CONTROLE DE UM BALL AND BEAM UTILIZANDO SISTEMA SEGUIDOR COM ATRIBUIÇÃO

DE AUTO-ESTRUTURA COMPLETA

Abstract The learning of control techniques is directly related to teaching platforms such as the in-

verted pendulum and the ball and beam. This paper presents some changes in relation to the traditional

ball and beam, with the replacement of the ball by a car. Thus, measurement of the position is performed

by a linear encoder. The modelling was done by ADAMS® with two degrees of freedom, and after line-

arization of the model around a point, was obtained a state space model. After modelling, simulations

were performed in Matlab/Simulink® with a tracking control system, with complete allocation auto-

structure.

Keywords Ball and Beam, Tracking System, ADAMS® and Virtual Prototype.

Resumo O aprendizado de técnicas de controle está relacionado diretamente às plataformas didáticas

como, por exemplo, o pêndulo invertido e o ball and beam. Este trabalho apresenta algumas mudanças

em relação ao ball and beam tradicional, com a substituição da bola por um carro. Desse modo, a

medida da posição é realizada por um encoder linear. A modelagem foi realizada pelo ADAMS® com

dois graus de liberdade, e após a linearização do modelo em torno de um ponto, obteve-se o modelo em

espaço de estados. Após a modelagem, as simulações foram realizadas no Matlab/Simulink® com um

sistema de controle seguidor, com atribuição de auto-estrutura completa.

Palavras-chave Ball and Beam, Controle Seguidor, ADAMS® e Protótipo Virtual.

1 Introdução

O controle de sistemas instáveis como reações

químicas, exotérmicas, problemas de aeronaves e ou-

tros, podem ser processos extremamente perigosos

(Hasanzade, 2008) ou de grande custo. Modelos didá-

ticos como o ball and beam apresentam características

interessantes, como a instabilidade e não linearidade

(Chang, 2011) presentes em diversas aplicações de

controle. Em outras palavras, a análise e compreensão

de modelos didáticos como pêndulo invertido e o ball

and beam, permitem aos estudantes tratar as dificul-

dades encontradas na implementação de controlado-

res. Os modelos podem ser construídos de diversas

formas apresentando particularidades de projeto,

como é o caso analisado neste trabalho.

Devido à concorrência de mercado as indústrias

entram em um empasse, pois necessitam aumentar as

linhas de produção sem perder o padrão dos produtos.

A solução pode ser encontrada em novas ferramentas

de qualidade, treinamento, melhores equipamentos e

consequentemente controladores precisos.

Além do mais, em aplicações com alto nível de

periculosidade, tal como usinas nucleares e aviões, são

necessários controles que garantam a atuação do sis-

tema como um todo. Com a maior capacidade de pro-

cessamento dos computadores atuais, a teoria de con-

trole moderno, baseada na análise algébrica de mode-

los matemáticos, torna-se viável com objetivo de aper-

feiçoar projetos e construção de controladores e garan-

tindo atuação do sistema (Breganon, 2013).

Aplicações de técnicas de controle moderno ne-

cessitam de modelos matemáticos. Dependendo da

complexidade do problema, ou o número de graus de

liberdade do sistema, a modelagem matemática utili-

zando as técnicas de Newton-Euler ou Lagrange pode-

se tornar trabalhosa. Uma possível solução é utilizar

softwares de modelagem dinâmica. Nesse trabalho o

ADAMS® (Automated Dynamic Analysis of Mechani-

cal Systems) foi utilizado para modelar o sistema.

Além disso, é possível exportar modelos do ADAMS®

para o Matlab/Simulink® que facilita a análise con-

junta do controle com a planta (Zhu, 2010). Essa pos-

sibilidade proporciona a simulação da planta não li-

near do problema, desse modo, a simulação passa a ser

mais próxima do real acarretando assim maior rea-

lismo, o que facilita a implementação do controle na

planta real.

2 O Ball and beam Modificado

O ball and beam é um modelo de laboratório

clássico e importante para o aprendizado de sistemas

de controle (Wen, 2005), isso se deve ao fato que tanto

o controle clássico quanto métodos de controle moder-

nos podem ser estudados a partir deste.

O modelo clássico do ball and beam é uma bola

de aço sobre uma barra, onde um ponto da barra é fixo

por uma junta de rotação e em outro ponto é fixo o

motor, sendo possível levantar e abaixar a barra. O ob-

jetivo do sistema é parar a bola na posição desejada,

onde o deslocamento atual da bola é medida com um

sensor de posição (Sathiyavathi, 2013), a Figura 1

ilustra o sistema.

O modelo proposto de ball and beam é modifi-

cado já que no lugar da bola existe um carro, e para

medir o deslocamento foi utilizado um encoder linear.

O carro possui um microcontrolador (dsPIC)

para realizar leitura do encoder, e a transmissão da po-

sição atual do carro para o computador. A transmissão

é feita através de um transmissor/receptor wireless

com comunicação via interface rs232. O sistema pode

ser visualizado na Figura 2.

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Figura 1- Ball and beam

Figura 2 - Ball and beam Modificado

Apesar das modificações, assim como o ball and

beam tradicional, o modelo possui dois graus de liber-

dade sendo um o deslocamento do carro e o outro a

variação angular da barra. A ação sobre o carro de-

pende do ângulo de inclinação da barra. O carro se

desloca em x, onde a posição do carro é a variável con-

trolada e a origem do eixo de coordenadas é a posição

inicial. Como mostra o protótipo virtual na Figura 3.

Figura 3 - Ball and beam modelado no ADAMS®

A ação de controle é o torque do servomotor que

é mostrado na Figura 4, na figura são mostradas, tam-

bém, as juntas de rotação sistema.

Figura 4- Posição do atuador

3 Sistema Seguidor

Um sistema linearizado em malha aberta pode

ser representado por equações de estado de n-ésima

ordem e de saída de p-ésima ordem como segue

abaixo:

�̇� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 (1)

𝒚 = 𝑪𝒙 = [𝑬𝑭

] 𝒙 (2)

Onde y é um vetor 𝑝 × 1 e 𝒘 = 𝑬𝒙 é um vetor

𝑚 × 1 representando as saídas que são necessárias

para seguir o vetor de entrada 𝒓.

O controle por realimentação de estados é proje-

tado com o intuito de que o vetor de saída 𝒘 siga o

comando de entrada 𝒓 no sentido de que a resposta em

regime seja:

lim𝑡→∞

𝒘(𝑡) = 𝒓(𝑡) (3)

Quando 𝒓 é um comando de entradas constante

por partes. O método consiste na adição de um vetor

comparador e integrador que satisfaça a Equação (4)

(D’Azzo, 1995, p.541).

�̇� = 𝒓 − 𝒘 = 𝒓 − 𝑬𝒙 (4)

O sistema de malha aberta composto é então go-

vernado pelas equações aumentadas de estado e saída

formada a partir das Equações (1) e (2):

[�̇��̇�

] = [𝑨 𝟎

−𝑬 𝟎] [

𝒙𝒛

] + [𝑩𝟎

] 𝒖 + [𝟎𝑰

] 𝒓 = �̅�𝒙′ + �̅�𝒖 +

�̅�′𝒓 (5)

𝒚 = [𝑪 𝟎] [𝒙𝒛

] = �̅�𝒙′ (6)

Onde:

y x

Torque

Juntas

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�̅� = [𝑨 𝟎

−𝑬 𝟎] ; �̅� = [

𝑩𝟎

] ; 𝑩′ = [𝟎𝑰

] ; �̅� = [𝑪 𝟎] (7)

De acordo com D’AZZO (1995) a lei de controle

a ser usada é:

𝒖 = 𝑲𝟏𝒙 + 𝑲𝟐𝒛 = [𝑲𝟏 𝑲𝟐] [𝒙𝒛

] (8)

�̅� = [𝑲𝟏 𝑲𝟐] (9)

A representação do sistema de controle por rea-

limentação, consistindo das equações de estados e sa-

ída dadas pelas Equações (1) e (2), e a lei de controle

da Equação (8), pode ser visualizado no diagrama de

blocos na Figura 5.

Figura 5 - Sistema Seguidor

Esta lei de controle atribui o espectro de autova-

lores de malha fechada, se e somente se, a planta au-

mentada e o par de matrizes de controle (�̅�, �̅�) é con-

trolável (D’AZZO, 1995). Esta condição é satisfeita se

(𝑨, 𝑩) for um par controlável e

𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 [𝑩 𝑨𝟎 −𝑬

] = 𝑛 + 𝑚 (10)

Para que (𝑨, 𝑩) seja controlável é necessário que

satisfaça a condição de controlabilidade (Equação 11).

𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑴𝒄 = 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜[𝑩 𝑨𝑩 𝑨𝟐𝑩 … 𝑨𝒏−𝒎𝑩] = 𝑛 (11)

As condições das Equações (10) e (11) garantem

que a lei de controle pode ser sintetizada tal que a sa-

ída da malha fechada 𝒘 segue o comando de entrada

𝒓. E neste caso a equação de malha fechada é:

�̇�′ = [�̇��̇�

] = [𝑨 + 𝑩𝑲𝟏 𝑩𝑲𝟐

−𝑬 𝟎] [

𝒙𝒛

] + [𝟎𝑰

] 𝒓 = 𝑨𝒄𝒍′ 𝒙′ +

+𝑩′𝒓 (12)

A matriz de realimentação deve ser selecionada

tal que os autovalores da matriz da planta de malha

fechada estejam todos no semi-plano complexo es-

querdo.

A obtenção da matriz �̅� é realizada a partir da

seleção dos autovalores a serem atribuídos à matriz da

planta de malha fechada 𝑨𝒄𝒍′ da Equação (12).

[�̅� + �̅��̅�]𝒗𝒊 = 𝜆𝑖𝒗𝒊 (13)

Que pode ser colocada na forma

[�̅� − 𝜆𝑖𝑰 �̅�] [𝒗𝒊

𝒈𝒊] = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … 𝑛 + 𝑚 (14)

Onde 𝒗𝒊 é o autovetor e

𝒈𝒊 = �̅�𝒗𝒊 (15)

Para satisfazer a Equação (14), o vetor

[𝒗𝑖𝑇 𝒈𝑖

𝑇]𝑇 deve pertencer ao kernel de

�̅�(𝜆𝑖) = [�̅� − 𝜆𝑖𝑰 �̅�] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … 𝑛 + 𝑚 (16)

A notação ker 𝐒(λi) é usada para definir o es-

paço chamado de nulo que contém todos os vetores

[𝒗𝒊𝑻 𝒈𝒊

𝑻]𝑻para que a Equação (4) seja satisfeita

(D’AZZO, 1995). A Equação (15) pode ser usada para

formar a igualdade matricial

[𝒈𝟏 𝒈𝟐⋯ 𝒈𝒏+𝒎] =

[�̅�𝒗𝟏 �̅�𝒗𝟐 ⋯ �̅�𝒗𝒏+𝒎 ] (17)

Donde se obtém a matriz �̅� como segue:

�̅� =

[𝒈𝟏 𝒈𝟐⋯ 𝒈𝒏+𝒎][𝒗𝟏 𝒗𝟐 ⋯ 𝒗𝒏+𝒎]−𝟏 =

𝑸𝑽−𝟏

(18)

Observa-se que os autovalores podem ter valores

repetidos em número igual às entradas do sistema. Isso

se deve ao fato do espaço nulo ter dimensão igual ao

numero de entradas. Assim, associa-se um autovalor

repetido a um vetor da base do espaço nulo. Com isso,

todas as colunas da matriz 𝑽 continuam sendo linear-

mente independentes, e por isso a matriz 𝑽−𝟏existe

(Montezuma, 2010).

4 Resultados

O modelo linear dado em termos de variáveis de

estado é dado pelas matrizes A, B, C e D onde a matriz

A é a matriz de estado, a matriz B que é a matriz de

entrada, a matriz C é a matriz de saída do sistema e a

matriz D que é a matriz de transmissão direta no caso

é uma matriz nula. Através das matrizes é possível cal-

cular os ganhos para o sistema seguidor.

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As matrizes do protótipo virtual são:

𝑨 = [

0 6,7966𝐸 − 81 0

0 60,76120 0

0 2,3292𝐸 + 00 0

0 −58,4751 0

] (19)

𝑩 = ⌊

2,4558𝐸 − 80

−0,84160

⌋ (20)

𝑪 = [0 −1 0 0,1127] (21)

𝑫 = [

0000

] (22)

Os autovalores do sistema são:

𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟(𝑨) = [

−1,522571,5257

0 + 7,79767𝑖0 − 7,79767𝑖

] (23)

Existe um autovalor positivo que causa instabili-

dade, e dois autovalores complexos conjugados que

resultam em oscilação, a parte real nula, dos autovalo-

res complexos, faz com que a oscilação seja constante.

O ideal seria o sistema possuir quatro autovalores ne-

gativos para ser estável. Como o sistema é instável e

oscilatório a sintonia do controle clássico é compli-

cada, a solução seria aplicar um PID para plantas res-

sonantes como apresenta Kristiansson (1998), ou al-

gum método para estabilizar a planta como é apresen-

tado em Mirnateghi (2013) que visa diminuir a insta-

bilidade da planta pelo método de balanced trucation.

Analisando as matrizes em espaço de estados do

modelo matemático foi constatado que o sistema é

controlável e observável. Nesse contexto, os autova-

lores para o controle foram escolhidos, de forma em-

pírica através da observação do comportamento dinâ-

mico do modelo virtual. De acordo com os resultados,

ainda que iniciais, pode-se observar que as ações de

controle atendem as exigências de resposta do ball

and beam, ou seja manter o carro numa posição pré-

estabelecida. Os autovalores escolhidos são [30 31 32 33 34] rads/s, com tempo de res-

postas abaixo de 0,5s. A matriz de ganhos 𝐾 obtida é:

𝐾 = [7610 102220 190 12090 65900] (24)

Os ganhos e as matrizes em espaço de estados

são exportados para o sistema criada no Simulink® que

é representada na Figura 6.

Figura 6 – Planta do Sistema Seguidor MatLab/Simulink®.

Para avaliar o tempo de resposta do controle são

realizados vários testes, partindo do primeiro que cor-

responde à resposta do sistema a uma entrada degrau.

A resposta do sistema é visualizada na Figura 7.

Figura 7 - Entrada degrau

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Um fenômeno interessante que pode ser obser-

vado nesta figura é o fato do carro ir para trás quando

ocorre a excitação no sistema. Para verificar este fe-

nômeno serão analisadas, as equações do ball and

beam tradicional proposta em Wei (2010). Efetuando

a análise dinâmica na Figura 8, onde τ é o torque no

motor, J é o momento de inércia da barra, Jb é o mo-

mento de inércia da bola. Onde a equação (25) é refe-

rente à bola e a equação (26) é em relação a barra.

(𝐽𝑏

𝑅2 + 𝑚) �̈� − 𝑚𝑔 sin(𝛼) − 𝑚𝑥�̇�2=0 (25)

(𝑚𝑥2 + 𝐽)�̈� + 2𝑚𝑥�̇��̇� − 𝑚𝑔 cos 𝛼 = 𝜏 (26)

Figura 8 – Ball and beam para modelagem matemática

O termo Jb é o momento de inércia da bola, e para

o carro esse termo é desprezível. Analisando a equa-

ção (26) o termo 𝑚𝑥�̇�2, representa a força centrípeta.

Caso o sistema seja excitado, o ângulo alfa irá se alte-

rar, o carro tenderá a se manter na mesma coordenada

𝑥′, devido a sua inércia, e a posição relativa, em rela-

ção à barra, do carro se altera. Ou seja, a coordenada

em 𝑥′ tende a permanecer constante o que faz aparecer

um deslocamento relativo ∆𝑟 no eixo 𝑥.

Apesar disto, o valor da resposta a entrada de-

grau convergiu rapidamente para o valor desejado (Fi-

gura 7). O sistema entrou em regime em 0,35s e com

um erro estacionário que pode ser desconsiderado.

Porém, a resposta da entrada degrau é uma téc-

nica limitada. Para avaliar melhor o comportamento

foi realizado um teste com uma entrada senoidal.

Figura 9 – Entrada função seno

A ação do controle para a entrada senoidal nova-

mente se mostrou eficiente, Figura 9, e fica clara uma

característica do sistema seguidor, que é um atraso na

resposta de 0,1s, para trechos da entrada que não são

constantes. Isso se deve ao fato de que a entrada do

sistema deve ser constante por partes para satisfazer a

Equação (3). Esse tempo pode ser diminuído, aumen-

tando os autovalores atribuídos, porém pode não ser

interessante uma ação de controle muito agressiva,

pois o sistema de atuação da planta pode não possuir

a potência suficiente para realizar a tarefa, o que pode

comprometer ação do controlador.

Outros testes foram realizados, um para entrada

em rampa que resultou em um atraso semelhante à en-

trada senoidal, e outro para uma entrada em escada,

onde se obteve, repetidas vezes, a mesma caracterís-

tica de resposta que para a entrada degrau.

Figura 10 - Entrada rampa

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Figura 11 - Entrada escada

5 Conclusão

A escolha de um sistema de controle moderno se

mostrou correta, pois apesar da instabilidade e tendên-

cia oscilatória da planta, este obteve êxito em contro-

lar o sistema com resposta rápida e sem erro estacio-

nário. Ainda é possível aumentar a velocidade de res-

posta do sistema, porém para isso é necessário verifi-

car se o sistema de atuação da planta real suporta tais

ganhos.

Como trabalhos futuros temos a identificação

das características inércias do sistema ball and beam

modificado, para uma melhor aproximação entre mo-

delo matemático e sistema físico. Empregar o controle

linear proposto na planta não linear gerada pelo

ADAMS®. Testar outras formas de controle na planta

como controle robusto e fuzzy. E o objetivo final que

é implementar esses controles na planta criada pelo

LaSisC/UTFPR em tempo real.

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