6/3Forrige uke :
Euklidsle geometrid : bestor aw
NGL - NG 6 t. P
Epp
- l Flo m s . a.
PEM ogmlll .
Vi vis 're fundamental tecremet forform line trekanker
F AB DE
+. ⇒-
-
F-
A B D E
og Pytagoras teooeon.
visa ogsie pao Ceua 's Korean ogEuler linjekoreenet .
Nao : ( Aksiomatisle )Hyperbolsk geometridAksiomer : NGL - NG 6 t HPP
HPP : F m og n S.a.
PEM,PE n og
Mlle ,n Ill
.
Modeller eksisterer,
men vi ventermed ie student disease
.
Hush at Mpp = 7 Epp.
Sie ethoeatutsagn ekuioalent med EPP er falshti hyper bolsh geometric .
G. I Basisteoremer
Teooem 6.I
.I
For enhoer trek cent SABC,sat er
O ( SABC ) L 180 ?
Sao,
enhveo trekant SABC has
defekt Os Of SABC ) L 1800 . ( korollar6. 1.2 )
Teoreon G. 1.3
For en her horrocks firhant DABCD
er O ( D ABCD ) a 3600.
D C
Kosovar 6. 1.4
Toppuinklene i saccharinfirlcanten er L 900
.
A B
Korol Lar 6. 1,5
Den fierce uinkelen T Ifhambert - firucenben er a go
.
¥ .
Teo rem 6. 1.6
Det eksisbeoer ihke nekton get .
D cLiteenemnanibitat
- truanter lenglen aw sider
Mellon to neltuinklet
Streng t mind re enn lenglen7 r
aw mots alt side.
A B
Beoiso ha DABCD Veere en Lambert .
vegfirhant .
Anta at hiornene A, Bogo
er reltoinklede.
Vi skol vise Bcs AD.
VE vet at BCE AD ( Teorem 4.8.11 ),Sao
of mad vise at BEAD erumulig .
Deosom BC = AD ,Sao er DABCD
en saccharin - fir hunt.
Free Teorem 4.8.10
oil da L BAD I L CDA.
Det betyrat alle uinklene E o ABCD mailer
900,sie DAB CD er et relctangel .
Men, rehtangler I steerer ihhefteoemb.ve )
SE CB # AD, Og falgelig '
hat of CBL AD.
DD a Definisjon 6. 1.8
ha DABCD cecere ent.it garish.io: anti ,T¥.A E B
segmented soon nobler
midtpunhtet pie DJ ( F ) med midtpunlcbetpal ART ( E ) halles hoyden til
DABCD ( DF ).
Koro Var 6. 1.9
Hayden i en Saccheri - firhant erHorten end hoyden til de to Silene
.
Kosovar 6.1.10
heusden aotoppsegmenteti en Sacher E -
firhant er starve enn lengden ao
grunnsegmeabet.
I hyperbolsh geometries form likeEnchanter leongruente .
yTeoreem 6. 1.1 ( VVV )Person bi hair to \trekcenter SABC og SDEFSca
.
SABC n SDEF,
sat
SABC Is DEF.
Bevis o ha SABC 0cg DDEF
Vane to form like trekcenter.Visualwise at SABC IS DEF
.
Huis bare en air Silene i SABCer hongruent med tilsuaoende sidei SDEF
, Folger result atet our Vsv.
Vi antar at AB # DE , BC # EFog
ACF DF ( RAA ) .
Tre sammenligninger som han gao tonier,sie to mad gao i sammie retiring .
Vi han anta AB > DEog AC > DF
.
velg B' pie FB S.a
. AB'
= DE, og
Cl poi AT S.a.
A C'
= DF.
8TI i
.Ate is :O :c :*
it en uonoeksfirhant
og DAB 'C ' I SDEF ceo SVS
.
Sao L AB 'd I L DEF OYL A C' B' ELDFE.
Sider CBB 'C'
er supplement til LAB 'C
'
og LCC 'B til LAC '
B,SE
Folger Iet at OCD BCC 'B' ) -
- 360°.
Delete motsier teovem 6. 1.3,sie
Ui mao forhaske RAA hypotheses ogkonklucleoe med at minst en
ao silene i SABC er hongruentmed tilsuarende side i DDEF
.
Resultant folger da Vsv.
D
6. 2 Fellers normal er
Paralleled linger lean ha uarierendecustard free hoer Andre :
Teovem 6. 2.1
Person Loren linie og P er eteksterntpunht , og m er en liniesee
.PEM
,sci eksrsteoer Iet maws
et annet punht Q see. QE m og
d ( Q , e) = d ( P ,e )
.
Beviso
ha l og m
were to alike tinier .
m
Anta at det eksisteaer -d
one puncher P, Q og R
see P, Q ,R E m og
# t
dfp , e) = d (Q , e) =D ( R , e) IRA A hyp obese ).
ha P'
,Q
'
,R ' were
skiceringspunhtene pie l .Rmtil normal ene force f If f
,P
, Q og R- p l
P, Q ,
R E l ettersom DCP, e) so
.
Sci mist to ao BQ og R bigger palSomme side aol.cpianse.pe . postulated )
.
ha Oss si at det er Pogo .
Da er OPP ' Q' Q en sacckeri - firkant ,
sao lllm ( Teorem 4.8.10 ) , og allede Ere punkkene P
,Q ,R moi Liggepa
Somme side Ceo l.
Vi antar P*Q * R.
Da er
DPP ' Q' Q og D QQ ' R' R begcgeSaccheri - firhanter
.
Sci vinklene I QQ'
og CR QQ'
er 2900 ( Koro Har G. 1.4 ) ,men Iet
motsier Iet faktum at de er
supplemented ( UKPQQ ' )tM( CRQQ ' ) -
. 1804
SE RAA hypobesen moi for hastes, og
deemed sie finals Iet ihke wealive punht palm som er like( angt free do
D
Def .
6. 2.2
hiniene l og m hair en feltes normaldersom F en linie n see
.
ht m ogn Ll
.
Person log m har eh
Fellers normal n,
sci oil n kryssel I P
og m i Q,
huor POTer feltes normal segmented til l og m
.
# m
Tpeorem6. 2.3
ersom l og m er
parallelle linger og F- lto punht palm som
er line langt frail,
da hair l og m en feltes normal.
Hint : Sacchercofirhanter.
Teoreon 6. 2.4Person to tinier hair en fellas normal
sci er den unite.
Hint : Rektangleo eksistererihhe.
Teorem 6. 2.5
ha e og m Vane to parallelle tiniersom skives our en transversal t
.
Alternerende indie winkler form et air
I og m med t er honugruenbehuis og bare hw is l og m hair
en fellas normal og t skicererf elles normal segmented i midtpunhtet dens
.
me FEI ftaeesmhntoetnaesegment.
I
Q
