BibliographieIntroduction
Logique modale propositionnelle
Cours 1 : Logique modale
Odile PAPINI
POLYTECHUniversite d’[email protected]
http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/MASTER2-RE-OP.html
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Logique modale propositionnelle
Plan du cours
1 Bibliographie
2 Introduction
3 Logique modale propositionnelle
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BibliographieIntroduction
Logique modale propositionnelle
Bibliographie 1 I
Chellas B. F., Modal logic : an introduction,Cambridge University Press, 1980.
Hughes G. E. & Cresswell M. J., A new introduction tomodal logic,Taylor & Francis 2001.
Blackburn. P. & de Rijke M. & Venema Y., Modallogic,Cambridge University Press 2001.
Wooldridge., reasoning about rational agents,MIT Press, 2000.
Wooldridge., An Introduction to multiagents systems,John Wiley & Sons, (second edition) 2009.
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Logique modale propositionnelle
Bibliographie 2 I
Supports de cours logique modale
http ://www.irit.fr/ Andreas.Herzig/CLmai/
http ://www.lipn.univ-paris13.fr/ levy/pdf/CoursLogMod.pdf
http ://www.guillaume.piolle.fr/doc/logique-modale.pdf
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle : introduction
Logique classique
logique propositionnelle
sens des formules facile a apprehendercomplexite calculatoire abordableMAIS semantique et expressivite limitee
logique des predicats
plus expressiveMAIS complexite calculatoire eleveesens des formules parfois difficile a comprendre
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Logique modale propositionnelle : introduction
Limites de l’expressivite de la logique propositionnelle
logique classique : assertions factuelles binaires
tout enonce est qualifie de vrai ou de faux : il pleut, 2 + 2 = 5,· · ·formules complexes valuees en fonction de leurs composants :semantique extensionnelle
logique classique : pas toujours adequate pour leraisonnement
raisonnement sur l’incertainraisonnement sur les situations evolutives
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle : introduction
Logique modale : extension de la logique propositionnelle
formalisation d’enonces non factuels
raisonnement sur l’incertain et les situations evolutives
logique modale
introduction de modalites pour la comprehension desformules
expressivite : entre la logique propositionnelle et la logique despredicats
complexite calculatoire maıtrisee
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Logique modale propositionnelle : introduction
modalite
n’importe quoi qui donne du sens
exprime la semantique d’un verbe, d’un adjectif, d’un adverbe,· · · portant sur une formule
exemples de modalites
“l’agent sait que”, “l’agent croit que”, “l’agent a confiance en lefait que”, “il sera dorenavant vrai que”, “il est possible que”, “il estnecessaire que”, “il est evident que”, “il est obligatoire que” · · ·
representation et raisonnement a un niveau eleve d’abstraction
modele mental d’un agent
description d’une organisation, · · ·
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Logique modale propositionnelle : introduction
modalites : exemples
aletiques : il est possible qu’il pleuve
epistemiques : l’agent sait qu’il pleut, l’agent croit qu’il pleut
temporelles : il va pleuvoir, il a plu
deontiques : il doit pleuvoir
etc· · · autres modalites ou melanges de modalites
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Logique modale propositionnelle : introduction
Ajout de symboles de modalite : � et �F une formule de la logique propositionnelle
�F : F est necessaire, toujours vrai, connu, obligatoire, · · ·�F : F est possible, parfois vrai, concevable, permis, · · ·
impossibilite de definir une semantique extensionnelle
F ¬F �F �F �¬F �¬F1 0 ? 1 0 ?
0 1 0 ? ? 1
semantique basee sur les mondes possibles
distinguer entre situations (alternatives imaginables)“mondes possibles”
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle : introduction
semantique des mondes possibles : exemple
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Logique modale propositionnelle : introduction
carre logique Aristote
Figure: source : Jean-Claude Choul
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Logique modale propositionnelle : introduction
Figure: source : cours G. Piolle
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Logique modale propositionnelle : introduction
Soit p une proposition : “il pleut”
exemples de formules epistemiques
p il pleut,¬p il ne pleut pas,�p l’agent sait qu’il pleut,�¬p l’agent sait qu’il ne pleut pas,�p l’agent tient pour concevable qu’il pleuve,�¬p l’agent tient pour concevable qu’il ne pleuve pas,��p l’agent sait qu’il sait qu’il pleut,�¬�p l’agent sait qu’il ne sait pas s’il pleut.
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Logique modale propositionnelle : introduction
exemple : Le probleme des trois conseillers. J. Mc Carthy. 1978
Un roi desirant savoir lequel de ses trois conseillers est le plusagace peint un point blanc sur le front de chacun d’eux. Le roileur dit qu’il a peint un point blanc ou un point noir sur le front dechacun et qu’au moins un des points est blanc ; il demande ensuitechaque conseiller de deviner la couleur de son propre point.Apres un temps de reflexion le premier repond qu’il ne sait pas.Entendant cela le second repond qu’il ne sait pas non plus.Apres avoir entendu la reponse des deux premiers, le troisiemedeclare que son point est blanc.
Pourquoi ?
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Logique modale propositionnelle : introduction
exemple : Le probleme des trois conseillers. J. Mc Carthy. 1978
Formalisation en logique modale multi-agents S5
si un conseiller a un point blanc les autres le savent
si si un conseiller n’a pas de point blanc les autres le savent
au moins un conseiller a un point blanc
les conseillers 1 et 2 ne connaissent pas la couleur de leurpoint
preuve
Avec ces hypotheses on peut demontrer par une derivation enlogique epistemique S5 multi-agents que le troisieme conseiller saitqu’il a un point blanc.
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
Le langage de logique modale propositionnelle
Vocabulaire
un ensemble infini denombrable de propositions
les constantes : 0 (Faux) et 1 (Vrai)
les connecteurs : ¬, ,∧, ∨, →, ↔les modalites : �, �
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
Definitions
formules bien formees de la logique modale propositionnelle :
• 0 et 1 sont des formules• une variable propositionnelle est une formule• si A et B sont des formules alors¬ A, A∧B, A∨B, A→ B, A↔ B sont des formules
• si A est une formule alors �A, �A sont des formules• si A est une formule alors �A =def ¬�¬A
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Logique modale propositionnelle
Systeme formel de la logique modale propositionnelle(systeme K)
les axiomessoit A, B, C des formules de la logique modale propositionnelle
A1) (A→ (B → A))
A2) ((A→ (B → C ))→ ((A→ B)→ (A→ C )))
A3) ((¬ A→ ¬ B)→ (B → A))
K) (�(A→ B)→ (�A→ �B))
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Logique modale propositionnelle
regles de deduction
modus ponens
Γ ` A, ∆ ` A→ B
Γ,∆ ` B
necessite (regle N)
Γ ` A
Γ ` � A
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Logique modale propositionnelle
K -derivation (deduction)
F : une formule modale, Γ : un ensemble de formules modales
une K -derivation de F a partir de Γ est une sequence de formulesse terminant par F , dont chaque formule est :
soit une axiome
soit un membre de Γ
soit obtenu par l’application des regles de substitution, demodus ponens ou de necessite
une K -preuve de F est une K -derivation de F a partir de ∅ : ` F
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Logique modale propositionnelle
Quelques theoremes du systeme K
K1) ` �(P ∧ Q)→ (�P ∧�Q)
K2) ` (�P ∧�Q)→ �(P ∧ Q)
K3) ` �(P ∧ Q)↔ (�P ∧�Q)
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Logique modale propositionnelle
regles derivees
DR1) `A→B`�A→�B
DR2) `A↔B`�A↔�B
DR3) `A→B`�A→�B
Eq) si A↔ B remplacer A par B (ou B par A)
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Logique modale propositionnelle
regles derivees plus generales :
regularite pour � (regle R)
Γ ` A→ B
Γ ` � A→ � B
regularite generalisee pour �
Γ ` (A1 ∧ · · · ∧ An)→ B
Γ ` (� A1 ∧ · · · ∧� An)→ � B
regularite pour �
Γ ` A→ B
Γ ` � A→ � BOdile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE
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Logique modale propositionnelle
Quelques theoremes du systeme K (suite)
K4) ` (�P ∨�Q)→ �(P ∨ Q)
K5) ` �P ↔ ¬ � ¬P
K6) ` �(P ∨ Q)↔ (�P ∨ �Q)
K7) ` �(P → Q)↔ (�P → �Q)
K8) ` �(P ∧ Q)→ (�P ∧ �Q)
K9) ` �(P ∨ Q)→ (�P ∨ �Q)
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Logique modale propositionnelle
D’autres axiomes
T) � A→ A : tout ce qui est su (cru) est vrai
D) � A→ �A : tout ce qui est su (cru) est coherent
B) ` A→ � � A : rien n’est vrai sans qu’on ne sache qu’ilpeut etre su (cru)
4) � A→ � � A : si on sait (croit) A alors on sait qu’onsait (croit) A
5) � A→ � � A : si on ne sait (croit) pas A alors on saitqu’on ne sait (croit) pas A (croit) A
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Logique modale propositionnelle
Systeme formel K : forme a partir des axiomes, A1, A2, A3, K
Systeme formel KT : forme a partir des axiomes, A1, A2, A3, Ket de l’axiome de la connaisance T) : � A→ A
Systeme formel KT4 ou S4 : forme a partir des axiomes, A1,A2, A3, K, T et del’axiome d’introspection positive 4) : � A→ � � A
Systeme formel KT45 ou S5 : forme a partir des axiomes, A1,A2, A3, K, T, 4 et del’axiome d’introspection negative 5) : � A→ � � A
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Logique modale propositionnelle
Quelques theoremes du systeme T
T1) ` P → �P
T2) ` �(P → �P)
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
Quelques theoremes du systeme S4
S4-1) ` � � P → �PS4-2) ` �P ↔ ��P
S4-3) ` �P ↔ � � PS4-4) ` �� � P → �PS4-5) ` � � P → � �� � PS4-6) ` � � P ↔ � �� � PS4-7) ` ��P ↔ �� ��P
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Logique modale propositionnelle
Quelques theoremes du systeme S5
S5-1) ` ��P → �P
S5-2) ` �P ↔ � � PS5-3) ` �P ↔ ��P
S5-4) ` �(P ∨�Q)↔ (�P ∨�Q)
S5-5) ` �(P ∨ �Q)↔ (�P ∨ �Q)
S5-6) ` �(P ∧ �Q)↔ (�P ∧ �Q)
S(5-7) ` �(P ∧�Q)↔ (�P ∧�Q)
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
semantique de la logique modale propositionnelle
semantique des “mondes possibles”
une formule modale evaluee dans un “univers” de mondespossiblesune relation d’accessibilite lie les mondes possibles entre eux
�A est vraie dans un monde possible ω si A est vraie dans tousles mondes possibles accessibles a partir de ω
�A est vraie dans un monde possible ω si A est vraie dans aumoins un monde possible accessible a partir de ω
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Logique modale propositionnelle
Exemple 1 : on lance une piece de monnaie
p : ”on obtient PILE” f : ”on obtient FACE”p est possible f est possible
p ∨ f est necessairement VRAIp ∧ f est impossible : necessairement FAUX
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle :semantique
semantique des mondes possibles : exemple
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Logique modale propositionnelle
Exemple 2 : on lance deux pieces de monnaie 1 et 2
pi : ”on obtient PILE pour i” ¬pi : ”on obtient FACE pour i”
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
semantique : definitions
systeme : paire (W,R) ou W est l’ensemble des interpretationsdu langage et R est une relation binaire sur Wω, ω′ ∈ W, ωRω′ : ω′ est accessible a partir de ω
valuation : application v de W ×P dans {0, 1} qui associe unevaleur de verite v(ω, p) a la variable p dans l’interpretation ω
modele : triplet M = (W,R, v) ou (W,R) est un systeme et vune valuation
notation : M, ω |= F : F est vraie dans le monde possible ω pourle modele M
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
definitions
Soit M = (W,R, v) un modele,la relation de consequence est definie par :M, ω |= p ssi v(ω, p) = 1M, ω |= >M, ω 6|= ⊥M, ω |= ¬A ssi M, ω 6|= AM, ω |= A→ B ssi M, ω 6|= A ou M, ω |= BM, ω |= A ∧ B ssi M, ω |= A et M, ω |= BM, ω |= �A ssi M, ω′ |= A pour tout ω′ tq ωRω′
M, ω |= �A ssi M, ω′ |= A pour au moins un modele ω′ tq ωRω′
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
une formule A est valide dans un modele M = (W,R, v) ssi A estvraie dans tous les mondes possibles du modele
notation M |= A
une formule A est valide dans un systeme (W,R) ssi A est vraiedans tout modele M = (W,R, v)
notation (W,R) |= A
une formule A est valide (ou est une tautologie ), ssi A est vraiedans tout systeme (W,R)
notation |= A
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Logique modale propositionnelle
Exemple 2 : on lance deux pieces de monnaie 1 et 2M, ω1 |= p1 M, ω2 |= p1 M, ω3 6|= p1
M, ω1 |= �(p1 ∨ p2) M, ω2 6|= �(p1 ∨ p2)M, ω2 |= ♦(p1 ∨ p2)
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Semantique des mondes possibles : exercice
Figure: source : Stephan Merz
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Semantique des mondes possibles : exercice
Montrer :
�A ≡ ¬�¬A
|= �(A→ B)→ (�A→ �B)
|= �F (ou si F est une tautologie )
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Semantique des mondes possibles : exercice
Montrer que dans le systeme K les axiomes suivants ne sont pasdes tautologies :
T) � A→ A
4) � A→ � � A
5) � A→ � � A
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Logique modale propositionnelle
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proprietes de R :
reflexive : ∀ωi , ωj , ωiRωj
serielle : ∀ωi , ∃ωj , ωiRωj
transitive : ∀ωi , ωj , ωk , si ωiRωj et ωjRωk alors ωiRωk
euclidienne : ∀ωi , ωj , ωk , si ωiRωj et ωiRωk alors ωjRωk
symetrique : ∀ωi , ωj , si ωiRωj alors ωjRωi
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
il y a une infinite de logiques modales qui se comportent plus oumoins bien :
K : logique modale la plus faible, formule caracteristique :
�(A→ B)→ (�A→ �B)
T : systemes reflexifs, R est reflexive, formule caracteristique :
�A→ A
D : systemes seriels, R est serielle, formule caracteristique :
�A→ �A
K4 : systemes transitifs, R est transitive, formulecaracteristique :
�A→ ��A
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
S4 : systemes reflexifs et transitifs, R est reflexive et transitive
KB : systemes symetriques, R est symetrique, formulecaracteristique :
�A→ � � A
B : systemes reflexifs et symetriques, R est reflexive etsymetrique
S5 : systemes reflexifs, symetriques et transitifs R esteuclidienne, formule caracteristique :
¬�A→ �¬�A
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
resultats de correction et de completude
le systeme formel K
theoreme (de correction) : soit A une formule modale, si ` Aalors |= A(les formules qui sont des theoremes du systeme K sont destautologies pour la classe K )
theoreme (de completude) : soit A une formule modale, si |= Aalors ` A
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
resultats de correction et de completude
systeme formel T
theoreme : �A→ A est une tautologie ssi R est reflexive
systeme formel S4
theoreme : �A→ ��A est une tautologie ssi R est transitive
systeme formel S5
theoreme : ¬�A→ �¬�A est une tautologie ssi R esteuclidienne
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Logique modale propositionnelle
Logique modale propositionnelle
quelques resultats de decidabilite
definition : une logique modale L possede la propriete de modelefini si pour toute formule A qui n’est pas valide dans L , il existeun modele fini dans lequel A est falsifie
proposition : si une logique modale L possede une procedure depreuve et la propriete de modele fini alors L est decidable
theoreme : K , T , S4, S5 sont decidables
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