������������G7��#������9�����,�B��6��!��,�6��7�����!(�%E�����������������"#,>����@@/&
�!�
��������
�������� �
��������������������������������(��������������������� %��������������&�������������"������������������������������� �� ����������������������������������������������������������������������
Fixed resampling
Adaptive resampling
�������� 4��������
����������������� ��!������� ��!�!�
11.1 Fixed resampling
���������������� ����������������������������������������������������������������������������������!������������"������
4�����������������������������������������������9�)9��������,�����(�����,���������������������������/0222�������������������"���������������� ����������������.227-����122����������������������������������������������������������������������������������������(������"��������������������������������������,�����������������������������,���"���������,� ���"������
5������������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������!�����,�����������������,����������������
"������������������������������������������������������������������������������������������������ �������6������������������ �� ������������������������������������������������������������������" ������
9����������������������������������������������������,�����������������������������������������������)39���� ������"������������������������������������� ������������������������������������)39���� �����
���������������������������������!��������������������������������������������������������������!�������������������-������������������ ������������������������������"����������������� ��������������������������������������������������� ��������������������'��������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������O:P�����O/P�
4��������
�!+����"""�������������������
11.1.1 Integer downsampling
"���������������������������������� ���������������� ����������������������������7�� ������������������!����������� ���������������������������������������(�������������������������������������������������������:,����������������������������������������������A�����������������������������������.������������������������������������������������������� ���������������������
���� ������������,������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������,�����������(�����������������������������������1�������������
���������������������������������!7-,������������ �����������1227-���"��������.����������������,������07-�������������:.1�7-�
F57 !�?57 ?��571��'���(
�.?
.�
)��������������������������1������������������������.227-������ �����������227-���"���������������������������������������������������������������������������22�7-� ����������������������� �������������������������� ����������������������������������.1������������������������������0�7-���������
ÉÉÉÉÉF !�? ��
1��'���(
�.?
.�
�?� ����� ��� ��������������57�
�������� 4��������
����������������� ��!������� ��!�!
���������������������������1����������������!���� ���1�������
F ��
1��'���(
�.?
.�
���������57�
*�������������������������������������������������:.1�7-��������������������D17-�������227-� ������������������������������������� �����������
F57!�?57
�.?
.�
��571��'���(
=?57
11.1.2 Integer upsampling
"������������������������������ �� �����������������������������������������������������*����������������������������� ��� ������-��,���������������������������������������������������� �����������������������������������
�������������������������������������� /,� ������ ����� ��� :� -���� ��������������������(�����������������������������������������������������������!����������������
"���������� ���������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������
4��������
�!!+����"""�������������������
��'� ����������
���<��������=���������������������-���,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������
�������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������.���������������������*�������������������������9������������������������������������,���������������������������������������������������������������������?�����������������������2��������!����������������������������������������������
�
0'
0'
�
������������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������� ������������������������������ �����
�������� 4��������
����������������� ��!������� ��!�!#
11.1.3 Fractional ratios
4�����������������;��������������������-����������������������������������������������������������������������������������.�1����������� �������������������������������.����������������������������1������������������������������������������� ������������������������������������������������������� ������������������������������.!7-��������������������������������:22�7-���9������������������0227-����������,����������������������������������������.�1
"�������������������������������������������1,����������.227-�����������9�� �� ����,� ���� �� ������� ����� �����.22�����:227-���������������,�����������������������������������������������������������������
?
�
�������������������������������������/!7-�%�� �����������.!7-&���9������������������!7-����������������������������������������(���������������������������������1�����������������������/22�7-�������������������������������������������:227-�
?
�
6��������;������������������������������,��������������������������������������������������������������������������� �������������������� ������
4��������
�!$+����"""�������������������
11.1.4 Arbitrary ratios
������������������������������������������-���������������������������������������������������������������'������������,� ����������������(�����������������������������(���������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������
�������������������������������0�@.������������������������������������0222�7-���������������������������������������������������������������-����������������������������.1���������������������������������������.0,�������������������������(�����������
"����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������� ���������������������������������!����������<?�������������������������������=��������������������� ������������1����������������������������������������������
������������������ �� ����������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������(������������������������������ ������������� ������ ��� ����������� �� ��������
�
������������������������������������<�)4=�%���������)��������4���&���"�����������<?�������������������������������=������������������ =����;�������������������������G
�)4J�2����2�%02[%�22�4�3��%�C��;�����������Y���&&&
��� 4�J�?���������������������������������;�������8�J�����������������������8������*��������������
�������� 4��������
����������������� ��!������� ��!�!%
�������������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
4��������
�!)+����"""�������������������
11.2 Adaptive resampling
9���� �����������������������������������������������������������������������������������(���������������������������9�����!������������������������������(����������<<����;����M������������������ �����������������������������������������������������������������+���������������� �������������������-���������������������,����������������� ��������������
'���������������� ������,�����(����,�������������������� �������������������� ����������������������������������������������� ��������?�����������������������������������,������������������������������������������������������������������������������ �
"�����������������'����������������������������������������������������������������,������ ��������������������������������������E���������������������������� ��������������������������.7-,����������������������� �����������������������.������������(������������������!��������������������������������������$ �� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������4+>� ��������,��������!�����������������������������
'���������������������������������� �����������������������%��������������(��������������(����&,����������������!���� �����������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9���� ��������������������������������� �������������������������
Implementation example
�����(������������������������������� �� �������� ����������������������������������������������������������� ��������������������
I�����������������������������������������������������������!����������������������������!��������������������N������������,������������� �����������3����������������������������������������3�����������
�������� 4��������
����������������� ��!������� ��!�#*
�/��
�����0�����
3������
"������������������������������������������������������������,���������%������&���������������������������%��&���������������� ���������������������������� �������������������������� �������
�/��
������ ��� ��!
��������� ����
��������� ����
��
��������������������������%��&�������������������������������������������������
6���������������������������������������������������������������������������
� �
� �
�����������������*�������������,���������������� ������������'�3.�9���� ��������������������������������G������������������� ���������������������������������,�������������������������������������������������������������������������
"��������������������������������������������������������'��������3�����������������9���� ����������������� ���������������������������3�����������������������������)������������������������������������ �����%������&�������������������������������������������� ��������������������
�������$��
�� ���$��
�
�������(�������������������������%��3�&����122���������������������������.2227-,�������������������������
4��������
�#�+����"""�������������������
���J�1223.222�J�2�.1Q�(�%:A23A2&�R�J���1�����
?�������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������(���� ������������?�������������������� ���������������������������������������������������������������������������� ���������������������������!���������������������
α1
tt 1
α
t1
y(t)
t, ∆t
t, ∆t’t1
y’(t)
y’1
downsampling
y’1
α1y’’
�C2�C3
�CC2�3
�����
��� �����
'������������������������������������α�,���α%&��������������������������������������������������%�&���� ������������������������������������%�=�&��������������������� ����������������������������������������� ��� ����������������������
)����������������������������������������������������������������������,� ����������������������������������������"������������������������������������������,�������������������� ����������������,����������������������������������������������
�����������������������%��������������������������������������&������ ����� ��� �� ������ ������ ������� ����� �� � ������� ���� ������� ������������9����������������������������;������� ������� ���� �� �� ��������� %�������� ����;������&� ����������������������������
+��� �����������������������������������������;��������,������������,��������������������������������� ,��������������������������������������������������������;������������������������%'"4&�����������������������������������;����,����������������������;����,���������������������������������������������������������������������������������������������������������/�
�������� 4��������
����������������� ��!������� ��!�#�
11.3 References
O�P 9��#��5������������4�6��������)�������������+��������+�����7�����@D1
O.P ��4��4���������� ��F�������������9�������������)�������������+��������+�����7�����@D1
O:P 4�$����������������4��4�����>������)�������������+��������+�����7�����@0:
O/P E�F��+���!�������)�F��>�����!��)�������������+��������G�+���������9�������������9����������>��>������+�����������@@.
�#
��������
�������������� �
'������� ������� ���� ���� �� ������ �������� ��� ��� ������������ ���������� ������ �������������� �� ��������������������������������������������
Basic definitions related to digital filtering
Types of filters and their design
Analysis of filters
Application of filters
������������������������������ �(������������������ �������������������������9���������������������������������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�#
12.1 Basic definitions relating to digital filtering
A linear time–invariant system
)����������������������������������� ��������������������/���3����9������������������������������������������������������������������������������������� �������������.;��
�
�%�&
�
��������M�2 3N� ������
�2�3F<�F2 ��3
�����* �������������������9������;������������������������������� �����������������������������������������"����������������(����������������������������������������������
��������!E2 3� �FL� E2 3Mx(n) y(n)
9�������������"����������������������������(�P�(� �����������������������P��� ���������������������������������
9���"����+�����������������������������������(����*��������������������������*�����������*�
'������������.;���������(�������������������(��������
��������2 3� ������
�2�3F<�F2 ��3
)�������������
�#!+����"""�������������������
"����������������������"�����������������������������������������������������*���.������������ �����������"�����������������*���"���� ��������,������������������(�"��*���"��������(�"�����"��
����������������(��������� ����
!2 3� ������
�2�3F#F2 ��3 � ������
#2�3F�F2 ��3 �������
$��������.;/����!�������������+������������������������!�������������� ����������(������������.�����������(����:������������������������������� ������%��"&���������������(�����������������������������������������������-�������������������������������������
x(n) y(n);�2�������h(n)
Stability and Causality
�����������������������������������������������������������������������;�� �������������������� ������������������������������
9����������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������
�� ���
G#2 3G�� �������!
9���������������������������������������������/�* ������������������������������*� ��9���������;�� ���������������������������������������������������������-��������Q*,�����������������������������������������������
Difference equations
������������;�� �������������� ����������������������������������������������������������������������������4����������������������������,�������� �������������!��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������� ���������������������������������,����������������,�����������������,��������������������������-�����������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�##
��������������������-������������������������������������������������� �������������.;A�
�������#!2 3���
���
B�F�2 � �3FV���
���
��F!2 � �3F
9��(���������������������������������������� ����
�������$!2 3�� ��!2 � �3� B��2 3� B��2 � �3
����������������-�������������
,����
,����
x(n)
x(n–1)
y(n)
y(n–1)
b0
b1
–a1
,������������������������������9�����-�������������������������
�����������������������������������������!��������0���������"�����>�������������������������������-���������������������������������������������������������
The z transform
���-���������������������(��������� ����
�������%%2�3� �� ���
�2 3F��
����������������(� ������������-�����������������������������������������������������������������
���������������������������-����������������������������������%����&�����-������"����������������������9������������������������5� ����5�����������������������
)�������������
�#$+����"""�������������������
"����-�����,���� ������������������������������� ��������������� ����
�������)�2�3� (2�3
%2�3
����A����������������(����������������������������������������
��������*�2�3���� ���
��� ������F�F����
��
�� B����� B��
���F�F�B��
The frequency response of filters
�������������������������������������(���J��7�����%��� �������
�����������������������������&���'������������.;/
!2 3� ������
#2�3F�F���2 ��3
����������
� ���� ��
����
#2�3F������
� �2 3F�F2����3
����������A��M7���������������������������������������������,��������� ����������������������������� ��� ��������������������������-�����������������������������������������-J�M7���
����������2�3G����� ��2���3� �� ���
#2 3F����
������������������������������������������������������������������������=��������������������������������������������������������������������������������������(����
Relationship between the frequency response and the Fourier transform ofa filter
���������������������������������� ����������������� ��������'������������������������A��7���
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�#%
���������2�E��3� �� ���
#2 3E����
#2 3� �����
��
E�2�E��3E���
����������������������������������������'������������������������������� ���������������� ���������������������������������,������������������(���������������������������������
��������(2�E��3� %2�E��3F�2�E��3
������������ �������������������������������� �������������������������������������
��������2������$����#���'����������������������&�������,���)�����'��������������������� ���
��������!��2�3� ��� ��
#�2�3E��� E2���3E �
������)'���������������������������-������������������������� ��������*��������������������������������������������)'�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)'�����������,�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-��� ��������������'�����������������������������������������������������
Finite and Infinite Impulse Response Filters
6�������������������������������������������������������������������������&��Q���Q�&� �%�������������&��������-����������������������������������������������"���������������%'"4&��������������
)�������������
�#)+����"""�������������������
�
�%�&
*.*�
����������������������������������������-������������������������������������������������������������������'"4�����������������������������.�.�.�
9������%����&��������������������(����������;�����T��%������&���������������������"���������������%""4&���������������)���������������������������������������.�.�:������.�.�/�
Use of digital filters
)�������������������������������������������������������;���;��������,��������,�����������������,�����������%�����-����&,��������������������3�������������������
������ ��������������� �����������������������������;��������������,����������� ��������������������,���������������������,������������������,��������������������������������������������������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�$*
12.2 FIR and IIR filter design
'���������������������������������;��'����"������4������%'"4&��������������"������"������4������%""4&���������9����������������������������������������� �������
����������� '"4 ""4
������� �����������������������%����J2&
��������������Z����ZC�
+��� ������%��������������������������������������������&
��������
$�������� ����������%���������&���������� ���������������������������������������
������������������
4������������������ ��
��� ����
�������������� ������������ ��������������
9���� �������� ��� ��������
4���-���� ��������������%���������& ������������%��������������&
������������������������������������������������������������������������
'"4�6����� �������D/
'"4�>���������� �������DA
'"4�4�- �������DD
""4� ��� �������02
""4� ������ �������0�
""4������� �������0.
""4�"� ��������� �������0:
""4����� �������0:
""4�"� �������� �������0D
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �� ������������������������������� �
)�������������
�$�+����"""�������������������
12.2.1 Filter design terminology
Filter characteristics
��������������������������������%��������&���������������������'�����.;��
�
��� �0��
����0����� ��
��� �0����� ��
����0��
���������0��
5 ��
���������
'������.;� '����������������
���������������������������������������-��������������������������������������������������������
*������-����������J
9�������������������������������J *������-����������(����
����������������������2���2�1
���������%7-&
����������������
Linear phase filters
�����������������������������������������������������
�2�E��3� G�2�E��3G��E��2�3
'���������������,������/������������������� � ����"����������������������������������������������������������������������������������,
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�$�
#2 3� #2� �� 3
����������������/��&���G��
��������������������� �������&��������������� �������������������(���������������������������������'������.;.����������������������������������&������������ ��
�����-�������������
����������������
��* ����*?
�����-�������������
����������������
��* �����*?.?
'������.;. ������������������������������ ��*
Filter types
� ���������������������� ����%�����������������������������&����������������������������������������������������������������������
�
��'� ���
�
0��� ���
�
(�/(� ���
�
0������
5 �� 5 ��
5 �� 5 ��
'������.;: '�������
"��������������������������������������)���������������������7���������������������������������������������4�-�(������������������������������������������
��##����������#������������������!������� �� ������������������������������������������������������������������
)�������������
�$+����"""�������������������
��������#�� E2�3� ��FFFFFF��� �� �
����������������������
��������$#2 3� �����
��
E��2�3E��� ��
� �����
��
E ��E��� ��
� ����
�
��� �0��
��� 0���� ��
����0�����������0��
5 ��6�������������������������� ������ �������� � "����������� �� �� �������� ��� ��� ������� ���� �������������������������������������
'������.;/ ���������������������������������
/�����������#������������������������@22������������������������������7�������������������������������������������
��������%�� E2�3�� �FFFFFF�� �� �
�FFF �FFF��� �� �
����������������������
��������)#2 3� �����
��
E��2�3E��� ��
� ������
��
��
E � E��� �����
�
E � E��� ����!
�
� ��V����E2� ��3
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�$
"������������ �����������������������������������������������������������7��������������������������������A,����/�����������������Q�Q��� ���������������
�
5 ��
�� ��
'������.;1 ������������������7��������������
12.2.2 Design of FIR filters
Design of an FIR window filter
����������������������������������(������������'�����������
��������*�2�E��3� �� ���
#2 3E����
#2 3� �����
��
E�2�E��3E���
������������������'�������������������������������������������������������������������������-������� �����������������;� and i�������������������"������������������������!����������������������!������-������)������������������������������������F����������������� ������������������������������
�
'������.;A F���������������������������������'����������
)�������������
�$!+����"""�������������������
9����������������������������'���������������������������������������������������������������������������������'������������������������������� ��������������������
���������#W2 3� #2 3E$2 3
���� ����������������������������������#W2 3��� ��������������
������������
����������������������������������������������
� ���������������������������������������������������
� �������������������������������������� ��������
��������������������������������
"�������������������� ��������������������
E��52 3� �F$#� F� 2� �3
�� � 2� �3
�
���� ��� ��� ���
J�2������
/���������������������������������������������������������������������"��������
52 3� �� 2�� �3 ����� FF$#� FF� 2� �3
�� �
2� �3�
J�2������
��J�2�1
/����������������������������������7������������������������� ���������������������������������������J2�1/�
3��������B����������������������������������������(������������������������������� ���������������(������������������������������������;������������������'��������������������(�����������;����������������"������������������������������������������������������������������������������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�$#
52 3�.�� �� L� �2� �3M��
.�E�FFFFFFF$#�
� 2� �3�
� �2� �3�
6���F* ������-��������� ���������������������������������������������������;����������������������������������������������������������
�����������������������(������������������������������������!���B������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������� ����������������������������������
��������� ������������������������(�������� (���������������3�R�R3��(��
�E2�3( ���2�� �����E2�33
���2�3� �����2�3����2�3and
�� �And so
�2�3� �
�E2� �3� 2� �3�
��E2�3� 2� �3�
����E2�3� �
������������������H����������������������� ���)'������������� ����������� ��������&���������������������������������������
FIR multi window Filter
������������������������������������������������������������������������������� ���������"��������������������!��������������������������
"�����������������������������.;�1�����������������������������)'��������������������)'����������������������������������������-���������������������� ��������&��������������������������
)�������������
�$$+����"""�������������������
�2�3� ��� ��
#2 3E���2���3E �
�2�3��2�3G��E��2���3�
#2 3� �������
E�2�3E��2���3 �
'�����������������������������7����J�,�����������������
�2�3� 2�� ��3
V���
���
�2�3
LF�� ����E�2���3E �FM����������
��������������������������������������������������������������������������������������,����� ������������������������A������������������������������������������������������������������������ ������������������������
���������������������������������������������� ���''���������������������������������������������������������-��������������������������������������������������������������������
FIR Remez filter
�������������-�(��������������������������� ������(����������������� ����������������������������������������������������������,������������������������������������-�������+��!�;>������������������������������������������������;������������'"4������
���������������������������(���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'"4��������������������������������������� �
��������������(������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������(�������������������-����������������-����������������������(���������������������������������������������������������������������������'������.;D�
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�$%
�
� ��
���
���
�
��
���
'������.;D 9����(������������
���������������������������������������������� ���)'������������������������������
4������'���������������������������(���������������������������������������������������������������������H������9������������������������������%����&������������������������ ������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������+�� ������������������������������������������������������������������������� ������������������"������� ������������-�H�����������������������������������������������������(����������������.3��&���������������
12.2.3 Design of IIR filters using analog prototypes
��������� �� �������������������������������������������������������������(�!��������!���!"���������������!����������,��!�"������������0��
Step 1) Specify the filter characteristics
������������������������������������������'������.;0������������������������������������������������
)�������������
�$)+����"""�������������������
�
��+����� �� ��� ��(�� ����0�����1�
������������1�
�� � ������������'��������
� ��
'������.;0 '��������������������""4������
Step 2) Compute the analog frequencies
9��������������������������������������������������������������������������������'������� ��������������������,����������� ������������������� ���������������� ���������������������������������������������%-&������������������������������������������������
���������� ��� ���
�� ���
6����/��7�3�%�����������&������/7��
���������� ��� ����
�� ���� � �
E � E ��2����3
��������!��� �E ��2����3
�������������(�������������������� �����������������������,�����������;����������������"�����������������������������������������%��������&��������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�%*
� ��
��
�� ��
���������/��������������
�� ���������/����������
'������.;@ ��� �����������������������������������
Step 3) Select the suitable analog filter
"���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������
������������
������ ����"������
"� ��������� �%���""&������
�����%��������&������
Bessel filters
������������� ���������(������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������(���������������������������������� ������������������� ������(��������,���� �,������������������� ������(����������������������������������� �������������������� ������������������������������������������ ���������(���������!�����������������������������������������\
)�������������
�%�+����"""�������������������
������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������� ����
��������#�2�3���
6 2�3
����S������������������� ��������������
��������$6 2�3� 2� � �36 ��2�3� ��6 ��2�3
����,* �������������-�����������
��������%���2� 3J� J
Butterworth filters
���������������-���������������������(��������������������������������������������������������������������>�(�������������������������� �� ����������������-��������������������������������������������� ��������������
��������)G�2�3G�� ��� 2 ��/3�
��������������������������������������������������������������������������� ����������������.;.@����/7�
�������*G�2��3G�� �2�3�2� �3� �
�� 2� ��
���/3
�������������������;����������������-�������A��������������/��������� ���������%�3�.�&������3���J������������������������������:� �������������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�%�
�
G5 ���G�
�
!�1
n=4
n=10
'������.;�2 ������������������ �����������
9���������������������������������������������������01�
Chebyshev (type I) filters
�������������������������� ����;����������������������������������������������������
��������G�2�3G�� ��� ��:� 2�3
����'���������������� ������������������ ��������������������������������������������������������������������� ��
�
��� ��
����
�
��� ��
����
'����������������������,��������� ������(��������������������������������������� ������������(������,��������(������������;�����������������������,���������������������������� �������������������������� ��������������������������
���������������������������������� ���������������������(�������������������������������������-��������(������ ����������������������������������������������������!�������������������(��������������������A[C5���Y�� 35�� �
)�������������
�%+����"""�������������������
������ �����������������;��������������������������������������;��������������9��������������������������������������������������01�
Inverse Chebyshev (type II) filters
��������������������-���������� ����;����������������������(�����������������������"���������
��������G�2�3G�� �
�� ��� : 2��3
: 2����3��
����'���������������� ������������,�� ����������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������� ��
��
�� ��
����
�
��� ��
������ ��
����
'����������������������,���"� ��������� ������(��������������������������������������� ������������(������,��������(������������;��������������
���������������������������������� ���������������������(�������������������������������������-��������(������ ����������������������������������
Cauer (elliptical) filter
���������������������������������������� ���������������������������������,�������� ������������������������������������������%���������������������������&��������� ����;������������������������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�%
���� ����
����������������������� ����
�������G�2�3G�� ��� ���� 2�43
����5���I������������������� �����������������������������������������������������������������5���I��������������������5���I���� �� �����������E������������������������� �����������������������������������
�������������������������������-����������������������������������(������������������������������������7�� ������������������������������������ ����������������������������������������������������������������
'������� ���������,����������(���������������������������������������������� ������������������ ��������������������(������������������������������������������-����,��������(�������������������������������
"���������� ����� ������������(�������,����������������!��������������������(�������������������A[C5���Y�� 35�� �����������������(����������� ����������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������(�����������������������������������������(�������
)�������������
�%!+����"""�������������������
Step 4) Transform the prototype low pass filter
9�������������� ������������������������������������������������-�������������������/��������(����������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������
��������� 4���������� '�������������
� ��/
�
�������������������
�������������������� � �/�
�
�������������������� � ����<�2� E2�<��23
�� ��
� � E2�<��23
����<�2
�� ��
�������������������
Step 5) Apply a bilinear transformation
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������2�3��2�3G���
�����
�����
����������������������������������������������,��������� �������������P�.����������������������������9��������,�������������,�����������������������������������������������������������������������
Determining the filter order
I����������������������������������������������������� �����������������������������������'������.;���
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�%#
��
��
� ��
�
���������
���0����� ��
'������.;�� �������������������������������������
4������������� ��������������������������������"����(�����������
9������ 6���������������,�����������������.��������������"����(���������� �
�������������?�����������
���������������������������%����������������&��������%�����������������&���������������������������������� ������������������������������������������������������������������������
���������������� ��������������������������������������������������
���������������������������������������� ������������������������� ������,������� ����"�������""������������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
5��������������������������������������������������������������������������������������
�� ������
2�� ��3 2�� ���3� ��
��
9����������������������������������������������� ,����������������+����������������������������������������
��VV����VV�VV
������������
������ ������
)�������������
�%$+����"""�������������������
9���������������������������������,���������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������
� �
� ������
� �����E2���3
���� ������ ������
�O2�3EO 2�� ��3�O2�3EO2�� ��3
$������
����<�����������������������������������������!����
12.2.4 IIR Inverse design filter
���<������� ��������=���������������������������������������������������������-��������(����������������������������������������.�.�:�9������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������!������������������������������������������������������������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�%%
12.3 Analysis
������������������������������������ ������������������������������������������
Frequency response of filters
����������������������������������������A��M7����������������������������������������������������.;�2
Group delay
��������������������������������� ������������������ ����������������������������������������������������������������������������� ����
�2�3G����� ��2�E��3� G�2�E��3G��E��2�3
������������������������
�������!��2�3�� � E2�3�
��������������������������������������� �� ����������
�������#�)2�3�� �� E2�3
��
"������ ������������������������������������������������������� ���������������������������������������
'���������������,������/������������������� � ����� ������������������������������������
)�������������
�%)+����"""�������������������
12.4 Applying filters
������������������������������������������������
Direct trace filtering
"����������������������������������������(�����������������������������������������������������������������������
Zero phase filtering
��������������������������������������������������������������������.�������������������������������������������������"�����������'"4���������(��������������������������������������������������������������������(�����������������,��������""4��������������������� ������;���������"������������������������� ��������������������������;�����,���������������������� �������������������������<���� �����=���"������������������������,��������������������������,��������� �������������������� ���������������������������������������������������������������������
"��(���/*������Q*.������-������������������� ������������
�������$3ME� E2� 3N� �� ���
�2� 3F��
���������;�J� ���
�
�2<3F2���3�<
3M�2� 3N� %2���3
����� %2�3� 3M�2 3N
��
����� �����������������������-������������������������'������.;�.�
(%�& �%�&
���� ����
�%�&�%�&J(%;�&
���� ����
�%�&J�%;�&
'������.;�. 4���-��������-�������������
�������. )�������������
����������������� ��!������� ��!�)*
"�����������������������
� E2�3� %E2���3
E2�3� � E2�3F� E2�3�� E2�3F%E2���3
6 E2�3� E2���3� � E2���3F%E2�3
( E2�3�� E2�3F6 E2�3�� E2�3F� E2���3F%E2�3
�����<��� ���=�����������������������
���2�3� � E2�3F� E2���3
�� ���
���2�3� � E2���3F� E2����3� G�2���3G����
����-�����������������������������?���������������������������������������������������,����������������������������������-����������������������������������������
)�������������
�)�+����"""�������������������
12.5 References
O�P 9��#��5������������4�6��������)�������������+��������+�����7�����@D1
O.P ��4��4���������� ��F�������������9�������������)�������������+��������+�����7�����@D1
O:P 4�$����������������4��4�����>������)�������������+��������+�����7�����@0:
O/P E�F��+���!�������)�F��>�����!��)�������������+��������G�+���������9�������������9����������>��>������+�����������@@.
�)
���������
���� �������� �
������������������������������ �� �����7�����������!�����������B�����������
Theoretical background
Practical considerations
�������: 7�����������!���
����������������� ��!������� ��!�)
13.1 Introduction
����������������������������������������������������!�������������������%�����&��������������������������������������,����������������������������������������"����������������������������� ����������������������������������������"�������������,��������������������������������� ������������������������������������(���� ��������������������������B�������������� �����������������������!������������������ ������������������������������������������������������������������������!������������
9���������������������������B�������������������������;�����������"���������������������������,�������������������������������������������(��������������������,������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������%���������������;���������������&���������������������3�����������������������������������������������������������������������
Conditions for use
����������������������������B��������������;
� ��������������!������������������������������������������������������������������������������,
� �������������������������������%����2�2��7-&�����������������������������������%��� ���������������������������������&,
� ���������������������������,
� �������������������������� �������� ��������������������,
� �����������������
"��������������B�������������������������������������������;
� ����������������������%������ &��������!����������������!�����
� ������������������������������������������������
� 9������������������������������4��� ���������������������������������������������� ���������������������
7�����������!���
�)!+����"""�������������������
13.2 Theoretical background
�������������������B�����������������!��������������������� �� ���������
� 9���������������������4��"���������������!��������,��������������� �����������������4��3���������I����4��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��������4��3�����������
. ������!������������������� �����������:�.�.������������������������!��������������������������!������������
������������������������������������������������:�:�
13.2.1 Determination of the Rpm
�������B������������������������� ������������������!�������������������������������,������������������������������4+>�����������������������������,����������������������������������!�������������������������������� ����������������������,������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������� �������������������������������������������������������������,�������������������������������������������������
�������������������������������������� �������������������������������������������������3�����������
�������������� �� ������������������������������������������������������������� ����������,�����������������(���������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������<�����;��;������4+>=��������������������
13.2.2 Waveform tracking
���B��������������������� �� ����������������� �����������������������!����������6���������������0������������
�������: 7�����������!���
����������������� ��!������� ��!�)#
The Structural equation
������������������������������������������ �������������������!�9������� �����(����,�(����������������������������������������������������������������������������
�2 E��3F�F � ���2���E��3�22 � �3E��3� �22 � �3E��3� � ��������
�������������������������������������������������������
� E2 3F�F /2 3� E2 � �3� � E2 � �3� � ��������
���������/���������������
6�����������������������������!����,���������:;.������������������������������������������������������ ����������!�������������������������
6������!������������ �����������������������������,��������������������������������������������������,��������������������������������������������������������� ��� ��������������,���������������������$��������:;.���������
� E2 3F�F /2 3� E2 � �3� � E2 � �3� �2 3 �������
�������������������������!�������������������������� ��������������������������� �"����������������������6������������������� ����������������������������������������������
The Data equation
(���������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������
7�����������!���
�)$+����"""�������������������
!E2 3F� � E2 3� � E2 3 �������
��������������������������������������������������������������������������5���������6���������������������������� ��������������������������������������
The Least squares formulation
'���������������������.����������:;:������:;/���� ��������������������J(�����(�������(�����R���4����������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������
��V� /2 3V�
VV��V���
�2 � �3�2 � �3�2 3
���� � �2 3
!2 3� �2 3� �������!
�������������������:;1���������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
� E2 3F� ��E2 3
��E2 3�������#
$��������:;1����������;
��V� /2 3V�
VV�2 3�V����2 � �3�2 � �3�2 3
���� � �2 3
�2 3E2!2 3� �2 33� �������$
������������������������(�����������������������������������������������������������,���,�����������������������������������������������������������������������B�����������������������������!�������������������9������� ���������������������������������������������������������������,�����������!���������� ������� ����,������� ������������������������������������� ��������������������������
�������: 7�����������!���
����������������� ��!������� ��!�)%
6�������������������� �����������$��������:;D���� �������������� ������������������������������� ����������������������������������
7�����������!���
�))+����"""�������������������
13.3 Practical considerations
���������������������������������������������������B��������������������������������������
Frequency resolution
"�������������B���������������������������!������������������������������������������������������������������"������������ �,������������������������������������������������������������������ ������ ����������������������������� ����������9������������,�������� ���������������������������� �������������������������������������������������
Filter characteristics
"��������������� ��������������������������$��������:;D�����������������������������������!����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������
�:� �� E2 3
���E2 3
��E2 3�������%
9��������������� ����������������������������������%������������&��������������������������������������������������"������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������9�������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������� ������������!���
������B����������������������������������-���������������"���������,��������������������������������������������
�������: 7�����������!���
����������������� ��!������� ��!�**
5:*�?�
5:*����
5:*� ��
'������:;� $���������7�����������������'����
Bandwidth characteristics
$��������:;D���������������������������,�����.�������������� ������������������������������,������������������ �������������������������������������������������� ���������������������������������������������!��
?���������������������������������������������4��� ����,���������������������������������������������������
�������
�� $ �
������
�������
�� $ �
������
'������:;.�)�����������������������������������������������������
Allowable slew rates
�������������������B�������������������������������������������������!����������������� ������������ �����������������6��������������� ������,������ ��������� ������������������������������������������������������������������
����������� �������������������������������� ������������ �����������"����������������'����������������������������'�K3K.��
7�����������!���
�*�+����"""�������������������
����!��������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������� ��������������������7�� �������������������������������������������������������������������������������D17-3���� ��1�������,����������� �������������������������D127-���"���������������������������(���������������������������������������������������������
�*
���������
�� �� �� ����������� �
�������������� �������������������� ��������������������������� ��������������������������������������������
Counting of single events and occurrences
Two–dimensional counting methods
�������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!�*
14.1 Introduction
"����������������,����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������'������/;������������������������������� ��������� ��������������������1�������%::2�������&�
���������
�������
�/�
�."
��."
'������/;� ������������3������
"��������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������!��������������������;�������� ����������������������������������������������� �������������������������-����;����������������������������,����������'������/;.�
'������/;. �������� ���������������
����������� �����G;
� �����������������!������������� ���������������������������� ��������������������<<+�!��������==�������������������������/�.���
������������������������
�*!+����"""�������������������
� ���(����������������������������� ����������������������������� ��������������������<<� �������==���������������������������������/�.�.�
� ������������������������������������������-�����������������������������������������������<<4�������������=�������������������/�.�:
������������������������������������������������ ������������ �������������������
� �����,��������������������������������������������������� ����������� ���������������������������������������������������������������������� ���
� ����.�������������������� �� ���� ���������������������������������������������� �,����������������������������������
�������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!�*#
14.2 One dimensional counting methods
����������������������� ����������������������<������ ��=������������������������������(�������������������
�������/�:��������������������������������(���������������������������� ���������������������������������<���������������������������=�
14.2.1 Peak count methods
������������������������������������<<��!�M%��(������ �&�����<< ������M�%��������� &������������������������!������ ������������������������ ����������������������������I����������������������������!������� ������%(���&������������!��%��(���&,���������� ������%�������&�
�
�
��
�
'������/;: �������������!������ �����
9�������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������'�������/;/��������������������������������� ���!; ����������������������������������������������������
������������������������
�*$+����"""�������������������
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ�
��
�
!
"
� � �
�����
�������������
ÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇ�
��
�
!
"
� � ������
�������������
ÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ�
��
�
!
"
� � ������
�������������
@+�����8���� 8�+���
'������/;/ 7��������������!��%��(���&,� ������%������&���������%(���&
14.2.2 Level cross counting methods
����������������������������������������������������� �������� ������)����������������������������������%����� � &�����������������%���� � &�����������������������������I������������������������������ �%��&����������,������� �%����&����������������������
�
�
��
�
'������/;1 ������������ �����������
+�!������������ ������������������������������������������������ ���������������������� ��������������������������!����� ����� �������������������� ��������� ����������������������� ��������������������� �����������!; ����������
9�� ����������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������,������������������������������������������������������
�������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!�*%
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇ�
��
�
"
>
F
� � ������
�������������
� ����������/�
�
ÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇ
ÇÇÇÇ�� � � �
�����
�������������
��'����������/�
ÇÇ�
�
"
>
F
�
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉ�
��
�
"
>
F
� � �
�����
�������������
� �����H���'����������/�
�
ÉÉÉÉ
'������/;A 7������������� ����������������
14.2.3 Range counting methods
9������������������������������������������������������������������������ ������������� ���!; ������������
Counting of single ranges
������������������� ���!; ����������������������4����������������������� ������������������������������ �����������������������
�
�
�"
�"
�
�
�
�
�
�
'������/;D �������������������!; ����������
9���������������������������������,�����������������������,�����������
������������������������
�*)+����"""�������������������
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ�
��
�
!
"
� � �
�������������
$�/�
ÇÇÇÇ
! "
ÇÇÇÇ
�" �!
'������/;0 7�������������������!; ����������
Counting of range–pairs
��������������������������%�������������������������;����&,����������������������������������������� ��������� ��������������������������������������������������������������������������'������/;@,����������������������������������������������������� ���������������
��'� ����������
'������/;@ ����� ���������������������������������� �������
"�����������������������������������,������������������������� ���������,������������������������� ��������������������� �������������9���������������������������������������������������������������� �������� ���������������� ���������
�������;������������������� ��������������� �����4��������������������������������������� ������,�������������������������<<����M������� ��������%�������&�������������������%���������&�����������������
* � $
'������/;�2 4����������������
�������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!��*
"������������(������������������������������������������������������������%4&,����������<��������=����������������
������������������������
���+����"""�������������������
14.3 Two–dimensional counting methods
�������������������������������,����������������������������� ��������������������������������������������������������� ������7��� �,���������������������������� �����������,�����������������������������������<��;����������=��������������������������������������������
14.3.1 From–to–counting
�������<<�������M� ��������������������������!���� ���������������� �������� ������9�����(����,��������������������������� �������� �9����������������!���� �������������������'������/;���
�
6
�
�
�
�
�
&
��
��
'������/;�� '���;���������
"������(����,���'������������%��.&�������������������������������%:�/&�����%����.&,������������������� �� ������������%�;9J); &�
����������������<<������==�����������������������������������>��!� ;>���(�9O�,�P���������������� ���������������!����� ���������������� �������� �������������(����������������������� ������'������/;����������������
�������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!���
� 6 � �
�
6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
#������4
����
�
�
"
�
��6�
!
�
�
�������
�����������������������>��!� �����(���������������� ������� ��,���������������������������-�������� ����������������������������������������������������������������������!������ �������������������� �������������������������������������������������>���!� �����(�
14.3.2 Range–mean counting
9�����(������������;�������������������������������������;������4���;��������(������ ����������������%�;�&������������������������������������ ����%�T�&3.�
�
6
�
�
�
�
�
&
��
��
�8�
�86 �86
6
� �
'������/;�. 4���������������
"��������������������������� ��������9������,���4���;����������������������� �������9�%������&����� �%J�9T��3�.�������&�4����,���������������������������������������������������:)�������
������������������������
��+����"""�������������������
���0�����������
$�/�8��
'������/;�: )��������������;�����������
14.3.3 ‘‘Range pair–range” or ‘‘Rainflow’’ method
9���;��������������������������������������,������������������������������������,������<<���������;����M����������������������������� ����,�������������������������������E����,�!���������<<4������������M�� ��������������(����������������,��������(���������������;�����������������������������,��������������������;�����������������������������������������������������������������������'��������������������������������������.�D�
$�����������������������������������������,��� ���������������������%�������&������������������������������������������������ ������������������������������������>���=������������������������!��������������������������������� �� ���������������������
� ��� �������������������������������!; �����������
9������������������������������������ ��������������� ���!����� �����,���������������������������������������!; ��������������"�����������������������������������������<<����;����M�������'��������������������-�4,�����!�%��� ����&������������ �����������������-���������������������������������%�������&������ �����������4�����%��������&�������� �������!�%��� ����&�� ��
�������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!��
��
�
��
�!
�"
�?
�>
$$
$
$
��
�
��
�?
�>
'������/;�/ ��� �����������������������������!� ����������
"������� �(�����������������������!���������������������������������������������-�4�������
9��������������������!,����(� ����� �����������!�����,��������������������.���������������� ������������ �������������������������������4��������:��������������������������������(� ������!�������������!������������:,������������������������� ������!����������������������������������������������������(�(������������������%/&��������������������!��������������������!������ ����������+�!�1�������������� ��������������������������� �������������,�������������4�
"������(���������������������������������������� ��������%:,/&���������!; �����������
*��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������4��������������������������������������������� ���������������������������� �����������������-�
. ���������������������������������;������
�������������������������������������������!������������������������ ������,��������!������������;�����������������������"����,�������������������!; ������������������������������������������������5���������;�����������,����������������������� �����������������9������,����(��������������������������������������������������� �������������������,����������������������� ����������������������������������������������������;��������,��������������������4���;�����������������������������������������
: ����������<<4����M
������������������������
��!+����"""�������������������
9���������������������,���<<�����M������!������ �������������������������-��������������������������������������"�������������������������������������������,����������� ��������������������������� ����������
Example
�������������(���������������������;���������������������
��������������������������������
9���!; ����� ������������ �� ��������������-�4,��������������!; ���������������������
�
��
�!
�"
�?
�=
�F
�>
$
��������������%������������������;��������������&������������!�������/������(������"�������������� -��-�!-�"&,�������������������������������(�������-�!-&��������������������� ���������������(����� -������"&,���"������������%����������(����&,����������������� ������������������������������(������-�!-�"-������?���������������������������������,������(�����!-�"-�?-������>��������������������������������������������
�
��
�!
�"
�?
�=
�F
�>
�
��
�!
�"
�?�=
�F
�>
��������������;��������������������������(������������������
<<����������!�����M,���(����� -��-�!-������>��������������������������������%��-�!&����������
�������/ ������������������������
����������������� ��!������� ��!��#
� ��
�!
�=
�F
�>
�
��
�!
�=
�F
�>
'��������������������(���,����<<�����==�����������������������������������������������������������������<<����;�;�����==�
Further considerations
����������������������;�����������������������������������������������������-������������������������������������������������������ �������������������!�������������� �����������������������������<��������������=���"��������� ������������������������������� �����������������,���������������!���������,������������������������������!��������������������������������������,�������������������������
�������������������������� �������-���������������������������������������������������������������-������4���:4,�����(����,��������������������'���;��������������������Z����;�ZC:[4,������-�����"����������,��������������������������-���������������
������������������������
��$+����"""�������������������
14.4 References
O�P '�������������������������������������,���E�����E� �,�.@��>��������9F94)��>+,�"������,��������@A@�
O.P ���������������������������,���E�����E� �,�"9��;�������,�4��,�������@D2��
O:P ���������������������������,� ���)��!���>,�A��"�9'�����������>�����,�'�������?�9,�>����@D���
O/P '��������>������������� �����������,�>�����!��>��H�$������,B�����������������,�E��������������>���������$������,�>�����@A0��
O1P ����������������������������,�6�����+�,��$$���������������.�'��������@D1,�E�������������������$� ���������$������,�������@DA�
218
Part IV
Analysis and design
Chapter 15Estimation of modal parameters 219. . . . . . . . . .
Chapter 16Operational modal analysis 267. . . . . . . . . . . . . .
Chapter 17Running modes analysis 281. . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 18Modal validation 293. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 19Rigid body modes 309. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 20Design 321. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 21Geometry concepts 357. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Theory and Background
��)
��������
�������� �����
����������
��������������������������������������� �� �������������������������������������� ������G
The definition and derivation of modal parameters
Factors to consider in the estimation
Descriptions of different parameter estimation techniques
Calculation of static compensation modes
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!��*
15.1 Estimation of modal parameters
9������������������� ������������������������������������-��������������� ���������������������������������������������������������'������1;��������������������������� ����������������������
� �� � ��
���������(������������� ���������
#��F2��3F��
���
V �F ���2��� ��3
��F���H
2��� �H�3
��������������������������� ���������
FREQUENCYDAMPING
MODE SHAPES
'������1;��)�� ���������������������
"�����������(�������������������������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;���������������������������������������%'4'�&,������������������� ���,���������������%"4�&���'���"4����������������������������������������������(���������$��������1;��
#��F2�3F�����
V�F����F���� �F���H�F�
H�� �����!��
���������������������������'4'������� �����$��������1;.�
$������������������������
���+����"#�����>�����9������������)����
#��F2��3F�����
V�� �F���
2��� ��3�
�F���H
2��� �H�3�!� �����!��
���
��7 ���� J�"4��������������%�������&�����������������������������%�������&�)5'�7
��7 ��7�� J�'4'��������������)5'�������������)5'�7
& J������������������ �����������������������������=�������������������������������������������������������
���7� � J������� ��������������
�� � J����� ��������������
[��������������(���������
�������� ����������(������������������$���������1;:������1;/�
��� ��� ���� �����!�
���
�,� J��������������������������������
�� J�������������������������
��
���� ��� �� �� � �� ���� �����!�
���
��� J����������������������������������
�� J��������������������
$��������1;1����������������,������������ �����������������������
����� ��F,��FF,�� �����!�!
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!���
���
+�� J������������������������������)5'�����������
+7� J�����������������������������)5'�7���������
�� J��������(���������������,������ ����������������������������������������
*����������������������������������������%����������������&��������(���"��������������������,������������������������(�������,
����
������������!�#
���
"� J���"�,���"������������
�������,�����������������%�����������������&,�����������������������,����������,�����������������������������������"�,�������"�����%�����������������������������&�
����������������������������������������������������������%��������&��������������������,����������������������������������(����%������ ;��&�������������������������������������>��������������������������������������������������������������������������������������������������
A note about units
����������������������� ������� ����������������3��,�����������������������7-�
���������,����������������$��������1;������1;.,��� ����������������������������������9���������,������������������������������� �������������4����������������������������������������������������������������������,�%$��������1;1&��������������������������������� ���������� �������������,������������%��������&�����������)��������,����������������������� ����������������������������������
'������,�������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������9����,�����������������������������������������������������������'�������,���������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������
$������������������������
��+����"#�����>�����9������������)����
15.2 Types of analysis
������������������������������������������������������������������������������������������������������;
� ?��������������������������������������������������1�.��
� >�!������������������������������������1�.�.
� ?������������������������������������1�.�:
� ?���������������������������������������������1�.�/
� ������������������������������������������� ����;����������������������������1�.�1
��������������������������������������������������������1�:
15.2.1 Single or multiple degree of freedom method
"�,�������� ��������������,����������������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������%�)5'&�����������
���������
���
����*�����
'������1;. �������������������������������
?�����������������,���'4'���������1;.��������������������������1;D������������������������������ �������������������������� ������
#���
�F���
2��� ��3�
�FH���
2��� �H�3�����!�$
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!��
��� � � � ����
"�������������������������������������������������������������,�������������������������������,��� �������,�������"���������������
#�� ��F���
2��� ��3�
�F���H
2��� �H�3� <��� �
2���
�������!�%
���
���7 �J����������������%���������������&������������(���������������������� ��"�(�
���7 �J ����������������%������������&������������(�������������������������"��
?�������������������������������������'������1;:�
��'����������
���������
��������
������������
� ���������� ���4
� ����
��
���
'������1;: ?���������������������
$��������1;D�����������������������������������������(����������,�������������
#�� ��F���
2��� ��3�����!�)
�����������##����������������������)5'�������������������������������������������������������������+�!����!���,�>������!��������������������
$������������������������
��!+����"#�����>�����9������������)����
��������������##�����������������)5'�������������� ������������������������������������������������"�����������������������������"������������������������(����������������������������������������� ������������������������� ����������������������������������������;�����"��������,�������������,�"�"����,��
15.2.2 Local or global estimates
"��������������������������������������������������������������������������,
#�� E2�3 � ����
�����E���� �H��� E�E�H�� �����!��*
��������������������� ������� ����������������������������������������)5'����"������������������ ������ ��������������������������������������������������������������������������������������6����������������������������������,����������������������������N���!��������������������������
�������������� 5��������������
$����������������7 ���������-������� �������,������������������������������������ ������ ����������������
9������������������������-��������������������������������������=���������������
9����-����������������������������������������������������������������������������"����������������������������������������������������������������������� ��������������������
6���������������,���������������������� �������]������������������������������������������������
+�!����!������������������������������������������������������������� �����
�������������������(�$(��������,������(�>���"��������'������������)����+������"������������������������������������������������������������������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!��#
15.2.3 Multiple input analysis
9���������������� �����������&� ������)5'������&� ������)5'�����(������������������������� �����������������%���������1;�2&����������������������(���������������������������
L�M � ����
L��M�F���� L�H�M�F�
H�� �����!���
���
OAP�J%&�.&�&�����(�������7 ��������
O5�P�J %&�.&�&�����(�������7� ��������
$��������1;1�������������(�����������������(���������������,
L��M � ��FM>N�F�>��� �����!���
���
QTR� �J &� � ����%������&���������������������������������)5'�
�T�� �J &� � ����%���&��������������������������������)5'�
"��)5'��������7����������������������)5'���������� ����������������>�(���� �����������,
���� � ���� �����!��
������������������������������� �������������������(�������(��������������������������,
L��M �F M>N�F�4�� �����!��
�����I������� ����%���&�����&� ��������������(������������������������������������������������� ��������������)5'��
�����������������������"�,���������������������������������*��������������������������������������������������������������������������������������������������������)5'��
$������������������������
��$+����"#�����>�����9������������)����
?����������������������������������(,���������1;����������������,
��� � ����
M>N��4���F��� � M>HN��4H���F�H�� �����!��!
"�������������������������)5'��������������)5'���������������
���� � ����
,���4���F��� � ,H���4H���F�H�� �����!��#
���
�A � �/ �&� � ��������������������)5'����������������)5'��
"��������������������������������1;�A������������������������������������������������������������������)5'��"�������������������������������������������������;
�4��F���� �����!��$
9����������������������������������������������������������������� ���� ���������������������������������������������(������������������1;�D�%�������������� ������������������������������������&�������������������������������������(����������������1;�A�
����������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �����������.� ��������������������*������������������������������(������������,����������������� ����������)5'���������(��������
�
M�N� � ���M>N�2���F��� � M>N�2���F
������ �����!��%
�������
�� " �� � �
M�N� � ���FM>N�F2�� � M>N�F2��F�F����� �����!��)
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!��%
������������������������������������������� �����������)5'�7.������������������������������������� ��������������� �����������������������������������������������������������������������������7 �������7 �
������������������ ��������������)5'��,����(������������������������������������1;�@�
M�N� � ���FM>N�F2�2 � M>N�F2�2FF������ �����!��*
���������������������������������������������������������������������� �������� ���"���������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������� ������������9����������������������������������������������������� ���� ����������������������,�������������������������������������������,������������������������������������������������
15.2.4 Time vs frequency domain implementation
?����������������������������������,��������������������������������������� ���������'����������������������������������������������������������'4'������������*���������������!�������������������������������������������������������������(����������������������������������������������������������
'�������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������������������������;
#��= F2��3F � ����
V�� �F���
2�� � ��3�
�F���H
2�� � �H�3�!� �����!���
���
��7.� J������������������������������
$������������������������
��)+����"#�����>�����9������������)����
��J�������� ������������������������������
9�����������������������������������������������������������������������������������������������"�������������� ����������������������������������������������������������������������������(�����������������1;.��
"���������������������������������������������,������'4'�������������������!��������������������������������������"������4�������%"4&���9�'���'����������������%''�&�����������������������������������������������������������������������������������������������������.�%����:.,�A/,��.0���&������������� �������9���������������,����������������������������������������������������������������������������������9���������������������������������������������������-�������������������������������������������������
"��������,��� ����������������������������������������� �������������������-���������������������������������������������������������'������1;/�
�������
(�4
��� ���+
����������������0��
�����������0��
'������1;/ 9��������������������� ���������������
������������������������������������������������������������������������������ ���"����������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������"�( ���� �"����������������������
�� � ���2����� ��� �3
�����!���
��������������������������������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�*
�
#��= F2�3F � ����
�F����F�� ��� �FH����F�H� �� �����!��
��
�
#��= � ����
�F���F� � � �FH���F�H � �����!��
���
�� � ��� E�� �����!��!
������������������������������������������������������������������1;./������������-���7.� ���������� ���� ����������������������������1;.1���*����� ������������������������������������
�� � �2����������3�� � ����� �����!��#
��������������������������������������������].� 3��������������������"�����������,������������������������������������,������������������������������������������������������������%��"��.���"�(&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�������������&���������������������������������� ����������������,�������������������������9��������������������������������������������������� ������������������������������-��������� ������������������������,�����������������������������
15.2.5 Vibro–acoustic modal analysis
����������������������������������� �������������������������������������������������������� �������������������������������������� ��������������� �����������������������������������������������������������������(������,�����(�� ����;����������������������������������
����������������������������������������� ������������������������ ����;������������� ���G
$������������������������
��+����"#�����>�����9������������)����
�� ����F� ��:�F� O��M�NF � M�N�F M2�N �����!��$
���
-6.�'6.�<6� ���������������,���������������������������
J�K� ��(�������������������
J��K ��������������������������� ����
"���������������������������������������������G
�� ����F� ��:�F� O��M�N � M��N� ��M2�N �����!��%
���
-�.�'�.�<�� �������������������������; ��������������
ω�J��K ��������������������������� ����
������������������������
M2�N �F ��B
�F�� �����!��)
M2�N �F ��B
F�F�� �����!�*
���������������������������������������������������� ����;��������������������G
�O�
�
� O/
O� ����� � ���:�
�
�
:������ � �����
�:
�
������� � � � ��� �����!��
���������������������������������������������� ����;�������������� �����������������������;����������
������ ��������������������� ����;����������������������������������������(��������G
����G�� ���
� ����
�
��
�G���� �����!��
>��������������������;����������������������������������������������������������������;���������������������������������������������������������������������������������������� ������������������,������������������������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!��
���������(�����������������������������������(�������������������������� ��������������������������������������������������������������������������;����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������(�����������������<#����;����������>�����9��������G�4���������,�>���������������>����#������=����B��6��!�������'�9����-��� ��-�
$������������������������
�+����"#�����>�����9������������)����
15.3 Parameter estimation methods
9�������������������������������������������������� �����������1���
������ !���������� �&2 ������ ��������� %�����
+�!����!��� �������,�������
����� ��� ����� �����
>������!��� ��������� ����� ��� ����� �����
����������� �����������������������
����� ��� ����� �����
�����(�>��"��������'������
�����������������������
���� ��� ������ ��������������
���������������(�$(�������
������������������������������������
���� �� ������ ��������������
����������'�������)�����
��������� ���� ��� ������ ��������������
'�������������)����+����������������
������������������������������������
���� ��� ������ ��������������
�B2����D�� E���"���������"������"����,����,������������
Selection of a method
9������������������������������������������������������������������)������������������������� ������������������������
��&2���������������������� ����������������������������������� ����������!���������������������������������%����������������������������&������������������������������9�������������������������!����������������������������������G
� ���������������������������!������������������������N
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�
� ���������������������������������������������������������N
� ����������������������������
'����������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������)5'��������,����������������������������������������������������
������1�%2���������������������������������������)5'������������� ����������������������������������������!�����������"�������� ��������������������'4'�������������������������������������������������������'�������,�������(��������������������������������������������������������������������������
$�����������&2�������������������������������������������������������������������������������������������������������"���� ����������������������������������������>">5�'4'����"����������!��������������������-������ ������������������������������������������18���������������������������������������
2�� �������������&2���'�������)������)����+���������������� �������������������������������������������������� ,�������������������������������������������"������!�����������������������������������%���������������2�:8&����������������������������� �������������,���������������������>)5'����������������������������������������������������������-�'4'���������������������������������(���
15.3.1 Peak picking
+�!����!���������������&2����������!�������������������#�� ������������������������������������������� �������������������������������������(��������������������������������������������
'���(����,�����������������������������%'4'&������������������-��������������������������%��������������������&,�������������������������(�����%��!���������&�����������������������������(����%��!��������&�������������� ������������(������������ �������������������������������������������������������������������������������� ������������������������
$������������������������
�!+����"#�����>�����9������������)����
9��������������������������������������������������:� ����������������� �������������.,�������������������!������'4'������������������������������!���������%:� �����&�����������������������������������:�����������������������������������������������������������������'������1;1������� ��������.�������������������������������
� ���� �����
�����!�
�������
(�4
�1�� � !��1
� ����
'������1;1 7���������%:�� &�����������������������
���������� ��������������������������������������������,����������������������������������������'4'�����������������������������������!�������������������������������������������������������������(�������������������������������������!������������������������������'4'�������������
"������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������������
Note! Peak picking is a single DOF method: it is therefore only suitable for data withwell separated modes.
9����������������������������,������������������������������������������������������� ��������������������7�� �,����� ������������������ ������,���������������������������������������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�#
15.3.2 Mode picking
"��������������������������������������������������,��������������������������������������!���������������!�������������'4'���6����������������,��������������������������������������������������������(�������
#��= "����
2�� � ��3�����!�
%���������������1;D&
����������������(��������������������������7�� ����������������������,�����������������,����������������������������������������������������(��������������������,������������������������������������������������������ ������������������,��
�������������,�������� ������������1;:/���������������������� ����
�����
�������!�!
*�����������������������������������������������������������������������������������������������
��������>������!������������������� �������������,� ���������������������������������+�!����!���������%���������1�:��&���������������
���>���+��!�������������� ���������������� ���������������������������"������(�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������!�������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������,� ���������������������������������������4�����������!������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�����������������������������������������������������������������������������������
>������!�������������������!��� �������!��������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������
$������������������������
�$+����"#�����>�����9������������)����
15.3.3 Circle fitting
���������������������������������������������������������(����������������������������������������������������������������������������� ��������B���������+����������������������������������������)5'�������������"���������������������,������������������(�����������������
#��= �����
�� � ���
�H���
�� � �H������!�#
>�!������������������������������,�7������,�����������������(������������������,����������(��������������(����������������������(������,���������1;:A������������
# �-� �>
� �� �F2� � ��3� �� �. �����!�$
"������������������������������������������(���������������� ����������������������������������������������������������(����,�������������'������1;A�
� �-�� >��
�
2��(�
$��(�
�
�
��
��
��
�
��
��
�
�� ��/�� >-
�$-2�
2�� -��F�= .� >��F�3
'������1;A 4�����������������������������������������������
�������������������,������������������(������������������������������������������������������������������������������(��������������������������������������������������(������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�%
7� �������������������������������������������������������������,���������������� �������������1;:0�
� � ��� ����
��� 2����3� �� 2����3
�����!�%
��������(�������@�P�7T������������������������������������,.����������������������������'������1;A�
� � -�� >��
������!�)
� � ��/�� >- �����!�*
������������������������)5'�����������������������"�������������������������,��������������������������������������������,���������������������������� ������������������������������
15.3.4 Complex mode indicator function
��������(�>���"��������'����������������������������������������������������������������������������������'4'����������������������� ����������!��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$����')+"���7�� ��������������������������(����������� ����������������������������������������������������������
���'4'�����(���������������&��%����&�����&��%����&��������������������(����������������
�����!��LF�2�3FM � �����
MF�FN�F;�
�� ��MF4FN�
5���������(��������
�����!��LF�2�3FM � LF�FMF� ;�
�� ���FLF4FM
$������������������������
�)+����"#�����>�����9������������)����
���
O�A�����PJ ��'4'�����(������-�&�����&�
O���P�J ���������������(������-�&� �����&
U�� ��J �����������������������������
��� ��J ����������� �����������������
B�I�C�3�J ���������������������������������������(������-�&�����&
��!��������������� ���������������������'4'�����(�������������������������
�����!�LF�FM � LF-FMFLF�FMFLF>FM�
���
O��@�PJ ������������������(����������������������(������������ ����
O��6�PJ �������������������� ��������(
O��T�PJ ��������������������(����������������������(����������������������� ����
"���������������������1;/.������1;/:,����������������������������������� ����������������1;/.���,������������������� ���������������,����������������� ��������������������(������������1;/:���������������������������(,������������������������������ ����������������������
'�������������,����������������������������������(��������������� �����������
��������(�>���"��������'������������������������ �������� �������������������(,�����������������������'4'�����(�% �O�A�P �AMO�A�P������������������
�����!�LF�FMF�LF�FM � LF>FMFLF�FMF�LF>FM�
�����!�!:�. �2�3� ��2�3� ��2�3�VVVVV�� �= �= �����
���
�����J ��������� ����������������'4'�����(������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�*
�����J ��������������� ���������'4'�����(������������
&�J ����������������
"�����������O�A�PA�O�A�P ������(���������������������������������������� ���������������������>"'���������������� �������������������������������������������������������������>"'��������������������������������)��������!������������������������������������������,������������������������������������������������������'������1;D�
+�!��������>"'���������������������������������������������!���������������������������������������������������!������������������������������
��/
.��
.�
.
:82#
�������
'������1;D $(�����������>"'����������������������
6���������������� ��������,����������1;/:������1;//������������������������(���������������������������������������O�T�P,������������������,���������� �����O�@�P�
�������������������� �����������������������������������������������������������'4'�������������%��.���������
�����!�#��� 2�3F � MF-FN�� FLF�2�3FMFMF>FN�
���������������� ���������������������������������������������-���������� ������������������� ���������������,����������'4'�����������������������������������������������
�����!�$��� 2�3F �
;�
�� ��
9�������������������������%��������������������������&������������������������ ���������������������������������������������(������������ ����������������������������������������
$������������������������
��+����"#�����>�����9������������)����
��/
.��
.�
.
:82#
�������
�������
��
'������1;0 $(�����������>"'���������������������������'4'
5���>"'������������������������������)5'��������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������(��������'������1;@�
��/
.��
.�
.
:82#
�������
:82#I
:82#I�
'������1;@ $(�����������������������������>"'�
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!��
Cross checking and tracking
9���������������������������������������������������������������������������������!��������������������������� ������������9����������,�����������>"'��������!������������������������������� ���9��������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ����������,����������+���������������������������������������������������������������������������������������>"'�(����������!���������������������������'������1;@���������������������>"'�(��������������������������������������������������(������������!�
9����!������!�������������������>"'������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������>9������(������������������������������������������
+�"�� �- 0� +�"����- 0�
+�"�� �-�0� +�"����-�0�
6���������0��������������������������������>"'�������������>"'������������������ ����������>"'�.������������
:82#I
:82#I�
� 0
6�������>9������(������(������ ����� ����(� ��� �� ��!� ���>"'^.� ������� �� ���������� ��!�������������������������������������������0�
"�
"�
"
"
:82#I
:82#I�
� 0
6�������>9������(������������������ ��� �� ��!� ����>"'^.� �����������������+����������������������������������������������0�
"�
"�
"
"
+�!����!����������������������������������,�'-F2�����������������������������>"'��������������������������������������>"'����������,����>"'���������������������������������������������� ����!������������ �
$������������������������
�+����"#�����>�����9������������)����
9��(�������������!�� �������������>"'��������������'������1;@��������������
��/
.��
.�
.
:82#
�������
'������1;�2 $(�������������������������������!���>"'�
15.3.5 Least squares complex exponential
�������������������(�$(������������������������������� �������������#�� ���������������������� ����������������������������������������������-��������������,��������������������������
��������������������������!�,���������(������������������������������%"4&��� ������
�����!�%#��F2�3F � ����
�F����F���� �FH����F�H��
"�������������������(����������������� ������� ��������������������������������������%����&����������%����&�)5'���"����������������� ����������������%��������������&�������������������������������������������������������'4'���������������"������������������������������������� ����������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�
Model for continuous data
9���������������������������������!�������������1;/0������� ����� ������ ��������������������������7� �������,����������������������������)5'����"���������������������������������������������������������7 ,������������������������������������������������������)5'�������������������������������������� ���"���������� �����������������!����������������������������������������������&������������������������
�����!�)2����3�#�� � ��2����3���#�� � ��� � ��#�� � �
"���,���������1;/0�(���������������������������������������������&������������(�(���������������������������(��������������������������(�(��������������� ���������������������������������������������������������������������������������
�����!�!*2����3�� 2�3� ��2����3���� 2�3� ��� � ��� 2�3 � �
����������������,�������������������������������������������������,�������������������������������������������������������1;/@���� �����������������������������
�����!�!��� � ���
���� ��� � �� � �
�� ��= �� �H�=�� ����
�������������������������������,�������������������������������������������������1;/@������������ �������������$����������������(�(�������������������� ���������������������� ������������1;1��
Model for sampled data
>���������������� ��������,�������������������������������!����������������1;/0�������������������!����
�����!�!�
#��= F �F �
���
����F� �F�F �H���F�H �
�� � �����
"�������������������(�(��������,��������������������������������������������������� �
$������������������������
�!+����"#�����>�����9������������)����
'���������������������������������(���������� ����������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������.*�%�����������������������������������������������&�
�����!�!#��= F�F ��#��= ��F�F ���F�F ��#��= ��F �F �
������������������ ������������������� ������������������� ���,
�����!�!��� � ������� � ��� � �� � �
Practical implementation of the method
�������������������(�$(���������������������������������������������������1;1:����������������������������
"���������������������������7.�]�����������9��������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������1;1:������������������������������������������������������������������������������������������)5'����������� �������������������������������������1;11��������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(,���������1;1A�����������������(����������������������������+��������"����(�
�����!�!!
���������
�
#��=���)
#��=���)
#��= ��
)#��=���
���)���)���)���
#��=�)
#��=���)
#��= ��
)#��=���
���������
!
�
��$�
����)
����%!
����
���$
�
�� #��=�)
� #��=�
)� #��=
)� #���
���
���%
!
�
���
&�J������ ���������������
&*J�����������������)5'�
&� J���������������)5'�
6������������������������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�#
�����!�!#����
��=��
)��
���=���=�)�
������)�
��=���=�)
��=�
���!
���$�
����)
����%!
�F0��$�
� ��=�� ��=�
)� ��=�
��%!
�
�������������������� �����������(������������
�����!�!$��=2 ���
���
��
���
��
��
2#��= ��F#��= �23
�������������� �����������(��������������������������������������������(�$(������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������(����������������1;1D�
*������������ ������������1;1A������������������������������������������������������������������������������������������������������������1;1/���������� ������� �
Determining the optimum number of modes
����������������������1;1A�����������������������������������������������������(�����������������1;1:���"��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
"������������������������������������������&������������������������7�� �,�������������������������������������������������!�������"��������������������������������������������������?�����������������������(�$(������������,��������������� �������� ������ ����������������������������������������������������1;1A����������������������������������������
���������,�������������!���������1;1A�����������������,���������������������������&������������������������9������������������������������!������� ������������������������������������������������
��=�� ��=���=�������F0F�� ��=�
� ��=��
������������������������������������������������
6���.������������������������������������������� ����
$������������������������
�$+����"#�����>�����9������������)����
���
�
��=��
�
�
��=���=��
�
��=���=���=��
��=&��=&��=&�&=&
���
!
���$�
�������&��%!
�F0F��$�
� ��=�� ��=�� ��=�� �&=�
��%!
�6���������������������������������.,��������������*��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
9�����������������������������������������������������������������������������������������������������'������1;����������������������������������������-�����������������/������%����/������������� �������������\&�
*������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������,�����������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'������1;���
;�������������@�����
������������������� �����������������!��������"��������?��������>��������=
��������������
������������
'������1;�� �����������������������,����������/�����
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������+��������������������������������(�������������������������������������������������������������������,�������������%�������(����������������&����������������������������������������������������������������������������������������������������9��������������������� ����������������������������������������������������������������������6�������������,�����"��������������������������������������������������������������,�������������������������������������������� ����������������������������������������������������"�����������,������������� �������-��
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�%
of
d
s
v
sssss
ss
sss
s
ss
ss
sss
s
ss
ssss
fv
f
d
fv
f
fv
d
ff
fv
d
num
ber
of m
odes
ampl
itude
frequency
'������1;�. 9�������-������������
Example
����������������������������������,��������������'������1;�:�
�
� � ! "
(�
��
�
� � ! "
(
'������1;�: $(���������������������(�(�������
�������������������������������������� ���������������������������
$������������������������
�)+����"#�����>�����9������������)����
�
2�.:
�..�2;�2
�6.2�2;�
�������������������������%*J�&���$���������1;11������1;1A������������ ��
���
�� ���
�����
��!
�������F0F�
�$�
������%!
�
����������F0F����
����������������������/*,���J����*�����������1;1/�����������������������������.
��� � � �
� �* �
����������������������� ����������������
� � � �=F � � �� �����
�F �F ����
� � � �=F � � �� �����
�������������������������������������/�������-���������������������������������������������������������������'������1;�:�
15.3.5.1 Multiple input least squares complex exponential
�������������������(�$(������������,������������ ,���������������������������������������������������������������������������������"����������,��������� ���� ����������)5'������������7�� �������������������� ������������������!����������� �������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�!*
�������������������������������(�$(�������,�%������������&,������(���������������������������(�$(������������������������������������������������������������� ���� ����������)5'������������������������������������#�� ����������������������������������������������#���������>�������������������������������������(����������������������������������������������������������������������%�������&�)5'�%���������1�.�:&������������������������������������,�����������������������������������������������������������, ��������������������������
���������������>������"��������������������(�$(��������������������������������������������������1�.�:���������1;�A�
�����!�!%���� � ����
,���4���F��� � ,H���4H���F�H�
���
�A� /�&� � ����%���&����"4�����������)5'����������������)5'�
�I� J� �������������������������������������������"��&��������)5'���������������I� ����������������*�
+�� J���������������������������������)5'������������
*����������������,��������,����������������������������������������������������������������������)5'���"�������������������������������������������������������� ������������������������
Model for sampled data
��������(�����������������1;10���������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������)5'����������������������������������� ��
"���������������������������������������,���������1;10�����������,
�� �� � ����
,���4��� � � ,H���4H���H �
�����!�!)
�� � �����
"���������� ���������������������������������������1;1@,����������������������������������������
$������������������������
�!�+����"#�����>�����9������������)����
�� ��F�F �� ��������F�F �� �����F � � �����!�#*
������������������������������������
�4��L��� � �����
��F��� � ��M � � �����!�#�
�����!�#��� � �
%�����������������������������������������������������������������������������������(�$(������������������1�:�1&�
$��������1;A2�������,��������(�������,���������������&� �����������������������������������������������������������9��������9��������������������������������&��&���
������������(�����������������1;A���������������O�I�P������� �]��������������������������������������������������������������9���������1;1@����������������������&������������,�����������������������������������������������������������������������&� �������������&����(�����������������1;A.�
*���������,�������������������������)5'������������ �������,�����&��J�,������������1;A2������1;A����������������������1;1:������1;1/�������������������������(�(�������������������������������������������������������������(�(�������������
Practical implementation of the method
�������������������������������1;A2��������������������������������������������������������������������������������)5'����������� ��������������,�����������������������1;A:���9���������������������������,�����(��������������������������������,��������������1;A/�����������������(����������������������������������������� ������������(,
�����!�#
����������
�
��������
��������
�� �����
�������
����
���
�
����
���
������
���������
�� �����
�������
����������
!
�
���
�
����)��
���
!
�F0F
��������
�
� ������
������
�� �� ���
������
��������
!
�
���
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�!�
&� J�������� ���������������
&*J�������������������)5'�
��=2F �F��
���
F��
��
F2FL� ��MF��FL� �2M�F3 �����!�#
�����!�#!����
�
�
��=�
�
)�
��=�
��=�)�
���
���)�
��=�
��=�)
��=�
����
�
�F���
�
�
����)��
���
�
��F����
�
�
� ��=�
� ��=�)
� ��=�
����
�
�
����������������������������������������������������������������������������������1;A.���"��������������������������������������������9��������������������������������������������� ������������������������,���������������������� �����������������������������������������������������9����������������������������������������������������������������������������,�������������������������������
)���������������(�����������������1;A.��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������������������������������������)5'�������������������1�.���"���������������������������0�������������������.�����������������:����������������-�����������������"������������������������������������������������������������������.������
9������������������������(�$(������������,���������-��������������������������������������������������������������9�������������������������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������������-������������������������������������"���������1�.�:,�������������������������������������������������������������������������������������)5'�������������������������������������������������������!��������������������������������,��� �����������������������������������������������������-�������������������������������������������������������������������������������������������-���������������������������������������������������������������������������
9����������,��������������������������������������������� ��������������������������"���������������-��������������������,�� �����������������������(���������,������������������;����,��������������������
$������������������������
�!+����"#�����>�����9������������)����
9 9�K� 9�K� 9�K� 9�K& 9�K# 9�K/
���&#/%�0���������&�#�/�%���0���������&�#�/�%���0������
�&/������&�/�������&�/�������&�/��&�&�&&&/&�#�#�#&#/#�/�/�/&
���&#/%�0���������&�#�/�%���0���������&�#�/�%���0������
����&&#//%��0�������������&�&�#�/�/�%�����0��������
������&&##//%%��00�����������������&�&�#�#�/�/
�������&&&##///%%���00��������������������
���������&&&###///%%%���000����������
�B2���D�7 ��2���� �B��$�� �����2�������*��B<2����+=� <�B������������*+�� � <�B������������ /��?F ��*�+
Example
�����������������,�����������������(���������������������./0������(������������������������������������ ������������������������� �����O�������P����������������������������)5'������������)5'����������
����������������������������%����/��,����&�J�.&����������1;11������1;1A���������� ��
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�!
��
��
� �
����!�������
������F0F��
���
� ��
� ��!�
����������
������F0�� � �
�
���������������(��������������������
�2�F2�� �� �
��0F��
������������������������� �������������
z �* j, � � 0 * j �2�t
�4� � L* �= �M
*����������������������������������������������������������������������������������(�$(��������%������./@&���"���������������������������������������������������������������'�������(�����������������������������������������������@2����������������������(������������������)5'��������.������� �����������,�������� ��������������������������������
15.3.6 Least squares frequency domain
��������������'�������)�����������������������)5'��������������������,���������������������������������������������������������������� ������� �������������������"������������������������������������
���������������(�����������������1;AA
#��F2�3F � ����
�F����F���� �FH����F�H�� �����!�##
"������������������������������������������� ������,���������������������������������!������������������
$������������������������
�!!+����"#�����>�����9������������)����
����������������,���������1;AA�����������������!��������������������9������������������������
#��=� � ������
����
��� � ���
�H���
��� � �H��!�� <��� �
2���
��������!�#$
���
���7 �J������������������������������(���������������������� ����(
���7 �J ������������������������������(����������������������������
�������������������'������1;:���*�������������������������������������������������������������������N�������������,����������������������������������������)5'�
��������������'�������)�����������������������������(����������������1;AD�����������������������������,���������������������������������������������-������������ ����������������������������
15.3.6.1 Multiple input least squares frequency domain
��������������������������'�������)�����������������������)5'�������������������������������������������������� ���� �����������)5'���������������������������������������������������������������)5'��
���������������(�����������������1;10,
�����!�#%���� � ����
F,���4���F��� � ,H���4H���F�H��
"������������������,������������������������������������������ �������,���������������������������������������������������!�������������������'�������,������������������������������)5'�%�����������������)5'&��������������� ���� ����������)5'������������-���������������
����������������,���������1;A0������������������������������������9��������������������������������������������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�!#
����� � ����
,���4����� � ��
�,H���4H����� � �H�
� �4������
� �-��� �����!�#)
���
O@5PU� �J�������������������������)5'�����������������)5'�, ����������������&�
OI5PUU� �J �������������������������)5'�����������������)5'�,� �����������������&�
�����������������')�������������������������1;A@�
15.3.7 Frequency domain direct parameter identification
���'��������������)����+������"�����������%')+"&����������������������������������#�� �������,�������� ����������������������� ������������������������"���������� ���� ��������������� �������,����������������������������������(���� ���������������������������������������"���������,���')+"��������������������������������������$����������������
Theoretical background
��������������')+"�������������������������������������������������������������
�����!�$*�!��2�3� :!
�2�3� O!2�3 � � 2�3
6���������������������������������,����������������������������������������������'4'�
�����!�$�L� ��.� ����� ��MFL�2�3M � ��6�� 6�
���
�J��������� ������
$������������������������
�!$+����"#�����>�����9������������)����
4��/�-���',��������������������������(�%�&� ����&�&
4*�/�-���<,��������������������������(�%�&� ����&�&
A����J�����(����'4'=��%&� ����&��&
S*.�S� ������������������������������%&� ����&� �&
*�������������������������,���A����]����(���������������� ��������������������'4'=��
$��������1;D����� ��������� ����������������� ������ �6����������������������������������� �������'4'�,�����������������������;������������������,�����!���������(�����������4*.�4�.�S*. �����S� ���������������������������������A�����$��������1;D��������������������������]A�����������������������������������������������������������(�������������'��������������������,�������=�������������������������������� ��������� ����������� �������������������������������(�
�����!�$��� ��.
� ��� �
������������������������������(�O�P�������������������(��������� �����"��������������������������������������,����������(��]�����������������������������(�������������,�����������������������
"������������,����������������������������������������������������������������,����������������O�P������ �������
Data reduction
+��������������������������(,������ ���������������������� �����������������������������������������'��������������������,�����(�������&"]������������������������������������������������-�������������������(�]���������������������(������������������������������������
������������������������������������������� �����
� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-��������������
� �������������������������������������������������������������� �������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�!%
Residual correction terms
���')+"���������������������������������������������"��������������������!�������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������"�������������������������������������������������������������,����������1;D�������
�����!�$L� ��.� ����� ��MF�2�3 �
���:��� ���:��� :�� �:�� ��:�
�����������������������������������������������������������,����������������������%��������������������������������������������������������������&�
Determining the optimum number of modes
9������������������������(�$(��������%���$&�����,������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������,����������������!�����������������'��������������,�������������%������������&���������������������,�����������������������������������������9��������������������������������������������������������������,���������������������������������,���������������������������������������
9���������������������������������������������������������')+"��������������������� ���������������9����������� ������������������,�����������(������������-���������������,������!������������������ �����������(����������������������!����������(�������������������������������������������������������������������������������!����������(������������������������������� �������������������9��������������������������-����������� ����������������������������������������� ������������G������!����������(���������������������������������� ������������������������������������������� ����� �����
6��������������������-������������,�%�����$����������./D&,��������������������������������������������������9�������������������������������� ���������������
Pseudo–DOFs for small measurement sets
)��������������������������������,���')+"���������������������������������������������������������������)�������'�����������������������������
$������������������������
�!)+����"#�����>�����9������������)����
� � �
7�� �,������������������������������������������������$�����,���������������������;������L�����;M�)�������'����������������������������� ������,�������������������L��M�����������������������������������������������������������
Mode shape estimation
?�������������������������������������������������,�������������������������(�������������������������������������,���')+"��������������������������������������������������������������(�����������������������(�
��������������(��������������� ������ ������G;
� ����� �������%����������������������������������������')������&
� ��������������������� ��������������������������������������,����������������������������������� ���������������������������������������
"�������������(���������������������������������')�������������������������������
Normal modes
'�������������������������O4*P�������O4�P����������� ����������%�1;D.&,���������������������������%�������������(&������������,���������������������������
*������������������������� �����')+"�������������� ���������� ����������������������������������������������������
���FO� � � F � �����!�$
�������� �������������� ����������������������������� �����'$>����������!��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������')�����������������������������������; ����������������������������� ;����������������������������������%�������������������������&,��������')+"�������������'$>;��!����������
)������� ����������������������������������;�������������'4'�������������������������'4'��������������������������������������'4'����������������������
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�#*
15.4 Maximum likelihood method
9�����; ��������������;���������(�������!�������%>�&��������������������������������������������������������������������� ������������ ���������������������������;�������������������������������������������������������������������
9������������$;��')����������������� ������������������ �������� ���������������,�����������������������!�G
� ���������������$�������������������������!��������������������������%�����&��������������:�����(����
� ��������������������������������������
� �����������������������������������������������,�������������������������������-�������������
� ����������������� �������������� ������������������������������
15.4.1 Theoretical aspects
9������������(;������������������_����!����������������;��������������_�����������������'�������4������'�������%'4'&���������������������������������
�W
��F2��3���F2��3
?F2��3�����!�$!
������/��.�����������.�&�����������J��.�����������.�&�
���
��F2��3��
���
!� E2��3E��
������������������������������������������
���
$������������������������
�#�+����"#�����>�����9������������)����
? E2��3��
���
!E2��3E6���
��������;���������������������
���������������������������������%��&������� �����!�2��3� ���E� E�E�E��������
�����;��������%�����������������������&�����������(; ����������������9������ �����������������������������������������������������-������������������������������������������������(�������������������������� �������������������������(�����������>���������
The Least–Squares Solver
4����������������W
��F2��3������������1;D1�������������'4'����F2��3
�� �,��������������������������������������������,
� ���
!�F2��3F6�����
���
!�F2��3F���2��3F�� # � �����!�$#
������/��.�����������.�&����*�J��.�����������.�&��������/��.�����������.�&�
*�������������1;DA��������������������������������������H������������������������������������������ �����������������������������������
9��������������������1;DA����������������������,�����������������������
���
�
�
%��)�
�
%�)�
��� �
�)
%��
(�(�)
%��
���
�
�
����
�
�
6�6�)
6��
�
����
�
�
# �
���
6�����
�
�
6���6������6��
���
�
�=X�����
�
�
��������
���
�
�
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�#�
%� E2��3�5��F2��3EL!2��3F=!�2��3F=E �E�E�E�F=! 2��3M
(�2��3��%� E2��3E�E��� E2��3
������� 2�� �3�� �� �=E �E�E�E=�E�
���%�����(&�E������������(�8�����������;�������������
"����
�
�
%������
�
%�����
�E�E� �
����
%��
(�(����(��
���
�
�
�����!�$$
����&��&��&������������%�T�&%&��&��T�&���������%����&��YY��,��������������������������������&��� ����� ������������������1;DA�����������������H������,����9� =�������������1;DD������������������
The Maximum–Likelihood Solver
?���������������������%���,�'4'����&���!��������������������������������������������������������� �������������� �����������������%����������������������������(�����������������������&��� �����������,���'4'���������������������������������������������3�����������%�������;����������&���7�� �,������������!���������'4'�����������������������������������
The ML equations
9�����������������'4'���������������,���%���� &����;��!���������������������
2�42�3���
���
F��
���
F��
���
FGF�W
�� E2�=E��3���� E2��3FG�
,��M���2��3N�����!�$%
���>������������ LF6� = �E�E�E�E=F6��=F�FM������ �����������-���������
�����1;D0�������������������������������F����;*���������-��������������,��������!���� �����������������������������������������%�1;D0&����F����;*����������������� ����
%��& ��� � E"��F"�F����E ���F���������"
$������������������������
�#+����"#�����>�����9������������)����
%��& ������� ��� ��
������� �2��3,� "�� +�2�3�+�G������
�2�3�
����������
����������$
�
�W
��2�=��3����2��3
,��M���2��3N����
�W
��2�=��3����2��
E3
,��M���2��3N�
���
�W
��2�=��3����2��3
,��M���2��3N�����
�W
��2�=��
3����2��E3
,��M���2��3N�
����������
����������%
!
�
Deriving confidence interval
����� �����������(������>��������W
�4��������������������������
�������������`�;4� ������ �����%�4� &�G���/�,M�W
�4N� :�46
9�����������(������������������`�;4� ������ ���������� ����
:�46" L"��F"�M�� �����!�$)
����8"����E������������(� ������������������������������F����;*���������������9���������������������������������������������������������������������������,���������� �����������(��������������������������������������������
7��,��������������������� �������������(�����������������������������%��������������������������������������������&�
�������1 $������������������������
����������������� ��!������� ��!�#
15.5 Calculation of static compensation modes
>��������������������������������������������������������������������'������,�����������������������������������������������������������������������7�� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�������������
�������� ��������,����������������������������������������������
L�:E2�3M#Y L��E2�3MY�Y LF��FM���LF��FM �����!�%*
�+���#$#�� ������
������#$# ������� ������
����
������� ������
����
���������������������������(����������������������������������������(����������"����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������� ������������%��� ��������&�'4'�������������������������������������������������������������������������������������������'4'�����(���������������������%��� ������������������������&����������������������������� ������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������
Frequency of the static compensation modes
�������������������������������������%�2&�����������������������������������������������������,�����������!������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �����,����
��� ����F�<����F�����<�2
The Singular Value decomposition (SVD)
"��������������������������������������,������������ ���������������������������������������������������������(������������������������������������������������������������������(�
$������������������������
�#!+����"#�����>�����9������������)����
�<����F�����<�2� -�>F
������������ ��������������������������������������������������������� ���,������������ ���,��������������� ����%�2&
��� -� ��� ��
��������������������� ������I����������� ������������������ �������
4��� �
�F��F����
���� > � � � - �
4��� �
�F����� ��F>�
�#$
���������
������� ������
� ������
��������������������������������������������!������������������������������������������
Reasons for performing operational modal analysis
Theoretical aspects
�������A 5�����������������������
����������������� ��!������� ��!�#%
16.1 Why operational modal analysis?
���������������������������������������������������������������������(���������������������������������'�������4������'�������%'4'�&�������������7�� �,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;�������������������������(�����;�����,���������������������������������������������-���������������������� ���!������������9����������,�� ����������������������������� ���%����������;������������������,�����;�����������������������;���������������&���������!�������������
"�����������,���������������(�������������;�����������������������3����(������������ ��������������,�������(������������� �����������,���������������,���������,���������������������������������"�������������������������������������������������� �������
"�������������������������;�������������������������������,����� �� ���������,����������������������������������������������7��,(�����������������������������������������������������������������������������������������������������(�������������������
'������,���� ���������������;������������������������������������������������;���������������������������������7��,��������������������(�������(������� �����������������������������������
Traditional processing of operational data
9����������������������������������������������������������������������!;���!�������������������������;�������������������������������������������������������������������;������L4�������>���9�������M� �������������!������������,������(���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"��������������������������������%�����������������&,������� ������"�������������������������������������������;����������������������������������������������,������������������-�������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������������������������
5�����������������������
�#)+����"#�����>�����9������������)����
������;����������������!;���!��������������������������������������!��������������!������������������������������������"��������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������+�;!��������������������������� �������'4'��������������������������������������������������������������� �����������������%������������&����������
��� ;�������������������,�������������������������������(��������������������������������������������������������������������������������������������������������������(������������ ��������������������������������������� ��������������� ��������������'4'�������������������
Using Operational modal analysis
������������������������������(������������������,��������������������������������!����������������������������������������������������������������������(��������������������������������������%���������������,���������,���������&,����������,�������������%�������&,������������%����������&,��������(�������%���������������&�
����������,������������������������������������������������������������������������������������� �������'4'���������������������������������������������������7�� ����5��������������������������������������������������������������������������������������������,��������!�������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������
���������������������,��������������������������������������������������������;����������;���������������������������������������������������������������� �����������������;������������������������ ���''������������
�������A 5�����������������������
����������������� ��!������� ��!�$*
16.2 Theoretical aspects
����������������������������������!��������������������������������������������������������������
5 ����������,�� ����������������������������������� ��������������������������������������(����������������;��������������������
; 9��;4����� �>� ����9 �������������%94>9&,; *������$(���������������%*$(�&; �����������������������
$��7�������1��������$����� ��87�1$9���������������������������*$(�����������������������������������������������������(��������������������������������������$������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,����� ���������������������������������������������������'� �����������1�1����������%���$&�������������������;�����������������������
�������������������������6���������������������,���������������������������������� �,�����������������������������������'������������������,���������������������� �����������������L�������M�������������������������������_��������L����������M����������������������������������#�����)��������������������������������������������������������,�������������� �������"����0�����8 "9���������������:������!�������8�:!9������� ����
16.2.1 Stochastic substate identification methods
�������������������������������������������������������
M����N� L�MFM��N� M$�N�����#��
M!�N� L:MFM��N� M,�N
��� J(�K������������� �����������������,J��K����������� ����������������&����J �K.�J+�K,����-��;���,����� ����������,������������
������������������������������������ ���
5�����������������������
�$�+����"#�����>�����9������������)����
'���������������������,����������O4P�����O'P��������� ����������������(����������������(���9�����������������,������� ����������(�O1�P�����������������������������������(�O'�P��������������������G
LF�M�����
�
L:M
L:ML�M��
L:ML�M���
����
�EZ L:� EM� LFL'MYL�ML'M���YL�M���L'MFM �����#��
����L'M� �LFM����NM!�NFM������O�P��������(������������������
�������O1�P�����O'�P���������������������!��&" ,�����*�������������������������
�����������������������������������������-���������� �������������� ��������������� ����������O4P�����(��������� ������������������O4P������ ����
L�M� LE� EMLE EMLE� EM�� �����#�
�����(���� ������������ ����������������A;:�����������������������(����������������������������� �����λ� ������������������OΛP��������������������������������� ������������������µ� �����������������������������
��� �F��F��& ��� ��� ���� �����2��3 �����#�
������ �������������������������� ������������������������������;�����
������������������������������������ ����
���� ��
��� � ���������#�!
������������Q�R��������;���������������������������������� ������������������� �����Q�R�����O�P,��� �����������������������
M"N�� L:MFM�N �����#�#
���(����������������������������;�������-����������������������������������������
�������A 5�����������������������
����������������� ��!������� ��!�$�
The stochastic realization problem
�����������������������������������������������O4P�����O'P�����������A;.,������������������������������,�����������������������������Q��� �R������������������!�����������������������-�������������������������������������������������������������������������������������������������O�/,�1�����AP�
�������������;��� �������������������������������������������,!���������� �������4���-�����% 4&�����������������#�����9�������%�#9&�
F� �����������������������
L��M� �FM!���NFM!�N���F �����#�$
����J��K��� ������ ��������������&��� ��������� ��������������
'�����≥��,���OA�.�P�������������������!;7��!������(�G
L��=�M�����
�
�
L��M
L��M���L��M
Y
L��M
L��M���L����M
Y
�������Y
L��M
L����M���
L������M
����
�
�
�����#�%
)��������������������O5�P��������������������������������������������-�����������
L��=�M� LF�ML:�M �����#�)
��OH�P�����OH�P���������;�������� �������������������������-�&����������&���� ,������ �����+�;���������������������7��!������(����OH�P�����OH�P������������������#)�����������������������7��!������(��� �������������
L5�MFL��=�ML5�M� LFL-�MYL-�MFM�L��ML�M L�ML�M����
L>�M
L>�M���� L-�MFL��MFL>�M
�����#��*
����O6�P��������������;-������������ ���������������������,�����������������O@�P������������������������������� �����������������������OT�P��������������������������������� �����
5������������,���������-�����������������������7��!������(��������
5�����������������������
�$+����"#�����>�����9������������)����
L5�MFL��=�MFL5�M� L5�MFLF�MFL:�MFL5�M
�����#���
'�������������A;�2������A;��,��������������������������� ������������(���������� ��,������������������������������,���
LF�M� L5�M��L-�ML��M
��� �����#���
��������������������������,����������������������������,�����������������������O1�P�����,
L:M� M�����FB2�/�F��F��$�F��N �����#��
����O9P��������������������������
�F,����� LF���MFL�M �����#��
����O1���P����������(���������������������������!��������O1�P����O1���
↑P���������������������(�����������!�����
)���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������� ������4���-���������������������#�����9��������������
Balanced Realization (BR)
L5�M� L.M ���L5�M� L.M �����#��!
������������������� �� ��
Canonical Variate Analysis (CVA)
�#9���������������������������� �������������,����J��K/J��K��� �������������,�����������������(�O5�P��� �������������A;D������������)�����������������������-�������
L�M�����
�
�
L��M
L��M���L����M
Y
L��M
L��M���L����M
Y
������Y
L����M
L����M
���L��M
����
�
�
YZY L�M�����
�
�
L��M
L��M
���L����M
Y
L��M
L��M���L����M
Y
������Y
L����M
L����M���L��M
����
�
������#��#
�������A 5�����������������������
����������������� ��!������� ��!�$
��������;���!�������-��������Oℜ TP�����Oℜ ;P��
L�M� L4�MFL4�MVZ L�M� L4�MFL4�M �����#��$
"����������#9,������������������������
L5�M� L4�M��Y ���YL5�M� L4
�M�� �����#��%
6��������������,������������ ����������������A;�2����������������;������������������������9��������������������������#9������������������������������������������������������>��������������������(���������������������������������������������
Practical implementation of correlation–driven stochastic subspace meth-ods
$��������A;�2����������������<��=�����!;7��!�������������������������������������"��������,�������������������,���������������������������7��!�����������-��������������������A;0������A;�A��������������������<��������=�����������,����������������������������G
L�W
�M��������
M!���NFM!�N��� �����#��)
����-��������������������������
9���������������A;�@����������������������������������������������������!�����������������������������������������������;�����������,��� ������������������%�@&��������������������������������������������������������9���������������������������������������������������������!�������� ���''��������;�����������������������������������������������������''������������ ����������������� ��������������������������������������������%����7������&���������� ������!���
����#)���������������������������������7��!������(�����������������������������
L5�MEL�W
�=�MEL5�M� LFL-W
�MVL-W
�MFM���L�W
�M
L�MYL�M
L�W
�M���F���L>W
�M
L>W
�M���F� L-
W
�MEL�W
�MEL>W
�M� L-
W
�MEL�W
�MEL>W
�M
�����#��*
���
5�����������������������
�$!+����"#�����>�����9������������)����
L�W
�M� ���)F2��--- � 3F=X��� ��--- � � ������#���
L�W
�M� ���)F2� ��--- �������F3F=X� ��� � ��--- �������
� �
"�������������������������������������������������������������� ����,������!�����O6�P���������� �����������(������������(�������
LFW
�M� L5�M��FL-
W
�MFL�W
�M��� �����#���
9����������������������������!����,������������������������ ��������������������������������������������P� ��"��������,������������������������������������������������������������������� ���������������� ����5�������������������������-����������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������A;������A;�0,������������������������������������������������
16.2.2 Natural Excitation Techniques
�������G$��������#������������ �����������1�1���������8����9��������������������'�������������������#��������
+������������$�����������������������������������������;!����������������� ���������������������,������������������������������������������������������������ODP���"����������������,��������������������������������(������������������������,�����������������������������������������������������(�����������������������������������O�0�P�
$�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������������������������������������������������������������������,��!�+������������$,�$��������4���-�����9��������%$49&����"�����������)��������������������������(������������������������������;�����������������������������������������
�������������������������������*$(�,�������������*������$(������������������9��������������!���������$49����������������������������������������������������������������������������������������� ��������4���-����������
�������A 5�����������������������
����������������� ��!������� ��!�$#
>����������,���+������������$����������������������������������������������������������������������,
L��M���
���
M"N�F�F�����M4N� � M"NH� F�F
�H� ���M4NH� YY��
�����#��
L��M���
���
M"N�F��� M4N
� � M"NH� F�
�H� M4N
H�
���� ��� ���F�������QIR�������������� �������&��� ��������������������������������������������������������������;��������Q*����������� ���������������������,��������������������������������������������������R
�����������������������(�(����������������������������,
��M4N� F��F�
H� M4N
H� ���������������������������������(������������������
�������������
��� EM4N� EL.M� ����� EM4N� EL �M����� ����
� EM4N� L �M� M�N �����#��
����O2�P���O2�P���������������������������������&����(�&����
"�����������������&" ��������������,���������������������A;./��������������������������.*�3*��������������������.*�������������������"��������,�� ����������������������������������������
����������������������������������������������������������������
��������������������A;./,� ��M4N� F��F�
H� M4N
H� ,���������������������������
��������7��,
L��MFL.M� L����MFL �M�---� L����MFL �M� � �����#��!
$��������A;.1�����������������������������������������������������������������������������������������������O2�P����O2�P��������� ������������������������ ��������������������� ��������������������� ����5������������������������!����,���������A;./����������������������������-����� ����������������������&�������� �������,������������������������������µ��������������������������� �����JIK� 3��
��������������������������������������������� ������������������������������������������������ ���������������������"�����,������������������;������������������������������������������;�������������������������������������
5�����������������������
�$$+����"#�����>�����9������������)����
Extraction of mode shapes in a second step and model validation
����������������������������������,���+������������$���������������������������,���������������������(������������������������������������������������������������������������'�������;��������,����������������O�@�P��������������������������������;������������������������������������������������� ���������������G
%� 2��3���
��� ��
�
��� ��� �� H
�
��� �H�� 6� �
� ��� ��� 6� H�
� ��� �H� �����#��#
����9"��7ω���������������������"������������������������������������������ ���������������
"�������������������"/��,�4�"��������S�
"�������������4�"���������������
��������;������������������������Q�R��������������S�"���������
��������������;������������������������Q�R�������������,����������������������������������������������������������������,�������������������������� ��
��������������������������������� ����������������������������������������������;��������������(���������������������������,������������������������������������������������������������������������� �������������������9����������,������ �������������������������!����� ����������������������������������-�������"�����������������������'4'��������,������������� ������������A;.A������������������������������������7����������������������������������������������;��������������������������������������������������������''������������ ���������"��9"��7������������������������������''�������� ���������������,���������''�������������������������������������"���������������������������������A;�@,�������.����������������A;.A�������������
16.2.3 Selection of the modal parameter identificationmethod
��������������������������������������������������������
����'��2��������������������������������(�$(��������������������������!����9��;�������������������;�������������������'4'�����"�������4���������������
�������A 5�����������������������
����������������� ��!������� ��!�$%
9���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������,�����������������������;��������������������������������������
>�����������������������������������������������������������'�������)����������������'����������������!���������������������������A�.�.
"8 �������"��������9����������������L�������M������������������������������,����������������������
9���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������
�:!8���������:������!�������9���������������������L�������M����������������������������������������������������
"�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �L�������������M�����������������������������������������������(�����������������������������'����������������!���������������������������������A�.���
5�����������������������
�$)+����"#�����>�����9������������)����
16.3 References
O�P �>���9)9;S�4������������������,��@@D�
O.P 5�)�,�) ����������$ ��������������������#����9��������>�����������������������>��� �����*��������#��������+������,�+�)�B�?���� �,��@@/�
O:P 5�)�,�#�����+�����+�,���������E�,�5���������)���������������>���������$� �������,�+�����0��"����������>�����9���������������,���/�:;/.�,�'������,��@@2�
O/P 9���������>�,� ��� ����>�,� � ����9�,�L"�;��������)�����>��������������)�������������#���������������,�����9�������������5������������������4������>�������M,�+��������">9��S#,�5������,��@@D�
O1P )����?� �,�)�������+�,�B��!�����!�4�)�,�L9�����-��������������������������������������M,�"���E��������,�#����/.,�*���/,�����0.�;0:0,��@01�
OAP B������,�L9������������������������������������������ ������������� ���������������M,�+������.��9���������������������,�����������������,�����D21;D�/,�+�������F�� �,��@D0�
ODP �����)�,�9�������4�,�W��������4�,�����>����,�>�,�L+������$����������������������>�����9�������M,��9$�+����D@2..�,������@,��@D@�
O0P E����F�7��""",��������F�,�����������E�+�,�L���*������$(����������������%*$(�&�����>�����+������$(������������5��������������,�������������E����������9�������������$(��������>�����9�������M,�#�����2,���/,�����.A2;.DD,��@@1�
O@P 7��������,�#������9������7�,�L5����?�����9��;���������;����������������������(���������������������������;��������,�+���������A��"���������������������4���9� �����������������)�������,6��!������������+���,��@@D�
O�2P #������9������7�,�6��!���B�,�7�����(�6�,�L'����������X���������$�������������������������*#7�+������G����������M,�9������39��9������,�#����0:,�*°�1,�����D@A;02/,��@@D�
O��P 6��!���B�,�#������9������7�,�7�����(�6�,�L�������������9����������>�����9������������5�������)�������4����*����+������M,�+�����:��
"���������������������9��;�����������; ��������������#�������,>������%�*)&,�E����:;�1,��@@/,�����@:�;@/2,��@@/�
O�.P 6��!���B�,�7�����(�6�,�L�������������+���9�����������#������9�� ��������������4����"������*�������9����� �#�����M,�:���"��������������������9��;�����������; ��������������#�������,�>������%�*)&,E����:;�1,��@@/,������/:D;�//1,��@@/�
�������A 5�����������������������
����������������� ��!������� ��!�%*
O�:P #������9������7�,�"������B�,���������E�,�L�������+�����������������"������������������������'�������)���9�������M,�+������1��"������������>�����9�������,�B�?��� �,�����1�D;1:0,��� �,��@@2�
O�/P #������9������7,�F��������+�,�L9�>�(�������!�������+�����$������������������9������>������"���3>������5����'������)��M,�9F94)�������������>�������+�������������=�>�������9�� �����9���� �����������������)���9�������,�+��������.,�>��,��@@1�
O�1P #������9������7�,���������E�,�+������4�,������!���E�,�L9�'��������)������>�(�������!�������"��������������������������������'�����'����)���9�������M,�+�����0;��">9�,������.1.;�.A�,�B������,�@@2�
�%�
���������
�� � ������ ������
����� ������ �������� �� ������ ���������� �� �� �� ��� ����������������������"��������������������������G
The definition of running modes analysis
The type of measurement data required for running modeanalysis
The identification and scaling of running modes
The interpretation and validation of running modes
�������D 4��������������������
����������������� ��!������� ��!�%�
17.1 Running mode analysis
����������"�,�������������������������������������������������������������� ���������%���������&���������������� �����������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������,����������������������������%��&,���������������%�&��������������������%T��&�
5���������������������������������������������������������������������������'4'���������������������%������)5'�&���������������)5'��������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������!�����������%(��������������&��������������������
�����������������%������&� �������������������������N������������,��� �����������������,�� �����������������������������������!������������������� ��������������,������������������%������������&�����������������������������,����������������������,�����������������������,������ ������������������������������������
'��������������,��������������������������������������������"������������������������������������,����������������%�������������&�������������� ��������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������(�����������������
"���������,�����������������!�����������������������������������������9������������������������������������%����������������)5'&,��������������������������������������������������������� ��������������������9������������������������������
�����������������9�%�&���)5'���������������������������G�����������,����������,� ����,�����������������������������,�����(�������"������ ������������������������������������������,����������!����� ������������������������������������
"������������������������������������������������������������,����� ���������������������������������� ����������������������������������)5'��������������,�����(����,�������!�����������������������������������������:������01�A�7-,��������������� �������������������� ��������������������������� ����Q9K,��� �������������������������������)5'��
4��������������������
�%+����"#�����>�����9������������)����
9��������������=�����������������������������������������������������������������!�����������������������������%������������&� �������������������)5',��������������������� ����������(������������������������������������������ �����������Q9K��������������� ����QTK,��� ����Q9K��������������������"�,�,������������������,����������������
��������������������������������������������������������������4��������������������������������������������)5'������������ ������������������,������,������������������������������?����������������������������������3�����������������������������QAR,��������������������������J9K��������������������������
M%�2��3N� M���2��3N �2��3� M���2��3N �2��3� ��� ������$��
M���2��3N �2��3
��� �����
V>��>������ ��
�!�F �2��3���� ���
�����
V>��>������ ��
�!�F �2��3 �����$��
���,
� J ��)5'������
�� J ���������������������������
27��� J ���������������������)5'�7
" J ����������������������
������ ������������������������������������G
� ������������������������������������������� ,����������������������������(������������������������������������������������������������%����,���-,�I����=���������,���&�
� ����������� ��������������������������%�&�
� �����������������������������������������,�����������'4'��� ����
� ������������������������������������������������G����2���&�����������-������� ,����������������������������������Q(���&R�
� ���������������������������������������" ��&,�������������!�����������������������
�������D 4��������������������
����������������� ��!������� ��!�%
17.2 Measuring running modes
"�����,������������������������������������������������������������G
� ������������
� ��������������������������������������������������������������������������
� �������������� �����������������������������,����������� ����������������
"��������,�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������ ����������������������������������9����������,���������� ��������� ������������������������������,����� �����������������������������������������������������������������������
�������� ������������������������,��������������������������������������)5'��������������������������������������������� ��������������"�������������������������������������������������������������(,���������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������(����������������������������������������������,������������������������������������������
����������������������� ����������������������������������G����������������������������������������������
17.2.1 Transmissibility functions
6�������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������,������������������������������������3�
��F2�3F�F%�F2�3
%�F2�3�����$�
����7������������������
4��������������������
�%!+����"#�����>�����9������������)����
6���� ������������ �� �,�����������������������������������������������������������������������
��2�3F�F'��F2�3
'��F2�3�����$�
����������������������������������������(������%���������������&����������������9���!������������������������������������������!������������������������%����������������������������!�����(�������������&,������-���%���;�������&����������������������������������9������������!��������������������������������������������������������,�����������������������,�������������-���������������������!�����3�7� ��4���������!������������������������
"�����������'�������4������'��������%����������� ������&,����������������A� ,�A� ,�AT&��������������������������������������������"��������,������������������������������������������3�7 ������������������������������������������%�����22�8&���6�����������������������������������������$��������D;/���� ,������������������%�&���������������������������������������������
����F2�3F�F�F'��F2�3�
�
'��F2�3F�F'��F2�3�����$�!
������������������(�����������������������������������������������������������������������������������������(������������,�������������������������������������������������"��������,���� �,���������������������������������������������������������'4'�,������������������������������������������������������������������,����������������������,���
9��������������������������������������������������������������,���������� ���������������D;�,������������������������������D;:�����������������������%����������������&������ ��������������������������������������27%�&,�������������������������������������������������������� ������������������(�������7������������������ �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������D 4��������������������
����������������� ��!������� ��!�%#
9��������������������������������������������)5'���������������������������������������������������������4>�� �������������������������������
�%�F2�3� F�F ��F2�3F�F '��F2�3� �����$�#
6�������������������������������������������������������,���������������������������(���������������������������%����(�����,����,���������&,���������������������������������� ��������������������)������������������������������� ����� ���������������������������������������������7������7�&.���'����������� ���������%������&,������������������������������
�%�F2��3� F�F ��F2��3F�F '��F2��3� �����$�$P�Q
�%� �F2��3� F�F �%�F2��3�F�F�F2��3 �����$�%P�R�Q
�%�� F2��3� F�F �%�
�F2��3�F�F�F2��3 �����$�)P�R�7Q
17.2.2 Crosspower spectra6��������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������)5'���������������������)5'�7
'��F2�3F�F %�F2�3F%H� F2�3 �����$��*
����[�������������(���������
���������������������������������,���������������������� ����� �����������!����������������������������� ���%���������������������������������������������������!�����������������������&��������������������������������������������������������������������������������������������;����������������������"���������,�������������������������������������������������)5'��
4��������������������
�%$+����"#�����>�����9������������)����
9������������������������������,�����������,������������������������������������������������������������7
M%�F2�3NF�F'��F2�3
'��F2�3� �����$���
6�����������������������,������������������������������� �������������������$���������D;0������D;@���������������� � ������������������ �����
�������D 4��������������������
����������������� ��!������� ��!�%%
17.3 Identification and scaling of runningmodes
?���!�����������,�����������������������������������������������������������������������
��������!����!���������������!����������������������(������������ ����,��������������������������������������������������������������������������,������������������� �������������������,�������������������:)����������������������������������'����������������!��-�����2./�%1�.������������&,��������������������������1�.��������������;���� ��������������������������������������
Note! There is no such quantity as damping defined for a running mode. Similarlyother modal parameter concepts such as residues or modal participation fac-tors have no meaning for running mode analysis.
17.3.1 Scaling of running modes
"�������������������������������������������� ����������������������
������������������������������������������ ������������������!����!���������,������������������������������������%������������������,������������&�
� �����������������������������������������������
� "��������������������������������,�������������������������������������������������������,������������������������D;A�
� "����������������������,������������D;������������������������������������,�������������������������������������
� "����������������� ���������������,� ����������������������������������������������D;D,��D;0������D;@��������������������������������������������������
4��������������������
�%)+����"#�����>�����9������������)����
� 9�������������������������������������������,����������������(��������������$�������� �������������������������������������������������������������
� '������,��� �������������������������������������������������������������������������������������"��� ��������������������������������������������������%��������������(&� �������������������!,����������������������������������������������������������������������
$��������������� ������������������������������������������������������������������������������������=����������������������������������������������������,����������������������������������������������
�������D 4��������������������
����������������� ��!������� ��!�)*
17.4 Interpretation of results
9���������������(���,������������������������ ����������������������������������������>����������'����,�>�����9�������������������>�����������������
Modal Scale Factors and Modal Assurance Criterion
�����>����������'���������>�����9������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������,���������������������
���>����������'�����������������������7������������������-627�� ����������������� �������9��������������������������������������������(���%��������������&,�������������������������������������������������������������������������������� �������
�����$����� �2��M>��N
�HFM>2�N
M>��N�HFM>��N
����Q#�7�R������7������������OT�P�
����������������>�����9����������������(������������������������������������������,�������������������������������D;�:�
�����$����:�2��2M>��N
�HFM>2�N3�
2M>��N�HFM>��N3V2M>2�N
�HM>2�N3
"���������������������(������������������(� �����QT�7�R�����QT���R,�����>�'����������������������������������������������,������>9�� ����������������������"�����������������������,���>9� �����������������%����-��&,�������>�'���� �������������
>����������'����������>�����9���������������� �������������������������������������������������������������������������>9�� ���������������������������������������������22�8�������>�'����������������� ����������������������������6���������������������,���>�'����������������������������,��������������������>9�����������������������������
4��������������������
�)�+����"#�����>�����9������������)����
Modal decomposition
6��������������������������)5'������ ������������������������,������������������������������������������������������!�������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������<�����=������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����$��M%�2��3N� ��M>�N� ��M>�N� ��� � � M> N�����
6��9� �������������������������������������%������������&T� ������������������������������%����������&�� ����������������������������������������� ��������
����������������������������������� �������(����� ����
�����$��!M%�2��3N��$�7���[
� ���$�7����[M>�N���� � �$�7
����[M> N�������
���L4�M����(��������������� �����
�����$��#����� ���[� M%�2��3N� L��M>�N���� � � M> NM �
� M%�2��3N �
Note! Take care when interpreting these values since resemblance of the modal andthe running mode may purely be coincidental. A running mode at 56 Hz willhave no connection with a modal mode at 200 Hz even if they look alike.
�)
���������
���!�������
��������������������������������� ������� ����������������������
Modal Scale Factors and Modal Assurance Criterion
Mode participation
Reciprocity
Scaling
Modal Phase Collinearity and Mean Phase Deviation
Comparison of modal models
Mode Indicator Functions
Summation of FRFs
Synthesis of FRFs
�������0 >����� ��������
����������������� ��!������� ��!�)
18.1 Introduction
9������������������� ��������� ������������������������������������������,��������� ����,����������������������������������������������������;
� ����������2�������������������������������������������������%�����!�����������������,�>9�&�������������������0�.�
� ������������������������������������0�:�
� "������������������������������,�������������������0�/�
� F�����-���������������,�������������������0�1��%������&
� ����������1���,�������������������0�A�
� ����������������������������������������������������,��������������������0�D�
� ��������������������������������������������0�0�
� ����%��������2�������,�������������������0�@�
� ����������#2"2����������"��(����,�������������������0��2�
� ����������#2"2���������������������0���
���� ��������������������������������� ���������(���������� ���������������-��������*������-�������������������������������������������������(���������������������������������� �����������������������������������(������
>����� ��������
�)!+����"#�����>�����9������������)����
18.2 MSF and MAC
����������2��������������!�����������������
���'4'����������7����������������������������������������������������(���������������
�����%��#��= �������
�F����� � ��
��FH���
�� � �H��!�
�������(����'4'��������(��������
�����%��L�M����� L�OM
�� � ���L�OM
H
�� � �H�
����O5<P��������������(�������������6���>�(���=����������������������������������������������������������(�����������������������������
�����%���� ��M>�NFM>�N�
����������������������������������������������������������������7����������������������
�����%��� E�=E��� E2=E�
�,� E�,2 E�
��� � E2 E�
����������-627�� ������������>����������'�����������������������7�����������9���������������������������������������������(���%���������������&,������������������������������������������������������������������������������������ ������
�����%�!�� �2��M���N
�HFM�2�N
M���N�HFM���N
����Q5�7�R������7������������O5�P�
�������0 >����� ��������
����������������� ��!������� ��!�)#
����������������>�����9����������������(������������������������������������������G
�����%�#��:�2��2M���N
�HFM�2�N3�
2M���N�HFM���N3V2M�2�N
�HM�2�N3
"���������������������(������������������(� �����Q4��!R�����Q4��!R��>�'����������������������������������������������������>9�� ����������������������"�����������������������,���>9�� ������������������%����-��&,�������>�'���� �������������
"�����������������,���>9������������������������������������������(� ������������������������������������������������������������� ������������������������������� ��������>9�� ����
>����������'����������>�����9���������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������6���������������������,���>9�� �����������������������������������������22�8������>�'������������������������ �����%���������,�����������������������������������&������������������������6���������������������,�����>�'������������������������������������������������>9�����������������������������
9������������������������>9�� ���������� �������������������������������� �����������������������������(G
�����%�$M>�N
�FL�MFM>N���V$#� V�� �
� �F��#��$���
����"� �����������������������������!�
$ ���������(������������(����� ������,���������������������������������������������������������������������"���������,������������������>9�� �������������������������������(��������� ��������!��������������������
'�����������������������������������>�'�����>9�������������������������������������������������������D�/�
>����� ��������
�)$+����"#�����>�����9������������)����
18.3 Mode participation
������� �������������������������������������������������������� �������������������������������������������'����������,������������������� �������������������������(������������=�������������������������9������������������������������ ������������,�� ���������������������������
Note! These evaluations are only meaningful when the same response and referencestations are included for all modes.
6�����������������������������������������������������������������,��� ����������������������������������������������������������������������������������(����������
6��������������������������������������,������������������������� ����� ���������������������������������������������������
'������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������
�������0 >����� ��������
����������������� ��!������� ��!�)%
18.4 Reciprocity between inputs and outputs
4���������������������������������������������������������������������������������������������������'4'���������������������������������
Reciprocity of FRFs
4������������'4'����������;
��������������������)5'��������(��������)5'����������������������������������)5'��������(��������)5'��
��������(���������������������;
�����%�%#�F�F2�3� #�F�F2�3
���������������'4'�����(��������������*��������������������������������������������������������������������������'4'�������������������
Reciprocity in the modal model
?������������������������'4'�����(
�����%�)���F�F�
����� M>N��4����� ��
�M>NH��4�
H�
��� �H��!�
���������������,�������������(�����������,������������������ ��������������������������� ��������������������>�!�����������������������������������������������,������������������(������������������
'�����������������������,�����������������������������������������������������������������������������������������
?������������������������������������������������������������������,��������������������!���������������������������������������������������������������������������������������
>����� ��������
�))+����"#�����>�����9������������)����
"������������(������������������������������������-����������������������������������������������������)5'������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������� ��������������������������
"����������������������������������������������������������������"������,������������������)5'����������������������-����"��������������������������������������������������,�������������������������� ����������������������������������������������������
� ���������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������,���������������������(��������������� ���������������)5'�
. ������������������ ������������������������5������������������������������������������������
: ������������������������������562���������������������� ��������������� ����������������������������������������������������� ����������
�� �
� ���
,H� F2�
� ���
,H� F,�
����
+��J��������������������
��� J��������������������������
�������0 >����� ��������
����������������� ��!������� ��!**
18.5 Generalized modal parameters
�����������������������������������������������-����������%���������&�
��������]��7.� ��������������������7������������������������������������������������������ �%�����������������������������&�������������� �������������������������������"��������������������������������,��������� �����������������������������������������������������������9������������,������������������� ,��������������������������
�����%��*
�� E�=�� ��F,��F,� E�
����
�������
$��������0;�������������������
�����%������2��3�����
��������
���
,��,���� � ��
�,H��,
H��
�� � �H����
���
"� /���������������������,� J������������������������������
� � � �� ����
�� J����������������������������������� J����������������������������������
9���������,��������������������������������0;�����������*��������������������������0;�,��������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������"����������0;���������������� ��������������������������������������"�������������� ������������������������������������������������������������������������� ����������������� �������������
6�����������������������������������������������!����,���������0;�2������0;����������������������������������������������������� ���������������������������������������������"����������,�������� �����������������������������������������������
>����� ��������
*�+����"#�����>�����9������������)����
�����%��������,��,���������
�������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������������7�����������������������������������������������������������������������������������]�����������������������0;�.����������������������&�����������&�T����!��������������������������������������������������������������������������� ����
*����������� �����������������������������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������������� �������������������������������>�������������������������������������������������������������������������������>��������������������������������������������������������������������������������
� ?��������"��������������������������������������������������������������������������%"�&������������0;�.�������������
� ?�����������"�����������������������������������������������������������������������������%��/�"���
��&��������������
� ?����������9"�����������������������������������������������������������������������������%��&����������������������������������������������������)5'��
� ?��������"�������������������������������������������������������������������������������� ����+�� �����������������
��
���
F ,���F� �
� ?������(����"��������������������������������������������������������������� ����+�� �������������������������)5'�����������������������������
� ?������������"��������������������������������������������������������������� ����+�� ���������������������������)5'���������������
�������0 >����� ��������
����������������� ��!������� ��!*�
18.6 Mode complexity
6������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������� �����
'�������������������,�������� ����������������������������������������������������������������������������������� ���9���������������L>���5 ������(���#���M�%>5#&���������������%�����&������������������������������������������������������������������������������������������������,
�����%���F>��
��
���
$�F���
��
���
$�
F �F���[
���
� ������������������J���������������������������J�Z+��Z.����������������������
��� J������������������������� ������������������������������������� J�2�������
�����>5#����(���������������%�����22�8&������������������������"��������(���������������������������� �����������������������������������������"������������ ������(M,�������������������������������������������������(��������������������
7�� ���������>5#����������������������������������������������%���,��������28&,����������������������(���������������������������������������������������'4'��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
>����� ��������
*+����"#�����>�����9������������)����
18.7 Modal phase collinearity
'����������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������(���������������������������������%������������������������������&��������������2�,��02�����;�02����9������������������<<>�����+��������������M�%>+�&����(�(���������������������������������������������������������������������������������������� ����
��������(���������������%�����228&�����������������������9�����>+������(���������������������(����,���������������������������������������������������������������������������������������������������
Mean phase deviation
9�������������������������(����������������������� ���������>���+����) ������%>+)&�����������(��������������� ������������������������������������������������������������� ���,���������������������������������������������>+)� �����������������%����2�&��������������������
�������0 >����� ��������
����������������� ��!������� ��!*
18.8 Comparison of models
6��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,����������� ����,��������������������������������>9�� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�����
>����� ��������
*!+����"#�����>�����9������������)����
18.9 Mode indicator functions
>���"��������'��������%>"'�&�������������������������������(���������������������������������������������������������������������>"'�������������������������� ��������������������������������������������� ��������������;��������������>"'������(�������������������������������������=��������������������������������>"'������� �������������������������������������������)���������������������������������������������������� ������,������������>"'�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������,���������������>"'�����(�������9��(����������>"'���������������
F� ����������=��'4'�����(�OAP,������������������;���������������������������� ���,�Q2R,������������������Q9R��������������������������������������
�����%��M%N��M N
4�� ����������!���������������,���������0;�/�������������������������������������
�����%��!%�� �%�� 2��� ���3F2 �� � �3
'������������������,�����������������������������(���������������@2����������,�����������������(�����������������������������������������������%�����������&���������������������������������������� ����S����������������������������������>��������������������������������������������������������������
�������0 >����� ��������
����������������� ��!������� ��!*#
�����%��#��
G G( �F %��%�
%��%��%�
�%�
������������(�������������������������������������������������0;�1��������(�������������
�����%��$��
G G( �F �����
�2��������
���3
����������������������0;�D���������������������������������������������������������������� ����������������������� ���������������������������������������������� �������
�����%��%���F��F � �F2��
�F������F��F3F
����������������A���A� ������A�
��A� ��� ���������������������������������������������������������������������������������%���������������������������'4'�����(�������������&��������������>��"��������'���������������������������������������� �������(����������0;�0��������������������"�(�������������������������������������������������������������(�����9�������>"'����������������������������������������� ��������0;�0����������������������"������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������0;�0������������������������������������������������������������������� ����,�������������������������������������������'���������������,�������������������������������������������������������
>����� ��������
*$+����"#�����>�����9������������)����
18.10 Summation of FRFs
9������������������������������������������������������������������������������������������!�������'4'���������������������������!������������������������������������� ����������,�����������������������������
F�������������������������������������'4'������ ��������������������������������������������������������������������+���������!������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������0 >����� ��������
����������������� ��!������� ��!*%
18.11 Synthesis of FRFs
���'4'����������� ��������������������������������������-��������������������������������������%�������������������������������������������&��� ������ ��������������������������������������������������������������������� ���������?�������>�(���; ������������������������������������������%�������0�/&��������� ���������������������'4'���������������������������
Correlation and errors
"�������������������������������������������� ��������������������������������-��'4'��
�������������������������-�������(�������������������-�������������� �����
�����%��)/����2���� F�F
G��
F��F�F�H�G�
�� ��
��F�F�H��!��� ��
��F�F�H��!�
���
6� J��������(� ���������������-��'4'���������������
-�J��������(� ����������������'4'���������������
�����������������������������������������-������������-�� �����
�����%��*4�F�����F�F
��
F��F�F��F�F��F�F��
H
��
��F�F�H�
9�����������'4'��������������������������������������������������������(������������������������������������������� ���������������������������������������������-��'4'�
*)
���������
�����"������
"����������������� ����������������������������������� ������������������������������������� ��
The calculation of rigid body properties of a structure fromFRF measurements
Rigid body analysis to determine rigid body modes
�������@ 4��������������
����������������� ��!������� ��!�*
19.1 Calculation of rigid body properties
������������������������������������������������������������������������$(��������������������������������%'4'�&���������������� �����������������������������������������������������������������������G�����������������,��������������������������������������������������
"���������������������������������
� 9������������������������������������������������������������������������������������������������>�����>����>��������������������O�P�
. ��������������������������������,�������'4'������������������������������������������������������������������������!�������������������������,��������������������������������������%����,���������� ��,��������������������������������������&�������������%������O.P&���������������������������!�����������������������������������������������������������������!�����%������O:P&�
��������������������������������������������
�������
������
��������
���������������������
$�/���0�������
�������0��
'������@;� 4��������������
Derivation of rigid body properties from measured FRFs
Input data
'4'���������������������������������������������������������������������������������������3����,��������������������������������������������������������4������������������%�������&�����������������������������������������������
4��������������
��+����"#�����>�����9������������)����
"�������.�(������������A������������������������������������+�������������������������������������������������A�(��������%����.��������:���������&������.�����������������������
Reference axis system
9���������������������������������������� ������������(����������������(���������������������������������� �����������������������������������������������������
Specification of the frequency band
4������������������������������������������%����������&������ �����������������������������������������������������������������������������%��'������@;�&�
Mass line value
���L��������M� ����������������������������������,���������� ���������������'4'������������G
��& 6����������������������������������������������������������,����������� �����%�����������������������&���������������,�����������������'4'��������������"������������������������� ������������������� ���������������������������������������
.�& 6�����������������������������������������������������������������,���'4'���� ��������������"�������������������������������������������,��������������,������������������������������'4'��������������� �����%�����������������������&�������������,�252���������
:�& "����������������'4'��������� ������������������������������������ ������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������4��������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������,�������������������� ����������������������
Calculation of the rigid body properties
. ������������#�����#�����������������������1
��� ���������������������
"������,�������������������������)5'��������������� ���������������������������������%�������������������������������&������������,���������������������������������������������������������3�������(���������������
�������@ 4��������������
����������������� ��!������� ��!��
9���������������%TS,�TI,�TW&�������������'���������������%������&������������������������L�MG
M%��
N)� LEEM��� FM%��
N2 �����)��
���
M%��
N)������������������������ ���
M%��
N2����������������������� ���
LM��� ������������������(�%��������������&��������L�M
6���������������������,������������������������������������������,������������������������������������L�M����������������������������(�������������������
M%��
N�� 2LEEM��� FLEEM�3FM%��
N2 �����)��
���LM�������������������(�%��������������&��������L�M�
��. ���������������
'���������������������������������,���������������������+,�X,����������������������,�.,���������������������
�����)�
�������������� ��� ���'�����/��0����+���������
�����������
�
�
%��
���
%��
��!
%��
���
%��
�;�
%��
�;!
%��
�;�
)
%��
���
%��
��!
%��
���
%��
�;�
%��
�;!
%��
�;�
)
---
---
---
---
---
------
�����������
�
�
�
��������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 3�
(��
� 3;
(;)
3�
�
� %�
3;
�
� %;
)
� (�%�
�
� (;%;
� �)
��������
�
�
����������
�
�
%��
�)�
%��
�)!
%��
�)�
���
�)�
���
�)!
���
�)�
)
%��
�)�
%��
�)!
%��
�)�
���
�)�
���
�)!
���
�)�
)
---
---
---------------
����������
�
�
����9E.�=E,�����NE ������������������������������+�%������������������(�������&�
������ �;�����������������������%��������������)5'�����������������������A&������� �����������������������������������������"��������������������������,�����������������������(�����������'����,������������������������������������������(� ��������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������
4��������������
�+����"#�����>�����9������������)����
6 ������������#�����#������#���������1
.�� ���������������������
'��������������������������S;���������������L�MG
M �N� LM��� $� ���������%!�
�����)�
LM��� ������������������(�%��������������&��������L�M
6�����������L�M�����������������������������������G
M �N� 2LM�LM��� 3$� ���������%!�
�����)�!
LM��� �����������������(�%��������������&��������������L�M
��������������������������������������I;�����������W;��������
.�. ���������������
'��������������,�.�������
���
���$
�
�)� �)! �)���)���)!��)�
���
���%
!
�
������
�
�
����
3�� (�
���
� 3��
%�
���(�
�%��
�����
�
�
VM �N �����)�#
������������������+���'�����/��0����+��������������� ���
Q'�R��������������������������S�,�I������W������������������������������������������������������
( ������������#�����'����������#����������#����������������������������#�������
'��%�&��������������������������������%��&����������� ������������G
�������@ 4��������������
����������������� ��!������� ��!�
��
��$
�
)�����)� )!����)! )�����)�
�)�
�)!
�)�
��
��%
!
�
�
�������
�
�
�
������!�
� )� )!
�����
��� )��
�� )�
��!�����
� )! )��
�
��
��
�
�
�
��
�
�!�
�
��
�
�
��
�
��
� �!
� ���
�
��
�
� ��� �!
�
��
� ��
�
� ��
�������
�
�
V
�����
�����$
�
%/�)
()�)3/�)
.��
.!!
.��
.�!
.!�
.��
�����
�����%
!
�
�����)�$
S���,�I��������W����������������������������#����������#������"((,�"���"--��������������#�������������������������(�������"(�,�"�-�"(-���������������#�������������������������(��������
��������������������������� ��������������'���,��������������������������� ������������ �������������������������%���������&���9�������,���� �������������������������������������� ���������������������������
��������������������������������������������������������� ������������G
��$�
)�����)� )!����)! )�����)�
��%!
����
�
�
������!
�����
���
��!�����
��
�Y$�
�/�)!/�)�/�)%!�
�����)�%
���.����������������������������������������������������� ������������G
��$�
�)�� !/�)F )�� �/�)F )!�)!� �/�)F )�� �/�)F )��)�� �/�)F )!� !/�)F )�
��%!
����
�
���
�
�
�!�
�
�
��
� �!� ���
�
� ��� �!
� ���
� ����
�Y
��
��$
�
.��
.!!
.��
.�!
.!�
.��
��
��%
!
�
�����)�)
9���������������,����� �;���������������������%����������������������������������.&������� �����������������������9����������������������������������������������� �����������������������������������������������������(�� ��������������������%����������@;:&�
4��������������
�!+����"#�����>�����9������������)����
"������,��������������������������������� ����"�������������������������������������� �����������������!�������������������������
* ������������#�����'����������#����������#����������������������������#�������
"�������G��M4)N� L�MM�)N
$�
4�4!4�%!
����
�
.��� .!�� .��
� .�!.!!
� .�!
� .��� .!�.����
�F$� ���!��%!�
�����)��*
QI�R������ ����������������������������������%�����&��(��������O4P�����������(����������%���������&�Q��R������ ������� �����
�������������� ����������,�������$��� �����G�"�,�".,�":G����:���������������������������$��� �����G�Q�R,�Q.R,�Q:R�G������������������:������������(����������
�������@ 4��������������
����������������� ��!������� ��!�#
19.2 Rigid body mode analysis
9�����������������%��������&�������������������������������,�������� ������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�������������������&,������������������������������������������������������,���������������,�������9���������������������������������������������������������������(����������������������������������
"�����A��������� ������������������������������S,�I,�����W��(�,����������������������(����$ ����������������������������������������������������������������������A������
�������@��������������������������������������������������������������������������������'4'���������������������������������������� ��,��������������������������������(������������������-�����������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������N������
� ����������������������������������������������
� �����������������������������������������������
Use of rigid body analysis
"����������������������������,����������%������&���������������������������������������������������������������������������
1 Debugging the measurement set–up4��������������������������� ����������������;�������������������������������'4'���� �����������������������������������������������%����������������������������(����&���"���������,����������!����!������������������������������������������������������������������������������������ ����L������M�����������������������) �����������������������������������������������
� ���;������������%����� ���������&
� ������������������������������%�� �������������&
4��������������
�$+����"#�����>�����9������������)����
� ���������������������%�� ���������������������&
� ���������������������������������� �����%�������������&
� �����������������
5� ����������,��������������/�����,����������������������� ;����������������������������������
2 Completion of non–measured DOFs>�������������������������;����������������3����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������A�������������������������������������������������������������������������������������������������������;�������)5'����������!������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
3 Correction of measurement errors?������������������������������������.����������������������;���������������������������������������)5'���������������������������������������� �������������������%���������&��������������������"���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������%�������&����������
4 Synthesis of modes based on the geometry of the structure4�����������������������������������������������������������=�����,���������������,�������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������(��������������������������������� ������������������
19.2.1 Decomposition of measured modes into rigid bodymodes
����������������������������������������������������� �� �������������������
� ?��������������������������A�������������������������������
�������@ 4��������������
����������������� ��!������� ��!�%
. )����������� �����������������A��������������� �� ����� �����������������������������������������������������������������������������������������������������A��������)5'��������� �������������������������������������������������������������(������������������������������������������������������������������W��(����������������.��������������(��,� �������������� �����:�)5'��������
: �����������������������������������������)5'�������������������������A�������������������
Limitations
����������������������������������������������������%����(��������������������&��������������� ���������!����������������������������� ������������������������������������������������������������������������6�����������������������������������������(��������������������������������-������(����������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����������������������������������������������������������������������������������
19.2.2 Synthesis of rigid body modes based on geometri-cal data
������������������������������������<��;��=����������������������������������������������������������������������(���������������������������������(����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;
���� �� ����
�������F��
�.�
���
4��������������
�)+����"#�����>�����9������������)����
" J�����������
� J���������������������������������
�� � J���������������������������������������)5'���������� �(�����������
�( � J��������������������������������������)5'���������� �(�����������
F� J����������������������������� ��(������������
4������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������@ 4��������������
����������������� ��!������� ��!�*
19.3 References
O�P ��� ���,�E������*�����,�5�'�"�����������������-����,������0����"������5���,�S�,��F�������E�������������"2���������5��������2��������������?�� �����������������,�+�5�� �(�10@,��';::�2�������,'������,
O.P 5!�-���,�7�F,��������������������5���,�S�,��'��������������������E� �����������@�����(����"������1������,�3��������2��������������$�������������������,�*������>�������,����,�E����@@�
O:P �����,�F������F���,���A�����������+���,��������������"������+������������������"�,����"�,,���+�������������������$�����!�!�����!����������� ����;5�������������������������������������,��@@1;�@@A
O/P �>��"���������I-6�'404�9�-�,���4��������-������5�+��������>��"���������,��� �,� �����,����.�A;.�D,����:�./;:�:.,��@@A
O1P �>��"���������A� ����4,,�5���,�S�,��-�,����������(�������-�,���-�,������'404�9�>��"�������������������������,�4���)#) 3��3@��.@1,��� �, �����,..���,��@@�
��
���������
�����
�������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������
Sensitivity
Modification prediction
Forced response
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!��
20.1 Using the modal model for modal design
���������������������������������������;�������������������������������������������������������������
�������������� ����������������������������������������������������������������#���.����������������7� �������������������������������������������������)5'��������7����!�����"������������ ��������������������������������������%������������������� ����&��������������������������%�������&�������������%�&�7������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������� �������������
'�������������������������������>�(���; �����������������������������������������,���'4'��������)5'��������7����������������(�����������������)5'�7�������������������������)5'��,������(��������)5'���������������������������7G
�����*�����F2�3F� ���F2�F3
"�����������,���'4'�����(�����������������������������������
?������������������,������������������������������������)5'��"��������������������������������������������������� �����������������������������7G
�����*������ � ��F$��F$��
�����*�� �� � ��F$ �F$��
���
�"7� �����!���������������)5'��"�����7
��7� �����!���������������)5'��������7
$"� �������!��������������������������������)5'�"
$�� �������!��������������������������������)5'��
)����
�+����"#�����>�����9������������)����
$7� �������!��������������������������������)5'�7
����������������������;
�����*��� �F�F ��F$��F$ �F�F ��F$��F$��$��F ��F
$ �F$����F$��
F�F����F� ������
�����77� ������!�����,��+��������������,���
��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������
"��������������� ������������������������
� "�������������������������������������������������,��������������,��+�����������������������
� >����������������������������� �������������)����5��'������������������������������������������
����������������������������������������G�����,�%�������&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;
'���&� ����������������������������������� �������%������� ���������&,�� ������������(��������������������������I�7 �������������������������G
�����*�!�4��F�F �4�F4����F4���
�������������������������������������������H������������������������� ����JHK�
�����*�#\5]�F�F��$�
5�5����
5�
��%!
��
����������5� �����������������������������������������������������������������G
�����*�$L�M�F�F \5]�F�4��
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!�
�������������������JTK�.��������������������� ������������ ����������������������������������������JHK� � ����������(������������������ �������������G
����*�%\>]�F�F ��F\5]�
'������������������������������������������������������
�����*�)��F�F M5N�F�4��F�F M>N�FM>N��
���������������.2;0
����*��*
���F\5]�F\5]
��F� \5]�FF�4��
��F�5H��F4��F�F5H��F4��F� ���F�F5
H
��F4��
5H��5��F�F5H��5��F�F ���F�F5H�F�5��
�"�������������������������������������������,������������������������������ ������,�����������������������;
����*���
��F�F4��5���
���������������������.2;0������������ ������������� ��������������������������� �����H������������������������������I��������������������������� �����T,����������������������������������������������� ����������.2;�2���5� ����������������������������������� ����������������������I������������,������������������,����������������������� ������������������������������������������'4'�����(��������������������������������������������������������.2;�2����������������������������������������������������(���������;����������������������������������������������
)����
�!+����"#�����>�����9������������)����
20.2 Sensitivity
9��(���������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������(�������������������������������������������������������������(������������������������������������������� �����������������������������
'��������������������(������������ ���,�������������������������������������������������������������������� ������������;������������������;�����!���6��������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������5������������������������������������������������������������ ���������������������� ������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������9������ ������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������"������������������� ��������������������������������������,�������������� �� ������������������������������9������ ��������������� ������������������������������������������������������������������� ����������
20.2.1 Mathematical background to sensitivity analysis
)��������������� ��������)5'��� ����������������� �� ��%�����������������&� �������������������� �� ���������������������������(������������������� �����������
>�������������������������'�������4������'������������������
������B���,��
J �B ������ ��
�����*���
������������� �� �����������������������������������E,�������������������������
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!�#
�����*���E���
�E�F���
���
F ���� ��
�E�����E�
���
���
����
2��� ��3�
�E���E�
E�������������������)5'�������������������������������������)5'��
�����������������������(�U������ ����
�����*��;�����//� ��://�O//
��� - ��������������(' �����������������(< �����������������(� �����������������������������������������������
������������E�����������������
?��������������������������������������������,��������.2;�:���������������������
�����*��!�E���
�E�F� M��/N
��E;
�E�M�/�N
?������������.2;�.��������.2;�1������
�����*��#�E���
�E�F�$�
�����
��/���� ��
%!�
�
F�E;
�E�F$� �����
�/��2��� ��3
%!�
������������������.2;�A��������������������,���������������������������������������������.2;�:,��� ��������� ����������������%.2;�D&�������������%.2;�0&�
�����*��$�E���E�F�� �
����FM��/�N
�F��E;�E���������
M�/��N
)����
�$+����"#�����>�����9������������)����
�����*��%
�E�����E�F�� M��/�N
�F ������E;�E���������
M�/��NF� �����
M��/�N���E;�E���������
� �/��
��� ���
� �����
� ��/���� ��
��F��E;�E���������
M�/��N
�����������������.2;�D�����.2;�0,�������������� �������7� ���������)5'����������������������������������������������������������������������� ����������������$ ������������������������� ������,���>�(����; �������������������������������������������������� ������������������ �������� ����������������)5'�������������������)5'�������������� �����������������������������7�������,���������������,��+ ��������������,����77� ����������+���������������� �����������������������������������������������������������������
'������������������������������.2;�0,���������������������������������� ��� �������������������������������)5'������������������������������������������������E,�����������������)5'���������������������������������������������������������������������������������������������'����������������������������������������(�U,���������������������+������������,����������������%�������&������ ���������������������������
Mass
������������������E�����������������������)5'�����$��������.2;�D����.2;�0������������������
�����*��)�E���E��F�� ���F$
���
�E$���E��
F�� �� E$��� E$��� $�� �
�
���
���
��� ��$��E$�� �����*��*
Stiffness
������������������E�����������������������)5'������������$�������.2;�D�����.2;�0������������������
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!�%
�����*����E���E��B
F�� 2$��� $B� E3�
�E$���E��B
F�� 2$��� $B�3E��
���
2$��� $B�3$����� ��
�����*���
*��������)5'����������(�������%L������M&����$�"�J�$�� �J�2
Damping
������������������E������ �����������������)5'������������$�������.2;�D�����.2;�0��������
�����*���E���E/�B
F�� ��2$��� $B� E3�
�E$���E/�B
F��2$��� $B�3
�
�$��� 2$��� $B�3E�
�
���
����� ��
2$��� $B�3$�� �����*��
����������������������������.2;�@,�.2;.������.2;.:���������������������� ���������������������������������������������������������(������������ �������������������������(�����������������
)����
�)+����"#�����>�����9������������)����
20.3 Modification prediction
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������=��������������������������������������!���������������������,������������3����������,'$>;��!����,�����,�������������������������"�������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������
>��������������������������������� ����G
� ������������������������������
� ������������������������������������������������������������������%���������������&
� ������������������������������,������������������������;������;������������
������������������ ������������������(���������������������������������������������������������������������������������������,��������������������-����������������� �������� ���������������������������������
20.3.1 Mathematical background
����������������������������������������������������������������������������������������������1���
��������������������������������!����������������������������������������������������������������(����������������������� ����������������"��������������������������������������������(������������������������������������
Modal models for the assembly of substructures with flexible coupling andviscous damping
������������#�������������������������������,�������.����������������������������������������������������������G
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!*
�����*��!��F��FF����F� �:�FF���� � O�FF���� �F �F��F�
�����*��#��F��FF����F� �:�FF���� � O�F���� �F �F��F�
����������-��.�'������<� ����������,��������������������������������������������.�������������������������������F����� ������������������������������������������������������������������� �������{(�}�����{(�},������������ �����{��}�����{��}������ ���
������������������������������������������������ �����������������'�������������.�����������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������%)�����=������&�G
�����*��$�F��F���� F�F �F��FF���� F�F ���F
�������������������������������������G
�����*��%���F�!��F�F 6�FF�!��F�F ����
���
��F�F � ��� ��:��
F
�!��F�F ������ �6�F�F ����
�
�
O��
����F�F ���������������4� �����S� �������������-������������������������(�T� ,������(������� ����������������������������������������� ������������������������������(�� � ���)������������������������.2;.D��������������������� �����������������������������������������������(���������������
����������4� �����S� �������������-��������;�������;�������������������� ��������(��T� ����������������G
�����*��)>��F��F>�F�F ����
)����
�+����"#�����>�����9������������)����
>��F6�F>�F�F �B�� �����*�*
�������(������� �����T� ������������������������������������������������;��������{y1}�������������������{q1}�G
�����*���!��F�F >�F����
?�����(���������.2;.@�����.2;:2����������������������.2;.0�������;������������������������������#��������������������(��������.2;:�����������������������������������������������������������������G
�����*���F����F����F�F �B��F����F�F >��F����
"����������������������������������������������������������
����������������������������������������.,����������������������
�� ��������(�� ������������� ��������(�T� ��������� ��������(��T����������������������������������������J��K�����������������������������������.������������������G
�����*��F����F����F�F �B��F����F�F >��F����
Substructure assembly������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������'������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������� ��������(���������� ��������(�
>���(�������������������������������������������������������G
�F�F ���� �
���
F
�!�F�F �!�!��
6F�F �6�� �
6��
���F�F ������
��� �����*�
����������������������G
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!�
�����*�!��F\!]F� 6F\!]F�F ���
"������� ����������������������������.2;:1�������������-��������� ��������(�#��������������������G
�����*�#>F� �F>�� �
>��
������������ �����������������(����G
�����*�$� �F� �F �� �
��
���������������������������������������������G
�����*�%\!] F�F >F���FF
���
���F�F ������9��(��������������������������.2;::������������ ����������� �����������,�������G
�����*�)����F���F�F �B�F���F�F >�F���
9���������!���������(������� �����T�������������������������������.�������������������������������"���,������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������(����������������������������������������������6���������������������<� �����'��������.2;:1������G
�����*�*�2�F�F �/F3F\!]F� 26F� 6/F3F\!]F� ���
)����
+����"#�����>�����9������������)����
���
�/F�F���
�
��
��
�:/
�� :/
��
��
�� :/
�:/
���
�6/F�F��
�
�
��
��
�O/
�� O/
��
��
�� O/
�O/
���
�
����������������������������������������������������������������-������������������������(�#��������������������������������������������������������������������������������3����������� ������
Modification of structures ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;
�����*����=F:�=FO�F� �F��=F:�=FO�
���������������������������������������������������������������G
������
�
�
���
�
�
���
�:��
�
�
��
���
�
����
�:�
���
��6���
�
�
���
��
�
�
�O��
�
�
�� ���
�
�
��
�O�
���
������*��
"���������������������������� �����(����������������������������������������������������,���������������������������������������������
6���������������������(��������.2;/.�������������������������������������������%$����.2;/2&,������������������������������������������������
�F2�� �/� ��3F\!]F�F 26� 6/� �63F\!]F�F ��� �����*�
Uncoupling the equations of motion?��������������������������������������������������������������%(��������.2;:A&����������������������T� ,������� �������������������������������������������������G
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!
������F�F 6����F�F >���� �����*�
���
��F�F ���F�F >��/>F�F >���>
6�F�F �B�F�F >�6/>F�F >��6>
����������4"������S" �������������������������������������������-��������������� ������������������6����������� ������������� ������������������� =�����H,��������G
5���5F�F ����
5�6�5F�F �B��
��������������������������G
���F�F 5F����FF �����*�!
�����������������.2;//����������������������5��������G
�����F����F�F �B��F����F�F 5�>�F��� �����*�#
�����������������������T�����H�������������������������(�T�����;
>�F�F >5 �����*�$
����������� ����������������������������������G
\!]F�F >�F���� �����*�%
$�������.2;/0��������������������������������������������������������������������������������������������������6�����������������������������������������������������������G
�����*�)�����F����F�F �B��F����F�F >��F���
������������������������������������������������������������������
����������������������� ��������� ��������������������������������������(�T��
)����
!+����"#�����>�����9������������)����
Flexible coupling with proportional damping
�������������������� ����������(����������������������� ����������������"�������������������������������-����������������������������
4��������������������������������� ��������������
2��L�M� �L:M� LOM3FM%N� M N �����*�!*
Zero damping"��������������������G��O�P�J�O2P,���(���� ��������������������� �������� ����G����
.������������ �����G�Q�R��
2��L�M� LOM3M%N� M�N �����*�!�
����������������������������������,�������������������(���������������
��� ���= ���= �� �� �����*�!�
��H�� ���F= ���=F �
H�� �� �����*�!
��������� �����������,�������������������%����G�T3�;��02�&�
����������������������������������-�,��������������������������������� ���������������������������������������������������������������,�������������������������,���������������������������������������������G
L"M� LM"�NE���EM"NM �����*�!
L"M�FL�MFL"M� ���XXXL"M�FLOMFL"M���� �����*�!!
M%N� L"MM�N �����*�!#
2����������3M�N� M�N �����*�!$
$#���F IF ��� � ���E����� �����*�!%
Propotional damping"����������������������������,��������������������(�������������������������������������������(������������������������(G
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!#
L:M� �L�M� �LOM �����*�!)
���������������(����������������G
�
2E2��� ����� �
3L�M� LOME3EM%N� M�N �����*�#*
������ ����������������������(�����
���� ������� �
����� �����*�#�
��������(������������ ���������������� �����%;ω�&���������������������%α,�β&���6��������������������������������!�������������%���������������,��������������������&,������������������������� ���������������������������������������,������������������������������������������
Modal synthesis
5������������������������������������������,�∆>,�∆B�����������������������������������������������������������������������������������������
2��2L�M� L��M3� LOM� L�OM3M%N� M�N �����*�#�
"������������G
2���2���� L��M3����� L��M3M�N� M�N �����*�#
6���G
L"M�� L"ML��M� �����*�#
L��M� L>M�EL��ML>MV ���VL��M� L>M�EL�OML>M �����*�#!
������ ������������ ������������������,����!;�������������������������������������,�������������������������������������
"����������������������������,��������(��������������� ������������� �������������������������������������G�α�����β�
���������������������������������������� ��������������������������"����������������������������������������������������������������������������������������������������������)5'����9����������������������������������������������������� �
)����
$+����"#�����>�����9������������)����
Rigid coupling
������ ���������������(������������,�����������������������������������������)5'������������������������������������������������,�����������������������)5',�������(����������������<������=���"�������������������)5'��������� �-�������������
����������������������������������������
L�MM(N� M�N �����*�##
+�����������������������������G
M(N� L"MM�N �����*�#$
�����������������������������G
L�ML"MM�N� LMM�N� M�N �����*�#%
������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�O�P����������������
LL�ML�MM������� M�N �����*�#)
�M��NM��N�� �� L�M��YL�M�.� �M��N� L�MM��N �����*�$*
������������������������������������������������������������;���������O��P�
�������������������� ����������G
2�L�M����L�M� L�M��B�L�M3M��N� M�N �����*�$�
6�������� �������������� ������������������������������������������� �,������������������������������������ �����������������������"����������,�������������������������������������������������� ����������������������
����������������������������������������������������������������
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!%
20.3.2 Implementation of Modification prediction
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������
20.3.2.1 Retrieval of the modal model
��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������
9�����������������%���������������,��������� ����,�������������������&��� ������ ����������������������������������"���������������� ������������������������;
� ��������������##�������"�������������������������������������������������,����������������,��+����������������������������������������������������������������������������������������,�������������%�����&�������������������������������������������������������������������������������������������������-�����*������������ ���������)���5�'��������������������������������������������
. ��������&2�#��������������#��������>����������������������������� �������������)����5��'���������������������������������������������������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������>��� �,�����������������������������"������"�,��������+������������������������������������� ���)�����5��'�����
��������������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������������������������������������������'4'������ ����������������������,������������������(����������������������������������������������������������������������������������������������������"�������������������������������������������������������'4'��������������������� �������������������������
)����
)+����"#�����>�����9������������)����
9�������������������������������������,������������������������������������ ���������������������������(���������������������������������������������������������������������������������������������������������������%��������������������(�������&��������������������������������?����������������������������������������� ;�����������������������������������?���������,��������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������'������������,�������� ����������������������������������������������������������������������������������� ������������������������
6�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������,�������������������������� ����������"������������ ���������������������������������������������������������������������������!���������������������������������������� �����������������"�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
"�������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������������������������������������������G�����,������������������������#��,��������9������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������
20.3.3 Definition of modifications to the model
9����������� �������)����5��'��������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������(������������������������������ ���������������������
20.3.3.1 Mass modifications
9������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!*
20.3.3.2 Stiffness modifications
9������������������%������&�����������������������)����5��'������������������
����������������������������������� ���������,���)5'������������������������������������������������� ����
*�������������%��������&���������������������������������������������������������������
20.3.3.3 Damping modifications
9�������������%������&�����������������������)����5��'������������������
����������������������������������� ������������)5'����������������������������������,��������������� ����
*�������������������������������������������������������������������������
20.3.3.4 Truss elements
9���������������������������������������������������������'���������������������������������%�����������&������������������(���������������������������������������������������,����������������������� ������������� �������������������������������������������������������(���"���� �������������������������������������������������������������������������������������������!����������������������������
������������������������ ���������N����������������������������������(����������������������������������������
9���������������������-�������;��������������������9;��������=��I����=���������������������$;��������������������������(�������������� ����������
)����
�+����"#�����>�����9������������)����
9��������������������������������������������������������������������������������������������������������������A����A������������(�����A�)����5��'�����%:������������&������������(�����������������������������������������������������������:�����������(��
20.3.3.5 Rod elements
9������������������������������������������������������4�������������������������������������%�����&���������������������������������������(�������������� ���������������������������������������������������������(�"����������� �������������������������������������������������������������������������������������������!�������������������������
����������������������� �����������������������������������������(�����������������������������������������9���������������������-��������;���������������������<�7;���������-�
�����������������������������������A����A�������������(�����A�)����5�'�����%:������������&������������(�������������������������������������������������������������:���;��������(������������>������ ����������������������������������������
20.3.3.6 Beam elements
9�����������������������������������������������������������������������������������
����������������������� ����������������������������������������������������G
� �������������%��,��.&
� ������������������������%9&
� ��������=��I����=����������%$&
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!�
� ��������=�������������%�&
� ��������=���������������%F&
� ���������������������������������������%"�,�"�&
� ���������������������������%"&
� ������������������������������������������������������������%�&
���������K�@-9-�
2�
2
$��������������
������������������
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
20
���������������������������������������������;�������������������������������������������������������������������������G
"�� ��������������������������
"� �����������������������������������������������
���.����������� ���(�)����5��'��������G�:�����������������:������������9����������������������������(�����������������������G�:�����������������������:���������'�������������������������������������������������������������������������������������(������������������������;�����������"�����������,������������������������������������%������������&���������������������������
20.3.3.7 Plate membrane elements
9����������������������������������������������������������������������������������������%�����������������������������&�����������������%����������������������&�
����������������������� ����������������������������������������������������G
)����
+����"#�����>�����9������������)����
� ���������������
� ���������������������,��.,��:,������/
� ����������!����%&�(����������������������������
� �������������� �����������������������,�������������.�%�&
� �������������� ������������������������,������.������:�%�&
� �������������������,��.������:
� >���������������������������I����=��>�������%$&,�+������=��������%�&,������������%�&�
��������������(�������������������������
�
0
"
�
!
!
�
�(�6�����
6�������������������������������� �����������������������,����������%�(�0&�����������������������������������������9���������������������(���������������%%�T�&�%0T�&�;�/&������������������
"������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������%��&
� ���������������������� �������������������������������,����������������������������#@22
2�3)������"�������!���$����������!!�����$��������!��������$�$,�����������,����������,��������������������!���������
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!
� �������������������������(�����������,������������������3��������������#��
� ������������������������!,������������������3���!�������������� 1
$��������������������������������������A�)����5��'�����;�:���������������:���������;���������������������(���������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������
20.3.3.8 Tuned absorbers
9������������������������)���5��'�����������������������������������������������������������������������������������������(���������
�
ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ
�
������������,�!��������������SDOF�����������������������������������������������������������������������������������������%�����&���������������������������������������,��������������������
6 ������$�
������$�
"��������������������������������������������������������������������(� ��������������������������������/��G�������������������������������������������������������������"�%(����������� �������������������������=������������������������&�
)����
!+����"#�����>�����9������������)����
�����*�$�2���� /����3F����F�F �F2��� ��3F�
�F����
6�������������������� ������(� �G
�����*�$��F�F���F��
����F� �/�F�F �
����������������������������������;
�����*�$ ����F�F 2�� �/�3F��F����
'������������.2;D:�����.2;D/
�����*�$! F�F2�� �/�3�
����� �/�� �F��F��
���������������������������������������������������������� ��������"�� ,����������������������������������������G
�����*�$# F�F ���F��F��
�����*�$$���F�F2�F� �/�3F�
��F��F�F �/�F�F �
"���������������������������������������/*�������������������������������������������������������� ������������������������������������������(��/�*&���������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������ �������� ������������������������� ���"���������,����������=������������������������������������������;
�����*�$%� �F�F ��F� F� F�
�F�F �
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!#
����!������������������������=����������������� ����M��������������������������G
�����*�$)�F�F ����
9������������������������������������������������������G
�����*�%*%���F�F/
� ��� F�F��
�2�� �3��
'������������.2;D0,�.2;D@�����.2;02��������������������".������������������������������������������������������� ��������!�����
"�� ����� ���������%�������&
�� ����������������������,������������������������������
� ���������=�������������������������
������ �����������������������������������������������������������G
�����*�%����F�F �F.>�
�F�F�F���.
���
T� ������������������������������������������������������������
�, �������������������������������������������
20.3.3.9 Constraints
+����������������������������������������)5'�����������)5'����������
)�������������������������������)5'�,�����������������������������������)������������������������)5'�������������� �����(�����<������=�
)����
$+����"#�����>�����9������������)����
20.3.4 Modification prediction calculation
5��������������������������� �������������������������������������������������������������
'��������������������������������������������������������������%���������&����������������������%����������&,��������������������������������������������������������������������������G
�� 4�� ����������������������������������� �������������������
������ �������� �����������������%��������������(&��������������T�����T� ��������������������
.� E����������������������������������������� ��%�������.2;:D&�����T%.2;:A&�
:� )��������������������%��������������������&�����������������������������������������4������S� �%�������.2;/2&�
/� )���������������������������������������������������4�������S%�������.2;/.&�
1� ?��������������(�T��������������������������������������������������������������
A� 9��������������-�����������������������%�������.2;//&������������������(���������������������
D� ��������������������� ��������� ����������� �������������������������������������(���������������������(������%�����������������������������������&�����������������
Numerical problems
������ ��������������������� �������������� �������������������,�������������������������������������������������������������
� �������������������������������������������,�����������������������������������������������������������(��������������� ���������
� 9����������������������������������������������������������������������������������������;���������% ����������27-&��������������������'$�����������(��������(����������������������������>�������������������������������������������������������������������������������� ���������
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!%
"������������������������������������������������������������������������������������������������������������6�����������������������������������������,��������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������(�������������(����������������� ������������ �����������������������������"���������������������(������������%�������&� ������������������������������������� �������������������������������������������������������������T0�
20.3.5 Units of scaling
"�����������������������������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������ ������������������������������������������������������������(����������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
$������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������%��������� ��������������&,�������������������������������� ������������������������������(��������'4'��%������������������������������&,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(������������������������������������������������������
)����
)+����"#�����>�����9������������)����
Example of the application of a beam element
�������������(��������������������������������������������������� ��������������������������������������������������(�����������������������
���� ����
2������������0���
����
����
����
����
�
�
�
& ����
�!
"
?
�!
"
?
�����������������G
� )�����-������������������/���������,�����������������������������������������������������(�����������������
. )������������������������������������������������������
� K���������������!���,��$
� K�$�$����!��������!���������
�, K�$�$����!��������!���,��������������!������������=���!����,������������=���������
; K�N�"��C��$��"�"���!���������
? K������$��"�"�
� K�������!���,��$
�=��=�� K������������!���������,��$���!�����������$���������,������$���)�����!��$������������'���!��$������������!��������������=���������������������-��"�����8��
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!!*
$ K�$������C��$����������
'��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������
�
!
7
+
�
�)<���71�� ������ � )���B����� ����� �� ��2�/�2�/������ �����!�����*�������7�� ��E+
�
�
: �������������������������������������������9��������������%����&����������%��������&�����(��������������������������������A�����������A�)����5��'�����������������%@�.�T�.�H�.���.���.�����"� ����������,���.�+�.� �.���& �� ������"� ���������.&
��$�
-�>�5���%!
�� �FF�
�$�
-�>�5���%!
�� �FFFF& ��� �2����
��$�
����"���%!
�� ��FF�
�$�
����"���%!
�� ��FFFFF& �������
�
��
7
��
�� ��� �� ��
�
�)<���71�7 �2��� �������/������� �������� ��7
/ 9������������������������������������
)����
!�+����"#�����>�����9������������)����
)�(�)�(�
)�
(�)�
(�
)�(�
)�(�)�(�)�(�)&(&)#(#
�)<���71�E �����B2!�����2��� �������/��
1 +������������������������%������&���������������)5'��
A 9��������������������������������������������������������������������������������%�����&��������������
4���!��G
� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
� "��������������!�������������������������������������;���������������������������������������������������������������(����������������������������������������������������������� �������������������������������������������������.�'�������,����������������������������������������������������(�
� ��������������!���������������������������������"����(������������� �����������������(������������������(�������������������!�������������
Static condensation
������������������������������������������������������������������������������)����5��'��������������������������������������������������������������������������������������������������>��(�������,������������������������������������������������������������)����5��'���������������������������������������������������������������������������������������������������,
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!!�
�����*�%����
�O�
�O���O�
��O��
����FZF���
���
L�M
L�M
L�M���
����
) ��!���������������������1-�
( ��!������������������1-��
���������������������������������������� ������������������������������������ ����������������� ����������,
�����*�%���
�O�
�O���O�
��O��
����FF�>>��F�F ��FF���
���
L�M
L�M
L�M���F�>>��
'��������������������������.2;0:������������������������������������������)5'�������� ��
�����*�%�O��F�>�F�F �O��
�F�>��F�F \�]
��������������� ����(����������������)5'����������������������������,
�����*�%!�>��F�F�F �O�����F�O�
�F�>�
"��������������������.2;01������������.2;0:�������G
�����*�%#�O�FF�>�F�F ��F��
�FF�>�F
��
�����*�%$�O�FF� �O
�F�F �O��FF�O��
�F��F�O��
)����
!+����"#�����>�����9������������)����
����������OB�P�����O>��P�����������.2;0A������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������)5'����������������>��������������������������������������������������� ������������������ ����������������������������������������������������������������!�����������
*�����OB�P����(����������������.2;0D����������������������OB44P������;��������������������������(���������������������������������������������������������������������������������������������(������������������������������������������������������������)5'����������������������������������������������6����������������������������������������������������������������������������������������������������������;����������������������������������������(������������������������������������������ �����������"����������������(��������� ���������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������,���� �,�����������������������������������������������,����������������,�����������������������������������������������(����������������������
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!!
20.4 Forced response
$(��������������������������������������������������������������������������,���������������������,�(�����������������������������������%������&������������������������ ��� ������������������������������ ������������������+������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������
"�������������� ��������������������������������������������������� ���������!���������������������������������� ������������������������������������������������������������;
� ����������������������������������������������a
� ������������������������������������������������a
� �����������������(���������������������a
� ��������������������������������������������������a
������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(����
���'�����������������������������������������������������������������������������������������!����������������
20.4.1 Mathematical background for forced response
���������=�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������,������ ��������������������������(�������������������������������������G
�����*�%%�%2�3�F�F ��2�3�F� 2�3�
��� J9���K������������������� ����%&*�����&�OA���P������'�������4������'�����������(�%&* ����&*&J2���K������������������������ ����%&* �����&�
)����
!!+����"#�����>�����9������������)����
��������������������(; ��������������������������� ��������������� ��������� ��� ����������������������������������!�����
6��������������������������������������%)5'&,������,������������ �������������G
�����*�%)%�2�3F�F��
���
F���F2�3F �2�3
������������������������)5'����������������������������������������������������,�����������������������������'4'���������)5'�7����������)5'����������������������������������������������������������(����������������������������������7������������������������
6���������������������������������� ������,��������������������������������������������,���'4'������������������� ����
�����*�)*���2�3F�F ��
���
����
��� ��
?������������.2;0@,��������������������������������������������)5'���������������������������������������������������������)5'��7������������������������������������%������&���������� ����������������������
�����*�)�%�2�3F�F��
���
F�� �����
,��,��
��� ���!�F �2�3
$ ������������������������� ������,���>�(���; ��������������������������������������������������� �������$�������.2;/��������������������� �������� ����������������)5'��������������������)5'������������� �����������������������������7�������,���������������,��+�������������� ,����77� ����������+���������������� �����������������������������������������������������������������
$�������.2;@������������������������)5'������������������������������������������������������������������������������ �����;
������.2 )����
����������������� ��!������� ��!!#
�����*�)�
��2�3��
��� ����
���
,�� �2�3� ��2�3��
���
,�� �2�3
��2�3��
��� �H���
���
,H�� �2�3� ��2�3��
���
,H�� �2�3
������ H�1����
H�����7
*/���2���/� �<)���������+
������������������)5'�����!���������������������������������������������� ����
�����*�)%�2�3F�F �
���
F ,��F��2�3�F ��
��
F ,H��F��2�3
!$
��������
#������� �����
������������������������������������ �� ��������������������������������������
the geometry of a test structure
the definition of nodes
������.� F�����������
����������������� ��!������� ��!!%
21.1 The geometry of a test structure
9�����������������������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������!�������������,���������������������������������������������������"���������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������������������������,������������� �����������������������������
���
�����������
+
�
7
'�����.�;� 9��������������������������
*�����������������������������������������������������������������������L9������M������������
F�����������
!)+����"#�����>�����9������������)����
21.2 Nodes
9������������������������������������������������
Location
�������������������������:)�������������������������:�����������!���������������������������������������������������� ��������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:)�����������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������,��������������������������
4�����������������
����������� ��������
+
�
%
+
�
%
+
�
%
�
" "
�
�*
�
& &
'�����.�;. ��������������
���������(����,������������������������������������������������������������������
�������� O N 5 � � �
����������� � " 5 �� &#° �
������� � " � �� &#° ##°
Orientation
*�������������������������������������������������������"�����������������������������������������������������������������
������.� F�����������
����������������� ��!������� ��!#*
��
�
'�����.�;: *������������������
�����������������������������������������������������=������������"��������������(���������������������������������������������������������������,��������������� ���������� ����,�������������������������������$����������
Euler angles
����$���������������������������������������������������������,����� ������������������������������������������
"1�
��� ����� ����,� ]"(�� %$����SI&� ��� �� �������������W���(���������������������%+����� ������S���(�����I���(��&�� �����������������������������������������������������=�������(���������
%�
+L
�L
7L
�
"+� M�
��
"10
��������������"(-�%$����SW&��������������������=��(��������������������������%+���� ��������(=��(�������-=��(��&�����������������������������������,�������������������M�������(���������
"+7+L
+N �L�LL
7L7N
-
F�����������
#�+����"#�����>�����9������������)����
"�0
'������������������,�"�-��%$����IW&���������������������(M��(�������������������������,������ ���������M��(�������-M��(������������������������������������������������������������
+LL��LL
M
% 7LL
"�7-
Degrees Of Freedom (DOFs)
���)����5��'������������������������������������������������������� ���$����������������������(��������D�)����5��'����N�:�����������,�:�����������������������)5'%��&��
M
%
�
$� $M
$% �����
'�����.�;/ )������������