Cyclotomic eldsFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Abels irreducibility theorem 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Abelian extension 22.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Abhyankars inequality 33.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Abhyankars lemma 44.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Abstract analytic number theory 55.1 Arithmetic semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.1.1 Additive number systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3 Methods and techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.3.1 Arithmetical formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6 Additive polynomial 86.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.3 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.4 The fundamental theorem of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7 Adele ring 107.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.3 Idele group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii CONTENTS

7.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8 Adelic algebraic group 138.1 Ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.2 Tamagawa numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.3 History of the terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9 Adjunction (eld theory) 159.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10 AlbertBrauerHasseNoether theorem 1710.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

11 Algebraic closure 1911.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911.2 Existence of an algebraic closure and splitting elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911.3 Separable closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

12 Algebraic extension 2112.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13 Algebraic function eld 2313.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.2 Category structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.3 Function elds arising from varieties, curves and Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

CONTENTS iii

13.4 Number elds and nite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.5 Field of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.6 Valuations and places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

14 Algebraic number eld 2514.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

14.1.1 Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

14.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614.3 Algebraicity and ring of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14.3.1 Unique factorization and class number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2714.3.2 -functions, L-functions and class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14.4 Bases for number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.4.1 Integral basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.4.2 Power basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

14.5 Regular representation, trace and determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

14.6 Places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.1 Archimedean places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.2 Nonarchimedean or ultrametric places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.3 Prime ideals in OF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.7 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.7.1 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.7.2 Dedekind discriminant theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

14.8 Galois groups and Galois cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.9 Local-global principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

14.9.1 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.9.2 Hasse principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.9.3 Adeles and ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

14.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15 Algebraic number theory 3615.1 History of algebraic number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

15.1.1 Diophantus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.2 Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.4 Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.1.5 Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iv CONTENTS

15.1.6 Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.1.7 Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.1.8 Modern theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

15.2 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.1 Unique factorization and the ideal class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.2 Factoring prime ideals in extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.3 Primes and places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3915.2.4 Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3915.2.5 Local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15.3 Major results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.1 Finiteness of the class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.2 Dirichlets unit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.3 Reciprocity laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.4 Class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

15.4 Related areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15.7.1 Introductory texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.7.2 Intermediate texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.7.3 Graduate level accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

16 Algebraically closed eld 4416.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2 Equivalent properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

16.2.1 The only irreducible polynomials are those of degree one . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2.2 Every polynomial is a product of rst degree polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2.3 Polynomials of prime degree have roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.4 The eld has no proper algebraic extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.5 The eld has no proper nite extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.6 Every endomorphism of Fn has some eigenvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.7 Decomposition of rational expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.8 Relatively prime polynomials and roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

16.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

17 All one polynomial 4717.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

CONTENTS v

17.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

18 AnkenyArtinChowla congruence 4918.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

19 Archimedean property 5019.1 History and origin of the name of the Archimedean property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.2 Denition for linearly ordered groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

19.2.1 Ordered elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.3 Denition for normed elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4 Examples and non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

19.4.1 Archimedean property of the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4.2 Non-Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4.3 Non-Archimedean valued elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319.4.4 Equivalent denitions of Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

19.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

20 Arithmetic and geometric Frobenius 5520.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

21 Arithmetic dynamics 5621.1 Denitions and notation from discrete dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5621.2 Number theoretic properties of preperiodic points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5621.3 Integer points in orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.4 Dynamically dened points lying on subvarieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.5 p-adic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.7 Other areas in which number theory and dynamics interact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5821.9 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5821.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5921.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

22 Artin L-function 6022.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6022.2 Functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6022.3 The Artin conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

23 Artin reciprocity law 63

vi CONTENTS

23.1 Signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6323.2 Finite extensions of global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

23.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6423.2.2 Relation to quadratic reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

23.3 Cohomological interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6423.4 Alternative statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6523.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6523.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

24 Artin transfer (group theory) 6724.1 Transversals of a subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6724.2 Permutation representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6724.3 Artin transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

24.3.1 Independence of the transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6824.3.2 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6824.3.3 Wreath product of H and S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6924.3.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6924.3.5 Wreath product of S(m) and S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6924.3.6 Cycle decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.3.7 Normal subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

24.4 Computational implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.4.1 Abelianization of type (p,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7124.4.2 Abelianization of type (p2,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

24.5 Transfer kernels and targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7124.6 Abelianization of type (p,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7224.7 Abelianization of type (p2,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

24.7.1 First layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7324.7.2 Second layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7324.7.3 Transfer kernel type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7324.7.4 Connections between layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

24.8 Inheritance from quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7424.8.1 Passing through the abelianization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7424.8.2 TTT singulets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7524.8.3 TKT singulets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7724.8.4 TTT and TKT multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7724.8.5 Inherited automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

24.9 Stabilization criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7924.10Structured descendant trees (SDTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8124.11Pattern recognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

24.11.1 Historical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8224.12Commutator calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8324.13Systematic library of SDTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

CONTENTS vii

24.13.1 Coclass 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8424.13.2 Coclass 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8724.13.3 Coclass 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

24.14Arithmetical applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9124.14.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9124.14.2 Comparison of various primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

24.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

25 Artins conjecture on primitive roots 9725.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9725.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9725.3 Proof attempts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9825.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9825.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

26 Bauerian extension 9926.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9926.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

27 Biquadratic eld 10027.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

28 Brauer group 10128.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.3 Brauer group and class eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.5 General theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10428.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

29 BrauerSiegel theorem 10529.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

30 BrauerWall group 10630.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

31 BrumerStark conjecture 108

viii CONTENTS

31.1 Statement of the conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.2 Progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.3 Function eld analogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10931.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

32 Carlitz exponential 11032.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.2 Relation to the Carlitz module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

33 Characteristic (algebra) 11233.1 Other equivalent characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11233.2 Case of rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.3 Case of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

34 Chebotarevs density theorem 11534.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11534.2 Relation with Dirichlets theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11634.3 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11634.4 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

34.4.1 Eective Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.4.2 Innite extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

34.5 Important consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

35 Chebotaryov theorem on roots of unity 11935.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11935.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11935.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11935.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

36 ChowlaMordell theorem 12136.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

37 Class eld theory 12237.1 Formulation in contemporary language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12337.2 Prime ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12437.3 Generalizations of class eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12437.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12437.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

38 Class formation 126

CONTENTS ix

38.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12638.2 Examples of class formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12638.3 The rst inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12738.4 The second inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12738.5 The Brauer group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12838.6 Tates theorem and the Artin map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12938.7 The Takagi existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12938.8 Weil group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13038.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13038.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

39 Class number formula 13239.1 General statement of the class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13239.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13239.3 Dirichlet class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13339.4 Galois extensions of the rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13339.5 Abelian extensions of the rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13439.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13439.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

40 Class number problem 13540.1 Gausss original conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13540.2 Status . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13540.3 Lists of discriminants of class number 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13640.4 Modern developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13640.5 Real quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13640.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13740.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13740.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13740.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

41 CM-eld 13841.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13841.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13841.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13841.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

42 Compatible system of -adic representations 14042.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14042.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14042.3 Importance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14042.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14042.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

x CONTENTS

43 Complete eld 14143.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

44 Complex multiplication 14244.1 Example of the imaginary quadratic eld extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14244.2 Abstract theory of endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14444.3 Kronecker and abelian extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14444.4 Sample consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14444.5 Singular moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14544.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14644.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14644.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

45 Composite eld (mathematics) 14745.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

46 Conductor (class eld theory) 14846.1 Local conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

46.1.1 More general elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14846.1.2 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

46.2 Global conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14946.2.1 Algebraic number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

46.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14946.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

47 Conductor of an abelian variety 15147.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15147.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15147.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

48 Conductor-discriminant formula 15348.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15348.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15348.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15348.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

49 Conjugate element (eld theory) 15549.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15549.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15549.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15649.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

50 Cubic eld 157

CONTENTS xi

50.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15750.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15750.3 Galois closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15850.4 Associated quadratic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15850.5 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15850.6 Unit group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15950.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15950.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

51 Cubic reciprocity 16251.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16251.2 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

51.2.1 Primes 1 (mod 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16351.2.2 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16351.2.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16451.2.4 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16451.2.5 Other theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

51.3 Eisenstein integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16551.3.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16551.3.2 Facts and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16651.3.3 Cubic residue character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16751.3.4 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

51.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16851.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16851.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

51.6.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17051.6.2 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17051.6.3 Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17051.6.4 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17151.6.5 Modern authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

51.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

52 Cyclotomic character 17252.1 p-adic cyclotomic character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17252.2 As a compatible system of -adic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17252.3 Geometric realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17352.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17352.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17352.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

53 Cyclotomic eld 17453.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

xii CONTENTS

53.2 Relation with regular polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17453.3 Relation with Fermats Last Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

53.3.1 List of Class Numbers to Cyclotomic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17553.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17553.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17553.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

54 Cyclotomic unit 17754.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17754.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

55 Dedekind domain 17955.1 The prehistory of Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17955.2 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18055.3 Some examples of Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18055.4 Fractional ideals and the class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18155.5 Finitely generated modules over a Dedekind domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18255.6 Locally Dedekind rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18355.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18355.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18355.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18355.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

56 Dedekind zeta function 18456.1 Denition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

56.1.1 Euler product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18456.1.2 Analytic continuation and functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

56.2 Special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18556.3 Relations to other L-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18556.4 Arithmetically equivalent elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18656.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18656.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

57 Degree of a eld extension 18757.1 Denition and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18757.2 The multiplicativity formula for degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

57.2.1 Proof of the multiplicativity formula in the nite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18857.2.2 Proof of the formula in the innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

57.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18957.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18957.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

58 Dierent ideal 190

CONTENTS xiii

58.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19058.2 Relative dierent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19058.3 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19158.4 Local computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19158.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19158.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

59 Dierential Galois theory 19359.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19359.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19359.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19359.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

60 Dirichlets unit theorem 19560.1 The regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

60.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19660.2 Higher regulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19760.3 Stark regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19760.4 p-adic regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19760.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19760.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19760.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

61 Discrete valuation 19961.1 Discrete valuation rings and valuations on elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19961.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19961.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

62 Discriminant 20162.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20162.2 Formulas for low degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20262.3 Homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20362.4 Quadratic formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20562.5 Discriminant of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20562.6 Nature of the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

62.6.1 Quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20762.6.2 Cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20762.6.3 Higher degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

62.7 Discriminant of a polynomial over a commutative ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20762.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

62.8.1 Discriminant of a conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20862.8.2 Discriminant of a quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20862.8.3 Discriminant of an algebraic number eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

xiv CONTENTS

62.9 Alternating polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20962.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20962.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

63 Discriminant of an algebraic number eld 21163.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21263.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21263.3 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21363.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21363.5 Relative discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

63.5.1 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21563.6 Root discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21563.7 Relation to other quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21563.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21563.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

63.9.1 Primary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21663.9.2 Secondary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

63.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

64 Drinfeld module 21864.1 Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

64.1.1 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21864.1.2 Denition of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21864.1.3 Examples of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

64.2 Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21964.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21964.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

64.4.1 Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22064.4.2 Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

65 Dual basis in a eld extension 221

66 Eisenstein integer 22266.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22366.2 Eisenstein primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22366.3 Euclidean domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22466.4 Quotient of C by the Eisenstein integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22466.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22466.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22466.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

67 Eisenstein prime 22567.1 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

CONTENTS xv

67.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22667.3 Large primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22667.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22667.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

68 Eisenstein reciprocity 22768.1 Background and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

68.1.1 Primary numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22768.1.2 m-th power residue symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

68.2 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22868.2.1 First supplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22868.2.2 Second supplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22868.2.3 Eisenstein reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

68.3 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22868.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22868.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

68.5.1 First case of Fermats last theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22968.5.2 Powers mod most primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

68.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22968.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22968.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

69 Eisenstein sum 23169.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23169.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

70 Eisensteins criterion 23270.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

70.1.1 Cyclotomic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23370.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23370.3 Basic proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23470.4 Advanced explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23470.5 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

70.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23670.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23670.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

71 Elementary number 23771.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

72 Elliptic Gauss sum 23872.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23872.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

xvi CONTENTS

73 Elliptic unit 24073.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24073.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

74 Embedding problem 24174.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24174.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

75 Equally spaced polynomial 24375.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24375.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

76 Equivariant L-function 24476.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

77 Euclidean eld 24577.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24577.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24577.3 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24577.4 Euclidean closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24577.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24677.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

78 Euler system 24778.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24778.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

78.2.1 Cyclotomic units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24778.2.2 Gauss sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24878.2.3 Elliptic units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24878.2.4 Heegner points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24878.2.5 Katos Euler system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

78.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24878.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24878.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

79 Explicit reciprocity law 25079.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25079.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

79.2.1 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25079.2.2 Unramied case: the tame Hilbert symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25079.2.3 Ramied case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

79.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25179.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

CONTENTS xvii

79.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25179.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

80 Exponential eld 25380.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25380.2 Trivial exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25380.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25480.4 Exponential rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25480.5 Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25480.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25480.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

81 Exponentially closed eld 25681.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25681.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25681.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25681.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

82 Extension and contraction of ideals 25882.1 Extension of an ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25882.2 Contraction of an ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25882.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25882.4 Extension of prime ideals in number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25982.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25982.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

83 FerreroWashington theorem 26083.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26083.2 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26083.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

84 Field (mathematics) 26284.1 Denition and illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

84.1.1 First example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26384.1.2 Second example: a eld with four elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26484.1.3 Alternative axiomatizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

84.2 Related algebraic structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26484.2.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

84.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26584.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

84.4.1 Rationals and algebraic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26584.4.2 Reals, complex numbers, and p-adic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26584.4.3 Constructible numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

xviii CONTENTS

84.4.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26684.4.5 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26784.4.6 Field of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26784.4.7 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

84.5 Some rst theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26784.6 Constructing elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

84.6.1 Closure operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26884.6.2 Subelds and eld extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26884.6.3 Rings vs elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26984.6.4 Ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

84.7 Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26984.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

84.8.1 Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27084.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27084.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27084.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27184.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27184.13Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27184.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

85 Field extension 27385.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27385.2 Caveats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27385.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27485.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27485.5 Algebraic and transcendental elements and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27485.6 Normal, separable and Galois extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27585.7 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27685.8 Extension of scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27685.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27685.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27685.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27685.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

86 Field norm 27786.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27786.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27786.3 Properties of the norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27886.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27886.5 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27986.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27986.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

CONTENTS xix

86.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

87 Field of fractions 28087.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28087.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28087.3 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28187.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28187.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

88 Field trace 28288.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28288.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28288.3 Properties of the trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28388.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

88.4.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28388.5 Trace form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28488.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28488.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28488.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28488.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

89 Finite extensions of local elds 28689.1 Unramied extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28689.2 Totally ramied extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28689.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28689.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

90 Formal group 28890.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28890.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28990.3 Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28990.4 The logarithm of a commutative formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29090.5 The formal group ring of a formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29090.6 Formal group laws as functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29190.7 The height of a formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29190.8 Lazard ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29190.9 Formal groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29290.10LubinTate formal group laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29390.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29390.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

91 Formally real eld 29591.1 Alternative Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

xx CONTENTS

91.2 Real Closed Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29591.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29591.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

92 Fractional ideal 29792.1 Denition and basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29792.2 Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29792.3 Divisorial ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29792.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29892.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29892.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

93 Frobenius endomorphism 29993.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29993.2 Fixed points of the Frobenius endomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30093.3 As a generator of Galois groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30093.4 Frobenius for schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

93.4.1 The absolute Frobenius morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30193.4.2 Restriction and extension of scalars by Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30193.4.3 Relative Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30393.4.4 Arithmetic Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30393.4.5 Geometric Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30493.4.6 Arithmetic and geometric Frobenius as Galois actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

93.5 Frobenius for local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30593.6 Frobenius for global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30693.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30693.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30793.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

94 Function eld sieve 30894.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

95 Fundamental discriminant 30995.1 Connection with quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30995.2 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31095.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31095.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

96 Fundamental theorem of algebra 31196.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31196.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

96.2.1 Complex-analytic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31296.2.2 Topological proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

CONTENTS xxi

96.2.3 Algebraic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31496.2.4 Geometric proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

96.3 Corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31696.4 Bounds on the zeros of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31796.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31796.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

96.6.1 Historic sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31896.6.2 Recent literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

96.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

97 Fundamental theorem of Galois theory 32197.1 Explicit description of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32197.2 Properties of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32197.3 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32297.4 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32397.5 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32497.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32497.7 Innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32497.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

98 Fundamental unit (number theory) 32598.1 Real quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32598.2 Cubic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32698.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32698.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32698.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

99 Galois cohomology 32799.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32799.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

100Galois extension 329100.1Characterization of Galois extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329100.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329100.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330100.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

101Galois module 331101.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

101.1.1 Ramication theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331101.2Galois module structure of algebraic integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331101.3Galois representations in number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

101.3.1 Artin representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

xxii CONTENTS

101.3.2 -adic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332101.3.3 Mod representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332101.3.4 Local conditions on representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

101.4Representations of the Weil group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333101.4.1 WeilDeligne representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

101.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334101.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334101.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334101.8Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

102Gauss sum 335102.1Properties of Gauss sums of Dirichlet characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335102.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336102.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

103Gaussian integer 337103.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337103.2Norm of a Gaussian integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338103.3As a principal ideal domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

103.3.1 As an integral closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338103.3.2 As a Euclidean domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

103.4Historical background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339103.5Unsolved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339103.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339103.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340103.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341103.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

104Gaussian period 342104.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342104.2General denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342104.3Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343104.4Gauss sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343104.5Relationship of Gaussian periods and Gauss sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344104.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

105Gaussian rational 345105.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

106Generic polynomial 346106.1Groups with generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346106.2Examples of generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347106.3Generic Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

CONTENTS xxiii

106.4Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

107Genus character 348107.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

108Genus eld 349108.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349108.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

109Global eld 350109.1Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350109.2Analogies between the two classes of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350109.3Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

109.3.1 Hasse-Minkowski theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351109.3.2 Artin reciprocity law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

109.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351109.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

110Glossary of eld theory 353110.1Denition of a eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353110.2Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353110.3Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354110.4Types of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354110.5Field extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355110.6Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356110.7Extensions of Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357110.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

111GolodShafarevich theorem 359111.1The inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359111.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359111.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

112Gras conjecture 361112.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

113GrossKoblitz formula 362113.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362113.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

114Grothendiecks Galois theory 363114.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

115Ground eld 365115.1Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

xxiv CONTENTS

115.2In linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365115.2.1 In algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365115.2.2 In Lie theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365115.2.3 In Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365115.2.4 In Diophantine geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

115.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

116Group cohomology 367116.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367116.2Formal constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

116.2.1 Long exact sequence of cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368116.2.2 Cochain complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368116.2.3 The functors Extn and formal denition of group cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . 369116.2.4 Group homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .