✐ ✐ “RelatividadDigital” — 2014/4/9 — 9:42 — page 1 — #1 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ 1.-Contracci´on de FitzGerald-Lorentz Part I: ¿Real o aparente? Introducci´ on Detector óptico Figura 1.1: Cada rayo refleja- do sigue una trayectoria diferente hacia el detector ´ optico. Por esa raz´ on, y para velocidades relati- vas cercanas a la velocidad de la luz, la contracci´ on de FitzGerald- Lorentz no puede verse como una simple contracci´ on en la direcci´on del movimiento relativo. 1 La visualizaci´ on de un objeto f´ ısico se construye con los rayos de luz que, reflejados por el objeto, al- canzan el correspondiente sistema de visualizaci´ on. Debido a la velocidad finita de la luz y a las dife- rentes distancias que la luz ha de recorrer desde las diferentes partes del objeto, no todos los rayos de luz reflejados por el objeto alcanzan el sistema de visualizaci´ on al mismo tiempo. En consecuencia, la contracci´on de FitzGerald-Lorentz no es percibida visualmente, o fotografiada, como tal contracci´on en la direcci´ on del movimiento relativo, sino como una especie de rotaci´ on [163], [182], [140]. Aunque la correcci´on apropiada de esos efectos revelar´a que esa contracci´on est´ a ah´ ı. 2 En este libro hemos asumido que los resultados de todas las observaciones y mediciones realizadas por un observador desde cualquier sistema de referen- cia inercial son corregidas adecuadamente por un ordenador en cuya pantalla se muestran las im´ agenes corregidas. En consecuencia, todos los objetos observados en movimiento relativo ser´an representados y considerados como realmente con- tra´ ıdos en la direcci´ on del movimiento relativo, tal como prescribe la contracci´on de FitzGerald-Lorentz. 3 En un cap´ ıtulo anterior tuvimos la oportunidad de examinar el papel del factor relativista γ = (1 - v 2 /c 2 ) −1/2 en la transformaci´on de Lorentz. Como vimos all´ ı, γ tambi´ en puede ser reinterpretado como un factor para la conversi´ on entre el lenguaje anal´ogico y el digital. La contracci´on de la longitud, la dilataci´ on del tiempo, la diferencia de fase en la sincronizaci´ on y el incremento de la masa con el 1
Figura 1.1: Cada rayo refleja-do sigue una trayectoria diferentehacia el detector optico. Por esarazon, y para velocidades relati-vas cercanas a la velocidad de laluz, la contraccion de FitzGerald-Lorentz no puede verse como unasimple contraccion en la direcciondel movimiento relativo.
1 La visualizacion de un objeto fısico se construye
con los rayos de luz que, reflejados por el objeto, al-
canzan el correspondiente sistema de visualizacion.
Debido a la velocidad finita de la luz y a las dife-
rentes distancias que la luz ha de recorrer desde las
diferentes partes del objeto, no todos los rayos de
luz reflejados por el objeto alcanzan el sistema de
visualizacion al mismo tiempo. En consecuencia, la
contraccion de FitzGerald-Lorentz no es percibida
visualmente, o fotografiada, como tal contraccion
en la direccion del movimiento relativo, sino como
una especie de rotacion [163], [182], [140]. Aunque
la correccion apropiada de esos efectos revelara que
esa contraccion esta ahı.
2 En este libro hemos asumido que los resultados de todas las observaciones
y mediciones realizadas por un observador desde cualquier sistema de referen-
cia inercial son corregidas adecuadamente por un ordenador en cuya pantalla se
muestran las imagenes corregidas. En consecuencia, todos los objetos observados
en movimiento relativo seran representados y considerados como realmente con-
traıdos en la direccion del movimiento relativo, tal como prescribe la contraccion
de FitzGerald-Lorentz.
3 En un capıtulo anterior tuvimos la oportunidad de examinar el papel del factor
relativista γ = (1− v2/c2)−1/2 en la transformacion de Lorentz. Como vimos allı,
γ tambien puede ser reinterpretado como un factor para la conversion entre el
lenguaje analogico y el digital. La contraccion de la longitud, la dilatacion del
tiempo, la diferencia de fase en la sincronizacion y el incremento de la masa con el
Figura 1.3: Diagrama de espaciotiempo de una varilla metrica cuyas coordenadas espa-ciales propias son xo1 y xo2.
xo2 = γ(xv2 − vtv2) (7)
Y siendo tv1 = tv2 en el proceso de medicion realizado en RFv tendremos:1
xo2 − xo1 = γ(xv2 − xv1) (8)
O lo que es lo mismo:
xv2 − xv1 = γ−1(xo2 − xo1) (9)
¿Real o aparente?11 Acabamos de ver que la contraccion de FitzGerald-Lorentz es una consecuen-
cia inevitable de los principios de la relatividad. Ahora bien, ¿Es real2 o aparente
esa contraccion? La mayorıa de los autores de libros sobre la relatividad especial
evitan tratar con esta ’notoria controversia,’ como la llamo Max Born [36]). Sobre
esa controversia Anthony P. French escribio [71, pp. 113-114]:
Esta discusion deberıa dejar claro que la pregunta ¿tiene realmente lu-
gar la contraccion FitzGerald-Lorentz? no tiene una respuesta sencilla
e inequıvoca desde un punto de vista de la relatividad. Donde debe
ponerse toda la atencion es en definir que observaciones reales debe-
mos tomar si queremos medir la longitud de algun objeto que puede
estar en movimiento relativo respecto a nosotros. Y la prescripcion
es sencillamente medir sus dos extremos en el mismo instante, segun
nosotros ¿Que otra cosa podrıa hacerse? Ası la contraccion, cuando la
observamos, no es una propiedad de la materia sino algo inherente al
proceso de la medida.
1Para medir una varilla que se mueve se ha de medir la posicion de sus extremos en elmismo instante, en caso contrario un extremo se habrıa desplazado con respecto al otroy obtendrıamos una medida erronea de la varilla.
2Como algunos autores contemporaneos, por ejemplo [20], reclaman.
Figura 1.7: La longitud aparente de una varilla observada en movimiento relativo sepuede corregir solo si tambien se corrige la correspondiente dilatacion inercial del tiempoy el desfase en la sincronizacion de los relojes.
rald-Lorentz tendra tambien que corregir la dilatacion inercial del tiempo y el
desfase en la sincronizacion de los relojes para poder realizar el calculo correcto
de la velocidad del foton.
25 Terminemos esta seccion parafraseando el siguiente texto universitario sobre
la contraccion de FitzGerald-Lorentz ([178, p. 42]):
(Original) Tengo que advertiros sobre el lenguaje. He dicho que una
varilla de longitud Lo observada desde su sistema de referencia propio
tiene una longitud mas corta Lv cuando se observa desde otro sistema
de referencia. A menudo este resultado se enuncia como ’Una varilla de
longitud Lo cuando es observada en su sistema de referencia propio,
parece tener una longitud mas corta Lv cuando es observada desde
otro sistema de referencia’. Este enunciado es verdadero: la varilla
parece tener una longitud Lv mas corta porque tiene una longitud Lv
mas corta. El uso de la palabra ’parece’ da la falsa impresion de que
cuando la varilla es observada desde un sistema de referencia en el
cual la varilla se mueve, la varilla realmente tiene una longitud Lo y
solo parece que tiene una longitud Lv. No. Cuando se observa desde
un sistema de referencia en el cual la varilla se mueve, la varilla tienen
realmente un longitud mas corta Lv.
(Parafrasis) Tengo que advertiros sobre el lenguaje. He dicho que una
varilla recta esta doblada cuando es observada parcialmente sumergida
en agua. A menudo este resultado se enuncia como ’Una varilla recta
parcialmente sumergida en agua parece doblada’. Este enunciado es
verdadero: la varilla parece doblada porque esta doblada. El uso de
la palabra ’parece’ da la falsa impresion de que cuando la varilla es
observada parcialmente sumergida la varilla esta realmente recta y solo
parece estar doblada. No. Cuando se observa parcialmente sumergida
en agua la varilla esta realmente doblada.
Formas cambiantes26 Considerese ahora una chapa cuadrada P hecha con el acero mas resistente
cuyo lado tiene una longitud propia Lo, y supongase que esta orientada de modo
que uno de sus lados sea paralelo al eje Xo de su sistema de referencia propio
RFo. Como no podıa ser de otra forma, despues de un giro de 45◦ sobre su centro
geometrico (Figura 1.8) y en el sentido de las agujas del reloj, P continua siendo
un cuadrado en su sistema de referencia RFo.
RFo RFv
Xo
Yo Yv
Xv
v
Figura 1.8: De acuerdo con los observadores de RFv , una simple rotacion basta paracambiar la forma de una chapa metalica fabricada con el mas resistente de los aceros.
27 En otro sistema de referenciaRFv desde el cualRFo se mueve en una direccion
paralela al eje Xo, P es visto antes de la rotacion como un rectangulo cuyos lados
son Lo y γ−1Lo. Despues de la rotacion de 45◦ la forma de P es la de un rombo
cuyo lado es Lo
√
(1 + γ−2)/2.
28 Que una simple rotacion libre sea suficiente para cambiar la forma de una
placa metalica va contra varias leyes mecanicas, fisicoquımicas y cristalograficas.
Por otra parte, y de acuerdo con el Primer Principio de la relatividad, las leyes
fısicas son las mismas para todos los sistemas de referencia. Esta incongruen-
cia deberıa ser una razon suficiente para que los observadores de RFv concluyan
que sus observaciones estan distorsionadas por el movimiento relativo de la mis-
ma manera que la observacion de una varilla parcialmente sumergida en agua
esta distorsionada por la refraccion de la luz.
RFo RFvYo Yv
Xo Xv
v
Figura 1.9: Deformacion sin esfuerzos mecanicos. Mediante una simple rotacion de laestructura, sus dos brazos se contraen y expanden alternativamente, sin que ningunafuerza actue sobre ella.
29 La estructura en escuadra representada en la figura 1.9 plantea un problema
similar: sucesivas rotaciones libres de 90◦ son suficientes para contraer, alterna-
tivamente, uno de sus brazos por un factor γ1 al tiempo que extiende el otro por
un factor γ, sin que ninguna fuerza actue sobre ellos.
30 Estos ejemplos de deformacion mecanica sin la accion de fuerzas se asemejan
Figura 1.11: De acuerdo con la leyes de la mecanica, en el equilibrio todas las marcasblancas y negras de la cuerda elastica han de tener necesariamente la misma longitud.
33 RFo es el sistema de referencia propio del montaje mecanico representado
en la figura 1.11, en el cual una carga de masa en reposo mo cuelga de una
cuerda elastica, cuyo extremo izquierdo esta unido a un soporte vertical fijo. La
Figura 1.12: En RFv , con respecto al cual RFo se mueve de izquierda a derecha en ladireccion del eje Xv , la longitud de las marcas horizontales de la cuerda estan contraıdaspor un factor γ−1, mientras que las marcas verticales mantienen su longitud propia lo.
35 RFv es un sistema de referencia inercial cuyo diagrama espaciotemporal
coincide con el de RFo en un cierto instante, y desde el que RFo se mueve de
izquierda a derecha, en la direccion de Xo con una velocidad v. En consecuencia,
y de acuerdo a la transformacion de Lorentz, en RFv la longitud de las marcas
verticales de la escala metrica es tambien Lo, mientras que las marcas horizontales
3Un truco comun que usamos en geologıa para ilustrar la deformacion mecanica de lasrocas.
36 Sea n el numero de marcas de la escala metrica, y supongase que nh de
ellas estan en la seccion horizontal para una cierta posicion de la polea deslizante.
Obviamente, el numero de marcas verticales en esa misma posicion sera n − nh.
Como cabrıa esperar, en RFo la longitud Lo de la cuerda en equilibrio con la masa
colgante no varıa con la posicion de la polea:
Lo = nhlo + (n− nh)lo (10)
= lo(nh + n− nh) = nlo (11)
Sin embargo, en RFv la longitud Lv de la cuerda es variable, dependiendo de la
posicion de la polea, es decir del numero nh de marcas horizontales:
Lv = nhγ−1lo + (n− nh)lo (12)
= lo(nhγ−1 + n− nh) (13)
= lo(n− nh(1− γ−1)) (14)
Por tanto, a medida que el numero nh de marcas horizontales aumenta la longitud
Lv de la cuerda disminuye. O con otras palabras, si la polea se desplaza hacia la
derecha la longitud de la cuerda disminuye, y si se desplaza hacia la izquierda
su longitud aumenta. Obviamente esos cambios de longitud estan en desacuerdo
con las leyes de la mecanica: una misma masa colgante no puede crear diferentes
tensiones mecanicas, y por tanto diferentes estiramientos, en la misma cuerda.
mv
mv
1 12
2
3
3
4
4
5
5
6
6
lo
g-1
lo
Figura 1.13: La tension mecani-ca horizontal de cualquier partede la cuerda cambia cuando cam-bia su posicion de la seccion hori-zontal a la vertical y viceversa.
37 Al deslizar la polea hacia la izquierda o ha-
cia la derecha podemos hacer que cualquier par-
te de la cuerda pase de la posicion horizontal a
la vertical y viceversa. Cuando cambia, su tension
mecanica tambien cambia, siendo mayor cuando su
posicion es vertical (Figura 1.13). Estos cambios de
tension son tambien incompatibles con las leyes de
la mecanica.
38 Como acabamos de ver, la situacion mecanica
observada desde RFv es incompatible con las leyes
fısicas conocidas. Por una parte, la tension mecani-
ca de la cuerda debe ser la misma a lo largo de toda
su longitud y, por tanto, la longitud de todas sus
marcas metricas tiene que ser tambien la misma,
ya esten en la seccion horizontal o en la vertical.
Por la otra, la longitud total de la cuerda en equi-
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