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Cours Mines

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Ecole Nationale Sup´ erieure de G´ eologie Option ”Gestion des Mati` eres Premi` eres” Analyse des processus continus Version 2.0 29 mars 2009 Jos´ e RAGOT. Institut National Polytechnique de Lorraine Centre de Recherche en Automatique de Nancy
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Page 1: Cours Mines

Ecole Nationale Superieure de Geologie

Option ”Gestion des Matieres Premieres”

Analyse des processus continus

Version 2.0

29 mars 2009

Jose RAGOT. Institut National Polytechnique de Lorraine

Centre de Recherche en Automatique de Nancy

Page 2: Cours Mines

2

Page 3: Cours Mines

Table des matieres

1 Generalites sur la modelisation 51.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Les modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Les differents types de modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Les differents types de modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Utilites d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Analyse du fonctionnement d’un procede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Description physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Description des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Affinement du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Modele linearise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Extension a des processus automatises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Etablissement d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Estimation des parametres d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Essais indiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 Regression lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.3 Regression multilineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.4 Plan d’experience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Modeles de processus physiques elementaires 192.1 Systeme thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Reaction chimique irreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Reaction chimique reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Reactions irreversibles en chaıne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Distributions granulometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Reseau de transport de matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Processus de broyage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.1 Bilan en flux total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7.2 Bilan en flux partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8 Melangeur de flux de matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Hydrocyclone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9.1 Equation de bilan entre les trois flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.9.2 Equation de bilan entre deux flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.9.3 Modele de courbe de partage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9.4 Modele general de la boucle broyage-classification . . . . . . . . . . . . . . 362.9.5 Forme generale d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

Page 4: Cours Mines

3 Regulations elementaires 393.1 Regulation de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Regulation de proportion entre deux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Regulation de temperature d’un echangeur de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Regulation dans un circuit de broyage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 A propos de la qualite des mesures 464.1 Generalites (Les etapes de la validation et du diagnostic) . . . . . . . . . . . . . 464.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Technique sequentielle de detection d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2

Page 5: Cours Mines

Table des figures

1.1 schema physique d’un bac de chauffage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 diagramme fonctionnel d’un bac de chauffage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Schema fonctionnel decompose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Bac avec regulation de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Les etapes de la modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Echangeur de chaleur ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Schema de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Controle de temperature avec une action a priori et une action a posteriori . . . 222.4 Mise en oeuvre de la regulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Reacteur simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Tamis (Rotap) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Leeds and Northrup Microtrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8 Micromeretics Sedigraph 5000 ET) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9 Distribution granulometrique en cumule et par tranches . . . . . . . . . . . . . . 282.10 Reseau de transport de matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.11 Melangeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.12 Hydrocyclone : comparaison mesures estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.13 Circuit de broyage-classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 Regulation de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Regulation de melange a posteriori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Regulation de melange a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Regulation de melange a priori et a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5 Regulation de temperature d’un echangeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6 Regulation de temperature d’un echangeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7 Exemple d’organisation de boucles elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Processus physique et sources de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Processus de cristallisation de la potass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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Page 6: Cours Mines

Liste des tableaux

1.1 Domaine de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Plan d’experience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Plan d’experience normalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Donnees pour identifier la courbe de partage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Mesures et estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Tableau 2. Mesures et precisions des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Residus d’equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Detection de defauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Preambule

Analyse des processus continus

Le cours est focalise sur la facon de representer les systemes physiques. Ces derniers sont ca-racterises par des variables traduisant un etat de fonctionnement, mais comprennent aussi desgrandeurs de commande. Comment ces variables sont reliees entre elles ? Telle est la reponsefournie par la modelisation qui donne une image des liens entre les differentes variables.

Une bibliographie complete le document ainsi que quelques exercices proposes dans les differentschapitres.

4

Page 7: Cours Mines

Chapitre 1

Generalites sur la modelisation

Sommaire

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Les modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Les differents types de modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Les differents types de modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Utilites d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Analyse du fonctionnement d’un procede . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Description physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Description des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 Affinement du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.5 Modele linearise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Extension a des processus automatises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Etablissement d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Estimation des parametres d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Essais indiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Regression lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.3 Regression multilineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.4 Plan d’experience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1 Introduction

1.1.1 Les modeles

Un procede peut etre decrit par un ensemble de relations mathematiques ou modeles afin de

decrire voire de predire certains aspects de son fonctionnement. L’efficacite d’un modele, c’est-

a-dire son aptitude a decrire le fonctionnement du procede, est etroitement liee a la ”finesse” de

l’analogie entre le procede physique et sa representation mathematique.

En general on ne cherche pas, dans le domaine de l’automatique, a decrire la structure intime

d’un procede. On cherche essentiellement a decrire les interactions du procede avec son milieu.

Ceci n’exclut pas, bien au contraire, un minimum de connaissance sur le procede lui-meme :

transfert de chaleur, cinetique chimique, traitement mecanique, propagation d’ondes, resistance

des materiaux, ...

5

Page 8: Cours Mines

Rappelons qu’un modele doit ensuite servir plusieurs objectifs : prevoir le comportement du

procede, calculer des lois de regulation, optimiser le fonctionnement du procede, diagnostiquer

le fonctionnement du procede, detecter des defaillances, eduquer les utilisateurs et les operateurs

...

1.1.2 Les differents types de modele

Dans la suite de l’expose nous nous limiterons aux modeles qui decrivent un procede au cours de

son evolution temporelle. Nous ecarterons les procedes dont le fonctionnement n’est pas continu

(on exclut ainsi en particulier les systemes de production de pieces individualisees).

On distingue generalement deux classes de modeles :

– les modeles a parametres localises qui font intervenir un nombre fini de fonctions du temps pour

decrire l’etat d’un procede. Ces fonctions se presentent sous forme d’equations differentielles

ordinaires, dependant du temps.

– les modeles a parametres repartis qui font intervenir un nombre fini de fonctions du temps et

de l’espace. Ils se presentent sous la forme d’un ensemble d’equations aux derivees partielles

(par exemple cas des systemes ou la propagation de la chaleur intervient)

Dans chaque classe, on distingue les modeles lineaires des modeles non lineaires. Dans la suite

on se limitera essentiellement a l’etude des modeles lineaires.

1.1.3 Les differents types de modelisation

Il peut se faire que le procede dont on veut construire un modele n’existe pas encore (cas

d’un procede au stade de son avant projet ou de sa construction) ou soit inaccessible a toute

experimentation. L’elaboration des modeles ne peut se faire qu’a partir des connaissances ”theori-

ques” que l’on a a priori sur son fonctionnement. Ces modeles font intervenir, avec plus ou moins

d’hypotheses simplificatrices, les lois physiques qui regissent la plupart des phenomenes naturels.

Les modeles obtenus sont dits modeles de connaissance.

Si le procede a modeliser est physiquement accessible, la demarche precedente est toujours

possible. Elle peut cependant etre judicieusement completee par une etape de validation qui

consiste a comparer le fonctionnement reel du procede a celui de son modele de connaissance. En

fonction des ecarts constates, un reajustement des parametres du modele est possible. De facon

plus systematique on peut a priori se fixer une structure de modele puis ajuster ses parametres

pour qu’il represente au mieux le comportement reel du procede. Cette technique produit des

modeles de representation quelque fois qualifies de modeles ”boite noire” car n’utilisent pas les

connaissances physiques du procede.

1.1.4 Utilites d’un modele

L’etablissement d’un modele n’est pas une fin en soi. Generalement il est destine, au sens large,

a ameliorer le comportement d’un processus. Parmi les nombreux usages auxquels il est dedie,

citons :

– la meilleure connaissance du processus physique qu’il represente

6

Page 9: Cours Mines

– la mise en evidence des variables sensibles

– l’aide a la conception de processus (dimensionnement)

– l’aide a la formation des operateurs

– l’aide au diagnostic (detection de disfonctionnements)

– l’aide a la maintenance

– la prevision de situation

– l’aide a la conduite (regulation, commande).

1.2 Analyse du fonctionnement d’un procede

Pour commencer la description d’un procede on peut toujours definir ses frontieres puis denombrer

et caracteriser ses interactions avec le milieu exterieur. Puis, en se limitant uniquement au

procede ainsi delimite, on s’interesse a decrire les phenomenes apparaissant a l’interieur du

systeme.

L’exemple qui suit illustre cette demarche.

1.2.1 Description physique

Considerons un bac destine au rechauffage d’un liquide (figure 1.1). Il recoit un liquide caracterise

par un debit Qe(t) et une temperature Te(t). Il delivre un debit de sortie lui aussi caracterise

par son debit Qs(t) et sa temperature Ts(t). La puissance utilisee pour le rechauffage est fournie

par une resistance soumise a une tension efficace V (t) ; on note Pd(t) la puissance thermique

correspondant aux pertes de chaleur vers l’exterieur, et on suppose nulles les pertes de matiere

par evaporation.

Enfin, comme on se place en regime dynamique, toutes les grandeurs sauf les grandeurs geometriques

peuvent varier au cours du temps.

Q (t),e

Q (t),s

H(t)

V(t)

T (t)e

T (t)sT0

Pertes thermiques

Fig. 1.1 – schema physique d’un bac de chauffage

1.2.2 Description des variables

Les variables d’entree correspondent a l’ensemble des informations definissant les contraintes

imposees au systeme par le milieu exterieur. Elles sont ici toutes fonction du temps : Qe(t), Tet),

7

Page 10: Cours Mines

Qs(t), Pd(t) et V (t). Dans un cas plus general elles pourraient dependre de l’espace ; la prise

en compte de la distribution de la temperature de l’air autour du bac conduirait a ce type de

dependance.

Les grandeurs constantes presentent en general un interet secondaire. C’est le cas par exemple

de la section du bac qui n’est pas une grandeur de commande (sauf bien sur dans le cas ou l’on

disposerait de bac a section commandable).

Certaines grandeurs d’entree sont commandables par l’operateur. Dans le cas du bac, le debit

d’entree Qe(t) est commandable par l’intermediaire d’une vanne, l’apport d’energie est com-

mandable par modification de la tension electrique V (t). Les autres entrees sont imposees par

l’environnement du procede ; leurs fluctuations interviennent comme des perturbations ; ainsi, le

debit de sortie Qs(t) est fixe par la consommation de l’utilisateur situe en aval, la temperature

d’entree Te(t) depend des conditions d’approvisionnement, les pertes thermiques dependent de

la temperature exterieure qui n’est pas maıtrisee. Cette classification en commandes et pertur-

bations est bien sur propre a chaque procede et aussi a son mode d’utilisation.

Remarquons aussi que ce schema ne fait pas intervenir les organes de commande : ainsi la varia-

tion de debit d’entree peut etre realisee au moyen d’une electrovanne ou d’une vanne motorisee

et ces organes ont eux-memes leur propre fonctionnement que l’on peut chercher a caracteriser.

Les grandeurs de sortie du procede correspondent a l’ensemble des grandeurs que l’on mesure

afin de suivre son fonctionnement ; on distingue deux type de sortie :

– celles qui sont utiles pour decrire les interactions du procede avec son milieu exterieur (c’est

le cas de la temperature de sortie Ts(t) qui fournit une information sur le systeme vu depuis

l’exterieur),

– celles qui sont utiles pour suivre le fonctionnement du systeme (c’est le cas du niveau H(t)

qu’il faut controler pour se premunir contre les risques de debordement ou de vidage du bac).

Les grandeurs de sortie sont mesurees par des instruments qui doivent etre aussi consideres

comme des procedes : ils sont caracterises par une certain nombre de variables liees entre elles.

Un schema plus realiste devrait prendre en compte ces procedes ”secondaires” situes en aval du

procede ”principal” a etudier.

Le denombrement des entrees et des sorties d’un procede rend alors possible sa representation

sous forme d’un diagramme fonctionnel (figure 2) qui traduit les relations de cause a effet entre

les variables.

1.2.3 Modele

Le modele s’obtient a partir d’un bilan de masse et d’un bilan d’energie sur le liquide qu’il

contient. Ces deux bilans s’explicitent :

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Page 11: Cours Mines

V(t) H(t)

Q (t) T (t)e sBac

Q (t)s eT (t)

P (t)d

Commandes

Perturbations

Sorties à contrôler

Fig. 1.2 – diagramme fonctionnel d’un bac de chauffage

bilan de masse :d(SH(t)ρ)

dt= Qe(t) − Qs(t) (1.1)

bilan d’energie :

d(SH(t)ρCpTs(t))

dt= Qe(t)CpTe(t) − Qs(t)CpTs(t) +

V 2(t)

R− Pd(t) (1.2)

Si on suppose que la masse volumique du fluide et la section du bac restent constantes, ces

equations se simplifient sous la forme :

SρdH(t)

dt= Qe(tt − Qs(t)

H(t)dTs(t)

dt=

Qe(t)

Sρ(Te(t) − Ts(t)) +

1

CpSρ

(

V 2(t)

R− Pd(t)

) (1.3)

La figure 3 indique la structure des deux modeles obtenus en montrant les couplages entre les

variables utilisees.

Qe

Qs

H

TsV

Te , Pd

Fig. 1.3 – Schema fonctionnel decompose

Ce modele fait apparaıtre deux equations differentielles ordinaires non lineaires. Le vecteur d’etat

X(t), le vecteur de commande U(t) et le vecteur des perturbations ont pour expressions :

X(t) =

(

Ts(t)H(t)

)

U(t) =

(

Qe(t)V (t)

)

P (t) =

Qs(t)Te(t)Pd(t)

(1.4)

9

Page 12: Cours Mines

D’un point de vue structurel, on peut ecrire :

dX(t)

dt= f(X(t), U(t), P (t)) (1.5)

qui est une forme tout a fait adaptee pour etre traitee par un logiciel de simulation et pour

etudier la sensibilite, l’observabilite, la commandabilite et la stabilite du processus.

On remarquera que la fonction f depend de parametres et notamment : ρ, S, Cp. Pour que le

modele soit utilisable, encore faut-il que ces parametres soient connus. En ce qui concerne la

section S et ρ cela ne pose pas de problemes, par contre l’obtention de Cp peut se reveler plus

delicate et sans doute necessite de passer par quelques essais experimentaux pour effectuer le

”calage” de ce parametre et sa validation experimentale.

1.2.4 Affinement du modele

Ce modele a ete elabore a partir d’hypotheses sur le fonctionnement du bac ; celles-ci peuvent

etre remises en cause pour obtenir une description plus realiste donc plus precise. Ainsi on peut

tenir compte de l’accumulation de la chaleur dans la resistance de chauffage. En supposant

uniforme la temperature dans le corps de la resistance un bilan thermique permet d’ecrire :

MCp

λA

dTr(t)

dt+ Tr(t) =

1

λA

V (t)2

R+ Ts(t) (1.6)

Le flux de chaleur apportee par la resistance est alors donne par :

Φ = λA(Tr(t) − Ts(t)) (1.7)

avec comme notations :

Tr temperature de la resistance

Cp chaleur specifique de la resistance

M masse de la resistance

λ coefficient global d’echange

A aire d’echange

La premiere equation du bac est inchangee ; dans la seconde seul le terme specifiant l’apport

d’energie est modifie :

Sρd(H(t))

dt= Qe(t) − Qs(t)

SρCpd(H(t)Ts(t))

dt= Qe(t)CpTe(t) − Qs(t)CpTs(t) + λA(Tr(t) − Ts(t)) − Pd(t)

MCp

λA

dTr(t)

dt+ Tr(t) =

1

λA

V 2(t)

R+ Ts(t)

(1.8)

L’etat du systeme est maintenant caracterise par trois variables :

X(t) =

Ts(t)H(t)Tt(t)

(1.9)

10

Page 13: Cours Mines

En continuant selon ce principe, on peut developper des modeles de complexite croissante, cor-

respondant a une description de plus en plus fine du fonctionnement du procede et ainsi tendre

vers un modele de connaissance. La difficulte consiste a atteindre un compromis ”raisonnable”

entre un modele precis traduisant bien le comportement du procede et un modele suffisamment

simple pour pouvoir etre utilise dans des algorithmes de prediction, de regulation et de com-

mande.

On remarque, malgre les hypotheses simples utilisee que le modele obtenu est fortement non

lineaire. Dans la pratique, aucune solution analytique ne peut etre envisagee ; il faut avoir recours

a une integration numerique des equations differentielles.

1.2.5 Modele linearise

Les modeles lineaires occupent une place importante en automatique car leur simplicite ap-

parente a permis l’elaboration d’une theorie complete a leur sujet. Pour cette raison, l’usage

courant incite a remplacer, dans un certain domaine de fonctionnement, un modele non lineaire

par un modele lineaire.

La technique a appliquer consiste a determiner un point d’equilibre du systeme puis a lineariser

les equations du systeme autour de ce point d’equilibre. La linearisation consiste en developpement

en serie de Taylor au premier ordre des equations.

Dans le cas du bac, les grandeurs d’equilibre sont affectees de l’indice 0. A partir de (1.3), la

recherche du regime stable des equations differentielles donne :

Qe0 − Qs0 = 0

Ts0 = Te0 +V 2

0

RQe0Cp

−Pd0

Qe0Cp

(1.10a)

Ces deux equations definissent un point d’equilibre qui, dans un cas general, peut etre stable ou

instable. On note que l’on peut calculer les caracteristiques du flux de sortie (debit, temperature)

a partir de celles du flux d’entree et des apports d’energie. De facon plus precise, on peut aussi

calculer la sensibilite de la sortie vis-a-vis de l’entree en evaluant les quantites :

∂Ts0

∂Te0,

∂Ts0

∂V0,

∂Ts0

∂Qe0, . . .

Ces sensibilites sont particulierement interessantes a analyser pour determiner les variables

d’entree qui sensibilisent le plus celle de sortie.

On raisonne maintenant en petites variations autour de ce point d’equilibre (qui est generalement

le point moyen de fonctionnement du systeme). Ainsi pour le debit entrant, on note :

Qe(t) = Qe0 + qe(t) (1.11)

11

Page 14: Cours Mines

De meme, pour les autres variables, on note :

Qs(t) = Qs0 + qs(t)

Te(t) = Te0 + θe(t)

Pd(t) = Pd0 + p(t)

Ts(t) = Ts0 + θs(t)

H(t) = H0 + h(t)

V (t) = V0 + v(t)

En introduisant ces expressions dans les equations (1.3) et en negligeant les infiniment petits

d’ordre superieur ou egal a deux, on obtient :

Sρdh(t)

dt= qe(t) − qs(t)

H0dθs(t)

dt=

1

(

Qe0(θe(t) − θs(t)) + qe(t)(Te0 − Ts0) +1

Cp

(

2V0v(t)

R− p(t)

))

(1.12)

Le systeme (1.12) decrit le comportement du processus. Il exprime lineairement h et θs en

fonction de θe, qe, v et p. Pour l’utiliser correctement, le lecteur doit veiller a ce que le nombre

d’equations corresponde au nombre de variables a determiner. Ici, les variables d’entree (debit

et temperature) sont supposees connues (a partir du processus se trouvant en amont de celui-ci),

les inconnues sont la hauteur et la temperature dans le reacteur ; le debit de sortie donc etre

fourni et en general il est connu puisque correspond a l’utilisation du flux produit par le reacteur.

1.3 Extension a des processus automatises

L’etablissement d’un modele ne s’applique pas seulement a un systeme physique. L’ensemble des

organes qui le completent peut egalement etre decrit et en particulier les systemes de commande

ou de regulation. On considere ici le cas d’un bac alimente par un produit brut de debit Qe(t)

contenant une espece chimique a la concentration C(t). La reaction qui se produit dans le bac

a pour but de detruire cette espece indesirable. La reaction se fait avec une vitesse k.

Capteur deconcentration

Vanne

motorisée

Gain

Consigne de

concentration

Fig. 1.4 – Bac avec regulation de concentration

12

Page 15: Cours Mines

La mise en equation est ici tres simple. Elle provient de l’ecriture de la conservation de la

matiere. La premiere equation traduit la conservation du flux total et la seconde celle du flux

partiel relatif a l’espece chimique consideree :

dV (t)

dt= Qe(t) − Qs(t)

d(V (t)C(t))

dt= Qe(t)Ce(t) − Qs(t)Cs(t) − kV (t)Cs(t)

(1.13)

La troiseme equation est relative au systeme de commande du debit d’entree qui permet d’ajuster

la concentration dans le bac a une valeur de reference R0 (ici constante) :

Qe(t) = K(R0 − Cs(t)) (1.14)

On dispose ainsi de trois equations liant des variables d’entree du systeme {R0, Ce(t)} aux

variables de sortie V (t), C(t), Cs(t), Qe(t), Qs(t). Comme on ne dispose que de trois equations

pour cinq inconnues, la description du systeme n’est pas complete. Physiquement, il manque

en effet, une relation entre la concentration dans le bac et celle en sortie ainsi qu’une relation

definissant la facon dont le debit de sortie est soutire. Pour les concentrations, l’hypothese

d’homogeneite peut etre formulee :

C(t) = Cs(t) (1.15)

et pour le soutirage en sortie, on peut avoir l’une ou l’autre des situations :

– le debit de sortie est egal au debit d’entree de facon a maintenir constant le niveau dans le

bac et dans ce cas Qs(t) = Qe(t) et le volume est constant ; les equations s’ecrivent :

V (t) = V0

dCs(t)

dt= K

R0 − Cs(t)

V0(Ce(t) − Cs(t)) − kCs(t)

(1.16)

– le debit de sortie Qs est fixe par l’utilisateur, donc il doit etre considere comme connu dans

les equations precedentes ; les equations s’ecrivent :

dV (t)

dt= K(R0 − Cs(t)) − Qs(t)

dCs(t)

dt= K

R0 − Cs(t)

V (t)(Ce(t) − Cs(t)) − kCs(t)

(1.17)

Finalement, avec ces deux deux donnees supplementaires, le systeme est completement decrit,

en ce sens que la connaissance des entrees R0 et Ce(t) permet la deduction de celle des autres

variables, par integration d’un systeme differentiel lineaire ou non.

Question : le lecteur pourra examiner si avec ce mode d’action, la concentration Cs prend une

valeur egale a la consigne R0 en regime permanent. Pour cela, il faut essayer de resoudre le

systeme :

0 = K(R0 − Cs) − Qs

0 = KR0 − Cs

V0(Ce − Cs) − kCs

(1.18)

13

Page 16: Cours Mines

et examiner la proximite de Cs vis-a-vis de R0 en calculant l’ecart relatif (Cs −R0)/r0. Il serait

egalement interesant d’analyser l’influence des parametres K et V0 du systeme sur le resultat

obtenu.

1.4 Etablissement d’un modele

L’organigramme de la figure (1.5) schematise les operations qui apparaissent systemati-quement

lors de la modelisation d’un procede physique. Rappelons que la procedure la plus interessante

utilise conjointement un modele de connaissance et un modele de description encore appele

modele ”boıte noire” ; les parametres de ces modeles sont obtenus soit par le calcul direct issu de

la mise en equation physique soit a partir d’experiences depouillees de facon purement statistique.

Définitiondu procédé

Etablissement

d'Hypothèses

Modélisation

Identification

Validation

frontières du systèmerecherche du domaine de fonctionnementdénombrement des paramètresdénombrement des variables

simplifications defonctionnement (homogénéité, continuité, pertes nulles ...)

cinétique physiquecinétique chimiquebilan matièrebilan thermique

comparaison avec le processus réeltests statistiques

validations croisées

plan d'expérienceessais expérimentauxestimation paramétrique

Fig. 1.5 – Les etapes de la modelisation

Il est bon de rappeler l’utilite d’un modele. Dans la plupart des cas il sert a definir les lois de

commande a appliquer au systeme de facon a le conduire de facon optimale. Il ne faut pas oublier

d’autres utilites toutes aussi importantes : un modele peut etre utilise pour former les operateurs

a la conduite d’un systeme (simulateur de centrale nucleaire par exemple), un modele peut etre

utilise pour effectuer le diagnostic d’un systeme, pour predire un comportement. Enfin, la phase

de modelisation elle-meme c’est-a-dire la conception du modele est tres riche d’enseignements

car elle oblige le concepteur a reflechir sur le comportement du systeme a modeliser, les variables

qui decrivent ce comportement, les interactions entre les variables. De facon indirecte, toute la

reflexion qui accompagne la phase de modelisation vise a mieux connaıtre le systeme physique

et donc a mieux percevoir ses reactions.

14

Page 17: Cours Mines

1.5 Estimation des parametres d’un modele

Lorsqu’on etablit la structure d’un modele a partir de lois physiques, on a vu qu’un certain

nombre de parametres sont introduits. Ces derniers peuvent etre d’origine geometrique (dimen-

sions d’un composant), traduire des comportements (vitesse reactionnelle, coefficient d’echange

thermique), ou resulter d’hypotheses (coefficient de proportion par exemple). Certains de ces

parametres peuvent etre bien connus, d’autres pas ; pour ces derniers, il est alors necessaire de

proceder a leur identification. Pour cela, une procedure experimentale completee par une esti-

mation statistique est mise en oeuvre. On parle alors de calage parametrique, l’objectif etant

en effet d’ajuster les parametres du modele de facon que son comportement reflete celui des

experiences qui ont ete conduites sur le processus reel.

1.5.1 Essais indiciels

Ces essais sont simples a realiser (en theorie) car consistent a exciter le processus par des gran-

deurs d’entree constantes. L’analyse de la reponse du systeme est souvent realisee graphiquement

et permet d’extraire deux elements important d’un modele : le gain et la constante de temps.

Exemple : estimation de la constante de temps d’un broyeur. On peut admettre qu’un broyeur,

lorsqu’on considere uniquement les debits totaux d’entree qe et de sortie qs, peut etre caracterise

par le modele differentiel :

Tdqs(t)

dt= qe(t) − qs(t) (1.19)

ou T , la constante de temps du systeme est directement liee au temps de sejour de la matiere

dans le broyeur. Pour un essai indiciel, ou l’entree vaut qe(t) = q0, la sortie, s’explicite :

qs(T ) = q0(1 − exp(−t/T )) (1.20)

Au bout d’un temps t = T , la sortie vaut :

qs(T ) = q0(1 − exp(−1)) = 0.63q0 (1.21)

Ainsi, la sortie atteint 63% de son regime d’equilibre a cet instant particulier t = T . Inversement,

il suffit de reperer, sur le signal de sortie qs(t), l’instant auquel 63% du regime final est atteint

pour estimer la valeur de la constante de temps T .

1.5.2 Regression lineaire

La technique expliquee precedemment peut aussi etre traitee par regression lineaire. En effet,

le modele liant des deux debits qe et qs montre que la relation theorique (1.19) dans le plan

{qe(t) − qs(t),dqs(t)

dt} est representee par une droite passant par l’origine. La pente de cette

droite est la constante de temps T qui peut donc s’obtenir graphiquement ou mieux encore par

regression lineaire. Afin d’eviter l’utilisation de derivees, on peut au prealable utiliser un modele

discret du systeme. L’equation (1.19) integree entre deux instants t − ∆ et t donne :

qs(t) = exp(−∆/T )qs(t − ∆) + (1 − exp(−∆/T ))qe(t − ∆) (1.22)

15

Page 18: Cours Mines

En posant a = exp(−∆/T ), on obtient alors :

qs(t) = aqs(t − ∆) + (1 − a)qe(t − ∆) (1.23)

ou encore en isolant a :

qs(t) − qs(t − ∆) = a (qs(t − ∆) − qe(t − ∆)) (1.24)

L’estimation de a est donc simplement realisee par regression lineaire et celle de T s’en deduit

alors.

1.5.3 Regression multilineaire

C’est une extension de la technique precedente a un modele a plus de deux parametres. De facon

generale, on explique une variable y a partir de n variables explicatives xi. Pour les differentes

observations realisees sur les variables, on a donc le modele :

y1

. . .yN

=

x11 x12 . . . x1n

x21 x22 . . . x2n

. . .xN1 xN2 . . . xNn

a1

. . .aN

(1.25)

c’est-a-dire sous forme matricielle y = Xa.

L’estimateur des parametres a, au sens des moindres carres, est fourni par :

a = (XT X)−1XT y

Eemple : modelisation du d50 d’une courbe de partage d’un cyclone. On admet, a partir d’expe-

riences, que le d50 de la courbe de partage d’un cyclone est etroitement liee au type d’apex utilise,

a la pression d’alimentation de la pulpe d’alimentation et a la masse volumique de cette pulpe.

En faisant l’hypothese d’un modele lineaire :

d50 = f(Apex, P, ρ) = a1.Apex + a2.P + a3.ρ

et en realisant un nombre N (suffisament grand) d’essais sur ce cyclone, on peut donc estimer les

parametres du modele par une methode type moindres-carres. Bien evidemment, la forme pro-

posee pour le modele n’est pas unique et le lecteur peut envisager de realiser des transformations

sur les variables pour trouver un modele plus adequat.

1.5.4 Plan d’experience

La theorie des plans d’experience est relative a la definition optimale des essais qu’il convient

de realiser sur un processus de facon a en extraire le maximum de renseignements sur son

comportement. On se contente, ici, d’examiner un point particulier, celui des plans d’experience

ou les variables prennent uniquement deux valeurs particulieres.

Reprenons l’exemple precedent : d50 = a0 + a1.ρ + a2.Apex + a3P

ou les variables prennent les etats particuliers :

Apex = {A, B} P ∈ [2.4, 3.2] atm. ρ ∈ [1.2, 1.8] T/m3.

16

Page 19: Cours Mines

Niveau bas Niveau haut

masse volumique 1.2 1.8Apex A B

pression 2.4 atm. 3.2 atm.

Tab. 1.1 – Domaine de variation

Le plan d’experience de dimension 23 = 8 est obtenu de la facon suivante : les essais ne sont

ralises qu’en considerant les valeurs minimales et maximales par les differentes variables. Le

tableau (1.5.4) regroupe les valeurs en question et l’on a fait figurer dans la derniere colonne les

valeurs mesurees de d50.

essais masse vol. Apex pression d50

1 1.2 A 2.4 612 1.8 A 2.4 953 1.2 B 2.4 634 1.8 B 2.4 995 1.2 A 3.2 556 1.8 A 3.2 967 1.2 B 3.2 608 1.8 B 3.2 94

Tab. 1.2 – Plan d’experience

Les colonnes de la matrice X qui traduit ces differents essais peuvent etre rendues orthogonales.

Pour les variables qualitatives (type d’apex) au type A, on affecte la valeur 1 et au type B on

affecte la valeur −1. Pour les variables quantitatives, si x designe la valeur courante et xmin et

xmax les valeurs basse et haute, on adopte le codage :

xcod = 2x −

xmin + xmax

2xmax − xmin

La matrice des ”nouvelles” donnees est donnee par le tableau (1.5.4).

essais ρc. Apexc Pc d50

1 -1 -1 -1 612 1 -1 -1 953 -1 1 -1 634 1 1 -1 995 -1 -1 1 556 1 -1 1 967 -1 1 1 608 1 1 1 94

Tab. 1.3 – Plan d’experience normalise

17

Page 20: Cours Mines

Dans ces conditions, la matrice X corrrespondant aux essais precedents s’ecrit :

X =

−1 −1 −11 −1 −1−1 1 −11 1 −1−1 −1 11 −1 1−1 1 −11 1 1

(1.26)

Ainsi, X ne contient que des colonnes orthogonales, ce qui facilite l’inversion de la matrice XT X

dans le calcul de l’estimation :

b = (XT X)−1XT y

puisqu’ ici, XT X = 8I ou I est la matrice unite de rang 3. Le modele obtenu, avec les variables

”codees” est :

d50 = −1.625ρc + 1.125Apexc + 18.125Pc

. Si l’on revient aux variables physiques, on trouve :

d50 = −3.25ρc + 2.813Apexc + 60.417Pc − 11.85

. On peut alors noter que le modele obtenu restitue les valeurs suivantes du d50 :

60.25, 96.5, 62.5, 98.75, 57.0, 93.25, 59.25, 95.5

qui sont en accord avec les valeurs experimentales.

18

Page 21: Cours Mines

Chapitre 2

Modeles de processus physiqueselementaires

Sommaire

2.1 Systeme thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Reaction chimique irreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Reaction chimique reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Reactions irreversibles en chaıne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Distributions granulometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Reseau de transport de matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.7 Processus de broyage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.1 Bilan en flux total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.2 Bilan en flux partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8 Melangeur de flux de matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9 Hydrocyclone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9.1 Equation de bilan entre les trois flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9.2 Equation de bilan entre deux flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9.3 Modele de courbe de partage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9.4 Modele general de la boucle broyage-classification . . . . . . . . . . . . . 36

2.9.5 Forme generale d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

L’objet de ce chapitre est de familiariser le lecteur avec la mise en equation de quelques processus

simples. On montre qu’a partir des lois elementaires de conservation de masse et d’energie et en

utilisant quelques hypotheses simplificatrices, on peut obtenir un modele qui traduit correcte-

ment le comportement des processus. Bien evidemment, les equations issues de ces bilans font in-

tervenir un certain nombre de parametres physiques qu’il conviendra de definir numeriquement :

cette phase sera abordee ici et fait l’objet de l’identification de parametres a partir de donnees

experimentales.

2.1 Systeme thermique

Considerons l’exemple d’un echangeur de chaleur. Ce type de processus se rencontre tres souvent

des que l’on veut echanger de l’energie d’un corps a un autre. Dans le domaine du traitement

des minerais, c’est le cas des operations du sechage des produits granulaires avant broyage, l’un

des buts etant de reduire l’humidite des materiaux pour augmenter l’efficacite de l’operation de

19

Page 22: Cours Mines

broyage (voir photo ci-dessous).

Sur la figure 1, le circuit electrique, essentiellement constitue d’une resistance chauffante joue

le role d’une source de chaleur caracterise par une puissance Q(t) ; cette source rechauffe l’eau

du reservoir, de volume V constant, dont le debit d’entree est note q(t) ; le fluide d’entree a

une chaleur specifique c et une temperature θ0 supposees constantes. La masse des elements

chauffants est m1 et leur chaleur specifique c1.

Q(t)

q(t),

q(t),

θ0(t)

θ2(t)

Fig. 2.1 – Echangeur de chaleur ideal

Quel probleme de conduite peut-on se poser ? Un des objectifs les plus simples a considerer

est le maintien, a une valeur constante, de la temperature du fluide a la sortie de l’echangeur.

Pour analyser une strategie de conduite, nous allons tout d’abord mettre en equation ce systeme

elementaire. La mise en equation resulte de l’ecriture des bilans thermiques des flux primaire et

secondaire de l’echangeur.

Le bilan thermique entre deux instants ”voisins” t et t + ∆t peut s’ecrire approximativement

(en negligeant les pertes) :

- pour l’element chauffant (suppose a temperature homogene) :

m1c1∆θ1(t) = Q(t)∆t − G(θ1(t) − θ2(t))∆t (2.1)

- pour le fluide du reservoir (suppose a temperature constante) :

V ρc∆θ2(t) = G(θ1(t) − θ2(t))∆t + q(t)ρc(θ0(t) − θ2(t))∆t (2.2)

Lorsque l’intervalle de temps ∆t tend vers 0, le passage a la limite donne alors :

dθ1(t)

dt=

Q(t) − G(θ1(t) − θ2(t))

m1c1

dθ2(t)

dt=

G(θ1(t) − θ2(t)) + q(t)ρc(θ0(t) − θ2(t))

V ρc

(2.3)

On dispose ainsi de deux equations differentielles qui decrivent completement l’evolution des

deux temperatures θ1(0) et θ2(0) du systeme. Il reste a bien preciser les conditions d’integration

de ces deux equations. Les grandeurs a priori connues du systeme sont les parametres qui en

20

Page 23: Cours Mines

definissent la geometrie : m1, c1, V , ρ, c (on notera que parmi ces parametres, certains peuvent

etre connus avec une grande precision, le volume par exemple, d’autres sont connus de facon

approchee, la masse volumique du flux entrant par exemple). Les grandeurs de commande (sur

lesquels l’utilisateur peut agir) sont q(t) le debit de fluide a l’entree de l’echangeur et Q(t) l’apport

d’energie. Si l’etat initial du systeme est connu (c’est-a-dire θ1(0) et θ2(0)), les equations (2.3)

peuvent donc s’integrer et permettent ainsi de definir completement l’etat θ1(t), θ2(t) du systeme

a chaque instant.

Le schema de simulation du systeme est donne a la figure (2.2). On a fait apparaıtre a gauche

les trois entrees et a droite les deux temperatures qui en resultent.

Température

du fluide

de sortie

Température

élément chauffant

28

Température

du fluide

d'entrée

Puissance thermique

Q(t)

s

1

s

1

K2

K1

G

Débit de fluide

q(t)

K3

Fig. 2.2 – Schema de simulation

Au niveau de la commande, on imagine bien que q(t) et Q(t) modifient les deux temperatures

θ1(t) et θ2(t). Differents objectifs de commande peuvent etre envisages et parmi ceux-ci la

maıtrise de la temperature du fluide de sortie. En particulier, si la temperature d’entree est

constante et egale a θ0, pour avoir θ2(t) constante et egale a θ2r, on doit appliquer des commandes

constantes q etQ verifiant les equations suivantes :

0 =1

m1c1(Q − G(θ1r − θ2r))

0 =G(θ1r − θ2r) + qρc(θ0 − θ2r)

V ρc

(2.4)

ou θ1r est la temperature a l’equilibre du corps chauffant. L’apport d’energie, note Qr est donc

defini par :

Q = qρc(θ1r − θ2r)

et on concoit aisement un dispositif permettant d’en garantir la valeur au moyen d’un reglage

d’une tension electrique, pilotant par effet Joule un apport calorifique dans le corps chauffant.

On voit bien, sur cet exemple, l’interet d’un modele pour determiner la facon de ”conduire” le

21

Page 24: Cours Mines

processus en fonction d’un objectif defini ; la figure (2.3) donne le principe d’une regulation de

temperature et la figure (2.4) donne la simulation.

Q(t)

q(t),

q(t),

θ0(t)

θ2(t)

θ (t)2

Consigne detempérature

ρ c

+

++-

Fig. 2.3 – Controle de temperature avec une action a priori et une action a posteriori

Puissance

thermique

Q(t)Température de

l'élément chauffant

Température

du fluide de sortie28

Température

du fluide

d'entrée

65

Température

de référence

s

1

s

1K4

K2

K1

G

K3

Débit de fluide

q(t)

Fig. 2.4 – Mise en oeuvre de la regulation

2.2 Reaction chimique irreversible

Elle est representee symboliquement par A → B ou A et B designent le reactant et le produit

a fabriquer. La vitesse de reaction est liee a la variation de concentration au cours du temps.

22

Page 25: Cours Mines

Pour chaque espece chimique A et B, l’evolution des concentrations peut etre decrite par :

dcA(t)

dt= fA(cA(t), cB(t))

dcB(t)

dt= fB(cA(t), cB(t))

(2.5)

Pour obtenir ce type de structure, il est commode d’introduire la constante de reaction k

qui traduit l’apparition ou la disparition d’une espece chimique. Cette constante depend de

la temperature a laquelle se passe la reaction selon la loi d’Arrhenius :

k(θ) = k0 exp−

E

Rθ (2.6)

avec :

k0 facteur constant

E energie d’activation

R constante universelle

θ temperature absolue (variable au cours du temps)

Pour montrer comment etablir les equations (2.5), on examine le cas simple d’un reacteur ideal

a volume V constant et debit d’alimentation qe variable, parfaitement melange (donc homogene)

et sans perte.

q c ce Ae Be

Vq c ce A B

Fig. 2.5 – Reacteur simple

Ecrivons le bilan matiere, pour l’espece A, pendant l’intervalle de temps [t t + ∆t] :

V ∆cA(t) = variation de volume de l’espece A

+ cAeqe(t)∆t volume de l’espece A qui entre

− cA(t)qe(t)∆t volume de l’espece A qui sort

− kV cA(t)∆t volume de l’espece A qui se transforme en B

En divisant par ∆t, on obtient :

V∆cA(t)

∆t= (cAe(t) − cA(t))qe(t) − kV cA(t) (2.7)

Si le bilan est considere pendant un temps infiniment court, le passage a la limite donne

l ?equation differentielle :

VdcA(t)

dt= (cAe(t) − cA(t))qe(t) − kV cA(t) (2.8)

De meme pour l’espece B, on peut etablir :

VdcB(t)

dt= (cBe(t) − cB(t))qe(t) + kV cA(t) (2.9)

23

Page 26: Cours Mines

Le systeme (2.8), (2.9) decrit donc, au cours du temps, la facon dont les concentrations evoluent.

Une solution analytique (ou une integration numerique) peut etre obtenue si les parametres

geometriques du reacteur (ici le volume V ) sont connus, si le debit d’alimentation qe est constant,

si les concentrations cAe et cBe du flux entrant sont connues et si les concentrations initiales dans

le reacteur cA(0) et cB(0) sont connues.

On peut aussi representer le systeme (6) sous forme matricielle :

(

cA(t)cB(t)

)

=

(

−(k + 1T

) 0k − 1

T

)(

cA(t)cB(t)

)

+

(

1T

00 1

T

)(

cAe(t)cBe(t)

)

(2.10)

avec T = qe

V.

Cette equation est une equation differentielle lineaire du premier ordre et vectorielle du type :

dX(t)

dt= AX(t) + BU(t)

On pourra analyser et integrer cette equation selon les techniques classiques.

Remarque 1. Les deux equations qui apparaissent dans (2.10) sont liees. Cependant, la premiere

peut s’integrer separement de la deuxieme.

Remarque 2. Cette mise en equation ”bilan matiere” peut etre completee par une mise en

equation ”bilan thermique”. Cela est d’autant plus utile que la constante de reaction k est

une fonction de la temperature. Le bilan thermique peut etre etabli comme precedemment en

observant l’evolution du systeme entre deux instants t et t + ∆t :

ρV c∆θ = variation de la quantite de chaleur dans le reacteur

+ qe(t)ρcθ0∆t quantite de chaleur apportee par l’entree

− qe(t)ρcθ(t)∆t quantite de chaleur enlevee par la sortie

Q0∆t quantite de chaleur apportee par l’exterieur

− Ak(θ)V cA(t) quantite de chaleur degagee par la reaction (A constante)

ou encore, apres passage a la limite quand ∆t tend vers zero :

dθ(t)

dt=

qe(t)

V(θ0 − θ(t)) +

1

ρV c(Q0 − Ak(θ)cA(t)) (2.11)

En resume, le systeme est decrit par les equations :

VdcA(t)

dt= (cAe(t) − cA(t))qe(t) − k(θ)V cA(t)

VdcB(t)

dt= (cBe(t) − cB(t))qe(t) + k(θ)V cA(t)

dθ(t)

dt=

qe(t)

V(θ0 − θ(t)) +

1

ρV c(Q0 − Ak(θ)cA(t))

k(θ) = k0 exp(− ERθ

)

(2.12)

auxquelles il faut ajouter les conditions initiales permettant leur integration : cA(0), cB(0), θ(0)

correspondant aux concentrations initiales dans le reacteur et a sa temperature initiale. Comme

24

Page 27: Cours Mines

precedemment, ces equations peuvent etre regroupees sous forme matricielle :

cA(t)cB(t)

θ(t)

=

−( 1T

+ k(θ)) 0 0

K(θ) −1

T0

Ak(θ)

V ρc0 −

1

T

cA(t)cB(t)θ(t)

+

1

T0 0 0

01

T0 0

0 01

T

1

V ρc)

cAe(t)cBe(t)

θ0

Q0

(2.13)

Remarque.. Dans la pratique, on cherche a maıtriser la reaction et en particulier sachant que

son efficacite est optimale pour une certaine temperature θref , on cherche a maintenir constante

la temperature du fluide dans le reacteur et egale a θref . L’apport d’energie peut servir a satisfaire

cet objectif.

Remarque. Le lecteur peut etendre la description precedente au cas d’un reacteur a volume

variable.

2.3 Reaction chimique reversible

La reaction entre les especes A et B peut se faire dans deux sens : on peut produire A a partir

de B et produire B a partir de A. Ce qui differentie les deux reactions est la vitesse.

Pour la reaction A → B la vitesse est (par exemple) r1 = k1cA

Pour la reaction B → A la vitesse est r2 = k2cB La facon de modeliser le systeme est analogue

a celle de la reaction irreversible. Le bilan entre les instants t et t + ∆t s’ecrit (ici a volume et

concentrations constantes de l’alimentation) :

V ∆cA(t) = variation de volume de l’espece A

+ cAeqe∆t volume de l’espece A qui entre

− cA(t)qe∆t volume de l’espece A qui sort

− k1V cA(t)∆t volume de l’espece A qui se transforme en B

+ k2V cB(t)∆t volume de l’espece B qui se transforme en A

Apres passage a la limite, on obtient :

dcA(t)

dt= (cAe − cA(t))qeV − k1cA(t) + k2cB(t) (2.14)

De meme, pour l’espece B, on a :

dcB(t)

dt= (cBe − cB(t))qeV + k1cA(t) − k2cB(t) (2.15)

Comme precedemment, les constantes de reaction sont fonction de la temperature suivant la loi

d’Arrhenius :

k1(θ) = k0 exp[−E1/Rθ] k2(θ) = k0 exp[−E2/Rθ] (2.16)

De plus, un bilan thermique permet d’expliciter l’evolution temporelle de la temperature. Les

differentes equations peuvent aussi recevoir une ecriture matricielle.

25

Page 28: Cours Mines

2.4 Reactions irreversibles en chaıne

Un dernier cas que nous examinons est celui de deux reactions en chaıne (facilement generalisable

a un nombre quelconque de reactions) :

A →k1 B →k2 C (2.17)

Le lecteur pourra facilement etablir (en utilisant le raisonnement precedent) que :

dcA(t)

dtdcB(t)

dtdcC(t)

dt

=

−(1

T+ k1) 0 0

k1 −(1

T+ k2) 0

0 k2 −1

T

cA(t)cB(t)cC(t)

+

1

T0 0

01

T0

0 01

T

cAe(t)cBe(t)cCe(t)

(2.18)

avec T =q0

V

2.5 Distributions granulometriques

Lorqu’on caracterise un materiau d’un point de vue granulaire, on est conduit a definir sa distri-

bution. Celle-ci s’obtient de facon experimentale par differentes techniques (tamisage, diffraction

laser, analyse d’image ...) ; les figures (2.6), (2.7) et (2.8) sont relatives a trois appareils classiques

du commerce.

La figure (2.9) represente une distribution obtenue par classe granulometrique. Souvent, pour

des raisons d’exploitation ulterieure de ces resultats, on est conduit a representer la distribution

experimentale par une distribution analytique : tres generalement, il s’agit alors d’un probleme

d’ajustement parametrique, les parametres de la distribution theorique etant cales de facon a

approximer correctement les resultats experimentaux.

Fig. 2.6 – Tamis (Rotap)

De nombreux modeles ont ete proposes dans la literature specialisee [3] ; parmi ceux-ci, nous

avons retenu celui de Rosin-Rammler :

26

Page 29: Cours Mines

Fig. 2.7 – Leeds and Northrup Microtrac

Fig. 2.8 – Micromeretics Sedigraph 5000 ET)

y = 1 − exp

(

(

x − x0

α

)r)

qui depend de trois parametres r, α et x0, x et y designant respectivement la taille et le pour-cent

passant. Le principe de l’ajustement de ces trois parametres consiste a minimiser, par rapport

aux parametres x0, α et r, le critere de distance :

Φ =1

2

N∑

k=1

(

1 − exp

(

(

x(k) − x0

α

)r)

− y(k)

)2

ou {x(k), y(k)} representent les couples taille-pourcentage et N le nombre d’observations (nombre

d’intervalles granulometriques). Les parametres cherches doivent verifier les equations d’optima-

lite :

27

Page 30: Cours Mines

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.05

0.1

0.15

0.2

Fig. 2.9 – Distribution granulometrique en cumule et par tranches

∂Φ

∂r=

N∑

k=1

e(k) exp

(

(

x(k) − x0

α

)r)

log

(

x(k) − x0

α

)

= 0

∂Φ

∂α= −

r

α

N∑

k=1

e(k) exp

(

(

x(k) − x0

α

)r)(x(k) − x0

α

)r

= 0

∂Φ

∂x0=

r

α

N∑

k=1

e(k) exp

(

(

x(k) − x0

α

)r)(x(k) − x0

α

)r−1

= 0

e(k) = 1 − exp(

−(

x(k)−x0

α

)r)

− y(k)

(2.19)

Ce systeme non lineaire ne peut etre resolu que de facon numerique et iterative (algorithmes de

gradient ou de Newton-Raphson par exemple).

Le lecteur pourra remarquer qu’un changement de presentation du modele peut simplifier la

procedure d’estimation des parametres ; en effet, en utilisant deux fois la transformation loga-

rithmique :

(

x(k) − x0

α

)r

= log(1 − y(k))

soit encore :

y(k) = r log(x(k) − x0) − b

avec :

y(k) = log

(

log1

1 − y(k)

)

On peut alors montrer que la procedure d’estimation est beaucoup plus simple, puisque le modele

est alors lineaire par rapport aux parametres r et b et que seul x0 intervient de facon non lineaire.

Remarque : distribution en frequence.

Celle-ci s’obtient directement en derivant l’expression du modele, c’est-a-dire :

y(k) =r

αexp

(

(

x − x0

α

)r)(x − x0

α

)r−1

28

Page 31: Cours Mines

Cette facon de proceder reduit l’influence des bruits de mesure. En effet, les donnees experimentales

ont servi a ajuster les parametres du modele theorique de la distribution cumulee, et c’est en

calculant une derivee de facon analytique que la distribution par intervalle granulaire est obtenue.

Remarque : distribution bimodale

Dans certaines situations, il est necessaire de combiner entre elles plusieurs lois de distribution.

En particulier, dans les operations de melange, on peut etre conduit a considerer la loi de distri-

bution comme une ponderation de plusieurs lois elementaires. Les distributions qui en resultent

sont qualifiees de multimodales.

A titre anecdotique, voici quelques structures de modeles de distributions granulaires.

Gilvarry y = 1 − exp(−ax − bx2 − cx3)Rosin-Rammler y = 1 − exp(−axm)

Distribution log-normale y = A exp

(

−12

(

log x − log x0

s

)2) (2.20)

2.6 Reseau de transport de matiere

Dans une installation de traitement de minerais, on peut s’interesser a etudier la propagation des

flux de matiere d’un processus unitaire a un autre processus unitaire. La figure (2.10) visualise

8 processus unitaires relies entre eux par des voies de circulation de matiere. Si l’on s’interesse

aux flux totaux qi en chaque voie de ce reseau et si M designe la matrice des connexions entre

les processus, on montre que :

Mq = 0 (2.21)

q etant le vecteur regroupant l’ensemble des flux.

Notons que cette equation de conservation s’etend aux bilans partiels, c’est-a-dire relatifs a des

expeces minerales constituant les differents flux de matiere. En regime dynamique, on peut aussi

etendre le formalisme pour prendre en compte les variations de quantite de matiere au sein des

processus unitaires.

1

2

4 5 3 10 12

13

15

14

117 9

8

6

1 2 3 4 5

6 7

8

Fig. 2.10 – Reseau de transport de matiere

29

Page 32: Cours Mines

2.7 Processus de broyage

On rappelle que le but d’un processus de broyage est de reduire la granularite d’un materiau

(sous forme de particules). Cette granularite est en general reperee par la distribution granu-

lometrique du materiau dont on rappelle une definition.

On note P (x, t) la fonction prenant ses valeurs sur l’intervalle [0 1] et ou x represente la taille

des particules et t le temps auquel le materiau est considere. P (x, t) represente la proportion

(exprimee en pour-cent) de particules dont la taille est inferieure a x a l’instant t.

On peut deduire de cette definition une forme discrete de la granulometrie. Considerons en effet

les deux tailles consecutives xi et xi+1. Alors, a l’instant t, P (xi, t) represente le pourcentage de

particules de taille inferieure a xi et P (xi+1, t) le pourcentage de particules de taille inferieure

a xi+1. La quantite pi(t) = P (xi+1, t) − P (xi, t) represente la proportion de particules dont la

taille est comprise entre xi et xi+1. Si l’intervalle granulometrique xi+1 − xi est ”faible”, une

forme approchee de la quantite pi est :

pi(t) =∂P (x, t)

∂x|x=xi

(xi+1 − xi) (2.22)

Pour decrire le fonctionnement d’un broyeur, on aura a utiliser les variables suivantes :

Qe(t) : debit de matiere minerale a l’entree (T/h)

Qs(t) : debit de matiere minerale en sortie (T/h)

W (t) : quantite de matiere minerale dans le broyeur (T)

2.7.1 Bilan en flux total

Le bilan matiere total donne :dW (t)

dt= Qe(t) − Qs(t) (2.23)

A cette expression de la conservation de matiere dans le broyeur, il faut ajouter la facon dont

le debit de sortie est forme. On prendra l’hypothese d’un fonctionnement par debordement que

l’on traduit en exprimant que le debit de sortie est proportionnel a la quantite de matiere dans

le broyeur :

Qs(t) =W (t) − Wmin

Tsi W (t) > Wmin (2.24)

Qs(t) = 0 si W (t) < Wmin (2.25)

Physiquement, on peut expliquer que Wmin est liee a la quantite minimale de matiere necessaire

pour provoquer l’ecoulement en sortie de broyeur par debordement.

Remarque : le probleme restant a resoudre est l’estimation des deux parametres Wmin et T .

Ce point est a developper et en particulier en imaginant une methode d’identification a partir

des mesures de debits d’entree et de sortie du broyeur.

30

Page 33: Cours Mines

2.7.2 Bilan en flux partiel

Il convient maintenant d’etablir le bilan matiere pour chaque tranche granulometrique. La mise

en equation est plus complexe ; en effet, lorsqu’on exprime la variation de quantite de matiere

dans le broyeur formee de particules de taille inferieure a la dimension x, il faut tenir compte

de la quantite de matiere formee de particules de taille inferieure a la dimension x entrant dans

le broyeur, de la quantite de matiere formee de particules de taille inferieure a la dimension x

sortant du broyeur, et de la quantite de matiere dans le broyeur formee de particules de taille

superieure a la dimension x mais qui apres broyage donne comme descendance des particules de

taille inferieure a x.

On peut tout d’abord noter que, dans le broyeur P (y + ∆y) − P (y) represente le pourcentage

de particules comprises entre les tailles y et y + ∆y. Donc la masse de particules de cette taille

dans le broyeur est W (t)(P (y + ∆y) − P (t)) soit encore de facon approchee W (t)∂P (y)∂y

∆y.

Le bilan des particules de taille inferieure a x pendant l’intervalle de temps ∆t s’ecrit donc :

∆(P (x, t)W (t)) = Pe(x, t)Qe(t)∆t − Ps(x, t)Qs(t)∆t +

∫ xmax

x

∂P (y, t)

∂yW (t)S(y)B(x, y)dy∆t

(2.26)

Dans cette expression S(y) represente la fonction de selection qui exprime le fait que parmi les

particules de taille y superieure a x, une certaine fraction notee S(y) est ”selectionnee” pour

etre broyee. Le passage a la limite donne :

dP (x, t)W (t)

dt= Pe(x, t)Qe(t) − Ps(x, t)Qs(t) +

∫ xmax

x

∂P (y, t)

∂yW (t)S(y)B(x, y)dy (2.27)

Pour commenter cette expression, remarquons que les particules broyees vont donner une descen-

dance et la fonction B exprime la taille des particules de cette descendance ; B(x, y) represente

la proportion (en pourcentage) de particules de taille superieure a y qui apres broyage auront

une taille inferieure a x. Enfin, on comprend bien les bornes de l’integrale rappelant que seules

les particules de tailles superieures a x sont a considerer dans cette operation de broyage, xmax

etant la taille maximale consideree.

Il reste a exprimer la relation entre la granulometrie dans le broyeur et a la sortie du broyeur.

On peut formuler l’hypothese d’un broyeur parfaitement melange et dans ce cas, par continuite,

la granulometrie de sortie et celle de la matiere dans le broyeur sont identiques :

Pe(x, t) = P (x, t)

Les equations (??), (2.24), (2.26) et (2.27) decrivent completement le fonctionnement du broyeur.

Il est important de noter que si les entree sont connues (debit d’alimentation Qe et granulometrie

d’entree Pe) alors par integration des equations du modele, on peut calculer le debit de sortie

Qs et la granulometrie de sortie Ps.

Remarque : une forme discrete des equations peut etre obtenue en ecrivant un bilan matiere

pour chaque intervalle granulomerique, le bilan en flux total etant toujours valable. En, notant

31

Page 34: Cours Mines

rspectivement pe,i, pi, ps,i les granularites du flux d’entree, dans le broyeur, du flux de sortie,

on a :

d(pi(t)W (t))

dt= pe,i(t)Qe(t) − ps,iQs(t) +

N∑

j=i+1

W (t)pj(t)sjbij − W (t)pi(t)si (2.28)

dW (t)

dt= Qe(t) − Qs(t) (2.29)

Cette equation traduit le bilan de la masse de particules de l’intervalle granulaire i dans le

broyeur, en prenant en compte les particules de cette taille des flux entrant et sortant du broyeur,

les particules des intervalles granulaires superieurs a i qui sont broyees et des particules de

l’intervalle granulaire i qui sont broyees.

Avec l’hypothese d’homogeneite (granularite de sortie identique a celle a l’interieur du broyeur) :

dps,i(t)

dt=

Qe(t)

W (t)(pe,i(t) − ps,i(t)) − ps,isi +

N∑

j=i+1

pj(t)sjbij

Par exemple, pour trois tranches granulomeriques (N = 3), on a :

ps,1(t) =Qe(t)

W (t)(pe,1(t) − ps,1(t)) − ps,1(t)s1 + ps,3(t)s3b13 + ps,2(t)s2b12

ps,2(t) =Qe(t)

W (t)(pe,2(t) − ps,2(t)) − ps,2(t)s2 + ps,3(t)s3b23

ps,3(t) =Qe(t)

W (t)(pe,3(t) − ps,3(t)) − ps,3(t)s3

(2.30)

soit encore sous forme vectorielle :

ps,1(t)ps,2(t)ps,3(t)

=

−1

T1s2b12 s3b13

0 −1

T2s3b23

0 0 −1

T3

ps,1(t)ps,2(t)ps,3(t)

+Qe(t)

W (t)

pe,1(t)pe,2(t)pe,3(t)

(2.31)

avec1

T1=

Qe(t)

W (t)+ s1,

1

T2=

Qe(t)

W (t)+ s2,

1

T3=

Qe(t)

W (t)+ s3

Remarque : le lecteur pourra essayer d’expliciter la solution de ce systeme en regime permanent

et donc d’exprimer la granulometrie de sortie du broyeur en fonction de la granularite d’entree.

Pour cela, on peut noter que le systeme (2.31) est ”triangulaire” et que l’on peut obtenir ps,3,

puis ps,2 et enfin ps,1. Les expressions obtenues peuvent aussi etre analysees en fonction des

parametres s et b de facon a discuter de leurs influences sur la granularite.

Remarque : a partir de cette equation, on pourra aussi considerer le cas particulier d’un

reservoir de stockage dans lequel le broyage n’existe pas.

2.8 Melangeur de flux de matiere

On considere, pour simplifier, le melange de deux flux de particules ne contenant que de la

matiere seche. Le melangeur est alimente par deux flux (de debits q1(t) et q2(t)) et dont les

32

Page 35: Cours Mines

q (t)1

q (t)2

q(t)W(t)

g (t)i

g (t)1,ig (t)

1,i

Fig. 2.11 – Melangeur

granulometries sont notees g1,i(t) et g2,i(t). On note W (t) la charge minerale dans le melangeur

et on repere egalement le flux de sortie par son debit q et sa granulometrie gi. On suppose le

melangeur parfait, c’est-a-dire que les granulometries dans le melangeur et a la sortie sont les

memes.

On peut ecrire les bilans matiere totaux et par tranche granulometrique :

dW (t)

dt= q1(t) + q2(t) − q(t)

d(W (t)gi(t))

dt= q1(t)g1,i(t) + q2(t)g2,i(t) − q(t)gi(t)

(2.32)

A ces equations s’ajoute la loi de variation du debit de sortie q(t) (systeme d’extraction com-

mande ou ecoulement naturel).

2.9 Hydrocyclone

C’est un element tres utilise dans les processus de traitement de minerais ; il permet d’effectuer

la separation d’un flux de particules minerales en fonction d’un critere de taille. Il peut etre

place en sortie d’un broyeur afin de separer les produits fins des produits gros, la separation

entre ces deux qualificatifs etant fonction de la geometrie de l’appareil mais aussi des conditions

operatoires.

2.9.1 Equation de bilan entre les trois flux

On note Qa, Qo, Qu les flux d’alimentation, de surverse et de sousverse du separateur. Les

distributions granulometriques sont notees : ga,i , go,i et gu,i, l’indice i servant a reperer le

numero de tranche granulometrique. Les relations suivantes traduisent la conservation du flux

total et des flux par tranche :{

Qa = Qo + Qu

Qaga,i = Qogo,i + Qugu,i(2.33)

2.9.2 Equation de bilan entre deux flux

Dans la formalisation precedente, la fonction de transfert du separateur n’a pas ete prise en

compte. Or les flux de sortie ainsi que les distributions granulometriques correspondantes dependent

33

Page 36: Cours Mines

de cette fonction de transfert. On note pi les coefficients de partage du separateur reperes pour

chaque tranche granulometrique. Ainsi, pour la surverse, la conservation de la matiere peut

s’expliciter :

Qogo,i = piQaga,i (2.34)

traduisant le fait qu’une fraction pi de la masse des particules de la tranche i passe de l’alimen-

tation a la surverse. Par complement :

Qugu,i = (1 − pi)Qaga,i (2.35)

Par sommation, on en deduit :

Qo = Qa

N∑

i=1

piga,i (2.36)

puis avec (2.34) et (2.36) :

go,i =piga,i

∑Ni=1 piga,i

(2.37)

Ainsi, la connaissance du flux d’entree et de la courbe de partage permet de deduire les sorties

en flux et granularite de la surverse et de la sousverse du separateur.

2.9.3 Modele de courbe de partage

La mise en equation de la fonction de separation est extremement complexe ; les lois fondamen-

tales de la mecanique peuvent etre utilisees pour mettre en equation le mouvement des particules

dans un hydrocyclone en prenant en compte la taille et la masse des particules, la geometrie de

l’appareil, la pression avec laquelle les particules sont injectees dans le corps de l’appareil. Le

calcul est tres complexe ; de plus de nombreuses hypotheses simplificatrices doivent etre faites

(milieu homogene, mouvement non gene, particules de forme spherique...) qui rendent le rapport

a la realite difficile a valider.

En pratique, l’approche par modele de connaissance a partir des lois physiques se revele ici tres

difficile. Pour cette raison, les modeles de ce type d’appareil sont tres souvent issus d’experiences

et traduits par des lois empiriques dont les parametres sont ajustes par des techniques de

regression (voir document annexe).

A titre indicatif, le tableau (2.9.3) rassemble quelques resultats experimentaux sur un petit

hydrocyclone pour lequel on souhaite modeliser le point d50 de la courbe de partage..

A partir de ces donnees experimentales, on peut essayer de proposer un modele de type boite-

noire pour exprimer les variations du d50 de la courbe de partage de l’hydrocyclone. Parmi les

modeles ”classiques” de la literature specialisee, on a retenu :

d50 = a1DS

EA+ a2

1

EA+ a3EA + a4 (2.38)

Une estimation au sens des moindres carres donne le modele de d50 :

d50 = 22.5DS

EA− 401.2

1

EA− 674.4EA + 8.8 (2.39)

34

Page 37: Cours Mines

Diam. sortie % eau alim %eau sortie Vortex diam. entreeDS EA ES V O DE d50

3.8 11.7 33.6 5.1 3.1 1433.8 12.53 32.2 5.1 3.1 1093.8 12.53 19.0 6.4 3.1 1353.8 12.19 31.2 6.4 3.1 1623.8 12.01 34.0 5.1 3.1 1413.8 12.16 31.7 7.9 3.1 2043.8 13.55 26.1 7.9 3.1 1393.8 15.29 25.1 6.4 3.1 953.8 14.82 27.4 5.1 3.1 723.8 17.51 16.4 7.9 3.1 713.8 15.34 23.3 7.9 3.1 972.2 4.38 28.8 3.2 2.1 1262.2 6.17 21.6 3.2 2.1 1002.2 6.53 21.2 3.2 2.1 922.2 4.33 28.9 3.2 2.1 1142.2 4.72 23.3 3.2 2.1 892.2 5.65 24.8 3.2 2.1 872.2 6.80 20.4 3.2 2.1 772.2 3.15 41.3 3.2 2.1 1002.2 6.12 24.5 3.2 2.1 1132.2 5.49 25.0 3.2 2.1 88

Tab. 2.1 – Donnees pour identifier la courbe de partage

35

Page 38: Cours Mines

Bien evidemment ce modele n’a pas de sens physique. Les signes des coefficients traduisent

cependant le role des variables physiques. Par exemple, une augmentation de DS se traduit par

une augmentation de d50. La figure (2.12) ci-dessous compare les valeurs de d50 mesure et celles

fournies par le modele ; on constate une bonne adequation entre les deux series de resultats ce

qui ”justifie” a posteriori la structure et la qualite du modele propose.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

50

100

150

200

250

300

Fig. 2.12 – Hydrocyclone : comparaison mesures estimations

2.9.4 Modele general de la boucle broyage-classification

Ce paragraphe est laisse a l’imagination du lecteur. Il s’agit, compte tenu des differents modeles

de processus unitaires developpes precedemment, d’assurer les liaisons entre ces differents pro-

cessus. La figure (2.13) montre l’agencement du circuit avec le broyeur (B), le reservoir tampon

(R), le separateur (S). Dans la cas ou l’on s’interesse uniquement a la matiere solide, la structure

S

B

R

1

3

4

6

2

5

Fig. 2.13 – Circuit de broyage-classification

des equations est la suivante :

Wb = f(Q1, Q2, Q3)Wr = f(Q3, Q4, Q5)Q3 = f(Wb)Q5 = f(ω)Q6 = f(Q5, pi, g5,i)Q2 = Q5 − Q6

g6,i = f(g5,i, pi, Q5)g2,i = f(g5,i, pi, Q5)

(2.40)

36

Page 39: Cours Mines

ou ω est la vitesse de rotation de la pompe a la sortie du reservoir tampon et pi les coefficients

de la courbe de partage du separateur, Wb et Wr etant les charges dans le broyeur et le reservoir.

Le lecteur devra expliciter les differentes fonctions mises en jeu.

On peut egalement reprendre la mise en equation dans le cas l’on considere des flux de pulpe et

non plus simplement la phase minerale seche. Pour raisonner sur la pulpe, il faut alors prendre

en compte le bilan eau et le bilan matiere seche.

2.9.5 Forme generale d’un modele

Les mises en equation precedentes, meme si elles ont ete etablies a propos d’exemples concrets,

donc necessairement particuliers, presentent entre elles certains caracteres generaux.

On s’est tout d’abord efforce de denombrer les variables qui caracterisent le processus considere

et de les classer en variables de cause et variables de consequence. Les variables de cause etant

les actions appliquees au processus, les variables de consequence doivent pouvoir s’en deduire ;

le nombre d’equations du modele doit donc etre egal au nombre de variables de consequence.

Dans le cas contraire, cela provient en general d’une description incomplete du processus qu’il

convient donc de remettre en cause.

Il faut ensuite noter que les modeles obtenus sont de la forme generale :

dX(t)

dt= F (X(t), U(t), θ) (2.41)

ou X est le vecteur des variables de consequence, U le vecteur des causes et θ le vecteur des

parametres. La fonction vectorielle F est lineaire ou non selon la nature du processus et des

relations mises en jeu.

La forme (2.41) peut, dans certains cas, etre difficilement manipulable en raison du caractere non

lineaire de la fonction F . Il est possible d’utiliser une representation approchee en linearisation

la forme (2.41) autour d’un point de fonctionnement du processus. A cet effet, on rappelle qu’un

point de fonctionnement correspond souvent au point moyen autour duquel le processus evolue ;

par exemple, tel reacteur chimique est prevu pour evoluer autour d’une temperature de 320 C,

une pression de 2 atmospheres et un PH de 6.5. Dans ce cas, il est simple de representer le fonc-

tionnement du processus en supposant que les ecarts par rapport a ce point de fonctionnement

sont de faibles amplitude ; cela autorise, au niveau mathematique, le developpement de F au

premier ordre autour du point de fonctionnement.

Dans le cas general, on note X0 et U0 le point de fonctionnement. Les variables X(t) et U(t)

peuvent s’ecrient :{

X(t) = x(t) + X0

U(t) = u(t) + U0(2.42)

les grandeurs x(t) et u(t) representent les variations de X(t) et U(t) autour du point de fonc-

tionnement. Le report de (2.42) dans (2.41) donne alors :

dx(t)

dt= F (x(t) + X0, u(t) + U0) (2.43)

37

Page 40: Cours Mines

Un developpement en serie de Taylor au premier ordre donne alors :

dx(t)

dt=

∂F (X(t), U(t))

∂X(t)|0,0 x(t) +

F (X(t), U(t))

∂U(t)|0,0 u(t) + F (X0, U0) (2.44)

La notation 0, 0 signifie que la quantite concerne doit etre evaluee pour les valeurs X0 et U0.

L’ecriture ce cette expression est simplifiee sous la forme :

dx(t)

dt= Ax(t) + Bu(t) + f (2.45)

Enfin, si on prend soin de choisir comme point de fonctionnement un point d’equilibre statique

du systeme (correspondant dans l’equation (2.43) a avoir le terme constant nul), la quantite

F (X0, U0) est nulle et l’equation (2.45) devient :

dx(t)

dt= Ax(t) + Bu(t) (2.46)

La forme (2.46) decrit l’evolution dynamique des systemes lineaires ou des systemes non lineaires

qui ont ete linearises. C’est une forme bien connue en mathematique, dont l’integration ne pose

aucune difficulte.

Document annexe : Transient study of a closed grinding circuit.

38

Page 41: Cours Mines

Chapitre 3

Regulations elementaires

Sommaire

3.1 Regulation de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Regulation de proportion entre deux fluides . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Regulation de temperature d’un echangeur de chaleur . . . . . . . . 41

3.4 Regulation dans un circuit de broyage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

L’objet de ce chapitre est de familiariser le lecteur avec la regulation des processus simples. On

montre, a partir de processus unitaires, la structure des boucles de regulation. Aucun calcul de

regulateur n’est propose ; on se limite a presenter la conception de la regulation.

3.1 Regulation de niveau

La figure (3.1) schematise un reservoir alimente par deux fluides, dont l’un qr(t) correspond a

un reactif a debit tres faible ; le debit de sortie est note qs(t). Pour reguler le niveau, c’est-a-dire

l’asservir a la consigne hc(t), l’une des solutions les plus simples consiste a commander une vanne

qui permet d’ajuster le debit de sortie.

Le materiel a mettre en oeuvre est constitue par :

– un capteur de niveau

– une vanne motorisee

– un boıtier de regulation.

Suggestions. Le lecteur pourra imaginer une regulation analogue en commandant une vanne

ajustant le debit d’entree. De plus, la simplicite de l’exemple permet d’etablir la relation entre

le niveau mesure et le niveau de reference ; il est alors possible de quantifier l’influence du

regulateur.

3.2 Regulation de proportion entre deux fluides

Ce probleme est extremement frequent dans la pratique et correspond a la fabrication d’un

melange de deux fluides selon une proportion imposee ; cette proportion est notee k et est

definie par le rapport ”quantite de produit B/quantite de produit A”. Si qa(t) est le debit du

39

Page 42: Cours Mines

consignede hauteur

mesure de niveau

q (t)a q (t)r

q (t)s

Fig. 3.1 – Regulation de niveau

produit A, on souhaite donc avoir un debit kqa(t) de produit B.

Une solution simple consiste a analyser le melange. L’analyseur a utiliser doit etre capable de

fournir le rapport ”quantite de B/quantite de A” ; le rapport obtenu est ensuite compare a la

consigne k et le debit du produit B est ajuste en consequence au moyen d’une vanne (de facon

similaire, on pourrait piloter une vanne de commande du produit A).

La mise en oeuvre de cette strategie elementaire necessite les composants suivants :

– un analyseur de composition du melange

– une vanne motorisee

– un boıtier de regulation

k

A

B

Analyser

Fig. 3.2 – Regulation de melange a posteriori.

Une autre solution consiste a reagir directement sur la vanne de commande du produit B en

fonction du debit du produit A. Pour cela, il suffit de mesurer le debit qa(t), d’en deduire le

debit que doit avoir le produit B : qb(t) = kqa(t) et de piloter la vanne en consequence. Cette

solution n’utilise pas d’analyseur a posteriori, et le lecteur pourra apprecier les avantages et les

inconvenients de cette structure. Le schema a ete complete (figure 3.3) par une boucle d’asser-

vissement du debit qb(t) qui utilise une mesure de ce debit ensuite comparee a la consigne de

debit kqa(t).

40

Page 43: Cours Mines

La figure (3.4) correspond a la superposition des deux structures precedentes de regulation. Les

avantages de la regulation a priori et de la regulation a posteriori sont donc conjointement mis

a profit.

k

A

B

q

q

A

B

FC

Fig. 3.3 – Regulation de melange a priori

k

A

B

Analyser

q

q

A

B

FC

Consigne deproportion

Fig. 3.4 – Regulation de melange a priori et a posteriori

3.3 Regulation de temperature d’un echangeur de chaleur

La figure (3.5) schematise un echangeur de chaleur constitue d’un circuit primaire parcouru par

un fluide chaud qui apporte un certain flux thermique a un circuit secondaire dont le fluide

est a rechauffer. Un tel processus est largement utilise dans les operations de rechauffage ou

de recuperation d’energie. Dans la pratique, il est souvent souhaite que la temperature de sor-

tie du fluide secondaire ait une temperature donnee ou soit capable de suivre une consigne de

temperature. Pour cela, on peut penser agir sur l’apport d’energie en modifiant le debit de fluide

au primaire au moyen d’une vanne. C’est le principe adopte dans le schema de la figure (3.5) :

un capteur de temperature donne la temperature du fluide secondaire, et l’ecart de temperature

par rapport a la consigne pilote une vanne de reglage du debit primaire.

41

Page 44: Cours Mines

La mise en oeuvre necessite le materiel suivant :

– un capteur de temperature

– une vanne motorisee

– un boıtier de regulation

Le lecteur pourra imaginer une autre possibilite qui consiste a modifier la temperature du fluide

primaire au moyen d’une source de chaleur commandable.

TC

TT

Circuit primaire

Circuit secondaire

Entrée

Entrée

Consignede

température

Fig. 3.5 – Regulation de temperature d’un echangeur

La figure (3.6), reprend le principe precedent, mais avec en plus un asservissement sur la vanne

de reglage du fluide primaire. Cette solution permet de s’assurer que la commande envoyee a la

vanne est effectivement prise en compte (en mesurant le debit de circulation).

TC

TT

FC

Circuit primaire

Circuit secondaire

Fig. 3.6 – Regulation de temperature d’un echangeur

Note. A partir de ces structures simples, portant sur des regulation monovariable, le lecteur est

en mesure d’aborder des problemes plus complexes. Il peut reprendre, par exemple, le schema

de la figure (3.1) en se donnant les objectifs suivant a satisfaire simultanement :

42

Page 45: Cours Mines

– maintenir le niveau constant

– garantir la proportion de reactif dans le reservoir

– maintenir la temperature dans le reservoir constante.

3.4 Regulation dans un circuit de broyage

L’etape importante de la conception d’un systeme de commande est l’organisation des boucles

elementaires pour que les objectifs vises soient atteints de la facon la plus satisfaisante possible.

Pour illustrer ce concept, on peut donner un exemple.

Soit le circuit de la figure (3.7) ou les entrees et sorties suivantes sont considerees (Daniel

HODOUIN, Rene DEL VILLAR, Les trechniques de l’ingenieur) :

y1 fraction massique de solides dans l’alimentation du classificateur (hydrocyclones)

y2 niveau du reservoir ;

y3 signal acoustique du broyeur primaire ;

y4 fraction massique de solide dans le produit final ;

y5 finesse du produit final ;

y6 fraction massique de solide dans le broyeur secondaire ;

u1 debit de minerai ;

u2 debit d’eau ajoutee au broyeur primaire ;

u3 debit d’eau ajoutee au reservoir ;

u4 debit d’eau ajoutee au broyeur secondaire.

On suppose ici que y4 est deduit des valeurs corrigees des debits d’alimentation selon une formule

du type :

y4 = FF1u1

F1u1 + F2u2 + F3u3 + F4u4

ou F1 a F4 sont, par exemple, des filtres pour compenser la dynamique des reponses de y4 a u1,

u2, u3 et u4, et F est un filtre a moyenne mobile pour tenir compte des effets d’inertie dus aux

procedes en aval qui filtreront naturellement les fluctuations haute frequence de y4. On suppose

aussi que y5 et y6 ne sont mesurees que de temps en temps, par exemple une fois par poste

de travail pour la granulometrie y5 et une fois par heure pour la densite de pulpe du broyeur

secondaire y6.

Le schema de base de la commande est constitue de deux boucles de retroaction PID (y2/u1) et

(y1/u3) et d’une boucle d’anticipation P ( u2/u1). La premiere boucle vise a maintenir le niveau

de pulpe du reservoir constant, la deuxieme a maintenir la densite de pulpe d’alimentation aux

hydrocyclones constante et la troisieme a stabiliser la dilution de la pulpe dans le broyeur pri-

maire. En stabilisant la densite de pulpe a l’alimentation des hydrocyclones, on vise a maintenir

a peu pres constantes ses caracteristiques de separation et donc a reguler la finesse du produit

final. Ce systeme est evidemment imparfait et doit etre reajuste par des modifications du point

de consigne r1lorsque les mesures de y5 sont disponibles.

43

Page 46: Cours Mines

Fig. 3.7 – Exemple d’organisation de boucles elementaires

La figure (7b) donne une representation simplifiee de l’organisation du systeme de commande.

On y voit apparaıtre les deux boucles de retroaction PID principales, le proportionneur P et le

superviseur qui effectue les taches suivantes : la verification que le niveau sonore y3 est dans le

domaine acceptable et la prise d’action prioritaire sur l’ajout d’eau u2 et sur l’alimentation en

minerai u1 s’il sort du domaine ; la verification que la densite de pulpe estimee et filtree est dans

le domaine acceptable, sinon modification des entrees de matiere u1, u2, u3, u4 ; la verification

que la finesse y5 est comprise entre les tolerances, sinon modification du point de consigne r1 de

44

Page 47: Cours Mines

y1 ; la verification que l’ecart a la consigne de niveau du reservoir r2 ? y2 reste dans le domaine

autorise et que la vitesse de variation du niveau ne causera pas des problemes.

En dehors de ces fonctions, le superviseur donne, par exemple, priorite a l’ajout d’eau u3, pour

eviter des debordements ou des desamorcages de pompe.

En pratique, en fonctionnement normal, seules les boucles PID et la boucle P sont actives. En

fonctionnement fortement perturbe, l’algorithme superviseur choisit prioritairement des actions

selon une logique sequentielle habituelle ou selon des regles traitees dans un systeme expert si

l’on dispose d’un environnement informatique plus evolue.

45

Page 48: Cours Mines

Chapitre 4

A propos de la qualite des mesures

Sommaire

4.1 Generalites (Les etapes de la validation et du diagnostic) . . . . . . 46

4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Technique sequentielle de detection d’erreur . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Les processus continus de fabrication et de traitement peuvent etre en general decomposes en

une serie de processus elementaires relies entre eux par des voies de circulation de matiere ou

d’energie. Les mesures effectuees sur ces flux fournissent des informations extremement utiles au

controle du processus et a son diagnostic de fonctionnement. On examine comment interpreter

ces informations afin de fournir un diagnostic sur l’etat de fonctionnement du processus.

4.1 Generalites (Les etapes de la validation et du diagnostic)

La securite et la surete de fonctionnement sont deux facteurs importants de la conduite d’un

processus de fabrication. Celles-ci peuvent etre mises en cause lors de l’apparition de defaillances

du processus physique lui-meme (degradation, fuites, ...) ou de ses organes de conduite (action-

neurs, capteurs, ...). Cependant, il est difficile de dissocier le processus de son environnement de

conduite (figure 1) et les perturbations qui affectent le processus complet peuvent avoir des effets

difficilement dissociables les uns des autres ; il convient donc d’elaborer des techniques de sur-

veillance capables d’apprehender aussi bien le processus physique que ses organes de conduite.

La complexite actuelle des procedures de surveillance et de supervision ainsi que la necessite

d’accomplir ces taches dans un temps restreint limitent fortement le role des operateurs hu-

mains ; ces procedures doivent etre rendues automatiques si on veut les rendre performantes.

D’un point de vue fonctionnel, la surveillance n’est pas limitee a une simple centralisation et

visualisation d’informations mais doit repondre aux objectifs suivants : detecter et localiser les

fautes, estimer leurs amplitudes, expliquer leurs causes, decider d’une action compensatrice si

une faute est mise en evidence de facon a ce que le processus puisse remplir la mission qui lui a

ete confiee.

Pour ameliorer la securite et la surete de fonctionnement d’un systeme, il faut donc essayer

de s’affranchir de l’influence de ces fautes. Differentes methodes peuvent etre utilisees de facon

conjointe ; elles se classent de la facon suivante : prevention, tolerance, elimination et prevision.

46

Page 49: Cours Mines

Actionneurs Processus Capteurs

Défaillance

Erreur de modèle

Bruit aléatoire

Fig. 4.1 – Processus physique et sources de perturbation

Bien souvent, la surveillance d’un procede repose sur l’utilisation de modeles de comportement

et de redondance d’informations. Cet expose se limite a l’examen de methodes de detection

de defaillances utilisant la notion de redondance. En accord avec la terminologie classique, le

diagnostic de defaillance est constitue de quatre phases essentielles : la detection, l’isolation des

defaillances, l’identification des defail-lances et la reconfiguration des lois de commande.

La detection concerne la mise en evidence d’evenements qui affectent l’evolution du processus.

Tres generalement, un evenement traduit un changement de situation sans prejuger du fait qu’il

soit normal (du a une action deliberee de la part d’un operateur) ou non (du a une perturbation

exterieure).

L’isolation concerne l’analyse des evenements pour distinguer ceux qui sont anormaux et la

localisation precise de la defaillance de facon a pouvoir determiner le composant defaillant du

processus.

L’identification consiste a quantifier la defaillance en estimant sa duree et son amplitude. Dans

certains cas, l’identification cherche a comprendre l’origine de la defaillance (recherche des

causes) et meme a prevoir son evolution (probleme de pronostic).

Enfin, la reconfiguration concerne la remise en etat de la partie defectueuse du systeme de

facon a lui permettre de satisfaire a sa mission. La nature de la reconfiguration est etroitement

liee a la gravite des defaillances detectees ; dans les cas mineurs, dereglage de faible amplitude

d’un capteur par exemple, on peut se contenter d’une adaptation d’un parametre de reglage ;

par contre, la defaillance d’un organe de commande necessite en general la modification de la

structure de la loi de commande.

4.2 Exemple

On considere une installation de retraitement de sels de potasse dans laquelle les flux de matiere

sont caracterise par leurs debits massiques (Q) et leurs concentrations en chlorure de sodium

(n) et chlorure de potassium (k). Le processus d’enrichissement n’est pas etudie et on se limite

a observer les flux et les flux sortants de cette installation (figure (4.2).

47

Page 50: Cours Mines

Une campagne de mesure a permis de relever des mesures sur les flux pendant une periode de

12 jours ainsi que teneurs en NaCl et KCl. La figure (4.2) donne egalement ces mesures.

On se propose de faire une analyse de ces mesures afin de mettre en evidence certaines anomalies

encore appelees grosses erreurs.

Processusde cristallisation

Alimentation

Eau d'apoint

Concentré Rejet

Qa = 400 944 T

na = 60.68 %

k a = 26. 97 %

Qc = 104 256 T

nc = 3.82 %

kc = 86.16 %

Qr = 1 380 340 T

nr = 17.33 %

k r = 0.57 %

Qe = 1 083 300 T{

Fig. 4.2 – Processus de cristallisation de la potass

Test de fermeture des bilans matiere

Une premiere analyse de la qualite des mesures peut etre faite a partir des equations qui lient

les grandeurs vraies. Pour cela, on utilise les equations de conservation de masse totale et de

masse partielle (pour chaque constituant) sous la forme :

Qa + Qe − Qc − Qr = 0Qaka − Qckc − Qrkr = 0Qana − Qcnc − Qrnr = 0

(4.1)

Si on injecte les mesures dans ces trois equations de bilan, on ne trouve pas ”0” mais des residus

ou ecarts de fermeture qui traduisent la presence d’erreurs de mesure :

r1 = −352 Tr2 = 10441 Tr3 = 98 T

(4.2)

On concoit bien que la presence d’incertitudes a caractere aleatoire affecte les mesures, mais

ici, l’amplitude de ces residus laisse supposer la presence d’erreurs systematiques. Un examen

sommaire des amplitudes des residus laisse a penser que si on peut accepter les residus du pre-

mier et du troisieme bilan, le residu du deuxieme bilan est anormal. A partir de cette hypothese

vraisemblable, on peut affiner l’analyse et penser que si un residu est d’amplitude faible, les

variables qui le constituent sont vraisemblablement correctement mesurees c’est-a-dire ne sont

pas affectees d’erreurs systematiques. Dans ces conditions, les variables qui interviennent dans

les residus r1 et r3 sont considerees comme valides ; le residu r2 est anormal, donc les variables

qui le constituent peuvent etre suspectees. Les deux conclusions que nous venons de formuler

48

Page 51: Cours Mines

peuvent etre reunies et on conclu alors a la presence vraisemblable d’erreurs de mesure anor-

males sur les variables de teneur en KCl.

Test de coherence des indices de recuperation

Une autre facon simple de tester la qualite des mesures, consiste a evaluer le rendement du

processus. Celui peut etre defini comme etant la quantite de NaCl ou de KCL que l’on recupere

dans le concentre :

Rk =Qckc

Qaka

Rn =Qcnc

Qana

(4.3)

Ces indices de recuperation peuvent aussi se calculer a partir des rejets, sous la forme :

Rk = 1 −Qrkr

Qaka

Rn = 1 −Qrnr

Qana

(4.4)

Numeriquement, on, trouve :{

Rk = 83%Rn = 1.7%

{

Rk = 92%

Rn = 1.6%(4.5)

En ce qui concerne la recuperation du NaCl, les deux modes de calcul donnent sensiblement les

memes valeurs ce qui n’est pas le cas pour la recuperation en KCl. On peut proposer la conclu-

sion sommaire suivante : les deux modes de calcul de la recuperation en NaCl etant coherents,

on peut supposer que les variables qui servent a ce calcul sont valides ; par contre les variables qui

interviennent dans le calcul de la recuperation en KCl peuvent etre suspectees. En regroupant

ces deux conclusions et separant les variables non suspectes, on retrouve la conclusion qui tend

a suspecter les mesures (ou l’une d’entre elles) de KCl.

Comparaison d’estimations multiples

Les equations de bilan du processus peuvent egalement etre utilisees pour estimer certaines

grandeurs. Par exemple, le debit d’alimentation Qa est mesure, mais il intervient aussi dans les

trois equations desquelles on peut donc le deduire :

mesure directeestimation 1 : Qc − Qe + Qr

estimation 2 :Qckc + Qrkr

ka

estimation 3 :Qcnc + Qrnr

na

(4.6)

On peut proceder de facon similaire pour les autres variables. L’ensemble des resultats de me-

sure et d’estimation apparaıt au tableau 2. Pour chaque variable, on peut donc comparer ses

differentes estimations. Ainsi, pour Qa, la mesure et deux estimations sont du meme ordre de

grandeur et different de facon significative de la deuxieme estimation ; si on considere les variables

qui interviennent dans les differentes estimations, on peut dire que les variables qui interviennent

dans des estimations semblables sont valides et que celles qui interviennent dans des estimations

tres dissemblables sont suspectes ? La encore, on est conduit a suspecter une ou des mesures de

teneur en KCl. Le raisonnement peut etre fait sur chaque variable et confirme cette conclusion.

49

Page 52: Cours Mines

Mesure Estimation 1 Estimation 2 Estimation 3

Qa 400 944 401 296 362 228 400 781Qe 1 083 300 1 083 642Qc 104 256 103 904 116 373 106 806Q 1 380 340 1 379 988 3 211 929 1 380 900ka 26.97 24.36kc 86.16 96.17kr 0.57 1.32na 60.68 60.65nc 3.82 3.91nr 17.33 17.33

Tab. 4.1 – Mesures et estimations

4.3 Technique sequentielle de detection d’erreur

On a vu precedemment que les residus d’equation sont sensibles aux erreurs de mesure qui

affectent les variables. Inversement, si on est capable de detecter un residu d’amplitude anormale,

il convient d’en rechercher la cause et en particulier de localiser la mesure probablement erronee.

On rappelle la liaison entre residu et mesure :

R = My = Mǫ

La matrice M n’etant pas reguliere en general, l’identification de mesures erronees a partir des

residus doit etre realisee a partir de la notion de signature de defaillance. Dans ce qui suit,

on propose une technique de detection d’erreur appliquee a un exemple dont le lecteur pourra

aisement generaliser la portee.

Considerons le modele d’un systeme decrit par les equations suivantes :

x1 + x2 − x3 = 0x3 + x4 − x5 = 0x5 + x6 − x2 − x7 = 0x7 − x8 − x9 = 0

(4.7)

On suppose que toutes les variables sont mesurees ; dans la pratique, s’il n’est pas ainsi, il

convient de proceder prealablement a l’extraction de la partie redondante du systeme. Le tableau

ci-dessous donne les valeurs des mesures et de leurs ecart-types respectifs.

Var. 1 2 3 4 5 6 7 8 9Mesure 111.3 18.2 191.6 23.8 148.7 13.6 181.4 106.4 39.7

Ecart-type 2.8 0.5 3.2 0.6 3.7 0.3 3.5 2.7 1

Tab. 4.2 – Tableau 2. Mesures et precisions des mesures

Le tableau (4.3) indique les equations considerees, les valeurs des residus d’equation, les residus

normalises (par leurs ecart-types), la nature aberrante ou non du residu (seuil fixe a la valeur

2), les variables servant au calcul de chaque residu. Dans les sept dernieres lignes, on a fait

50

Page 53: Cours Mines

egalement apparaıtre les residus d’equation correspondant a l’agregation de certaines equations.

Pour analyser ce tableau, on peut noter que : toute equation ne presentant pas de residu aber-

rant est constituee de variables elles-memes sans valeurs aberrantes. Ainsi, on conclu que les

variables qui interviennent dans les equations 1 + 2, 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 ne sont pas entachees

d’erreurs ; par deduction, les variables restantes 3 et 7 sont entachees d’erreur.

Une facon plus elegante de presenter cette procedure de detection d’erreur est resumee dans le

tableau (4.3). Les variables des residus anormaux sont affectees de la valeur 1 ; les variables des

residus normaux sont affectees de la valeur 0. Lorsqu’une variable n’intervient pas dans un residu,

le symbole ”.” est utilise. La derniere ligne du tableau est le produit logique des indicateurs se

trouvant dans les colonnes ; un ”1” dans cette ligne indique que la variable correspondante est

entachee d’erreur. On peut remarquer que l’agregation des equations peut etre faite de facon

sequentielle ainsi que le produit logique ; sur cet exemple, on remarque que la localisation des

variables en defaut peut etre faite avant la derniere agregation.

Le lecteur remarquera assez facilement que cette technique peut etre etendue au cas d’equations

dynamiques ou non lineaires. Toutefois une difficulte apparaıt au niveau de l’agregation d’equations

non lineaires qui fait l’objet de techniques particulieres.

Equation Res. Res.normalise Residu anormal Variables

1 -61.9 -14.5 oui 1,2,32 66.5 13.4 oui 3,4,53 -37.1 -7.2 oui 2,5,6,74 35.1 7.8 oui 7,8,9

1+2 4.6 0.9 non 1,2,4,51+3 -99.0 -14.9 oui 1,3,5,6,72+3 29.4 6.1 oui 2,3,4,6,73+4 -2.0 -0.4 non 2,5,6,8,9

1+3+4 -63.9 -10.1 oui 1,3,5,6,8,92+3+4 64.5 14.8 oui 2,3,4,6,8,9

1+2+3+4 2.6 0.6 non 1,2,6,8,9

Tab. 4.3 – Residus d’equation

4.4 Conclusion

On peut imaginer des traitement plus sophistiques pour detecter et localiser des ”grosses” er-

reurs de mesure. Les techniques proposees ici, reposent sur l’analyse des amplitudes des residus

d’equations de bilan matiere avec l’hypothese suivante : si une equation de bilan est verifiee,

les variables qui la constituent sont valides, sinon les variables peuvent etre considerees comme

suspectes. Ce mode de raisonnement se generalise pour des processus plus complexes ; nous en

avons donne ici le principe de base.

51

Page 54: Cours Mines

Equation Residu anormal 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 oui 1 1 1 . . . . . .2 oui . . 1 1 1 . . . .3 oui . 1 . . 1 1 1 . .4 oui . . . . . . 1 1 1

1+2 non 0 0 . 0 0 . . . .1+3 oui 1 . 1 . 1 1 1 . .2+3 oui . 1 1 1 . 1 1 . .3+4 non . 0 . . 0 0 . 0 0

1+3+4 oui 1 . 1 . 1 1 . 1 12+3+4 oui . 1 1 1 . 1 . 1 1

1+2+3+4 non 0 0 . . . 0 . 0 0

Produit 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Tab. 4.4 – Detection de defauts

Appendix A : Quelques distributeurs ou fabricant de capteurs

52

Page 55: Cours Mines

ALLEN-BRADLEY 36, Avenue de l’Europe 78 941 Velizy Cedex

BALLUFF 2, Rue du Vallon 94 440 Marolles en Brie

BALOGH 189, Rue d’Aubervilliers 75 886 Paris Cedex

CETIM 74, Rue des Acieries 42 951 Saint Etienne

CHAUVIN ARNOUX 190, Rue Championnet 75 018 Paris

CLUB INTERBUS-S Boulevard de Beaubourg 77 347 Marne la Vallee

CROUZET 111, Rue de la Foret 26 902 Valence Cedex

EQUIPEMENTSSCIENTIFIQUES

127, Rue de Buzonval 92 380 Garches

EUROTHERM AUTO-MATION

6, Chemin des joncs 69 572 Dardilly Cedex

HONEYWELL 4, Avenue Ampere 78 886 St Quentin en Yvelines

IVO INDUSTRIES 3, Rue Denis Papin 67 403 Illkirch Cedex

TELEMECANIQUE 5, Rue Nadar 92 500 Rueil Malmaison

SIEMENS 39-47 Boulevard Ornano 93 527 Saint Denis

HARTMANN ETBRAUN

40, Rue Jean Jaures 93 176 Bagnolet Cedex

AK ELECTRONIC 54, Avenue Emile Zola 75 015 Paris

LEEDS AND NOR-THRUP FRANCE

[email protected]

LASENTEC [email protected]

http ://glo.mt.com/mt/resources/contactUs.jsp

OUTOKUMPU-OY www.outokumpucopper.com

FOXBORO-ARMCOAUTOMETRICS

http ://www.foxboro.com/us/eng/Homepage.htm

CENTRE DE TECH-NOLOGIE DE NO-RANDA

[email protected]

ARMCO AUTOME-TRICS

[email protected]

www.equipment.noranda.com

OTT France www.ottfrance.com www.hydrolab.com

JUMO REGULATION 7, Rue des drapiers 57 075 Metz Cedex

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Page 56: Cours Mines

Appendix B : Quelques types de capteur

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Page 57: Cours Mines

Capteur Type

proximite a courants de Foucaulta effet capacitifphoto-electriqueultrasonica effet Hallmagneto-resistifs

proximite capteurs inductifscapteurs a effet Hallcapteurs magneto-resistifs

deplacement capteurs resistifscapteurs inductifscapteurs a propogation d’ondescapteurs capacitifs

vitesse tachymetres a impulsionsgeneratrices analogiques

acceleration accelerometres piezo-electriquesaccelerometres piezo-resistifsaccelerometres inductifsaccelerometres a potentiometre

temperature couples thermo-electriquesthermometres a resistance metalliquethermometres a semi-conducteurthermometre a quartzpyrometres a quartzpyrometres optiquesthermometres a dilatation de fluidethermometre a dilatation de solide

niveau dispositif a flotteurdispositif a plongeurdispositif a bullagedispositif a palpeur electromecaniquesondes conductivessondes capacitivesdispositif a rayonnement gammadispositifs a ultrasons

debit compteurs a palettescompteurs a pistonscompteur a turbine axialedebitmetre a organe deprimogenedebitmetre a sonde (tube de Pitot)debitmetre a ultrasonsdebitmetre a effet vortexdebitmetre thermiquedebitmetre electromagnetique

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Page 58: Cours Mines

Bibliographie

[1] B.A. WILLS Mineral Processing Technology, 4th edition. International Series on Material Scicenes andTechnology. Pergamon Press. 1988

[2] B. YARAR and Z.M. DOGAN Mineral Processing Design. Serie E : applied Sciences. Nato Asi Series, 1987.

[3] RAMAKRISHNAN K.N. Modified Rosin Rammler equation for describing particle size distribution of milledpowders. Journal of Materials Science Letters, 19 ( 21), November, 2000.

[4] C.A. SMITH and A.B. CORRIPIO. Principles and practice of automatic process control. John Wilery andSons, 1985.

[5] RICHARD A., RAGOT J., CUNIN P., AUBRUN M., BLAZY P., Instrumentation d’un procede de sechagede talc en vue de sa conduite automatisee. Revue de l’industrie Minerale, Les Techniques, octobre 1986.

[6] RAGOT J., PAREL D., WISS C., RICHARD A., MAIHLLAC J., Modelisation en vue de la conduiteautomatique d’un trieur de particules. Revue de l’Industrie Minerale, Les Techniques, p. 176-183, mars-avril 1988.

[7] RAGOT J., MORGANTI P. La place de l’automatique dans les techniques de valorisation des ressources dusous-sol. Dans ”problemes et perspectives de l’industrie miniere en Afrique”. Edite par Presence Africaine,1992.

[8] RAGOT J., MAQUIN D., ADROT O. LMI approach for data reconciliation. 38th Conference of Metallur-gists, Symposium Optimization and Control in Minerals, Metals and Materials Processing, Quebec, Canada,August 22-26, 1999

[9] Proceedings of the 11th IFAC Symposium on Automation in Mining, Mineral and Metal Processing. Nancy,8-10 septembre 2004.

[10] ALLEN T. Particle Size Measurement, Chapman and Hall, London, 4th edn. 1988 - a comprehensivediscussion of the theory and practice of powder sampling and particle sampling. The fifth edition waspublished about 1998.

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