Deligne sur Grothendieck

8/10/2019 Deligne sur Grothendieck

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Quelques idees matresses deluvre de A. Grothendieck

Pierre Deligne

Resume

Cet article tente dexpliquer quatre concepts mathematiques fon-

damentaux crees par Grothendieck : les schemas, les topos, lessix operations et les motifs.

Abstract

We try to explain four fundamental ideas invented by Grothendieck:schemes, topos, the six operations and motives.

DansRecoltes et Semailles(troisieme partie), Grothendieck ecrit : Prenons par exemple la tache de demontrer un theoreme qui reste hypo-

thetique (a quoi, pour certains, semblerait se reduire le travail mathematique).

Je vois deux approches extremes pour sy prendre. Lune est celle du marteauet du burin, quand le probleme pose est vu comme une grosse noix, dure etlisse, dont il sagit datteindre linterieur, la chair nourriciere protegee par lacoque. Le principe est simple : on pose le tranchant du burin contre la coque,et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits differents,jusqua ce que la coque se casse et on est content. [. . .]

Je pourrais illustrer la deuxieme approche, en gardant limage de la noixquil sagit douvrir. La premiere parabole qui mest venue a lesprit tantot,cest quon plonge la noix dans un liquide emollient, de leau simplementpourquoi pas, de temps en temps on frotte pour quelle penetre mieux, pourle reste on laisse faire le temps. La coque sassouplit au fil des semaines et

des mois quand le temps est mur, une pression de la main suffit, la coqueAMS 1991 Mathematics Subject Classification: 01A65, 14-03

Institute for Advanced Study, School of Mathematics, Princeton, N.J. 08540, USA

SOCIETE MATHEMATIQUE DE FRANCE 1998


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souvre comme celle dun avocat mur a point ! Ou encore, on laisse murir lanoix sous le soleil et sous la pluie et peut-etre aussi sous les gelees de lhiver.Quand le temps est mur cest une pousse delicate sortie de la substantifique

chair qui aura perce la coque, comme en se jouant ou pour mieux dire, lacoque se sera ouverte delle-meme, pour lui laisser passage. [. . .]Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec certains de mes travaux

naura aucune difficulte a reconnatre lequel de ces deux modes dapprocheest le mien . [1985, p. 552553]

Un peu plus loin [Ibid. p. 554, note ()], Grothendieck met en avantquatre exemples : Riemann-Roch, structure du1premier a la caracteristiquepour les courbes, rationalite des fonctionsL pour les schemas de type fini surun corps fini et theoreme de reduction semi-stable pour les varietes abeliennes.

Je me rappelle mon effarement, en 1965-66 apres lexpose de Grothendieck[SGA 5] prouvant le theoreme de changement de base pour Rf! : devissages,devissages, rien ne semble se passer et pourtant a la fin de lexpose un theoreme

clairement non trivial est la.Bien des idees de Grothendieck nous sont devenues si familieres, sont si

parfaitement adequates a leur objet, que nous oublions quelles etaient loindetre evidentes a leur naissance, que nous oublions meme leur auteur. Monbut dans cet article est de decrire quatre de ces idees : schemas, topos, sixoperations, motifs.

1. Schemas

Linvention des schemas est la premiere des idees de Grothendieck a la-quelle on pense, peut-etre parce quelle a ete la plus vite acceptee. Lexpose deSerre a Stockholm (1962) commence par : Je voudrais exposer ici quelquesuns des developpements recents de la geometrie algebrique. Je dois preciserque je prends ce dernier terme au sens qui est devenu le sien depuis quelquesannees : celui de la theorie des schemas. Cette acceptation a ete facilitee parla parution rapide, grace a la collaboration de Dieudonne, des EGA.

Laudace de la definition de Grothendieck est daccepter que toutanneaucommutatif (a unite) A definisse un schema affine Spec(A), i.e. de ne paschercher a se limiter a une categorie de bons anneaux (integres, reduits,noetheriens,. . .). Ceci a un prix. Les points de Spec(A) (ideaux premiers deA)nont pas un sens geometrique maniable, et le faisceau structural O nest pasun faisceau de fonctions. Quand on a a construire un schema, on ne commence

pas en general par construire lensemble de ses points.Plus important peut-etre : le parti pris de batir une theorie relative, dont

SEMINAIRES ET CONGRES 3


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QUELQUES IDEES MAITRESSES DE LUVRE DE A. GROTHENDIECK 13

temoigne lomnipresent

X

f

S

des exposes de Grothendieck. Le cas classique dune variete definie sur uncorpsk devient le cas particulier S= Spec(k). Dans une theorie relative, avecun S-schema X (= schema X sur S), i.e. avec un morphisme de schemasf: X S, on considere systematiquement le schemaX deduit de Xpar unchangement de base u : S S, i.e. le produit fibre X := S SX et saprojection f surS :

X X

S S

Dans la categorie des schemas, les produits fibres existent toujours : sipermettre que tout anneau commutatif definisse un schema affine donne droitde cite a des schemasbizarres, le permettre fournit une categoriede schemasayant de bonnes proprietes.

Une propriete de X sur S sera dite geometriquesi elle a de bonnes pro-prietes dinvariance par changement de base. Analogue classique : pour unevarieteXdefinie sur un corpsk, lensemble des points deXsur une extensionalgebrique close de k(par exemple : domaine universel de Weil) est considerecomme geometrique , lensemble desk-points etant arithmetique .

SiXest un schema surS, et queu : S Sest un morphisme de schemas,

un S

-point p deXest un morphisme de S-schemas :

X

S

p

S

On note X(S) lensemble de S-points de X. Il sidentifie a lensemble dessections de X S.

Exemple 1.1. Soit X le schema affine sur un corps k defini par desequations P(X1, . . . , X n) = 0 :

X= Spec(k[X1, . . . , X n] / (P)).



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Soit k une k-algebre. Lensemble X(k) := X(Spec(k)) est lensemble dessolutions danskn des equationsP= 0. Pour k

une extension algebriquementclose dek, cest lensembleX() que Weil regarde comme sous-jacent aX.

Exemple 1.2. Le schema GLNsur Spec(Z) est tel que pour tout anneaucommutatifA (automatiquement une Z-algebre : Spec(A) est un schema surSpec(Z)), GLN(Spec(A)) est GLN(A).

Dans ces exemples, lintuition geometrique quon a de X, schema sur S,est bien refletee dans X(S). Mieux que dans lensemble sous-jacent aX. Dansle cas de lexemple 1.2., cet ensemble sous-jacent nest pas un groupe, alorsque chaque GLN(S

) lest. Plus precisement, il est utile dattacher au schemaX sur S le foncteur contravariant des S-schemas dans les ensembles

S ensembleX(S) des S-points deX.

Dans la categorie de S-schemas, il sagit simplement du foncteur repre-

sentablehX: S

Hom(S, X)

attache a X. Dapres le lemme de Yoneda, le foncteur X hX est pleine-ment fidele. Plutot que de penser a un S-schema Xcomme etant un espaceannele, muni de X S, avec des proprietes convenables, il est souvent com-mode dy penser comme etant un foncteur

S-points : (Schemas/S)0 (Ens),

qui a la vertu detre representable. Quand on veut definir un espace fin demodules , la premiere etape est de definir le foncteur correspondant. Typi-

quement, definir ce foncteur requiert une theorie relative.Exemple 1.3. Soit Xprojectif sur un corps k. Question : que signifie : espace de module des sous-schemas fermes deX ? Pouru : S Spec(k),soit X sur S deduit de X par changement de base. Soit H(S) lensembledes sous-schemas fermes Y deX, plats surS (plats de presentation finie, sion ne veut pas supposer S noetherien). Reponse : cest un schema Hib(X)representant le foncteur S H(S).

Pour etre viable, ce point de vue requiert quon dispose de methodes pourverifier si un foncteur est representable. La plupart des exposes de FGA sontconsacres a ce probleme. Une solution definitive, prolongeant ces travaux, aete obtenue par M. Artin [1969] tout au moins si on accepte de remplacer la

categorie des schemas par celle, plus naturelle, des espaces algebriques. Plusnaturelle : au meme sens que la topologie etale est plus naturelle que celle deZariski.



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2. Topos

Soitu : S Sun morphisme de schemas, le

morphisme de changement

de base

. La theorie de la descente [Grothendieck FGA, Seminaire Bourbaki190, 1959-60] considere des problemes des types suivants. Descente de pro-prietes : soitXun schema sur SetX surS deduit de Xpar changement debase. Supposons que X/S ait une propriete P. Peut-on conclure que X/Sverifie P? Descente de morphismes : soient X, Y sur S, X, Y deduits parchangement de base et g : X Y un morphisme de S-schemas. Quand g

provient-il par changement de base de g : X Y ? Descente dobjets : soitX sur S. Quelle est la donnee de descentesur S requise pour construireXsur SdontX se deduise par changement de base ?

Si S est la somme disjointe des ouverts (Ui)iI dun recouvrement deS, le changement de base a S est essentiellement la restriction a chaqueUi, et les problemes precedents sont des problemes de localisation sur S etde recollement. Recoller exige typiquement la consideration des intersectionsdeux a deux des Ui Uj, et en termes de u : S

S, la somme disjointe desUi Uj est simplement le produit fibre S

SS.

La theorie des topos permet de transposer en theorie de la descente lintui-tion topologique. Pouru : S S, un morphisme de changement de base duntype considere en theorie de la descente, par exemple fidelement plat et quasi-compact (fpqc), le changement de base de S a S devient une localisation.Une donnee de descente est lanalogue dune donnee de recollement.

Un antecedent a la theorie de la descente est la descente galoisienne, cor-respondant aS, spectre dun corpsketS, spectre dune extension galoisienne.Ici,SSS

est somme de copies deS indexees par Gal(k/k). Les demonstra-

tions, et en particulier la theorie de Galois, sont toutefois plus simples dans lecadre plus general de la theorie de la descente. Selon un mot de Cartier : Gro-thendieck prouve la theorie de Galois, et la descente galoisienne, par descentegaloisienne.

Loutil quest la theorie des topos a permis la construction de la cohomolo-gie etale des schemas, et cest la son succes le mieux connu. Un faisceau sur Xpour la topologie de Zariski est un foncteur contravariant de la categorie desouverts de Zariski deXdans celles des ensembles, avec une condition de recol-lement pour (Ui)iI, un recouvrement ouvert de Zariski de U. En topologieetale, le site Zariskien, considere plus haut, est remplace par le site etale : la ca-tegorie des ouverts de Zariski est remplacee par celle desf: U X etales sur

X, et les recouvrements par les familles couvrantes (Ui)iI: un morphisme sur-jectif de schema surXde la somme disjointe des Ui dansU. Un antecedent :lintroduction par Serre de la notion despace principal homogene isotrivial



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(= localement trivial pour une topologie proche de la topologie etale). Dansses articles a Kansas [1955] et au Tohoku [1957], Grothendieck avait montreque, une categorie de faisceaux etant donnee, une notion de groupes de coho-

mologie en resulte. La topologie etale fournit ainsi la cohomologie etale. Queles groupes H1 obtenus soient raisonnables nest pas surprenant. Le miracleest que les Hi superieurs soient eux aussi raisonnables.

Pour Grothendieck, limportance de la Theorie des topos depasse de beau-coup le seul cas de la topologie etale. Le titre donne a SGA 4 en est temoin :

Theorie des topos et cohomologie etale des schemas

.

Autres applications :

(A) Cohomologie cristalline. La cohomologie cristalline est celle du toposcristallin, et cette definition rend claire sa fonctorialite. Le topos cristallin esttoutefois dusage delicat et il est souvent necessaire de passer a une interpre-

tation en termes de complexes de de Rham.

(B) Espaces rigides analytiques. Les faisceaux rigides analytiques de Tatesont des faisceaux coherents sur un topos annele convenable, et leur cohomo-logie la cohomologie correspondante.

(C) Feuilletages.Une varieteXmunie dun feuilletage Fdefinit un quo-tient X/F, qui est un topos localement isomorphe a celui des faisceaux surune variete. Ce point de vue semble avoir ete eclipse par celui de Connes quiassocie plutot a F une C-algebre non commutative.

Jaimerais encore mentionner lusage de

gros

sites (topos) par Gro-thendieck, notamment pour interpreter des espaces classifiants.

3. Les six operations

Le formalisme des six operations presuppose celui des categories derivees.Pour un historique de ce dernier, je renvoie au texte de Illusie [1990]. Idee debase : pour toutes sortes de groupes de cohomologie, leur definition fournit nonseulement ces groupes, mais encore un complexe Kdont ils sont les groupesde cohomologie. Typiquement, ce complexe nest pas uniquement determine,mais il lest a quasi-isomorphisme pres : pour deux variantes K, K de K,

on dispose de K et de morphismes K K K induisant des isomor-phismes en cohomologie. Dans la categorie derivee, Ken devient unique aisomorphisme unique pres.



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Cest a cette occasion que Grothendieck a invente la notion de categorietannakienne, developpee dans la these de Saavedra [1972]. Il sagissait de for-maliser la notion de produit tensoriel de motifs, correspondant par la formule

de Kunneth au produit de varietes.Meme si la theorie des motifs na pas atteint son but original, son influencea ete grande. Je renvoie a la conference de Seattle sur les motifs [Jannsen et al.,1994] pour un panorama de ses applications.

Bibliographie

Une bibliographie de Grothendieck est donnee au debut de son Festschrift [Cartieret al. 1990, p. xiiixx].

Autres sources : lintroduction, et larticle de J. Dieudonne : De lanalyse fonc-tionnelle aux fondements de la geometrie algebrique , dans ce meme Festschrift(p. 114), les exposes aux congres internationaux de mathematiciens de J.-P. Serre

(Stockholm 1962) : Geometrie algebrique (p. 190196), J. Dieudonne (Moscou1966) : Les travaux de Alexander Grothendieck (p. 2124), et, pour Riemann-Roch et les groupes de Grothendieck, celui de H. Cartan (Moscou 1966) : Luvrede Michael F. Atiyah (p. 914).

Artin (M.)

[1969] Algebraization of formal moduli I, dansGlobal Analysis (Papers in honorof K. Kodaira), Tokyo : Univ. Tokyo Press, 1969, p. 2171.

Cartier (P.), Illusie (L.), Katz (N.M.) et al., ed.

[1990] The Grothendieck Festschrift, vol. I, vol. 86 de Progress in Mathematics.Boston : Birkhauser.

Grothendieck (A.)[1955] A general theory of fibre spaces with structure sheaf. University of Kansas,

1955.

[1957] Sur quelques points dalgebre homologique, Tohoku Math J., 9 (1957),p. 119221.

[1963] Residus et dualite, prenotes pour un seminaire Hartshorne , manuscrit.Voir Hartshorne [1966].

[1969] Standard conjectures on algebraic cycles,Algebraic Geometry(Coll. TataInst., 1968), Oxford Univ. Press, (1969), p. 193199.

[1985] Recoltes et Semailles : Reflexions et temoignage sur un passe de mathe-maticien, Montpellier : Univ. Sci. et Tech. Languedoc et CNRS, 1985.

[EGA] Elements de Geometrie Algebrique. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32. En collaboration avec J. Dieudonne.



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[FGA] Fondements de la Geometrie Algebrique. Extraits du seminaire Bourbaki19571962 : seminaires 149, 182, 190, 195, 212, 221, 232, et 236.

[SGA] Seminaire de Geometrie Algebrique du BoisMarie. Le seminaire SGA 5 :

Cohomologie -adique et FonctionsL (1965-66) a ete finalement publie :vol. 589 des Lecture Notes in Math., Berlin-Heidelberg : Springer, 1977.

Hartshorne (R.)

[1966] Residues and duality, vol. 20 des Lecture Notes in Math., Berlin-Heidelberg : Springer, 1966.

Illusie (L.)

[1990] Categories derivees et dualite, travaux de J.-L. Verdier, Enseign. math.,36 (1990), p. 369-391.

Jannsen (U.), Kleiman (S.) and Serre (J.-P.), ed.

[1994] Motives, vol. 55 des Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Pro-vidence : Amer. Math. Soc., 1991.

Saavedra (N.)

[1972] Categories tannakiennes, vol. 265 des Lecture Notes in Math., Berlin-Heidelberg : Springer, 1972.

Serre (J.-P.)

[1960] Analogues kahleriens de certaines conjectures de Weil, Ann. of Math., 71(1960), p. 392-394; uvres, vol. II. Berlin-Heidelberg : Springer, 1986,p. 1-3.



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Naissance des fibres et homotopieBeno Eckmann

Home is where one starts from. As one grows older

the world becomes stranger, the pattern more complicated

of dead and living

T.S. Eliot

Resume

Il sagit dun episode de lhistoire des mathematiques bien deli-mite dans son sujet et dans le temps : les origines de la theoriehomotopique des espaces fibres, de 1935 a 1950 environ (les de-buts de la theorie des fibres vectoriels, avec groupe de structure,etc. ne sont pas abordes). Durant cette periode, la combinaisondes idees de Hurewicz sur les groupes dhomotopie avec la no-

tion de fibre suggeree par les fibrations de Hopf a livre unefoule de resultats inattendus. Beaucoup de developpements ulte-rieurs dune importance fondamentale en topologie, en algebre etau-dela, trouvent leur origine dans cet episode.

Abstract

This is about an episode in the history of mathematics, very muchrestricted in content and in time: the origins of the homotopytheory of fibre spaces, roughly from 1935 to 1950 (the beginningsof the theory of vector bundles fibre bundles, structure group,etc. are not treated). During that period, the combination ofHurewiczs ideas concerning homotopy groups with the concept

of fibre space suggested by the Hopf fibrations has led to a great

AMS 1991 Mathematics Subject Classification: 01A60, 55-03Forschungsinstitut fur Mathematik, ETH-Zentrum, Ch8092 Zurich, Suisse



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22 B. ECKMANN

number of unexpected results. Many later developments of fun-damental importance in topology, algebra, and mathematics ingeneral have their origin in this episode.

Dans cet expose je traite un episode de lhistoire des mathematiques biendelimite dans son sujet et dans le temps : les origines de la theorie homotopiquedes espaces fibres, de 1935 a 1950 environ. Je le raconte plus ou moins commeje lai vecu moi-meme donc de facon assez personnelle.

Deux avertissements :

1. Les debuts de la theorie des fibres vectoriels (avec groupe de structure, fibre bundles , sphere bundles ) qui datent a peu pres de la memeperiode, ne seront pas abordes. Je me borne aux resultats et problemeslies a lhomotopie.

2. En parlant de nous je pense dun cote au groupe des eleves de Heinz

Hopf, de lautre aux trois auteurs ou groupe dauteurs qui ont deve-loppe independamment le sujet, les communications ayant ete interrom-pues par la guerre : Ehresmann et Feldbau [1941], Hurewicz et Steenrod[1941], et moi-meme [Eckmann 1941-42a]. Quant aux references jai lachance de pouvoir utiliser la bibliographie de louvrage monumental deDieudonne : A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960[Dieudonne 1989].

Les debuts etaient simples. Nous avons realise que lon pouvait combinerles idees de Hurewicz [1935, 1936] sur les groupes dhomotopie avec la notionde fibre suggeree par les fibrations de Hopf [1935]. Il en sortait une foule de

resultats nouveaux et de problemes interessants. On peut dire que beaucoupde developpements ulterieurs en topologie, algebre et dans bien dautres dis-ciplines ont leur origine dans cet episode ; ils ont cree un reseau toujours pluscomplexe de disciplines et de relations entre elles tout en contribuant alunite des mathematiques.

1. Fibrations de Hopf et generalisation

1.1. Le terme fibration au sens de cet expose apparat pour la pre-miere fois en 1935 dans le memoire de

Uber die Abbildungen von Spharenauf Spharen niedrigerer Dimension

. En annexe on trouve les

fibrations de



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NAISSANCE DES FIBRES ET HOMOTOPIE 23

Hopf de spheres en spheres

p: S2n+1 CPn, fibre S1

p: S

4n+3

H

P

n

, fibre S

3

p: S15 OP1, fibre S7

Elles sobtiennent en representant la sphere par des coordonnees z0, z1,...,zn,respectivement nombres complexes, quaternions, et octonions (nombres deCayley), et en passant aux coordonnees homogenes z0 :z1 :... : zn. CP

n estlespace projectif complexe, HPn lespace projectif quaternionien, et OP1 ladroite projective des octonions dans ce dernier cas, seul n= 1 est possiblepuisque les octonions ne sont pas associatifs. Le casn = 1 donne les fibrationsS3S2 etS7S4 etS15S8. La projection p est une application conti-nue, et la preimage p1(x) dun point x est S1, S3, S7 respectivement. Ainsiles spheres en question sont decomposees de facon tres speciale en spheres S1,

S3, ou S7.

1.2. Sans en avoir donne une definition, Hopf appelait simplement cesdecompositions des fibrations. Cette expression avait ete utilisee auparavantpar Seifert [1932] dans un cas assez particulier concernant les varietes a 3dimensions, ou interviennent des fibres

exceptionnelles

; ce concept estreste interessant jusqua ce jour. Peu apres nous avons remarque quil sagissaitdune situation que lon rencontrait en geometrie dans beaucoup dautres cas :on etait en presence dune application continue p : EB ou toutes lespreimages p1(b) = Fb, b B sont homeomorphes entre elles, et ou chaquepoint b B a un voisinage U tel que p1(U) est homeomorphe, grace a p, aU Fb. On dit que Eest un espace fibre (localement trivial), B est la base,p la projection, et les Fb sont les fibres, homeomorphes a une fibre-typeF.

1.3.Exemples typiques :

1. E est lespace des vecteurs tangents unites dune variete differentiableB de dimension n (munie dune metrique riemannienne), Fb lensembledes vecteurs tangents unites en b,F=Sn1.

2. Eest un groupe de Lie, F un sous-groupe ferme, B lespace homogenecorrespondant.

3. E=Vn,m, (m n), lespace des m-reperes orthonormes dans Rn, B =

Vn,m1 obtenu en omettant le dernier vecteur, et F =Snm. Analogue

unitaire dans Cn, et dautres obtenus en remplacant m 1 par m k.

4. Cas particulier de 2) et 3). E=U(n), F =U(n 1) et B = S2n1, etde maniere analogue pour les groupes orthogonaux.



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24 B. ECKMANN

Dans tous ces cas la projection pest lapplication evidente.

2. Groupes dhomotopie

En 1935 egalement, puis en 1936, apparaissaient les Notes de Hurewicz

Beitrage zur Topologie der Deformationen

. Il fut vite evident quil sagis-sait dune chose tres differente de ce quon avait fait auparavant en topologiealgebrique (dite

combinatoire

a lepoque) a lexception du groupe fonda-mental dont les groupes dhomotopie n(X), n = 1, 2, 3,... etaient, bien sur,une generalisation. Deja inventes parCech [1932], ces groupes etaient redefiniset utilises par Hurewicz avec des resultats inattendus. Dautre part ils nousapparurent, un peu plus tard, merveilleusement adaptes aux fibrations pourles questions homotopiques.

2.1.Rappelons dabord rapidement les definitions. On considere des es-pacesX pointes, cest-a-dire munis dun point-basex0. Les applications ainsi

que les homotopies sont continues et pointees (respectant les point-bases). Leselements de n(X) sont les classes dhomotopie des applications S

nX, lepoint-base de Sn etant s0. Soit h une application standard du cube unite I

n

dansSn qui est un homeomorphisme de linterieur deIn surSns0et qui en-voie le bord In deIn surs0; par lintermediaire de h on peut identifiern(X)a lensemble des classes dhomotopie In, InX, x0. En choisissant une direc-tion distinguee on decompose In enI1In1. Loperation de groupe est alorsdefinie parf+gcomme suit :I= {0 t 1} est divise en I1= {0 t 1/2}etI2 = {1/2 t 1}. On comprime alors f surI

11 I

n1 etg surI12 In1

et lon obtient f+g. Pour n = 1 cest bien laddition (non-commutative engeneral) du groupe fondamental1(X). La definition est compatible avec leshomotopies, et les axiomes de groupe se verifient exactement comme pour1(X). En particulier, lelement neutre est la classe de lapplication constante(sur le point-base). De facon generale, quel que soit lespace quon appliquedans X, une application de cette classe est dite

homotope a zero

. Poursimplifier la presentation je me permets de ne pas toujours distinguer entreune application fet sa classe dhomotopie.

Une application h : XY induit, par composition SnXY, unhomomorphisme h : n(X)n(Y). On voit facilement que pour un re-vetement XXles groupes dhomotopie n(X) et n(X) sont isomorphespourn 2. Par exemplen(S

1) =n(R) = 0 pourn 2. Dautres proprietes

elementaires : i(Sn) = 0 pour i < n (par approximation simpliciale on estdans Sn s0 qui est contractile), et i(X Y) = i(X) i(Y). Si X estsimplement connexe, alors lhomotopie pointee est equivalente a lhomotopie



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libre.

2.2. Si X est un H-espace, c.-a-d. un espace muni dune multiplicationnotee x x, continue avec element neutre e a homotopie pres, on constate

sans peine que(f1+ f2) (g1+ g2) =f1 g1+ f2 g2,

toujours a homotopie pres. Dou, e etant lapplication constante,

(f+ e) (e + g) =f+ g= f g,

(e + g) (f+ e) =f+ g= g f.

Il sensuit que f+gpeut etre donne par la multiplication dans X, et que f+g=g+ f. Ainsi pour un groupe topologique G, 1(G) est abelien ce qui etaitbien connu avant. Mais de facon generale, pourX arbitraire, les applicationsIn, InX, x0 peuvent etre identifiees aux applications I

n1, In1X, x0

ou X est lespace des applications I, IX, x0 (lespace des lacets de X enx0). On a donc n(X) = n1(X) pour n 2. Mais X est un Hespacepar la composition des lacets.

Les groupes dhomotopie n(X) sont donc abeliens pour tout X et pourtoutn 2. On dit que pour cette raison, lorsque ces groupes furent presentespar Cech en 1932, on ne croyait pas quils pourraient etre interessants.

2.3.Deux miracles :

1. Avec surprise nous avions constate que lon pouvait donner une de-monstration tres simple et transparente du fait que

n(Sn) = Z,

lisomorphisme etant donne en associant a f : SnSn son degre. En effet,par les methodes dapproximation simpliciale on voit sans peine que le degreest un invariant dhomotopie, et que lon a :

a) lapplication degre : n(Sn)Zest un homomorphisme, et

b)n(Sn) est engendre par lidentite (degre = 1).

En dautres termes, on retrouve le theoreme de Hopf [1933] qui dit quedeux applications SnSn ayant meme degre sont homotopes.

2. A laide de la suite exacte des fibrations, dont il sera question dans lasection suivante, on constate que

3(S2) = Z,

engendre par la fibration de HopfS3S2. Donc, en particulier, il existe uneinfinite dapplications non-homotopes S3S2. Ce fait avait ete etabli en



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Sif=pf et sifest homotope ag, alors il existeg :XE, homotopeaf, telle queg= pg.

Autrement dit : Toute application dans B homotope a une projection

est une projection. En particulier, toute application homotope a zero est uneprojection .

3.2.Un element de n(B) peut etre represente par une application f deIn dans B telle que le bord de In, qui est une sphere Sn1, est envoye surle point-base. Comme In est contractile, f est une projection f = pf ou f

appliqueIn dansEet son bordSn1 dansF. Toutes les classes dapplicationsf de ce type deIn dansE, avec laddition analogue a celle den(E), formentle groupe dhomotopie relatif n(Emod F) de E modulo F. Il est appliquepar p dans n(B), et ce qui vient detre dit montre que p est surjectif ;linjectivite decoule immediatement du Lemme. On a donc

n(Emod F) =n(B).

Lhomomorphisme est alors defini par le passage de f : InB a f ci-

dessus suivi de la restriction de f aSn1.Le fait que la suite longue est exacte se verifie facilement dans chacune des

trois etapes. Par exemple, si pour f :SnEon a pf= 0 alors lhomotpiea zero de pfse releve et fest homotope a une application SnF, donc estune image par i. Je laisse au lecteur le soin dexaminer ce qui ce passe enpetite dimension.

3.3.Tout cela nous paraissait evident, en particulier le Lemme. Mais na-turellement il y avait quelque-chose a demontrer, moyennant une hypothesea verifier dans les exemples interessants.

Lhypothese que javais choisie etait celle dune retraction. On suppose quetoutb B possede un voisinageU(b) tel quil existe une retractionR(x, b) dep1(U(b)) sur Fb dependant continument deb :

R(x, b) Fbpour tout x p1(U(b)), R(x, b) =x si x Fb.

Dans les exemples tres concrets mentionnes en 1.3.,E, BetFsont des varietesdifferentiables ; on peut les munir dune metrique riemannienne et construirefacilement une telle retraction a laide des geodesiques orthogonales a chaquefibre.

Si une retraction R(x, b) est donnee, on choisit y Fb et on pose, pourtout b U(b)

t(b

) =R(y, b

).Alors t est une application de U(b) dans Equi est un homeomorphisme deU(b) sur un ensemble V(y) transversal aux fibres Fb. Ce relevement dun



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28 B. ECKMANN

voisinage autour dun point y arbitraire permet de relever morceau parmorceau une homotopie et de demontrer ainsi le Lemme.

Remarque 3.2. Pour etablir le Lemme et la suite exacte dhomotopie

il suffit de considerer une application p : EB, dappeler fibres lesimages inversesp1(b), et de supposer lexistence dune retractionR(x, b) ; ilnest pas necessaire quil sagisse dun fibre localement trivial au sens de 1.2..Serre [1951] est alle encore plus loin et a seulement suppose lexistence dunrelevement pour les applications InB.

4. Resultats

Le Lemme et la suite exacte dhomotopie etablis, les resultats tombaientdu ciel ! Les cas immediats etaient simplement bases sur ce qui etait connu,de facon elementaire, sur les groupes dhomotopie des spheres : i(S

1) = 0

pouri 2, i(Sn) = 0 pour i < n, etn(Sn) = Zpour tout n 1.

4.1.Les fibrations de HopfS3S2 avec fibreS1, S7S4 avec fibreS3,etS15S8 avec fibreS7, donnent

3(S2) = Z, 7(S

4) Z,et 15(S8) Z,

le generateur de Zcorrespondant a la projection.

4.2.Les fibrations S2k+1CPk,k 1 avec fibre S1 donnent

2(CPk) = Z,et i(CP

k) =i(S2k+1), i >2.

4.3.Les fibrations U(n)S2n

1 avec fibreU(n 1) donnent

s((U(n))) =s(U(s+ 1

2 )), n

s + 1

2 pours = impair,

s(U(n)) =s(U(s+ 2

2 )), n

s + 2

2 pours = pair.

Cest ce que lon appela plus tard la stabilite des s((U n)). Pour les pre-mieres valeurs de s les groupes stables sobtenaient facilement : 1(U(n)) =1((U(1)) = Z,engendre par lidentiteS

1U(1). Pours = 2 on a

2(U(n)) =2(U(2)) =2(SU(2)) =2(S3) = 0,

et pour s = 3 de facon analogue

3(U(n)) =3(S3) = Z, n 2.



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Pour s > 3 cela saverait bien plus difficile. En examinant de tres preslhomomorphisme dans la suite exacte de la fibration en question jarrivais[Eckmann 1941-42b] a determiner 4= 0 et 5= Z.

4.4. Le Lemme sapplique, naturellement, non seulement aux groupesdhomotopie, mais egalement a toutes sortes de questions dhomotopie pourles applications de X dans la base B dune fibration EB. Consideronstrois exemples :

a) X=In. Alors toute application f :InB est une projection pf. Ceresultat presque trivial dans le cas de la fibration 3) dans 1.3. parat etre lapremiere consequence du Lemme pour un probleme danalyse (theoreme deWazewski, mentionne dans [Eckmann 1941-42a] : completer une matrice reelleorthogonale n (m 1), m < n, qui est une fonction continue dans In, parune ligne supplementaire).

b) X = B et f = identite. Un relevement de f sappelle une section

de la fibration ; les champs de vecteurs ou de reperes tangents a une varieteen constituent un cas particulier. De la suite exacte on deduit une conditionnecessaire pour lexistence dune section : lesn(E) se decomposent en sommedirecte de n(B) et de n(F). On arrive ainsi a etablir des cas interessantsde non-existence de sections. Dans Eckmann [194243a] jai montre, a laidedarguments plus compliques adaptes a ce cas, que les spheres de dimension4k+ 1, k > 0 nadmettent pas deux champs de vecteurs tangents unite etorthogonaux.

c) On appelle essentielle une applicationf :XYtelle que toute appli-cation homotope afest surjective. Dapres le Lemme on voit que si lidentitede E est essentielle alors il en est de meme pour la projectionEB. Toutes

les fibrations dans1.3.

en fournissent des exemples, puisqueEest une varietecompacte sans bord et que lapplication identique est de degre 1.

Bien sur, non seulement les resultats tombaient du ciel, mais aussi les pro-blemes. Les exemples ci-dessus le montrent clairement. Citons simplement quela determination des groupes dhomotopie stables des groupes unitaires, pours >5, et du nombre maximum de champs de vecteurs tangents orthonormauxsur une sphere restait ouverte.

5. Equivalence dhomotopie, espaces aspheriques

5.1.On ne peut pas citer les Notes de Hurewicz [1935] sans parler des es-

paces aspheriques. Les espaces consideres etaient des complexes cellulaires(a lepoque simpliciaux) ; X est dit aspherique si n(X) = 0 pour toutn 2. Pour de tels espaces X et Y, Hurewicz montre par induction sur



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les n-squelettes de X quea) Si f etg: XY induisent les memes homomorphismes

f= g: 1(X)1(Y)

des groupes fondamentaux, alors f etg sont homotopes.b) Pour tout homomorphisme h : 1(X)1(Y) il existe f : XY

telle que f= h.Dou :c) Si 1(X) et 1(Y) sont isomorphes, alors il existe f : XY et

g : YX telles que gf et f g sont homotopes a lidentite de X et de Yrespectivement. On est ainsi amene a la notion dequivalence dhomotopie.

De facon generale, pour des espaces X et Y (non necessairement asphe-riques) une applicationf :XY telle quil existe g :YXcomme dansc) ci-dessus est diteequivalence dhomotopie. On dit dans ce cas aussi que Xet

Y ont meme type dhomotopie (notation X Y). Il est clair quil sagit dunegeneralisation, tres importante, de la notion dhomeomorphisme. Une equiva-lence dhomotopie f : XY induit des isomorphismes f : nXnYpour tout n 1 ; et de meme pour lhomologie.

Pour un espace aspheriqueXon a donc les resultats suivants :Le type dhomotopie de X est completement determine par son groupe

fondamental.En particulier, tous les groupes dhomologie deXsont determi-nes par le groupe fondamental de X. Si le groupe fondamental dun espaceaspherique est trivial, alorsX point, c.-a-d. Xest contractile.

5.2.Des raisonnements analogues sappliquent a des espaces aspheriquesen dimension n > N. Il suffit de modifier legerement a) et b) dans 5.1. ci

dessus : il sagit alors dapplications des Nsquelettes de X etY ; et dans a)fnest pas necessairement homotope ag, mais a une application qui concideavec gsur le (N1)squelette deX. On en deduit que les groupes dhomologieHi(X), i < N sont determines par 1(X). Il nen est pas ainsi, en general,pourHN(X) ; mais le groupe quotientH

N deHNmodulo le sousgroupe deselements spheriques (representes par des cycles images de spheres) de Xest determine par le groupe fondamental.

Plus generalement, si i(X) = 0 pour i < k et k < i < N, alors Hi(X),pouri < N etHN(X) sont determines par k(X).

5.3.Le resume ci-dessus ne correspond pas exactement a ce quil y a dansles Notes de Hurewicz a ce sujet. Dun cote elles vont bien plus loin (homo-

morphisme de Hurewicz, etc.), et de lautre je les ai depassees un peu dans5.2. mais a lepoque deja il etait clair que les idees sappliquaient de cettefacon plus generale. Je voudrais ainsi non seulement souligner limportance



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des idees de Hurewicz, mais aussi preparer une application typique et concreteaux fibrations.

6. Fibrations de spheres en tores

6.1. Je considere [Eckmann et al. 1949] une fibration SnB dont lafibre est un tore Ts a s dimensions, n > 2 et s 1. On voit facilement quele cas n= 2, s = 1 nest pas possible. La fibration est supposee suffisammentreguliere pour que le Lemme et ses consequences (Section 3) sappliquent. Lasuite exacte dhomotopie donne

1(B) = 0, 2(B) =1(Ts) = Zs,

i(B) = 0 pour 2< i < n.

On desire comparer B a un espace Y connu ayant memes groupes dho-motopie que ci-dessus. On choisit Y egal au produit topologique de s copiesde CPm avec m suffisamment grand ; il suffit (voir 4.2.) dutiliser la suitedhomotopie de la fibration a) dans 1.1.pour constater quon a les i desires,et meme = 0 un peu au-dela de n.

Dapres 5.2.on a alors pour les groupes dhomologie

Hi(B) =Hi(Y) pouri < n

etHn(B) =H

n(Y) =Hn(Y).

La dimension de B etantn s, il sensuit que Hn

(Y) = 0,donc que n estimpair (CPm, doncYa de lhomologie = 0 si et seulement si on est dans unedimension paire). Comme alors Hn1(Y) = 0, s doit etre egal a 1.

La sphereSn peut etre fibree en tores Ts seulement sin est impair et sis= 1. Et dans ce cas on a la fibration de Hopf.

6.2.On retrouve ainsi le resultat bien connu : siSn est un groupe de Lie,alors son rang (la dimension des sous-groupes abeliens maximaux) doit etreegal a 1. Mais la methode geometrique va plus loin [Samelson 1940] :

Si Sn, n > 1, est un groupe de Lie, donc de rang 1, les sous-groupes aun parametre, homeomorphes a S1 sont tous conjugues entre eux. Commeils sont determines par la tangente en lelement neutre, leur ensemble peut

etre identifie a lespace projectif reel RPn1 ; dautre part il sidentifie auxclasses de Sn modulo le normalisateur N(S1) dun des sous-groupes S1. Cenormalisateur est forme par un nombre fini de copies de S1. On a donc une



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fibration SnRPn1 qui donne lieu a une suite exacte ou le i de la baseest egal ai(S

n1) et le i de la fibre egal a i(S1). En particulier, la suite

2(S1)2(S

n)2(Sn1)1(S

1)1(Sn)

etant exacte, il sensuit que2(Sn1) =1(S

1) = Z, doun1 = 2 etn = 3 :Les seules spheres qui puissent etre des groupes de Lie sontS1 etS3.

7. Et apres ?

On peut tracer linfluence de cet episode sur presque toutes les disciplinesmathematiques jusqua nos jours (cela pourrait probablement se dire de toutesles idees qui etaient nouvelles il y a longtemps). Suivre les relations mutuellesentre les differentes tendances, ecoles et modes serait une tache fascinante

mais tres difficile. Ny a-t-il pas des idees et des methodes tres a la mode,importantes pour un cercle de problemes, qui disparaissent tout a coup pourrenatre plus tard dans un autre contexte ? The pattern becomes more andmore complicated of dead and living .

Je me borne a mentionner ici une liste de developpements directement liesa ce que je viens de decrire plus haut, et qui ont eu lieu immediatement apresou meme pendant cet episode. Il ne sagit que dallusions sommaires.

7.1. Groupes dhomotopie des spheres. Les resultats de 4.1. concernentdes cas de n(S

m) avec n = 2m1 ou il y a un terme Z. Dautres cassemblables etaient connus. Mais en 1950, Serre [1951] a demontre des resultatssensationnels sur les n(S

m) pour n > m : Ces groupes sont toujours finis a

lexception du cas m pair et n= 2m 1 ou cest une somme directe de Z etdun groupe fini. Mais autrement le domaine des n(S

m) est trop vaste pouretre aborde ici de facon plus generale ( suspension de Freudenthal [1937],groupes dhomotopie stables des spheres).

7.2. Espaces dEilenberg-MacLaneK(G, n). Eilenberg et MacLane [1943,1945b] ont examine des espaces aveci = 0 pour i =n. Dapres 5.2. le typedhomotopie dun tel espace est determine par n et par n = G, abelien sin >1. Ces espaces jouent un role universel pour lhomologie, la cohomologie,et pour toutes les operations. Lexistence pour un G donne a ete etablie parWhitehead [1949].

7.3.Homologie et cohomologie des groupes, algebre homologique. Lhomo-logie dun espace aspherique etant determinee par son groupe fondamentalG qui peut etre donne arbitrairement des methodes algebriques ont tout de



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suite ete developpees pour les calculer a partir de G. Cest ainsi que la (co)-homologie des groupes est nee, et avec elle lalgebre homologique beaucoupplus generale.

7.4. Type dhomotopie. Des les annees 40, J.H.C. Whitehead a montrequune application f : XY qui induit des isomorphismes de tous lesgroupes dhomotopie est une equivalence dhomotopie. Il a ameliore la de-monstration plus tard en creant la notion de CW-complexe [WhiteheadWorksIII, p. 95-105].

7.5. Categories et foncteurs. Eilenberg et MacLane [1942, 1945a] ont rea-lise que les idees generales derriere les notions dequivalence dhomotopie,disomorphismes naturels , etc., ont une signification beaucoup plus pro-fonde. Au debut, leur theorie des categories, foncteurs, et equivalences natu-relles semblait etre juste un langage precis, mais on en a degage plus tard lastructure mathematique, aussi fondamentale quutile.

7.6. Spheres parallelisables. Une variete de dimension n, differentiable (etmunie dune metrique riemannienne) est dite parallelisable si elle admet unchamp continu de n-reperes orthonormes tangents. Dapres 4.4. les spheresS4k+1 avec k > 0 ne sont certainement pas parallelisables. Kervaire [1958],Bott et Milnor [1958] ont demontre queSn est parallelisable (si et) seulementsi n= 1, 3, ou 7. Ce resultat se deduira plus tard tres simplement du celebretheoreme dAdams [1960]. Adams [1962] a determine le nombre maximumexactk tel queSn possede un k-repere tangent.

7.7. Groupes dhomotopie stables des groupes unitaires.Les resultats tresincomplets de 4.3.ont ete peu a peu ameliores. Le probleme se trouvait com-

pletement resolu par Bott [1956] a laide de methodes subtiles de geometriedifferentielle : n(U(m)) = Z pour n impair, m

n+12

, et = 0 pour n pairet m n+2

2 . Cest la periodicite de Bott (resultat analogue mais plus

complique pour les groupes orthogonaux). Cette solution geometrique a eudes consequences enormes (K-theorie topologique, foncteurs cohomologiquesgeneraux).

7.8. Une remarque personnelle a propos du dernier point : javais consi-dere des les premiers calculs les applications f lineaires de Sn dans U(m),c.-a-d. de la forme f(x) =

xjAj ou les Aj sont des matrices m m. Il

sensuit que les Aj sont des matrices unitaires de Hurwitz-Radon [Hur-witz 1923, Radon 1922, Eckmann 194243b] ; reciproquement tout systeme de

n+ 1 matrices de Hurwitz-Radon donne une application lineaire de Sn dansU(m). Javais conjecture que, dans le domaine stable, chaque classe dhomo-topie contient une telle application lineaire, et que si une application lineaire



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[1994] Hurwitz-Radon matrices revisited : From effective solution of the Hurwitzmatrix equation to Bott periodicity,The Hilton symposium 1993. Topicsin topology theory, CRM Proceedings and Lecture Notes, 6, Providence :Amer. Math. Soc., 1994, p. 2335.

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36 B. ECKMANN

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Hyperbolic Equations in theTwentieth Century

Lars Garding

Abstract

The subject began with Huygenss theory of wave fronts asenvelopes of smoother waves, and subsequent work by Euler,dAlembert and Riemann. Singularities at the wave fronts werenot understood before Hadamards theory of partie finie atthe beginning of this century. Contributions by Herglotz andPetrovsky and the theory of distributions created in the forties byLaurent Schwartz greatly illuminated the study of singularitiesof solutions of hyperbolic PDEs. Solutions of Cauchys problemgiven by Hadamard, Schauder, Petrovsky, and the author are dis-cussed. More recently, microlocal analysis, initiated by M. Satoand L. Hormander led to important advances in understandingthe propagation of singularities. Functional analysis togetherwith distributions and microlocal analysis are expected to be

useful well into the next century.

Resume

Le sujet debute avec la theorie de Huygens qui considere lesfronts donde comme des enveloppes dondes plus regulieres, etse poursuit par les travaux de Euler, dAlembert et Riemann.Les singularites des fronts donde nont pas ete comprises avantla theorie de la partie finie de Hadamard au debut de cesiecle. Les contributions de Herglotz, Petrovsky et dans les an-nees quarante, la theorie des distributions de Laurent Schwartzont eclaire letude des singularites des solutions des EDP hyper-

boliques. On passe en revue les solutions au probleme de Cauchy

AMS 1991 Mathematics Subject Classification: 01A60, 35-03, 46-03Dept. of Mathematics, Univ. of Lund, Box 118, S22100 Lund, Sweden



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38 L. GARDING

donnees par Hadamard, Schauder, Petrovsky et lauteur. Plus re-cemment, lanalyse microlocale de M. Sato et L. Hormander apermis de grandes avancees dans la comprehension de la propa-gation des singularites. Lanalyse fonctionnelle, les distributions

et lanalyse microlocale seront certainement des outils importantsdu prochain siecle.

1. Introduction

The first example of a hyperbolic equation was the wave equation

utt u= 0.

In one space variable n, the solutions describe free movements with velocity

1 in a perfectly elastic medium. A nonlinear version appears in one dimen-sional hydrodynamics. Riemanns 1860 treatment was later completed by theRankine-Hugoniot jump conditions and conditions of entropy. Further exam-ples of hyperbolic equations and systems appeared in the theory of electricityand magnetism and elasticity.

Originally, the adjective hyperbolic marked the connection between thewave equation and a hyperbolic conoid. When applied to general partial dif-ferential operators or systems the term now indicates that one of the variablesis time t = t(x) and that the solutions of the system describe wave propa-gation with finite velocity in all directions. More precisely, the solutionu ofCauchys problem with no source function and with data given for t = const.should have the property that the value ofu at a point depends continuouslyon the values of the data and their derivatives in a compact set. For an oper-ator P(D) with constant coefficients this means that there is a fundamentalsolution E(x), i.e. a distribution such that P(D)E(x) =(x), whose supportis contained in a proper, closed cone.

In the first half of the twentieth century, local existence by classical ana-lysis of solutions to Cauchys problem for hyperbolic equations with smoothdata was the main problem. Soon after, functional analysis and distributionscame into play and the introduction around 1970 of pseudodifferential op-erators and microlocal analysis of distributions was followed by a period ofimportant results on the propagation of singularities, both free and under re-flection in a boundary. Later this study was extended to nonlinear equations.

Another question, latent during the period, is the problem of global existenceof solutions for nonlinear equations close to linear ones. It took a new turnwith the study of blow-up times by Fritz John.



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40 L. GARDING

His operator is the wave operator with smooth, variable coefficients and hasthe form

(3.1) L(x, x) = ajk (x)j k+ lower termswhere the metric form

ajk jk has Lorentz signature +, .... A direction

for which the inverse metric form is positive, zero or negative is said to betime-like, light-like and space-like respectively. Surfaces with time-like andspace-like normals are said to be space-like and time-like respectively. Thelight rays are the geodesics of length zero. A time function t(x) with t(x)time-like is given.

The light rays with a positive time direction issued from a point y consti-tute the forward light coneCy with its vertex at y . Inside this light cone, thefundamental solution with its pole at y has the same form as in the ellipticcase

(3.2) f(x, y)d(x, y)2n

where f is a smooth function and d is the geodesic distance between x andy. The difficulty is that d(x, y) = 0 when x Cy. The partie finie canbe said to be a renormalization procedure which extends this formula forn odd to a distribution which is also a fundamental solution. For n even,Hadamard uses what is called the method of descent. In the work by M.Riesz [1949] the exponent 2 n of (3.2) is replaced by n where isa complex paramater. At the same time f is made to depend on and adenominator (/2)((+ 2 n)/2) is introduced. The stage is then set foran analytical continuation with respect to . In this way and for selfadjoint

operators L, Riesz constructs kernels of the complex powers ofL.In his case, Hadamard could give a complete local solution of Cauchys

problem with data on a space-like surface, but the corresponding mixed prob-lem with reflection in a time-like surface presented insurmountable difficulties.

4. Friedrichs-Lewy energy density, existence proofs

by Schauder and Petrovsky

The discovery of Friedrichs and Lewy [1928] that 1uu with u real is thedivergence of a tensor with a positive energy density on space-like surfacesproduced both uniqueness results and a priorienergy estimates, decisive for

the later development.A great step forward was taken by Schauder [1935, 1936a,b] who proved

local existence of solutions of Cauchys problem and also the mixed problem



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HYPERBOLIC EQUATIONS IN THE TWENTIETH CENTURY 41

for quasilinear wave operators. The method is to use approximations star-ting from the case of analytic coefficients and analytic data. The successof these papers depends on stable energy estimates derived from the energy

tensor and the use of the fact that square integrable functions with squareintegrable derivatives up to order nform a ring under multiplication.3

Only a year after Schauder, Petrovsky [1937] extended his results forCauchys problem to strongly hyperbolic systems, in the simplest case

(4.1) ut+

n1

Ak(t, x)uk+ Bu = v, uk =u/xk,

and the corresponding quasilinear versions. Here the coefficients are squarematrices of order m and the strong hyperbolicity with respect to the timevariable t means that all m velocities c given by

(4.2) det(cI+

kAk(t, x)) = 0

are real and separate for all real = 0. The method is that of Schauderstarting from the analytic case, but Petrovsky had to find his own energyestimate. For this he used the Fourier transform, but the essential point is tobe found in thirty rather impenetrable pages. Note that if the system (4.1) issymmetric, i.e., the matrices Ak are Hermitian symmetric, then (4.2) holdsexcept that the velocities need not be separate. Moreover,

t|u(t, x)|2 +

k(Aku(t, x), u(t, x)) =O(|u(t, x)|2 + |u(t, x)||v(t, x)|)

under suitable conditions on the coefficients. Hence the proper energy densityon t= const is here simply |u(t, x)|2dx.

Petrovskys paper was followed by a study [Petrovsky 1938] of conditionsfor the continuity of Cauchys problem for operators whose coefficients dependonly on time.

5. Fundamental solutions, Herglotz and

Petrovsky

Herglotz [1926-28] and Petrovsky [1945] used the Fourier transform to con-struct fundamental solutions E(P,t,x) for constant coefficient homogeneous

differential operatorsP =P(t, x) of degreem which are strongly hyperbolicwith respect to t. Every such fundamental solutionE is analytic outside a

3Soon after, Sobolev proved that one gets a ring also when n is replaced by (n + 1)/2when n is odd and by (n + 2)/2 whenn is even.



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42 L. GARDING

wave front surfaceW(P), which is the real dual of the real surfaceP(, ) = 0,and vanishes for t mnof a fundamental solu-

tion in terms of Abelian integrals, integrated over cycles c(x) of real dimensionn 3 in the complex projective intersection IofP() = 0 and (x, ) = 0. Thecycles depend on the parity5 ofnand the component T ofC(P)\W where xis situated. When(x) is homologous to zero in I, the region T is a lacuna,i.e., the fundamental solution is a polynomial of degreem nin Tand hencevanishes when m < n. The point of the paper is that the vanishing of thecycle is necessary when the lacuna is stable under small deformations of theoperator.6

The intriguing paper [1937] by Petrovsky became the starting point for thedevelopment after 1950 of a general theory of hyperbolic differential operatorsby Leray and others and the paper [Petrovsky 1945] was generalized andclarified by Atiyah, Bott and Garding [1970, 1973].

A decisive factor in the further development was the full use of the dis-tributions of Laurent Schwartz and later by pseudodifferential operators andmicrolocal analysis.

6. Hyperbolicity for constant coefficients

Inspired by Petrovsky [1938], Garding [1950] gave an intrinsic definition ofthe hyperbolicity of differential operator P(D) with constant coefficients andprincipal part Pmas follows. The operator is said to behyperbolicwith respectto a hyperplane (x, N) = 0 or to be in a class hyp(N) if

(6.1) all smooth solutionsuofP u= v tend to zero locally uniformly in thehalfspace (x, N)> 0 when all their derivatives tend to zero locally uniformlyin the hyperplane (x, N) = 0 and all derivatives of v tend to zero locallyuniformly when (x, N) 0.

It is implicit in this definition that the value of a solution u of P u = 0at a point only depends on the values ofu and its derivatives in a compactsubset of the initial plane.

Applying this condition to exponential solutions ei(x,) with P() = 0and suitable , an equivalent algebraic condition was found, namely thatPm(N)= 0 and that P(+ tN)= 0 for all real when Im t is large enough

4

The real dual is generated by gradP() when P() = 0 and has m sheets. Its intersectionwith t 0 has [m+1

2 ] sheets.

5When n is even,(x) is just the real intersection.6In his work, Petrovsky analysed the homology in middle dimension of a general algebraic

hypersurface.



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negative.7 It follows easily that Pm belongs to the class Hyp(N) of homoge-nous elements in hyp(N), that Pm()/Pm(N) is real for real argument andthat the real, homogeneous hypersurface Pm = 0 consists of of m sheets

meeting the lines = tN+ const in m points. When these points are alwaysseparate unless all zero, i.e., the real surfacePm() = 0 is non-singular outsidethe origin,Pis said to be strongly (strictly) hyperbolic. In this case, Pm+ Rbelongs to hyp(N) for any polynomial R of degree < m. In the general case,Pm+ Ris hyperbolic if and only ifR(+ iN)/Pm(+ iN) is bounded for allreal [Svensson 1969].

The hyperbolicity cone (N), defined as the connected component ofPm() = 0 that contains N, is open and convex and has the property thatP hyp() for all .

EveryP hyp(N) has a fundamental solution, the distribution

E(P,N,x) = (2)n

n

ei(x,+i)

P(+ i) d(6.2)

cN , c >0, suff. large.

The Fourier-Laplace integral on the right does not depend on the choice of .As a function ofxit is supported in a propagation coneC(P, N), dual to andconsisting of allx such that (x, ) 0. This cone is proper, closed and convexand has only the origin in common with all hyperplanes (x, ) = 0, .The existence of such a fundamental solution is equivalent to the condition(6.1). Note that a square matrix M(D) of partial differential operators whosedeterminant P(D) belongs to hyp(N) is itself hyperbolic. In fact, there isa matrix M(D) such that M(D)M(D) = P(D)I with Ia unit matrix and

thenM(D) has a fundamental solution M(D)E(P,N,x) with support in thepropagation cone ofP.8

7. The theory of lacunas

Lerays Princeton lectures [1953] and the paper by Atiyah et al. [1970] wereboth written in an effort to understand [Petrovsky 1945]. The second oneextends his results to arbitrary P Hyp(N) which are complete, i. e., notexpressible in fewer than n variables. For this, it is important to consider alsothe local hyperbolicity cones (P, N) (P, N) where P () Hyp(N) is

7

It is not difficult to see that hyp(N) = hyp(N).8If the class C in (3.1) is replaced by a smaller Gevrey class, the class Hyp(N) is thesame, but the class hyp(N) may permit more lower terms. Actually there is quite a numberof papers dealing with hyperbolicity in Gevrey classes, but they will be disregarded here.



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44 L. GARDING

the first non-vanishing homogeneous term in the Taylor expansion ofPm(+). Note that P(N) is all of R

n when Pm() = 0 and a half-space whenPm() = 0, gradPm() = 0. The wave front surfaceW(P, N) is now defined

to be the union of the local propagation cones C(P, N) , dual to the localhyperbolicity cones (P, N). Modulo constant factors, the resulting formulasfor derivatives x ofEof order|| are

x E(P,N,x)

(x, )q P()1()

when q= m n || 0 and

(7.1) x E(P,N,x)

tx

(x, )q P()1()

when q 0. The class Hn2(X X P) is an

absolute class and tx denotes a tube around it.9

Connected components c ofC(P, N)W(P, N) where the fundamentalsolutionE(P,N,x) is a polynomial, necessarily homogeneous of degreem n,are called Petrovsky lacunas. The formula (7.1) showsc is a Petrovsky lacunaif the Petrovsky condition = 0 holds for some x c. The main point ofAtiyah et al. [1973] was to prove the converse of this statement by provingthe completeness of the rational cohomology used.10

9When possible, residues in the last integral down into X P give integrals over the

original Petrovsky cycles.10It has been shown that W(P,N) may be bigger than the singular support ofE(P,N,x)in C(P,N) when P is not strongly hyperbolic, but the answer is no for at most doublecharacteristics [Hormander 1977].



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8. Cauchys problem for strongly hyperbolic

operators with variable coefficients

In his lectures, Leray [1953] solved Cauchys problem for smooth scalar differ-ential operators and systems which are strongly hyperbolic in the sense thatthe corresponding characteristic polynomials are strongly hyperbolic with re-spect to some direction. A surface is said to be space-like when the operatoris hyperbolic with respect to its normals.

Assuming uniform hyperbolicity ofP(x, D) =Dm1 + ...with respect tox1in some band a x1 b, Leray devised a suitable global energy form forconstant coefficients which he extended to variable coefficients by Gardingsinequality [1953]. This permitted him to construct solutions of Cauchysproblem with initial data on planes x1 = const. by approximations from theanalytic case. Lerays paper also marks the first appearance of distributions

in the theory of hyperbolic equations, to be used ever after.In Garding [1956, 1958], the energy tensor of Friedrichs and Lewy was

extended to scalar, strongly hyperbolic operators with variable coefficients inthe following way, opened up by Leray [1953].

When || = m 1, || = m, the product u(x)u(x) with real u is adivergence

kCk(u, u) where everyCkis a quadratic form in the derivatives

of u of order m 1. It follows that ifP(x, D) and Q(x, D) are differentialoperators of degrees m and m 1, then

(8.1) ImQ(x, D)uP(x, D)u=

kCk(x,u,u) + C0(x,u,u)

where allCk are hermitian forms in the derivatives ofuof order at mostm1,C0 containing only derivatives of order m 1.

When Pm(x, D) = Dm1 + lower terms has constant coefficients and is

strongly hyperbolic with respect to x1, and Q(x, D) = Pm(x, D)/D1, aFourier transform in the variablesx = (x2,...,xn) shows that

(8.2)

C1(u, u)dx

c

||=m1

|Du(x)|2dx, c >0,

when the right side converges. IfP(x, D) of order m is uniformly strongly

hyperbolic in a band B : 0 x1 a with time function x1, if the coefficientsare bounded and if the highest coefficients satisfy a uniform Lipschitz condi-tion, this formula with an additional term of lower order extends to P(x, D)



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46 L. GARDING

[Garding 1953]. The result is an inequality for t >0,11

Dm1u(t, .)C t

0

P u(x1, .) dx1(8.3)

+ Cect Dm1u(0, .)

for some C,c >0 where

(8.4) Dku(t, .)2=

||k

|Du(t, x)|2dx.

The inequality (8.3) also has a local version for lens-shaped subsets of Bbounded from below by space-like surfaces. It follows in particular that so-lutions ofP(x, D)u= 0 which vanish at order m 1 on a space-like surface,vanish identically.

When the left side of (8.3) is finite, the vector Tku = u(t, .),...,Dktu(t, .)belongs to a certain Hilbert space Hk. Let C(Hk), L1(Hk), L(Hk) denotefunctions oftsuch that, as a function oft, Tku(t, .) is continuous, integrableand essentially bounded respectively with values in Hk.

Associated to (8.3) is the following Cauchys problem

(8.5) P u= v when 0< t < a, T m1u(0, .) =Tm1w(0, .).

Here w C(Hm1) and v L1(H0). This problem has a unique solution inC(Hm1). The proof by Garding [1956, 1958] improved on earlier ones byusing only functional analysis and the inequality (8.3).

The existence of a solution can also be expressed as an inequality

(8.6) u ,0c supv

|(u,Pv)|

v ,m1, c > 0.

Here all functions are defined on a band 0 t a, u L(H0) withthe corresponding norm and v, equipped with the norm ofL(Hm1), runsthrough the space C0 of all smooth compactly supported functions vanishingclose tot = 0. The inequality says in particular thatP C0is dense in L

1(H0).The analogous inequality

u ,0c supv

|(u,Av)|

v ,0, c >0,

11It is proved in [Ivrii and Petkov 1974] that this inequality implies that P(x,D) is stronglyhyperbolic when its coefficients are sufficiently differentiable.



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where A = D1+ A2D2+ ... + AnDn + C is strongly hyperbolic as in (4.2),is a consequence of its scalar counterpart (8.6). In fact, the left side is notincreased if we replace v byB v where

B= D1+ B2D2... + BnDn

has the property that B(x, )A(x, ) = IdetA(x, ) where I is the mmunit matrix and A is the principal part of A. By hypothesis, detA(x, )is uniformly strongly hyperbolic and hence A(x, D)B(x, D) IdetA(x, D)modulo bounded terms of order < m. Since Bv ,0 D

m1v ,0, theresult follows.

Under smoothness assumptions about the coefficients, the inequality (8.3)was extended by Hormander [1963] to the case when the norm square (8.4) isreplaced by

(8.7) Dk,s

u(t, .)2

=

||k|D

(1 + |D

|)s

u(t, x

)|2

dx

wheres is any real number and the right side is defined by the Fourier trans-form in the varaible x. In this way, also functions with distributional values inthex direction are taken into account. This inequality permitted Hormander[1963] to solve the corresponding Cauchys problem very simply by a dualityargument. In particular, when the coefficients ofP are smooth enough, theoperator P has a fundamental solution E(x, y): P(x, D)E(x, y) = (x y)which vanishes when x1 < y1.

Cauchys problem on a manifold. The inequality (8.3) for lens-shaped

regions proves the basic uniqueness theorem for strongly hyperbolic operatorsPon a manifold: ifP u= 0 in some neighborhood ofx0 and the Cauchy dataofu vanish on some smooth space-like surface S : s(x) = s(x0), then u = 0close to x0.

To deal with more global situations it is convenient to require the existenceof smooth, real time functions t(x) such that P(x, ) hyp(grad t(x)) for allx.12 The condition grad s(x) (Pm(x, .), tx) with a fixed sign for smooth,real s(x) defines two opposite classes T of time functions. A region wheresome time function is in T+ is positive or negative is called a future and apast respectively and a surface where some time function is constant is saidto be space-like. The manifold X is said to be complete relative to P if

every compact set is contained in an intersection of a past and a future with12By assuming the existence of time functions, Christodoulou and Klainerman [1993] were

able to prove global existence for Einsteins equations with small data.



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48 L. GARDING

compact closure.13 The intersection of all futures (pasts) containing a pointx then defines two propagation conoids C(x) issuing from x. Leray [1953]found suitable Sobolev spaces for the construction of inverses P1 of a strongly

hyperbolic operator P on a manifold, complete with respect to P such thatP1 u vanishes outside the union of the corresponding propagation conoidsissuing from supp u, supposed to be compact.

Nonlinear equations, hyperbolic conservation laws. The control oflower order derivatives in Cauchys problem for linear, strongly hyperbolicequations, makes it possible to use successive approximations to prove localexistence for Cauchys problem and quasilinear, and even nonlinear, stronglyhyperbolic equations. The proofs are almost as simple as in the second ordercase, but involve a judicious use of Sobolev inequalities. The initial work byPetrovsky [1937] and Leray [1953] was carried further by Dionne [1962].

Global existence is a problem beset with difficulties. Discontinuites mayappear and solutions may cease to exist. This is clear from the much studiedcase of nonlinear hyperbolic conservation laws in two variablest, x

ut+ f(u)x= 0, u, f (u) Rn,

wherefis smooth and nonlinear and the matrix f(u)/u has real, separateeigenvalues. Burgers equation for n = 1, ut +uux = 0 is a model caseexhibiting collisions and rarefaction waves depending on initial data for t =0. The use of weak solutions [Lax 1957b] motivates jump conditions, theclassical Rankine-Hugoniot jump conditions, and existence proofs have to usevarious entropy conditions. The case of arbitraryn has a refined existence

proof for initial data of small bounded variation [Glimm 1965] with a recentamelioration by Young [1993]. When the initial total variation is not smalland n > 2 blow-up may occur (see Young [1995]). A short text cannot dojustice to the complicated nature and history of hyperbolic conservation laws.There is ample material in [Smoller 1983].

9. Mixed boundary problems

Let P(D) be a differential operator, hyperbolic with respect to the firstvariable x1, and consider boundary problems for P in a quarter spacex1 0, x2 0 with a source function, Cauchy data C on x1 = 0 and some

other linear data Fon a non-characteristic plane x2 = 0. If the problem iscorrectly posed, the reduced problem with vanishing source and non-vanishing

13The full Cauchys problem with data on a space-like surface requires this condition.



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Cauchy data should also be correctly posed. Hence the dataF in the reducedproblem ought to propagate away in the positive x1and x2directions [Agmon1962, Hersh 1963]. In particular, ifn = 2 and

P(D) =m1

(D1+ akD2), ak = 0,

these solutions should be a linear combination of functions ofx2 akx1 withak < 0. For n = 2, this principle determines the form of mixed problemsfor hyperbolic operators in regions limited by polygons (see [Campbell andRobinson 1955] and [Thomee 1957]).

In the general case, the principle says that the reduced mixed boundaryproblem should not have exponential solutions ei(x,) with P() = 0 whichare exponentially large forx1> 0, x2>0 when the solution is bounded whenx1 = 0, x2 0 and x1 0, x2 = 0. This means that Im 1 > 0, Im 2 > 0.

This criterion is workable since it follows from the hyperbolicity that thepolynomial

2 P(), Im1> 0, 3,... real,

has no real zeros and hence a fixed numberm+ of zeros with Im 2 > 0. Theremaining, forbidden ones have Im 2 < 0. It is therefore reasonable thatF can only have m+ independent data. Appropriate polynomial boundaryconditions on x2= 0 have the form

Q1(D)u= g1,....,Qm+(D)u= gm+

whereQ1,...,Qm+ should be linearly independent modulo the product of the

permitted factors

14

of the polynomial 2 P(). There is a correspondingdeterminant, the Lopatinski determinant, which should be hyperbolic in acertain sense with respect to the first variable. As shown by Reiko Sakamoto[1974] and exposed in [Hormander 1983b, pp. 162-179], these conditions areboth necessary and sufficient for the mixed problem for strongly hyperbolicoperators to be correctly posed in theC sense. The waves from the Cauchydata at the boundaryx2= 0 are reflected in a way consistent with the bound-ary condition.

In a wellknown paper by H.-O. Kreiss [1970], the problem above was putfor first order operators, strongly hyperbolic with respect to the first variable,

D1+ A2D2+ ... + AnDn,

whose coefficients are m m matrices. The matrix A2 is supposed to bediagonal withm+ positive and m m+ negative eigenvalues which gives m+

14with zeros such that Im 2> 0 when Im1> 0.



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50 L. GARDING

linear boundary operators. It is shown that a strengthening of the conditionabove to no solutions with Im1 0 givesL

2 bounds of the solution in termsof similar bounds for the data.

10. Hyperbolicity for variable coefficients

It is proved in [Ivrii and Petkov 1974] that an inequality (8.3) implies thatP(x, D) is strongly hyperbolic when its coefficients are sufficiently differen-tiable. The same paper also offers necessary conditions for the hyperbolicityfor operators with variable coefficients as defined by an obvious localizationof (6.1) to a neighbourhood N of a point x0 and its intersection I with aplane (x x0, ) = 0. It is required that u tends to zero close to x0 when allthe derivatives tend to zero locally uniformly in I and P u tends to zero inthe same way in N. The verification of this property involves existence and

uniqueness of a suitable Cauchys problem.By the construction of suitable asymptotic solutions it is shown thatP(x0, D) must be hyperbolic with respect to . The proofs have been simpli-fied by Hormander [1985a, pp. 400-403]. Earlier proofs by the same methoddue to Lax [1957a] for analytic coefficients and Mizohata [1961-62] for firstorder systems supposed that is not characteristic.

In the Cauchys problem for the operator D21 x21D

22+bD2, studied by

Oleinik [1970], the regularity of the solution requires more and more regular-ity of the Cauchy data the smaller b is. This is the motivation in [Ivrii andPetkov 1974] to define regular hyperbolicity (effective hyperbolicity accord-ing to Hormander [1977]) as hyperbolicity under addition of arbitrary lowerorder terms in the operator. The authors then prove the following interestingresult. For an operator P(x, D) to be effectively hyperbolic in an open set itis necessary that the fundamental matrix (Hamiltonian map)

(10.1)

px ppxx px

, p= Pm(x, ),

skewsymmetric in symplectic structure given by dx d, has a pair of non-vanishing real eigenvalues at every point wheredp= 0 but d2p= 0. When thiscondition is not satisfied, there are conditions on the lower terms, exhibitedin [Hormander 1977]. Finally, it is proved that the condition that

dPm(x, )= 0

is both necessary and sufficient for hyperbolicity with a fixed relation betweenthe regularity of the data and that of the solution independent of lower order



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terms. This condition implies strong hyperbolicity in an open set and at mostdouble zeros ofPm(x, ) on a bounding space-like surface. Tricomis operatorD21 x1(D

22+...+D

2n) in the region x1 0 is here a classical example (see

[Hormander 1985b, section 23.4]).In contrast to this situation, the sufficiency of effective hyperbolicity forhyperbolicity is a delicate problem. A positive answer is known only forequations of order two [Iwasaki 1984, Nishitani 1984a,b]) and under a certainrestriction in the general case Ivrii [1978], removed by Melrose [1983]. Thefact that the condition (10.1) is invariant under canonical maps is used byall these authors to get suitable normal forms of the operators which thenmust involve pseudodifferential operators. The canonical maps are realizedby Fourier integral operators, a tool created by Hormander [1971] (see below).

Outside of effective hyperbolicity, there are microlocal conditions at mul-tiple characteristics which make the Cauchys problem correctly set in thesense given above (see [Kajitani and Wakabayashi 1994] and the literaturequoted there).

Systems. Necessary conditions for hyperbolicity with respect to the timevariable x1 for first order hyperbolic operators

L(x, D) + B(x), L(x, D) =ED1+ L2(x)D2+ ... + Ln(x)Dn.

is a much studied subject. The coefficients are smooth m m matrices andEis the unit matrix. It is of course necessary that the determinant h(x, ) =detL(x, ) be hyperbolic at every x, but this is not enough. A zero of orderr ofh(x, ) must give a zero of order r 2 of the cofactor matrix M(x, ) =

(mij (x, )) and if L is effectively hyperbolic in the sense above, then everyh(x, D) + mij(x, D) must be hyperbolic with respect to x1 [Nishitani 1993].

11. Fundamental solutions by asymptotic series

It was clear from the formulas of Herglotz and Petrovsky that the singulari-ties of the fundamental solutions of homogeneous, strongly hyperbolic oper-ators P(D) Hyp(N) of degree m lie on the wave front surface, consistingof [(m+ 1)/2] sheets issued from the origin and contained in the dual tothe characteristic surface P() = 0.15 But the abstract existence proofs forvariable coefficients did not give this kind of information, nor is it expected

15The dual ofP() = 0 is generated by x = gradP() when P() = 0. It has m sheetsand is invariant under reflection in the origin. The wave front surface is the restriction to(x,N) 0 and has the number of sheets stated.



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52 L. GARDING

unless the coefficients are smooth. But for the case of infinitely differentiablecoefficients, there are very precise results.

The construction of fundamental solutions of strongly hyperbolic oper-

ators by means of oscillating integrals [Lax 1957a, Ludwig 1960] gave thefirst answer.16 The oscillatory integrals used have the following general formintroduced by Hormander [1971],

(11.1) u(x) =

a(x, )ei(x,)d.

The amplitudea(x, ) is a smooth function with x in some open subset ofRn

and RN. It is assumed thata(x, ) = O(||m||) for large , locally

uniformly inx. The phase function (x, ) is supposed to be smooth and realand homogeneous of degree 1 in . The assumption thatd = 0 makes u a

distribution which is a smooth function ofx unless(x, ) = 0 for some. Inpractice, the amplitude a(x, ) is often polyhomogeneous, i.e., an asymptoticsum of terms of decreasing integral homogeneity in for large values of thisvariable.

When P(x, D) of order m is strongly hyperbolic with respect to x1, itsprincipal symbol p(x, ) is a product of m factors pk(x, ) of homogeneity1 in . The phase functions used in Laxs paper are solutions k(x, ) ofthe equations pk(x, gradk) = 0 such that k = =

xkk, k > 1 when

x1 = 0. These functions exist only for small x1, but permit an extension ofan oscillating integral wk(x2,...,xn) with a polyhomogeneous amplitude andphase function (and hence singular only at the origin) to an oscillating

integralWk(x) with polyhomogeneous amplitude and phase functionk suchthat P(x, D)wk is arbitrarily smooth. By a suitable choice ofw1,...,wm, thedifference between a fundamental solution E(x) supported in x1 0 and thesum W1+ ...+Wm can be made arbitrarily smooth. It follows thatE(x) isregular atxexcept when the -gradient of somek(x, ) vanishes, in particularonly at the origin when x1 = 0. Since dk invariant under the characteristicsdx/dt = p(x, x) of the equation p(x, x) = 0, the fundamental solution issingular only at the locus of these curves issued from the origin.

For larger times, the locus of characteristics may develop singularities, thecaustics of geometrical optics may occur. Oscillating integrals which representthe fundamental solution beyond the caustics were constructed in Ludwigs

paper.

16Both authors treat hyperbolic systems.



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12. Microlocal analysis, wave front sets,

pseudodifferential operators

All the results above are clarified by microlocal analysis which deals with lo-calization in space and frequency of distributions and operators. A beginningwas made by Maslov [1964]. There is also a microlocal analysis for hyperfunc-tions initiated by Sato [1969] and later developed by his students and others.However, we shall stick to distributions, following Hormander [1971].17

The setting of microlocal analysis is the cotangent bundle T(X) of adifferentiable manifoldXwith local coordinatesx, and invariant differentialform = (dx,). Let u be a distribution on Rn and let f C0 . Simplearguments show that the growth at infinity of the Fourier transform v() off u gets smaller in all directions when f is replaced by a product f g andg C0 . Hence there is for instance a natural localization H

s(x, ) of theclassical space Hs at a point x, ( = 0) invariant under multiplication bysmooth functions and consisting of distributions u such that (1 + ||)sv()belongs to L2 in some conical neighborhood ofx, for some f C0 whosesupport contains x. Another interesting object is the wave front set WF(u)of a distribution u, equal to the complement of all x, such that v() hasfast decrease in some conical neighborhood ofx, for some fas above. Thewave front set is a closed, conical subset of the cotangent bundleT(X). Theprojection of WF(u) onXis the singular supportS(u) ofu. All these notionsextend to distributions on a manifold.

An important example of wave front set is the following. The wave frontset of the oscillatory integral (11.1) is contained in the set of pairs x, suchthat (x, ) = 0. When the phase function is regular, i.e., the differentials

d are linearly independent, this equation defines a conical Lagrangian man-ifold, a submanifold of T(Rn) of maximal dimension were the differentialform (,dx) vanishes. One important result of Hormander [1971] is that twooscillatory integrals with regular phase functions with the same Lagrangianproduce the same distributions modulo smooth functions, at least when theconical support of the amplitudes are small.

When the phase function of (11.1) has the form (x,y,), x Rn, y R

m, the integral I(x, y) represents the kernel of what is called a Fourier in-tegral operator [Hormander 1971]. Generally speaking, the correspondingoperator will map distributions u to distributions v such that

WF(v) C(WF(u))17Only the simplest version of microlocal analysis can be given here. For full exposition,

see Hormanders monumental four volumes [Hormander 1983a,b, 1985a,b].



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54 L. GARDING

where C = (x,,y, ) is a canonical relation such that (x,,y ,) belongsto the Lagrangian defined by I. This fact makes Fourier integral operatorsa powerful tool in microlocal analysis which permits a change of variables in

the cotangent bundle which mixes its two ingredients.When the phase function above has the form (x y, ) where the threedimensions are the same, C reduces to the identity and the correspondingoperators are pseudodifferential operators in the form developed by Kohnand Nirenberg [1965]. They were originally given as singular integrals byCalderon and Zygmund [1957].

A pseudodifferential operator has the form

P(x, D)u(x) = (2)n

P(x, )u()d, u() =

ei(x,)u(x)dx.

Here the left side is a definition, u C0 and the symbol P(x, ) ofP is asmooth amplitude with properties as in (11.1), for instance polyhomogeneous.

WhenP(x, ) is a polynomial in the second variable, P(x, D) is a differentialoperator. The first non-zero term in the expansion ofPis the principal symbolp(x, ) ofP. Pseudodifferential operators act on Schwartzs spaceSand, byduality also on S. In each case they form an algebra, the map from P to itsprincipal symbol being a homomorphism. The calculus of pseudodifferentialoperators extends to distributions on a manifold X. Its symbols are thendefined on the cotangent bundle T(X) with local coordinates (x, ).

One has WF(P u) WF(u) with equality when P(x, D) is elliptic, i.e.,when CharP = , and then also WF(u) = when P u C. A properreduction of singularity may occur at the characteristic set Char(P) wherep(x, ) = 0 and = 0. One of the uses of pseudodifferential operators is the

factorization of the principal parts of hyperbolic operators into a product ofpseudodifferential operators of degree 1.

Pseudodifferential operators give a short, equivalent definition of WF(u)for a distribution on a manifold X, namely

P uC

CharP.

This is also the original definition in Hormander [1970].

13. Propagation of singularities in boundary

problems

A pseudodifferential operator P(x, D) is said to be of real principal typewhen its principal symbol p(x, ) is real and p(x, ) = 0 in CharP. The



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operator Phas the characteristic equationp(x, x) = 0 which in turn has thecharacteristic curves

(13.1) xt=p(x, ), t= px(x, ), p(x, ) = 0,

called (null) bicharacteristics ofP. By geometrical optics theory they leaveboth CharPand the restriction to CharPof the differential form invariant.

A basic general result proved by Hormander [1970] gives to the wave fron

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