digitalni_filtri

8/16/2019 digitalni_filtri

1/31

Primjer 1.

Polazeći od analognog filtra čija je funkcija prenosa

( ) cac

H ss

Ω=

+ Ω,

gdje je cΩ 3-dB granična učestanost analognog filtra, projektovati digitalniniskopropusni filtar koristeći metodu impulsne invarijanse.

Rješenje

Preslikavanje analognog filtra u digitalni mora očuvati osnovne osobinefrekvencijskog odziva filtra. Naime, imaginarna osa u s-ravni se mora preslikati u

jediničnu kružnicu u z-ravni, i stabilan analogni filtar mora dati stabilan digitalnifiltar.Ovu funkciju prenosa preslikaćemo u digitalni domen korišćenjem metode impulsneinvarijanse. Osnovna ideja je da se za impulsni odziv digitalnog filtra uzmeperiodično odmjeren impulsni odziv analognog filtra.

( ) ( )t nhnh a ∆= ,

gdje je t ∆ period odmjeravanja.Neka je data funkcija prenosa analognog filtra razvijena u parcijalne razlomke:

( ) ∑=

−=

N

k k

k a

ss

As H

1

,

funkcija prenosa digitalnog filtra dobijenog metodom impulsne invarijanse će biti:

( ) ∑=

−∆−

= N

k t s

k

ze

A z H

k 1

11. (1)

Dakle, polovi k s funkcije prenosa analognog filtra će se preslikati u polovet s

k k e z

∆=

odgovarajućeg digitalnog filtra. Međutim, važno je napomenuti da metoda impulsneinvarijanse ne preslikava s-ravan u z-ravan pomoću ove jednačine, to je samo relacijakojom se preslikavaju polovi.Iz jednačine (1) u ovom slučaju slijedi:

( )11 c

ct

H ze z

−Ω ∆ −

Ω=

−.

Međutim, frekvenciju odmjeravanja 0 2 t π Ω = ∆ treba izabrati na takav način da seizbjegne preklapanje spektra. Dati su primjeri poređenja amplitudnih karakteristika

filtara sa 3dB graničnom frekvencijom od 1Hz, 5Hz i 50Hz za frekvencijuodmjeravanja od 2kHz, tj. 0.5t ms∆ = .


2/31

Primjer 2.

Polazeći od analognog filtra čija je funkcija prenosa

( ) cac

H ss

Ω=

+ Ω,

gdje je cΩ 3-dB granična učestanost analognog filtra, projektovati digitalniniskopropusni filtar čija 3-dB granična učestanost iznosi kurad/odmjer2,0 π , koristećibilinearnu transformaciju.

Rješenje:

Kada se za preslikavanje analognog filtra u digitalni koristi bilinearna transformacijapolazi se od aproksimacije integrala trapezoidnim pravilom što rezultujepreslikavanjem s-ravni u z-ravan prema jednačini

+

−

∆= −

−

1

1

1

12

z

z

t s , (2)što daje relaciju između frekvencijskih promjenljivih u analognom i digitalnomdomenu

2tg

2 ω

∆=Ω

t , (3)

odnosno

2

tarctg2

Ω∆=ω .

Cijeli frekvencijski opseg u domenu analognog filtra preslikava se u opsegπ≤ω≤π− , ali to preslikavanje je nelinearno. Dolazi do kompresije frekvencijskog

opsega ( frequency warping).Korištenjem jednačine (3) sada dobijamo 3-dB frekvenciju analognog filtra

t t c

∆=π

∆=Ω

65,00,1tg

2, pa je funkcija prenosa analognog filtra

( )t s

t s H

∆+

∆=

65,0

65,0.

Korištenjem bilinearne transformacije (2) dobije se funkcija prenosa digitalnog filtra

( ) ( )

1

1

509,01

1245,0−

−

−

+=

z

z z H .

Lako se provjerava da je 3-dB učestanost ovog filtraodmjerku

rad0,2π=ωc , tj. da

zadovoljava specifikacije.Važno je uočiti da vrijednost perioda odmjeravanja t ∆ u ovom slučaju ne utiče nakonačni rezultat. Može se zaključiti da je ovaj parametar potpuno transparentan kadasu specifikacije filtra zadate u digitalnom domenu pa ga je moguće izabratiproizvoljno, npr. 1=∆t .Naravno, kada se filtar koristi za obradu digitalnih signala dobijenih A/D konverzijomrezultujuća frekvencijska karakteristika zavisi od perioda odmjeravanja.


3/31

Primjer 2.

Korišćenjem metode impulsne invarijanse projektovati digitalni IIR filtar kojizadovoljava sledeće specifikacije:• maksimalno ravna magnituda u propusnom opsegu 0 ≤ ω ≤ 0.2π rad,

• maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu 1dB,• nepropusni opseg 0.3π ≤ ω ≤ π rad, • minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu 15dB,• period odmjeravanja 1s.Realizovati ovaj filtar korišćenjem prve i druge direktne forme.

Rješenje

Preslikaćemo zadate specifikacije u analogni domen. U odsustvu aliasinga impulsnainvarijansa preslikava analognu u digitalnu frekvenciju na linearan način:

t ∆ω=Ω .

Sada su granične frekvencije u analognom domenu: Ω p=0.2π rad/s i Ωs=0.3π rad/s.Izvršićemo normalizaciju sa Ω0=0.2π rad/s, pa su normalizovane graničnefrekvencije: ω p=1 i ωs=1.5.Batervortov filtar koji zadovoljava ove specifikacije je 6. reda i ima normalizovanufunkciju prenosa:

1.965+s6.784+s11.71+s12.82+s9.349+s4.324+s

1.965)(ˆ

23456=s H N .

Nakon denormalizacije funkcija prenosa analognog filtra je:

0.1209+s0.6644+s1.825+s3.179+s3.691+s2.717+s

0.1209)(ˆ

23456=s H .

Frekvencijska karakteristika analognog filtra.

100

101

-200

-100

0

100

200

Frequency (radians)

P h a s e ( d e g r e e s )

100

101

10-10

10-5

100

Frequency (radians)

M a g n i t u d e


4/31

U MATLABu je metoda impulsne invarijanse realizovana funkcijom impinvar,koja u našem primjeru daje sledeći rezultat:

6-5-4-3-2-1-

-6-5-4-3-2-1

z0.06607+z0.5706-z2.107+z4.276-z5.068+z3.364-1

z0.0001033+z0.004101+z0.01614+z0.0101+z0.000631+z014-1.132e-)( = z H

Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra.

Amplitudne karakteristike analognog i digitalnog filtra

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-600

-400

-200

0

Normalized frequency (Nyquist == 1)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80

-60

-40

-20

0


M a g n i t u d e R e s p o n s e ( d B )

10-3

10-2

10-1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frekvencija [rad/s]

M a g n i t u d a

analognidigitalni


5/31

Dobijene amplitudne karakteristike potvrđuju činjenicu da je frekvencijski odzivdigitalnog filtra dobijen metodom impulsne invarijanse pod uslovom da nemapreklapanja spektra:

( )

∆

ω

∆≈

ω

t j H

t e H a

j 1 .

Vidimo da za visoke frekvencije odmjeravanja digitalni filtar može imati vrlo veliko

pojačanje, pa je zbog toga preporučljivo za impulsni odziv digitalnog filtra uzeti:( ) ( )t nthnh a ∆∆= ,

što se automatski dobija kada se koristi funkcija impinvar.Takođe se može uočiti da ako su specifikacije zadate (kao u ovom slučaju) pomoćudigitalnih frekvencija, vrijednost frekvencije odmjeravanja ne igra nikakvu ulogu ukonačnom obliku digitalnog filtra.Mana metode impulsne invarijanse je postojanje aliasinga.


6/31

Primjer 3.

Ponoviti prethodni primjer korišćenjem metode bilinearne transformacije.

Rješenje

Ponovo počinjemo preslikavanjem specifikacija u analogni domen. Veza izmeđuanalogne i digitalne frekvencije je sada nelinearna:

( )2tan2

ω∆

=Ωt

.

Sada su granične frekvencije u analognom domenu: Ω p=0.6498 rad/s iΩs=1.0191 rad/s.Normalizacija učestanosti: Ω0=0.6498 rad/s.Normalizovane učestanosti: ω p=1, ωs=1.5683.Ove specifikacije zadovoljava Batervortov filtar 6. reda, pa je normalizovanakarakteristika ista kao i u prethodnom primjeru.Nakon denormalizacije imamo:

0.1479+s0.786+s2.088+s3.516+s3.948+s2.81+s

0.1479)(ˆ

23456=s H .

Funkcija prenosa digitalnog filtra dobija se smjenom:1

1

1

12−

−

+

−

∆=

z

z

t s .

6-5-4-3-2-1-

-6-5-4-3-2-1

z0.06285+z0.5459-z2.028+z4.144-z4.95+z3.314-1

z0.0005795+z0.003477z0.008693+z0.01159+z0.008693+z0.003477+0.0005795)(

+= z H

Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-600

-400

-200

0



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-300

-200

-100

0


M a g n i t u d e R e s p o n s e (

d B )


7/31

Amplitudne karakteristike analognog i digitalnog filtra.

Vidimo da je zbog nelinearnosti preslikavanja frekvencijske promjenljive koje sabijafrekvencijski opseg amplitudna karakteristika digitalnog filtra nešto strmija. U stvari,sa sledeće slike se vidi da je ovo preslikavanje približno linearno samo za niske

frekvencije. Sa porastom frekvencije odmjeravanja ovaj interval linearnosti seproširuje.

-15 -10 -5 0 5 10 15-3

-2

-1

0

1

2

3

Ω∆t

ω

Preslikavanje između frekvencijskih promjenljivih.

Primjer 4.

Korišćenjem metoda impulsne invarijanse i bilinearne transformacije projektovatidigitalni eliptički filtar koji zadovoljava sledeće specifikacije:

10-3

10-2

10-1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frekvencija

Magnituda

analognidigitalni


8/31

• propusni opseg 0 ≤ ω ≤ 0.2π rad,• maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu 1dB,• nepropusni opseg 0.3π ≤ ω ≤ π rad, • minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu 15dB,• period odmjeravanja 1s.

Rješenje Preslikaćemo zadate specifikacije u analogni domen. U odsustvu aliasinga impulsnainvarijansa preslikava analognu u digitalnu frekvenciju na linearan način:

t ∆ω=Ω .

Sada su granične frekvencije u analognom domenu: Ω p=0.2π rad/s i Ωs=0.3π rad/s.Izvršićemo normalizaciju sa Ω0=0.2π rad/s, pa su normalizovane graničnefrekvencije: ω p=1 i ωs=1.5.Eliptički filtar koji zadovoljava ove specifikacije je trećeg reda i normalizovanafunkcija prenosa analognog prototipa je:

( )7551.0225.19805.0

7551.04711.0ˆ23

2

+++

+=

sss

ss H N .

Njenom denormalizacijom se dobija:

( )1873.04837.06161.0

1873.0296.0ˆ23

2

+++

+=

sss

ss H

Konačno, primjenom impulsne invarijanse dobija se funkcija prenosa digitalnog filtra:

( )321

321

5401.0794.1119.213063.04461.0296.0

−−−

−−−

−+−

+−= z z z

z z z z H

Međutim, slabljenje ovog filtra na frekvenciji 0.2π iznosi 2.25dB, a na frekvenciji0.3π 11.20dB. Očigledno, ove vrijednosti ne zadovoljavaju specifikacije filtra.Preklapanje spektra koje se javlja kod metode impulsne invarijanse uništilo jerezultujući eliptički filtar zato što frekvencijska karakteristika analognog prototipanije «frekvencijski ograničena».

Bilinearna transformacija, međutim, nema ovaj problem.

Preslikavanjem graničnih frekvencija u analogni domen dobijamo: Ω p=0.6498 rad/s iΩs=1.0191 rad/s.Normalizacija učestanosti: Ω0=0.6498 rad/s.Normalizovane učestanosti: ω p=1, ωs=1.5683.Ponovo dobijamo eliptički filtar trećeg reda čiji je normalizovani analogni prototip:

( )7551.0225.19805.0

7551.04711.0ˆ23

2

+++

+=

sss

ss H N .

Denormalizacijom se dobija:

( )2072.05173.06371.0

2072.03061.0ˆ23

2

+++

+=

sss

ss H

Konačno, bilinearnom transformacijom, dobijamo:


9/31

( )321

321

5325.0784.1111.21

1214.005114.005114.01214.0−−−

−−−

−+−

+−−=

z z z

z z z z H .

Slabljenja na graničnim frekvencijama propusnog i nepropusnog opsega su 1dB i16dB, respektivno, što odgovara zadatim specifikacijama.


10/31

Primjer 5.

Dat je analogni filtar sa funkcijom prenosa1

)(ˆ+

=s

ss H .

O kakvom se filtru radi? Kolika je njegova granična učestanost? Nacrtati njegovu

frekvencijsku karakteristiku.Preslikati ovaj filtar u digitalnim domen korišćenjem bilinearne transformacije safrekvencijom odmjeravanja f s=100Hz. Kakav rezultat se dobija? Nacrtatifrekvencijsku karakteristiku dobijenog filtra.Preslikati sada filtar u digitalni domen korišćenjem metode impulsne invarijanse saistom frekvencijom odmjeravanja. Kakav rezultat se dobija? Nacrtati frekvencijskukarakteristiku dobijenog filtra.Komentarisati rezultate ovih transformacija i odrediti ograničenja metoda zapreslikavanje funkcija prenosa iz analognog u digitalni domen.

Rješenje

Dati filtar je visokopropusni filtar sa graničnom učestanošćus

rad1=Ωc .

Amplitudna karakteristika analognog filtra.

Prenosna funkcija digitalnog filtra dobijenog primjenom bilinearne transformacije:

( )( ) 1

1

22

12)(

−

−

−∆+∆+

−=

zt t

z z H .

10-1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frekvencija

M a g n i t u

d a


11/31

Amplitudna karakteristika.

Prenosna funkcija digitalnog filtra dobijenog primjenom impulsne invarijanse:

1

1

1 11

11

-t -

-t -

-t - z-e

z-e

z-e H(z)

∆

∆

∆ =−= .

Impulsni odziv analognog filtra.

Time (sec.)

A m p l i t u d e

Impulse Response

0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

10-1

100

101

102

103

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Frekvencija

M a g n i t u d a


12/31

0 100 200 300 400 500 600-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Impulsni odziv digitalnog filtra dobijenog metodom impulsne invarijanse

(nacrtan je svaki 10 odmjerak).

Amplitudna karakteristika digitalnog filtra dobijenog metodom impulsne

invarijanse.

Problem je moguće izbjeći tako što se NF prototip preslika u digitalnim domenprimjenom impulsne invarijanse:

1

1)(ˆ

+=

ss H ,

11

1)(

−∆−−

= ze

z H t

.

Sada pomoću frekvencijske transformacije1

11

1 −

−−

α+

α+−=

Z

Z z , preslikavamo NF

digitalni filtar u VF:

( ) 1

1

1

1)(

−∆−∆−

−

+α+α+

α+=

zee

z z H

t t

.

Neka je pθ granična učestanost digitalnog NF filtra, a pω željena granična

učestanost VF filtra. Konstantu α tada određujemo iz uslova:

10-1

100

101

102

103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Frekvencija

M a g n i t u d a


13/31

p

p p

j

j j

e

ee

ω−

ω−θ−

α+

α+−=

1,

što daje:

θ−ω

θ+ω

−=α

2cos

2cos

p p

p p

U našem slučaju, pošto jes

rad1=Ωc , i impulsna invarijansa linearno preslikava

frekvenciju imamo da je ω p=θ p=∆t , pa je t p ∆−=θ−=α coscos .

Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra dobijenog impulsnom

invarijansom i frekvencijskom transformacijom u digitalnom domenu.

10-1

100

101

102

1030.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2


14/31

Primjer 6.

Korištenjem bilinearne transformacije projektovati Čebiševljev digitalni filtar koji ćeraditi na učestanosti odmjeravanja Hz800=S F i zadovoljava sledeće specifikacije

• granična učestanost propusnog opsega 100Hz,

• granična učestanost nepropusnog opsega 300Hz,• maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu 1dB,• minimalno potrebno slabljenje u nepropusnom opsegu 20dB.

Rješenje

Korištenjem MATLAB-a se lako dobija da navedene specifikacije zadovoljavaanalogni Čebiševljev filtar trećeg reda.Da bismo projektovali digitalni filtar moramo najprije specifikacije preslikati udigitalni domen. Maksimalna učestanost ulaznog signala u ovom slučaju može biti400Hz. Na osnovu relacije t Ω∆=ω , dobijamo da su granične učestanostiodgovarajućeg digitalnog filtra

π=π=∆Ω=ω 25,08001002t p p i

π=π=∆Ω=ω 75,0800 / 3002t ss .

Sada se problem svodi na projektovanje digitalnog filtra sa zadatim specifikacijama.Kada se filtar projektuje korištenjem bilinearne transformacije ove graničneučestanosti se preslikavaju u analogni domen korištenjem relacije

( )2tan2

ω∆

=Ωt

,

pri čemu sada period odmjeravanja više nije bitan pa možemo izabrati 1=∆t .

Dobijamo: 8284,0=Ω p i 8284,4=Ωs . Ove specifikacije zadovoljava Čebiševljevfiltar drugog reda

( )7566,09094,0

6744,0ˆ2

++=

sss H .

Konačno, bilinearnom transformacijom ovaj filtar se preslikava u digitalni filtar

( )4468,09865,01

1026,02051,01026,01

21

+−

++=

−

−−

z

z z z H .

Amplitudna karakteristika ovog filtra data je na slici

0 50 100 150 200 250 300 350 400-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Frekvencija [Hz]

M a g n i t u d a [ d B ]


15/31

Primjer 7.

Data je pravougaona prozorska funkcija dužine N .a) Odrediti spektar pravougaone prozorske funkcije.b) Generisati i nacrtati u MATLAB-u pravougaonu prozorsku funkciju dužine N =32

i N =128.c) Izračunati i nacrtati u MATLAB-u spektar pravougaonog prozora.d) Definisati značajne parametre u spektru prozorske funkcije i uočiti njihovu

zavisnost od dužine prozorske funkcije.

a) Pravougaona prozorska funkcija definisana je izrazom:1, 0,1,..., 1

( )0, inače R

n N w n

= −=

.

Dakle, pravougaona prozorska funkcija ne modifikuje ulazni signal, osim odsijecanjaako je dužina ulaznog signala veća od dužine prozorske funkcije.Spektar pravougaone prozorske funkcije je:

( )1 1

( 1) / 2

0 0

sin1 2( )1 sin

2

j N N N j j n j n j N

R R jn n

N e

W e w n e e ee

θ

θ θ θ θ

θ

θ

θ

−− −− − − −

−= =

−= = = =

−∑ ∑ .

b) N = 32; %duzina prozora

nn = 0:N-1;

w = boxcar(N);

figure, stem(nn, w); title('Pravougaoni prozor N=32')

W = fft(w,1024);

Wnorm = abs(W)/N; %normalizacija spektra tako da bude W(0)=1

figure, plot(0:1/512:1-1/512, 20*log10(Wnorm(1:512)));

title('Amplitudska karakteristika (dB)');

xlabel('Normalizovana frekvencija');

0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Pravougaoni prozor N=32


16/31

Pravougaona prozorska funkcija dužine N = 32.

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Pravougaoni prozor N=128

Pravougaona prozorska funkcija dužine N = 128.

c)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-50

-40

-30

-20

-10

0Amplitudska karakteristika (dB)

Normalizovana frekvencija

Amplitudna karakteristika pravougaonog prozora dužine N = 32.


17/31

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-50

-40

-30

-20

-10

0Amplitudska karakteristika (dB)


Amplitudna karakteristika pravougaonog prozora dužine N = 128.

d) Najvažniji parametri prozorske funkcije su širina glavnog luka i slabljenje prvogboč nog luka.

Prva nula spektra pravougaone prozorske funkcije dobija se za π=ω

2

N , što odgovara

učestanosti N π=ω 2 . Dakle, širina glavnog luka je N π=ω∆ 40 . Vidimo da je

širina glavnog luka obrnuto proporcionalna dužini prozorske funkcije. Pošto mitežimo da smanjimo širinu glavnog luka da bismo smanjili širinu prelaznog opsega toznači da moramo da koristimo dužu prozorsku funkciju. Sa druge strane, dužaprozorska funkcija povećava složenost implementacije (izračunavanja), te su ova dvazahtjeva kontradiktorna.Pošto su magnitude spektara pravougaonih prozorskih funkcija dužine N =32 i N =128normalizovane dužinom prozorske funkcije N na slikama se čini da slabljenje prvogbočnog luka ne zavisi značajno od dužine prozora i da iznosi približno 13dB.Međutim, ovo slabljenje, u stvari, opada sa porastom N tako da površina ispod svakog

luka ostane konstantna. Veće slabljenje bočnog luka može se postići drugačijimprozorskim funkcijama, npr. trougaonom, Hannovom itd.Značajno je uočiti i da slabljenje ostalih bočnih lukova brže opada kod duže prozorskefunkcije.


18/31

Primjer 8.

Ponoviti prethodni primjer za trougaoni (Bartletov) prozor.

a) Bartletov prozor definisan je izrazom:

−≤≤−

−−

−≤≤−=

12

1,

1

22

210,

12

)( N n

N

N

n

N n N

n

nw B .

Spektar trougaone prozorske funkcije je

( ) ( )( )

2 / )1(21

0 2sin

4sin2)( −ω−

−

=

ω−ω

ω

ω== ∑ N j

N

n

n j B

j B e

N

N enweW .

b)

Bartletov (trougaoni) prozor dužine N = 32.

c)

Amplitudna karakteristika Bartletovog prozora dužine N = 32.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Amplitudska k arakteristika (dB)


0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Bartletov prozor N=32


19/31

c) Slabljenje prvog bočnog luka trougaone prozorske funkcije iznosi 25dB, što jeveće nego u slučaju pravougaone prozorske funkcije. Međutim ovo poboljšanjedobijeno je na račun veće širine glavnog luka koja sada iznosi 8π/ N .

U tabeli su date jednačine za neke prozorske funkcije koje se često koriste:

Pravougaoni 10,1)( −≤≤= N nnw Trougaoni (Bartletov)

−≤≤−

−−

−≤≤

−=

12

1,

1

22

2

10,

1

2

)( N n

N

N

n

N n

N

n

nw

Hanov10,

1

2cos1

2

1)( −≤≤

−

π−= N n

N

nnw

Hemingov10,

1

2cos46,054,0)( −≤≤

−

π−= N n

N

nnw

Blekmenov −

π+ −π−=

14cos08,012cos5,042,0)( N n

N nnw

Kajzerov

−ω

−−−

−ω

=

21

21

21

)(

0

22

0

N I

N n

N I

nw

a

a

Uporedne karakteristike prozorskih funkcija:

Prozor

Maksimalnaamplituda

bočnog luka(dB)

Širinaglavnog luka

Minimalnoslabljenje u

nepropusnomopsegu (dB)

Pravougaoni -13 4π /N -21

Bartletov -25 8π /N -25

Hanov -31 8π /N -44

Hemingov -41 8π /N -53

Blekmenov -57 12π /N -74


20/31

Primjer 9.

Dat je idealni niskopropusni filtar:

π≤ω≤π

π≤ω=

ω

/2,0

2 / ,1)( jd e H .

a) Nacrtati frekvencijsku karakteristiku ovog filtra;b) Odrediti impulsni odziv hd ovog filtra;

Rješenje

a)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω / π

| H d

( e j ω ) |

Amplitudna karakteristika idealnog NP filtra. b) Impulsni odziv ovog filtra je:

( )n

nd ed ee H nh c

n jn j jd d

c

cπ

ω=ω

π=ω

π= ∫∫

ω

ω−

ωωπ

π−

ω )sin(

2

1

2

1)( .

Impulsni odziv idealnog NP filtra (51 odmjerak).

Očigledno je da se radi o nekauzalnom IIR filtru. Za razliku od analognih filtara gdje je nemoguće realizovati nekauzalan filtar, kod digitalnih sistema to je moguće,ukoliko se ne zahtijeva rad u realnom vremenu. Međutim, u sledećem primjerupozabavićemo se projektovanjem kauzalnog FIR filtra.

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Impulsni odziv idealnog NF filtra

n

h d

( n )


21/31

Primjer 10.

Metodom množenja prozorskom funkcijom projektovati kauzalan NF FIR filtardužine 51 (50. reda) sa graničnom frekvencijom ωc=0.5π.

Rješenje

Najjednostavnija varijanta ove metode je upotreba pravougaonog prozora kojiodgovara odsijecanju impulsnog odziva IIR filtra koji zadovoljava zadatespecifikacije. Znači, u našem slučaju upotrebićemo prozorsku funkciju dužine N =51.Da bismo dobili kauzalan FIR filtar potrebno je da prije množenja prozorskomfunkcijom pomjerimo impulsni odziv IIR filtra za ( N -1)/2 odmjeraka udesno. U

našem slučaju ovaj pomak iznosi 25 odmjeraka (vidi sliku)

−−=

2

1)(1

N nhnh d .

Sada je impulsni odziv traženog FIR filtra (uz pretpostavku da koristimo pravougaoniprozor):

≥<

−=

−−

==

N nn

N n N

nhnwnhnh d

,0,0

1,,1,0,2

1)()()( 1

…

.

Impulsni odziv kauzalnog FIR filtra.

Primijetimo da pomjeranje impulsnog odziva IIR filtra ne mijenja amplitudskukarakteristiku, već samo faznu, jer je spektar pomjerenog IIR filtra:

( )

ω>ω

ω≤ω=

−ω−

ω

c

c

N j

j ee H

,0

,21

1 .

Na slikama su prikazane amplitudna i fazna karakteristika FIR filtra dobijenogkorišćenjem pravougaone prozorske funkcije dužine N =51.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n

h ( n )

Impulsni odz iv FIR filtra N=51


22/31

Amplitudna karakteristika FIR filtra dobijenog množenjem pravougaonomprozorskom funkcijom.

Fazna karakteristika.

Na slici vidimo da u blizini granične učestanosti amplitudna karakteristika ima

značajne oscilacije. Ovo se može objasniti polazeći od frekvencijske karakteristikefiltra

( ) ( )∑∞

−∞=

ω−ω=

n

n j jenhe H ,

koja u suštini predstavlja Furijeov red čiji su koeficijenti odmjerci impulsnog odzivafiltra. Uzimajući FIR filtar praktično se željeni frekvencijski odziv aproksimirakonačnim brojem članova Furijeovog reda što uvodi Gibsove oscilacije. Vrijednostpojačanja filtra na graničnoj učestanosti je prema tome -6dB.Ukoliko želimo da smanjimo efekat Gibsovih oscilacija moramo posmatrati njihovuvezu sa prozorskom funkcijom. Impulsni odziv FIR filtra dobijen je množenjem

željenog impulsnog odziva prozorskom funkcijom( ) ( ) ( )nwnhnh d = .Množenje u vremenskom domenu odgovara konvoluciji u frekvencijskom domenu

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Normalizo vana frekvencija

F a z a

Fazna karakteristika FIR filtra

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


M a g n i t u d a

Amplitudska karakteristika FIR filtra N=51

FIR (pravougaoni)idealan NF


23/31

( ) ( ) ( )dvvW v H e H d j ∫π

π−

ω−ω

π=

2

1.

Sada je jasno da široki glavni luk u spektru prozorske funkcije unosi prelazni opseg uamplitudnu karakteristiku FIR filtra. Pored toga, izraženi bočni lukovi unoseoscilacije u okolini granične učestanosti i utiču na slabljenje filtra u nepropusnomopsegu.

Da bismo smanjili efekat Gibsovih oscilacija možemo da iskoristimo neku druguprozorsku funkciju, npr. trougaonu koja nema nagli prekid u vremenskom domenu.Vidimo da prozorska funkcija sa većim slabljenjem bočnog luka rezultuje manjomamplitudom Gibsovih oscilacija i većim slabljenjem u nepropusnom opsegu.Međutim, ove funkcije imaju širi glavni luk, što rezultuje širim prelaznim opsegom.Takođe, povećanjem dužine prozorske funkcije može se smanjiti širina glavnog luka,odnosno prelazni opseg FIR filtra.Slabljenje u nepropusnom opsegu uglavnom nije funkcija dužine prozorske funkcije,nego uglavnom njenog oblika.Kada se koristi trougaoni prozor impulsni odziv FIR filtra je:

Impulsni odziv FIR filtra (trougaoni prozor)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n

Impulsni odz iv FIR filtra - trougaoni prozor


24/31

Amplitudne karakteristike FIR filtara dobijenih korištenjem različitih prozorskih

funkcija.

Funkcija pojačanja FIR filtara dobijenih korištenjem različitih prozorskih funkcija.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Funkcija pojacanja


P o j a c a n j e ( d B )

FIR (pravougaoni)

FIR (trougaoni)FIR (Hanning)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


M a g n i t u d a

Amplitudska karakteristika FIR filtra N=51

FIR (pravougaoni) idealan NF

FIR (trougaoni) FIR (Hanning)


25/31

Funkcija pojačanja FIR filtra u zavisnosti od dužine filtra.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Razlicite duzine prozora

Normaliz ovana frekvencija

F u n k c i j a p o j a c

a n j a

N=51N=129


26/31

Primjer 11.

Korišćenjem metode odmjeravanja u frekvenciji projektovati niskopropusni FIR filtredužine 33 i 34 sa graničnom frekvencijom ωc=0.3π. Razmotriti mogućnostipovećavanja slabljenja u nepropusnom opsegu.

Rješenje

Neka je h(n), n=0,..., N -1 impulsni odziv FIR filtra dužine N (reda N -1). Njegovafrekvencijska karakteristika data je jednačinom:

( ) ∑−

=

ω−ω=

1

0

)( N

n

n j jenhe H .

DFT impulsnog odziva:

( )∑−

=

π−=

1

0

2)()( N

n

kn N jenhk H ,

predstavlja uniformno odmjerenu frekvencijsku karakteristiku digitalnog FIR filtra.Dakle, ako su poznati odmjerci frekvencijske karakteristike H (k ), k =0,..., N -1 moguće

je korišćenjem IDFT odrediti impulsni odziv FIR filtra:

( ) 1,0,)(1

)(1

0

2−== ∑

−

=

π N nek H

N nh

N

k

nk N j… ,

odnosno prenosnu funkcija:

( )∑−

=−π

−

−

−=

1

0121

)(1)(

N

k k N j

N

ze

k H

N

z z H .

Frekvencijska karakteristika: ( ) )()( ωΦω ω= j j e Ae H .Odmjerci amplitudne karakteristike idealnog niskopropusnog filtra

( )k

N

jd

k

k e Ak A π=ω

ω= 2)( , za N =33 prikazani su na slici.

Odmjerci u frekvenciji idealne niskopropusne amplitudne karakteristike.

Potrebno je još zadati odmjerke fazne karakteristike Φ(ωk ). Najčešće je poželjno dafazna karakteristika bude linearna. Kod FIR filtara moguće je postići linearnu fazu,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


A m p l i t u d a


27/31

odnosno konstantno grupno kašnjenje. Ovo je osobina FIR filtara sa simetričnimimpulsnim odzivom i njihova fazna karakteristika je oblika:

( ) π≤ω≤π−ω−

−=ωΦ ,2

1 N .

Dakle, odmjerke frekvencijske karakteristike konstruisaćemo kao:)()()( k jek Ak H Φ= .

Ovim pristupom dobija se, za N =33 filtar sa amplitudnom karakteristikom na slici.

Amplitudna karakteristika FIR filtra dobijenog odmjeravanjem u frekvenciji

N = 33.

Impulsni odziv FIR filtra, N = 33.

0 5 10 15 20 25 30 35-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

n

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


A m p l i t u d a


28/31

Frekvencijska karakteristika N = 33.

Međutim, za N parno nailazimo na probleme jer H ( z) ima nule na jediničnoj kružnici,pa amplitudska karakteristika nije analitička funkcija, a fazna karakteristika imadiskontinuitete.

Rezultat primjene opisanog postupka na projektovanje filtra dužine N = 34.

Problem se može prevazići ako se A(ω) posmatra kao realna funkcija (koja može uzetii pozitivne i negativne vrijednosti). Za FIR filtre sa simetričnim impulsnim odzivomfrekvencijska karakteristika ima oblik:

( ) ( )

neparno,2

1cos)(2

2

1 23

0

2

1

N N

nnh N

hee H N

n

N j

j

ω

−−+

−= ∑

−

=

ω−

−ω

( ) parno,2

1cos)(2

12 /

0

2

1

N N

nnhee H N

n

N j

j

ω

−−= ∑

−

=

ω−

−ω ,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


A m p l i t u d a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000

-800

-600

-400

-200

0



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-60

-40

-20

0

20




29/31

Može se pokazati da je ( )

ω

−−−=

ω−π

−−

+−

2

1cos)1(2

2

1cos 12

N n

N n

N n , što

znači da je A(ω ) simetrična za N neparno, a antisimetrična za N parno. To znači da za N parno odmjerke moramo izabrati na sledeći način.

Odmjerci željene amplitudne karakteristike za N = 34.

Ovim postupkom dobija se FIR filtar...

Amplitudna karakteristika FIR filtra dužine N = 34.

Impulsni odziv FIR filtra dužine N = 34.

0 5 10 15 20 25 30 35-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

n

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


A m p l i t u d a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


A m p l i t u d a


30/31

Frekvencijska karakteristika.

Ukoliko u prelaznom opsegu dodamo jedan ili dva odmjerka čija je vrijednost između

0 i 1 proširićemo prelazni opseg ali ćemo povećati slabljenje u nepropusnom opsegu.

Amplitudna karakteristika FIR filtra projektovanog metodom odmjeravanja u

frekvenciji uz zadavanje odmjeraka u prelaznom opsegu.

Frekvencijska karakteristika.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1500

-1000

-500

0



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50


M a g n i t u d e R

e s p o n s e ( d B )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


A m p l i t u d a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1500

-1000

-500

0



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80

-60

-40

-20

0

20




31/31

Ako želimo da pored ovoga zadržimo istu širinu prelaznog opsega moraćemoudvostručiti red filtra.Korišćenjem tehnika linearne optimizacije moguće je izabrati vrijednosti ovihodmjeraka tako da se dobije najbolja aproksimacija željenog filtra.

Date post:	06-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	ralphholingshead
View:	224 times
Download:	0 times

digitalni_filtri

Documents