Comunicaciones Digitales Codificación de...

Turbo Códigos

Comunicaciones Digitales Codificación de Canal

Curso 2009/10 Codificación de Canal 2

Bibliografía Turbo códigos !! S. B. Wicker. Error Control Systems. Prentice Hall 1995 !! L. Hanzo, T.H. Liew y B.L. Yeap. Turbo Coding, Turbo

Equalization and Space-Time Coding. Wiley 2002 !! C. Berrou y A. Glavieux. 'Near optimum error correcting

coding and decoding: Turbo codes'. IEEE Transactions on Communications, vol. 44, pp. 1261-1271, 1996


Problema

!! Límite Shannon: k!!, n!! !! Códigos bloques: aumentar n y k (n/k fijo)

!! Aumenta la distancia !! Decodificadores no prácticos (2k palabras código)

!! Códigos convolucionales: aumentar memoria !!Mejora su distancia libre !! Decodificador óptimo no es práctico.


Problema

Codificador lineal n,k

Resolución Óptima: inabordable


Alternativa

Cod conv.

Entrelazador Cod conv.

Solución Óptima abordable


Turbo códigos

!! Descubiertos en 1993. !! Concatenación de dos códigos

convolucionales sistemáticamente recursivos.

!! Empleando un entrelazador (interleaver). !! Decodificación

!!Óptima pero muy costosa !! Subóptima, pero abordable (iterativa).


Turbo códigos paralelo

Entrelazador Código

Convolucional 2

Código Convolucional 2

k n1

n2

n1+n2


Turbo códigos Serie

Entrelazador Código

Convolucional 2

Código Convolucional 2

k n1

n2

n2


Idea de la codificación Turbo

!! Codificador complicado !! Concatenación de codificadores simples

!! Entrelazado: errores de un codificador en distintas palabras código del otro !! Codificador externo (n1,k1) !! Codificador interno (n2,k2) !! Entrelazador k2 x n1


Idea de la codificación Turbo

!! Códigos Bloque (para ejemplo) serie


!! Detección errores: iterar el proceso !! Problema: realimentación de errores !! Solución: decodificación blanda

Idea de la decodificación Turbo !!o : errores recibidos !!x : errores introducidos !! por decodificador interno !!+: errores introducidod !! por decodificador externo


Turbo códigos

!! Generalmente emplean codificadores convolucionales sistemáticos y recursivos

!! Entrelazador: básico en el diseño !! Determina la ganancia de codificación !! Entrelazadores seudoaleatorios

!! Decodificación: Soft-In, Soft-Out (SISO) !! Información intrínseca: datos recibidos !! Información extrínseca: entre decodificadores


Decodificación !! Decodificación blanda empleando el

algoritmo BCJR (tipo MAP) para el primer codificador.

!! Información se pasa por el interleaver. !! Decodificación blanda empleando el

algoritmo BCJR (tipo MAP) para el segundo codificador.

!! Vuelta al primer decodificador.


Algoritmo BCJR (MAP) !! Decodificadores

!! Aceptan entradas blandas !! Proporcionan salidas blandas

!! Entradas del decodificador !! Información intrínseca

!!Bits sistemáticos !!Bits redundancia (de cada decodificador)

!! Información extrínseca !!Cociente de verosimilitud (Likelihood ratio)


Algoritmo MAP: definiciones

!! Secuencia de información: M=2m símbolos !! Se transmiten N símbolos uk {0,1, M-1}

!! Codificador uk ! xk !! Canal: AWGN

!! xk ! yk = xk + nk

!! Decodificador !! yk !


Algoritmo MAP: planteamiento

!! Evalúa las probabilidades a posteriori !! Ak,m=P(uk=m|y) !! Decisión: Símbolo con máximo Ak,m

!! Algoritmo MAP: calcula Ak,m

!! Bayes !! P(a,b)=P(a|b)P(b) !! P(a,b|c)=P(a|b,c)P(b|c)


Algoritmo MAP !! Diagrama de Trellis para símbolos

0

S-2

S-1

0

S-2

S-1

!!u1 !!x1 !!u1=0

!!u1=1 !!u1=M-1

0

S-2

S-1

0

S-2

S-1

!!uk !!xk !!uk=0

!!uk=1 !!uk=M-1

0

S-2

S-1

0

S-2

S-1

!!uN !!xN !!uN=0

!!uN=1 !!uN=M-1

!!yk !!y+ !!y- !!gk !!bk !!ak-1


Algoritmo MAP: Probabilidades

!! Probabilidades a posteriori


Algoritmo MAP


Algoritmo MAP !! Calcular g(z,s)=N(xk,!2)P(uk=m) !! Calcular ak-1(z) (estado inicial j)

!! Calcular bk(s)

!! Calcular


Log Likelihood Ratio (LLR) !! Logaritmo del cociente de verosimilitud

!! Signo: decisión !!Magnitud: probabilidad de acierto


Algoritmo BCJR !! Estima probabilidades condicionales

!! Decisión: máximo a posteriori (MAP)

!! Estados del codificador convolucional


Algoritmo BCJR

!! Términos de los sumatorios del cociente !! Expresiones MAP


Resumen BCJR !! Entradas al decodificador

!! Salidas del canal yk !! Información a priori L(uk)

!! Algoritmo !! Calcular gk(z,s) ! bk(s) y ak-1(z) !! Calcular L(uk)


Turbo Decodificador

DEC 1

interleaver DEC 2


Turbo Decodificador

DEC 1

interleaver DEC 2


Turbo Decodificador

DEC 1

interleaver DEC 2

MAP BCJR


Turbo Decodificador

DEC 1

interleaver DEC 2

MAP BCJR


Turbo Decodificador

MAP BCJR MAP BCJR

DEC 1

interleaver DEC 2


Turbo Decodificador

MAP BCJR MAP BCJR

DEC 1

interleaver DEC 2

Deinter- leaver


Turbo Decodificador

MAP BCJR MAP BCJR

DEC 1

interleaver DEC 2

Deinter- leaver


Turbo Decodificador

MAP BCJR MAP BCJR

DEC 1

interleaver DEC 2

Deinter- leaver

Deinter- leaver


Prestaciones

!! A 0.7 dB del límite de Shannon!!!


Prestaciones: comentarios

!! Entrelazador 64Kbit !! Voz: retardo de 8 segundos !! Voz: 40 ms ! Latencia 320 (2 dB)

!! Error floor

!! Decrece con longitud del entrelazado


Extensiones

!! Turbo product codes !! Concatenación serie de codificadores bloque

!! Turbo Trellis-Coded Modulation (TTCM) !! Aplicación del principio Turbo

!! Igualación !! Estimación de canal !! Detección multiusuario !! ...

Códigos LDPC (Low Density Parity Check Codes)

Comunicaciones Digitales Codificación de Canal


Bibliografía LDPC

!! R. Gallager. 'Low-Density Parity-Check Codes'. IRE Transactions on Information Theory, pp. 21-28, Enero 1962.

!! D. J. C. MacKay. Information theory, inference and learning algorithms. Cambrigde. 2003


Historia de los códigos LDPC

!! Inventados en 1962 (Gallager) !! Ignorados durante largo tiempo

!! Requerimientos computacionales !! Introducción de los códigos Reed-Solomon

!! Redescubiertos en 1995 (MacKay) !! Principio Turbo (1993)


Fundamentos de los códigos bloque lineales

!! Estructura del código !! Matriz generadora G !! Matriz de chequeo de paridad H

!! Capacidad de corrección ! dmin

!! dmin: menor peso en las filas de G !! dmin: mínimo número de columnas de H que sumen 0

!! Ejemplo: Código Hamming (7,4)


Códigos LDPC

!! Matriz de paridad H dispersa (pocos 1's) !! Distancia mínima alta

!! Aproximan la capacidad de Shannon !! No sufren el 'error floor'

!! dmin proporcional a la longitud del código

!! Complejidad lineal de la decodificación !! Implementación paralelo sencilla


Tipos de códigos LDPC

!! Códigos LDPC Regulares !! H (rxn) tiene if 1's por fila y ic 1's por columna !! r if = n ic con ic << r (if << n) !! ic " 3 es necesario para códigos 'buenos'

!! Códigos LDPC irregulares !! Número de 1's por fila o columna no constante


Generación códigos. !! Matriz de chequeo de paridad se

construye asegurando que hay ic (>2) unos en cada columna.

!! Se verifica que el número de unos por fila también sea lo más uniforme posible.

!! Mayor ic más capacidad de corrección y más complejidad en decodificación.


Ejemplo de código LDPC

!! ic=3 !! Dos columnas se solapan como

mucho en un 1 !! Dispersión de 1's

!! dmin grande


Matriz de Chequeo Paridad

6 7 6 5 5 5 5


Matriz generadora del código. !! Mediante eliminación de Gauss:

H ! [Ir P] !! Se puede construir la matriz generadora

del código como: G=[PT Ik].

!! Si hace falta permutar columnas también habrá que hacerlo en la matriz H original.


Transformaciones !! Permutar filas 1ª y 5ª. !! Restar a las filas 6ª y 7ª la primera. !! Permutar filas 2ª y 3ª. !! Restar a las filas 4ª y 7ª la segunda. !! Permutar filas 3ª y 5ª. !! Restar a las filas 1ª y 6ª la tercera. !! Restar a todas las filas la cuarta. !! Permutar filas 5ª y 6ª. !! Restar a las filas 3ª y 7ª la quinta. !! Restar a las filas 3ª y 7ª la sexta. !! Restar a las filas 2ª y 4ª la séptima.


Matriz generadora


Codificación de códigos LDPC

!! Generalmente, G es muy grande !! G no es en general dispersa !! Ejemplo: LDPC(10000,5000)

!! P es 5000x5000 !! Densidad de 1's=1/2 ! 12.5 x 106 1's

!! Códigos estructurados !! Codificación con registros de desplazamiento


Decodificación iterativa de LDPC's

!! Decodificación general de códigos bloque !! cHT=0 !! s=rHT ! e

!! Algoritmos basados en grafos

!!MAP (BCJR) para códigos basados en Trellis !! Suma-Producto (Paso de mensajes) para

códigos basados en grafos bipartidos


Grafo de Tanner

!! Grafo bipartido !! Nodos separados en dos clases !! Conexiones entre nodos de distinta clase

!!C0 !!C1 !!C2 !!C3 !!C4 !!C5 !!C6 !!C7

!!Nodos !!de bit

!!Nodos de !!chequeo

!!f0 !!f1 !!f2 !!f3


Decodificación: definiciones !! N(i) conjunto de las entradas no nulas de la

fila i de H, p.e: !! N(3)={2,4,8,9,10,12}

!! M(j) conjunto de las entradas no nulas de la columna j de H, p.e: !!M(10)={2,3,6}

!! N(i)\j’ : es N(i) sin la columna j’. Idem para M(j)/i’.


Matriz de Chequeo Paridad

6 7 6 5 5 5 5


Decodificación: definiciones II !! Se transmiten 1's y 0's (niveles ±1) con

una varianza de ruido "2 y se recibe y. !! Para el bit n, la probabilidad que sea 1:

!! y que sea cero:


Decodificación: definiciones III

!! : mensajes de nodo Ci a nodo fj !! prob. bit j sea x con los chequeos (sin i)

!! : mensajes nodo fi a nodo Cj !! prob. bit de chequeo i correcto fijado bit j =x !! resto de bits: probabilidades de

!! Similar a la información extrínseca intercambiada en los Turbo-Códigos


Algoritmo decodificación !! Inicialización

!! Solo se definen para los valores a 1 en H.

!! Paso 1 (horizontal): Para todo i=1,...,r y j=1,...n:

Se obtiene:


Algoritmo decodificación II !! Paso 2 (vertical): Para todo i=1,...,r y j=1,...n:

!! Se normalizan y para que sumen 1.


Algoritmo decodificación III

!! Decisión blanda (probabilidades a posteriori)

!! Decisión dura

!! Criterio de parada


Ejemplo !! Palabra transmitida c=[0 ... 0] !! Palabra recibida r=[-1.43 -2.67 -0.87 -0.71 -2.15

0.19 0.19 -1.04 -0.67 -0.83 -1.19 -0.2742 -1.59]. !! Decisión dura d=[0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0]. !! Probabilidades:

p0=[0.946 0.995 0.852 0.806 0.987 0.406 0.407 0.889 0.793 0.839 0.915 0.634 0.960]


Inicializar #q

!! p0-p1=[0.89 0.99 0.70 0.61 0.97 -0.19 - 0.19 0.78 0.59 0.68 0.83 0.27 0.92]


Cálculo #r

!! #r13=0.0193 $


Cálculo #r

!! #r14=0.0222 $


Cálculo #r

!! Cálculo de !! Cálculo de probabilidades a posteriori


Calculo qij

$ !! =0.2843


Calculo qj

$ !! =0.1449


Cálculo q0 y q1 !! q0=[0.17 0.17 0.14 0.11 0.13 0.06 0.05 0.11

0.15 0.14 0.13 0.12 0.17] !! q1=[0.00 0.00 0.01 0.02 0.00 0.05 0.07 0.01

0.01 0.01 0.01 0.02 0.00] !! Normalizar para que q0+q1=1. q0=[0.978 0.998 0.933 0.841 0.989 0.533

0.432 0.895 0.930 0.902 0.933 0.853 0.982] !! Recordamos que: p0=[0.946 0.995 0.852 0.806 0.987 0.406

0.407 0.889 0.793 0.839 0.915 0.634 0.960]


decisión dura

!! Primera decisión dura !! ce=sign(p1-p0)=[0000011000000]. !! Hce%0. !! Segunda decisión dura !! ce=sign(q1-q0)=[0000001000000]. !! Hce%0.


Segunda Iteración

!! q0=[0.971 0.998 0.904 0.882 0.985 0.802 0.739 0.897 0.926 0.933 0.920 0.879 0.979]

!! ce=sign(q1-q0)=[0000000000000]. !! Hce=0 (palabra correcta).


Diseño de códigos LDPC

!! Objetivo: maximizar dmin

!! Evitar ciclos cortos en el grafo de Tanner !! Problema combinatorio !!Método de búsqueda !!Métodos basados en geometría

!! Limitan el orden de los ciclos


Problemas abiertos

!! LDPC con rendimiento cercano a la capacidad !! Longitudes de código largas, muchas iteraciones,

relaciones S/N bajas

!! LDPC de palabras código relativamente cortas !! Alta tasa de codificación R#1 !! Codificación simple

!! Combinación con otras tecnologías !!OFDM, MIMO, ...

Date post:	30-Apr-2020
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