COMPUTERS AND INTRACTABILITY A Guide to the Theory of NP-Completeness

1

COMPUTERS AND INTRACTABILITYA Guide to the Theory of NP-Completeness

Michael R. Garey / David S. Johnson

(c) 1979 Bell Telephone Laboratories, Incorporated

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CONTENTS

Preface1. Computers, Complexity, and Intractability2. The Theory of NP-Completeness3. Proving NP-Completeness Results4. Using NP-Completeness to Analyze Problems5. NP-Hardness6. Coping with NP-Complete Problems7. Beyond NP-CompletenessAppendix: A List of NP-Completeness Problems

3

CHAPTER 1

Computers, Complexity, and Intractability

4

CONTENTS (Chapter 1)

1. Introduction

2. Problems, Algorithms, and Complexity

3. Polynomial Time Algorithms and Intractable Problems

4. Provably Intractable Problems

5. NP-Complete Problems

6. An Outline of the Book

5

目次 (Chapter 1)

1. イントロダクション2. 問題，アルゴリズム，複雑さ3. 多項式時間アルゴリズムと

‘‘ intractable’’ な問題4. 証明可能な ‘‘ intractable’’ な問題5. ＮＰ完全問題6. この本の概略

6

イントロダクション• この本の主題は、次のような多少風変わ

りな例を通した紹介が良いかもしれない

7

• あなたは雇われの身のアルゴリズムデザイナー

• 会社のために良いアルゴリズムを見つけるのが仕事

• ある日、あなたは上司に呼び出されます・・・

8

上司の部屋で・・・

新しい市場に乗り出そうと思うんだがね

上司

は、はあ・・・

あなた

9


バンダースナッチを作ろうと思うんだ

上司

バンダースナッチ？

あなた

10

バンダースナッチの作り方

構成要素１

構成要素２

構成要素３

・・・

・・・

・・・

・・・

11

バンダースナッチの作り方構成要素１・・・

・・・構成要素２

・・・構成要素３

・・・

・・・構成要素 N

・・・

要求：コスト重量かっこよさetc.

12

バンダースナッチ問題• 要求を満たしているかどうか

を調べる方法は？• 要求を満たすような構成要素

の組を見つける方法は？

アルゴリズムを探せ！

13


ということなんだがね

上司

は、はあ・・・

あなた

14


やってくれるかね

上司

わかりましたお任せください

あなた

15

こうしてあなたはバンダースナッチ問題を解くべく必死に仕事に取り組みました

数週間後・・・

16


どうだね、できたかね

上司

一応できたことはできたんですが・・・

あなた

17


どれどれ・・・・・・・・・

上司

ゴクリ

あなた

18


なんだね　これは！これじゃあ一つ設計するのに

一年もかかってしまう！

上司

すみません、もうすこし時間をください

あなた

19

実はあなたは考えうるすべての設計を調べるという以外

に実質的に優れたアルゴリズムを提案できなかったのです

20

あなたはこれからどうすればよいのでしょうか？

この数週間で、あなたのやる気はほとんど失われてしまいました。このまま続けてもおそらく同じでしょう。

21

しかし、あなたは上司の部屋に行って、「私は頭が悪いので、能率的なアルゴリズムを見つけられませんでした」

とは報告したくない。これでは、たとえクビになったとしても文句は言えないでしょう。

22

もし、バンダースナッチ問題のInherent Intractability（それを高速に解くことのできる

アルゴリズムが無いこと）を証明することができれば、会社でのあなたの地位に対する深刻な被害を避けることができる

23

Inherent Intractability

• inherent 　【形】　 / inhi@[ ｫ ]r[ ｫ ]nt /

– ＜性質・属性・権利などが＞本来備わっている，生れつき存在する；　固有の，持ち前の

• intractable 　【形】　 / i$ntrQ@kt ｫ bl /

– ［けなして］　手に負えない，扱いにくい，強情な，

– 処理［加工，治療］しにくい– intractability 【名】

ジーニアス英和辞典より

24

• これが証明できれば、上司の部屋に行き、「私が能率的なアルゴリズムを発見できないのは、そのようなアルゴリズムが存在しないからだ！」と宣言できる。


25


• しかしながら、問題のInherent Intractability

（能率的なアルゴリズムが無いこと）を証明するのは能率的なアルゴリズムを見つけるのと同じくらい難しい

⇒ 　ＮＰ完全性の理論

26

Inherent Intractability とＮＰ完全性

• Inherent Intractability– 問題に対する能率的なアルゴリズムが「絶対に無

い」こと• ＮＰ完全性

– 問題に対する能率的なアルゴリズムが「おそらく無い」であろうということ。

– なぜなら、ＮＰ完全性を持つ問題は、これまでに様々な専門家たちによって考えられてきたが、未だに誰一人能率的なアルゴリズムを発見できていないからである。

27

ＮＰ完全性の理論• もし、バンダースナッチ問題が、ＮＰ完

全問題と「ちょうど同じ難しさ」であることがわかったらどうでしょうか？

• ＮＰ完全問題は、多くの有名な専門家たちが、能率的なアルゴリズムを見つけることができなかった問題です。

• このとき、あなたは上司の部屋へ行き、

28

ＮＰ完全性の理論「私は能率的なアルゴリズムを発見できなかった。しかし、これらの有名な専門家たちにも発見できていない！」　と公表できる。

29

ＮＰ完全性の理論• このことは、少なくとも、あなたをクビにして、

他のアルゴリズムの専門家を雇うことは意味が無いことを上司に知らせるでしょう。

• そして、あなたはバンダースナッチ問題に対する能率的なアルゴリズムを探す責務から解放されるでしょう。

• しかし、すべてが解決したわけではありません。• バンダースナッチ問題は、実際に解かなければ

ならない問題なのです。

30

ＮＰ完全性の理論• バンダースナッチ問題がＮＰ完全性を持つという結果は、あなたに様々な情報を与えます。

• あなたがこれから何をすれば良いかの指針となります。

• 例えば：– 能率的ではないが、なるべく速く動くアルゴリズムを

探す– 最も良い解を出す保証は無いが、なるべく良い解を出

す能率的なアルゴリズムを探す– インスタンスが特別な場合にのみ有効な能率的なアル

ゴリズムを探す

31

イントロダクション（まとめ）• 「ＮＰ完全性」が指し示すことは、

「アルゴリズムを探すことを諦めよ」ということではありません。

• 「ＮＰ完全性の理論」の最も重要な適用は、「アルゴリズムデザイナーの努力を、有用なアルゴリズムを導くための見込みのあるアプローチへ向けること」

である。

32

目次 (Chapter 1)



33

問題，アルゴリズム，複雑さ• これからの議論を正確にするため、基本

的な言葉の意味を取り決めておく必要がある：– 問題 (Problems)– アルゴリズム (Algorithms)– 複雑さ (Complexity)

34


的な言葉の意味を取り決めておく必要がある：– 問題 (Problems)

• パラメータ (Parameter)• インスタンス (Instance)• 例：巡回セールスマン問題

– アルゴリズム (Algorithms)– 複雑さ (Complexity)

35

問題 (Problems)

• 答えることが可能な一般的な質問• いくつかのパラメータ・変数を持ち、その値は特定されない

• 問題は：– すべてのパラメータの一般的な記述– 解がどんな特性を満たすことを要求している

かの陳述を与えることで記述される。

• 問題のインスタンスはすべてのパラメータに対して特定の値を決めることによって得られる。

36

例：巡回セールスマン問題(Traveling Salesman Problem)

• パラメータ：– 「都市」の有限集合 C={c1,c2,…,cm}

–都市の各組 ci,cj∈C の間の「距離」 d(ci,cj)

• 解：–都市の列〈 cπ(1),cπ(2),…,cπ(m) 〉のうち、

(∑1≦i≦m-1 d(cπ(i),cπ(i+1)))+d(cπ(m),cπ(1))

が最小となるもの

37

例：巡回セールスマン問題(Traveling Salesman Problem)

• 次のグラフは巡回セールスマン問題の一つのインスタンスである：– C={c1,c2,c3,c4 }

– d(c1,c2)=10,

…,d(c3,c4 )=3

• 解：〈 c1,c2,c4 ,c3 〉• 順回路の長さ：

10+9+3+5 = 27

c1

c3

6

10

59

3

c2

c4

9

38

問題，アルゴリズム，複雑さ• これからの議論を正確にするため、基本的

な言葉の意味を取り決めておく必要がある：– 問題 (Problems)– アルゴリズム (Algorithms)

• アルゴリズムの能率 (Efficiency)• 所要時間 (Time Requirement)• インスタンスサイズと入力長• Encoding Scheme

– 複雑さ (Complexity)

39

アルゴリズム (Algorithms)

• 問題を解くための手続き• 具体的には、コンピュータプログラム• アルゴリズムが問題を解くとは：

– 問題のどんなインスタンスにも適用できる。– そのインスタンスに対して常に解を生成する

ことが保証されている。– 例えば、巡回セールスマン問題に対しては、常に最小な長さを与える列を構成することが必要。

40

アルゴリズムの能率 (Efficiency)

• 広い意味では、アルゴリズムを実行するために必要なすべての計算資源に関係する– ハードウェア量，時間

• ここでは、「時間」だけを考える• アルゴリズムの所要時間 (Time Requirement) ：

– 解を求めるまでにどのくらいの時間が必要か。– インスタンスの「サイズ」によって決まる。– サイズ：　例えば、巡回セールスマン問題では、一般的

には都市の数のこと。– インスタンスサイズが大きいほど、所要時間も大きくな

る。

41

アルゴリズムの所要時間 (Time Requirement)

• 所要時間 ← インスタンスサイズ• インスタンスサイズ

– 数学的に正確に論じるには、都市の数だけでは不十分– 都市間の距離も入力情報の一部である

• 問題のインスタンス：– 有限個のアルファベットから選ばれた記号の有限文字列とみなす

– この文字列の長さを「入力長 (input length) 」という– 「入力長」をインスタンスサイズとして使う

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インスタンスサイズと入力長

Encoding Schemeアルファベット

{c,[,],/,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

インスタンスの集合

有限文字列

グラフ

c[1]c[2]c[3]c[4]//10/5/9//6/9//3

c1

c3

6

10

59

3

c2

c4

9

Encoding Scheme

入力長 = 32

43

Encoding Scheme

• encode 　【動】　 / enko@ud /– ＜通信文・データなどを＞符号化［コード化］

する；符号化して発信する (⇔decode)

• scheme 　【名】　 / ski@ /– 計画，案；（政府）公共計画，（会社の）事業

計画–陰謀，たくらみ–大綱；図式；計画表– 組織，機構（哲学）体系；配列；配色

ジーニアス英和辞典より

44

アルゴリズムの能率 (Efficiency)

• アルゴリズムの能率の良し悪し：–所要時間（問題を解くのに必要な時間）の大小– インスタンスのサイズが大きいほど必然的に多

くの時間が必要• インスタンスのサイズ：

–入力長– encoding scheme に依存

• 入力長と所要時間の関係は？ ⇒ Time Complexity Function

45


的な言葉の意味を取り決めておく必要がある：– 問題 (Problems)– アルゴリズム (Algorithms)– 複雑さ (Complexity)

• Time Complexity Function 　（時間複雑さ関数）

46

複雑さ (Complexity)

• Time Complexity Function–与えられた入力長に対して、その入力長をサ

イズとして持つインスタンスに対する解を求めるのに必要な時間の最大値を返す関数

入力長（整数）

インスタンス

インスタンス

インスタンス

インスタンス

インスタンス

インスタンス

32

26

512

42分

54分

16分

F(32) = 54 分

47

Time Complexity Function

• Time Complexity Function を正確に定義するためには、次のものを固定する必要がある：– Encoding Scheme

• インスタンスから入力長を算出する– コンピュータモデル（コンピュータ）

• アルゴリズムが解を求めるのに必要な時間を算出する

48

問題，アルゴリズム，複雑さ（まとめ）

• 問題 (Problems)– 例：　巡回セールスマン問題

• アルゴリズム (Algorithms)– アルゴリズムの能率：　所要時間– インスタンスのサイズ：　入力長

• 複雑さ (Complexity)– Time Complexity Function ：

入力長に対する所要時間を表現

49

目次 (Chapter 1)



50

多項式時間アルゴリズムと“ intractable” な問題

• アルゴリズムの能率の境界線• ‘‘intractable’’ な問題

51


• アルゴリズムの能率の境界線：– 多項式時間アルゴリズム vs. 指数関数時間ア

ルゴリズム–オーダー記法– 多項式の成長 vs. 指数関数の成長– コンピュータの性能向上の効果

• ‘‘intractable’’ な問題

52

アルゴリズムの能率の境界線• アルゴリズムの能率は Time complexity function

で決まる。• アルゴリズムが

「十分能率的である」か「まったく非能率的である」かの区別をどこでつけるのか ?

多項式時間アルゴリズムvs.

指数関数時間アルゴリズム

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オーダー記法 (Big-Oh Notation)

• 任意の関数 f(n), g(n) に対して、 f(n) = O(g(n)) であるとは、ある定数 c, n0 が存在して、任意の n ≧n0 に対して、

|f(n)| ≦ c ・ |g(n)|が成り立つときをいう。

54

多項式時間アルゴリズム(Polynomial Time Algorithms)

• アルゴリズムが多項式時間アルゴリズムであるとは、その Time complexity function F(n) に対して、ある多項式関数 p(n) が存在して、

F(n) = O(p(n))が成り立つときをいう。

• 多項式関数とは、

p(n) = ∑0≦i≦N ai ni （ N は自然数）で表される関数である（ただし、 ai は実数）。

55

指数関数時間アルゴリズム(Exponential Time Algorithms)

• アルゴリズムが多項式時間アルゴリズムでないとき、指数関数時間アルゴリズムであるという。

• すなわち、アルゴリズムの Time complexity function F(n) が、すべての多項式関数 p(n) に対して、

F(n) = O(p(n))とならないときをいう。

56

多項式時間アルゴリズムと指数関数時間アルゴリズム

• 多項式時間アルゴリズム：– Time complexity function が多項式で抑えられる

• 指数関数時間アルゴリズム：– Time complexity function が多項式で抑えられない

多項式時間アルゴリズム

指数関数時間アルゴリズム

アルゴリズム

57

多項式時間アルゴリズム vs. 指数関数時間アルゴリズム

• 「多項式時間アルゴリズムと指数関数時間アルゴリズム」という区別にはどういう意味があるのか？

• 代表的な多項式関数 n, n2, n3, n5

と指数関数 2n, 3n

を Time complexity function として持つアルゴリズムに対して、インスタンスサイズを大きくしていったときの所要時間の成長を比較する。

58

Time comp

. func.

インスタンスサイズ10 20 30 40 50 60

n1 .00001秒

.00002秒

.00003　秒

.00004　秒

.00005 　秒

.00006 　秒

n2 .0001 秒

.0004 秒

.0009 秒 .0016 秒 .0025 秒 .0036 秒

n3 .001 秒 .008 秒 .027 秒 .064 秒 .125 秒 .216 秒

n5 .1 秒 3.2 秒 24.3 秒 1.7 分 5.2 分 13.0 分

2n .001 秒 1.0 秒 17.9 分 12.7 日 35.7 年 366 世紀

3n .059 秒 58 分 6.5 年 3855 世紀

2×108 世紀

1.3×1013

世紀

多項式の成長 vs. 指数関数の成長

59

多項式の成長 vs. 指数関数の成長

• 多項式の成長に比べ、指数関数の成長は著しく速い。

• 指数関数時間アルゴリズムでは、サイズの大きなインスタンスに対しては、現実的な時間で解くことができない。

• 指数関数時間アルゴリズム＝　「非能率的なアルゴリズ

ム」

60

コンピュータの性能向上の効果• コンピュータの性能が上がれば、指数関数時間

アルゴリズムでも、サイズの大きなインスタンスを現実的な時間で解くことができるようになるのではないか？

• それぞれの Time complexity function を持つアルゴリズムによって、１時間で解ける最大のインスタンスサイズを比較– 現在の計算機– 現在の計算機より 100倍速い計算機– 現在の計算機より 1000倍速い計算機

61

１時間で解くことのできる最大のインスタンスサイズ

Time comp. func.

現在の計算機

100倍速い計算機

1000倍速い計算機

n1 N1 100 N1 1000 N1

n2 N2 10 N2 31.6 N2

n3 N3 4.64 N3 10 N3

n5 N4 2.5 N4 3.98 N4

2n N5 N5 + 6.64 N5 + 9.97

3n N6 N6 + 4.19 N6 + 6.29

62

アルゴリズムの能率• 能率的なアルゴリズム：

多項式時間アルゴリズム• 非能率的なアルゴリズム：

指数関数時間アルゴリズム• ただし、あるインスタンスサイズまでは、指数関数時間アルゴリズムのほうが、多項式時間アルゴリズムよりも速いという場合もある。

63

いくつかの注意点• Time complexity function が n100 や 1099n2 の

ようなとき、そのアルゴリズムは能率的といえるのか？

• 実際に現れた問題を多項式時間で解くことができるとき、その多項式は：– 次数は 2 か 3– 極端に大きな係数を持たない

という傾向にある。

64

いくつかの注意点• 実際には有用な指数関数時間アルゴリズムも存

在する：– 線形計画法の Simplex Algorithm– ナップザック問題の Branch-and-Bound Algorithm

• これらのアルゴリズムは、「ワーストケース」のときにのみ、計算に指数関数時間必要である。（ Time complexity function は、最大の所要時間で定義された。）

• このような状況が起こるのは稀である。

65


• アルゴリズムの能率の境界線• ‘‘intractable’’ な問題

– Encoding Scheme と計算機モデルの影響– “reasonable” な Encoding Scheme– “reasonable” な計算機モデル

66

“intractable” な問題

• 問題が“ intractable” であるとは、その問題を解く多項式時間アルゴリズムが存在しないときをいう。

• 多項式時間アルゴリズム：– Time complexity function を多項式で抑えることができ

るアルゴリズム• Time complexity function は、

– Encoding Scheme– 計算機モデル

に依存する。

67

Encoding Scheme と計算機モデルの影響

• 問題が“ intractable” であるかどうかは、 Encoding Scheme と計算機モデルに依存するか？

• Encoding Scheme と計算機モデルを、それぞれ– “reasonable” な Encoding Scheme– “reasonable” な計算機モデル

に制限すれば、問題が“ intractable” であるかどうかに影響しない。

68

“reasonable” な Encoding Scheme

• 例として、インスタンスがグラフ：G = (V,E)

のときを考える。• 例：右図のグラフの場合

V = {V1, V2, V3, V4}

E = {(V1,V2), (V2,V3)}

V1

V2

V3

V4

69


• グラフの Encoding Scheme としては– 頂点リストと辺リスト– 隣接リスト– 隣接行列の行のリスト

が一般的に使われる。

Encoding Scheme 文字列長さ頂点リストと辺リスト

V[1]V[2]V[3]V[4] (V[1]V[2])(V[2]V[3])

36

隣接リスト (V[2])(V[1]V[3])(V[2])() 24隣接行列の行リスト 0100/1010/0010/0000 19

V1

V2

V3

V4

70


• グラフ G=(V,E) に対する、これらの Encoding Scheme による入力長の上限と下限を示す。（ただし、 v=|V|, e=|E| であり、 e ＜ v2 ）

• これらの Encoding Scheme による入力長は、高々多項式的に違うだけである。

Encoding Scheme 下限上限頂点リストと辺リスト

4v+10e 4v+10e+(v+2e) ・ceil(log10v)

隣接リスト 2v+8e 2v+8e+2e ・ceil(log10v)

隣接行列の行リスト

v2+v-1 v2+v-1

71


• “reasonable” の意味するもの：– 各インスタンスの encoding は簡潔であり、

必要のない情報は詰め込まれていない。– 各インスタンスに含まれる数字は二進（また

は十進，八進など、１以外の固定進）で提示されている。

• これらの条件を満たす Encoding Scheme に制限すれば、与えられた問題が“ intractable” かどうかの決定には影響しないだろう。

72

“reasonable” な計算機モデル• 計算機モデルに対しても、同様なことが言える。• マシンＢにおいて Time Complexity T(n) を持つアル

ゴリズムの、マシンＡでの Time Complexity を示す。

Simulated machine B

Simulating machine A

1TM kTM RAM

1-Tape Turing Machine (1TM)

－ O(T(n)) O(T(n)logT(n))

k-Tape Turing Machine (kTM)

O(T2(n)) － O(T(n)logT(n))

Random Access Machine (RAM)

O(T3(n)) O(T2(n)) －

73

“reasonable” な計算機モデル• これらの計算機モデル上では、アルゴリズムの

複雑度は、多項式的かどうかの観点から見れば同じである。

• ここでの“ reasonable” の意味するものは、「単一時間内にこなせる仕事の総量に、多項式の限界があること」である。

• 例えば、勝手に並列処理を行う能力を持つような計算機モデルは“ reasonable” ではない。

74

Encoding Scheme と計算機モデルの影響

• “reasonable” な Encoding Scheme ：– なるべく短い長さの文字列を出力する。– 出力する文字列の長さは、多項式的以上には異ならない。

• “reasonable” な計算機モデル：– 現実のコンピュータに近い。– 多項式的かどうかの観点から見れば、アルゴリズムの複

雑さは異ならない。• Encoding Scheme と計算機モデルに対して、こ

のような制限をおけば、問題が“ intractable” であるかどうかに影響しない。

75

多項式時間アルゴリズムと“ intractable” な問題（まと

め）• アルゴリズムの能率：

– 多項式時間アルゴリズム＝能率的– 指数関数時間アルゴリズム＝非能率的

• “intractable” な問題– 問題を解く多項式時間アルゴリズムが無いこと。– Encoding Scheme 及び計算機モデルについて

は、“ reasonable” なものに制限することで、問題が“ intractable” かどうかへの影響を取り除くことができる。

76

目次 (Chapter 1)



77

証明可能な“ intractable” な問題

• ‘‘intractable’’ な問題の存在– “undecidable” な問題– “nondeterministically” な問題

78

“intractable” な問題の存在• “intractable” な問題（多項式時間アルゴリズ

ムでは解けない問題）は実際に存在するか？• 問題が“ intractable” となる要因：

– 問題が難しすぎて、解を求めるのに指数関数時間必要である。

– 解自身が大きすぎて、入力長の多項式関数で抑えられた長さの表現では記述できない。

79

“intractable” な問題の存在• 解が大きすぎる問題：

例：　巡回セールスマン問題の変形• インスタンスに追加パラメータ B を持たせる。• 「長さが B 以下のすべての巡回路を求めよ」• この問題に対して、指数的に多くの巡回路が B 以下の長さを持つように、インスタンスを構成可能。

• すなわち、解を全て書き出すことのできる多項式時間アルゴリズムは存在しない。⇒“ intractable”

しかし、このような問題は非現実的である。• 我々が関心を向けるのは、一つめの要因に絞られる。

80

“undecidable” な問題

• “undecidable” な問題：– その問題を解くアルゴリズムが存在しない問

題• 1936 年，アラン・チューリング

– 「任意のコンピュータプログラムと、そのプログラムへの任意の入力が与えられたとき、そのプログラムが有限時間内で停止するか否かを判定せよ」

– この問題を解くことのできるアルゴリズムは存在しないことを示した。

81


• 現在、様々な“ undecidable” な問題が知られている：– 有限表現群に関する自明な問題 [Rabin,1958]– ヒルベルトの第十問題（整数上の多項式の解決可能

性） [Matijasevic,1970]– “Tiling the plane” の問題 [Berger,1966]

• これらの問題は、どんなアルゴリズムでも（ましてや多項式時間アルゴリズムなんかでは到底！）解けないので、強い意味で“ intractable”である。

82

“nondeterministically” な問題

• “decidable” な（すなわち、“ undecidable” でない）問題の中に、“ intractable” な問題を最初に見つけたのは、Hartmains と Stearns [1965] であった。

• しかし、彼らの結果は、非常に特別な性質を持つ、「人工的な」問題に限られていた。

• これに対して、「自然な」“ decidable” 問題のうちで“ intractable” な問題は、 Meyer と Stockmeyer [1972] ， Fischer と Rabin [1974] によって与えられた。

• これらの問題は、現在“ nondeterministically” な問題として類別されている。

83


• “nondeterministically” な問題：– “nondeterministic” コンピュータモデルでは、多項

式時間では解けない問題

• “nondeterministic” コンピュータモデル：– 無限個の独立な計算を、並列に追跡する能力を持つ

計算機モデル

• 注： “ nondeterministic” コンピュータモデルは、“ reasonable” な計算機モデルではないが、ＮＰ完全性の理論において重要な役割を担っている。（ Chapter 2 で詳しく説明）

84

証明可能な“ intractable” な問題（まとめ）

• 現在知られている“ intractable” な問題は、– “undecidable” な問題– “nondeterministically” な問題

のどちらかである。• もし、このどちらかであることを示すことがで

きれば、問題が“ intractable” であることを証明できる。

• しかしながら、実際に遭遇する、一見“ intractable” に見える問題の多くは、上のどちらにも属さない。

85

目次 (Chapter 1)



86

ＮＰ完全問題• 問題の間の相関関係• ＮＰ完全性の理論（ Cook の論文）

87

ＮＰ完全問題• 問題の間の相関関係

–帰着 (reducing)

• ＮＰ完全性の理論（ Cook の論文）

88

問題の間の相関関係• 問題と問題の間にある関係は、アルゴリズムデザ

イナーに有用な情報を提供する。• 二つの問題の間に関係があることを示すときに、

「帰着」という概念がよく使われる。• 問題 A を問題 B へ帰着 (reducing) するとは：

– A の任意のインスタンスから等価な B のインスタンスへの構成的な変換（写像）を与えること。

– このような変換は、 B を解くアルゴリズムを A を解くアルゴリズムに変換する方法を与える。

89

解解

帰着 (reducing)


問題 A

アルゴリズム

問題 B


アルゴリズム

解

？

90

帰着 (reducing)

問題 A 問題 B

問題２問題１

問題３

問題４問題５

これらの問題のうち、１つでも解ければ、他のすべての問題も解ける。

⇒ 同じ難しさの問題

問題 B が解ければ、問題 A も解ける。

91

ＮＰ完全問題• 問題の間の相関関係• ＮＰ完全性の理論（ Cook の論文）

– 多項式時間帰着可能性– クラスＮＰ–充足可能性問題– ＮＰ完全問題

92

ＮＰ完全性の理論• ＮＰ完全性の理論の基盤は、 1971 年に提出さ

れた Stephen Cook の論文：“The Complexity of Theorem Proving Procedures”

に用意されていた。• Cook は、まず多項式時間帰着可能性に注目し

た。• 多項式時間帰着可能：

–帰着に要求される変換が、多項式時間アルゴリズムによって実行できること

93

解

多項式時間帰着可能性(Polynomial Time Reducibility)


問題 A 問題 B


アルゴリズム

解


変換


変換

94


• 問題 A が問題 B へ多項式時間帰着可能であり、問題 B に対する多項式時間アルゴリズムが存在するとき、問題 A を解く多項式時間アルゴリズムの存在がいえる。

95

解



問題 A 問題 B



解



96

クラスＮＰ (Class NP)

• 次に Cook が注目したのは、クラスＮＰであった。

• クラスＮＰ：– “nondeterministic” コンピュータ上で、多項

式時間で解くことのできる判定問題のクラス–判定問題：　解が“ yes” か“ no” である問題

• 実際に遭遇する“ intractable” に見える問題は、判定問題に言い換えたとき、このクラスに属する。

97

クラスＮＰ

判定問題



クラスＮＰ (Class NP)

“intractable”

98

充足可能性問題(Satisfiability Problem)

• 充足可能性問題は、クラスＮＰに属する問題の一つである。

• Cook は、次のことを証明した：– クラスＮＰに属するすべての問題は、充足可

能性問題に多項式時間帰着可能である。– すなわち、充足可能性問題を解く多項式時間

アルゴリズムが存在するならば、ＮＰに属するすべての問題には、多項式時間アルゴリズムが存在する。

99

充足可能性問題(Satisfiability Problem)

• このことは、充足可能性問題が、ＮＰの中で、ある意味「最も難しい」問題であることを意味している。

充足可能性問題

問題問題問題

問題

クラスＮＰ

100

ＮＰ完全問題(NP-Complete Problems)

• 最後に、 Cook は充足可能性問題の他にも、「最も難しい」という性質を持つ問題がＮＰの中にあることを予想した。

• この予想は事実であり、 1972 年、 Rechard Karp は、巡回セールスマン問題を含む、多くの組み合わせ問題の判定問題版が、充足可能性問題と「同じ難しさ」であることを証明した。

• その後も、多くの問題がこれらの問題と「同じ難しさ」であることが証明され、このような問題で構成されるクラスは「ＮＰ完全問題のクラス」と名付けられた。

101


充足可能性問題

問題問題問題

問題

クラスＮＰ

問題問題

問題

問題

ＮＰ完全問題のクラス

102

判定問題

クラスＮＰ


“nondeterministically” な問題“intractable”


ＮＰ完全問題のクラス

103


• 一つの単純な疑問：ＮＰ完全問題は“ intractable” か？

• この問題は未解決である。• 多くの研究者はＮＰ完全問題

が“ intractable” であるという予想に同意している。

• 問題がＮＰ完全であることは、少なくとも、それを解く多項式時間アルゴリズムを見つけるためには、重大な大発見が必要であることを示唆している。

104

ＮＰ完全問題（まとめ）• 問題の間の相関関係

–帰着• ＮＰ完全性の理論（ Cook の論文）

– 多項式時間帰着可能性– クラスＮＰ–充足可能性問題– ＮＰ完全問題

105

目次 (Chapter 1)



106

この本の概略• この本は、問題がＮＰ完全であるかどうかを決定する方法における入門書である。

• さらに、ＮＰ完全であることが知られた問題を扱う際に利用できる、いくつかの方法についても議論する。

107

この本の概略Chapter 2: The Theory of NP-Completeness

ＮＰ完全性の正式な定義 Cook の定理の証明

Chapter 3: Proving NP-Completeness Results 問題がＮＰ完全であることの証明法（既知のＮＰ完全問題からの多項式帰着）

Chapter 4: Using NP-Completeness to Analyze Problems

ＮＰ完全性を用いた問題の複雑さの解析Chapter 5: NP-Hardness

判定問題から一般の問題への拡張

108

この本の概略Chapter 6: Coping with NP-Complete Problems

近似アルゴリズムに関する話題Chapter 7: Beyond NP-Completeness

計算の複雑さに関する話題Appendix: A List of NP-Completeness Problems

ＮＰ完全であることが知られている問題のリスト Open Problem

Date post:	12-Jan-2016
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COMPUTERS AND INTRACTABILITY A Guide to the Theory of NP-Completeness

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