DEPARTAMENT D’EXPRESSIÓ VISUAL I PLÀSTICAlrocher/teoria_1batx/DOSSIER GEOMETRIA PLANA.pdf · Th...

IES PUIG DE LA CREU DEPARTAMENT D’EXPRESSIÓ VISUAL I PLÀSTICA

1er CRÈDIT DIBUIX TÈCNIC : GEOMETRIA PLANA

CURS: 1r BATXILLERAT

GEOMETRIA PLANA

1r BATXILLERAT

IES PUIG DE LA CREU Departament d’Expressió Visual i Plàstica

DIBUIX TÈCNIC 1r BATXILLERAT / Geometria plana 1

1er CRÈDIT DIBUIX TÈCNIC : GEOMETRIA PLANA

CONTINGUTS

INTRODUCCIÓ

TEMA 1.- MATERIALS I TÈCNIQUES DE PRODUCCIÓ I REPRODUCCIÓ GRÀFICA 1.1 .- Suports 1.2 .- Els Formats 1.3 .- Instruments de dibuix 1.4 .- Normalització

TEMA 2: ELEMENTS DE GEOMETRIA PLANA 2.1 .- Formes geomètriques 2.2 .- Proposicions fonamentals 2.3 .- Formes geomètriques en el pla 2.4 .- Llocs geomètrics

TEMA 3.- PROPORCIONALITAT 1.1 .- Proporcionalitat 1.2 .- Proporcionalitat entre segments 1.3 .- Proporció entre figures 1.4 .- Escales

TEMA 4 .-POLÍGONS 4.1 .- Triangles 4.2 .- Quadrilàters 4.3 .- Polígons regulars

TEMA 5- LA CIRCUMFERÈNCIA 5.1 .-- Definició 5.2 .- Elements de la circumferència 5.3 .- Propietats 5.4 .- Posicions relatives entre recta i circumferència 5.5 .- Posicions relatives entre dues circumferències 5.6 .- Angles en la circumferència 5.7 .- Rectificació de la circumferència 5.8 .- Divisió en parts iguals

TEMA 6.- TANGÈNCIES I ENLLAÇOS 6.1 .- Propietats 6.2 .- Rectes tangents a circumferències donades 6.3 .- Circumferències tangents a rectes donades 6.4 .- Circumferències tangents a circumferències donades 6.5 .- Casos mixtes 6.7 .- Corbes tangents

TEMA 7.- CORBES CÒNIQUES 7.1 .- Classificació 7.2 .- El∙lipse 7.3 .- Paràbola 7.4 .- Hipèrbole



Vincles

dibuixtecnic.com Dibuix Tècnic Dibujo Técnico Technical Drawing

http://www.xtec.es/estudis/batxillerat/01_doc_bat/02_arts/08_dibuix_tecnic.pdf

apunts escola

http://es.geocities.com/guresama22/teoria/escairecartabo.pdf

http://es.geocities.com/guresama22/flash/triangulo1.swf

http://www.dibuixtecnic.net/

http://www.xtec.es/estudis/batxillerat/01_doc_bat/02_arts/08_dibuix_tecnic.pdf

http://misclipsdevideo.com/apunts%20escola.html

http://es.geocities.com/guresama22/teoria/escairecartabo.pdf

http://es.geocities.com/guresama22/flash/triangulo1.swf



INTRODUCCIÓ

El dibuix permet accedir a la cultura gràfica, una forma de coneixement amb lleis especifiques per mo- delar la realitat i captar-la empíricament. Exercitant-s’hi es posen en clar les regles i els processos que li són propis, amb la qual cosa, coneixement i pràctica apareixen com a dues parts inseparables d’un mateix fet. Dibuixar la realitat implica una actitud envers ella, que condueix a la reflexió sobre els seus aspectes singulars i de la personalitat del professional que així s’exercita de forma que tot dibuix implica un procés a la vegada mental i pragmàtic, per portar a bon terme les percepcions dels fets dibuixats. No és estrany, doncs, que el dibuix sigui un potent instrument de comunicació. (llenguatge gràfic) El tret més immediat del dibuix tècnic és el seu caràcter instrumental com a forma de representació, que es fa imprescindible tant per a l’exercici professional com per a la formació acadèmica. Es el llenguatge propi dels processos de creació o configuració formal i funcional d’objectes (dibuix re- flexiu), el resultat dels quals s’explica amb uns plànols o gràfics (dibuix de comunicació o proposta). Accepció del dibuix que es caracteritza per la seva racionalització geomètrica i perquè les seves codificacions i convencions són explícites.

En aquest primer crèdit es desenvoluparan continguts de la Geometria Plana: geometria que tracta de les relacions dels elements geomètrics situats en un pla. Partint de les construccions més elementals (mediatriu, bisectriu, rectes parelles i perpendiculars) arribarem a construccions més complexes (polígons, tangències, corbes còniques). Però per arribar a tot això és primordial conèixer la geometria euclidiana que es basa en el postulat de les parelles de Euclides, elaboració intel∙lectual que té més de 2000 anys. Cal assenyalar que abans que Euclides van tractar la geometria altres pensadors com l’egipci Ahmes qui va escriure un papir de 33 per 548 cm de longitud amb continguts d’aritmètica, estereotomia, geometria i els càlculs de construcció de les piràmides, on es va aproximar al valor de número π. Thales de Mileto i Pitàgoras de Samos també van fer importants aportacions a la geometria (Teorema del triangle de Pitàgoras). Però finalment va ser Euclides qui va definir i consolidar aquesta ciència. Fou un matemàtic que visqué a Alexandria (Egipte) en el segle III a. J.C. durant el període hel∙lenístic, fusió de les cultures grega, egípcia i mesopotàmica, després de la formació de l’Imperi d’Alexandre el Gran. Va ser el fundador de l Escola de Matemàtiques de la Universitat d’Alexandria. La seva obra principal va ser “Els elements” de contingut matemàtic i geomètric, conjunt de tretze llibres on es desenvolupa des de la definició del punt, la recta i el pla fins als políedres regulars. Aquest manual, a diferència d’altres de la seva època es va conservar i va ser transcrit en manuscrits grecs, àrabs i al llatí medieval. En aquest tractat es va fonamentar tota la geometria fins a principis del S. XIX, quan van començar a elaborar-se altres geometries no basades en els postulats d’Euclides i que en negaven algun. Avui la geometria euclidiana és només una cas particular de la geometria projectiva, la qual és una branca de la Geometria.

Jean-Víctor Poncelet (1788-1867) va revolucionar la geometria euclidiana amb la seva geometria projectiva introduint-hi el concepte d’infinit que ja ho havia estat en les matemàtiques. Aquesta nova geometria es desenvolupa en el seu llibre “Traité des propietés projectives des figures” de 1822, i que serveix de base per a la moderna geometria descriptiva. Poncelet nega el concepte de paral∙lelisme ja que dues rectes sempre es creuen o es tallen en un punt propi (conegut) o impropi (punt de l’infinit).

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/eucl.html

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/pita.html



TEMA 1.- MATERIALS I TÈCNIQUES DE PRODUCCIÓ I REPRODUCCIÓ GRÀFICA

Material per a l’alumne:

.- Folis per prendre apunts i per fer exercicis mida Din A4

.- Regla mil∙limetrada de 30 cm.

.- Escaire i cartabó de 20 o 25 cm amb vores rectes i sense graduar

.- Dos portamines de mina 0'5 dureses HB i 2H

.- Goma tova blanca (de nata)

.- compàs de precisió (millor amb portamines)

.- Llapis de colors o retoladors

1.1 .- SUPORTS

1.1.1 .- El paper És el suport bàsic emprat des de l’any 105 quan va ser inventat per Ts’ai Lun a la Xina a patir de draps de cotó i lli i mitjançant un procés artesanal. Actualment es fabrica de cel∙lulosa de coníferes amb processos industrials totalment mecanitzats i dirigits per ordinador. Abans que existís el paper s’utilitzava papir en l’antic Egipte (fet de canyes) i el pergamí (fet de pells).

Tipus de paper Hi ha de moltes classes i moltes classificacions. Aquesta n’és una:

1.- Paper opac:

.- llis: per dibuixar amb llapis o tinta xinesa, retoladors i per a dibuix tècnic

.- rugós: per a dibuix artístic i tècniques a l’aigua

2.- Paper transparent: vegetal de polièster o acetat

3.- Paper mil∙limetrat: especial per a dibuix a escala i tècnic, és una xarxa ortogonal formada per quadrats d’un mil∙límetre de costat.

4.- Xarxa isomètrica: especial per a dibuixos en perspectiva isomètrica, és una xarxa de triangles equilàters. Per a aquesta assignatura es recomana treballar amb paper blanc tipus foli mida DIN A4 una mica gruixut i paper vegetal per a alguns exercicis. El algun cas pot ser interessant treballar amb làmines de dibuix que permeten esborrar sense deixar senyals. Si es treballa amb paper tipus foli es molt recomanable posa un altre full a sota del que es treballa per tal que el compàs pugui clavar-s’hi i no rellisqui. Si interessa fixar el paper a la superfície de treball cal fer-ho amb cinta adhesiva amovible en les cantonades en sentit diagonal (mai amb xinxetes).



1.1.2 .- La superfície de treball

La superfície on situar el paper ha de ser el més llisa possible i no gaire dura, si ho és cal posar a sota algun material com un plàstic especial per a aquesta finalitat o un paper gruixut. Hi ha taules professionals molt ben equipades, però un taulell de fusta amb un paral∙lex, fet per un mateix també serveix perfectament (les mides recomanades són de 40 x 50 cm aproximadament, per que càpiga paper mida Din A-3) . En el mercat es poden trobar taulells de dibuix portàtils mínimament equipats.

1.2 .- ELS FORMATS

El format és la mesura o dimensions normalitzades que es donen a un full de paper. Tots els dibuixos s’han de fer sobre un paper tallat a mides fixes en forma de rectangle per tal d’unificar mesura. Per començar a tallar es parteix d’un rectangle que té una superfície d’un metre quadrat i un costat el qual és igual a la diagonal del quadrat que forma el costat petit. Aquest seria el format Din A0 de mides: 1189x841 i a partir del qual surten tots els demés. Els més utilitzats per a dibuixar són el Din A4 (210x297) i el Din A3 (297x420).

DIN A-0

1189 DIN A-1

DIN A-2 DIN A-3

DIN A-4

841



1.3 .- INSTRUMENTS DE DIBUIX

1.3.1 .- El llapis

És un cilindre o prisma hexagonal de fusta al ’interior del qual hi ha una mina de grafit de diverses dureses. Per a dibuix tècnic s’aconsellen els portamines perquè eviten interrupcions per fer punta, hi ha de diversos gruixos però el més utilitzat és el de mina de 0’5 mm. La mina de grafit te diverses dureses que es diferencien gràcies a una gradació normalitzada:

TOUS 8B 7B 6B 5B 4B 3B 2B B HB F H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H DURS

Dibuix artístic Dibuix tècnic

escriptura

Per a la realització dels exercicis caldrà utilitzar dues dureses diferents per poder donar a cada línia el seu valor (intensitat i gruix ) corresponent. Quan es treballi amb llapis durs no cal apretar gens el llapis sobre el paper, s’han de traçar línies molt tènues que encara que semblin poc perceptibles afavoreixen la bona visibilitat de les altes línies més intenses El valor de línia serveix per què els dibuixos tinguin l’expressivitat necessària per a la seva comprensió i que siguin de fàcil lectura per a altres persones. Per això cal que cada línia tingui un valor adequat a la funció que compleixi en el dibuix. Les corbes també han de tenir valor de línia, per això cal buscar un sistema que ens permeti canviar de mina amb el compàs. Els dibuixos han de tenir tres valors de línia: .- línia gruixuda i intensa: pel traçat dels resultats dels exercicis, amb el llapis HB. .- línia mitja: per les dades, amb el llapis HB si no es dona imprès. .- línia prima i tènue: pels traçats auxiliars, amb el llapis 2H .- línia discontínua: per les línies ocultes .- traç curt i punt: pels eixos de simetria

1.3.2 .- El compàs

Aquest estri a més d’utilitzar-lo per traçar circumferències i arcs de circumferència també cal emprar-lo per transportar mides. Cal que hi puguem adaptar els estilògrafs o retoladors amb adaptadors especials per a cada cas. Per treballar-hi cal tenir sempre les dues puntes (mina i agulla) a la mateixa mida i la mina de grafit tallada amb forma de bisell de 75º. Per deixar-la d’aquesta manera cal utilitzar un paper de vidre de grà molt fí. La part llarga del bisell haurà de mirar cap a la part interior del compàs.

Per treballar amb precisió s’aconsellen els compassos amb portamines incorporat

mina agulla

75º



1.3.3 .- El joc d’escaires

Aquests dos estris són uns dels més importants pel dibuix tècnic. Cal que siguin de bona qualitat, amb vores rectes i millor sense graduar (per poder veure al seu través, per mesurar cal una regla graduada). S’ha de procurar que sempre estiguin en bon estat de conservació, sense “descantonar” i ben nets. Cal tenir cura amb els restes de goma d’esborrar que moltes vegades s’adhereixen sobre la seva superfície i amb el grafit del llapis que pot embrutar-los. No tenir en compte aquestes recomanacions porta sovint a que els dibuixos resultin bruts i poc presentables. El joc d’escaires serveix pel traçat de línies paral∙leles i perpendiculars i pel traçat d’angles. En dibuix tècnic, la majoria de vegades es treballa amb angles que es poden dibuixar am la combinació dels dos estris i alguna vegada amb una bisectriu. Poques vegades cal recórrer al transportador d’angles.

L’ESCAIRE: és un triangle rectangle isòsceles que té dos angles de 45º i un de 90º. EL CARTABÓ: és un triangle rectangle escalè que té angles de 30º, 60º i 90º

45º 30º

mida del joc 90º

45º 60º

90º

escaire cartabó

La mida del joc està en funció del format amb que es treballa. Així per treballar amb DIN A4 es recomana treballar amb escaires de 16 cm, per a un DIN A3 amb un joc de 20. Però això depèn del tipus de treball i d’exercici que s’estigui realitzant, per això no està de més tenir un parell de jocs de dues mides diferents.

POSICIÓ DELS ESCAIRES PER TREBALLAR Cal utilitzar-los sempre combinats l’un amb l’altre per poder traçar línies paral∙leles i perpendiculars. L’escaire s’ha de fer lliscar per la hipotenusa del cartabó, de la manera com es veu en la imatge.



PLANTILLES



GOMA D’ESBORRAR



2 TEMA 2: ELEMENTS DE GEOMETRIA PLANA

2.1 .- FORMES GEOMÈTRIQUES

Les formes geomètriques fonamentals de les quals en deriven tots els demés elements de la geometria plana són: el punt, la recta i el pla

.- PUNT: lloc de l’espai que no te cap dimensió. Es determina mitjançant la intersecció de dues rectes i amb lletres majúscules: A,B,C,P, T.... Dimensió 0.

.- RECTA: successió de punts en una mateixa direcció, no limitada en els seus extrems, és infinita i té una dimensió. (llargada). Es determina amb lletres minúscules: r, s, t, m ,n ...Les rectes tenen una direcció i dos sentits.

.- PLA: superfície de dues dimensions. (amplada i llargada). Es determina mitjançant tres punts no alineats, per una recta i un punt que no estigui contingut en ella, i per dues rectes que es tallin en un punt comú anomenat traça. Dos plans al tallar-se formen una recta també anomenada traça.

(TRAÇA: punt o recta d’intersecció entre dos elements geomètrics)

L’altre element geomètric, el qual no es treballa en la geometria plana, però que es fonamental és l’espai. Aquest element el tractarem en la geometria descriptiva.

.- ESPAI: lloc geomètric de tres dimensions (amplada, llargada i profunditat)

2.2 .- PROPOSICIONS FONAMENTALS (molt important pel sistema dièdric)

Aquestes proposicions fonamentals de la geometria euclidiana i projectiva (quan intervé el concepte d’infinit) ens serviran per a la resolució dels exercicis pràctics tant de geometria plana, com més endavant de geometria descriptiva.

.- Dos punts determinen una recta.

.- Per dos punts diferents només pot passar una sola recta.

.- Dues rectes que tenen dos punts en comú coincideixen en tota la seva extensió.

.- Una recta que passi per dos punts d’un pla està continguda en ell.

.- Una recta té un sol punt al infinit que és qui la tanca, és un punt impropi (punt del infinit)

.- La distància mínima entre dos punts és una recta.

.- La distància mínima entre dos punts es determina per la dimensió del segment que els uneix.

.- La distància entre un punt i una recta és la longitud del segment que els uneix i que és perpendicular a la recta.

.- La distància entre un punt i un pla és la longitud del segment que els uneix i que és perpendicular al pla.



.- La distància entre dues rectes és la dimensió del segment que les uneix i que és perpendicular a les dues rectes. .- Dues rectes es tallen (tenen un punt en comú) o es creuen (no tenen cap punt en comú) en l’espai.

.- Dues rectes que es tallen formen sempre un angle, el valor del qual es determina agafant sempre la mida de l’angle inferior a 90º dels dos que en realitat es formen.

.- Dues rectes perpendiculars es tallen formant angles de 90º. (sinònims de perpendicularitat: ortogonal, angle recte)

.- Per determinar l’angle que formen dues rectes que es creuen en l’espai, cal utilitzar una tercera recta auxiliar paral∙lela a una d’elles i que es talli amb l’ altra.

.- Dues rectes paral∙leles tenen un punt impropi en comú, tenen la mateixa direcció, i defineixen un pla que les conté. No es tallen mai en un punt propi per molt que es perllonguin, entre elles sempre hi ha la mateixa distància.

.- Per un punt exterior a una recta només es pot traçar una sola recta paral∙lela i una sola recta perpendicular.

.- Tots els punts del infinit d’un pla estan sobre una recta impròpia

.- Dos plans paral∙lels es tallen segons una recta impròpia.

2.3 .- FORMES GEOMÈTRIQUES EN EL PLA

En aquest apartat analitzarem les formes geomètriques en el pla més simples, les formes que d’aquestes se’n deriven s’estudiaran en els capítols següents: polígons, circumferència i corbes còniques.

2.3.1 .- Recta , semirecta i segment

La recta es il∙limitada en els seus extrems (o limitada en un punt impropi), la semirecta està limitada per un punt propi en un dels seus extrems, i el segment és un recta limitada per punts propis en els seus dos extrems.

A A B r

recta semirecta segment



2.3.2 .- Angle

Un angle és l’espai o porció de pla comprès entre dues semirectes que es tallen i que tenen un punt en comú anomenat vèrtex, les semirectes són els costats de l’angle. El valor de l’angle es mesuren en graus i depèn de l’obertura que formen les semirectes i no de la seva longitud.

TIPUS D’ANGLES

.- angle recte: angle amb un valor de 90º

.- angle agut: angle amb un valor inferior a 90º

.- angle obtús: angle amb un valor superior a 90º

.- angle pla: quan els seus dos costats formen una recta i te un valor de 180º

.- angle còncau: angle amb un valor superior a 180º (major que el pla)

.- angle convex: angle amb un valor inferior a 180º (menor que el pla)

.- angles complementaris: la suma dels quals és igual a 90º

.- angles suplementaris: la suma dels quals és igual a 180º

.- angles adjacents: tenen en comú el mateix vèrtex i una de les semirectes o costat de l’angle, sumats són suplementaris

.- angles consecutius: tenen un costat i el vèrtex comú.

.- angles oposats: tenen el mateix vèrtex i els costats d’un angle són la prolongació de l’altre. Dos angles oposats són iguals, a la vegada que els seus angles adjacents també ho són.

CONSTRUCCIÓ D’ANGLES

Els angles es construeixen amb el transportador d’angles o per regla general amb els escaires combinats estre sí i utilitzant, si cal , la bisectriu. També es construeixen angles copiant, sumant o restant angles expressats gràficament, independentment de quin sigui el seu valor. En alguns exercicis moltes vegades no interessa el valor en graus, sinó l’obertura que formen les semirectes a nivell gràfic.

Per copiar un angle donat no s’ha d’utilitzar el transportador, sinó que cal fer aquesta operació que és molt més precisa: (també s’aplica per sumar i restar)

1.- Sobre l’angle donat es traça un arc amb qualsevol radi i es repeteix aquest arc des de el vèrtex del nou angle (punt A). Obtindrem el punt 1. 2.- S’agafa amb el compàs la mida de l’arc en l’angle donat i es transporta sobre l’arc traçat abans a partir del punt 1 i obtindrem el punt 2. Ara només cal unir els punts A i 2.



2.4 .- LLOCS GEOMÈTRICS

LLOC GEOMÈTRIC: és el conjunt de punts del pla o de l’espai que compleixen d’una determinada propietat. Aquest conjunt de punts poden formar una figura geomètrica o una construcció geomètrica elemental que serviran de traçats auxiliars per a la resolució d’exercicis.

.- RECTES PARAL∙LELES El lloc geomètric dels punts del pla que es troben a una mateixa distància d d’una recta r són dues rectes parelles a la recta i que equidisten una distància d.

.- CIRCUMFERÈNCIA El lloc geomètric del punts del pla que equidisten a una distància r d’un punt O són els que formen la circumferència de centre O i radi r.

d r d

r O

.- BISECTRIU El lloc geomètric dels punts del pla equidistants dels costats d’un angle és la bisectriu. També es defineix com la recta que divideix un angle en dues parts iguals. Centre de totes les circumferències tangents als costats de l’angle.

.- MEDIATRIU El lloc geomètric dels punts del pla que equidisten dels extrems d’un segment és la seva mediatriu. També és el lloc geomètric dels centres de les circumferències que passen per dos punts (extrems del segment), això explica l’exercici del traçat d’una circumferència que passa per tres punts. La mediatriu també es defineix com la recta que talla perpendicularment un segment en el seu punt mig. (En el seu traçat per dibuixar els arcs cal obrir el compàs amb un obertura una mica més gran que la meitat del segment.)



.- ANGLE: El lloc geomètric dels punts del pla situats entre dues semirectes d’origen comú és l’angle

.- INCENTRE: El lloc geomètric dels punts del pla equidistants a tres rectes (costats d’un triangle) és el incentre. És el punt on es tallen del bisectrius dels angles interiors d’un triangle i és el centre de la circumferència inscrita.

.- CIRCUMCENTRE El lloc geomètric equidistant a tres punts (vèrtex d’un triangle) és el circumcentre. Es determina mitjançant la intersecció de les mediatrius entre els punts i és el centre de la circumferència circumscrita.

.- ARC CAPAÇ: El lloc geomètric dels punts del pla sota els quals s’observa un segment donat sota un mateix angle és l’arc capaç. L’arc capaç és un arc de circumferència que passa pels extrems del segment donat, de manera que si unim un punt qualsevol de l’arc amb els extrems AB l’angle que es formarà sempre serà el mateix. L’arc capaç de l’angle de 90º és la semicircumferència.

Per traçar l’arc capaç cal fer : 1.- la mediatriu del segment 2.- des d’un extrem dibuixar l’angle demanat α per sota del segment i una perpendicular. O bé el seu angle complementari 90ª-α per damunt del segment. 3.- on es tallen la mediatriu i aquesta última recta és el centre de l’arc capaç: traçar l’arc.



3 TEMA 3.- PROPORCIONALITAT

3.1 .- PROPORCIONALITAT

Des de molt antic, l’home ha observat el món que el rodeja i ha tingut un concepte, intuïtiu en un principi i analític més endavant, d’allò que és proporcionat o desproporcionat, d’allò que és igual o diferent, o d’allò que es agradable o desagradable visualment. El seu propi cos ha estat l’element de comparació fonamental. Quan es van establir relacions de proporció entre elements, calia valorar-los numèricament, la qual cosa ja es va fer a l’antic Egipte per distribuir les terres de les vores del Nil als agricultors. Més endavant es van establir proporcions per dotar d’un ordre a les coses, l’arquitectura, l’escultura, urbanisme i el disseny d’objectes quotidians van centrar la seva atenció en la proporció del cos humà.

La proporció és la relació matemàtica constant de dos elements geomètrics i amb les diverses parts d’un conjunt. La raó és el resultat de la comparació entre dues quantitats: a/b Les dues quantitats comparades són els termes de la raó: a,b La proporció és d’igualtat entre dues raons: a/b=c/d (una proporció te quatre termes, d i c són els mitjos i amb els extrems)

3.2 .- PROPORCIONALITAT ENTRE SEGMENTS

3.2.1 .- Teorema de Thales

El geòmetra grec Thales de Mileto va aprofundir en la proporcionalitat entre segments. Aquest és un dels teoremes que més aplicacions té.

Teorema: Si un feix de rectes paral∙leles talla a dues rectes coplanàries concurrents els segments que determinen en una d’elles són proporcionals als que es determinen en l’altre. Es formen segments proporcionals. El coeficient de cada fracció és la raó de semblança o raó de proporció:

OA/OA 1 =OB/OB 1 = AB/A 1 B 1

L’aplicació fonamental d’aquest teorema permet dividir un segment en parts iguals. Si tenim un segment i cal dividir-lo en x parts iguals hem de 1.- traçar una recta auxiliar que talli al segment per un dels seus extrems (formant un angle qualsevol entre 30º i 45º). 2.- a partir del vèrtex determinar les x unitats (de qualsevol mida) 3.- unir l’ultima amb l’extrem del segment 4.- a partir de les demés unitats traçar-hi paral∙leles fins al segment que el tallaran en x parts iguals.

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/thal.html



3.2.2 .- Dividir un segment en parts proporcionals a altres donats

Aquesta construcció també es fonamenta en el teorema de Thales. Ens donen un segment AB i se’ns demana dividir-lo en parts proporcionals a altres segments donats: a,b,c. 1.- Situar els segments, un a continuació de l’altre (suma de segments), per sota del segment a dividir formant un angle qualsevol. 2.- unir l’extrem resultant amb l’extrem d’ AB 3.- traçar-hi paral∙leles (aplicar el teorema de Thales).

a A B

b

c

A B

a b

c

3.3 .- PROPORCIÓ ENTRE FIGURES

Les característiques mètriques d’una figura es determinen pels elements que la defineixen i que són: .- la longitud dels seus costats .- el valor dels seus angles Quan s’estableix comparació entre figures , aquesta pot fer referència a la seva forma, als seus valors lineals, al valor dels seus angles o a la seva àrea, això dóna lloc als diferents tipus de relació que analitzarem a continuació.

3.3.1 Igualtat Es diu que dues figures són iguals quan els seus valors lineals i angulars són iguals i estan ordenats de la mateixa manera.

3.3.2 Diferència Dues figures són diferents quan els seus elements lineals i angulars són diferents.

3.3.3 .- Semblança i homotècia Es diu que dues figures son semblants quan els seus valors lineals són proporcionals (entre ells s’estableix una raó de proporcionalitat que s’anomena raó de semblança) i els seus valors angulars són iguals. Tenen la mateixa forma i diferent magnitud.

Si a més de les condicions anteriors les figures estan igualment orientades es diu que són homotètiques. V és el centre de l’homotècia, A-A’... són punts homòlegs. I s’estableix que: a’/a= b’/b = c’/c= K raó de proporció

.- homotècia directa: quan la raó és p.ex 7/4, (la figura inicial ABC s’amplia)

.- homotècia inversa: quan la raó és p.ex 2/5 (la figura inicial ABC es redueix) . - quan la raó és negativa: -4/5 o -6/3 la figura queda a l’altra banda del centre d’homotècia i inversa a la donada

Triangles homotètics

Triangles semblants



3.3.4 .- Equivalència

Dues figures són equivalents quan la seva àrea és igual encara que la seva forma sigui diferent. Les figures equivalents a partir d’una altra donada es poden construir gràficament com veurem en el tema dedicat a les transformacions geomètriques . Es pot demanar construir un quadrat equivalent a un triangle donat o construir un pentàgon equivalent a un quadrat, etc.

CONSTRUCCIONS

Per construir figures iguals o semblants es poden utilitzar diferents mètodes i combinar-los entre sí, alguns els aplicarem en la construcció de polígons: escala, quadrícula, paral∙lelisme, homotècia, còpia d’angles,etc.

.- per triangulació Tenint una figura qualsevol es descompon en triangles, mitjançant les diagonals que es van copiant un a un en el mateix ordre. Els costats es copien (copia de segments).

.- per coordenades Tenint una figura qualsevol es determina una recta auxiliar com a eix o base i es determinen els punts dels vèrtex sobre altres línies ortogonals a la primera. Per copiar la figura només cal copiar les mateixes rectes auxiliars a les mateixes distàncies o cotes corresponents. Aquest sistema s’anomena per coordenades perquè s’utilitza un sistema de coordenades cartesianes, es a dir les distàncies a dos eixos X e Y.

.-per còpia d’angles Donat un polígon qualsevol es dibuixen arcs que assenyalin el valor dels angles i es van copiant. Sobre els costats dels angles es porten les mides del costat. També es poden utilitzar les diagonals (es triangula el polígon) i escopien els dos angles que es generen en cas de figures semblants. És un sistema que pot acumular molt error gràfic. Cal fer arcs de radi ampli per evitar-lo.



.- per translació Cal utilitzar un sistema de rectes paral∙leles que passin pels vèrtex i desprès es dibuixen les parelles als costats de la figura. Cada punt es desplaça una distància igual i constant

.- per simetria axial o radial Els punts es situen a la mateixa distància en funció d’un eix de simetria o d’un punt: centre de simetria

.- per quadrícula És el típic sistema de copia d’imatges. Si cal ampliar o reduir la figura , només cal dibuixar una quadrícula més gran o més petita en funció de la proporció a aplicar.

.- paral∙lelisme dels costats: S’ utilitzen com a línies de referència les diferents diagonals

Casos particulars: quadrats de doble o triple superfície que un quadrat donat



3.4 .- ESCALES

L’escala és una aplicació que deriva de les relacions de semblança i homotècia. I és la proporció que relaciona la mesura d’un objecte en el dibuix amb la seva mesura real. Es representa mitjançant una raó que queda establerta amb aquesta proporció:

mida del dibuix Escala =_______________ = K (raó de proporció)

mida de la realitat

Així per exemple una escala = 1/2 significa que a una unitat del dibuix li corresponen dues en la realitat.

L’ús de l’escala es fa necessari per tal de poder dibuixar objectes en un paper els quals no s’hi podrien dibuixar a la seva mida real. Les escales poden expressar-se numèricament o gràficament:

.- Escales numèriques: E =1/50 , E 1:50. Per treballar amb elles cal fer sempre els càlculs corresponents

.- Escales gràfiques: són les que s’expressen gràficament i no cal fer cap tipus de càlcul (escalímetres)

Segons quina sigui la proporció entre el dibuix i la realitat podrem establir els diferents tipus d’escales:

.- Escala natural: K=1, quan les mides del dibuix són iguals que les mides reals és l’escala E 1/1 ,que indica que dibuix i realitat són iguals. S’utilitza per representar objectes els quals interessa expressar-los en la seva mida real.

.- Escala de reducció: K<1, el denominador és més gran que el numerador. Les mides de l’objecte dibuixat són més petites que les mides del objecte realitat. S’utilitza per representar objectes molt grans, de mides no representables en un paper (edificis, dissenys d’enginyeria, etc). Normalment, en aquest tipus d’escales cal utilitzar com a numerador la unitat com per exemple 1/50. Això vol dir que el dibuix és 50 vegades més petit que la realitat. Si volem establir equivalències mètriques de forma senzilla li adjudicarem al numerador la unitat de treball. Així si volem saber a un metro de la realitat a quans centímetres del dibuix equival, i sabem que 1m = 100 cm, substituïm en la raó de l’escala la unitat pels cm equivalents:

100 cm = 2 cm 50 1m en la realitat seran 2 cm del paper

Si ens donen una escala on el numerador no és igual a la unitat es transforma en la raó equivalent:

escala = 3/4 equival a escala 1 4/3

Les escales de reducció més utilitzades són les següents:

.- arquitectura e enginyeria civil: 1/5, 1/10, 1/20, 1/50, 1/100,1/200

.- topografia i urbanisme: 1/100, 1/200, 1/500, 1/1000, 1/2000

.-cartografia: 1/5000, 1/10.000, 1/25.000, 1/50.000, 1/100.000



.-Escales d’ampliació: K>1. El numerador és més gran que el denominador. S’utilitzen quan cal representar un objecte de dimensions molt reduïdes i del qual ens interessa augmentar la mesura en el dibuix. En aquest cas la unitat caldrà aplicar-la al denominador com per exemple escala = 2/1, ens indica que la representació en el dibuix serà el doble que la realitat. Si ens donen l’escala = 3/5 la transformarem a escala = 5/3

1

Les escales d’ampliació més utilitzades són: 2/1, 5/1, 10/1

Construcció d’escales gràfiques:

Per tal d’evitar fer els càlculs aritmètics en l’aplicació d’una escala es fa necessari l’ús d’un regle graduat segons l’escala que hem d’utilitzar. En el mercat es poden trobar els escalímetres que són uns regles graduats amb diferents escales que ens permeten dibuixar directament aplicant l’escala o mesurar un dibuix i saber quina és la seva mida en la realitat. Però si no treballem habitualment amb les mateixes escales ens podem fabricar un escalímetre o una escala gràfica amb una tira de paper o una cartolina on farem les divisions corresponents.

Primer cal traçar una recta i determinar un segment d’una magnitud gual al numerador de l’escala amb la unitat mètrica que vulguem. El més pràctic és fer-ho amb centímetres. Aquests segment el dividim aplicant el teorema de Thales en un nombre de parts iguals al denominador. Cadascuna de les divisions que obtinguem serà la unitat en l’escala triada. Per tal que el regle sigui més útil reproduirem fins a deu divisions. No cal fer totes les subdivisions en cada unitat, sinó que a l’esquerra del zero farem la contraescala: dividirem una unitat en deu parts iguals.

Si l’escala amb la que hem de treballar és de molta reducció hem de treballar amb una unitat mètrica que ens permeti aplicar-hi fàcilment el denominador. Per exemple: E 1: 50000 , vol dir que 1 cm del paper són 50.000 cm reals, és a dir 500 m. Per tant 2 cm del paper equivaldran a 1 Km. Si les divisions que fem en el regle són de 2 cm podem treballar amb Km i en la contraescala determinar cada 100m



4 TEMA 4 POLÍGONS

Un polígon és una figura plana limitada per una línia poligonal tancada. També es pot definir com una porció de pla limitada per rectes que es tallen.

Tipus de polígons: .- polígons regulars: quan tots els angles i costats són iguals, són convexos .- polígons irregulars: quan els costats són diferents. .- polígons convexos: quan es perllonga qualsevol dels costats i no talla al mateix polígon. .- polígons còncaus: són aquells que quan es perllonga algun dels seus costats talla al polígon.

polígon convex polígon còncau

.- polígons inscrits: tenen els seus vèrtex continguts en una circumferència (circumferència exinscrita o circumscrita) .- polígons circumscrits: els seus costats són tangents a una circumferència (circumferència inscrita)

polígon inscrit polígon circumscrit

.- polígons estrellats: tenen forma d’estrella i s’obtenen al unir els vèrtex d’un polígon regular de dos en dos, de tres en tres, etc.

.- polígons segons el nombre de costats que tenen:

.- triangle (3 costats)

.- quadrilàter (4 costats)

.- pentàgon (5 costats)

.- hexàgon (6 costats)

.- heptàgon (7 costats)

.- Octàgon (8 costats)

.- Enneàgon (9 costats)

.- Decàgon (10 costats)

.- Hendecàgon (11 costats)

.- Dodecàgon (12 costats)

.- Pentadecàgon (15 costats)

.- Icosàgon (20 costats)

Aquests polígons tots poden ser regulars o irregulars, però dintre dels triangles només és regular el triangle equilàter i dintre dels quadrilàters només ho és el quadrat.

Per a la construcció de polígons regulars ens basarem en el teorema següent: (divisió circumf en parts iguals) Si dividim una circumferència en n parts iguals, si n>2 , i unim consecutivament els punts de divisió, el polígon inscrit que hi resulta serà regular. Aquest serà el procediment general a seguir quan se’ns dóna el radi de la circumferència exinscrita o circumscrita, encara que alguns també es construeixen seguint un procediment específic. També es poden construir donada la longitud del costat mitjançant procediments específics.

Però la construcció general de polígons irregulars depèn de les dades que ens donin per a construir-los com poden ser el nombre de costats, la definició del polígon (triangle equilàter, trapezi rectangle, etc...), el valor dels angles, el valor dels costats, el diàmetre de la circumferència exinscrita, etc. Aquest apartat l’estudiarem en capítols independents per als triangles i els quadrilàters, que són els polígon irregulars més utilitzats en geometria.



4.1 .- TRIANGLES

Polígons de tres costats i tres angles. Els costats s’anomenen amb una lletra minúscula (a,b,c,). Els extrems dels costats són els vèrtex i s’anomenen amb una lletra majúscula (A,B,C). Els vèrtex i els costats oposats s’anomenen amb la mateixa lletra. La suma dels tres angles interiors és de 180º i s’anomenen amb la mateixa lletra que el vèrtex corresponent. Cada costat és menor que la suma dels altres dos i més gran que la seva diferència.

A

c b

B a C

POSICIÓ FIXA EN ELS EXERCICIS

4.1.1 .- Classificació

a) segons els costats: .- equilàter: té els tres costats i els tres angles iguals .- isòsceles: té dos costats i dos angles iguals .- escalè: té els tres costats i els tres angles diferents

b) segons els angles - rectangle: té un angle de 90º, el costat oposat a l’angle recte és la hipotenusa i els dos costats que el formen són els catets. .- obtusangle: té un angle obtús .- acutangle: té tres angles aguts

4.1.2 .- Rectes i punts notables dels triangles

.- Mediatriu: mediatriu d’un costat (recta perpendicular el punt mig) .- Circumcentre: punt on es tallen les mediatrius, centre de la circumferència circumscrita

.- Bisectriu: recta que divideix un angle en dues parts iguals. .- Incentre: punt on es tallen les tres bisectrius interiors i centre de la circumferència inscrita.

.- Altura: recta perpendicular a un costat des del vèrtex oposat. .- Ortocentre: punt on es tallen les tres altures

.- Mitjana: recta que uneixen un vèrtex amb el punt mig del costat oposat. .- Baricentre: punt on es tallen les tres mitjanes. Centre de gravetat del triangle. En totes les mitjanes el baricentre es troba a 1/3 del punt mitjà del costat i a 2/3 del vèrtex oposat. El segment que uneix els punts mitjos de dos costats és paral∙lel al tercer costat i en mesura la meitat



4.1.3 .- Construcció de triangles

Per construir un triangle calen almenys tres dades., de les quals una ha de ser lineal. Encara que depenent de les dades poden haver 0, 1 o varies solucions. En aquests casos es millor que l’enunciat indiqui quina cal donar com a definitiva.

Els traçats i els conceptes que s’utilitzen per construir triangles són:

.- còpia de segments

.- còpia d’angles

.- llocs geomètrics

.- arc capaç

.- semblança

.- teorema de Thales

.- classificació dels triangles

.- punts i rectes notables dels triangles

.- propietats de les tres mitjanes

.- lloc geomètric dels punts mitjos de les cordes

Un cop analitzades les dades cal veure quin procediment cal seguir fins arribar a la solució.

.- Còpia de segments: en els exercicis sobre triangles les dades lineals (altures, mitjanes, etc) es poden donar gràficament o numèricament, si es donen numèricament cal primer dibuixar-les i tenir-les de manera gràfica per poder-les transportar amb el compàs al seu lloc corresponent. Mai una mida lineal es pot portar directament amb la regla, sempre cal fer-ho amb el compàs: marcant un arc de radi igual a la mida donada –s’aplica el concepte de lloc geomètric dels punts equidistants a un punt centre de la circumferència o de l’arc- (excepte si es tracta de la base del triangle), el qual s’haurà de tallar amb un altre arc corresponent a altra mida lineal o amb un angle, un arc capaç, etc, depenent de les dades donades.

.- Còpia d’angles: els valors dels angles dels triangles també es poden donar gràficament o indicant el seu valor en graus. Al igual que amb les dades lineals és més interessant treballar gràficament copiant l’angle en el lloc corresponent.

.- Llocs geomètrics: bisectrius, mediatrius, arcs de circumferència (per trobar punts equidistants a un punt: centre de la circumferència), paral∙leles (per trobar punts equidistants a una recta, per exemple quan es donen les altures es dibuixen dues paral∙leles equidistants al valor de l’altura).

.- Arc capaç: s’utilitza quan es dóna un costat, el valor de l’angle oposat, i una altra dada. Quan es diu que es tracta d’un triangle rectangle també podem utilitzar aquesta construcció utilitzant l’arc capaç de 90º, que és la semicircumferència. Si en un triangle isòsceles es dóna el costat i l’angle desiguals caldrà fer l’arc capaç del costat per a l’angle donat, fent la mediatriu dels costat trobarem el tercer vèrtex.

.- Semblança: de vegades amb les dades que es donen es pot construir un triangle semblant al resultat definitiu. Primer es dibuixa el triangle semblant amb dues de les dades i després la tercera dada serà la que determina la solució.

.- Teorema de Thales: s’utilitza quan es dóna per exemple una mitjana, un costat i un angle. Sabem que la mitjana va d’un vèrtex al punt mig del costat oposat, si dibuixem tres paral∙lels equidistants, qualsevol segment que estigui situat entre aquest sistema de paral∙lels estarà dividit en dues parts proporcionals, si en aquest cas les parts són iguals, el segment estarà dividit pel seu punt mig.

1.- es dibuixen, el costat a i l’angle C 2.- dibuixar les parelles al costat b equidistants i que passin per l’extrem del segment a 3.- fer un arc amb l’obertura mc i on talli a la b paral∙lela del mig tindrem el punt mig del costat que falta. 4.- unir l’extrem d’a amb el punt trobat anteriorment a

C mc



.- Classificació dels triangles: caldrà tenir en compte les característiques de cada tipus de triangle, per exemple si es diu que es un triangle isòsceles i es dóna el costat o angle que es repeteix , vol dir que ja es donen dues dades que caldrà repetir, o bé si es diu que és un triangle rectangle ja sabem que té un angle de 90º.

.- Punts i rectes notables dels triangles: cal saber les propietats de cadascuna de les rectes notables per quan ens en donin una com a dada saber com situar-la en un triangle.

Altura Per regla general quan es dóna una altura cal fer dues parelles a la distància igual al valor de l’altura, ja que aquesta serà la distància d’un vèrtex a un costat i dins les paral∙leles portar-hi les demés dades.

Un cas molt simple i que en el que cal aplicar semblança és quan es demana dibuixar un triangle equilàter donada només l’altura: es dibuixa un triangle equilàter qualsevol, es dibuixa l’altura i sobre aquesta es determina la dada que porta al resultat definitiu.

De vegades també es pot utilitzar l’arc capaç de 90º ja que sabem que l’altura és perpendicular a un costat: es dóna un costat a, el seu angle oposat A i l’altura contigua al costat h b.

triangle equilàter

Hi ha un cas molt concret que és quan es donen les tres altures: Com en tot triangle el producte de cada base per a cada altura és constant, es busquen tres magnituds a’, b’, c’ inversament proporcionals a les altures donades i el producte de les quals sigui constant. (s’aplica potència d’un punt respecte a una circumferència, que veurem més endavant). Amb aquestes magnituds com a costats es dibuixa un triangle semblant al triangle demanat, sobre el qual hi portarem les dades donades per dibuixar el triangle solució.

hb

a

A

arc capaç d' A

altu

ra



Bisectriu

Quan es dona una bisectriu i en funció de les altres dades donades, normalment s’utilitza la semblança o bé la còpia d’angles. Si sabem que la bisectriu divideix un angle en dues parts iguals, de vegades podem dibuixar mig angle, el qual caldrà repetir, copiant-lo, per obtenir l’angle total.

També caldrà saber quins punts són els centres de les circumferències inscrita i circumscrita per quan es dóna com a dada el diàmetre d’una d’elles.

.- Propietats de les tres mitjanes: aquest serà un cas particular de la anterior. Cal aplicar la propietat que tenen les mitjanes: en totes les mitjanes el baricentre es troba a 1/3 del punt mitjà del costat i a 2/3 del vèrtex oposat. (Per dividir les mitjanes en tres parts utilitzar el teorema de Thales)

Per això algunes vegades cal dividir les mitjanes en tres pars per situar cada proporció en el seu lloc corresponent. El cas més específic és quan es donen les tres mitjanes :

1.- es construeix un triangle de costats = 2/3 de cada mitjana, així s’obté el baricentre G. 2.- es es perllonguen els costats del triangle que passen pel baricentre, que seran dues de les mitjanes del triangle solució (ma i mb) 3.- per dibuixar la tercera mitjana es fa una paral∙lela a la base del triangle auxiliar que passi pel baricentre 4.- sobre aquestes rectes es porta la mida donada que correspongui a cadascuna

Per dividir les mitjanes en tres parts aplicar el teorema de Thales.

Bc

C 1/2

a B

C 1/2

A mb



.- Lloc geomètric dels punts mitjos de les cordes: el lloc geomètric dels punts mitjos de les cordes d’una circumferència que passen per un mateix punt de la circumferència, és una altra circumferència, tangent interior a la donada en aquest punt, i de radi la meitat.

Aquest traçat s’utilitza en casos molt concrets, com per exemple quan es dóna un costat, el seu angle oposat i una mitjana contigua al costat.

1.- es construeix l’arc capaç de l’angle respecte al costat donat 2.- es dibuixen totes les possibles posicions del punt mig del costat b, que serà aquest lloc geomètric 3.- aplicar la magnitud m b des de l’altre extrem de l’arc capaç (poden haver dues solucions)



4.2 .- QUADRILÀTERS

Els quadrilàters són polígons de quatre costats.

4.2.1 .- Classificació

PARAL∙LELOGRAMS: tenen els costats oposats paral∙lels dos a dos

.- QUADRAT: te els quatre costats iguals, els angles de 90º. Les diagonals són iguals, perpendiculars i es bisequen (es tallen en el punt mig).

.- RECTANGLE: costats iguals i paral∙lels dos a dos, angles de 90º. Les diagonals són iguals, obliqües i es bisequen.

.- ROMBE: costats iguals, paral∙lels dos a dos i oblics els costats consecutius (formen angle diferent a 90º). Les diagonals són desiguals, perpendiculars i es bisequen.

.- ROMBOIDE: costats iguals i paral∙lels dos a dos. Diagonals desiguals, obliqües i es bisequen.

TRAPEZIS: tenen dos costats paral∙lels

.- TRAPEZI RECTANGLE: dos costats paral∙lels i dos angles rectes. Diagonals desiguals, obliqües i no es bisequen.

.-TRAPEZI ISÒSCELES: dos costats paral∙lels i angles iguals dos a dos. Diagonals iguals, obliqües i no es bisequen.

.- TRAPEZI ESCALÈ: dos costats paral∙lels i angles desiguals. Diagonals desiguals, obliqües i no es bisequen.

TRAPEZOIDES: No tenen cap costat paral∙lel. Els costats i els angles són desiguals. Diagonals desiguals, obliqües i no es bisequen

4.2.2 .- Construcció de quadrilàters Per a la construcció de quadrilàters cal aplicar els mateixos traçats i principis que per a la construcció

de triangles (paral∙lelisme, còpia de segments i d’angles, arc capaç, etc) i tenir molt presents les característiques de cadascun descrites en la classificació de quadrilàters.







4.3 .- POLÍGONS REGULARS

Els polígons regulars es poden construir a partir de dues dades: donada la dimensió del costat o el radi de la circumferència circumscrita que conté a tots els vèrtex i el seu centre coincideix amb el del polígon (per aquest motiu el radi de la circumferència circumscrita també es pot anomenar radi del polígon).

4.3.1 .- Construcció donat el costat

.- Triangle equilàter: Es construeix a partir del traçat de l’angle de 60º, ja que els seus tres angles són iguals i per tant aquest serà el seu valor.

.- Quadrat: Es pot dibuixar de moltes maneres, solament amb escaires (tenint en compte que la diagonal forma 45º amb els costats) o bé amb compàs. (Com en l’exemple)

.- Hexàgon: Es pot construir solament amb escaires a partir de l’angle de 30º, o bé amb compàs a partir del traçat de l’angle de 60º, igual que el triangle. Però també es pot construir a partir de la circumferència circumscrita, ja que sabem que el costat d’un hexàgon és igual al radi d’aquesta circumferència.(veure el següent apartat).

.- Octàgon: Hi ha un procediment de construcció senzill amb escaires a partir de l’angle de 45º.

.- Pentàgon: Cal saber que la diagonal del pentàgon és el segment auri del costat. Per tant si ens donen el costat caldrà trobar la diagonal mitjançant el procediment explicat en el dibuix: la circumferència és de radi = costat/2 Un cop trobada la diagonal ja es pot dibuixar el pentàgon .

diagonal

30º 30º

30º

45º

costat



4.3.2 .- Construcció donat el radi

Polígons que es poden construir amb arcs iguals al radi

.- TRIANGLE EQUILÀTER

.- HEXÀGON

.- DODECÀGON

Polígons que es poden construir a partir de diàmetres perpendiculars i diàmetres a 45º

.- QUADRAT

.- OCTÀGON



Polígons que es construeixen amb procediments específics (valors aproximats)

.- HEPTÀGON

.- Dibuixar la circumferència circumscrita i dos diàmetres perpendiculars. .-Fer la mediatriu del radi (només cal traçar un

arc amb el mateix valor del radi, l’altre arc per fer la mediatriu és la mateixa circumferència): obtenim un punt d’intersecció entre aquesta i la circumferència. .- El segment que es forma sobre la mediatriu entre la circumferència i el radi és el costat de l’heptàgon. .- Portar set vegades aquest valor sobre la circumferència. (cal comprovar que “tanqui”: que siguin set vegades exactes les que s’hi porten, ja que és molt fàcil cometre error gràfic, cal molta precisió)

.- PENTÀGON

.- Dibuixar la circumferència circumscrita i dos diàmetres perpendiculars. .-Fer la mediatriu del radi (igual que en el cas

anterior) i obtenim el punt mig del radi. .- Des d’aquest punt traçar un arc obrint fins el punt d’intersecció de l’altre diàmetre amb la circumferència i fins a tallar el diàmetre horitzontal. .- La corda d’aquest arc serà el valor del costat del pentàgon .- Transportar cinc vegades aquest valor, comprovant que el polígon tanqui.

.- DECÀGON

.- Fer els mateixos traçats auxiliars que per al pentàgon. .- El valor del costat serà el segment que es forma en el diàmetre horitzontal des del punt de tall amb l’últim arc traçat i fins el centre de la circumferència .- Acabar el polígon com en els casos anteriors

1/2

l/10

costat

1/2

1/2

costat



Sistema general per a la construcció de polígons

Com ja s’havia mencionat, per a la construcció de polígons regulars ens basarem en el teorema següent: Si dividim una circumferència en n parts iguals, si n>2 , i unim consecutivament els punts de divisió, el polígon inscrit que hi resulta serà regular. Generalment aquest procediment s’aplica per a construir polígons que no tenen un procediment específic per a la seva construcció: enneàgon, hendecàgon, etc

Suposem que se’ns demana dibuixar un enneàgon Primer caldrà dividir la circumferència en nou parts amb els següents traçats auxiliars:

.- Dibuixar un diàmetre vertical i mitjançant el teorema de Thales dividir-lo en les parts iguals corresponents, en aquest cas en nou parts. .- Dibuixar dos arcs de centres els extrems del diàmetre i de radi el diàmetre de la circumferència: obtindrem el punt A. (aquest punt s’haurà d’estar sobre una perpendicular al diàmetre des del centre) .- Fer passar una recta per A i per la segona (sempre aquesta i no cap altre) divisió del diàmetre (ull!, no del traçat auxiliar: teorema de Thales) .- Aquesta recta tallarà a la circumferència en un punt: B .- El segment comprés des de B fins a l’extrem superior del diàmetre serà la unitat per dividir la circumferència en parts iguals. .- Portar aquesta unitat les vegades que calgui, en aquest cas nou. .- Comprovar que el polígon “tanqui”.

A

2

B

o

9



5 TEMA 5- LA CIRCUMFERÈNCIA

5.1 .-- DEFINICIÓ

La circumferència és una línia corba tancada originada per la trajectòria d’un punt A que gira 360º amb centre O. Els segments OA s’anomenen radis, dos radis simètrics OA i OB respecte d’O constitueixen un diàmetre AB. També es pot definir la circumferència com el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d’un punt anomenat centre. Per determinar una circumferència calen tres punts no alineats A, B, C, . Aquests tres punts determinen una sola circumferència. Per trobar-ne el centre cal dibuixar els segments AB i BC i trobar les seves respectives mediatrius. La intersecció entre les dues mediatrius dóna el punt O equidistant d’A, B, C centre de la circumferència. (circumferència que passa per tres punts) L’espai limitat per la circumferència reb el nom de cercle: conjunt dels infinits punts interiors de la circumferència.

5.2 .- ELEMENTS DE LA CIRCUMFERÈNCIA

Els elements característics d’aquesta forma geomètrica són:

.- Cordes: segments que uneixen dos punts qualsevol de la circumferència

.- Diàmetres: són les cordes que passen pel centre i tenen una longitud igual al doble del radi.

.- Arcs: un arc és una porció qualsevol de la circumferència

.- Segments circulars: són les porcions de cercle compreses entre una corda i l’arc que la compren.

.- Sectors circulars: són les porcions de cercle compreses entre dos radis i l’arc que abracen

corda diàmetre

arc segment circular

sector circular

5.3 .- PROPIETATS .- A arcs iguals corresponen cordes iguals .- El diàmetre perpendicular a una corda la

divideix a ella i al arc corresponent en dues pars iguals

.- Tot diàmetre divideix a la circumferència i al cercle en dues parts iguals (és l’eix de simetria)

A

B M

C

D

N

A

B M

N



5.4 .- POSICIONS RELATIVES ENTRE RECTA I CIRCUMFERÈNCIA

.- Recta exterior a la circumferència: quan la recta no talla a la circumferència. Recta i circumferència no tenen cap punt en comú.

.- Recta secant a la circumferència: quan la recta talla a la circumferència en dos punts no coincidents. La recta i la circumferència tenen dos punts en comú.

.- Recta tangent a la circumferència: quan la recta i la circumferència tenen un punt en comú anomenat punt de tangència T.

exterior secant tangent

5.5 .- POSICIONS RELATIVES ENTRE DUES CIRCUMFERÈNCIES

.- Circumferències exteriors: Les dues circumferències no tenen cap punt en comú, i la distància entre els seus centres és més gran que la suma dels radis: d > R1 + R2

.- Circumferències interiors: les dues circumferències no tenen cap punt en comú. La distància entre els seus centres és menor que la diferència dels seus radis: d < R1 - R2 Si tenen el mateix centre s’anomenen circumferències concèntriques: d= 0.

.- Circumferències secants: les dues circumferències tenen dos punts en comú. La distància entre els seus centres és menor que la suma dels radis i més gran que la seva diferència: R1 - R2 < d < R1 + R2

.- Circumferències tangents exteriors: les dues circumferències tenen un punt en comú, i la distància entre els seus centres és igual a la suma dels seus radis: d = R1 + R2

.- Circumferències tangents interiors: les dues circumferències tenen un punt en comú, i la distància entre els seus centres és igual a la diferència dels seus radis: d = R1- R2

A B

T

R1 R2

d

circumferències exteriors

R1 R2

d tangents exteriors

R1

d

R2

circumferències secants

R1

d

tangents interiors

R2

R1

d

R2

circumferències interiors



5.6 .- ANGLES EN LA CIRCUMFERÈNCIA

Hi ha sis angles concrets en la circumferència:

1.- Angle central: aquest angle te com a vèrtex el centre de la circumferència. El seu valor és el de l’arc que delimiten els seus costats que equivalen a dos radis. Quan l’angle central és un angle pla el seu valor és el de la semicircumferència, i quan és un angle recte el seu valor és el d’un quadrant de la circumferència:

α

2.- Angle inscrit: te com a vèrtex un punt qualsevol de la circumferència i els seus costats són dues

cordes. El seu valor és igual a la meitat de l’angle central que abraça el mateix arc: 2 β

= α

α

β

3.- Angle semiinscrit: te com a vèrtex un punt de la circumferència i els seus costats són una recta secant i una recta tangent. El seu valor és igual a la meitat de l’angle central que abraça el mateix arc:

2 β

= α

α

β

4.- Angle interior: te com a vèrtex un punt interior de la circumferència i els seus costats la tallen. El seu valor és igual a la meitat de la suma dels angles centrals corresponents als arc determinats pels

costats i llurs prolongacions: 2

γ + β = α

γ α

β



5.- Angle exterior: te com a vèrtex un punt exterior de la circumferència i els seus costats són dues secants. . El seu valor és igual a la meitat de la diferència dels angles centrals corresponents als arcs

determinats pels costats i llurs prolongacions: 2

γ − β = α

α γ

β

6.- Angle circumscrit: te el vèrtex en un punt exterior a la circumferència i els seus costats són dues tangents. El seu valor és igual a la meitat de la diferència dels angles centrals compresos entre els

costats de l’angle: 2

γ − β = α

α γ

β

5.7 .- RECTIFICACIÓ DE LA SEMICIRCUMFERÈNCIA

Rectificar una circumferència vol dir aconseguir gràficament la seva longitud expressada sobre una recta. Aquesta operació es necessita, per exemple, quan cal dibuixar el desenvolupament d’un cilindre. Hi ha diverses operacions per rectificar-la, però la més aproximada és el mètode de Kochanski

Procediment per rectificar la semicircumferència: 1.- Dibuixar la circumferència de radi donat r, un diàmetre AB i una tangent en un dels seus extrems. 2.- Dibuixar un radi que formi 30º amb el diàmetre, i a partir del punt d’intersecció M d’aquest radi amb la tangent, es mesura sobre ella una magnitud MN = 3r 3.- El segment definit pels punts A i N, mesura 3.141533... vegades el radi r (aproximadament π r)

5.8 .- DIVISIÓ EN PARTS IGUALS.

Aquesta operació és la mateixa que es realitza, sobre la circumferència per poder construir un polígon regular de n costats. (veure capítol polígons) doncs és l’aplicació més directa que te aquesta construcció. Encara que el seu resultat no és exacte, en alguns casos s’utilitza per dibuixar polígons que no tenen un mètode més precís de traçat. Sempre que un polígon tingui un mètode particular de construcció, cal utilitzar aquest i no el mètode general.



6 TEMA 6.- TANGÈNCIES I ENLLAÇOS

En aquest tema s’estudiaran els problemes i les seves solucions per traçar rectes tangents a circumferències, circumferències tangents a rectes i circumferències tangents a altres circumferències.

Els enllaços són els passos suaus d’una recta a l’arc d’una circumferència o d’un arc a un altre. Els enllaços es construeixen aplicant les mateixes propietats que per a la construcció de les tangències. De fet, en un enllaç es consideren nomes porcions de rectes i circumferències tangents entre sí.

Quan es treballa amb tangències i enllaços és fonamental determinar sempre els punts de tangència i els centres de les circumferències solució.

Per a la resolució dels problemes caldrà aplicar les propietats bàsiques de les tangències i les dels llocs geomètrics (mediatriu, bisectriu, paral∙leles, circumferència) per tal de determinar els centres de les solucions. (encara que en alguns casos caldrà recordar traçats concrets per solucionar-los)

6.1 .- PROPIETATS

.- Com ja s’ha vist, tot radi perpendicular a una corda la divideix en dues parts iguals i també a l’arc que aquesta comprèn. Per tant, la mediatriu d’una corda passa pel centre de la circumferència. Una corda te dos punts en comú amb la circumferència.

.- Quan un recta és tangent a una circumferència el punt de tangència, T, es situa en la intersecció de la recta amb un radi perpendicular a ella.

.- Quan dues circumferències són tangents entre sí el punt de tangència (punt en comú entre ambdues) es situa sobre la recta que uneix ambdós centres O i O’. També cal recordar quina és la distància, d, entre els centres de dues circumferències quan són tangents interiors o exteriors:

.- Tangents exteriors: d = R1 + R2

.- Tangents interiors: d = R1 - R2

T

O' T O

O



6.2 .- RECTES TANGENTS A CIRCUMFERÈNCIES DONADES

6.2.1 .- Rectes tangents a circumferència que passsen per un punt exterior P

El punt de tangència ha de ser el vèrtex d’un angle recte amb costats el radi i la tangent. El lloc geomètric d’aquest vèrtex serà l’arc capaç de l’angle de 90º per a un segment igual al la distància entre el centre i el punt donat. La solució són dos punts de tangència simètrics respecte a la recta distància entre le punt i el centre de la circumferència.

6.2.2 .- Rectes tangents comunes exteriors a dues circumferències

Són les paral∙leles a les tangents des del centre d’una d’elles a una circumferència auxiliar de radi = R2 – R1 Procediment: 1.- Fer la mediatriu entre els centres i dibuixar la circumferència que passi per aquests ( o només l’arc necessari). 2.- Dins la circumferència més gran dibuixar-hi l’auxiliar. 3.- Des del centre de la petita dibuixar-hi les rectes tangents, determinant els punts de tangència. 4.- Dibuixar les rectes paral∙leles a aquestes, tangents a ambdues circumferències. Caldrà determinar quatre punts de tangència

6.2.3 .-Rectes tangents comunes interiors a dues circumferències donades

Són les paral∙leles a les tangents des del centre d’una d’elles a una circumferència auxiliar de radi = R2 + R1 Procediment: 1.- Fer la mediatriu entre els centres i dibuixar la circumferència que passi per aquests ( o només l’arc necessari). 2.- Amb centre el mateix que la circumferència més gran dibuixar-hi l’auxiliar. 3.- Des del centre de la petita dibuixar-hi les rectes tangents, determinant els punts de tangència. 4.- Dibuixar les rectes paral∙leles a aquestes, tangents a ambdues circumferències. Caldrà determinar quatre punts de tangència

P O

T1

T2



6.3 .- CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A RECTES DONADES

(Als punts de les rectes on les circumf. siguin tangents els anomenarem T, i els punts exteriors a les rectes per on passen les circumferències A, B, P, etc)

6.3.1 .- Circumferència tangent a recta r en un punt d’aquesta T i que passa per un punt exterior A.

Cal trobar el centre de la solució. Procediment: .- Mediatriu del segment AT .- Perpendicular a r des de T

6.3.2 .- Circumferència tangent a r en T donat el radi R.

Procediment: .- Fer una perpendicular a r en T .- Des de T fer arcs (o circumferència) amb radi R i sobre la perpendicular trobaren O1 i O2 (aplicació del lloc geomètric circumferència per trobar punts equidistants a T, que seran els centres)

6.3.3 .- Circumferència tangent a recta r que passi per un punt exterior P, donat el radi R

Procediment: (aplicant els llocs geomètrics circumferència i paral∙lela) .- Traçar paral∙lela a r a una distància R .- Traçar circumferència de centre en P i radi R .- On es tallin els dos traçats anteriors trobarem els centres O1 i O2 .- Traçar perpendiculars a r des de O1 i Os per determinar els punts de tangència T1 i T2

6.3.4 .- Circumferències tangents a dues rectes,r i s, donat el radi

Procediment:(aplicació del lloc geomètric paral∙leles) .- Traçar dues paral∙lels a r i a s a la distància R .- On es tallin les quatre paral∙leles dos a dos es situaran els centres de les solucions. .- Des dels centres traçar perpendiculars a les rectes per determinar els dos punts de tangència per a cada circumferència.

A

T

r

r

01

02

T

R

O1 O2

T1 T2

P

R

R

R

R

R R

r

s



6.3.5 .- Circumferència tangent a dues rectes, r i s, donat un punt de tangència T

Procediment: (aplicació del lloc geomètric bisectriu) .- Traçar les bisectrius dels angles que formen les dues rectes al tallar-se. .- Traçar una recta perpendicular a la recta on està situat el punt T .- On es tallen les bisectrius i les perpendiculars trobem els centres. .- Determinar els restants punts de tangència (T1 i T2) mitjançant perpendiculars a la segona recta.

6.3.6 .- Circumferència inscrita en un triangle

Procediment: .- Aplicar les propietats de les bisectrius interiors del triangle i trobar el incentre. .- Determinar els punts de tangència mitjançant perpendiculars als costats des del centre.

6.3.7 .- Circumferència tangent a tres rectes que es tallen dos a dos

Com en els casos anteriors, caldrà treballar amb les bisectrius dels angles interiors que formen les rectes, d’aquesta manera trobarem els centres de les solucions en les interseccions de les bisectrius. Després caldrà determinar els punts de tangència amb les perpendiculars al es rectes des dels centres.

6.3.8 .- Circumferència tangent a tres rectes

Es soluciona igual que el cas anterior, la única diferència és que com no tenim els vèrtex on es tallen les rectes caldrà aplicar el següent traçat: bisectriu de dues rectes que no es tallen en els límits del dibuix. El qual es resolt fent paral∙lels equidistants a les rectes donades que es tallin en el dibuix i fent-hi la bisectriu.

T

r

s

O1

O2

T1

T2

T1 T2

T3

O

r

s

t

d

d

r

s t



6.4 .- CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A CIRCUMFERÈNCIES DONADES

6.4.1 .- Circumferències tangents a circumferència donat un punt T i el radi. Procediment: .- Unir el centre O amb el punt P i perllongar la recta (recta on se situarà el centre de les solucions) .- A partir de T fer circumferència de radi R només cal marcar els arcs que tallin a la recta anterior (lloc geomètric de tots els punts equidistants el radi de T) i obtindrem dues solucions O1 i O2. .- Dibuixar les solucions.

6.4.2 .- Circumferència tangent a circumferència donat un punt T i un punt ext P Procediment: .- Unir i perllongar O T (recta dels centres de les solucions) .- Fer la mediatriu del segment TP (circumferència que passi per dos punts) .- En la intersecció de les dues rectes es troba el centre de les solucions.

6.4.3 .- Circumferències tangents a circumferència donat un punt exterior P i el radi. Procediment: .- Fent centre en P fer una circumferència de radi R (lloc geomètric del punts equidistant R de P, on se situaran els centres de les soluciona). .- Fent centre en O fer circumferències de radi r+R i r–R (llocs geomètrics per trobar els centres de les circumf tangents interiors i tangents exteriors a la donada, aplicant la relació entre els seus centres.(veure posicions relatives entre circumferències) .- En les interseccions de la primera circumferència amb les altres dues es troben els centres de les solucions (poden haver-hi fins a quatre solucions). .- Determinar els punts de tangència unint els centres de les solucions amb els centres de la dada.

6.4.4 .- Circumferències tangents a dues circumferències donat el radi. Procediment: (aplicar els mateixos principis que en el cas anterior) .- Fent centre en O fer dues circumferències de radi r+R i r-R .- Fent centre en O’ fer dues circumferències de radi r’+R i r’-R .- En les interseccions entre aquestes circumferències es troben els centres de les solucions (poden haver-hi fins a vuit solucions. .- Determinar els punts T.

T

o O1

O2

R

T P

O1

O

r

o

O'

r'

R

O1

T1

O2 T2

P

R-r

r

R+r

R

T1 O1

T2

O2

R



6.5 CASOS MIXTES

6.5.1 .- Circumferència tangent a circumferència i a recta r donat el punt T en la circumferència.

Procediment: .- Unir i perllongar OT (recta on se situaran els centres de les solucions) .- Dibuixar la recta t tangent a la circumferència per T (perpendicular a OT. .- Traçar les bisectrius dels angles que formen les rectes r i T. .- En els punts d’intersecció de les bisectrius amb la recta que passa per O i T es trobaran els centres de les solucions: O1 i O2 .- Determinar els punts T1 i T2 sobre la recta r, dibuixant-hi les perpendiculars des dels centres.

6.5.2 .- Circumferència tangent a circumferència i a la recta s donat el radi R. Procediment: .- Traçar paral∙lela a s a la distància R (lloc geomètric dels punts equidistants una distància R a la recta s) on se situaran els centres respecte la recta. .- Traçar dues circumferències de radis r+R i r-R amb centre O. (llocs geomètrics on se situaran els centres respecte la circumferència) .- En les interseccions de les circumferències i les paral∙leles hi trobarem els centres de les solucions. (poden haver fins a quatre possibles solucions).

6.5.3 .- Circumferències tangents a dos costats d’un triangle i entre sí. Procediment: .- Traçar les bisectrius dels angles dels vèrtex B i C del triangle. .- Dibuixar una recta qualsevol paral∙lela al costat a que talli a les dues bisectrius en els punts A i B. .- Fent centre en A i en B traçar dues circumferències tangents al costat a determinant els punt de tangència t1 i t2 sobre aquest costat (fent rectes perpendiculars des dels centres) i els punts t’1 i t’2 sobre la recta paral∙lela. .- Unir els vèrtex B i C del triangle amb els punts t’1 i t’2. En el punt d’intersecció d’aquestes rectes tobarem el punt T que serà el punt de tangència entre les dues circumferències. .- Per aquest punt es fa passar una paral∙lela al costat a que tallarà a les bisectrius en els punts O1 i O2, centres de les solucions.

.- Determinar els punts de tangència T’1 i T’2 sobre els altres costats fent-hi perpendiculars des dels centres.

A B

t1 t2

t'1 t'2 T

C B

A

O1

T1

T'1 T'2

T2

O2

R

R

r+R

r

O1

T1

O2

T2

T'1 T'2

s

O

O T

O1

T1 T2

O2

r



6.6 CORBES TANGENTS

6.6.1 OVAL



6.6.2 OVOIDE



6.6.3 ESPIRAL



7 TEMA 7.- CORBES CÒNIQUES

7.1 .- CLASSIFICACIÓ

7.2 .- ELIPSE







7.3 .- PARÀBOLA



7.4 - HIPÉRBOLE









Date post:	17-Oct-2018
Category:	Documents
Upload:	lamdiep
View:	215 times
Download:	0 times

DEPARTAMENT D’EXPRESSIÓ VISUAL I PLÀSTICAlrocher/teoria_1batx/DOSSIER GEOMETRIA PLANA.pdf · Th...

Documents