Complex  Strains  

Dr  Alessandro  Palmeri  <A.Palmeri@lboro.ac.uk>  

Teaching  schedule  Week Lecture 1 Staff Lecture 2 Staff Tutorial Staff 1 Beam Shear Stresses 1 A P Beam Shear Stresses 2 A P --- --- 2 Shear centres A P Basic Concepts J E-R Shear Centre A P 3 Principle of Virtual

forces J E-R Indeterminate Structures J E-R Virtual Forces J E-R

4 The Compatibility Method

J E-R Examples J E-R Virtual Forces J E-R

5 Examples J E-R Moment Distribution -Basics

J E-R Comp. Method J E-R

6 The Hardy Cross Method

J E-R Fixed End Moments J E-R Comp. Method J E-R

7 Examples J E-R Non Sway Frames J E-R Mom. Dist J E-R 8 Column Stability 1 A P Sway Frames J E-R Mom. Dist J E-R 9 Column Stability 2 A P Unsymmetric Bending 1 A P Colum Stability A P 10 Unsymmetric Bending 2 A P Complex Stress/Strain A P Unsymmetric

Bending A P

11 Complex Stress/Strain A P Complex Stress/Strain A P Complex Stress/Strain

A P

Christmas Holiday

12 Revision 13 14 Exams 15 2  

MoAvaAons  (1/3)  

•  Similarly  to  the  stresses:  

– Normal  strain  εn  and  shear  strain  γmn  change  their  values  with  the  orthogonal  direcAons  m  and  n  being  considered  

– A  Mohr’s  circle  can  be  used  to  represent  and  analyse  the  variaAons  of  εn  and  γmn,  and  therefore:  •  Find  the  principal  stresses  εp=εmin  and  εq=εmax  

•  Find  the  maximum  shear  stress  γmax  

•  Determine  the  direcAons  upon  which  they  act  

  3  

MoAvaAons  (2/3)  

•  A  strain  gauge  (SG)  is  a  device  used  to  measure  normal  strain  on  test  specimens  

•  The  most  common  type  of  SG  consists  a  metallic  foil  film  in  the  thickness  of  a  few  microns  (the  ‘grid’)  glued  on  a  thin  electrically  insulated  sheet  (the  ‘base’)  –  The  SG  is  firmly  bonded  to  the  test  specimen,  so  to  experience  the  same  normal  

strain  ε=ΔL/L  –  The  SG  responds  to  strain  with  a  linear  change  ΔR  in  the  electrical  resistance  R  –  The  laUer  can  be  measured  during  the  test,  giving  the  value  of  the  strain  through  

an  appropriate  gauge  factor  (GF)  4  

GF = ΔR / RΔL / L

⇒ ε = ΔRGF ⋅R

MoAvaAons  (3/3)  

•  With  a  single  strain  gauge  (SG)  one  can  measure  the  strain  in  a  single  direcAon  

•  With  a  ‘roseUe’  of  three  SGs  (in  three  direcAons)  on  can  know  the  strain  in  all  the  direcAons  

 

5  

‘Delta’  SG  rose6e  ‘Corner’  SG  rose6e  

Learning  Outcomes  When  we  have  completed  this  unit  (1  lecture  +  1  tutorial),  you  should  be  able  to:  

•  Use  the  elas8c  cons8tu8ve  law  for  homogeneous  and  isotropic  solids  to  relate  stresses  (σ,  τ)  and  strains  (ε,  γ)  

•  Use  the  Mohr’s  circle  to  determine:  –  principal  strains,  and  their  direcAons;  –  maximum  shear  strain;  –  normal  strain  and  shear  strain  in  any  direcAon  

•  Only  the  case  of  plane  stress  will  be  considered,  i.e.  no  out-­‐of-­‐plane  stresses  

 6  

Further  reading  

•  R  C  Hibbeler,  “Mechanics  of  Materials”,  8th  Ed,  PrenAce  Hall  –  Chapter  9  on  “Stress  TransformaAon”  

•  T  H  G  Megson,  “Structural  and  Stress  Analysis”,  2nd  Ed,  Elsevier  –  Chapter  14  on  “Complex  Stress  and  Strain”  (eBook)  

7  

Modes  of  DeformaAon  

•  Material  element  can  be  extended,  compressed,  or  sheared,  resulAng  in  different  deformed  configuraAons  

 

8  

ε x > 0 ε z < 0 γ xz > 0

x

zExtension:  

Volume  increases  Compression:  

Volume  decreases  Shearing:  

Shape  changes  

Measures  of  DeformaAon  (1/2)  •  The  normal  strain  εx  in  a  given  

direcAon  x  is  the  dimensionless  measure  of  the  variaAon  in  length  of  the  element  in  that  direcAon,  ΔLx,  per  unit  length  of  the  element  before  the  deformaAon,  Lx  

–  PosiAve  normal  strain  means  extension  

–  NegaAve  normal  strain  means  compression  

 

9  

ε x > 0

LxΔLx2

ΔLx2

ε x = limLx→0ΔLxLx

x

z

Measures  of  DeformaAon  (1/2)  

10  

γ xz = limLx→0Lz→0

uzLx

+ uxLz

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

γ xz > 0

Lx

Lz

ux

uz

uz Lx

ux Lz

x

z

•  The  shear  strain  γxz  is  a  measure  of  how  the  angle  between  orthogonal  direcAons  x  and  z  in  the  undeformed  material  element  changes  with  the  deformaAon  

 

ElasAc  ConsAtuAve  Law  (1/2)  

11  

•  In  case  of  plane  stress,  assuming  that  only  σx,  σz  and  τxz  act  on  the  material  element,  elas8c  and  isotropic,  the  stresses  are  given  by:  

–  where  E=  Young’s  modulus;  ν=  Poisson’s  raAo  (Greek  leUer  ‘ni’;  G=  shear  modulus  

ε x =1E

σ x −νσ z( )

ε z =1E

σ z −νσ x( ) ; ε y = − νE

σ x +σ z( )

γ xz =τ xz

G; γ xy = γ yz = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

ElasAc  ConsAtuAve  Law  (2/2)  

12  

•  What  does  ‘elasAc’  mean?  –  The  material  is  able  to  return  to  its  original  shape  aCer  loading  and  then  unloading  

•  What  does  ‘isotropic’  mean?  –  The  mechanical  properDes  of  the  material  are  idenDcal  in  all  direcDons  

•  In  presence  of  small  deformaAons:  –  Concrete  and  steel  are  linear-­‐elasDc  and  isotropic  – Masonry  and  Dmber  are  linear-­‐elasDc  and  ‘orthotropic’,  meaning  that  there  are  three  mutually  orthogonally  axes  of  symmetry  for  the  mechanical  properAes  

Material  TesAng  (1/2)  

13  

•  The  Young’s  modulus  of  metals  is  measured  with  a  tensile  test,  using  a  so-­‐called  ‘universal  tesAng  machine’  

Material  TesAng  (2/2)  

14  

•  The  Young’s  modulus  of  concrete  materials  is  measured  with  a  compressive  test  on  standard  cylinders  

ElasAc  Parameters  

15  

•  Only  two  among  the  three  elasAc  parameters  E,  ν  and  G  are  independent  

–  Knowing  E  and  ν,  one  can  compute  G:  

–  Knowing  E  and  G,  one  can  compute  ν:  

   

G = E2 1+ν( )

ν = E2G

−1

Mohr’s  Circle  of  Strain  

16  

•  Similarly  to  the  case  of  complex  stresses,  complex  strains  (i.e.  combined  normal  and  shear  strain)  can  be  analysed  with  the  Mohr’s  circle  

– Along  the  horizontal  axis,  the  normal  stress  σ  is  replaced  by  the  corresponding  normal  strain  ε:  

– Along  the  verAcal  axis,  the  shear  stress  τ  is  replaced  by  half  of  the  shear  strain,  γ/2,  not  γ:  

   

σ → ε

τ → γ2

Mohr’s  Circle  of  Strain  (1/3)  

17  

•  Similarly  to  the  Mohr’s  circle  of  stress…  

ε

Rε

extension  compression  

γ2

Cε

εave ε xε z

X ≡ ε x ,γ xz / 2{ }

Z ≡ ε z,−γ xz / 2{ }

εave =ε x + ε z2

Cε ≡ εave, 0{ } Rε =12

ε x − ε z( )2 + γ xz2

Mohr’s  Circle  of  Strain  (2/3)  

18  

extension  compression  

γ2

Cεεave εqε p

X

Z

εP Q

γ max

ε p = εave − Rε

εq = εave + Rε

⎧⎨⎩

γ max = 2Rε

Mohr’s  Circle  of  Strain  (3/3)  

19  

extension  compression  

γ2

Cεεave

X

Z

εP Q

εm = εave + Rε cos 2α xm − 2α xq( )γ mn = 2Rε sin 2α xm − 2α xq( )⎧⎨⎪

⎩⎪

2α xq

2α xm

Rε

M

•  Important:  It  is  assumed  here  that  angles  α  are  posiDve  if  anDclockwise  

Principal  DirecAons  of  Stress  and  Strain  

20  

•  The  orthogonal  axes  p  and  q  are  principal  direcAons  of  stress  if  and  only  if  the  shear  stress  is  τpq=  0  

•  According  to  the  elasAc  consAtuAve  law:      γpq=  τpq/G=  0  

•  The  orthogonal  axes  p  and  q  are  principal  direcAons  of  strain  if  and  only  if  the  shear  strain  is  γpq=  0  

•  If  follows  that  principal  direcAons  of  stress  are  also  principal  direcAon  of  strain  –  Therefore,  the  extreme  values  of  the  normal  stress  happen  along  the  same  direcAons  as  the  extreme  values  of  the  normal  strain    

Strain-­‐Gauge  RoseUes  (1/3)  •  One  and  only  circle  passes  

through  any  three  non-­‐aligned  points  drawn  in  the  plane  

•  It  follows  that:  one  and  only  one  Mohr’s  circle  of  strain  can  be  drawn  knowing  the  normal  strain  along  three  given  direc8ons  

•  RoseUes  made  of  three  strain  gauges  exploit  this  property  

•  45°  (‘Corner’)  Rose6e  

21  

!x

z

ε0

!ε90

ε45

!45°!45°

ε x = ε0 ; ε z = ε90γ xz = ε0 + ε90 − 2ε45

⎧⎨⎩

Strain-­‐Gauge  RoseUes  (2/3)  •  60°  (‘Delta’)  Rose6e  

22  

ε x =23

ε30 −ε902

+ ε150⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ε z = ε90

γ xz =23

ε150 − ε30( )

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

!ε30

!ε90

!ε150

30°60° 60°

!x

z

•  Both  corner  and  delta  roseUes  are  largely  used  when  tested  structural  elements  under  complex  stress  condiAons  

Strain-­‐Gauge  RoseUes  (2/3)  Experimental  validaDon  of  strut-­‐and-­‐De  model  for  precast  RC  lintels      •  Strain  was  

experimentally  measured  using  a  corner  roseRe  

23  

Corner  rose(e  

G.  Robinson,  A.  Palmeri  and  S.  AusAn,  8th  RILEM  InternaAonal  Symposium  on  Fibre  Reinforced  Concrete,  BEFIB  2012,  Guimarães,  Portugal,  2012  

Key  Learning  Points  1.  Knowing  two  of  the  three  elasAc  constant  for  elasAc  isotropic  

solids  (E,  ν  and  G),  normal  strains  ε  and  shear  strains  γ  can  be  computed  for  any  plane  stress  state  (σx,  σz,  τxz)  

2.  Similarly  to  the  stresses,  normal  strains  and  shear  strain  on  a  given  material  element  change  their  values  depending  on  their  direcAons  

3.  The  Mohr’s  circle  of  strain  allows  evaluaAng  –  The  extreme  values  of  the  normal  stress  εp  and  εq  –  The  extreme  value  of  the  shear  stress  γmax  

–  The  inclinaAon  where  such  values  are  seen  –  The  stresses  εm  and  γmn  for  an  arbitrary  inclinaAon  

  24