Diffeq 3 Systems of Linear Diffeq

7/21/2019 Diffeq 3 Systems of Linear Diffeq

http://slidepdf.com/reader/full/diffeq-3-systems-of-linear-diffeq 1/10

•

◦

◦

◦

•

◦

◦

•

◦ y + y = 0

∗ z = y w = y = z

y = −y

w = y = −y = −z

∗ y = z z = w w = −z

◦ y1 + y1 − y2 = 0 y2 + y1 + y2 sin(x) = ex

∗ z1 = y

1 z2 = y

2 z1 = y

1 = −y1 + y2 z2 = y

2 = ex − y1 −y2 sin(x) = ex − z1 − z2 sin(x)

∗ y1 = z1 y2 = z2 z1 = −y1 + y2 z2 =ex − z1 − z2 sin(x)

•



• y1, · · · , yn

y1 = a1,1(x) · y1 + a1,2(x) · y2 + · · · + a1,n(x) · yn + p1(x)

y2 = a2,1(x) · y1 + a2,2(x) · y2 + · · · + a2,n(x) · yn + p2(x)

yn = an,1(x) · y1 + an,2(x) · y2 + · · · + an,n(x) · yn + pn(x)

ai,j(x) pj(x) 1 ≤ i, j ≤ n

◦ ai,j(x)

◦ p1(x), p2(x), · · · , pn(x)

◦ n y1(x0) = b1 y2(x0) = b2 . . .

yn(x0) = bn x0 x bi

•

n

• ai,j(x)

(y1

, y2

,· · ·

, yn)

y1 = a1,1(x) · y1 + a1,2(x) · y2 + · · · + a1,n(x) · yn

y2 = a2,1(x) · y1 + a2,2(x) · y2 + · · · + a2,n(x) · yn

yn = an,1(x) · y1 + an,2(x) · y2 + · · · + an,n(x) · yn

n

◦

◦

n

•

ai,j(x) pj(x) x = x0

y1 = a1,1(x) · y1 + a1,2(x) · y2 + · · · + a1,n(x) · yn + p1(x)

y2 = a2,1(x) · y1 + a2,2(x) · y2 + · · · + a2,n(x) · yn + p2(x)

yn = an,1(x) · y1 + an,2(x) · y2 + · · · + an,n(x) · yn + pn(x)

y1(x0) = b1 . . . yn(x0) = bn (y1, y2, · · · , yn)

x = x0

◦ y = ex · y +sin(x) · y z = 3x2 · y

y(a) = b1 z(a) = b2

• n s1 = (y1,1, y1,2, · · · , y1,n) s2 = (y2,1, y2,2, · · · , y2,n)

· · · sn = (yn,1, yn,2, · · · , yn,n)

W =

y1,1 y1,2 · · · y1,ny2,1 y2,2 · · · y2,n

yn,1 yn,2 · · · yn,n

◦ n s1, · · · , sn



•

y1 = a1,1y1 + a1,2y2 + · · · + a1,nyn

y2 = a2,1y1 + a2,2y2 + · · · + a2,nyn

yn = an,1y1 + an,2y2 + · · · + an,nyn

• y = A·y y =

y1y2

yn

A =

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n

an,1 an,2 · · · an,n

•

◦ v =

c1c2

cn

A λ y =

c1c2

cn

eλx

y = A · y

◦ y = eλx v x y = λeλxv = λ y = A · y

• A n v1, · · · , vn λ1, · · · , λn

y = A · y y = c1eλ1xv1 + c2eλ2xv2 + · · · + cneλnxvn

c1, · · · , cn

◦ A n v1, · · · , vn

λ1, · · · , λn A A = P −1DP

D λ1, · · · , λn P v1, · · · , vn

◦ eλ1xv1 eλ2xv2 · · · eλnxvn y = A · y

∗

W = e(λ1+···+λn)x ·

| | |

v1 · · · vn| | |

v1, · · · , vn eλ1xv1 eλ2xv2

· · · eλnxvn

∗ y = A · y

n

∗ n eλ1xv1 eλ2xv2

· · · eλnxvn n

∗ y = c1eλ1xv1 + c2eλ2xv2 + · · · +cneλnxvn c1, · · · , cn

•

A

◦ y = A · y n × 1 y n × n A

◦ A A A

n v1, · · · , vn

λ1, · · · , λn



∗ λ

λ

λ

λ

◦ y = c1eλ1xv1 + c2eλ2xv2 + · · · + cneλnxvn

c1, · · · , cn

∗

∗ λ = a + bi v = w

1 + i w

2

λ = a − bi

v = w1 − i w2 v

∗ eλxv

eλxv eax( w1 cos(bx) − w2 sin(bx)) eax( w1 sin(bx) + w2 cos(bx))

◦ c1, · · · , cn

• y1 y2

y1 = y1 − 3y2y2 = y1 + 5y2

◦ y = A · y y =

y1y2

A =

1 −31 5

◦ A det(tI −A) = t − 1 3

−1 t − 5 = (t−1)(t−5)+3 = t2−6t+8

λ = 2, 4

∗ λ = 2

1 −31 5

·

a

b

=

2a

2b

a − 3b

a + 5b

=

2a

2b

a = −3b

−3

1

∗ λ = 2

1 −31 5

·

a

b

=

4a

4b

a − 3b

a + 5b

=

4a

4b

a = −b

−1

1

◦

y1y2 = c1

−31

· e2x + c2 −1

1 · e4x =

−3c1e2x + c2e4x

− c2e2x + c2e4x

• y1 y2

y1 = y2y2 = −y1

◦ y = A · y y =

y1y2

A =

0 1−1 0

◦ A det(tI − A) =

t −11 t

= t2 + 1

λ = ±i

∗ λ = i

0 1−1 0

·

a

b

=

ia

ib

b = ia

1

i

∗

λ = −i

λ = i 1

−i

◦

y1y2

= c1

1

i

· eix + c2

1−i

· e−ix

∗

1

i

· eix

1−i

· e−ix

∗ λ = i v =

10

+

01

i w1 =

10

w2 =

01



∗

10

· cos(x) +

01

· sin(x) =

cos(x)

sin(x)

10

· sin(x) −

01

· cos(x) =

sin(x)− cos(x)

∗

y1y2

= c1

cos(x)

sin(x)

+c2

sin(x)− cos(x)

=

c1 cos(x) + c2 sin(x

c1 sin(x) − c2 cos(x

• y = A · y A n × n n

A

◦ v λ y = veλt

◦ y = A · y n

◦ A n

◦ A n

◦

y = A · y

◦ λ k λ k

λ k λ

• y = A · y

◦ n × n A

◦ λ n

v1, · · · , vk λ

∗ k = n

y = A · y eλtv1, · · · , eλtvn

∗ k < n w

v1, · · · , vk

(A − λI ) · w2 = w

(A − λI ) · w3 = w2

(A − λI ) · wl = wl−1.

eλt [ w] eλt[t w + w2] eλt[ t2

2 w + t w2 + w3]

· · · eλt tl−1l! w + tl−2

(l−2)! w2 + · · · + t wl−1 + wl

∗ λ

n n λ λ > 1

◦ y1, · · · , yn n

y = A · y y = c1y1 + c2 y2 + · · · + cn yn

∗

y y y y Re(y) Im(y) y



•

y1 = 5y1 − 9y2y2 = 4y1 − 7y2

◦ y = A · y A =

5 −94 −7

∗ A−tI =

5 − t −9

4 −7 − t

det(A−tI ) = (5−t)(−7−t)−(4)(−9) = 1+2t+t2 = (t+1)2

∗ λ = −1

∗ λ = −1

6 −94 −6

·

a

b

=

00

2a − 3b = 0

a23a

32

◦ λ = −1

∗ w =

32

A − λI =

6 −94 −6

∗ w2 = a

b 6 −94 −6 ·

a

b = 32

·

2 −32 −3

11

2a − 3b = 1 a = 2 b = 1

· w2 =

21

∗

32

e−t

32

te−t +

21

e−t

◦

y1y2

= c1

32

e−t

+ c2

32

te−t +

21

e−t

∗ y

1 = (3c1 + 2c2 + 3c2t)e

−t

y2 = (2c1 + c2 + 2c2t)e−t

•

y1 = 4y1 − y2 − 2y3y2 = 2y1 + y2 − 2y3y3 = 5y1 − 3y3

◦ y = A · y A =

4 −1 −2

2 1 −25 0 −3

∗ A−tI =

4 − t −1 −2

2 1 − t −25 0 −3 − t

det(A−tI ) = 5

−1 −21 − t −2

+(3−t)

4 − t −12 1 − t

=

2 − t + 2t2 − t3 = (2 − t)(1 + t2)

∗ λ = 2, i, −i

∗ λ = 2 λ = 2

2 −1 −2

2 −1 −25 0 −5

·

a

b

c

=

0

00

2a−b−2c = 0 5a−5c = 0

c = a b = 2a − 2c = 0

a

0a

1

01



∗ λ = i λ = i

4 − i −1 −2

2 1 − i −25 0 −3 − i

·

a

b

c

=

0

00

2 − i

4 − i −1 −2

−1 1 05 0 −3 − i

·

a

b

c

= 0

00

−a + b = 0

b = a

5a + (−3 − i)c = 0

c = 5

3 + ia =

5(3 − i)

10 a

a

a3 − i

2 a

2

23 − i

∗ λ = −i λ = −i λ = i

22

3 + i

.

◦

◦

y1

y2y3

= c1

1

01

e2t

+ c2

2

23 − i

eit

+ c3

2

23 + i

e−it

∗

y1

y2y3

= c1

1

01

e2t + c2

2 cos(t)

2 cos(t)3 cos(t) + sin(t)

+ c3

2sin(t)

2sin(t)− cos(t) + 3 sin(t)

∗

y1 = c1e2t + 2c2 cos(t) + 2c3 sin(t)y2 = 2c2 cos(t) + 2c3 sin(t)y3 = c1e2t + c2(3 cos(t) + sin(t)) + c3(− cos(t) + 3 sin(t))

•

y1 = 4y1 − y3y2 = 2y1 + 2y2 − y3y3 = 3y1 + y2

◦ y = A · y A =

4 0 −1

2 2 −13 1 0

∗ A −tI =

4 − t 0 −1

2 2 − t −13 1 −t

det(A −tI ) = (4−t)

2 − t −11 −t

+ (−1)

2 2 − t

3 1

=

8 − 12t + 6t2 − t3 = (2 − t)3

∗ λ = 2

∗ λ = 2

2 0 −1

2 0 −13 1 −2

·

a

b

c

=

0

00

2a − c = 0

3a + b − 2c = 0 c = 2a b = 2c − 3a = a

a

a

2a

∗

1

12



◦ λ = 2

∗ w =

1

12

A − λI =

2 0 −1

2 0 −13 1 −2

∗ w2 =

a

b

c

2 0 −12 0 −1

3 1 −2 ·

a

b

c =

11

2

·

2 0 −1

2 0 −13 1 −2

112

2 0 −1

2 0 −13 1 −2

112

R2−R1−→

2 0 −1

0 0 03 1 −2

102

R3−2R1−→

2 0 −1

0 0 0−1 1 0

100

−a + b = 0 2a − c = 1 w2 w2 =

111

∗ w3 =

de

f

2 0 −12 0 −13 1 −2

·

de

f

=

111

·

2 0 −1

2 0 −13 1 −2

111

2 0 −1

2 0 −13 1 −2

111

R2−R1−→

2 0 −1

0 0 03 1 −2

101

R3−2R1−→

2 0 −1

0 0 0−1 1 0

10

−1

−a + b = −1

2a − c = 1

w3

w3 = 1

01

∗

1

12

e2t

1

12

te2t+

1

11

e2t

1

12

t2

2 e2t+

1

11

te2t+

1

01

e2t

◦ y1

y2y3

= c1

1

12

e2t

+ c2

1

12

te2t +

1

11

e2t

+ c3

1

12

t2

2 e2t +

1

11

te2t +

1

01

e2t

∗

y1 = ( c1 + c2 + c3 + c2t + c3t + 12c3t2)e2t

y2 = (

c1 +

c2 +

c2

t +

c3

t +

1

2c3

t2

)e2t

y3 = (2c1 + c2 + c3 + 2c2t + c3t + c3t2)e2t

•

◦



◦

• 1× 1 y = ky y(0) = C

y(x) = ekxC

◦ n × n

◦ eA

• A n × n A eA

eA =

∞n=0

An

n!

◦ z

ez =

∞n=0

zn

n!

◦

◦ eA =

∞n=0

An

n! A

• A n × n y = A · y

y(0) = y0 y(x) = eAx · y0

◦

d

dx[eAx] eAx

A · eAx

◦ y(x) = eAx · y0

•

A

◦ P eP −1AP = P −1

eA

P

∗ eP −1AP =

∞n=0

(P −1AP )n

n! = P −1

∞n=0

An

n!

P = P −1

eA

P

(P −1AP )n = P (An)P

◦ D λ1, · · · , λn eD

eλ1 , · · · , eλn

∗

◦ A A = P −1DP D =

λ1

λn

eAx = P −1

eλ1x

eλnx

P

• eAx A =

0 −23 5

◦ A det(tI − A) = t(t − 5) + 6 = (t − 2)(t − 3) λ = 2, 3



∗ λ = 2

0 −23 5

·

a

b

= 2

a

b

−2b

3a + 5b

=

2a

2b

a = −b

−b

b

λ = 2

−1

1

∗ λ = 3

0 −23 5

·

a

b

= 3

a

b

−2b

3a + 5b

=

3a

3b

a = −

2

3b

−2

3

b

b

λ = 3 −2

3

∗ A A = P −1DP

D =

2 00 3

P =

−1 −2

1 3

P −1 =

−3 −2

1 1

◦ eDx =

e2x 0

0 e3x

◦ eAx = P eDxP −1 =

−1 −2

1 3

e2x 0

0 e3x

−3 −2

1 1

=

3e2x − 2e3x 2e2x − 2e3

−3e2x + 3e3x −2e3x + 3e

• eJx

J =

λ 1

λ 1

1λ 1

λ

eAx A

A

◦ J = λI + N N

0 10 1

10 1

0

N n

◦ (Jx)k = xk(λI + N )k = λkI +k1

λk−1N 1 + · · · +

kk−n

λk−nN n +

· · · N n N n−1

eJx

◦ eJx =

eλx xeλx x2

2 eλx · · · xn−1

(n−1)!eλx

eλx xeλx

x2

2 eλx

eλx xeλx

eλx

, J n × n

Date post:	05-Mar-2016
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Diffeq 3 Systems of Linear Diffeq

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