Cours de Géométrie Descriptive

S. Belblidia cole Nationale Suprieure dArchitecture de Nancy

GOMETRIE DESCRIPTIVE

Cours de deuxime anne

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TABLE DES MATIRES

1. ELEMENTS DE FIGURES 9 1.1 Principes 9

1.1.1 La projection orthogonale : 9 1.1.2 Les deux plans de projections : 10 1.1.3 Les quatre didres : 10 1.1.4 Rabattement du plan frontal : 11 1.1.5 Lpure : 12

1.2 Le point : 13 1.2.1 Reprsentation du point : 13 1.2.2 Epure du point. Cote et loignement : 14

1.3 La droite : 15 1.3.1 Reprsentation de la droite : 15 1.3.2 Droites remarquables : 16 1.3.3 Constructions sur les droites : 19

1.4 Le plan : 22 1.4.1 Dtermination du plan. Traces du plan : 22 1.4.2 Plans remarquables : 23 1.4.3 Droites principales dun plan : 27 1.4.4 Constructions sur les plans : 29

2. PROBLEMES SUR LES DROITES ET LES PLANS 33 2.1 Droite et plan parallles 33

2.1.1 Mener par un point une droite parallle un plan : 33 2.1.2 Mener par une droite donne le plan parallle une direction donne : 34

2.2 Plans parallles 35 2.2.1 Mener par un point donn un plan parallle un plan donn : 35

2.3 Intersection de deux plans 36 2.3.1 Plan(s) perpendiculaire(s) un plan de projection : 37 2.3.2 Cas gnral (mthode des plans auxiliaires) : 38

2.4 Intersection dune droite et dun plan 39 2.4.1 Le plan est parallle ou perpendiculaire un plan de projection : 39 2.4.2 Le plan est quelconque 41

2.5 Droite et plan perpendiculaires 42 2.5.1 Mener par un point la droite perpendiculaire un plan : 42 2.5.2 Mener par un point le plan perpendiculaire une droite : 43 2.5.3 Mener par un point la perpendiculaire une droite : 44

2.6 Autres problmes de gomtrie dans lespace 45 2.6.1 Recherche de la droite passant par un point et sappuyant sur deux droites 45 2.6.2 Recherche de la perpendiculaire commune deux droites : 47

3. LES OMBRES 51 3.1 Ombres portes sur les plans de projection 51

3.1.1 Principe de la projection oblique 51 3.1.2 Application la reprsentation des ombres 52 3.1.3 Ombre dune plaque sur les plans de projection : 55

3.2 Ombres portes par la mthode du point de perte 56 3.2.1 Ombre dune droite sur une autre droite : 56 3.2.2 Ombre dune plaque sur une autre plaque 57

3.3 Ombres propres 59 3.3.1 Position dun point par rapport un plan : 59 3.3.2 Faces dun plan vues dans une pure : 60 3.3.3 Ombre propre dune plaque : 61

4. MTHODES 63 4.1 Changements de plans de projection 63

4.1.1 Changement de plan frontal de projection 64 4.1.2 Changement de plan horizontal de projection 65 4.1.3 Changement de plan de projection pour une droite 66 4.1.4 Changement de plan de projection pour un plan : 68

4.2 Rabattements 69 4.2.1 Rabattement dun point : 69 4.2.2 Relvement dun point : 71

5. GNRALITS SUR LES POLYDRES 73

Gomtrie descriptive Cours de deuxime anne

5.1 Reprsentation : 73 5.2 Ombres propres : 74

5.2.1 Le point de perte 74 5.2.2 La sparatrice dombre propre 74

6. LES POLYEDRES REGULIERS CONVEXES OU CORPS PLATONICIENS 77 6.1 Dfinitions 77

6.1.1 Convexit dans le plan 77 6.1.2 Convexit des polydres 77 6.1.3 Polydres rguliers convexes 77

6.2 Pourquoi prcisment 5 polydres rguliers convexes ? 78 6.3 Le ttradre 79

6.3.1 Dans lespace 79 6.3.2 Sur lpure 79

6.4 Loctadre 80 6.4.1 Dans lespace 80 6.4.2 Sur lpure 80

6.5 Licosadre 81 6.5.1 Dans lespace 81 6.5.2 Sur lpure 82

6.6 Le cube 82 6.6.1 Dans lespace 82 6.6.2 Sur lpure 82

6.7 Le dodcadre 83 6.7.1 Dans lespace 83 6.7.2 Sur lpure 83

6.8 Les polydres rguliers conjugus 83 7. GNRALITES SUR LES COURBES 85 7.1 Dfinitions 85

7.1.1 Courbe plane et courbe gauche 85 7.1.2 Tangente une courbe 85 7.1.3 Plan tangent et plan osculateur 85 7.1.4 Plan normal et normale principale 86 7.1.5 Points particuliers 86

7.2 Projection dune courbe plane 87 7.2.1 Proprits 87

8. LELLIPSE 89 8.1 Dfinition par affinit du cercle 89

8.1.1 Construction 90 8.1.2 Problmes 91

8.2 Dfinition par deux diamtres conjugus 94 8.2.1 Construction par dtermination des axes 95 8.2.2 Construction par points 96

8.3 Lellipse comme projection dun cercle 96 8.3.1 Construction de la projection dun cercle situ sur un plan de bout 97 8.3.2 Construction dun cercle situ sur un plan quelconque 98

9. CNES ET CYLINDRES 99 9.1 Dfinition 99 9.2 Cne ou cylindre circonscrit une surface 99 9.3 Dtermination des cnes et cylindres 100

9.3.1 Les deux projections de la directrice sont connues 100 9.3.2 Le plan de la directrice et une de ses projections sont connus 100

9.4 Trace sur un plan de projection 101 9.5 Intersection avec une droite 101

9.5.1 Cas du cne 101 9.5.2 Cas du cylindre 102

9.6 Problmes sur les plans tangents 102 9.6.1 Plan tangent passant par un point donn 102 9.6.2 Plan tangent parallle une direction donne 103

9.7 Contours apparents des cnes et des cylindres 103 9.7.1 Directrice dans un plan horizontal 104 9.7.2 Directrice dans un plan quelconque 104

9.8 Ombres des cnes et des cylindres 105 9.8.1 Ombre au flambeau 105 9.8.2 Ombre au soleil 106

Table des matires 5

10. SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES 107 10.1 Dfinition 107 10.2 Dtermination de la section 107

10.2.1 Nature de la section 107 10.2.2 Cas dun plan perpendiculaire un plan de projection 109 10.2.3 Cas dun plan quelconque 109

10.3 Tangentes la section 110 10.3.1 Tangentes la section passant par un point donn 110 10.3.2 Tangentes la section parallles une direction donne 111 10.3.3 Applications : 112

10.4 Dveloppement de cnes et de cylindres de rvolution 113 10.4.1 Dveloppement approximatif du cercle 113 10.4.2 Dveloppement approximatif dun arc de cercle 113 10.4.3 Dveloppement dun cylindre et de la section plane dun cylindre 114 10.4.4 Dveloppement dun cne et de la section plane dun cne 115

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INTRODUCTION La gomtrie descriptive nest pas linvention dun seul homme. Si G. Monge, la fin du XVIIIe sicle, en a dvelopp la thorie et fix les principes, Drer, ds le XVI sicle, avait bauch une mthode similaire lusage des peintres. Il sagit avant tout dune mthode graphique, cest--dire oprant graphiquement sur des tres graphiques, permettant de rsoudre des problmes dangles, de dimensions, de positions, dintersections, etc.

La gomtrie descriptive telle que la dfinie Monge peut donc se percevoir comme la thorisation dun art du trait utilis depuis la naissance des mtiers afin de rsoudre plus ou moins empiriquement les problmes poss par la coupe des pierres et la coupe du bois. La gomtrie descriptive est une gomtrie pratique, et en ce sens se distingue des gomtries euclidienne ou analytique (lalgbre) par essence spculatives.

Cette dimension pratique est la raison pour laquelle ltude de la gomtrie descriptive ne requiert pas de solides connaissances mathmatiques. Une tudiant ayant suivi une filire littraire peut aborder cette discipline sans complexe.

La gomtrie descriptive est aussi une des rares disciplines dont lenseignement dans les coles darchitecture persiste depuis le XIXe sicle, et on est en droit de se demander, lheure de linformatique triomphante notamment dans la conception et la reprsentation des objets en trois dimensions, si cet enseignement est toujours justifi. Certes les outils actuels permettent dlaborer des volumes complexes plus rapidement et avec plus de prcision, mais la gomtrie descriptive possde deux vertus essentielles pour llve architecte : dune part la gymnastique mentale quelle implique lui apprend voir dans lespace et comprendre la reprsentation des objets tridimensionnels, ce qui sera de la plus grande utilit devant lcran dun modeleur 3D, et dautre part le soin quelle exige dans la ralisation des pures apporte la rigueur ncessaire une expression graphique pertinente, fut-elle assiste par ordinateur.

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1. ELEMENTS DE FIGURES

1.1 Principes

La gomtrie descriptive se propose de donner, dans les deux dimensions de la feuille de papier, une reprsentation opratoire des objets tridimensionnels : cette reprsentation bi-dimensionnelle doit dcrire suffisamment compltement lobjet afin de pouvoir servir de support des oprations sur celui-ci.

1.1.1 La projection orthogonale

On appelle projection orthogonale dun point (P) sur un plan le pied (p) de la perpendiculaire (Pp) abaisse de ce point sur le plan.

p

P

Plan de projection

Point projeter

Projection du point

Remarque : Tous les points appartenant une mme droite perpendiculaire au plan de projection se projettent en un mme point. La projection orthogonale sur un seul plan nest donc pas suffisante pour dterminer la position du point dans lespace. Plus gnralement, la projection orthogonale dun solide se construit en recherchant la projection de ses points caractristiques.


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La projection orthogonale sur un plan des objets tridimensionnels en donne une reprsentation bidimensionnelle. Cependant, une seule projection orthogonale nest pas suffisante pour caractriser entirement un objet dans lespace, car dans ce passage des 3 aux 2 dimensions, de linformation est ncessairement perdue :

Est-ce la projection dun cylindre, dune sphre ?

Est-ce la projection dun cylindre, dun paralllpipde ?

Afin dviter cette perte dinformation, la gomtrie descriptive a recours deux projections orthogonales distinctes mais concidentes.

1.1.2 Les deux plans de projections

Afin de reprsenter les objets tridimensionnels dans les deux dimensions de la feuille de papier, on commence donc par se donner dans lespace deux plans de projections perpendiculaires. Ces deux plans se coupent suivant une droite (yy) appele ligne de terre. Le premier plan (H) est appel plan horizontal de projection. Le second plan (F) est appel plan frontal de projection. Ces deux plans dcoupent l'espace en quatre rgions, ou didres, numrots comme ci dessous:

1.1.3 Les quatre didres

1er Didre

2me Didre

4me Didre

3me Didre

Plan Frontal

Plan Horizontal

y

y

Ligne de terre

lments de figures

11

1.1.4 Rabattement du plan frontal

Quelle que soit sa position dans lespace, un objet tridimensionnel (V) reprsenter se projette orthogonalement sur le plan horizontal en une figure bidimensionnelle (v) et sur le plan frontal en une autre figure bidimensionnelle (v1). (v) est appele projection horizontale de (V) (v1 ) est appele projection frontale de (V) Pour obtenir les deux projections bidimensionnelles sur un mme plan (la feuille de papier), et les faire ainsi concider, on fait tourner le plan frontal (F) en choisissant comme axe de rotation la ligne de terre (yy) de faon a le rabattre sur le plan horizontal (H). Le projection frontale (v1 ) se trouve alors en (v).

v

y

y

v

v1 V


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1.1.5 Lpure

Les projections horizontale et frontale se trouvant donc sur un mme plan (toujours la feuille de papier), nous avons ainsi ralis une pure de lobjet tridimensionnel reprsenter. Pour faciliter la lecture dune pure et reconstituer mentalement la forme de lobjet et sa position dans lespace, on utilise des conventions de reprsentation : Les lignes vues sont dessines en trait plein. Les lignes caches en points ronds ou ponctus. Les lignes de rappel et les lignes de constructions en trait rouge (ou noir) fin.

v

h

g

f

e

d

c

b

a

g'h'

f'

e'

d'c'

b'a'

v

y y

Ligne de rappel

Ligne de terre

lments de figures

13

1.2 Le point

1.2.1 Reprsentation du point

Soit un point (P) de lespace. Ce point (P) se projette horizontalement sur le plan (H) en (p) et frontalement sur le plan (F) en (p1). Le plan (pPp1) ainsi dfini est perpendiculaire aux deux plans de projection (H) et (F), et donc la ligne de terre en (). Les points (Ppp1) dfinissent un rectangle. Les droites (p) et (p1) sont perpendiculaires la ligne de terre (yy). Ainsi, lorsque le plan frontal est amen en concidence avec le plan horizontal par rotation autour de (yy), le point (p1) dcrit un quart de cercle de centre (). Ce point (p1) vient donc se placer en (p) dans le prolongement de (p). La droite (pp) est appele ligne de rappel du point (P). Cette droite est donc ncessairement perpendiculaire la ligne de terre (yy).

y

y

p

p1

p

P

(p) est la projection horizontale de (P). (p) est la projection frontale de (P).


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1.2.2 Epure du point. Cote et loignement

Un point de lespace est donc figur sur une pure par ses deux projections orthogonales sur les deux plans de projections. Ces deux projections sont situes sur une mme perpendiculaire la ligne de terre appele ligne de rappel.

On appelle loignement dun point la distance de ce point au plan frontal de projection.

Eloignement de (P) = (Pp1) = (p).

Lloignement dun point est considr comme positif si ce point est situ en avant du plan frontal (1er et 4me didre), il est ngatif si ce point est situ en arrire du plan frontal (2me et 3me didre).

On appelle cote dun point la distance de ce point au plan horizontal de projection.

Cote (P) = (Pp) = (p).

La cote dun point est considre comme positive si ce point est situ au-dessus du plan horizontal (1er et 2me didre), elle est ngative si le point est situ au-dessous du plan horizontal (3me et 4me didre).

Q

q'

q

P

p

p'

Lpure ci-dessous montre que le point (Q), se projetant enfrontalement en (q) et horizontalement en (q), appartient au3me didre. Son loignement et sa cote sont ngatifs; le point(Q) est donc situ en arrire du plan frontal et au-dessous duplan horizontal.

Lpure ci-dessous montre que le point (P), se projetantfrontalement en (p) et horizontalement en (p), appartient au1er didre. Son loignement et sa cote sont positifs; le point(P) est donc situ en avant du plan frontal et au-dessus duplan horizontal.

loignement de P

cote de P

loignement de Q

cote de Q

lments de figures

15

1.3 La droite

1.3.1 Reprsentation de la droite

La gomtrie nous apprend quune droite est entirement dtermine par deux points distincts. Il suffira donc pour dterminer une droite dans lpure de connatre deux de ses points par leurs projections horizontales et verticales. Une droite est ainsi elle-mme dfinie par sa projection horizontale et sa projection frontale. Soient (A) et (B) deux points distincts de lespace. Par ces deux points passe une et une seule droite. Soit (a) et (b) les projections horizontales des points (A) et (B) et (a) (b) leurs projections frontales. Par (a) et (b) passe une et une seule droite : la projection horizontale de la droite (AB), et par (a) et (b) passe une et une seule droite : la projection frontale de la droite (AB).

b

y

y

yy

ba

a

b1 b

a1 a

A

B


16

1.3.2 Droites remarquables

Les droites particulires, qui peuvent poser certains problmes de construction, sont les droites parallles ou perpendiculaires au plans de projection, ou encore situes dans les plans bissecteurs.

1.3.2.1 Droite verticale Est dite verticale toute droite perpendiculaire au plan horizontal de projection. Sa projection frontale est donc perpendiculaire la ligne de terre (yy), et sa projection horizontale se rduit un point. Tous les points dune droite verticale ont mme loignement.

d y

d

d1 D

y

d

d

y

y

1.3.2.2 Droite de bout Est dite droite de bout toute droite perpendiculaire au plan frontal de projection. Sa projection horizontale est perpendiculaire la ligne de terre (yy) et sa projection frontale est rduite un point. Tous les points dune droite de bout ont mme cote.

d

d

y y

d

d1

d

D

y

y

lments de figures

17

1.3.2.3 Droite horizontale

Est dite horizontale toute droite parallle au plan horizontal de projection. Tous les points dune droite horizontale ont donc la mme cote et sa projection frontale est parallle la ligne de terre (yy).

y

d

d

y

d

d

D

y

y

1.3.2.4 Droite frontale Est dite frontale toute droite dont parallle au plan frontal de projection. Tous les points dune droite frontale ont donc le mme loignement et sa projection horizontale est parallle la ligne de terre.

d

d

D

d

d

yyy

y


18

1.3.2.5 Droite horizonto-frontale Est dite horizonto-frontale toute droite parallle aux deux plans de projection. Tous les points dune telle droite ont donc mme cote et mme loignement. Ses projections sont elles-mmes parallles la ligne de terre.

y

d

d

y

d

d

D

y

y

1.3.2.6 Droite de profil Est dite de profil toute droite appartenant un plan perpendiculaire la ligne de terre, et ainsi aux deux plans de projections. Les deux projections dune telle droite sont donc elles-mmes perpendiculaires la ligne de terre et alignes sur une mme ligne de rappel. Le problme est que toutes les droites appartenant un mme plan perpendiculaire la ligne de terre ont les mmes projections. On ne peut alors dterminer une droite de ce plan quen en caractrisant deux points. Nous verrons plus loin comment traiter ce problme.

a

b

a

b

a

b

ba

B

A

lments de figures

19

1.3.3 Constructions sur les droites

1.3.3.1 Marquer un point sur la droite

Soit la droite (D) dont on connat les projections horizontale et frontale et soit (m) la projection horizontale dun point (M) de cette droite. La projection frontale (m) de ce point appartient ncessairement la projection frontale (d) de la droite (D) et est situe sur une ligne de rappel issue de (m). On construit donc graphiquement cette projection frontale (m) en relevant de (m) la ligne de rappel et en interceptant ainsi la projection frontale (d) de (D). Le point (M) est alors dtermin.

y

m

D

d

d

d

d

m

y

m

m1 M

y

y

1.3.3.2 Marquer sur une droite un point de cote donne Soit la droite (D) dont on connat les projections horizontale et frontale et soit c la cote du point recherch. Tous les points de cote gale c se projette frontalement sur une droite parallle la ligne de terre, une distance c de celle-ci. On commence donc par tracer sur lpure cette droite des projections des points de cote gale c. Cette droite intercepte la projection frontale (d) de la droite (D) en point (m) do il suffit alors de descendre une ligne de rappel vers la projection horizontale (d) de la droite (D). Le point (M) appartenant (D) et de cote gale c est ainsi dtermin.

m

m

c

d

d

On traite de faon similaire la recherche sur une droite donne dun point dloignement donn.


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1.3.3.3 Traces dune droite sur les plans de projection Les droites sont par dfinition infinies. Par consquent, sauf cas particuliers vus plus haut (droites horizontales, verticales et horizonto-frontales), les droites interceptent les deux plans de projection. On appelle trace frontale de la droite lintersection de cette droite avec le plan frontal de projection. On appelle trace horizontale de la droite lintersection de cette droite avec le plan horizontal de projection. La trace frontale de la droite est un point dloignement nul puisque ce point appartient au plan frontal. La recherche de ce point se rduit donc la recherche du point de la droite dloignement nul. La trace horizontale de la droite est un point de cote nulle puisque ce point appartient au plan horizontal. La recherche de ce point se rduit donc la recherche du point de la droite de cote nulle.

h

d

d

h

h

f

f

D

hf

f

lments de figures

21

1.3.3.4 Droites concourantes Soient deux droites (D) et (L) de lespace ayant un point commun (M). Ce point appartient au deux droites, et donc leurs deux projections. Sa projection frontale se trouvent donc lintersection des projections frontales (d) et (l) des deux droites, et sa projection horizontale lintersection des projections horizontales (d) et (l). Donc, lorsque deux droites sont scantes, lintersection des projections frontales et lintersection des projections horizontales se trouvent ncessairement sur une mme ligne de rappel.

m

m

l

l

d

d

l

m

m

M

l d

D

L

1.3.3.5 Droites parallles

Rappel gomtrique : Si deux droites sont parallles, leurs projections sur un plan, paralllement une direction donne, sont galement parallles.

Donc, si deux droites de lespace sont parallles, les projections frontales sont parallles ainsi que les projections horizontales. Soient (D) une droite de lespace et (M) un point de lespace donns. Pour construire une droite parallle (D) et passant par (M), il suffit donc de construire une parallle la projection frontale (d) de (D) passant par la projection frontale (m) de (M) et une parallle la projection horizontale (d) de (D) passant par la projection horizontale (m) de (M).

d

y

d

m

m

y


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1.4 Le plan

1.4.1 Dtermination du plan. Traces du plan

Rappel gomtrique : Un plan peut tre dfini par :

3 points non colinaires 1 point et une droite distincts. 2 droites concourantes en un point. 2 droites parallles distinctes.

En gomtrie descriptive, un plan est le plus souvent caractris par deux droites concourantes, et notamment par ses traces. On appelle traces dun plan les droites suivant lesquelles celui-ci coupe les plans de projection. Ces deux droites la trace horizontale (P) et la trace frontale (Q) du plan se rencontrent sur la ligne de terre en un point ().

P

P

Q

Q

Le plan est ainsi entirement dtermin dans lpure par ses traces horizontale et frontale.

P

Q

P

Q

lments de figures

23

1.4.1.1 Construire les traces dun plan dfini par deux droites concourantes

Soient (D) et (L) deux droites concourantes en un point (M). On obtient les traces du plan dfini par ces droites en cherchant les traces horizontales et frontales de ces droites. Les traces horizontales (A) et (B) des droites appartiennent au plan horizontal de projection ainsi quau plan dfini par ces droites. Elles appartiennent donc la trace horizontale de ce plan. La trace horizontale du plan est donc la droite qui joint les deux traces horizontales des droites. De mme, les traces frontales (C) et (D) des droites appartiennent au plan frontal de projection ainsi quau plan dfini par ces droites. Elles appartiennent donc la trace frontale de ce plan. La trace frontale du plan est donc la droite qui joint les deux traces frontales des droites.

l

ld

Q

P

d

b

m

d

a

c

c

da

b

m

1.4.2 Plans remarquables

Les plans remarquables sont les plans parallles ou orthogonaux aux plans de projections ou aux plans bissecteurs.


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1.4.2.1 Plan vertical

Est dit vertical tout plan perpendiculaire au plan horizontal de projection. Sa trace frontale est donc perpendiculaire la ligne de terre. Tous les points d'un plan vertical se projettent horizontalement sur une droite : sa trace horizontale.

a

a P

A

Q

QP

Q

P

a

a

Remarque : Le plan frontal de projection est un plan vertical particulier

1.4.2.2 Plan de bout Est dit de bout tout plan perpendiculaire au plan frontal de projection. Sa trace horizontale est donc perpendiculaire la ligne de terre. Tous les points d'un plan de bout se projettent frontalement sur une droite : sa trace frontale.

Q

Q

P

P

a

a

Q

a

a

P

A

Remarque : le plan horizontal de projection est un plan de bout particulier.

lments de figures

25

1.4.2.3 Plan horizontal Est dit horizontal un plan parallle au plan horizontal de projection. Tous ses points ont mme cote. Il na donc pas de trace horizontale et sa trace frontale est parallle la ligne de terre. Tous les points d'un plan horizontal se projettent frontalement sur une droite horizontale.

yQ

QQ

y

Remarque : tout plan horizontal est aussi un plan de bout.

1.4.2.4 Plan frontal

Est dit frontal un plan parallle au plan frontal de projection. Tous ses points ont mme loignement. Il na donc pas de trace frontale et sa trace horizontale est parallle la ligne de terre. Tous les points d'un plan frontal se projettent horizontalement sur une droite frontale.

P

P

Pyy

Remarque : Tout plan frontal est aussi un plan vertical.


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1.4.2.5 Plan passant par la ligne de terre Un plan passant par la ligne de terre a ses traces confondues avec celle-ci. Il faut et il suffit, pour dfinir un tel plan, de connatre un de ses points (A). Toute droite joignant ce point et un point quelconque de la ligne de terre (B) appartient ce plan.

b b

a

a

a

a

A

yy

1.4.2.6 Plan parallle la ligne de terre Un plan parallle la ligne de terre a ses traces horizontale et frontale parallles la ligne de terre mais non ncessairement confondues ou symtriques par rapport celle-ci.

Q

P P

P

Q

Qyy

lments de figures

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1.4.2.7 Plan de profil

Un plan de profil est perpendiculaire au deux plans de projection, et donc la ligne de terre. Ses traces horizontale et frontale sont alignes et perpendiculaires la ligne de terre.

P

Q

P

Q

1.4.3 Droites principales dun plan

On appelle droites principales dun plan les droites de ce plan parallles au plan frontal ou au plan horizontal de projection, ainsi que les droites perpendiculaires celles-ci, cest--dire les lignes de plus grande pente.

1.4.3.1 Droites frontales et horizontales dun plan Ce sont les droites appartenant au plan considr et qui sont parallles au plan frontal ou au plan horizontal de projection. Les droites frontales dun plan sont obtenues en coupant ce plan avec des plans frontaux, les droites horizontales en coupant le plan avec des plans horizontaux.

Droite frontale du plan Droite horizontale du plan La trace frontale dun plan est une droite frontale dloignement zro de ce plan. De mme, la trace horizontale du plan est la droite horizontale de cote zro de ce plan.


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1.4.3.2 Lignes de plus grande pente dun plan On appelle lignes de plus grande pente dun plan en rfrence un plan de projection les droites de ce plan qui forment le plus grand angle possible avec ce plan de projection. En gomtrie descriptive, on distingue classiquement les lignes de plus grande pente avec le plan horizontal et les lignes de plus grande pente avec le plan frontal. Thorme : Soient (P) et (R) deux plans se coupant selon une droite (D). Les lignes de plus grande pente du plan (P) par rapport au plan de rfrence (R) sont les droites de (P) perpendiculaires (D).

Rappel gomtrique : Pour quun angle droit se projette sur un plan en un angle droit, il faut et il suffit quun de ses cots soit parallle ce plan.

Ligne de plus grandepente du plan (P).

La trace horizontale dun plan reprsente la droite dintersection de ce plan avec le plan horizontal de projection. Selon le plan de rfrence considr, les lignes de plus grande pente du plan sont donc les droites perpendiculaires la trace du plan correspondante. Dautre part, les droites horizontales ou frontales du plan tant parallles respectivement aux traces horizontales ou frontales, les lignes de plus grande pente dun plan sont galement perpendiculaires aux droites horizontales ou frontales de ce mme plan. Remarque : Une ligne de plus grande pente est suffisante pour caractriser entirement un plan. En effet, connaissant la ligne de plus grande pente (G) avec, par exemple, le plan horizontal, il est possible de construire sa trace horizontale, soit le point (A). Nous savons que la trace horizontale du plan, soit la droite (P), passe par le point (A) et est perpendiculaire (G). Une fois construite, cette trace horizontale, nous donne le point () intersection de cette droite avec la ligne de terre. Ce point () appartient galement la trace frontale (Q) du plan. Il ne reste alors qu construire la trace frontale de (G), soit le point (B), pour obtenir un second point de cette trace frontale du plan.

g

g

b

ba

a

P

Q

lments de figures

29

1.4.4 Constructions sur les plans

1.4.4.1 Marquer une droite dans un plan

Soit un plan dfini par deux droites concourantes (D) et (L). La projection horizontale (k) dune droite (K) de ce plan est connue. Pour construire la projection frontale (k) de cette droite, il suffit de rappeler les intersections (a) et (b) de (k) avec les projections horizontales (d) et (l) de (D) et (L) sur leur projections frontales (d) et (l).

k

k

ld

ld

m

m

ba

ba

1.4.4.2 Construire une horizontale dun plan dfini par deux droites concourantes Il suffit de couper les deux projections frontales (d) et (l) des droites caractrisant le plan par une projection frontale (h) parallle la ligne de terre, puis de rappeler les points dintersection sur les projections horizontales des droites afin de construire (h).

h

h

ld

ld

m

m

ba

ba

1.4.4.3 Marquer un point dans un plan Ici, une des projection du point est connue, et on cherche son autre projection sachant que le point appartient au plan. Le problme se dcompose en deux tapes:

- on cherche dabord construire une droite passant par ce point et appartenant au plan.


30

- On rappelle ensuite ce point sur les projections de la droite.

Cas dun plan dfini par deux droites concourantes : On connat (D) et (L) deux droites scantes dfinissant un plan (P) ainsi que (m), la projection frontale dun point dont on cherche la projection horizontale sachant que ce point appartient au plan des deux droites. On construit donc une droite passant par (m) et coupant les droites (D) et (L). Cette droite, ainsi dfinie par deux points appartenant au plan (P), appartient donc elle-aussi ce plan. Si maintenant on dfinit la projection horizontale (m) comme appartenant donc cette droite, le point (M) appartiendra lui aussi au plan.

ld

ld

m

m

Cas dun plan dfini par deux droites principales : Soit un plan (P) caractris par deux de ses droites principales, (H) et (F), concourantes en un point (A). La projection horizontale (m) du point recherch est connue. On cherche construire sa projection frontale (m) de telle sorte que le point appartienne au plan. On construit tout dabord une droite horizontale passant par (m), parallle (H) et qui coupe la droite (F) en un point (B). (B) est un point du plan (P). La droite ainsi dfinie est donc parallle (H) et passe par (B), un point de (P). Elle appartient donc elle aussi (P). Il ne reste alors qu rappeler (m) sur cette droite pour que (M) appartienne (P).

m

h

b

a

f

f

m

h

ba

lments de figures

31

1.4.4.4 Construire la ligne de plus grande pente dun plan passant par un point donn Soit un plan (P) dfini par deux droites (D) et (L) concourantes et soit (A) un point de ce plan donn. On cherche construire la ligne de plus grande pente par rapport au plan horizontal passant par (A). On construit tout dabord une horizontale du plan. La droite cherche est la perpendiculaire cette droite mene par (A).

a

k

g

k

g

ad

l

ld

33

2. PROBLEMES SUR LES DROITES ET LES PLANS

2.1 Droite et plan parallles Rappel gomtrique : Pour quune droite soit parallle un plan, il faut et il suffit quelle soit parallle une des droites de ce plan.

2.1.1 Mener par un point une droite parallle un plan

Selon le thorme prcdent, il suffit de mener par le point donn une parallle une droite appartenant au plan. Dans le cas dun plan dfini par ses traces (PQ), il suffit donc de mener par le point (A) une droite parallle la trace horizontale ou la trace frontale du plan.

P

PQ

a

a

Q

Dans le cas dun plan dfini par deux droites concourantes (F) et (G), il suffit de mener par le point (A) une droite parallle (F) ou (G).

g

f

a

a

f g


34

2.1.2 Mener par une droite donne le plan parallle une direction donne :

Selon le thorme prcdent, il suffit de construire un plan contenant la droite (D) donne et une droite parallle la direction (L), donne galement. Pour ce faire, on se donne un point (A) de la droite (D) par lequel on mne une droite (G) parallle (L). Les droites (D) et (G) sont concourantes en (A) et dfinissent donc bien un plan parallle (L).

a

a

d

dg

g

l

l

Problmes sur les droites et les plans

35

2.2 Plans parallles Rappel gomtrique : Pour que deux plans soient parallles, il faut et il suffit que deux droites concourantes de lun soient parallles lautre.

2.2.1 Mener par un point donn un plan parallle un plan donn

Soit (O) un point de lespace et (P) un plan de lespace dfini par deux droites concourantes (G) et (F). Pour mener par (O) un plan parallle (P), if suffit de mener par (O) des droites parallles (G) et (F).

o

o

g f

fg

Soit (O) un point de lespace et (V) un plan de lespace dfini par ses traces (PQ). Si ces traces ne sont pas parallles entre elles, if suffit, pour mener par (O) un plan parallle (V), de mener par (O) des droites (H) et (F) parallles aux traces horizontale et frontale de (V).

P

PQ

o

h

f

f

ho

Q


36

2.3 Intersection de deux plans , Rappel gomtrique : Lintersection de deux plans est une droite si les plans sont scants, et nulle si les plans sont prallles. Si deux plans se coupent, ils se coupent selon une droite et il suffira donc den dterminer deux points. Pour ce faire, plusieurs mthodes soffrent nous :

1. Mthode des deux droites On recherche lintersection de deux droites distinctes dun plan avec lautre. Les deux points de lintersection seront ainsi donns.

M N

E

D

O

2. Mthode des deux plans auxiliaires

On coupe les deux plans donns dont on recherche lintersection par un plan auxiliaire. Les droites dintersection de ce plan auxiliaire avec les plans donns se rencontrent en un point appartenant lintersection recherche. Il suffit alors de rpter lopration avec un autre plan auxiliaire pour dterminer un autre point de lintersection recherche.

Bien entendu, les plans auxiliaires sont pris tels quil soit facile de dterminer leurs intersections avec les plans donns. Ce sont en gnral des plans verticaux ou de bout.

N

M1er plan auxilaire

2me plan auxilaire


37

2.3.1 Plan(s) perpendiculaire(s) un plan de projection

2.3.1.1 Un des plans est vertical Soit un plan (V) vertical et un plan (P) dfini par deux droites concourantes (D) et (E). Nous savons que tous les points dun plan vertical se projettent horizontalement sur la trace horizontale de ce plan. Lintersection du plan (P) avec le plan (V) appartient au plan (V) et donc se projette galement sur la trace horizontale de (V). Les intersections des droites (D) et (E) avec le plan (V) sont donc donnes en projection horizontale. Il ne reste alors qu rappeler ces intersections en projection frontale.

n

a

a

m

n

m

P

Q

2.3.1.2 Les deux plans sont de bout Les plans de bout sont perpendiculaires au plan frontal. Leur intersection sera donc elle-mme perpendiculaire au plan frontal, cest--dire une droite de bout. Un seul point est suffisant pour la dfinir.

d

d

S

S QRP

Q

RP


38

2.3.2 Cas gnral (mthode des plans auxiliaires)

2.3.2.1 Deux plans dfinis par deux droites concourantes On considre deux plans quelconques dfinis chacun par deux droites concourantes. La mthode employe ici pour dterminer lintersection de ces deux plans est celle des plans auxiliaires. Soit un plan (P) dtermin par les droites (D) et (E) concourantes en un point (A), et un plan (V) dtermin par les droites (F) et (G) concourantes en un point (B). On se donne ici deux plans auxiliaires horizontaux (H1) et (H2). Le plan (H1) coupe le plan (P) selon la droite (T) et le plan (V) selon la droite (X). Le plan (H2) coupe le plan (P) selon la droite (U) et le plan. (V) selon la droite (Y). La droite (I), intersection des plans (P) et (V) recherche, est dtermine par le point dintersection des droites (T) et (X) et le point dintersection des droites (U) et (Y).

H2

H1

y

x

u

t

i

i

b

g

fe d

a

a b

g fe d


39

2.4 Intersection dune droite et dun plan Afin de dterminer lintersection dune droite et dun plan, la mthode consiste faire passer par la droite un plan auxiliaire et ensuite chercher lintersection de ce plan auxiliaire avec le plan donn. Cette intersection donne une droite auxiliaire. Le point recherch est lintersection de cette droite auxiliaire avec la droite donne.

Point dintersection

Plan de rfrence

Plan auxiliaire

Droite auxiliaire

Droite de rfrence

2.4.1 Le plan est parallle ou perpendiculaire un plan de projection

2.4.1.1 Plan horizontal La construction de lintersection dune droite et dun plan horizontal est immdiate en projection frontale puisque tous les points dun plan horizontal se projettent frontalement sur sa trace frontale. Il ne reste alors qu rappeler la projection frontale du point dintersection sur la projection horizontale de la droite. Dans lpure ci-dessous, on considre que le plan horizontal (H) est opaque. La droite (D) est donc reprsente en pointill lorsquelle est masque par le plan (H).

d

i

i

d

H


40

2.4.1.2 Plan frontal Ici lintersection est immdiate en projection horizontale puisque tous les points du plan (F) se projettent sur sa projection horizontale. De mme, le plan (F) est considr comme opaque.

d

i

i

d

F

2.4.1.3 Plan vertical Tous les points du plan vertical (PQ) se projettent sur sa projection horizontale. L encore la construction de lintersection (I) avec la droite (D) est immdiate en projection horizontale.

i

d

Q

P

i

d


41

2.4.1.4 Plan de bout Lintersection entre un plan de bout (PQ) et une droite (D) est immdiate en projection frontale.

i

d

d

i

P

Q

2.4.2 Le plan est quelconque

2.4.2.1 Plan dfini par deux droites concourantes On recherche lintersection (I) entre une droite (D) et un plan (P) dfini par deux droites concourantes (E) et (G). On utilise donc la mthode du plan auxiliaire contenant la droite. On choisira un plan auxiliaire vertical ou de bout qui projette donc la droite (D) horizontalement ou verticalement. On recherchera ensuite lintersection de ce plan auxiliaire avec le plan (P). Le point (I) recherch est lintersection de cette droite (F) avec la droite (D). Le plan (P) tant considr comme opaque, il est ncessaire de rendre compte des parties caches de la droite (D). Pour ce faire, on utilisera la mthode vue en 1.4.4.5. En projection frontale, la partie de la droite (D) qui est en avant de (P) sera vue; en projection horizontale, la partie de (D) au-dessus de (P) sera vue.

e

g

ge

d

d

i

ia

b

ab

f

f


42

2.5 Droite et plan perpendiculaires Rappels gomtriques : Deux droites orthogonales se projettent sur un plan suivant un angle droit si et

seulement si une des droites est parallle au plan de projection. Pour quune droite soit perpendiculaire un plan, il faut et il suffit quelle soit

orthogonale deux droites non parallles de ce plan.

Incidence en gomtrie descriptive :

Pour quune droite soit perpendiculaire un plan, il faut et en gnral il suffit : 1) que la projection horizontale de la droite soit perpendiculaire la projection horizontale dune horizontale du plan. (Rappel : la trace horizontale dun plan est une des horizontales de ce plan). 2) que la projection frontale de la droite soit perpendiculaire la projection frontale dune frontale de ce plan. (Rappel : la trace frontale dun plan est une des frontales de ce plan).

2.5.1 Mener par un point la droite perpendiculaire un plan

2.5.1.1 Le plan est dfini par ses traces Ici, la construction est immdiate : les traces horizontale et frontale dun plan tant des droites horizontale et frontale de ce plan, il suffit de mener par le point des perpendiculaires ces traces.

d

d

P

Q


43

2.5.1.2 Le plan est dfini par deux droites concourantes Il faut dabord se donner une horizontale et une frontale de ce plan, puis mener par le point donn une perpendiculaire ces droites. Soient le point (A) et deux droites concourantes (D) et (E) dfinissant un plan. On commence par se donner une horizontale (H) et une frontale (F) de ce plan. On mne ensuite par (A) une droite perpendiculaire (F) et (H). Donnes : Construction : tape 1 tape 2

2.5.2 Mener par un point le plan perpendiculaire une droite

Soient (A) un point et (D) une droite de lespace. Il suffit de dterminer le plan recherch par deux droites principales, soit une droite horizontale (H) et une droite frontale (F) scantes en (A).

a

a

e

e

d

d

h

f

fh

a

a

e

e

d

d

h

f

fh

a

a

e

e

d

d

a

a

f

f

h

h

d

d


44

2.5.3 Mener par un point la perpendiculaire une droite

Ici, les projections de la droite (D) donne ne sont pas ncessairement parallles aux plans de projection. Il nest donc pas possible de construire directement la droite perpendiculaire celle-ci simplement en menant par (A) une droite perpendiculaire aux projections de (D). En effet, langle droit nest pas conserv en projection si un des cots nest pas parallle au plan de projection. Il convient donc dabord de construire le plan perpendiculaire la droite (D) passant par (A) (voir ci-dessus). Toutes les droites de ce plan seront perpendiculaires (D). Il reste alors dterminer laquelle parmi ces droites rencontre la droite (D). Pour ce faire, il faut construire lintersection de (D) avec ce plan qui lui est perpendiculaire passant par (A), soit un point (I). Pour dterminer (I), point dintersection entre la droite (D) et le plan dfini par les droites (H) et (F) concourantes en (A), on utilise un plan auxiliaire vertical (PQ) projetant la droite (D) verticalement. La droite (AI) est bien perpendiculaire (D) et la coupe en (I). Donnes : Construction

a

a

d

d

i

i

Q

P

a

a

f

h

h

f

d

d


45

2.6 Autres problmes de gomtrie dans lespace

2.6.1 Recherche de la droite passant par un point et sappuyant sur deux droites

2.6.1.1 Solution gomtrique Soient (D) et (E) deux droites de lespace et (A) un point de lespace. On recherche la droite passant par (A) et interceptant les droites (D) et (E). Il existe une infinit de droite passant par (A) et rencontrant la droite (D). Lensemble de ces droites forme un plan, soit le plan dfini par la droite (D) et le point (A). De mme, il existe une infinit de droite passant par (A) et rencontrant la droite (E), soit le plan dfini par la droite (E) et le point (A). Ces deux plans ont ncessairement une intersection puisse quils passent tous deux par le point (A). Si cette intersection nest pas parallle la droite (D) ou la droite (E), cest la droite cherche. La droite qui passe par (A) et intercepte les droites (D) et (E) est donc la droite dintersection du plan dfini par la droite (D) et le point (A) avec le plan dfini par la droite (E) et le point (A). Le problme revient donc rechercher la droite dintersection entre deux plans. Cependant, un des points de cette droite est donn : le point (A). Il suffit donc de construire un autre point de cette intersection pour la dterminer. Soit (I) le point dintersection de la droite (E) avec le plan dfini par le point (A) et la droite (D). Ce point appartient bien au plan dfini par le point (A) et la droite (E) puisquil appartient la droite (E). Par dfinition, il appartient galement au plan dfini par la droite (D) et le point (A). Le problme se rduit donc rechercher lintersection dune des droites donnes avec le plan dfini par lautre droite et le point donn. La droite recherche est la droite passant par ce point et par le point donn.

ED

A

Droite recherche

ED

I

A

Droite recherche


46

2.6.1.2 Rsolution par lpure Soient donc deux droites (D) et (E) et un point (A) de lespace. Nous allons reprsenter le plan dfini par la droite (D) et le point (A) en nous donnant une droite horizontale (H) coupant (D) en (K) et passant par (A). Le plan est ainsi dtermin par deux droites concourantes. Nous allons ensuite rechercher lintersection (I) de la droite (E) avec ce plan. Pour ce faire, nous utiliserons un plan auxiliaire de bout projetant frontalement la droite (E). Une fois ce point (I) dtermin, il ne nous reste plus qu reprsenter la droite passant par ce point (I) et le point (A) pour avoir construit la droite passant par (A) et sappuyant sur les droites (D) et (E).

e

e

d

d

a

a

e

a

ak

k

h

h

ed

d

e

a

a

i

i

k

k

h

h

ed

d


47

2.6.2 Recherche de la perpendiculaire commune deux droites

2.6.2.1 Une des droites est perpendiculaire un plan de projection Soient les droites (D) et (V), (V) tant verticale. Si (V) est verticale, les droites qui lui sont perpendiculaires sont ncessairement horizontales. La droite (H) perpendiculaire (D) et (V) est donc une horizontale. Dautre part, sa projection horizontale passe par la projection horizontale de (V). La projection horizontale de la droite verticale (V) tant rduite un point (v), la projection horizontale de la droite (H) est dtermine et coupe la droite (D) en un point (A). La projection frontale du point (A) se construit en rappelant sa projection horizontale sur la projection frontale de la droite (D). Il ne reste alors qu construire en projection frontale la droite horizontale (H) passant par (A). Donnes : Construction

Le cas dune droite de bout se traite de faon symtrique.

2.6.2.2 Les deux droites sont parallles un mme plan de projection Soient deux droites (D) et (E) horizontales. Les perpendiculaires (D) et (E) sont ncessairement verticales. La droite (V) perpendiculaire (D) et (E) est donc verticale et sa projection horizontale est lintersection des projections horizontales des droites (D) et (E). Le cas de deux droites frontales se traite de faon symtrique.

1

a

a

h

d

h

v

v

d

2

3

dv

v

d

v

v

ed

e

d


48

2.6.2.3 Cas gnral Mthode : Soient deux droites quelconques (D) et (E) de lespace. Nous cherchons dterminer la droite perpendiculaire chacune de ces deux droites. La mthode se dcompose en trois tapes : - Dterminer un plan parallle aux deux droites donnes.

La droite perpendiculaire deux droites quelconques est perpendiculaire un plan parallle ces deux droites. Pour dterminer un tel plan, il suffit de mener par un point quelconque dune des droites donnes une parallle lautre. Choisissons par exemple de mener par un point (A) de la droite (D) une parallle la droite (E).

- Dterminer la direction de la droite cherche.

Nous savons que la droite cherche est perpendiculaire ce plan. On construira donc une perpendiculaire ce plan passant par (A). Cette droite (G) nous donne la direction de la droite cherche.

- Dterminer un point de la droite cherche.

Considrons maintenant le plan dtermin par la droite (D) et la droite (G). Ce plan contient ncessairement la droite cherche car il contient la droite (D) et est perpendiculaire la droite (E). Lintersection (I) de ce plan avec la droite (E) nous donnera donc un point de la droite cherche. Il suffit alors de mener par ce point (I) une parallle (G). Cette droite, de direction (G), est perpendiculaire (D) et (E).

AE1

E

D

G

A

E

D

I

G

A

E

D


49

Construction dans lpure : 1) Dterminer un plan parallle aux deux droites donnes 2) Dterminer le plan par ses droites principales

3) Dterminer la direction (G) de la droite recherche 4) Dterminer le point (I) et la droite

recherche. Pour ce faire, on utilise un plan auxiliaire vertical projetant (E) horizontalement.

k

kf

f

h

h

a

a

e1

e1

e

e

d

d

a

a

e1

e1

e

e

d

d

k

k

g

g

f

fh

h

a

a

e1

e1

e

e

d

d

k

k

g

g

f

fh

h

i

i

a

a

e1

e1

e

e

d

d

51

3. LES OMBRES

3.1 Ombres portes sur les plans de projection

3.1.1 Principe de la projection oblique

La projection oblique sur un plan se distingue de la projection orthogonale par le fait que la droite projetante (L) nest pas orthogonale au plan de projection. Dans la figure ci-dessous, (a) est la projection orthogonale du point (A) sur le plan (P), et (O) en est la projection oblique selon la droite projetante (L).

OaP

LA

Dans lpure ci-dessous, on recherche la projection oblique (O) du point (A) sur le plan horizontal et selon la droite projetante (L). Ceci se ralise en deux tapes : - on mne par le point (A) une droite parallle (L). - on recherche la trace horizontale de cette parallle. Cette trace horizontale (O) de la parallle (L) mene par (A) est la projection oblique selon (L) du point (A) sur le plan horizontal.

yo

oa

a

l

l

y

De la mme faon, on construit la projection oblique du point (A) sur le deuxime bissecteur selon une projetante (L) : - on mne par le point (A) une droite parallle (L). - on recherche lintersection de cette parallle avec le 2me bissecteur.


52

On sait que les points du deuxime bissecteur ont leurs projections confondues. Lintersection dune droite avec le deuxime bissecteur est donc le point dintersection de sa projection frontale avec sa projection horizontale.

y

o o

a

a

l

l

y

3.1.2 Application la reprsentation des ombres

En gomtrie descriptive, on distingue classiquement deux types dombres, suivant la nature de la source lumineuse. Si celle-ci est situe une distance finie de lobjet considr, tous les rayons lumineux partent dun mme point : la source lumineuse elle-mme (le flambeau). On parle alors dombre au flambeau. Chercher lombre dun objet consiste donc chercher lintersection des droites issues de la source lumineuse et passant par les sommets de lobjet avec les plans de projection ou avec un plan quelconque considr comme opaque.

f

F

b1

a1

A

B

b

a

Si la source lumineuse est situe linfini, crant ainsi des ombres similaires celles du soleil, les rayons lumineux sont parallles entre eux. Dans ce cas, chercher lombre dun objet consiste en faire une projection oblique selon la direction de la source lumineuse sur les plans de projection ou sur un plan quelconque considr comme opaque.

L B

b

a1

b1a

ASoleil linfini

Les ombres

53

3.1.2.1 Ombre dun point (flambeau) Soit (A) un point donn du premier didre, et (F) un flambeau appartenant galement au premier didre. On recherche ici lombre du point (A) sur les plans de projections, considrs comme opaque. Lombre dun point est galement un point. Le point (A) aura donc deux ombres : lune sur le plan horizontal et lautre sur le plan frontal, mais une seule sera vue. Le premier plan de projection rencontr par la droite issue de (F) et passant par (A) portera lombre relle, cest--dire vue, tandis que lautre plan de projection portera lombre virtuelle.

a2a1

a2

a1

a

f

a f

F

A

a

a1

a1a2

a2

f

a

f

Ombre relle

Ombre relle

Ombre virtuelle

Ombre virtuelle


54

3.1.2.2 Ombre dun segment (AB) (soleil) On recherche ici lombre sur les plans de projections dun segment (AB) situ dans le premier didre. La direction des rayons lumineux est celle de la droite (L). Cette construction se dcompose en deux temps :

- on recherche dabord lombre (la projection) du segment sur un des plans de projection (ici le plan horizontal) en menant par (A) et (B) des parallles (L). - Soit (A1B1) lombre sur le plan horizontal du segment (AB). Ici trois cas peuvent se produire : - (A1B1) est entirement dans le 1er didre, et dans ce cas lombre sur le plan horizontal sera entirement relle et lombre sur le plan frontal sera entirement virtuelle. - (A1B1) est entirement dans le second didre. Lombre horizontale est entirement virtuelle et lombre frontale entirement relle. - (A1B1) appartient en partie au 1er didre et en partie au second didre (cest le cas dans lpure ci-dessous). Lombre horizontale coupe donc la ligne de terre en un point (). Une partie de cette ombre, ici (A1), sera relle et lautre partie, (B1), virtuelle car situe en arrire du plan frontal. On a donc affaire un ressaut dombre sur le plan frontal. Le point () appartient lombre de (AB) sur le plan horizontal et lombre de (AB) sur le plan frontal. Il reste donc construire le ressaut dombre sur le plan frontal. Pour se faire il nest ncessaire que de construire lombre sur le plan frontal du point (B), soit (B2).

l

a2

a2

b2

b2 a1

b1

b1

a1

la

b

ab

Les ombres

55

3.1.3 Ombre dune plaque sur les plans de projection

Soit une plaque dfinie par 3 points (ABC). On cherche son ombre sur les plans de projection, ceux-ci tant considrs comme opaques. De mme que dans le cas dun segment (cf 2.3.4.2.5), une plaque peut porter ombre soit entirement sur le plan horizontal, soit entirement sur le plan frontal, soit sur les deux plans de projections et dans ce cas on aura affaire un ressaut. On commence donc par rechercher lombre sur un des plans de projection (ici le plan horizontal), puis on complte ventuellement cette ombre dans lautre plan. Dans lpure ci-dessous, le point (B) porte ombre sur le plan frontal en (B2).

b2

b2

a1

a1b1

b1

c1

c1

c

c

b

ba

a


56

3.2 Ombres portes par la mthode du point de perte

3.2.1 Ombre dune droite sur une autre droite

Soient (D) et (E) deux droites non coplanaires. On cherche ici dfinir si une droite porte une ombre sur lautre et si oui en quel point. La mthode consiste projeter sur un des plans projection (ici le plan frontal) lombre des deux droites selon la direction des rayons lumineux (L). Si ces ombres se coupent, alors une des droites porte ombre sur lautre, et le point dintersection des ombres (M1) sappelle point de perte. On trouve alors, par retour inverse de la lumire partir du point de perte, le point qui porte ombre (M2) et le point dombre (M0). Dans lpure ci-dessous, il est par ailleurs ncessaire de complter le ressaut de lombre de la droite (AB) sur le plan horizontal.

a2c1

c

a2

mom2

m2 mo

c1

b1l

d

a1

m1

a1d1m1b1

a

b

l

d

c

db

a

Les ombres

57

3.2.2 Ombre dune plaque sur une autre plaque

Soient deux plaques (ABC) et (DEF) dans lespace. On recherche ici si une plaque porte ombre sur lautre. La mthode employe est tout fait similaire la recherche de lombre dune droite sur une autre vue en 2.3.4.2.6. On construit lombre des deux plaques sur un plan de projection (ici le deuxime bissecteur) en les projetant suivant une direction parallle au rayon lumineux. Si ces deux ombres se coupent, alors une plaque porte ombre sur lautre. Pour dterminer les points dombre, on mne par les points de perte (points dintersection des ombres, ici les points K, L, M, N, O et P) des parallles au rayon lumineux et par retour inverse de la lumire on construit ces points sur les plaques.

m2

n2

k2

l2

p2

o2

o

n

m

lk

p

p k

l

mn

o

p1 p1

o1 o1 m1

n1 n1

k1 k1

l1 l1

e1 e1

f1 f1

c1 c1

d1 d1 b1 b1

a1 a1

e

d

f

e

c

b

a

a

c

b

f

d

m2n2

k2

l2p2

o2

59

3.3 Ombres propres

3.3.1 Position dun point par rapport un plan

On cherche ici dterminer la position dun point relativement un plan. Pour ce faire, on mne par ce point une droite de bout (perpendiculaire au plan frontal) et une droite verticale (perpendiculaire au plan horizontal), et on regarde le point de rencontre de chacune de ces droites avec le plan considr.

D

V

A

On dira alors quun point (A) est au-dessus du plan considr si sa cote est suprieure la cote du point de rencontre (V) de la droite verticale issue de (A) avec ce plan. Le point (A) est dit au-dessous du plan si sa cote est infrieure celle de (V). De mme, on dira que (A) est en avant du plan si son loignement est suprieur lloignement du point de rencontre (D) de la droite de bout issue de (A) avec ce plan, et en arrire du plan si son loignement est infrieur celui de (D). Dans cet exemple, (A) est en avant et au-dessus du plan considr.

a d

a v

Q

P

d

v

Cas dun plan dfini par deux droites concourantes :


60

Soit un plan (P) dfini par deux droites concourantes et un point (A) donn. On commence donc par mener par (A) une droite de bout et une droite verticale. On recherche ensuite lintersection de la droite de bout issue de (A) avec le plan (P), soit le point (D), et lintersection de la droite verticale issue de (A) avec ce mme plan, soit le point (V). Dans lpure ci-dessous, il apparat que lloignement de (A) est infrieur celui de (D), tandis que sa cote est suprieure celle de (V). Le point (A) est donc situ au-dessus et en arrire de (P). Il sera donc vue en projection horizontale mais cach en projection frontale.

a d

v

d

a v

La projection frontale de (A)est cache par le plan (P)

3.3.2 Faces dun plan vues dans une pure

Dans la projection dune plaque (ou dun plan), une des deux faces de cette plaque est vue et lautre non. Suivant la position de la plaque dans lespace, la projection frontale et la projection horizontale peuvent montrer la mme face ou montrer deux faces diffrentes. Dans une pure, le moyen de dterminer si une plaque est vue par ses deux faces (une en projection frontale et une en projection horizontale) ou si les deux projections montrent la mme face est le suivant : Soit une plaque dfinie par trois points (ABC). On mne par un des points de la plaque - ici le point (B) - une droite de profil appartenant la plaque. Cette droite rencontre une arte de la plaque en un point (D). Et on compare ensuite les cotes et loignements de ces deux points. Si (B) est le point de plus grande cote et quil est aussi le point de plus grand loignement, les deux faces sont vues. Si (B) est le point de plus grande cote mais aussi le point de plus petit loignement, une seule face est vue :

Les ombres

61

B B

D Dc

d

b

a

c

c

d

d

b

b

a

a

cd

b

a

Vue frontale

Vue horizontale

Vue frontale

Vue horizontale

Les projections sont de mme sens.La mme face est vue en projectionhorizontale et en projection frontale

Les projections sont de sens contraire.Une face est vue en projection horizontale etlautre face est vue en projection frontale

Donc, si les triangles (abc) et (abc) des projections horizontale et frontale sont de mme sens par rapport la ligne de terre, alors une seule face est vue dans lpure, sils sont de sens contraire, alors les deux faces sont vues.

3.3.3 Ombre propre dune plaque :

Lombre propre dun objet est lombre porte sur lobjet lui-mme. Dans le cas dune plaque claire, une de ses faces est claire et lautre est dans lombre. Nous avons vu que dans une pure, lorsque les deux faces sont vues, lune lest dans la projection horizontale et lautre dans la projection frontale. Il peut donc arriver quune des projections soit ombre et lautre claire, que les deux projections soient ombres ou que les deux projections soient claires. Afin de dterminer si dans une pure les projections dune plaque sont ombres ou claires, on commence par dterminer si les deux projections donnent voir la mme face ou si les deux faces sont vues. On choisit ensuite lune des projections, par exemple la projection frontale (le cas dans lpure ci-dessous). Dans cette projection, on se donne un rayon lumineux passant par un des points de la plaque et coupant dans cette projection une des autres artes de la plaque. Il est important de noter ici que, ne travaillant que dans une des deux projections, cette intersection dun rayon lumineux issu dun point de la plaque avec une des artes de la plaque nest quapparente. Il sagit justement de dterminer si, en ce point dintersection apparent, un tel rayon lumineux est en avant ou en arrire de la plaque (ou bien au-dessus ou en dessous si on a choisi la projection horizontale). On fait donc passer par ce point une droite de bout (verticale dans le cas de la projection horizontale). En ce point dintersection apparente, un point de la droite de bout appartient au rayon lumineux (ici le point N) et un autre appartient larte (ici AB) de la plaque (ici le point M). On regarde ensuite dans la projection horizontale de cette droite de bout la position respective de ces points. Dans lpure ci-dessous, le point (M) de larte (AB) est en avant du point (N) du rayon lumineux. Le rayon lumineux est donc en arrire de la plaque. La face vue en projection frontale est donc dans lombre. Par ailleurs, les projections de la plaque tant de sens contraire par rapport la ligne de terre, les deux faces sont vues et la projection horizontale de la plaque est donc claire. On peut procder symtriquement en choisissant la projection horizontale et une droite verticale (IJ).


62

b

ca

i j

n

m

j

i

m n

b

ca

63

4. MTHODES Rappelons ici que la gomtrie descriptive a pour vocation de reprsenter sans ambigut les objets en trois dimensions dans les deux dimensions de la feuille de papier et que cet objectif est atteint par une double reprsentation bi-dimensionnelle des objets (les projections horizontale et frontale) rendue cohrente par les lignes de rappel. Les deux projections planes dun ou de plusieurs objets en trois dimensions que met en place la gomtrie descriptive permettent donc de les dcrire totalement. Cependant, il est parfois ncessaire de modifier ou denrichir cette reprsentation afin de traiter certains problmes, comme notamment les problmes mtriques (longueurs et angles rels). Les mthodes dcrites ici permettent donc de modifier la reprsentation des objets afin damener les figures dans des positions particulires (en gnral parallles un plan de projection). La reprsentation des objets tant, en gomtrie descriptive, dpendante des plans de projections (le plan horizontal et le plan frontal), la premire mthode permettant de modifier la reprsentation des objets consiste changer de plan de projection. Lautre faon de modifier la reprsentation des objets est dagir sur les objets eux-mmes, sans modifier les plans de projection. On distinguera ici les rotations et les rabattements.

4.1 Changements de plans de projection Les changements de plans de projection permettent de modifier la reprsentation des objets sans agir sur les objets eux-mmes. Le but est de construire une nouvelle reprsentation des objets permettant par exemple de les voir en vraie grandeur. On se donnera donc un nouveau plan horizontal ou/et un nouveau plan frontal de projection parallle la figure que lon souhaite voir en vraie grandeur. Pour expliciter la dmarche, nous allons voir comment sopre un changement de plan frontal puis un changement de plan horizontal pour un point; et ensuite nous appliquerons la mthode une droite afin de la voir en vraie grandeur.


64

4.1.1 Changement de plan frontal de projection

On se donne un nouveau plan de projection frontal (F1), ce nouveau plan tant perpendiculaire au plan de projection horizontal (H). On se donne donc ainsi une nouvelle ligne de terre (x1y1). Le plan horizontal tant inchang, les cotes et les projections horizontales sont inchanges.

y1

y

y1

1

F1F

H

y

a1

a

a

a1

A

Dans lespace : Le point (A) nest pas modifi. On se donne un nouveau plan de projection frontal (F1) perpendiculaire au plan horizontal de projection (H). La projection horizontale du point (A) est inchange et sa cote est conserve.

y

1

y

y1

a a1

a1

a

y1

Epure : La reprsentation (a a) du point (A) est change en (a1 a1). La projection horizontale du point (A) est inchange : (a) est confondu avec (a1) et la cote du point (A) est conserve : (a) = (1a1)

Mthodes

65

4.1.2 Changement de plan horizontal de projection

On se donne un nouveau plan de projection horizontal (H1), ce nouveau plan tant perpendiculaire au plan de projection frontal (F). On se donne donc ainsi une nouvelle ligne de terre (x1y1). Le plan frontal tant inchang, les loignements et les projections frontales sont inchangs.

H1

F

H

y1

y

y

a1

a

a

1

a1

A

y1

Dans lespace : Le point (A) nest pas modifi. On se donne un nouveau plan de projection horizontal (H1) perpendiculaire au plan frontal de projection (F). La projection frontale du point (A) est inchange et son loignement est conserv.

y

1

a1

a a1

a

y1

y

y1

Epure : La reprsentation (a a) du point (A) est change en (a1 a1). La projection frontale du point (A) est inchange : (a) est confondu avec (a1) et lloignement du point (A) est conserv : (a) = (1a1)


66

4.1.3 Changement de plan de projection pour une droite

4.1.3.1 Principe Pour effectuer le changement de plan de projection pour une droite, il suffit dappliquer la mthode deux points de la droite. Cette opration est ncessaire pour effectuer des mesures sur la droite. En effet, pour que les distances prises sur un segment de droite soient conserves en projection, il faut et il suffit que le plan de projection soit parallle au segment. Ainsi, dans la majorit des cas, une droite nest pas vue en vraie grandeur dans sa projection frontale comme dans sa projection horizontale. Seules la projection frontale dune droite frontale et la projection horizontale dune droite horizontale sont vues en vraie grandeur. Afin de prendre des mesures sur une droite quelconque, il est donc ncessaire deffectuer un changement de plan de projection en choisissant le nouveau plan de projection de telle sorte quil soit parallle la droite : par ce changement de plan, nous allons rendre la droite mesurer soit frontale, soit horizontale. Le nouveau plan de projection tant soit vertical (perpendiculaire au plan horizontal), soit de bout (perpendiculaire au plan frontal), il sera donc parallle soit la projection horizontale de la droite soit, sa projection frontale.

4.1.3.2 Rendre une droite frontale (ou horizontale)

Soit (D) la droite sur laquelle on souhaite prendre la mesure du segment (AB). Cette droite ntant parallle aucun des plans de projection, le segment (AB) nest vu en vraie grandeur ni dans sa projection horizontale, ni dans sa projection frontale. Il est donc ncessaire de rendre la droite (D) frontale ou horizontale par changement de plan.

ba

a

b

d

d

D

B

A

Mthodes

67

Nous choisissons ici de rendre cette droite frontale en nous donnant un nouveau plan de projection frontal (H1) parallle la projection horizontale (d) de la droite (D) La droite (D) tant frontale par rapport au nouveau plan de projection frontal (H1), la projection frontale (a1b1) du segment (AB) sur ce nouveau plan de projection est vue en vraie grandeur. La mesure du segment (AB) peut donc tre prise sur (a1b1).

Epure :

Pour raliser le changement de plan de la droite, il suffit deffectuer le changement de plan pour deux point de la droite. Le segment (A1B1) tant rendu frontal, il est vu en vraie grandeur dans sa projection frontale (a1b1) sur le nouveau plan frontal de projection reprsent par la nouvelle ligne de terre (x1y1).

Remarque : Sagissant de rendre la droite frontale afin de la voir en vraie grandeur, le nouveau plan frontal de projection (x1y1) peut tre pris nimporte o pourvu quil soit parallle la projection horizontale de la droite (D), et notamment sur cette projection horizontale, ce qui simplifie la construction.

d d1

d1

D

H1

y

y1

a1

A

a a1

b1

B

b b1

y

y1

y

b1d1

a1

y1b b1

d d1

a a1

b

d

a

y

y1

VG


68

4.1.4 Changement de plan de projection pour un plan

4.1.4.1 Plan dfini par des droites concourantes La mthode consiste effectuer le changement de plan pour 3 points : le point dintersection (O) et un point sur chacune des droites.

y

y1

b1

a1

o1

a

b

ba

o

o

y

y1

4.1.4.2 Rendre un plan de bout (ou vertical) Rendre un plan de bout a pour but principal de faciliter la recherche de son intersection avec une droite, sans recours la mthode du plan auxiliaire. Le changement de plan est choisi de manire transformer une droite horizontale en droite de bout, ce qui caractrise les plans de bout. La ligne de terre est donc place perpendiculairement la projection horizontale dune horizontale du plan.

a1

b

c

c

c1

b1

b1

a

a

b

(h)

(h)

y y

y1

y1

Mthodes

69

4.2 Rabattements Le rabattement consiste faire tourner une figure plane (dont tous les points sont coplanaires) autour dune des droites du plan qui la porte afin rendre cette figure parallle un des plans de projection.

La droite autour de laquelle la figure tourne est appele charnire. Si la figure est rabattue sur un plan horizontal, la charnire est ncessairement une droite horizontale et elle est ncessairement une droite frontale dans le cas dun rabattement sur un plan frontal. La charnire est invariante dans le rabattement. Le rabattement peut se comparer une rotation autour dun axe dfini par la charnire. En fait les rabattements sont similaires des rotations autour daxes frontaux ou horizontaux.

4.2.1 Rabattement dun point

Soit donc un point (A) que lon dsire rabattre sur un plan horizontal (H1) et soit (P) le plan rabattre. La charnire (UV) est dtermine par lintersection de (P) avec (H1). Considrons la ligne de plus grande pente du plan (P) relativement au plan (H1) et passant par (A). Cette droite est perpendiculaire la charnire (UV), (UV) tant une horizontale de (P), et la coupe en un point (I). SI lon compare le rabattement sur (H1) autour de (UV) une rotation daxe (UV), le plan (AIA1) est le plan de rotation. Le point (A1) transform du point (A) dans le rabattement, se trouve donc sur une perpendiculaire (UV) issue de (I) une distance (IA1) = (IA). Soit (J) le point dintersection de la verticale issue de (A) avec le plan (H1). La distance (AJ) est gale la diffrence de cote entre le point (A) et le plan (H1).

Charnire

Plan de la figure

Plan de rabattement

F

H

H1

J

H1

A2

P

F

H

A1

A

I

ia

a2

a1u

v

V

U


70

Dans lpure : Le problme est ici de voir (AJ) en vraie grandeur. La mthode consiste reproduire sur le plan de projection parallle au plan de rabattement (ici le plan de projection horizontal) le triangle rectangle (IAJ) en construisant un point (A2) situ sur une perpendiculaire (AI) issue de (A) une distance (aa2) = (AJ), (AJ) tant gal la diffrence de cote entre (A) et le plan (H1). Le point (J) tant situ sur une verticale issue de (A), sa projection horizontale est confondue avec celle de (A), soit (j) = (a). On reproduit donc le triangle rectangle (IAJ) en (ia2a). Ce triangle est appel triangle de rabattement et il est vu en vraie grandeur dans (ia2a). En construisant un tel point (A2), on a (IA) = (IA2). Il suffit alors de reporter cette distance (IA2) sur la droite (IA) pour dterminer le point (A1), rabattu du point (A) sur (H1).

Avec le point (A2), on reproduit donc le triangle de rabattement sur le plan de projection parallle au plan de rabattement. Ce point (A2) ne servant qu dterminer la distance (IA) afin de construire (A1), il nest pas ncessaire de donner sa projection frontale, de mme que pour le point (I). Ces points appartenant (H1), leur projection frontale est confondue avec (uv).

Remarque gomtrique : Tous les triangles de rabattement dune mme figure sont des triangles semblables (leurs angles sont gaux).

a

a

i

a2

a1

a1

u

u

v

H1v

Mthodes

71

4.2.2 Relvement dun point

Le relvement dun point est lopration inverse du rabattement de ce point.

Soient donc un point (A) rabattu en (A1) et un point (B1), rabattu dun point (B) que lon cherche dterminer. La droite (A1B1) appartient au plan de rabattement (H1); cest donc une horizontale et elle coupe (UV) en un point (K). Ce point (K), appartenant (UV), est invariant.

La projection horizontale (b) du point (B) se trouve donc sur la droite (ka) projection horizontale de la droite (KA) releve de la droite (KA1). Dautre part, nous savons que (b) se trouve sur une perpendiculaire (uv) issue de (b1). Soit (l) le pied de cette perpendiculaire. (b) se trouve donc lintersection de (b1l) avec (ka). Afin maintenant de dterminer la projection frontale (b) du point (B), il est ncessaire de dterminer sa cote. Pour ce faire, nous allons reproduire le triangle de rabattement sur le plan horizontal en construisant le point (b2). Ce point est situ sur une perpendiculaire (b1l) issue de (b). Sachant que (lb2) = (lb1), (b2) est donc dtermin par larc de cercle de centre (l) et de rayon (lb1) et la perpendiculaire (b1l) issue de (b). (bb2) tant gal la diffrence de cote entre (B) et (H1), la cote de (B) est galement connue. (b) est donc dtermin. Remarque : (b2) peut tre dtermin diffremment en remarquant que les points (k),

(a2) et (b2) sont aligns.

a

a

i

a2

a1

b1

b1

a1

u

u

v

H1v

a

b

b

a

l

Les points K, A et Bsont aligns

k

k

i

b2

a2

b1

a1

u

u

v

H1v

73

5. GNRALITS SUR LES POLYDRES

5.1 Reprsentation

Ponctuation : Son but est de distinguer les parties vues des parties caches. Un sommet du polydre peut tre vu dans une des deux projections et cach dans lautre. Le polygone convexe qui contient la portion du plan de projection o se projettent tous les sommets du polydre sappelle le contour apparent. Il y a donc un

contour apparent horizontal et un contour apparent frontal. Ces contours sont toujours vus dans les plans de

projection correspondants et ils sparent les parties vues des parties caches. En projection horizontale, les faces ayant la plus grande cote sont vues; et en projection frontale , les faces vues ont le plus grand loignement.

Contour apparenthorizontal

Contour apparent frontal

c

ba

ic

d

b

aj

j

d

i

C

D

B

A

J

I

j

id

c

b

a

a

c

bd

j

i

Contour apparentfrontal

Contour apparenthorizontal

Gomtrie Descriptive - Cours de deuxime anne

74

5.2 Ombres propres

5.2.1 Le point de perte

Pour dterminer les ombres propres, dun prisme ou dune pyramide, on peut procder face par face selon la mthode de dtermination des ombres propres des plaques. Il est galement possible de dterminer les ombres propres en construisant dabord les ombres portes sur un plan quelconque. On choisira si possible le 2ime bissecteur. Lombre porte est un polygone contenant en son intrieur tous les sommets du polydre. De la mme faon que le contour apparent, ce polygone dombre spare les parties claires des parties ombres. Par retour inverse de la lumire partir du polygone dombre, on trouve les ombres propres du polydre. Dans le cas ci-contre, la face (ABD) porte ombre sur les faces (ABC) et (ACD).

Si par contre aucune ombre porte ne recouvre les autres, il est ncessaire de dterminer, partir du point de perte intrieur au contour apparent de lombre, quelle arte porte ombre sur lautre. On procde par retour inverse de la lumire partir de ce point. Dans le cas ci-contre, larte (AD) porte ombre sur larte (CB).

5.2.2 La sparatrice dombre propre

c1

ad

b

c

a1

b1

d1

a

c

b

d

ad

b

j

j

i

i

c

i1 j1

c1

a1

b1

d1

a

c

b

d

Gnralits sur les polydres

75

La partie ombre et la partie claire dun polydre convexe sont spares par un contour ferm, appel ligne sparatrice dombre propre. Elle est la ligne de contact, avec le polydre, de tous les rayons lumineux tangents. La projection de cette ligne sur un plan quelconque donne lombre porte du polydre. Lombre porte est une projection oblique de la sparatrice. Pour dterminer lombre propre dun polydre, on peut donc reprsenter son ombre porte sur un plan quelconque (le second bissecteur par exemple), et reporter le contour dombre porte sur le polydre. Parmi es deux parties obtenues, la plus proche de la source lumineuse est claire alors que lautre est ombre.

a

d

b

j

j

i

i

c

i1 j1

c1

a1

b1

d1

a

c

b

d

La ligne ACDB spare les faces claires ABD et ACD des faces ombres ABC et BCD. Une fois la ligne trace, on peut distinguer la partie claire de la partie ombre en appliquant la mthode du point de perte un point particulier.

c1

ad

b

c

a1

b1

d1

a

c

b

d

La ligne ABD spare la face claire ABD, la plus proche de la lumire, des autres faces, qui sont ombres

77

6. LES POLYEDRES REGULIERS CONVEXES OU CORPS PLATONICIENS1

6.1 Dfinitions

6.1.1 Convexit dans le plan

Si, l'intrieur d'une figure ferme F, on peut trouver deux points A et B tels que le segment [AB] n'est pas entirement l'intrieur de F, on dit que la figure F nest pas convexe. Si on ne peut pas trouver de tel cas, on dit que F est convexe.

1 Les illustrations sont extraites de :

1. Site Icosaweb : http://www.ac-reunion.fr/pedagogie/icosaweb 2. Jean Aubert, Cours de dessin darchitecture partir de la gomtrie descriptive.

Polygone convexe

AB

Polygone non convexe

6.1.2 Convexit des polydres

Si, l'intrieur d'un polydre P, on peut trouver deux points A et B tels que le segment [AB] n'est pas entirement l'intrieur de P, on dit que le polydre P N'EST PAS convexe. Si on ne peut pas trouver de tel cas, on dit que P est convexe.

Polydre convexe

Polydre concave

6.1.3 Polydres rguliers convexes

On dira d'un polydre convexe qu'il est rgulier si : ses faces sont des polygones convexes rguliers identiques et ses sommets sont constitus du mme nombre de faces. Il nexiste que 5 polydres rguliers convexes : le ttradre, loctadre, le cube, le dodcadre et licosadre.


78

6.2 Pourquoi prcisment 5 polydres rguliers convexes ? Il faut au moins trois polygones rguliers pour former un sommet de polydre rgulier. Pour que ces faces ne soient pas coplanaires et ne se chevauchent pas, il faut que la somme des angles de ces polygones soit strictement infrieure 360. En respectant ces conditions, quelles sont les diffrentes associations de polygones rguliers pouvant constituer un sommet de polydre rgulier ?

6.2.1.1 Avec des triangles quilatraux

Trois triangles

Quatre triangles

Cinq triangles

Six triangles : coplanaires

6.2.1.2 Avec des carrs

Trois carrs

Quatre carrs coplanaires

6.2.1.3 Avec des pentagones

Trois pentagones

6.2.1.4 Avec des hexagones

Trois hexagones

coplanaires Pour conclure, un sommet de polydre rgulier convexe peut tre form par la rencontre de 3, 4 ou 5 triangles quilatraux, par 3 carrs ou 3 pentagones. Chacune de ces associations de polygones rguliers donnera naissance un polydre rgulier convexe, do leur nombre limit cinq.

Les polydres rguliers convexes ou corps platoniciens

79

6.3 Le ttradre

6.3.1 Dans lespace

Le ttradre rgulier est compos de quatre triangles quilatraux. On construit un triangle quilatral ABC de centre I. Sur la perpendiculaire ABC, passant par I, on repre le point D tel que CD = BC (ct du triangle).

6.3.2 Sur lpure

La construction dun ttradre rgulier pos sur le plan horizontal de projection dbute par un triangle quilatral ABC. On choisit de positionner un des cts (AB) de bout. Les trois autres faces autour de ABC se rejoignent en un point D dont la projection horizontale est le centre de gravit de ABC. En projection frontale, les faces BCD et ACD ont un ct (CD) commun qui est frontal. On peut donc reporter en projection frontale la vraie grandeur de CD partir de la projection horizontale de AB, par exemple.


80

6.4 Loctadre

6.4.1 Dans lespace

Loctadre rgulier est compos de 8 triangles quilatraux. Il peut tre vu comme la superposition de deux pyramides partageant la mme base carre. On construit un carr ABCD de centre O. Sur la perpendiculaire au plan ABCD, et de part et dautre de O, deux points E et F tels que AE = AF = AB (ct du triangle).

6.4.2 Sur lpure

La construction dun octadre rgulier daxe vertical dbute par une base carre ABCD. De part et dautre de cette base, on positionnera deux sommets S et T situs sur la perpendiculaire ABCD, passant par son centre O. En projection frontale, on peut reporter la distance OA, lue en projection horizontale, en les OS et OT, pour obtenir les sommets S et T.

Les polydres rguliers convexes ou corps platoniciens

81

6.5 Licosadre

6.5.1 Dans lespace

Licosadre rgulier est compos de 20 triangles quilatraux. Il peut tre obtenu partir dune pyramide pentagonale formant la pointe suprieure, de la mme pyramide renverse et tourne dun dixime de tour (36). Les deux pyramides sont relies, lune lautre, par une range de 10 triangles quilatraux identiques ceux formant les pyramides.


82

6.5.2 Sur lpure

La construction dun icosadre daxe vertical dbute par un pentagone horizontal ABCDE. Pour faciliter la suite de la construction, un des cts du pentagone (CD ici) sera de bout. Ce pentagone est la base dune pyramide pentagonale de sommet S. S se projette horizontalement au centre du pentagone. Une deuxime pyramide, tourne dun dixime de tour et situe au-dessous de la premire permet de placer, en projection horizontale, 5 nouveaux points FGHIJ et un sommet T. Les sommets ABCDEFGHIJ forment un dcagone rgulier , et sont relis entre eux par dix triangles quilatraux. En projection frontale, pour trouver la position de S, on reporte la longueur du ct (ab, par exemple), sur larte frontale de la pyramide (as ici), vue frontalement en vraie grandeur. La cote de FGHIJ est trouve en utilisant un des triangles reliant les deux pyramides entre elles, et plus particulirement celui dont la hauteur est frontale.(ici, la hauteur ki du triangle cdi est reporte frontalement). La suite de la construction se dduit par symtrie.

6.6 Le cube

6.6.1 Dans le

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Cours de Géométrie Descriptive

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