Conduccion en Estado Transitorio

Conducción en estado transitorio

David Fuentes Díaz

Escuela de Ingeniería MecánicaUniversidad Industrial de Santander

Conducción transitoria

Introducción

• Problemas que dependen del tiempo– Surgen cuando cambian las condiciones de frontera

• Es un fenómeno transitorio: – Hasta que se alcanza nuevamente el equilibrio (condiciones de

estado estable)– Hasta que cambian nuevamente las condiciones de frontera– Hasta que cambian nuevamente las condiciones de frontera

– Se debe resolver la ecuación de conducción de calor en forma general.

• Se obtienen soluciones particulares a problemas simplificados

Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS 2Transferencia de calor por conducción transitoria


Resistencia interna despreciable

• El sólido se considera como un punto: capacitancia concentrada– Ejemplo: temple de una pieza

• En t=0, Tpieza= T, para t>0 la temperatura de la pieza cambia hasta que T=T

∞ (se detiene la transferencia de calor) calor)

• Temperatura del sólido es uniforme en cualquier tiempo. – Gradientes de temperatura son insignificantes dentro del cuerpo– No se tiene en cuenta la conducción de calor al interior del

cuerpo– De acuerdo a la ley de Fourier esto se puede alcanzar si la

conductividad del sólido es infinita. • Caso real: k es de valor finito, pero la resistencia térmica interna del

sólido puede ser mucho menor que la resistencia térmica del sólido y la interfase.

Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS Transferencia de calor por conducción transitoria 3



sistemaEdt

dTCV ∆=⋅⋅⋅− ρ

( )tTT =Caso práctico: Cuerpos de pequeñas dimensiones y co nductividad elevada

Temperatura del sólido es uniforme:

Ecuación general: Eentra-Esale=∆Esistema

AhdTdT ⋅−=⇒−⋅⋅==⋅⋅⋅− ρ

)( ∞−⋅⋅= TTAhEsale

T(t)

Esale


∫ ∫ ⋅⋅⋅−=

−−

⇒⋅⋅

⋅−=− ∞

∞

∞

T

Ti

t

i

tCV

hA

TT

TTdt

CV

hA

TT

dT

ρρln

0

τρ

θθ tt

CV

hA

ii

eeTT

TT −⋅⋅⋅

−

∞

∞ ==−−

=

Integrando y aplicando la condición inicial de T=Ti en t=0:

hA

CV

⋅⋅⋅= ρτ

(tiempo característico)

dtVC

Ah

TT

dTTTAhE

dt

dTCV sale ⋅⋅

⋅−=

−⇒−⋅⋅==⋅⋅⋅−

∞∞ ρ

ρ )(

∞Th,


• Calor intercambiado durante el proceso transitorio


τt

i

eE

E −−= 1

Siendo Ei la variación de energía interna que sufriría la pieza si llegase al equilibrio térmico con el fluido que la rodea.

ii CVE θρ ⋅⋅⋅=

−⋅=

−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅−=

−−

∫∫∫ ττθρθt

i

t

i

ttT

o

p eEeCVdthAtdAqdTCmtE 11)(00


iEtérmico con el fluido que la rodea.

iθθ

t

Ei

0



• Influencia de τiθ

θ

hA

CV

⋅⋅⋅= ρτ


t0

τρ

θθ tt

CV

hA

ii

eeTT

TT −⋅⋅⋅

−

∞

∞ ==−−

=

hA

CV

⋅⋅⋅= ρτ = Rt Ct

Rt=Resistencia de calor por convecciónCt=Resistencia interna del sólido (despreciable)

Al aumentar Rt o Ct el sólido responde más lentamente



• Validez del modelo (PARÁMETROS ADIMENSIONALES)Comparación entre la variación de temperatura en el interior de la pieza (conducción) con la variación de temperatura en el fluido.

Qcond Qcon

v

T En condiciones estacionarias, el calor que se transmite por conducción en la placa ha de ser igual al que se transmite por convección entre la superficie de la placa y el fluido en contacto con ésta


Ts,2Bi<<1

Bi≈1

Ts,2

Ts,2

Bi>>1

L

v

Ts,1

x

contacto con ésta

)()( 2,2,1, ∞−⋅=−⋅

TTAhTTL

Aksss

placa

placaconvec

conducplaca

s

ss

k

Lh

R

R

Ah

AkL

TT

TT ⋅==⋅

⋅=

−−

∞ .

.

2,

2,1,

1

solidok

Lh ⋅Número de Biot: Bi=



• Evolución de temperaturas en función del valor del numero de biot.

h, T∞∞∞∞T(x,0)=Ti T(x,0)=Ti


x

-L L

h, T∞∞∞∞

h, T∞∞∞∞

Bi<<1T=T(t)

-L L

Bi= 1T=T(x,t)

-L L -L L

Bi>>1T=T(x,t)

T(x,0)=Ti



Se considera adecuada la utilización del modelo de temperatura un iforme si Bi<<0.1

( )

=→

=→

=→=

⇒=⇒⋅=

)(

2arg

)2(

.

.

int.

.

o

ocaraco

carac

ercambiocarac

carac

rLresfera

rLrolmuycilindro

LLLeplanapared

A

VL

k

LhBi


=→

3)( .

ocaraco

rLresfera

En la práctica la solución de temperatura uniforme es aceptable en las siguientes condiciones:

Placas: Bi<0.1Cilindro: Bi<0.05Esferas: Bi<0.03

(Diferencia de temperatura entre superficie y centr o inferior al 5%)



El modelo de temperatura uniforme anteriormente desarrollado se puede caracterizar en función del parámetro adimensional de Biot:

FoBi

i

c

FoBiLL

t

C

k

k

Lht

CV

hA

i

eFo

t

Bik

Lh

eee ccp

c

p ⋅−⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−

=⇒

=⋅

=⋅

⇒===θθ

αθθ ρρ


i

c

i FoL

t

=⋅ θαθ2

Generándose de esta forma un nuevo número adimensional, número de Fourier, Fo, tiempo adimensional característico del transitorio .



• Solución de problemas:– Dadas unas condiciones iniciales, Temperatura

ambiente, h convectivo, propiedades del material• Determinar el tiempo necesario para alcanzar una

temperatura determinada

– Dadas unas condiciones iniciales, Temperatura ambiente, h convectivo, propiedades del material

• Determinar la temperatura alcanzada después de un tiempo



Problema 1

Proceso de recocido de bolas de acero con las siguientespropiedades: ρ=7833 kg/m3, k=54 W/mK, cp=0.465 kJ/kgK,α=1.474x10-5 m2/sg, de 8 mm de diámetro se recuecencalentándolas a 900°C en un horno y dejándolas enfriarcon lentitud hasta alcanzar los 100°C en un ambiente a35°C y h=75 W/m2K35°C y h=75 W/m2K

¿Cuánto tiempo tardará el proceso?



Problema 2

Los cojinetes de bolas (balines) se tienen que endurecer templándolos en un baño deagua a una temperatura de 35°C. Un empresario, desea diseñar un proceso continuodonde los cojinetes puedan rodar en un horno de calentamiento con temperaturauniforme de 900°C. Una vez los cojinetes han pasado por el hor no se introducen en elagua para el proceso de templado. Para evitar el deterioro prematuro de la bandatransportadora, se requiere que los balines no salgan del agua a una temperaturasuperior de 90°C. Se suponen unos coeficientes de transfere ncia de convección entrelos cojinetes y el aire en el horno de 200 W/m2K, y entre el agua y los cojinetes de 500W/m2K. Si desean templar 100000 cojinetes de 1 pulg de diámetro por hora:W/m2K. Si desean templar 100000 cojinetes de 1 pulg de diámetro por hora:

Encontrar la longitud de cada parte del proceso (es decir calentamiento y enfriamiento)Calcular el calor que se debe retirar en el agua para que la temperatura del aguapermanezca constante.

Otros datos: Temperatura inicial de los balines: 30°C. ρ=7800 kg/m3, cp=440 J/kg K,k=37 W/mK.



Problema 2

BalinesHorno Movimiento de los balines


Agua: T=35°C

Aire: T=900°C

Tanque de agua


Problema 3

Un dispositivo electrónico (microprocesador) genera calor a razón de30 W. El procesador tiene una masa de 20 gramos, calor específico de850 J/Kg K y un área superficial de 5 cm2. El dispositivo se usa y alcabo de cierto tiempo se apaga debido a que se alcanzó el límitesuperior de temperatura de 75 ºC. ¿Cuanto tiempo duró funcionando?Si solo cuando se alcanza una temperatura de 45ºC es posibleencenderlo de nuevo, ¿cuánto tiempo debe permanecer apagadoencenderlo de nuevo, ¿cuánto tiempo debe permanecer apagadohasta encenderlo de nuevo?

Otros datos:– T ambiente=25 ºC– h ambiente = 12 W/m2 K



Efectos espaciales

• Ecuación general

La ecuación general de conducción, para propiedades constantes, y sin generación interna de calor, es:

Tt

TTk

t

TCpTkg

t

TCp 222 ∇=⇒∇⋅=⋅⋅⇒∇⋅+=⋅⋅ α

∂∂

∂∂ρ

∂∂ρ


y sin generación interna de calor, es:

⋅=−=

⇒⇒⋅=)()(),(

),(),(2

2

tTxXtx

TtxTtxdefunciónen

x

T

t

T o

θθ

θ∂∂α

∂∂

2L

QCONV


Efectos espaciales

QCONV

Se deben especificar dos condiciones defrontera y una condición iniciales

Condiciones de frontera:

00

=∂∂

=xx

TDistribución de temperatura simétrica


2L

0=xx

]),([ αTtLThx

Tk

Lx

−=∂∂−

=

Condición de frontera en la superficie

T(x,0)=Ti Condición inicial

Solución estará en términos de los siguientes parámetrosT=T(x, t, Ti, Tα, L, k, α, h)

Solución puede ser analítica o numérica


Efectos espaciales

Adimensionalizando se puede definir una ecuación general válida tantopara cilindros, como esferas y como placas. También se reduce elnúmero de parámetros necesarios para la solución.

10;; * ≤≤−−==−= θ

θθθθ

α

αα TT

TTTT

ooL

xX =*2

*

cL

tFot

α==

Substituyendo Condiciones de frontera: Condición inicial:


Substituyendo

FoX ∂∂=

∂∂ *

2*

*2 θθ

Condiciones de frontera:

00

*

*

*

=∂∂

=XX

θ

),1(*

1

*

*

*

FoBiX

X

θθ −=∂∂

=

1)0,( ** =Xθ

Condición inicial:

2;csolido

c

L

tFo

k

LhBi

α=⋅=

Ahora la solución estará en términos de los siguientes parámetros

),,( ** FoBiXf=θ


Efectos espaciales

• Solución para placa plana, de espesor 2L, con convección por ambos lados

)cos(),( *2

*1

2

ξξθ αξ XBsenXBetx t ⋅+⋅⋅= −

Se introduce la diferencia de temperaturas, se separan variables, y se imponen condiciones de frontera:

Solución general:


)cos(),( 21 ξξθ XBsenXBetx ⋅+⋅⋅=

( )∑∞

=

−

∞

∞ ⋅=−−=

1

** cos2´

nn

Fon

i

XeCTT

TTn ξθ ξ

BiC nnnn

nn =

+= )tan(;

)2sin(2)sin(4 ξξξξ

ξsiendo

Reemplazando:

Dependencia del tiempo

Dependencia del espacio


Efectos espaciales

• Solución aproximadaSi Fo > 0.2, la solución de la serie semi-infinita se puede aproximar con elprimer término de la serie (error < 2%).

( )*11

* cos21́ XeC

TT

TT Fo

i

ξθ ξ ⋅=−−= −

∞

∞

TT −


Fo

i

eCTT

TT 21́

10*

0ξθ −

∞

∞ =−−=

( )*1

*0

0

0

* cos** XTT

TT

TT

TT

i

ξθθ =−−

−−=

∞

∞

∞

∞

Dependencia con el tiempo

Dependencia con el espacio

La dependencia de la temperatura con respecto al tiempo t en cualquier puntode la pared es la misma que la de la temperatura del plano medio.

1. Se debe hallar la temperatura del centro.2. Hallar la temperatura en cualquier x.


Efectos espaciales

• Solución aproximada (Gráficas de Heisler)– Transmisión de calor convectiva en placas, cilindros y

esferas en régimen transitorio• Cálculo analítico de la solución de la ecuación anterior. Hoy en día

solución analítica fácilmente programable.


• Resolución por métodos numéricos.

• Primeras gráficas de respuesta de temperatura (1923)

• Sólo válido para condiciones de temperatura inicial uniforme

• Heisler (1947): aproximación con un término de la serie funcional solución . Limitaciones:

– No son válidas para Fo < 0.2

– Gráficos difíciles de leer para Fo < 1


Efectos espaciales

• Transmisión de calor unidireccional transitoria para placa infinita de espesor 2L

x/L

Figura 1


[ ]1,0∈Lx


Efectos espaciales

• Transmisión de calor unidireccional transitoria para placa infinita de espesor 2L

Figura 2

x/L


T(x t T

T T

T T

T T

T T

T Ti o FIG

o

i FIG

, )

. .

−−

=−−

⋅

−−

∞

∞

∞

∞

∞

∞2 1

To: temperatura en el plano central de la placa=T(x=0,t)

[ ]1,0∈Lx


Efectos espaciales

• Transmisión de calor unidireccional transitoria para cilindro de radio r0 y longitud infinita

r/r0

[ ]1,00

∈rr

Figura 3



Efectos espaciales

• Transmisión de calor unidireccional transitoria para cilindro de radio r0 y longitud infinita

Figura 4r/r0

[ ]1,00

∈rr


3.FIGi

o

4.FIGoi TT

TT

TT

TT

TT

T)t,r(T

−−⋅

−−=

−−

∞

∞

∞

∞

∞

∞

To: temperatura en el eje del cilindro=T(r=0,t)


Efectos espaciales

• Transmisión de calor unidireccional transitoria para una esfera de radio r0

Figura 5r/r0


[ ]1,00

∈rr


Efectos espaciales

• Transmisión de calor unidireccional transitoria para una esfera de radio r0

r/r0Figura 6


[ ]1,00

∈rr

5.FIGi

o

6.FIGoi TT

TT

TT

TT

TT

T)t,r(T

−−⋅

−−=

−−

∞

∞

∞

∞

∞

∞

To: temperatura en el centro de la esfera=T(r=0,t)


Efectos espaciales

• Transferencia de calorBalance de energía: entre t = 0 y t > 0Eentra – Esale = Ealmacenada

0 - Q = E(t) – E(0)

∫ −−= dVTtxTCQ ip ]),([ρ

VTTCQ ip ][0 αρ −= Energía inicial de la pared relativa a la temperatura del


VTTCQ ip ][0 αρ −= Energía inicial de la pared relativa a la temperatura delmedio. Es la energía máxima que se puede transmitir(cuando t→∞).

∫ ∫ −=−

−−= dVVV

dV

TT

TtxT

Q

Q

i

i )1(1]),([ *

0

θα

Solución para placa plana *0

1

1

0

sin1 θ

ξξ−=

Q

Q

Solución general

=

00 Q

QQQ


Efectos espaciales

• Energía intercambiada por una placa

)(

)(

0

0

7.0

∞−⋅⋅⋅=

⋅

=

TTCVQ

QQ

QtQ

ip

FIG

ρFigura 7



Efectos espaciales

• Energía intercambiada por un cilindro

Figura 8 )(

)(

0

0

8.0

∞−⋅⋅⋅=

⋅

=

TTCVQ

QQ

QtQ

ip

FIG

ρ



Efectos espaciales

• Energía intercambiada por una esfera

)(

)(

0

0

9.0

∞−⋅⋅⋅=

⋅

=

TTCVQ

QQ

QtQ

ip

FIG

ρFigura 9



Efectos espaciales

• Soluciones analíticas: fórmulas• Distribución de temperatura

– Placa

• Flujo de calor– Placa

)cos( *11

* 21 xeC Fo ξθ ξ−=

*0

1

1

0

sin1 θ

ξξ−=

Q

Q


– Cilindros

– Esferas

– Cilindros

– Esferas

)( *101

* 21 rJeC Fo ξθ ξ−=

)sin(1 *

1*1

1* 2

1 xr

eC Fo ξξ

θ ξ−=

)(2

1 111

*0

0

ξξθ

JQ

Q −=

[ ]11131

*0

0

cossin3

1 ξξξξθ −−=

Q

Q


Efectos espaciales

• Tablas

Bi ξ1 C1 ξ1 C1 ξ1 C1

(rad) (rad) (rad)

0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.0030

0.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.0060

Pared plana Cilindro infinito Esfera

Bi ξ1 C1 ξ1 C1 ξ1 C1

(rad) (rad) (rad)

0.80 0.7910 1.1016 1.1490 1.1725 1.4320 1.2236

0.90 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488

Cilindro infinito Esfera Pared plana


0.03 0.1732 1.0049 0.2439 1.0075 0.2989 1.0090

0.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.0120

0.05 0.2217 1.0082 0.3142 1.0124 0.3852 1.0149

0.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.0179

0.07 0.2615 1.0114 0.3708 1.0173 0.4550 1.0209

0.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.0239

0.09 0.2956 1.0145 0.4195 1.0222 0.5150 1.0268

0.10 0.3111 1.0160 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298

0.15 0.3779 1.0237 0.5376 1.0365 0.6608 1.0445

0.20 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592

0.25 0.4801 1.0382 0.6856 1.0598 0.8448 1.0737

0.30 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.0880

0.40 0.5932 1.0580 0.8516 1.0932 1.0528 1.0164

0.50 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.1441

0.60 0.7051 1.0814 1.0185 1.1346 1.2644 1.17130.7 0.7506 1.0919 1.0873 1.1539 1.3225 1.1978

1.0 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.2732

2.0 1.0769 1.1795 0.1600 1.3384 2.0288 1.4793

3.0 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.6227

4.0 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 0.2046 1.7201

5.0 1.3138 1.2402 1.9898 1.5029 2.5704 1.7870

6.0 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.8338

7.0 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.8674

8.0 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.8921

9.0 1.4149 1.2598 2.1566 l.5611 2.8044 1.9106

10.0 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.9249

20.0 1.4961 1.2699 2.2881 1.5919 2.9857 1.9781

30.0 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.9898

40.0 1.5325 1.2723 2.3455 0.1599 3.0632 1.9942

50.0 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962

100.0 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.1102 1.9999? 1.5070 1.2733 2.4050 1.6018 3.1415 2.0000


Efectos espaciales

• Funciones Bessel de primera clase.x Jo(x) J1(x)0.0 1.0000 0.0000

0.1 0.9975 0.0499

0.2 0.9900 0.0995

0.3 0.9776 0.1483

0.4 0.9604 0.1960

0.5 0.9385 0.2423

0.6 0.9120 0.2867

0.7 0.8812 0.3290


0.8 0.8463 0.3688

0.9 0.8075 0.4059

1.0 0.7652 0.4400

1.1 0.7196 0.4709

1.2 0.6711 0.4983

1.3 0.6201 0.5220

1.4 0.5669 0.5419

1.5 0.5118 0.5579

1.6 0.4554 0.5699

1.7 0.3980 0.5778

1.8 0.3400 0.5815

1.9 0.2818 0.5812

2.0 0.2239 0.5767

2.1 0.1666 0.5683

2.2 0.1104 0.5560

2.3 0.0555 0.53992.4 0.0025 0.5202


Sólido semi-infinito

Sólido que se extiende al infinito excepto en una dirección:Lagos, mar, tierra.

•Interesa solamente la influencia de la temperatura en las regionescercanas a la superficie.

•A cierta distancia la temperatura no se ve influenciada por el cambio delas condiciones en el exterior.

• Se considera transmisión de calor unidimensional en la dirección queaumenta la profundidad.


x

T∞ Ecuación diferencial

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α



Ecuación diferencial

Solución para:

•Cambio súbito en la temperatura de la superficie.

•Aplicación repentina de un calor en la superficie.

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α


•Aplicación repentina de un calor en la superficie.

•Exposición de la superficie a un fluido con unatemperatura constante diferente a Tsup y con hconstante y uniforme.

Cambio de variables:t

x

αη

2=

2

2

2η

αη

η∂∂=

∂∂− TT



Soluciones

Caso 1: Temperatura superficial constante

t

TTktq

t

xerf

TT

TtxT iss

si

s

απαηη )(

)(;2

);(),( '' −===

−−

Caso 2: Flujo de calor constante en la superficie


Caso 2: Flujo de calor constante en la superficie

)()/(2

),(''

02/1''

02

ηπα η erfck

xqe

k

tqTtxT s −=− −

Caso 3: Convección superficial

+

−=

−− +

∞ k

therfceerfc

TT

TtxT k

th

k

hx

i

i αηηα2

2

)(),(

Donde: erf es la función error (en tablas)erfc = 1-erf (función error complementaria)


Tablas sólido semi-infinito

w erf w w erf w w erf w 0.00 0.00000 0.36 0.38933 1.04 0.85865

0.02 0.02256 0.38 0.40901 1.08 0.87333

0.04 0.04511 0.40 0.42839 1.12 0.88679

0.06 0.06762 0.44 0.46622 1.16 0.89910

0.08 0.09008 0.48 0.50275 1.20 0.91031

0.10 0.11246 0.52 0.53790 1.30 0.93401

0.12 0.13476 0.56 0.57162 1.40 0.95228

0.14 0.15695 0.60 0.60386 1.50 0.96611

0.16 0.17901 0.64 0.63459 1.60 0.97635

Función error:

∫−=

w v dvewerf0

22)(

π


0.16 0.17901 0.64 0.63459 1.60 0.97635

0.18 0.20094 0.68 0.66378 1.70 0.98379

0.20 0.22270 0.72 0.69143 1.80 0.98909

0.22 0.24430 0.76 0.71754 1.90 0.99279

0.24 0.26570 0.80 0.74210 2.00 0.99532

0.26 0.28690 0.84 0.76514 2.20 0.99814

0.28 0.30788 0.88 0.78669 2.40 0.99931

0.30 0.32863 0.92 0.80677 2.60 0.99976

0.32 0.34913 0.96 0.82542 2.80 0.999920.34 0.36936 1.00 0.84270 3.00 0.99998

Función error complementaria:

)(1)( werfwerfc −=



• Distribución de la temperatura con el tiempo

x x xTsq0

T∞, h


T(x,0)=TiT(0,t)=Ts

x

T

x

T

x

T

Ts

t

t t

T(x,0)=Ti-k dT/dx|x=0=q0

T(x,0)=Ti-k dT/dx|x=0=h[T

∞-T(0,t)]



• Distribución de la temperatura con el tiempo

T T T

Ts

t

t t

T(x,0)=Ti-k dT/dx|x=0=q0

T(x,0)=Ti-k dT/dx|x=0=h[T

∞-T(0,t)]


x x x

La temperatura seaproximará a Ts al aumentart. qx=0 disminuye con t1/2 .

La temperatura aumenta cont1/2 aproximadamente.

Tsup y Tinterior del cuerpo seaproximan a T∞. Alaproximarse Ts a T∞ qx=0disminuye.



• Solución gráfica



Efectos multidimensionales

Para problemas en dos y tres dimensiones. • Se obtiene mediante el producto de valores múltiples a partir de las

gráficas para problemas uno-dimensionales. • Se basa en el hecho de que las ecuaciones diferenciales se pueden

separar en el producto de dos o tres ecuaciones diferenciales ordinarias

• Si las diferentes dimensiones son de magnitud comparable, la • Si las diferentes dimensiones son de magnitud comparable, la conducción de calor se da en todas las direcciones coordenadas, la distribución de temperaturas depende entonces de todas las direcciones.

Coordenadas:• Cilindro : C(r, x, t)• Placa semi-infinita: P(x, y, t)• Sólido semi-infinito: S(x, t)


Se asume que la temperatura inicialdel cuerpo es uniforme, o que latemperatura superficial esconstante



• Transmisión de calor bidimensional transitoria placa de dimensiones 2L*2H

=2H

hH

x

y

* 2H

yhH

SO

LUC

IÓN

BID

IME

NS

ION

AL

Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS Transferencia de calor por conducción transitoria 43HPLACAiLPLACAiHLi

tytxtyx

2222

),(),(),,(

⋅

=

⋅θ

θθ

θθ

θ

=

hL hL

x

2Lx

*hL hL

2L

2H

hH

SO

LUC

IÓN

BID

IME

NS

ION

AL



• Transmisión de calor bidimensional transitoria de un cilindro de dimensiones 2L, r0

2L

x

hL

= *x hL


LESPESORPLACAi

INFINITOrRADIO

CILINDROi

LLONGITUDrRADIO

CILINDROi

txtrtxr

oo 22

),(),(),,(

⋅

=

θθ

θθ

θθ

2L

hr hr hL

r0

=

0 r0 r

hr hr *

x hL

hL

L 0



• Transmisión de calor bidimensional transitoria de un prisma de dimensiones 2L*2H*2W

hH

hw

hw

hH T�

x

y yH0


WPLACAiHPLACAiLPLACAiWHL

PRISMAi

tztytxtzyx

222222

),(),(),(),,,(

⋅

⋅

=

⋅⋅θ

θθ

θθ

θθ

θ

hL hLhH

hL

hw

2H

2L

x 0

W0

z

0 Lx z


Resumen sistemas bidimensionales



Resumen sistemas tridimensionales




• Transferencia de calor– Para sistemas en dos dimensiones

−⋅

+

=

1max2max1max2

max

1Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

DTotal

– Para sistemas en tres dimensiones


1max2max1max2

maxD

−⋅

−⋅

+

−⋅

+

=

2max1max3max

1max2max1max3

max

11

1

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

DTotal


Problema 4

Un cilindro de acero de dimensiones indicadas en el esquema, inicialmente atemperatura Ti= 100 ºC, se introduce de forma brusca en aceite a unatemperatura de 20 ºC con un coeficiente de convección asociado, h =40 W/m2K. Calcular al cabo de una hora las temperaturas en los puntos 1 y 2. Calcularla energía total intercambiada hasta que se llega al equilibrio térmico.

Geometría del cilindro:

Radio: r0 = 0.05 m

Longitud: L = 0.2 m

αacero = 0.279 10-5 m2 s-1

Densidad del acero: ρacero = 8169 kg m-3

Calor específico del acero : Cp = 460 J kg -1 K-1


Longitud: L = 0.2 m

Datos térmicos del acero:

Conductividad térmica del acero:

k acero = 10 W m-1 K-1

Difusividad térmica del acero:

Calor específico del acero : Cp = 460 J kg K

Temperatura inicial de la pieza: Ti = 373 K

Datos térmicos del aceite:

Temperatura del aceite: T aceite = 293 K

Coeficiente de convección: h aceite = 40 W m-2 K-1

2

01

L = 0.2 m

r0 = 0.05 m


Problema 5Se extrae de un horno una pieza prismática metálica de 12 * 10 * 8 cm con temperaturauniforme de 400 ºC; dicha pieza se deposita para que se enfríe sobre una mesa en unambiente a 25 ºC con un coeficiente de convección uniforme que se estima en 50 W/ m2

K. Se desea conocer al cabo de 15 minutos la temperatura superficial en el centro de lacara de 10 cm * 8 cmNOTAS:Considerar que a través de la mesa el calor transmitido por conducción es despreciable.Se apoya sobre la mesa la superficie de 12 por 10 cm

Difusividad del material: 5− m2 s-1


Difusividad del material:Conductividad del material:Coeficiente de convección:Temperatura inicial de la pieza:

Temperatura ambiente:Tiempo transcurrido:

Dimensiones de la pieza: 12 cm.10 cm.

8 cm.

Lx 0.12 m⋅:= Ly 0.08 m⋅:= Lz 0.1 m⋅:=

α 1.14 105−× m

2 s-1⋅:=

k 15W

m K⋅⋅:=

h 50 W m-2

K-1⋅⋅:=

Ti 400 273.15+( ) K⋅:=

Tamb 25 273.15+( ) K⋅:=t 15 60⋅ s⋅:=


Problema 6Una empresa de alimentos desea diseñar un horno continuo para la cocción depanetones navideños (tortas en forma de cilindros cortos) con dimensiones 30 cm dediámetro y 25 cm de alto, como se muestra en la figura. A partir de datos experimentalesse sabe que la torta tiene las siguientes propiedades:W(peso)=1.2 kg, Cp = 1250 J/kg K, k=0.7 W/m K.El cocinero, a través de su experiencia, sabe que el panetón queda cocinado cuando ensu centro de masa se ha alcanzado una temperatura de 85°C. Par a que no se queme, nodebe superarse una temperatura de 100°C en todos los puntos d el panetón.Para lograr la cocción los panetones se cargan en una banda transportadora, permitiendola transferencia de calor del aire circundante hacia el panetón, sólo por las caras


la transferencia de calor del aire circundante hacia el panetón, sólo por las carasexpuestas del panetón. Es decir, la cara que queda apoyada sobre la bandatransportadora se considera adiabática.Para el proceso de cocción se usa aire caliente a 200°C y se con sidera que el coeficientede transmisión de calor se puede calcular con la relación h=C*V0.52, donde V es lavelocidad del aire, C es una constante de valor 0.7.El panetón entra al horno a temperatura ambiente de 25°C, y se desean procesar 100panetones por hora.Calcular:Las dimensiones del horno, la velocidad del aire necesaria, y el calor necesario.


Problema 6

Aire: T=200°C

Campana aire

Tent=25°C

Panetón



Métodos numéricos

• Ecuación general

• Discretización numérica espacial

t

T

k

gT

∂∂=+∇

α12

y

TTx

x

TTy

y

TTx

x

TTydAT jijijijijijijiji

∆−

∆+∆

−∆+

∆−

∆+∆

−∆=∇ ++−−

∫,1,,,1,1,,,12

• Calor generado

• Discretización temporal


yx

xy

yx

xydAT

SC ∆∆+

∆∆+

∆∆+

∆∆=∇∫

yxk

gdV

k

g

VC

∆∆=∫

yxt

TTdV

t

Tnn

ji

SC

ji ∆∆∆−

=∂∂

+

∫,

1,11

αα


Métodos numéricos

• Agrupandoyx

k

g

y

TTx

x

TTy

y

TTx

x

TTyyx

t

TTjijijijijijijiji

nnji ji ∆∆+

∆−

∆+∆

−∆+

∆−

∆+∆

−∆=∆∆

∆− ++−−

+,1,,,1,1,,,1

1, ,1

α

Para un sistema 1d, todas la temperaturas tomadas en eltiempo n gTTTTTT nn −−−+1

1


tiempo nx

k

g

x

TT

x

TTx

t

TTiiii

nni i ∆+

∆−+

∆−=∆

∆−

+−+

11

11α

Despejando para Tn+1 ( )nnnnni iiii

TTTx

tTT 2

1121 −+

∆∆+=

+−

+ α

Reagrupando ( ) ( )FoTTTFoT nnnni iii

2111

1 −++=+−

+

Esquema condicionalmente estable 21≤Fo

Una vez establecidos las propiedades de material y ∆x, ∆t queda determinadopor la condición de estabilidad

Esquema explícito (Euler)


Métodos numéricos

Para un sistema 1d, todas la temperaturas tomadas en eltiempo n+1

xk

g

x

TT

x

TTx

t

TT nnnnnni iiiii ∆+

∆−

+∆−

=∆∆− +++++

+−

11111

111α

Despejando para Tn+1 ( )1112

1 211

++++ −+∆

∆+=+−

nnnnni iiii

TTTx

tTT

α

Esquema implícito


Reagrupando ( ) ( ) nnnni iii

TTTFoTFo =+−+ ++++−

111

1112

Esquema incondicionalmente estable

El ∆t tomado es independiente del material y del ∆x.Se debe resolver un sistema de ecuaciones lineales.


Problema 7

Un dispositivo electrónico (microprocesador) genera calor a razón de30t W. El procesador tiene una masa de 20 gramos, calor específicode 850 J/Kg K y un área superficial de 5 cm2. El dispositivo se usa y alcabo de cierto tiempo se apaga debido a que se alcanzó el límitesuperior de temperatura de 75 ºC. ¿Cuanto tiempo duró funcionando?Si solo cuando se alcanza una temperatura de 45ºC es posibleencenderlo de nuevo, ¿cuánto tiempo debe permanecer apagado


encenderlo de nuevo, ¿cuánto tiempo debe permanecer apagadohasta encenderlo de nuevo?

Otros datos:– T ambiente=25 ºC– h ambiente = 12 W/m2 K


Ejemplo 2 dimensiones


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Conduccion en Estado Transitorio

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