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8/17/2019 Diapo Ecuacion Del Calor
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ESTUDIANTES:
1. DELGADO DELGADO YON MAX
2. YEN RUCOBA JORGE
DOCENTE: Lic. Mat. D LGADO NAMUCH KATTY
Un retrato de Joseph Fourier
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I. CONTEXTO HISTORICO:
.La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807―en su memoria
sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos.
.En ella proponía además el germen de lo que pasaría a ser la eoría de las
!eries de Fourier.
.Fourier presentó en 1807 los resultados de sus in"estigaciones a la
#cademia de $iencias de %arís & fue e"aluado por destacadas
personalidades' entre ellos %ierre !imon Laplace (17)*+18,7- & osep/
Louis Lagrange (17+181-2 pero el traba3o no tu"o buena aceptación &
recibió muc/as críticas' entre ellas la falta de rigurosidad en losfundamentos analíticos.
.an contro"ertida fue esta 4ltima' que tomó quince a5os' /asta 18,,' para
que la #cademia de $iencias decidiese publicarla.
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II. Modelos matemáticos:
El matemático & físico franc6s Jean Baptiste
Joseph Fourier (178+180- fue pionero en el
estudio de la transferencia del calor en sólidos &
fue quien dedu3o la denominada Ecuación del
$alor' que consiste en una E% cu&as
"ersiones es
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a. La Ecuación del Calor tridimensional
#ntecesoras a la ecuación del calor
La Ecuación de la Cuerda Vibrante (ó Ecuación de 9nda-.
el matemático franc6s ean le :ond ;#lembert (1717+178- encontró el
modelo matemático que representaba este fenómeno' consistente en la E%
aniel
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En versión tridimensional de la ecuación es
donde u(>'&'?'t- representa la temperatura en cada punto del interior
del sólido en cada instante de tiempo & @ es una constante que
depende del material.
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• 9tra cuestión mu& contro"ersial fue la propuesta de Fourier de
e>pandir en series trigonom6tricas una función arbitraria2 6l
afirmaba que una función f(>- podía desarrollarse como
donde encontró tambi6n las e>presiones para calcular los coeficientes
aA & bA2 son las que actualmente se conocen como !eries de Fourier.
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b. La Ecuación del Calor unidimensional
!ea una "arilla delgada de longitud L' ubicada a lo largo del e3e > & sea u(>'t-
la función de temperatura en cada punto de la misma & en cualquier instante
t2 en este modelo se considera que la temperatura en una sección
trans"ersal #' es la misma para todos sus puntos2 dependiendo solamentede su posición en >. !e considera así un elemento comprendido entre dos
secciones ubicadas en > & (> B C>-. !i la "arilla tiene las siguientes
características
Es /omog6nea' es decir densidad constante D
$alor específico Dc & conducti"idad t6rmica DA constantes Go /a& fuentes de calor en su interior' ni escapa calor al medio (aislada-
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La cantidad de calor necesaria para ele"ar la temperatura de un elemento de
masa Dm en una cantidad DCu "iene dada por
Q = m c ∆u = ρ ∆! c ∆u "#$
El flu3o t6rmico que ingresa al elemento es
& el flu3o saliente
de manera que el flu3o neto en el elemento de "arilla considerado será
% & "!'(!)t$ "!)t$* "+$
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eri"ando la e>presión "#$ e igualando a "+$) resulta
si a/ora se plantea el límite cuando C> 0' se llega a la ecuación de calor
unidimensional
donde el coeficiente @ H se denomina Ddifusi"idad t6rmica.
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En versión bidimensional de la ecuación es
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c. Solución de la Ecuación de Calor medianteseparación de variables
En este e3emplo se busca determinar la distribución de temperatura u(>'t-
en una "arilla de longitud L' con temperatura inicial f(>- & cu&os e>tremos
se mantienen a temperatura constante nula2 resulta así el siguiente %IF
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Jna alternati"a para /allar una solución analítica de este modelo es
mediante separación de "ariables
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!e encuentra así
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,esultado -inalmente
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EJE,C/C/0.
1. una "arilla delgada de longitud L tiene una temperatura inicial
K sus e>tremos se mantienen a la temperatura cero en todo momento .
!i la "arilla de coincide con las /ipotisis planteadas'entonces por "alosr de
frontera calculamos su temperatura.
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%or separación de "ariables tenemos
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ebemos tener para K se obtiene