Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
329
12. NUKLEARNA FIZIKA
1. Da se zapi{at skrateno slednive nuklearni reakcii:
a) nHeHH 32
21
21 +→+ ;
b) nBeLip 74
73 +→+ ;
v) npHγ21 +→+ ;
g) nHeHH 42
31
21 +→+ ;
d) HOHeN 11
178
42
147 +→+ ;
|) HeHepLi 42
42
73 +→+ .
Re{enie: Skrateniot zapis na nuklearnata reakcija od oblikot: bBaA +→+ (1) glasi: ( )BbaA , (2) Spored toa, skratenite zapisi na gornite reakcii glasat:
a) ( ) He nd, H 32
21 ;
b) ( ) Be np, Li 74
73 ;
v) ( )n pγ, H21 ili ( )p nγ, H2
1 ;
g) ( ) He nd, H 42
31 ;
d) ( ) O p, N 178
147 α ; ova e istoriskata reakcija koja {to ja izvel
Raderford vo 1911 godina i so koja {to zapo~nala ve{ta~kata transformacija na atomskite jadra.
|) ( ) He p, Li 42
73 α ; ova e u{te edna istoriska reakcija koja {to ja
pretstavuva prvata nuklearna reakcija izvedena so zabrzani ~esti~ki vo 1930 godina (protoni zabrzani vo akceleratorot na Kokroft i Volton bombardiraat jadra na litium, pri {to se osloboduva alfa-~esti~ka). Treba da se napomene deka vo na~inot na zapi{uvawe na nuklearnite reakcii pogore ne be{e vodeno smetka za energetskiot bilans na reakciite, tuku samo za u~esnicite vo niv.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
330
2. Da se prika`e tekot na slednite nuklearni reakcii dadeni so skraten zapis:
a) ( ) C pd, C 146
136 ;
b) ( ) H γn, H 21
11 ;
v) ( ) C pd, C 146
136 ;
g) ( ) Be nγ, Be 84
94 ;
d) ( ) Ne p, F 2210
199 α ;
|) ( ) Si p, Al 3014
2713 α ;
e) ( ) B n, Li 105
73 α ;
`) ( ) Nn, B 147
115 α .
Re{enie: Standardnata forma so koja {to se opi{uva tekot na nuklearnite reakcii pogore glasi:
a) pCHC 146
21
136 +→+ ; (1)
b) γH n H 21
11 +→+ ; (2)
v) pC H C 146
21
136 +→+ ; (3)
g) nBe γBe 84
94 +→+ ; (4)
d) pNe F 2210
199 +→+ α ; (5)
|) pSi Al 3014
2713 +→+ α ; (6)
e) nB Li 105
73 +→+ α ; (7)
`) nN B 147
115 +→+ α . (8)
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
331
3. Kako rezultat na radioaktivno raspa|awe, jadroto
U23892 se transformira vo jadro Pb206
82 . Kolku vkupno α i β raspa|awa ima vo toj proces? Re{enie: Pri alfa-raspadot, jadroto koe {to se raspa|a emituva alfa-~esti~ka koja {to pretstavuva atomsko jadro na helium,
odnosno He 42 . Pri beta raspadot pak, jadroto emituva beta
~esti~ka koja {to pretstavuva 01- e . Spored toa, reakcijata na
raspa|awe na atomskoto jadro na uranium mo`e da se zapi{e na sledniot na~in:
HePb U 01-
42
20682
23892 enm ++→ (1)
kade {to m i n se brojot na alfa i beta-raspa|awa soodvetno. Soglasno zakonite za zapazuvawe na atomskiot i maseniot broj, brojot na protonite i neutronite pred i posle reakcijata mora da ostane nepromenet. Spored toa, od (1) sleduva sledniot sistem ravenki: nm ⋅++= 04206238 (2) i nm −+= 28292 (3) So re{avawe na sistemot ravenki koj {to go so~inuvaat ravenkite (2) i (3) se dobiva: 8=m i 4=n , {to zna~i deka procesot (1) e prosleden so osum alfa-raspa|awa i 4 beta-raspa|awa.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
332
*4. Da se opredeli minimalnata energija koja {to treba da ja ima edno antineutrino za da mo`e da ja predizvika slednata reakcija:
++→+ enpν~ Da se smeta deka protonot se nao|a vo sostojba na miruvawe. Re{enie: Od zakonot za zapazuvawe na energijata sleduva: ++=+
enp EEEEν~ (1)
kade {to ν~E e energija na antineutrinoto, a:
2cmE pp = (2)
e energija na protonot (negovata kineti~ka energija 0=kpE ,
bidej}i toj se nao|al vo sostojba na miruvawe);
knnn EcmE += 2 (3) e energija na neutronot i:
++ +=keee
EcmE 2 (4)
e energijata na pozitronot, kade {to em e masata na elektro-not. So zamena na (2), (3) i (4) vo (1) se dobiva: ( ) ( )++ +++==+
keeknnep EcmEcmEcmE 222~ν (5)
Minimalnata energija {to treba da ja ima antineutrinoto za da ja predizvika ovaa reakcija }e ja opredelime od uslovot kineti~kite energii na pozitronot i neutronot da bidat ednakvi na nula, odnosno: 0==+ knke
EE . Zemaj}i go ova vo
predvid vo (5), se dobiva: ( ) 2
min~ cmmmE pen −+=ν (6)
Ako se imaat vo predvid slednite brojni vrednosti: MeV 2,9382 =cm p , MeV 5,9392 =cmn i MeV 5,02 =cme , od (6)
dobivame: MeV 8,1min~ =νE .
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
333
5. Da se poka`e deka jadroto Pu23694 e nestabilno i mo`e
da se raspadne so isfrlawe na α -~esti~ka. Re{enie: Raspadot na jadroto na plutoniumot mo`e da se prika`e so slednava nuklearna reakcija:
Q++→ HeUPu 42
23292
23694 (1)
Edno jadro }e bide nestabilno koga }e se raspadne spontano (samo od sebe), bez da se donesuva energija od nadvor. So drugi zborovi, pri raspadot }e se oslobodi energija. Toa zna~i deka vrednosta na energijata Q koja {to }e se oslobodi vo reakcijata (1) mora da bide pozitivna. Taa iznesuva:
( ) 2HeUPu cMMMQ −−= (2)
kade {to 236Pu =M , 232U =M i 4He =M . Masite na soodvet-nite jadra iznesuvaat: uMm ⋅= PuPu (3)
uMm ⋅= UU (4)
i uMm ⋅= HeHe (5)
kade {to: kg 1067,1 27−⋅=u e unificiranata edinica za masa. So zamena na (3), (4) i (5) vo (2) dobivame:
( ) ucmmmQ /2HeUPu −−= (6)
Zamenata na brojnite vrednosti vo (6) dava: MeV 87,5=Q . Ovaa
vrednost e pozitivna, a toa zna~i deka jadroto Pu23694 e
nestabilno i mo`e spontano da se raspadne emituvaj}i α -~esti~ka.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
334
6. Da se najde rastojanieto koe {to treba da go izminat neutronite vo neutronski snop so energija eV 5 , ako e potrebno intenzitetot na snopot da se namali na edna polovina od po~etniot intenzitet. Polu`ivotot na neutronite iznesuva 12,8 minuti. Re{enie: Dadeno: Se bara:
eV 5=E , s 768min 12,821 ==T ?−d
Kineti~kata energija na neutronite iznesuva:
2
2υnmE = (1)
od kade {to za brzinata so koja {to tie se dvi`at se dobiva:
nm
E2=υ (2)
Zamenata na brojnite vrednosti vo (2) }e dade: skm 31=υ . Za
vreme s 768min 12,821 ==T , polovina od neutronite vo snopot }e
se raspadnat, pri {to negoviot intenzitet }e se namali na polovina od po~etniot intenzitet. Rastojanieto koe {to pritoa }e go izminat neraspadnatite neutroni iznesuva: 21Td υ= (3)
So zamena na (2) vo (3) dobivame:
nm
ETd
221= (4)
So zamena na brojnite vrednosti vo (4) se dobiva: km 800 23=d , {to e pribli`no ednakvo na ~etiri Zemjini radiusi.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
335
7. Fluks od α -~esti~ki koi {to imaat brzina sm 107=υ
bombardiraat olovna plo~a so volumen 3cm 9=V . Do koja tem-
peratura }e se zagree plo~ata, ako vo nea se zapiraat 1510 α -~esti~ki? Da se pretpostavi deka celata energija na dvi`eweto na α -~esti~kite se pretvora vo toplina.
Temperaturata na plo~ata pred eksperimentot bila C201o=t .
Masata na α -~esti~kite e kg 106,6 27−⋅=αm , gustinata na
olovoto -33 mkg 103,11 ⋅⋅=ρ , a specifi~niot toplinski
kapacitet na olovoto CkgJ 1013,0 -13 o⋅⋅⋅=c . Re{enie: Dadeno:
sm 107=υ , 363 m 109cm 9 −⋅==V , C201o=t , kg 106,6 27−⋅=αm ,
-33 mkg 103,11 ⋅⋅=ρ , CkgJ 1013,0 -13 o⋅⋅⋅=c , 1510=N Se bara: ?2 −t Kineti~kata energija na N α -~esti~ki iznesuva:
2
2υαmNE = (1)
Toplinata koja {to }e se oslobodi pri bombardiraweto na olovnata plo~a se presmetuva na sledniot na~in: ( )12Pb ttcmQ −= (2)
odnosno, bidej}i Vm ρ=Pb ravenkata (2) se prezapi{uva kako:
( )12 ttVcQ −= ρ (3) Spored uslovot na zada~ata, celata kineti~ka energija se pretvora vo toplina koja {to odi za zagrevawe na olovnata plo~a, odnosno:
( )12
2
2ttVc
mN −= ρυα (4)
od kade {to za temperaturata do koja {to }e se zagree olovnata plo~a se dobiva:
Vc
mNtt
ρυα
2
2
12 += (5)
odnosno: C6,2692o=t .
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
336
8. Kolkava e mo}nosta na nuklearna centrala, ako nejzinata dnevna potro{uva~ka na U235 iznesuva kg 22,0=m ?
Pri delba na edno jadro na uranium se osloboduva energija od MeV 2000 =E . Stepenot na korisno dejstvo na nuklearnata
centrala iznesuva %25=η . Re{enie: Dadeno: Se bara:
kg 22,0=m , MeV 2000 =E , 25,0%25 ==η ?−kP Korisnata mo}nost na centralata iznesuva: PPk η= (1) kade {to:
t
EP = (2)
e vkupnata mo}nost {to se osloboduva pri fisijata na celoto koli~estvo uranium. Vo (2) s 86400h 24 ==t (celodnevna potro{uva~ka), dodeka pak vkupnata energija {to se oslobo-duva pri fisijata na uraniumot iznesuva: 0NEE = (3) kade {to:
ANM
mN = (4)
e brojot na jadra na uranium koi {to se podelile. M e molarna masa na uranium. So zamena na (4) vo (3) dobivame:
0ENM
mE A= (5)
So zamena na (2) i (5) vo (1), za mo}nosta na centralata dobivame:
0ENMt
mP Ak η= (6)
odnosno: GW 28,0=kP .
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
337
*9. Da se proceni gustinata na nuklearnata materija kako i brojot na nukleonite vo edinica volumen. Kolkav }e bide radiusot na Zemjata, ako cela nejzina materija se zbie vo topka ~ija {to gustina bi bila ednakva na gustinata na nuklearnata materija? Radiusot na atomskoto jadro se presmetuva kako:
3115105,1 AR −⋅= kade {to A e maseniot broj na jadroto. Re{enie: Ako atomskoto jadro go smetame za sfera, toga{ negoviot volumen }e iznesuva:
π3
3
4RV = (1)
Zamenuvaj}i go vo (1) izrazot za radiusot na jadroto daden vo uslovot na zada~ata imame: AV 441044,1 −⋅= (2) Masata na atomskoto jadro se presmetuva kako: Aum = (3) kade {to u e unificiranata edinica za masa. Gustinata na nuklearnata materija iznesuva:
V
m=ρ (4)
Zamenuvaj}i gi (2) i (3) vo (4) dobivame: 317 mkg 1017,1 ⋅=ρ . Brojot na nukleonite vo edinica volumen iznesuva:
43107 ⋅==V
AN (5)
Volumenot na Zemjata koga celata nejzina materija bi se zbila vo topka so gustina ednakva na onaa dadena so (4) }e iznesuva:
πρ
3
3
4Z
Z RM
V == (6)
od kade {to za radiusot na Zemjata bi se dobilo:
34
3
ρπz
Z
MR = (7)
So zamena na brojnite vrednosti vo (7) zemaj}i za masata na
Zemjata vrednost kg 1096,5 24⋅=ZM , se dobiva: m 230=R .
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
338
10. Da se opredeli energijata na vrzuvawe i specifi~nata energija na vrzuvawe na jadroto na deuteron. Re{enie: Energijata na vrzuvawe na dadeno atomsko jadro so dadeni atomski Z i masen broj A se presmetuva na sledniot na~in: ( ) 2, cMZAB ⋅∆= (1) kade {to: ( ) ( ) np mZAZmZAmM −−−=∆ , (2)
e defekt na masa koj {to e rezultat na toa {to slobodnite nukleonite imaat pogolema energija odo{to koga istite tie bi formirale jadro (zatoa atomite se stabilni sistemi). Vo (2): ( ) ( ) uZAMZAm ⋅= ,, (3)
e masata na jadroto. Za jadroto na deuterium H21 va`i: 1=Z i
2=A . Negovata masa spored (3) iznesuva:
( ) um ⋅= 01355,2H21 (4)
Defektot na masa spored (2) iznesuva: ( )uM 01355,200866,100783,1 −+=∆ (5) odnosno: uM 00294,0=∆ . So zamena na ovaa vrednosti vo (1),
zemaj}i vo predvid deka MeV 48,9312 =uc , za energijata na
vrzuvawe se dobiva ( ) MeV 226,2H21 =B . Specifi~nata energija
na vrzuvawe se presmetuva na sledniot na~in:
( ) ( )A
B HH
212
1 =ε (6)
So zamena na brojnite vrednosti vo (6) se dobiva: ( ) MeV 113,1H2
1 =ε .
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
339
11. Da se najde razlikata vo energiite na vrzuvawe na
jadrata H3 i He3 , ako se poznati masite na jadrata:
( ) um ⋅= 01604940,3H3 i ( ) um ⋅= 016029940,3He3 . Zo{to se javuva ovaa razlika? Re{enie: Dadeno: Se bara:
( ) um ⋅= 01604940,3H3 , ( ) um ⋅= 016029940,3He3 ?−∆B Energijata na vrzuvawe na dadeno atomsko jadro so dadeni atomski Z i masen broj A se presmetuva kako: ( ) 2, cMZAB ⋅∆= (1) kade {to: ( ) ( ) np mZAZmZAmM −−−=∆ , (2)
e defektot na masata. So zamena na (2) vo (1) se dobiva slednata formula za presmetuvawe na energijata na vrzuvawe:
( ) ( ) ( )[ ] 2,, cmZAZmZAmZAB np ⋅−−−= (3)
Energiite na vrzuvawe za jadrata H3 i He3 iznesuvaat, soodvetno: ( ) ( )[ ] 233 H2H cmmmB np ⋅−+= (4)
i ( ) ( )[ ] 233 He2He cmmmB np ⋅−+= (5)
So zamena na brojnite vrednosti vo (4) i (5) dobivame:
( ) MeV 48,8H3 =B i ( ) MeV 72,7He3 =B . Razlikata vo energiite na vrzuvawe iznesuva:
( ) ( )HeH 33 BBB −=∆ (6) ili, so zamena na (4) i (5) vo (6):
( ) ( )[ ] 233 HeH cmmmmB pn ⋅−−−=∆ (7)
So zamena na brojnite vrednosti vo (7) se dobiva: MeV 76,0=∆B . Ovaa razlika se dol`i na faktot {to vo
jadroto He32 ima eden proton pove}e otkolku vo jadroto H3
1 . Toj proton predizvikuva pogolemo Kulonovo odbivawe pome|u nukleonite, a kako rezultat na toa e namalena energijata na vrzuvawe na jadroto.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
340
*12. Da se presmeta energijata na vrzuvawe na α -~esti~-kata, ako se dadeni masite na nukleonite i na
~esti~kata: ( ) umm p ⋅== 007276,1H11 , umn ⋅= 008665,1 i
( ) um ⋅= 001523,4He42 .
Re{enie: Dadeno:
( ) umm p ⋅== 007276,1H11 , umn ⋅= 008665,1 , ( ) um ⋅= 001523,4He4
2
Se bara:
( ) ?He42 −B
Energijata na vrzuvawe na dadeno atomsko jadro so dadeni atomski Z i masen broj A se presmetuva kako: ( ) 2, cMZAB ⋅∆= (1) kade {to: ( ) ( ) np mZAZmZAmM −−−=∆ , (2)
e defektot na masata. So zamena na (2) vo (1) se dobiva slednata formula za presmetuvawe na energijata na vrzuvawe:
( ) ( ) ( )[ ] 2,, cmZAZmZAmZAB np ⋅−−−= (3)
Energijata na vrzuvawe na jadroto He42 iznesuva:
( ) ( )[ ] 242
42 He22He cmmmB np ⋅−+= (4)
Specifi~nata energija na vrzuvawe pak, se presmetuva kako:
( ) ( )A
B HeHe
33 =ε (5)
kade {to 4=A , odnosno:
( ) ( )[ ]A
cmmm np
242
42 He22He ⋅−+=ε (6)
So zamena na brojnite vrednosti vo (6) dobivame:
( ) MeV 1,7He42 =ε (7)
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
341
*13. Dadena e slednata nuklearna reakcija: ( )BbaA ,
kade {to am , aE i bm , bE se masite i kineti~kite energii na
~esti~kite a i b , dodeka pak Am , 0=AE i Bm , BE se masite i kineti~kite energii na ~esti~kite A i B , soodvetno. Ako agolot pome|u pravcite na dvi`ewe na proektilot a i ~esti~kata b e θ , da se opredeli klasi~niot izraz za energijata Q na nuklearnata reakcija. Re{enie: Dadeno: Se bara:
am , aE , bm , bE , Am , 0=AE , Bm , BE , θ ?−Q
A
B
a
b
θ
Sl.1 Dijagramot na impulsite e daden na sl.2. Spored kosinusnata teorema sleduva:
θ
bpBp
ap
Sl.2 So zamena na (3), (5), (6) i (7) vo (4) se dobiva:
B
babaa
B
ab
B
b
m
EEmmE
m
mE
m
mQ
211
−−
+= (8)
Reakcijata e slednata: BbaA +→+ (1) Ravenkata koja {to go dava energet-skiot bilans na reakcijata (1) e sled-nata: Bba EEQE +=+ (2) Energijata na ~esti~kata B , spored ravenkata (2) iznesuva: baB EQEE −+= (3)
θcos2222babaB ppppp −+= (4)
Od druga strana, klasi~nite izrazi za impulsite na ~esti~kite koi {to u~estvuvaat vo reakcijata se sled-nite:
BBB Emp 2= (5)
aaa Emp 2= (6)
bbb Emp 2= (7)
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
342
*14. α -~esti~ka so energija MeV 3,5=αE ja
predizvikuva slednata nuklearna reakcija: ( ) C n, Be 126
94 α , ~ij
{to toploten efekt iznesuva MeV 7,5=Q . Da se opredeli kineti~kata energija na neutronot koj {to izlegol pod prav agol vo odnos na pravecot na dvi`ewe na α -~esti~kata. Re{enie: Dadeno: Se bara:
MeV 3,5=αE , MeV 7,5=Q ?−nE
Be
C
α
n
ααα υmp =
CCC mp υ=
nnn mp υ=
Sl.1 CCC mp υ= (3)
ααα υmp = (4)
i nnn mp υ= (5) So zamena na (3), (4) i (5) vo (2) se dobiva:
222222nnCC mmm υυυ αα += (6)
So zamena na (6) vo (1), vodej}i smetka deka:
2
2αα
αυm
E = i 2
2nn
n
mE
υ= (7)
za energijata na neutronite se dobiva:
C
C
1
1
m
m
Qm
mE
En
n
+
+
−
=
αα
(8)
odnosno: MeV 52,8=nE .
Od zakonot za zapazuvawe na energijata sleduva:
222
2CC
22 υυυαα mmQ
m nn +=+ (1)
Na sl.1 e prika`an dijagramot na impulsite od kade {to se gleda deka:
222C nppp += α (2)
Soodvetnite impulsi vo (2) izne-suvaat:
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
343
*15. So protoni ~ija {to energija e MeV 20=pE se
bombardira meta od Li73 . Da se opredeli agolot na izleguvawe
na dvete α -~esti~ki dobieni vo ovaa reakcija ~ija {to energija e MeV 2,17=Q . Re{enie: Dadeno: Se bara:
MeV 20=pE , MeV 2,17=Q ?−θ
Lip
α
θ
α
θ
Sl.1 Zakonot za zapazuvawe na impulsot, vo vektorska forma glasi:
αααα υυυ mmm pp += (3)
Proekcijata na (3) na oska ~ija {to nasoka se sovpa|a so nasokata na dvi`ewe na protonite glasi: θυυ αα cos2mm pp = (4)
Brzinata na protonot se presmetuva na sledniot na~in:
p
pp m
E2=υ (5)
Ako izrazite (2) i (4) gi zamenime vo (5), za agolot pod koj {to izletuvaat dvete α -~esti~ki }e dobieme:
QE
E
m
m
p
pp
+=
αϕ
2arccos (6)
Od zakonot za zapazuvawe na energijata sleduva:
QEm
p +=2
22ααυ
(1)
od kade {to za brzinata na α -~esti~kite se dobiva:
α
αυm
QE p += (2)
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
344
*16. Vo Vilsonova komora se nabquduva elasti~no
raseju-vawe na α -~esti~ka pod agol o30=θ vo odnos na upadniot pravec. So koe jadro se slu~il sudarot, ako toa izletalo pod istiot agol vo odnos na upadniot pravec kako i α -~esti~kata? Re{enie: Dadeno: Se bara:
o30=θ ?−xm
x
α
θθ
x
α x
y
Sl.1 Proekciite na ovaa vektorska ravenka na oskite od koordinatniot sistem prika`an na sl.1 glasat:
- na x -oskata: θυθυυ αααα coscos0 xxmmm += (2)
- na y -oskata: θυθυαα sinsin0 xxmm −= (3) Od ravenkata (3) sleduva: xxmm υυαα = (4) So zamena na izrazot (4) vo ravenkata (2) dobivame: θυυ αα cos20 = (5) Vo izrazot so koj {to e daden zakonot za zapazuvawe na energijata:
222
2220 xxmmm υυυ αααα += (6)
da go zamenime izrazot (5). ]e dobieme:
−=θ
υυ αα 22
02
cos4
11mm xx (7)
Ako ja kvadrirame ravenkata (4) od levo i desno }e dobieme:
Ako so 0αυ ja ozna~ime brzinata na α -~esti~kata pred sudarot, so αυ nejzinata brzina
posle sudarot i so xυ brzinata na baranata ~esti~ka, toga{ vektor-skata ravenka koja {to go pretstavuva zakonot za zapazu-vawe na impulsot glasi:
xxmmm υυυ αααα +=0 (1)
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
345
2222ααυυ mm xx = (8)
Od (5) sleduva:
θ
υυ αα 2
202
cos4= (9)
Izrazot (9) da go zamenime vo (8). Dobivame:
θ
υυ αα2
20
222
cos4
mm xx = (10)
So kombinirawe na relaciite (7) i (10) se dobiva:
−=θ
θα2
2
cos4
11cos4
xm
m (11)
Od ravenkata (11), za masata na nepoznatata ~esti~ka se dobi-va:
1cos4 2 −
=θ
αmmx (12)
So zamena na brojnite vrednosti vo (12) se dobiva: 2=xm , {to zna~i deka jadroto so koe {to se slu~il sudarot e jadroto na
deuterium H21 .
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
346
17. Procesot na radioaktivno raspa|awe na daden element trael za vreme t . Na po~etokot bile prisutni 0N jadra od toj element, a konstantata na raspadot e λ . a) da se opredeli brojot na jadra koi {to se raspadnale za vreme t ; b) da se opredeli periodot na poluraspad; v) kolkavo e srednoto vreme na `ivot? g) da se opredeli vremeto za koe {to se raspadnale 1N jadra. Re{enie: Dadeno: Se bara: t , λ , 0N , 1N a) ?−rN , b) ?21 −T , v) ?−τ , g) ?1 −t
a) Od zakonot za radioaktivno raspa|awe:
teNN λ−= 0 (1) kade {to N e brojot na jadra prisutni vo moment na vreme t , se opredeluva brojot na raspadnati jadra na sledniot na~in:
( )tr eNNNN λ−−=−= 100 (2)
b) Periodot na poluraspad se opredeluva kako:
λ
2ln21 =T (3)
v) Srednoto vreme na `ivot iznesuva:
2ln
1 21T==
λτ (4)
g) Ako vremeto za koe {to se raspadnale 1N jadra go
ozna~ime so 1t , toga{ spored (2) }e imame:
( )1101teNN λ−−= (5)
So logaritmirawe na dvete strani na ravenkata (5) se dobiva:
−=
10
01 ln
1
NN
Nt
λ
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
347
*18. Obrazec od par~e sve`o ise~eno drvo ima aktivnost 3,150 =A raspadi vo minuta, koja {to se dol`i na
raspa|awe na C14 . Sli~en obrazec, zemen od sarkofagot na
nekoj egipetski faraon dava 7=A raspadi vo minuta. Da se opredeli pred kolku godini e zakopan faraonot, ako se znae deka periodot na poluraspa|awe na C14 iznesuva 557021 =T
godini. Da se navedat najmalku tri aproksimacii koi {to se koristat vo zada~ata. Re{enie: Dadeno: Se bara:
-110 s 25,0min3,15 == −A , -11 s 11,0min7 == −A , a 557021 =T ?−t
Aktivnosta na daden radioaktiven element se presmetuva na sledniot na~in: NA λ= (1) Spored zakonot za radioaktivno raspa|awe, taa se menuva so tekot na vremeto na sledniot na~in:
teAA λ−= 0 (2)
kade {to 0A e aktivnosta na elementot vo po~etniot moment na vreme. Spored uslovot na zada~ata, za po~etna aktivnost
0A na jaglerodot se smeta onaa koja {to ja ima par~e sve`o ise~eno drvo, dodeka aktivnosta koja {to ja ima jaglerodot od sarkofagot na faraonot e A . Spored (2), ako se zeme vo predvid deka va`i:
21
2ln
T=λ (3)
za vremeto za koe {to traelo raspa|aweto na jaglerodot (starosta na sarkofagot) se dobiva:
A
ATt 021
ln2ln
= (3)
So zamena na brojnite vrednosti vo (3) se dobiva 6283=t godi-ni. Pri re{avaweto na zada~ata se napraveni nekolku aproksimacii: aktivnosta na elementot se meri so relativna to~nost; samiot zakon za radioaktivno raspa|awe se koristi pribli`no za ne mnogu golemi vremiwa; sporna e i koncentra-cijata na 2CO vo vozduhot vo vremeto koga e zakopan faraonot.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
348
*19. Rezultatite od mereweto na aktivnosta na
izotopot Cr5524 na krajot od petminutni intervali se: 19,2; 7,13;
2,65; 0,99 i 0,37mCi . Da se opredeli vremeto na polu`ivot na ovoj element. Re{enie: Aktivnosta na daden radioaktiven element opa|a so tekot na vremeto na sledniot na~in:
teAA λ−= 0 (1) So logaritmirawe na dvete strani na ravenkata (1), dobivame: tAA λ−= 0lnln (2) od kade {to se gleda deka Aln e linearna funkcija od vremeto t . Spored podatocite dadeni vo uslovot na zada~ata, mo`e da se napravi tabelata 1. Ako grafi~ki se pretstavi zavisnosta
( )mCiA Aln ( )mint
19,2 2,95 0 7,13 1,96 5 2,65 0,97 10 0,99 -0,01 15 0,37 -0,09 20
Tabela 1
Aln
t100 15 205
1
2
3
Sl.1 So zamena na (4) vo (5) se dobiva: min 6,421 =T .
)(ln tA , se dobiva grafikot prika`an na sl.1. Koefici-entot na pravecot na pravata na sl.1 iznesuva: λα −== tgk (1) kade {to α e agolot koj {to pravata go zafa}a so pozi-tivniot del na x0 -oskata. Da go presmetame ovoj koefici-ent po grafi~ki pat:
( )200
09,095,2
−−−=k (2)
odnosno: 152,0−=k (3) Od (1) i (3) za konstantata na radioaktivno raspa|awe se dobiva: -1min 152,0=λ (4) Periodot na polu`ivot na ovoj element iznesuva:
λ
2ln21 =T (5)
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
349
20. Kolkava e aktivnosta na g 1 Ra226 ~ij {to period na
poluraspa|awe iznesuva 162221 =T godini?
Re{enie: Dadeno: Se bara:
kg 10g 1 -3==m , s 108,9a 1622 1021 ⋅==T ?−A
Aktivnosta na radiumot se presmetuva na sledniot na~in: NA λ= (1) kade {to:
21
2ln
T=λ (2)
e konstantata na radioaktivno raspa|awe, a: AnNN = (3) e brojot na radiumovi atomi prisutni vo daden moment. Koli~estvoto na ovie atomi iznesuva:
M
mn = (4)
kade {to molg 226=M e molarnata masa na radiumot. So zamena na (4) vo (3), za brojot na atomite imame:
ANM
mN = (5)
kade {to AN e Avogadroviot broj. So zamena na (2) i (5) vo (1). dobivame:
ANM
m
TA
21
2ln= (6)
So zamena na brojnite vrednosti vo (6), za aktivnosta na g 1
Ra226 se dobiva: 10107,3 ⋅=A raspa|awa vo sekunda. Ovaa
aktivnost e iskoristena za definirawe na edinicata Kiri, odnosno: -110 s 107,3Ci1 ⋅= , {to zna~i deka Ci1 e aktivnost koja {to ja ima eden gram uranium-236.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
350
21. Se pretpostavuva deka starosta na Zemjata e okolu
102 9⋅ godini. Najdolgove~niot izotop na Tc99 ima period na
poluraspa|awe 521 1012,2 ⋅=T godini. Da se opredeli koj del od
vkupnoto koli~estvo na ovoj element, koe {to se nao|alo vo Zemjata u{te pri nejzinoto formirawe, ostanal do denes? Re{enie: Dadeno: Se bara:
a 102 9⋅=t , a 1012,2 521 ⋅=T ?/ 0 −NN
Spored zakonot za radioaktivno raspa|awe imame:
teNN λ−= 0 (1)
kade {to N e brojot na jadra na Tc99 prisutni vo moment na vreme t (denes), mo`eme da go opredelime brojot na jadra prisutni vo momentot na formirawe na Zemjata:
tNeN λ=0 (2) odnosno, ako se zeme vo predvid deka:
21
2ln
T=λ (3)
ravenkata (3) pominuva vo:
⋅=21
02ln
expT
tNN (4)
Ako pretpostavime deka denes ostanalo samo edno edinstveno
jadro na Tc99 ( 1=N ), toga{ za brojot na prisutni jadra vo momentot na formirawe na Zemjata od (4) bi dobile:
⋅=21
02ln
expT
tN (5)
odnosno: 28400 10=N . Ova e ogromen broj jadra. Za ilustracija,
tolku atomi nema nitu vo vselenata. Vakviot rezultat proizleguva od pretpostavkata deka denes ostanalo barem
edno jadro na Tc99 . Toa zna~i deka Tc99 odamna se raspadnal, taka {to deneska pove}e ne postoi.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
351
*22. Vo krvta na ~ovek se vnesuva 3cm 1 rastvor {to
sodr`i radioaktiven Na24 so aktivnost -10 s 2000=A , namenet
za medicinski ispituvawa. Aktivnosta na 3cm 1 krv zemena
posle 5 ~asa bila -1min 16000=A . Da se opredeli volumenot na krvta vo ~ove~koto telo, ako se znae deka periodot na
poluraspa|awe na Na24 iznesuva 15 ~asovi. Re{enie: Dadeno: Se bara:
30 cm 1=V , -1
0 s 2000=A , -1s 7,266=A , h 5=t , h 1521 =T ?−V
Vkupnata aktivnost na krvta so volumen V vo ~ove~koto telo vedna{ po vnesuvaweto na radioaktiven preparat so volumen 0V i aktivnost 0A iznesuva:
V
VAA 00
1 = (1)
Ovaa aktivnost }e opa|a so tekot na vremeto, taka {to posle vreme t }e iznesuva:
teAA λ−= 1 (2) kade {to:
21
2ln
T=λ (3)
So koristewe na (1) i (3), ravenkata (2) se prezapi{uva na sledniot na~in:
−= t
TV
VAA
21
00 2lnexp (4)
Od (4), za volumenot na krvta vo ~ove~koto telo vo koe {to e vnesen radioaktivniot preparat se dobiva:
−= t
TA
VAV
21
00 2lnexp (5)
So zamena na brojnite vrednosti vo (5) dobivame: 3cm 5952=V .
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
352
23. Kolkavo koli~estvo uraniumova ruda e potrebno za da se dobie g 5,172 Ra234 , ako rudata sodr`i 0,3% U226 ?
Periodite na poluraspa|awe na uraniumot i radiumot
iznesuvaat 1620Ra =T godini i 5U 107,2 ⋅=T godini, soodvetno.
Re{enie: Dadeno: Se bara:
g 5,172Ra =m , a 1620Ra =T , a 107,2 5U ⋅=T , mm 003,0U = ?−m
Zakonot za radioaktivna ramnote`a glasi: RaRaUU NN λλ = (1) kade {to za brojot na atomi na radiumot i uraniumot va`i soodvetno:
ANM
mN
U
UU = (2)
i ANM
mN
Ra
RaRa = (3)
Vo (2) i (3) molg 234U =M i molg 226Ra =M se molarnite masi na uraniumot i radiumot. Konstantite na radioaktivno raspa|awe iznesuvaat:
U
U2ln
T=λ i
RaRa
2ln
T=λ (4)
So zamena na (2), (3) i (4) vo (1) dobivame:
AA NM
m
TN
M
m
T Ra
Ra
RaU
U
U
2ln2ln = (5)
Spored uslovot na zada~ata: mm 003,0U = (6) kade {to so m ja ozna~ivme masata na rudata. Od (5) i (6) sleduva:
RaRa
UURa
003,0
1
MT
MTmm = (7)
Zamenata na brojnite vrednosti vo (7) dava: kg 29=m .
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
353
24. Da se presmeta periodot na poluraspa|awe na
radioaktivniot izotop Po210 , ako e poznato deka g 1=m od toj izotop za vreme od edna godina, po pat na radioaktivno
raspa|awe sozdava 3cm 90=V helium pri normalni uslovi ( Pa 101325=p , K 273=T ). Re{enie: Dadeno:
kg 10g 1 -3==m , 353 m 109cm 90 −⋅==V , Pa 101325=p , K 273=T Se bara: ?21 −T
Od zakonot za radioaktivno raspa|awe:
teNN λ−= 0 (1) za brojot na raspadnati jadra dobivame:
( )teNNNN λ−−=−=∆ 100 (2) Koli~estvoto na ovie jadra se presmetuva kako:
M
m
N
Nn
A
=∆= (3)
i spored (2) iznesuva:
( )teM
mn λ−−= 1 (4)
So zamena na (4) vo Klapejronovata ravenka: nRTpV = (5) se dobiva:
( )teRTM
mpV λ−−= 1 (6)
Logaritmiraj}i gi dvete strani na ravenkata (6) i re{avaj}i ja po konstantata λ , vodej}i smetka deka λ/2ln21 =T , dobivame:
−
⋅=
pVMmRT
mRT
tT
ln
2ln21 (7)
So zamena na brojnite vrednosti vo (7) se dobiva: 387,021 =T
godini.
Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________
354
*25. Da se presmeta kolku atomi na radon }e se raspadnat za vremeto koe {to e potrebno da se raspadne eden atom na aktinium. Po~etnite koli~ini na aktinium i radon se
ednakvi i iznesuvaat 710 atomi. Periodot na poluraspa|awe na aktiniumot e 5,13Ac =T godini, dodeka pak periodot na
poluraspa|awe na radonot e 825,3Ra =T denovi. Re{enie: Dadeno: Se bara:
70 10=N , s 10 4,25a 5,13 8
Ac ⋅==T , s 103,3 d 825,3 5Ra ⋅==T ?−∆N
Od zakonot za radioaktivno raspa|awe na aktiniumot:
teNN Ac0
λ−= (1) kade {to:
Ac
Ac2ln
T=λ (2)
se opredeluva brojot na raspadnati jadra:
( )teNN λ−−=∆ 101 (3)
Spored uslovot na zada~ata: 11 =∆N , od kade {to (3), so zemawe vo predvid na (2), pominuva vo:
−=− t
TNN
Ac00
2lnexp1 (4)
Od (4), za vremeto za koe {to }e se raspadne edniot atom na aktinium se dobiva:
1
lnln2 0
0Ac
−=
N
NTt (5)
Brojot na raspadnati jadra na radon za ova vreme }e iznesuva:
( )teNN Ra10λ−−=∆ (6)
kade {to: AcAc 2ln T=λ (7) So zamena na (5) i (7) vo (6) dobivame:
−−−=∆
1lnexp1
0
0
Ra
Ac0 N
N
T
TNN (8)
So zamena na brojnite vrednosti vo (7) se dobiva: 128=∆N .