22
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
DESENVOLVIMENTO DE APLICAÇÃO PARA DEFINIÇÃO DE ARMADURA EM
LAJES MACIÇAS RETANGULARES APOIADAS NO CONTORNO
DEVELOPMENT OF APPLICATION FOR DEFINITION OF FRAMEWORK IN
RECTANGULAR MASSIVE PAVING STONES RESTED ON THE OUTLINE
Fernando Aparecido Oliveira BARBOSA1
Otoniel Gomes da SILVA2
Renato Cardoso OLIVEIRA3
RESUMO
O presente artigo aborda o desenvolvimento de uma programação no Excel, voltada para
estudantes, professores e profissionais que lidam com a necessidade de um sistema para o
cálculo de armadura em lajes maciças retangulares apoiadas no contorno, que tenha baixo custo
e que ofereça resultados confiáveis. O desenvolvimento desse sistema deu-se pela utilização da
ferramenta Virtual Basic for Application (VBA), a qual já vem inclusa nos módulos avançados
do Pacote Office. Para o dimensionamento e determinação das armaduras de lajes maciças,
dispôs-se da Teoria de Flexão nas Placas que é formada a partir da Teoria de Kirchhoff supondo
material homogêneo, isótropo e elástico linear. Através dessa Teoria, dimensiona-se toda a laje
analisando por placas isoladas, utilizando as equações de equilíbrio formuladas pela
superposição das soluções de Navier ou Levy, dependendo das condições de contorno e
carregamento da laje (ARAÚJO, 2014b). Os resultados obtidos com a programação quando
comparados aos estudos realizados foram satisfatórios, configurando-se assim uma ferramenta
importante para o auxílio didático.
Palavras-chave: Lajes maciças. Excel VBA. Definição de armadura.
ABSTRACT
This article discusses the development of a program in Excel, aimed at students, teachers and
professionals who deal with the need for a system for the calculation of reinforcement in solid
rectangular slabs supported in the contour, which has low cost and offers reliable results. This
system was developed using the VBA (Virtual Basic for Application) tool, which is already
included in the advanced modules of the Office Package. For the dimensioning and
determination of the massive slabs reinforcement, it was disposed of the Theory of Bending in
the Plates that is formed from the Theory of Kirchhoff assuming homogeneous material,
isotropic and linear elastic. Through this Theory, the entire slab is dimensioned analyzing by
isolated plates, using the equilibrium equations formulated by the superposition of the solutions
of Navier or Levy, depending on the boundary conditions and loading of the slab (ARAÚJO,
2014b). The results obtained with the programming when compared to the case studies
performed were satisfactory, thus constituting an important tool for didactic assistance.
1 Graduando em Engenharia Civil, Faculdade Aldete Maria Alves/FAMA, Iturama/MG.
[email protected] 2 Graduando em Engenharia Civil, Faculdade Aldete Maria Alves/FAMA, Iturama/MG.
[email protected] 3 Engenheiro Civil, Mestre em Engenharia de Estruturas, Docente da Faculdade Aldete Maria Alves/FAMA,
Iturama/MG. [email protected]
23
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
Keywords: Solid slabs. Excel VBA. Definition of armor.
1 INTRODUÇÃO
Quando o assunto é sobre projeto estrutural fica praticamente impossível realizar os
cálculos de forma totalmente manual devido ao grau de complexidade, por exemplo, para a
construção de um edifício, se fossem realizadas todas as etapas do dimensionamento estrutural
de forma manual, levaria semanas, o que ocasionalmente comprometeria o cronograma do
projeto. Entretanto, é importante destacar que a automatização realizada por programas não
veio para substituir os conceitos de cálculo estrutural, e sim propor resultados mais eficazes.
O desafio de um projetista estrutural é envolvido por uma série de questionamentos,
discutindo, por exemplo, quais requisitos devem atender uma estrutura levando em conta seu
comportamento para condições de serviço, se a construção proporciona segurança e resistência
adequada, se o seu custo é viável, se a estrutura é esteticamente aceitável e quanto é a sua vida
útil. Por isso, o surgimento de softwares como o Cypecad, Eberick e TQS, que realizam os
cálculos para variações nos estados-limites dos elementos estruturais, dimensionando e
detalhando com análise tridimensional, proporcionam não somente resultados eficientes,
utilizando os métodos corretos perante suas respectivas normas, como também agilizam os
processos de cálculos necessários.
O auxílio de ferramentas virtuais em cálculos estruturais tem se tornado cada dia mais
comum, tanto para efeitos de agilidade na confecção dos projetos, quanto para obter a
otimização dos cálculos e dimensionamentos. A ideia de se fazer uma programação em Excel
para definição de armadura em lajes maciças, do tipo retangulares apoiadas no contorno, surgiu
da necessidade de uma ferramenta para contribuir nos cálculos durante as aulas em curso que
envolvam a área da construção civil. Esse sistema proposto poderá auxiliar tanto os professores
quanto os alunos, pois torna a realização dos cálculos relativamente mais rápidos e,
consequentemente, reduz a chance de erros quando comparado com os cálculos manuais.
Sendo assim, a elaboração de um sistema com uma interface auto didática e intuitiva,
que facilita sua utilização, bem como realizar as verificações constantes na NBR 6118
(ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 2014), torna tal sistema uma
ferramenta de grande potencial para o auxílio no cálculo estrutural deste tipo de laje.
Deste modo, o foco deste trabalho foi apresentar uma proposta de desenvolvimento de
uma programação em Excel para a definição da armadura em lajes maciças retangulares
apoiadas no contorno.
24
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Cálculo Estrutural
O cálculo estrutural, ou projeto estrutural, trata-se do dimensionamento das estruturas
de uma edificação na qual irá se sustentar, transmitindo seus esforços solicitantes ao solo
(FREITAS et al., 2014). De acordo com Alves Filho (2002), o cálculo estrutural foi definido
como a parte onde o engenheiro é responsável por calcular e garantir a estabilidade da estrutura
em estudo, aplicando os teoremas da Mecânica Geral, analisando a resistência do concreto e do
aço, a rigidez, flecha, deformação, estados de limites últimos e de serviço, entre outros
parâmetros que são necessários verificar, a fim de dimensionar corretamente e comprovar que
a estrutura se mantém isostática.
De modo geral, o projeto estrutural é considerado como sendo o conjunto de
informações referentes as especificações técnicas, de modo que os elementos estruturais
venham suportar os esforços solicitantes da estrutura com segurança, sem exceder os limites
dos materiais empregados, podendo ser manifestado fisicamente em pranchas (plantas),
descrevendo os elementos estruturais segundo seu dimensionamento prévio, juntamente com
os memoriais de cálculo e descritivo (UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA,
2018).
2.2 Armaduras
As armaduras são essenciais às estruturas de concreto devido à baixa resistência a
tração do mesmo. Segundo Araújo (2014a) o concreto resiste a tração cerca de 10% de sua
resistência à compressão, por isso as barras aço adicionadas ao concreto cumprem a função de
absorver os esforços de tração na estrutura, além de aumentar a capacidade de carga das peças
comprimidas. Vale ressaltar que essa combinação só é possível graças a aderência entre os dois
elementos.
2.3 Lajes maciças
No século XIX, o inglês William Boutland Wilkinson (1819-1902), fabricante de
argamassa e gesso da cidade de Newcastle Upon Tyne, na Inglaterra, foi o primeiro a patentear
um sistema de laje maciça, laje esta produzida em concreto armado (MARÇAL, 2014).
25
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
Segundo Araújo (2014b), lajes maciças são compostas por placas com espessuras
uniformes e apoiadas em seu contorno, onde os apoios podem ser vigas ou alvenarias. Carvalho
e Figueiredo Filho (2015), definiram as lajes maciças como placas de concreto que distribuem
suas reações em todas as vigas de contorno, sendo esta, uma de suas características que as
diferem das lajes pré-moldadas.
2.3.1 Lajes retangulares apoiadas no contorno
As lajes retangulares apoiadas no contorno podem dispor de contornos compostos de
apoio fixo ou engastes, porém, não aceitando bordo livre. Nestes tipos de lajes, as cargas são
uniformemente distribuídas, possibilitando calcular a flecha máxima, os momentos fletores
positivos nos vãos, momentos negativos nos bordos engastados, momento torçor nos cantos
simplesmente apoiados e as reações de apoio (ARAÚJO, 2014b).
2.4 Excel
O Microsoft Office Excel é um programa pertencente ao Pacote Office, o qual teve sua
primeira versão no ano de 1985, com o objetivo de concorrer no mercado com o programa de
planilhas eletrônicas Lotus 1-2-3; em seguida, no ano de 1988 teve sua primeira versão para a
plataforma do Windowns, já mostrando indícios de superação ao programa concorrente
(UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL, 2018).
Segundo Zamboni et al. (2011), este software trabalha com certas abordagens como
faixas; células, planilhas e pastas; colunas e linhas; cópias relativas e absolutas; biblioteca de
funções; gráficos; regressões; aritmética de matrizes; sistemas de equações lineares algébricas;
programação linear com solver, entre outras funcionalidades.
2.4.1 Visual Basic for Application (VBA)
O Visual Basic for Application (VBA) é uma linguagem de programação que permite
ao usuário realizar tarefas dentro do próprio sistema do Microsoft Office Excel. Conforme as
necessidades do programador, pode-se executar funções repetitivas através do uso de macros,
ou outras ferramentas mais complexas como desenvolver um programa que atenda exatamente
o que se necessita, tornando a vida profissional mais prática e eficaz (ZAMBONI et al., 2011).
26
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
A linguagem VBA disponibiliza ferramentas como gravação de macros, funções e sub-
rotinas, variáveis e tipos, fluxogramas, estruturas condicionais, estruturas repetitivas, vetores e
matrizes e controles e formulários.
3 METODOLOGIA
3.1 Curso de Excel Avançado e VBA
Para o profissional que tenha pouca ou nenhuma compreensão sobre linguagem de
programação VBA, é necessário que o mesmo adquira tal conhecimento intermediário para que
possa dar início à criação de seu próprio sistema.
Por isso, participar de cursos on-line oferecidos pelo Sigma Treinamentos, por
exemplo, ou pesquisar informações em livros ou blog’s na internet, lhe fornecerá uma noção de
mas criar objetos VBA, elaborar fluxogramas, logaritmos com variáveis e loop finitos, além de
conhecer várias funções que o Excel fornece, que para alguns são desconhecidas. Um material
para quem interessar em aprofundar no assunto é a obra Programando Excel VBA para Leigos
(WALKENBACH, 2018).
3.2 Criando a interface do sistema
Na aba desenvolvedor do Excel há uma opção chamada Visual Basic Editor, que é o
local onde se elabora a interface do sistema.
Para iniciar a criação do projeto, foi necessário inserir um campo de interação através
da ferramenta denominada UserForm, onde foi possível adicionar as imagens dos tipos de lajes
abordadas, caixas de texto, botões de comando, botões de opção, entre outros, conforme as Figuras
1 e 2.
27
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
Figura 1: Tela inicial do sistema.
Fonte: Autoria própria.
Como apresentado na Figura 1, foi criado e inserido na tela inicial do sistema o
logotipo fictício “G&B Technology”, com o intuito de que no futuro venha-se patentear o
programa.
Estabeleceu-se algumas observações técnicas a serem levadas em conta, em função do
método de cálculo utilizado para projetar este sistema, tais como o embasamento na Teoria de
Flexão das Placas para o dimensionamento da armadura das lajes, e a admissão de que a área
de aço calculada será sempre em função de um trecho linear de 1 metro da laje, ou seja,
resultando em uma unidade de medida para a armadura em (cm²/m).
Figura 2: Tela para seleção do tipo de laje.
Fonte: Autoria própria.
28
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
Conforme a Figura 2, foram desenvolvidos seis modelos de laje que se diferem pelo
seu tipo de apoio, podendo ser simplesmente apoiadas ou com apoios e engastes. Para o cálculo
de reações de equilíbrio destas lajes foram inseridos dentro da programação em uma estrutura
de decisão, os coeficientes das tabelas de Kalmanok apresentadas por Araújo (2014b), que
admitiam originalmente o coeficiente de Poisson () igual a 0; entretanto, foram utilizadas
adaptando-se os valores de = 0,20, conforme recomendação da NBR 6118/2014 (ARAÚJO,
2014b).
3.3 Programando os códigos do sistema – Teoria de Flexão das Placas
Para desenvolver o fluxograma da programação do sistema inseriu-se uma série de
equações matemáticas para o dimensionamento das lajes retangulares apoiadas no contorno,
utilizando-se da didática apresentada pelos Livros de Concreto Armado, volume 1 e 2, de
Araújo (2014), abordando a Teoria de Flexão das Placas para dimensionamento da armadura
nas duas direções. Essa teoria é formada a partir da Teoria de Kirchhoff supondo material
homogêneo, isótropo e elástico linear. Através dessa teoria, dimensiona-se toda a laje
analisando por placas isoladas, utilizando as equações de equilíbrio formuladas pela
superposição das soluções de Navier ou Levy, dependendo das condições de contorno e
carregamento da laje (ARAÚJO, 2014b).
Conforme descrito em Araújo (2014b), para evitar o trabalho de inúmeros
dimensionamentos que terminam por resultar em uma armadura mínima, pode-se determinar o
momento de serviço (Mk, min) correspondente à armadura mínima, a partir do uso da Tabela
4.4.2, que depende da altura da laje definida, e do tipo de aço e concreto a serem utilizados. No
entanto, a literatura fornece dados definidos para Mk, min somente para o tipo de concreto que
apresenta resistência em até 30 Mpa. Por isso, inserimos dentro do sistema VBA criado, a
Equação (01) para o cálculo do Mk, min, com o intuito de obter o momento de serviço para o
concreto com resistência em até 90 Mpa.
𝑀𝑘,𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑓𝑦𝑑
𝑓
[𝑑 −𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑓𝑦𝑑
2𝑏𝑐𝑑]
Equação (01)
Logo após inserir todas equações para o dimensionamento das lajes, além das
verificações de segurança exigidas pela NBR 6118/2014, foi possível determinar a quantidade
29
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
de área de aço necessária para cada seção com base na Equação (02). Ao introduzir esta fórmula
matemática ao logaritmo do código VBA, conforme a Figura 3, o sistema reconhecerá que as
áreas de aço adotadas para os vãos, com e sem engates, e para os cantos da laje devido ao
momento torçor, deverão ser os maiores valores entre a área de aço calculada e a área de aço
mínima para cada vão.
As=𝜉𝑏𝑑𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
Equação (02)
Figura 3: Cálculo da área de aço adotada para cada seção.
Fonte: Autoria própria.
Foram utilizadas as tabelas do Excel como banco de dados, para que quando fosse
selecionada alguma característica da laje, como por exemplo, a resistência característica do
concreto (FCK), o tipo de agregado ou a classe de agressividade, o sistema buscaria os valores
atribuídos para tais nas tabelas, e os apresentariam dentro da sua respectiva caixa de texto no
programa.
Após inserir toda a série de equações para dimensionamento de lajes maciças, descritas
por Araújo (2014b) no sistema em código VBA, e realizar os mesmos processos de cálculo
manualmente, prosseguimos com a comparação entre os resultados obtidos para validar a
eficiência do sistema programado.
4 COMPARAÇÃO DE RESULTADOS
30
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
A seguir apresenta-se uma comparação entre os resultados obtidos na utilização do
programa comparados a resultados obtidos manualmente. Os dados característicos para análise
foram retirados do Exemplo de Cálculo 2.6, de Araújo (2014b) e organizados no Quadro 1
abaixo.
Enquanto foram realizados neste trabalho seis testes, que se diferem pelas disposições
dos apoios (variando entre fixo e engaste), Araújo (2014b) apresentou a resolução de cálculo
somente para a laje do Tipo 01 – Laje retangular simplesmente apoiada em todo o contorno,
com carga uniformemente distribuída. Por isso, foi realizado manualmente o mesmo processo
de cálculo para todas os seis tipos de lajes inseridas no programa, comparando com os
resultados obtidos pelo sistema no Quadro 2 ao Quadro 7.
Quadro 1: Dados característicos de análise da laje-tipo.
Fonte: Autoria própria.
Primeiramente, antes de iniciar o lançamento de dados, foi escolhido o primeiro tipo
de laje, conforme a Figura 2. Os valores para os coeficientes de ponderação das ações (f), e
para a resistência do concreto (s) e do aço (c) foram considerados conforme apresentado no
Quadro 1, admitindo seus valores para ações do tipo normal, permanentemente desfavorável,
respeitando as regulamentações da NBR6118/2014.
Para exemplo da utilização do sistema, escolheu-se a Laje Tipo 01, onde, utilizando-
se os dados contidos no Quadro 1, foi possível preencher as informações solicitadas pelo
sistema, de acordo com a Figura 4 abaixo.
31
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
Figura 4: Tela para inserir os dados iniciais da laje.
Fonte: Autoria própria.
Devido à utilização das planilhas do Excel como banco de dados, e do fluxograma
programado dentro do sistema VBA, ao se escolher nesse caso o agregado sendo do tipo granito
e gnaisse, automaticamente o sistema reconheceu a informação e apresentou o valor do
coeficiente do agregado (αe) igual a 1. Também da mesma forma, ao selecionar o tipo de
agressividade I, o sistema apresentou o cobrimento necessário de 2 cm, e para o FCK igual a
30 MPa, valores de 0,45 e 0,2952 para ξlim e μlim, respectivamente.
A partir do lançamento de dados e clicando no botão calcular, como mostrado na
Figura 4, o código do sistema fez todas a verificações internamente, tais como: flecha máxima,
profundidade da linha neutra limite, momento reduzido limite e alguns coeficientes, conforme
a NBR 6118/2014 nos propõe. Se durante as verificações algum resultado obtido dentre os
cálculos realizados pelo sistema não atender aos parâmetros exigidos pela Norma, então o
sistema alertará o usuário com uma mensagem, descrevendo o motivo que o impossibilitou de
continuar o processo de cálculo e a solução, para que o mesmo altere algumas propriedades da
laje utilizada. Mas se as verificações estiverem de acordo com a Norma, o sistema gerará uma
tela conforme a Figura 5, com todos os resultados dos cálculos.
32
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
Figura 5: Tela com resultados obtidos no sistema.
Fonte: Autoria própria.
De acordo com a Figura 5 foi fornecida, além dos resultados dos cálculos para a Laje
Tipo 01, uma legenda contendo a descrição de todas as variáveis determinadas, e a possibilidade
de se imprimir um relatório com os resultados a partir do botão imprimir.
Prosseguindo com os estudos, foram organizados os cálculos manuais e os gerados
pelo sistema nos quadros abaixo para os demais tipos de laje, a fim de se comparar os resultados
e a possível ocorrência de erro aceitável ou não.
Quadro 2: Resultados dos cálculos iniciais.
Fonte: Autoria própria.
Pode-se notar que os resultados apresentados no Quadro 2 são idênticos para os seis
tipos de lajes maciças. Isso ocorre porque neles estão variáveis, coeficientes e verificações de
segurança, que dependem diretamente das propriedades da laje-tipo informadas no Quadro 1, e
não da forma de seu apoio e engastamento, como os resultados obtidos nos demais quadros.
VARIÁVEIS SISTEMA BIBLIOGRAFIA VARIÁVEIS SISTEMA BIBLIOGRAFIA
d (cm) 7,500 7,500 Mk min (cm²/m) 4,072 4,072
cd (kN/cm²) 1,821 1,821 αc 0,850 0,850
Fcd (MPa) 21,429 21,429 0,800 0,800
Fyd (kN/cm²) 52,174 52,174 Ec (MPa) 30672,463 30672,463
ξlim 0,450 0,450 αi 0,875 0,875
μlim 0,295 0,295 Ecs (MPa) 26838,405 26838,405
As mín (cm²/m) 1,500 1,500 D (kN.m) 2329,723 2329,723
r mín (%) 0,150 0,150 W máx (cm) 1,200 1,200
CÁLCULO S INICIAIS
33
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
Quadro 3: Resultados das reações de equilíbrio. REAÇÕES DE EQUILÍBRIO
VARIÁ
VEIS
TIPOS DE LAJE
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
W (cm) 0,115 0,115 0,091 0,091 0,072 0,072 0,058 0,058 0,050 0,050 0,034 0,034
Mx
(kN.m/
m)
1,989 1,989 1,872 1,872 1,778 1,778 1,197 1,197 1,256 1,256 0,085 0,085
My
(kN.m/
m)
3,074 3,074 2,471 2,471 1,971 1,971 1,926 1,926 1,665 1,665 1,454 1,454
Mxe (kN.m/
m)
0,000 0,000 -4,748 -4,748 -4,307 -4,307 -3,416 -3,416 -3,272 -3,272 -2,538 -2,538
Mye (kN.m/
m)
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -4,230 -4,230 -3,776 -3,776 -3,141 -3,141
Mxy
(kN.m/m)
2,084 2,084 1,881 1,881 0,000 0,000 1,481 1,481 0,000 0,000 0,000 0,000
Rx
(kN/m) 4,545 4,545 3,345 3,345 2,235 2,235 3,135 3,135 2,280 2,280 0,000 0,000
Ry (kN/m)
3,945 3,945 3,855 3,855 7,035 7,035 2,400 2,400 0,000 0,000 0,000 0,000
Rxe
(kN/m) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 6,135 6,135 5,130 5,130 4,695 4,695
Rye
(kN/m) 0,000 0,000 7,230 7,230 0,000 0,000 5,235 5,235 5,055 5,055 3,750 3,750
Fonte: Autoria própria.
Quadro 4: Resultados dos momentos fletores de cálculo.
MOMENTOS FLETORES DE CÁLCULO (kN.cm/m)
VARIÁVEIS
TIPOS DE LAJE
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
Mdx 570,0
80 570,080
570,0
80 570,080
570,0
80 570,080
570,0
80 570,080
570,0
80 570,080
570,0
80 570,080
Mdy 570,0
80 570,080
570,080
570,080 570,0
80 570,080
570,080
570,080 570,0
80 570,080
570,080
570,080
Mdxe 0,000 0,000 664,7
20 664,720
602,9
80 602,980
570,0
80 570,080
570,0
80 570,080
570,0
80 570,080
Mdye 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 592,2
00 592,200
570,080
570,080 570,0
80 570,080
Mdxy 570,0
80 570,080
570,0
80 570,080 0,000 0,000
570,0
80 570,080 0,000 0,000 0,000 0,000
Fonte: Autoria própria.
Quadro 5: Resultados da análise linear sem redistribuição de esforços.
ANÁLISE LINEAR SEM REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS
VARIÁVEIS
TIPOS DE LAJE
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
SIST
EMA
BIBLIOG
RAFIA
μx 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056
μy 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056
μxe 0,000 0,000 0,065 0,065 0,059 0,059 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056
μye 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,058 0,058 0,056 0,056 0,056 0,056
μxy 0,056 0,056 0,056 0,056 0,000 0,000 0,056 0,056 0,000 0,000 0,000 0,000
ξx 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072
ξy 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072
34
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
ξxe 0,000 0,000 0,084 0,084 0,076 0,076 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072
ξye 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,075 0,075 0,072 0,072 0,072 0,072
ξxy 0,072 0,072 0,072 0,072 0,000 0,000 0,072 0,072 0,000 0,000 0,000 0,000
Fonte: Autoria própria.
Quadro 6: Resultados para áreas de aço calculada.
ÁREAS DE AÇO CALCULADA (cm²/m)
VARIÁ
VEIS
TIPOS DE LAJE
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
Asx, Calc.
1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508
Asy, Calc.
1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508
Asxe,
Calc. 0,000 0,000 1,759 1,759 1,592 1,592 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508
Asye, Calc.
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,571 1,571 1,508 1,508 1,508 1,508
Asxy, Calc.
1,508 1,508 1,508 1,508 0,000 0,000 1,508 1,508 0,000 0,000 0,000 0,000
Fonte: Autoria própria.
Quadro 7: Resultado para áreas de aço adotadas. ÁREAS DE AÇO ADOTADA (cm²/m)
VARIÁ
VEIS
TIPOS DE LAJE
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
SISTEMA
BIBLIOGRAFIA
Asx,
Ad. 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508
Asy, Ad.
1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508
Asxe,
Ad. 0,000 0,000 1,759 1,759 1,592 1,592 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508
Asye, Ad.
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,571 1,571 1,508 1,508 1,508 1,508
Asxy,
Ad. 1,508 1,508 1,508 1,508 0,000 0,000 1,508 1,508 0,000 0,000 0,000 0,000
Fonte: Autoria própria.
Após esse processo, foi possível realizar uma completa análise de dimensionamento
de cada tipo de laje em função dos resultados fornecidos no Quadro 2, obtendo-se as variáveis
apresentadas no Quadro 3 para as reações de equilíbrio, no Quadro 4 para os momentos fletores,
no Quadro 5 para a análise linear sem redistribuição de esforços, no Quadro 6 para as áreas de
aço calculadas, e no Quadro 7 para as áreas de aço adotadas em cada seção das lajes maciças.
Devido a área de aço mínima (As, min) ser de 1,5 cm²/m, como apresentado no Quadro 2, as
áreas de aço adotadas no Quadro 7 foram idênticas às áreas de aço calculadas no Quadro 6, pois
ambas são maiores que a As, min definida pelo sistema.
Na programação do sistema foi determinado que os cálculos resultassem valores com
três casas decimais, motivo esse que pode explicar a sua precisão quando comparados os
35
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
resultados fornecidos pelo sistema com os valores resultantes dos cálculos manuais, que
também foram definidos com o mesmo número de casas decimais.
5 CONCLUSÃO
Esse artigo apresentou uma proposta de desenvolvimento de um software para cálculo
de armaduras de lajes maciças retangulares apoiadas no contorno, como um programa de auxílio
didático em universidades e também de forma profissional. Conforme os resultados obtidos nos
estudos, podemos validar total eficiência do software, pois chegou-se a resultados próximos ou
iguais a cálculos manuais, utilizando-se da didática da literatura abordada.
Ao utilizar esse sistema como ferramenta didática, é possível se obter uma redução de
tempo para realização de exercícios que envolvem dimensionamento de lajes maciças. No
entanto, como ferramenta para o uso profissional não é considerada totalmente confiável, uma
vez que as normas atuais recomendam uma análise tridimensional de toda a estrutura, enquanto
que a rotina efetuada não leva em consideração uma análise tridimensional de todo o conjunto,
mas tão somente a própria laje.
Como proposta para trabalhos futuros, implementar outras funcionalidades ao
programa como, por exemplo, os cálculos de espaçamento e quantidade de barras necessárias,
uma opção para orçamento, o detalhamento estrutural, ou até mesmo adequar ao sistema uma
análise tridimensional, dimensionando pilares e vigas, poderá tornar esta ferramenta ainda mais
eficaz no auxílio das tarefas diária dos engenheiros civis, professores, alunos e demais
estudiosos da área de construção civil.
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 - Projeto de estruturas
de concreto - Procedimento - Rio de Janeiro, RJ: ABNT, 2014.
ALVES FILHO, A. Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE. 7. ed. São Paulo, SP:
Érica, 2002. Disponível em: https://www.academia.edu/7573659/Elementos_finitos_-
_a_base_da_tecnologia_cae. Acesso em: 06 nov. 2018.
ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. 4. ed. Cidade Nova, RS: Dunas, 2014a. (V. 1)
ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. 4. ed. Cidade Nova, RS: Dunas, 2014b. (V. 2)
36
Rev. Eletrônica Organ. Soc., Iturama (MG), v. 8, n. 10, p. 22-36, jul./dez. 2019
DOI: 10.29031/ros.v8i10.495
CARVALHO, R. C.; FIGUEREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas
Usuais de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118-2014. 4. ed. São Carlos, SP:
EDUFSCAR, 2014. (V. 1)
FREITAS, A. H. C. de et al. Cálculos Estruturais em Concreto Armado: Comparativo entre o
cálculo manual e com auxílio de software. Revista Pensar Engenharia, v. 2, n. 2, 2014.
Disponível em: http://revistapensar.com.br/engenharia/pasta_upload/artigos/a141.pdf. Acesso
em: 10 nov. 2018.
MARÇAL, A. R. Estudo de lajes de concreto armado: Comparativo de cálculo entre lajes
treliçadas e maciças, utilizando método elástico. 2014. 55 f. Monografia (Trabalho de
Conclusão de Curso) – Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Maria, RS.
Disponível em:
http://coral.ufsm.br/engcivil/images/PDF/2_2014/TCC_ANA%20RUSSOWSKY%20MARC
AL.pdf. Acesso em: 11 nov. 2018.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA. Projeto Estrutural: Especificação
Técnica de Serviço - Serviço de elaboração de projeto estrutural para construções, ampliações
e/ou reformas de obras da UFJF. Juiz de Fora, MG: UFJF, 2018. Disponível em:
http://www.ufjf.br/proinfra/files/2019/05/ESTRUTURAL-OK1.pdf. Acesso em: 31 out. 2018.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL. Apostila para Curso de Excel:
Guia Básico/Intermediário do Microsoft Office Excel – 2018/1. Porto Alegre, RS: PET Civil
UFRGS, 2018. Disponível em: https://www.ufrgs.br/petcivil/wp-
content/uploads/2018/06/Apostila-Excel-2018-1-site.pdf. Acesso em: 12 nov. 2018.
WALKENBACH, J. Programando Excel VBA para Leigos. 4. ed. Rio de Janeiro, RJ: Alta
Books, 2018.
ZAMBONI et al. Planilhas Excel e uso da linguagem vba em aplicações para as
engenharias. Disponível em: www.abenge.org.br/cobenge/arquivos/8/sessoestec/art1623.
pdf. Acesso em: 31 out. 2018.
Recebido em: 25 de setembro de 2019
Aceito em: 09 de novembro de 2019