Cours 5 : symétries et lois de conservation

•Symétries, lois de conservation

•Spin et moment angulaire orbital

•Addition des moments angulaires

•Spin 1/2

•Symétries discrètes

•Parité (P)

•Conjugaison de charge (C)

•Le renversement du temps

• Toutes les interactions conservent :– L’énergie et l’impulsion– Le moment cinétique– La charge électrique– Le nombre baryonique– Les nombres leptoniques

• À part les interactions faibles les autres interactions conservent:– Le nombre de quarks de chaque espèce (u,d,s,c,b,t)– La conjugaison de charge– La parité– Le renversement du temps

en pratique la différence entre N(quarks) et N(anti-quarks)

La saveur :

étrangeté

charme

beauté

s sN N

c cN N

b bN N

Nombres quantiques conservés

Nombre quantique Int. forte

Int. électromagnétique

Int. faible

Nombre baryonique oui oui oui

Nombre leptonique oui oui oui

saveurs oui oui non

Conjugaison de charge(C) oui oui non

Parité (P) oui oui non

Renversement du temps (T)

oui oui non

Les symétries• Une figure a une symétrie si elle est invariante par un

certain nombre de transformations• Une loi de la physique est symétrique par rapport à une

transformation si la forme de l’équation exprimant la loi est invariante sous cette transformation

• Symétries géométriques (rotations, translations, t-t )• Symétries internes (liées à la MQ) transformation d’Isospin,

Charge

2

2

d rF m

dt

88888888888888 Symétrique par rapport à un

renversement du temps t-t

Un objet possède une symétrie s’il est invariant quand on lui applique une certaine transformation

Le Fuji-san est :invariant par rotation autour de l’axe zsymétrie cylindrique

z

Les physiciens s’intéressent aux symétries :un objet n’est pas symétrique “par hasard”*

* Dans le cas du Fuji-san, cette symétrie est le résultat de l’éruption volcanique

Symétries lois de conservation en mécanique classique

Principe de symétrie grandeur non observable • Pas d’origine absolue de l’espace• La position absolue d’un point n’est pas observable• Les lois de la physique sont invariantes par translation

1 2 1 2

1 2 1 2

1 21 2

1 2

, , et ceci

,

0

V r d r d V r r d

V r r V r r

d p d pV V dp p

dt dt dtr r

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888

8888888888888888888888888888 L’impulsion totale est conservée

Position absolue non observable

Invariance par translation

Loi de conservation de l’impulsion

invariant par rotation

0

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

V r V r

d d dL r p r p r V r r V r

dt dt dt

direction absolue non observable

Invariance par rotation

Loi de conservation du moment cinétique

Le moment cinétique est conservé

Autre exemple : INVARIANCE PAR ROTATION

rr ne varie pas avec le temps

Propriétés des transformations (opérateurs de symétries)Symétries lois de conservation en MQ

2 2

observable si est un vecteur d'etat decrivant le systeme

' '

i i i

i i

B B b b b

b b

par def d’une transformation avec |’> le transformé de |>

avec |b’> le transformé de |b> †

'

'

T

T

†

† † 1

'| '

1 T est un operateur unitaire

i ib b T T

T T T T

Note : T peut être unitaire ou anti-unitaire (cad unitaire et anti-linéaire)

Opérateur linéaire :

Opérateur anti-linéaire :

(on parle d’anti-unitarité car l’opérateur renversement du temps est anti-unitaire)

1 1 2 2 1 1 2 2O O O

* *1 1 2 2 1 1 2 2O O O

Transformation d’une observable ()

†

† † † 1

| | '| '| ' | ' |

' ' (on utilise )

T T

T T T T T T

En résumé, une transformation T :†' et ' T T T

Les transformations telles que H=H’ laissent H inchangé

†

, 0

H THT HT

H T

TH

Les opérateurs de symétrie qui laissent H inchangé commutent avec H

Note : Ces transformations (opérateurs) jouent un rôle important en MQ : elles permettent de définir un ECOC (Ensemble Complet d’Observables qui Commutent) et donc de spécifier univoquement tous les états propres de H (cf Cohen).

|> : objet physique

T : translation.

: observable (appareil de mesure).

Si l’objet physique et l’appareil de mesure subissent la même translation, les résultats des mesures ne doivent pas être changés

C’est à dire si les résultats des mesures ne sont pas modifiés lorsqu’on déplace l’objet sans déplacer l’appareil de mesure (ou vice-versa)

Importance des opérateurs de symétrie : Théorème de Ehrenfest

| |

en utilisant

,

0

t

t

t

di t T tdtd dT d

i t T t t i t t T i tdt dt dt

di Hdt

d T Ti T H i

dt t

d T

dt

L’observable T ne dépend pas du temps

une bonne symétrie ne dépend pas explicitement de t

Si T est un opérateur de symétrie [T,H]=0

Une observable T qui commute avec l’hamiltonien H (= qui est un opérateur de symétrie) est une constante du mouvement (=sa valeur moyenne est indépendante du temps)

Évolution dans le temps de la valeur moyenne d’une observable T

Règles de sélection

0

/

/ /0 0

0 0 0

0

= 0 0

it H

it H it H

t T y

t T t Te

e T e y y tSi [T,H]=0 T commute aussi avec une exp de H

Règles de sélection

Si l’état d’un système est y0 à t=0 (état propre de T avec une valeur propre y0), l’état du système restera état propre de T avec la même

valeur propre y0 au cours de son évolution.

En théorie des perturbations :

2, proba de transition

Si , 0 valeurs propres egales (regles de selection)

0(proba de transition nulle)

k i

k i

k T H i y y k H i k H i i k

T H y y

k H i

La mesure de T donne le même résultat y0 quelque soit t.

à

à

• Considérons le cas d’une transformation infinitésimale (au premier ordre)

• Si A est une observable telle que A’=A+d

† † 1 †

( )

est un operateur hermitique car est unitaire

( = ;

T d id

T

T id T id

1

1 1

(developpement en serie d'une exponentielle)

generateur de la transformation

iT e

†

00

' ,

en utili ant

,

s '

A A d TAT A id A

dA

dAid

A Ad

A

On néglige les termes en d2

Translations On cherche la forme de T

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

†

†0 0 0 0 0 0 0

, , ; , ,

si alors ( ) '

et ' ( ) ' '

en ecrivant ' ( ) ( ) on a

'

(infinites' imal : ' )

x y z

x

x x

r x y z p p p p

x x x x T a x x

x x x a x x x a

x T a xT a

x x T xT x T x x a x a T x a x

x

x

aa

a

x dx x

11

8888888888888 8

En utilisant le formalisme précédent

† 1T T

/

,

( )

x

x

i p ax

x

p

T a e

x i1On a justifie l'expression de l'operateur

comme etant le generateur des translations

p

Invariance par translation Conservation de l’impulsion

[H,T]=0

( ) n'a aucune

action sur et , , 0

x

x x

T a

y z y z

Version quantique de ce que l’on a vu en mécanique classique

Rotations• On procède de même

• La rotation d’un angle autour d’un axe est décrite par l’opérateur

/

/

/

est un vecteur unitaire sur l''axe de rotation

est le moment cinetique

( )

total

( ) autour de l'axe

( ) autour

de l

axe

'

z

y

i

i

Jz

i Jy

J uuR e u

J J L S

R e Oz

R e Oy

8888888888888888888888888888

88888888888888

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Jx, Jy , Jz sont les générateurs des rotations

Invariance par rotationconservation de [H,R]=0

J88888888888888

Si un système a été préparé dans un état propre de de J2 et de Jz, il restera au cours de son évolution dans un état propre de ces 2 opérateurs, avec les mêmes valeurs propres.

Quantité non observable Invariance Loi de conservation

MQ : Opérateur(observable) qui laisse H invariant on montre qu’il commute avec H ([H,Q]=0) et (si il ne dépend pas explicitement du temps)

- est une constante du mouvement

- les nombres quantiques associés sont conservés (règles de sélection)

L’opérateur peut être exprimé en termes d’autres opérateurs ( les générateurs)

(developpement en serie d'une exponentielle)

generateur de la transformation

iT e

On associe à ces générateurs des lois de conservation

Tentative de résumé…

La charge électrique• C’est un nombre quantique additif

• Par analogie avec les rotations et les translations

• Si S() commute avec H : conservation de la charge électrique• Dans une réaction

• Puisque tous les états physiques ont une charge déterminée l’effet de ces opérateurs est de multiplier la fonction d’onde par un facteur de phase

/( ) i QS e

Opérateur de symétrie associé à la charge électrique

Observable : la charge électrique

/ est la charge electrique du sys e temi q qe

Nombre quantique additif : c’est une grandeur qui prend des valeurs discrètes et dont la valeur pour un système est égale à la somme de ses valeurs pour les composants du système

Transformation de phase ou transformation de jauge globale

On peut faire de même avec les autres nombres quantiques additifs (baryonique, leptonique…). Ces transformations qui ne font pas intervenir la situation dans l’espace sont dites symétries internes.

1 1

; 1.... ; 1.... on aura n m

i fi fi f

q i n q f m q q

.. transformation de jauge locale• : transformation de jauge globale ne modifie pas l’Éq de

Schrödinger

• : transformation de jauge locale si satisfait l’équation de Schrödinger

• Pour les particules chargées la solution est la suivante :en présence d’un champ elm l’Éq de Schrödinger est modifiée

si on définit

/i qe

/ ,iq x te

,x t88888888888888

/ ,' , , ne la satisfait pas

iq x tx t e x t

888888888888888888888888888888888888888888

21(*)

2i qA i eV

m t

88888888888888

/ ,, ' , ,

' =

' =

iq x tx t x t e x t

A A A

V V Vt

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888

, , ', ', 'A V A V 8888888888888888888888888888

La forme de (*) ne change pas si

• On peut réinterpréter ce résultat en disant que l’invariance de phase locale fait apparaître un terme de champ

• L’existence d’invariance sous transformation locale implique l’existence d’une interaction électromagnétique proportionnelle à la charge q (la valeur numérique de q est à déterminer c’est un paramètre libre de la théorie)

,A V88888888888888

/ ,iq x te

88888888888888

Grandeurs non observables

Invariance Conservation

position absolue translation impulsion

temps absolu déplacement dans le temps

énergie

direction absolue rotation moment cinétique

phase relative entre particules chargées

transformation de jauge de charge

charge électrique

phase relative des quarks et des autres particules

transformation de jauge baryonique

nombre (charge) baryonique

phase relative des ee , , et des autres particules

transformation de jauge électronique, muonique,tau

nombre leptonique (électronique, muonique,tau)

Spin et moment angulaire orbital

spin

moment angulaire orbital L r mv 888888888888888888888888888888888888888888

Classiquement 3 composantes :

•mesurables avec la précision souhaitée

•peuvent prendre n’importe quelles valeurs

MQ (Heisenberg):

•Mesure de L2 et de Lz

•Quantification :

•L2 :

•Lz:

2 est un entier1l l l 2 avec , 1,... 1,0,1,.... 1,m l l l lm

2

2

(*)

(*)Les opérateurs(générateurs) des rotations forment une algèbre de commutation puisque [J i,Jk]=ijklJl =+1(-1) permutation cyclique(anticyclique) de 1,2,3 =0 dans les autres cas.Puisque deux opérateurs J ne commutent pas entre eux, seulement les valeurs propres d’un d’entre eux (on choisit d’habitude Jz ) sont des nombres quantiques utiles.Opérateurs de Casimir : combinaisons non-linéaires des générateurs qui commutent avec tous les générateurs. Pour le groupe de rotation il y en a un seul J2=J21+J22+J23 ; [J,Ji]=0

• Pour le spin c’est similaire :– S2 prend les valeurs

– Et Sz :

Une particule peut avoir n’importe quel moment orbital mais son spin est fixé

2 est un demi-e1 ntiers ss 2 avec , 1,... 1,0,1,...., 1,m sm s s s

L88888888888888

S88888888888888

Bosons (spin entier) Fermions (spin demi-entier)

spin 0 spin 1 spin 1/2 spin 3/2

- vecteurs des interactions

quarks, leptons

-

mésons pseudo-

scalaires (,K..)

mésons vecteurs(,K*

)

baryons (octet)

baryons (décuplet)

Élement.

Compo.

Addition des moments angulaires• On a :• moment angulaire total :• Calcul de

– projection suivant l’axe z m=m1+m2

– et pour J2 :

• On a

ou bien l m s m

J L S 888888888888888888888888888888888888888888

1 2J J J 888888888888888888888888888888888888888888

21 2 1 2 1 2 1 21 avec , 1,..., 1,j j j j j j j j j j j

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 avec

j jj j jm m m

j j j

j m j m C jm m m m

Coefficients de Clebsch-Gordan(CG)

Proba. d’obtenir si on mesure J2 pour un système constitué de (carré du coeff. de CG)

21j j

1 1 2 2j m j m

Un exemple de table de coefficients de Clebsch-Gordan

- Vecteurs propres |j,m>

- Le sous-espace HJ qui correspond à une valeur donnée de J est de dimension 2J+1 (prenant toutes les valeurs entre –J et J)

- On peut construire les vecteurs de base de cet sous-espace à partir de l’un d’entre eux à l’aide des opérateurs J± = Jx ± iJy

- L’utilisation des bases standard permet de remplacer les opérateurs (de rotation) par des matrice unitaires (2J+1)(2J+1) ( les matrices de rotation)

Représentation d’un Opérateur dans une base Matrice

En général : combinaison linéaire

1 01 1 1 -1spin up + = spin down -

0 12 2 2 2

^ ^ ^0 1 0 1 0

1 0 0 0 12 2 2x y z

iS S S

i

matrices de Pauli

2 21 0 avec 1

0 1

^ ^0 1 0 0

0 0 1 0S S

^

2S

Les matrices de Pauli sont hermitiennes et les matrices de transformationU(i)=exp(-i ii/2) sont unitaires. L’ensemble de ces matrices 22 forment le groupe U(2) qui est plus large que le groupe contenant les générateurs i, carces matrices ont toutes une trace zéro ( groupe SU(2))

Exemple J=1/2, particule de spin 1/2

Il y a différentes représentations dans SU(2)

Dim J 1 0 2 ½ 3 1 4 3/2

Correspond à i

On dit que c’est la représentation fondamentale car on peut construire, en partant d’elle, toutes les autres représentations

1/21/2 = 011/21/21/2 = (0 1)1/2 = 1/2 3/2

On peut construire les multiples à partir du multiplet fondamental ½ (dim 2)

Quelques définitions + rappel

-générateurs d’un groupe dim2 –1 (nombre de matrice indépendantes)-Rang d’un groupe = nombre de matrices diagonales, correspondant au nombre d’opérateurs qui commutent = observables (par ailleurs le Rang = nombre d’opérateurs de Casimir)

Groupe Matrices du groupe

U(n) n x n unitaires

SU(n) n x n unitaires déterminant=1

O(n) n x n orthogonales

SO(n) n x n orthogonales avec déterminant =1

* 1tU U

1tO O

groupe de toutes les rotations dans un espace à n dim. (nous : SO(3))

Hélicité• Particule de spin• Orientation d’un axe le long de l’impulsion • Hélicité :

• Valeurs propres• Si masse=0 2 valeurs propres seulement : s

S88888888888888

avec = p

n S np

88888888888888

88888888888888888888888888 8888888888888888

Particule gauches s

Particule droite

car 0n J p L p r p 8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 8888888

2 1 valeurss s s

L’hélicité est invariante par rotation (produit scalaire de 2 vecteurs) inclusion dans l’ECOC {J2,Jz,}L’hélicité est invariante par transformation de Lorentz (si celle ci n’amène pas la particule au repos). est le générateur infinitésimal d’une rotation autour de p et commute donc avec les TL qui n’affectent pas les vecteurs

La parité (P)• Change en r r

z

x

y

z’

x’

y’

P2 2

P ( ) ( ) ( )

P ( ) ( ) P ( ) ( )

1 ( ) et ( )

r r r

r r r r

r r

( ) ( ) ( )r r r

On peut aussi avoir des états sans parité bien définie : P vecteur (parite -1)

P( ) scalaire (parite +1)

pseudovecteur (parite +1)P( )pseudoscalaire (parite -1)P[( ) '] ( ) '

r r

r p r p

r p r p

r p r r p r

888888888888888888888888888888888888888 888

888888888888888888888888888888888888888 888

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 88888 hélicité

Souvent au lieu de l’opérateur Parité on introduit l’opérateur « Réflexion par rapport à un plan » que l’on peut représenter facilement :

^ ^' ( )u uP P R u vecteur unitaire

par rapport plan

Parité = Parité + Rotation de autour d’un plan

Or puisque tous les Hamiltoniens d’interaction sont invariants par rotation on utilise indifféremment P ou P’

Le transformé par parité d’un objet s’obtient en faisant subir une rotation de (suivant u) à son image au miroir

Considérons la parité sous un autre angle. Au lieu de considérer la parité commeune opération que l’on applique à un système physique on peut l’imaginer commeune transformation qui fait passer des observations de physique faites par unphysicien qui utilise un système d’AXES À DROITE aux observations faites par un autre physicien qui utilise un système d’AXES À GAUCHE.

Digressons …

En physique macroscopique :Les lois de physique sont invariantes si l’on passe d’un système d’axes DROITE GAUCHE

Les lois de physique ne permettent pas de distinguer la droite et la gauche de façon absolue Parité conservée.

De façon un peu plus formelle on dit que étant donné que l’opérateur de parité commute avec l’Hamiltonien, P est une observable, on peut donc mesurer ces nombres quantiques ± 1 et ces nombres quantiques sont conservés dans l’évolution

Parité d’un système de particules• Système de particules : (1) et (2)

1 2 1 2 S S L L

Fonctions de spin

Fonctions orbitales

Parité =12L

, cos

:

1cos cos:

cos 1 cos

1

im mm

mim im

mm m

m m

Y e P

P

e eP

P P

Y Y

Moment angulaire orbital l

Parité =12L

Parité intrinsèque d’une particule• une particule de spin J est décrite par une fonction de spin

(scalaire, spineur,vecteur..)– Fonction de spin : elle se transforme de façon spéciale sous le

groupe des rotations– Le spin est une fonction propre de P valeur propre : parité intrinsèque JP

• Opération d’inversion spatiale : pas évident pour une particule…

• 1A+B– État final de 2 particules avec un mouvement relatif peut être

examiné en terme de transformation de parité parité bien définie

– Si l’interaction conserve la parité parité de 1 particule définie : parité intrinsèque

Donc la parité intrinsèque a un sens parce que il y a interaction et que cette interaction conserve la parité

Parité intrinsèque d’une particule (suite)• Il faut néanmoins définir la parité intrinsèque de certaines

particules la parité des autres est fixée par l’expérience

• Exemple :e+e- Pi= Pe+Pe-= Pf= Pl

– Exp : on mesure l Pe+Pe-= -1

– On détermine le produit Pe+Pe-mais on ne peut pas déterminer les parités individuelles car les e+et les e- ne sont jamais créés seuls. On fixe Parité(particules) = +1 et Parité(anti-particules) = -1

spin 0 0+ parité +1 scalaire

0- parité -1 pseudoscalaire

spin 1 1+ parité +1 pseudovecteur

1- parité -1 vecteur

cf TD

Conjugaison de charge (C)• particule anti-particule

• C : définie pour une particule neutre ou pour un système particule-anti-particule

• Désintégration 0 2 (C=-1 C0 =1) expérimentalement :

• C est conservée par l’interaction électromagnétique• C : nombre quantique multiplicatif

pas definieC

0 0 2 0 0 1 CCC C

0

8

03.1 10 90 % CL

BR

BR

Renversement du temps• En mécanique classique

• En MQ c’est assez délicat, il n’y a pas d’opérateur «mesure du temps » en MQ

8888888888888888888888888888

8888888888888888888888888888

t t

r r

p p

L L

t -t

t=-t1

t=t1

t=0

t=-t1

t=t1

t=0

• Si on effectue le changement t-t dans l’eq de Schrödinger on a :

• On voit que (x,t) et (x,-t) n’obéissent pas à la même équation.

• Par contre si on prend le complexe conjugué de l’équation transformée on trouve

• C’est donc *(x,-t) le transformé de (x,t) par renversement du temps.

2 2

2 2, ,, - ,

2 2

x t x t

i x t i x tt m t m

* 2

2 *,,

2

x t

i x tt m

†

†

†

L'operateur est anti-lineaire :K

KrK r

KpK p

KLK L

cf Messiah

Notes de cours

Composition des spins

Une base est exprimée en termes d’autres bases par la relation :

Par exemple JA=JB= ½ J=0,1 la décomposition peut être écrite de façon symbolique en utilisant les dimensions (la taille du multiplet) pour indiquer les représentations irréductibles : 22=31

Si on rajoute une troisième particule de spin ½ : (22)2 =(32)(12) = 422

Si on veut construire les états propres (cas ½ , ½ ) :

Il n’est pas nécessaire de spécifier JA=JB

Exemple 1 ½ : Note : pratiquer les coefficients de C.G.

Quadruplet

Doublet

;A B

A B A B A B A Bm m

J J J M C m m J M J J m m C : Coeff. de Clebsch-Gordan (PDG p248-249)

1 11, 1 1 ,

2 2

1 1 1 1 1 11, 0 , ,

2 2 2 22 2

1 11, 1 1 ,

2 2

A B

A B A B

A B

J M m m

J M m m m m

J M m m

Triplet 3 singlet 1

1 1 1 1 1 10, 0 , ,

2 2 2 22 2A B A BJ M m m m m

3 3 1, 1,

2 2 2

3 1 1 1 2 1, 1, 0,

2 2 2 3 23

3 1 2 1 1 1, 0, 1,

2 2 3 2 3 2

3 3 1, 1,

2 2 2

1 1 2 1 1 1, 1, 0,

2 2 3 2 3 2

1 1 1 1 2 1, 0, 1,

2 2 2 3 23

On rappelle ici aussi que souvent on considère des réactions A+BC+D où les particules A et B ont un spin et aussi un moment orbital L. Dans un système à deux corps on introduit la distance relative et on définit par rapport à

Il y a :

1 moment cinétique orbital pour un système à deux corps

2 moments cinétiques orbitaux pour un système à trois corps

Combinaison des moments angulaires : on considère les spins et les moments cinétiques orbitaux

A

B

A

BC

r

L r p 888888888888888888888888888888888888888888

et B A A BA B

A B

m p m pr r r p

m m

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888

Système de deux particules (résumé)

Mouvement relatif :

2221

1 21 2

1 1 2 21 2

1 2

1 21 2

1 2

1 2 2 1 1 2

2 2

2 2

barycentre : R

position relative

1 et

(2 2

ppH V r r

m m

m r m rm m m

m m

mmr r r

m m

P p p p m p m pm

P pH V

m

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888

888888888888888888888888888888888888888888

88888888888888888888888888 88

888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

8888888888888888888888888888

)r

Centre de masse (P=0) :

2 21 1 2 2

2 21 2 1 2 1 2

Moment orbital valeurs propres de : +1

Resultante des spins : S valeurs propres de : +1 s s

Moment cinetique total

L r p r p r p L

S S S s s s s s

J

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888

2 2

1

1 2

valeurs propres de : +1

Parite = 1 fermion/ anti-fermion 1

boson/ anti-boson 1

La projection du moment cinetique total

L S J j j s j s

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888

11 2

1

sur la direction du mouvement est la difference des helicites

Jpp

8888888888888888888888888888

Échange de deux particules

On considère un système de deux particules x1 et x2 .

La parité du système est donnée par = (-1)l puisque

, cos

:

1cos cos:

cos 1 cos

1

im mm

mim im

mm m

m m

Y e P

P

e eP

P P

Y Y

Échange de deux particules A et B . Le nombre quantique associé à cette opération est donné par = (-1)l+S+1 pour les fermions et C = (-1)l+S pour les bosons.

Exemple de 2 spins ½ : on obtient

1 11, 1 1 ,

2 2

1 1 1 1 1 11, 0 , ,

2 2 2 22 2

1 11, 1 1 ,

2 2

A B

A B A B

A B

J M m m

J M m m m m

J M m m

Triplet 3 singlet 1

1 1 1 1 1 10, 0 , ,

2 2 2 22 2A B A BJ M m m m m

Symétrique sous l’échange A-B Anti-symétrique sous l’échange A-B

L’opération échange de deux particules consiste en une opération de parité (échange spatial) ( (-1)l ). Puis à changer A et B ds l’expression de la f.o. de spin ( (-1)S+1 ).