DETERMINACIÓN DE ALTURAS FÍSICAS EN COLOMBIA ...

DETERMINACIN DE ALTURAS FSICAS EN COLOMBIA TRADUCCIN

DOCUMENTO ORIGINAL: UNTERSUCHUNG PHYSIKALISHER HHEN IN KOLUMBIEN

LAURA SNCHEZ

STUDIENARBEIT

INSTITUT FR PLANETARE GEODSIE TECHNISCHE UNIVERSITT DRESDEN

DRESDEN, NOVEMBER 2002

CONTENIDO

Motivacin

1. Sistemas de alturas: Generalidades

3

4

2. Clculo de las alturas fsicas

2.1 Nmeros geopotenciales y alturas dinmicas

6

6

2.2 Alturas ortomtricas a. Helmert b. Niethammer c. Mader d. Mueller e. Ramsayer f. Ledersteger g. Baranov

99

101111121313

2.3 Alturas normales a. Molodenski b. Vignal c. Bomford d. Hirvonen

1314141515

3. Ejercicio numrico

3.1 Informacin utilizada a. Datos de nivelacin b. Datos de gravedad c. Circuitos de nivelacin

3.2 Comentarios sobre los clculos numricos

16

16161720

21

3.3 Resultados numricos a. Nmeros geopotenciales y alturas dinmicas b. Alturas ortomtricas c. Alturas normales

3.4 Comparacin de las diferentes alturas fsicas evaluadas

22222526

27

4. Conclusiones y avtividades futuras

Referencias

Anexo: Representacin grfica de los perfiles de nivelacin y las correcciones dinmicas, ortomtricas y normales correspondientes.

31

33

35

NDICE DE FIGURAS

1. Nivelacin geomtrica y alturas fsicas 42. Alturas ortomtricas y normales 6

3. Latitud geogrfica normal N 15

4. Redes de nivelacin en Colombia 175. SIGNAR: estaciones absolutas de gravedad y red gravimtrica de primer

orden 18

6. SIGNAR: red gravimtrica de tercer orden 197. Informacin gravimtrica terrestre disponible en Colombia 208. Circuitos de nivelacin seleccionados para el clculo de alturas fsicas en

Colombia 22

9. Histogramas de las correcciones dinmicas obtenidas a partir de diferentes latitudes de referencia 24

10. Diferencias entre las correcciones dinmicas calculadas a partir de latitudes de referencia diferentes 25

11. Histogramas de las correcciones ortomtricas obtenidas segn diferentes mtodos para la estimacin del valor medio de gravedad 26

12. Histogramas de las correcciones normales obtenidas a partir de diferentes aproximaciones numricas 28

NDICE DE TABLAS

1. Caractersticas principales de los diferentes tipos de alturas fsicas 72. Precisiones requeridas en los valores de gravedad para la determinacin de

nmeros geopotenciales 8

3. Caractersticas de los circuitos de nivelacin seleccionados para el clculo de alturas fsicas en Colombia 21

4. Errores de cierre de los circuitos de nivelacin seleccionados 235. Indicadores estadsticos de las correcciones dinmicas 246. Ejemplos de las correcciones dinmicas obtenidas para puntos de altura

similar en latitudes diferentes 24

7. Indicadores estadsticos de las correcciones ortomtricas 258. Comparacin de las alturas normales segn Molodenski, Vignal y

Hirvonen 27

9. Indicadores estadsticos de las correcciones normales 2710. Comparacin de los diferentes tipos de alturas fsicas 30

MOTIVACIN

Los sistemas de alturas en Amrica del Sur fueron introducidos, en general, durante los aos cincuenta, con el objetivo de complementar las posiciones horizontales en la elaboracin de planchas topogrficas a nivel nacional. Como datum vertical se defini, de manera individual, el nivel medio del mar obtenido a partir de registros mareogrficos con perodos de observacin que varan entre 10 y 20 aos. Bajo la concepcin clsica de que dicho nivel coincida con el geoide, el procesamiento de los registros (clculo del valor promedio correspondiente) elimin, con muy buena aproximacin, las variaciones temporales peridicas de la superficie del mar (mareas y efectos metereolgicos, oceanogrficos y de densidad del agua), pero el anlisis de las variaciones no peridicas, las seculares y las generadas por la topografa local de la superficie del mar (SSTop: Sea Surface Topography) fue omitido, lo que podra generar errores sistemticos de varos decmetros en las diferentes realizaciones del nivel de referencia.

Consecuentemente, el control vertical ha sido extendido a lo largo de las vas de comunicacin en lneas de nivelacin determinadas mediante tcnicas geodsicas de alta precisin (spirit leveling). Dado que las alturas niveladas satisfacan las especificaciones de precisin requeridas por las escalas cartogrficas utilizadas en los mapas nacionales, no se dio mayor importancia al efecto del campo de gravedad terrestre en las diferencias de nivel medidas y, con el tiempo, se omiti tradicionalmente la reduccin por gravedad. Esto significa que en la mayora de los pases de Amrica del Sur las alturas oficiales son cantidades meramente geomtricas, que en forma de redes de nivelacin han sido ajustadas, asumiendo el efecto del campo de gravedad como un error ms de medicin.

Las inconsistencias generadas por estos dos factores (definicin del datum vertical y omisin del efecto de gravedad en la nivelacin) se hacen an ms evidentes al derivar la componente vertical a partir de la combinacin de las nuevas tcnicas geodsicas de posicionamiento (como por ejemplo el GPS) con modelos geoidales gravimtricos de alta resolucin; de all, es importante que en la regin se promueva el clculo y adopcin de un tipo de alturas fsicas como parte de la definicin y realizacin de un sistema vertical de referencia moderno.

Dentro de este marco, en el presente ejercicio se adelanta una comparacin de diferentes reducciones utilizadas en la obtencin de alturas dinmicas, ortomtricas y normales. La evaluacin numrica se realiza sobre los cinco circuitos de nivelacin ms largos existentes en Colombia, los cuales contienen cerca de 4 500 puntos sobre ms de 6 000 km de extensin y alturas hasta de 4 000 m. El objetivo central de este ejercicio es identificar el procedimiento ms gil posible para la conversin de las alturas existentes en cantidades fsicas, de modo que se aprovechen al mximo las ventajas ofrecidas por las tecnologas modernas de posicionamiento.

Determinacin de alturas fsicas en Colombia 3

1. SISTEMAS DE ALTURAS: GENERALIDADES

En la nivelacin geomtrica el sistema de medicin (instrumento y reglas graduadas o miras) se orienta verticalmente segn la lnea de la plomada del campo de gravedad terrestre; por tanto, el plano horizontal del instrumento de medicin coincide con la lnea tangente a la superficie equipotencial que pasa por el punto de observacin. De acuerdo con esto, las diferencias de nivel dn medidas corresponden con la seccin de la lnea de la plomada, que coincide con el eje vertical de las miras, entre la superficie terrestre y la tangente a la equipotencial realizada por el instrumento.

Ya que la separacin entre dos superficies equipotenciales vara con la gravedad en porporcin inversa, stas no son paralelas y, en consecuencia, la determinacin de alturas mediante la nivelacin clsica se ve altamente afectada por el campo de gravedad terrestre. En la figura 1 puede observarse, por ejemplo, como la altura del punto B depende de la trayectoria de nivelacin, si dicha trayectoria coincide con la seccin II conduce a una altura mayor para el punto B, que la que se obtendra si se sigue la seccin I. De hecho, las diferencias de nivel dn medidas en un circuito cerrado contienen, adems de los errores aleatorios de obervacin, el llamado error de cierre terico (ecuacin 1), el cual impide que las alturas niveladas sean utilizadas directamente y obliga su correccin por el efecto de la gravedad o su transformacin en diferencias de potencial (p. ej. Torge 2001).

= dn [1]

Figura 1. Nivelacin geomtrica y alturas fsicas

Considerando que la derivada direccional del potencial corresponde con la componente del vector de fuerza en esa direccin, a lo largo de la lnea de la plomada se tiene:

dngdWgdndW

== ; [2]


la cual, mediante la integracin entre A y B con respecto al elemento infinitamente pequeo n, puede escribirse como:

( ) ===B

ABAAB

B

A

WWHHgngdW [3]

As, la diferencia de nivel dn medida entre dos puntos (A, B) ubicados sobre la superficie terrestre y sobre equipotenciales diferentes (WA, WB) (figura 1) puede representarse a travs de:

( )g

WWHHdn BAABBA

== [4]

siendo el valor medio de la gravedad a lo largo de la lnea de nivelacin entre las equipotenciales WA y WB (p. ej. Sakatov 1957).

Si el punto inicial de la medicin 0 esta sobre el geoide (W0), la diferencia de potencial se conoce como nmero o cota geopotencial y se define mediante:

==BB

BB dngngWWC00

0 [5]

donde g se asume como el promedio del valor de gravedad medido sobre los dos puntos nivelados consecutivamente. La determinacin de CB es unvoca, pues ste no depende de la

trayectora de nivelacin y en un circuito cerrado satisface la condicin 0=dW (Torge 2001). La unidad de medida de los nmeros geopotenciales es el kiloGal por metro [kGal m], que equivale a [10 m2 s-2].

La altura de B se obtiene, entonces, a partir de:

gC

gWW

H BBB 0 =

= [6]

es el valor medio de la gravedad entre la superficie de referencia (W0) y el punto nivelado (WB). Como la diferencia (W0 - WB) es constante, la altura de B depende del valor de utilizado; as, en funcin de su estimacin, se habla de diferentes tipos de alturas fsicas, a saber: dinmicas, ortomtricas y normales. stas se obtienen a partir de los nmeros

geopotenciales ajustados bajo la condicin 0=dW , mediante la aplicacin de correcciones mtricas a las diferencias de nivel medidas 0 dn , de modo que se conviertan en cantidades fsicas y sean ajustadas satisfaciendo la misma condicin de los nmeros geopotenciales. La tabla 1 presenta esquemticamente las principales caractersticas de los diferentes sistemas de alturas.


Figura 2. Alturas ortomtricas y normales (tomado de Kuhn 2000)

2. CLCULO DE LAS ALTURAS FSICAS

2.1 Nmeros geopotenciales y alturas dinmicas

La determinacin de los nmeros geopotenciales requiere, adems de las diferencias de nivel medidas, los valores de gravedad correspondientes a los puntos nivelados. Dado que la distribucin de las estaciones gravimtricas no es tan densa como la de aquellos, normalmente, se aplican mtodos de interpolacin que permitan estimar dichos valores. En este sentido, con el propsito de minimizar la influencia de la interpolacin en la precisin final de las alturas fsicas, en el presente ejercicio se introduce como condicin, que el error generado por los valores de gravedad en los nmeros geopotenciales sea 100 veces menor que el causado por las diferencias de nivel medidas. De este modo, el mximo error contenido en las alturas fsicas por cuenta de los valores de gravedad interpolados estara en el orden de dcimas de milmetro.


Tabla 1. Caractersticas principales de los diferentes tipos de alturas fsicas

Alturas dinmicas Alturas ortomtricas Alturas normales

Definicin de : Valor de la gravedad normal sobre el

elipsoide para una latitud especfica

o

(Normalmente: = 45)

gm: Valor promedio de la gravedad real medida a lo largo de la lnea de la plomada entre el geoide y el punto de observacin.

m: Valor medio de la gravedad normal a lo largo de la lnea de la plomada terica entre el teluroide y el elipsoide, , en buena aproximacin, entre el cuasigeoide y la superficie terrestre

Descripcin Nmeros geopotenciales escalados

oDYN CH = [7]

Distancia, sobre la lnea de la plomada real, entre el geoide y el punto de observacin (figura 2)

==OH

OOm

m

O dHgH

ggCH

0

1; [9]

Distancia, sobre la lnea de la plomada terica, entre el teluroide y el elipsoide , entre el cuasigeoide y el punto de observacin (figura 2)

==NH

NNm

m

N dHH

CH0

1;

[12]

Correccin Magnitudes hasta de 20 m DYNABAB

DYNAB knH += [8]

dng

ng

kB

A o

oB

A o

oDYNAB

=

=

45

45

45

45

Magnitudes en el orden de [mm] a [dm] OABAB

OAB knH += [10]

OB

o

oBmO

Ao

oAm

B

A o

oOAB H

gHgngk 4545

45

45

45

45

+

=

Magnitudes en el orden de [mm] a [dm] NABAB

NAB knH += [13]

NB

o

oBmN

Ao

oAm

B

A o

oNAB HHn

gk

45

45

45

45

45

45

+

=

Particularidades No tienen significado geomtrico

Puntos sobre la misma superficie equipotencial tienen el mismo valor de altura dinmica

No se requiere de la formulacin de hiptesis para su determinacin

Su superficie de referencia es el geoide

NhH O = [11] h: altura elipsoidal, N: ondulacin geoidal

Puntos sobre la misma superficie equipotencial difieren en la misma proporcin en que varan los valores de gm

Se requiere de la formulacin de hipotsis sobre la distribucin de las masas terrestres internas (densidad)

y sobre el gradiente vertical de gravedad ( )Hg gm puede determinarse slo de manera aproximativa

Su superficie de referencia: cuasigeoide

= hH N [14] h: altura elipsoidal, : altura anmala

Puntos sobre la misma superficie equipotencial y a la misma latitud (paralelo), tienen alturas normales idnticas, de lo contrario, stas varan segn el cambio de m con respecto a la latitud

No se requiere de la formulacin de hiptesis para su determinacin

m puede determinarse con exactitud


Segn la ley de propagacin de errores, el error de los nmeros gepotenciales mC, en funcin de las diferencias de nivel n, los valores de gravedad g y sus errores respectivos, mn y mg, est dado por:

22222gnC mnmgm += [15]

mn ha sido definido, en Colombia, para las lneas de nivelacin de primer orden en

][4 kmsmm (siendo s la seccin de nivelacin en kilmetros). Si, consecuentemente, se

satisface la condicin , las magnitudes mximas de m)100*()( 2222 gn mnmg > g son:

Tabla 2. Precisiones requeridas en los valores de gravedad para la determinacin de nmeros geopotenciales

Altura en que la diferencia de nivel es medida

[m]

mg para s = 1 km

[10-5 m s-2]

mg para s = 2 km

[10-5 m s-2]

10 20 30 40 50

400 200 133 100 80

566 283 189 141 113

70 100 200 500

57 40 20 8

81 57 28 11

1000 2000 4000

4 2 1

8 4 2

En el presente trabajo la interpolacin de los valores de gravedad para los puntos de nivelacin se adelanta mediante el mtodo de los mnimos cuadrados (denominado tambin prediccin o colocacin (Drewes 1976)) utilizando las anomalas simples de Bouguer. La informacin gravimtrica bsica corresponde con ms de 80 000 puntos de gravedad distribuidos sobre el territorio colombiano, referidos a SIGNAR (Sistema Gravimtrico Nacional de Referencia, Snchez 1996) y cuyos valores de anomala han sido determinados sobre el elipsoide GRS80 (Geodetic Reference System 1980) (Moritz 1980). Los nmeros geopotenciales se calculan segn la relacin [5] y, posteriormente, se convierten en alturas dinmicas (ecuacin [7]) utlizando la gravedad normal para la latitud convencional ( = 45 N) y una ms conveniente ( = 0) para la ubicacin geogrfica de Colombia.


2.2 Alturas ortomtricas

Las alturas ortomtricas, y por tanto su precisin, dependen del gradiente vertical de gravedad con el que el valor gm es estimado, el cual, a su vez, est en funcin de la hiptesis asociada a la distribucin interna de masas (densidad). De acuerdo con la ecuacin [9] el error HO causado en la altura ortomtrica por un error gm en el valor de gravedad es (Leismann et al. 1992):

mm

O

mm

O ggHg

gCH == 2 [16]

Si gm = 10-3 ms-2, una altura ortomtrica de 1000 m tendra una inconsistencia de 10 cm. A su vez, el error generado en gm por el uso de una densidad de masas inapropiada en la formulacin de la hiptesis correspondiente, est dado por:

OmO

m HGgHGHgg 2;2

21

=

+

= [17]

siendo G la constante gravitacional y la densidad de masas. De acuerdo con [16] y [17], si = 100 kg m-3 = 0,1 g cm-3 y HO = 1000 m, HO tendra un error de 4 mm.

De otra parte, el gradiente vertical de la gravedad real (g/H) se asume idntico al normal (/H) calculado para la latitud = 45, cuyo valor equivale a -3,086 ms-2; no obstante, el gradiente verdadero vara entre -2,0 ms-2 (en zonas planas) hasta -4,0 ms-2 (en reas montaosas) (Bodemller 1957). La utilizacin indistinta de un valor constante genera discrepancias considerables, especialmente, en regiones con cambios fuertes en el relieve.

La nica posibilidad de estimar gm con alta precisin es la medicin de la aceleracin de la gravedad en cada punto de la lnea de la plomada entre el geoide y la superficie terrestre; pero dado que esto no es viable, los geodestas se han ocupado de definir la mejor aproximacin posible. Sinembargo; las diversas formulaciones conducen a sistemas diferentes de alturas ortomtricas, cuya superficie de referencia (el geoide) tambin depende de las hiptesis consideradas, es decir, por cada tipo altura de altura ortomtrica se requiere de una realizacin diferente del geoide. En la presente seccin, se decriben las metodologas ms conocidas para la obtencin de gm.

a. Helmert

Hiptesis La gravedad vara linealmente con la altura; es decir, la densidad de las masas internas es constante y el gradiente vertical de la gravedad real es igual al de la terica. El efecto de la topografa se evala mediante una placa de Bouguer, cuyo espesor equivale a la altura del punto Hp de observacin, y es condensada en un capa infinitamente delgada sobre el geoide. gm equivale al promedio de la gravedad medida en la superficie


terrestre gp y la correspondiente sobre el geoide g0; en la prctica dicho promedio es igual a la gravedad en la altura media del punto gH/2.

Ecuaciones G0 se obtiene mediante la reduccin de Poincar y Prey (Heiskanen and Moritz 1967).

( )02 21 gggg pHm +==

( )2

1083818,0086,3 6Op

ppm

Hgg += [18]

Unidades gp, gm, gH/2, g0 [m s-2] ; p [10-3 kg m-3] ; HO [m]

b. Niethammer

Hiptesis Niethammer mejora la aproximacin de Helmert, en el sentido que, incluye en las reducciones el efecto de los excesos o dficits de masa no considerados en la placa de Bouguer; sin embargo, las hiptesis sobre la densidad y el gradiente vertical se mantienen (Niethammer 1932). Una variacin de esta propuesta son las alturas modificadas de Niethammer, las cuales tambin incorporan el efecto de las masas isostticas (Krakiwsky and Mueller 1965).

Ecuaciones La gravedad gQ en cualquier punto Q de la lnea de la plomada, tiene dos componentes: GQ, la cual representa la influencia conjunta de la Tierra y de la placa de Bouguer, y g que contiene el efecto gravitacional de los excesos y dficits de masa omitidos en dicha placa mencionada. La gravedad del punto ubicado sobre la superficie terrestre tambin sigue este principio.

mHmmQm gGgGg == 2

( ) ( ) mOp

pppm gH

gGg ++= 2

1083818,0086,3 6 [19]

Los valores gp, gm se tabulan en funcin de la altura del punto y la topografa circundante, para sectores concntricos al punto de clculo hasta una distancia de 42 km y dividos en ngulos de = 45. El efecto total es la suma de los valores individuales. (Niethammer 1932; Ledersteger 1958).

Unidades gp, gm, gp, gm [m s-2] ; p [10-3 kg m-3] ; HO [m]


c. Mader

Hiptesis La gravedad vara linealmente con la altura. El valor medio gm se calcula segn Helmert [18], pero la gravedad sobre el geoide g0 considera la influencia de la topografa y se determina similarmente al valor gp de Niethammer (Leismann et al. 1992).

Ecuaciones ( )021 ggg p +=

( ) gHggOp

ppm ++=

21083818,0086,3 6 [20]

Los valores de gp yg0 se tabulan para compartimentos concntricos al punto de clculo hasta una distancia de 30 km y divididos en ngulos de = 22,5. La suma de los aportes individuales proporciona la reduccin total para obtener gm.

Unidades gp, gm, gp, g0, g [m s-2] ; p [10-3 kg m-3] ; HO [m]

d. Mueller

Hiptesis La gravedad vara linealmente con la altura. El valor medio de gravedad gm se calcula segn Helmert [18], pero la gravedad g0 sobre el geoide se estima con apoyo en las anomalas de Bouguer gB (Krakiwsky and Mueller 1965).

Ecuaciones g0 se deriva a partir de la reduccin del valor de gravedad ge sobre el elipsoide hasta el geoide. En este caso, se aplica el gradiente vertical con signo negativo para una distancia equivalente a la ondulacin geoidal N y se clcula el efecto de la placa de Bouguer tambin, con un espesor equivalente a N. ge se divide en dos partes: ge1 que representa la gravedad generada por las masas internas del elipsoide y ge2 que incluye el efecto de las masas externas. ge1 se estima mediante (o + gB), donde o es la gravedad normal del punto de observacin y gB su anomala simple de Bouguer. ge2 equivale a la reduccin de Bouguer para una placa de espesor (HpO + N). De esta forma, gm corresponde con:

( )2

1083818,0086,321 6

Op

pppm

Hggg ++= [21]

Unidades gp, gm, gp [m s-2] ; p [10-3 kg m-3] ; HO [m]


e. Ramsayer

Comentario Los mtodos propuestos por Ramsayer, Ledersteger y Baranov se basan en la minimizacin de la correccion mtrica [ecuacin 10], de modo que las desviaciones de las alturas ortomtricas con respecto a las niveladas sean tan pequeas, que en aplicaciones de baja precisin, dichas correcciones puedan ser omitidas. Ramsayer (1953, 1954) presenta tres alternativas para la estimacin de gm.

Primer mtodo de Ramsayer

Hiptesis El error de cierre terico [ecuacin 1] es dividido en una componente constante, que contiene el promedio aritmtico de las alturas ortomtricas O del circuito de nivelacin y una componente complementaria, que representa las desviaciones de cada punto con respecto a O. El error de cierre terico se resuelve segn Helmert con una buena aproximacin de gm [ecuacin 18].

Ecuaciones ( ) ( ) Op

OAP

pm HHggggg

21

000 +=

( )

( ) ([ ])

( )[ ]APAPppOp

O

OAP

OPAPpO

p

O

Op

ppm

HHxHH

HHxggHH

Hgg

+

+=

6

6

6

1041909,0

10086,3

21041909,0086,3

[22]

El ndice AP identifica el punto de inicio del circuito de nivelacin. O corresponde con:

=

=n

i

Oi

O Hn

H1

1

Unidades gp, gm, gAP [ms-2]; p, AP [10-3kgm-3] ; HpO, HAPO, O, Hp, HAP [m]

Segundo mtodo de Ramsayer

Hiptesis En este caso se asume O= 0; as, las variaciones de la gravedad en el circuito de nivelacin son tan pequeas que pueden ser omitidas. Dado que, para el efecto, se asume una densidad constante y una topografa


plana, esta hipotsis es idntica a la de Helmert, slo que la determinacin de la gravedad g0 sobre el geoide es diferente.

Ecuaciones ( )2

1041909,0086,3 6Op

ppm

Hgg += [23]

Unidades gp, gm, [m s-2] ; p [10-3 kg m-3] ; HpO [m]

Tercer mtodo de Ramsayer

Hiptesis El gradiente vertical normal es constante y los campos de gravedad real y terico son idnticos, lo que equivale a decir que, el valor promedio de gravedad gm es igual a la gravedad terica del punto en su altura media H/2.

Ecuaciones ( ) Oppom Hg 61041909,0086,321 = [24]

Unidades gm, o [m s-2] ; p [10-3 kg m-3] ; HpO [m]

f. Ledersteger

Hiptesis La Tierra se asume como una esfera con distribucin homognea de masas; de eta forma, la gravedad es independiente de la latitud y slo est en funcin de la altura (Ledersteger 1956).

Ecuaciones Los valores de gravedad gi observados sobre la superificie terrestre son reducidos al geoide utilizando el gradiente vertical normal y posteriormente, son promediados. La substraccin de este valor medio a cada gravedad observada gi proporciona la cantidad gm correspondiente.

( )2

10086,32110086,31 6

1

6Op

n

i

Oiim

HxHxg

ng

=

+= [25]

Unidades gm, gi [m s-2] ; HiO, HpO [m]

g. Baranov

Hiptesis Los campos de gravedad real y terico son idnticos y tienen el mismo gradiente vertical. As, la gravedad g0 sobre el geoide puede reemplazarse con la normal o y gm depende slo de la altura (Leismann et al. 1992).

Ecuaciones ( opm gg += 21 ) [26]


Unidades gm, op [m s-2]

2.3 Alturas normales

Las alturas normales, al contrario de las ortomtricas, pueden ser determinadas unvocamente, ya que no requieren de la formulacin de hiptesis en la estimacin del valor medio de gravedad . Su precisin depende de las diferencias de nivel medidas, de los valores de gravedad observada o interpolada, de la latitud del punto de medicin y de la precisin de la frmula de gravedad terica; por tanto, su evaluacin numrica se centra en la mejor aproximacin discreta de la integral contenida en la ecuacin [12]. Las versiones ms conocidas de dicha aproximacin son:

a. Molodenski

Ecuaciones ( ) K+

+

+=2

2

2

!21

21 N

o

N

oom HH

HH

la cual, en funcin de los parmetros del elipsoide, puede escribirse como:

( ) ( )

+++= 2

22sin211

aH

aHfmf

NN

om [ms-2] [27]

siendo:

o gravedad normal sobre el elipsoide del punto de observacin g/H gradiente de la gravedad normal a semieje mayor f achatamiento geomtrico m relacin entre la fuerza de atraccin gravitacional y la centrfuga en el ecuador

Comentario La ecuacin [27] debe evaluarse iterativamente, dada la dependencia de la gravedad normal media m en funcin de la altura normal HN.

b. Vignal

Ecuaciones 2

10086,3 6N

omHx [ms-2] [28]

Comentario Se omiten los trminos no lineales de la ecuacin [27] y se utiliza el promedio global del gradiente normal de gravedad.


c. Bomford

Ecuaciones 2

10086,3 645N

omHx [ms-2] [29]

Comentario La gravedad normal sobre el elipsoide o del punto de observacin se sustituye con la gravedad de la latitud = 45.

d. Hirvonen

Ecuaciones De acuerdo con la ecuacin [12] y los parmetros del elipsoide GRS80 (Moritz 1980), se tiene:

( )

( ) ]30[][sin1001,2104761,2

sin1032664,1sin10316029,110576578,1

2216143

4112972

+

+

+

+=

msC

C

CH

N

o

NN

o

o

N

siendo N la latitud normal (figura 3), la cual se obtiene mediante:

( ) NN H 2sin"00017,0 [31]

Comentario Introduccin de la latitud geogrfica normal N, con el propsito de mejorar la precisin de HN.

Figura 3. Latitud geogrfica normal N


3. EJERCICIO NUMRICO

3.1 Informacin utilizada

a. Datos de nivelacin

La realizacin del datum vertical clsico en Colombia corresponde con el nivel medio del mar registrado en Buenventura [3,8 N, 77,0 W], durante los perodos de enero de 1942 a diciembre de 1951, de enero a diciembre de 1955 y de enero de 1957 a agosto de 1959 (IGAC 1960; Garca y Cuervo 1978). A partir de este maregrafo, el Instituto Geogrfico Agustn Codazzi (IGAC) ha extendido el control vertical en el pas mediante lneas de nivelacin a lo largo de las carreteras nacionales, siguiento los estndares tcnicos del Servicio Geodsico Inter Americano (IAGS: Interamerican Geodetic Service). Para el efecto, se definieron tres niveles de precisin: primer orden: 4mms [km], segundo orden: 8mms [km] y tercer orden: 12mms [km]. En la actualidad, las lneas de nivelacin contienen ms de 20 000 puntos a lo largo de 26 000 km (figura 4).

Dado que la precisin de las alturas niveladas satisfiz las especificaciones de la cartografa, el efecto del campo de gravedad terrestre fue omitido; lo que significa que las altura actuales (oficiales) son cantidades puramente geomtricas, sin reducciones gravimtricas, que en circuitos de nivelacin han sido ajustadas como redes verticales. Dichas alturas fueron procesadas, inicialmente, lnea por lnea, posteriormente, en 1985, se adelant un ajuste en bloque de las observaciones existentes hasta esa fecha. Las mediciones subsiguientes han sido ajustadas lnea por lnea y adicionadas al banco de datos correspondiente. El ajuste de 1985 muestra que las correcciones por kilmetro estn entre 3 mm y 15 mm, cantidades explicables, dado que la influencia del campo de gravedad, al ser omitida, se asumi como un error de observacin. En este sentido, no es posible transformar directamente las alturas actuales en cantidades fsicas; por el contrario, es necesario procesar las diferencias de nivel medidas (originales) en combinacin con valores de gravedad.

La densificacin y extensin de las lneas de nivelacin no han seguido algn orden especfico y los puntos de incio y cierre no corresponden con nodos definidos estrictamente, sino con estaciones contenidas en circuitos ya nivelados; de all, un ajuste global exije el examn cuidadoso y detallado de las carteras de campo. Igualmente, la secuencia de observacin de las lneas de nivelacin no ha sido ni regular, ni sistemtica, lo que genera que algunos circuitos de nivelacin contengan desniveles medidos con diferencias de tiempo hasta de 40 aos. De hecho, algunos de los circuitos nivelados en ms de una oportunidad muestran diferencias de varios centmetros en desniveles comunes, lo que podra entenderse como una consecuencia de los errores de medicin o de movimientos verticales de la corteza; infortunadamente, la clasificacin pertienente an no es posible.


Figura 4. Redes de nivelacin en Colombia

b. Datos de gravedad

La red gravimtrica de Colombia SIGNAR (Sistema Gravimtrico Nacional de Referencia) est compuesta por tres estaciones absolutas y tres subredes, las cuales han sido clasificadas segn su precisin (Snchez 2003). La red de primer orden contiene 40 estaciones, cuyas precisiones estn entre 3 nms-2 y 178 nms-2. La red de segundo orden incluye cerca de 30 puntos con precisiones en torno a 0,50 ms-2 (figura 5). La red de tercer orden ha sido establecida sobre las lneas de nivelacin, lo que hace que, aproximadamente, el 55% de los puntos nivelados cuente con valor de gravedad observada, sus precisiones oscilan al rededor


de 1 ms-2 (figura 6). Las redes de primer y segundo orden han sido vinculadas a las redes homlogas en los pases vecinos, incluyendo tres estaciones absolutas en Venezuela (McConnell et al 1995; Snchez 1996). El datum gravimtrico corresponde con el realizado por IAGBN International Absolute Gravity Basestation Network, Boedecker and Fritzer 1986).

Las redes de SIGNAR han sido complementadas con datos provenientes de proyectos geofsicos, cuya informacin gravimtrica ha sido normalizada a IAGBN (Snchez 2003). En total, se cuenta con ms de 90 000 valores terrestres de gravedad (figura 7), que sirven de referencia para la interpolacin requerida en la determinacin de los nmeros gepotenciales.

Figura 5. SIGNAR: estaciones absolutas de gravedad y red gravimtrica de primer orden


Figura 6. SIGNAR: red gravimtrica de tercer orden (tomado de Snchez 2003)

En consecuencia, el presente documento se ocupa del clculo de nmeros geopotenciales y de la estimacin de , dejando de lado la determinacin de las correcciones mtricas mencionadas en la tabla 1. En la prctica, dichas correcciones equivalen a las diferencias entre las alturas niveladas y las fsicas derivadas de las cotas geopotenciales.


Figura 7. Informacin gravimtrica terrestre disponible en Colombia

c. Circuitos de nivelacin

Para este ejercicio, se han seleccionado 46 lneas de nivelacin de primer orden, en cinco circuitos cerrados, que cubren regiones tanto planas como montaosas (figura 8). La tabla 3 muestra las principales caractersticas de cada uno de ellos.


3.2 Comentarios sobre los clculos numricos

Uno de los objetivos pricipales de este ejercicio es identificar la foma ms conveniente para la migracin, a alturas fsicas, de las alturas utilizadas actualmente en los pases de Amrica del Sur. Si bien, la recomendacin oficial del Comit SIRGAS es la adopcin de alturas nomales (componente fsica) y elipsoidales (componente geomtrica) dentro de un nuevo sistema vertical de referencia unificado en la regin (Drewes et al. 2002), cada pas debe ponderar qu tipo de alturas fsicas ms le conviene y hacer la adopcin correspondiente. De all, es importante que la obtencin de las alturas seleccionadas se realice a travs de nmeros gepotenciales, de modo que la concepcin de sistema unificiado se mantenga. El procedimiento ideal sera calcular los nmeros geopotenciales en cada uno de los pases, hacer un ajuste contiental de los mismos a partir de un valor W0 definido globalmente y, por ltimo, convertir dichos nmeros en las alturas fsicas sealadas individualmente por cada pas.

Las alturas ortomtricas se obtienen siguiendo los mtodos expuestos por Helmert, Ramsayer, Baranov y Ledersteger. Para el efecto, se utiliza el valor convencional de densidad de masas = 2670 kg m-3, puesto que los anlisis geolgicos existentes en Colombia no estn distribuidos regularmente y slo alcanzan algunos metros de profundidad, haciendo que las densidades obtenidas no sean representativas para todo el recorrido de la lnea de la plomada. Las alturas de Niethammer, Mader y Mueller no son consideradas en este ejercicio, dada su alta dependencia de la topografa circundante al punto de clculo. Las alturas normales son obtenidas segn las aproximaciones presentadas por Molodenski, Vignal, Bomford y Hirvonen. El campo de gravedad normal utilizado es el del elipsoide GRS80 (Moritz 1980).

Como punto de partida para el clculo de los nmeros geopotenciales se toma el ms cercano al maregrafo de Buenaventura, su potencial se define como la multiplicacin de su valor de gravedad con la diferencia de nivel al maregrafo mencionado:

C71W3 = 74,9998 m x 9,779 780 ms-2 = 73,348210 m2s-2

Tabla 3. Caractersticas de los circuitos de nivelacin seleccionados para el clculo de alturas fsicas en Colombia

No. Extensin [km]

Puntos Altura mnima [m]

Altura mxima [m]

Recorrido

I 1 364 1 098 0 350 Puerta de Hierro, La Mata, Maicao, Cartagena

II 1 222 981 15 2 770 La Mata, Barrancabermeja, Medelln, Puerta de Hierro

III 1 820 1 460 15 3 950 Bogot, Medelln, Barrancabermeja, La Mata, Ccuta

IV 1 640 1 266 170 3 500 Medelln, Cali, Ibagu, Bogot

V 1 143 959 5 2 500 Buenaventura (maregrafol), Cali, Medelln, Quibd


Figura 8. Circuitos de nivelacin seleccionados para el clculo de alturas fsicas en Colombia

3.3 Resultados numricos

a. Nmeros geopotenciales y alturas dinmicas

Dado que los nmeros geopotenciales no contienen el error de cierre terico [1] y, que su determinacin no requiere de la formulacin de hiptesis, los errores de cierre en los circuitos de medicin son causados exclusivamente por las imprecisiones contenidas en los valores de gravedad (medidos o interpolados) y en las diferencias de nivel observadas. La tabla 4 muestra los errores de cierre, para cada uno de los circuitos seleccionados, segn las diferencias de nivel medidas y las diferencias de potencial correspondientes.

En general, los errores de cierre determinados a partir de las diferencias de altura o de potencial son similares, excepto para el circuito II, en el cual el error de cierre obtenido con las diferencias de potencial se reduce a la mitad de su equivalente derivado de las diferencias de altura, quizs, porque el perfil topogrfico que sigue es el ms suave, pues a pesar de que contiene alturas hasta de 3000 m, las variaciones verticales mximas son menores que 300 m. Los mximos errores de cierre se presentan en los circuitos ms largos (III y IV), los cuales a su vez, contienen las variaciones de altura ms extremas (entre 15 m y 4000 m), estas dos condiciones reflejan la acumulacin de los errores de observacin en distancias largas y la


acentuada influencia del campo de gravedad generada por el fuerte contraste de densidades en las reas montaosas.

Las alturas dinmicas son calculadas, tanto con la latitud convencional = 45, como con = 0. En el primer caso, las correcciones varan entre -1 182,52 cm y -6,47 cm, identificndose una fuerte correlacin entre stas y la topografa [ver Anexo]. La figura 9a muestra la distribucin estadstica correspondiente, el [59%] de las correcciones est entre 0 cm y -200 cm, el [37%] entre -200 cm y -800 cm y el [4%] alcanza las correcciones mayores.

Tabla 4. Errores de cierre de los circuitos de nivelacin seleccionados Circuito Nodos S [km] dn [m] C [10 m2 s-2]

I

A66CW8 4TE4 A88CE4 A66CW8

282,128,70

1072,93

1363,75

-130,9916+81,8745+49,4089

+0,2918

-128,1267 +80,0823 +48,3349

+0,2905

II

A66CW8 4TE4 A23CW6 A66CW8

282,12467,47472,01

1221,60

-130,9916+1333,9722-1202,8411

+0,1395

-128,1267

+1304,4818 -1176,3472

0,0079

III

4TE4 14NE A186CW5 A23CW6 4TE4

848,95472,17

33,00467,47

1821,59

+2498,3880-1070,4443

-92,6842-1333,9722

+1,2873

+2442,8542 -1046,3823

-90,6226 -1304,4818

+1,3675

IV

A170CW5 1W1 14NE A186CW5 A170CW5

411,80729,16472,17

24,80

1637,93

-774,6505+1548,5479-1070,4443+296,3064

-0,2405

-757,4201

+1513,8422 -1046,3831 +289,7015

-0,2595

V

A170CW5 71W3 1W1 A170CW5

578,85152,29411,80

1142,94

-1701,7284+927,4507+774,6505

+0,3728

-1664,1066 +906,9982 +757,4201

+0,3117

La determinacin de las alturas dinmicas con la latitud de referencia = 0 muestra una disminucin sustancial de la dependencia con respecto a la topografa [ver Anexo], los valores extremos de correccin oscilan entre -166,70 y +17,20, estando la mayora [64%] entre -20 cm y 0 cm (figura 9b). La tabla 5 muestra el resumen de las correcciones dinmicas obtenidas en general, mientras que la tabla 6 presenta algunos ejemplos en funcin de la latitud y la altura de los puntos evaluados.

La relacin entre H0DYN y H45DYN est dada mediante:

[ ] CmsCHHHoo

ooDYNDYNDYN 24450

045

450450 10679,2

==

==


La diferencia entre ellas, HDYN0-45, alcanza variaciones hasta de 900 cm, las cuales obedecen a la influencia de la latitud de referencia en el cculo de la correccin dinmica. La distribucin estadstica de dichas diferencias se ilustra en la figura 10.

Tabla 5. Indicadores estadsticos de las correcciones dinmicas Correccin Indicador Circuito I Circuito II Circuito III Circuito IV Circuito V Total

Dinmica para =0

Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-9,70-16,44-15,03

-2,14-83,81-16,77

9,78-166,70

-28,56

17,62-148,73

-20,75

4,54 -59,42 -10,65

17,62-166,70

-19,99

Dinmica para =45


-16,18-101,21

-35,86

-12,78-814,56-144,11

-9,51-1182,00-362,12

-35,94-1050,82-367,90

-6,47 -704,15 -195,25

-6,47-1182,00-232,52

0

10

20

30

40

50

60

70

[cm]

[%]

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0

= 45

Figura 9a. Correccin dinmica para = 45

0

10

20

30

40

50

60

70

[cm]

[%]

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0-140 20

= 0

Figura 9b. Correccin dinmica para = 0

Figura 9. Histogramas de las correcciones dinmicas obtenidas a partir de diferentes latitudes de referencia

Tabla 6. Ejemplos de las correcciones dinmicas obtenidas para puntos de altura similar en latitudes diferentes

Latitud [] Altura [m] DYNK =0 [cm]DYNK =45 [cm

]

11,50 N 4,16 N

4,304,55

-17,49-5,43

-16,42-6,77

10,87 N 3,78 N

305,05298,43

-11,17-1,54

-91,64-80,27

6,54 N 3,53 N

1009,081001,45

-10,67-8,45

-276,86-272,65

6,89 N 2,32 N

2428,382434,66

-66,19-74,00

-706,70-176,16

7,01 N 2,40 N

3474,573420,57

-136,51-148,73

-1052,94-1050,82


0

10

20

30

40

50

60

0 800700600500400300200100 900

[%]

[cm]

Correccin = 0 - Correccin = 45

Figura 10. Diferencias entre las correcciones dinmicas calculadas a partir de latitudes de referencia diferentes

b. Alturas ortomtricas

Las correcciones ortomtricas son, en general, menores que las dinmicas (tabla 7). De los mtodos evaluados (Helmert, Ramsayer, Baranov y Ledersteger), Helmert presenta las mayores variaciones y la correlacin ms fuerte con la topografa [ver Anexos del 1 al 5] . Las dos primeras aproximaciones de Ramsayer varan dentro del mismo intervalo (de -20 cm a +40 cm), pero la distribucin estadstica de las correcciones es diferente (figura 11): en la primera aproximacin, el valor absoluto de las correcciones es ~10 cm menor que el de las obtenidas a travs de la segunda aproximacin. Adicionalmente, en las zonas montaosas medias y altas, las correcciones del segundo mtodo estn por encima de las del primero; mientras que en las reas planas su comportamiento es contrario. La tercera aproximacin de Ramsayer conduce a los valores de correccin ms negativos; de hecho, es el nico mtodo que genera correcciones menores que -20 cm.

Tabla 7. Indicadores estadsticos de las correcciones ortomtricas Correccin Indicador Circuito I Circuito II Circuito III Circuito IV Circuito V Total

Helmert Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-15,51-16,98-16,19

39,03-16,35-4,46

93,34-2,6721,38

101,075,50

26,71

38,46 -6,13 4,69

101,07-16,98

7,74

Ramsayer I Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-15,60-16,53-16,14

-2,11-18,07-11,56

34,258,23

20,35

12,00-1,524,10

11,18 -6,91 1,04

34,25-18,07

0,12

Ramsayer II Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-15,81-17,10-16,26

5,03-16,48-9,00

35,00-4,875,91

36,50-4,8713,38

11,67 -6,78 -0,65

36,50-17,10-0,84

Ramsayer III Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-15,43-16,84-16,22

-2,71-27,25-12,50

9,24-47,73-9,17

17,58-34,25-1,85

4,92 -13,34 -4,22

17,58-47,73-9,23

Baranov Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-15,82-16,77-16,24

-2,04-20,17-10,75

11,40-19,63-1,63

19,93-10,63

5,77

7,87 -6,62 -2,43

19,93-20,17-5,03

Ledersteger Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-13,75-16,73-16,21

9,64-16,49-9,07

22,90-7,60-0,44

22,260,087,04

19,20 -6,44 -0,42

22,90-16,73-4,11


La correcciones ms pequeas se obtienen con el modelo de Baranov, stas presentan las menores amplitudes (entre -20 cm y +20 cm) y ms del [70%] estn entre 0 cm y +20 cm; no obstante, debe tenerse presente que esta formulacin no incluye reducciones de la gravedad y gm se calcula indepedientemente de la altura del punto estudiado. En el sistema de Ledersteger tambin se aprecia la dependencia de la correccin ortomtrica con respecto a la topografa [ver Anexo], pero dada la introduccin de una altura media y un valor de gravedad de referencia, su comportamiento es mucho ms suave que el de las dems aproximaciones [ver Anexo].

0

5

10

15

20

25

30

35

[cm]

[%]

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Helmert

0

5

10

15

20

25

30

35

[cm]

[%]

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Ramsayer (Formulacin I)

0

5

10

15

20

25

30

35

[cm]

[%]

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Ramsayer (Formulacin II)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

[cm]

[%]

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Ramsayer (Formulacin III)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[cm]

[%]

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Baranov

0

5

10

15

20

25

30

35

[cm]

[%]

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Ledersteger

Figura 11. Histogramas de las correcciones ortomtricas obtenidas

segn diferentes mtodos para la estimacin del valor medio de gravedad

c. Alturas normales

Las correcciones para la obtencin del alturas normales segn Molodenski, Vignal y Hirvonen estn en el mismo orden, las diferencias entre ellas son tan pequeas que pueden ser omitidas (tabla 8).


Tabla 8. Comparacin de las alturas normales segn Molodenski, Vignal y Hirvonen Idicador Molodenski - Vignal Molodenski - Hirvonen Vignal - Hirvonen


+0,0283 +0,0000 +0,0064

+0,0076 -0,0044 +0,0001

+0,0002 -0,0276 -0,0063

La correccin segn Molodenski (v. g. Vignal y Hirvonen) vara entre -16,75 cm y +37,45 cm, con un promedio de +0,65 cm (tabla 9). La mayora de los valores de correccin [95%] oscila entre -20 cm y +20 cm (figura 12), presentndose los ms altos en las reas montaosas ms prominentes (ver Anexo).

Tabla 9. Indicadores estadsticos de las correcciones normales Correccin Indicador Circuito I Circuito II Circuito III Circuito IV Circuito V Total

Molodenski Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-14,74-16,75-16,15

16,80-16,16-7,96

37,45-4,736,31

32,741,36

11,49

24,36 -6,19 1,12

37,45-16,75-0,65

Vignal Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-14,74-16,75-16,15

16,78-16,16-7,96

37,42-4,746,30

32,711,35

11,48

24,34 -6,19 1,12

37,42-16,75-0,65

Bomford Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-16,18-99,32-35,67

-12,76-694,08-131,65

-9,48-949,36-319,68

-35,47-867,18-331,34

-6,47 -610,38 -180,62

-6,47-949,36-208,99

Hirvonen Mximo [cm] Mnimo [cm] Promedio [cm]

-14,74-16,75-16,15

16,80-16,16-7,96

37,45-4,736,31

32,741,36

11,49

24,36 -6,19 1,12

37,45-16,75-0,65

Las correcciones calculadas segn la aproximacin de Bomford son mucho mayores que las anteriores, stas alcanzan valores entre -949,36 cm y -6,47 cm, su comportamiento es similar al de las correcciones dinmicas, dado que tambin dependen del valor de gravedad terica en una latitud constante.

3.4 Comparacin de las diferentes alturas fsicas evaluadas

En el presente ejercicio se obtienen alturas fsicas (dinmicas, ortomtricas y normales) a partir de nmeros geopotenciales; es decir que se elimina el error de cierre terico y stas pueden ser determinadas independientemente del trayecto de nivelacin. Su precisin est slo en funcin de las diferencias de altura medidas y de los valores de gravedad utilizados. Sin embargo, cada tipo de alturas presenta caractersticas singulares que los hacen convenientes o inconvenientes para determinados campos de aplicacin. De acuerdo con esto, en esta seccin, se describen los aspectos ms importantes de las alturas fsicas analizadas, de modo que pueda identificarse cul de ellas es la ms adecuada en cada pas de Amrica del Sur.


0

5

10

15

20

25

30

35

[cm]-20 -10 0 10 20 30 40

[%] Molodenski

0

5

10

15

20

25

30

35

[cm]-20 -10 0 10 20 30 40

[%] Vignal

0

5

10

15

20

25

30

35

[cm]-20 -10 0 10 20 30 40

[%] Hirvonen

0

10

20

30

40

50

60

[cm]

[%]

-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0

Bomford

Figura 12. Histogramas de las correcciones normales obtenidas

a partir de diferentes aproximaciones numricas

Las alturas dinmicas tienen dos desventajas principales: en primera instancia, stas no tienen significado geomtrico y por tanto no pueden representarse como una distancia entre dos puntos (el punto de clculo y el correspondiente sobre la superficie de referencia). Como consecuencia, stas no tienen una relacin matemtica directa con las alturas elipsoidales, las cuales, son el vnculo geomtrico con el sistema de referencia geocntrico convencional. La segunda desventaja radica en la magnitud de sus correcciones, las cuales son especialmente altas en regiones extensas en direccin norte-sur, como Suramrica. A pesar de que podra definirse una latitud de referencia media ms adecuada que las utilizadas en este documento, las correcciones para las zonas extremas (al norte Venezuela y Colombia, y al sur Chile y Argentina) seran tan altas, que su aplicacin sera indispensable en cualquier tipo de nivelacin, incluso en las de bajo orden.

Las alturas ortomtricas, al contrario de las dinmicas, son geomtricamente interpretables y se relacionan con las alturas elipsoidales a travs del geoide; no obstante, dado el conocimiento inexacto de la gravedad a lo largo de la lnea de la plomada, su determinacin puede ser slo aproximativa. Las diferentes formulaciones utilizadas para la estimacin del valor medio de gravedad gm conducen a diferentes geoides, los cuales se conocen como cogeoides. stos son muy cercanos al geoide, pero no corresponden a una superficie equipotencial. En este sentido, es necesario que el geoide utilizado como superficie de referencia para las alturas ortomtricas sea calculado siguiendo hiptesis idnticas a las introducidas en la determinacin de aqullas o de sus correcciones. An cuando las alturas


ortomtricas pudesen estimarse con mayor precisin, el conocimiento sobre los datos requeridos en la formulacin de las hiptesis correspondientes (distribucin de masas, densidades, compesacin isosttica, etc.) cambia permanentemente, lo que exijira que con cada nuevo aporte, se calculara, una vez ms, tanto el geoide, como las alturas ortomtricas, hacindo que su vlidez en el tiempo sea tan corta que no puedan asumirse como sistema de referencia.

De los diferentes mtodos evaluados en el presente ejercicio, el que ms se ajusta a la definicin terica estricta de las alturas ortomtricas es el denominado alturas modificadas de Niethammer, el cual, a su vez, es el que ms suposiciones requiere sobre la distribucin interna de masas, pues incluye la compensacin isosttica. Los mtodos de Mader, Mueller y Niethammer (simple) se diferencian entre s, slo en el clculo de la correccin por terreno, el cual se facilita con la ayuda de un modelo digital de relieve. Sinembargo, su precisin sigue dependiendo del conocimiento exacto de la densidad de masas y de la bondad con que el modelo digital de relieve representa la fuerte topografa en reas montaosas como Los Andes.

El modelo de Ramsayer es el ms fcil de evaluar numricamente; no obstante, la consideracin de una altura de referencia y un valor de gravedad patrn hacen que su aplicabilidad sea efectiva en redes pequeas y no en reas extensas como Amrica del Sur. Las aproximaciones de Baranov y Ledersteger no siguen estrictamente la definicin terica de las alturas ortomtricas, stos se concentran en proveer valores pequeos de correccin.

Considerando que el significado de las alturas ortomtricas est estrechamente relacionado con el geoide, se prefiere que dichas alturas sean determinadas con la menor cantidad posible de hiptesis, de modo que la realizacin de su superficie de referencia pueda acercarse ms al geoide. Bajo este criterio, la formulacin de Helmert es la ms adecuada, amn que genere las correcciones de mayor magnitud.

Las alturas normales son estimables sin la introduccin de hiptesis sobre la distribucin inetrna de masas y, adems, tienen una relacin directa con las alturas elipsoidales. Sinembargo, su superficie de referencia (el cuasigeoide) no es una equipotencial y por tanto, no tiene algn significado fsico. Este inconveniente se presenta slo en reas continentales, pues en el ocano y las zonas costeras (donde los sistemas clsicos de alturas se han definido) el geoide y el cuasigeoide son iguales. Desde este punto de vista, las alturas ortomtricas no tienen ventaja sobre las normales, dado que la aproximacin al geoide (el cogeoide) tampoco es una superficie equipotencial.

De los mtodos analizados, se prefiere el formulado por Molodenski, ya que las correcciones de Bomford se comportan como las dinmicas y las aproximaciones de Vignal y Hirvonen son slo variaciones de aqul, que buscan agilizar la evaluacin numrica correspondiente.


La tabla 10 muestra una comparacin de los diferentes tipos de alturas fsicas en relacin con las principales caractersticas de un sistema vertical de referencia (comparar con Leismann et al. 1992).

Tabla 10. Comparacin de los diferentes tipos de alturas fsicas Tipo de altura

Caractersticas Dinmica Ortomtrica Normal

Unicidad Las alturas de los puntos deben ser unvocas, es decir, independientes del trayecto de nivelacin.

Superficie vertical de referencia sta debe ser independiente del clculo de las alturas y tener significado fsico.

Interpretacin geomtrica Las alturas deben ser interpretables geomtricamente, es decir, que deben representar la distancia vertical entre dos puntos (el del clculo y el correspondiente sobre la superficie de referencia).

Unidades de medida de distancia Para las aplicaciones prcticas, las alturas deben expresarse en unidades de medida de longitudes (o distancias).

Idntica altura para puntos sobre la misma superficie equipotencial Dos puntos deben tener el mismo valor de altura, s entre ellos el agua no fluye.

Formulacin de hiptesis Las alturas deben calcularse sin la introduccin de suposiciones sobre la estructura interna de la Tierra

Relacin con las alturas elipsoidales Las alturas fsicas deben ser compatibles con el sistema de referencia geocntrico convencional.

Correcciones de magnitudes pequeas Para aplicaciones prcticas, las correcciones deben ser lo ms pequeas posible, de modo que puedan ser omitidas eventualmente.


4. CONCLUSIONES Y AVTIVIDADES FUTURAS

Las correcciones aplicables a la nivelacin geomtrica alcanzan valores de varios decmetros, haciendo que su omisin imposibilite la combinacin de los sistemas de alturas existentes en Amrica del Sur con las tcnicas modernas de posicionamiento satelital. En este sentido, el proyecto SIRGAS se preocupa por la definicn, realizacin y adopcin de un sistema vertical de referencia moderno, el cual, requiere del desarrollo de actividades especficas, tanto a nivel individual en cada pas, como a nivel regional. Dichas actividades pueden resumirse en:

a. Redes de nivelacin

Las diferencias de altura medidas en cada pas deden estar disponibles en formato digital, stas no deben contener algn ajuste previo, de ser as, el efecto del campo de gravedad estara asumindose como error de observacin y las diferencias de nivel no representaran la realidad. Junto con el desnivel observado entre puntos consecutivos, se requiere la distancia entre ellos, el ao de medicin y las correcciones sistemticas aplicadas (p. ej. correcciones por refraccin).

El ajuste a priori de los circuitos considerados en el presente ejercicio muestra errores de cierre que superan la condicin 4mms, justo en aquellos segmentos de la nivelacin donde se incluyen mediciones de varias pocas (hasta 30 aos de diferencia); desde este punto de vista, podra decirse que los movimientos verticales probables de la corteza terrestre se estn asumiendo como errores de medicin. En este sentido, las lneas niveladas en varias oportunidades son de especial importancia, pues a partir del anlisis de sus mediciones repetitivas es posible distinguir de los errores de observacin las variaciones de altura generadas por movimientos verticales. Este anlisis debe ser complementado con posicionamiento satelital en puntos de nivelacin, ya que las variaciones temporales son ms fciles de identificar en las alturas elipsoidales. Bajo este marco, es necesario que todas las diferencias de nivel medidas en los pases de Amrica del Sur sean reducidas a una sola poca de referencia.

b. Nmeros geopotenciales

El clculo de nmeros geopotenciales requiere de la interpolacin de valores de gravedad superficiales, cuya precisin depende de la calidad y densificacin de los puntos de gravedad disponibles. Amn que todos los pases de la regin cuentan con estaciones absolutas y redes gravimtricas de primer orden como densificaciones de RELANG, an existen valores de gravedad asociados al sistema Potsdam, las cuales deben ser actualizados antes de proceder con la interpolacin. En este sentido, es importante que cada pas adelante un inventario de la informacin gravimtrica existente, incluyendo la proveniente de proyectos geofsicos, y que analice, tanto su sistema de referencia, como su calidad. Los datos de gravedad depurados, adems de servir para el clculo de los nmeros geopotenciales, son de especial importancia para la determinacin de un geoide (o cuasigeoide) gravimtrico de alta resolucin.


Los nmeros geopotenciales calculados en este ejercicio se refieren al nivel W0 realizado por el marografo colombiano de Buenaventura, similarmente, los nmeros geopotenciales que se calculen en cada pas de la regin se referirn al nivel realizado por el maregrafo local. Dado que la diferencia entre estos niveles (Wi0) no es conocida, se necesita de la vinculacin, mediante nivelacin geomtrica, de las redes de primer orden entre pases vecinos. Las diferencias de potencial obtenidas haran posible un ajuste continental de los nmeros geopotenciales correspondientes a la redes de nivelacin fundamentales.

A pesar de que con el procedimiento anterior se unifica el nivel de referencia W0 para los pases de la regin, ste continuara siendo local para Amrica del Sur; de all, es necesario que cada maregrafo de referencia se vincule a un sistema global, esto se traduce en la determinacin de la SSTop en cada uno de ellos, durante la poca de definicin del nivel medio del mar correspondiente.

c. Alturas fsicas

Los nmeros geopotenciales, ajustados en una sola red continental y referidos a un nivel W0 global, deben ser representados en unidades mtricas de longitud, es decir que deben transformarse en alturas fsicas. La principal desventaja de las alturas ortomtricas es su dependencia de las hiptesis asociadas al gradiente vertical de la gravedad y a la distribucn interna de masas terrestres. stas no son calculables directamente a partir de los datos medidos sobre la superficie terrestre y siempre representan alturas irreales. Como ventaja sobre las alturas normales, las ortomtricas se refieren a una superficie vertical con significado fsico (el geoide), el cual, no obstante, tambin requiere de la formulacin de hiptesis similares, haciendo que su realizacin difiera segn el mtodo de reduccin utilizado. De otra parte, a pesar de que el cuasigeoide en las reas continentales no corresponde con una equipotencial, bajo la definicin clsica de altura como la distancia al nivel medio del mar, las alturas normales presentan un comportamiento equiparable al de las ortomtricas. Adicionalmente, stas pueden estimarse unvocamente a partir de observaciones gravimtricas sobre la superficie de la Tierra y el campo normal de gravedad, el cual no requiere de suposiciones.

Por lo anterior y, teniendo presente los resultados numricos obtenidos, podra decirse que las alturas normales de Molodenski ofrecen las mejores condiciones para constituir la componente fsica del nuevo sistema vertical de referencia para America del Sur.

d. Superficie de referencia

La superficie de referencia de las alturas normales es el cuasigeoide, el cual tambin deber tener un carcter continental. Los clculos de (cuasi-)geoides individuales pas por pas no satisfacen la condicin de unicidad impuesta por un sistema vertical moderno, ste debe ser calculado de manera unificada a nivel regional. Su nivel global se obtiene mediante la componente proveniente de un modelo global de gravedad, compatible con el valor de


referencia W0 derivado, preferiblemente, de datos satelitales; sus longitudes de onda largas son detalladas con las altas frecuencias de las anomalas locales de gravedad.

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ANEXO: REPRESENTACIN GRFICA DE LOS PERFILES DE NIVELACIN Y LAS CORRECCIONES DINMICAS, ORTOMTRICAS Y NORMALES CORRESPONDIENTES.


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DETERMINACIÓN DE ALTURAS FÍSICAS EN COLOMBIA ...

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