Conduction en régime permanent

Conduction en régime permanent

a) Introduction

div kgradT→ ⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + q

.=0En régime permanent div kgradT

→ ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ + q

.=ρC

∂T∂t

k∂2T∂x2

+∂2T∂y2

+∂2T∂z2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ +q

.=0

Dans un milieu:• isotrope • homogène

k indépendant de la directionk indépendant de la position

0qTk =+Δ &



• a - Intro• b - Cas du mur


b) Cas du mur en absence de source interne 0qTk =+Δ &T=ax+b a et b dépendent des conditions aux limites

1 2

∆ • Températures T1 et T2 imposées

T =T2 −T1

Δx + T1

• Température T1 et flux de chaleur en 2 (q∆) imposées

T =−qΔkΔ

x + T1

• Conditions d’échanges en 1 et 2 imposées


Notion de résistance thermique

q =−kAΔ

ΔT q =−

ΔTR th Ak Δ=thR

i =ΔVR

R =ρlS

1 2

∆

T1 T2thR

3

∆’

thR' T3



• a - Intro• b - Cas du mur• c - cas d’un cylindre


c) cas d’une couronne cylindrique

R1

R2 r

T1

T2

A travers le cylindre de rayon r

q =−k 2πρL( )dTdρ

En régime permanent q est indépendant de r

dT =−q

2πkLdρρ

T =−q

2πkLlogρ+ a

L


c) cas d’une couronne cylindrique

R1

R2 r

T1

T2

T =−q

2πkLlogρ+ a

r=R1 T=T1

r=R2 T=T2 T2 =−q

2πkLlogR 2 +a

T1 =−q

2πkLlogR1 +a

L


c- cas d’une couronne cylindrique

R1

R2 r

T1

T2

T1 =−q

2πkLlogR1 +a

T2 =−q

2πkLlogR 2 +a

T2 −T1 =−q

2πkLlog

R 2R 1

=qR th Avec

R th =1

2πkLlog

R1R 2

L



• a - Intro• b - Cas du mur• c - cas d’un cylindre• d - cas d’une sphère


T =q

4πkρ+a

rT1

T2d) cas d’une sphère creuse

q =−k 4πρ2( )dTdρ

dT =−q

4πkdρρ2


T =q

4πkρ+a

T2 −T1 =q4π

1R 2

−1R 1

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =qR th ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ −π=

12th R

1R1

41R

rT1

T2

r=R1 T=T1

r=R2 T=T2

d) cas d’une sphère creuse



• a - Intro• b - Cas du mur• c - cas d’un cylindre• d - cas d’une sphère• e - Propriétés de k


Gaz à la température T

E =12mv2 =

32kBT

m

v

T

e) Propriétés de k



E =12mv2 =

32kT

T(x)

A



E =12mv2 =

32kT

T1

2d3 2d3

T2T(x)

A

B

E A =32kBT1 =

32kBT x−

2d3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

EB =32kBT2 =

32kBT x +

2d3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

d= libre parcours moyen



T1

2d3 2d3

T2T(x)

A

B

E A =32kBT1 =

32kBT x−

2d3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

EB =32kBT2 =

32kBT x +

2d3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

ΔE = EA − EB = −32

kB43

δ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ dTdx



T1

2d3 2d3

T2T(x)

A

B

ΔE = EA − EB = −32

kB43

δ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ dTdx

si est le nombre de particules qui traversentle plan x (par unité de S) dans un sens

q= Δ On démontre que =14

nv

q =−12kBv d

dTdx

=−kdTdx



T1

2d3 2d3

T2T(x)

A

B

q =−12kBv d

dTdx

=−kdTdx

On peut montrer que k ∝ T

k ∝1

b M

b : section efficace des particules

M : masse molaire

Par m2


K(M/mK)

0,4

0,2

T(°C)200 400

H2

He

O2

AirCO2

k ∝ T

k ∝1

b M

Conductibilité de quelques gaz


Remarque sur l’effet de la pression

k =12kBv d

La pression joue sur n et sur d

La thermalisation du gaz demande en fait plusieurs chocs

d a un rôle prépondérantT1 T2


T1 T2

T1 T2

dD

dD

K' =KΔ

Δ + d


Cas des liquides


cas des solides

Très grande diversité de comportements :

Conducteurs Contribution électronique et du réseau

k(W/mK)209,3389,674,420,911

ρ(m10-8)2,621,559,049,075

*109

20,122,124,537,530,2

T=273KAlCuFeConstantanInvar

kσT

=2, 4510−8K−2loi de Wiedemann Frantz:


0

100

200

300

400

500

-200 0 200 400 600 800

Al

Fe

Ag

Cu

Température(C)

k [W

/mK

]


cas des solides

Tres grande diversité de comportements :

ConducteursIsolants

Contribution électronique et du réseauContribution du réseau seulement

Généralement k augmente avec T


cas des solides

Très grande diversité de comportements :

ConducteursIsolantsInhomogènes

Contribution électronique et du réseauContribution du réseau seulementCéramiques

On traite comme si le matériau était homogène avec un kapparent


Exemple les matériaux frittés - céramiques

Porosité p =1−d échatillodmaσσif

kapp ≈kmaσσif1−π( )


cas des solides

Tres grande diversité de comportements :

ConducteursIsolantsInhomogénes

Composites

Contribution électronique et du réseauContribution du réseau seulementCéramiques


Exemples Nappes de conducteurs électriques

d’

dkapp =kiΦ

dd' ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

2

4

6

8

10

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1d/d'



• a - Intro• b - Cas du mur• c - cas d’un cylindre• d - cas d’une sphere• e - Propriétés de k• f - Exemple d’une ailette


Ailettes de refroidissement

p=périmetre de la section SA

l

x

q1 q2

q3


q1 =−kAd(Tx+dx )

dx+ hPdx(T −Ta)

q1 =−kAdTxdx

=q2 + q3

q1 q2

q3

d2qdx2

−m 2q =0

T-Ta=q

m =hπkA


d2qdx2

−m 2q =0 m =hπkA

q =C1emx + C2e−mx

Question - Comment calculer C1 et C2 ?


Rendements de l’ailette

h=Qdis

hAθ0

Par l’ailetteSi pas d’ailette

h =Qdis

hSLθ0

Par l’ailetteSi toute l’ailette à T0

1

2



• a - Intro• b - Cas du mur• c - cas d’un cylindre• d - cas d’une sphère• e - Propriétés de k• f - Exemple d’une ailette• g - Milieux avec sources internes


g) Milieux avec sources internes0qTk =+Δ &

•1- Cas du mur baxxk2qT 2 ++−= &

TaTa

∆

€

T = ˙ q 2k

Δ2

4 −x2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ +Ta


• 2-Cas du cylindre infini ( ) 0qdrdT

r1

drTdk 2

2

=++ &

1r

rdTdr

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟brlogark4

qT 2 ++−= &

∆- Cylindre plein

r=0 T doit rester finie a=0

€

T = ˙ q 4k

Δ2

4 −r2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ +Ta

- Cylindre creux

TaTa

•3- Cas de la sphère( ) 0qdr

dTr2

drTdk 2

2

=++ &0qTk =+Δ &

En posant u=dT/dt brark6

qT 2 +−−= &

• Sphère pleine : a=0

0

r∆

€

T = ˙ q 6k

Δ2

4 −r2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ +Ta

0r

La quantité de chaleur générée dans la sphère de rayon r3r3

4q π&est évacuée par conduction

( )drdTr4k 2π−

r3q

drdTk &−=

Remarque Conduction en régime permanent


•FIN

Date post:	15-Mar-2016
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