Transferencia conjunta de calor

Coeficientes globales de transferencia de calor

Considere una pared sólida rodeada por dos fluidos, un fluido caliente con temperatura T1 y un fluido frío con temperatura T3.

T0 T1

T2 T3

CONVECCIÓN

CONVECCIÓN

CONDUCCIÓN

El proceso se puede representar en función de resistencias

afconvpcondacconv RRRTT

RTT

q,,,

3030

CONVECCIÓN CONVECCIÓNCONDUCCIÓN

T0 T1 T2T3

Las resistencias por convección

000,

,

1

1

AhRR

AhRR

afconv

iiiacconv

Las resistencias por conducción

AmlA

ie

A

AApcond

Akrr

R

Akx

RR

,

,

PARA PAREDES PLANAS

PARA TUBERIAS CILINDRICAS

Entonces:

RAhk

xh

U

AhAkx

Ah

TTRRR

TTq

A

A

i

A

A

ii

Ai

111

1

11

0

00

30

0

30

SE DEFINE UN COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Así para una pared plana

Para un sistema con “n” paredes compuestas

30 TTUAq

i

n

j j

jj

hk

xx

hU111

1 1

1

0

En el caso de tuberías Se definen:

UN COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR BASADO EN LA SUPERFICIE INTERNA (Ui)

UN COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR BASADO EN LA SUPERFICIE EXTERNA (U0)

300030 TTAUTTAUq ii

Los coeficientes de definen:

RAhA

AAk

Arrh

Uii

AmlA

ii

i

i

11

1

00,

0

RAhAk

Arr

hA

AU

AmlA

i

ii

0

0,

0000

11

1

Problema Considere una corriente de vapor saturado a 267 °F que fluye en el interior de una tubería de acero con un DI de 0.824 pulg y DE de 1.050 pulg. La tubería está aislada con 1.5 pulg de aislamiento en el exterior. El coeficiente convectivo para la superficie interna de la tubería en contacto con el vapor se estima como hi = 1000 btu h∙ -1 pie∙ -2 °F∙ -1, mientras que la estimación del coeficiente convectivo exterior de la envoltura es de h0 = 2 btu h∙ -1 pie∙ -2 °F∙ -1. La conductividad media del metal es de 45 W m∙ -1 K∙ -1 (26 btu h∙ -1 pie∙ -1 °F∙ -1) y de 0.064 W m∙ -

1 K∙ -1 (0.037 btu h∙ -1 pie∙ -1 °F∙ -1) para el aislante.

a) Calcule la pérdida de calor para 1 pie de tubería usando resistencias, cuando la temperatura del aire es de 80°F

B) Repita el calculo usando el coeficiente global basado en el área interna (Ui)

Conducción de calor en estado transitorio. Segunda Ley de Fourier, la ecuación de calor.

La ecuación de calor

qxǀxqxǀx+Δx

x x+ΔxΔx

Δy

Δz

Velocidad de entrada

Velocidad de generación

Velocidad de salida

Velocidad de acumulación+ +=

Reacomodando y resolviendo

Donde:

xx

px x

Tzyk

tT

CzyxqzyxxT

zyk

p

p

Ck

Cq

xT

tT

2

2

Para la conducción en 3 dimensiones

Ecuación de conducción de calor

pCq

zT

yT

xT

tT

2

2

2

2

2

2

Generación de calor

Segunda Ley de Fourier En muchos casos, el término de generación de calor se desprecia

TzT

yT

xT

tT 2

2

2

2

2

2

2

Con constante y v = 0, también aplica para fluidos con velocidad cero y presión constante

Caso 1. Resistencia interna despreciable

Tcentro T¥Ts= Ts

Conductividad k alta

sp TThAdtdT

VC ¥

Reordenando e integrando

¥

tt

tp

TT

TT s

dtVC

hATT

dT

00

tVChAs peTTTT

¥

¥

0

A esto se le conoce como análisis de parámetros concentrados.

Análisis de parámetros concentrados

Si hacemos:

Y

AhVC

tt

TT

TT

p

s

¥

¥

*

0

*

** te

Análisis de parámetros concentrados

Esta suposición de resistencia interna despreciable es aceptable cuando:

Esto generalmente sucede en cuerpos pequeños hechos de metal o de materiales altamente conductores del calor.

ÁreaVolumen

x

khx

Bi

1

1 1.0

Problema Una esfera de acero con radio de 1.0 pulg (2.54 cm) tiene una

temperatura uniforme de 800°F (699.9 K). Esta esfera se sumerge

repentinamente en un medio cuya temperatura se mantiene

constante a 250 °F (394.3 K). Suponiendo un coeficiente

convectivo de h = 2.0 btu/h pie2 °F (ll.36 W/m2 K), calcule la

temperatura de la esfera después de 1 h (3600 s), en unidades SI

y del sistema inglés. Las propiedades físicas promedio son k= 25

btu/h pie °F (43.3 W/m K), ρ = 490 lb/pie3 (7849 kg/m3) y Cp =

0.11 btu/lb °F (0.4606 kJ/kg K).

Caso 2. Resistencia interna no despreciable

En muchos problemas la conducción de calor dentro de los cuerpos no es despreciable. En procesos agroindustriales lo podemos encontrar en:

Enfriamiento de frutos

Congelamiento o cocción de la carne

Esterilización de latas

Etc.

Métodos de análisis Métodos analíticos en una dimensiónMétodos numéricos: Diferencias finitas. Elemento finitoVolumen finito

Método gráfico de Schmidt (para cuerpos seminfinitos o placas infinitas)Diagramas de Gourney-Lurie para geometrías definidas (placa, cilindro, esfera)

Diferencias finitas Es un método numérico para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales reemplazando estas ultimas por un número finito de ecuaciones algebraicas en puntos seleccionados.

Diferencias finitas Así se tienen aproximaciones por diferencias finitas hacia adelante

Y diferencias finitas hacia atrás

Análisis de la conducción en estado no estacionario por diferencias finitas

En una placa, la ecuación de balance de energía para el estado no estacionario es:

Planteando las diferencias finitas en una placa de espesor 2L, discretizando el sólido.

2

2

xT

tT

2Lx

i i+1i-1

xCentro de la placa

Análisis de la conducción en estado no estacionario por diferencias finitas

Discretizando las diferenciales

Dónde:

◦ Temperatura en el nodo i en el tiempo j

t

TT

tT jiji

,1,

:, jiT

Análisis de la conducción en estado no estacionario por diferencias finitas

Discretizando el segundo término de la ecuación

La ecuación de Fourier en diferencias finitas resulta:

2,1,,1

2

2 2

x

TTT

xT jijiji

2,1,,1,1, 2

x

TTT

t

TT jijijijiji

Reordenando la ecuación

Para calcular la temperatura en el tiempo j + 1:

Dónde:

Es el número de Fourier

jijijijiji TTTx

tTT ,1,,12,1, 2

2x

tFo

Así la ecuación resulta:

O de forma opcional puede escribirse como:

De la ecuación anterior resulta:

jijijijiji TTTFoTT ,1,,1,1, 2

jijijiji TFoTTFoT ,,1,11, 21

021 Fo

Criterio de estabilidad La ecuación anterior describe el criterio de estabilidad para definir el valor de t.

El valor de x suele seleccionarse teniendo en cuenta la exactitud requerida en la solución y el equipo de computo disponible. Por otro lado, t debe fijarse en función del criterio de estabilidad.

21Fo

¿Qué sucede en el límite entre el sólido y el medio ambiente que lo rodea?

x2x

ii-1¥TTmedio

h

Condiciones límite Para el caso en el que hay una resistencia convectiva finita en el límite y si la temperatura del medio ambiente o del fluido circundante varía repentinamente a T.

Al hacer un balance de energía en el nodo de la superficie, la velocidad de entrada de calor por convección – velocidad de salida de calor por conducción = velocidad de acumulación de calor:

t

TTxACTT

xkA

TThA jijiPjijiji

¥

,1,,1,, 2

Al reacomodar la expresión

Reconociendo que:

jijijijiP

ji TTTx

tTT

xCth

T ,,1,2,1,

22

¥

kxh

Bi

La expresión resulta

El criterio de estabilidad para este caso es:

O:

jijiji TTBiFoTFoBiFoT ,1,1, 2221 ¥

21

1

0221

BiFo

FoBiFo

Problema Una barra rectangular de mantequilla con 46.2 mm de espesor y temperatura de 277.6 K (4.4 °C) se extrae de la nevera y se coloca en un medio ambiente a 297.1 K (23.9 °C). (Puede considerarse que los lados y el fondo de la mantequilla están aislados por las paredes del recipiente. Por tanto, el área expuesta al medio ambiente es la superficie plana superior de la mantequilla.) El coeficiente convectivo es constante y tiene un valor de 8.52 W/m2 K. Calcule el perfil de temperaturas después de una exposición de 5 h, considere un x = 11.55 mm

Las propiedades de la mantequilla son: k = 0.197 W/mK, Cp = 2.30 kJ/kg K, ∙ = 998 kg/m3.

Solución La barra puede considerarse como una placa plana de longitud L (nótese que solo un lado de la barra esta expuesta al ambiente)

L = 46.2 mm

4.4°C

23.9 °C

h = 8.52 W/m2 K

Después de t = 5 hrs

Considerando un proceso transitorio con conducción y convección

El criterio de estabilidad dice:

Y:

Sustituyendo:

334.0

4995.0197.0

01155.052.8

0221

Fo

kxh

Bi

FoBiFo

Para calcular el t Despejando del número de Fourier

El valor de α es:

Escogeremos un t = 500 seg

8

8

22

1058.8

3.5181058.801155.0333.0

PCk

xFot seg

Sustituyendo en las ecuaciones de diferencias finitas Considerando el espesor total de la barra (46.2mm) y el valor de x (11.55mm) tendremos 5 nodos para hacer el análisis por diferencias finitas (T0, T1, T2 ,T3 ,T4) Considerando que inicialmente el sólido se encuentra a la misma temperatura.

Los nodos para el análisis por diferencias finitas

jT ,0

jT ,1

jT ,2

jT ,3

jT ,4

La temperatura en los nodos T1, T2 ,T3 se determina por:

3217.0

01155.0

5001058.8

21

2

8

2

,,1,11,

x

tFo

TFoTTFoT jijijiji

Para los nodos dentro del producto

Las ecuaciones resultan:

jijijiji TFoTTFoT ,,1,11, 21

jjjj TTTT ,3,4,21,3 3566.0322.0

jjjj TTTT ,2,3,11,2 3566.0322.0

jjjj TTTT ,1,2,01,1 3566.0322.0

Para la condición límite (el exterior en contacto con el medio):

La ecuación para calcular la temperatura en la superficie del producto es:

jijiji TFoBiFoTBiTFoT ,,11, 2212 ¥

jjj TTT ,4,31,4 0353.04.148643.0

Finalmente: Para calcular la temperatura T0,t+1. una buena aproximación sería la temperatura del punto T1,t.

j t (s) T0 T1 T2 T3 T4

0 0 T0,0 =4.4.°C T1,0 =4.4.°C T2,0 =4.4.°C T3,0 =4.4.°C T4,0 =4.4.°C

1 500 T0,1 = T1,0 T1,1 T2,1 T3,1 T4,1

2 1,000 T0,2= T1,1 T1,2 T2,2 T3,2 T4,2

3 1,500 T0,3= T1,2 T1,3 T2,3 T3,3 T4,3

…. …. …. … … … …

n 18,000 T0,n= T1,n-1 T1,n T2,n T3,n T4,n

Resolviendo las ecuaciones

Expresando las temperaturas en Kelvin

j t (s) T0 T1 T2 T3 T4

0 0 277.6 277.6 277.6 277.6 277.61 500 277.6 277.8 277.8 277.8 284.02 1,000 277.8 277.9 277.9 279.9 284.33 1,500 277.9 278.0 278.7 280.9 285.7…. …. …. …. …. …. …

36 18,000 291.8 292.1 292.8 293.7 294.8

En forma gráfica

276.0

278.0

280.0

282.0

284.0

286.0

288.0

290.0

292.0

294.0

296.0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Tem

pera

tura

(K)

Tiempo (s)

Perfil de temperaturas para una barra de mantequilla expuesta al medio

T0 (centro) T1 T2 T3 T4 (superficie)

Diagrama de Gurney-Lurie

Presentan gráficamente los resultados numéricos de la conducción en estado no estacionario.

Conveniente para determinar temperaturas en cualquier posición y en cualquier tiempo.

0TTTT

Y

¥

¥

21xt

X

1hxk

m

1xx

n

Problema Una barra rectangular de mantequilla con 46.2 mm de espesor y temperatura de 277.6 K (4.4 °C) se extrae de la nevera y se coloca en un medio ambiente a 297.1 K (23.9 °C). (Puede considerarse que los lados y el fondo de la mantequilla están aislados por las paredes del recipiente. Por tanto, el área expuesta al medio ambiente es la superficie plana superior de la mantequilla.) El coeficiente convectivo es constante y tiene un valor de 8.52 W/m2 K. Calcule la temperatura de la mantequilla en la superficie, a 23.1 mm por debajo de la superficie y en el fondo de la barra, después de una exposición de 5 h.

Las propiedades de la mantequilla son: k = 0.197 W/mK, Cp = 2.30 kJ/kg K, ∙ = 998 kg/m3.

Conducción en dos y tres dimensiones Para el flujo en x:

Para el flujo en y:0TT

TTY x

x

¥

¥21xt

X x

1hx

km

1xx

n

0TT

TTY y

y

¥

¥

21yt

X y

1hy

km

1yy

n

De manera análoga para z:

Para la transferencia simultanea en 3 dimensiones:

0TTTT

Y zz

¥

¥21zt

X x

1hz

km

1zz

n

0

,,,, TT

TTYYYY zyx

zyxzyx

¥

¥

En el caso de un cilindro Yx se obtiene de la conducción radial de un cilindro largo.

Yy se obtiene de la conducción entre dos platos paralelos.

0

,, TT

TTYYY yx

yxyx

¥

¥

Una lata cilíndrica de puré de chícharos tiene un diámetro de 68.1 mm y altura

de 101.6 mm, y está inicialmente a una temperatura uniforme de 29.4 °C. Las

latas se apilan en sentido vertical dentro de una retorta a la cual se introduce

vapor a 115.6 °C. Se estima que el coeficiente de transmisión de calor del

vapor vale 4540 W/m2 K. Las propiedades físicas del puré son k = 0.830 W/m K

y = 2.007 x 10-7 m2/s.

A) Calcule la temperatura en el centro de la lata después de un tiempo de

calentamiento de 0.75 h a 115.6 °C. Suponga que la lata está en el centro de

una pila vertical, aislada en sus dos extremos por la presencia de las latas

restantes. (La capacidad calorífica de la pared metálica de la lata puede

despreciarse.)

B) Calcule la temperatura del centro de la lata, suponiendo que la conducción

de calor también se verifica en los extremos planos.