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Modelo del Ojo Humano
Basado en Matrices ABCD
por
Gerardo Daz Gonzalez
Tesis sometida como requisito parcial para
obtener el grado de
MAESTRO EN CIENCIAS EN LA
ESPECIALIDAD DE OPTICA
en el
Instituto Nacional de Astrofsica, Optica y
Electronica
Agosto 2008
Tonantzintla, Puebla
Supervisada por:
Dr. M. David Iturbe Castillo, INAOE
cINAOE 2008El autor otorga al INAOE el permiso de
reproducir y distribuir copias en su totalidad o en
partes de esta tesis
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Modelo del Ojo Humano Basado enMatrices ABCD
por
Gerardo Daz Gonzlez
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de
Maestro en Ciencias en la Especialidad de ptica
en el
Instituto Nacional de Astrofsica ptica y Electrnica
Supervisada por
Dr. M. David Iturbe Castillo
Tonantzintla, Puebla
Agosto 2008
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A mis padres, Gerardo Daz y Guadalupe Gonzlez;
mis hermanas, Sonia y Cinthya;
y mi sobrino, Csar
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Agradecimientos
Mi ms sincero agradecimiento al Dr. David Iturbe Castillo por sus
valiosas enseanzas, su asesoramiento, y por el gran apoyo que me brind atravs de mi estancia en el INAOE y durante la realizacin de ste trabajo.
Quiero agradecer a mis sinodales, los Doctores Rufino Daz y FermnGranados, por sus comentarios y sugerencias en la revisin de ste trabajo.
Doy las gracias especialmente al Dr. Sabino Chvez por brindarme elespacio fsico para trabajar, por el tiempo que me concedi y por susmemorables consejos.
Estoy muy agradecido con mis compaeros: Juan Carlos Jurez,
Armando, Daniel, Benito, Enrique, Juan Carlos Valdiviezo, Pedro, RalOchoa, Eber, Ivn y Anmi, por su compaa, apoyo, y por todos losmomentos divertidos.
Agradezco infinitamente a Lety Jimnez por su amistad, afecto, apoyoincondicional, y por todo el tiempo que me ha concedido.
Mi agradecimiento tambin para Ale Sampedro por ser una granamiga y por brindarme su valiosa amistad.
Es un placer agradecer al personal del INAOE que me brind su
amabilidad: Paty, Eisela y Aurora de la Coordinacin de ptica, Liliana Pereaen la biblioteca, y la Lic. Carmen Meza y Edith Palacios de la Direccin deInvestigacin y Postgrado.
Mi especial agradecimiento a Maria Luisa Tecuatl por su cario y portodos los momentos que hemos compartido.
Agradezco al pueblo de Mxico y al Consejo Nacional de Ciencia yTecnologa por el apoyo otorgado a travs de la beca No. 199234 pararealizar mis estudios de Maestra, y por el apoyo econmico a travs de laconcesin SEP-2005-C01-51146-F para la conclusin de este trabajo de
tesis.
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ndice
Captulo 1 Introduccin.. 1
Captulo 2 Descripc in de los elementos pticos del ojo
humano... 4
2.1 Introduccin 4
2.2 Elementos pticos del ojo humano................................. 5
2.2.1 La crnea.. 6
2.2.2 Pupila. 7
2.2.3 Humor acuoso.. 7
2.2.4 Cristalino... 8
2.2.5 Humor vtreo. 9
2.2.6 La retina.... 92.3 Errores de refraccin en la visin. 10
2.3.1 Miopa.. 11
2.3.2 Hipermetropa 12
2.3.3 Astigmatismo del ojo. 13
Captulo 3 Fundamentos tericos. 15
3.1 Introduccin.. 15
3.2 Conceptos bsicos.. 16
3.2.1 Definicin de rayo e luz.... 16
IV
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3.2.2 Las ecuaciones de rayos paraxiales.. 16
3.2.3 Matriz de propagacin en espacio libre. 19
3.2.4 Matriz para una interfase plana entre dos medios de ndice de
refraccin diferente...... 203.2.5 Matriz ABCD para un sistema ptico en general. 22
3.3 Deduccin de las matrices ABCD utilizadas en el modelo del ojo
humano. 24
3.3.1 Matriz de refraccin en una superficie esfrica entre dos medios de
ndice de refraccin diferente.. 24
3.3.2 Matriz para una lente esfrica de espesor d..... 27
3.3.3 Matriz de propagacin en un medio de ndice gradiente 29
3.4 Ecuaciones de dispersin cromtica de los medios oculares.. 33
Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas
consideraciones... 37
4.1 Introduccin.. 37
4.2 Mtodo de programacin del modelo del ojo humano38
4.3 ndices de refraccin de los medios oculares para distintas longitudes
de onda. 42
4.4 Simulacin de la potencia refractiva considerando variaciones en las
superficies y medios pticos.. 43
4.4.1 Simulacin de la potencia refractiva variando los espesores de los
medios oculares..44
4.4.2 Simulacin de la potencia refractiva variando los radios decurvatura de los elementos pticos del ojo51
4.5 Simulacin de la propagacin de rayos a travs del sistema ptico del
ojo.. 57
V
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4.6 Otros resultados que pueden obtenerse con el modelo del ojo
propuesto.. 66
Captulo 5 Conclusiones.. 70
5.1 Trabajo a futuro 73
Apndice.
Programa desarrollado en Matlab para la simulacin del modelo del
ojo humano con matrices ABCD...... 75
ndice de figuras 83
ndice de tablas.. 86
Referencias.......................... 87
VI
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Captulo 1 Introduccin
Captulo 1
Introduccin
Los primeros estudios del ojo humano fueron hechos por Helmholtz en
el siglo XIX, y continuaron con los estudios de Gullstrand [1], que le valieron
el premio Nbel en Fisiologa y Medicina en 1911. Posteriormente se
desarrollaron modelos del ojo que hasta la fecha se siguen utilizando como
referencia para las investigaciones en ptica visual. Entre los modelos ms
conocidos y utilizados estn los modelos esquemticos simples como los de
Listing [2] y Emsley [3], a los que les siguen otros ms complejos como los
de Le Grand y Hage [4], Kooijman [5] y Navarro et al. [6].
Tambin se han desarrollado modelos que consideran al cristalino
como un medio de ndice de refraccin gradiente, tales como los modelos de
Atchison y Smith [7,8], Liou y Brennan [9], Popioleck y Kasprzak [10], M. V.
Prez et al. [11], y Siedlecki et al. [12]. Sin embargo, este tipo de modelos
han recibido poca atencin en optometra y ciencias de la visin, a pesar de
que consideran de qu manera puede cambiar el ndice de refraccin y la
potencia refractiva con la acomodacin, y en la mayora de estos trabajos
slo se ha modelado al cristalino de ndice gradiente como un elemento
individual.
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Captulo 1 Introduccin
Los oftalmlogos y los optometristas corrigen las ametropas por
medio de diferentes tratamientos, que puede ser tan moderno como una
ciruga refractiva o tradicional como el uso de anteojos o lentes de contacto.
En ambos campos es muy importante conocer cules son los parmetroscorrectos del ojo, y si se presentan anormalidades, saber el tipo y el grado de
correccin que se va a realizar. Adems, existe poca informacin en cuanto a
cmo influyen cada uno de los parmetros del ojo en la correccin de los
problemas visuales. De modo que el tipo y grado de correccin que se
realizan en el paciente algunas veces no son los correctos. Por tal motivo, es
necesario contar con un modelo del ojo humano simple y efectivo, que pueda
ser entendido por profesionales en ptica, optometra y oftalmologa.
En este trabajo se presenta un modelo del ojo humano, el cual utiliza
la propagacin de rayos de luz, matrices ABCD y los parmetros
correspondientes a cada una de las interfaces y medios asociados a cada
elemento ptico del ojo. Tomaremos en cuenta la dispersin de los medios
oculares y variaciones en los espesores y radios de curvatura dentro un
intervalo que consideramos pueden presentar algunos individuos. Tambin
consideraremos al cristalino como un medio de ndice de refraccin fijo y
como un medio con ndice de refraccin de tipo gradiente. El objetivo es
determinar cuales son los parmetros que ms influyen para que cambie la
potencia refractiva o equivalentemente la distancia focal efectiva del ojo.
El desarrollo de este trabajo de tesis est organizado de la siguiente
forma: en el Captulo 2 se da una introduccin sobre aspectos generales del
ojo humano y los elementos pticos que lo componen. Se habla sobre losdefectos de refraccin ms comunes, tales como la miopa, hipermetropa y
el astigmatismo, que son debidos a las deformaciones que se pueden
presentar en el ojo. Posteriormente, en el Captulo 3 se exponen los
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Captulo 1 Introduccin
fundamentos tericos y la deduccin de las matrices ABCD utilizadas para
desarrollar el modelo del ojo humano.
En el Captulo 4 se presentan los resultados de simulaciones denuestro modelo, asumiendo que el objeto es puntual y est colocado a una
cierta distancia del ojo. Por medio de grficas se ilustra la dependencia de la
potencia refractiva total del ojo con respecto a variaciones en longitud de
onda, radios de curvatura y espesores de la crnea y cristalino, as como
variaciones en el espesor de las cmaras que contienen al humor acuoso y al
vtreo. Adems se hace una comparacin de los resultados obtenidos
considerando al cristalino como un medio de ndice de refraccin gradiente y
no gradiente.
Por ltimo, en el Captulo 5 se dan las conclusiones de este trabajo y
se mencionan algunos trabajos consecuentes o complementarios a
desarrollar en un futuro.
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
Captulo 2
Descripcin de los elementos pticos del
ojo humano
2.1 Introduccin
El ojo es el principal rgano para el sensado de luz en humanos, y su
diseo es ptimo para capturar la luz y formar una imagen. El ojo es, en
muchos aspectos, como una cmara fotogrfica. La cmara proyecta, a
travs de un sistema ajustable de lentes, la imagen invertida de un objeto
sobre una pelcula, mientras un diafragma se ocupa de la regulacin de la
cantidad de luz. Despus del revelado y la reversin al efectuar la
ampliacin, se obtiene finalmente una imagen visible, bidimensional, del
objeto. Del mismo modo, el sistema ptico del ojo proyecta una imagen
invertida sobre el fondo ocular a travs de una lente deformable, conocida
como cristalino. El iris funciona como el diafragma y la retina toma la funcin
de la pelcula. En la retina se forma la imagen y ocurre un proceso medianteel cual la luz se convierte en estmulos nerviosos, que son enviados al
cerebro a travs del nervio ptico, para que all finalmente puedan ser
interpretados como imgenes y hacerse conscientes en una determinada
zona, la corteza visual.
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
Un esquema del ojo humano se muestra en la figura 2.1, donde
podemos observar los elementos pticos de los que est compuesto: crnea,
humor acuoso, cristalino y humor vtreo, as como el cuerpo ciliar y las capas
que cubren al globo ocular.
Figura 2.1 Esquema del ojo humano derecho como una seccin horizontal.
En la medida en que el sistema ptico del ojo funcione correctamente,
la imagen proyectada en la retina es fiel al objeto, si esto no sucede entonces
se requiere de un elemento corrector, por ejemplo lentes. Por otra parte,
cuando el ojo necesita enfocar a diferentes distancias ocurre un cambio en laconfiguracin del cristalino, proceso conocido como acomodacin, el cual
implica alteraciones en su curvatura y espesor.
2.2 Elementos pticos del ojo humano
De manera esquemtica se puede describir el globo ocular de un
humano adulto como una esfera de 12 mm de radio, compuesta por tres
capas, que son [13]:
Retina, que es la capa mas interna.
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
vea, que es la capa media vascular, constituida por tres partes, que
son: coroides, cuerpo ciliar e iris.
Esclertica, que es la capa externa que cubre el bulbo del ojo,
completado en su parte anterior por una pequea zona de tejido de
transicin denominada limbo esclerocorneal, que une a otro casquete
de esfera transparente de menor curvatura, denominada crnea, que
es una capa fibrosa transparente y avascular.
Para que el ojo como sistema ptico pueda desempear sus funciones
satisfactoriamente, es necesario que sus medios pticos sean transparentes,
para que la intensidad de la luz se transmita con pocas prdidas hacia laretina.
La ptica fisiolgica es la que se encarga de estudiar las funciones y
caractersticas fsicas del ojo y cmo influyen stas en el tratamiento de los
defectos visuales de un individuo. Para comprenderla necesitamos estudiar
cada una de las estructuras implicadas en el proceso de formacin de
imgenes.
2.2.1 La crnea
La crnea se puede comparar con un segmento de esfera en su
regin central, de menor radio de curvatura que el globo ocular, y en
promedio representa 1/6 de la superficie total del ojo.
Caractersticas pticas de la crnea:
La crnea se puede considerar como una lente con las siguientes
caractersticas [13]:
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
Espesor: Se encuentra comprendido entre 0.40 a 0.67 mm y vara del centro
a la periferia, cuyo valor promedio es de 0.5 mm.
Dimetro: En el adulto presenta un dimetro horizontal de 11.6 mm y un
vertical de 10.6 mm.ndice de refraccin: 1.376
Radios de curvatura en la regin central: En promedio, el radio de la cara
anterior es de 7.8 mm en un adulto, y el de la cara posterior es de 6.7 mm.
2.2.2 Pupila
La pupila es la abertura circular en el centro del iris. El iris es el que da
el color a los ojos y recibe su nombre del hecho de que tiene una gran
variacin en color de una persona a otra. La funcin de la pupila es controlar
la cantidad de luz que llega a la retina, por lo que disminuye su dimetro a
medida que se aumenta la intensidad luminosa.
En ojos jvenes y con baja iluminacin el dimetro de la pupila es de
alrededor de 8 mm, y cuando la iluminacin es muy intensa se cierra hasta
un dimetro cercano a 2 mm. A niveles medios de iluminacin, el dimetro de
la pupila es de 3.5 a 4 mm [14]. Con la edad, la pupila va disminuyendo su
dimetro gradualmente.
2.2.3 Humor acuoso
La cmara que contiene al humor acuoso se encuentra comprendida
entre la cara posterior de la crnea y la cara anterior del cristalino, pasandopor la pupila. El humor acuoso es un lquido transparente con un ndice de
refraccin de 1.336 [15]. Su espesor es de 3 a 4.5 mm [13], el cual disminuye
ligeramente con la edad. Su produccin es constante siendo un aporte
importante de nutrientes y oxgeno para la crnea. Tambin tiene la funcin
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
de mantener la presin constante y ayudar a conservar la convexidad original
de la crnea.
2.2.4 Cristalino
El cristalino es una lente biconvexa dinmica, completamente
transparente. Se encuentra suspendido detrs del iris por la znula que lo
une con el cuerpo ciliar. Sus parmetros pticos varan de acuerdo con la
edad.
Una de las propiedades del cristalino es la acomodacin, que consiste
en enfocar los objetos que se encuentran lejos hasta los que se encuentran
cerca, que normalmente es una distancia de 25 cm [14]. Por tanto, el radio de
curvatura es mayor cuando se observan objetos lejanos y es menor cuando
se observan objetos cercanos.
Caractersticas pticas del cris talino [13]:
Espesor: En la regin central vara de 3.92 a 4.84 mm durante la
acomodacin, y sin acomodacin es de 4 mm.
Dimetro: El valor de su dimetro frontal es de aproximadamente 8.5 a 10
mm en un adulto.
ndice de refraccin: El valor tpico considerado por los optometristas es de
1.43 en el centro (ndice de refraccin alto), y de 1.39 en los extremos (ndice
de refraccin bajo). Sin embargo en nuestro estudio utilizaremos los valores
seguidos por Atchison y Smith [16].Radios de curvatura: Sin acomodacin, el radio de la superficie anterior es de
10 mm, y el de la posterior de -6 mm.
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
2.2.5 Humor Vtreo
El humor vtreo llena el espacio comprendido entre el cristalino y la
retina. Es avascular, transparente y representa las 2/3 partes del volumen ypeso del ojo. Tiene un ndice de refraccin de 1.336, y su espesor es de
16.6 mm [5]. El humor vtreo al igual que el humor acuoso proveen los
elementos necesarios para el metabolismo de los tejidos avasculares como
la crnea y cristalino, y tambin tiene la funcin de mantener la presin para
ayudar a conservar la forma esfrica del globo ocular.
2.2.6 La retina
La retina es el elemento fotosensible del ojo en el cual se forma la
imagen. En la retina se transforma la energa luminosa en estmulos
nerviosos. La capa ms interna de la retina, es decir, la ms cercana al
vtreo, est compuesta de clulas y fibras nerviosas, mientras que la parte
externa, la ms sensible a la luz, est cubierta por las clulas llamadas conos
y bastones, adems de un pigmento protector.
Los conos son sensibles a niveles de iluminacin altos, y son los
responsables de la percepcin del color. Los bastones son sensibles a
intensidades luminosas muy bajas, y se encargan de la percepcin del
blanco y negro. La visin con conos se llama fotpica, y la visin con
bastones escotpica. A niveles medios de iluminacin intervienen tanto los
bastones como los conos en la llamada visin mesptica [14].
En la observacin oftalmoscpica de la retina se distinguen:
El nervio ptico(o disco ptico), de 1.5 mm de dimetro, localizado hacia la
parte nasal, en el que faltan clulas sensoriales fotosensibles [13].
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
La mcula, que es una pequea regin de 2.5 a 3 mm de dimetro, tambin
conocida como la mancha amarilla y situada en el centro de la retina [17].
En el centro de la mcula se halla una pequea depresin llamadafvea centralis, que mide cerca de 0.3 mm [13,15] y est situada cerca del
eje ptico. La fvea contiene solamente conos, mucho ms densamente
empacados que en el resto de la retina, por lo que la fvea es sensible al
color y nos permite ver detalles muy finos. En cambio los bastones estn
distribuidos en casi toda la retina con excepcin de la fvea.
2.3 Errores de refraccin en la vis in
Un ojo emtrope es aqul que no tiene defectos de refraccin, y
amtrope el que si los tiene. Si el ojo es amtrope, se requiere de un
elemento corrector de la visin, por ejemplo, lentes de contacto colocados
sobre la crnea, o anteojos colocados en armazones especiales, de tal
manera que la superficie posterior de la lente est a 14 mm de distancia de la
crnea [14].
Un ojo emtrope sin acomodacin enfoca claramente objetos lejanos,
como se esquematiza en la figura 2.2. En estas condiciones decimos que el
ojo est relajado.
La miopa, la hipermetropa y el astigmatismo son ejemplos de errores
de refraccin de la visin, y a continuacin se explica en qu consiste cadauno de ellos.
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
Figura 2.2 Ojo emtrope enfocando un objeto puntual lejano.
2.3.1 Miopa
Si el ojo relajado enfoca objetos lejanos antes de la retina como se
esquematiza en la figura 2.3, decimos que el ojo tiene miopa. Por tanto, un
ojo miope no puede ver con claridad los objetos lejanos, pero s los objetos
cercanos sin necesidad de acomodacin. Mientras mas grande sea la
miopa, ms corta ser la distancia a la que los objetos aparezcan bien
definidos. La miopa se corrige usando una lente negativa apropiada frente al
ojo, como se muestra en el esquema de la figura 2.4.
Figura 2.3 Rayos de luz producidos por un objeto puntual lejano entrando a un
ojo miope.
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
Figura 2.4 Ojo miope corregido con una lente divergente.
2.3.2 Hipermetropa
Si el ojo relajado enfoca objetos lejanos detrs de la retina, como se
esquematiza en la figura 2.5, decimos que el ojo tiene hipermetropa. Un ojo
hipermtrope podra ver con claridad los objetos distantes aumentando su
potencia mediante la acomodacin, pero entonces el ojo nunca estar
relajado []. Para corregir la hipermetropa es necesario el uso de lentes
positivas, como se muestra en el esquema de la figura 2.6.
Figura 2.5 Rayos de luz producidos por un objeto puntual lejano entrando a un
ojo hipermtrope.
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
Figura 2.6 Ojo hipermtrope corregido con una lente convergente.
2.3.3 Ast igmatismo del ojo
El astigmatismo del ojo es causado por una o ms de sus superficies
refractantes, usualmente la crnea, que es ms curvada en un plano que en
otro. La superficie refractante que es normalmente con simetra de revolucin
adquiere una pequea componente cilndrica, esto es, se hace trica.
Bajo estas condiciones, en el astigmatismo los rayos en el planoparalelo al eje del toroide tienen diferente foco que los rayos en el plano
perpendicular, como se esquematiza en la figura 2.7. A la regin cercana a
los focos se le designa con frecuencia con el nombre de conoide de Sturm
[14].
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Captulo 2 Descripcin de los elementos pticos del ojo humano
Figura 2.7 Forma de la crnea y refraccin de los rayos en un ojo con
astigmatismo.
Los problemas de visin que hemos mencionado son los ms
comunes, y pueden ser causa de distintos factores, tales como:
Curvaturas mayores o menores a lo normal en la crnea o cristalino
[13,14].
Alteraciones en las posiciones y espesores de los medios oculares y
posicin de la retina.
Variaciones en el ndice de refraccin de alguno de los medios.
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Captulo 3
Fundamentos tericos
3.1 Introduccin
Las matrices ABCD son una herramienta matemtica utilizada en el
anlisis de sistemas pticos, y entre sus aplicaciones est el anlisis de
estabilidad de cavidades pticas [18]. Las matrices ABCD tambin se utilizan
para calcular la altura a la que sale un rayo de un sistema ptico y su
pendiente. En este captulo se darn los fundamentos tericos necesariospara desarrollar un modelo del ojo humano con matrices ABCD, de tal forma
que podamos obtener informacin acerca de la potencia refractiva y por
consiguiente de la distancia focal efectiva del ojo bajo distintas
consideraciones. Como se mencion en el Captulo 2, dichos errores tienen
que ver con variaciones en los radios de curvatura de la crnea o del
cristalino, o bien con cambios en los espesores de los medios oculares.
El desarrollo del presente captulo estar dado de la siguiente manera:
en la seccin 3.2 se exponen los conceptos bsicos que marcarn el punto
de partida y las limitaciones de nuestro trabajo. En la seccin 3.3 se presenta
la deduccin de las matrices ABCD utilizadas para desarrollar el modelo del
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Captulo 3 Fundamentos tericos
ojo. Finalmente, en la seccin 3.4 se hace una mencin de las ecuaciones
ms comunes que han sido utilizadas para describir la dispersin de los
medios oculares, para posteriormente elegir la ms adecuada para nuestros
propsitos.
3.2 Conceptos bsicos
3.2.1 Definicin de rayo de luz
Por definicin, un rayo de luz representa la direccin en la que sepropaga la energa de una onda de luz [14]. En un medio uniforme
(homogneo), los rayos siguen trayectorias rectas; mientras que en un
medio de ndice gradiente (no homogneo) los rayos pticos pueden seguir
trayectorias curvas [15].
Los componentes pticos son a menudo centrados con respecto a un
eje ptico, el cual sirve como referencia para medir las alturas y ngulos a los
que viajan los rayos. Se llaman rayos paraxiales a aquellos cuyo ngulo con
respecto al eje ptico es muy pequeo, de modo que tan ii [19]. De aqu
en adelante asumiremos que el eje ptico es el eje zy que los rayos viajan
de izquierda a derecha.
3.2.2 Las ecuaciones de rayos paraxiales
Para determinar las trayectorias de rayos de luz en un medio
homogneo o inhomogneo con ndice de refraccin )(rn r
, usaremos el
principio de Fermat, el cual enuncia que: De todas las trayectorias para que
la luz viaje de un punto P1a otro punto P2, solo son permitidas fsicamente
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Captulo 3 Fundamentos tericos
aquellas que tienen un valor extremo (mximo, mnimo o estacionario) para
el camino ptico [14].
Usualmente se toma como valor extremo un mnimo, por lo quematemticamente se puede expresar el principio de Fermat de la siguiente
forma:
0)(2
1
=P
Pdsrn
r
, (3.1)
donde dses una diferencial de longitud a lo largo de la trayectoria del rayo
entre P1y P2. Si la trayectoria est descrita por las funcionesx(s), y(s) y z(s),
donde ses la longitud de la trayectoria (ver figura 3.1). Entonces usando el
clculo de variaciones se puede demostrar que x(s), y(s) y z(s) deben
satisfacer las tres ecuaciones diferenciales parciales siguientes [20]:
x
n
ds
dxn
ds
d
=
,
y
n
ds
dyn
ds
d
=
,
z
n
ds
dzn
ds
d
=
. (3.2)
Figura 3.1 La trayectoria del rayo est descrita paramtricamente por tres
funciones x(s), y(s), y z(s).
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Definiendo el vector )(srr
, cuyas componentes son x(s), y(s)y z(s), la
ecuacin (3.2) se puede escribir en la forma vectorial compacta como:
nds
rdn
ds
d=
r
, (3.3)
donde , el gradiente de n, es un vector con componentes cartesianas
n/x, n/y, y n/z. La ecuacin (3.3) se conoce como la ecuacin de rayos.
n
En la aproximacin paraxial, la trayectoria es casi paralela al eje z, de
modo que dsdz. Las ecuaciones de rayos (3.2) entonces se simplifican a
x
n
dz
dxn
dz
d
,
y
n
dz
dyn
dz
d
, (3.4)
que son las ecuaciones de rayos paraxiales. Dado n= n(x, y, z), estas dos
ecuaciones diferenciales parciales pueden resolverse para la trayectoriax(z)
y y(z).
En el caso lmite de un medio homogneo para el cual n es
independiente dex, y, z, las ecuaciones (3.4) dan
02
2
=dz
xd y 0
2
2
=dz
yd, (3.5)
a lo cual sigue que x y y son funciones lineales de z, de modo que las
trayectorias son lneas rectas.
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Captulo 3 Fundamentos tericos
3.2.3 Matriz de propagacin en espacio libre
El bloque mas simple de un sistema ptico es una distancia d de
espacio libre (figura 3.2). Si conocemos donde est el rayo en el primer plano(1) y conocemos su inclinacin con respecto al eje, entonces podremos saber
donde emerge el rayo y hacia donde va en el plano de salida (2).
Figura 3.2 Propagacin de un rayo en espacio libre una distancia d.
Dado que los rayos en espacio libre viajan a lo largo de lneas rectas,
los parmetros de salida estn relacionados con los parmetros de entrada
por
112 1 dyy += , (3.6)
112 10 y += , (3.7)
y podemos escribir stas en forma matricial, de modo que
=
1
1
2
2
10
1
yd
y (3.8)
19
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Por tanto, la matriz Mque describe la propagacin de un rayo viajando
una distancia dde espacio libre es
=
10
1 dM (3.9)
3.2.4 Matriz para una interfase plana entre dos medios de ndice de
refraccin diferente
Consideremos una superficie plana entre dos medios de ndice de
refraccin diferente n1y n2. Un rayo incidiendo en dicha superficie se puede
dividir en dos: un rayo reflejado y un rayo refractado (transmitido). El rayo
refractado (ver figura 3.3) obedece la ley de refraccin, tambin conocida
como ley de Snell, la cual establece que el ngulo de refraccin 2 se
relaciona con el ngulo de incidencia 1por [15,19]:
2211 sennsenn = . (3.10)
Figura 3.3 Refraccin de un rayo a travs de una superficie plana entre dos
medios de ndice de refraccin diferente.
20
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Captulo 3 Fundamentos tericos
En la aproximacin paraxial, la ecuacin (3.10) se reduce a
2211 nn = . (3.11)
Haciendo uso de la ecuacin (3.11), y puesto que el rayo entra y sale
en un mismo punto de la superficie plana, podemos relacionar las alturas y
ngulos de salida con los de entrada por:
112 01 yy += (3.12)
y
12
112 0 n
ny += (3.13)
Escribiendo las ecuaciones (3.12) y (3.13) en forma matricial tenemos que
=
1
1
2
1
2
2
0
01
y
n
n
y (3.14)
Por tanto, la matriz que describe la desviacin de un rayo despus de
pasar por una interfase plana entre dos medios de ndice de refraccin n1y
n2 es
=
2
10
01
n
nM (3.15)
21
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Captulo 3 Fundamentos tericos
3.2.5 Matriz ABCD para un sistema ptico en general
Para describir la propagacin de un rayo de luz a travs de un sistema
ptico que consiste de lentes, distancias de espacio libre, interfaces entrediferentes medios dielctricos, espejos, etctera, basta con conocer: a)
donde est el rayo con respecto a algn eje elegido arbitrariamente y, b) en
que direccin est dirigido. Ambos parmetros se pueden obtener fcilmente
haciendo uso de las matrices correspondientes a cada uno de los elementos
pticos [18].
Un sistema ptico es una serie de componentes pticos colocados
entre dos planos transversales en z1 y z2, referidos como los planos de
entrada y de salida respectivamente. El sistema es caracterizado
completamente por su efecto sobre un rayo entrante de posicin y direccin
arbitrarios (y1, 1). Como se esquematiza en la figura 3.4, el sistema ptico
dirigir al rayo de modo que tenga una nueva posicin y direccin (y2, 2) en
el plano de salida.
Figura 3.4 Un rayo que entra al sistema ptico a una altura y1y ngulo 1y sale
a una altura y2y ngulo 2.
22
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Como vimos en las secciones 3.2.3 y 3.2.4, la relacin entre (y2, 2) y
(y1, 1) en la aproximacin paraxial, es lineal, de la forma
112 BAyy += , (3.16)
112 DCy += , (3.17)
donde A, B, C y D son nmeros reales. Las ecuaciones (3.16) y (3.17)
pueden escribirse convenientemente en forma de matrices como
=
1
1
2
2
y
DC
BAy
(3.18)
La matriz Mcuyos elementos son A, B, Cy D, caracteriza al sistema
ptico completamente, dado que sta permite que (y2, 2) sea determinado
para cualquier (y1, 1). Dicha matriz se conoce como la matriz ABCD [20,21].
El concepto de matriz ABCD para elementos individuales puede
aplicarse para un sistema ptico que contenga varios elementos, obteniendo
algo correspondiente a una matriz equivalente.
Una serie de componentes pticos cuyas matrices ABCD son M1,
M2,..., MN (figura 3.5), es equivalente a un solo componente ptico cuya
matriz de transferencia de rayos es
12 MMMM NL
= . (3.19)
El orden de la multiplicacin de matrices se debe a que la matriz del
sistema que es atravesado por el primer rayo est colocada a la derecha, de
modo que sta opera sobre la matriz columna del primer rayo incidente.
23
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Figura 3.5 A una serie de componentes pticos en cascada le corresponde una
matriz equivalente M.
3.3 Deduccin de las matrices ABCD uti lizadas en el modelo
del ojo humano
3.3.1 Matriz de refraccin en una superficie esfrica entre dos medios
de ndice de refraccin diferente
Consideremos una superficie esfrica de radio Rentre dos medios de
ndice de refraccin diferente n1 y n2. Por convencin, R es positivo si el
centro de curvatura est situado a la derecha del vrtice de la superficie
esfrica, y negativo si est a la izquierda [14].
Un rayo incidiendo en dicha superficie a una altura y1entra y sale en
un mismo punto, lo que significa que su altura no se altera (ver figura 3.6).
Por lo que tendremos la siguiente relacin:
112 01 += yy . (3.20)
El rayo que incide en la superficie esfrica forma un ngulo 1con el
eje ptico y se refracta cambiando su direccin, de modo que el rayo
refractado forma un ngulo 2con el eje ptico.
24
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Figura 3.6 Propagacin de un rayo a travs de una superficie esfrica.
Para encontrar la relacin entre 1y 2consideremos los ngulos de
referencia que se muestran en la figura 3.6. Con la ayuda esquemtica de
estos ngulos podemos obtener las siguientes tres ecuaciones:
R
y1= , (3.21)
= 11 , (3.22)
= 22 . (3.23)
Por tanto,
R
y111 += , (3.24)
y
R
y122 += . (3.25)
25
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Haciendo uso de la Ley de Snell y de la aproximacin paraxial tenemos que
12
12
n
n= . (3.26)
Combinando las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.26):
+=+
R
y
n
n
R
y 11
2
112 , (3.27)
y haciendo un poco de lgebra se obtiene
12
11
2
122
)(
n
ny
Rn
nn +
= . (3.28)
Escribiendo las ecuaciones (3.20) y (3.28) en forma matricial:
=
1
1
2
1
2
12
2
2
)( 01
y
n
n
Rn
nn
y (3.29)
De esta forma, la matriz de refraccin en una superficie esfrica entre
dos medios de ndice de refraccin diferente es:
=
2
1
2
12 )(
01
nn
RnnnM . (3.30)
26
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Captulo 3 Fundamentos tericos
3.3.2 Matriz para una lente esfrica de espesor d
Una lente esfrica est formada por dos superficies esfricas, demodo que se define completamente por los radios de curvatura R1y R2de
sus dos superficies, su espesor d y el ndice de refraccin n del material.
Consideremos que la lente se encuentra entre dos medios de ndice de
refraccin diferente n1y n2, como se muestra en esquema de la figura 3.7.
Figura 3.7 Lente esfrica de espesor d entre dos medios de ndices de
refraccin n1y n2.
La matriz ABCD asociada a dicha lente puede deducirse fcilmente,
puesto que ya conocemos las matrices para una superficie esfrica y para un
medio de espesor d. De esta forma y siguiendo el orden de la multiplicacin
de matrices dado en la seccin 3.2.5, tenemos que
=
n
n
nR
nnd
n
n
Rn
nnM 1
1
1
222
2 )(01
10
1)(
01 (3.31)
27
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Realizando la multiplicacin de las matrices, se obtiene la matriz
ABCD para una lente en general, la cual est dada como:
+
+
=
2
1
12
21
212
21
12
1
22
2
1
1
1
)())((
)(1
n
n
Rnn
nndn
RRnn
nnnnd
Rn
nn
Rn
nnn
dn
nR
nnd
M (3.32)
El trmino Cde la matriz (3.32) est relacionado con la distancia focal
fde la lente de la siguiente forma:
212
21
12
1
22
2 ))((1RRnn
nnnndRnnn
Rnnn
f+= . (3.33)
La cantidad 1/f se define como la potencia (P) de la lente. Si la
distancia focal se mide en metros [m], la potencia queda expresada en
dioptras [D] [14,21].
Si la lente bajo consideracin est en aire, entonces n1=n2=1, y la
ecuacin para calcular su potencia queda como
21
2
21
)1(11)1(
1
RnR
nd
RRn
f
+
= . (3.34)
La ecuacin (3.34) se conoce como la ecuacin del fabricante de
lentes, y aun ms, si el espesor de la lente es muy pequeo, entonces
, y obtenemos la expresin para la potencia de lo que se conoce como
una lente delgada, la cual est dada por
0d
28
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Captulo 3 Fundamentos tericos
=
21
11)1(
1
RRn
f. (3.35)
Por tanto, y bajo estas consideraciones la matriz (3.32) se convierte a
=
11
01
f
M , (3.36)
la cual es la matriz ABCD asociada a una lente delgada localizada en aire.
3.3.3 Matriz de propagacin en un medio de ndice gradiente.
Como se mencion en la seccin 3.2.2, un medio no homogneo o de
ndice gradiente tiene un ndice de refraccin que vara con la posicin de
acuerdo a una funcin continua )(rn r
. Con una eleccin apropiada de )(rn r
,
una placa de material de ndice gradiente puede tener el mismo efecto sobre
rayos de luz que un componente ptico convencional como un prisma o una
lente.
Para los propsitos de nuestro trabajo, asumiremos que el medio no
est en funcin del eje axial z. Consideremos un bloque de material cuyo
ndice de refraccin n=n(y) es uniforme en las direcciones xy z, pero vara
continuamente en la direccin y, como se muestra en la figura 3.8(a). En la
figura 3.8(b) se muestra la dependencia del ndice de refraccin con respecto
a la altura y[20].
29
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Captulo 3 Fundamentos tericos
(a) (b)
Figura 3.8 Refraccin en un bloque de material de ndice gradiente.
Las trayectorias de los rayos paraxiales en el plano y-zson descritas
por la ecuacin de rayos paraxiales vista en la seccin 3.2.2:
dy
dn
dz
dyn
dz
d=
, (3.37)
de la cual se obtiene que
dy
dn
ndz
yd 12
2
= . (3.38)
La ecuacin diferencial (3.38) describe la propagacin de un rayo en
un medio cuyo ndice de refraccin gradiente vara solo con respecto a la
altura y. Dado n(y) y las condiciones iniciales (yy dy/dzen z=0), la ecuacin
(3.38) puede resolverse para la funcin y(z), la cual describe la trayectoria del
rayo.
Los medios de ndice de refraccin gradiente se caracterizan por que
su ndice de refraccin vara de forma cuadrtica conforme aumenta la
30
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Captulo 3 Fundamentos tericos
separacin y con respecto al eje ptico. Una distribucin particular para el
ndice de refraccin gradiente es [18]:
22
00 2
)( yL
nnyn = , (3.39)
donde n0representa el valor del ndice de refraccin en el eje z(y=0) y Les
un factor de razn de cambio, el cual indica qu tan rpido vara ncon y.
Sustituyendo (3.39) en (3.38) obtenemos
=
2
222
2
21
1
L
yL
y
dz
yd (3.40)
Asumiendo que el trmino2
2
2L
yes mucho menor que 1 para todos los valores
de yque nos conciernen, entonces la ecuacin (3.40) queda como
22
2
L
y
dz
yd= . (3.41)
La solucin general de la ecuacin diferencial (3.41) es
+
=
L
zsenC
L
zCzy
21cos)( , (3.42)
donde C1y C2son constantes arbitrarias.
31
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Asumiendo que z=0 es el plano de entrada a este componente ptico,
y que la altura (y1) e inclinacin (1) del rayo en esta posicin son conocidos,
tendremos las siguientes condiciones iniciales:
1)0( yy =
1)0( y =
Con stas condiciones obtenemos las constantes de la ecuacin (3.42), las
cuales son: y11 yC = 12 LC = . De esta forma la solucin de la ecuacin
diferencial (3.41) para las condiciones iniciales dadas queda como:
+
=
L
zLsen
L
zyzy 11 cos)( (3.43)
Derivando (3.43), obtenemos la inclinacin a una posicin z:
+
=
L
z
L
zsen
L
yz cos1
)( 11 . (3.44)
Por tanto, la matriz Mpara una longitud z=des:
=
L
d
L
dsen
L
L
dLsen
L
d
M
cos1
cos
, (3.45)
para
=
2
2
02
1)(L
ynyn . (3.46)
32
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Ntese que si L , el medio es uniforme, y obteniendo los lmites
de los elementos de la matriz (3.45) se tiene que:
1coslim =
Ld
L,
dL
dL
L
dLsen
L=
=
lim ,
y
001
lim =
=
L
d
L
dsen
LL.
de tal manera que obtenemos los trminos ABCD de la matriz de rayos (3.9).
3.4 Ecuaciones de dispersin cromtica de los medios
oculares
En la literatura podemos encontrar varias ecuaciones que han sido
utilizadas para describir la variacin del ndice de refraccin n() de
materiales pticos con la longitud de onda.
Algunas ecuaciones de dispersin cromtica se pueden obtener
tomando valores apropiados en la siguiente ecuacin generalizada:
( ) ( ) ( )...)(
3
1
2
1
1
1
203
2
3
202
2
2
201
2
10 r
q
r
q
r
qp
n
+
+
+= (3.47)
33
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Captulo 3 Fundamentos tericos
Por ejemplo, la ecuacin de Cauchy [22-24] se obtiene directamente
de (3.47) haciendo p1=1, q=q1=0i=0 y ri=i. La ecuacin de Herzberger [25]
conp1=1, q=2, q1=0, 0i=0, ri=i-1. Y la ecuacin de Sellmeier [24], tomando
0=1,p1=q=q1=2, ri=1.
Otras ecuaciones de dispersin cromtica pueden obtenerse tomando
valores apropiados en la siguiente ecuacin generalizada:
( ) ( ) 21 02
0
10)( ss
nn
+
+= . (3.48)
Tal es el caso de la ecuacin de Hartmann [22,23], la cual se obtiene
haciendo 2=0 y s1=1.2 en (3.48). La ecuacin de Cornu [26], con s1=1 y
2=0. O la ecuacin de Conrady [27], tomando 0=0, s1=1 y s2=3.5.
Haciendo uso de las ecuaciones de dispersin que hemos derivado de
(3.47) y (3.48), se han desarrollado algunos modelados de dispersin
cromtica del ojo. Por ejemplo, Le Grand bas sus ecuaciones en los datos
de Polack [26] y cuantific las dispersiones cromticas de los medios
oculares usando la ecuacin de Cornu. Tucker [28] y Bennett y Tucker [29]
crearon un ojo reducido cromtico basado en la dispersin cromtica del
agua, utilizando una ecuacin que podemos obtener con los primeros cuatro
trminos de (3.47), y tomandop1=2, 0=1.7642, 1=-1.38X10-8, 2=6.12X10
3,
3=1.41X108, q=2, q1=0i=0, ri=i-1.
Por otra parte, Navarro y colaboradores [6] utilizaron la siguienteecuacin para describir la dispersin de los diferentes medios oculares:
+++= nanananan CF )()()()()( 4321 , (3.49)
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Captulo 3 Fundamentos tericos
donde las funciones ai() estn dadas por la siguiente ecuacin:
( )2
20220
22
10)(
R
PAAai
+
++= , (3.50)
la cual es de la forma de la ecuacin de Herzberger. La longitud de onda est
en micrmetros y o=0.1673 m. Los valores de las constantes en las
ecuaciones (3.49) y (3.50) para cada funcin ai() estn publicadas en este
mismo trabajo.
En el ao 2005 se public un trabajo [16] en el cual se afirma quealgunos datos dados por Navarro son incorrectos, y sus conclusiones no
estn totalmente explicadas. Se hace un anlisis de las ecuaciones de
dispersin cromtica de los medios oculares ya mencionadas, concluyendo
que la ecuacin de Cauchy es la ms sencilla y nos da la exactitud suficiente
para modelar la dispersin cromtica.
Por tal motivo, en nuestro trabajo utilizaremos la ecuacin de Cauchy
para la dispersin, tomando los coeficientes publicados en [16], los cuales
son una combinacin de los datos de Le Grand [26] y Navarro [6].
La ecuacin de Cauchy establece que la dispersin de los medios
oculares est dada como:
63
42
21
0)(
n +++= (3.51)
donde los coeficientes 0, 1, 2y 3para cada medio ocular se muestran en
la tabla 3.1.
35
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Captulo 3 Fundamentos tericos
1 2 3 4
Crnea 1.361594 6.009687X103 -6.760760X108 5.908450X1013
Acuoso 1.321631 6.070796X103 -7.062305X108 6.147861X1013
Cristalino
Alto 1.389248 6.521218X103 -6.110661X108 5.908191X1013
Bajo 1.369486 6.428455X103 -6.023738X108 5.824149X1013
Vtreo 1.322357 5.560240X103 -5.817391X108 5.036810X1013
Tabla 3.1 Coeficientes de la ecuacin de dispersin de Cauchy para cada medio ocular.
Los ndices de refraccin que se obtienen haciendo uso de lasecuaciones de Navarro y de Cauchy muestran el mismo comportamiento, con
la diferencia que la primera da ndices de refraccin un poco mayores. En la
figura 3.9 se muestra en particular cmo es la variacin del ndice de
refraccin del humor acuoso con respecto a la longitud de onda utilizando
ambas ecuaciones.
400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
1.330
1.335
1.340
1.345
1.350
1.355
IndicedeRefraccin
Longitud de Onda (nm)
Navarro et al.Cauchy
Figura 3.9 Variacin del ndice de refraccin del humor acuoso con respecto a
la longitud de onda, utilizando la ecuacin de Navarro et al. y la ecuacin de
Cauchy para la dispersin.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
Captulo 4
Simulacin del modelo del ojo humano
bajo distintas consideraciones
4.1 Introduccin
Los optometristas y oftalmlogos necesitan saber qu tanto cambia la
potencia refractiva del ojo considerando los factores que pueden alterarla,
tales como una crnea con un radio de curvatura distinto del tpico, un globo
ocular ms grande o ms pequeo de lo normal, y diversos factores que
hacen que un ojo no sea emtrope. Por tal motivo es importante hacer un
anlisis de la potencia refractiva del ojo bajo diferentes estimaciones.
Existen algunos trabajos publicados donde se modelan una o ms
partes del ojo humano haciendo uso de las matrices ABCD [30-32], pero su
objetivo no es describir el comportamiento del ojo bajo condiciones reales,
tales como los factores que influyen para que un ojo tenga errores derefraccin.
En este captulo presentamos lo resultados obtenidos con la
simulacin en Matlab de nuestro modelo del ojo humano. El desarrollo del
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
captulo se har como sigue: en la seccin 4.2 se dan las condiciones y el
mtodo para realizar un programa que pueda darnos informacin sobre el
comportamiento del ojo bajo distintas consideraciones. En la seccin 4.3 se
presentan los ndices de refraccin de cada medio ptico obtenidos adistintas longitudes de onda haciendo uso de la ecuacin (3.51) para la
dispersin. Luego, en la seccin 4.4 se muestran los resultados de la
potencia refractiva obtenida considerando que alguna superficie o medio
ocular vara dentro de un intervalo dado. Se obtienen resultados para el caso
en que el cristalino es de ndice no gradiente y de ndice gradiente.
Posteriormente, en la seccin 4.5 presentamos esquemas obtenidos con la
programacin de la propagacin de rayos a travs del sistema ptico del ojo
para ambos casos estudiados, as como diagramas de manchas formados en
el plano de la retina y en el plano del mejor foco. Finalmente, en la seccin
4.6 mencionamos otro tipo de resultados que tambin se pueden obtener con
nuestro modelo del ojo.
4.2 Mtodo de programacin del modelo del ojo humano
Para desarrollar el modelo del ojo humano con matrices ABCD, vamos
a tomar en cuenta cada una de las superficies y medios que lo conforman,
los cuales se muestran en el esquema del ojo de la figura 4.1.
Si nos fijamos en el ojo como un sistema ptico, tenemos que la
crnea est formada por dos superficies esfricas de radios de curvatura
positivos con un medio de ndice de refraccin constante entre ellas. Elcristalino es una lente convergente formada por dos superficies esfricas,
una con radio de curvatura positivo y la otra con radio negativo, y con un
medio de ndice gradiente entre ellas. Entre la crnea y el cristalino se
encuentra un medio con un cierto espesor e ndice de refraccin constante, y
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
entre el cristalino y el plano de la retina se encuentra otro medio con
caractersticas similares.
Figura 4.1 Esquema del ojo humano donde se muestra cada una de las
superficies y medios a tomar en cuenta para el desarrollo del modelo con
matrices ABCD.
Por tanto, a cada uno de los elementos pticos que constituyen el ojo
es posible asociarle una matriz ABCD. Para ello nos fijaremos en el sistema
ptico del ojo mostrado en la figura 4.2, donde tambin se presentan los
smbolos de los parmetros que utilizaremos en la simulacin.
Figura 4.2 Sistema ptico del ojo humano indicando los nombres de los
parmetros para cada elemento ptico que utilizaremos en la programacin.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
Vamos a considerar que los rayos viajan de izquierda a derecha y que
son emitidos por una fuente puntual colocada a una distancia de 6 m desde
la primera superficie del ojo, ya que a esta distancia se estima que un ojo
est relajado.
Puesto que el dimetro de la pupila puede variar de 2 a 8 mm,
asumiremos que el conjunto de rayos emitidos por la fuente puntual inciden
en la crnea a una altura no mayor de 4 mm del eje ptico, y estn
separados 0.5 mm uno del otro, aunque es posible hacer el anlisis con un
mayor nmero de rayos. De esta forma, podemos calcular fcilmente la
pendiente de cada uno de los rayos de entrada al sistema ptico, ya queconocemos las alturas a las que inciden sobre la crnea y la distancia a la
cual esta situado el objeto. Con tales consideraciones tendremos simetra
radial de los rayos incidiendo a la primera superficie del ojo.
Con las consideraciones anteriores y de acuerdo a lo visto en la
seccin 3.2.5, la matriz ABCD que describe al sistema ptico es una matriz
equivalente que se obtiene multiplicando las matrices de cada uno de los
elementos pticos, iniciando por la matriz correspondiente al medio donde se
forma la imagen, y finalizando con la matriz que corresponde a la primera
superficie. El trmino C de la matriz equivalente es el que nos dar
informacin sobre la potencia refractiva del ojo.
Por medio de un programa desarrollado en Matlab calcularemos la
multiplicacin de matrices, as como la propagacin de rayos a travs del
sistema ptico del ojo. En el programa consideraremos el cambio en losndices de refraccin de los medios oculares para distintas longitudes de
onda siguiendo la ecuacin (3.51).
40
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
Como resultado podemos obtener la potencia refractiva total del ojo en
dioptras, y por tanto tambin conocer su longitud focal efectiva. Los valores
de radios de curvatura y espesores del ojo que utilizamos en la
programacin, son los tpicos que se conocen para un ojo relajado, y semuestran en la tabla 4.1.
Posteriormente realizaremos variaciones de algunos parmetros tales
como espesores y radios de curvatura de los elementos oculares, con el fin
de analizar los cambios en la potencia refractiva.
En nuestro anlisis y simulacin tambin tomaremos en cuenta doscasos: considerando al cristalino como un medio de ndice de refraccin fijo,
y como un medio con ndice gradiente, para poder deducir las diferencias que
existen entre ambas situaciones.
Descripc in Smbolo Valor tpico
Distancia del objeto a la primera superficie d0 6 m
Espesor de la crnea dcor 0.5 mm [13]
Espesor del humor acuoso dHA 3 mm [13]
Espesor del cristalino dcri 4 mm [15]
Espesor del humor vtreo dHV 16.6 mm [5]
Radio de curvatura de la crnea anterior R1 7.8 mm [5]
Radio de curvatura de la crnea posterior R2 6.7 mm [13]
Radio de curvatura del cristalino anterior R3 10 mm [13]
Radio de curvatura del cristalino posterior R4 - 6 mm [5]
Tabla 4.1 Simbologa y valores que utilizamos para los radios de curvatura y espesores de
los distintos elementos pticos del ojo.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
4.3 ndices de refraccin de los medios oculares para
dist intas longitudes de onda
Los ndices de refraccin de los medios oculares que comnmente se
reportan en la literatura se obtienen en el punto medio del espectro
electromagntico visible, es decir, a 555 nm. Nosotros tomamos como
intervalo del espectro visible de 400 a 700 nm, con un punto medio de 550
nm. A este intervalo le aadimos una longitud de onda ms de 850 nm con la
finalidad de observar el comportamiento de la potencia refractiva.
Con el programa desarrollado y haciendo uso de la ecuacin deCauchy (3.51) para la dispersin, podemos calcular los ndices de refraccin
de los medios oculares para cualquier longitud de onda que se desee. En
particular, calculamos los ndices de refraccin a longitudes de onda de 400,
550, 700 y 850 nm, y se presentan en la tabla 4.2. Por otro lado, en la figura
4.3 se muestran las grficas de los ndices de refraccin para cada medio
ocular con respecto a la longitud de onda.
Longitud deOnda
ndices de Refraccin
Crnea HumorAcuoso
CristalinoAlto
CristalinoBajo
HumorVtreo
400 nm 1.3872 1.3470 1.4206 1.4004 1.3467550 nm 1.3762 1.3362 1.4063 1.3863 1.3362700 nm 1.3715 1.3316 1.4005 1.3806 1.3317850 nm 1.3688 1.3288 1.3973 1.3774 1.3291
Tabla 4.2 ndices de refraccin de los medios oculares a cuatro longitudes de ondadistintas.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
IndicedeRefracci
n
Longitud de Onda (nm)
CrneaAcuoso/VtreoCristalino AltoCristalino Bajo
Figura 4.3 Variacin del ndice de refraccin con respecto a la longitud de onda
de los siguientes medios oculares: Cristalino Alto, Cristalino Bajo,
Crnea, Humor Acuoso y Humor Vtreo.
4.4 Simulacin de la potencia refractiva considerando
variaciones en las superficies y medios pticos
Inicialmente variamos los espesores de los medios oculares, con el fin
de observar su influencia sobre la potencia refractiva total del ojo, y
posteriormente variamos los radios de curvatura de las superficies. Todos los
resultados siguientes se obtienen considerando dos casos: (a) para el caso
en que el cristalino es de ndice no gradiente y (b) de ndice gradiente.
Algunos resultados que mencionaremos a continuacin estn
promediados, y son aquellos cuyos valores tienen una diferencia mnima con
respecto a los dems en el conjunto de grficas a discutir.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
4.4.1 Simulacin de la potencia refractiva variando los espesores de
los medios oculares
En la figura 4.4 mostramos los resultados obtenidos al variar elespesor de la crnea, en un intervalo de 300 a 700 m, donde el promedio es
500 m, el cual es el valor del espesor tpico de la crnea. Este intervalo se
escogi puesto que en el Captulo 2 mencionamos que el espesor de la
crnea se encuentra comprendido entre 400 y 670 m.
En todo el intervalo dado de variacin del espesor de la crnea, la
razn de cambio en potencia total es pequea, con un valor promedio de0.18 dioptras para el caso no gradiente (a), y 0.29 dioptras para el caso
gradiente (b).
Con respecto a longitud de onda, en el intervalo de 400 a 550 nm la
razn de cambio en potencia en ste y todos los casos discutidos a
continuacin es casi el mismo, teniendo en promedio 2 dioptras de cambio.
De 550 a 700 nm la razn de cambio en potencia tambin es semejante para
todos los casos, con un promedio de 0.84 dioptras. De la misma forma, en el
intervalo de 700 a 850 nm la potencia tiene una razn de cambio de 0.47
dioptras en promedio para todos los casos.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
300 350 400 450 500 550 600 650 70055.5
56.0
56.5
57.0
57.5
58.0
58.5
59.0
59.5
60.0
Cristalino con ndice No Gradiente
Potencia(Dioptras)
Espesor de la Crnea (m)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(a)
300 350 400 450 500 550 600 650 70062.0
62.5
63.0
63.5
64.0
64.5
65.0
65.5
66.0
66.5
Cristalino con ndice Gradiente
Potencia(Dioptras)
Espesor de la Crnea (m)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(b)
Figura 4.4 Potencia total del ojo como funcin del espesor de la crnea para longitudes de
onda de 400, 550, 700 y 850 nm. El cristalino se ha considerado como un medio de ndice de
refraccin (a) No Gradiente y (b) Gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
En la figura 4.5 se presentan los resultados obtenidos al variar el
espesor del humor acuoso, en un intervalo de 2 a 4 mm. No sabemos con
exactitud un intervalo dentro del cual vare el espesor del humor acuoso en
distintos individuos, pero proponemos este intervalo por el simple hecho deque el promedio es el valor tpico de 3 mm, y con la finalidad de observar los
resultados que trae consigo la variacin de ste parmetro.
En todo el intervalo propuesto de variacin del espesor del humor
acuoso, la razn de cambio promedio en potencia es de 1.19 dioptras para
el caso no gradiente y de 1.68 dioptras para el caso gradiente, por lo que la
inclinacin de las lneas graficadas es mayor que las de la figura 4.4.
En la figura 4.6 se muestran los resultados obtenidos al variar el
espesor del cristalino en un intervalo de 3 a 5 mm. Se propone este intervalo
puesto que son valores dentro de los que vara el espesor del cristalino
durante la acomodacin [13], y el promedio en dicho intervalo es el valor
tpico de 4 mm.
En todo el intervalo de variacin del espesor del cristalino propuesto,
la razn de cambio promedio en potencia es de 0.8 dioptras para el caso no
gradiente y de 2 dioptras para el caso gradiente. A diferencia de las figuras
4.4 y 4.5, en la figura 4.6 podemos notar que la inclinacin de las lneas
graficadas es diferente para el caso gradiente, puesto que ahora van de
menor a mayor valor.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.055.0
55.5
56.0
56.5
57.0
57.5
58.0
58.5
59.059.5
60.0
60.5
Cristalino con ndice No Gradiente
Potencia(Dioptras)
Espesor del Humor Acuoso (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(a)
2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.061.0
61.5
62.0
62.5
63.0
63.5
64.0
64.5
65.0
65.5
66.0
66.5
67.0
Cristalino con ndice Gradiente
Potencia(Diopt
ras)
Espesor del Humor Acuoso (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(b)
Figura 4.5 Potencia total del ojo como funcin del espesor del humor acuoso para
longitudes de onda de 400, 550, 700 y 850 nm. El cristalino se ha considerado como un
medio de ndice de refraccin (a) No Gradiente y (b) Gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.055.5
56.0
56.5
57.0
57.5
58.0
58.5
59.0
59.5
60.0
Cristalino con ndice No Gradiente
Potencia(Dioptras)
Espesor del Cristalino (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(a)
3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.061.0
61.5
62.0
62.5
63.0
63.5
64.0
64.5
65.0
65.5
66.0
66.5
67.0
Cristalino con ndice Gradiente
Potencia(Diopt
ras)
Espesor del Cristalino (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(b)
Figura 4.6 Potencia total del ojo como funcin del espesor del cristalino para longitudes de
onda de 400, 550, 700 y 850 nm. El cristalino se ha considerado como un medio de ndice de
refraccin (a) No Gradiente y (b) Gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
De acuerdo a las figuras 4.4 a 4.6, podemos notar que la potencia
depende linealmente con respecto a variaciones de los espesores, es decir,
de la forma . Como caso particular, en la tabla 4.3 presentamos
los valores de U
11 VxUPL +=
1y V1correspondientes a las rectas graficadas de potencia
que se obtuvieron a 550 nm. En la figura 4.7 se muestran las grficas del
ajuste polinomial para variaciones del espesor del humor acuoso.
Espesor variado
de la crnea del acuoso del cristalino
U1 [m-2] -453 -585 -403.36Cristalino
No Gradiente V1 [m-1] 57.55 59.08 58.94U1 [m
-2] -727.53 -828 1004.41Cristalino
Gradiente V1 [m-1] 64.02 66.14 59.62
Tabla 4.3 Valores de U1y V1para las rectas graficadas de potencia de la forma PL=U1x+V1
obtenidas con la simulacin de nuestro modelo, para cada espesor variado a una longitud de
onda de 550 nm.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.056.6
56.8
57.0
57.2
57.4
57.6
57.8
58.0Cristalino con ndice No Gradiente
Y =59.085-585 X
Potencia(Dioptras
)
Espesor del Humor Acuoso (mm)
Potencia
Ajuste Polinomial
(a)
2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0
62.8
63.0
63.2
63.4
63.663.8
64.0
64.2
64.4
64.6Cristalino con ndice Gradiente
Y =66.1456-828 X
Potencia(
Dioptras)
Espesor del Humor Acuoso (mm)
PotenciaAjuste Polinomial
(b)
Figura 4.7 Graficas de ajuste polinomial donde se muestra la dependencia lineal de la
potencia con respecto a variaciones en el espesor del humor acuoso. Los datos se tomaron
a una longitud de onda de 550 nm, con cristalino de ndice de refraccin (a) No Gradiente y
(b) Gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
4.4.2 Simulacin de la potencia refractiva variando los radios de
curvatura de los elementos pticos del ojo
Otros parmetros que variamos fueron los radios de curvatura dealgunas superficies, por ejemplo, la crnea anterior, que es la superficie
refractora ms importante del ojo; as como los radios de curvatura del
cristalino anterior y posterior, puesto que cambian debido a la acomodacin.
En la figura 4.8 mostramos los resultados obtenidos al variar el radio
de curvatura de la superficie anterior de la crnea, en un intervalo de 6.8 a
8.8 mm. Tomamos este intervalo puesto que los ojos que presentan algunaametropa comnmente tienen una crnea con un radio de curvatura menor o
mayor del valor tpico de 7.8 mm, y dicha diferencia puede ser de alrededor
de 1 mm.
A lo largo del intervalo de variacin del radio de curvatura de la crnea
anterior, la razn de cambio en potencia es grande, y para cada longitud de
onda es casi la misma, teniendo un valor promedio de 11.61 dioptras para el
caso no gradiente y de 11.22 dioptras para el caso gradiente.
Posteriormente, en la figura 4.9 presentamos los resultados obtenidos
al variar el radio de curvatura del cristalino anterior, en un intervalo de 9 a 11
mm. Proponemos este intervalo porque el promedio es el valor tpico de 10
mm, el cual tomamos como referencia y hacemos una variacin de 1 mm
con la finalidad de observar los resultados que trae consigo la variacin de
ste parmetro. A travs de ste intervalo de variacin, la razn de cambioen potencia es de 1.2 dioptras en promedio para ambos casos.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.850
52
54
56
58
60
62
64
66
68
Cristalino con ndice No Gradiente
Potencia(Dioptras)
Radio de la Crnea Anterior (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(a)
6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.856
58
60
62
64
66
68
70
72
74
Cristalino con ndice Gradiente
Potencia(Dioptras)
Radio de la Crnea Anterior (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(b)
Figura 4.8 Potencia total del ojo como funcin del radio de curvatura de la superficie
anterior de la crnea para longitudes de onda de 400, 550, 700 y 850 nm. El cristalino se ha
considerado como un medio de ndice de refraccin (a) No Gradiente y (b) Gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 11.055.0
55.5
56.0
56.5
57.0
57.5
58.0
58.5
59.059.5
60.0
60.5
Cristalino con ndice No Gradiente
Potencia(Dioptras)
Radio del Cristalino Anterior (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(a)
9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 11.061.5
62.0
62.5
63.0
63.5
64.0
64.5
65.0
65.5
66.0
66.5
67.0
Cristalino con ndice Gradiente
Potencia(Diop
tras)
Radio del Cristalino Anterior (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(b)
Figura 4.9 Potencia total del ojo como funcin del radio de curvatura de la superficie
anterior del cristalino para longitudes de onda de 400, 550, 700 y 850 nm. El cristalino se ha
considerado como un medio de ndice de refraccin (a) No Gradiente y (b) Gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
En la figura 4.10 se muestran los resultados obtenidos al variar el
radio de curvatura de la superficie posterior del cristalino, en un intervalo de
-7 a -5 mm. En todo este intervalo de variacin, la razn de cambio promedio
en potencia es de 3 dioptras para ambos casos. Tambin podemos notarque la inclinacin de las curvas es diferente, puesto que ahora van de menor
a mayor valor debido a que el radio de curvatura es negativo.
De acuerdo a las figuras 4.8 a 4.10, observamos que la dependencia
de la potencia con respecto a variaciones de los radios de curvatura es de
tipo cuadrtica, o sea que . En particular presentamos
los valores de U
WxVxUPC ++= 22
2
2, V2y Wcorrespondientes a las curvas de potencia a 550nm, y se dan en la tabla 4.4. En la figura 4.11 se muestran las grficas del
ajuste polinomial para variaciones del radio de curvatura anterior de la
crnea.
Radio variado
de la crneaanterior
del cristalinoanterior
del cristalinoposterior
U2 [m-3] 742.25X103 60.60X103 250.17X103
V2 [m-2] -173.4X102 -18.17X102 44.9X102
Cristalino
No GradienteW[m-1] 147.4 69.44 75.25
U2 [m-3] 716.9X103 59.97X103 246.7X103
V2 [m-2] -167.5X102 -17.97X102 44.3X102
Cristalino
GradienteW[m-1] 150.69 75.64 81.35
Tabla 4.4 Valores de U2, V2y W para las curvas de potencia de la forma PC=U2x2
+V2x+Wobtenidas con la simulacin de nuestro modelo, para cada radio de curvatura variado a una
longitud de onda de 550 nm.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
-7.0 -6.8 -6.6 -6.4 -6.2 -6.0 -5.8 -5.6 -5.4 -5.2 -5.054.555.055.556.056.557.057.558.058.559.059.560.060.561.061.5
Cristalino con ndice No Gradiente
Potencia(Dioptras)
Radio del Cristalino Posterior (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(a)
-7.0 -6.8 -6.6 -6.4 -6.2 -6.0 -5.8 -5.6 -5.4 -5.2 -5.060.561.061.562.062.563.063.564.064.565.0
65.566.066.567.067.568.0
Cristalino con ndice Gradiente
Potencia(Dioptras)
Radio del Cristalino Posterior (mm)
400 nm550 nm700 nm850 nm
(b)
Figura 4.10 Potencia total del ojo como funcin del radio de curvatura de la superficie
posterior del cristalino para longitudes de onda de 400, 550, 700 y 850 nm. El cristalino se ha
considerado como un medio de ndice de refraccin (a) No Gradiente y (b) Gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.852
54
56
58
60
62
64Cristalino con ndice No Gradiente
Y =147.42034-17339.72727 X+742249.41725 X2
Potencia(Dioptras
)
Radio de la Crnea Anterior (mm)
PotenciaAjuste Polinomial
(a)
6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.858
60
62
64
66
68
70Cristalino con ndice Gradiente
Y =150.69076-16749.87727 X+716937.64569 X2
Potencia(Dioptras)
Radio de la Crnea Anterior (mm)
PotenciaAjuste Polinomial
(b)
Figura 4.11 Graficas de ajuste polinomial donde se muestra la dependencia cuadrtica de la
potencia con respecto a variaciones en el radio de curvatura anterior de la crnea. Los datos
se tomaron a una longitud de onda de 550 nm, con cristalino de ndice de refraccin (a) No
Gradiente y (b) Gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
De forma general, las grficas de las figuras 4.4 a 4.11 muestran que
la potencia es mayor para el caso en que el cristalino es de ndice gradiente,
con un promedio de 6.3 dioptras ms que en el caso no gradiente, a
excepcin de cuando variamos el espesor del cristalino (figura 4.6), donde lapotencia es 4.8 dioptras mayor en el caso gradiente.
El hecho de que la potencia sea mayor, conlleva a una distancia focal
menor. Por ejemplo, para los casos con cristalino de ndice no gradiente, las
grficas a 550 nm tienen un punto medio comn en 57.3 dioptras, lo que
indica que la distancia focal del sistema es de 17.4 mm. Y para los casos de
cristalino gradiente a 550 nm, el punto medio comn es de 63.6 dioptras, loque conduce a obtener una distancia focal del sistema de 15.7 mm.
4.5 Simulacin de la propagacin de rayos a travs del
sistema ptico del ojo
Adems de las grficas de potencia refractiva presentadas en la
seccin anterior, con nuestro programa tambin obtuvimos una visualizacin
de la propagacin de rayos a travs del sistema ptico del ojo.
En la figura 4.12 se muestra el esquema de la propagacin de rayos
en un ojo con cristalino de ndice no gradiente, utilizando los parmetros
dados en la tabla 4.1, a una longitud de onda de 550 nm. Podemos observar
que los rayos se enfocan a una distancia de 25 mm, lo cual significa que la
distancia desde la superficie posterior del cristalino a la retina sera de 17.5
mm, que es un valor de distancia focal muy parecido al dado en la seccin
4.4 para el caso cristalino de ndice no gradiente a 550 nm. En la figura 4.13
presentamos una ampliacin de la figura 4.12 con la finalidad de mostrar que
se define un foco.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
0 5 10 15 20 25-4
-2
0
2
4
Distancia (mm)
DistanciaRadial(mm)
Figura 4.12 Propagacin de rayos en un ojo con cristalino de ndice de
refraccin fijo a una longitud de onda de 550 nm.
22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26-0.5
0
0.5
Distancia (mm)
DistanciaRadial(mm)
Figura 4.13 Detalle de la figura 4.12 en la regin donde se enfocan los rayos.
En la figura 4.14 se esquematiza la propagacin de rayos en un ojo
con cristalino de ndice gradiente, tambin utilizando los parmetros dados
en la tabla 4.1, a una longitud de onda de 550 nm. Podemos observar que los
rayos se enfocan aproximadamente a una distancia de 23.5 mm, lo cual
significa que la distancia desde la superficie posterior del cristalino a la retina
seria de 16 mm, que es un valor de distancia focal muy parecido al dado en
la seccin 4.4 para el caso cristalino de ndice gradiente a 550 nm. En la
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
figura 4.15 presentamos una ampliacin de la figura 4.14 en la regin donde
los rayos tienden a enfocarse.
0 5 10 15 20 25-4
-2
0
2
4
Distancia (mm)
DistanciaRadial(mm)
Figura 4.14 Propagacin de rayos en un ojo con cristalino de ndice gradiente, a
una longitud de onda de 550 nm.
22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26-0.5
0
0.5
Distancia (mm)
DistanciaRadial(mm)
Figura 4.15 Detalle de la figura 4.14 en la regin donde los rayos tienden a
enfocarse.
En la figura 4.13 podemos notar que todos los rayos se enfocan en un
punto, mientras que en la figura 4.15 no sucede esto y en la regin donde los
rayos tienden a formar un foco mnimo se observa una custica por el hecho
de tener cristalino de ndice gradiente.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
En las figuras 4.16 y 4.17 se muestran los rayos pasando a travs de
las regiones focales para el caso cristalino no gradiente y cristalino gradiente
respectivamente, pero ahora incluyendo tres longitudes de onda distintas:
400, 550 y 700 nm. La longitud de onda de 850 nm no se incluye puesto queel foco se asemeja al formado en 700 nm.
Para el caso con cristalino de ndice no gradiente la aberracin
cromtica es de 0.89 en el intervalo de 400 a 700 nm, y en el caso gradiente
es de 0.74. Estos valores se midieron desde la posicin donde se forma un
ancho mnimo para cada longitud de onda.
22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Distancia (mm)
DistanciaRa
dial(mm)
400 nm
550 nm
700 nm
Figura 4.16 Rayos pasando a travs de la regin focal del ojo con cristalino de
ndice de refraccin fijo para tres longitudes de onda: 400, 550 y 700 nm.
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22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Distancia (mm)
DistanciaRadial(mm)
400 nm
550 nm
700 nm
Figura 4.17 Rayos pasando a travs de la regin focal del ojo con cristalino de
ndice gradiente para tres longitudes de onda: 400, 550 y 700 nm.
Otros resultados que tambin podemos obtener como consecuencia
de la simulacin del modelo, son los llamados diagramas de manchas (spot
diagrams) que se forman a lo largo del sistema ptico del ojo. En particular
nos interesan los diagramas de manchas en el plano de la retina y en el
plano donde hay una mayor densidad de rayos, al que llamaremos plano
donde se forma el mejor foco.
En la figura 4.18 se muestran los diagramas de manchas para el casocristalino de ndice no gradiente. De acuerdo a los parmetros dados a una
longitud de onda de 550 nm, el plano retinal est a una distancia de 16.6 mm
desde la superficie posterior del cristalino, y el plano del mejor foco a 17.55
mm. En el plano de la retina el tamao de la mancha es de casi 0.32 mm de
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
dimetro, y en la figura 4.19 mostramos una ampliacin de la figura 4.18 (b),
donde podemos observar que la mayor cantidad de luz se concentra en un
rea de casi 0.008 mm de dimetro. De acuerdo a la figura 4.18 (b), en el
plano del mejor foco se forma una mancha casi puntual, dependiendo de laescala que estemos manejando.
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Distancia Radial (mm)
Dista
nciaRadial(mm)
(a)
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Distancia Radial (mm)
DistanciaRadial(mm)
(b)
Figura 4.18 Diagramas de manchas para el caso cristalino no gradiente a 550
nm a) en el plano retinal y b) en el plano donde se forma el mejor foco.
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-5 0 5
x 10-3
-5
0
5x 10
-3
Distancia Radial (mm)
DistanciaRadial(mm)
Figura 4.19 Ampliacin de la figura 4.18 (b), donde podemos apreciar el tamao
de la mancha en el plano donde se forma el mejor foco.
En la figura 4.20 se muestran los diagramas de manchas para el caso
cristalino de ndice gradiente en el plano de la retina (16.6 mm), y en el plano
donde se forma el mejor foco (16.121 mm), a una longitud de onda de 550
nm. En el plano de la retina el tamao de la mancha es de casi 0.18 mm de
dimetro, y donde se forma el mejor foco la mancha tiene un dimetro decasi 0.08 mm, lo cual es mas evidente en la ampliacin que hacemos a la
figura 4.20 (b), y que se muestra en la figura 4.21. Tambin podemos
observar que la separacin entre los rayos no es constante, a diferencia del
caso cristalino no gradiente.
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-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Distancia Radial (mm)
DistanciaRadial(mm)
(a)
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Distancia Radial (mm)
DistanciaRadial(mm)
(b)
Figura 4.20 Diagramas de manchas para el caso cristalino gradiente a 550 nm
a) en el plano retinal y b) en el plano donde se forma el mejor foco.
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-0.04 -0.02 0 0.02 0.04-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Distancia Radial (mm)
DistanciaRadial(mm)
Figura 4.21 Ampliacin de la figura 4.20 (b), donde podemos apreciar el tamao
de la mancha en el plano donde se forma el mejor foco.
Siedlecki, Kasprzak y Pierscionek publicaron un trabajo [12] en el cual
proponen un modelo del ojo con cristalino de ndice gradiente de distribucin
de tipo exponencial. Realizan una simulacin de su modelo y de cinco
modelos existentes: Emsley, Gullstrand No. 1 y No. 2, Le Grand y Hage, y
Kooijman. En sus resultados presentan diagramas de manchas en el planode la retina y en el plano donde se forma el mejor foco, obteniendo con su
modelo una mancha de menor dimetro que los dems, con slo 0.0076 mm
de dimetro en el plano del mejor foco y 0.024 mm en el plano de la retina.
Con stos resultados concluyen que su modelo mejora la calidad de la
imagen, y puede servir como un modelo para implantes intraoculares.
Si comparamos nuestros resultados con los de Siedlecki et al. en el
plano del mejor foco -puesto que la posicin del plano de la retina reportada
en la literatura no siempre es la misma y en la mayora de este tipo de
estudios del ojo es mas importante saber dnde se enfocan los rayos-,
nuestro modelo con cristalino de ndice de refraccin fijo da el mismo valor
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
que ellos reportan. Sin embargo, nuestro modelo con cristalino de ndice
gradiente da un tamao de mancha mayor, lo cual puede deberse a que el
tipo de distribucin que ellos proponen es diferente a la nuestra, pero el
tamao de la mancha que obtenemos esta muy cerca de las que presentanen [12] para los dems modelos que simulan.
4.6 Otros resultados que pueden obtenerse con el modelo
del ojo propuesto
Adems de los resultados presentados en las secciones anteriores,con el modelo del ojo desarrollado tambin podemos obtener la potencia
refractiva de los elementos oculares individuales. Presentamos estos
resultados debido a que algunas veces es importante conocer la potencia
refractiva de los elementos oculares de forma individual para realizar
correcciones en la visin.
De esta forma, si deseamos conocer la potencia refractiva de la
crnea individualmente (como si estuviera en aire), solo basta con multiplicar
tres matrices ABCD: la correspondiente a la superficie posterior, al espesor y
a la superficie anterior de la crnea, en ese orden. Del mismo modo podemos
conocer la potencia para la crnea unida al humor acuoso solamente
modificando la primera matriz. Tambin podemos saber la potencia para el
cristalino individual (en aire), y el cristalino entre el humor acuoso y el humor
vtreo
A una longitud de onda de 550 nm, se obtiene una potencia de -6.93
dioptras para la crnea en aire, 42.36 dioptras para la crnea unida al
humor acuoso, y 18 .45 dioptras para el cristalino entre el humor acuoso y el
vtreo.
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Captulo 4 Simulacin del modelo del ojo humano bajo distintas consideraciones
Como se mencion en el Captulo 2, para corregir algunas ametropas
es necesario el uso de elementos pticos externos o internos al ojo, tales
como lentes positivas o negativas o lentes intraoculares. Tales elementos
pueden ser introducidos fcilmente en nuestro modelo, puesto que slo seagregaran tres o cuatro matrices ms para obtener una nueva matriz
equivalente del sistema, con la finalidad de conocer la influencia de
elementos pticos adicionales sobre la potencia refractiva.
Tambin es posible hacer la simulacin del modelo con un objeto
fuera de eje, siempre y cuando la altura del objeto sea tal que nos permita
seguir en el rgimen paraxial. En este trabajo nos limitaremos a presentarsolamente los esquemas de la propagacin de rayos teniendo un objeto fuera
de eje.
En la figura 4.22 se muestra el esquema de la propagacin de rayos a
travs del sistema ptico del ojo con un objeto fuera de eje para los casos a)
cristalino de ndice no gradiente y b) cristalino de ndice gradiente, a una
longitud de onda de 550 nm. La altura del objeto es de 1 m, y est colocado a
6 m de distancia del ojo. Posteriormente, en la figura 4.23 mostramos una
ampliacin de las figuras 4.22 (a) y (b) en la regin donde se enfocan los
rayos, donde podemos observar que en dicha regin los rayos se desvan
una distancia de casi -2.9 mm del eje ptico para el caso no gradiente, y
aproximadamente -2.7 mm para el caso gradiente.
Un estudio ms a fondo de la potencia refractiva y la propagacin de
rayos a distintas longitudes de onda, los diagramas de manchas y las alturasy ngulos a considerarse para un objeto fuera de eje, se dejan para un
trabajo a futuro.
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-5 0 5 10 15 20 25
-4
-2
0
2
4
Grfica de los rayos pasando
